PILASTRI Prescrizioni varie Con il metodo delle Tensioni Ammissibili si considera una tensione ammissibile media ridotta al 70%. Secondo D.M. 14-2-93 #3.1.3. “Per pilastri calcolati a compressione semplice la tensione ammissibile assume il valore ridotto: 0,7 c .
Nella sollecitazione di pressoflessione la tensione media dell’intera sezione non deve
superare la tensione ammissibile per compressione semplice.”
Secondo il D.M. 9-1-96 #4.2.1.2. Sicurezza “Nei casi di compressione e pressoflessione che non siano determinati da precompressione, vanno rispettate le seguenti prescrizioni: a) lo sforzo normale deve risultare minore di quello calcolato per compressioni centrate con una maggiorazione del 25% del coefficiente c (cioè applicando alla resistenza f cd cd il coefficiente
riduttivo f cc cc /f cd cd=0,8 di VcaSlu ); 1
b) in ogni caso, per tener conto conto delle incertezze sul punto di applicazione dei carichi si deve deve ipotizzare una eccentricità , prevista nella direzione più sfavorevole, da sommare a quella eventuale dei carichi e di entità pari al maggiore dei due valori h/30 e 20 mm , essendo h la dimensione nella direzione considerata per la eccentricità”
Secondo il D.M. 9-1-96 #5.3.4. Pilastri “... deve essere disposta un’armatura longitudinale di sezione ... compresa fra lo 0,3% e il 6%
della sezione effettiva effettiva. Il diametro delle barre longitudinali non deve essere minore di 12 mm.
Staffe ogni 15 e comunque almeno ogni 25 cm. Per setti e pareti:
minimo barre longitudinali longitudinali 8 mm con interasse interasse < 30 cm; - diametro minimo - barre trasversali >5, interasse < 20 longitudinale e < 30 cm; - elementi di collegamento tra le due armature disposte su facce parallele: 6 per ogni m 2 di
parete. 2
EC2:2005
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D.M. 2008
Adotteremo le prescrizioni del D.M. 2008. 6
METODO DELLA COLONNA MODELLO Il metodo della colonna modello è un metodo semplificato di calcolo degli effetti del secondo ordine applicabile a colonne isolate (o che si possono considerare come isolate), di sezione costante, soggette a sforzo normale costante e a momento flettente del primo ordine variabile linearmente. linearmente. Il metodo è illustrato nel par. 4.2.4.8. del D.M. 9-1-96. Il campo di indagine è circoscritto agli elementi monodimensionali per i quali gli effetti del 2° ordine sono prodotti dalla sola flessione. Si escludono gli effetti dovuti alla torsione, taglio e ai fenomeni d’instabilità locale (es. barre compresse di acciaio). La risoluzione del problema si basa sulla assunzione di due distinte non linearità, di natura meccanica (legge costitutive dei materiali, acciaio e cls.) e geometrica (effetti del 2° ordine – o effetti P-). Le leggi non lineari dei materiali consentono di costruire per la sezione in esame la curva momento momento M - curvatura 1/r, 1/r, assegnata l’azione l’azione assiale N di progetto. progetto.
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Riferendoci per semplicità alla sezione simmetrica in figura, la determinazione del diagramma M1/r –N può agevolmente effettuarsi seguendo un procedimento iterativo. Si ipotizzano per i materiali le classiche legge costitutive tipiche del calcolo a rottura delle sezioni inflesse. Si s
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Ipotizzate per i materiali le leggi costitutive e discretizzata la sezione in un opportuno numero di aree, assunte costanti le tensioni nei materiali su ciascuna area ed assumendo che le sezioni restino piane, è possibile scrivere le seguenti seguenti equazioni di di equilibrio e di di congruenza: congruenza:
A A N z A z A c c
c
s
c
s
s
s
M
m / z 1 / r Dove la distanza z è calcolata a partire dal baricentro geometrico della sezione rispetto al quale si è anche calcolato il momento M. Il sistema (1) è non lineare e si può procedere costruendo le curve M-1/r per un assegnato N a partire da una distribuzione lineare di tentativo delle deformazioni 9
(corrispondente ad una certa curvatura 1/r). La prima equazione del sistema (1) non risulterà generalmente soddifatta: l’uguaglianza di entrambi i membri dovrà ricercarsi attraverso un’opportuna traslazione del prescelto diagramma delle deformazioni e, mantenendo costante la curvatura 1/r e restando nell’ambito consentito delle
dai legami costitutivi assunti.
