Universidad Autónoma de Sinaloa Facultad de Ingeniería Mochis
Tema:
Complejidad computacional
Docente: Dr. Yobani Martinez Ramírez
Asignatura: Teoría de la Computación
Carrera: Ingeniería de Software
Grupo: 2!2
Integrantes:
Noviembre 2015
"#iper$mmanuel
ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN..............................................................................................1 2. MARCO TEÓRICO...........................................................................................2 2.1 Maro one!tual........................................................................................2 Com!le"idad om!utaional#.........................................................................2 Al$oritmo#.......................................................................................................2 Mediión de la om!le"idad#..........................................................................2 Com!le"idad tem!oral#...................................................................................% Com!le"idad es!aial#...................................................................................% 2.2 Anteedentes............................................................................................... & %. SITUACIÓN ACTUA'....................................................................................( %.1 Conte)to......................................................................................................( %.2 E"em!los......................................................................................................* Re!resentaión est+ndar de los n,meros#...................................................* Re!resentaión est+ndar de los !ro-lemas#.................................................* &. REERENCIAS................................................................................................1
1. INTRODUCCIÓN En este !ro/eto se 0a-la so-re la om!le"idad ue e)iste en la om!utaión. Al$oritmos ue resuelven un solo !ro-lema 0asta los ue son $enerales es deir resuelven distintos !ro-lemas om!uta-les lo ue los 0ae m+s om!le"os ue otros. En este !ro/eto a!render+ ue es la om!le"idad om!utaional / ómo medir la om!le"idad de los al$oritmos se$,n el onsumo de reursos ue utilien !ara la soluión. Tam-i3n se 0a-la so-re la m+uina de Turin$ en la ual la om!utadora de 0o/ en d4a est+ -asada la ual no 0a sido reem!la5ada !or nin$,n otro modelo. 'a ma/or in6ormaión de este !ro/eto est+ -asada en la in6ormaión m+s im!ortante de li-ros de om!uto los e"em!lo e)!uestos en este !ro/eto
son 6+iles de om!render los uales a/udaran rea6irmar todo lo visto en el !ro/eto.
2. MARCO TEÓRICO
2.1 Marco conceptual
Complejidad computacional: 'a om!le"idad om!utaional estudia la e6iienia de los al$oritmos esta-leiendo su e6etividad de auerdo al tiem!o de orrida / al es!aio reuerido en la om!utadora o almaenamiento de datos a/udando a evaluar la via-ilidad de la im!lementaión !r+tia en tiem!o / osto. Algoritmo: Un al$oritmo es un !roedimiento om!utaional -ien de6inido el ual onsidera un valor o on"unto de valores omo valores de entrada / a trav3s de
una seuenia de instruiones or$ani5adas !rodue un valor o on"unto de valores de salida en un tiem!o determinado on la 6inalidad de dar soluión a un !ro-lema es!e46io. Medición de la complejidad: 7ara medir la om!le"idad de al$,n !ro-lema es tomar en uenta los reursos ue este neesita !ara la soluión. 7or lo tanto de6inimos ue la om!le"idad de +lulo es la antidad de reursos neesarios !ara e6etuarlo. El tiem!o es uno de los reursos ue on 6reuenia se em!lea en este onte)to. Consideramos ue un +lulo es m+s om!le"o ue otro si la e"euión del !rimero reuiere m+s tiem!o / llamamos om!le"idad tem!oral a la antidad de tiem!o neesario !ara e6etuar el +lulo.
Complejidad temporal: Se denomina om!le"idad tem!oral a la 6unión T8n9 ue mide el n,mero de instruiones reali5adas !or el al$oritmo !ara !roesar los n elementos de entrada. Cada instruión tiene asoiado un osto tem!oral. A6eta al tiem!o de e"euión el orden en ue se !roesen los elementos de entrada. 7odr4a onsiderarse ue los valores de los n asos ue se !resentan omo entrada son los orres!ondientes# a un aso t4!io o a un aso !romedio o de !eor aso. El !eor aso es el m+s senillo de de6inir 8el ue demore m+s !ara ualuier entrada9 !ero si se desea otros ti!os de entrada 0a-r4a ue de6inir u3 se onsidera t4!io o la distri-uión de los valores en el aso !romedio. Complejidad espacial: La complejidad de una computación se mide por la cantidad de espacio y tiempo que consume. Las computaciones efcientes tienen
unas exigencias de recursos Pequeñas (considerando “pequeñas” de una manera relativa).
