1-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS FLU IDOS
PROBLEMA 1
Sean dos cilindros coaxiales de altura h y radios R1 y R2 (R1
2 R1 R2
2 R2
1
1R 1 R2-R 1
Ten Te nien iendo en cuenta la ley ley de veloc locida idades representada en la figu figura anterior ior su gradien iente será: dv 1R 1 2R 2 dr R 2 R1 Apli plicando cando la la le ley de Ne Newton se hal halla el el valor valor de la la tensión tensión tange tangencial ncial que actúa sobre sobre cada cada uno de los cilindros:
R R dv 1 1 2 2 dr R 2 R1
Tenien Ten iendo en cuenta que la superficie ficie sobre la que actúa esta tensión ión tangencial ial es la superficie ficie lateral del cilindro (2 (2Rh) y que el brazo de dicha tensión respecto del eje del cilindro es R y tomando momento de las tensiones que actúan sobre cada uno de los cilindros se hallan los momentos que hay que realizar sobre los cilindros interior y exterior, M 1 y M2, para que giren con velocidad angular constante. M Fuerza* brazo Superficie* * brazo M 1 2R 1h * * R 1 2R 12h M 2 2R 2h* * R 2 2R 22h
Hidráulica e Hidrología I
1R 1 2R 2 R 2 R1
1R 1 2R 2 R 2 R1
sentido horario
sentido antihorario
1
1-PROPIEDADES DE LOS FLUI FL UIDOS DOS
PROBLEMA 2
En la siguiente figura se representa un sistema formado por un cilindro de radio R1 que gira a velocidad angular 1, por un cilindro hueco cuyos radios interior y exterior son R2 y R3, respectivamente, y por un cilindro hueco de radio interior R4 que gira a velocidad angular 4. En los huecos existentes entre estos cilindros existen dos fluidos de coeficientes de viscosidad 1 y 2.
2 1 R1
R2
1
R3
4
R4
Se pide hallar la expresión de la velocidad angular, , a la que girará el cilindro interior en función de los datos del enunciado suponiéndola constante. Supóngase lineal la ley de velocidades en el fluido. Aplicar dicha expresión al caso: R1 =R, R2 =2R, R3 =3R, R4 =4R, 4 =2 1, 1 =2 2. Acepta ceptando ndo que el fluido uido es es ne newtonia wtoniano y supon suponiiendo endo que que el cil ci lindro hue hueco co inte interi rior or gira gira a velocidad angular , se aplica la ley de Newton a los dos fluidos: Fluido Fl uido 1
Fluido Fl uido 2 R2
1R1
1
R 2 1 R1 1 R 2 R1
4R 4
R3
;
2
4 R 4 R 3 2 R 4 R 3
Dado que el cilindro interior gira libremente con velocidad angular constante los momentos de las tensiones tangenciales sobre los contornos deben ser iguales. De esta forma se obtiene de forma implícita la expresión de de : 2 R 22 1 2 R 32 2
R R 3 R 2 1 R 1 1 R 22 4 4 2 R 32 R 2 R 1 R 4 R 3
Apli plicando cando esta esta expresi xpresión al al cas caso o parti particul cula ar R1 =R, R2 =2R, R3 =3R, R4 =4R, 4 21 y 1 2 2 se obtiene:
2
80 43 1
Hidrá Hi dráuli ulica ca e Hidro Hi drollogía I
1-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS FLU IDOS
PROBLEMA 3
Un fluido newtoniano se mueve por una tubería circular de radio R debido a una dif diferencia ncia de de presi presión por por unidad uni dad de longitud ongitud constante constante (dp/dx = cte). cte). De Deter termínense nense los campos de tensiones tangenciales y de velocidades en una sección y las velocidades media y máxima. (Se acepta que la ley de Newton es aplicable directamente a contornos no rectos). En la tubería se toma un volumen de control de forma cilíndrica, de radio r y longitud dx.
