Colección de problemas de repaso

Sistemas Mecánicos Problemas iniciales de repaso Curso 2012-2013

Fecha de entrega: semana del 23 al 29 de septiembre Forma de entrega: la indicada por el profesor de cada grupo

Juan Velázquez Miquel Serra Francisco Quintilla Vega Pérez-Gracia Carlos Arregui

Sistemas Mecánicos. Problemas de repaso

Carlos Arregui

TEMA 1. INTEGRACIÓN

2


Carlos Arregui

3

Problemas iniciales de Sistemas Mecánicos

Juan Velázquez Ameijide

4

TEMA 2. ESTÁTICA Y COMPONENTES VECTORIALES

Problema 1. En la figura1 los cables AB y AC ayudan a soportar el techo en voladizo de un estadio deportivo. Las fuerzas que los cables ejercen sobre el soporte CB al que están unidos se representan por los vectores FAB y FAC. Las magnitudes de las fuerzas | FAB |= 100 kN y | FAC |= 60 kN. Determinar la magnitud y dirección de la suma de las fuerzas ejercidas sobre el pilar por los cables (a) gráficamente y (b) trigonométricamente.

Figura 1

Problema2. Para la figura2 determinar gráficamente la magnitud y dirección de la suma de las fuerzas ejercidas sobre el gancho para las siguientes situaciones: (a) |FA| = 80 N, |FA + FB| = 120 N, | FC| = 0 N y α = 65° (b) |FA| = 40 N, |FB| = 50 N, | FC| = 40 N, α = 65° y β = 80° (c) Si |FA| = |FB| =|FC| = 100 N y α = 30°, determinar el valor de β para el cual|FA + FB + FC| es mínimo.

Figura 2

Problema3.Un depósito de almacenamiento esférico está soportado por cables, figura3. El depósito está sometido a tres fueras: las fuerzas FA y FB ejercidas por los cables y el peso W. El peso del tanque es |W| = 600 kN. La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el depósito es igual a cero. Determinar la magnitud

de

FA

y

FB (a)

gráficamente

y

(b)

trigonométricamente. Figura 3



5

Problema 4. Un pez ejerce una fuerza F de 200 N sobre la caña de pescar, figua4. Descomponer dicha fuerza en sus componentes cartesiana sobre los ejes de referencia mostrados.

Figura 4

Problema 5. El cable entre los puntos A y B ejerce una fuerza F de 800N sobre la parte superior de la torre de televisión mostrada en la figura5. Determinar las componentes cartesianas de la fuerza F.

Figura 5

Problema 6. Un topógrafo determina que la distancia horizontal del punto A al B de la figura6 es de 400 m y que la distancia horizontal de A al C es de 600 m. Determinar la magnitud del vector horizontal rAC de B a C y el ángulo α, FB (a) gráficamente y (b) trigonométricamente.

Figura 6



6

Problema 7.Las magnitudes de las fuerza ejercidas por los cables, figura7, son | T1| = 2800 N, |T2| = 3200 N, |T3| = 4000 N y |T4|

=

5000

N.

Determinar

la

magnitud de la fuerza total ejercida sobre el anclaje.

Figura 7

Problema 8.Seis fuerzas actúan sobre la viga mostrada en la figura8, estas representan la carga del forjado sobre la viga que lo soporta. La suma vectorial de las fuerza es igual a cero dado que el edificio se encuentra en equilibrio. |FB| = |FE| = 20 kN, | FC| = 16 kN y |FD| = 9 kN. Determinar las magnitudes de FA y FG.

Figura 8

Problema 9. El peso total de un hombre y su paracaídas es |W| = 1023 N, figura9. La fuerza D de arrastre es perpendicular a la fuerza L de sustentación. Si la suma vectorial de las tres fuerzas es igual a cero, ¿cuáles son las magnitudes de L y D?

Figura 9



7

Problema 10. El cable del globo de la figura10 ejerce una fuerza F de 800 N sobre el gancho en O. La línea vertical AB interseca en el plano x-z en el punto A. El ángulo entre el eje z y la línea OA es de 60° y el ángulo entre la línea AO y F es de 45 °. Exprese F en función de sus componentes escales ( i,j,k).