2.2 Antecedentes
Antes de ue se reali5aran investi$aiones en torno a la om!le"idad de los al$oritmos se rearon los imientos de esta teor4a !or varios investi$adores. Uno de los a!ortes m+s in6lu/entes 6ue la de6iniión de las M+uinas de Turin$ en 1:%; las uales resultaron ser una noión de om!utadora mu/ 6le)i-le / ro-usta. A medida ue las om!utadoras se desarrolla-an en los &<=s / los (<=s la M+uina de Turin$ demostró ser el modelo teório orreto de óm!uto. Sin em-ar$o r+!idamente se desu-rió ue el modelo -+sio de la M+uina de Turin$ 6alla-a al uanti6iar el tiem!o / la memoria reuerida !or
una om!utadora un !ro-lema r4tio 0o/ en d4a / a,n m+s en auellos tiem!os. 'a idea de medir el tiem!o / es!aio omo una 6unión de la lon$itud de la entrada se ori$inó a !rini!ios de los ;<=s !or >artmanis and Stearns / as4 naió la teor4a de la om!le"idad om!utaional. En los iniios los investi$adores trata-an de entender las nuevas medidas de om!le"idad / ómo se relaiona-an unas on otras. En 1:;( Edmonds de6inió un ?-uen? al$oritmo omo uno on un tiem!o de e"euión aotado !or un !olinomio es deir on un tiem!o de e"euión !olinómio.1 Esto ondu"o al sur$imiento de uno de los one!tos m+s im!ortantes de la teor4a de la om!le"idad om!utaional# la N7@om!letitud / su !re$unta 6undamental si 7N7. El
am!o
omen5ó
a
6loreer
uando
el
investi$ador
norteameriano Ste!0en CooB tra-a"ando de manera inde!endiente al investi$ador sovi3tio 'eonid 'evin !ro-aron ue e)isten !ro-lemas relevantes ue son N7@om!letos. En 1:2 Ri0ard ar! llevó esta idea un !aso m+s adelante demostrando ue 21 !ro-lemas om-inatorios / de teor4a de $ra6os arateri5ados !or ser om!utaionalmente intrata-les eran N7@om!letos. Tam-i3n en los <=s se !rodu"o un reimiento de las lases de om!le"idad a medida ue los investi$adores trata-an de om!render los distintos modelos de óm!uto e)istentes. En los *<=s se !rodu"o un au$e de los modelos 6initos ue anali5a-an el !roeso de óm!uto de una manera in0erentemente distinta. Sur$ió un nuevo aeramiento a !ro-lemas omo 7N7 / aun uando estos modelos ten4an sus limitaiones se!arando las lases de om!le"idad esta a!ro)imaión introdu"o t3nias om-inatorias ue !ermitieron un me"or entendimiento de los l4mites de estos modelos. a en los :<=s se estudiaron nuevos modelos de óm!uto omo las om!utadoras u+ntias donde una misma tarea !uede tener di6erente om!le"idad en la om!utaión l+sia / en la om!utaión u+ntia. Sin em-ar$o e)isten varias limitantes entre ellas la de desarrollar un 0ardFare
!ara este modelo / ue se reuieren $randes antidades de es!aio !ara reali5ar los +lulos.