Soddisfatto l’equilibrio alla traslazione, la seconda equazione del sistema (1) consente il calcolo del momento M, ovvero di un punto della curva momento-curvatura per l’assegnata azione assiale N.. IL procedimento procedimento richiede un discreto onere computazionale computazionale e il calcolo viene eseguito attraverso la scrittura di un codice di calcolo.
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Una colonna modello è una colonna per cui è esatta l'espressione della freccia del secondo ordine:
L2 0 e 2 ( 1 / r ) 10
con ( 1 / r ) curvatura
cioè una colonna con deformata sinusoidale. Tale espressione della freccia è una approssimazione accettabile per una colonna generica quando la sezione critica del modo di deformazione del secondo ordine è anche la più sollecitata a flessione nel primo ordine. L’espressione di e 2 si ottiene, con riferimento alla figura, dall’ipotesi di deformata del 2° ordine sinusoidale:
Il momento al piede dovuto alla forza assiale N Ed che agisce sull’asta deformata (momento del 2° ordine M II = N Ed · e2) è quindi variabile linearmente linearmente con la curvatura:
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x 2 x y " ( x ) e 2 2 cos y ( x ) e 2 1 cos L0 L0 L0 per x 0 si ha la curvatura alla base : 2 1 y " ( 0 ) e 2 2 r L0
L2 0 e 2 ( 1 / r ) 10
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da cui , essendo 2 10 , si ottiene :
Tracciando il diagramma momento-curvatura momento-curvatura della sezione, corrispondente corrispondente alla sollecitazione N Ed , è possibile determinare il valore massimo disponibile del momento del primo ordine (max) come differenza tra il momento resistente sviluppato dalla sezione e il momento del secondo ordine M II = N Ed · e2.
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La differenza tra il diagramma momento-curvatura della sezione (curva nera) e la retta rappresentante l’azione del II ordine ( retta tratteggiata blue ) rappresenta la massima azione del primo ordine ordine che la sezione è in grado di assorbire. assorbire. Indicando con MI il momento del I ordine, relativo alla struttura in deformata e dovuto ai carichi esterni, e con MII il momento del secondo ordine, il momento risultate esterno M è pari a: M = MI + MII Nota la curva momento-curvatura momento-curvatura della sezione per un’assegnata azione assiale N, è possibile una condizione di stabilità sole se se la curva del momento sollecitante M (retta in figura) interseca la curva momento-curvatura della sezione. I punti A e B individuano condizioni estreme di stabilità: mentre il punto B è relativo a una condizione di equilibrio instabile in quanto un incremento di curvatura produce una variazione del momento esterno M maggiore di quella fornita dalla capacità interna della sezione, sezione, il punto A è viceversa, per ragioni ragioni opposte, relativo relativo ad una condizione di di equilibrio stabile. Se la curva del momento esterno non interseca la curva della sezione M-1/r, l’equilibrio è impossibile.
