circuits analogiques -problemes et corriges-.pdf

Enseignements E.E.A. Electronique analogique

P r o b lè m e s e t c o r r ig é s

année 2010 par Sylvain Géronimi

Université Paul Sabatier

Electronique analogique – Problèmes et corrigés

TABLE DES PROBLEMES

Partie 1 Rappel sur la théorie des circuits Mise en équations et théorèmes fondamentaux Réponse d’un circuit RL Corrélation entre temps de montée et fréquence de coupure d’un circuit RC Sonde passive d’oscilloscope Caractérisation d’un quadripôle Sensibilité d’un pont de Wheatstone

3-4 5-8 9-10 11-12 13-15 16-17

Polarisation d’un transistor Dispersion des caractéristiques d’un JFET Polarisation d’un JBT par diverses topologies Stabilisation par résistance d’émetteur

18-20 21-22 23-26

Caractérisation d’un étage Etage déphaseur à JBT Etage source commune Etage collecteur commun chargé par un miroir de courant Etage différentiel à JBT Etage différentiel à JFET

27-30 31-33 34-36 37-39 40-42

Réponse en fréquence Réponse en fréquence d’un étage émetteur commun Réponse en fréquence d’un étage base commune Réponse en fréquence d’un étage collecteur commun Comparaison des performances des montages fondamentaux à JBT Réponse en fréquence d’un étage pseudo émetteur commun Réponse en fréquence d’un étage source commune Réponse en fréquence d’un étage pseudo-source commune Réponse en fréquence d’un montage cascode Réponse en fréquence d’un montage émetteur commun collecteur commun

43-50 51-55 56-59 60 61-64 65-70 71-74 75-78 80-86

Eléments de circuits intégrés Miroir de courant élémentaire pour polarisation d’étage Miroir de courant élémentaire pour transfert dynamique Source de courant simple à JFET pour polarisation d’étage Source de courant à gain pour polarisation d’étage Source de Wilson pour transfert dynamique Source de Widlar en répétiteur de courant pour polarisation d’étages Multiplicateur de VBE Réalisation d’une opération arithmétique complexe (1 et 2) Conception d’un buffer Etage différentiel à charges asymétriques Etage différentiel à charges actives (partie 1) Etage de tension (partie 2) Etage différentiel cascode à charges actives (miroir)

87-88 89-90 91 92-93 94-96 97-98 99-100 101-102 103-109 110-112 113-119 120-124 125-133

Partie 2 Amplificateurs idéaux Intégrateur de tension différentielle Convertisseurs d’impédance Amplificateur d’instrumentation amélioré Amplificateur d’instrumentation INA 114 Amplificateurs logarithmiques et exponentiels Multiplicateur / diviseur Amplificateurs à conductance de transfert Voir aussi « Le filtrage analogique »

Sylvain Géronimi

Page 1

134 135-136 137-139 140 141-142 143-144 145-148

Tables des problèmes



Filtrage analogique Filtre passe-bas à deux suiveurs de tension Filtre passe-bas à contre-réaction multiple (structure de Rauch) Filtre passe-bas à source contrôlée (structure Sallen-Key) Conception d’un filtre passe-haut Butterworth d’ordre 4 Filtre passe-bande à contre-réaction multiple (structure de Rauch) à sensibilité améliorée Filtre passe-bande à INIC Filtre passe-tout (déphaseur pur) du premier ordre Filtre passe-tout (déphaseur pur) du second ordre Filtre réjecteur à deux amplificateurs de tension Filtre réjecteur à variable d’état Filtre universel

149-151 152-156 157-162 163-166 167-169 170-172 173-174 175-177 178-180 181-183 184-187

Oscillateurs sinusoïdaux Oscillateur triphasé Oscillateur à pont RLC Oscillateur à pont RLC avec potentiomètre Oscillateur à pont de Wien Oscillateur Colpitts Oscillateur Colpitts (variante) Oscillateur Clapp VCO à JFET source commune VCO à JFET drain commun

188 189-190 191-192 193-196 197-201 202 203 204-207 208-210

Régulateurs de tension Principe de stabilisation par diode zener Circuits de stabilisation d’une tension par référence zener Régulateur de tension 15 V / 2 A

211-213 214-221 222-223

Amplificateurs de puissance Etage de puissance push-pull série avec sources de Widlar Etage suiveur piloté par un amplificateur de tension intégré et contre-réaction Etage de puissance push-pull série en pont

224-229 230-235 236-240

Partie 3 Quelques structures de circuits intégrés Amplificateur de tension LM 741 simplifié Amplificateur de tension TL071 (technologie BiFet) Amplificateur Norton LM 359 et applications Amplificateur à conductance de transfert LM 13600 et application Buffer et amplificateur à conductance de transfert OPA 660 et applications Amplificateur à contre réaction de courant LT1223 et application Comparateur LM 139 PLL analogique NE 565 et applications

241-257 258-264 265-276 277-284 285-395 296-306 307-312 313-337

Modèles de composants associés aux différents régimes (diode, JBT, JFET) Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel symétrique Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un circuit complexe Méthode de travail pour l’analyse en fréquence (approximation du pôle dominant) Transformation de schéma par application du théorème de Miller Bibliographie, symboles, notations

338-342 343-344 344-345 346-347 348-349 350

Annexes

Sylvain Géronimi

Page 2

Tables des problèmes



Mise en équations et théorèmes fondamentaux Diviseur de tension R1

VE

R2

VS

R3

Exprimez la tension VS en fonction de VE , R1, R2 , R3 .

Diviseur de courant I

I2 R1

R2

V

R3

Exprimez le courant I 2 en fonction de I, R1, R 2 , R3 .

Application du théorème de Millman R1

V1

I

10 V

R2

R

10 V

30

5

Evaluez le courant I.

Application du théorème de Thévenin et de superposition R1

R3

I V

R2

Donnez le générateur de Thévenin équivalent au dipôle.

Sylvain Géronimi

Page 3

Rappel sur la théorie des circuits



Corrigé Diviseur de tension ⎧VE = (R1 + R2 + R3 )I ⎨ ⎩VS = R 2 I

⇒ VS =

R2 VE R1 + R2 + R3

Diviseur de courant V V V ⎧ ⎪I = R + R + R ⎪ 1 2 3 ⎨ V ⎪I = ⎪⎩ 2 R2

1 R2 ⇒ I2 = I 1 1 1 + + R1 R2 R3

Application du théorème de Millman V R1 Calcul du potentiel de nœud : V1 = 1 1 1 + + R1 R2 R3

1 V1 R = V ( I = 0 .6 A ) ⇒ I= 1 1 1 R + + R1 R2 R

Application du théorème de Thévenin et de superposition

La présence des deux sources indépendantes V et I invite à utiliser le théorème de superposition pour le calcul de la tension de Thévenin VTh (tension à vide du dipôle). Ce calcul s’effectue donc en deux étapes : 1ère étape : extinction de la source de courant ( I = 0 , circuit ouvert) VTh1 =

R2 V. R1 + R2

2ème étape : extinction de la source de tension ( V = 0 , court-circuit) VTh2 =

R1 R2 I. R1 + R2

d’où la superposition VTh = VTh1 + VTh2 =

R2 R R V+ 1 2 I. R1 + R2 R1 + R2

La résistance du dipôle se calcule en éteignant les deux sources indépendantes, ce qui donne R R RTh = 1 2 + R3 . R1 + R2

Sylvain Géronimi

Page 4




Réponse temporelle d’un circuit RL Soit le circuit RL avec condition initiale nulle. R L

100

vE

100mH

Une excitation sinusoïdale d’amplitude crête VE est appliquée au circuit. Le but du problème est d’obtenir les réponses du courant i (t ) circulant dans la maille et de la tension aux bornes de l’inductance v L (t ) par les trois techniques suivantes : Réponse temporelle (variable t) 1. Ecrivez l’expression analytique du courant. 2. Ecrivez l’expression analytique de la tension. 3. Démontrez que la tension est en avance de π/2 par rapport au courant en régime permanent. Régime sinusoïdal établi (variable jω) 4. Ecrivez les expressions du module et de l’argument du courant et de la tension. 5. Comparez ces résultats à ceux obtenus précédemment en régime permanent. Transformées de Laplace (variable p) 6. Ecrivez la fonction de transfert en tension VL ( p) VE ( p) . 7. Par transformées de Laplace, donnez l’expression de la tension.

Corrigé Réponse temporelle d ⎧ ⎪⎪v E (t ) = R i (t ) + L dt i (t ) ⎨ ⎪v (t ) = L d i (t ) ⎪⎩ L dt

(posons τ =

L ) R

1. Expression analytique du courant Résolvons l’équation différentielle du premier ordre c

équation homogène d 1 di dt i (t ) + i (t ) = 0 ⇒ =− dt τ τ i

d

v (t ) 1 d i (t ) + i ( t ) = E en quatre étapes : dt τ L

⇒ Log

i

λ

=−

t

τ

d’où i H (t ) = λ e

−

t

τ

variation de la constante

λ ' (t ) e

Sylvain Géronimi

−

t

τ

=

VE sin(ω t ) VE = ℑm e jω t L L

[ ]

Page 5




⎡ ⎤ t ⎡ ⎛⎜ 1 + j ω ⎞⎟t ⎤ ⎢ e jω t ⎥ VE VE τ ⎝τ ⎠ ⎢ ⎥ ℑm e dt = ⇒ λ (t ) = e ℑm ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 L L ⎢ ⎥ + j ω ⎣ ⎦ ⎢⎣ τ ⎦⎥ ⎡ ⎤ ⎢ cos(ω t ) + j sin(ω t ) ⎥ 1 ⎡1 ⎤ car ℑm ⎢ ⎥= ⎢τ sin(ω t ) − ω cos(ω t )⎥ = sin(ω t − α ) 1 1 2 ⎦ ⎢ ⎥ + jω +ω ⎣ τ ⎣⎢ ⎦⎥ τ 2

∫

en posant cos α =

e

1

et sin α = ω ⇒

τ2

+ ω 2 = 1 avec α = arctg (τ ω ) et τ = 1 + τ 2ω 2

solution particulière de l’équation complète i P (t ) = λ (t ) e

f

1

τ

−

t

τ

d’où

VE

i P (t ) =

R + L2ω 2 2

sin(ω t − α )

solution globale i (t ) = λ e

−

t

τ

d’où i (t ) =

avec i (0) = 0 ⇒ λ =

+ i P (t ) VE

R +L ω 2

2

2

sin α e

−

t

τ

+

VE R + L2ω 2 2

VE R + L2ω 2 2

sinα

sin(ω t − α )

Le premier terme correspond au régime transitoire et le second terme au régime établi ou permanent.

2. Expression analytique de la tension t t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − 1 − v L (t ) = VE ⎢− sin α e τ + ω cos(ω t − α )⎥ = VE sin α ⎢− cos α e τ + cos(ω t − α )⎥ τ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦

3. Déphasage

π ⎛ ⎞ cos(ω t − α ) = sin⎜ ω t + − α ⎟ 2 ⎝ ⎠

⇒

π ⎛π ⎞ − α ⎟ − (− α ) = + 2 2 ⎝ ⎠

ϕL − ϕI = ⎜

Régime transitoire (VE =1 V et f = 1 kHz) régime transitoire 1.0V

0V

-1.0V 0s

Sylvain Géronimi

V(L)

0.5ms V(E)

1.0ms

1.5ms

2.0ms

2.5ms

3.0ms

3.5ms

4.0ms

Time

Page 6




Régime permanent 2 2.0mA

1 1.0V

1.0mA tension d'entrée (0°) 0V

0A tension en avance de 9°

courant en retard de 81°

-1.0mA

-1.0V >> -2.0mA 18.0ms 1 V(L)

V(E)

2

18.5ms I

19.0ms

19.5ms

20.0ms

Time

Régime sinusoïdal établi ⎧⎪VE = (R + jLω ) I ⎨ ⎪⎩VL = jLω I

VE

⇒ I=

R + jLω

et VL =

jLω VE R + jLω

4. Modules et arguments

I =

VL =

VE R +Lω Lω 2

2

et

2

VE

R 2 + L2ω 2

ϕI = ϕ E − arctg et

ϕL = ϕE +

Lω R

π 2

( VE = VE e jϕE )

− arctg

Lω R

5. Comparaison du régime établi i (t ) =

sin(ω t + ϕI )

VE R +L ω 2

2

2

↔

[

]

Lω = τR

R + L2ω 2

I ℑm e j (ω t +ϕI )

v L (t ) = VE sin α sin(ω t + ϕ L ) avec sin α = ω =

Lω 2

↔

[

VL ℑm e j (ω t +ϕL )

]

Transformées de Laplace ⎧VE ( p ) = (R + Lp ) I ( p ) ⎨ ⎩VL ( p ) = Lp I ( p )

6. Fonction de transfert p V ( p) H ( p) = L = VE ( p )

Sylvain Géronimi

ωn 1+

p

ωn

avec ωn =

R 1 = L τ

Page 7




7. Expression de la tension aux bornes de l’inductance Tableau des transformées : sin(ω t ) →

ω p +ω 2

2

⇒ VL ( p ) =

ω

p

2 1 2 p + p +ω

VE

τ

Décomposition en éléments simples : p a bp + c = + = 1 p2 + ω 2 1⎞ 2 ⎛ 2 + p ⎜p + ⎟ p +ω τ τ⎠ ⎝

(

⇒ b=−a=

)

(a + b )p 2 + ⎛⎜ b + c ⎞⎟ p + c + aω 2 τ ⎝τ ⎠ 1⎞ 2 ⎛ 2 ⎜p + ⎟ p +ω τ⎠ ⎝

(

)

τ 2ω 2 τ c = , 1 + τ 2ω 2 1 + τ 2ω 2

⎡ ⎤ ⎢ 1 1 ⎥ p ω 1 + +ω 2 VL ( p ) = VE ⎢− ⎥ 2 2 2 2 1 τ p +ω p +ω ⎥ ⎛ 1⎞ ⎢ τ p + 2 ω + ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ τ ⎝τ ⎠ 1 ω p Tableau des transformées : → e − at , 2 → sin(ω t ) , 2 → cos(ω t ) 2 p+a p +ω p + ω2

ω

Posons cos α =

1

τ

2

et sinα = ω

⎛ 1⎞ ⇒ ω 2 + ⎜ ⎟ = 1 et cos α cos(ω t ) + sin α sin(ω t ) = cos(ω t − α ) ⎝τ ⎠

t ⎡ ⎤ − d’où v L (t ) = VE sin α ⎢− cos α e τ + cos(ω t − α )⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

La technique dans le domaine temporel est d’une grande complexité, puisqu’elle fait apparaître des équations intégro-différentielles dont la résolution mathématique est rapidement limitée (utilisation du calcul numérique). La technique du calcul complexe est aisée, mais limitée uniquement à une excitation sinusoïdale fournissant le régime permanent (pas de transitoire). L’étude par les transformées de Laplace est la méthode la plus généraliste, pouvant fournir la réponse du circuit à une excitation quelconque.

Sylvain Géronimi

Page 8




Corrélation entre temps de montée et fréquence de coupure d’un circuit RC Soit le circuit RC avec condition initiale nulle. R

vE

C

Un échelon unité de tension d’amplitude VE est appliqué au circuit. Le but du problème est d’écrire la relation exprimant la corrélation entre temps de montée et fréquence de coupure du circuit. 1. Ecrivez la fonction de transfert en tension VC ( p ) VE ( p ) et tracez les courbes de réponse dans le plan de Bode (module et argument). 2. Par transformées de Laplace, donnez l’expression de la tension v C (t ) . 3. Ecrivez l’expression du temps de montée t r défini par la différence des temps pour atteindre respectivement 90% et 10% de la valeur finale en fonction de la constante de temps du circuit. 4. Ecrivez la relation entre la fréquence de coupure fh du circuit passe-bas et le temps de montée.

Corrigé 1. Fonction de transfert A partir de l’équation dans le domaine temporel, on écrit

v (t ) 1 d 1 1 v C (t ) + v C (t ) = E → p VC ( p ) + VC ( p ) = VE ( p) τ τ τ τ dt ⎧ ⎛ ⎞ 1 ⎟ I ( p) ⎪VE ( p ) = ⎜⎜ R + C p ⎟⎠ V ( p) 1 ⎪ ⎝ = ⇒ H ( p) = C ou directement ⎨ V ( p ) 1 + τp E ⎪V ( p ) = 1 I ( p ) ⎪ C Cp ⎩ En régime sinusoïdal, H ( jω ) =

1

0

1 1 + j ωτ

avec τ = RC

2 ⇒ H dB = −20 log 1 + (ωτ ) , ϕ = − arctg (ωτ )

2 0d

(159.436,-3.0185)

-10

-20

-50d

(159.652,-45.089) -30

filtre du premier ordre τ = 1 ms

-40

Sylvain Géronimi

-100d 1.0Hz 1 DB(VC)

2

10Hz P(VC)

100Hz

1.0KHz

10KHz

Frequency

Page 9




2. Réponse à l’échelon de tension VC ( p ) =

VE V V = E − E 1 p (1 + τ p ) p p+ τ

avec VE ( p ) =

Tableau des transformées F ( p ) =

VE (échelon de tension d’amplitude VE ) p

1 → f (t ) = e − α t ⋅ u(t ) , d’où p +α

t ⎛ − v C (t ) = VE ⎜1 − e τ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

L’application des théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale donne immédiatement la valeur de cette fonction à l’origine et au temps infini sans qu’il soit nécessaire de calculer vC(t) : VE pVC ( p ) = ⇒ lim pVC ( p ) = lim v C (t ) = 0 et lim pVC ( p ) = lim v C (t ) = VE p→∞ t →0 p→0 t →∞ 1+ τ p 1.2V vE(t)

vC(t)

0.8V

t = 3 ms VC = 95 % de VE

t = 1 ms

0.4V

VC = 63.2 % de VE 0V 0s

1.0ms

2.0ms

3.0ms

4.0ms

Temps

V ⎡d ⎤ VE = 1V , τ = 1 ms , pente à l’origine ⎢ v C (t )⎥ = E , v C (τ ) ≅ 0.632 V , v C (3τ ) ≅ 0.95 V τ ⎣ dt ⎦t =0

3. Expression de t r (τ ) ⎧ ⎪v C (t1 ) = 0.1VE ⎨ ⎪v (t ) = 0.9V E ⎩ C 2

→ →

10 9 t 2 = τ Ln 10

t1 = τ Ln

⇒ t r = t 2 − t1 = τ Ln 9

soit t r ≅ 2.2 τ

L’échelon est la combinaison de la variation de la tension la plus abrupte et de la plus lente variation possible de tension.

4. Expression de t r (fh ) 1

H ( p) = 1+

p

ωh

avec ωh =

1

τ

⇒ tr ≅

2 .2

ωh

ou t r ≅

0.35 fh

fh étant la fréquence de coupure haute du passe-bas du 1° ordre.

Si le système est un passe-bas à plusieurs pôles, cette relation est une approximation d’autant meilleure que la valeur de fh est faible devant celles des autres pôles (pôle dominant).

Sylvain Géronimi

Page 10




Sonde passive d’oscilloscope Soit le schéma de principe d’une sonde passive atténuatrice. embout de sonde CS câble de mesure

entrée de l'oscilloscope

RS vE capacité

CC

du câble

100p

v0

CP

R0

13p

1Meg

L’amplificateur vertical de l’oscilloscope est représenté par le schéma équivalent parallèle R0 - C p aux bornes duquel existe la tension v 0 (t ) . 1. Ecrivez la fonction de transfert V0 ( p) VE ( p) . 2. Donnez la condition pour que la fonction de transfert soit indépendante de la fréquence. Evaluez la résistance RS pour avoir une atténuation de rapport 1/10 et déduisez la valeur de la capacité CS0 découlant de la condition. 3. Déterminez l’impédance d’entrée de la sonde branchée sur l’oscilloscope, sous forme d’un schéma R-C parallèle à la condition précédente. 4. Calculez et tracez les réponses temporelles de v 0 (t ) à un échelon de tension unité pour une capacité de sonde réglée aux valeurs CS0 ± ∆CS (on supposera que CS >> ∆CS 10 et que les bandes passantes de la sonde et de l’oscilloscope sont très larges). Le temps de montée lu sur l’écran d’un oscilloscope est donné par t rlu ≅ t r2signal + t r2oscillo + t r2sonde . Pour effectuer cette mesure, on dispose d’un oscilloscope associé à une sonde dont les bandes passantes sont respectivement de 100 MHz et de 500 MHz. 5. Calculez l’erreur commise sur la mesure de signaux carrés dont le temps de montée serait de 5 ns et 50 ns. Formulaire : t r ≅

0.35 , t r lu = t r2signal + t r2oscillo + t r2sonde . fh

Corrigé Posons C0 = CC + CP = 113 pF , τ 0 = R0C0 et τ S = RSCS . 1. Fonction de transfert H ( p) =

V0 ( p ) Z0 ( p ) = VE ( p ) Z0 ( p ) + ZS ( p )

avec Z ( p ) =

R0 R ⇒ H ( p) = R0 + RS 1 + RCp

2. Condition pour un régime apériodique La fonction de transfert est indépendante de la fréquence si τ S =

Sylvain Géronimi

Page 11

1 + τS p R0τ S + RSτ 0 1+ p R0 + RS

R0τ S + RSτ 0 soit τ S = τ 0 . R0 + RS




R0 1 = R0 + RS 10

Sonde atténuatrice de rapport 1/10 → H =

⎧RS = 9R0 = 9 MΩ ⎪ ⎨ C0 = 12.56 pF ⎪CSO = 9 ⎩

⇒

3. Impédance d’entrée de la sonde Z E ( p ) = ZS ( p ) + Z 0 ( p )

Au réglage optimal de la sonde → ZE ( p ) =

10 R0 RE = 1 + R0C0 p 1 + RE CE p

soit RE = 10 R0 = 10 MΩ en

parallèle avec CE = C0 10 = 11.3 pF .

4. Réponses temporelles CS = CS 0 ± ∆CS

τ S = τ 0 ± ∆τ

⇒

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎜ 1 ∆τ 1 ⎟ ± d’où V0 ( p ) ≅ ⎟ 10 ⎜ p τ 0 1 +p⎟ ⎜ τ0 ⎝ ⎠

∆τ p ⎞ 1 1 + (τ 0 ± ∆τ )p 1 ⎛ ⎜1 ± ⎟ ≅ H ( p) = ⎜ ∆τ ⎞ 10 10 ⎝ 1 + τ 0 p ⎟⎠ ⎛ 1 + ⎜τ 0 ± ⎟p 10 ⎠ ⎝

→ v 0 (t ) ≅

Transformation inverse de Laplace

t ⎛ ∆CS − τ 0 1 ⎜ ± 1 e 10 ⎜⎜ CS0 ⎝

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

Trois cas de réglage de la sonde apparaissent au sein de la simulation ci-dessous, à savoir la compensation optimale (∆CS = 0), la surcompensation (∆CS > 0), la sous compensation (∆CS < 0). 200mV

surcompensation

Réponse à un signal carré d’amplitude 2 Vpp

100mV

vO(t) sous compensation 0V

compensation optimale -100mV

Réglage de la sonde à ∆Cs/Cs -200mV

0s

0.2ms

0.4ms

0.6ms

0.8ms

1.0ms

Time

5. Erreur commise sur la mesure Instrumentation :

t r oscillo = t rsonde =

Signal :

t rlu

0.35 10 8 0.35

= 3.5 ns (bande passante 100 MHz)

= 0.7 ns (bande passante 500 MHz) 5 10 8 ≅ t rsignal (à 1 % près) pour t r signal = 50 ns

t rlu ≅ 6.14 ns , soit une erreur de 1.14 ns (23%) pour t rsignal = 5 ns .

Pour l’étude de circuits numériques, nous constatons que l’instrumentation n’est pas assez performante.

Sylvain Géronimi

Page 12




Caractérisation d’un quadripôle Le but de ce problème est de caractériser un quadripôle, c’est-à-dire d’évaluer ses résistance d’entrée et de sortie et son transfert, en présence d’une source contrôlée. i1 Rg

is

R1 k i1

ve

R2

Rch

vs

vg

1. Déterminez la résistance d’entrée Re du quadripôle chargé par Rch . 2. Déterminez les éléments RTh et vTh de Thévenin formant le dipôle de sortie du quadripôle non chargé par Rch . 3. Dessinez le nouveau schéma équivalent du quadripôle, puis dessinez ce schéma sous la forme modélisée d’un amplificateur de tension.

Corrigé La difficulté de la mise en équations du système linéaire et de sa résolution vient de la présence de la source de courant k i1 contrôlée par le courant i1 de la branche supportant la résistance R1 . Ce type de source, symbolisée par un losange, représente une modélisation de comportement correspondant à un transfert d’un courant de branche (branche contrôlante) vers une autre branche (branche contrôlée) à un coefficient constant près (k). La source est donc dépendante d’une autre branche et, de ce fait, n’a rien de commun avec une source fournissant une excitation au circuit tel que le générateur indépendant de tension symbolisé par un cercle ( v g ). 1. Expression de la résistance d’entrée Le quadripôle, chargé par la résistance de charge Rch , constitue un dipôle dont la résistance équivalente Re est obtenue par l’application du théorème de Thévenin/Norton. Par définition, la résistance d’entrée s’écrit Re =

v0 d’après le schéma à droite ci-dessous. i1 i1

i1 i2

R1 v0

k i1

R2

→

Rch

Re

v0

La topologie du circuit se simplifie en posant Req = R2 // Rch , ce qui conduit à l’écriture d’une maille et d’un nœud. ⎪⎧v 0 = R1 i1 + Req i 2 ⎨ ⎪⎩(k + 1)i1 = i 2

Sylvain Géronimi

⇒ v 0 = R1 i1 + Req (k + 1)i1 , d’où Re = R1 + (k + 1)(R2 // Rch )

Page 13




2. Expressions des éléments de Thévenin La tension de Thévenin étant une tension à vide, la résistance de charge est donc débranchée. La topologie présente une maille et un nœud, soit deux équations auxquelles il faut ajouter la tension aux bornes de la résistance R 2 afin de définir vTh . i1 Rg

i2

R1 k i1

R2

vth

vg

⎧(k + 1)i1 = i 2 ⎪ ⎨v g = Rg + R1 i1 + R2 i 2 ⎪ ⎩vTh =R2 i 2

(

⎧ ⎛ Rg + R1 ⎞ + R2 ⎟⎟ i 2 ⎪v g = ⎜⎜ ⇒ ⎨ + 1 k ⎝ ⎠ ⎪ = v R i 2 2 ⎩ Th

)

d’où vTh =

(k + 1)R2 vg Rg + R1 + (k + 1)R2

Le dipôle devant être passif, la source indépendante de tension v g est éteinte, mais la source de courant contrôlée par le courant i1 est présente. La résistance du dipôle s’écrit RTh = i1

Rg

i0

i0 i2

R1 k i1

v0 . i0

R2

→

v0

RTh

v0

vg = 0

La topologie présente deux mailles et un nœud, donc un système de trois équations à résoudre ⎧i 0 + (k + 1)i1 = i 2 ⎪ ⎨v 0 =R2 i 2 ⎪v = − R + R i g 1 1 ⎩ 0

(

d’où

)

⇒ i0 =

v0 v0 + (k + 1) R2 Rg + R1

Rg + R1 1 1 k +1 = + (conductance) ou encore RTh = R2 // (résistance). RTh R2 Rg + R1 k +1

3. Schémas équivalents du quadripôle Le générateur ( v g , Rg ) voit à ses bornes la résistance d’entrée du quadripôle et la charge voit à ses bornes le dipôle équivalent sous forme Thévenin.

RTh

Rg Re vg

Sylvain Géronimi

vs

Rch

vTh

Page 14




La modélisation du quadripôle sous la forme d’un amplificateur de tension utilise une source de tension contrôlée par la tension v e aux bornes de la branche contrôlante supportant Re . D’autre part, la résistance de sortie Rs du quadripôle s’identifie à RTh .

Rs

Rg ve vg

Sylvain Géronimi

Re

vs

Rch

Av ve

Page 15




Sensibilité d’un pont de Wheatstone Le schéma du pont de Wheatstone est le suivant.

R1

R3

VE

1

1Vdc

VM

2

R2

R4

Le but de ce problème est de définir les conditions sur les quatre résistances afin d’obtenir une sensibilité maximale du pont. 1. Ecrivez l’expression analytique de la tension différentielle VM aux points de mesure 1 et 2 et déduisez la condition pour que cette tension soit nulle. 2. Déterminez la sensibilité du pont et écrivez la condition sur les résistances pour que cette sensibilité soit maximale. 3. Pour des résistances à tolérance 1%, évaluez l’erreur maximale sur la tension VM dans le cas d’une sensibilité maximale du pont.

Corrigé 1. Condition d’équilibre du pont R2 ⎧ ⎪V1 = R + R VE ⎪ 1 2 ⎨ R 4 ⎪V = V ⎪⎩ 2 R3 + R4 E

⎛ R2 R4 ⎞ ⎟ VE ⇒ VM = ⎜⎜ − ⎟ R + R R 2 3 + R4 ⎠ ⎝ 1

La condition pour que la tension différentielle VM soit nulle est R1R 4 = R2R3 .

2. Sensibilité du pont La tension différentielle est fonction de cinq paramètres VM (R1, R2 , R3 , R 4 , VE ) et l’approche au premier ordre donne dVM =

∂VM ∂V ∂V ∂V ∂V dR1 + M dR2 + M dR3 + M dR4 + M dVE avec ∂R1 ∂R2 ∂R3 ∂R4 ∂VE

∂VM R2 1 a R1 ∂VM a 1 =− VE = − VE , VE = VE , = 2 2 2 2 ∂R2 (R1 + R2 ) ∂R1 (a + 1) R2 (R1 + R2 ) (a + 1) R1 R3 R4 ∂VM ∂VM a a 1 1 V =− VE , V = VE , =− = 2 E 2 R 2 E 2 R R ∂R3 ∂ (R3 + R4 ) (a + 1) 3 (R3 + R4 ) (a + 1) 4 4 R ∂VM R2 R4 R = − = 0 en posant 1 = 3 = a . ∂VE R1 + R2 R3 + R4 R2 R 4 ⎛ dR1 dR2 dR3 dR 4 ⎞ ⎟ VE + − + d’où dVM = S ⎜⎜ − R2 R3 R4 ⎟⎠ ⎝ R1

Sylvain Géronimi

avec S =

Page 16

a

(a + 1)2




dS =0 da et R3 = R 4 .

La sensibilité devient maximale si d’où la condition R1 = R2

⇒

a = 1 , Smax =

1 4

3. Erreur maximale sur la tension différentielle ∆VM = S 4

∆R VE et pour Smax , ∆VM max = 10 mV R

La sensibilité du détecteur de zéro doit être meilleure que l’erreur maximale. Ainsi, pour mesurer des résistances avec une précision de 1% à partir d’une source fournissant 1 V, il faut que le détecteur ait une sensibilité meilleure que 10 mV.

Sylvain Géronimi

Page 17




Dispersion de caractéristiques d’un JFET L’étude porte sur la comparaison de la dispersion, en régime continu, obtenue à partir de deux topologies de schéma (figures 1 et 2). Le constructeur donne les dispersions suivantes pour le transistor à effet de champ de type 2N4416A : dispersions maximales →

dispersions minimales

→

I DSS = 15 mA, VP = − 6 V I DSS = 5 mA, VP = − 2.5 V

RD 2k

RG1

J2N4416A

RD 2k

J2N4416A J1

VCC

J1

30 V

VCC 30 V

RS

RG2

RS1

1Meg

figure 1

figure 2

Polarisation automatique (figure 1) La polarisation du transistor est obtenue automatiquement par la tension continue produite aux bornes de la résistance de source. Le transistor à dispersion maximale est d’abord monté dans ce circuit, puis remplacé par le transistor à dispersion minimale. 1. Calculez la résistance de source RS pour avoir le point de fonctionnement VGSo = − 2 V dans le cas de dispersion maximale. 2. Evaluez la dispersion sur I Do , VDSo , VGSo . Polarisation mixte (figure 2) Une autre façon de polariser le transistor est employée, mettant en oeuvre la polarisation automatique utilisée précédemment associée à un pont de grille. Dans le cas où la résistance RG1 est de valeur infinie, le montage redevient à polarisation automatique. Les démarches analytiques restent identiques, si ce n’est d’introduire la nouvelle valeur de la résistance de source. 3. En prenant la résistance de source RS1 = 3 RS , calculez la résistance de pont de grille RG1 pour avoir le point de fonctionnement VGSo = − 2 V dans le cas de dispersion maximale. 4. Evaluez la dispersion sur I Do , VDSo , VGSo . Comparaison des deux topologies 5. Concluez sur le choix de la topologie du circuit.

Sylvain Géronimi

Page 18

Polarisation d’un transistor



Corrigé Polarisation automatique 1. Evaluation de la résistance RS +VCC

⎧ ⎛ V ⎪I D = I DSS ⎜1 − GS ⎜ VP ⎨ ⎝ ⎪ ( ) ≅ I I D ⎩ S

RD ID IG=0 VDS

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

(transistor)

⎧VCC ≅ (RD + RS )I D + VDS ⎨ ⎩VGS ≅ − RS I D

VGS RS

(circuit)

système de 3 équations à 3 inconnues ( I D , VDS , RS )

I Do

⎛ VGSo = I DSS ⎜⎜1 − VP ⎝

2

− VGSo ⎞ ⎟ ≅ 6.67 mA , RS ≅ ≅ 300 Ω , VDSo ≅ VCC − (RD + RS )I Do ≅ 14.7 V ⎟ I Do ⎠

2. Evaluation des dispersions Le transistor à dispersion minimale est monté en place du transistor précédent. Les équations du système à résoudre demeurent inchangées, mais les inconnues sont maintenant I D , VGS , VDS , ce qui conduit à la résolution d’une équation du second degré. ⎛ 1 2 ⎞ ⎟VGS + 1 = 0 ⇒ VGS ≅ − 0.74 V telle que VP < VGS < 0 (JFET canal N) + ⎜⎜ − ⎟ o 0 ⎝ I DSS RS VP ⎠ − VGSo et I Do = ≅ 2.48 mA , VDSo = VCC − (RD + RS )I Do ≅ 24.3 V RS 2 VGS

VP2

Les dispersions extrêmes donnent des écarts de position du point de repos dans le plan de sortie ∆ I D ≅ 4.2 mA , ∆VDS ≅ 9.6 V pour cette structure de circuit.

Polarisation mixte 3. Evaluation de la résistance de pont de grille RG1 Une maille d’entrée unique apparaît après application du théorème de Thévenin. +VCC RD ID RG

IG=0

VDS

VGS VG

⎛ V I D = I DSS ⎜⎜1 − GS VP ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

(

)

(transistor)

⎧⎪VCC ≅ RD + RS1 I D + VDS ⎨ ⎪⎩VGS ≅ VG − RS1 I D

RS1

avec VG =

Sylvain Géronimi

2

Page 19

RG2 RG1 + RG2

(circuit)

VCC , RG = RG1 // RG2




I Do ≅ 6.67 mA , VG ≅ 4 V , RG1 ≅ 6.5 MΩ , VDSo ≅ 10.7 V

4. Evaluation des dispersions Le transistor à dispersion minimale est monté en place du transistor précédent. 2 VGS

VP2

⎛ VG 1 2 ⎞⎟ +⎜ − = 0 ⇒ VGSo ≅ − 0.11V , I Do ≅ 4.57 mA , VDSo ≅ 16.7 V V + 1− ⎜ I DSS RS VP ⎟ GS I DSS RS1 1 ⎝ ⎠

Les dispersions extrêmes donnent des écarts de position du point de repos dans le plan de sortie ∆ I D ≅ 2.1 mA , ∆VDS ≅ 6 V pour cette structure de circuit.

5. Conclusion La polarisation mixte diminue le phénomène de dispersion. En effet dans le plan de sortie, les plages des coordonnées du point de repos sont réduites de ∆I D = 4.2 mA → 2.1 mA et ∆VDS = 9.6 V → 6 V .

Sylvain Géronimi

Page 20




Polarisation d’un transistor bipolaire L’étude porte sur diverses topologies permettant de polariser un transistor bipolaire avec un courant de collecteur donné et se placer sensiblement au milieu de la droite de charge statique dans les caractéristiques de sortie. Le transistor est de type 2N1711 ( β typique = 150 ).

RB

RC

RB

VCC

RC VCC 20 V

20 V Q1

Q1

figure 2

figure 1

RB

RC

RB1

RC

100k VCC

VCC Q1

Q1

20 V

RE

RB2

180

20 V

RE 180

figure 3

figure 4

Déterminez les résistances au sein des topologies suivantes, pour un courant ICo = 10 mA et en prenant VBEo ≅ 0.6 V . 1. 2. 3. 4.

Polarisation simple (figure 1). Polarisation par résistance entre collecteur et base (figure 2). Polarisation avec résistance d’émetteur (figure 3). Polarisation avec résistance d’émetteur et pont de base (figure 4).

Corrigé Le point de repos étant placé sensiblement au milieu de la droite de charge statique dans les caractéristiques de sortie, la tension VCEo ≅ VCC 2 = 10 V 1. Polarisation simple +VCC

RC

RB IC

⎧VCC = RC IC + VCE ⎪ ⎨VCC = RB I B + VBE ⎪I = β I B ⎩C

IB VCE VBE

Sylvain Géronimi

⇒ RC =

VCC − VCEo IC o

Page 21

= 1 kΩ , RB =

VCC − VBEo IC o

β = 291 kΩ




2. Polarisation par résistance entre collecteur et base +VCC RC RB

⎧VCC = RC (IC + I B ) + VCE ⎪ ⎨VCE − VBE = RB I B ⎪I = β I B ⎩C

IC IB VCE VBE

⇒ RC =

VCC − VCEo

β

IC o

β +1

≅ 1 kΩ , R B =

VCEo − VBEo IC o

β = 141 kΩ

3. Polarisation avec résistance d’émetteur +VCC

RC

RB IC IB

⎧VCC = VCE + RC IC + RE I E ⎪ VCC − VCEo ⎪VCC = RB I B + VBE + RE I E ⇒ RC ≅ − RE = 820 Ω , ⎨ IC o ⎪I E = I B + IC ⎪I = β I B ⎩C

VCE

⎞ ⎛ VCC − VBEo RB ≅ ⎜ − RE ⎟ β ≅ 264 kΩ ⎟ ⎜ IC o ⎠ ⎝

VBE RE

4. Polarisation avec résistance d’émetteur et pont de base +VCC

⎧VB = RB I B + VBE + RE I E ⎨ ⎩VCC = RC IC + VCE + RE I E

RB2 RB1 + RB2

VCC , RB = RB1 // RB2

RC

RB1 IC VB

VB =

IB VCE

RC ≅

VCC − VCEo IC o

− RE = 820 Ω , RB ≅

VBE RB2

Sylvain Géronimi

RE

VBEo + RE ICo VCC ICo − β RB1

≅ 18 kΩ ,

RB2 ≅ 22 kΩ

Page 22




Stabilité du point de repos par résistance d’émetteur L’étude porte sur le comportement du montage de la figure ci-dessous en fonction de la température.

RB1 100k

RC 1.5k VCC Q1

RB2

20 V

RE 470

Le transistor, de type 2N1711 ( β typique = 150 ), possède les caractéristiques constructeur

Ptot (TA ≤ 25 °C )max = 0.8 W , TJmax = 200 °C , RthJA = 220 °C /W , RthJB = 58 °C /W

Etude du régime continu 1. En supposant IB << IC et VBE << VCE , écrivez que la puissance Pd dissipée dans le transistor, satisfait à la condition dPd dIC = 0 et déduisez le point de repos correspondant et la valeur de la résistance RB 2 nécessaire pour polariser correctement le transistor ( VBE0 ≅ 0.6 V ). 2. En prenant comme valeur de température ambiante TA = 25 °C , calculez la température TJ de la jonction. Stabilité en température 3. Dans le cas général, écrivez IC = [β (T ),VBE (T ),ICBO (T )] . 4. Déduisez les facteurs de stabilité SI = ∂IC ∂ICBO , SV = ∂IC ∂VBE , S β = ∂IC ∂β . 5. Evaluez dans le cas du montage dIC dT et dVCE dT sachant que, pour le silicium, le fabricant indique dVBE dT ≅ − 2.5 mV / °C , dβ (β dT ) ≅ 0.5 % / °C , dICBO (ICBO dT ) ≅ 11 % / °C et ICBO = 1 nA à 25 °C .

Corrigé Etude du régime continu 1. Expression de la puissance dissipée +VCC

RC

RB1 IC VB

IB VCE VBE

RB2

Sylvain Géronimi

RE

⎧VB = RB I B + VBE + RE I E ⎪ ⎪VCC = RC IC + VCE + RE I E ⎨ ⎪I E = I B + IC ⎪IC = α I E + ICBO ⎩ RB2 VCC , RB = RB1 // RB2 avec VB = RB1 + RB2

Page 23




et ICBO courant de fuite de la jonction base-collecteur polarisée en inverse (dérive thermique).

Les deux jonctions présentées par le transistor produisent une résistance au passage des courants, d’où une puissance dissipée en chaleur. La traversée du courant IC à travers la jonction base-collecteur, aux bornes de laquelle existe la tension VCB , produit une dissipation de puissance égale à VCB IC . De la même façon, la puissance dissipée dans la jonction baseémetteur vaut VBE I E . La puissance dissipée dans le transistor s’écrit Pd = VBE I E + VCB IC = VBE I B + (VCB + VBE )IC = VBE I B + VCE IC ≅ VCE IC car IB << IC et VBE << VCE .

La puissance transformée en chaleur dans le transistor est presque intégralement dissipée par la jonction base-collecteur dont le courant de fuite ICBO varie en fonction de la température. En considérant que I E ≅ IC ( β >> 1 ) dans l’équation de la maille de sortie, Pd ≅ IC [VCC − (RC + RE )IC ] d’où

dPd = 0 ⇒ VCC = 2 (RC + RE )IC dIC

cinquième équation du système linéaire dont les cinq inconnues sont I B , IC , I E , VCE , RB2 . La puissance dissipée passe par un maximum au point de repos (fonction parabolique) VCC V IC o ≅ ≅ 5 mA et VCEo ≅ VCC − (RC + RE ) ICo = CC = 10 V . 2 (RC + RE ) 2 Ces expressions, respectivement ordonnée et abscisse du point de repos dans le plan de sortie du transistor, montrent une polarisation en classe A (au milieu de la droite de charge statique). En ce point, il y a le meilleur effet de stabilisation possible du courant collecteur en fonction de la température. En effet, à une variation de IC correspond une variation minimale de Pd (sommet de la parabole). Il paraît donc souhaitable de polariser le transistor au milieu de la droite de charge à condition, bien sur, de pouvoir dissiper la puissance maximale 2 VCC Pdmax = ≅ 50 mW (<< 800 mW). 4 (RC + RE ) En considérant I E ≅ IC , la maille d’entrée s’écrit VBE o + RE ICo I RB VCC ≅ RB C + VBE + RE IC ⇒ RB ≅ ≅ 18 kΩ et RB2 ≅ 22 kΩ . RB1 β VCC ICo − RB1 β

2. Calcul de la température TJ La puissance maximale que peut dissiper un transistor, pour une température ambiante déterminée, est une constante qui dépend des dimensions géométriques du transistor Pd =

TJ − TA RthJA

(approche linéaire)

avec TJ température de la jonction ( TJmax = 200 °C ), TA température ambiante ( TA = 25 °C ), RthJA résistance thermique jonction-ambiant ( RthJA = 220 °C /W ).

A remarquer que la formule satisfait les données constructeur Ptotmax =

TJmax − TA RthJA

≅ 0 .8 W .

La température de la jonction vaut TJ = T A + RthJA Pd = 36 °C .

Sylvain Géronimi

Page 24




Il est possible d’avoir une approche de la température du boîtier TB en considérant la résistance thermique jonction-boîtier ( RthJB = 58 °C /W ), soit TB = TJ − RthJB Pd ≅ 33 °C . L’utilisation d’un radiateur permettrait d’augmenter le pouvoir de dissipation du transistor, Pd =

RthJB

TJ − TA + RthBR + RthRA

avec RthBR résistance thermique boîtier-radiateur, RthRA résistance thermique radiateur-ambiant. La somme des résistances thermiques serait alors de valeur plus faible que la résistance thermique RthJA du transistor seul.

Stabilité en température 3. Expression de IC (β ,VBE , ICBO ) ⎧VB = RB I B + VBE + RE I E ⎧VB = (RB + RE )I E + VBE − RB IC ⎪ β ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ I E + ICBO β ⎨IC = β +1 ⎪ ⎪IC = β + 1 I E + ICBO ⎩ ⎪⎩I E = I B + IC

⇒ IC =

(RE + RB )(β + 1)ICBO + β (VB − VBE ) RB + (β + 1)RE

Le courant collecteur est fonction d’un ensemble de variables physiques dépendantes de la température

4. Calcul des facteurs de stabilité Ces facteurs sont les mesures de la stabilité de la polarisation du transistor. Ils sont définis comme le rapport d’une variation ∆ IC du courant collecteur due à une variation de température, à la variation correspondante d’une des fonctions suivantes ICBO (T ) , VBE (T ) , β (T ) , les autres variations étant nulles, d’où ∆ IC = SI ∆ ICBO + SV ∆VBE + S β ∆ β . Pour des variations suffisamment faibles des variables fonctions de la température, la relation au ∂IC ∂I ∂I dICBO + C dVBE + C dβ . premier ordre est utilisée dIC = ∂ICBO ∂VBE ∂β Il faut souligner que cette approche mathématique par les dérivées partielles est une approche linéaire de phénomènes fortement non linéaires. Les facteurs s’écrivent alors : ⎡ ∂I ⎤ (β + 1)(RB + RE ) , S = ⎡ ∂IC ⎤ dIC dIC β , = = SI = ⎢ C ⎥ = =− ⎢ ⎥ V dICBO RB + (β + 1)RE dVBE RB + (β + 1)RE = cte =cte ⎣ ∂VBE ⎦ IβCBO ⎣ ∂ICBO ⎦VβBE =cte =cte ⎡ ∂I ⎤ dI (RB + RE ) ICo − ICBO ≅ SI I Sβ = ⎢ C ⎥ = C = C cte β β (β + 1) o dβ RB + (β + 1)RE ⎣ ∂β ⎦VICBO==cte BE

Ces trois facteurs de stabilité du montage doivent simultanément avoir des valeurs les plus faibles possibles. Les trois expressions ayant même dénominateur, on se contentera de rendre possible l’inégalité suivante RB << (β + 1)RE où RB représente le pont de base et (β + 1)RE l’impédance ramenée à l’entrée par la contre-réaction.

Sylvain Géronimi

Page 25




Deux cas extrêmes peuvent être envisagés : IC 1 , S β ≅ 2o RE β

-

montage base commune RB = 0 ⇒ SI = 1 , SV ≅ −

-

montage émetteur commun RE = 0 ⇒ SI = β + 1 , SV = −

β

, Sβ ≅

IC o

β RB Le pire cas correspond au montage émetteur commun qui est le plus souvent employé.

5. Dérive du point de repos Ces facteurs de stabilité permettent de calculer les variations du point de polarisation quand la température varie. dICBO dICBO dVBE dVBE dβ dβ ⎧ dIC + SV + Sβ β ⎪ dT = SI dT + SV dT + S β dT = SI ICBO I dT β dT ⎪ CBO dT ⎨ dI dV ⎪ CE ≅ − (R + R ) C C E ⎪⎩ dT dT ⎧ dIC −9 −6 −6 ⎪⎪ dT ≅ 3.45 10 + 4.24 10 + 5.16 10 ≅ 9.4 µA d’où ⎨ ⎪ dVCE ≅ − (R + R ) dIC ≅ − 19 mV / °C C E ⎪⎩ dT dT

L’application numérique montre que l’influence du courant de fuite ICBO est négligeable à une température raisonnable et que les variations sur VBE et β jouent un rôle fondamental. Sans résistance d’émetteur, la dérive aurait été cinq fois plus importante. En conclusion, la présence d’une résistance d’émetteur diminue la fluctuation du point de repos dans le plan de sortie IC (VCE ) du transistor.