R
Q
p
dp dp dx dx p dx x
r dx
Puesto que el fluido se mueve en régimen permanente la aceleración es nula y por tanto también se anula la componente, en la dirección del eje de la tubería, de las fuerzas que actúan sobre el volumen de control:
F
x
dp pr 2 p dxr 2 2rdx 0 dx
Despejando se halla la ley de tensiones tangenciales y puesto que
dp >0: 0 se cumple >0: dx
1 dp r 2 dx
Apli plicando cando la la ley de de Newton ewton e integra ntegrando ndo la ley de de veloci velocida dade des: s:
dv d
1 dp dv dr rdr 2 dx v
1 dp 2 r C 4 dx
I mponi poniendo la condici condición de contorno (v =0 = 0 en en r =R = R) se obti obtien ene e el valor valor de la constan constante te de integración, C, que sustituido en la ley de velocidades resulta: v
Hidráulica e Hidrología I
1 dp 2 r R 2 4 dx 3
1-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
Integrando la ley de velocidades se obtiene la velocidad media: 1 R 1 dp 2 vmed 2 v2rdr R 8 dx R 0 La velocidad máxima se produce en r =0 y es vmax
4
1 dp 2 R 4 dx
Hidráulica e Hidrología I
1-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
PROBLEMA 4
Sea un pistón que contiene un volumen Vi compuesto por una mezcla de dos fluidos de módulos de compresibilidad K 1 y K 2, cuyos volúmenes respectivos son el 30% y del 70% del volumen inicial Vi. Se produce una variación de presión p en el sistema como consecuencia del desplazamiento del émbolo. Se pide hallar, en función de p, que proporción del volumen final de la mezcla ocupa cada uno de los dos fluidos. El volumen ocupado por cada uno de los fluidos en el instante inicial viene dado por: V1i 0.3Vi
;
V2i 0.7Vi
Recordando la ley de compresibilidad volumétrica: V V dV dp K ; pf pi K ln f ; p K ln i V Vi Vf Aplicando esta ley a cada uno de los fluidos y teniendo en cuenta que la variación de presión es la misma para los dos:
p K 1 ln
V1i V K 2 ln 2i V1f V2f
Despejando el volumen final en función de p:
V1f V1ie
p K 1
0.3* Vi * e
p K 1
;
V2f V2ie
p K 2
0.7* Vi * e
p K 2
El volumen total ocupado por la mezcla de los dos fluidos en su estado final será:
Vf V1f V2f 0.3 Vi e
p K 1
0.7 Vi e
p K 2
La proporción de volumen que ocupa cadauno delos fluidos es: V1f Vf
0.3 Vi e
0.3 Vi e
Hidráulica e Hidrología I
p K 1
p K 1
0.7 Vi e
p K 2
;
V2f Vf
0.7 Vi e
0.3 Vi e
p K 1
p K 1
0.7 Vi e
p K 2
5
1-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
PROBLEMA 5
Sea un depósito de sección transversal Sa en el que se tiene una altura Ha1 de agua. En este depósito se introduce un recipiente prismático de sección transversal Sb, altura hb y peso W, tal como se indica en la figura. Si una vez introducido el recipiente dentro del depósito el nivel en el mismo es H a2 y la base del recipiente esta a una distancia t de la superficie del agua, se pide expresar el valor del módulo de compresibilidad volumétrica del aire en función de los datos del enunciado.
Sb aire aire hb
t Vs
Ha1
agua
Ha2
Sa Al introducir el vaso en el depósito el aire que hay en su interior se comprime, a la vez que sube el nivel de agua en el depósito desde un valor Ha1 hasta Ha2. Teniendo en cuenta que el volumen de agua en el depósito se mantiene constante se puede calcular el volumen de aire Vs que está bajo el nivel del depósito: V agua =SaHa1 =SaHa2 - V s
despejando
Vs Sa (H a2 H a1)
El volumen de aire en el instante inicial V aire1 y en el instante final Vaire2 es: Vaire1 =Sb*hb
;
Vaire2 =Sb*t +V s =Sb*t +Sa*(Ha2 - Ha1)
Puesto que el vaso se mantiene en equilibrio bajo la acción del peso W y del empuje del aire en su interior, el incremento de presión del aire será: Sbp W 0
;
p
W Sb
Teniendo en cuenta la ley de compresibilidad volumétrica: W Sb p K V Sb * hb ln aire2 ln Vaire1 Sb t Sa H a2 H a1 6
Hidráulica e Hidrología I
1-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
PROBLEMA 6
Un depósito cilíndrico de acero de alta resistencia, de 10 m de longitud, 2 m de diámetro y 5 mm de espesor de acero se llena de agua hasta una presión de 20 kp/cm2. Determínese la masa de agua contenida en el depósito. K =21.000 kp/cm2 E =2.100.000 kp/cm2,
Δσ
E
ΔL
L
Se supone que el acero trabaja a la misma tensión a lo largo de su espesor. En el llenado del depósito se parte de unas condiciones iniciales de presión relativa y densidad del fluido (p0 =0 kp/cm2 y 0 =1000 kg/m3) y se llega a un estado final (pf =20 kp/cm2, f ). Para calcular el valor de la densidad final se aplica la definición de módulo de compresibilidad volumétrica del fluido, K: d dp K . Integrando: pf p0 K ln f y despejando el valor de la densidad final: 0 pf p0 K
f 0e
20 21000
1000* e
1000.95 kg/ m3
f 1 se podría haber hecho la aproximación ln f f 0 , y 0 0 0 sustituyendo en la expresión integral de la definición de K: Puesto que en este caso
20 p p pf p0 K f 0 , de donde f 1 f 0 0 1 1000 1000.95 kg/ m3 0 K 21000 La tensión que experimenta el depósito, en la dirección longitudinal, es:
2Re=R2p ; e
R
p
Rp 2e
La deformación longitudinal, según la ley de Hooke, será:
L
; E
L Rp L 0 2eE
La longitud final del cilindro será:
Hidráulica e Hidrología I
7
1-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
Rp 2* 20 * 10 10.0095 m L f L 0 L 1 L 0 1 6 2eE 2* 0.005* 2.1*10 La deformación de la sección transversal se calcula a partir de la tensión normal al plano que pasa por el eje del cilindro: 2e=R0p ; e
R
R 0p e
La deformación de la sección transversal, según la ley de Hooke, será:
p
; E
2R R 0p 2R 0 eE
El radio final del cilindro es: 2* 20 R p * 2 1.0019 m R f R 0 R 1 0 R 0 1 eE 0.005* 2.1*106 Por tanto el volumen final del depósito será: Vf R 2f L f * 1.00192 *10.0095 31.549 m3
Y la masa de agua contenida en el: M =Vf *f =31.549*1000.95 =31579.8 kg
8
Hidráulica e Hidrología I
1-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
PROBLEMA 7
Con objeto de conocer el caudal que circula por una tubería de sección A1 se construye un estrechamiento de sección A2 con dos manómetros constituidos por dos cilindros de sección transversal S, en cuyo interior hay un gas de módulo de compresibilidad K. Cuando no circula caudal alguno por la tubería la altura alcanzada por el agua es la misma en ambos manómetros e igual a ho, siendo el volumen del gas en ese caso Vo. Cuando circula un caudal por la tubería las alturas del agua en cada uno de los manómetros son h1 y h2, respectivamente. Hállese la expresión del caudal que circula por la tubería en función de los datos del enunciado. Supónganse despreciables las pérdidas de energía en el estrechamiento.