Figura 10

Problema 11. Un topógrafo midió originalmente la altura del Everest con el siguiente procedimiento. Primero midió la distancia entre los puntos A y B de igual altitud que se muestran en la figura11. Supongamos que están a 10 000 pies sobre el nivel del mar y 32 000 pies separados entre sí. Luego usó un teodolito para medir los cosenos directores del punto A a la cima P de la montaña y del punto B a P. Suponga que para rAP se obtuvieron los cosenos directores cos θ x = 0,509, cos θ y = 0,509, cos θ z =

0,694 y para rBP los cosenos directores

obtenidos fueron cos θ x = -0,605, cos θ y = 0,471 y cos θ z = 0,642. El eje z del sistema coordenado es vertical. ¿Cuál es la altura del Monte Everest sobre el nivel del mar?

Figura 11

Problema 12.La torre de 70 m de altura mostrada en la figura 12 está arriostrada por tres cables que ejercen sobre ella las fuerzas FAB, FAC y FAD sobre ella. La magnitud de cada fuerza es de 2 kN. Exprese la fuerza total ejercida sobre la torre por los tres cables en función de sus componentes escalares.

Figura 12


Vega Pérez-Gracia

TEMA 3. BINOMIO DE NEWTON Apuntes teóricos El teorema del binomio de Newton establece una fórmula general que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio:

 

( ± ) Esta fórmula general se expresa como:

   = 0 ± 1−1 + 2−22 ± 3−33 + ⋯ ±   1 −1 ± 

( ± ) Siendo:

0 = ! ( ! ) ! Algunos casos particulares son:

  2 2 + 2 + 2  (  )2 =  2 +  2  2  ( + )3 =  3 + 3  2  + 3  2 +  3 (  )3 =  3  3  2  + 3  2   3 ( + )4 =  4 + 4  3  + 9  2  2 + 4  3 +  4 (  )4 =  4  4  3  + 9  2  2  4  3 +  4 ( + ) =

… Téngase en cuenta también que no es el cuadrado de un binomio la siguiente expresión:

(

2  2)

Que se desarrolla como:

(

2  2) = (  ) ( + )

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Vega Pérez-Gracia

Problemas Problema 1. Calcule las siguientes potencias:

  3)2 = b) ( + 5)3 = c) (3  4)5 = a) (2

Resultados:

3 2  12  + 9 2 )  + 515 2  + 754  2 + 1253 23 c) 243   1620   + 4320    5760  2  3 + 3840  4  1024  5 a) 4

Problema 2. Descomponga en factores simples los siguientes polinomios:

3   b)  3 +  2  8  12 a)

Resultados:

     

a) ( + 1) ( 1) 3) ( + 2) ( + 2) b) (

Problema 3. Resuelva las siguientes integrales desarrollando los binomios: a)

 �0 ( + )3  b)

6 �−6(3 + 6)5  Resultados: a)

 +  2 +   4 + 3 2  4 4 2

b) 10 450 944

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Vega Pérez-Gracia

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Problema 4. Un anillo que puede deslizarse sobre una varilla vertical (fotografía de la figura 13) está sujeto a tres fuerzas como las que se muestran en el dibujo (figura 13). Determine: a) El valor del ángulo a para el cual la resultante de las tres fuerzas es horizontal. b) El módulo de la resultante.

Resultado:

 = 26.830 ;  = 583.5  Figura 13

Problema 5. Una barcaza es arrastrada a lo largo de un canal utilizando cuatro sogas tal como se indica en la figura 14. Si debe seguir una trayectoria rectilínea a lo largo de la vía de agua, calcule el ángulo α y la fuerza aplicada sobre cada soga si la fuerza total para desplazar la barcaza es de 380 N.

Figura 14

Resultados:

 ≅ 570  = 59.38   = 237.52   = 59.38   = 178.14   = 59.38 


Vega Pérez-Gracia

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Problema 6. Un bloque de peso 800 N está situado en equilibrio sobre un plano inclinado. Cuando sobre el mismo se aplica una fuerza de 100 N mediante un sistema de poleas, tal como se representa en la figura 15, la fuerza normal (de reacción sobre el plano inclinado) que se mide es de 600 N. Determine la inclinación del plano.