Sylvain Géronimi

Page 26




Etage déphaseur L’étude porte sur la caractérisation du circuit de la figure ci-dessous. Le transistor est de type 2N1711 ( β typique = 150 ). Le composant CG est un condensateur de liaison.

RB rg

RC 1k VCC

CG Q1

20 V

50 vG

RE 1k

vS1 vS2

Etude du régime continu 1. Calculez la valeur de la résistance RB nécessaire pour que la tension VCE 0 soit de 10 V ( VBE0 ≅ 0.6 V ). Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes 2. Dessinez le schéma et évaluez le paramètre rbe du modèle du transistor ( rce = ∞ ). 3. Calculez les gains en tension A v1 = v s1 v g et A v 2 = v s2 v g . 4. Calculez la résistance d’entrée Z e du montage. 5. Calculez les résistances de sortie Z s1 et Z s2 correspondant respectivement aux signaux de sortie v s1 et v s2 .

6. Concluez sur la dénomination du montage.

Sylvain Géronimi

Page 27

Caractérisation d’un amplificateur linéaire



Corrigé Etude du régime continu 1. Evaluation de la résistance RB +VCC RB

⎧VCC = RB I B + VBE + RE I E ⎪ ⎪VCC = RC IC + VCE + RE I E ⎨ ⎪I E = I B + IC ⎪I = β I B ⎩C

RC IC

IB

Q1

VCE

VBE RE

système de 4 équations à 4 inconnues ( I B , IC , I E , RB )

En considérant I E ≅ IC ( β >> 1 ), le système se réduit à 2 équations à 2 inconnues ( IC , RB ) IC ⎧ VCC − VBE o − RE ICo VCC − VCEo + VBE + RE IC ⎪VCC ≅ RB β ⇒ IC o ≅ β = 432 kΩ = 5 mA et RB ≅ ⎨ RC + RE IC o ⎪V ≅ (R + R )I + V C E C CE ⎩ CC

Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes 2. Schéma et évaluation du paramètre rbe Aux fréquences moyennes, le condensateur de liaison est équivalent à un court-circuit.

rg

rbe i

RB

rbe ≅

βi RC

vg RE

vs1

UT β = 750 Ω IC o

rce = ∞

vs2

3. Calcul des gains en tension En constatant que rg << RB dans l’application du théorème de Thévenin, le système s’écrit :

[

]

⎧v g ≅ rg + rbe + (β + 1)RE i ⎪⎪ ⎨v s1 = − β RC i ⎪ ⎪⎩v s2 = (β + 1)RE i vs vs (β + 1)RE β RC ⇒ A v1 = 1 ≅ − et A v 2 = 2 ≅ vg rg + rbe + (β + 1)RE vg rg + rbe + (β + 1)RE

soit A v1 ≅ −

Sylvain Géronimi

RC ≅ − 1 et A v 2 ≅ + 1 , car (β + 1)RE >> rg + rbe . RE

Page 28




4. Calcul de la résistance d’entrée Le dipôle représenté est équivalent à une résistance par application du théorème de Thévenin. Les courants dynamiques existant dans le dipôle sont générés par le courant d’excitation entrant i 0 , issu de la source de tension v 0 .

i0

i0 i1 v0

rbe

βi

i RB

v0

RC

ze

RE

⎧i 0 = i1 + i v v0 ⎪ ⇒ i0 = 0 + ⎨v 0 = RB i1 ( R r + β + 1)RB B be ⎪v = r i + (β + 1)R i be B ⎩ 0

d’où Z e =

v0 = RB // [rbe + (β + 1)RE ] ≅ 112 kΩ i0

Remarquons ici que la topologie du circuit présente des branches en parallèle, ce qui conduit à écrire l’expression de la conductance du dipôle et non de sa résistance (topologie série). A la vue du schéma, cela se vérifie par la présence de la résistance RB en parallèle sur la résistance du transistor vue de sa base. 5. Calcul des résistances de sortie Pour le calcul de la résistance vue entre collecteur et masse, le courant d’excitation i 0 ne peut traverser la branche de résistance infinie que représente la source liée. Le circuit en amont ne peut être excité et i = 0 ⇒ β i = 0 . La résistance du dipôle est donc Z s1 = RC . i0 i=0

βi=0

rbe

RE RG

RC

v0

RB

Pour le calcul de la résistance vue entre l’émetteur et la masse, la topologie du circuit présente une mise en parallèle des branches. Trouver RE en parallèle aux autres branches apparaît évident. De plus, RC est en série avec la résistance infinie de la source liée et, de ce fait, ne doit pas figurer dans l’expression de Z s2 . La source indépendante v g étant éteinte dans le dipôle, le courant d’excitation entrant i 0 peut atteindre la branche qui supporte rbe et la fraction de courant i commande la source β i . i0 i

i1

βi rbe RE

rg

Sylvain Géronimi

RB

v0

RC

Page 29




⎧i 0 = i1 − (β + 1)i rbe + rg // RB i ⎪ β +1 1 ⇒ 0 = d’où Z s2 = RE // ≅ 5 .3 Ω + ⎨v 0 = RE i1 v 0 RE rbe + rg // RB β +1 ⎪v = − r + r // R i be g B ⎩ 0

(

)

6. Conclusion Les dipôles équivalents du montage sous forme Thévenin sont, d’une part en sortie collecteur, une source de tension indépendante d’amplitude v g et de phase opposée à celle de l’entrée en série avec une résistance Z s1 = 1 kΩ (pseudo-émetteur commun) et, d’autre part en sortie émetteur, une source de tension indépendante d’amplitude v g et de même phase que celle de l’entrée en série avec une résistance Z s2 ≅ 5.3 Ω (émetteur suiveur). Le montage déphaseur de tension propose deux dipôles pour attaquer un éventuel montage suivant. collecteur

émetteur

Zs1

Zs2 vs1

vg

vs2

vg

L’amplificateur de tension peut être représenté sous la forme d’un quadripôle faisant apparaître un modèle utilisant une source contrôlée de tension, associée à une branche contrôlante supportant la résistance d’entrée (voir cours « La caractérisation d’un amplificateur linéaire ». collecteur Zs1 1k

rg 50 ve

Ze 112k

émetteur rg 50

vs1

ve

vg

ze 112k

vs2

vg A v1 ve

avec v e =

zs2 5.3

A v2 ve

Ze v g ≅ v g car Ze >> rg Z e + rg

⇒ v s1 = A v 1v g ≅ A v 1v e ≅ − v e et v s2 = A v 2 v g ≅ A v 2 v e ≅ + v e

Sylvain Géronimi

Page 30




Etage source commune L’étude porte sur la caractérisation du circuit de la figure ci-dessous sous la forme d’un dipôle et d’un quadripôle. Le transistor à effet de champ possède les caractéristiques I DSS = 15 mA, VP = −6 V . La résistance Rch représente la charge extérieure de l’étage. Les condensateurs ont une fonction de liaison (couplage).

RD 2k rg

CG

CL

J1

VCC

50 R

vG

100k

RS 300

Rch 8k

30 V

CS

Etude du régime continu 1. Déterminez les points de fonctionnement du transistor. Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes 2. Dessinez le schéma et évaluez le paramètre g m du modèle du transistor ( rds = ∞ ). 3. Calculez la résistance d’entrée Z e vue par le dipôle d’attaque ( v g , rg ). 4. Ecrivez les expressions des éléments du dipôle de Thévenin ( v s0 , Z s ) du montage attaquant la charge Rch . 5. Identifiez les éléments du quadripôle représentatif de l’amplificateur de tension, attaqué par le dipôle d’attaque et chargé par Rch . 6. Evaluez le transfert en tension v s v g .

Corrigé Etude du régime continu 1. Calcul des points de fonctionnement En continu ( ω = 0 ), les condensateurs de liaison sont équivalents à des circuits ouverts 1 = ∞ ). ( Cω +VCC RD ID IG=0

VDS

VGS R

⎧VCC ≅ (RD + RS )I D + VDS ⎪ 2 ⎪ ⎛ VGS ⎞ ⎜ ⎟ I I 1 = − ⎨D DSS ⎜ VP ⎟⎠ ⎝ ⎪ ⎪V ≅ − R I S D ⎩ GS

RS

système de 3 équations à 3 inconnues ( I D , VDS , VGS )

Sylvain Géronimi

Page 31



2 VGS

VP2


⎛ 1 2 ⎞ ⎟VGS + 1 = 0 ⇒ VGS ≅ − 2 V et I D ≅ 6.67 mA , VDS ≅ 14.7 V . + ⎜⎜ − ⎟ o o o I R V P ⎠ ⎝ DSS S

Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes 2. Schéma et évaluation du paramètre g m Aux fréquences moyennes, les condensateurs de liaison sont équivalents à des courts-circuits.

rg

vgs gm vgs

R

vs

RD

2 VP (canal N)

gm = − Rch

vg

I DSS I Do ≅ 3.33 mA / V

3. Calcul de la résistance d’entrée vue par l’attaque i0

Le dipôle contient tout le circuit (y compris la charge). La résistance d’entrée vue de la grille du JFET étant de valeur énorme (jonction en inverse), le courant d’excitation i 0 du dipôle se dirige entièrement dans la résistance R. Z e = R = 100 kΩ

G

v0

R

4. Dipôle de Thévenin Calcul de Z s vue par la charge Rch Le courant i 0 , issu de la source de tension v 0 extérieure appliquée au dipôle, est l’unique courant d’excitation du circuit puisque v g = 0

i0

rg

vgs = 0

gm vgs =0 RD

R

v0

vg = 0

(source éteinte). Il n’y a donc aucune possibilité d’atteindre la partie amont du circuit et v gs = 0 . ZS = RD = 2 kΩ

La tension à vide, appelée v s0 , se calcule en déconnectant la charge. R ⎧ R ⎪v gs = R + r v g vg ⇒ v s0 = − g m RD g ⎨ R + rg ⎪v = − g v R m gs D ⎩ s0

La tension de sortie en charge est

RD vs vs0

Sylvain Géronimi

Rch

vs =

Rch R v s0 = − g m (RD // Rch ) vg Rch + RD R + rg

Page 32




5. Quadripôle représentatif de l’amplificateur de tension L’amplificateur de tension peut être représenté sous la forme d’un quadripôle faisant apparaître un modèle utilisant une source contrôlée de tension, associée à une branche contrôlante supportant la résistance d’entrée (voir cours « La caractérisation d’un amplificateur linéaire ».

RD

rg ve

R

Rch

vs

vg A v ve

La branche d’entrée s’identifie à Z e = R . Le dipôle de sortie s’identifie au dipôle de Thévenin attaquant la charge dont les éléments sont ZS = RD et A v v e . Le transfert en tension A v est le coefficient de proportionnalité de la variable de commande v e tel que Av v e = Av

R v g = v s0 ⇒ A v = − g m R D R + rg

6. Evaluation du transfert en tension L’expression analytique de la tension de sortie en charge est : Rch v R vs = A v v e = − g m (RD // Rch ) v g ⇒ s ≅ − 5.33 Rch + RD R + rg vg (même expression que pour le dipôle, évidemment).

Sylvain Géronimi

Page 33




Etage collecteur commun chargé par un miroir de courant L’étude porte sur la caractérisation du circuit de la figure ci-dessous (résistance d’entrée, résistance de sortie, transfert en tension, fréquence de coupure basse). Les transistors sont tous identiques tels que β = 100 ( β >> 1), VBE0 = 0.6 V , rce = 100 kΩ . Le composant C est un condensateur de liaison.

RB C

Q1

R VCC

ve

10 V Q2

Q3

vs

Etude du régime continu 1. Evaluez la résistance R pour que la source de courant produise I E1 = 1 mA . ainsi que la résistance RB pour avoir VCE2 = 0.6 V .

Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes 2. Dessinez le schéma et évaluez le paramètre rbe du modèle du transistor Q1 . 3. Calculez le transfert en tension A V = v s v e . la résistance d’entrée Z e et la résistance de sortie Zs .

Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences basses 4. Evaluez la capacité de liaison afin d’obtenir une fréquence de coupure de l’ordre du hertz.

Sylvain Géronimi

Page 34




Corrigé Etude du régime continu

IR

RB

R

Q1

VCC

IB1 IE1

Q2

Q3

1. Evaluation des résistances Les composants Q2 , Q3 et R constituent un miroir élémentaire qui reconduit le courant I R en sortie de Q2 . ⎧⎪VCC = R I R + VBE3 ⎨ ⎪⎩I R ≅ I E1

⇒ R≅

VCC − VBEo I E1

= 9 .4 k Ω

Evaluation de la résistance RB

⎧⎪VCC = RB I B1 + VBE1 + VCE2 ⎨ ⎪⎩I E1 ≅ IC1 = β I B1 ( β >> 1)

⇒ RB ≅

VCC − VBEo − VCE2 I E1

β = 880 kΩ

Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes 2. Schéma et évaluation du paramètre du modèle Aux fréquences moyennes, le condensateur de liaison est équivalent à un court-circuit. ie

i rbe1 βi

RB

rbe1 ≅ req

vs

ve

UT β = 2 .5 kΩ IC1

req = rce1 // rce2 =

rce = 50 kΩ . 2

3. Caractérisation de l’étage Calcul du gain en tension

[

]

⎧⎪v e ≅ rbe1 + (β + 1)req i ⎨ ⎪⎩v s = (β + 1)req i

Sylvain Géronimi

⇒ Av =

(β + 1)req vs = ≅ 1. v e rbe1 + (β + 1)req

Page 35




Calcul de la résistance d’entrée Le dipôle représenté est équivalent à une résistance par application du théorème de Thévenin. Les courants dynamiques existant dans le dipôle sont générés par le courant d’excitation entrant i 0 , issu de la source de tension v 0 . i0

i

i0

rbe1

i1

βi

RB

v0

req

ze

v0

⎧i 0 = i1 + i ⎪ v v0 ⇒ i0 = 0 + ⎨v 0 = RB i1 ( R r + β + 1)req B be1 ⎪v = r i + (β + 1)r i be1 eq ⎩ 0

d’où Z e =

[

]

v0 = RB // rbe + (β + 1)req ≅ 750 kΩ i0

Calcul de la résistance de sortie i

i0 i1

rbe1 RB

ve = 0

βi

req v0

La source indépendante v e étant éteinte dans le dipôle, le courant d’excitation entrant i 0 peut atteindre la branche qui supporte rbe1 et la fraction de courant i commande la source β i . ⎧i 0 = i1 − (β + 1)i ⎪⎪ rbe1 rbe i 1 β +1 ⇒ 0 = + d’où Z s = req // ≅ 1 = 25 Ω . ⎨v 0 = req i1 v 0 req rbe1 β +1 β ⎪ ⎩⎪v 0 = − rbe1 i

Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences basses 4. Calcul de la capacité Constatons que le montage représente une simple résistance s’identifiant à la résistance d’entrée. C ve

Sylvain Géronimi

Ze

fb =

1 ⇒ C ≅ 212 nF avec fb = 1 Hz . 2π Z e C

Page 36




Etage différentiel à JBT L’étude porte sur la caractérisation de l’étage différentiel de la figure ci-dessous. Les deux transistors sont supposés technologiquement identiques avec β = 200, VA très grand .

RC

RC

VCC 15 V

S1 Q1

Q2

V1

V2

VCC 15 V

RE

Etude du régime continu 1. Démontrez que les courants collecteurs des transistors sont égaux. 2. En prenant I 0 = 200 µA , évaluez la résistance RE . Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes 3. Evaluez les paramètres rbe1 et rbe2 des modèles des transistors.

4. Exprimez la tension de sortie sous la forme v s1 = Ad (v 1 − v 2 ) + Ac (v 1 + v 2 ) 2 . 5. Evaluer RC pour avoir Ad = −100 , puis calculez le taux de réjection de mode commun TRMC . 6. Calculez la valeur de l’impédance d’entrée différentielle Z d . 7. Calculez la valeur de l’impédance d’entrée de mode commun Z c . La résistance RE est remplacée par un miroir de courant élémentaire Q3 - Q4 avec VA = 100 V (voir problème « miroir élémentaire pour polarisation d’étage », la polarisation étant directement compatible. 8. Evaluez le nouveau taux de réjection de mode commun.

Sylvain Géronimi

Page 37





RC

RC IC1

IC2

Q1

Q2

VCC 15 V

VBE1

VBE2

VCC 15 V

RE I0

1. Relation des courants collecteurs Equations technologiques

Equation de la maille d’entrée

VBE1 ⎧ ⎪I ≅ I e UT BS ⎪B Q1 ≡ Q2 ⇒ ⎨ 1 VBE2 ⎪ ⎪I B2 ≅ I BS e UT ⎩ VBE1 = VBE 2 ⇒ IC1 ≅ IC2

2. Evaluation de la résistance RE IC1 = IC1 = ICo ≅ o

o

VCC − VBE1 I0 o = 100 µA et RE = ≅ 72 kΩ 2 I0

Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes

vs1

RC

RC

Q1

Q2

v1

v2 RE ie1 + ie2

3. Evaluation des paramètres des modèles rbe1 et rbe2 rbe = rbe1 = rbe2 =

UT β = 50 kΩ IC0

4. Expression de la tension de sortie Méthode classique (voir cours « Montages à plusieurs transistors »)

Sylvain Géronimi

Page 38




Méthode du demi-schéma (voir annexe sur « Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel »)

vs1

vs1

RC

RC

RC

RC

ie1 = ie2

ie1 = - ie2 Q1

Q1

Q2

vd / 2 RE

masse virtuelle

Q2

vc

- vd / 2

vc

vd + vc 2 v v2 = − d + vc 2 v1 =

RE

0

ie1 + ie2 = 2 ie

Pour le régime différentiel, le montage (parfaitement symétrique) se réduit au montage émetteur commun de gauche, les tensions d’émetteur et de masse étant équipotentielles puisque la résistance RE est traversée par un courant nul. La tension de sortie v s1 est à gauche : v s1 = −

β RC v d 2

rbe1

Pour le régime de mode commun, le montage se réduit au montage pseudo-émetteur commun, l’émetteur de Q1 voyant une résistance équivalente 2 RE traversée par son courant d’émetteur : v s1 = −

rbe1

β RC vc + 2 (β + 1)RE

Le théorème de superposition donne v s1 = − On identifie Ad =

v s1 vd

=−

β RC 2 rbe1

et Ac =

v s1 vc

β RC β RC vd − vc 2 rbe1 rbe1 + 2 (β + 1)RE

=−

β RC rbe1 + 2 (β + 1)RE

5. Evaluation de la résistance RC et du taux de réjection TRMC RC = −

2 rbe Ad

β

= 50 kΩ , TRMC =

Ad R 1 = + (β + 1) E ≅ 289 (49.2 dB) 2 Ac rbe1

6. Evaluation de la résistance différentielle Z d (résistance inter-bases, vue par la tension différentielle d’entrée) Z d = rbe1 + rbe2 = 100 kΩ

7. Evaluation de la résistance de mode commun Z c (résistance entre base et masse, vue par la tension de mode Z c = rbe1 + 2 (β + 1)RE ≅ 29 MΩ commun d’entrée pour le demi-schéma) La source v c voit à ses bornes une résistance Z c 2 8. Evaluation du nouveau taux de réjection TRMC La charge dynamique du miroir rce3,4 ≅

VA = 500 kΩ remplace la résistance RE = 72 kΩ , ce qui I0

améliore les performances de l’étage différentiel ( TRMC ≅ 66 dB , Z c ≅ 201 MΩ )

Sylvain Géronimi

Page 39




Etage différentiel à JFET L’étude porte sur la caractérisation de l’étage différentiel de la figure ci-dessous. Les deux transistors sont supposés technologiquement identiques avec I DSS = 2 mA, VP = − 2 V . +VCC

+VCC

RD 10k

vs

J1

RD 10k J2

v1

v2 I0 J3

RS 500

-VCC

Etude en régime continu 1. Evaluez les courants de drain des transistors. Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes 2. Déduisez de l’étude du régime continu, les valeurs des paramètres g mi des transistors J i . 3. Ecrivez l’expression de la résistance dynamique z0 de la source de courant I 0 vue entre le drain et la masse. Evaluez cette dernière, le paramètre rds3 étant estimé à 100 kΩ. 4. Les paramètres rds des transistors J1 et J 2 étant négligés, écrivez puis évaluez les gains en tension Ad =

vs v et Ac = s . vd vc

5. Déduisez le TRMC en dB. 6. Evaluez les résistances différentielle Z d , de mode commun Z c et de sortie Z s du montage.

Sylvain Géronimi

Page 40




Corrigé Etude du régime continu +VCC

+VCC

RD

RD 10k

10k ID2

ID1 J1

0

J2

VGS1

VGS2

0

I0 J3

VGS3

RS 500

0

-VCC

1. Evaluation des courants de drain des transistors

Equations technologiques ( J1 ≡ J 2 ≡ J 3 )

2 ⎧ ⎛ VGS1 ⎞ ⎪I = I ⎟ ⎜ DSS ⎜ 1 − ⎪ D1 Vp ⎟⎠ ⎝ ⎪ 2 ⎪ ⎛ VGS2 ⎞ ⎪ ⎟ ⎜ (mêmes I DSS , VP ) ⎨I D2 = I DSS ⎜1 − Vp ⎟⎠ ⎪ ⎝ ⎪ 2 ⎛ VGS3 ⎞ ⎪ ⎟ ⎜ ⎪I D3 = I DSS ⎜1 − Vp ⎟⎠ ⎪⎩ ⎝

⎧I 0 ≡ I D = I D + I D 3 1 2 ⎪⎪ Equations du circuit ⎨VGS1 −VGS2 = 0 ⎪ ⎪⎩VGS3 = − RS I 0 I0 ⎧ ⎪I D1 = I D2 = 2 ⎛ 2 RS R2 1 ⎪ − d’où ⎨ 2 ⇒ S2 I 02 + ⎜ ⎜ ⎛ ⎞ I DSS Vp ⎪I = I ⎝ Vp ⎜ RS I 0 ⎟ DSS ⎜1 + ⎟ ⎪0 V p ⎠ ⎝ ⎩

⎞ ⎟ I0 + 1 = 0 ⎟ ⎠

soit I 0 ≅ 1.07 mA, I D1 = I D2 ≅ 536 µA o

o

2. Evaluation des paramètres g mi gm = −

2 Vp

Sylvain Géronimi

I Do I DSS , g m1 = g m2 ≅ 1.035 mA / V , g m3 ≅ 1.46 mA / V

Page 41




3. Calcul de la charge dynamique i0

⎧⎪v 0 = rds3 (i 0 − g m3 v gs ) + RS i 0 ⎨ ⎪⎩v gs = − RS i 0

rds3 gm vgs

i0 - gm vgs

v

0

RS

⇒ z0 =

vgs

(

)

v0 = RS + 1 + g m3 RS rds3 ≅ 173 kΩ i0

4. Expression de la tension de sortie La méthode du demi-schéma est mise en œuvre (voir annexe sur « Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel symétrique»). G1

vgs2

vgs1 gm vgs1

vd / 2 vc

G2

S2

S1

z0

vd / 2

gm vgs2 D2

D1 RD

RD

vc vs

Pour le régime différentiel, le montage se réduit au montage source commune, car la charge z0 est traversée par un courant nul et la tension de sortie v s est à droite, d’où v g R ⎛ v ⎞ v s = − g m RD ⎜ − d ⎟ d’où le gain différentiel Ad = s = m D ≅ 5.18 . 2 2 v ⎝ ⎠ d Pour le régime de mode commun, le montage se réduit au montage pseudo-source commune, la source de J 2 voyant une charge équivalente 2 z0 traversée par son courant de source, d’où vs = −

g m RD vc 1+ 2 g m z0

d’où le gain de mode commun Ac =

vs g m RD =− ≅ − 29 10 −3 . vc 1 + 2 g m z0

Le théorème de superposition donne v s = Ad v d + Ac v c . 5. Evaluation du TRMC TRMC =

Ad 1 = + g m z0 ≅ 180 (45 dB) Ac 2

6. Calcul des résistances différentielle, de mode commun et de sortie du montage Z d = ∞ , Z c = ∞ , Z s = RD = 10 kΩ

Sylvain Géronimi

Page 42




Réponse en fréquence d’un étage émetteur commun L’étude proposée porte sur le comportement en fréquence du montage de la figure ci-dessous. Le transistor possède les caractéristiques suivantes

β = 150, ft = 70 MHz,Cbc = 20 pF , VA = ∞ Les composants CG et CE sont respectivement des condensateurs de liaison et de découplage.

rg

CG

50

10u

RB1

RC

100k

1.5k Q1

VCC

S

20 V

vG

RB2

RE

22k

470

CE 100u

Etude du régime continu 1. Déterminez le point de repos du transistor. Etude du régime dynamique aux faibles signaux 2. Déduisez la valeur du paramètre rbe de l’étude précédente. 3. Aux fréquences moyennes, calculez le gain en tension Av o = v s v g , les résistances d’entrée et de sortie. 4. Evaluez la fréquence de coupure basse du montage. 5. Evaluez la fréquence de coupure haute du montage.

Sylvain Géronimi

Page 43

Réponse en fréquence




RC

RB1 IC

VCC

IB VCE VBE

RE

RB2 IE

1. Point de repos du transistor ⎧VCC ≅ (RC + RE )IC + VCE ⎨ ⎩VB = RB I B + VBE + RE I E

avec VB =

RB2 RB1 + RB2

VCC et RB = RB1 // RB2

RB ≅ 18 kΩ , IC0 ≅ 5.07 mA

Etude du régime dynamique 2. Résistance dynamique de la jonction base-émetteur rbe ≅

UT β ≅ 740 Ω IC 0

3. Gain en tension aux fréquences moyennes

β ib

rg

rbe

RB vg

RC

vs

ib

Ce schéma peut être simplifié au regard des valeurs numériques, car RB >> rg par Thévenin.

(

)

⎧⎪v g ≅ rg + rbe i b β RC v ≅ − 285 ⇒ Av o = s ≅ − ⎨ vg rg + rbe ⎪⎩v s = − β i b RC

soit un gain d’amplitude de 285 avec déphasage de π ou encore gain de 49 dB. Les résistances d’entrée et de sortie s’écrivent : Z e = RB // rbe ≅ 711 Ω et Z s = RC ≅ 1.5 kΩ .

Sylvain Géronimi

Page 44




4. Fréquence de coupure basse Schéma aux fréquences basses CG

rbe

rg ib

RB

β ib

RC

vg

RE

CE

La fonction de transfert en tension est du type passe-haut du second ordre par la présence des deux condensateurs indépendants au sein du montage. Méthode classique de mise en équations

⎛ p ⎞ P ⎜⎜1 + ⎟⎟ ω 3 ⎠ ω4 ⎝ Av ( p ) = Av o 2ζ p2 p+ 1+

ωn

avec

ωn2

1 ⎧ ⎪ω3 = R C E E ⎪ ⎪ RB + rbe + (β + 1)RE ⎪ω 4 = R B rg + rbe RB + rg CG ⎪ ⎨ ⎪ 2 ζ = r + R // [r + (β + 1)R ] C + ⎛⎜ R // rbe + RB g B be E G ⎜ E ⎪ ωn β +1 ⎝ ⎪ RB rg + rbe RB + rg CG RE CE 1 ⎪ 1 ⎪ 2 =ω ω = RB + rbe + (β + 1)RE 3 4 ⎩ ωn

[ {

(

[

)]

} )]

(

⎞ ⎟⎟ CE ⎠

Le calcul du coefficient d’amortissement ζ et de la pulsation naturelle ωn du système non amorti permet l’évaluation de la fréquence de coupure à – 3 dB (voir cours « Le filtrage analogique »).

ωc = ωn 2 ζ 2 − 1 +

( 2 ζ 2 − 1)2 + 1

soit fc ≅ 327 Hz (filtre passe-haut du second ordre).

Méthode par l’approximation du pôle dominant Calcul du premier pôle : Résistance RG∞ du dipôle vu par CG lorsque CE est assimilé à un court-circuit. RG∞

rg

RB

rbe

βi

RC

i

RG∞ = rg + RB // rbe ≅ 761 Ω

Sylvain Géronimi

Page 45




Résistance RE∞ du dipôle vu par CE lorsque CG est assimilé à un court-circuit. i0

rbe rg

βi

βi

i

//RB

i1

i rbe

RC

RE

RE∞

RE

⎧ v0 ⎪i1 = R E ⎪ ⎪ ⎨i 0 = i1 − (β + 1)i ⎪ v0 ⎪− i = rbe + rg // RB ⎪⎩

(

⇒

RC

i0 β +1 1 = + v 0 RE rbe + rg // RB

(

rg //RB

d’où RE∞ =

)

v0

rg // RB + rbe

β +1

// RE ≅ 5.21 Ω

)

ce qui donne la fréquence de coupure à – 3 dB, fb ≅

1 2π

⎛ 1 1 ⎜ ⎜ R∞ C + R∞ C E E ⎝ G G

⎞ ⎟ ≅ 326 Hz . ⎟ ⎠

Calcul du deuxième pôle : Résistance RE0 du dipôle vu par CE lorsque CG est assimilé à un circuit ouvert. Résistance RG0 du dipôle vu par CG lorsque CE est assimilé à un circuit ouvert. RG0

rbe

rg

RB

RC RE

RG0 = rg + RB // [rbe + (β + 1)RE ] ≅ 14440 Ω , RE0 = RE //

d’où f3 ≅

βi

i

RE0

RB + rbe ≅ 95.8 Ω β +1

1 ≅ 1 Hz 2π (RG0 CG + RE0 CE )

Calcul du zéro : Le zéro est produit par la liaison entre émetteur et masse, couplage dû à CE . En effet, si l’émetteur du transistor est en l’air, le courant dans la charge est nul, donc RE 1 1 =∞ ⇒ p=− ≅ 3.39 Hz . et f2 = 2π RE CE 1 + RE C E p R E CE Les résultats sont valables avec une excellente précision car les deux pôles sont séparés de plus de deux décades et le zéro est à deux décades en dessous du pôle dominant. La simulation sur Spice confirme ces chiffres.

Sylvain Géronimi

Page 46




5. Fréquence de coupure haute Estimation de la capacité de diffusion Cbe + Cbc =

IC 0

Cbc = 20 pF , Cbe ≅ 440 pF

2π UT ft

Schéma aux fréquences hautes Cbc

rg

Cbe

RB

v

gm v

rbe

Rc

vs

vg

La fonction de transfert en tension est du type passe-bas du second ordre par la présence des deux capacités indépendantes au sein du montage. Méthode classique de mise en équations L’écriture de la fonction de transfert en tension est la suivante : ⎧ gm ⎪ω z = ⎛ C p ⎞ bc ⎪ ⎜⎜1 − ⎟ ⎪⎪ 2 ζ ωZ ⎟⎠ ⎝ AV ( p ) = AVo avec ⎨ = rg // RB // rbe Cbe + RC + (1 + g m RC ) rg // RB // rbe Cb 'c 2ζ p2 ⎪ ωn 1+ p+ ⎪ 1 ωn ωn2 ⎪ 2 = rg // RB // rbe RC Cbe Cbc ⎪⎩ ω n

(

)

(

)

[

(

)]

Le calcul du coefficient d’amortissement ζ et de la pulsation naturelle ωn du système non amorti permet l’évaluation de la fréquence de coupure à – 3 dB (voir cours « Le filtrage analogique »).

ωc = ωn 1 − 2 ζ 2 +

( 2 ζ 2 − 1)2 + 1

soit fc ≅ 477 kHz

(filtre passe-bas du second ordre).

Méthode par l’approximation du pôle dominant Calcul du premier pôle : 0 Rbc

rg

v RB

0 R be

rbe

RC gm v

Résistance du dipôle vu par C be lorsque Cbc est assimilé à un circuit ouvert : 0 Rbe = rg // RB // rbe ≅ 46.7 Ω

Sylvain Géronimi

Page 47




Résistance du dipôle vu par C bc lorsque Cbe est assimilé à un circuit ouvert : 0 Rbe

i0

v

gm v RC

v0

0 i + R (i + g v ) ⎧⎪v 0 = R be 0 C 0 m ⎨ 0 i ⎪⎩v = R be 0

0 0 Rbc = (1 + g m RC )Rbe + RC ≅ 15730 Ω

0 0 a1 = Rbe Cbe + Rbc Cbc ≅ 3.35 10 −7 s , fh ≅

1 ≅ 475 kHz ce qui donne la fréquence de coupure 2π a1

à - 3 dB. Calcul du deuxième pôle : be du dipôle vu par C Résistance Rbc bc lorsque C be est assimilé à un court-circuit :

be Rbc

be = R = 1.5 kΩ Rbc C

RC

v=0 gm v = 0

0 C R be C −16 s 2 , d’où f ≅ a2 = Rbe be bc bc ≅ 6.17 10 2

a1 ≅ 86.5 MHz . 2π a2

Calcul du zéro : Le zéro est produit de manière telle que le courant circulant dans la charge RC est nul, couplage dû à Cbc . En effet, le courant circulant dans la branche supportant Cbc est égal au courant fourni par la source liée, donc g gm Cbc p V ( p ) = g m V ( p ) ⇒ p = m et f3 = ≅ 1.6 GHz . C bc 2π Cbc Malgré que les calculs, conduisant à l’évaluation de f2 , outrepasse le domaine de validité du modèle de comportement en fréquence du transistor ( f2 et f3 > ft ), la fréquence de coupure haute demeure valable avec une bonne précision, car les deux pôles sont séparés de plus de deux décades. L’hypothèse du pôle dominant est donc vérifiée à une précision inférieure à 1%. Sur un plan purement analytique, une meilleure précision peut être atteinte en évaluant une fréquence de coupure corrigée telle que 1 1 1 1 1 1 d’où f1 = fhcorrigée ≅ 478 kHz en prenant la valeur trouvée de ⇒ ≅ 2π a1 = + ≅ − fh f1 f 2 f1 fh f2 f2 (valeur approchée).

Sylvain Géronimi

Page 48




Méthode par transformation de schéma par application du théorème de Miller Le schéma H.F. fait apparaître un quadripôle ponté par la branche capacitive C bc . Le théorème de Miller (voir « Annexes ») conduit au schéma suivant (rappelons que le circuit de sortie ne sert que pour exprimer le transfert en tension).

rg

Cbe RB

v

avec C1 = (1 + g m RC )Cbc

C1

et R1 =

rbe R1

vg

RC 1 + g m RC

Calcul du premier pôle : 0 Résistance du dipôle vu par C be lorsque C1 est assimilé à un circuit ouvert : Rbe = rg // RB // rbe . 0 + R1 . Résistance du dipôle vu par C1 lorsque Cbe est assimilé à un circuit ouvert : R10 = R be

[

]

0 0 Cbe + Cbc (1 + g m RC )Rbe + RC (même résultat que précédemment). soit a1 = Rbe

Calcul du deuxième pôle : Résistance R1be du dipôle vu par C1 lorsque Cbe est assimilé à un court-circuit : R1be = R1 0 0 Cbe R1be C1 = Rbe Cbe RC Cbc (même résultat que précédemment). soit a2 = Rbe

La simulation sur Spice illustre ces résultats. De plus, si la position du deuxième pôle est acceptée ( f2 > ft ), la marge de phase de l’ordre de 40° démontre une bonne stabilité de l’amplificateur. 80

(327.975, 46.058)

40

(16.853K, 49.051)

(477.173K, 46.049)

(3.4146, 12.023) (92.289M, 20.262m)

0

(1.1307, 7.1713) marge de phase ≅ 40° 0 dB

-40

-80 10mHz DB(V(S))

Sylvain Géronimi

1.0Hz

100Hz

10KHz

1.0MHz

100MHz

10GHz

Frequency

Page 49




0d

(12.430K, -180.004)

(473.028K, -225.027)

-200d

(321.990, -135.004)

(80.309M, -315.194)

-400d

-600d 10mHz P(V(S))

Sylvain Géronimi

(92.350M, -320.013)

1.0Hz

100Hz

10KHz

1.0MHz

100MHz

10GHz

Frequency

Page 50




Réponse en fréquence d’un étage base commune Le sujet proposé porte sur l’étude en régime dynamique du montage base commune de la figure cidessous. Les paramètres du modèle en comportement linéaire du transistor sont :

β = 150, rbe = 740 Ω,Cbe = 440 pF ,Cbc = 20 pF ,VA = ∞ Les composants CG et CB sont respectivement des condensateurs de liaison et de découplage.

RB1 100k

RC 1.5k VCC Q

CB 10u

RB2

RE

22k

470

CG

rg

10u

50

20 V vs vg

Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 1. Dessinez le schéma. 2. Calculez le gain en tension Av 0 = v s v g , les résistances d’entrée et de sortie. Etude du régime dynamique aux fréquences basses 3. Dessinez le schéma. 4. Evaluez l’influence de chacun des condensateurs CG et CB sur la fréquence de coupure, l’autre étant équivalent à un court-circuit. Concluez sur la fréquence fb de coupure basse du montage. 5. Evaluer la fréquence fb par la méthode de l’approximation du pôle dominant. Etude du régime dynamique aux fréquences hautes 6. Dessinez le schéma. 7. En se plaçant dans l’hypothèse d’un pôle dominant, calculez la fréquence fh de coupure haute du montage. 8. Validez l’hypothèse du pôle dominant.

Sylvain Géronimi

Page 51




Corrigé Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 1. Schéma

rg

βi

i RE

RC

rbe

vs

vg

2. Caractérisation du montage Ce schéma peut être simplifié par Thévenin v g' =

[

]

R E rg RE v g et rg' = . R E + rg R E + rg

' ⎧⎪v g' = − (β + 1)rg' + rbe i vs vs vg β RC RE ⇒ = = = ≅ 26.9 (+28.6 dB) A ⎨ v0 ' v + + ( 1 ) // v β r R r R v ⎪⎩v s = − β i RC g E be E + rg g g g

(

)

Les résistances d’entrée et de sortie s’écrivent : Ze = RE //

rbe ≅ 4.9 Ω et Z s = RC ≅ 1.5 kΩ . β +1

Etude du régime dynamique aux fréquences basses 3. Schéma

CB

RB

rbe

RC βi

i

RE

CG rg

vg

La fonction de transfert en tension est du type passe-haut du second ordre par la présence des deux condensateurs indépendants au sein du montage. La recherche de la fréquence de coupure basse peut être alors entreprise de deux manières : -

constater l’influence d’un des condensateurs pris de manière indépendante, les autres étant assimilés à des court-circuits et interpréter globalement les résultats obtenus, appliquer la méthode d’approximation du pôle dominant, en n’oubliant pas de valider l’hypothèse.

4. Influence de chaque condensateur pris indépendamment Fréquence de coupure due à l’influence du condensateur CB

Sylvain Géronimi

Page 52




Le composant CG étant équivalent à un court-circuit ( f = ∞ ), le but est de calculer la constante de temps de coupure de la maille, c’est-à-dire d’écrire l’expression de la résistance RB∞ du dipôle vu par CB (théorème de Thévenin / Norton). i0 RB

v0

rbe

RC βi

i

RE // rg

v0 ⎧ ⎪i 0 = R + i ⇒ RB∞ = RB // rbe + (β + 1) RE // rg ≅ 5326 Ω B ⎨ ⎪v = r + (β + 1) R // r i be E g ⎩ 0

[

(

[

)]

soit une fréquence de coupure fb1 =

)]

(

1 ≅ 3 Hz . 2π RB∞ CB

Fréquence de coupure due à l’influence du condensateur CG Le composant CB étant équivalent à un court-circuit ( f = ∞ ), on recherche l’expression de la résistance RG∞ du dipôle vu par CG . i0 βi

i1

i rbe

RE

v0

RC rg

⎡ ⎤ ⎧⎡ ⎧i1 = i 0 + (β + 1)i RE ⎤ ⎢ ⎥ ( ) + + = 1 β 1 i i ⎪ ⎪ RE ⎢ ⎥1 0 rbe ⎦ ⇒ v0 = ⎢ + rg ⎥ i 0 ⎨v 0 = RE i1 + rg i 0 ⇒ ⎨⎣ ⎢1 + (β + 1) RE ⎥ ⎪ ⎪v = R i + r i ⎢ ⎥ E 1 g 0 ⎩rbe i = − RE i1 ⎩ 0 r be ⎣ ⎦

RG∞ =

rbe

β +1

// RE + rg ≅ 54.8 Ω , soit une fréquence de coupure fb2 =

1 ≅ 290 Hz . 2π RG∞ CG

L’influence de CG apparaît prépondérante vis-à-vis de CB car deux décades séparent les pôles, ce qui entraîne une fréquence de coupure basse fb ≅ 290 Hz . 5. Méthode par l’approximation du pôle dominant Calcul du premier pôle : 1 ⎛⎜ 1 1 fb ≅ + 2π ⎜⎝ RG∞ CG RE∞ CE

Sylvain Géronimi

⎞ ⎟ = fb + fb ≅ 293 Hz ce qui donne la fréquence de coupure à –3 dB. 1 2 ⎟ ⎠

Page 53




Calcul du deuxième pôle : Résistance R B0 du dipôle vu par CB lorsque CG est assimilé à un circuit ouvert. Résistance RG0 du dipôle vu par CG lorsque CB est assimilé à un circuit ouvert.

RB

RB0

rbe

RC βi

i

RE

RB0 = RB // [rbe + (β + 1)RE ] ≅ 14388 Ω , RG0 = RE //

d’où f3 ≅

RG0

rg

RB + rbe + rg ≅ 148 Ω β +1

1 ≅ 1.1 Hz 2π (RG0 CG + RB0 CB )

Calcul du zéro : Le zéro est obtenu par le couplage dû à CB . En effet, si la base du transistor est en l’air, le courant dans la charge est nul, donc

RB 1 1 et f2 = =∞ ⇒ p=− ≅ 0.88 Hz . 1 + RBCB RBCB 2π RB CB

Les résultats sont valables avec une excellente précision car les deux pôles sont séparés de plus de deux décades et le zéro est à deux décades en dessous du pôle dominant. La simulation sur Spice confirme ces chiffres. Etude du régime dynamique aux fréquences hautes 6. Schéma

Cbc Cbe

rbe

RC βi

i

RE

rg

vg

La fonction de transfert en tension est du type passe-bas du second ordre par la présence des deux capacités indépendantes au sein du montage. La méthode par l’approximation du pôle dominant est appliquée. 7. Fréquence de coupure haute Calcul du premier pôle : Résistance du dipôle vu par C be lorsque Cbc est assimilé à un circuit ouvert :

Sylvain Géronimi

Page 54




i0 βi i

i1

rbe

rg //RE

v0

RC

⎧i 0 + (β + 1)i = i1 v0 v ⎪ r 0 ⇒ i0 = + (β + 1) 0 ⇒ Rbe = rg // RE // be ≅ 4.42 Ω ⎨v 0 = − rbe i β +1 r R r // g E be ⎪v = r // R i g E 1 ⎩ 0

(

)

Résistance du dipôle vu par C bc lorsque Cbe est assimilé à un circuit ouvert : 0 = R = 1.5 kΩ car β i = 0 . Rbc C 0 C 0 −8 s , f ≅ a1 = Rbe be + R bc C bc ≅ 3.195 10 h

1 ≅ 4.98 MHz 2π a1

(fréquence de coupure à –3 dB).

Calcul du deuxième pôle : bc = R 0 . Résistance du dipôle vu par Cbe lorsque Cbc est assimilé à un court-circuit : Rbe be be = RC . Résistance du dipôle vu par C bc lorsque Cbe est assimilé à un court-circuit : Rbc

0 C 0 be bc −17 s 2 , d’où f ≅ ⇒ a2 = Rbe be R bc C bc = R be C be R bc C bc ≅ 5.834 10 2

a1 ≅ 87.2 MHz 2π a2

Malgré que le calcul conduisant à l’évaluation de f2 outrepasse le domaine de validité du modèle de comportement en fréquence du transistor ( f2 > ft ), la fréquence de coupure haute demeure valable avec une bonne précision, car les deux pôles sont séparés de plus d’une décade. L’hypothèse du pôle dominant est donc vérifiée à une précision d’environ 5%. Sur un plan purement analytique, une meilleure précision peut être atteinte en évaluant une fréquence de coupure corrigée telle que 1 1 1 1 1 1 ≅ 2π a1 = + d’où ≅ − et f1 = fhcorrigée ≅ 5.28 MHz (avec f2 valeur approchée). fh f1 f 2 f1 fh f2 La simulation sur Spice illustre les résultats. 40

(45.243K, 28.588)

20 dB / decade

20

(5.2867M, 25.575)

(291.838, 25.575) 0

(77.787M, 2.4421) -20

40 dB / decade -40 10Hz

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

1.0MHz

10MHz

100MHz

1.0GHz

DB(V(S)) Frequency

Sylvain Géronimi

Page 55




Réponse en fréquence d’un étage collecteur commun Le sujet proposé porte sur l’étude en régime dynamique du montage collecteur commun de la figure ci-dessous. Les paramètres du modèle en comportement linéaire du transistor sont :

β = 150, rbe = 755 Ω,Cbe = 432 pF ,Cbc = 20 pF ,VA = ∞ Le composant CG est un condensateur de liaison.

RB 284k rg

VCC

CG Q

3k vg

10n

20 V RE 2k

vs

Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 1. Dessinez le schéma. 2. Calculez le gain en tension Av 0 = v s v g , les résistances d’entrée et de sortie. Etude du régime dynamique aux fréquences basses 3. Dessinez le schéma. 4. Evaluez la fréquence fb de coupure basse du montage. Etude du régime dynamique aux fréquences hautes 5. Dessinez le schéma. 6. En se plaçant dans l’hypothèse d’un pôle dominant, calculez la fréquence fh de coupure haute du montage. 7. Validez l’hypothèse du pôle dominant.