h1
h2
Q
A2
A1
P´ 1
P´ 2 h1
Q
P2
P1 A1
h2
A2
Aplicando la conservación de la energía entre las secciones 1 y 2 se cumple: 2
2
Q Q A P1 1 P2 A 2 y despejando Q 2g 2g
2P1 P2 1 1 2 2 A 2 A 1
Relacionando la presión en cada punto con la presión del gas y la altura de columna de agua: P1 P'1 h1
;
P2 P'2 h2
Teniendo en cuenta la compresibilidad del gas la variación de presión en el mismo se relaciona con los volúmenes inicial y final mediante las expresiones: P'1 K ln
Vo Vo K ln V1 Vo S(ho h1)
Hidráulica e Hidrología I
;
P'2 K ln
Vo Vo K ln V2 Vo S(ho h2 ) 9
1-PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
Puesto que P'1 P'1Po y P'2 P'2 Po , siendo Po la presión del gas cuando no circula agua por la tubería: V Sho h2 P1 P2 h1 h2 P1 P2 h1 h2 P1 P2 h1 h2 K ln o Vo Sho h1 Teniendo en cuenta la relación entre el caudal y la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2 se obtiene: V Sho h2 2K ln o h1 h2 Vo Sho h1 Q 1 1 2 2 A 2 A 1
10
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 8
El embalse de la figura, de 10 m de altura, tiene un alto contenido en sólidos en suspensión y materia orgánica, lo que lleva a que la densidad del agua no sea constante, respondiendo a la expresión lineal (z) =1000 +10 z. Se pide calcular la componente horizontal del esfuerzo sobre el paramento de la presa.
z 10m
Puesto que la densidad no es constante la ley de presiones en el fluido es: z
z
pz 0 gdz 01000 10z gdz g1000z 5z2 La componente horizontal del empuje por unidad de longitud sobre el paramento de la presa será la resultante de la ley de presiones: 10
10
F 0 pdz 0 g1000z 5z2 dz 506.3 kN / m
Hidráulica e Hidrología I
11
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 9
La compuerta triangular AB está articulada en A. Determinar la fuerza horizontal a ejercer en B para mantener el equilibrio. Se supondrá despreciable el peso de la compuerta.
1.2 m 2m A 3m
60º B
La posición de G, centro geométrico de la compuerta, y su profundidad son: 3.46 xG 2.31 3.46 m; hG =3 m 3 El área de la compuerta es A =2.076 m2.
2.31 m x 2m 3.46 m
A G 3m
C
F B P
La resultante de la ley de presiones que actúa sobre la compuerta es: F =hGA =9800*3*2.076 =61034 N La posición del centro de presiones, C, es: I yG 1.2* 3.463 / 36 xC xG 3.46 3.66 m xG A 3.46* 2.076 Tomando momentos de las fuerzas respecto del eje de la compuerta que pasa por A: P*(hB - hA) =F*(xC - xA)
12
;
P * (5 2) 61034* (3.66 2.31)
;
P =27.5 kN
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 10
En la figura adjunta se muestra el esquema del desagüe de fondo de una presa de gravedad. Éste consiste en un conducto de sección rectangular de 13 m de alto por 5 de ancho que se encuentra controlado por una compuerta en su extremo de aguas arriba.
32 m
13 m
13 m
z1 z2 z3 z4 z5
La compuerta se apoya en unas guías mediante una serie de rodamientos. Al tratarse de una compuerta de gran tamaño, y con el fin de garantizar un perfecto apoyo de todos sus rodamientos, está previsto construirla en cinco segmentos independientes que se unirán los unos con los otros mediante unas juntas de neopreno que garanticen la estanqueidad. Si se pretende que cada uno de dichos segmentos trabaje bajo el mismo empuje hidrostático cuando la compuerta se encuentre bloqueando el desagüe, determinar la altura de cada uno de los segmentos (zi). En la segunda figura se esquematiza la posición de los rodamientos para un segmento de la compuerta. Determinar para el segmento inferior el valor de y para que cada rodamiento trabaje con la misma carga.