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ESEMPIO DI VERIFICA DI COLONNA SNELLA SECONDO D.M. 2008 NSd = 500 kN M Ed
H Ed
MSd = 47,5 kNm
N Ed
HSd = 15 kN Calcestruzzo C 25/30 f ck ck = 25 MPa
3 + 3 Ø 24 m m 0 0 0 6
400
c = 1,5
f cd cd = cc f ck ck /c = 14,2 m m 0 0 4
40
Acciaio FeB44k f yk s = 1,15 yk = 450 MPa f yd yd = 391 MPa
Lunghezza di libera inflessione: L 0 = 2 · 6000 = 12000 mm
Snellezza: raggio giratorio: i =
h / 12
= 115 mm snellezza
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L0 / i
= 104
Secondo D.M. 14-2-92 (attualmente applicabile con il metodo delle tensioni ammissibili) #3.1.12 il limite di snellezza, oltre il quale si deve verificare la stabilità, era 50, con un limite massimo di 100. Per un pilastro snello si devono considerare gli effetti del secondo ordine, che incrementano il momento perché la forza N agisce sulla colonna deformata e quindi acquista un’eccentricità rispetto alla sezione di base. La verifica può essere condotta col metodo della colonna modello. Tracciando il diagramma momento-curvatura della sezione, corrispondente alla sollecitazione N Sd, è possibile determinare il valore massimo disponibile del momento del primo ordine (max M 1Rd) come differenza tra il momento sviluppato dalla sezione e il momento del secondo ordine M 2 = NSd · e2. Tracciamento della curva momento – curvatura con il programma VCASLU
Momento sollecitante totale del primo ordine: M I Ed = M Ed + H Ed L = M 02 02=137,5 kNm 18
Momento resistente del primo ordine al piede della colonna (tratto magenta in figura) I
I
M Rd =157 kNm > M Ed =137,5 kNm
Programma VCALSU
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ESEMPIO DI VERIFICA DI COLONNA SNELLA SECONDO D.M. 92. Azioni in esercizio: M Ed
H Ed
N es es = 340 kN
N Ed
M es es = 32 kNm H es es = 10 kN I
3 + 3 Ø 24 m m 0 0 0 6
M es= M es es + H es es L = 92 kNm momento del I ordine
400
m m 0 0 4
Calcestruzzo C 25/30
cadm= 6 + (R ck ck -15)/4= 9,75 MPa
[DM 92 #3.1.3]
Modulo elastico:
EC= 5700 (R ck ck )
Modulo elastico convenzionale:
EC*=0,4 EC=12450 MPa
40
0,50
Per i pilastri pressoinflessi la tensione media non deve superare 0,7
=31220 MPa
cadm= 6,825 MPa e la tensione massima
cadm =9.75 MPa. Il coefficiente
di amplificazione dei carichi, che tiene conto dei fenomeni di instabilità, varia come indicato
nel prospetto 8. Snellezze
λ maggiori
di 100 sono da considerare con particolari cautele di progettazione e di
calcolo. 20
La verifica, salvo più accurate valutazioni deve essere eseguita tenendo conto dello sforzo normale N
, con
valutato per la massima snellezza, o del momento flettente M* = c M, con M momento effettivo massimo; allo sforzo normale N si deve sostituire N se s e più sfavorevole. Valutazioni particolarmente accurate sono richieste quando si prevedano forti deformazioni differite. La tensione massima a compressione, così determinata non deve superare quella ammissibile per la solleci-tazione di pressoflessione (vedi punto 3.1.3.). Il coefficiente c è dato da:
1 1 N / N E
con N E
2 * E c J 2
L0
dove NE è il carico critico euleriano per la snellezza relativa al piano di flessione, valutato per un modulo di elasticità convenzionale E*c = 0,4 Ec (viscosità). In ogni caso deve essere eseguita la verifica di cui al punto 3.1.12.1. per l’inflessione nel piano di massima snellezza.
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Lunghezza di libera inflessione:
L0 = 2 • 6000 = 12000 mm
raggio giratorio:
i = h / 12
Snellezza
= = L0 / i =104 (il limite sarebbe 100)
0,5
= 115 mm
Coefficiente c (per il calcolo delle azioni del II ordine): Carico critico euleriano:
N E c
* J c 2 E C 2 0
L
2 12450 1 / 12 400 4 2
12000
10 3 kN 1818 kN
1 1 1,23 N es 340 1 1 N E 1818
Coefficiente = 1,62 [prospetto 8 DM 92 #3.1.12] Le azioni critiche con cui deve essere verificata la sezione valgono: I
N c = N es es= 550,8 kN M c = c M es es= 1,23 M es= 113,2 kNm
La sezione non è verificata; le tensioni nel cls (calcolo elastico per pressoflessione con n=15) risultano: c=
11.05 MPa >
c,adm
=9.75 MPa;
cm=5.5MPa<0.7 c,adm=6.8
22
MPa