Sylvain Géronimi

Page 56




Corrigé Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 1. Schéma i rbe

rg

βi

RB

RE

vs

vg

2. Gain en tension Ce schéma peut être simplifié par Thévenin v g' =

[

]

RB rg RB v g et rg' = ≅ 2969 Ω . RB + rg R B + rg

⎧⎪v g' = rg' + rbe + (β + 1)RE i v (β + 1)RE RB ⇒ Av 0 = s = ≅ 0.977 (- 0.2 dB) ⎨ v g rg // RB + rbe + ( β + 1) RE RB + rg ⎪⎩v s = (β + 1)i RE Les résistances d’entrée et de sortie s’écrivent : rg // RB + rbe Z e = RB //[rbe + (β + 1)RE ] ≅ 146.5 kΩ et Z s = // RE ≅ 24.4 Ω . β +1 Etude du régime dynamique aux fréquences basses 3. Schéma CG

rbe

rg ib

RB

β ib

vg RE

La fonction de transfert en tension est du type passe-haut du premier ordre par la présence d’un seul condensateur au sein du montage. 4. Fréquence de coupure basse La constante de temps de coupure est obtenue par le calcul de la résistance Req du dipôle (théorème de Thévenin ou Norton) vu par le condensateur. i

i0 i1

rbe βi RB

v0

RE

rg

Sylvain Géronimi

Page 57

⎧i 0 = i1 + i ⎪ ⎨v 0 = RB i1 + rg i 0 ⎪ ⎩RB i1 = [rbe + (β + 1)RE ]i




⎧ ⎛ RB ⎪i 0 = ⎜⎜1 + rbe + (β + 1)RE ⇒ ⎨ ⎝ ⎪v = R i + r i B 1 g 0 ⎩ 0

⎞ ⎟ i1 ⎟ ⎠

⇒ Req = rg + RB // [rbe + (β + 1)RE ]

d’où la fréquence de coupure à –3 dB fb ≅

1 ≅ 106 Hz avec Req ≅ 149.5 kΩ . 2π Req CG

Etude du régime dynamique aux fréquences hautes 5. Schéma Cbe rbe

i v

rg RB

βi gm v

Cbc

RE

vg

La fonction de transfert en tension est du type passe-bas du second ordre par la présence des deux capacités indépendantes au sein du montage. 6. Fréquence de coupure haute La méthode par l’approximation du pôle dominant est appliquée Calcul du premier pôle : Résistance du dipôle vu par C be lorsque Cbc est assimilé à un circuit ouvert : i0

i1

⎧v 0 = v ⎪ v ⎪ + i1 ⎨i 0 = r be ⎪ ⎪v = r // R i + R (i − g v ) g B 1 E 1 m ⎩ 0

rg//RB v

v0

rbe

RE

(

gm v

v0 ⎧ ⎪i 0 = r + i1 ⇒ ⎨ be ⎪v (1 + g R ) = r // R + R i m E g B E 1 ⎩ 0

(

0 = rbe // d’où Rbe

)

rg // RB + RE 1 + g m RE

⇒ i0 =

(1 + g m RE )v 0 rg // RB + RE

+

)

v0 rbe

≅ 12.3 Ω

Résistance du dipôle vu par C bc lorsque Cbe est assimilé à un circuit ouvert : rbe

i0

i

i1

0 Rbc = rg // RB // [rbe + (β + 1)RE ] ≅ 2940 Ω .

βi v0

Sylvain Géronimi

rg//RB

RE

Page 58




0 C 0 −8 s , f ≅ a1 = Rbe be + R bc C bc ≅ 6.41 10 h

1 ≅ 2.48 MHz 2π a1

ce qui donne la fréquence de

coupure à –3 dB. Calcul du deuxième pôle : Résistance du dipôle vu par C bc lorsque Cbe est assimilé à un circuit-circuit : be be 0 C −16 s 2 Rbc = rg // RB // RE ≅ 1195 Ω ⇒ a2 = Rbe be R bc C bc ≅ 1.27

ou encore, résistance du dipôle vu par Cbe lorsque C bc est assimilé à un circuit-circuit : i0

v

v0

rbe

bc = Rbe

RE

rbe

β +1

// RE ≅ 4.99 Ω

gm v

bc C R 0 C −16 s 2 , d’où f ≅ ⇒ a2 = Rbe 2 be bc bc ≅ 1.27 10

a1 ≅ 80 MHz 2π a2

Malgré que le calcul conduisant à l’évaluation de f2 outrepasse le domaine de validité du modèle de comportement en fréquence du transistor ( f2 > ft ), la fréquence de coupure haute demeure valable avec une bonne précision, car les deux pôles sont séparés de plus d’une décade. L’hypothèse du pôle dominant est donc vérifiée à une précision d’environ 3%. Sur un plan purement analytique, une meilleure précision peut être atteinte en évaluant une fréquence de coupure corrigée telle que 1 1 1 1 1 1 et f1 = fhcorrigée ≅ 2.56 MHz (avec f2 valeur approchée). d’où ≅ 2π a1 = + ≅ − fh f1 f 2 f1 fh f2 La simulation sur Spice illustre ces résultats. Un zéro, situé à fz =

β +1 ≅ 74 MHz , contre 2π rbe Cbe

l’effet du pôle f2 ≅ 80 MHz , d’où comportement du premier ordre. 10

(15.719K, -216.125m) -0

-10

(107.303, -3.1986)

(2.5746M, -3.2344)

-20

-30

-40 1.0Hz

10Hz

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

1.0MHz

10MHz

100MHz

1.0GHz

DB(V(S)) Frequency

Sylvain Géronimi

Page 59




Comparaison des montages fondamentaux à JBT A partir des résultats des problèmes sur les réponses en fréquence des étages émetteur commun, base commune et collecteur commun, effectuez une comparaison des performances étudiées.

Corrigé Report des performances dans le tableau suivant : performances

émetteur commun

base commune

collecteur commun

polarisation ICo

5.07

5.07

5

résistance d’entrée Ze (Ω)

711

4.9

146500

Résistance de sortie Zs ( Ω)

1500

1500

24.4

gain en tension A v

- 285

26.9

0.977

coupure basse fb (Hz )

326

297

106

coupure haute fh (kHz )

475

4980

2480

deuxième pôle f2 (MHz )

86.5

87.2

80

fh (kHz ) corrigée

478

5280

2560

Commentaires : •

• • •

• •

• •

Les trois montages utilisent le même transistor ( β , ft ,VA ) parcouru par le même courant de polarisation ICo , c’est-à-dire utilisant les mêmes valeurs des paramètres dynamiques du modèle aux faibles signaux ( rbe , Cbe ,Cbc ), permettant ainsi une bonne comparaison des performances. Les valeurs de la résistance d’entrée montrent qu’un étage base commune doit être attaqué en courant et qu’un étage collecteur commun en tension. La valeur de la résistance de sortie de l’étage collecteur commun fait apparaître son rôle d’abaisseur d’impédance (adaptateur basse impédance). Les étages émetteur commun et base commune sont des amplificateurs de tension, alors que l’étage collecteur commun recopie la tension d’entrée en sortie (suiveur de tension). Ici, le gain de l’étage base commune est faible à cause d’un problème d’adaptation sur l’entrée (attaque en courant). La fréquence de coupure basse est fonction du choix des valeurs de condensateurs de liaison et de découplage, donc indépendante du type d’étage. Les valeurs des fréquences de coupure haute mettent en exergue le principal problème de l’étage émetteur commun, à savoir une faible bande passante. Cette fréquence de coupure sera d’autant plus faible que la charge sera plus importante (gain en tension demandé plus important). La solution est l’utilisation du montage cascode. Le deuxième pôle se situe aux environs de la fréquence de transition ft , extrême limite du modèle de comportement du transistor en fréquence. La fréquence de coupure haute corrigée démontre l’efficacité de la méthode du pôle dominant.

Sylvain Géronimi

Page 60




Réponse en fréquence d’un étage pseudo-émetteur commun L’étude proposée porte sur le comportement en fréquence du montage de la figure ci-dessous. Le transistor possède les caractéristiques :

β = 200, ft = 400 MHz,Cbc = 0.2 pF , VA = ∞ Les composants CG et CE sont respectivement des condensateurs de liaison et de découplage.

RB1 79.8k rg

RC

VCC

1k Q1

CG

5V vS

50 vG

RE1 30

RB2

VCC 5V

24k

RE2

CE

220

Etude du régime continu 1. Calculez la valeur du courant IC 0 ( VBE0 ≅ 0.6 V ). Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 2. Evaluez le paramètre rbe du transistor. 3. Calculez le gain en tension Av 0 = v s v g . 4. Evaluez la résistance d’entrée Z e et la résistance de sortie Z s . Etude du régime dynamique aux fréquences hautes 5. Evaluez la capacité Cbe du transistor. On se place dans l’hypothèse où la fonction de transfert admet deux pôles réels espacés de plus d’une décade (approximation du pôle dominant). 6. Calculez la fréquence de coupure du montage. 7. Validez l’hypothèse du pôle dominant.

Sylvain Géronimi

Page 61




Corrigé Etude du régime continu RB1

RC

VCC

IC IB VCE VBE RB2

RE1

VCC

IE RE2

1. Evaluation du courant de collecteur RB2 I 2VCC = RB C + VBE + RE1 + RE 2 I E RB1 + RB2 β

(

)

avec RB = RB1 // RB2

RB ≅ 18450 Ω , IC0 ≅ 5 mA Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes

rg

rbe RB

i

βi RC

vg

vs

RE1

2. Evaluation des paramètres U rbe = T β ≅ 1 kΩ , rce = ∞ car VA = ∞ IC 0 3. Gain en tension Av 0 ≅ −

β RC ≅ − 28.25 ( + 29 dB ) rg + rbe + (β + 1)RE1

( RB >> rg par théorème de Thévenin)

4. Impédances d’entrée et de sortie Z e = RB // rbe + (β + 1)RE1 ≅ 5090 Ω (vue par le générateur d’attaque), Z s = RC = 1 kΩ

[

]

Etude du régime dynamique aux fréquences hautes 5. Estimation de la capacité de diffusion IC 0 Cbc = 0.2 pF , Cbe ≅ 79.6 pF Cbe + Cbc = 2π UT ft

Sylvain Géronimi

Page 62




6. Calcul de la fréquence de coupure (méthode par l’approximation du pôle dominant) 0 R bc

0 R be

rbe

v

gm v RC

rg

RB RE1

0 Résistance R be du dipôle vu par Cbe lorsque Cbc est assimilé à un circuit ouvert

i0

i1

rg // RB

rbe

v

v0

i2

RC RE1

gm v

Le circuit présente deux nœuds et deux mailles indépendantes, soit un système de 4 équations à 4 inconnues i1, i 2 , v et le couple recherché (v 0 , i 0 ) . v ⎧ ⎪i 0 = i1 + r be ⎪ ⎪i = i + g v m ⎨1 2 ⎪v = v 0 ⎪ ⎩⎪v 0 ≅ rg i1 + RE1 i 2

⇒

v0 ⎧ ⎪i1 = i 0 − r be ⎪⎪ ⇒ ⎨i 2 = i1 − g m v 0 ⎪v ≅ r i + R i g 1 E1 2 ⎪ 0 ⎪⎩

i0 1 1 + g m RE1 = + v 0 rbe rg + RE1

0 = rbe // d’où Rbe

RE1 rg ⎛ ⎞ ⇒ v 0 ⎜⎜1 + + + g m RE1 ⎟⎟ ≅ rg + RE1 i 0 r r be be ⎝ ⎠

(

rg + RE1 1 + g m RE1

)

0 ( Rbe ≅ 11.3 Ω )

0 du dipôle vu par Cbc lorsque Cbe est assimilé à un circuit ouvert Résistance R bc

v0

i0

i1

i2

rbe βi

rg // RB

i

RC (β+1) i RE1

Sylvain Géronimi

Page 63




⎧i 0 = i + i1 ⎪ ⎪i 0 + β i + i 2 = 0 ⎨v ≅ r i − R i g 1 C 2 ⎪ 0 ⎪rg i1 ≅ rbe i + ( β + 1)RE i 1 ⎩ 0 = RC + rg d’où Rbc

⎧⎪v 0 ≅ rg (i 0 − i ) + RC ( i 0 + β i ) ⇒ ⎨ ⎪⎩rg (i 0 − i ) ≅ rbe i + ( β + 1)RE1 i

rbe + (β + 1)RE1 + β RC rg + rbe + (β + 1)RE1

≅ 2462 Ω

0 C 0 −9 s ⇒ f ≅ a1 = Rbe be + R bc C bc ≅ 1.392 10 h

1 ≅ 114 MHz (fréquence de coupure) 2π a1

7. Validation de l’approximation du pôle dominant Calcul du deuxième pôle : a1 0 ∞ ∞ 0 avec a2 = Rbe f2 ≅ Cbe Rbc Cbc ou a2 = Rbe Cbe Rbc Cbc 2π a2 ∞ bc ) : résistance du dipôle vu par C Rbe (ou Rbe be lorsque C bc est assimilé à un court-circuit ∞ be ) : résistance du dipôle vu par C Rbc (ou Rbc bc lorsque C be est assimilé à un court-circuit.

i0

RE1

rg // RB

v0 RC

be apparaît plus judicieux au vu du schéma précédent, puisque la Le choix du calcul de Rbc

résistance r be est court-circuitée et la source liée ne débite aucun courant. Le résultat est alors ∞ = rg // RB // RE1 + RC ≅ 1020 Ω . immédiat, à savoir Rbc

d’où a2 ≅ 1.835 10 −19 s 2 et la fréquence de coupure est f2 ≅ 1.2 GHz ( f2 > ft ). La fréquence de coupure haute évaluée par l’approximation du pôle dominant est d’une précision de l’ordre de 10%, car les fréquences calculées sont séparées d’une décade. Il ne faut pas oublier que le modèle de Giacoletto est toléré jusqu'à la fréquence de transition (400 MHz), ce qui signifie que les calculs du deuxième pôle et des deux zéros ne sont pas acceptables. Cependant ces fréquences sont, en réalité, très au-dela de la fréquence de coupure à 3 dB. Sur un plan purement analytique, une meilleure précision peut être atteinte en évaluant une fréquence de coupure corrigée telle que 1 1 1 1 1 1 et f1 = fhcorrigée ≅ 127 MHz d’où ≅ 2π a1 = + ≅ − fh f1 f 2 f1 fh f2 La simulation sur Spice illustre ce résultat.

Sylvain Géronimi

Page 64




Réponse en fréquence d’un étage source commune L’étude porte sur la caractérisation du circuit de la figure ci-dessous. Le transistor à effet de champ possède les caractéristiques statiques I DSS = 15 mA, VP = −6 V et les paramètres de son modèle dynamique aux faibles signaux sont rds = ∞, Cgs = 4 pF ,Cgd = 2 pF . Les composants CG et CS sont respectivement des condensateurs de liaison et de découplage.

RD 2k rg 50 vG

CG

J1

VCC 30 V

10n R 100k

RS 300

vS CS 100u

Etude du régime continu 1. Déterminez le point de repos du transistor. Etude du régime dynamique aux faibles signaux 2. Evaluez le paramètre g m du modèle du transistor de l’étude précédente. 3. Aux fréquences moyennes, calculez le gain en tension Av 0 = v s v g , les résistances d’entrée Ze et de sortie Z s . 4. Evaluez la fréquence de coupure basse du montage. 5. Evaluez la fréquence de coupure haute du montage.

Sylvain Géronimi

Page 65




Corrigé Etude du régime continu 1. Point de repos du transistor En continu ( ω = 0 ), les condensateurs de liaison sont équivalents à des circuits ouverts 1 = ∞ ). ( Cω +VCC

⎧VCC ≅ (RD + RS )I D + VDS ⎪ 2 ⎪ ⎛ VGS ⎞ ⎜ ⎟ ⎨I D = I DSS ⎜1 − VP ⎟⎠ ⎝ ⎪ ⎪V ≅ − R I S D ⎩ GS

RD ID IG=0

VDS

VGS R

RS

système de 3 équations à 3 inconnues ( I D , VDS , VGS )

2 VGS

VP2

⎛ 1 2 ⎞ ⎟VGS + 1 = 0 ⇒ VGS ≅ − 2 V et I D ≅ 6.67 mA , VDS ≅ 14.7 V . + ⎜⎜ − ⎟ o o o I R V P ⎠ ⎝ DSS S

Etude du régime dynamique 2. Evaluation du paramètre g m gm = −

2 VP

I DSS I Do ≅ 3.33 mA / V

3. Caractérisation aux fréquences moyennes

rg

vgs gm vgs

R

RD

vs

vg

Dans ce domaine de fréquences, les condensateurs de liaison et de découplage sont équivalents à des courts-circuits. Calcul du gain R ⎧ v R ⎪v gs = R + r v g ⇒ v s = − g m RD v g soit Av 0 = s ≅ − g m RD ≅ − 6.66 (16.48 dB) g ⎨ R + r v g g ⎪v = − g v R m gs D ⎩ s La résistance d’entrée (vue par le circuit d’attaque sous forme Thévenin vaut Z e = R = 100 kΩ et la résistance de sortie ZS = RD = 2 kΩ .

Sylvain Géronimi

Page 66




4. Fréquence de coupure basse Schéma aux fréquences basses CG

rg

vgs R

RD

gm vgs

vg

RS

CS

La fonction de transfert en tension est du type passe-haut du second ordre par la présence des deux condensateurs indépendants au sein du montage. La méthode par l’approximation du pôle dominant permet la détermination rapide de la fréquence de coupure basse (voir « Annexes »). Calcul du premier pôle : Résistance RG∞ du dipôle vu par CG lorsque CE est assimilé à un court-circuit. RG∞

R

rg

vgs

gm vgs

RD

RG∞ = rg + R ≅ 100 kΩ

Résistance RS∞ du dipôle vu par CS lorsque CG est assimilé à un court-circuit. i0 gm vgs

vgs

RS

0 RD

i

rg // R

v0

⎧v 0 = − v gs i 1 ⎪ + gm v gs ⇒ 0 = ⎨ v 0 RS ⎪i 0 + g m v gs + RS ⎩ 1 ≅ 150 Ω d’où RS∞ = RS // gm

ce qui donne la fréquence de coupure à –3 dB fb ≅

1 2π

⎛ 1 1 ⎜ ⎜ R∞ C + R∞ C S S ⎝ G G

⎞ ⎟ ≅ 170 Hz . ⎟ ⎠

Calcul du deuxième pôle : Résistance RS0 du dipôle vu par CS lorsque CG est assimilé à un circuit ouvert. Résistance RG0 du dipôle vu par CG lorsque CS est assimilé à un circuit ouvert.

Sylvain Géronimi

Page 67




RG0

vgs

gm vgs

R

rg

RD

RS0

RS

RG0 = rg + R ≅ 100 kΩ , RS0 = RS //

d’où f2 ≅

1 ≅ 150 Ω gm

1 ≅ 9.95 Hz 2π (RG0 CG + RS0 CS )

Calcul du zéro : Le zéro est produit par la liaison entre source et masse, couplage dû à CS . En effet, si la source du transistor est en l’air, le courant dans la charge est nul, donc RS 1 1 =∞ ⇒ p=− et f3 = ≅ 5.3 Hz . 2π RS CS 1 + RSCS p RS CS Les résultats sont valables avec une précision satisfaisante car les deux pôles sont séparés d’un peu plus d’une décade et le zéro est situé légèrement en dessous du pôle le plus bas (voir la simulation sur Spice). 5. Fréquence de coupure haute Schéma aux fréquences hautes Cgd

rg

Cgs

R

vgs

RD

gm vgs

vs

vg

La fonction de transfert en tension est du type passe-bas du second ordre par la présence des deux capacités indépendantes au sein du montage. La méthode par l’approximation du pôle dominant est mise en œuvre. Calcul du premier pôle : 0 Rgd

rg

Sylvain Géronimi

R

0 R gs

vgs

Page 68

RD gm vgs




Résistance du dipôle vu par Cgs lorsque Cgd est assimilé à un circuit ouvert : 0 Rgs = rg // R ≅ 50 Ω

Résistance du dipôle vu par Cgd lorsque Cgs est assimilé à un circuit ouvert : 0 Rgs

i0

vgs

(

0 i +R i +g v ⎧⎪v 0 = Rgs 0 D 0 m gs ⎨ 0 ⎪⎩v gs = Rgs i 0

gm vgs RD

v0

0 C 0 −9 s , f ≅ a1 = Rgs gs + R gd C gd ≅ 4.97 10 h

)

0 = (1 + g R )R 0 + R ≅ 2383 Ω Rgd m D gs D

1 ≅ 32 MHz ce qui donne la fréquence de coupure 2π a1

à –3 dB. Calcul du deuxième pôle : gs du dipôle vu par Cgd lorsque Cgs est assimilé à un court-circuit : Résistance Rgd

gs Rgd

RC

v=0

gs Rgd = R D = 2 kΩ

gm v = 0

0 C R gs C −19 s 2 , d’où f ≅ a2 = Rgs gs gd gd ≅ 8 10 2

a1 ≅ 989 MHz 2π a2

Calcul du zéro : Le zéro est produit de manière telle que le courant circulant dans la charge RD est nul, couplage dû à Cgd . En effet, le courant circulant dans la branche supportant Cgd est égal au courant fourni par la source liée, donc Cgd p Vgs ( p ) = g m Vgs ( p ) ⇒ p =

gm gm ≅ 265 MHz et f3 = Cgd 2π Cgd

La fréquence de coupure haute demeure valable avec une bonne précision, malgré la présence du zéro qui s’intercale entre les deux pôles. Notons que le domaine de validité du modèle de comportement en fréquence du transistor est acceptable puisqu’il n’existe pas de phénomène de diffusion pour un JFET (modélisation de deux diodes en inverse).

Sylvain Géronimi

Page 69




La simulation sur Spice illustre ces résultats. 20

(173.235, 13.788)

(33.283M, 13.501) (58.434K, 16.448) pente 20 dB/décade

0

pente - 20 dB/décade

(271.227M, 923.737m)

(13.335, -6.7119) (949.014M, -4.2491737m)

pente 40 dB/décade


-20 (5.1989, -17.281) pente 20 dB/décade

-40 1.0Hz 10Hz DB(V(S))

Sylvain Géronimi

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

1.0MHz

10MHz

100MHz

1.0GHz

10GHz

Frequency

Page 70




Réponse en fréquence d’un étage pseudo-source commune Le sujet proposé porte sur l’étude du montage de la figure ci-dessous, représenté dans son régime dynamique aux faibles signaux. Le paramètre rds du modèle en comportement linéaire du transistor JFET est supposé de valeur très importante. Le composant CG est un condensateur de liaison et la valeur de la résistance du dipôle d’attaque est telle que rg << R .

RD rg

CG

vS

J1

R

vg

RS

Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 1. Dessinez le schéma. 2. Ecrivez les expressions du gain en tension Av 0 = v s v g et des résistances d’entrée ze et de sortie zs du montage. Etude du régime dynamique aux fréquences basses 3. Dessinez le schéma. 4. Ecrivez la fréquence fb de coupure basse du montage. Etude du régime dynamique aux fréquences hautes 5. Dessinez le schéma. On se place dans l’hypothèse où la fonction de transfert admet deux pôles réels espacés de plus d’une décade (approximation du pôle dominant) et zéros très éloignés. 0 , résistance dynamique vue par C 6. Donnez l’expression analytique de Rgs gs à fréquence nulle. 0 , résistance dynamique vue par C 7. Donnez l’expression analytique de Rgd gd à fréquence nulle.

∞ gd (ou Rgs ), résistance du dipôle vu par Cgs lorsque 8. Donnez les expressions analytiques de Rgs ∞ gs ), résistance du dipôle vu par Cgd lorsque Cgs Cgd est assimilé à un court-circuit et Rgd (ou Rgd

est assimilé à un court-circuit qui permettent de valider l’hypothèse du pôle dominant en déterminant la position du deuxième pôle.

Sylvain Géronimi

Page 71




Corrigé Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 1. Schéma rg

vgs gm vgs R

RD

vg

vs

RS

2. Gain en tension et résistance d’entrée ⎧⎪v s = − g m v gs RD ( R >> rg par théorème de Thévenin) ⎨ ⎪⎩v g ≅ v gs + g m v gs RS v g R ⇒ Av 0 = s ≅ − m D et ze = R (vue par le générateur d’attaque), zs = RD . vg 1 + g m RS

Etude du régime dynamique aux fréquences basses 3. Schéma rg

CG ze = R

4. Fréquence de coupure basse Le condensateur voit à ses bornes un dipôle passif ( v g éteint) de résistance ze + rg , ce qui fournit la constante de temps de coupure, donc la fréquence de coupure basse fb =

1 . 2 π ( rg + ze )CG

Etude du régime dynamique aux fréquences hautes 5. Schéma 0 Rgd

vgs

rg

0 R gs

gm vgs RD

R RS

Sylvain Géronimi

Page 72




Calcul du premier pôle : La fréquence de coupure à – 3 dB s’écrit f1 ≅

1 2π a1

0 0 avec a1 = Rgs Cgs + Rgd Cgd (sous condition

d’un pôle dominant). 0 : résistance du dipôle vu par Cgs lorsque Cgd est assimilé à un circuit ouvert. Rgs 0 : résistance du dipôle vu par Cgd lorsque Cgs est assimilé à un circuit ouvert. Rgd

0 6. Ecriture analytique de la résistance R gs

i0

rg // R

vgs

i1

RD

v0 RS

gm vgs

⎧i 0 = i1 + g m v gs ⎧⎪i 0 = i1 + g m v 0 ⎪⎪ ⇒ ⎨ ⎨v 0 = v gs ⎪⎩v 0 ≅ rg i 0 + RS i1 ⎪ ⎪⎩v 0 ≅ rg i 0 + RS i1 r g + RS v 0 d’où Rgs . = 0 ≅ i 0 1 + g m RS

⇒ v 0 ≅ rg i 0 + RS (i 0 − g m v 0 )

0 7. Ecriture analytique de la résistance Rgd

i0

v0

i1 vgs

gm vgs RD

rg // R RS

⎧i 0 + g m v gs + i1 = 0 ⎪⎪ ⎨v 0 ≅ rg i 0 − RD i1 ⎪ ⎩⎪rg i 0 ≅ v gs + g m v gs RS

⎧⎪v 0 ≅ rg i 0 + RD (i 0 + g m v gs ) ⇒ ⎨ ⎪⎩rg i 0 ≅ v gs (1 + g m RS )

g m rg ⎛ 0 ≅ rg + RD ⎜⎜1 + d’où Rgd + g m RS 1 ⎝

Sylvain Géronimi

⇒ v 0 ≅ ( rg + R D ) i 0 +

rg g m RD 1 + g m RS

i0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Page 73




8. Pour la validation de l’approximation du pôle dominant Calcul du deuxième pôle : a1 0 ∞ ∞ 0 avec a2 = Rgs f2 ≅ Cgs Rgd Cgd ou a2 = Rgs Cgs Rgd Cgd 2π a2 ∞ gd Rgs (ou Rgs ) : résistance du dipôle vu par Cgs lorsque Cgd est assimilé à un court-circuit. ∞ gs Rgd (ou Rgd ) : résistance du dipôle vu par Cgd lorsque Cgs est assimilé à un court-circuit. ∞ Ecriture analytique de la résistance Rgd

i0

rg // R

RS

0

v0 RD

∞ apparaît plus judicieux au vu du schéma précédent, puisque la tension Le choix du calcul de Rgd

v gs est nullee et la source liée ne débite aucun courant. Le résultat est alors immédiat, à savoir ∞ Rgd ≅ rg // RS + RD . ∞ Ecriture analytique de la résistance Rgs

i0

rg // R

RD v0

vgs gm vgs RS

⎧v 0 = v gs ⎪⎪ ⎨v 0 ≅ (RD // rg + RS ) i1 ⇒ v 0 = (RD // rg + RS ) (i 0 − g m v 0 ) ⎪ ⎪⎩i 0 = i1 + g m v gs v 1 ∞ d’où Rgs //(RD // rg + RS ) . = 0 = i0 gm

Dans les deux cas, nous devons retrouver la même écriture analytique de a2 .

Sylvain Géronimi

Page 74




Réponse en fréquence d’un étage cascode L’étude proposée porte sur le comportement en fréquence du montage de la figure ci-dessous. Les deux transistors sont supposés identiques :

β = 100, ft = 100 MHz, Cbc = 4 pF , VA = ∞ Les composants CG , CB , CE sont respectivement des condensateurs de liaison et un condensateur de découplage. RB1 2.2k RB2

Q2

1.2k rg

vG

+

CG

RC 560

Q1

50

+

VCC

-

20 V

vS RB3 560

RE 220

CE

CB

Etude du régime continu 1. Dans l’hypothèse où l’on suppose les courants de base des transistors négligeables devant le courant circulant dans la maille définie par RB1 , RB2 , RB3 et VCC , déterminez les points de fonctionnement des deux transistors. Validez cette hypothèse. Etude du régime dynamique aux faibles signaux 2. Déduisez les paramètres rbe des transistors de l’étude précédente. 3. Aux fréquences moyennes, calculez les valeurs de la résistance d’entrée ze , de la résistance de sortie zs et du gain en tension Av 0 = v s v g du montage. 4. Déterminez la fréquence de coupure haute. 5. Donnez les spécificités d’un tel amplificateur.

Sylvain Géronimi

Page 75




Corrigé Etude du régime continu RB1 RC

IB2

RB2

VCE2 IC2

IC1

Q1 IB1

VCE1

VBE2

+

Q2

VCC

-

VBE1

RB3

RE

1. Points de repos D’après l’hypothèse formulée, le courant de maille est I ≅

VCC RB1 + RB2 + RB3

L’hypothèse de départ fait négliger deux fois 100 µA devant 5.05 mA (≅ 4%) VCE1 ≅ VCE2 ≅ 6.1V , IC1 ≅ IC2 ≅ IC o = 10 mA o

o

o

o

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 2. Résistances dynamiques des jonctions base-émetteur U rbe = rbe1 = rbe2 = T β ≅ 250 Ω donc g m = g m1 = g m2 ≅ 0.4 A / V IC 0 3. Caractérisation aux fréquences moyennes β i2

rg

i2 RB

v

vg

rbe2

rbe1

RC

vs

gm v

ze = RB // rbe ≅ 151 Ω avec RB = RB2 // RB3 , zs = RC = 560 Ω

⎧g m v = (β + 1)i 2 ⎪ v ze ze ⎪ v g ⇒ Av 0 = s = ⎨v = v z z r + g e + rg e g ⎪ ⎪v = − R β i C 2 ⎩ s

Sylvain Géronimi

⎛ β ⎞⎛ β RC ⎜⎜ − ⎟⎟⎜⎜ ⎝ β + 1 ⎠⎝ rbe

Page 76

⎞ ⎟ ≅ −168 (+ 44.4 dB) ⎟ ⎠




4. Fréquence de coupure haute Cbe1 = Cbe2 = Cbe car Cbc1 = Cbc 2 = Cbc et même fréquence de transition Cbe + Cbc =

IC 0

( Cbc = 4 pF , Cbe ≅ 633 pF )

2π UT ft

Méthode par l’approximation du pôle dominant 0 Rbc 1

RG

RB

gm v2

gm v1

v1

v2

rbe1 0 R be 1

0 Rbe 2

rbe2

RC 0 Rbc 2

Ce circuit présente trois éléments capacitifs indépendants, puisqu’une maille n’est composée que de ce type d’éléments. Le système est donc d’ordre 3. Calcul du premier pôle : 1 0 0 0 0 fh ≅ avec a1 = Rbe C + Rbc C bc1 + Rbe C be2 + Rbc Cbc 2 1 be1 1 2 2 2 π a1 Résistance du dipôle vu par Cbe1 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des 0 = rg // RB // rbe1 ≅ 37.6 Ω . circuits ouverts : Rbe 1

Résistance du dipôle vu par Cbe2 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des 0 = circuits ouverts : Rbe 2

rbe2

β +1

≅ 2.48 Ω . gm v2

v2

v0

rbe2

RC

Résistance du dipôle vu par Cbc1 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des 0 = R 0 (1 + α ) + R 0 circuits ouverts : Rbc be be ≅ 77.24 Ω . 1

1

2

i0

v1

0 Rbe 1

v0 i1

gm v1

0 Rbe 2

Sylvain Géronimi

Page 77




Résistance du dipôle vu par Cbc 2 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des 0 = RC = 560 Ω . circuits ouverts : Rbc 2

a1 ≅ 2.79 10 −8 s , fh ≅ 5.7 MHz ce qui donne la fréquence de coupure à –3 dB par l’approximation du pôle dominant.

Calcul du deuxième pôle : Les éléments capacitifs sont pris par paire (6 combinaisons) pour l’évaluation du coefficient a 2 . f2 ≅

a1 2 π a2

avec

be1 be1 = Rbc = Rbe 2

1

a2 ≅ 9.53 10

rbe1

β +1

−17

be1 be1 be1 0 0 0 a2 = Rbe C Rbc Cbc1 + Rbe C be1 Rbe Cbe2 + Rbe C Rbc Cbc 2 1 be1 1 1 be1 2

2

1

bc1 0 + Rbc C bc1 Rbe Cbe2 1 2

bc1 0 + Rbc C Rbc Cbc 2 1 bc1 2

be2 0 + R be C be2 Rbc Cbc 2 2 2

bc1 be1 be2 bc1 0 // ≅ 2.48 Ω , Rbc = Rbc = Rbc = RC = 560 Ω , Rbe = Rbe 2

2

2

2

1

rbe2 1 // ≅ 1 .2 Ω g m1 β + 1

s 2 , f2 ≅ 46.6 MHz

Ce résultat montre que l’hypothèse du pôle dominant donne une fréquence de coupure à plus de 10% près, puisque un peu moins d’une décade sépare les deux pôles, le troisième pôle étant supposé plus haut en fréquence. Les fréquences de coupure dûes aux zéros sont très hautes. Sur un plan purement analytique, une meilleure précision peut être atteinte en évaluant une fréquence de coupure corrigée (négligeant la présence du troisième pôle) telle que 1 1 1 1 1 1 ≅ 2π a1 = + d’où ≅ − et f1 = fhcorrigée ≅ 6.5 MHz fh f1 f 2 f1 fh f2 La simulation sur Spice présente le même résultat. 5. Spécificités de l’amplificateur L’amplificateur cascode est composé de deux étages (système du 3° ordre) : -

-

un étage émetteur commun d’amplification en courant égale à β et d’amplification en tension inférieure à l’unité puisque la charge dynamique de cet étage est la résistance dynamique de la jonction base-émetteur d’un transistor monté en base commune (2.5 Ω). Cette très faible amplification en tension permet de minimiser la valeur de la capacité Cbc ramenée à l’entrée de l’étage par l’application du théorème de Miller et, par conséquent, d’obtenir la bande passante la plus large possible, un étage base commune d’amplification en courant α et possédant une fréquence de coupure de l’ordre de la fréquence de transition. Cet étage apporte une amplification en tension importante.

L’ensemble des deux étages forme alors un amplificateur de puissance possédant une bande passante élevée.

Sylvain Géronimi

Page 78




Réponse en fréquence d’un montage émetteur commun-collecteur commun L’étude proposée porte sur le comportement en fréquence du montage de la figure ci-dessous. Les transistors possèdent les caractéristiques suivantes

β = 150, ft = 70 MHz,Cbc = 13.6 pF , VA = 100 V Les composants C1 , C2 et C3 sont respectivement des condensateurs de liaison et de découplage.

RC

RB1

R1

ie

2.2k

vg

Q2

10k

VCC

Q1

C1

C3

47µ ve

25Vdc

10µ RB2 82k

RE 1k

C2 100µ

R2

R3

2.2k

22k

vs

RP

Etude du régime continu 1. Déterminez la valeur de la résistance de polarisation RB1 pour que le potentiel d’émetteur de Q2 soit à VCC 2 ( VBEo ≅ 0.6 V ). Etude du régime dynamique aux faibles signaux sans contre-réaction ( RP = ∞ ) 2. Déduisez, à partir des courants de polarisation, les paramètres dynamiques des modèles faibles signaux rbe , rce , Cbe de Q1 et Q2 . 3. Aux fréquences moyennes, évaluez le gain en tension A v o = v s v g , puis caractérisez le montage en l’absence de R1 ( A v = v s v e , Ze , Zs ). 4. Evaluez la fréquence de coupure basse du montage. 5. Evaluez la fréquence de coupure haute du montage et démontrez que la marge de phase Φ M est supérieure à 45°. Etude du régime dynamique aux faibles signaux avec contre-réaction 6. Constatez que les variables de polarisation ne sont pas modifiées par la présence de RP . 7. Aux fréquences moyennes, évaluez la résistance de transfert Rt = v s i e de la chaîne directe et dessinez le schéma équivalent du montage. Précisez le type de contre-réaction. 8. Aux fréquences moyennes, caractérisez le montage en boucle fermée et évaluez les paramètres Rt' , Ze' , Zs' et Av' o = v s v g pour RP = 150 kΩ et 27 kΩ. 9. Déterminez la bande passante du montage pour les deux valeurs de contre-réaction.

Sylvain Géronimi

Page 79




Corrigé Etude du régime continu 25 V 1.19 mA 10k

RB1

37.6 µA

1.76 V

Q2

13.1 V

29.14 µA

7.68 µA

0.6 V

Q1

5.68 mA

1.16 V

0.6 V 82k

12.5 V

1k 21.46 µA

2.2k

1.16 mA

1. Evaluation de la résistance RB1 IC1 ≅ 1.15 mA , IC2 ≅ 5.64 mA , RB1 ≅ 798 kΩ d’où le pont de base RB = RB1 // RB2 ≅ 74.36 kΩ . o

o

Etude du régime dynamique 2. Paramètres dynamiques des modèles JBT Q1 → rbe1 ≅ 3260 Ω , rce1 ≅ 87 kΩ , Cbe1 ≅ 91 pF , Cbe1 = 13.6 pF Q2 → rbe2 ≅ 664 Ω , rce2 ≅ 17.7 kΩ , Cbe2 ≅ 500 pF , Cbe2 = 13.6 pF

3. Caractérisation du montage aux fréquences moyennes Suivant la méthode de la caractérisation d’étages en cascade, nous déterminons l’équivalent de Thévenin à vide du premier étage ( v s1 , Z s1 ).

R1

v1

RB

rce1

rbe1

RC

vs1

gm1 v1

Z s1

vg

RB // rbe1 ⎧ vg ⎪v 1 = R1 + RB // rbe1 ⎨ ⎪v = − g v R // r m1 1 C ce1 ⎩ s1

(

)

⇒ A1 =

v s1 vg

=−

β rbe1

(RC // rce ) R R+BR// r//ber

≅ − 242

1

1

1

B

be1

zs1 = RC // rce1 ≅ 8969 Ω

Le circuit équivalent de Thévenin obtenu attaque l’étage collecteur commun.

Sylvain Géronimi

Page 80




rbe2

i2

zs1

rce2 β i2

vs2

zs 2

R2 // R3

vs1

Posons R = rce2 // R2 // R3 ≅ 1797 Ω

[

]

⎧⎪v s1 = zs1 + rbe2 + (β + 1)R i 2 vs (β + 1)R ⇒ A2 = 2 = ≅ 0.966 ⎨ ( ) = + v β 1 R i v z r + ⎪⎩ s2 2 s1 s1 be2 + (β + 1)R ze2 = rbe2 + (β + 1)R ≅ 272 kΩ , zs2 = R //

zs1 + rbe2

Ainsi, le transfert du montage vaut Av o =

vs = A1 A2 ≅ − 234 soit 47.4 dB vg

β +1

≅ 61.6 Ω

La caractérisation demandée en l’absence de R1 est la suivante : Z e = RB // rbe1 ≅ 3123 Ω , Z s = zs2 ≅ 62 Ω , A v =

(

)

vs β =− RC // rce1 A2 ≅ − 399 . ve rbe1

4. Fréquence de coupure basse Schéma C1

C3

i2 rbe2 rbe1

R1 RB

rce1

i1

β i2

β i1

RC

rce2

R2

R3

vg

RE

C2

La fonction de transfert en tension est du type passe-haut du troisième ordre par la présence des trois condensateurs indépendants au sein du montage. La méthode par l’approximation du pôle dominant est utilisée pour le calcul de la fréquence de coupure. Calcul du premier pôle : Résistance R1∞ du dipôle vu par C1 lorsque C2 et C3 sont assimilés à des courts-circuits. R1∞

R1

RB

rbe1 i1

Sylvain Géronimi

rce1

RC

ze2

R1∞ = R1 + RB // rbe1 ≅ 5323 Ω

β i1

Page 81




Résistance R2∞ du dipôle vu par C2 lorsque C1 et C3 sont assimilés à des courts-circuits. i0

rbe1 R1

rbe1

ze2

RC

RE

R2∞

RE

i1

rce1

β i1

i1

//RB

i β i1

rce1

ze2 //RC

v0

R1 //RB

Afin de simplifier le calcul analytique, nous écrivons l’expression de la résistance du dipôle en l’absence de RE , cette dernière étant branchée en parallèle sur ce dipôle. ⎧i + (β + 1)i + i = 0 1 ⎪⎪ 0 v = − r ⎨ 0 be1 + R1 // RB i1 ⎪ ⎩⎪v 0 = − rce1 i − ze2 // RC (β i1 + i )

(

⇒

(

)

)

(

β +1 ⎧ ⎪i 0 = r + R // R v 0 − i be1 B 1 ⎪ ⇒ ⎨ ⎪v = − r + z // R i + β ze2 // RC v ce1 e2 C 0 ⎪ 0 rbe1 + R1 // RB ⎩

(

(

)

)

⎡ β ze2 // RC ⎤ i0 1 β +1 = + ⎢1 − ⎥ v 0 rbe1 + R1 // RB ⎢⎣ rbe1 + R1 // RB ⎦⎥ rce1 + ze2 // RC

)

d’où R2∞ =

v0 // RE ≅ 38.14 Ω i0

Résistance R3∞ du dipôle vu par C3 lorsque C1 et C2 sont assimilés à des courts-circuits. R3∞

i2 rbe2 rce1 0

β i2

RC

rce2

R2

R3

La résistance R du dipôle de gauche est en série avec la résistance R3 . rce // RC + rbe2 R= 1 // rce2 // R2 d’où R3∞ = R + R3 ≅ 22078 Ω β +1 ce qui donne la fréquence de coupure à – 3 dB, fb ≅

1 2π

⎛ 1 1 1 ⎜ + ∞ + ∞ ⎜ R∞ C ⎝ 1 1 R 2 C 2 R3 C 3

⎞ ⎟ ≅ 43 Hz ⎟ ⎠

Calcul du zéro : Le zéro est produit par la liaison entre émetteur et masse, couplage dû à C2 . En effet, si l’émetteur du transistor est en l’air, le courant dans la charge est nul, donc RE 1 1 et f2 = =∞ ⇒ p=− ≅ 1.6 Hz 2π RE C2 1 + RE C 2 p RE C 2 Cette fréquence est relativement proche de la fréquence de coupure (environ une décade et demi), mais interfère très peu sur la fréquence de coupure basse du montage.

Sylvain Géronimi

Page 82




5. Fréquence de coupure haute Schéma 0 Rbe 0 Rbc 1

2

i2 rbe2 v1

R1

β i2

gm1 v1 zs1

Ze

R

0 Rbe 1

0 Rbc

2

Ce circuit présente trois éléments capacitifs indépendants, puisqu’une maille n’est composée que de ce type d’éléments. Le système est donc d’ordre 3. La méthode par l’approximation du pôle dominant est utilisée. Calcul du premier pôle : 1 0 0 0 0 avec a1 = Rbe C + Rbc Cbc1 + Rbe Cbe2 + Rbc Cbc 2 fh ≅ 1 be1 1 2 2 2 π a1 Résistance du dipôle vu par Cbe1 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des 0 circuits ouverts : Rbe = R1 // Z e ≅ 1291 Ω . 1

Résistance du dipôle vu par Cbc1 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des circuits ouverts : v0

i0

i2 rbe2 gm1 v1

v1

β i2

zs1

0 Rbe

R

1

(

)(

0 ⎧v 0 = Rbe i + zs1 // ze2 i 0 + g m1 v 1 ⎪ 1 0 ⎨ 0 ⎪⎩v 1 = R be1 i 0

)

(

)(

)

0 0 0 ⇒ Rbc = Rbe + zs1 // ze2 1 + g m1 Rbe ≅ 525.7 kΩ 1 1 1

Résistance du dipôle vu par Cbe2 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des circuits ouverts : i0

i

⎧v = v ⎪ 0 ⎪ v +i ⎨i 0 = rbe2 ⎪ ⎪v = z i + R i − g v s1 m2 ⎩ 0

zs1 v

v0

rbe2

R

(

gm2 v

v0 ⎧ +i ⎪i 0 = r ⇒ ⎨ be2 ⎪v 1 + g R = z + R i m2 s1 ⎩ 0

(

Sylvain Géronimi

) (

)

⇒ i0 =

(1 + g m R )v 0 + v 0 2

zs1 + R

Page 83

rbe2

)

0 ⇒ Rbe = rbe2 // 2

zs1 + R 1 + g m2 R

≅ 25.44 Ω




Résistance du dipôle vu par Cbc 2 lorsque les autres éléments capacitifs sont assimilés à des 0 = zs1 // ze2 ≅ 8683 Ω . circuits ouverts : Rbc 2

d’où a1 ≅ 7.40 10 −6 s , fh ≅

1 ≅ 21.5 kHz ce qui donne la fréquence de coupure à –3 dB. 2π a1

Calcul du deuxième pôle : Les éléments capacitifs sont pris par paire (6 combinaisons) pour l’évaluation du coefficient a2 . a1 f2 ≅ 2 π a2

avec

be1 be1 be1 0 0 0 a2 = Rbe C Rbc Cbc1 + Rbe C be1 Rbe Cbe2 + Rbe Cbe1 Rbc Cbc 2 1 be1 1 1 1

2

2

bc1 bc1 be2 0 0 0 + Rbc C bc1 Rbe Cbe2 + Rbc Cbc1 Rbc Cbc 2 + R be C be2 Rbc Cbc 2 1 1 2 2

2

2

be1 be1 be1 be2 0 Rbc = Rbc = zs1 // ze2 ≅ 8683 Ω , Rbe = Rbe ≅ 25.44 Ω , Rbc = zs1 // R ≅ 1497 Ω , 1

2

2

bc1 0 Rbc = Rbe // 1 2

2

2

1 bc1 // zs1 // ze2 ≅ 21.32 Ω , Rbe = rbe2 // 2 g m1

0 Rbe 1

1 // // zs1 + R g m1 1 + g m2 R

≅ 4.44 Ω

d’où a2 ≅ 4.744 10 −14 s 2 , f2 ≅ 24.8 MHz Calcul du zéro : Le zéro du montage émetteur commun est produit de manière telle que le courant circulant dans la capacité de couplage Cbc1 soit entièrement absorbé par la source liée (tension nulle sur la charge) Cbc1 p V1( p ) = g m1 V1( p ) ⇒ p =

g m1 Cbc1

et f z =

g m1 2π Cbc1

≅ 540 Mhz

Malgré que ce calcul outrepasse le domaine de validité du modèle de comportement en fréquence des transistors ( ft = 70 Mhz ), les fréquences issues des pôles sont valables et séparées de trois décades. L’hypothèse du pôle dominant est donc vérifiée à une précision de 0.1 % pour ce type de calcul analytique. Le produit gain

x

fréquence de coupure haute reste constant

Av o fh ≅ 5 MHz puisque le

deuxième pôle apparaît au dessous de l’axe des 0 dB, à la fréquence de 25 MHz. Le comportement du système est donc du premier ordre et la marge de phase est nettement supérieure à 45°, ce qui démontre une bonne stabilité de l’amplificateur. La simulation sur Spice illustre ces résultats. 80 (42.258, 44.376)

40

(1.0000K, 47.376)

(21.527K, 44.376)

(1.2589, 19.750) (5.0119M, -38.642m)

0

produit gain x bande constant

-40

-80 100mHz 1.0Hz DB(V(S))

Sylvain Géronimi

(30.824M, -17.990)

marge de phase ≅ 82°

10Hz

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

1.0MHz

10MHz

100MHz 1.0GHz

Frequency

Page 84




0d (40.596,-135.018)

(1.0000K,-180.285) (21.559K,-225.007) -200d

(5.0119M,-277.848)

-400d

(34.133M,-315.031)

-600d 100mHz 1.0Hz P(V(S))

10Hz

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

1.0MHz

10MHz

100MHz 1.0GHz

Frequency

6. Polarisation du montage en contre-réaction Les condensateurs de liaison C1 et C2 isolent la résistance RP du continu. les paramètres des modèles des transistors restent donc inchangés. 7. Résistance de transfert aux fréquences moyennes RP

is ig R1 2.2k ve

⎧v e = Z e i e ⎪ vs ⎨ ⎪Av = v e ⎩ v ⇒ R t = s = A v Z e ≅ − 1246 kΩ (121.9 dB) ie (contre-réaction tension courant)

27k

ie

Zs 62

Ze 3123

vs

vg R t ie

8. Caractérisation du montage aux fréquences moyennes La contre-réaction fait apparaître une topologie parallèle en entrée et en sortie. De ce fait, les nouveaux paramètres diminuent dans un rapport 1 + Y Rt (voir cours « La contre-réaction »). ig R1 2.2k

Z’s ve

Z’e

vs

vg R’ t ig

⎧ ' Rt ⎪Rt = 1 + Y Rt ⎪ ⎪⎪ ' Ze ⎨Ze = Y Rt 1 + ⎪ ⎪ ' Zs ⎪Zs = ⎪⎩ 1 + Y Rt

v ve − vs v ⎛ v ⎞ v 1 = − s ⎜⎜1 − e ⎟⎟ ≅ − s car − e = ≅ 2.5 10 −3 << 1 RP RP ⎝ v s ⎠ RP vs Av quadripôle de retour est attaqué en tension ( Z s << RP ). is =

Sylvain Géronimi

Page 85

⇒ Y =

is 1 ≅− vs RP

et le




Pour RP = 150 kΩ , Rt' ≅ − 133.8 kΩ , Ze' ≅ 336 Ω , Zs' ≅ 6.6 Ω avec 1 + Y Rt ≅ 9.307 ⎧⎪v s = Rt' i g Rt' ⇒ Av' = ≅ − 52.8 (34.45 dB) ⎨ ' R1 + Z e' ⎪⎩v g = R1 + Z e i g

(

)

Pour RP = 27 kΩ , Rt' ≅ − 26.43 kΩ , Z e' ≅ 66.2 Ω , Z s' ≅ 1.3 Ω avec 1 + Y Rt ≅ 47.15 Av' =

Rt' R1 + Ze'

≅ − 11.66 (21.3 dB)

La résistance d’entrée du montage est augmentée de la valeur de la résistance série R1 = 2.2 kΩ . 9. Bande passante du montage Le produit gain fréquence de coupure haute se conserve car le circuit se comporte comme un système du premier ordre à cause du pôle dominant. A v o fh = A v' fh' ≅ 5.03 MHz ⇒ fh' ≅ 95.4 kHz , fh' ≅ 432 kHz respectivement pour RP = 150 kΩ et 27 kΩ. La valeur de la fréquence de coupure basse du système contre-réactionné peut être approchée en considérant que son comportement asymptotique est proche du premier ordre (zéro et deuxième pôle très voisins). Le rapport gain fréquence de coupure basse est alors à peu près conservé. Av o ≅ 5.44 Hz −1 ⇒ fb' ≅ 9.7 Hz , fb' ≅ 2.2 Hz respectivement pour RP = 150 kΩ et 27 kΩ. fb Tableau récapitulatif : RP (kΩ )

Rt' (kΩ )

Z e' (Ω)

Z s' ( Ω )

Av'

fh' (kHz )

fb' (Hz )

∞

- 1246

5323

62

- 234

21.5

43

150

- 133.8

2536

6.6

- 52.8

95.4

9.7

27

- 26.43

2266.2

1.3

- 11.7

432

2.2

Simulation 80

(42.242, 44.375)

(1.0000K,47.376)

(10.098, 31.434)

(21.534K, 44.376)

(1.0000K,34.433)

40

(95.499K, 31.434) (436.237K, 18.312)

(1.0000K,21.313)

0

(2.2179, 18.315)

(5.0119M, -38.643m)

-40 100mHz

Sylvain Géronimi

1.0Hz DB(V(S))

10Hz

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

1.0MHz

10MHz

100MHz

Frequency

Page 86




Miroir de courant élémentaire pour polarisation d’étage On considère l’étage de polarisation de la figure ci-dessous dans lequel les transistors sont supposés technologiquement identiques ( β = 200, V A = 100 V ) et les tensions d’alimentation VCC = 15 V . +VCC Ipol R

IC2

Q1

Q2

-VCC

Etude du régime continu 1. Sans négliger le moindre terme sur les courants, écrivez l’expression de IC 2 en fonction de I pol .

