Siempre que un valor y depende de un valor x, decimos que el primero es función funció n del segundo. Por ejemplo, la temperatura es una función de la la altitud. Si conocemos la altitud, podemos calcular la temperatura.
AREA: MATEMETICA MATEMETICAS S
LIC. MARCO MARCO ANTONIO MOJICA MADERA MADER A
TEMA: TIPOS DE FUNCIONES
SEGUNDO PERIODO
REALIZADO POR: Juan Camilo Zapata Lina Yurani Cárdenas Darlin Jhoanna Yela Carlos Arturo González
CONTENIDO
1 Funciones crecientes y decrecientes 2 Funciones pares e impares 3 Funciones inversas 4 Funciones periódicas 5 Funciones exponenciales 6 Funciones logarítmicas 7 Funciones valor absoluto 8 Funciones partes enteras 9 Función cubica 10 Función cuadrática
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE Definición:Una función que contiene un término en el que la variable está elevada al cuadrado, o una función que es cociente de dos funciones afines se puede pasar a su forma “canónica” y expresarla como la composición de
varios operadores, determinando los intervalos en los que cada uno de estos operadores es creciente o decreciente.
función creciente
función decreciente
función constante
FUNCION PARES E IMPARES
Funciones impares
Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(x)=-f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con los valores de f(x) y de f(-x). Todas estas funciones simétricas con respecto al origen de coordenadas, en las que se verifica que f(x)=-f(x), se denominan funciones impares. Ejemplos 1: La función y(x)=x es impar ya que: f(-x) = -x Ejemplo 2: Otra función impar es y = 1/x Cuando f(x) = -f(-x)
pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).
Eje: 1
Eje: 2
Funciones pares
Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x). Modifica los valores de x en la escena y observa lo que sucede con los valores de f(x) y de f(-x).
Al modificar los valores de x en la gráfica, la escena muestra también los valores de -x, de f(x) y de f(-x). Como has podido notar, la gráfica es simétrica con respecto al eje y, puesto que para todo valor x del dominio de la función se verifica que f(x)=f(-x). Ejemplo 3:
La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2
FUNCIONES INVERSAS
Sabemos que una función es un conjunto de pares. Se nos puede ocurrir la idea de dar la vuelta a los pares y obtener así una nueva función. Hagámoslo con la función: f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) } y observemos qué pasa llamando g al conjunto resultante: g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) } Hemos obtenido una nueva función. Sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora como f el conjunto: f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) } y, entonces, g será: g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (2, 4) } que no es una función, pues g(2) no está determinado de forma única; es decir, g no cumple la condición de función. Existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos ejemplos? Sencillamente, que en el segundo ejemplo f(1)=f(4)=2 y al darle la vuelta a los pares, g(2) no está determinado de forma única; con lo cual g no es una función. En el primer ejemplo, para valores diferentes de la "x" se obtienen valores diferentes de la "y". Las funciones que se comportan como la del primer ejemplo se llaman funciones inyectivas o uno a uno.
FUNCIONES PERIODICAS
La forma más simple de onda periódica es la onda armónica (sinusoidal), que se describe matemáticamente: Esta onda está completamente caracterizada por tres parámetros: es la amplitud de la sinusoide , es la frecuencia en radianes por segundo (rad/s) , y es la fase en radianes. En lugar de , a menudo se utiliza la frecuencia ciclos por segundo o hercios (Hz), donde . Ejemplo de onda periódica más compleja. La línea horizontal azul indica el nivel del valor eficaz .
Ejemplos
En la vida diaria existen muchos casos de funciones periódicas cuando la variable es el tiempo; situaciones como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. Un movimiento periódico es aquél en el que la posición(es) del sistema se pueden expresar en base a funciones periódicas, todas con el mismo período. Para una función aplicada al conjunto de los números reales o al de los enteros, significa que la totalidad de su grafica puede ser representada a partir de copias de una determinada porción de ésta, repetida a intervalos regulares. De forma más explícita, se dice que una función f es periódica con período P mayor que cero si cumple que:
para todos los valores de x en el dominio de f . De manera análoga, una función no periódica es aquélla que no posee dicho período P. Un ejemplo sencillo es la función f que devuelve la parte fraccional de su argumento: Si una función f es periódica con período P, entonces para todo x en el dominio de f y para todo n enteros:
FUNCIONES EXPONENCIALES
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e x, donde e es el numero de Euler , aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f ( x)=e x o exp( x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una función real E ( x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma Siendo números reales, . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
La función exponencial e x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una series de potencias:
o como el límite de la sucesión:
FUNCIONES LOGARITMICAS
el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10. De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la potenciación de la base del logaritmo. Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Definición
Dado un número real (argumento x ), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como: n = logb x , lo que permite obtener n.1 (esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; sí y sólo si b elevado a la n da por resultado a x ) Para que la definición sea válida, no todos las base y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquier número real ( n ∈ R). Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.
FUNCION VALOR ABSOLUTO
FUNCION PARTES ENTERAS
En matemática, las funciones de parte entera son aquellas funciones:
que toman un número real y devuelven un número entero mayor o menor a ese número. Las funciones más conocidas son la función piso1 y la función techo.2 La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero k no inferior a x : O de otra forma: Propiedades Para cualquier número real se cumple que . El número real x al que se aplica la función techo es un número entero si y sólo si la función techo de x tiene el mismo valor que x . La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos. La función techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la función característica del conjunto de los enteros:
Para cualquier número real se cumple que . El número real x al que se aplica la función techo es un número entero si y sólo si la función techo de x tiene el mismo valor que x. La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos. La función techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la función característica del conjunto de los enteros:
FUNCION CUBICA
Función cúbica La función cúbica es una función poli nómica de tercer grado. Tiene la forma: ; donde el coeficiente a es distinto de 0. Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales . La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuartica.
El caso general
Sea un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación. En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra. La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín, que significa Gran Arte o Arte Magno) por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le llama método de Cardano.
FUNCIONES CUADRATICAS
una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como: Gráficas de funciones cuadráticas.
en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.
La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica. Una función de la forma: f (x) = a x ² + b x + c con a, b y c pertenecientes a los reales y a 0, es una función cuadrática y su gráfico es una curva llamada parábola. En la ecuación cuadrática sus términos se llaman:
si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.