zi
y
5% z i 5m
Las presiones en los contornos horizontales de los segmentos son: p1 =*32 p2 =*(32+z1) p3 =*(32+z1+z2) p4 =*(32+z1+z2+z3) p5 =*(32+z1+z2+z3+z4) p6 =*(32+z1+z2+z3+z4+z5) =*45
p1 p2 p3 p4 p5 p6
z1 z2 z3 z4 z5
El empuje sobre la compuerta es la resultante de la ley de presiones del fluido, que será: E
p1 p6 32 45 A *13* 5 * 2502.5 N 2 2
Puesto que el empuje es el mismo para cada sector el empuje sobre el sector i, de altura z i, es: Ei
Hidráulica e Hidrología I
E * 500.5 N 5
13
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
Teniendo en cuenta que E i
pi pi1 5zi y sustituyendo los valores de pi y pi+1, se tiene: 2
E1
p1 p2 z 5z1 32 1 5z1 500.5 ; 2 2
z1 =2.99 m
E2
p2 p3 z 5z2 32 2.99 2 5z2 500.5 ; 2 2
z2 =2.75 m
E3
p3 p4 z 5z3 32 2.99 2.75 3 5z3 500.5 ; 2 2
z3 =2.57 m
E4
p4 p5 z 5z4 32 2.99 2.75 2.57 4 5z4 500.5 ; 2 2
z4 =2.41 m
z5 =13 - z1 - z2 - z3 - z4 =2.28 m La posición de los rodamientos del sector inferior para que la carga se distribuya uniformemente se calcula tomando momentos respecto del borde inferior del sector de la ley de presiones y de los empujes en cada rodamiento. De este modo: p5A 5
p5
E 5 /2 E 5 /2 5%z5
y
p6
z5 1 z E E p6 p5 A 5 5 0.05z5 5 y 5 2 2 3 2 2
El área de la compuerta es A 5 =5z5 =11.4 m, las presiones p6 =45, p5 =42.72 y el empuje E 5 500.5 N . Sustituyendo se obtiene y =2.14 m.
14
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 11
En la siguiente figura se representa una compuerta de peso despreciable, anchura unidad y que está articulada en el punto C. Entre los puntos A y B existe un cable. Se pide determinar la fuerza ejercida por el cable en función de la altura de la lámina de agua.
Caso h
B
2h P
h A
F2
b2
F1 b1
C
Las componentes horizontal y vertical del empuje sobre la compuerta son F1 y F2, respectivamente, y sus brazos respecto del punto C son b1 y b2. El valor de estas magnitudes es: 1 h F1 h2 ; b1 ; 2 3
1 2h F2 2h2 ; b2 2 3
Tomando momentos respecto de C se deduce la fuerza ejercida por el tirante, P:
P 5 a F1b1 F2b2
;
1 2h 2h h h2 3 3 5 h3 P 2 6a a 5
Caso h >a b3
2a h
F3
h-a
h-a B
a C
F2
F1
b2
P b1
A
En este caso el valor de las componentes del empuje y sus brazos son: Hidráulica e Hidrología I
15
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
1 F1 h2 ; 2
b1
h ; 3
1 2a F2 a2a ; b2 ; 2 3
F3 h a2a ;
b3 a
Tomando momentos:
P 5 a F1b1 F2b2 F3b3 ;
16
1 2h 2a h a2 h a2a2 3 3 P 2 a 5
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 12
Sean dos depósitos A y B comunicados por un vertedero de forma triangular. Para cerrar dicho vertedero se coloca un cono, representado en la figura siguiente. Si en el depósito A se tienen dos fluidos no miscibles de densidades relativas 0.8 y 1.5 y en el depósito B se tiene un fluido de densidad relativa 1.5, calcular las componentes horizontal y vertical del empuje ejercido sobre el cono.
La componente vertical del empuje sobre el cono es igual al peso del volumen de fluido sombreado en la figura siguiente y que se compone de un cono de 0.5 m de altura, de densidad2 y de volumen V 2, y medio tronco de cono de altura 0.7 m, densidad 1 y volumen V 1. 1 V2 0.252 0.5 3.27*102 m3 3
V1
1 1 V1 * * 0.62 *1.2 V2 0.209 m3 2 3
V2
E v r1V1 r2V2 2124.9 N La componente horizontal del empuje es la resultante de la ley de presiones sobre la proyección del cono, que tiene forma triangular. La presión del fluido del depósito B se anula con la componente triangular de la ley de presiones del fluido de densidad 2 existente en el depósito A, por lo que la superficie S3 estará sometido a una presión constante de valor 0.71. G
G2
G2 G1 S2
S1 S3
La profundidad de los centros geométricos de las superficies S1 y S2, y el área de dichas superficies son: hG1 =0.35 m; A 1 =0.5*0.7 =0.35 m2; hG2 =0.7/3 m; A2 =0.5*0.35*0.7 =0.1225 m2.