(

2. Donnez la précision du miroir par l’évaluation de l’erreur définie comme étant ε = I pol − IC2

)

IC2 .

3. Evaluez la résistance R pour obtenir IC2 = 200 µA , VBE de l’ordre de 0.6 V. Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 4. Evaluez les paramètres dynamiques rbe1 , rbe2 , rce1 , rce2 des modèles des transistors. 5. Prouvez que la source est représentée par une simple résistance z0 et évaluez celle-ci.

Sylvain Géronimi

Page 87

Eléments de circuits intégrés



Corrigé 1. Expression de IC2 (I pol ) Equations technologiques : VBEi

ICi = β I Bi = β I BS e

Q1 ≡ Q2

→

UT

⎛ VCEi ⎜1 + ⎜ VA ⎝

I BS1 = I BS2

VBEi

⎞ ⎟ ≅ β I BS e UT ⎟ ⎠

en négligeant l’effet Early (VCEi << VA )

VBE1 ⎧ ⎪I ≅ β I e UT BS ⎪ C1 = I BS , β1 = β 2 = β ⇒ ⎨ VBE2 ⎪ ⎪IC2 ≅ β I BS e UT ⎩

Equations du circuit : ⎧⎪VBE1 = VBE2 ⇒ I B1 = I B2 et IC1 = IC2 ⎨ ⎪⎩I pol = I B1 + I B2 + IC2

⇒

IC2 =

β I pol β +2

2. Précision du miroir

ε=

I pol IC 2

−1=

2

β

= 1%

3. Evaluation de la résistance R R=

2VCC − VBE1 β + 2 ≅ 148 kΩ β IC 2

(équation non linéaire car VBE1 est fonction de I BS )

La valeur de VBE1 sera approchée par une tension de 0.6 V. Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 4. Evaluation des paramètres dynamiques des transistors rbe = rbe1 = rbe2 ≅

UT V β et rce = rce1 = rce2 ≅ A IC 2 IC 2 o

(VCE i << VA ) , soit rbe ≅ 25 kΩ , rce ≅ 500 kΩ

o

5. Caractérisation de la charge dynamique i0

R

rce

rbe

v

gm v

rbe

rce gm v

v0

L’absence de source d’excitation dynamique à l’entrée du montage fait qu’aucun courant n’existe dans la partie gauche du circuit, en particulier v = 0 entraîne g m v = 0 , d’où z0 = v 0 i 0 = rce . Cette charge dynamique est de valeur relativement importante ( z0 ≅ 500 kΩ ).

Sylvain Géronimi

Page 88




Miroir de courant élémentaire pour transfert dynamique On considère le transfert du courant i E (t ) = I E + i e (t ) vers la sortie, effectué par le montage de la figure ci-dessous. Les transistors sont supposés technologiquement identiques ( β = 200, VA = 100 V ).

iS (t)

iE (t)

vE (t)

Q1

Q2

vS (t)

Etude du régime continu 1. Ecrivez l’expression de IS en fonction de I E . Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 2. Evaluez les paramètres dynamiques rbe1 , rbe2 , rce1 , rce2

des modèles des transistors pour

IS = 200 µA . 3. Précisez les conditions d’attaque et de charge de ce quadripôle. Donnez les conditions idéales. 4. Caractérisez la source de courant dynamique telle que ⎛v ⎞ ⎛v ⎞ ⎛i ⎞ , Z e = ⎜⎜ e ⎟⎟ , Z s = ⎜⎜ s ⎟⎟ et dessinez le quadripôle équivalent. Ai = ⎜⎜ s ⎟⎟ i i ⎝ e ⎠v s =0 ⎝ e ⎠v s =0 ⎝ i s ⎠ i e =0

Sylvain Géronimi

Page 89




Corrigé Etude du régime continu 1. Expression de IS (I E ) IS =

β I E ≅ I E (voir le même problème en étage de polarisation) β +2

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 2. Evaluation des paramètres dynamiques des transistors rbe = rbe1 = rbe2 ≅

UT V β et rce = rce1 = rce2 ≅ A , soit rbe ≅ 25 kΩ , rce ≅ 500 kΩ IC 2 IC 2 o

o

3. Conditions d’attaque et de charge On a affaire à un amplificateur de courant de gain unité. L’attaque en courant à l’entrée nécessite une résistance de générateur très importante devant la résistance d’entrée du quadripôle et l’attaque en courant à la sortie impose une résistance de sortie du quadripôle très importante devant la résistance de charge. Les conditions idéales sont de considérer la sortie en court-circuit et l’entrée attaquée par un générateur de courant de résistance infinie. 4. Caractérisation de la source de courant is

ie

rce ve

rbe

rbe

v

gm v

rce gm v

vs

⎛i ⎞ ⎛v ⎞ ⎛v ⎞ r β = ≅ 1 , Z e = ⎜⎜ e ⎟⎟ = be ≅ 124 Ω , Z s = ⎜⎜ s ⎟⎟ = rce ≅ 500 kΩ A i = ⎜⎜ s ⎟⎟ ⎝ i e ⎠v s =0 β + 2 ⎝ i e ⎠ v s =0 β + 2 ⎝ i s ⎠ i e =0

Le calcul de la résistance de sortie s’effectue en éteignant la source de courant indépendante (application du théorème de Thévenin / Norton). Schéma du quadripôle équivalent ie

is

Ai ie ve

Ze

Zs

vs

On peut vérifier que si le courant dynamique d’entrée i e est nul, la source liée est telle que Ai i e = 0 (pas de transfert de courant) et le dipôle de sortie se réduit à la présence de Z s uniquement. On retrouve le cas d’une source pour polarisation d’étage présentant sa charge dynamique Z s (dipôle).

Sylvain Géronimi

Page 90




Source de courant simple à JFET pour polarisation d’étage Considérons le sous-circuit représenté ci-dessous. Le transistor possède les caractéristiques constructeur I DSS = 2 mA, VP = − 2 V . L’alimentation a le pôle +VCC relié à la masse. I0 J3

D S RS 500

-VCC

Etude du régime continu 1. Evaluez le courant I 0 . Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 2. Evaluez le paramètre dynamique g m3 du modèle du transistor. 3. Ecrivez l’expression de la résistance dynamique z0 vue entre le drain et la masse. Evaluez cette dernière, le paramètre rds3 étant estimé à 100 kΩ.

Corrigé Etude du régime continu 1. Evaluation de I 0 ⎧VGS = −RS I 0 ⎪⎪ ⎛ VGS ⎨ ⎪I 0 = I DSS ⎜⎜1 − Vp ⎝ ⎩⎪

2

2

⎛ R I ⎞ ⎛ 2 RS ⎛R ⎞ I 1 2 − ⎞ ⇒ 0 = ⎜1 + S 0 ⎟ ⇒ ⎜ S ⎟ I 02 + ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ Vp ⎜ ⎟ ⎟ I DSS ⎝ Vp ⎠ V I p DSS ⎝ ⎝ ⎠ ⎟ ⎠ En retenant la racine du polynôme de plus faible valeur, I 0 ≅ 1.072 mA .

⎞ ⎟ I0 + 1 = 0 ⎟ ⎠

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 2. Evaluation de la pente du transistor g m = −

2 VP

I D I DSS ≅ 1.46 mA / V

3. Evaluation de la résistance dynamique z0 i0

(

rds v0

gm vgs

vgs

⇒ z0 = RS

Sylvain Géronimi

)

⎧⎪v 0 = rds i 0 − g m v gs + RS i 0 ⎨ ⎪⎩v gs = −RS i 0

v0 = (1 + g m RS )rds + RS ≅ (1 + g m RS )rds ≅ 173 kΩ i0

Page 91




Source de courant à gain pour polarisation d’étage Considérons l’étage de polarisation de la figure ci-dessous dans lequel les transistors sont supposés technologiquement identiques ( β = 200, V A = 100 V ) et les tensions d’alimentation VCC = 15 V . +VCC

Ipol

R Q3

138k

IC2

Q1

Q2

Etude du régime continu 1. Sans négliger le moindre terme sur les courants, écrivez l’expression de IC 2 en fonction de I pol .

(

2. Donnez la précision du miroir par l’évaluation de l’erreur définie comme étant ε = I pol − IC2

)

IC2 .

3. Evaluez les courants de collecteur des transistors. Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 4. Prouvez que la source est représentée par une simple résistance z0 et évaluez celle-ci.

Sylvain Géronimi

Page 92




Corrigé 1. Expression de IC2 (I pol ) Equations technologiques : VBEi

ICi = β I Bi = β I BS e

Q1 ≡ Q2

→

UT

⎛ VCEi ⎜1 + ⎜ VA ⎝

I BS1 = I BS2

VBEi

⎞ ⎟ ≅ β I BS e UT ⎟ ⎠

en négligeant l’effet Early (VCEi << VA )

VBE1 ⎧ ⎪I ≅ β I e UT BS ⎪ C1 = I BS , β1 = β 2 = β ⇒ ⎨ VBE2 ⎪ ⎪IC2 ≅ β I BS e UT ⎩

Equations du circuit : ⎧VBE1 = VBE2 ⎧IC1 ≅ IC2 ⎧ ⎞ ⎛ 2 ⎪ ⎪ ⎟⎟ ⎪I pol = IC2 ⎜⎜1 + = + I I I I B1 + I B2 ⎪ pol C1 B3 ⎪ β β ( 1 ) ⎪ + ⎠ ⎝ d’où ⎨I pol = ⇒ ⎨ + IC2 ⎨ β +1 VCC − 2VBE ⎪ ⎪I E3 = I B1 + I B2 ⎪ ⎪VCC = R I pol + VBE + VBE ⎪V = R I + V ⎪⎩I pol ≅ R 3 1 pol BE 3 + VBE1 ⎩ ⎩ CC 2. Précision du miroir

ε=

I pol IC 2

−1=

2

β ( β + 1)

≅ 5 10 −5

3. Evaluation des courants de collecteur

I pol ≅ 100 µA

(valeur des VBE approchée par une tension de 0.6 V), IC2 ≅ 100 µA , IC3 ≅ 1 µA .

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 4. Caractérisation de la charge dynamique i3

rbe3

ic2 β i3

R

rce1

v

rbe/2

rce3

gm v

avec rbe1 = rbe2 = rbe , rce1 = rce2 = rce et

rce2 gm v

rbe << rce3 2

L’absence de source d’excitation dynamique à l’entrée du montage fait qu’aucun courant n’existe dans la partie gauche du circuit, en particulier v = 0 entraîne g m v = 0 , d’où z0 = v 0 i 0 = rce2 . Cette charge dynamique est de valeur relativement importante ( z0 ≅

VA = 1 MΩ ). IC 2 o

Sylvain Géronimi

Page 93




Source de Wilson pour transfert dynamique On considère le transfert du courant i E (t ) = I E + i e (t ) vers la sortie, effectué par le montage de la figure ci-dessous. Les transistors sont supposés technologiquement identiques ( β = 200, VA = 100 V ). iE (t)

Q3

Q1

iS (t)

Q2

-VCC

Etude du régime continu 1. Sans négliger le moindre terme sur les courants, écrivez l’expression du courant d’entrée I E en fonction de IS . 2. Donnez la précision du miroir par l’évaluation de l’erreur définie comme étant ε = I − IC 3 / IC 3 .

(

)

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 3. Evaluez les paramètres des modèles des transistors pour IS = 100 µA . 4. Dessinez le schéma équivalent. 5. Caractérisez la source sous la forme d’un amplificateur de courant de paramètres Z e , Z s , Ai .

Corrigé Etude du régime continu 1. Expression de IS (I E ) Equations technologiques :

Q1 ≡ Q2

(I BS1 = I BS2

VBE1 ⎧ ⎪I = β I e UT BS ⎪ C1 = I BS , β1 = β 2 = β ) ⇒ ⎨ VBE2 ⎪ ⎪IC2 = β I BS e UT ⎩

( VCEi << VA )

Equations du circuit : ⎧VBE = VBE 2 ⎪⎪ 1 I I I = + ⎨ E3 B1 B2 + IC2 ⎪ ⎩⎪I E = I B3 + IC1

d'où IS =

Sylvain Géronimi

⎧ ⎛ 2⎞ ⎪I E3 = IC2 ⎜⎜1 + ⎟⎟ β ⎪ ⎝ ⎠ ⇒⎨ I E3 ⎪ ⎪I E = β + 1 + IC2 ⎩

car IC1 = IC2

β β +2 β ( β + 2) IE = IC = IE β + 1 3 β + 1 2 β 2 + 2β + 2

Page 94




2. Précision du miroir

ε=

IE 2 −1= ≅ 50 10 − 6 IS β (β + 1)

Etude dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 3. Evaluation des paramètres du modèle des transistors rbe =

UT V β , rce ≅ A IC o IC o

avec IC1 = IC2 ≅ IC3 = 100 µA o

o

o

rbe ≅ 50 kΩ , rce ≅ 1 MΩ

4. Schéma équivalent aux fréquences moyennes is - βi3 i3

rce

rbe

is

βi3

ie - i3 - (is + i3) β/(β+2)

ie ve

rce

(is + i3) β/(β+2)

rbe/(β+2)

Rch

vs

5. Caractéristiques dynamiques de la source ⎛i ⎞ Calcul du transfert en courant Ai = ⎜⎜ s ⎟⎟ ⎝ i e ⎠v s = 0 Ce calcul correspond à l’application du théorème de Norton (courant de court-circuit en sortie du dipôle évalué avec une source de courant indépendante parfaite en entrée). ⎧ ⎛ β (i s + i 3 )⎞⎟⎟ = rbe i 3 + rbe (i s + i 3 ) ⎪rce ⎜⎜ i e − i 3 − + 2 β β +2 ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ rbe (i + i ) + r i − β r i = 0 ce s ce 3 ⎪β + 2 s 3 ⎩

L’écriture de ces équations de mailles se simplifie en constatant que

rbe << rce (à 0.025% près) β +2

et rbe << 2rce (à 2.5% près). L’approximation donne ⎧ ⎛ β ⎞ β ⎟⎟ i 3 + is ⎪i e ≅ ⎜⎜1 + β +2⎠ β +2 ⎨ ⎝ ⎪i ≅ β i 3 ⎩s

⇒ Ai =

is β ( β + 2) ≅ ≅ 1 (à comparer avec le transfert continu) ie β 2 + 2β + 2

⎛v Calcul de la résistance de sortie Z s = ⎜⎜ s ⎝ is

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ i e =0

Ce calcul correspond à la détermination de la résistance de Norton (ou Thévenin) du dipôle précédent, la source d’excitation de courant i e étant éteinte (circuit ouvert en place de la source).

Sylvain Géronimi

Page 95




rbe ⎧ ⎪v s = rce (i s − β i 3 ) + β + 2 (i 3 + i s ) ⎪ ⎨ ⎪ rbe (i + i ) + r i + r ⎛⎜ i + β i + β i ⎞⎟ = 0 be 3 ce ⎜ 3 3 s ⎪β + 2 3 s β +2 β + 2 ⎟⎠ ⎝ ⎩

Par les mêmes approximations précédentes, on obtient ⎧v s ≅ rce i s − β rce i 3 ⎛ v β2 ⎞ β ⎪ ⎟⎟ rce ≅ rce = 100 MΩ ⇒ Z s = s ≅ ⎜⎜1 + β ⎞ β ⎨⎛ ⎜ ⎟ is ⎝ 2( β + 1) ⎠ 2 ⎪⎜1 + β + 2 ⎟ i 3 ≅ − β + 2 i s ⎠ ⎩⎝

⎛v Calcul de la résistance d’entrée Z e = ⎜⎜ e ⎝ ie

⎞ ⎟ ⎟ ⎠v s =0

Ce calcul correspond à une configuration de charge très faible (court-circuit en sortie) par rapport à la résistance de sortie Z s du quadripôle. Il faut remarquer que la résistance rce en entrée est en parallèle avec le dipôle qui suit, ce qui conduit au calcul de la résistance de ce dernier dans le but d’alléger l’analytique.

β ⎧ (i 3 + i s ) ⎪i = i 3 + β +2 ⎪ ⎪⎪ r be (i 3 + i s ) ⎨v = r be i 3 + β +2 ⎪ ⎪ r ⎪ be (i 3 + i s ) + r ce (i s − β i 3 ) = 0 ⎪⎩ β + 2 Par les mêmes approximations précédentes, on obtient 2r v 2β + 3 2r v avec i s ≅ β i 3 ⇒ Z e ≅ // rce ≅ be = 500 Ω = rbe 2 ≅ be β i i β + 2β + 2 β + 2 Une autre méthode d’analyse plus directe peut être employée, à savoir l’application de la théorie de la contre-réaction courant-courant (voir cours « La contre-réaction »). C’est une contre-réaction quasi totale puisque le miroir élémentaire, représentant le quadripôle de retour, ramène le courant de sortie à l’entrée et en opposition de phase. La précision de cette méthode dépendra des hypothèses de simplification. La source de Wilson est un miroir de précision très importante. Les impédances d’entrée et de sortie respectivement basse (configuration parallèle en entrée) et très haute (configuration série en sortie) en fait une source adaptée à la conception des amplificateurs opérationnels à transconductance.

Sylvain Géronimi

Page 96




Source de Widlar en répétiteur de courant pour polarisation d’étages On considère l’étage de polarisation de la figure ci-dessous dans lequel les transistors sont supposés identiques ( β = 200, VA = 100 V ) et les tensions d’alimentation VCC = 10 V . Les courants de base seront négligés. +VCC R1 38.8k IC3

IC2

Ipol Q2

Q1

Q3

R2 200

R3 3k

-VCC

Etude du régime continu 1. Evaluez les courants IC2 et IC3 . Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 2. Evaluez les paramètres dynamiques des modèles des transistors. 3. Calculez les charges z2 et z3 vues respectivement entre collecteurs de Q2 et Q3 et la masse.

Corrigé Etude du régime continu 1. Evaluation des courants IC2 et IC3 VBE1 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ 1 VBE2 ⎪ ⎪ Q1 ≡ Q2 ≡ Q3 ⇒ ⎨IC2 ≅ β I BS e UT ⎪ VBE3 ⎪ UT I β I e ≅ ⎪ C3 BS ⎪⎩

VBE2 R2 IC2 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT e UT ⎪ 1 VBE3 R3 IC3 ⎪ ⎪ d’où ⎨IC1 ≅ β I BS e UT e UT ⎪ ⎪I = 2VCC − VBE1 ≅ I C1 ⎪ pol R1 ⎩⎪

(technologie)

⎧VBE1 ≅ VBE2 + R2 IC2 ⎪ ⎪VBE1 ≅ VBE3 + R3 IC3 (circuit) ⎨ ⎪I pol = IC1 + I B1 + I B2 + I B3 ≅ IC1 ⎪2V = R I + V 1 pol BE1 ⎩ CC

IC ⎧ R 2 IC 2 ≅ Ln 1 ⎪ IC 2 ⎪ UT avec deux équations transcendantes à résoudre ⎨ ⎪ R3 IC3 ≅ Ln IC1 ⎪ U IC 3 ⎩ T

IC1 ≅ 500 µA , IC2 ≅ 150 µA , IC3 ≅ 25 µA o

Sylvain Géronimi

o

o

Page 97




Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 2. Evaluation des paramètres des modèles rbe ≅


rbe1 ≅ 10 kΩ, rce1 ≅ 200 kΩ , rbe2 ≅ 33.3 kΩ, rce2 ≅ 667 kΩ , rbe3 ≅ 200 kΩ, rce3 ≅ 4 MΩ

3. Calcul des charges z2 et z3 Le montage présente entre le collecteur de Q1 et la masse, un transistor monté en diode en parallèle avec la résistance de polarisation R1 , soit rbe1

β +1

// rce1 // R1 ≅ 49.7 Ω << rbe2 et rbe3 .

Les bases de Q2 et Q3 peuvent être considérées à la masse au niveau dynamique, d’où i0

[

(

z2 = R2 // rbe2 + rce2 1 + g m2 R2 // rbe2 rce2 v0

gm2 v2

v2

R2 // rbe2

⎛ β R3 de même z3 ≅ rce3 ⎜1 + ⎜ R3 + rbe 3 ⎝

⎛

)] ≅ rce ⎜⎜1 + R β+Rr2 2

⎝

2

be2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

z2 ≅ 1.46 MΩ , z3 ≅ 15.8 MΩ

Les résultats du miroir de courant élémentaire sont retrouvés en rendant nulles les valeurs des résistances d’émetteur. Ici, la dissymétrie produit d’une part, un courant continu plus faible que le courant de référence I pol (effet lentille) ce qui permet d’ajuster les polarisations au sein d’un circuit intégré et d’autre part, une charge dynamique qui peut être très élevée selon la valeur de la résistance d’émetteur. Si l’obtention d’une charge dynamique importante est uniquement désirée, il y a intérêt à rendre symétrique le montage (effet miroir) pour une meilleure stabilité des courants en fonction de la température (voir problème « stabilisation par résistance d’émetteur »).

Sylvain Géronimi

Page 98




Multiplicateur de VBE Le montage de la figure qui suit présente une source de courant alimentant un multiplicateur de VBE. Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques ( β = 250, VA = 100 V ) et la tension d’alimentation VCC = 15 V . +VCC

Q1

Q2

R1 28.8k

R2 4.5k

Q3

R3 7.5k

Etude du régime continu 1. Evaluez le courant de collecteur de Q2 en prenant VEB1 et VEB2 de d’ordre de 0.6 V. 2. Dans l’hypothèse où l’on suppose que le courant de base de Q3 est négligé, calculez la tension VCE3 en prenant VBE3 de l’ordre de 0.6 V. 3. Evaluez tous les courants parcourant le montage afin de valider l’hypothèse précédente. Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 4. Evaluez les paramètres rbe3 , rce3 , rce 2 des modèles des transistors. 5. Calculez l’impédance z 3 vue entre collecteur et émetteur de Q3 . 6. Concluez sur la représentation d’une source de tension au sein d’études statique et dynamique aux faibles signaux.

Sylvain Géronimi

Page 99




Corrigé Etude du régime continu 1. Courant de collecteur de Q2 Q1 ≡ Q2

→

⇒ IC2 = IC1 ≅

I BS1 = I BS2 = I BS et β1 = β 2 = β

VCC − VEB1 β + 2 ≅ 500 µA R1 β

2. Expression de la tension VCE 3 En supposant que I B3 << I , courant circulant dans R3

⎛ R ⎞ ⇒ VCE3 ≅ VBE3 ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ = 0.96 V ⎝ R3 ⎠

3. Validation de l’hypothèse VBE3 IC − I I= = 80 µA et I B3 ≅ 2 ≅ 1.67 µA soit une précision des calculs à environ 2%. R3 β +1

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 4. Paramètres dynamiques des modèles des transistors U V rbe3 ≅ T ≅ 15 kΩ, rce3 ≅ A ≅ 239 kΩ I B3 IC 3 o

o

5. Impédance vue entre collecteur et émetteur de Q3 R2

R3

v

i1

rbe

i0

rce3

v0

gm v

⎧i 0 = i1 + g m v i 0 1 + g m3 R ⎪ (calcul sans la présence de rce3 ) = ⎨v 0 = (R2 + R )i1 avec R = R3 // rbe3 ⇒ v R2 + R 0 ⎪v = R i 1 ⎩ z3 = rce3 //

R2 + R ≅ 113 Ω 1 + g m3 R

6. Le multiplicateur de VBE est un générateur de tension continue dont l’impédance dynamique est très faible vis-à-vis de la charge en série proposée par le miroir ( rce2 ≅ 200 kΩ ). La translation de tension produite pourra servir de polarisation d’un étage push-pull série complémentaire. Il faut noter que ce montage utilise une diode en direct et présente une meilleure stabilité en température que n diodes mises en série, sans compter la précision de la tension continue obtenue par le choix des deux résistances.

Sylvain Géronimi

Page 100




Réalisation d’une opération arithmétique complexe On considère le circuit de la figure ci-dessous. Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques et β très grand (courants de base négligés). I1

I3 Q4

Q1 Q3

I2 Q2

Q5

Etude en régime pseudo-continu 1. En considérant la maille formée par les transistors Q1 - Q2 - Q4 - Q5 , écrivez la relation de leurs courants collecteurs. 2. En considérant la maille formée par les transistors Q2 - Q3 , écrivez la relation de leurs courants collecteurs. 3. Ecrivez l’expression du courant I 3 en fonction des courants I1 et I 2 .

Corrigé Les transistors étant supposés technologiquement identiques, l’équation générale utilisée est la IC suivante, en négligeant l’effet Early ( VA >> VCE X ) : VBE x ≅ UT Ln x pour x = 1 à 5 . β I BS 1. Première relation de maille VBE1 + VBE2 = VBE 4 + VBE5 ⇒ IC1 IC2 ≅ IC4 IC5

2. Deuxième relation de maille VBE2 = VBE3 ⇒ IC2 ≅ IC3

3. Expression de I 3 ⎧I1 ≅ IC + IC 1 3 ⎪ I I I ≅ − ⎪ 2 C2 C1 ⎪ ⎨I 3 = IC4 ≅ IC5 ⎪ ⎪IC2 ≅ IC3 ⎪I I ≅ I I C 4 C5 ⎩ C1 C2

Sylvain Géronimi

⎧I1 ≅ IC + IC ⎧I1 + I 2 ≅ 2 IC 1 2 2 ⎪⎪ ⎪⎪ ⇒ ⎨I 2 ≅ IC2 − IC1 ⇒ ⎨I1 − I 2 ≅ 2 IC1 ⇒ I 3 = ⎪ ⎪ ⎪⎩IC1 IC2 ≅ I 32 ⎪⎩IC1 IC2 ≅ I 32

Page 101

I12 − I 22 2




Réalisation d’une opération arithmétique complexe On considère le circuit de la figure ci-dessous. Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques et β très grand (courants de base négligés). I1 Q5

Q6

Q1

Q2

I2

I3

Q4

Q7

Q3

Etude en régime pseudo-continu 1. En considérant la maille formée par les transistors Q1 - Q2 - Q7 - Q5 , écrivez la relation de leurs courants collecteurs. 2. En considérant la maille formée par les transistors Q4 - Q3 - Q7 - Q6 , écrivez la relation de leurs courants collecteurs. 3. Ecrivez l’expression du courant I 3 en fonction des courants I1 et I 2 et concluez.

Corrigé Les transistors étant supposés technologiquement identiques, l’équation générale utilisée est la IC suivante, en négligeant l’effet Early ( VA >> VCE X ) : VBE x ≅ UT Ln x pour x = 1 à 7 . β I BS 1. Première relation de maille VBE1 + VBE2 = VBE5 + VBE7 ⇒ IC1 IC2 ≅ IC5 IC7 2. Deuxième relation de maille VBE 4 + VBE3 = VBE6 + VBE7 ⇒ IC4 IC3 ≅ IC6 IC7

3. Expression de I 3 ⎧I 3 = IC + IC ≅ IC 5 6 7 ⎪ ⎪I1 ≅ IC1 et I 2 ≅ IC4 ⎪ ⎨IC1 = IC2 et IC3 = IC4 ⎪ ⎪IC1 IC2 ≅ IC5 IC7 ⎪I I ≅ I I C6 C7 ⎩ C 4 C3

⎧I 3 = IC + IC 5 6 ⎪⎪ ⇒ ⎨I12 ≅ IC5 I 3 ⇒ I 3 = I12 + I 22 ⎪2 ⎪⎩I 2 ≅ IC6 I 3

Le circuit effectue le calcul du module d’un nombre complexe à partir de ses parties réelles et imaginaires.

Sylvain Géronimi

Page 102




Conception d’un buffer L’étude porte sur les performances d’un buffer (circuit intégré) dont le circuit le plus simple est l’étage collecteur commun (suiveur). Ce dernier présente des inconvénients qu’il est possible d’éviter en modifiant la topologie de base. Cette évolution vers l’amélioration des performances en régimes statique et dynamique s’effectuera en trois étapes. Les transistors seront supposés technologiquement identiques ou parfaitement complémentaires et de gain en courant β = 200 , de tension d’Early VA = 100V . L’alimentation symétrique du montage est telle que VCC = ± 5 V . Lors des calculs, les courants de base seront négligés ( β grand ) et VA >> VCEo .

L’étage buffer 1. Rappelez les spécificités de ce circuit en régimes continu et dynamique. Etude de l’étage suiveur classique +VCC 2 mA Q1

vE

vS R1

Rch 200

-VCC

Etude du régime continu 2. Le courant collecteur de Q1 étant égal à 2 mA, précisez le potentiel de sortie VS et évaluez la résistance R1 . 3. Discutez des inconvénients inhérents à ce montage. Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 4. Evaluez les paramètres rbe et rce du modèle du transistor, puis dessinez le schéma. 5. Ecrivez les expressions du transfert en tension Av = v s v e , des résistances d’entrée Z e et de sortie Z s vue de la charge. Evaluez ces paramètres.

Sylvain Géronimi

Page 103




Etude de l’étage suiveur à transistors complémentaires +VCC 2 mA R2 Q1

vE

Q2

vS R1

Rch 200

-VCC

Etude du régime continu 6. Le courant collecteur de Q1 étant égal à 2 mA, précisez le potentiel de sortie VS et évaluez le courant collecteur de Q2 dans le cas où les résistances R1 et R2 ont la même valeur. 7. Quelles améliorations apparaissent par rapport au montage précédent ? Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 8. Evaluez les paramètres rbe et rce du modèle des transistors et dessinez le schéma. 9. Ecrivez les expressions du transfert en tension Av = v s v e , des résistances d’entrée Z e et de sortie Z s vue de la charge. Evaluez ces paramètres.

Etude de l’étage suiveur à transistors complémentaires et sources de courant +VCC

2 mA Q5

Q6 Q1

R

vE

Q2

vS

Q3

Rch 200

Q4

-VCC

Sylvain Géronimi

Page 104




Etude du régime continu 10. Le courant collecteur de Q1 étant égal à 2 mA, précisez le potentiel de sortie VS et évaluez la résistance R. 11. Quelle amélioration apporte la présence des sources de courant ?

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 12. Evaluez les paramètres rbe et rce du modèle des transistors et dessinez le schéma. 13. Ecrivez les expressions du transfert en tension Av = v s v e , des résistances d’entrée Z e et de sortie Z s vue de la charge. Evaluez ces paramètres. 14. Dans le contexte dynamique, comparez les valeurs des paramètres calculés lors de ces trois études et précisez l’amélioration obtenue.

Formulaire : VBE

Modèle en régime continu pour des transistors appairés IC ≅ β I BS e (courants de saturation I BS

UT

ou VBE ≅ UT Ln

IC

β I BS des jonctions base-émetteur et gains en courant β supposés identiques,

effet Early négligé VCE << VA ). Paramètres du modèle du transistor en régime dynamique aux faibles signaux rbe ≅

Sylvain Géronimi

Page 105

UT V β , rce ≅ A . IC o IC o




Corrigé 1. Définition d’un buffer Un buffer (étage tampon) recopie la tension d’entrée en sortie et présente une très faible résistance de sortie et une résistance d’entrée importante. Son rôle est d’isoler deux étages mis en cascade pour une adaptation en tension quasi idéale. Etude de l’étage suiveur classique Etude du régime continu 2. Evaluation de VS et R1 +5V

VS = − VBEo ≅ − 0.6 V

2 mA Q1 0V

VCE1 = VCC − VS ≅ 5.6 V o

5.6 V 0.6 V

- 0.6 V

3 mA

I E1 = o

5 mA

VS + VCC VS + ≅ IC1 o R1 Rch

200 880

⇒ R1 ≅ 880 Ω -5V

3. Discussion Inconvénients du montage : - présence d’une tension d’offset en sortie due à la jonction BE de Q1 (translation de - 0.6 V), - jonction BE fonction de la température, - courant de polarisation dépendant de la charge.

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 4. Evaluation des paramètres du modèle du transistor et schéma i1

rbe1 ≅

rbe1

UT V β ≅ 2.5 kΩ , rce1 ≅ A = 50 kΩ IC1 IC1 o

β i1 ve

o

R1 //Rch

vs

R1 // Rch ≅ 163 Ω et rce1 >> R1 // Rch . 5. Caractérisation de l’étage Av =

(β + 1)(R1 // Rch ) , Z = r + (β + 1)(R // R ) , Z = R // rbe1 . vs = s 1 e be1 1 ch v e rbe1 + (β + 1)(R1 // Rch ) β +1

d’où Av ≅ 0.929 , Z e ≅ 35.3 kΩ , Z s ≅ 12.3 Ω .

Sylvain Géronimi

Page 106




Etude de l’étage suiveur à transistors complémentaires Etude du régime continu 6. Evaluation de VS et IC2

o

+5V

VS = VEB2 − VBE1 ≅ 0 V

2 mA

o

2500

o

VCE1 = VCC − VS ≅ 5 V

Q1

o

≅5V

≅ 0.6 V 0V

≅ 5.6 V

VS + VCC VS V + ≅ CC ≅ IC1 o R1 Rch R1

I E1 =

≅0V

o

≅0A

Q2

200

⇒ R1 (= R2 ) ≅

2500 1.76 mA

VCC = 2.5 kΩ IC1 o

-5V

7. Discussion L’introduction d’un second émetteur suiveur, de type complémentaire au premier, permet de compenser le décalage de tension d’offset en sortie. Cependant, les courants de collecteur des transistors n’étant pas les mêmes, les tensions aux bornes des jonctions BE ne sont pas tout à fait identiques d’après l’expression mathématique du modèle pour ces transistors appairés I VBE ≅ UT Ln C avec VCE << VA . Le potentiel de sortie VS est « à peu près » nul. β I BS Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 8. Evaluation des paramètres du modèle des transistors et schéma i1

i2

rbe1 ≅ 2500 Ω rce1 ≅ 50 kΩ >> R1 // Rch rbe2 ≅ 2841 Ω

rbe1

rbe2

β i1

β i2 ve

R2

R1 //Rch

vs

rce2 ≅ 57 kΩ >> R 2

9. Caractérisation de l’étage Les deux étages étant en cascade, nous caractérisons le premier étage à vide (base de Q1 déconnectée) sous la forme d’un dipôle équivalent de Thévenin ( v s1 , zs1 ) tel que A1 =

v s1 ve

=

(β + 1)R2 , rbe + (β + 1)R2 1

zs1 = R2 //

rbe2

β +1

.

Ce dipôle attaque le second étage caractérisé sous la forme d’un nouveau dipôle équivalent de Thévenin ( v s2 , zs2 ) tel que A2 =

v s2 v s1

Sylvain Géronimi

=

zs1

(β + 1)(R1 // Rch ) , + rbe + (β + 1)(R1 // Rch )

zs2 = R1 //

zs1 + rbe1

1

Page 107

β +1

.




La résistance d’entrée du second étage charge le premier étage, ce qui donne ze1 = rbe2 + (β + 1) R2 // ze2 avec ze2 = rbe1 + (β + 1)(R1 // Rch ) .

(

)

d’où Av = A1 A2 ≅ 0.931 , Z e ≡ ze1 ≅ 476 kΩ , Z s ≡ zs2 ≅ 12.4 Ω . Remarquons une augmentation de la résistance d’entrée.

Etude de l’étage suiveur à transistors complémentaires et sources de courant Etude du régime continu 10. Evaluation de R +5V

VBE3 ⎧ ⎪I ≅ β I e UT BS ⎪C Q3 ≡ Q4 → ⎨ 3 VBE4 ⎪ ⎪IC4 ≅ β I BS e UT ⎩ ⇒ IC 3 ≅ IC 4

2 mA Q6

Q5

Q1 0.6 V R 0V Q2

≅ 2 mA

Q3

0V ≅ 2 mA

≅ 2 mA

0A 200

Q4

VEB5 ⎧ ⎪I ≅ β I e UT BS ⎪ C5 Q5 ≡ Q6 → ⎨ VEB6 ⎪ ⎪IC6 ≅ β I BS e UT ⎩ ⇒ IC 5 ≅ IC 6

et VEB3 = VEB4

et VEB5 = VEB6

En négligeant les courants de base, IC1 ≅ IC2 ≅ 2 mA -5V

IC1 ⎧ ⎪VBE1 ≅ UT Ln β I BS ⎪ Q1 ≡ Q2 → ⎨ IC 2 ⎪V ⎪ EB2 ≅ UT Ln β I BS ⎩ R=

2VCC − VEB5 − VBE3

IR

⇒ VBE1 ≅ VEB2 et VS = VEB2 − VBE1 ≅ 0 .

≅ 4.4 kΩ

11. Discussion L’introduction des sources de courant au sein du montage améliore la symétrie des courants collecteur de Q1 et Q2 . Ce circuit intégré permet une tension d’offset négligeable en sortie et un meilleur comportement en température.

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 12. Evaluation des paramètres du modèle des transistors et schéma Tous les courant collecteur sont de l’ordre de 2 mA, donc

Sylvain Géronimi

Page 108




i1

i2

rbe ≡ rbei ≅ 2500 Ω

rbe1

rbe2

rce ≡ rcei ≅ 50 kΩ

β i1

β i2

ve

vs

rce /2 Rch //rce/2

13. Caractérisation de l’étage De la même façon que précédemment, nous oboutissons aux résultats suivants.

A1 =

A2 =

v s1 ve

r r , zs1 = ce // be . rce 2 β +1 rbe + (β + 1) 2 (β + 1)⎛⎜ rce // Rch ⎞⎟ zs + rbe r ⎝ 2 ⎠ , zs2 = ce // 1 . = 2 β +1 ⎛ rce ⎞ zs1 + rbe + (β + 1)⎜ // Rch ⎟ ⎝ 2 ⎠

=

v s2 v s1

(β + 1) rce 2

⎞ ⎞ ⎛r ⎛r ze1 = rbe + (β + 1)⎜ ce // ze2 ⎟ avec ze2 = rbe + (β + 1)⎜ ce // Rch ⎟ . ⎠ ⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 d’où Av = A1 A2 ≅ 0.941 , Z e ≡ ze1 ≅ 3.17 MΩ , Z s ≡ zs2 ≅ 12.5 Ω . 14. Discussion Tableau récapitulatif n° étage Offset en sortie (V) Comportement en température Gain en tension Résistance d’entrée (kΩ) Résistance de sortie (Ω)

1 - 0.6

2 voisin de 0

3 0

mauvais

moyen

bon

0.929 35.3 12.3

0.931 476 12.4

0.941 3170 12.5

La résistance d’entrée subit une nette augmentation due à la présence de charges dynamiques sur les émetteurs de Q1 et Q2 , le gain en tension et la résistance de sortie restant du même ordre. Il ne faut pas oublier que les valeurs numériques trouvées sont liées au choix d’une charge de 200 Ω et d’un courant de polarisation de 2 mA.

Sylvain Géronimi

Page 109




Etage différentiel à charges asymétriques L’étude porte sur la caractérisation de l’étage différentiel de la figure ci-dessous. Les transistors sont supposés technologiquement identiques ( β = 200 , VA = ∞ , rce = ∞ ).

R3

R4

3.6k

1.8k out

Q1

VCC ref

Q2

6V

vd

R5 9.6k R1

R2

1k

1k VCC Q3

Q4

6V

Etude du régime continu 1. Evaluez les courants IC3 ainsi que les potentiels de nœuds Vout et Vref . 2. Expliquez l’intérêt de disposer du potentiel de référence Vref . Etude du régime dynamique différentiel (faibles signaux aux fréquences moyennes) 3. Evaluez le paramètre rbe des transistors Q1 et Q2 . 4. Calculez les valeurs du transfert Ad = v out v d , de l’impédance d’entrée Zd et de l’impédance de sortie Zs .

Sylvain Géronimi

Page 110




Corrigé Etude du régime continu 1. Evaluation des courants et potentiels de nœuds 6V ≅ 500 µA

1.8k

3.6k ≅ 500 µA

4.2 V

Q1

Q2

1k

9.6k

4.2 V

1k - 1.1 V

1 mA

Ipol ≅ 1 mA

- 5.4 V

Q4

Q3

-6V

L’étage différentiel Q1 - Q2 est polarisé par le courant issu du miroir élémentaire Q3 - Q4 tel que IC 3 ≅ o

2VCC − VBE 4 R 4 + R5

= 1 mA .

IC 3 ⎧⎪VBE1 + R1I E1 = VBE2 + R2 I E2 o ⇒ I E1 =I E2 = ≅ 500 µA avec R1 = R 2 et VBE1 = VBE2 ≅ 0.6 V . ⎨ o o 2 ⎪⎩ IC3 =I E1 +I E2 ⎪⎧Vref ≅ VCC − R 4 IC3 ⇒ Vref ≅ Vout ≅ 4.2 V . ⎨ ⎪⎩Vout ≅ VCC − R3 IC2

2. Intérêt de disposer du potentiel Vref Les deux bornes de sortie sont équipotentielles et permettent une attaque différentielle en tension d’un montage qui suit.

Etude du régime dynamique différentiel (faibles signaux aux fréquences moyennes) Le fait de considérer la valeur du paramètre rce3 infinie, conduit à un régime purement différentiel. Le régime de mode commun est tel que Ac = 0 , Z c = ∞ car v c = ∞ . 3. Evaluation du paramètre rbe rbe = rbe1 = rbe2 =

Sylvain Géronimi

UT β ≅ 10 kΩ I Co

Page 111




4. Caractérisation de l’étage Posons R = R1 = R2 . R3

⎧v d = [rbe + (β + 1)R ](i1 − i 2 ) ⎪ ⎨(β + 1)i1 + (β + 1)i 2 = 0 ⎪v ⎩ out = − R3 β i1

vout

i2

i1

+

+

- vd /2

vd /2 rbe

⇒ Ad =

rbe β i2

β i1

Zd = R2

R1

v out β R3 = ≅ 1.71 , vd 2 [rbe + (β + 1)R ]

vd = 2 [rbe + (β + 1)R ] = 422 kΩ , i1

Z s = R3 = 3.6 kΩ

∞

Sylvain Géronimi

Page 112




Etage différentiel à charges actives (partie 1) L’étude porte sur la caractérisation de l’étage différentiel de la figure ci-dessous. Les transistors sont supposés technologiquement identiques avec β = 200 , VA = 100 V .

Q5

Q6

VCC 15 V

Q1

v1

Q2

v2

R1 294k

iS

VCC 15 V

Q3

Q4

Compréhension du schéma 1. Identifiez les parties du circuit et précisez leurs fonctions. Etude du régime continu 2. Dessinez le montage et évaluez les courants de collecteur, ainsi que le courant de sortie IS . Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 3. Afin d’alléger le calcul analytique, les paramètres rce des modèles aux faibles signaux des transistors Q1 et Q2 seront négligés. Evaluez les autres paramètres rbe et rce des transistors et caractérisez les quadripôles formés par les sources de courant. Dessinez le schéma résultant. 4. Dessinez le schéma équivalent du montage dans son régime différentiel. 5. Ecrivez les expressions de la résistance différentielle d’entrée Z d , de la résistance de sortie Z s et du transfert i s / v d et dessinez le quadripôle issu de cette caractérisation en précisant les conditions d’attaque et de charge pour obtenir un convertisseur tension-courant. 6. Déduisez la valeur du gain en tension Ad . 7. Dessinez le schéma équivalent du montage dans son régime de mode commun. 8. Evaluez le gain en tension Ac et déduisez la valeur du TRMC (en dB). Etude du régime pseudo-continu 9. Ecrivez la relation du transfert IS (VD ) et tracez cette courbe. 10. Donnez l’expression de la pente au point VD = 0 . Comparez ce résultat à l’expression du transfert trouvée en 5. 11. Evaluez la distorsion sur le courant de sortie i s (t ) pour une amplitude crête de v d (t ) égale à 25 mV.

Sylvain Géronimi

Page 113




Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le schéma se compose d’un étage de polarisation, d’un étage différentiel dont la charge de collecteur est un miroir de courant. - L’étage de polarisation est un miroir de courant élémentaire Q5 - Q6 polarisant l’étage différentiel par le point commun des émetteurs de Q1 - Q2 . Le courant de cette source, issu de l’alimentation totale de tension 2VCC , est réglé par la résistance R1 . -

L’étage différentiel Q1 - Q2 est à comportement émetteur commun, attaquant dynamiquement en courant le miroir élémentaire Q3 - Q4 . Le transfert effectué par ce miroir double le courant de sortie par comparaison avec une charge dynamique classique sur le collecteur de Q2 .

Cet étage est un amplificateur à conductance de transfert.

