Elasticidad y Resistencia de Materiales II Escuela Politécnica Superior de Jaén Relación de Problemas 1: Elasticidad
UNIVERSIDAD DE J AÉN Departamento de Ingeniería Mecánica y Minera Mecánica de Medios Continuos Continuos y Teoría de Estructuras Estructuras
Curso 2012/2013
Problema 1:
Dado el siguiente tensor de tensiones en un sistema xyz, se pide: 1. 2.
Tensiones principales y direcciones principales. Componentes intrínsecas y referidas a un plano cuya normal está en el plano xy y es bisectriz entre estos ejes. x’y’z’ de forma que 3. Expresión del Tensor de Tensiones en un sistema x’y’z’ x x’ y = 30º
̂
Problema 2:
√ √ √
En un punto P de un sólido elástico la matriz de tensiones referida a los ejes xyz es:
1.
2. 3. 4.
[ ]
Calcular en el punto P el vector tensión correspondiente a un plano cuya normal está definida por un vector que forma ángulos iguales de 45º con los ejes x e y, siendo positivas sus componentes. Calcular las tensiones principales. Calcular la tensión tangencial máxima. Determinar el tensor esférico y el desviador.
Problema 3:
Las tensiones principales en un punto de un sólido elástico, referidas a un sistema cartesiano xyz y expresadas en MPa son:
⁄⁄ ] ⃗ [ ] ⃗ [ ⁄ ] ⁄ ⃗ [ ⁄ ⁄
Calcular el vector tensión octaédrico en los ejes xyz Problema 4:
Se miden la tensión en un punto, dando como resultado
4 0 0
0 1 2
2 0 0
se desea conocer:
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a) Dirección en la que el sólido en este punto está sometido a una tensión normal máxima. b) Encontrar el ángulo que forma el plano en el que actua el siguiente vector de tensión:
3 1 2
c) Considerar todos los planos en los que σ=0 y determinar de todos ellos en cual es máxima. Problema 5:
[ ]
Dado en un punto el tensor de tensiones
Se pide: 1. Las componentes intrínsecas del vector tensión en un plano genérico cuya normal está contenida en el plano definido por el eje z y la bisectriz de x e y 2. El vector tensión y sus componentes intrínsecas sobre un plano cuyo vector unitario normal sea:
3. 4.
⁄ √ ⁄⁄√ √
El tensor de tensiones en unos ejes cuyo x’ coincida con la bisectriz de x e y, el y’ con la normal al plano definida en el apartado (1) y z’ con z. Planos en los que no existe tensión normal, y determinar en ellos la tensión tangencial.
Problema 6:
[ ]
Dado el tensor de tensiones
Determinar: 1. Calcular las tensiones principales. 2. Plano sobre el que actúan las tensiones =3 y =3 3. Considérense todos los planos en que =2. Calcúlese en cuál de ellos es máxima la tensión tangencial y el valor de dicha tensión tangencial. 4. Determinar el tensor esférico y el desviador en el sistema de referencia original y en el principal. Problema 7:
Sobre las caras de un paralelepípedo elemental que envuelve a un punto de un sólido elástico existen las tensiones indicadas en la Figura, estando expresadas en MPa. Se pide: 1. 2.
Calcular las tensiones y direcciones principales. Obtener las componentes intrínsecas del vector tensión correspondiente a un plano cuya normal forma ángulos iguales con los ejes cartesianos xyz. 10 40 20 20 20 10
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Problema 8:
Las aristas de un prisma recto miden AB= 450 mm y BC = BD =200 mm. Está sometido a una tracción vertical y uniforme de 10 MPa. En las caras CDBH y su opuesta, actuan compresiones que varían linealmente con la altura, siendo nulas en BC y tomando el valor de 20 MPa en DH. Además en las caras ABCJ y ABDK y opuestas hay tensiones tangenciales uniformes de valor = 6 MPa. 10 MPa
z C
J
A
J
A
B 6 MPa
α
O H L 20 MPa
D
20 MPa
K
K 10 MPa
Suponiendo que el tensor de tensiones en el sistema Oxyz viene dado por: a) b) c)
x
Comprobar que dicho tensor de tensiones cumple las condiciones de contorno. Valor de las tensiones principales y direcciones principales en el centro del prisma (punto O) Si por el centro del prisma se traza un plano con una dirección paralela a AJ, se pide: el valor del ángulo α para que el vector tensión tenga componente normal igual a cero.
Problema 9:
Se conoce el campo de desplazamientos en el centro geométrico de una pi eza
-4
-1
Estando expresadas las coordenadas en metros y siendo a una constante a = 10 m . Se pide: 1. Calcular la matriz de deformaciones en el entorno del punto P(1,-3,2) 2. Calcular la matriz de giro en el mismo punto. 3. Calcular la matriz de tensiones en el mismo punto. 4. Calcular las tensiones principales y las direcciones principales de tensión en dicho punto. 5. Calcular la tensión octaédrica, y la dirección de la misma referida a los ejes x,y,z. Problema 10:
[]
Sea un campo de desplazamientos:
Estando expresadas las coordenadas en metros y siendo a una constante a = 10 -4 m-1. Se pide: 1. Calcular el tensor de pequeñas deformaciones 2. Obtener el incremento de longitud de un segmento dz en el punto (1,1,1) y el ángulo formado por dx y dy después de la deformación. Problema 11:
Sea un campo de desplazamientos:
Estando expresadas las coordenadas en metros y siendo a una constante a = 10 -4 m-1. Se pide: 1. Calcular la matriz de deformaciones en el entorno del punto P(2,1,-3/2) 2. Calcular la matriz de giro en el mismo punto.
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Problema 12:
La matriz de deformación en un punto de un sólido elástico, referida a un sistema cartesiano ortogonal xyz es:
[ ]
Siendo a una contante. Se pide: Hallar las deformaciones y direcciones principales. Calcular la deformación longitudinal unitaria correspondiente a la dirección que forma ángulos de 45º y 60º con los ejes x e y, respectivamente. Problema 13:
En un punto de un sólido homogéneo e isótropo de constantes E= 2,1 10 5 MPa y =0.3, existen un campo de tensiones definido por:
1. 2.
Determinar el tensor de deformaciones en el mismo sistema de referencia Deformación normal y tangencial en un plano cuya normal en el sistema de referencia principal viene dada por:
⁄ ⁄√ ⁄
Problema 14:
Consideremos una pieza cilíndrica de revolución de eje Z, de altura H y radio R, de un material elástico, homogéneo e isótropo, de constantes E y . La pieza está sometida a una serie de solicitaciones, tales que el campo de desplazamientos viene dado por:
Z
Y
Se pide: 1. El tensor de deformaciones y la matriz de giro. 2. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la deformación normal y donde se producen? 3. Valor de la deformación tangencial máxima y en que plano se produce. 4. Calcular la dilatación cúbica unitaria. 5. Calcular la resultante de fuerzas y momentos que actúa en las caras superior e inferior. ¿Cuáles serían la condiciones de contorno en tensiones en la superficie lateral del cilindro?
X
Problema 15:
Una placa rectangular a x b = 50 x 25 cm de espesor constante, se le somete a un sistema exterior de fuerzas presentando un estado tensional tal que las tensiones principales tienen en todos sus puntos los valores:
Las direcciones principales son respectivamente la de los lados de la placa y perpendicular a la misma. Conocido el módulo de elasticidad (2·10 5 MPa) y el coeficiente de Poisson (0,3), calcular: 1. La variación del área de la placa. 2. La deformación unitaria del espesor.
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