Hidráulica e Hidrología I
17
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
La profundidad del centro geométrico del trapecio formado por la suma del rectángulo S1 y de los dos triángulos S2 tiene el centro geométrico a la profundidad: hGtrapecio
hG1 A 1 2 hG2 A 2 0.302 m A 1 2A 2
El empuje sobre el trapecio viene dado por la expresión: E trapecio r1hGtranpecio A 1 2A 2 9800* 0.8* 0.302* 0.595 1408.6N El empuje sobre el triángulo S3 sobre el que actúa una presión constante es: 1 E triángulo p* A triángulo r1 * 0.7* A triángulo 9800 0.8 0.7 * 0.5* 0.5 686 N 2 La componente horizontal del empuje sobre el cono será por tanto: E h E trapecio E triángulo 2094.6N
18
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 13
Una compuerta de clapeta de 10 m de radio, 20 m de longitud y 14 m de altura está articulada en A. El centro de la compuerta esta 5 m por encima de A. ¿Qué fuerza vertical, F , hay que aplicar sobre el punto B para que la compuerta esté en equilibrio?.
F B h 2=9 m
R h=14 m C
R
F
S2
B R 2
h2
S1
3 C
1
h=14 m
h1=5 m A
R =10 m L =20 m h1 =5 m; h2 =9 m 1 30º 3 2 64.15º
h1
R A
Las superficies S1 y S2 se pueden calcular por consideraciones geométricas: S1
(1 3 ) 2 1 1 R 2h1R cos1 *102 * 2* 5 10 cos30º 9.03 m2 2 2 6 2
1 1 S2 h2 * R * cos 3 * h1 * R * cos 3 * h2 * R * cos 2 2 3 R 2 2 2 2 1 1 34.15 9 10 cos30º 510 cos30º 9 10 cos64.15º 102 6.88 m2 2 2 360 La componente vertical del empuje es el peso de la columna de agua S1-S2, de donde: E v S1 S2 L 9800 (9.03 6.88) 20 4.208*105 N
(sentido ascendente)
La componente horizontal del empuje es igual al empuje sobre un plano vertical de 14 m de altura: 1 1 E h 142 L 9800 142 20 19.208*106 N 2 2
Hidráulica e Hidrología I
19
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
Igualando a cero el momento del empuje (Eh, Ev) (que pasa por C) y de la fuerza F (aplicada en B) respecto del punto A se obtiene el valor de la fuerza F que hace que la compuerta esté en equilibrio: R * (cos 3 cos 2 ) * F R * cos1 * E v h1 * E h 10* (cos30 cos64.15) * F 10* cos30* 4.208*105 5*19.208* 106 F =21.486*106 N
20
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 14
En la figura siguiente se representa un depósito que contiene dos fluidos no miscibles de densidades 1 y 2. En la parte inferior del depósito existe una compuerta AB, con forma de segmento cir cular de radio L, centro C y longitud 3L. Esta compuerta está articulada en A. Se pide: Calcular el valor de las componentes horizontal y vertical del empuje. Calcular la fuerza que tiene que realizar un tirante colocado entre los puntos B y C para evitar la apertura de la compuerta
1
L
2
L
B
A C
La ley de presiones en el fluido de peso específico 2 tiene un término constante de valor 1L y otro término variable con la profundidad, tal como se ha representado en la figura:
V1
1 1L
B V2
2 A C
1L+2 L
La componente horizontal del empuje es la resultante de la ley de presiones: 1 E H 3L21L 2L 3L2 1 2 3L3 2 2 La componente vertical del empuje es el peso de los volúmenes V1 y V 2. 2 L2 1 2 E H 13L 2 3L L 1 3L3 4 4 3
Puesto que la compuerta tiene sección circular la resultante del empuje pasa por el punto C. Tomando momento en A de la fuerza F del tirante entre B y C y de las componentes del empuje, que pasa por C, se tiene que se cumple F E v . Hidráulica e Hidrología I
21
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 15
El octante de esfera de 0.6 m de radio de la figura está sumergido bajo 2 m de agua. Determinar la resultante de las presiones sobre su superficie y su línea de aplicación.
z h=2m 0.6 m y x
La componente vertical del empuje es igual al peso del fluido que hay encima del octante. El volumen de fluido sobre el octante se calcula como el volumen de un prisma, de altura h y que tiene como base un cuarto de circulo, menos el volumen del octante. R 2 1 4 3 Fz h R 4433.4 N 4 8 3 Las componentes x e y del empuje son iguales al empuje sobre un cuarto de circulo, proyección del octante de esfera. La profundidad del centro geométrico del cuarto de circulo es h componentes x,y del empuje son:
4R . Por tanto las 3
4R R 2 4* 0.6 * 0.62 Fx Fy h 2 4836.17 N 3 4 3 4 Las componentes Fx, Fy también se pueden hallar integrando la ley de presiones: p =(h-z) z =Rcos dz =-Rsend R
y=Rsen R
z=Rcos
0
4* 0.6 * 0.62 Fx pydz h R cosRsen Rsend 2 4836.17 N 3 4 0 /2 Por tanto la fuerza sobre el octante de esfera será F =-4836.17 i- 4836.17 j-4433.41 k (N) y pasa por el centro de la misma, ya que todas las presiones son normales a la superficie y por tanto pasan por el centro de la esfera. 22
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 16
El cilindro de la figura tiene de radio R =0.5 m. Si no existe rozamiento con la pared y el fluido es agua se pide determinar la densidad del cilindro para que esté en equilibrio.