Etude du régime continu 2. Schéma et évaluation des courants VEB5

VEB6

Q5

Q6

VCC

I0 15 V

VEB1

VEB2 Q1

Q2

R1

IC2 IS

VCC

IC4 Ipol

15 V Q3

Q4 VBE3

VBE4

VBEi

Equation du modèle d’un transistor Qi

: ICi = β I Bi = β I BS e

UT

⎛ ⎜1 + VCEi ⎜⎜ VA ⎝

⎞ ⎟ ≅ βI e BS ⎟⎟ ⎠

VBEi UT

en

négligeant l’effet Early ( VCEi << VA ) . Ici, tous les transistors ont mêmes β et I BS . Etage de polarisation : VEB5 ⎧ ⎪I ≅ β I e UT BS ⎪ C5 Q5 ≡ Q6 ⇒ ⎨ VEB6 ⎪ ⎪IC6 ≅ β I BS e UT ⎩

Sylvain Géronimi

et VEB5 = VEB6

⇒ IC5 ≅ IC6 ≡ I0

Page 114




⎧⎪I pol = IC5 + I B5 + I B6 ≅ I 0 et ⎨ ⇒ IC6 ≅ 100 µA avec VEB5 pris à 0.6 V. o ⎪⎩2VCC = R1 I pol + VEB5 Etage différentiel VEB1 ⎧ ⎪I ≅ β I e UT BS ⎪C et VEB1 = VEB2 Q1 ≡ Q2 ⇒ ⎨ 1 VEB2 ⎪ ⎪IC2 ≅ β I BS e UT ⎩ et I 0 = I E1 + I E 2 ⇒ IC1 ≅ IC2 ≅ 50 µA o

⇒ IC1 ≅ IC2

o

Circuit de transfert VBE3 ⎧ ⎪I ≅ β I e UT BS ⎪C Q3 ≡ Q4 ⇒ ⎨ 3 et VBE3 = VBE 4 ⇒ IC3 ≅ IC4 VBE4 ⎪ ⎪IC4 ≅ β I BS e UT ⎩ ⎧⎪IC = IC3 + I B3 + I B4 ≅ IC3 et ⎨ 1 ⇒ IC3 ≅ IC4 ≅ 50 µA , ISo ≅ 0 . o o ⎪⎩IC2 = IC4 + IS

Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 3. Schéma du montage Evaluation des paramètres des transistors aux faibles signaux rbe ≅

UT V β , rce ≅ A IC 0 IC 0

⇒ rbe ≡ rbe1 ≅ rbe2 ≅ rbe3 ≅ rbe4 = 100 kΩ , rce ≡ rce3 ≅ rce4 = 2 MΩ , rce6 = 1 MΩ . Caractérisation des sources de courants et schéma du montage Une source de courant est modélisée sous la forme générale d’un quadripôle. ie

is

Ai ie ve

⎛i avec A i = ⎜⎜ s ⎝ ie

Ze

⎛v ⎞ β ⎟ = ≅ 1 , Z e = ⎜⎜ e ⎟ ⎝ ie ⎠v s =0 β + 2

Zs

vs

⎛v ⎞ r ⎟ = be , Zs = ⎜⎜ s ⎟ ⎝ is ⎠v s =0 β + 2

⎞ ⎟ = rce ⎟ ⎠ i e =0

Dans le cas du miroir Q5 - Q6 , le circuit d’attaque est représenté par la résistance R1 branchée entre l’entrée du quadripôle et la masse. De ce fait, le courant dynamique d’entrée i e est nul (absence de source d’excitation), la source liée est telle que Ai i e = 0 (pas de transfert) et le dipôle de sortie se réduit à la présence de Z s uniquement. Le courant de sortie i s parcourt une résistance Z s = rce6 .

Sylvain Géronimi

Page 115




Dans le cas du miroir Q3 - Q4 , le courant d’entrée est le courant de collecteur de Q1 généré par la tension v 1 et un transfert de courant a lieu ( Ai i e ≠ 0 ). La résistance de sortie Z s = rce4 est parcourue par le courant i s − Ai i e . La résistance d’entrée vaut Ze ≅ 495 Ω . Le schéma dynamique est alors le suivant.

rce6

v1 = Q1

i1

Q2

i2

+

+ ic1

vd /2

v2

+

vc Ze

v2 = −

- vd /2

ic2

+

v1

v1 − v 2 v1 + v 2 v d + = + vc 2 2 2 v v1 − v 2 v1 + v 2 + = − d + vc 2 2 2

vc

Ai ic1 vs

rce4

La méthode du demi-schéma sera mise en oeuvre ici malgré la dissymétrie de charge des collecteurs de Q1 - Q2 car rce1 = rce2 = ∞ , ce qui entraîne i c1 = β i1 et i c2 = β i 2 (voir annexe « Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel »). 4. Schéma en régime différentiel

Q1

i1

Q2

+ vd /2

+ ic1

Ze

rce4

Ze

i2

Ai β i1

- vd /2

ic2

vs

i

i1

i2

+

Ai ic1

+

vd /2

vs

- vd /2 rbe

rce4

rbe β i1

β i2

5. Caractérisation du montage Calcul du courant de court-circuit et de la résistance de sortie (théorème de Norton) ⎧ vd ⎪− 2 = rbe i 2 ⎪⎪ ⎨i = β (Ai i1 − i 2 ) ⎪v ⎪ d = rbe i1 ⎩⎪ 2

⇒ i1 = − i 2 =

vd 2 rbe

et i =

La conductance de transfert s’écrit Yt ≅

Sylvain Géronimi

β rbe

β (Ai + 1) 2 rbe

vd ≅

β rbe

v d (car Ai ≅ 1 ).

= g m et la résistance de sortie Z s = rce4 .

Page 116




La source de tension différentielle en entrée voit une résistance Z d = 2 rbe . B1

is Yt vd

Zd

vd

Rch

Zs

avec Z d = 200 kΩ , Yt ≅ 2 mA / V , Z s = 2 MΩ .

B2

Un amplificateur à conductance de transfert doit être attaqué en tension ( Z d >> rg ) et sa charge en courant ( Z s >> Rch ), d’où i s ≅ Yt v d (condition de court-circuit en sortie). 6. Evaluation du gain en tension (à vide) v s = Z s Yt v d ≅

β rce4 rbe

v d , d’où Ad =

β rce4 vs ≅ vd rbe

(condition de circuit ouvert en sortie).

Ce gain est surestimé par la non prise en compte de rce1 et rce2 . B1

C2 Zs Zd

vd

avec Z d = 200 kΩ , Ad ≅ 4000 , Z s = 2 MΩ .

vs

+

Ad vd

B2

7. Schéma en régime de mode commun

2 rce6

rce4

Ze

2 rce6

vs

Ai β i1 i Q1

i1

Q2

+

+

+

vc

ic1

+

vc

vc

ic2

i2

i1

i2

vc rbe

rbe β i2

β i1

Ze

Ai ic1 rce4

vs 2 rce6

2 rce6

8. Caractérisation du montage Calcul du gain en tension ⎧v s = β rce (Ai i1 − i 2 ) 4 ⎪⎪ v r 2 rce6 (β + 1) i1 = + ⎨ c be ⎪ ⎩⎪v c = rbe + 2 rce6 (β + 1) i 2

[ [

Sylvain Géronimi

] ]

⇒ i1 = i 2 =

rbe

β rce4 (Ai − 1) vc et v s = vc + 2 rce6 (β + 1) rbe + 2 rce6 (β + 1)

Page 117



d’où Ac = −


2 β rce4

(β + 2)[rbe + 2 rce (β + 1)]

≅−

6

2

β

= − 0.01 avec rbe << 2 rce6 (β + 1) et 2 rce6 = rce4 .

Ce gain est surestimé par la non prise en compte de rce1 et rce2 . Le taux de réjection vaut donc TRMC = Ad Ac ≅ 400000 (112 dB) .

Etude du régime pseudo-continu + VCC

I0 VEB1

VEB2 Q1

Q2

VD IC1

IC2 IS

IC3

IC4

Q3

Q4 VBE3

VBE4 - VCC

9. Ecriture du transfert IS (VD ) VEB1 ⎧ ⎪I ≅ β I e UT BS ⎪C ⇒⎨ 1 VEB2 ⎪ ⎪IC2 ≅ β I BS e UT ⎩

Etage différentiel Q1 ≡ Q2

⇒

IC1 IC2

≅e

−

VD UT

et IC1 ≅

I0

1+ e

I0

, IC 2 ≅

VD UT

1+ e

Circuit de transfert à effet miroir

Q3 − Q4

−

VD UT

⎧⎪VD = VEB2 − VEB1 et ⎨ ⎪⎩I 0 = I E1 + I E 2

.

⎧⎪IC1 ≅ IC3 ⇒ IC3 ≅ IC4 et ⎨ ⎪⎩IC2 = IC4 + IS

linéarisation

I0

0

⎛ ⎜ 1 1 ⇒ IS ≅ I 0 ⎜ − VD VD − ⎜⎜ UT UT 1+ e ⎝ 1+ e

ou encore IS ≅ I 0 th

⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠

VD 2UT

IS - I0 -200mV

-100mV

0V

100mV

200mV

VD

Sylvain Géronimi

Page 118




10. Retour au régime linéaire I0 (régime continu). Le signal v d (t ) évolue sur la zone linéaire de la 2 caractéristique IS (Vd ) autour de VD = 0 et l’expression de la conductance de transfert du circuit linéaire peut être retrouvée.

Pour VD = 0 , IC1 = IC2 ≅

⎡ dI S ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ dVD ⎦ V

≅

D =0

I0 UT

⎡ ⎢ V ⎢ − D ⎢ e UT ⎢ V ⎢⎛ − D ⎢ ⎜1 + e UT ⎢ ⎜⎜ ⎣⎝

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

2

+

e

VD UT

VD ⎛ ⎜ UT e 1 + ⎜⎜ ⎝

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ I = 0 2⎥ 2 UT ⎞ ⎥ ⎟ ⎥ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎦ VD =0

⇒

is β ≅ = Yt vd rbe

UT β et I 0 ≅ 2 IC1 . o IC1

car rbe ≅

o

⎛ V ⎞ I V Autre démonstration, th⎜⎜ D ⎟⎟ ≅ D pour VD << 2 UT ⇒ IS ≅ 0 VD pour de faibles variations 2UT ⎝ 2 UT ⎠ 2 UT du pseudo-continu autour de VD = 0 , ce qui revient aussi à dire que les variations de i s sont proportionnelles aux variations de v d si ces dernières sont d’amplitude crête faible devant 50 mV.

11. Calcul de la distorsion Par définition, d = IS = I 0 th

A22 + A32 + A42 + ... A1

avec An valeur efficace de l’harmonique n.

⎛ V VD V3 VD5 ≅ I0 ⎜ D − D 3 + ⎜ 2U 2 UT 24 UT 240 UT5 T ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

car le développement limité de th x à l’ordre 6 est th x = x − d≅

( )

x3 x5 + + o x6 3 15

VD2 A3 et pour VD = UT = 25 mV , d ≅ 8.33 % . = A1 12 UT2

Sylvain Géronimi

Page 119




Etage de tension intermédiaire (partie 2) L’étude porte sur la caractérisation de l’étage de tension de la figure ci-dessous. Cet étage fait suite à l’étage différentiel étudié précédemment et les transistors ont mêmes β et VA. +VCC

Q9

Q10

R2 29.4k

C

vs

30p

Q7

Q8

ve

(VCC = 15 V)

R3 6.3k

-VCC

Etude du régime continu 12. Dessinez le montage en régime statique, puis évaluez les courants de collecteur et justifiez la valeur du courant de base de Q7 lorsque l’étage est connecté à la sortie de l’étage différentiel. Etude du régime dynamique aux faibles signaux 13. Dessinez le schéma équivalent du montage attaqué par l’équivalent de Thévenin de l’étage différentiel ( v g , rg = 2 MΩ ) et évaluez les paramètres rbe et rce des transistors.

Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 14. Caractérisez l’étage de gain en tension Q7 - Q8 ( A v' , Z e' , Z s' ), le A v'

transfert étant défini par

= v s / v e et la charge de l’étage étant considérée comme très importante et dessinez le

quadripôle issu de cette caractérisation. Etude du régime dynamique aux fréquences hautes 15. Calculez la fréquence de coupure haute de étage intermédiaire, les transistors étant sous leur schéma aux fréquences moyennes. Justifiez ce résultat, puis évaluez le produit gain bande du circuit incluant l’étage différentiel.

Sylvain Géronimi

Page 120




Corrigé 12. Polarisation Mirroir Q9 - Q10

100 µA

miroir 1 mA

IC10 ≅ IC9 =

15 V

o

Q7

500 nA

2VCC − VEB9 R2

o

= 1 mA

⇒ IC8 = IC10 ≅ 1 mA o

95.2 µA

I E7 =

15 V

VBE8

R3

o

Q8

5 µA

VBE 8

o

o

R3

+ I B8 ≅ IC7 ≅ 100 µA o

o

6.3k

Lorsque cet étage de tension est connecté à la sortie de l’étage différentiel, le nœud de sortie (à droite) de l’étage différentiel laisse fuir un courant de 500 nA vers la base de Q7 et le nœud opposé (à gauche) laisse fuir le courant I B3 + I B4 = 2 IC3 β ≅ 500 nA . Ainsi, le choix de la o

o

o

résistance R3 , pour une valeur donnée du courant issu du miroir, est conditionné pour symétriser l’étage différentiel dans son régime de polarisation. Etude du régime dynamique aux faibles signaux 13. Schéma et valeurs des paramètres des modèles C

rbe =

rce10

Q7 Q8

rg

d’où rbe7 ≅ 50 kΩ , rce7 ≅ 1 MΩ ,

vs + vg


rbe8 ≅ 5 kΩ , rce8,10 ≅ 100 kΩ .

R3

Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 14. Caractérisation de l’étage de gain Etage collecteur commun Q7 non chargé (équivalent de Thévenin)

rbe7

i7 rce7

rg β i7

R3

vs1

Z s1

vg

Sylvain Géronimi

Page 121



A1 =

v s1 vg

=


(β + 1) (R3 // rce ) rg + rbe + (β + 1) (R3 // rce 7

7

) ≅ 0.38 , Zs

1

7

= rce7 // R3 //

rg + rbe7

β +1

≅ 3.88 kΩ

Etage émetteur commun Q8 i8 Zs1

rce8

rbe8

rce10

Zs 2

vs2

β i8 vs1

A2 =

v s2 v s1

=−

(

β rce8 // rce10 rbe8 + Z s1

) ≅ − 1126 , Z

s2

= rce8 // rce10 ≅ 50 kΩ

Le gain en tension de la chaîne non chargée ( Rch très importante) s’écrit v s2 vg

=

v s1 v s2 v g v s1

= A1 A2 ≅ − 428 .

Deuxième étape : calcul de la résistance d’entrée L’émetteur commun présente la diode d’entrée de Q8 vue de sa base, soit Z e2 = rbe8 i8

Z e2

rbe8

rce8

rce10

Rch

β i8

(

)

et le collecteur commun Z e1 = rbe7 + (β + 1) rce7 // R3 // Z e2 ≅ 609 kΩ . i7 rbe7

Z e1

β i7

rce7

R3

Ze2

d’où le schéma résumé

rg ve vg

Sylvain Géronimi

Zs2

Zs1 Ze1

Ze2

vs

Rch

vs2 = A2 vs1

vs1 = A 1 vg

Page 122




Le gain de transfert en tension A 'v aux fréquences moyennes (absence de C) doit être exprimé en terme de source liée à la tension v e de la branche contrôlante supportant Z e1 afin de respecter la modélisation du quadripôle (voir cours « La caractérisation d’un amplificateur linéaire »). La caractérisation de l’étage devient alors : Z e' = Z e1 ≅ 609 kΩ , Z s' = Z s2 ≅ 50 kΩ << Rch ,

Z’s

rg Z’e

ve

Rch

A 'v =

A’v ve

vg

rg v s ⎛⎜ = 1+ ⎜ ve ⎝ Z e1

⎞ ⎟ A1 A2 ≅ − 1834 . ⎟ ⎠

15. Evaluation de la fréquence de coupure haute (fréquences hautes) La caractérisation de l’étage de gain va permettre une approche rapide du comportement en fréquence du circuit. Sous l’hypothèse d’obtenir la fréquence de coupure à -3 dB uniquement par la présence du condensateur C, le schéma équivalent du système est alors du premier ordre (un seul condensateur). C

i0 ve Z’s

rg

v0

Z’e

ve

Rch

A’v ve

A’v ve

vg

Z’e // rg

Z’s

Le condensateur voit à ses bornes une résistance (dipôle de Thévenin/Norton) 1 RC0 = Z s' + rg // Z e' 1 − A 'v ≅ 857 MΩ ⇒ fh = ≅ 6.2 Hz . 2 π RC0 C

(

)(

)

La constante de temps produisant la fréquence trouvée est de valeur énorme devant la somme de toutes les constantes de temps à vide produites par les capacités parasites des transistors et l’application de la méthode du pôle dominant donne (voir « Annexes ») : f1 ≅

1 ≅ fh 2 π a1

avec a1 = RC0 C +

15

∑ i =1

0 Rbe Cbei + i

15

∑R i =1

0 bc i C bc i

≅ RC0 C

L’amplificateur de tension complet (présence d’un étage différentiel en tête) se comporte comme Av un circuit du premier ordre de gain en boucle ouverte G( j f ) = avec A v ≅ 125 dB . 1 + j f fh La faible fréquence de coupure haute permet d’atteindre un gain unité avec une pente de – 20 dB par décade dans le plan de Bode. Cette compensation rend le circuit inconditionnellement stable. Le produit gain en tension (en unités et non en dB) fréquence de coupure haute (propriété d’un système du premier ordre) permet de chiffrer la fréquence de transition ft ≅ A v fh ≅ 10 MHz .

Sylvain Géronimi

Page 123




Illustration par la simulation 150

632.631m, 124.205)

(98.658K, 121.209)

100 (6.2359, 121.204)

amplificateur non compensé

amplificateur compensé (C = 30 pF)

50 - 40 dB / décade

- 20 dB / décade

0 (10.6510M, 8.2797m) -50

1.0Hz DB(V(s))

10Hz

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

1.0MHz

10MHz

100MHz

Frequency

Si la capacité C de compensation était absente, l’influence conjuguée du montage émetteur commun Q8 (voir le problème « Réponse en fréquence d’un émetteur commun »), et du montage base commune Q4 cumulant sur sa forte charge de collecteur les capacités parasites du miroir et de l’entrée de Q7 , produirait la fréquence de coupure haute. La présence de ces pôles rend le système instable comme le montre la simulation.

Sylvain Géronimi

Page 124




Etage différentiel cascode à charges actives (miroir) L’étude porte sur la caractérisation du circuit intégré (CI) de la figure ci-dessous alimenté sous VCC = ± 15 V . Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques de caractéristiques

β = 250 ( β >> 1 ), VA = 100 V (effet Early négligé VA >> VCE ) et VBE ≅ 0.6 V . +VCC

Q7

(+)

Q1

Q8

(-)

Q2

R1 39.2k I2

Q3

Ipol

Q4 I1 I0 iS

Q5

Q9

Q6

Q10

R2 4.53k

-VCC

Compréhension du circuit 1. Donnez une description du circuit. Etude du régime continu 2. Evaluez le courant I 0 issu de la source. 3. Ecrivez les expressions analytiques I1 et I 2 en fonction de I 0 et du gain en courant β des transistors Q3 et Q4 . 4. Comparez l’influence de β sur les courants de collecteur de Q3 et Q4 pour ce circuit de polarisation et pour un circuit réduit à la seule source de courant I 0 alimentant directement le point commun des bases. 5. Evaluez les courants et potentiels des nœuds. Etude du régime pseudo continu 6. Ecrivez les expressions des transferts IC3 (VD ) , IC4 (VD ) et IS (VD ) de l’étage différentiel. Tracez ces fonctions. 7. En considérant la zone linéaire des courbes précédentes, écrivez l’expression de la conductance de transfert i S (v d ) en régime linéaire.

Sylvain Géronimi

Page 125




Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 8. Evaluez les paramètres rbe et rce des modèles des transistors (prendre rce1,2,3,4 = ∞ ). 9. Evaluez la résistance dynamique présentée par l’étage de polarisation Q9 - Q10 - R1 - R 2 ( z9 ) et les éléments de la caractérisation des miroirs Q5 - Q6 et Q7 - Q8 ( ze , zs , Ai ). Dessinez le schéma résultant. 10. Caractérisez l’amplificateur en régime purement différentiel ( Ad , Zd , Zs ). 11. Caractérisez l’amplificateur en régime de mode commun ( Ac , Zc ). 12. Déduisez le taux de réjection de mode commun. 13. Retrouvez l’expression de la conductance de transfert obtenue lors de l’étude en pseudo continu.

Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le schéma se compose d’un circuit de polarisation et d’un étage différentiel à charges actives. - Le circuit de polarisation est une source de courant R2 - Q9 - Q10 , de type Widlar, dont le courant de référence est ajusté à l’aide de la résistance R1 . Cette source permet d’alimenter l’étage différentiel par les points communs des bases de Q3 - Q4 et des collecteurs de Q1 - Q2 . Vu la polarité de ces derniers transistors, un miroir de courant Q7 - Q8 est nécessaire pour modifier le sens du courant. La compréhension de cette topologie apparaîtra lors de l’étude du régime continu. - L’association de collecteurs communs Q1 et Q2 suivis de bases communes Q3 et Q4 constitue un étage différentiel cascode, permettant d’obtenir une bande passante plus élevée que le montage traditionnel à comportement émetteur commun. Les charges actives de Q3 et Q4 composent un miroir de courant Q5 - Q6 qui permet de doubler le courant dynamique traversant la résistance interne de cette source, donc de doubler la valeur du gain différentiel en tension (condition à vide). Il est à remarquer que la sortie de l’étage est alors asymétrique. Cet étage est un amplificateur à conductance de transfert.

Etude du régime continu 2. Evaluation du courant I 0 Courant de référence I pol = Source de Widlar

2VCC − VBE10 R1

⎛I R2 pol IC9 ≅ Ln ⎜⎜ o UT ⎜ IC 9 ⎝ o

o

≅ 750 µA

⎞ ⎟ (équation transcendante) ⇒ I = I 0 C9 o ≅ 20 µA ⎟⎟ ⎠

3. Expressions analytiques I1 et I 2 Puisque le gain en courant est important ( β >> 1) et le montage symétrique (effet Early négligé), IC1 = IC2 ≅ IC3 = IC4 .

Sylvain Géronimi

Page 126



⎧I = I + I ⎪⎪ 0 1 2 ⎨I 2 ≅ IC3 + IC4 ⎪ ⎩⎪I1 = I B3 + I B4


⎧I 0 = I1 + I 2 I β ⇒ ⎨ soit I 2 ≅ I 0 et I1 ≅ 0 . I β I ≅ + β 1 β +1 1 ⎩2

4. Influence de β sur IC3 et IC4 et comparaison Pour le circuit proposé, IC3 = IC4 ≅ I

S βC3 ≅

β I0 et la sensibilité de ces courants s’écrit β +1 2

d IC 3 1 dβ dβ dβ 1 car ≅ − = . β +1 β β +1 β +1 β IC 3

Dans le cas d’un circuit de polarisation réduit à la source I 0 alimentant de point commun des bases de Q3 et Q4 , la sensibilité s’écrit IC 3 = IC 4 = β

I0 2

I

⇒ S βC3 = 1 (sensibilité β + 1 plus importante que précédemment).

Le circuit de polarisation proposé permet donc d’alimenter l’étage différentiel par un courant constant ( IC3 = IC4 ≅ I 0 2 ) dont la valeur n’est pratiquement pas fonction du gain β des PNP latéraux Q3 et Q4 , gain relativement difficile contrôlable à la fabrication. 5. Evaluation des courants et potentiels de noeuds +VCC

15 V

Q7

+VCC

Q8 Q1

≅ I2

Q2

20µ

14.4 V Q1

Q2

10µ

10µ

≅ I2 /2

Q3

Q4

I2 ≅ I2 /2

β’ I0 /2

20µ

β’ I0 /2

IS

- 1.2 V Q3

Q4 Q5

I1 β’ I1 /2

10µ

- 14.4 V Q5

β’ I1 /2

10µ

Q6

I0

80n IS

80n

0 Q6

- 15 V

20µ

-VCC I0

circuit de polarisation simple

-VCC

Remarquons que le nœud de sortie n’est pas connecté à l’étage suivant (à vide). Pour obtenir une polarisation équilibrée de l’étage différentiel, le potentiel de ce nœud doit être à - 14.4 V et laisser fuir vers l’étage suivant un courant de 80 nA (symétrisation du schéma).

Sylvain Géronimi

Page 127




6. Expressions des transferts ⎧ ⎪ ⎪Q ≡ Q 2 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨Q3 ≡ Q4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Q5 ≡ Q6 ⎪ ⎪ ⎩

VBE1 ⎧ ⎪I E ≅ ( β + 1) I BS e UT ⎪ → ⎨ 1 VBE2 ⎪ ⎪⎩I E2 ≅ ( β + 1) I BS e UT VEB3 ⎧ ' e UT ⎪I E ≅ ( β '+1) I BS ⎪ 3 → ⎨ VEB4 ⎪ ' ⎪⎩I E 4 ≅ ( β '+1) I BS e UT VBE5 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ 5 → ⎨ VBE6 ⎪ ⎪⎩IC6 ≅ β I BS e UT

⎧VD = VBE + VEB − VEB − VBE 1 3 4 2 ⎪ ⎪I E1 = I E3 ⎪ ⎪I E 2 = I E 4 ⎪ (circuit) ⎨I 0 ≅ IC3 + IC4 ⎪ ⎪VBE5 = VBE6 ⎪I ≅ I C5 ⎪ C3 ⎪IS = IC − IC 4 6 ⎩

(technologie)

+VCC

Q7

Q8

≅ I2

Q1 VD

Q2

VBE1

VBE2

I2 20µ

VEB3 VEB4 Q3

IB3

IB4

Q4 I1

IC3

IC4

IC5

IC6

Q5

Q6 VBE5

80n IS

20µ

I0

VBE6 -VCC

A partir des quatre premières équations du circuit, on obtient : ⎧I E1 = I E3 I0 ⎧ ⎪ VD ⎪IC3 ≅ V ⎧I ⎪I E 2 = I E 4 I − D E3 C ⎪ 2 UT = 3 ≅ e 2 UT ⎪ ⎪⎪ ⎪ 1+ e ⎛ I E1 ⇒ ⎨ I E ⎞ ⇒ ⎨ I E 4 IC 4 ⎨ ⎜ I0 + Ln 3 ⎟ ⎪ ⎪VD ≅ UT ⎜ Ln ⎪ I ≅ I E 4 ⎟⎠ VD ⎪⎩I 0 ≅ IC3 + IC4 ⎪ ⎪ C4 ⎝ IE2 2 UT ⎪I ≅ I + I ⎪⎩ 1+ e ⎩ 0 C3 C 4 et à l’aide des trois dernières ⎧⎪IC5 = IC6 I0 I0 V ⇒ IS ≅ − = − I 0 th D ⎨ V V D D 4 UT − ⎪⎩IS ≅ IC4 − IC3 1 + e 2 UT 1 + e 2 UT

Sylvain Géronimi

Page 128

avec I 0 = 20 µA




linéarisation du transfert

20uA

Q4 saturé

Q3 saturé

10uA (111.0E-18, 10.013u)

0A

Q3 bloqué

Q4 bloqué (111.0E-18, -37.759n)

-10uA linéarisation du transfert -20uA -400mV IC(Q3)

-300mV IC(Q4)

-200mV IC(Q4) - IC(Q3)

-100mV

0V

100mV

200mV

300mV

400mV

VD

7. Expression du transfert Pour une faible valeur de VD par rapport à la masse, th

I I VD V V ≅ D et IS ≅ − I 0 D , d’où le transfert Yt = S ≅ − 0 . 4 UT 4 UT 4 UT VD 4 UT

Cette expression correspond à la conductance de transfert de l’étage court-circuité en sortie (adaptation en courant réalisée) dans une étude dynamique aux faibles signaux. Dans ces conditions de charge, i s = Yt v d représente la source équivalente de Norton du montage et sa résistance de dipôle est zs = rce6 telle que zs >> Rch avec rce3 = rce4 = ∞ .

Etude du régime dynamique (faibles signaux) 8. Paramètres des modèles rbe =


d’où rbe1,2,3,4,5,6 = rbe ≅ 625 kΩ , rce1,2,3,4 = ∞ , rce5,6 ≅ 10 MΩ ,

rbe7,8,9 ≅ 312.5 kΩ , rce7,8 ≅ 2.5 MΩ , rce9 ≅ 5 MΩ .

9. Schéma et éléments dynamiques demandés ⎛ β R2 La source de Widlar Q9 - Q10 est équivalente à une résistance z9 ≅ rce9 ⎜1 + ⎜ R2 + rbe 9 ⎝

⎞ ⎟ ≅ 22.9 MΩ . ⎟ ⎠

Le miroir de courant est équivalent à un quadripôle de transfert en courant dont les paramètres r β valent ze = be , zs = rce , Ai = . β +2 β +2 Pour le miroir Q5 - Q6 , z5 ≅ 2480 Ω , z6 = 10 MΩ . Pour le miroir Q7 - Q8 , z7 ≅ 1240 Ω , z8 = 2.5 MΩ .

Sylvain Géronimi

Page 129




z7

Ai (ic1+ic2)

rce8

ic1+ic2

Q1

+

Q2

+ v2

v1

Q3

Q4 ib3+ib4

ic3

ic4

z5

Ai ic3

rce6

z9

Dans le régime différentiel, nous avons i c2 = − i c1 et i c 4 = − i c3 . La résistance z7 est donc traversée par un courant nul et cette dernière disparaît du schéma. Le raisonnement est le même pour le courant traversant la résistance équivalente rce8 // z9 . Dans le régime de mode commun, nous avons i c1 = i c2 = i c3 = i c 4 . La résistance z7 est traversée par un courant i c1 + i c 2 = 2 i c2 et le courant de collecteur de Q2 traverse une résistance équivalente 2 z7 . Par un même raisonnement, le courant traversant la résistance équivalente rce8 // z9 est 2 i b4 + 2 Ai i c 4 = 2 (1 + Ai β )i b4 et le courant de base de Q4 traverse une résistance

(

)

(

)

équivalente z0 = 2 (1 + Ai β ) rce8 // z9 ≅ 2 β rce8 // z9 ≅ 1127 MΩ .

2 z7 Q2

+

ic2 -vd/2 Q2

+ vc

Q4 ib4 Q4

ic4

ic4

z0 - Ai ic4

rce6

Ai ic3

vout1

rce6

(voir annexe « Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel »).

Sylvain Géronimi

Page 130




10. Caractérisation en régime différentiel Première étape : calcul du gain en tension et de la résistance de sortie du circuit, l’attaque étant une source de tension −v d / 2 . Etage collecteur commun Q2 i2

A1' =

rbe2 β i2

- vd /2

rce2

v's1

Z s' 1

v s' 1 − vd 2

=

rce2 (β + 1)

rbe2 + rce2 (β + 1)

=1

( rce2 = ∞ )

i0 i2 β i2

rbe2

v0

rbe2 ⎪⎧i 0 + (β + 1)i 2 = 0 ⇒ Z s' 1 = ≅ 2490 Ω ⎨ = − v r i β +1 ⎪⎩ 0 be2 2

Etage base commune Q4 β i4

Z's1

iC4

i4

z6 rbe4

Ai ic3

v's2

Z s' 2

v's1

[

]

⎧v s' = − rbe + (β + 1)Z s' i 4 ⎪ 1 4 1 ⎨ ' ⎪⎩v s2 = z6 i c 4 − Ai i c3 A2' =

(

v s' 2 v s' 1

=

)

avec i c 4 = − i c3 = − β i 4

2 β z6 2 β z6 β z6 β +1 ≅ = = 4000 , Z s' 2 = z6 = 4 MΩ rbe rbe4 + (β + 1)Z s' 1 β + 2 rbe4 + rbe2

Pour évaluer Z s' 2 , les deux sources de tensions indépendantes à l’intérieur du dipôle sont éteintes

( ± v d / 2 ). Pour le demi-schéma de droite représenté ici, la source v s' 1 = A1' (− v d 2) étant égale à zéro, le courant i 4 est inexistant et i c 4 = 0 . Un même raisonnement sur le demi-schéma de gauche conduit à i c3 = 0 . Les sources liées β i 4 et Ai i c3 ne débitant aucun courant, le courant i 0 , produit par la source de tension v 0 appliquée à l’entrée du dipôle, traverse intégralement la résistance z6 .

Deuxième étape : calcul de la résistance d’entrée Le montage base commune présente la diode d’entrée de Q4 vue de son émetteur, soit Z e' 2 =

rbe4

β +1

Sylvain Géronimi

et le collecteur commun Z e' 1 = rbe2 + (β + 1)

Page 131

rbe4

β +1

= 2 rbe ≅ 1.25 MΩ .




i2 rbe2

Z e' 1

β i2

rce2 =∞

Z'e2

La résistance Z e' 1 étant vue par la source de tension v d / 2 , la résistance différentielle d’entrée vue par la source v d est Z d = 2 Z e' 1 ≅ 4 rbe ≅ 2.5 MΩ .

11. Caractérisation du régime de mode commun Première étape : calcul du gain en tension et de la résistance de sortie, l’attaque étant une source de tension v c . Pour l’étage collecteur commun, mêmes résultats avec les notations A1'' =

v s''1 vc

( ≡ A1' ) et Z s''1 ≡ Z s' 1 .

Pour l’étage pseudo-base commune β i4

iC4

i4 Z''s1

rbe4

z6

Z s'' 2

v''s2

Ai ic3 z0

v''s1

[

]

⎧v s'' = − (β + 1)Z s'' + rbe + z0 i 4 ⎪ 1 1 4 ⎨ '' ⎪⎩v s1 = z6 i c 4 − Ai i c3

(

A2'' =

v s'' 2 v s''1

=

)

rbe4

avec i c3 = i c 4 = − β i 4

β z6 2z 2 ≅ 6 ≅ 17.7 10 −3 , Z s''2 = z6 = 10 MΩ '' z0 + (β + 1)Z s1 + z0 β + 2

Deuxième étape : calcul de la résistance d’entrée Le schéma du montage base commune à charges réparties est modifié par la présence de la résistance z0 en série avec la résistance rbe4 , ce qui conduit à remplacer rbe4 par rbe4 + z0 dans les expressions analytiques, rbe4 + z0 soit Z e'' 2 = et Z e''1 = rbe2 + (β + 1)Z e'' 2 = 2 rbe + z0 . β +1 La résistance de mode commun, vue par la source de tension v c dans le contexte du demischéma, est donc Z c = Z e''1 ≅ 1128 MΩ , valeur surestimée par l’absence de rce2 .

Sylvain Géronimi

Page 132




12. Taux de réjection de mode commun Les gains de transfert en tension valent v s' v s'' β z6 2 z6 A' A' Ad = 2 = − 1 2 = − = − 2000 , Ac = 2 = A1'' A2'' = ≅ 17.7 10 −3 . 2 2 rbe vd vc z0 La tension obtenue en fin de chaîne est la somme des tensions de sortie à vide issues des deux régimes (théorème de superposition), soit v s2 = v s' 2 + v s'' 2 = Ad v d + Ac v c et la qualité de l’amplification différentielle par rapport à l’amplification du mode commun est exprimée par la A valeur du taux de réjection de mode commun TRMC = d ≅ 112700 , soit environ 100 dB. Ac

13. Conductance de transfert En considérant le régime purement différentiel, l’amplificateur a été représenté sous la forme d’un dipôle de Thévenin de tension v s' 2 = Ad v d et de résistance z6 . La transformation Thévenin Norton conduit à v s' i A v A v β β is = 2 = d d = − v d ⇒ Yt = s = d d = − . 2 rbe vd z6 2 rbe z6 z6 Or rbe =

UT 2 UT β= β IC4 I0 o

⇒ Yt = −

I0 . 4 UT

L’expression de la conductance de transfert est retrouvée. L’étude dynamique fournit les performances de l’étage en régime linéaire (gain différentiel, taux de réjection de mode commun, résistances d’entrée et de sortie, bande passante) et l’étude pseudo-continue montre l’excursion maximale de la tension différentielle d’entrée à ne pas dépasser afin de satisfaire un certain niveau de distorsion de la tension de sortie.

Sylvain Géronimi

Page 133




Intégrateur de tension différentielle L’étude proposée concerne le montage de la figure ci-dessous au sein duquel l’amplificateur de tension, supposé idéal ( AV = ∞, Z E = ∞, ZS = 0 ), fonctionne en régime linéaire. C1 R1 v1

vs

R2 v2

+ C2

1. Ecrivez l’expression de la tension de sortie v s en fonction de v 1 et v 2 . 2. Si R1 = R2 = R et C1 = C2 = C , concluez sur la fonction du montage.

Corrigé 1. Expression de la tension de sortie 1 ⎧ ⎪ C2 p + ⎪V ( p ) = V ( p) 1 2 ⎪ R2 + ⎪ C2 p ⎪⎪ + − ⎨V ( p ) = V ( p ) ⎪ 1 ⎪ R1 C1 p ⎪ − V ( p) + V ( p) ⎪V ( p ) = 1 s 1 1 R1 + R1 + ⎪ C1 p C1 p ⎪⎩

d’où Vs ( p ) = −

⇒

R1C1p 1 1 V2 ( p ) = Vs ( p ) + V1( p ) R2C2 p + 1 R1C1p + 1 R1C1p + 1

1 1 R1C1p + 1 V1( p ) + V2 ( p ) R1C1p R1C1p R2C2 p + 1

2. Fonction du montage Si R1 = R2 = R et C1 = C 2 = C , Vs ( p ) = −

1 [V1( p) − V2 ( p )] RC p

Il s’agit d’un intégrateur de tension différentielle d’expression v s (t ) = −

Sylvain Géronimi

Page 134

1 RC

∫ [v (t ) − v (t )]dt . 1

2

Amplificateurs idéaux



Convertisseurs d’impédance Les circuits proposés sont capables de simuler des selfs et des capacités. Les amplificateurs de tension utilisés, supposés idéaux ( AV = ∞, Z E = ∞, ZS = 0 ), fonctionnent en régime linéaire.

La première étude concerne un circuit simulateur d’inductance.

R1 RS

-

i C

RP +

L

ve R2 (a)

(b)

Ve ( p ) du montage de la figure a. I ( p) 2. Ecrivez l’expression de l’impédance du montage b telle que RP >> RS .

1. Ecrivez l’expression de l’impédance d’entrée Z e ( p ) =

3. Identifiez L, RS , RP en fonction de R1 , R2 , C.

Cette étude concerne un circuit simulateur de capacité.

R2

-

U1 R1 -

i

U2

+ +

ve C

4. Ecrivez l’expression de l’impédance d’entrée Z e ( p ) =

Ve ( p ) du montage. I ( p)

5. Interprétez ce résultat.

Sylvain Géronimi

Page 135




Corrigé 1. Expression de l’impédance d’entrée ⎧I ( p ) = I1( p ) + I 2 ( p ) ⎪ − ⎪I ( p ) = Ve ( p ) − V ( p ) ⎪1 R1 ⎪ ⎨I 2 ( p ) = Ve ( p ) − V + ( p ) C p ⎪ R2 ⎪V + ( p ) = V − ( p ) = V ( p) ⎪ 1 e + R ⎪ 2 Cp ⎩

R1

i1

-

i

[

C +

i2

ve

R2

[

]

⎧ ⎛ 1 ⎞ + + C p ⎟⎟ ⎪I ( p ) = Ve ( p ) − V ( p ) ⎜⎜ ⎪ ⎝ R1 ⎠ ⇒ ⎨ R C p ⎪V + ( p ) = 2 Ve ( p ) ⎪ 1 + R2 C p ⎩

⇒ I( p) =

]

V ( p) 1 + R2 C p 1 1 + R1C p = R1 Ve ( p ) d’où Z e ( p ) = e I( p) 1 + R1C p R1 1 + R2 C p

2. Expression de l’impédance du montage b

L L p 1+ p Rs Rs Z( p) = = ≅ Rs L L R p + R s + L p R p + Rs 1+ p 1+ p R p + Rs Rp R p (Rs + L p )

R p Rs

1+

car RP >> RS .

3. Identification Z e ( p ) ≡ Z ( p ) ⇒ R1 = Rs , R2 C =

L L , R1C = Rp Rs

d’où

R2 R p = R1 Rs

et R p = R2 , L = R1 R2 C .

4. Expression de l’impédance d’entrée L’amplificateur U1 , monté en suiveur, recopie la tension Ve ( p ) à sa sortie. L’amplificateur U 2 , monté en inverseur, fournit la tension de sortie Vs ( p ) = −

R2 Ve ( p ) . La loi d’Ohm aux bornes cu R1

condensateur s’écrit alors I ( p ) = [Ve ( p ) − Vs ( p )]C p ⇒ Z e ( p ) =

Ve ( p ) 1 = I( p) ⎛ R2 ⎞ ⎜⎜1 + ⎟C p R1 ⎟⎠ ⎝

5. Interprétation ⎛ R ⎞ Le montage effectue une multiplication de la capacité C telle que Ceq = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ C . R1 ⎠ ⎝

Sylvain Géronimi

Page 136




Amplificateur d’instrumentation amélioré L’étude proposée concerne le montage de la figure ci-dessous dans lequel l’amplificateur de tension est supposé idéal. R2 100k R1 1k R3

V1

S +

1k R4 V2

100k

1. Donnez l’expression de la tension de sortie en fonction des tensions d’entrée. 2. Ecrivez la condition que doivent satisfaire les résistances pour que ce montage soit un étage différentiel. 3. Donnez les expressions des résistances d’entrée et déduisez la condition sur les résistances du circuit pour que ces résistances d’entrée soient à peu près égales. 4. Si les résistances du circuit sont prises dans la série à 1%, évaluez le TRMC pour le pire cas.

Un étage différentiel ( U1 , U 2 ) est placé à l’entrée du montage précédent, comme le montre la figure ci-dessous. U2 +

V1

S1

-

R1

R2

1k

100k

R5 220k

R7

R6

2.2k

S + U1

220k V2

S2 +

R3

R4

1k

100k

U3

5. Donnez l’expression du TRMC du premier étage et discutez de la dispersion des composants. 6. Donnez l’expression du TRMC du montage complet. 7. Comparez les performances ce montage à celui du problème précédent.

Sylvain Géronimi

Page 137




Corrigé 1. Expression de la tension de sortie vS = −

⎛ R ⎞ R4 R2 v2 v 1 + ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ R1 ⎠ R3 + R 4 R1 ⎝

2. Condition pour avoir un étage différentiel R1 R3 = R2 R 4

⇒

Ad =

vS R =− 2 v1 − v 2 R1

3. Expressions des impédances d’entrée Z E1 =

R1 R ≅ 1 (R3 + R 4 ) v2 R4 R3 1− v 1 R3 + R 4

et

Z E 2 = R3 + R 4

En effet, la tension différentielle v 1 − v 2 étant très faible, v1 ≅ v 2 . On a donc intérêt à prendre R1 = R3 pour égaliser les impédances d’entrée. Cette condition entraîne R2 = R 4 qui correspond aussi à la compensation d’offset en sortie ( R1 // R2 = R3 // R 4 ).

4. Expression du taux de réjection de mode commun Posons K =

R R1 1 [v1 (1 + K ') − v 2 (1 + K )] et K ' = 3 ⇒ v S = − K (1 + K ' ) R2 R4

v1 − v 2 v1 + v 2 v − v 2 v1 + v 2 , v2 = − 1 + + 2 2 2 2 1 ⎡2 + K + K' (v1 − v1 ) − (K − K ') v1 + v1 ⎤⎥ ⇒ vS = − K (1 + K ' ) ⎢⎣ 2 2 ⎦

Or v 1 =

En considérant des résistances de même dispersion autour de la valeur nominale, le calcul d’erreur donne ∆K ∆R1 ∆R2 ∆K ' ∆R avec comme pire cas K = K 0 + ∆K et K ' = K 0 − ∆K . = + = =2 K R1 R2 K' R L’amplificateur étant supposé parfait, on trouve ainsi un TRMC produit uniquement par la dispersion des composants passifs :

TRMC

1 +1 Ad 2 + K + K ' K0 = = ≅ ∆K ∆R 2 (K − K ') 2 4 K0 R

en supposant que Ad >> 1 , soit TRMC ≅ 68 dB .

Pour un amplificateur d’instrumentation, il est nécessaire de choisir un composant actif à très bon TRMC . Cependant, le TRMC minimal calculé démontre l’utilisation de résistances ultra précises, mais les valeurs des impédances d’entrée restent faibles.

Sylvain Géronimi

Page 138




Si un amplificateur présentant un TRMC de 80 dB est utilisé, l’erreur additionnelle sera de 1% pour un gain différentiel de 100 ( Ac = 10 − 2 ). La tolérances des résistances étant ici de 1%, l’erreur totale de mode commun est donc de 5%.

5. Expression du taux de réjection de mode commun du premier étage R5 ⎧ ⎪v S1 = R (v 1 − v 2 ) + v 1 ⎪ 7 ⎨ ⎪v = − R 6 (v − v ) + v 1 2 2 ⎪⎩ S2 R7 Ad =

v S1 − v S2 v1 − v 2

= 1+

⇒

R5 + R 6 R7

et

⎧ ⎛ R5 + R 6 ⎞ ⎟ (v 1 − v 2 ) ⎪v S1 − v S2 = ⎜⎜1 + R7 ⎟⎠ ⎪ ⎝ ⎨ ⎪v + v = R5 − R6 (v − v ) + (v + v ) S2 1 2 1 2 ⎪ S1 R7 ⎩ Ac =

v S1 + v S2 v1 + v 2

= 1+

R5 − R 6 v 1 − v 2 ≅1 R7 v 1 + v 2

La tension différentielle étant très faible devant celle du mode commun, ainsi que la différence entre les deux résistances, la dispersion des résistances joue très peu. TRMC = 1 +

R5 + R 6 R7

6. Expression du taux de réjection de mode commun du montage complet

TRMC

R2 R1 = ∆R 4 R

⎛ 2R ⎞ ⎜⎜1 + ⎟ R7 ⎟⎠ ⎝

avec R = R5 = R6

7. Performances Cet amplificateur d’instrumentation présente des impédances d’entrée énormes, une impédance de sortie très faible (contre-réaction tension-tension sur U 2 et U 3 ) et un gain en tension qui peut être réglable par un potentiomètre en place de R7 . L’erreur de mode commun est nettement moindre que dans le premier montage différentiel.

Sylvain Géronimi

Page 139




Amplificateur d’instrumentation (INA 114 de Burr-Brown) Le constructeur Burr-Brown propose le circuit intégré représenté à la figure suivante (résistance RG hors puce) dont le symbole est associé.

+

R

R

v in

-

R

vs1

RG

RG

vd

+ Ref

R +

v

vs

vs2

-

R

+

symbole

R

in

Ref +

1. Ecrivez l’expression de la tension de sortie v s en fonction de v d et v ref .

vd

R1

RG +

Ref + i0 -

R0

2. Ecrivez l’expression du courant de sortie i 0 en fonction de v d et concluez sur la fonction du montage.

Corrigé 1. Expression de la tension de sortie R − ⎧ + − ⎪v S1 = R v in − v in + v in ⎛ 2R ⎞ ⎪ G ⎟ v d + v ref v s = − v s1 + v s2 + v ref ⇒ v s = ⎜⎜1 + ⎨ RG ⎟⎠ R − + + ⎝ ⎪v = − v in − v in + v in ⎪⎩ S2 RG

(

)

(

)

2. Expression du courant de sortie ⎧v ref = R0 i 0 ⎛ 2R ⎞ vd ⎪ ⎟ ⇒ i 0 = ⎜⎜1 + R0 ⎨ R i v = RG ⎟⎠ R1 ⎝ ⎪ 0 0 R +R s 0 1 ⎩ Il s’agit d’un convertisseur tension différentielle / courant (conductance de transfert) d’expression ⎛ 2R ⎞ 1 ⎟ . Yt = ⎜⎜1 + RG ⎟⎠ R1 ⎝

Sylvain Géronimi

Page 140




Amplificateurs logarithmique et exponentiel (antilogarithmique) L’étude proposée concerne les circuits présentés ci-dessous. Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques et leurs courants de base négligeables (β très grand, VA = ∞ ). Les amplificateurs de tension sont supposés idéaux. Vref Q1

R2

Q2 V

U2

+ R1 -

VS

R4 VE

+

U1 R3

Figure 1

R2

R1

Vref R4

Q1

V

Q2 -

VE

U2

R3 + VS -

+

U1

Figure 2

Etude en régime pseudo-continu 1. Ecrivez la relation VS (VE ) pour les deux montages, en constatant que Vref >> V . 2. Concluez sur le type d’amplificateur et précisez les avantages et défauts.