3.SITUACIÓN ACTUAL 3.1 Contexto
>o/ en d4a las om!utadoras resuelven !ro-lemas mediante al$oritmos ue tienen omo m+)imo una om!le"idad o oste om!utaional !olinómio es deir la relaión entre el tamaGo del !ro-lema / su tiem!o de e"euión es !olinómia. Hstos son !ro-lemas a$ru!ados en el on"unto 7. 'os !ro-lemas ue no !ueden ser resueltos !or nuestras om!utadoras 8las uales son M+uinas
Determin4stias9
ue
en
$eneral
!oseen
ostes 6atorial o om-inatorio !ero !odr4an ser !roesados !or una M+uina No Determin4stia est+n a$ru!ados en el on"unto N7. Estos !ro-lemas no tienen una soluión !r+tia es deir una m+uina determin4stia 8omo una om!utadora atual9 no !uede resolverlos en un tiem!o ra5ona-le. Un !ro-lema dado !uede verse omo un on"unto de !re$untas relaionadas donde ada !re$unta se re!resenta !or una adena de arateres de tamaGo 6inito. 7or e"em!lo el !ro-lema 6atori5aión entera se desri-e omo# Dado un entero esrito en notaión -inaria retornar todos los 6atores !rimos de ese n,mero. Una !re$unta so-re un entero es!e46io se llama una instancia. !or e"em!lo ?Enontrar los 6atores !rimos del n,mero 1(? es una instania del !ro-lema 6atori5aión entera. 'a complejidad temporal de un !ro-lema es el n,mero de !asos ue toma resolver una instania de un !ro-lema a !artir del tamaGo de la entrada utili5ando el al$oritmo m+s e6iiente a dis!osiión. Intuitivamente si se toma una instania on entrada de lon$itud n ue !uede resolverse en n !asos se die ue ese !ro-lema tiene una om!le"idad en tiem!o de n. 7or su!uesto el n,mero e)ato de !asos de!ende de la m+uina en la ue se im!lementa del
len$ua"e utili5ado / de otros 6atores. 7ara no tener ue 0a-lar del osto e)ato de un +lulo se utili5a la notaión O. Cuando un !ro-lema tiene osto en tiem!o O8n9 en una on6i$uraión de om!utador / len$ua"e dado este osto ser+ el mismo en todos los om!utadores de manera ue esta notaión $enerali5a la noión de oste inde!endientemente del eui!o utili5ado. 'os !ro-lemas de deisión se lasi6ian en on"untos de om!le"idad om!ara-le llamados clases de om!le"idad. 'a lase de om!le"idad 7 es el on"unto de los !ro-lemas de deisión ue !ueden ser resueltos en una m+uina determinista en tiem!o !olinómio lo ue orres!onde intuitivamente a !ro-lemas ue !ueden ser resueltos a,n en el !eor de sus asos. 'a lase de om!le"idad N7 es el on"unto de los !ro-lemas de deisión ue !ueden ser resueltos !or una m+uina no determinista en tiem!o !olinómio. Esta lase ontiene mu0os !ro-lemas ue se desean resolver en la !r+tia inlu/endo el !ro-lema de satis6ai-ilidad -ooleana / el !ro-lema del via"ante un amino >amiltoniano !ara reorrer todos los v3rties una sola ve5. Todos los !ro-lemas de esta lase tienen la !ro!iedad de ue su soluión !uede ser veri6iada e6etivamente. El sa-er si las lases 7 / N7 son i$uales es el m+s im!ortante !ro-lema a-ierto en Com!utaión teória. Inluso 0a/ un !remio de un millón de dólares !ara uien lo resuelva. 7re$untas omo esta motivan la introduión de los one!tos de hard 8di64il9 / completo. Un on"unto X de !ro-lemas es hard on res!eto a un on"unto de !ro-lemas Y 8 == !erteneientes a N79 si JK o J es deir se !uede esri-ir omo un on"unto de soluiones de los !ro-lemas J. En !ala-ras sim!les es ?m+s senillo? ue J. El t3rmino senillo se de6ine !reisamente en ada aso. El on"unto 0ard m+s im!ortante es N7@0ard. El on"unto X es om!leto !ara Y si es 0ard !ara Y / es tam-i3n un su-on"unto de Y . El on"unto om!leto m+s im!ortante es N7@om!leto. En otras !ala-ras los !ro-lemas del on"unto N7@om!leto tienen la arater4stia de ue si se lle$a
a enontrar una soluión en tiem!o 7 !ara al$,n miem-ro del on"unto 8ualuiera de los !ro-lemas de N7@om!leto9 entones de 0e0o e)iste una soluión en tiem!o 7 !ara todos los !ro-lemas de N7@om!leto.
Otra !re$unta a-ierta relaionada on el !ro-lema 7 N7 es si e)isten !ro-lemas ue est3n en N7 !ero no en 7 ue no sean N7@Com!letos. En otras !ala-ras !ro-lemas ue ten$an ue ser resueltos en tiem!o !olinomial no@determinista !ero ue no !uedan ser reduidos a tiem!o !olinomial desde otros !ro-lemas on tiem!o !olinomial no@determinista. Uno de tales !ro-lemas ue se sa-e ue es N7 !ero no se sa-e si es N7@om!leto es el !ro-lema de isomor6ismo
de
$ra6os
un
!ro$rama
ue
deide
si
dos
$ra6os
son isomor6os 8!or e"em!lo# om!arten las mismas !ro!iedades9. Se 0a demostrado ue si 7 L N7 entones ese !ro$rama e)iste.