Si no existe rozamiento la componente vertical del empuje ejercido sobre el cilindro por el fluido tendrá el mismo valor que el peso del cilindro. La componente vertical de la resultante de la ley de presiones sobre las mitades superior, E1, e inferior, E2, del cilindro son el peso de los volúmenes de fluido sombreados en la siguiente figura: E2
E1
E
=
+
La componente vertical del empuje sobre el cilindro será, en función de la longitud del cilindro, L y de la densidad del fluido, : 3 E R 2 R 2 gL 4 Igualando el empuje con el peso del cilindro: 3 R 2 R 2 gL gR 2L c 4 Resulta por tanto: 3 1 c 1068.5kg / m3 4
Hidráulica e Hidrología I
23
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 17
En la figura se representa un tapón formado por dos conos de semiángulo 30º y base de diámetro 2a, que cierra un orificio de diámetro a. Se pide hallar la altura de agua h que hace máximo el empuje sobre el tapón.
3 a
h a
3 a
2a
a 2
a 2
1 3 3 a h 3 2
3 3 a h 2
a 3 a 2 3 a 2
h
h
3 a 2
3 a 2
El empuje vertical ascendente sobre el cono inferior es el peso del volumen sombreado en la figura izquierda, que viene dado por: 1 1 a V1 a2 3a 3 3 2
2
3 a 2 3 2 a2 a a a h 3 a 3 a2h 5 a3 4 2 4 8 3 2 2 2
El empuje vertical descendente sobre el cono superior es el peso del volumen sombreado en la figura derecha, que viene dado por: 3 1 1 3 V2 a2 h a 3 a h 2 3 3 2
2
3 3 a h 1 a2 3a 2 3
El empuje vertical ascendente sobre el tapón viene dado por:
24
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
E 1 15 3 3 V1 V2 a2h 3a3 a h 4 24 9 2
3
La altura de agua, h, que hace máximo el empuje sobre el tapón se obtiene igualando a cero la derivada de E respecto de h. 2
1 E 1 3 3 a2 a h 0 h 4 3 2 y despejando: h 3a
Hidráulica e Hidrología I
25
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 18
La pieza de la figura tiene un área S =1 m2, un volumen V =80 litros y una masa m = 300 Kg. Determinar el diámetro del globo esférico, supuesto sin masa, que logrará levantar la pieza en los siguientes casos:
H =3 m
Contacto rugoso con subpresión. Contacto perfecto sin subpresión.
h
Puesto que S =1 m2 y V =0.08 m3 la altura h de la pieza será h
V 0.08 m S
Contacto rugoso con subpresión Estableciendo el equilibrio de fuerzas sobre la pieza se tiene: E mg HS H hS mg hS mg V 300* 9.8 9800* 0.08 2156 N
E
(H-h)S mg
S
El volumen y el diámetro del globo, V G y d, respectivamente, serán: VG
E 2156 0.22 m3 ; 9800
d =0.75 m
Contacto liso Estableciendo el equilibrio de fuerzas sobre la pieza se tiene: E mg H hS 300* 9.8 9800* (3 0.08) *1 31556 N
E
(H-h)S mg
El volumen, VG, y el diámetro, d, del globo serán: VG
26
E 31556 3.22 m3 9800
d =1.83 m
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 19
Con objeto de conocer el caudal que circula por una tubería de diámetro D se colocan un piezómetro y un tubo de Pitot. El tubo de Pitot está conectado a un recinto formado por dos prismas de sección cuadrada de lado a delimitado por dos émbolos móviles que encierran un fluido de volumen V1 = 4a3 y densidad relativa r1 = 1.3. El piezómetro está conectado a un recinto formado por dos prismas de sección cuadrada de lado 2a delimitado por dos émbolos móviles que encierran un fluido de volumen V3 =16a3 y densidad relativa r3 =0.7. En el espacio existente entre ambas cámaras hay un
volumen V2 = 5a3 de un fluido de densidad relativa r2 =1. a a
V1 r1
3a
2a
2a
V2 r2
V3 r3
2a
x 5a
4.5a Q
Hállese la expresión del caudal Q que circula por la tubería en función de x. A efectos de la resolución se considerarán los puntos a, b1, b2 y c. Puesto que el fluido de volumen V 1 =4a3 cabe en un prisma de base cuadrada de lado a y altura 4a, un desplazamiento x’ hacia la izquierda del embolo que lo delimita por la derecha supone un desplazamiento x’ hacia abajo del otro émbolo. Esto mismo es aplicable al fluido de volumen V3.