Figura 15

Resultado:

 = 34.780

Problema 7. Calcule la magnitud de la fuerza F para que la resultante aplicada sobre el apoyo de la figura 16 sea la más pequeña posible. Determine también el módulo de dicha resultante.

Figura 16 Resultado:

Fuerza necesaria para que la resultante sea mínima: Módulo de la resultante: = 0.3066





 = 18.36  Figura 17

Problema 8. Calcule el área comprendida por la curva y las rectas

 = 1 y  = 4 (figura 17).

 = 9 2

Resultado:

 = (  1)2


Vega Pérez-Gracia

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Problema 9. Simplifique al máximo la siguiente expresión:

4 + 4 3 + 3 2  4   4 2 + 3  + 2 

Resultado: ( + 2) (

  1)

Problema 10. Dados dos sistemas de coordenadas que se han desplazado el uno respecto del otro una cierta distancia, tal como se indica en la figura 18, deduzca la relación existente entre las coordenadas radiales de un punto A referidas a uno y otro sistema de referencia. Escriba la distancia r2 referida al sistema de coordenadas 2, en función de las coordenadas referidas al sistema 1 y de las distancias entre ambos sistemas de referencia. Considere conocida la distancia entre los ejes verticales y horizontales de los dos sistemas de referencia (x0 e y0) y entre los dos polos de ambos sistemas (r0).

Figura 17

Resultado:

22 = 12 + 02 + 2 (1 0 + 1 0)


Francisco Quintilla

TEMA 4. RECTAS EN 2D Y EN 3D Apuntes teóricos

Formulario de geometría plana, obtenido del libro “Manual de Fórmulas Técnicas (Giek)”

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Francisco Quintilla

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Problemas sobre rectas en 2D Problema 1. Escriba la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-3) y es paralela a la recta y=7-2x. Asimismo trace su perpendicular por dicho punto.

Problema 2. Halle la ecuación de la recta formada por los puntos que equidistan de (5,-2) y de (2,1). Asimismo encuentre el punto de dicha recta que se encuentra a menor distancia de estos.

Problema 3. Halle las rectas tangentes a la curva y =

x

2

−

4 x + 3 y que pasen por el punto (0,-5). Determine

los puntos de tangencia.

Problema 4. Escriba la ecuación de la recta que pasa por los puntos medios de los segmentos AB y CD, siendo A=(5,2), B=(3,2), C=(0,2) y D=(2,4)

Problema 5. Sean las rectas: r1: 2 x −

r2 :

1 2

2 3

3 y+

4

1 x−

r 3 : 3x +

6

0

2 y+

1 3

=

5

=

3 y+

4

=

0

0

a) Determine la distancia entre la recta r1 y r2. b) Determine el punto de corte de la recta r2 y r3, y el ángulo que forman entre ellas.


Francisco Quintilla

Apuntes teóricos

Formulario de geometría analítica del Espacio, obtenido del libro “Formulas y Tablas de Matemática Aplicada” de la Serie Schaum

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Francisco Quintilla

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Problemas sobre rectas en 3D

Problema 6. Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, −1, 5) y C(5, 5, 4), halle : a) Las ecuaciones de las medianas del triángulo. b) Las coordenadas del baricentro del triángulo. c) Las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.

Problema 7. Halle una ecuación continua de la recta que es paralela a los planos: Plano 1: x − 3y + z = 0 Plano 2: 2x − y + 3z − 5 = 0, Y pasa por el punto (2, −1, 5).

Problema 8. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos A ( 2, 3, 4) y B(8, −2, 3). Estudie si el punto C(2, 1, 3) está alineado con A y B. Si no lo estuviera, determine la recta que pasa por C y que corta a la recta definida por A y B

Problema 9. Sea el plano x+y+z= 0 y el punto P(1,2,4). Determine su punto simétrico respecto a este plano. Problema 10. Sea el plano x-2y=0. Sea la recta definida por los puntos A(1,1,1) y B(2,4,0). Determine el ángulo que forma esta recta por el plano.


Miquel Serra

TEMA 5. LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS Apuntes teóricos

Problemas Problema 1.

Problema 2.

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Problema 3.

Problema 4.

Problema 5.

Miquel Serra

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Problema 6.

Problema 7.

Miquel Serra

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Colección de problemas de repaso

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