'os !ro-lemas ue !ueden ser resueltos en teor4a !ero no en !r+tia se llaman intratables . u3 se !uede / u3 no en la !r+tia es un tema de-ati-le !ero en $eneral sólo los !ro-lemas ue tienen soluiones de tiem!os !olinomiales son solu-les !ara m+s ue unos uantos valores. Entre los !ro-lemas intrata-les se inlu/en los de EJ7TIME@om!leto. Si N7 no es i$ual a 7 entones todos los !ro-lemas de N7@om!leto son tam-i3n intrata-les. 7ara ver !or u3 las soluiones de tiem!o e)!onenial no son ,tiles en la !r+tia se !uede onsiderar un !ro-lema ue reuiera 2 n o!eraiones !ara su resoluión 8n es el tamaGo de la 6uente de in6ormaión9. 7ara una 6uente de in6ormaión relativamente !eueGa n1<< / asumiendo ue una om!utadora !uede llevar a a-o 1< 1< 81< $i$a9 o!eraiones !or se$undo una soluión llevar4a era de &1< 12 aGos !ara om!letarse mu0o m+s tiem!o ue la atual edad del universo.
3.2 Ejemplos
Representación estándar de los nmeros: Sea ' el len$ua"e de los n,meros !rimos. sea M una MT ue lo reonoe de la si$uiente manera 8no ó!tima9# dada una entrada F M ae!ta F si / sólo si nin$uno de los n,meros 2 % F P 1 divide a F. 7or lo tanto la MT M lleva a a-o O8F9 iteraiones es deir ue la antidad de iteraiones de!ende del n,mero de entrada inde!endientemente de su re!resentaión. Qeamos ómo in6lu/e la re!resentaión de los n,meros en el tiem!o de tra-a"o de M !ara onluir ue la re!resentaión est+ndar de los n,meros no !uede ser la notaión unaria. 7ara sim!li6iar asumimos ue t es el
tiem!o
ue
onsume
ada
división
inde!endientemente
de
la
re!resentaión. Si la entrada F se re!resenta en notaión unaria entones F
•
F n / !or lo tanto M tra-a"a en tiem!o O8n9.t es deir lineal en n. Si en am-io F se re!resenta en notaión -inaria entones F
•
log2 F n / !or lo tanto M tra-a"a en tiem!o O8
n
2
9.t es deir
e)!onenial en n. Naturalmente lo mismo suede !ara ualuier notaión ue no sea la unaria. Representación estándar de los problemas: Sea ' 8 v1 v2 9 es un $ra6o / tiene un amino del v3rtie v1 al v3rtie v2 de lon$itud al menos . El len$ua"e ' re!resenta el !ro-lema de esta-leer si un $ra6o tiene un amino de lon$itud al menos entre dos v3rties determinados. Una re!resentaión 0a-itual de un $ra6o ue utili5aremos 6reuentemente en las !ró)imas lases onsiste en un !ar 8Q E9 donde Q 1 m es el on"unto de v3rties / E es el on"unto de aros de . 'os v3rties se re!resentan en notaión -inaria / se se!aran !or un s4m-olo V. 'os aros se re!resentan !or !ares de n,meros naturales 8los v3rties ue los determinan9 en notaión -inaria / se se!aran !or un V lo mismo ue sus v3rties. inalmente Q / E se se!aran !or dos V onseutivos.
7or e"em!lo si
G=({ 1,2,3,4 }, {(2, 4 ) , ( 4, 1 )})
la re!resentaión de es
1V1
v
1
/ el v3rtie
v
2
de lon$itud al menos . Esta
,ltima re!resentaión no es ra5ona-le la om!le"idad tem!oral del !ro-lema est+ oulta en su re!resentaión. Adem+s el tiem!o de trans6ormaión de ualuiera de las re!resentaiones ra5ona-les onoidas a 3sta es e)!onenial.
4. REFERENCIAS
Cormen T. >. 8s.6.9. Introducción de algoritmos, cap IV (NP-Completeness). ".lenn. 8s.6.9. teora de la computación. Belle/ D. 8s.6.9. teora de autómatas ! lenguajes "ormales. Rosen6eld R. 8s.6.9. Computa#ilidad, complejidad computacional ! $eri"i cación de programas.
Si!ser M. 82<<(9. Introduction to the %heor! o" Computation (& edición). Course Te0nolo$/.
UNAM. 82<<;9. Complejidad Computacional.