Sylvain Géronimi

Page 141




Corrigé 1. Expression de VS (VE ) Modèles mathématiques de JBT appairés : VBEi

⎛ VCEi ICi = β I Bi = β I BS e UT ⎜⎜1 + VA ⎝

⎞ ⎟ avec VA tension d’Early. ⎟ ⎠

En considérant VA = ∞ , on a : (ici, VCB = 0 ⇒ VCE = VBE << VA )

Q1 ≡ Q2

→

I BS1 = I BS2

VBE1 IC1 ⎧ ⎧ ⎪VBE1 ≅ UT Ln ⎪I ≅ β I e UT β I BS BS ⎪ ⎪ C1 ou ⎨ = I BS , β1 = β 2 = β ⇒ ⎨ VBE2 IC 2 ⎪ ⎪V ⎪IC2 ≅ β I BS e UT ⎪ BE 2 ≅ UT Ln β I ⎩ BS ⎩

Equations du circuit de la figure 1 : ⎧V = VBE 2 − VBE1 (tension différentielle très faible devant Vref ) ⎪ ⎪Vref = R2 I B2 + IC2 + V ≅ R2 IC2 + V ( β grand) ⎪ + − ⎨VE = R1IC1 (V = V = 0 pour U1 ) ⎪ ⎛ R4 ⎞ ⎪ + − ⎪VS = ⎜⎜1 + R ⎟⎟V (V = V = V pour U 2 ) 3 ⎠ ⎝ ⎩

(

d’où

)

⎛ R VS ≅ − UT ⎜⎜1 + 4 R3 ⎝

⇒

⎧ V ⎪IC ≅ ref R2 ⎪ 2 ⎪ VE ⎪ ⎨IC1 = R1 ⎪ ⎪ I ⎛ ⎞ ⎪VS = ⎜1 + R 4 ⎟ UT Ln C2 ⎜ ⎟ ⎪⎩ R3 ⎠ IC1 ⎝

⎞ ⎞ ⎛ R2 ⎟ ⎟ Ln ⎜ ⎟ ⎜ R V VE ⎟ (amplificateur logarithmique) ⎠ ⎠ ⎝ 1 ref

Equations du circuit de la figure 2 : ⎧V = VBE1 − VBE2 (tension différentielle très faible devant Vref ) ⎪ ⎪I = Vref − V (V + = V − = V pour U1 ) ⎪ C1 R2 ⎪ VS ⎨ (V + = V − = 0 pour U 2 ) ⎪IC2 = R 1 ⎪ ⎪ R3 VE ⎪V = R3 + R 4 ⎩ 1

d’où

VS ≅

R1 Vref − UT e R2

R3 VE R3 + R 4

⇒

⎧ V ⎪IC ≅ ref (Vref >> V ) 1 R2 ⎪ ⎪ V ⎪ S ⎨IC2 = R 1 ⎪ ⎪ IC1 R3 ⎪UT Ln = VE IC 2 R 3 + R 4 ⎪⎩

(amplificateur exponentiel)

2. Conclusion Les expressions trouvées sont indépendantes de IBS grâce à la présence des deux transistors appairés. La dérive due à la température vient uniquement de la tension thermique UT , ce qui pose problème.

Sylvain Géronimi

Page 142




Multiplicateur / diviseur L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous. Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques et leurs courants de base négligeables (β très grand, VA = ∞ ). Les amplificateurs de tension sont supposés idéaux.

Q1

Q2

R2

1.8k

R1

-

100k

100k v2

+

v1 100k

+ U1

U2

v

100k

R4

Q4

10k

Q3 R3

1.8k

-

100k v3 100k

+ U4

+ U3

vs

10k

Etude en régime pseudo-continu 1. Ecrivez la relation VS (V1,V2 ,V3 ) . 2. Expliquez le fonctionnement du montage.

Sylvain Géronimi

Page 143




Corrigé 1. Expression de VS Pour le montage log, les équations sont les suivantes : V1 ⎧ ⎪IC1 = R VBE1 ⎧ 1 ⎪ UT ⎪ I β I e ≅ ⎪ BS V2 ⎪C et Q1 ≡ Q2 ⇒ ⎨ 1 ⎨IC2 = VBE2 R2 ⎪ ⎪ ⎪V = VBE − VBE ⎪⎩IC2 ≅ β I BS e UT 2 1 ⎪ ⎩

⎛R V ⎞ d’où V = − UT Ln⎜⎜ 2 1 ⎟⎟ ⎝ R1 V2 ⎠

De même, pour le montage antilog : V3 ⎧ ⎪IC3 = R VBE3 ⎧ 3 ⎪ U ⎪ ⎪ VS ⎪IC ≅ β I BS e T et Q3 ≡ Q4 ⇒ ⎨ 3 ⎨IC4 = VBE4 R4 ⎪ ⎪ UT ≅ I β I e ⎪V = VBE − VBE BS ⎩⎪ C4 3 4 ⎪ ⎩

ce qui donne VS =

⎛R V ⎞ d’où V = UT Ln⎜⎜ 4 3 ⎟⎟ ⎝ R3 VS ⎠

R2 R 4 V1V3 V1V3 = R1 R3 V2 10V2

2. Fonctionnement du montage Ce multiplieur/diviseur un quadrant est basé sur un montage log ( U1 , U 2 ) pilotant un montage antilog ( U 3 , U 4 ). Le générateur log en sortie de U1 commande la base de Q3 par une tension proportionnelle à Ln (V1 V2 ) . Ce transistor additionne une tension proportionnelle à Ln (V3 ) et commande le transistor antilog Q4 . Le courant collecteur de Q4 est converti en une tension de

sortie par U 4 et R 4 avec un facteur d’échelle défini par cette résistance en V1 V3 (10V2 ) pour V1 , V2 , V3 ≥ 0 . R1 , R2 , R3 , R 4 sont des résistances de précision (< 1%) et la relation obtenue se vérifie pourvu que les transistors soient portés à la même température.

Sylvain Géronimi

Page 144




Amplificateurs à conductance de transfert L’étude proposée concerne quelques applications des amplificateurs à conductance de transfert de type LM 13600 en régime linéaire (voir problème « Amplificateur à conductance de transfert LM 13600). Au sein des figures qui suivent, l’amplificateur se représente par un amplificateur à transconductance, remarquable par la présence d’une flèche marquée I pol , suivi d’un buffer mis sous la forme d’un amplificateur de tension monté en suiveur.

+

U1 is

vd

U2

+ Ipol

-

L’amplificateur à transconductance présente un transfert commandé par le courant I pol défini par la relation Yt = i s / v d = I pol / 2UT et des impédances d’entrée et de sortie idéales ( Z E = ∞, ZS = ∞ ).

L’amplificateur de tension est supposé idéal ( AV = ∞, Z E = ∞, ZS = 0 ).

Application 1 R1

-

U1 is

vd

U2

+ +

R2

-

Ipol

R3

R

1. Ecrivez l’expression de la résistance équivalente R. 2. Commentez ce résultat.

Application 2 is1

vd1

-

ve + U1

is2

vd2 Ipol1

+ U2

vs Ipol2

3. Ecrivez l’expression du gain en tension A v = v s / v e . 4. Ecrivez l’expression de la résistance de sortie du montage. 5. Commentez les résultats obtenus.

Sylvain Géronimi

Page 145




Application 3 R2

R1

-

U1 is

vd

U2

+

R1 + Ipol

R2

ve

-

C

vs

6. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert H ( p ) = Vs ( p ) / Ve ( p ) et déduisez la pulsation de coupure. 7. Concluez sur le rôle de ce montage.

Application 4

R1

R2

R1 -

R2

U1

vd1

is1 +

R1

U2

R2

is2

vd2

+

R1

U4

+

+ ve

U3

Ipol

C

vs1

R2

Ipol

C

vs2

8. Ecrivez les expressions des fonctions de transfert H1( p ) = Vs1 ( p ) / Ve ( p ) et H 2 ( p ) = Vs2 ( p ) / Ve ( p ) dans le cas où R1 >> R 2 et I pol1 = I pol 2 = I pol . 9. Identifiez les paramètres ζ et ωn . 10. Concluez sur le rôle de ce montage.

Sylvain Géronimi

Page 146




Corrigé Application 1 1. Expression de la résistance équivalente La résistance du dipôle est définie par R =

v0 avec v 0 tension appliquée à l’entrée du dipôle et i0

recopiée en sortie du suiveur de tension U 2 , i 0 courant entrant dans le dipôle tel que i 0 = − i s . i s = Yt v d =

I pol ⎛ ⎞ ⎛ R ⎞ 2 UT R2 ⎜⎜ 0 − v 0 ⎟⎟ ⇒ R = ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ 2 UT ⎝ R1 + R2 ⎠ ⎝ R2 ⎠ I pol

2. Commentaire La résistance est commandée par le courant I pol et est influencée par la température ( UT ).

Application 2 3. Expression du gain en tension ⎧i s = − Yt v e 1 1 ⎪⎪ ⎨i s2 = − Yt2 v s ⎪ ⎪⎩i s1 + i s2 = 0

⇒ Av =

Yt I pol1 vs =− 1 =− ve Yt 2 I pol 2

(amplificateur inverseur de tension)

4. Expression de la résistance de sortie Rs =

vs i0

(

avec i 0 = − i s1 + i s2

l’intérieur du dipôle), d’où Rs =

)

(courant entrant dans le dipôle) et v e = 0 (source éteinte à

2UT 1 = . Yt 2 I pol

5. Commentaires L’amplification de tension et la résistance de sortie sont réglables par les courants de commande I pol1 et I pol 2 sans utiliser de composants passifs, exceptées les résistances de réglage des courants de commande. L’amplificateur peut varier continûment de 0 < A v min < 1 < A v max .

Application 3 6. Expression de la fonction de transfert et de la pulsation de coupure ⎧Is ( p ) = Yt Vd ( p ) ⎪ R2 ⎪ [Ve ( p) − Vs ( p)] ⇒ C pVs ( p) = Yt R2 [Ve ( p) − Vs ( p)] ⎨Vd ( p ) = R R + R1 + R2 1 2 ⎪ ⎪Is ( p ) = C p Vs ( p ) ⎩

Sylvain Géronimi

Page 147



d’où

Vs ( p ) = Ve ( p )


1 1 de la forme p ⎛ R1 ⎞ C 1+ ⎟⎟ p 1 + ⎜⎜1 + ω c ⎝ R2 ⎠ Yt

avec ωc =

I pol ⎛ R ⎞ 2UT ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ C ⎝ R2 ⎠

7. Conclusion Il s’agit d’un filtre passe-bas du premier ordre dont la fréquence de coupure est commandée par I pol .

Application 4 8. Expressions des fonctions de transfert ⎧ ⎡ R2 ⎤ R1 // R2 Ve ( p ) − Vs1 ( p ) + Vs2 ( p ) ⎥ ⎪I s1 ( p ) = Yt1 ⎢ + + R R R R R // 2 1 1 2 ⎣ 1 ⎦ ⎪ ⎪I ( p ) = C pV ( p ) ⎪ s1 s1 ⎨ R2 ⎪I ( p ) = Y Vs ( p ) t2 ⎪ s2 R1 + R2 1 ⎪ ⎪⎩I s2 ( p ) = C pVs2 ( p )

(

[

)

⎧Yt1 = Yt 2 = Yt ⎪ avec ⎨ R1 // R2 R2 R2 ⎪ R + R // R ≅ R + R ≅ R 1 2 1 2 1 ⎩ 1

]

⎧⎪ pVs1 ( p ) ≅ α Ve ( p ) −Vs1 ( p ) − Vs2 ( p ) R ⇒ ⎨ avec α = Yt 2 R1C ⎪⎩ pVs2 ( p ) ≅ α Vs1 ( p ) p Vs ( p ) Vs1 ( p ) 1 α ≅ ≅ et H 2 ( p ) = 2 d’où H1( p ) = 2 Ve ( p ) Ve ( p ) p p p p2 1+ + 2 1+ + 2

α

α

α

α

9. Identification des paramètres Dénominateur de la forme 1 +

2ζ

ωn

p+

p2

ωn2

⇒ ω n ≅ Yt

R2 et ζ ≅ 0.5 . R1C

10. Conclusion Il s’agit respectivement de filtres passe-bande et passe-bas du second ordre.

Sylvain Géronimi

Page 148




Filtre passe-bas à deux suiveurs de tension L’étude porte sur le circuit de la figure ci-dessous. Les amplificateurs de tension sont supposés idéaux. Z2

Z1

U1 +

Z3

U2 +

ve Z4

-

vs

1. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert en tension H ( p ) = Vs ( p ) Ve ( p ) . 2. A partir de la forme de l’expression trouvée, dites quels types de filtres du second ordre sont réalisables et précisez le type des composants.

Le but est, maintenant, de réaliser un filtre passe-bas de fréquence de coupure de 300 Hz à – 3 dB avec un coefficient de surtension ζ = 1

2.

3. Les condensateurs étant choisis à la valeur de 47 nF, évaluez les résistances du montage. 4. Ecrivez les expressions des sensibilités des paramètres ωn et ζ en fonction des composants passifs. Pourquoi les valeurs des sensibilités sont-elles constantes ? 5. Si tous les composants sont choisis à la tolérance de 1%, donnez les variations relatives de ces paramètres dans le pire cas.

Sylvain Géronimi

Page 149

Filtrage analogique



Corrigé 1. Expression de la fonction de transfert Z2 ( p) Z1( p ) ⎧ + ⎪VU1 ( p ) = Z ( p ) + Z ( p ) Ve ( p ) + Z ( p ) + Z ( p ) Vs ( p ) ⎪ 1 2 1 2 ( U1 et U 2 montés en suiveur de tension ) ⎨ Z ( p ) 4 + ( p) ⎪V ( p ) = V ⎪⎩ s Z 3 ( p ) + Z 4 ( p ) U1

⇒ Vs ( p ) =

Z 2 ( p )Ve ( p ) + Z1( p )Vs ( p ) Z 4 ( p) Z3 ( p) + Z 4 ( p ) Z1( p ) + Z 2 ( p )

d’où H ( p ) =

Vs ( p ) Z2 ( p) Z 4 ( p) = Ve ( p ) Z1( p ) Z 3 ( p ) + Z 2 ( p ) Z 3 ( p ) + Z 2 ( p ) Z 4 ( p )

2. Types de filtres du second ordre A la vue du schéma, si les éléments des ponts d’impédances Z1( p ) - Z 2 ( p ) ou Z 3 ( p ) - Z 4 ( p ) sont de même nature (résistif ou capacitif), le transfert en tension est indépendant de la fréquence. Ces ponts doivent être de même topologie RC pour obtenir une fonction de transfert du second ordre, à savoir Z1( p ) - Z 3 ( p ) des résistances et Z 2 ( p ) - Z 4 ( p ) des condensateurs ou l’inverse, sinon la fonction est du premier ordre.

Type

Z1

Z2

Z3

Z4

Passe-bas

R1

1 C2 p

R3

1 C4 p

Passe-haut

1 C1 p

R2

1 C3 p

R4

3. Calcul des résistances H ( p) =

1 de la forme H ( p ) = H 0 1 + R3 C 4 p + R1 R3 C 2 C 4 p 2

avec H 0 = 1 , ωn =

1 R1 R3 C2 C 4

, ζ =

1 1+

2ζ

ωn

p+

p2

ωn2

1 R3 C 4 et ωc = ωn 1 − 2 ζ 2 + 2 R1C2

( 2 ζ 2 − 1)2 + 1

Le conditionnement du problème demande de disposer d’autant d’équations que d’inconnues. Un bilan montre 3 équations ci-dessus ( H 0 connu) pour 7 inconnues R1, C2 , R3 , C 4 et ωn , ζ , ωc . Il est donc nécessaire d’introduire 4 données afin d’évaluer tous les composants : -

2 données issues du cahier des charges fc = 300 Hz , ζ = 1 2 2 données issues de valeurs de composants passifs prises de façon arbitraire, ici C2 = C 4 = 47 nF .

La résolution du système linéaire conduit aux équations fc = fn =

1 2π C2 R1 R3

et R3 = 2R1 ,

donnant les valeurs R1 ≅ 8 kΩ , R3 ≅ 16 kΩ .

Sylvain Géronimi

Page 150

Filtrage analogique



4. Evaluation des sensibilités dω n

ωn

dζ

ζ

dR3 dC 2 dC 4 1 ⎛ dR = − ⎜⎜ 1 + + + 2 ⎝ R1 R3 C2 C4

=

⎞ ⎟ ⇒ SRωn = SRωn = SCωn = SCωn = − 0.5 ⎟ 1 3 2 4 ⎠

1 ⎛ dR3 dC 4 dR1 dC 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⇒ SRζ = SCζ = − SRζ = − SCζ = 0.5 + − − 3 4 1 2 2 ⎜⎝ R3 C4 R1 C2 ⎟⎠

Les amplificateurs montés en suiveur isolent les cellules du premier ordre et il n’y a donc pas d’interaction entre elles. 5. Etude du pire-cas Avec des tolérances de composants identiques ( ∆R R = ∆C C = ± 1% ), les variations relatives sont les suivantes (approche linéaire) : ∆ωn ∆ζ 1 ⎛ ∆R ∆C ⎞ = = ⎜2 +2 ⎟ = ± 2% ωn ζ 2⎝ R C ⎠ La simulation du pire cas pour la valeur maximale [fonction MAX] au-dessus de la valeur nominale [direction Hi] donne les tracés suivants. 1.05V 1.00V

nominale

(299.214, 721.600m)

0.80V

(299.214, 707.241m)

0.65V 100Hz

(305.192,707.181m)

300Hz

V(S)

400Hz

Frequency

L’écart d’amplitude le plus important (valeur maximale), recherché dans l’intervalle 290-310 Hz, se situe à 302 Hz pour les valeurs minimales des composants passifs (valeur nominale diminuée de 1%). Les mesures donnent ∆f 305.2 − 299.2 - pour l’ordonnée – 3 dB (0.707), c ≅ ≅ 0.02 (fréquence de coupure) fc 299.2 pour l’abscisse fn ≅ 299 Hz , H ' ( jfn ) ≅ 0.722 .

-

En théorie, les valeurs des composants variant de - 1 %, dζ

ζ

=

df f' −f ζ '−ζ 4 = 0 ⇒ ζ ' = ζ et n = n n = − (− 1 %) = 2 % ⇒ fn' = 1.02 fn , d’où ζ fn fn 2

fc' = fn' 1 − 2 ζ ' 2 +

Sylvain Géronimi

( 2 ζ ' −1) 2

2

+1 ⇒

dfc fc' − fc = = 2 % , H ' ( jfn ) = fc fc

Page 151

1 2

≅ 0.721

2 ⎞ 2 ⎛ ⎜1 − fn ⎟ + 4ζ ' 2 fn ⎜ f '2 ⎟ fn' 2 n ⎠ ⎝

Filtrage analogique



Filtre passe-bas à contre-réaction multiple (structure de Rauch) Le but du problème est de réaliser une cellule du second ordre à structure de Rauch, utilisant un amplificateur de tension parfait en régime linéaire. Les caractéristiques réelles sont celles d’un filtre passe-bas de gain unité, de coefficient d’amortissement ζ = 0.5 et de fréquence de coupure fc à – 3 dB égale à 1 kHz.

C2

R

+

+

R1

R3

10k

10k

-

ve

R4

vs C5

1. Vérifiez par l’examen du comportement en fréquence du circuit qu’il s’agit bien d’un filtre passebas. Précisez le gain du filtre. V ( p) en fonction des composants passifs. 2. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert H ( p) = s Ve ( p) 3. Identifiez les paramètres qui caractérisent le filtre (gain H0 , pulsation propre ωn , coefficient de surtension ζ). 4. Expliquez le fait que les valeurs de deux composants passifs soient données. 5. Evaluez les autres composants, y compris la résistance R + qui permet de minimiser l’influence des courants de polarisation sur la composante continue de sortie des amplificateurs. 6. Evaluez le maximum K res de la fonction de transfert et la fréquence de résonance fres correspondante. 7. Ecrivez les expressions des sensibilités des paramètres K = H 0 , ω n et ζ en fonction des composants passifs. 8. Calculez les nouvelles valeurs de K, K res , fres et fc à partir de l’évaluation des sensibilités, lorsque la résistance R1 augmente de 10 %. Faîtes de même pour R3 , puis pour R 4 .

Sylvain Géronimi

Page 152

Filtrage analogique



Corrigé 1. Vérification du type de filtre Aux très basses fréquences, les condensateurs sont assimilés à des circuits ouverts et aucun courant ne parcourt la résistance R3 . Le montage est alors un amplificateur inverseur de gain − R 4 R1 . Aux très hautes fréquences, les condensateurs sont assimilés à des courts-circuits et l’entrée de l’amplificateur est amenée à la masse.

2. Ecriture de la fonction de transfert (voir cours « Filtrage analogique »)

H ( p) = −

1 1 R1 R3 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 1 ⎟+ C5 p ⎜⎜ + C2 p + + R3 R 4 ⎟⎠ R3 R 4 ⎝ R1

3. Identification des paramètres − H ( p) =

R4 R1

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟ R3 R 4 C5 p + R3 R 4 C2 C5 p 2 1 + ⎜⎜ + + R R R 1 3 4 ⎝ ⎠

avec H 0 = −

R4 1 R 3 R 4 C5 = −K , ζ = 2 C2 R1

et ωc = ωn 1 − 2 ζ 2 +

de la forme H ( p ) = H 0

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ R + R + R ⎟ , ωn = 3 4 ⎠ ⎝ 1

1 1+

2ζ

ωn

p+

p2

ωn2

1 R3 R 4 C 2 C5

( 2 ζ 2 − 1)2 + 1

4. Présence de deux valeurs de composants Le conditionnement du problème demande de disposer d’autant d’équations que d’inconnues. Un bilan montre quatre équations écrites précédemment pour neuf inconnues R1, C2 , R3 , R 4 , C5 et K , ωn , ζ , ωc . Il est donc nécessaire d’introduire 5 données afin d’évaluer tous les composants : - 3 données issues du cahier des charges ωc = 2π 1000 rad / s , ζ = 0.5 , K = 1 , - 2 données issues de valeurs de composants passifs prises de façon arbitraire, ici R1 = R3 = 10 kΩ . 5. Evaluation des composants du filtre La résolution du système linéaire fournit les valeurs R 4 = 10 kΩ , C2 ≅ 60.7 nF , C5 ≅ 6.75 nF avec fn ≅ 786 Hz . Afin de minimiser l’influence des courants de polarisation sur la composante continue de sortie, il faut équilibrer les entrées par rapport à la masse. La source dynamique étant éteinte, les condensateurs assimilés à des circuits ouverts et le potentiel de sortie souhaité à la masse, alors la topologie montre que R + = R3 + R1 // R 4 = 15 kΩ .

Sylvain Géronimi

Page 153

Filtrage analogique



6. Evaluation de K res et fres (voir cours « Filtrage analogique »)

fres = fn 1 − 2 ζ 2 ≅ 556 Hz et K res dB = H ( jωres ) dB = −20 log ⎛⎜ 2 ζ 1 − ζ 2 ⎞⎟ ≅ 1.25 dB ⎠ ⎝ Simulation 20

résonance

gain unité

(562.341,1.2482)

(15.020,1.4982m) 0

(1.0000K,-3.0272)

fréquence de cassure

-20

-40 10Hz DB(V(s))

30Hz

100Hz

300Hz

1.0KHz

3.0KHz

10KHz

Frequency

7. Evaluation des sensibilités K=

R4 dK dR 4 dR1 ⇒ log K = log R 4 − log R1 ⇒ ⇒ SRK4 = − SRK1 = 1 = − R1 K R4 R1

ωn =

1 R3 R 4 C 2 C5

⇒

dω n

ωn

dR 4 dC2 dC5 1 ⎛ dR = − ⎜⎜ 3 + + + 2 ⎝ R3 R4 C2 C5


⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜R + R + R ⎟ ⇒ 3 4 ⎠ ⎝ 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ R3 dR3 ⎜ 1 R1 dR1 ⎜ 1 R4 dζ 1 dC5 1 dC 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ dR 4 = − − + − + − 1 1 ⎟ R1 ⎜ 2 1 1 1 ⎟ R3 ⎜ 2 1 1 1 ⎟ R4 2 C5 2 C2 ⎜ 1 ζ + + + + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ R1 R3 R 4 ⎠ R1 R3 R 4 ⎠ ⎝ R1 R3 R 4 ⎠ ⎝ ⎝ 1 1 ⇒ SCζ = − SCζ = 0.5 , SRζ = − , SRζ = SRζ = . 5 2 1 3 4 3 6

ζ =

1 R3 R 4 C5 2 C2

9. Modification des performances Pour une variation d’un composant passif donné, les nouvelles valeurs théoriques des fonctions K res =

1 2

, fres = fn 1 − 2 ζ 2 et fc = fn 1 − 2 ζ 2 +

( 2ζ

2

)

2

−1 +1

2ζ 1− ζ seront obtenues par la connaissance des nouveaux paramètres issus des sensibilités. ⎛ df ⎛ dζ ⎞ dfn fn' − fn dK K '−K dζ ζ '−ζ ⎛ dK ⎞ ⎟⎟ ζ , = ⇒ K ' = ⎜1 + ⇒ ζ ' = ⎜⎜1 + ⇒ fn' = ⎜⎜1 + n = = ⎟K , ζ ζ ζ K K K fn f f ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ n n ⎝

Sylvain Géronimi

Page 154

⎞ ⎟⎟ fn ⎠

Filtrage analogique



Pour une augmentation de 10 % de la résistance R1 , nous obtenons ⎛ dR1 ⎞ ⎛ dR1 ⎞ ⎟⎟ K = 0.9 , ζ ' = ⎜⎜1 − ⎟⎟ ζ ≅ 0.4833 , fn' = fn ≅ 786 Hz K ' = ⎜⎜1 − 3 R R 1 ⎠ 1⎠ ⎝ ⎝ 1.2V

(11.909, 1.0001) 1.0V

R1 = 10 kΩ

(562.341, 1.1545)

(11.909, 909.192m)

R1 = 11 kΩ 0.8V

(0.9991K, 706.897m) (578.762, 1.0718)

(1.0136K, 641.379m)

0.6V

0.5V 10Hz

V(s)

30Hz

100Hz

300Hz

1.0KHz

3.0KHz

10KHz

Frequency

R1 +10% théorie mesure

K 0.9 0.909

fres (Hz) 574 579

Kres 1.082 1.072

fc (Hz) 1015 1014

Pour une augmentation de 10 % de la résistance R3 , nous obtenons ⎛ ⎛ dR3 ⎞ dR3 ⎞ ⎟ ζ ≅ 0.5083 , fn' = ⎜1 − ⎟ fn ≅ 747 Hz K ' = K = 1 , ζ ' = ⎜⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟ 6 R3 ⎠ ⎝ ⎝ 2 R3 ⎠ 1.2V

R3 = 10 kΩ (11.909, 1.0001) (562.341, 1.1545)

1.0V

(520.795, 1.1419) (0.9991K, 706.897m) 0.8V

(945.368, 706.897m)

0.6V

R3 = 11 kΩ 0.5V 10Hz

V(s)

30Hz

300Hz

1.0KHz

3.0KHz

10KHz

Frequency


Sylvain Géronimi

100Hz

K 1 1

Kres 1.142 1.142

Page 155

fres (Hz) 519 520

fc (Hz) 943 945

Filtrage analogique



Pour une augmentation de 10 % de la résistance R 4 , nous obtenons ⎛ dR 4 ⎞ ⎛ ⎛ dR 4 ⎞ dR 4 ⎞ ⎟⎟ K = 1.1 , ζ ' = ⎜⎜1 + ⎟⎟ ζ ≅ 0.5083 , fn' = ⎜⎜1 − ⎟⎟ fn ≅ 747 Hz K ' = ⎜⎜1 + 6 R4 ⎠ R4 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ 2 R4 ⎠ 1.25V (11.923, 1.1001)

(519.132, 1.2561)

R4 = 11 kΩ

(11.909, 1.0001) (562.341, 1.1545)

1.00V

R4 = 10 kΩ (945.111, 777.833m) (0.9991K, 706.897m) 0.75V

0.50V 10Hz

V(s)

30Hz

100Hz

300Hz

1.0KHz

3.0KHz

fres (Hz) 519 519

fc (Hz) 943 945

10KHz

Frequency


K 1.1 1.1

Kres 1.242 1.256

Rappelons que les valeurs théoriques sont issues d’une approche linéaire.

Sylvain Géronimi

Page 156

Filtrage analogique



Filtre passe-bas à source contrôlée (structure Sallen-Key) Le but du problème est de comprendre la signification des facteurs de sensibilité sur le cas d’un filtre passe-bas du second ordre. L’emploi d’un simulateur de circuits électriques est nécessaire pour traiter la partie expérimentale. Le réseau à source contrôlée avec gain K (structure de Sallen-Key) utilise un amplificateur parfait en régime linéaire. C1 47n R4 1820

R3 -

1k R1

R2

1703

1703

+ ve

C2

vs

47n

Etude théorique 1. Donnez l’écriture de la fonction de transfert H ( p) =

Vs ( p) en fonction des composants passifs, Ve ( p)

puis identifiez les paramètres qui caractérisent le filtre (gain K, pulsation naturelle ω n , coefficient de surtension ζ). 2. Ecrivez les expressions des sensibilités des paramètres K , ω n et ζ en fonction des composants passifs. 3. Evaluez les paramètres et les facteurs de sensibilité. Etude expérimentale par simulateur L’utilisation d’un simulateur de circuits va permettre de mesurer l’influence des variations de composants passifs sur la courbe de réponse en fréquence du filtre. Deux réponses seront tracées au sein d’une analyse paramétrique, l’une issue des valeurs nominales des composants et l’autre issue de l’augmentation de la valeur d’un ou plusieurs composants. Le balayage des fréquences s’étendra de 10 Hz à 10 kHz avec 1500 points par décade pour une bonne précision des mesures. 4. Pour la résistance R1 variant de 1703 Ω à 1788 Ω, évaluez les rapports ∆K K , ∆ζ ζ , ∆fn fn par la mesure et déduisez les facteurs de sensibilité fonction de R1 . Comparez à la théorie. 5. Faites de même lorsque les résistances R1 et R2 varient simultanément de 1703 Ω à 1788 Ω. 6. Faites de même lorsque la résistance R 4 varie de 1820 Ω à 1911 Ω. Formulaire : 1− 1−

ζ =

1 K 02

2

Sylvain Géronimi

avec K 0 =

fres K res 1 , fc = fn 1 − 2ζ 2 + , fn = = 2 2 K 2ζ 1 − ζ 1 − 2ζ

Page 157

(1 − 2ζ )

2 2

+1

Filtrage analogique



Corrigé Etude théorique 1. Ecriture de la fonction de transfert (voir cours « Filtrage analogique ») Les composants passifs Yi sont des admittances (conductances ou capacités).

Y2 R4 R3 Y3

Y1

+

A

vs

Y4

ve

La fonction de transfert en tension du filtre s’écrit : VS ( p ) K Y1 Y3 = VE ( p ) Y4 (Y1 + Y2 + Y3 ) + Y3 (Y1 + Y2 (1 − K ))

avec K = 1 +

L’identification des admittances telles que Y1( p ) =

R4 R3

1 1 , Y2 ( p ) = C1 p , Y3 ( p ) = , Y4 ( p ) = C2 p R1 R2

conduit aux expressions des paramètres ωn , ζ , K . H ( p) =

K

1 + [R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2 ] p + R1 R2 C1 C2 p 2 1

avec ωn =

R1R2C1C2

, ζ =

R1C1(1 − K ) + (R1 + R2 )C2 2 R1R2C1C2

H0

de la forme H ( p ) = 1+

2ζ

ωn

p+

p2

ωn2

, H0 = K

2. Calcul des sensibilités Les expressions précédentes montrent que la pulsation naturelle ωn est influencée par les composants R1 , R2 , C1 , C2 , le coefficient d’amortissement ζ par R1 , R2 , C1 , C2 , R3 , R 4 puisque ces deux derniers composants ont une action sur le gain K .

ωn =

ζ =

1 R1R2C1C2

⇒

dω n

ωn

dR2 dC1 dC 2 ⎞ 1 ⎛ dR ⎟ = − ⎜⎜ 1 + + + 2 ⎝ R1 R2 C1 C2 ⎟⎠

⇒ SRωn = SRωn = SCωn = SCωn = − 0.5 1

2

1

2

R1C1(1 − K ) + (R1 + R2 )C2 2 R1R2C1C2

⇒ log ζ = log[R1C1(1 − K ) + (R1 + R2 )C2 ] − log 2 −

Sylvain Géronimi

1 [log R1 + log R2 + logC1 + logC2 ] ⇒ 2

Page 158

Filtrage analogique


dζ

C1 (1 − K ) + C2 R1 (1 − K ) C2 dR1 + dC1 + dR 2 R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2 R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2 R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2

=

ζ

+

or


R1 + R2 R1C1 dR2 dC1 dC2 ⎞ 1 ⎛ dR ⎟ dC2 − dK − ⎜⎜ 1 + + + R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2 R1C1 (1 − K ) + (R1 + R2 )C2 2 ⎝ R1 R2 C1 C2 ⎟⎠

ω 1 = n R1C1(1 − K ) + (R1 + R2 )C2 2ζ

SRζ = − 2

⇒ SRζ = − 1

1 R1 [C1 (1 − K ) + C2 ]ωn + , 2 2ζ

RC ω K 1 R2 C2 ωn 1 R C (1 − K )ωn 1 (R + R2 )C2 ωn , SCζ = − + 1 1 , SCζ = − + 1 , SKζ = − 1 1 n + 1 2 2 2ζ 2 2ζ 2 2ζ 2ζ

Comme le gain K est fonction R3 et R 4 , nous pouvons calculer les sensibilités de ces résistances sur les paramètres K et ζ. R4 1 R R32 R3 K −1 dK dR3 ⇒ SRK4 = − SRK3 = K = 1+ 4 ⇒ = dR 4 − R4 R4 K R3 K 1+ 1+ R3 R3 et SRζ = SRK3 SKζ = 3

R1C1ωn (K − 1) = − SRζ 4 2ζ

3. Evaluation des paramètres et facteur de sensibilité En posant R1 = R2 = R et C1 = C2 = C , les expressions s’écrivent

ωn =

R 1 3−K , ζ = , K = 1+ 4 R3 RC 2

SRζ = − 1

1 2−K 1 1 1 1− K K −1 1 1 , SRζ = − + , SCζ = − + , SCζ = − + , SRζ = − SRζ = + 2 1 2 3 4 2 ζ 2 2ζ 2 2ζ 2 2ζ 2ζ

SRfn = SRfn = SCfn = SCfn = − 0.5 , SRK3 = − SRK4 = 1

2

1

2

1− K K

L’application numérique donne fn ≅ 1988 Hz , ζ ≅ 0.09 , K ≅ 2.82 ωn

⇒ K res ≅ 15.73 , fres ≅ 1972 Hz , fc ≅ 3071 Hz

SR ≅ − 5.06 , SR = − 0.5 , SR ≅ 5.06 , SRωn = − 0.5 , SCζ ≅ − 10.6 , SCωn = − 0.5 , SCζ ≅ 10.6 , ζ

1

ζ

1

ωn

ζ

SC = − 0.5 , SR ≅ 10.1 , 3

2

2

SRK3

2

1

ζ

≅ − 0.645 , SR ≅ − 10.1 , 4

SRK4

1

2

≅ 0.645

Etude par simulateur 4. Influence de la résistance R1 La simulation présente les tracés relatifs à la valeur nominale (1703 Ω) de la résistance et à la valeur augmentée d’environ 5 % (1788 Ω). Les fréquences de résonance et de coupure diminuent (fréquence naturelle diminue) faiblement ( SRfn = − 0.5 ), la surtension augmente (coefficient 1

d’amortissement diminue) de façon importante ( SRζ = − 5.056 ), le gain K du plateau demeure 1

inchangé

Sylvain Géronimi

( SRK1

= 0 ) avec l’augmentation de la valeur de la résistance.

Page 159

Filtrage analogique



30V

(1.9292K, 20.855)

R1 = 1788 Ω

20V

(1.9709K, 15.752)

10V (3.0023K, 1.9942) (18.535, 2.8202)

(3.0685K, 1.9945)

R1 = 1703 Ω 0V 10Hz

V(S)

30Hz

100Hz

300Hz

1.0KHz

3.0KHz

10KHz

Frequency

Tableau des mesures : R1 (Ω)

K (Veff )

K res (Veff )

fres (Hz )

fc (Hz )

1703

2.820

15.75

1971

3069

1788

2.820

20.85

1929

3002

R1 (Ω)

ζ

fn (Hz )

1703

0.08989

1987

1788

0.06777

1938

Traitement des mesures :

1− 1− en utilisant les formules ζ =

1 K 02

2

avec K 0 =

fres K res 1 . , fn = = 2 K 2ζ 1 − ζ 1 − 2ζ 2

∆R1 1788 − 1703 ∆ζ 0.06777 − 0.08989 = ≅ 4.99 % , = ≅ − 0.246 , 0.08989 ζ R1 1703

∆fn 1938 − 1987 = ≅ − 0.0247 1987 fn Comparaison : sensibilité

théorique

pratique

SRζ

- 5.05

- 4.93

SRfn

- 0.5

- 0.49

SRK1

0

0

1

1

Sylvain Géronimi

Page 160

Filtrage analogique



5. Influence simultanée des résistances R1 et R2 La simulation présente les tracés relatifs à la valeur nominale (1703 Ω) des résistances et à la valeur augmentée d’environ 5 % (1788 Ω). Les fréquences de résonance et de coupure diminuent (fréquence naturelle diminue deux fois plus que précédemment) ( SRfn = SRfn = − 0.5 ), la surtension 1

2

(coefficient d’amortissement) demeure inchangé car les effets s’annulent ( SRζ = − SRζ ), le gain K 1

du plateau demeure inchangé

( SRK1

=

SRK2

2

= 0 ) avec l’augmentation de la valeur des résistances.

20V (1.8765K,15.751)

(1.9709K,15.752)

15V

R1 = 1788 Ω R1 = 1703 Ω

10V

5V

0V 10Hz

(18.535,2.8202)

(3.0685K,1.9945)

(2.9230K,1.9940) V(S)

30Hz

100Hz

300Hz

1.0KHz

3.0KHz

10KHz

Frequency

Tableau des mesures : R1, R2 ( Ω)

K (Veff )

K res (Veff )

fres (Hz )

fc (Hz )

1703

2.820

15.75

1971

3069

1788

2.820

15.75

1877

2923

R1, R2 (Ω)

ζ

fn (Hz )

1703

0.08989

1987

1788

0.08989

1892


∆R1 ∆f ∆K ∆ζ 1892 − 1987 ≅ 4.99 % , = 0, =0, n = ≅ − 0.0478 ζ R1 K 1987 fn

Comparaison : sensibilité

théorique

pratique

0

0

SRfn + SRfn

-1

- 0.958

SRK1 + SRK2

0

0

ζ

ζ

SR + SR 1

1

Sylvain Géronimi

2

2

Page 161

Filtrage analogique



6. Influence de la résistance R 4 La simulation présente les tracés relatifs à la valeur nominale (1820 Ω) de la résistance et à la valeur augmentée d’environ 5 % (1911 Ω). Les fréquences de résonance et de coupure augmentent très légèrement (fréquence naturelle inchangée) ( SRfn = 0 ), la surtension (coefficient 4

ζ

d’amortissement diminue fortement) augmente fortement ( SR ≅ − 10.1 ), le gain K du plateau 4

augmente légèrement

( SRK4

≅ 0.645 ) avec l’augmentation de la valeur des résistances.

40V (1.9831K, 32.798)

R4 = 1911 Ω

30V

20V

(1.9709K, 15.752)

(10.798, 2.8201) (3.0819K, 2.0582)

10V

(10.798, 2.9111) (3.0685K, 1.9945)

R4 = 1820 Ω 0V 10Hz

V(S)

30Hz

100Hz

300Hz

1.0KHz

3.0KHz

10KHz

Frequency

Tableau des mesures : R 4 (Ω)

K (Veff )

K res (Veff )

fres (Hz )

fc (Hz )

1820

2.820

15.75

1971

3069

1911

2.911

32.80

1983

3082

R 4 (Ω)

ζ

fn (Hz )

1820

0.08989

1987

1911

0.04442

1987


∆R1 ∆f ∆K 2.911 − 2.82 ∆ζ 0.04442 − 0.08989 ≅ 4.99 % , = ≅ 0.0323 , = ≅ − 0.5058 , n = 0 K 2.82 0.08989 ζ R1 fn

Comparaison : sensibilité

théorique

pratique

- 10.1

- 10.1

SRfn

0

0

SRK4

0.645

0.647

ζ

SR

4

4

Sylvain Géronimi

Page 162

Filtrage analogique



Conception d’un filtre passe-haut Butterworth d’ordre 4 Le but du problème est de concevoir un filtre de Butterworth d’ordre 4. Les caractéristiques réelles sont celles d’un filtre passe-haut de gain unité et de bande passante à – 3 dB égale à 300 Hz. La structure à contre-réaction multiple (structure de Rauch) est choisie pour la réalisation des cellules d’ordre 2. Réponse de Butterworth 1. Trouvez l’expression du polynôme de Butterworth à partir du calcul des pôles de la fonction de transfert générale, pôles vérifiant les conditions de stabilité. 2. Ecrivez la fonction de transfert dénormalisée du filtre passe-bas de pulsation de coupure ωc . Déduisez alors l’expression du filtre passe-haut par transformation conforme. 3. Identifiez les paramètres ω n et ζ de chaque cellule à la forme canonique. Structure à contre-réaction multiple

C4 C1

R5 C3 -

ve

R2 + R

+

vs

Vs ( p) en fonction des composants passifs Ve ( p) pour la réalisation d’une cellule passe-haut utilisant un amplificateur parfait en régime linéaire. 5. Identifiez les paramètres qui caractérisent le filtre (gain H0 , pulsation naturelle ω n , coefficient de surtension ζ). 6. Ecrivez les expressions des sensibilités des paramètres K = H 0 , ω n et ζ en fonction des 4. Donnez l’écriture de la fonction de transfert H ( p) =

composants passifs. 7. En supposant que les condensateurs possèdent la même valeur et si tous les composants sont choisis à la tolérance de 1%, donnez les variations relatives de ces paramètres dans le pire cas. Réalisation du circuit 8. Discutez de l’interaction des cellules et de la stabilité du montage. 9. En considérant les données du problème, pouvez-vous évaluer tous les composants passifs d’une cellule ? 10. Les condensateurs C1 et C3 étant choisis à la valeur de 47 nF, évaluez les composants restants, y compris les résistances R + qui permettent de minimiser l’influence des courants de polarisation sur la composante continue de sortie des amplificateurs.

Sylvain Géronimi

Page 163

Filtrage analogique



Corrigé Réponse de Butterworth 1. Expression du polynôme de Butterworth La fonction de transfert en p s’écrit H ( p )

2

=

1

1 + (− 1) p 2n n

. k=2

Le carré du module étant pair ( H ( p ) = H ( − p ) ), les pôles le sont aussi. Pour n = 4, les pôles de la fonction sont issus de l’équation 1

π⎞ ⎛π j ⎜ +k ⎟ 4⎠ ⎝8 =

π⎞ π⎞ ⎛π ⎛π cos⎜ + k ⎟ + j sin⎜ + k ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝8 ⎝8 répartis sur le cercle de rayon unité (constellation). 1 + p 8 = 0 , soit p = (− 1) 8 = e

k=1

k=3

k=0

k=7

k=4 k=5

k=6

La stabilité impose de retenir les pôles à partie réelle négative, donc situés à gauche de l’axe imaginaire, c’est-à-dire ⎛ 5π ⎞ ⎛ 5π ⎞ k = 2, 5 → p = cos⎜ ⎟ ± j sin⎜ ⎟ ≅ − 0.383 ± j 0.924 ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ d’où (p 2 + 0.766 p + 1)(p 2 + 1.848 p + 1) ⎛ 7π ⎞ ⎛ 7π ⎞ k = 3, 4 → p = cos⎜ ⎟ ± j sin⎜ ⎟ ≅ − 0.924 ± j 0.383 ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ 2. Ecriture du filtre passe-bas dénormalisé La dénormalisation s’effectue par rapport à la pulsation de coupure à – 3 dB du filtre du 4° ordre : 1 1 2 2 (p + 0.766 p + 1) (p + 1.848 p + 1)

p→

p

⎯⎯ ⎯⎯→

Transformation passe-bas en passe-haut :

1

1

⎛ ⎞ 0.766 ⎜⎜ + p + 1⎟⎟ 2 ω ω c ⎝ c ⎠ p2

⎛ ⎞ 1.848 ⎜⎜ + p + 1⎟⎟ 2 ω ω c ⎝ c ⎠ p2

ωc

p

ωc

p2

→

p2

ωc

ωc2

ωc2

p

⎞ ⎛ p 2 0.766 ⎜⎜ p + 1⎟⎟ + 2 ω ω c ⎠ ⎝ c

⎞ ⎛ p 2 1.848 ⎜⎜ p + 1⎟⎟ + 2 ω ω c ⎠ ⎝ c

3. Identification des paramètres cellule 1 : ωn ≡ ωc ,

2ζ

0.766

, soit ωn = 2π 300 rad / s , ζ = 0.383 ωn ωc 2ζ 1.848 cellule 2 : ωn ≡ ωc , ≡ , soit ωn = 2π 300 rad / s , ζ = 0.924 ωn ωc ≡

Structure à contre-réaction multiple 4. Ecriture de la fonction de transfert (voir cours « Filtrage analogique ») H ( p) = −

C1 C3 p 2 1 R5

Sylvain Géronimi

⎛ ⎞ 1 ⎜⎜ C1 p + + C3 p + C 4 p ⎟⎟ + C3 C 4 p 2 R 2 ⎝ ⎠

=−

Page 164

R2 R5 C1 C3 p 2 1 + R2 (C1 + C3 + C 4 ) p + R2 R5 C3 C 4 p 2

Filtrage analogique



5. Identification des paramètres p2

H ( p) = −

p2

R 2 R5 C3 C 4 C1 de la forme H ( p ) = H 0 C 4 1 + R2 (C1 + C3 + C 4 ) p + R2 R5 C3 C 4 p 2

avec H 0 = −

C1 , ωn = C4

1 R 2 R 5 C3 C 4

, ζ =

ωn2 2ζ p2 1+ p+ ωn ωn2

C1 + C3 + C 4 R2 2 R 5 C3 C 4

6. Evaluation des sensibilités K=

C1 dK dC1 dC 4 ⇒ log K = logC1 − logC 4 ⇒ ⇒ SCK1 = − SCK4 = 1 = − C4 K C1 C4 1

ωn =

R 2 R5 C 3 C 4

dω n

ωn

dR5 dC3 dC 4 1 ⎛ dR = − ⎜⎜ 2 + + + 2 ⎝ R2 R5 C3 C4


C1 + C3 + C 4 R2 2 R 5 C3 C 4

ζ = ⇒

⇒

dζ

=

ζ

⎛ C3 C4 1 ⎞ dC 4 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜C +C +C − 2⎟ + C ⎜C +C +C − 2⎟ 3 4 4 ⎝ 1 3 4 ⎝ 1 ⎠ ⎠ C3 C4 1 1 = − , SCζ = − 4 C1 + C3 + C 4 2 C1 + C3 + C 4 2

dC3 C1 1 dR 2 1 dR5 dC1 − + + 2 R 2 2 R5 C1 C1 + C3 + C 4 C3

⇒ SRζ = − SRζ = 0.5 , SCζ = 2

5

1

C1 , SCζ 3 C1 + C3 + C 4

Les condensateurs C1 et C 4 sont les seuls composants passifs à influencer le gain K. Les sensibilités sur les paramètres ω n et ζ sont inférieures à l’unité, ce qui est une bonne chose. 7. Etude du pire cas Avec des condensateurs de même valeur et des tolérances de composants identiques ∆R ∆C ( = = ± 1% ), les variations relatives sont les suivantes (approche linéaire) : R C ∆ωn 1 ⎛ ∆R ∆C ⎞ ∆K ∆C1 ∆C 4 ∆C ∆ζ ∆R 2 ∆C = ⎜2 +2 = + =2 = ± 2% , = + = ± 1.67% ⎟ = ± 2% , ζ R 3 C 2⎝ R K C1 C4 C ωn C ⎠

Réalisation du circuit 8. Discussion La fonction de transfert en tension du filtre du 4° ordre est égale au produit des fonctions de transfert des cellules sous la condition d’adaptation en tension (pas d’atténuation de tension entre cellules). Cette condition est réalisée par la présence, sur l’amplificateur, d’une contre-réaction tension courant qui réduit fortement la résistance de sortie de la cellule (topologie parallèle en sortie de montage). La stabilité est satisfaisante puisque les coefficients d’amortissement sont positifs. Cela avait déjà été conditionné par le choix des racines à partie réelle négative du polynôme de Butterworth, racines complexes conjuguées de la forme − ζω n ± jωn 1 − ζ 2 avec la normalisation ω n = 1 , d’où des valeurs de 0.383 et 0.924 pour ζ.