b1
b2
x´ x´ x
a
Q
x
c
El fluido de volumen V 2 ocupa una zona de longitud x en el prisma de lado 2a y otra zona de longitud x’ en el prisma de lado a, siendo V 2 conocido e igual a 5a3, por lo que se puede expresar x’ en función de x: V2 5a3 a2x 4a2x
despejando
x 5a 4x
Teniendo en cuenta la distribución de presiones hidrostática: Pb1 Pa 5a x w 0.5a x1.3 w Pa 7.15a 1.2x w Pb2 Pc 4.5a x w a x 0.7 w Pc 5.2a 0.3x w Como el fluido de densidad 2 está en equilibrio se tiene que cumplir que Pb1 =Pb2, de modo que: Hidráulica e Hidrología I
27
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
Pa Pc 0.9x 1.95a w La diferencia de presiones entre el tubo de Pitot y el piezómetro cumple que: Pa Pc v2 w 2g Por tanto, v 2g
Pa Pc 2g 0.9x 1.95a y el caudal que circula por la tubería será w Q S 2g 0.9x 1.95a
28
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 20
Para cruzar un río se tiene que construir una balsa. Para ello se dispone de dos flotadores prismáticos de sección cuadrada, de lado 1.5d y d, respectivamente y de altura h, sobre los cuales seapoya un tablero dedimensiones L*h. ¿Cuál es la carga máxima que se puede transportar en la balsa y donde ha de estar su centro de gravedad para que el tablero permanezca horizontal y a una distancia s de la superficie del agua? ¿A qué altura sobre el tablero puede elevarse el centro de gravedad de la carga sin que peligre la estabilidad de la balsa? Datos: h =4m; L =7m; s =0.3 m; d =1m Supónganse despreciables las masas de los flotadores y del tablero.
Teniendo en cuenta que el resguardo es de 0.3 m el volumen sumergido y el empuje en cada flotador es: x
V 1 =1.5*1.2*4 =7.2 m3 V 2 =0.7*1*4 =2.8 m3 E1 =V1 =70.6*103 N E2 =V2 =27.44*103 N
P 0.3 m
z
E1
E2 1.2 m 1m
1.5 m
El peso total que puede transportar la balsa será pues la suma de los empujes ejercidos: P =E1 +E2 =98000 N Tomando como coordenadas las indicadas en la figura la posición del centro de carena es:
Hidráulica e Hidrología I
xc
7.2 0.75 2.8 6.5 2.36 m 7.2 2.8
zc
7.2 0.9 2.8 0.65 0.83 m 7.2 2.8 29
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
La posición del centro geométrico del área de flotación es:
4* 1 * 6.5 4*1.5 * 0.75
x0
4 6
3.05 m
y los momentos principales de inercia de esta área respecto del centro geométrico es: I xo I yo
1 1 1 43 43 1.5 13.33 m4 12 12
1 1 4 13 4 1 3.452 4 1.53 4 1.5 2.32 80.8 m4 12 12 1.5
y
1 4m x
O
xo
7-xo
Por tanto el eje más desfavorable para la estabilidad de la flotación es el eje xo y la posición del metacentro correspondiente a este eje es: V =V 1 +V2 =7.2 +2.8 =10 m3 C
I 13.33 1.33 m V 10
La condición de estabilidad será: CG C ; t zc C ; t +0.83 <1.33; t <0.5 m Por lo que la altura máxima del centro de gravedad de la carga sobre el tablero es de 0.5 m.
30
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 21
En un puerto deportivo se pretende construir una pasarela flotante para acceso a las embarcaciones. Dicha pasarela esta apoyada sobre unos flotadores continuos. Si la carga de cálculo de la pasarela P es de 250 kp/m, se pide determinar con cual de los flotadores siguientes lograremos una mayor estabilidad frente al vuelco. Deberá justificarse la solución mediante las operaciones y razonamientos necesarios. Acotaciones en metros.
El área sumergida para todos los casos, independientemente de la forma del flotador es: As
P 0.25 m2 / m
Caso 1: flotador de sección rectangular
C
h
As =1.5*h; h =0.167 m 1 I 1.53 0.24 m4 / m 12 I 0.24 C 1.125 m A s 0.25
Caso 2: flotador de sección trapezoidal
4 h As h ; h =0.129 m; x =1.87 m 2 1 I x3 0.546 m4 / m 12 I 0.546 C 2.18 m A s 0.25
1
x=2-h h
Caso 3: flotador de sección circular
x h
El metacentro coincide con el centro del circulo, ya que por definición es el punto en el que se cortan los empujes cuando se produce un giro infinitesimal.
Por tanto, analizando la posición del metacentro respecto de la base de la plataforma de la pasarela el flotador más estable es el que tiene forma de trapecio y el menos estable es el círculo. Hidráulica e Hidrología I
31
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 22
En la figura se observa la sección transversal de una estructura de 7 m de longitud que se va a utilizar en la construcción de un muelle portuario. Para realizar el traslado de esta pieza desde la planta de fabricación se va a remolcar hasta el lugar donde se desea fondear. Se desea conocer si la flotación de esta pieza es estable o inestable. Para ello se pide calcular la posición del centro de gravedad, del centro de carena y del metacentro. Se contempla la posibilidad de lastrar esta estructura con una losa de hormigón de dimensiones 2.8 x 0.05 x 7m y que se apoya sobre la pieza horizontal. El peso específico de esta losa es de 25 kN/m3. Calcúlense las posiciones del centro de gravedad, centro de carena y metacentro en este caso y determinar en cual de los casos la estructura estará en mejores condiciones de estabilidad frente al vuelco. 0.10 m
0.10 m
2.80 m
2.00 m
1
1
2
0.10 m
Dimensiones en metros Densidades de las partes de la estructura: 1 =800 kg/m3, Densidad relativa del agua del mar: r =1.035
A1
ys
y
A1
3 2 =200 kg/m .