Sylvain Géronimi

Page 165

Filtrage analogique



9. Conditionnement du problème Le conditionnement du problème demande de disposer d’autant d’équations que d’inconnues. Un bilan montre 3 équations écrites précédemment pour 8 inconnues C1, R2 , C3 , C 4 , R5 et H 0 , ωn , ζ . Il est donc nécessaire d’introduire 5 données afin d’évaluer tous les composants d’une cellule : - 3 données issues du cahier des charges ωn = 2π 300 rad / s , ζ = 0.383 ou ζ = 0.924 , K = H 0 = 1 , -

2 données issues de valeurs de composants passifs prises de façon arbitraire.

10. Calcul des résistances Ici, les valeurs de composants passifs prises de façon arbitraire sont C1 = C3 = 47 nF . La résolution du système linéaire fournit les valeurs cellule 1 : C 4 = 47 nF , R2 = 2.88 kΩ , R5 = 44.2 kΩ cellule 2 : C 4 = 47 nF , R2 = 6.95 kΩ , R5 = 18.3 kΩ Afin de minimiser l’influence des courants de polarisation sur la composante continue de sortie, il faut équilibrer les entrées par rapport à la masse. La source dynamique étant éteinte, les condensateurs assimilés à des circuits ouverts et le potentiel de sortie souhaité à la masse, alors la topologie montre que R + = R5 .

Simulation 10 (300.454, -3.0038) 0

cellule 1 : ζ = 0.383

gain unité

(215.444, -3.0547)

cellule 2 : ζ = 0.924 (419.008, -2.9918)

-10

-20

filtre complet -30

-40 100Hz DB(V(S1))

DB(V(S2))

300Hz DB(V(S))

1.0KHz

3.0KHz

10KHz

Frequency

Les deux cellules possèdent le même diagramme asymptotique car mêmes pulsations naturelles ωn et leurs fréquences de coupure à – 3 dB est fournie par la relation fc = f n 2 ζ 2 − 1 +

Sylvain Géronimi

( 2 ζ 2 − 1)2 + 1 , soit

fc1 ≅ 216 Hz et fc2 ≅ 417 Hz .

Page 166

Filtrage analogique



Filtre passe-bande à contre-réaction multiple (structure de Rauch) à sensibilité améliorée L’étude porte sur le filtre représenté ci-dessous, utilisant deux amplificateurs de tension parfaits en régime linéaire.

C

R3

1u

100k

R1

C

80k

1u

R2

ve

+

15.9 R4

U1

vs1

100k

135k 4.7k +

R 10k

U2

vs2

-

αR

1. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert H1( p ) =

Vs1 ( p )

. Ve ( p ) 2. Vu l’expression trouvée, précisez le type de filtre. Vérifiez par l’examen du comportement en fréquence du circuit. 3. Ecrivez les expressions des paramètres qui caractérisent le filtre (gain H10 , pulsation naturelle

ωn , bande passante à -3 dB ∆ω , coefficient de qualité Q). Commentez ces résultats. 4. Effectuez la même démarche pour la fonction de transfert H 2 ( p ) =

Vs2 ( p ) Ve ( p )

et commentez.

5. Discutez de la stabilité du montage suivant la valeur de α. 6. Si l’on prend α = 1 et en constatant que la résistance R 2 possède une valeur très faible devant celles des autres résistances, évaluez les paramètres du filtre. 7. Si R 4 → ∞ , quelle topologie connue retrouvez-vous ? Comparez ses performances aux performances générales précédemment obtenues.

Sylvain Géronimi

Page 167

Filtrage analogique



Corrigé 1. Expression de la fonction de transfert H1( p ) Soit A le nœud commun à R2 , R 4 , C. ⎧Vs2 ( p ) = − α Vs1 ( p ) (inverseur U 2 ) ⎪ Vs ( p ) Ve ( p ) ⎪ + CpVs1 ( p ) + 2 ⎪ R1 R4 ⎪VA ( p ) = Ve ( p ) ⎛ α ⎞ 1 1 1 ⎪ ⎟Vs ( p ) + ⎜⎜ Cp − + + + 2Cp ⎪⎪ Vs1 ( p ) R1 R 4 ⎟⎠ 1 R1 R2 R 4 ⎝ ⇒ − = ⎨ 1 1 1 R3C p Vs1 ( p ) ⎪ + + + 2Cp CpVA ( p ) + R R R ⎪ 1 2 4 R3 − ⎪V ( p ) = 1 ⎪ Cp + ⎪ R3 ⎪ ⎪⎩V + ( p ) = V − ( p ) = 0 Vs1 ( p ) Ve ( p )

=−

R3C p 1 R1 1 R ⎞ 1 1 ⎛ + + + ⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ C p + R3C 2 p 2 R1 R2 R 4 ⎜⎝ R4 ⎠

⎛ R ⎞ ⎜⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ C R4 ⎠ ⎝ p 1 1 1 + + R3 R1 R2 R 4 H1( p ) = − ⎛ ⎛ R ⎞ R ⎞ ⎜⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ R1 ⎜⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ C R R R3C 2 4 ⎠ 4 ⎠ ⎝ 1+ ⎝ p+ p2 1 1 1 1 1 1 + + + + R1 R2 R 4 R1 R2 R 4

2. Identification du type de filtre Le type de filtre est un passe-bande. Aux très basses fréquences, les condensateurs sont assimilés à des circuits ouverts et v s1 = 0 . Aux très hautes fréquences, les condensateurs sont assimilés à des courts-circuits et v s1 = v + = 0 . 3. Paramètres du filtre

H 01 = −

R3 ⎛ R ⎞ ⎜⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ R1 R 4 ⎠ ⎝

1

, ωn = C

R3 1 1 1 + + R1 R2 R 4

ω ,Q= n = ∆ω

⎛ 1 1 1 ⎞ R ⎟⎟ R3 ⎜⎜ + + 2 −α 3 R R R R4 2 4 ⎠ ⎝ 1 , ∆ω = R3 R3 C 2 −α R4

La résistance R2 règle la fréquence centrale fn indépendamment du gain H 01 et de la largeur de bande ∆f à – 3 dB.

Sylvain Géronimi

Page 168

Filtrage analogique



4. Fonction de transfert H 2 ( p ) H 2 ( p) =

Vs2 ( p ) Ve ( p )

=

Vs2 ( p ) Vs1 ( p ) Vs1 ( p ) Ve ( p )

= − α H1( p )

Le gain à l’accord est multiplié par α et il n’y a pas d’inversion de phase entrée/sortie α R3 H 02 = ⎛ R ⎞ ⎜⎜ 2 − α 3 ⎟⎟ R1 R 4 ⎠ ⎝ 5. Stabilité du montage Stabilité pour 2 − α

R3 2R 4 > 0 , soit α < = 2 .7 R4 R3

6. Evaluation des paramètres Pour α = 1 et R2 << R1 et R 4 , alors ωn ≅

1 C R 2 R3

fn ≅ 126 Hz , ∆f ≅ 2 Hz , H 02 = − H 01 ≅ 1 , Q ≅ 63

7. Discussion sur les performances Si R 4 → ∞ , la topologie devient une structure de Rauch classique, suivie d’un inverseur de gain unité. La fréquence centrale demeure inchangée, mais les autres paramètres deviennent figés alors que les performances précédentes montrent, entre autre, une bande passante très étroite ou une forte surtension suivant la valeur de α , grâce au bouclage du second amplificateur. 20 (125.512, 10.456) (125.837, 7.4388)

(125.244, 7.4701)

(125.512, -83.762m) 0

(125.512, -4.0932)

(126.512, -2.9835)

(124.573, -2.9929)

α = 2.2, K = 3.33, Q = 213 α = 1, K = 1, Q = 65

R4 = ∞, K = 0.624, Q = 40 -20

(127.124, -7.0963) (123.981, -7.0837)

-30 100Hz

Sylvain Géronimi

DB(V(S1))

160Hz Frequency

Page 169

Filtrage analogique



Filtre passe-bande à INIC Une première étude porte sur le montage représenté ci-dessous, utilisant un amplificateur de tension parfait en régime linéaire. αR

i0 -

v0

+ R

Z

1. Ecrivez l’expression de l’impédance d’entrée Z 0 = v 0 / i 0 et concluez sur l’intérêt du montage. Le montage précédent est intégré au sein du circuit de la figure suivante. R1

C1 +

-

ve

+

αR

R

R2

C2

-

U2

vs

U1

Vs ( p) . Ve ( p) Vu l’expression trouvée, identifiez le type de filtre. Vérifiez par l’examen du comportement en fréquence du circuit. Ecrivez les expressions des paramètres qui caractérisent le filtre (gain H0 , pulsation naturelle ω n , coefficient de qualité Q, bande passante à -3 dB ∆ω ). Commentez ces résultats. En choisissant R1 = R2 = R et C1 = C2 = C , discutez de la stabilité du montage suivant la valeur de α. Expliquez la présence de l’amplificateur U 2 .

2. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert H ( p) = 3. 4. 5. 6.

7. Evaluez les paramètres K = H 0 et Q pour α = 1 et 1.95 .

Sylvain Géronimi

Page 170

Filtrage analogique



Corrigé 1. Expression de l’impédance d’entrée Z 0 V0 ( p ) − Vs ( p ) ⎧ ⎪I 0 ( p ) = αR ⎪⎪ + − ⎨V ( p ) = V ( p ) = V0 ( p ) ⎪ Z( p) ⎪V + ( p ) = Vs ( p ) Z( p) + R ⎩⎪

⇒ I0 ( p) =

V0 ( p ) ⎡ Z ( p ) + R ⎤ 1− ⎥ α R ⎢⎣ Z( p) ⎦

⇒ Z0 ( p) =

V0 ( p ) = − α Z( p) I0 ( p)

Ce montage ramène l’impédance Z en entrée, changée de signe et proportionnelle à α (convertisseur d’impédance négative). 2. Expression de la fonction de transfert H (p ) L’amplificateur U 2 , monté en suiveur, présente une haute impédance d’entrée. Le transfert en tension est produit par un pont d’impédances Z1( p ) = R1 +

− α R2 1 , − α Z2 ( p) = . C1 p 1 + R2 C2 p

Vs ( p ) − α Z2 ( p) − α R2C1 p = = Ve ( p ) Z1( p ) − α Z 2 ( p ) (1 + R1C1 p )(1 + R2C2 p ) − α R2C1 p H ( p) =

− α R2C1 p 1 + (R1C1 + R2C2 − α R2C1 )p + R1R2C1C2 p 2

3. Identification du type de filtre 1 p Q ωn . La fonction de transfert en tension est de la forme H (p ) = 2 p 1 p + +1 ωn2 Q ωn

Le type de filtre est un passe-bande. Aux très basses fréquences, les condensateurs sont assimilés à des circuits ouverts et rien ne passe à l’entrée de l’amplificateur U1 . Aux très hautes fréquences, les condensateurs sont assimilés à des courts-circuits et l’entrée de l’amplificateur U 2 est à la masse. 4. Expressions des paramètres du filtre H ( p) =

(R1C1 + R2C2 − α R2C1 )p − α R2C1 R1C1 + R2C2 − α R2C1 1 + (R1C1 + R2C2 − α R2C1 )p + R1R2C1C2 p 2

H0 =

R1R2C1C2 − α R2C1 1 , ωn = ,Q= , R1C1 + R2C2 − α R2C1 R C + R1R2C1C 2 1 1 R 2C 2 − α R 2C1

∆ω =

R1C1 + R2C2 − α R2C1 R1R2C1C2

Si la résistance α R est ajustable, celle-ci modifie tous les paramètres, excepté la pulsation centrale ωn du filtre.

Sylvain Géronimi

Page 171

Filtrage analogique



5. Stabilité du montage R1 = R2 = R , C1 = C2 = C ⇒ H ( p ) =

1 − α RC p avec 2ζ = = 2 − α (α ≥ 0) Q 1 + (2 − α )RC p + R 2C 2 p 2

Le système est stable pour ζ > 0 , soit 0 ≤ α < 2 ; oscillateur pour ζ = 0 , soit α = 2 ; instable pour ζ < 0 , soit α > 2 .

6. Présence de l’amplificateur U 2 L’amplificateur U 2 , monté en suiveur, sert de buffer (résistance d’entrée très élevée et résistance de sortie très faible par la contre-réaction tension-tension totale). Ainsi, la sortie du filtre est adaptée en tension et indépendante de la fréquence. 7. Evaluation de paramètres du filtre

40

(1.0574K, 31.700) (1.0841K, 28.748)

(1.0311K, 28.748)

R1 = R2 = 15 kΩ 20

C1 = C2 = 10 nF

α = 1.95, K = 39, ∆f = 53 Hz

(1.0579K, 9.529)

K = α /(2-α)

α = 1.5, K = 3, ∆f = 531 Hz 0 (1.0539K, -9.868m) (1.7120K, -3.0148)

(654.992, -3.0167) -20

α = 1, K = 1, ∆f = 1057 Hz

-40 100Hz

Sylvain Géronimi

DB(V(s))

300Hz

1.0KHz

3.0KHz

10KHz

Frequency

Page 172

Filtrage analogique



Filtre passe-tout (déphaseur pur) du premier ordre Le montage représenté ci-dessous, utilise un amplificateur de tension parfait en régime linéaire. R 10k R

-

10k

s

R ve

+

10k

vs C

1. Donnez l’écriture de la fonction de transfert H ( p) =

Vs ( p) . Ve ( p)

2. Tracez le module H ( jω ) et l’argument ϕ = arg[H ( jω )] en fonction de log(ω ) . 3. Ecrivez l’expression du retard (temps de propagation) de groupe τ = −

dϕ et tracez sa variation dω

en fonction de log(ω ) . 4. Evaluez le composant C tel que τ = 1 ms et donnez la plage de fréquences correspondante. Formulaire :

d f '(x) arctg [f ( x )] = dx 1 + f ( x )2

Corrigé 1. Expression de la fonction de transfert 1 ⎧ + ⎪V ( p ) = 1 + RCp Ve ( p ) ⎪ ⎪ + − ⎨V ( p ) = V ( p ) ⎪ V ( p ) + Vs ( p ) ⎪V − ( p ) = e 2 ⎪⎩

V ( p ) 1 − RCp = ⇒ s Ve ( p ) 1 + RCp

1−

d’où H ( p ) = 1+

p

ωn p

avec ωn =

1 RC

ωn

2. Tracés du module et de l’argument ( p = jω )

ω ωn H ( jω ) = ω 1+ j ωn

1+

1− j

⇒ H ( jω ) =

ω → 0 ⇒ ϕ → 0 , ω = ωn ⇒ ϕ = −

1+

π 2

ω2 ω n2 2

ω ω n2

⎛ ω = 1 (0 dB ) et ϕ = arg[H ( jω )] = − 2 arctg ⎜⎜ ⎝ ωn

⎞ ⎟⎟ ⎠

, ω → ∞ ⇒ ϕ → − π (voir tracés)

3. Retard

Sylvain Géronimi

Page 173

Filtrage analogique


τ =2


d ⎛ ω ⎜ arctg dω ⎜⎝ ωn

⎞ 2 1 ⎟⎟ = ω ω2 n ⎠ 1+ 2

ωn

ω → 0 ⇒τ →

2

ωn

, ω = ωn ⇒ τ =

1

ωn

, ω → ∞ ⇒τ → 0

(voir tracé)

4. Evaluation de C

τ =

2

ωn

= 2 R C ⇒ C = 50 nF et fn ≅ 318 Hz

Le retard est à peu près constant pour f ∈ [0, 100 Hz ] (voir tracé)

2.0 (318.339, -263.144u) 0

-2.0 0d

DB(V(s)) (318.339, -90.013)

-90d

-180d 2.0ms

arg (V(s))

(318.339, 500.078u)

1.0ms

0s 1.0Hz

τ (V(s))

Sylvain Géronimi

10Hz

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

Frequency

Page 174

Filtrage analogique



Filtre passe-tout (déphaseur pur) du second ordre Le montage représenté ci-dessous, utilise un amplificateur de tension parfait en régime linéaire.

R2

C2

10k C1

R1 -

10k Ra

+

vs

ve Rb 10k

Vs ( p) en posant K = Ra Rb . Ve ( p) 2. Déterminez l’expression de K telle que le montage soit un déphaseur pur de fonction de transfert 2ζ p2 1− p+ 2 ωn ωn 1 H ( p) = . 1+ K 2ζ p2 1+ p+ 2

1. Donnez l’écriture de la fonction de transfert H ( p) =

ωn

ωn

3. Ecrivez les expressions des paramètres ωn et ζ .

4. Tracez le module H ( jω ) et l’argument ϕ = arg[H ( jω )] en fonction de log(ω ) . 5. Ecrivez l’expression du retard (temps de propagation) de groupe τ = −

dϕ . dω

Un retard sensiblement constant est souhaité sur une plage de fréquences donnée. 6. En prenant comme condition τ (ωn ) = τ (0) 2 , évaluez le paramètre ζ puis déduisez les valeurs des composants passifs C1 , C2 et Ra tel que τ = 1 ms . 7. Tracez la variation du retard en fonction de log f et donnez la plage de fréquences correspondant à un retard à peu près constant.

Formulaire :

d f '(x) arctg [f ( x )] = dx 1 + f ( x )2

Sylvain Géronimi

Page 175

Filtrage analogique



Corrigé 1. Expression de la fonction de transfert Soit A le nœud commun à R1 , R2 , C1 1 ⎧ + ⎪V ( p ) = 1 + K Ve ( p ) ⎪ VA ( p ) ⎪ + C2 pVs ( p ) ⎪ − R1 ⎪V ( p ) = 1 ⎪ + C2 p ⎪ R1 ⎨ ⎪V + ( p ) = V − ( p ) ⎪ ⎪ V ( p) V − ( p) + C1pVe ( p ) + s ⎪ R2 R1 ⎪VA ( p ) = 1 1 ⎪ C1p + + ⎪ R2 R1 ⎩

⇒

Vs ( p ) 1 1 + [(R1 + R2 )C2 − K R2C1 ] p + R1R2C1C 2 p 2 = Ve ( p ) 1 + K 1 + (R1 + R2 )C2 p + R1R2C1C2 p 2

2. Expression de K Déphaseur pur si (R1 + R2 )C2 − K R2C1 = − (R1 + R2 )C2 ⇒ K =

2 (R1 + R2 )C2 R2C1

3. Expression des paramètres

ωn =

1 R1 R2 C1C2

, ζ =

C2 R1 + R2 R1 R2 C1 2

4. Tracés du module et de l’argument ( p = jω )

H ( p) =

1 1+ K

1− 1+

2ζ

ωn

p+

p2

ωn2 2

2ζ p p+ 2 ωn ωn

⎛ ⎜ 2ζ ω ⎜ ωn 1 ⇒ H ( jω ) = (constant) et ϕ = arg[H ( jω )] = − 2 arctg ⎜ 2 1+ K ⎜ 1− ω ⎜ ωn2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

ω → 0 ⇒ ϕ → 0 , ω = ωn ⇒ ϕ = − π , ω → ∞ ⇒ ϕ → − 2 π (voir tracés) 5. Retard ⎛ ⎜ 2ζ ω ⎜ ωn d τ =2 arctg ⎜ 2 dω ω ⎜ 1− ⎜ ω n2 ⎝

ω → 0 ⇒τ →

Sylvain Géronimi

4ζ

ωn

⎞ ⎟ ⎟ 4ζ ⎟= ⎟ ωn ⎟ ⎠

1+

ω2 ωn2

2

2 ⎛ ω2 ⎞ ⎜1 − ⎟ + 4ζ 2 ω ⎜ ω2 ⎟ ωn2 n ⎠ ⎝

, ω = ωn ⇒ τ =

2

ζ ωn

, ω → ∞ ⇒τ → 0

Page 176

(voir tracé)

Filtrage analogique



6. Evaluation de ζ et des composants Condition τ (ωn ) =

τ (0 ) 2

⇒

2

ζ ωn

En posant R = R1 = R 2 , ωn = ⎧ τ2 ⎪C1C2 = ⎪ 4ζ 2R 2 d’où ⎨ ⎪C = C2 ⎪ 1 2 ⎩

4ζ

=

2 ωn 1

R C1C2

d’où ζ ≅ 0.841 .

avec τ =

4ζ

ωn

, ζ =

C2 4 C 2 Ra et K = = C1 C1 Rb

⇒ C1 ≅ 35.4 nF , C2 = 25 nF

et K ≅ 2.83 (- 11.6 dB), Ra ≅ 28.3 kΩ ( fn ≅ 535 Hz )

7. Tracé du retard -10 (534.963, -11.632)

-11 -12 -13 0d

DB (V(s)) (534.963, -180.001)

-180d

-360d 2.0ms

arg (V(s)) (301.834, 965.935u) (534.963,706.750u)

1.0ms

0s 1.0Hz τ (V(s))

10Hz

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

Frequency

Le retard est à peu près constant sur une plage de 0 à 300 Hz.

Sylvain Géronimi

Page 177

Filtrage analogique



Filtre coupe-bande (réjecteur) à deux amplificateurs de tension L’étude porte sur le filtre présenté ci-dessous, utilisant deux amplificateurs de tension idéaux en régime linéaire. R3 100k R2 -

100k R1 ve

+

100k

C1 68n

-

+

Zeq

R4 33k

vs

U1

U2

C2 68n

R5 68k

1. Ecrivez l’expression de l’impédance équivalente Z eq constituée par les éléments C1, C2, R4, R5, U2.

2. Montrez que l’impédance trouvée est de la forme Z eq = R + Lp + 3. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert H ( p ) =

1 . Cp

Vs ( p ) . Ve ( p )

4. En constatant que R1 = R 2 = R3 ≅ R , identifiez le type de filtre et évaluez ses caractéristiques principales. 5. Tracez la réponse en fréquence de la fonction dans le plan de Bode (module et argument).

Sylvain Géronimi

Page 178

Filtrage analogique



Corrigé 1. Expression de l’impédance équivalente L’amplificateur U 2 est monté en suiveur. Le condensateur C1 étant en série avec l’entrée du montage, le calcul porte sur l’impédance d’entrée vue par la tension v + . ⎧ 1 I ( p ) = R 4 I e ( p ) car V + ( p ) = V − ( p ) ⎪ ⎨C2 p ⎪V + ( p ) = R I ( p ) + R [I ( p ) + I ( p )] 4 e 5 e ⎩

C1 ie

+

U2

⇒

R4

ve

C2

i

R5

V + ( p) = R 4 + R5 + R 4 R5 C 2 p Ie ( p)

d’où Z eq =

1 + R 4 + R5 + R 4 R5 C 2 p C1 p

2. Identification des éléments R = R 4 + R5 , L = R 4 R5 C2 et C = C1

3. Expression de la fonction de transfert R3

⎧ ⎪ + − ⎪V ( p ) = V ( p ) ⎪⎪ Z eq ( p ) Ve ( p ) ⎨V + ( p ) = Z eq ( p ) + R1 ⎪ ⎪ R3 R2 ⎪V − ( p ) = Vs ( p ) Ve ( p ) + R 2 + R3 R 2 + R3 ⎩⎪

100k R2 -

100k R1 ve

+

100k

vs

U1

Zeq ⇒ H ( p) =

Vs ( p ) = Ve ( p )

R1 R3 R2 Z eq ( p ) + R1

Z eq ( p ) −

⎛ R R ⎞ LC1 p 2 + ⎜⎜ R − 1 3 ⎟⎟ C1 p + 1 R2 ⎠ ⎝ d’où H ( p ) = LC1 p 2 + (R + R1 )C1 p + 1

4. Identification du type de filtre

ω2 ω +j ω02 ω1 H ( jω ) = ω2 ω 1− 2 + j ω0 ω2 1−

Sylvain Géronimi

avec ω0 =

1 LC1

, ω1 =

1 ⎛ R R ⎜⎜ R − 1 3 R2 ⎝

Page 179

⎞ ⎟⎟C1 ⎠

et ω2 =

1 (R + R1 )C1

Filtrage analogique



R1 R3 R2 <1 R + R1

R−

Pour ω << ω0 et ω >> ω0 , H ( jω ) → 1 , pour ω = ω0 , H ( jω0 ) =

C’est donc un filtre réjecteur symétrique de gain unité, centré sur ωrej = ω0 et de largeur relative de bande de réjection

∆ω

ω0

C1 (R1 + R4 + R5 ) . L’évaluation des caractéristiques donnent : R 4 R5 C 2

=

frej = 49.4 Hz avec atténuation de 1 201 soit – 46 dB, ∆f = 209.6 Hz , Q = 0.236 .

5. Tracés dans le plan de Bode 2

H ( jω ) =

⎛ ω2 ⎞ ω2 ⎜1 − ⎟ ⎜ ω2 ⎟ + ω2 0 ⎠ 1 ⎝ 2

⎛ ω2 ⎞ ω2 ⎜1 − ⎟ ⎜ ω2 ⎟ + ω2 0 ⎠ 2 ⎝

ω ω ω2 ω2 − arctg et arg[H ( jω )] = arctg ω2 ω2 1− 2 1− 2 ω0 ω0

100d (49.4 Hz,0 d)

f0 = 49.4 Hz 0d

-100d Arg(V(s)) 0 ∆f = 209,6 Hz -25

(11.1 Hz,-3 dB)

(220.7 Hz,-3 dB)

f0 = 49.4 Hz

(49.4 Hz,-46 dB)

Q = 0.236 -50 1.0Hz DB(V(s))

3.0Hz

10Hz

30Hz

100Hz

300Hz

1.0KHz

Frequency

Sylvain Géronimi

Page 180

Filtrage analogique



Filtre réjecteur à variable d’état L’étude porte sur le filtre représenté ci-dessous, utilisant trois amplificateurs de tension parfaits en régime linéaire.

C

R S2

C + U2 R

R R1

C

E

R1 -

ve

R2

S1

+ U1

R3

-

S3

R2 + U3

L’étude de ce filtre s’effectuera en deux étapes : étude du sous-circuit encadré en pointillé, puis étude du circuit complet. Etude du sous-circuit 1. Donnez l’écriture de la fonction de transfert H1( p ) =

VS1 ( p )

en fonction des composants passifs. VE ( p ) 2. Vu l’expression trouvée, précisez le type de filtre et écrivez les expressions des paramètres qui le caractérisent. Etude du circuit complet 3. Donnez l’écriture de la fonction de transfert H ( p ) =

VS3 ( p )

en fonction des composants passifs. VE ( p ) 4. Précisez le type de filtre obtenu et écrivez les expressions des paramètres qui le caractérisent. Commentez ces résultats. 5. Citez les données manquantes que réclame le conditionnement du problème. Combien de valeurs arbitraires de composants passifs faut-il prendre si les caractéristiques réelles du filtre sont données (gain, …).

Sylvain Géronimi

Page 181

Filtrage analogique



Corrigé Etude du sous-circuit 1. Expression de la fonction de transfert H1( p ) Le théorème de Millman appliqué aux nœuds A d’entrée des AOI donne : ⎧ ⎛ Ve ( p ) 1 ⎞ Vs2 ( p ) ⎟⎟ + + Vs1 ( p ) ⎜⎜ Cp + ⎪ R R R 1 1⎠ ⎝ ⎪0 = ⎪ 2 1 + + Cp ⎪⎪ R1 R ⎨ Vs1 ( p ) ⎪ ⎪Vs ( p )Cp 2 R ⎪ = 1 ⎪ 1 + Cp + Cp ⎪⎩ R R Vs1 ( p ) Ve ( p )

⎧Ve ( p ) ⎛ 1 ⎞ Vs2 ( p ) ⎟+ + Vs1 ( p ) ⎜⎜ C p + =0 ⎪ R1 ⎟⎠ R ⎪ R1 ⎝ ⇒ ⎨ Vs1 ( p ) ⎪ ⎪Vs2 ( p ) = RC p ⎩

R 2C p R1

=− 1+

R 2C p + R 2C 2 p 2 R1

2. Type et paramètres du filtre Le type de filtre est un passe-bande de la forme H1( p ) = H 01

avec H 01 = − 1 , ωn =

2ζ p ωn 2ζ p2 1+ p+ 2 ωn ωn

ω R 1 1 1 ,Q= = n = 1 ⇒ ∆ω = RC 2ζ ∆ω R R1C

Etude du circuit complet

3. Expression de la fonction de transfert H ( p ) =

VS3 ( p ) VE ( p )

Le montage sommateur inverseur donne : Vs3 ( p ) = − Vs3 ( p ) Ve ( p )

=−

R3 R2

[

]

R3 R Ve ( p ) + Vs1 ( p ) = − 3 [1 + H1( p )]Ve ( p ) R2 R2

1 + R 2C 2 p 2 1+

R 2C p + R 2C 2 p 2 R1

4. Type et paramètres du filtre 1+

Le type de filtre est un passe-bande coupe-bande de la forme H ( p ) = H 0 1+

Sylvain Géronimi

Page 182

2ζ

ωn

p2

ωn2 p+

p2

ω n2

Filtrage analogique


avec H 0 = −


R3 1 1 , ωn = ≡ ωrej , ∆ω = R2 RC R1C

Le réglage de la fréquence de réjection et de la largeur de bande à – 3 dB peut être réalisé de façon indépendante par l’action sur l’ensemble des résistances R et R1 respectivement., la valeur du gain étant indépendante de ces paramètres. 5. Conditionnement du problème Le conditionnement du problème demande de disposer d’autant d’équations que d’inconnues. Un bilan montre 3 équations écrites précédemment pour 8 inconnues R1, R2 , R3 , R, C et H 0 , ωn , ∆ω . Il est donc nécessaire d’introduire 5 données afin d’évaluer tous les composants du filtre. Si les caractéristiques réelles du filtre sont données ( H 0 , ω n , ∆ω ), alors 2 valeurs de composants passifs seront prises de façon arbitraire.

Simulation 20 (47.556, 16.999)

(52.565, 16.999) (52.557, -3.0002)

(47.564, -3.0002)

-0

-20

-40

R2 = 10 kΩ

(50.004, -32.100) (77.545, -23.009)

C = 1 µF arbitraire -60 10Hz DB(V(S3))

Sylvain Géronimi

DB(V(S1))

30Hz DB(V(S2))

100Hz

300Hz

Frequency

Page 183

Filtrage analogique



Filtre universel A partir du schéma de principe, on étudiera le filtre universel à quatre sorties qui met en œuvre un additionneur soustracteur, un additionneur et deux intégrateurs. Le but est de réaliser un filtre réjecteur symétrique de gain unité, de fréquence de réjection 50 Hz, de largeur de bande 2.5 Hz à -3 dB et un filtre passe-bande de gain unité. Schéma de principe S1

-K1

E

-K4

+ K2

-K3

S4

+

-ω1/p

-K5

S2 -ω2/p S3

1. Ecrivez les équations issues du schéma. 2. Identifiez les fonctions de transfert écrites sous la forme canonique du second ordre et donnez les expressions de ζ et ωn . Réalisation du filtre R6 R5

R7

U1

10k

R1

10k

U2

-

Ve

C1

R2

C2

100n

U3

-

-

S1

+

S3

S2

+

100n

+

+

R4 R9

R3 R10

R8

U4 -

10k

S4 +

3. Identifiez les éléments du montage à ceux du schéma de principe. 4. Les deux intégrateurs étant identiques et l’influence des courants de polarisation sur la composante continue du signal de sortie de U1 étant minimisée, calculez les valeurs manquantes de résistances.

Sylvain Géronimi

Page 184

Filtrage analogique



Corrigé Schéma de principe 1. Equations issues du schéma VS1 ( p ) = −K1 VE ( p ) + K 2 VS2 ( p ) − K 3 VS3 ( p ) , VS2 ( p ) = −

ω1 p

VS1 ( p ) , VS3 ( p ) = −

ω2 p

VS2 ( p ) ,

VS4 ( p ) = −K 4 VS1 ( p ) − K 5 VS3 ( p )

2. Identification des fonctions de transfert 2ζ p VS2 ( p ) K1 ωn2 ωn (filtre passe-haut), (filtre passe-bande) = −K1 2 = p 2ζ VE ( p ) VE ( p ) K 2 p 2 2 ζ + p +1 + p +1 ωn2 ωn ω n2 ωn p2

VS1 ( p )

p2

VS3 ( p )

K =− 1 2 VE ( p ) K3 p

ωn2

1 2ζ

+

ωn

avec ωn = K 3 ω1 ω2

(filtre passe-bas), p +1

ζ =

et

K2 2

VS4 ( p ) VE ( p )

= K1 K 4

K5 K3 K 4 (filtre réjecteur) p2 2ζ + p +1

ωn2

ω n2

+

ωn

ω1

K 3 ω2

Réalisation du filtre 3. Identification des éléments Intégrateurs : (montage inverseur) R1

VS2 ( p )

C1

S1

VS1 ( p ) U2

=−

VS2 ( p) = −

-

S2 +

Z( p) R1

1 VS ( p ) R1C1 p 1

Identification → ω1 =

(idem pour U 3 )

1 1 , ω2 = R1 C1 R2 C2

Additionneur : (montage inverseur et théorème de superposition)

R9

R10

VS4 ( p ) = −

S3 R8 S1

R10 R VS ( p ) − 10 VS3 ( p ) R8 1 R9

U4 -

S4

Identification → K 4 =

R10 R , K 5 = 10 R8 R9

+

Sylvain Géronimi

Page 185

Filtrage analogique



Additionneur soustracteur : (théorème de superposition avec montage additionneur) R6

R5

S3 R7 E

v S2 = 0 ⇒ VS1 ( p ) = −

U1 -

S1 +

R4 S2 R3

⎛ R R VS1 ( p ) = ⎜⎜1 + 5 + 5 ⎝ R 6 R7

R5 R VE ( p ) − 5 VS3 ( p ) R7 R6 ⇒

v S3 = v E = 0 R3 ⎧ + ⎪V ( p ) = R + R VS2 ( p ) 3 4 ⎪⎪ + ( p) = V − ( p) V ⎨ ⎪ R 6 // R 7 ⎪V − ( p ) = VS ( p ) R 6 // R 7 + R 5 1 ⎪⎩

⎞ R3 ⎟ ⎟ R + R VS2 ( p ) 4 ⎠ 3

⎛ R R ⎞ R3 R R VS2 ( p ) − 5 VE ( p ) − 5 VS3 ( p ) soit VS1 ( p ) = ⎜⎜1 + 5 + 5 ⎟⎟ R R R R R + R6 6 7 ⎠ 3 4 7 ⎝

Identification → K1 =

⎛ R R R5 , K 2 = ⎜⎜1 + 5 + 5 R7 ⎝ R 6 R7

⎞ R3 R5 ⎟ ⎟ R + R , K3 = R 4 6 ⎠ 3

4. Calcul des composants Le conditionnement du problème demande de disposer d’autant d’équations que d’inconnues. Un bilan montre 9 équations écrites précédemment pour 21 inconnues R1, R2 , R3 , R 4 , R5 , R6 , R7 , R8 , R9 , R10 , C1, C2 et ωn , ζ , ω1, ω2 , K1, K 2 , K 3 , K 4 , K 5 . Il est donc nécessaire d’introduire 12 données. a. 5 données sont issues du cahier des charges filtre réjecteur symétrique K 5 = K 3 K 4 , de gain unité K1 K 4 = 1 , de fréquence de réjection ωrej = ωn = 100 π rad/s et de largeur de bande relative à –3 dB 2ζ = ∆ω ωn = 0.05 , filtre passe-bande de gain unité K1 = K 2 , b. 2 données issues de relations entre composants passifs lors de la réalisation intégrateurs identiques ω1 = ω2 ou R1C1 = R2 C2 , équilibrage statique de l’additionneur soustracteur R 5 // R 6 // R 7 = R 3 // R 4 , c. 5 données issues de valeurs de composants passifs prises de façon arbitraire R5 = R6 = R8 = 10 kΩ , C1 = C2 = 100 nF La résolution du système linéaire fournit les valeurs R1 = R2 ( K 3 = 1 ), R7 = 20 R5 ( K1 = K 2 = 0.05 ), R3 // R 4 = 10 3 0.205 , 40 R3 = R 4 , R8 = R9 , R10 = 20 R8 ( K 4 = K 5 = 20 ) soit R1 = R2 = 31831 Ω , R3 = 5 kΩ , R 4 = R7 = R10 = 200 kΩ , R9 = 10 kΩ . Ce filtre est utilisé en réjecteur de la fréquence parasite issue du secteur, mais la norme EDF donne 50 ± 0.5 Hz (amenée ici à ± 1.25 Hz). Si ces fluctuations amènent une atténuation insuffisante autour de la réjection, un filtre suiveur en fréquence, intégrant une boucle à verrouillage de phase, asservira la fréquence de réjection à la variation de la fréquence du secteur (voir cours « Boucles à verrouillage de phase »).

Sylvain Géronimi

Page 186

Filtrage analogique



Pour une réalisation optimale, un circuit intégré quad (4 amplificateurs dans un même boîtier) doit être utilisé. 20

frej = 50 Hz, ∆f = 2.5 Hz

(49.977, 37.030m)

-0 (48.781, -3.0535)

(51.337, -3.0113)

-20

-40

(50.004, -47.457) -60 10Hz DB(V(S1))

DB(V(S2))

DB(V(S3))

30Hz DB(V(S4))

100Hz

260Hz

Frequency

Remarques : -

Les filtres passe-bande et réjecteur possèdent un gain unité, les filtres passe-haut et passe-bas un gain de 0.05 (- 26 dB). Les quatre cellules composant le filtre présentent chacune une contre-réaction tension-courant qui justifie une très faible résistance de sortie (topologie parallèle), assurant ainsi une adaptation en tension (fonction de transfert globale égale au produit des fonctions de transfert élémentaires). La lecture du schéma électrique peut s’effectuer par le raisonnement suivant : les deux intégrateurs multiplient la fonction de transfert VS1 ( p ) VE ( p ) (sortie de U1 ) par 1 p (sortie de U 2 ), puis par 1 p (sortie de U 3 ), ce qui implique respectivement que S1 est un passe-haut, S2 passebande, S3 passe-bas ; la somme des passe-haut et passe-bas produit le coupe-bande (sortie de U 4 ).

Sylvain Géronimi

Page 187

Filtrage analogique



Oscillateur sinusoïdal triphasé L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous, utilisant des amplificateurs de tension supposés idéaux en régime dynamique faibles signaux. C1 C1

10n

C1

10n

10n

R1 R2

R1 -

R2

R1 -

R2

S1

+

S2

S3

+ +

1. Ecrivez l’expression de la fonction de transfert en boucle ouverte. 2. En boucle fermée et en régime sinusoïdal, déterminez la pulsation ωosc des oscillations et la condition d’entretien de celles-ci. 3. Evaluez les résistances pour que le système oscille à la fréquence de 1021 Hz.

Corrigé 1. Expression de la fonction de transfert en boucle ouverte G( p ) B' ( p ) Les trois étages sont des montages inverseurs Gi ( p ) = − 3

⎛ R ⎞ 1 d’où G( p ) B' ( p ) = ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ ⎝ R2 ⎠ ⎛ p ⎜⎜1 + ω 0 ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

3

avec ω0 =

R1 Z( p) avec Z ( p ) = 1 + R1 C1 p R2

1 et B' ( p ) = 1 (retour unitaire) R1 C1

relation valable car les conditions d’adaptation en tension entre blocs sont respectées. En effet, la résistance de sortie du montage inverseur est très faible par rapport à sa résistance d’entrée (contre-réaction tension-courant).

2. Conditions d’oscillations La boucle étant fermée et en régime établi, G( jω )B' ( jω ) = 1 . ⎛ R1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ R2 ⎠

3

1 1− 3

ω2 ω ⎛⎜ ω2 ⎞ +j 3 − 2 ⎟⎟ 2 ⎜ ω0 ω0 ⎝ ω0 ⎠

3. Evaluation des résistances R1 =

Sylvain Géronimi

=1

⎧⎪ω ⎧Im[G ( jω )B' ( jω )] = 0 = ω0 3 → ⎨ ⇒ ⎨ osc [ ( ) ( ) ] Re G j ω B j ω ' = 1 ⎪⎩R1 = 2 R2 ⎩

3 = 27 kΩ , R 2 = 13.5 kΩ . 2π fosc C1

Page 188

Oscillateurs sinusoïdaux



Oscillateur à pont RLC L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous, utilisant un amplificateur de tension supposé idéal en régime dynamique faibles signaux.

R3 + R

L

C -

100n

R1

vs

R2

1. Ecrivez la fonction de transfert B ' ( p ) en tension du réseau passif. 2. Ecrivez le gain de l’amplificateur G. 3. En boucle fermée et en régime sinusoïdal, déterminez l’expression de la pulsation ω osc des oscillations du signal de sortie, ainsi que la condition sur les résistances. 4. La résistance R représentant les imperfections de l’inductance ( R >> R3 ), donnez le type de comportement du bloc amplificateur. 5. Donnez la valeur de l’inductance L pour obtenir un signal de sortie à la fréquence de 16 kHz. 6. Evaluez la résistance R3 de telle manière que ζ = 0.5 pour la fonction B ' ( p ) . 7. Comment devez-vous faire varier R1 pour démarrer les oscillations ?

Corrigé 1. Fonction de transfert B ' ( p ) en tension du réseau passif L’ensemble des éléments mis en parallèle conduit à une impédance 1 Lp Lp Z ( p ) = R // // Lp = R // = . L Cp LCp 2 + 1 2 LCp + p + 1 R

La fonction de transfert en tension est fournie par le pont L p R3 Z( p) B' ( p ) = = Z ( p ) + R3 ⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ p + 1 LCp 2 + L ⎜⎜ + R R 3 ⎠ ⎝

Sylvain Géronimi

Page 189




2. Gain de l’amplificateur L’amplificateur de tension étant idéal, sa bande passante est considérée comme infinie. G( p ) = 1 +

R1 = G (amplificateur non inverseur de gain réel) R2

3. Conditions d’oscillations La boucle étant fermée et en régime établi, G B' ( jω ) = 1 , relation valable car les conditions d’adaptation en tension entre blocs sont respectées. En effet, la résistance d’entrée est infinie et résistance de sortie est nulle pour le bloc amplificateur idéal. Si l’amplificateur est réel, la contreréaction tension-tension conduit à des résultats voisins. Lω ⎛ R3 R1 ⎞ ⎟⎟ G B' ( jω ) = ⎜⎜1 + =1 ⎝ R2 ⎠ Lω ⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟ + j LCω 2 − 1 ⎜R R ⎟ 3 ⎠ ⎝

(

)

1 ⎧ ⎪ωosc = ⎧Im[G B' ( jω )] = 0 LC ⎪ → ⎨ ⇒ ⎨ ⎩Re[G B' ( jω )] = 1 ⎪1 + R1 = 1 + R3 ⎪⎩ R2 R

4. Comportement du bloc amplificateur Puisque R >> R3 → G = 1 +

R1 ≅ 1. R2

L’amplificateur se comporte comme un suiveur de tension ( R 2 >> R1 ).

5. Evaluation de l’inductance L=

1

(2π fosc )2 C

≅ 0.99 mH

6. Evaluation de la résistance R3 L p R3 2ζ 1 L Pour R >> R3 , B' ( p ) ≅ est obtenue en . La relation nécessaire = = L Q R ω ω n n 3 LCp 2 + p +1 R3 identifiant à la forme canonique du filtre passe-bande du second ordre, d’où R3 ≅ 99.5 Ω .

7. Démarrage des oscillations Il faut établir la condition G B' ( p ) > 1 avec G = 1 +

R1 = 1 + ε , c’est-à-dire donner à la résistance R2

R1 une valeur relativement plus élevée que la valeur nominale, puis diminuer cette valeur jusqu’à l’obtention du régime sinusoïdal établi.

Ce montage est utilisé pour détecter la présence de matériaux magnétiques ou amagnétiques.

Sylvain Géronimi

Page 190




Oscillateur à pont RLC avec potentiomètre L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous, utilisant un amplificateur de tension supposé idéal en régime dynamique faibles signaux. R2 100k R1 5k + (1-α)R αR C 10n

R 10k

L 10mH

Etude du régime dynamique (faibles signaux) 1. Ecrivez les fonctions de transfert en tension du réseau passif B' ( p ) et de l’amplificateur G. 2. Ecrivez les conditions d’oscillation. 3. Calculez la fréquence des oscillations et la position α du potentiomètre pour laquelle le circuit oscille.

Corrigé 1. Fonction de transfert B' ( p ) en tension du réseau passif L’ensemble des éléments mis en parallèle conduit à une impédance Lp Lp 1 Z ( p ) = α R // // Lp = α R // = . L Cp LCp 2 + 1 LCp 2 + p +1 αR

La fonction de transfert en tension est fournie par le pont L p Z( p) ( 1 − α )R B' ( p ) = = L Z ( p ) + (1 − α )R LCp 2 + p +1 α (1 − α )R L’amplificateur de tension étant idéal, sa bande passante est considérée comme infinie. G( p ) = 1 +

Sylvain Géronimi

R2 = G (amplificateur non inverseur de gain réel) R1

Page 191




2. Conditions d’oscillations La boucle étant fermée et en régime établi, G B' ( jω ) = 1 , relation valable car les conditions d’adaptation en tension entre blocs sont respectées. En effet, la résistance d’entrée est infinie et résistance de sortie est nulle pour le bloc amplificateur idéal. Si l’amplificateur est réel, la contreréaction tension-tension amène à des résultats voisins. Lω

⎛ R ⎞ G B' ( jω ) = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ R1 ⎠ ⎝ fosc

(1 − α )R

(

)

Lω + j LCω 2 − 1 α (1 − α )R R1 1 ,α= = R1 + R2 2π LC

=1

⎧LCω 2 − 1 = 0 ⎪ ⎧Im[G B' ( jω )] = 0 → ⎨ ⇒ ⎨ ⎛ R2 ⎞ ⎟ =1 ⎩Re[G B' ( jω )] = 1 ⎪α ⎜⎜1 + R1 ⎟⎠ ⎩ ⎝

3. Application numérique fosc ≅ 15.9 kHz , α = 0.0476

Sylvain Géronimi

Page 192




Oscillateur à pont de Wien L’étude proposée concerne le circuit de la figure suivante, utilisant un amplificateur linéaire de tension supposé idéal.