Las áreas y coordenadas de los centros de gravedad de cada pieza de la estructura son: A1 =0.2 m2 ; yG1 =1.1 m A 2 =0.3 m2 ; yG1 =0.05 m A h =0.14 m2 ; yGh =0.125 m
Ah A2
Sin losa de hormigón
La masa de la estructura sin lastrar (por unidad de longitud) y la altura del centro de gravedad es: M 2A 11 A 2 2 380 kg/ m
M y i
yG 32
i
M
Gi
2A 1yG11 A 2yG2 2 M
0.934 m Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
Aplicando el teorema de Arquímedes se halla el área sumergida, A s: As
M 380 0.367 m2 1035
La coordenada y de la superficie del agua, ys, se calcula a partir de la expresión: A s =A2 +0.2*(ys-0.1) sustituyendo ys =0.436 m La coordenada y del centro de carena, yc, es: y 0.1 A 2yG2 0.2ys 0.1 0.1 s 2 yc 8.99*10 2 m As Para calcular la estabilidad de la flotación se calculará la posición del metacentro y se comprobará si está por encima del centro de gravedad de la estructura. El momento de inercia del área de flotación respecto del eje más desfavorable es: 1 I x 2 0.13 7 1.452 7 0.1 2.94 m4 12 La distancia entre el metacentro y el centro de carena será: C
Área de flotación
Ix 2.94 1.146 m Vc 0.367 7
x
La coordenada del metacentro es por lo tanto: y yc C 1.236 m
1.45 m
Como el metacentro está por encima del centro de gravedad (yG=0.934m), la flotación es estable, siendo la distancia entre ambos: G 1.236 0.934 0.302 m Con losa de hormigón
La densidad del hormigón es h
25 2551 kg/ m3 y la masa de la losa: 9.8
M h h A h 2551 0.14 357.14 kg/ m
Hidráulica e Hidrología I
33
2-HIDROSTÁTICA Y FLOTACIÓN
La posición del CDG de la estructura y su área sumergida es: yG
380 0.934 357.14 0.125 0.542 m 380 357.14
As
M 380 357.14 0.712 m2 / m 1035
Conociendo As se puede hallar el calado de la estructura: 0.712 =3*0.15 +0.2*(ys – 0.15)
;
ys =1.46 m
La posición del centro deCarena viene dada por: y 0.1 A 2yG2 A h yGh 0.2ys 0.1 0.1 s 2 yc As 1.36 0.3 0.05 0.14 0.125 0.2 1.36 0.1 2 yc 0.343 m 0.712 La distancia del metacentro al centro de carena y la coordenada del metacentro son C
Ix 2.94 0.59m ; Vc 0.712 7
y yc C 0.934 m
Puesto que la distancia entre el CDG y el metacentro es mayor en esta caso, la flotación será más estable: G 0.934 0.542 0.392 m 0.302 m
34
Hidráulica e Hidrología I
2-HIDROESTÁTICA Y FLOTACIÓN
PROBLEMA 23
Para salir de una isla desierta, unos náufragos quieren hacer una balsa con 4 piezas de madera de 5 m de longitud y sección cuadrada de 0.5 m de lado, cuya masa unitaria es de 1000 kg. Sobre la estructura definida por las piezas se pondrá un suelo de cañas, de 100 kg de masa. Se debe transportar comida y otros útiles, con 100 kg de masa, un cobertizo para guarecerse del sol, con 300 kg de masa, y un mástil con una bandera para ser localizados por algún barco de rescate, de 100 kg de masa. Se pide:
Definir cuál es la disposición más estable de las piezas que formarán la estructura de la balsa. Definir cuántos náufragos pueden subir sin mojarse los pies si cada náufrago tiene 70 kg de masa. Definir, para la balsa construida según el esquema definido y con el número de náufragos calculados en el segundo apartado, cuál es la altura metacéntrica respecto del centro de gravedad, para eje más desfavorable. Cotas de los centros de gravedad de cada elemento respecto del suelo de la barca: Piezas estructurales Suelo Personas Cabaña Alimentos Mástil
-0.25 0 0.8 1 0.2 2
La configuración más estable de la balsa, aquella que da lugar a un metacentro más alto, se produce cuando las piezas se colocan de modo que el momento de inercia de la superficie de flotación, respecto de un eje que pase por su centro geométrico es el máximo posible. Esta configuración se produce con los flotadores en la posición representada en la figura.
5.5 m
5.5 m
La masa dela balsa y de los artículos que debe contener es: M =mflotadores +msuelo +mcomida +mcobertizo +mbandera=4600 kg El volumen de los cuatro flotadores es V =4*(5*0.52) =5m3. El número de náufragos que puede transportar la balsa se halla imponiendo que el máximo empuje posible (flotadores completamente sumergidos) sea mayor al peso. Es decir: Emax >P
;
Hidráulica e Hidrología I
V g >(M +mnáufragos)g
;
5*103 >(4600 +n*70) ; n <5.7 35