+

R3

C1

10k

15n

S

-

R4

R2

10k

C2 15n

10k

R1

Condition d’entretien des oscillations 1. 2. 3. 4.

Ecrivez la fonction de transfert en boucle ouverte. En boucle fermée, exprimez les conditions d’entretien d’oscillations sinusoïdales. Donnez les règles de démarrage de l’oscillateur. Calculez les valeurs de la fréquence fosc des oscillations et de la résistance R1 .

Stabilisation de l’amplitude des oscillations par thermistance La résistance R2 s’identifie à une thermistance à coefficient de température négatif telle que 2 2 R2 = R0 − a v eff avec R0 = 11 kΩ, a = 10 3 Ω / V 2 et v eff la valeur quadratique moyenne de la tension aux bornes de R2 .

5. Vérifiez que la condition de démarrage est assurée. 6. Evaluez l’amplitude de la tension de sortie v s en Vpp .

Stabilisation de l’amplitude des oscillations par résistance variable R3

U1

10k

+

C1 15n

uA741

S

-

R2 37.5k

R6 R4 10k

C2 15n

D1 J1 J2N4416A

G

R5 100k

C3 100u

D1N4148

La résistance variable est constituée d’un JFET travaillant dans sa zone ohmique et commandé en tension par un détecteur de crête, Dans ces conditions, la tension v ds ne peut dépasser quelques

Sylvain Géronimi

Page 193




dizaines de mVpp , ce qui explique la présence de la résistance série R6 sur le schéma électrique. Le transistor possède les caractéristiques IDSS = 14 mA, VP = − 4 V . 7. Donnez l’expression de la résistance RDS du transistor. 8. Ecrivez l’expression de R2 en fonction de RDS , v s et v ds , puis l’expression de R6 . 9. La diode possédant une tension de seuil V0 , écrivez l’expression de VGS en fonction de V0 , v ds et R2 . 10. Evaluez RON , VGS , v s , RDS et R6 en prenant v ds = 80 mVpp et V0 = 0.6 V . 11. Vérifiez que la condition de démarrage est assurée.

Corrigé Condition d’entretien des oscillations 1. Fonction de transfert en boucle ouverte Amplificateur non inverseur : G (p ) = 1 + Réseau sélectif : B' (p ) =

R2 (gain constant car amplificateur idéal) R1

RC p avec R = R3 = R 4 et C = C1 = C2 R 2 C 2 p 2 + 3 RC p + 1

2ζ p ω filtre de type passe-bande de la forme B0' 2 n et de caractéristiques p 2ζ + p +1 ω n2 ωn B0' =

⎛ R ⎞ 1 ∆ω 1 1 , ωn = , = = 2ζ = 3 , d’où G(p )B' (p ) = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ R1 ⎠ 3 RC ωn Q ⎝

1 . p ωn 3+ + ωn p

relation valable car les conditions d’adaptation en tension entre blocs sont respectées. En effet, la résistance d’entrée est infinie et résistance de sortie est nulle pour le bloc amplificateur idéal. Si l’amplificateur est réel, la contre-réaction tension-tension conduit à des résultats voisins. Cependant, le gain peut ne plus être considéré comme constant si la fréquence de l’oscillateur n’est pas faible par rapport à la bande passante de l’amplificateur.

2. Conditions d’oscillations ⎛ R ⎞ 1 En boucle fermée et en régime établi, G ( jω )B' ( jω ) = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ R1 ⎠ ⎛ω ω ⎝ 3 − j ⎜⎜ n − ω ω n ⎝ = ω ω ( ) ( ) ⎧ [ ] ⎧Im G jω B' jω = 0 osc n Conditions de Barkhausen → ⎨ ⇒ ⎨ [ ( ) ( ) ] = = Re G j ω B ' j ω 1 R 2R ⎩ 1 ⎩ 2

⎞ ⎟⎟ ⎠

=1

3. Condition de démarrage 1+

R2 >3 R1

Sylvain Géronimi

soit R2 supérieure à sa valeur nominale ou R1 inférieure à sa valeur nominale.

Page 194




4. Application fosc =

1 ≅ 1061 Hz , R1 = 5 kΩ 2π RC

Stabilisation de l’amplitude des oscillations par thermistance 5. Condition de démarrage R0 > 3 avec l’alimentation éteinte. Une fois l’alimentation R1 allumée, la tension aux bornes de la thermistance augmente jusqu’à ce que sa valeur ohmique diminue et se stabilise à R 2 = 2R1 .

Le démarrage est assuré car 1 +

6. Amplitude de la tension de sortie R0 − R2 = 1Veff a

v eff =

⇒

v s = 3 2 v eff ≅ 4.24 Vpp

Stabilisation de l’amplitude des oscillations par résistance variable 7. Expression de la résistance dynamique du JFET

RDS ≅

RON V 1 − GS VP

avec RON ≅

−VP (à partir d’une caractéristique de transfert « stylisée » du JFET) I DSS

8. Expressions des résistances R2 et R3 Condition d’oscillations : R 2 = 2 (R 6 + RDS ) car R 6 + R DS s’identifie à R1 des études précédentes Pont de résistances : v ds =

d’où R2 =

2 RDS v s 3 v ds

RDS

et R6 =

RDS vs + R6 + R2

R2 − RDS 2

9. Expression de la tension de grille Le redressement de l’alternance négative du signal sinusoïdal de sortie s’effectue en détection crête puisque R5 C3 >> Tosc , d’où v s pp = 2 (V0 − VGS ) en tenant compte du seuil de conduction de la diode. VGS = −

1 − α V0 1 α− VP

avec α =

4 RON 3 R2 v ds

(tension continue négative de commande du JFET canal N).

10. Application RON ≅ 286 Ω , VGS ≅ − 2.45 V , v s ≅ 6.1Vpp , RDS ≅ 738 Ω et R6 ≅ 18 kΩ .

Sylvain Géronimi

Page 195




11. Condition de démarrage R2 > 3 avec l’alimentation éteinte ( VGS = 0 ). A la mise R6 + RON sous tension du montage, la valeur de RDS augmente et se stabilise pour vérifier l’égalité R 2 = 2 (R 6 + RDS ) .

Le démarrage est assuré car 1 +

Simulation du circuit Démarrage de l’oscillateur 4.0V

0V

-4.0V 0s

0.5s V(S)

1.0s

1.5s

V(G) Time

Régime permanent 4.0V fosc = 1055 Hz

vs = 6 Vpp

v+ = 2 Vpp

v ds = 80 mVpp

0V

VGS = -2.39 V -4.0V 1.3500s V(S)

1.3505s V(G) V(U1:+)

1.3510s V(J1:d)

1.3515s

1.3520s

1.3525s

Time

Sylvain Géronimi

Page 196




Oscillateur Colpitts L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous, le transistor JFET possédant les caractéristiques constructeur I DSS = 8 mA, VP = − 4 V .

VCC 20 V

RD 2.2k

+ -

L

CG

J1 J2N3819

100 n R

68p

RS

10M

C1

C2

CS

480

100 n

Etude du régime continu 1. Déterminez les variables de polarisation.

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 2. Déduisez le paramètre g m de l’étude précédente ( rds = ∞ , Cgs , Cgd négligées). 3. En boucle ouverte, écrivez l’expression de la fonction de transfert en tension. 4. En boucle fermée et en régime sinusoïdal, écrivez les équations donnant les conditions d’entretien des oscillations. 5. Calculez les valeurs manquantes des composants du filtre afin de générer un signal sinusoïdal à la fréquence de 3 MHz. 6. Effectuez l’étude de la fonction de transfert en tension du circuit en boucle ouverte. Tracez la réponse en fréquence dans le plan de Bode et interprétez les résultats.

Corrigé Etude du régime continu 1. Etude statique ⎧VCC = (RD + RS )I D + VDS ⎛ V et I D = I DSS ⎜⎜1 − GS ⎨ VP ⎩VGS = − RS I D ⎝ VGS0 = − 1.5 V ( VP < VGS0 < 0 ), I D0 =

− VGS0 RS

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⇒

2 VGS

VP2

⎛ 1 2 ⎞ ⎟VGS + 1 = 0 + ⎜⎜ − ⎟ ⎝ I DSS RS VP ⎠

= 3.125 mA , VDS0 = VCC − (RD + RS )I D0 ≅ 11.6 V

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 2 VP 3. Etude en boucle ouverte

2. Pente du JFET g m = −

Sylvain Géronimi

I D0 I DSS ≅ 2.5 mA / V

Page 197




Les condensateurs de liaison et de découplage CG et CS sont assimilés à des court-circuits à la fréquence de travail de l’oscillateur. ⎡ ZC2 Z L + ZC1 ⎤ Vs ( p ) = − g m Vgs ( p ) RD // ZC2 // Z L + ZC1 = − g m Vgs ( p ) ⎢RD // ⎥ ZC2 + Z L + ZC1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 1 avec ZC1 = , ZC2 = , Z L = Lp C1 p C2 p

[

(

)]

(

(

)

ZC2 Z L + ZC1 Vs ( p ) = − g m RD Vgs ( p ) RD ZC2 + Z L + ZC1 + ZC2 ZL + ZC1

)

ZC1 ZC2 V ( p) = − g m RD Vgs ( p ) RD ZC2 + Z L + ZC1 + ZC2 ZL + ZC1

)

( (

) )

( (

et

)

ZC1 V ( p) = Vs ( p ) Z L + ZC1

4. Etude en boucle fermée et en régime établi ( p = jω ) En refermant la boucle, le filtre charge sur la résistance R de valeur très importante devant celle 1 de la réactance du condensateur C1 à la fréquence d’oscillation ( << 10 MΩ ). Ainsi, C1ω osc V ( p ) = Vgs ( p ) et − g m RD

ZC1 ZC2

(

)

(

RD ZC2 + Z L + ZC1 + ZC2 Z L + ZC1

(

) = 1.

)

(

)

L’équation complexe − g m RD ZC1 ZC2 = RD ZC2 + Z L + ZC1 + ZC2 Z L + ZC1 présentant des termes imaginaires purs (réactances ZC1 =

1 1 , ZC2 = , Z L = jLω ), se décompose en deux jC1ω jC2 ω

équations C1 ⎧ ⎧ g m RD 1 ⎛ 1 ⎞ ⎪g m RD = C 2 ⎟⎟ (partie réelle) ⎜⎜ Lω − = ⎧ ⎪ + = g R 1 LC ω 2 2 1 m D ⎪⎪ C2 ω ⎝ C1 ω ⎠ ⎪ C1C 2 ω ⎪ 1 soit ⎨ 2 ou ⎨ ⎨ 1 1 ω= 1 1 ⎞ ⎪ ⎪ ⎛⎜ ⎪Lω = C + C CC 1 2 ⎩ ⎪ ⎪RD ⎜ Lω − C ω − C ω ⎟⎟ = 0 (partie imaginaire ) L 1 2 1 2 ⎠ ⎩ ⎝ C1 + C2 ⎩⎪

5. Evaluation des composants de l’oscillateur Le système d’équations à deux inconnues conduit aux conditions d’oscillations. Dans le cas présent, les inconnues sont L et C1 . C1 = g m RD C 2 ≅ 374 pF et L =

1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ≅ 49 µH . + C2 ⎟⎠

ω 2 ⎜⎝ C1

Notons que la fréquence des oscillations s’écrit fosc =

1 2π LC

avec

1 1 1 (mise en série). = + C C1 C2

Ainsi, la self voit à ses bornes un condensateur équivalent, ce qui conduit à l’expression de la fréquence fosc . A partir de l’interprétation d’un circuit LC parfait, initialement condensateur chargé et courant dans la boucle nul, la décharge du condensateur induit un courant dans le circuit magnétisant alors la self. L’énergie électrostatique du condensateur est convertie en énergie magnétique dans la self.

Sylvain Géronimi

Page 198




La self magnétisée et le condensateur déchargé, le courant s’inverse et l’échange d’énergie a lieu dans l’autre sens pour revenir à l’état initial. La pulsation d’oscillation est ωosc = 1 LC . L

i v1

i C2

C1

v2

Si la capacité C est équivalente à deux capacités dont le point commun est la masse, un même courant circule alternativement de C1 vers C2 , chargeant un condensateur et déchargeant l’autre, et inversement. Les tensions aux bornes des condensateurs sont donc en opposition de phase et le rapport des tensions est égal à l’inverse du rapport des capacités, soit v C 1 1 v1 = − i et v 2 = i ⇒ 2 =− 2 . jωosc C2 jωosc C1 v1 C1

En pratique, le réseau LC entre en résonance à sa fréquence propre fosc , alimenté par un amplificateur inverseur de gain en tension Av = − C1 C 2 pour satisfaire les conditions de Barkhausen respectivement arg [G ( jω )] + arg [B' ( jω )] = 0 + 2k π et G ( jω )B' ( jω ) = 1 .

6. Etude de tracés dans le diagramme de Bode en boucle ouverte L i J1 ve

vs1

RD

C1

C2

vs2

R

Une tension sinusoïdale v e est appliquée à la grille du JFET. Le transistor est une source de courant commandée par la tension d’entrée et d’expression i = g m v e . Il n’est pas nécessaire de charger la sortie du réseau LC par l’impédance d’entrée de l’amplificateur puisque cette dernière est de valeur très élevée (R = 10 MΩ). 60

(2.9969M, 14.819) 40

(2.9969M, 79.345m)

(10.000K, 14.792)

(1.1749M, -0.8643)

0

transfert en boucle ouverte -40

(1.1749M, -58.469) (2.9969M, -14.725) -60 10KHz 30KHz DB(V(S1)/V(E)) DB(V(S2)/V(E))

100KHz DB(V(S2)/V(S1))

300KHz

1.0MHz

3.0MHz

10MHz

Frequency

Sylvain Géronimi

Page 199




Les tracés des modules montrent qu’à la fréquence d’oscillation prévue (3 MHz), le gain de la boucle ouverte est de 1 (0 dB), ce qui est prouvé par le gain de l’amplificateur et l’atténuation du réseau LC de valeurs respectives v s1 v e = − Av ≅ − 5.5 (14.8 dB) et v s2 v s1 = − C2 C1 = − 1 Av ≅ − 0.1818 (- 14.8 dB).

Le diagramme de Bode de la phase en boucle ouverte montre une phase nulle à la fréquence d’oscillation prévue, puisque v s2 v e = 1 . 180d

(1.1749M, 90.012) 100d

0d

(2.9974M,-13.767f) -100d 30KHz 10KHz arg(V(S2)/V(E))

100KHz

300KHz

1.0MHz

3.0MHz

10MHz

Frequency

Une simulation avec un JFET 2N3819 montre l’analyse transitoire de l’oscillateur en régime permanent vérifiant que les deux tensions en entrée et sortie du réseau LC sont en opposition de phase et que l’atténuation du pont est toujours 3.72 20.46 ≅ 0.1818 .

10V

fréquence des oscillations

gain en tension -5.5

20V

2.97 MHz

VDSo=13 V v ds = 20.46 Vpp

v gs = 3.72 Vpp

0V

18.4u

18.6us

18.8us

19.0us

19.2us

Time

Le réseau sélectif permet d’obtenir un déphasage de 180°. Si l’amplificateur compense l’atténuation introduite par le réseau passif et induit lui-même un déphasage de -180° (amplificateur inverseur), le gain en boucle ouverte vérifiera les conditions d’oscillations.

Sylvain Géronimi

Page 200




Interprétation analytique L’impédance en parallèle sur la résistance RD et les transferts en tension s’écrivent ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜⎜ jLω + ⎟⎟ jC 1ω ⎠ jC 2ω ⎝ Z ( jω ) = 1 1 jLω + + jC1ω jC 2ω Vs1 ( jω ) Ve ( jω )

= − g m (RD // Z ( jω )) ,

Pour ω → 0 , Z ( jω ) → ∞ ,

1

Pour ω = Vs1 ( jω ) Ve ( jω )

LC1

=0,

Vs1 ( jω ) Ve ( jω )

Vs1 ( jω )


1 jC1ω

=

jLω +

,

1 jC1ω

→ − g m RD ,


Vs2 ( jω ) Vs1 ( jω )

→ 1,

=

Vs2 ( jω ) Vs1 ( jω ) Vs1 ( jω ) Ve ( jω )


→ − g m RD ( + 14.8 dB, 180° )

( f ≅ 1.175 MHz ) ⇒ Z ( jω ) = 0 ,

Vs2 ( jω ) Vs1 ( jω )

Pour ω = ωosc =

Vs2 ( jω )

→∞,


= j gm

L ≅ j 0.905 ( − 0.864 dB, 90° ) C1

1⎛ 1 1 ⎞ ⎟ ( f ≅ 3 MHz ) ⇒ Z ( jω ) → ∞ , ⎜⎜ + L ⎝ C1 C2 ⎟⎠

= − g m RD ,

Vs2 ( jω ) Vs1 ( jω )

=−

C2 Vs2 ( jω ) , = 1 ( 0 dB, 0° ) C1 Ve ( jω )

1 Vs2 ( jω ) Vs1 ( jω ) Vs ( jω ) jC1ω gm 1 , Pour ω → ∞ , Z ( jω ) → →0, → ≅ 0, 2 →−j ≅0 Vs1 ( jω ) jLω jC2ω Ve ( jω ) Ve ( jω ) LC1C2 ω 3

( − ∞ dB, − 90° )

Démarrage de l’oscillateur 25V 20V

V(J1:d) 10V

V(J1:g) 0V -5V 0s

5us

10us

15us

20us

25us

Time

Sylvain Géronimi

Page 201




Oscillateur Colpitts (variante) Une étude dynamique aux faibles signaux est proposée ici, concernant le circuit de la figure cidessous. Les paramètres du modèle transistor JFET sont g m = 2.5 mA / V , rds , Cgs et Cgd négligeables.

C3

RD 2.2k

VCC + 20 V -

L

S

CG

1n

J1 J2N3819

1u RG

RS

10M

480

C2 22p

C1

CS 1u

1. Ecrivez les équations donnant les conditions d’entretien des oscillations. 2. Evaluez les autres composants ( C1, L ) du filtre afin de générer un signal sinusoïdal à la fréquence de 1 MHz. 3. Quel est l’intérêt de ce montage par rapport au montage Colpitts classique ?

Corrigé 1. Conditions d’entretien des oscillations

C1 ⎧ ⎪g m RD = C 2 ⎪ ⎪ 1 ⎨ω = ⎪ ⎛ CC ⎞ ⎪ L ⎜⎜ C3 + 1 2 ⎟⎟ C1 + C2 ⎠ ⎪⎩ ⎝

Ici aussi, la self voit à ses bornes un condensateur équivalent de capacité C égale à C3 en parallèle sur C1 en série avec C2 , ce qui conduit à l’expression de la fréquence fosc . Le rapport des tensions sur le réseau LC est encore − C2 C1 , ce qui nécessite un gain de l’amplificateur Av = − C1 C2 pour satisfaire les conditions de Barkhausen.

2. Evaluation des composants de l’oscillateur C1 = g m RD C2 ≅ 121 pF et L =

1 ⎛

ω 2 ⎜⎜ C3 + ⎝

C1C2 C1 + C2

⎞ ⎟⎟ ⎠

≅

1

ω C3 2

≅ 25 µH .

3. Intérêt du montage La relation donnant la pulsation des oscillations laisse apparaître au niveau numérique que CC C3 >> 1 2 , ce qui implique que ωosc peut varier uniquement en fonction de C3 . C1 + C2

Sylvain Géronimi

Page 202




Oscillateur Clapp Une étude dynamique aux faibles signaux est proposée ici, concernant le circuit de la figure cidessous. Les paramètres du modèle transistor JFET sont g m = 2.5 mA / V , rds , Cgs et Cgd négligeables.

RD 2.2k

VCC + 20 V -

L

S

CG

J1

RG 10M

10p

J2N3819

1u RS 480

C3

C2 1n

C1

CS 1u

1. Ecrivez les équations donnant les conditions d’entretien des oscillations. 2. Evaluez les autres composants ( C3 , L ) du filtre afin de générer un signal sinusoïdal à la fréquence de 5 MHz. 3. Quel est l’intérêt de ce montage ?

Corrigé 1. Conditions d’entretien des oscillations C1 ⎧ ⎪g m RD = C 2 ⎪ ⎪ 1 ⎨ω = L ⎪ ⎪ 1 1 1 + + ⎪ C C C 1 2 3 ⎩

Ici aussi, la self voit à ses bornes un condensateur équivalent de capacité C égale à C1 , C2 et C3 en série, ce qui conduit à l’expression de la fréquence fosc . Le rapport des tensions sur le réseau LC est encore − C2 C1 , ce qui nécessite un gain de l’amplificateur Av = − C1 C2 pour satisfaire les conditions de Barkhausen.

2. Evaluation des composants de l’oscillateur 1 1 1 1 1 C1 = g m RD C2 ≅ 5.5 nF et L ≅ 2 ≅ 100 µH car et ωosc ≅ + + ≅ C C C C ω C3 1 2 3 3

1

.

L C3

3. Intérêt du montage La relation donnant la pulsation des oscillations laisse apparaître au niveau numérique que C1 et C2 >> C3 , ce qui implique que ωosc peut varier uniquement en fonction de C3 . De cette façon, la fréquence des oscillations est très peu dépendante des impédances d’entrée ( de sortie (

Sylvain Géronimi

1 C2 ωosc

1 C1 ωosc

<< RG ) et

<< RD ) de l’amplificateur, surtout avec un bipolaire.

Page 203




Oscillateur Colpitts contrôlé en tension (VCO) à JFET source commune L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous, le transistor JFET possédant les caractéristiques constructeur I DSS = 8 mA, VP = − 4 V . La capacité CV de la diode varicap est comprise entre 2 et 10 pF pour une tension de polarisation de 0.5 à 5 V.

Vcc B

RD B

20V

2.2k

J1 B

CD

CL

B

Lchoc

B

B

10u

10u C2

Vcom

B

68p

B

L

CV B

22uH R 10Meg

C1 B

RS 480 B

CS 10u B

Compréhension du schéma 1. Donnez une description précise du circuit.

Etude en régime continu 2. Dessinez le schéma et évaluez les variables de polarisation. Expliquez le fonctionnement de la commande de la diode varicap.

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 3. Déduisez la valeur du paramètre g m du modèle du transistor ( rds , Cgs Cgd étant négligés). 4. En boucle ouverte, écrivez l’expression de la fonction de transfert en tension. 5. En boucle fermée et en régime sinusoïdal, écrivez les équations donnant les conditions d’entretien des oscillations. 6. Evaluez la capacité C1 du filtre, puis le domaine des fréquences d’oscillation possibles par l’action de la tension continue Vcom . 7. Evaluez le facteur de conversion tension-fréquence défini par K 0 = ∆f ∆Vcom en supposant un transfert linéaire.

Sylvain Géronimi

Page 204




Corrigé 1. Description du circuit La résistance RS fixe le courant de polarisation du JFET et la capacité CS découple sa source (montage source commune pour les signaux HF). L’impédance de charge du transistor est constituée par la résistance RD (supposée de faible valeur par rapport à la charge extérieure du circuit). La capacité CD est une capacité de liaison permettant de sauvegarder le potentiel continu de drain. Une diode varicap est utilisée pour commander l’oscillateur. Connectée en parallèle avec le circuit L − C1 − C2 (topologie Colpitts) du point de vue dynamique, elle est polarisée en inverse par la tension continue Vcom de commande par le biais d’une inductance de très grande impédance en HF (circuit ouvert en HF et court-circuit en continu). La connexion de la diode avec le circuit L − C1 − C2 est réalisée par une capacité de liaison CL (court-circuit en HF et circuit ouvert en continu).

2. Schéma et variables de polarisation

VCC 20 V

⎧VCC = (RD + RS )I D + VDS ⎛ V et I D = I DSS ⎜⎜1 − GS ⎨ VP ⎝ ⎩VGS = − RS I D

RD 2.2k

B

B

⇒

D1 B

B

2 VGS

VP2

Vcom B

⎛ 1 2 + ⎜⎜ − ⎝ I DSS RS VP

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

⎞ ⎟VGS + 1 = 0 ⎟ ⎠

J1 B

R 10Meg

VGS0 = − 1.5 V ( VP < VGS0 < 0 ), I D0 =

RS 480 B

VDS0 = VCC − (RD + RS )I D0 ≅ 11.6 V

− VGS0 RS

= 3.125 mA ,

La diode varicap est traversée par un courant inverse très faible et le courant de grille du JFET est insignifiant (ordre du pA). La chute de tension aux bornes de la résistance R peut être négligée, ce qui signifie que l’anode de la diode est à la masse. De ce fait, la tension de commande Vcom est aux bornes de la diode varicap et modifie la valeur de sa capacité CV .

3. Paramètre g m = −

2 VP

I D0 I DSS ≅ 2.5 mA / V

4. Etude en boucle ouverte Les condensateurs de liaison CS , CD et CL sont assimilés à des courts-circuits à la fréquence de travail de l’oscillateur. CV

L J1 R

Sylvain Géronimi

RD

vs

C2

C1

v

vgs

Page 205




[

(

)]

⎡ Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V Vs ( p ) = − g m Vgs ( p ) RD // ZC2 // Z L // ZC V + ZC1 = − g m Vgs ( p ) ⎢RD // ZC2 // Z L + ZC V ⎢⎣

(

[

(

)] (

⎡ Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V ZC2 Vs ( p ) = − g m Vgs ( p ) ⎢RD // Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V + ZC2 Z L + ZC V ⎢⎣ 1 1 1 avec ZC1 = , ZC 2 = , ZC V = , Z L = Lp C1 p C2 p CV p

(

[

)

(

)]

et

(

)

(

ZC1 Z L + ZC V V ( p) = Vs ( p ) Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V

d’où

(

)]

[

⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥⎦

)

Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V ZC2 Vs ( p ) = − g m RD Vgs ( p ) Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V ZC2 + RD Z L ZC V + ZC1 + ZC2 Z L + ZC V

[

)⎤⎥

)(

(

)]

) (

)

ZC1 ZC2 Z L + ZC V V ( p) = − g m RD Vgs ( p ) Z L ZC V + ZC1 Z L + ZC V ZC2 + RD Z L ZC V + ZC1 + ZC2 Z L + ZC V

[

)]

(

[

)(

(

)]

5. Etude en boucle fermée et en régime établi ( p = jω ) En refermant la boucle, le filtre charge sur la résistance R de valeur très importante devant celle 1 << 10 MΩ ). Ainsi, de la réactance du condensateur C1 à la fréquence d’oscillation ( C1ωosc

(

ZC1 ZC2 Z L + ZC V

L

⇒ − g m RD ZC1 ZC2

)

[Z Z + Z (Z + Z )]Z + R [Z Z + (Z + Z ) (Z + Z )] = 1 . (Z + Z ) = [Z Z + Z (Z + Z )]Z + R [Z Z + (Z + Z ) (Z + Z )]

V ( p ) = Vgs ( p ) et − g m RD

L

CV

CV

C1

L

L

CV

C1

CV

C2

L

CV

D

C2

L

CV

D

C1

L

CV

C2

C1

L

CV

C2

L

CV

équation présentant des termes imaginaires purs qui se décompose en deux équations avec 1 1 1 ZC1 = , ZC 2 = , ZC V = , Z L = jLω : jC1ω jC2 ω jCV ω ⎧ ⎡ L ⎛ 1 ⎞⎟ ⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎜⎜ ⎟⎥ (partie réelle) ⎪0 = RD ⎢ + + ⎜L − 2 ⎜ CV ω ⎟⎠ ⎝ C1 C 2 ⎟⎠⎦⎥ ⎣⎢ CV ⎝ ⎪⎪ ⎨ ⎪ g m RD ⎛ 1 ⎞ 1 ⎡ L ⎛⎜ 1 ⎞⎟ 1 ⎤ ⎜ Lω − ⎟⎟ = − + L− ⎢ ⎥ ⎪ 2 ⎜ ⎜ CV ω ⎠ C2 ω ⎢⎣ CV ⎝ CV ω 2 ⎟⎠ C1 ⎥⎦ ⎩⎪C1C 2 ω ⎝

⎧ 2⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + + + ⎪Lω ⎜⎜ ⎝ CV C1 C2 ⎠ CV ⎝ C1 C2 ⎠ ⎪ soit ⎨ LC1ω 2 ⎪ + = g R 1 m D ⎪ 1 − LCV ω 2 ⎩

Sylvain Géronimi

ou

(partie imaginaire )

C1 ⎧ ⎪g m RD = C 2 ⎪ ⎪ 1 = ⎪ω = 1 1 1 ⎨ + + ⎪ C C1 C2 L V ⎪ 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎪ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎪ C C C 2 ⎠ V ⎝ 1 ⎩

Page 206

1 ⎛ CC L ⎜⎜ 1 2 + CV ⎝ C1 + C2

⎞ ⎟⎟ ⎠




La self voit à ses bornes un condensateur équivalent de capacité C égale à CV en parallèle sur C1 en série avec C2 , ce qui conduit à l’expression de la fréquence fosc . Le rapport des tensions sur le réseau LC est encore − C2 C1 , ce qui nécessite un gain de l’amplificateur Av = − C1 C2 (ou Av = − g m RD ) pour satisfaire les conditions de Barkhausen.

6. Evaluation de C1 et du domaine des fréquences d’oscillation 1

C1 = AV C2 = 374 pF et fosc =

2π

⎛ CC ⎞ L ⎜⎜ CV + 1 2 ⎟⎟ C1 + C2 ⎠ ⎝

.

Pour CV = 2 pF , foscmax = 4397542 Hz et pour CV = 10 pF , foscmin = 4128889 Hz .

7. Evaluation de K 0 L’excursion de fréquence ∆f est d’environ 269 kHz pour une tension de commande passant de 0.5 à 5 V, ce qui donne un transfert (supposé linéaire) du VCO ∆f K0 = ≅ 59.7 kHz / V . ∆Vcom

Sylvain Géronimi

Page 207




Oscillateur Colpitts contrôlé en tension (VCO) à JFET drain commun L’étude proposée concerne le circuit de la figure ci-dessous, le transistor JFET possédant les caractéristiques constructeur I DSS = 8 mA, VP = − 4 V . La capacité CV de la diode Varicap est comprise entre 2 et 10 pF pour une tension de polarisation de 0.5 à 5 V.

Vcc B

10V CL

Lchoc

B

B

J1 B

10u C1

Vcom

B

B

L

D1 B

22uH C2 B

RS B

100p

vs B

480


Etude du régime continu 2. Dessinez le schéma et déterminez les variables de polarisation du JFET.

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 3. Déduisez la valeur du paramètre g m du modèle du transistor ( rds , Cgs Cgd étant négligés). 4. Dessinez le schéma. 5. En régime sinusoïdal établi, écrivez les équations donnant les conditions d’entretien des oscillations. 6. Evaluez la capacité C1 du filtre, puis les limites du domaine des fréquences d’oscillation possibles par l’action de la tension continue Vcom . 7. Déduisez la valeur du facteur de conversion tension-fréquence défini par K 0 = ∆f ∆Vcom en supposant un transfert linéaire.

Sylvain Géronimi

Page 208




Corrigé 1. Description du circuit La résistance RS fixe le courant de polarisation du JFET et constitue l’impédance de charge du transistor (supposée de faible valeur par rapport à la charge extérieure du circuit). Une diode varicap est utilisée pour commander l’oscillateur. Connectée en parallèle avec le circuit L − C1 − C2 (topologie Colpitts) du point de vue dynamique, elle est polarisée en inverse par la tension continue Vcom de commande par le biais d’une inductance de très grande impédance en HF (circuit ouvert en HF et court-circuit en continu). La connexion de la diode avec le circuit L − C1 − C2 est réalisée par une capacité de liaison CL (court-circuit en HF et circuit ouvert en continu). Le système est bouclé entre source et grille (montage drain commun du JFET).

2. Schéma et variables de polarisation ⎧VCC = RS I D + VDS ⎛ V et I D = I DSS ⎜⎜1 − GS ⎨ VP ⎩VGS = − RS I D ⎝ VCC

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

B

2 VGS

⇒

VP2

J1

⎛ 1 2 ⎞ ⎟VGS + 1 = 0 + ⎜⎜ − ⎟ I R V P ⎠ ⎝ DSS S

B

Vcom B

D1 B

B

VGS0 = −1.5 V ( VP < VGS0 < 0 ), I D0 =

RS 480 B

− VGS0 RS

= 3.125 mA ,

VDS0 = VCC − RS I D0 ≅ 8.5 V

La tension de commande Vcom est appliquée diectement aux bornes de la diode varicap car le condensateur CL est équivalent à un circuit ouvert. La self, équivalente à un court-circuit, relie la grille du JFET à la masse.

3. Pente du JFET

gm = −

2 VP

I D0 I DSS ≅ 2.5 mA / V

4. Schéma C1 B

avec Z1( p ) =

i Z2 B

vgs B

gm vgs B

Z1

B

B

RS Lp et Z 2 ( p ) = 1 + RSC2 p 1 + LCV p 2

B

( CV : capacité de la diode Varicap)

Le condensateur de liaison CL est assimilé à un court-circuit à la fréquence de travail de l’oscillateur.

Sylvain Géronimi

Page 209




5. Conditions d’entretien des oscillations ⎧⎪g m Vgs ( p ) + C1 pVgs ( p ) + I ( p ) = 0 ⎡ Z ( p) ⎤ 1 ⇒ gm + +⎢ 2 + 1⎥ C1 p = 0 ⎨ Z1( p ) ⎣ Z1( p ) ⎦ ⎪⎩Z1( p )I ( p ) = Vgs ( p ) + Z 2 ( p )C1 pVgs ( p )

soit 1 + g m RS + RS (C1 + C2 ) p +

En régime sinusoïdal, p = jω

d’où

LC1 p 2 1 + LCV p 2

(1 + RSC2 p ) = 0

⇒ 1 + g m RS +

⎛ LC1C 2 ω 2 ⎞⎟ ⎜ + + + =0 ω j R C C S⎜ 1 2 LCV ω 2 − 1 ⎟⎠ LCV ω 2 − 1 ⎝ LC1ω 2

⎧ LC1ω 2 = 0 (partie réelle) ⎪1 + g m RS + LCV ω 2 − 1 ⎪ ⎨ LC1C2 ω 2 ⎪ ⎪C1 + C2 + LC ω 2 − 1 = 0 (partie imaginaire ) V ⎩

C1 ⎧ ⎪g m RS = C 2 ⎪ ⎪ 1 ⇒ ⎨ω = ⎪ osc ⎛ CC ⎞ ⎪ L ⎜⎜ CV + 1 2 ⎟⎟ C ⎪⎩ 1 + C2 ⎠ ⎝

Ici aussi, la self voit à ses bornes un condensateur équivalent de capacité C égale à CV en parallèle sur C1 en série avec C2 , ce qui conduit à l’expression de la fréquence fosc . Le rapport des tensions sur le réseau LC est C2 C1 , ce qui nécessite un gain de l’amplificateur Av = C1 C2 (ou Av = g m RS ) pour satisfaire les conditions de Barkhausen.

6. Evaluation de C1 et du domaine des fréquences d’oscillation C1 = g m RS C2 = 120 pF . Fréquences extrêmes : foscmax = 4512424 Hz ( CV = 2 pF ), foscmin = 4223534 Hz ( CV = 10 pF ).

7. Evaluation de K 0 L’excursion de fréquence ∆f est d’environ 289 kHz pour une tension de commande passant de 0.5 à 5 V, ce qui donne un transfert (supposé linéaire) du VCO ∆f K0 = ≅ 64.2 kHz / V . ∆Vcom

Sylvain Géronimi

Page 210




Stabilisation d’une tension par diode zener L’étude porte sur le circuit à diode zener suivant. R

D

vE

Rch

vS

La tension v E (t ) = VEo + v e (t ) , v e (t ) étant l’ondulation résiduelle issue du filtrage, est appliquée à l’entrée du circuit. Une tension v S (t ) = VSo + v s (t ) est recueillie sur la charge. Les résistances statique RZ et dynamique rz de la diode zener sont de valeur négligeable devant la résistance R.

Etude du régime continu 1. Donnez l’expression de la tension VSo aux bornes de la charge. 2. Ecrivez la condition pour que la stabilisation ait bien lieu (polarisation de la diode dans sa zone d’avalanche). 3. Ecrivez la condition pour que la puissance dissipée en régime permanent soit inférieure à la puissance maximale (données constructeur).

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 4. Donnez l’expression de la tension v s (t ) aux bornes de la charge. 5. En supposant que Rch >> rz , discutez de la stabilité en dehors des problèmes liés à la température et au vieillissement de la diode. On rappelle qu’une tension est stabilisée (et non régulée) quelle que soit la variation de la source (stabilisation amont) et quelle que soit la variation de la charge (stabilisation aval).

Sylvain Géronimi

Page 211

Régulateurs de tension



Corrigé Etude du régime continu 1. Expression de la tension aux bornes de la charge

R

Rth RZ

VEo

Rch

Rch

VSo

Vth VZo

avec

⇒

Vth = VEo

VSo = Vth

RZ R + VZo RZ + R R + RZ

et Rth = R // R Z

Rch Rch R ⎛ ⎞ ≅ ⎜VE Z + VZo ⎟ Rch + Rth Rch + RZ ⎝ o R ⎠

avec R >> R Z

2. Condition sur la réalisation de la stabilité Pour que la stabilisation ait bien lieu, le point de fonctionnement de la diode doit se situer à l’intersection de la droite de charge et de la partie pratiquement verticale de sa caractéristique. Le circuit équivalent vu par la diode conduit à l’expression de cette droite de charge. ID R VEo

avec Vth' = VEo

R’th Rch

D

V’th

D

VD

Rch V' V ' = R // R , d’où la droite de charge I = − D − th et Rth ch D ' ' Rch + R Rth Rth

La condition s’écrit Vth' > VZo ou encore VEo

Rch > VZo . Rch + R

3. Condition sur la puissance dissipée dans la diode La puissance dissipée dans la diode doit être nettement inférieure à la puissance maximale en régime permanent, soit VSo I Z << PZmax = VSo I Zmax (à partir des données constructeur).

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 4. Expression de la tension aux bornes de la charge

Sylvain Géronimi

Page 212




R ve

rth rz

avec v th = v e Puisque

Rch

vth

Rch

vs

Rch rz et rth = R // rz ⇒ v s = v th rz + R Rch + rth

rz << R ⇒

vs ≅

Rch rz ve . Rch + rz R

5. Stabilité de la tension En considérant de très faibles variations de v e et Rch par rapport aux valeurs nominales, on déduit les variations de v s au premier ordre par

dv s =

∂v s ∂v s dv e + dRch ∂v e ∂Rch

avec

dv s ⎡ ∂v s ⎤ Rch rz = =⎢ ⎥ dv e ⎣ ∂v e ⎦ R =cte Rch + rz R ch

⇒ dv s ≅

dRch rz r dv e + z v s R Rch Rch

Si dv e = 0 (stabilisation aval) →

et

⎡ ∂v ⎤ dv s rz rz = ve =⎢ s ⎥ 2 dRch ⎣ ∂Rch ⎦ v =cte (Rch + rz ) R e

( Rch >> rz ).

dv s r dRch ≅ z vs Rch Rch

Si dRch = 0 (stabilisation amont) → dv s ≅

rz dv e R

soit

dv s dRch << car rz << Rch vs Rch

soit dv s << dv e car rz << R

En conclusion, la stabilisation est d’autant meilleure que la variation v e (t ) de la source v E (t ) est faible (bon filtrage), la résistance dynamique rz de la diode zener est faible (caractéristique verticale), la résistance R de polarisation est grande (source de courant). Remarquons que la tension zener est considérée comme parfaite dans ce problème ( ∆VZ = 0 ). Toutefois, pour être complet, il faudrait tenir compte du coefficient de température et de vieillissement de la diode ( ∆VZ relativement faible) (voir cours « Les régulateurs de tension »).

Sylvain Géronimi

Page 213




Circuits de stabilisation d’une tension par référence zener Dans ce problème, les variations dues à la température et au vieillissement des composants ne seront pas prises en compte. Le dispositif de stabilisation en tension est représenté sous la forme du quadripôle suivant : RE

iS (t)

Stabilisation vS (t)

vE (t)

Rch

en tension

La tension de sortie VS dépend donc des variations de la tension VE et du courant continu soutiré IS , soit VS = f (VE , IS ) et pour de faibles variations autour du point de fonctionnement, on peut écrire ⎡ ∂V ⎤ ⎡ ∂V ⎤ dVS = ⎢ S ⎥ dVE + ⎢ S ⎥ dI S ∂ V ⎣ E ⎦ IS =ISo ⎣ ∂IS ⎦VE =VEo

avec v s (t ) = dVS , v e (t ) = dVE , i s (t ) = dI S les variations dans le régime dynamique aux faibles signaux respectivement aux points de fonctionnement VSo , VEo , ISo . ⎡v ⎤ facteur de Du régime dynamique v s (t ) = SV v e (t ) − R0 i s (t ) , on définit les performances SV = ⎢ s ⎥ ⎣ v e ⎦ i s =0

⎡v ⎤ régulation (stabilité en amont), R0 = − ⎢ s ⎥ résistance de sortie (stabilité en aval), à partir du ⎣ i s ⎦ v e =0

schéma suivant R0

is

vs

SV ve

Rch

Trois dispositifs de stabilisation en tension, utilisant une référence de tension délivrée par une diode zener, sont proposés ici et conduisent à trois problèmes indépendants. Chacun des problèmes demande une étude du régime continu et une étude du régime dynamique aux faibles signaux en vue de déterminer SV et R0 .

Sylvain Géronimi

Page 214




Stabilisation par diode zener RE

R'

20

80

vE

Rch D

→

Diode zener D

100

RZ ≅ 0 Ω, VZo = 9 V ⎪⎧statique , R = RE + R ' . ⎨ ⎪⎩dynamique rZ = 5 Ω

Etude du régime continu 1. Dessinez le schéma. 2. Déterminez le point de fonctionnement ( I Zo , VZo ) de la diode en fonction de VE , R, VZo , Rch . 3. Evaluez I Zo pour VE = 20 V , ainsi que la puissance dissipée PZ dans la diode zener. 4. Expliquez en quelques mots la présence de la résistance R’.

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 5. Dessinez le schéma. 6. Ecrivez l’expression de la tension aux bornes de la résistance Rch en fonction du courant qui la traverse et de la tension d’entrée v e . 7. Déduisez les expressions des coefficients SV et R0 , puis évaluez ces derniers.

Stabilisation par transistor Q

RE 20

R

vE

Rch 100 D

Transistor Q

→

β = 100, VBE ≅ 0.6 V

( β >> 1 )

Etude du régime continu 8. Dessinez le schéma. 9. Le point de fonctionnement de la diode demeurant inchangé, déterminez les valeurs de la tension VS et du courant IS en sortie. 10. Donnez l’expression de la résistance R et évaluez cette dernière pour VE = 20 V .

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 11. Dessinez le schéma. 12. Evaluez le paramètre rbe du modèle du transistor.

Sylvain Géronimi

Page 215




13. Ecrivez l’expression de la tension aux bornes de la résistance Rch en fonction du courant qui la traverse et de la tension d’entrée v e . 14. Déduisez les expressions des coefficients SV et R0 , puis évaluez ces derniers.

Stabilisation par contre-réaction Q

RE 20 R

R1 10k

+ vE

100 D

Amplificateur opérationnel →

Rch

-

R2 20k

Ad = 10 5 , Re = ∞, Rs = 0 Ω

Etude du régime continu 15. Dessinez le schéma. 16. Le point de fonctionnement de la diode demeurant toujours inchangé, calculez la tension de sortie VS , le courant traversant le pont R1 − R2 étant de valeur négligeable devant IS . 17. Donnez l’expression de la résistance R et évaluez cette dernière pour VE = 20 V .

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 18. Dessinez le schéma. 19. Evaluez le paramètre rbe du modèle du transistor. 20. Ecrivez l’expression de la tension aux bornes de la résistance Rch en fonction du courant qui la traverse et de la tension d’entrée v e . 21. Déduisez les expressions des coefficients SV et R0 , puis évaluez ces derniers.

Sylvain Géronimi

Page 216




Corrigé Stabilisation par diode zener Etude du régime continu 1. Schéma R

RZ ≅0 VE

Rch

VS

( R = RE + R ' )

VZo

2. Détermination du point de fonctionnement de la diode Pour que la stabilisation ait bien lieu, le point de fonctionnement de la diode doit se situer à l’intersection de la droite de charge et de la partie pratiquement verticale de sa caractéristique. Le circuit équivalent vu par la diode conduit à l’expression de cette droite de charge. ID R VE

avec Vth = VE

Rth Rch

D

D

Vth

VD

Rch V V et Rth = R // Rch , d’où la droite de charge I D = − D − th . Rch + R Rth Rth

Les coordonnées du point de repos sont alors VDo = − VZo , I Do =

VZo − Vth Rth

.

3. Evaluation des variables statiques I Zo = − I Do = 20 mA et la puissance dissipée dans la diode est PZ = VZo I Zo = 180 mW .

4. Présence de la résistance R’ En l’absence de la résistance R’ ( R = RE ), le courant I Zo traversant la diode serait de 460 mA et la puissance dissipée de 4.14 W, valeur excessive conduisant à la destruction du composant.

Sylvain Géronimi

Page 217




Etude du régime dynamique aux faibles signaux 5. Schéma is R ve

rz

Rch

vs

6. Relation de v s (v e , i s ) is

avec v th = v e

rth Rch

vth

rz et rth = R // rz rz + R

vs

⇒ vs =

rz R rz ve − is R + rz R + rz

7. Evaluation des coefficients SV et R0 SV =

rz R rz ≅ 48 10 −3 , R0 = ≅ 4.76 Ω . R + rz R + rz

Stabilisation par transistor Etude du régime continu 8. Schéma RE

β IB

Q

VBE

R IZo + IB VE

IS

IB

Rch

VS

IZo VZo

9. Evaluation de IS et VS Le point de fonctionnement de la diode est inchangé ( VZo = 9 V , I Zo = 20 mA ).

Sylvain Géronimi

Page 218




(

) (

)

⎧VE = RE β I B + I Zo + I B + R I Zo + I B + VZo ⎪ ⎪VZ = VBE + VS Circuit → ⎨ o (système à 4 inconnues I B , IS , VS , R) ⎪VS = Rch IS ⎪I = (β + 1)I B ⎩S

Des trois dernières équations, on tire V I VS = VZo − VBEo ≅ 8.4 V , IS = S ≅ 84 mA , I Bo ≅ S ≅ 0.84 mA . β Rch

10. Evaluation de la résistance R La première équation du système donne R =

(

VE − VZo − RE I Zo + IS I Zo + I Bo

) ≅ 428 Ω .

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 11. Schéma β ib

RE

R iz + ib

rbe ib

ve

is

Rch

vs

iz rz

12. Evaluation du paramètre rbe rbe =

UT ≅ 30 Ω . I Bo

13. Relation de v s (v e , i s ) ⎧v e = RE (i z + i s ) + R (i z + i b ) + rz i z ⎪ Circuit → ⎨v s = rz i z − rbe i b (système à 3 inconnues i b , i z , v s ( i s ,v e ) ) ⎪i = (β + 1)i b ⎩s

En éliminant successivement i b et i z , on obtient la relation souhaitée. ⎧ ⎛ R ⎞ ⎟ is ⎪v e = (RE + R + rz )i z + ⎜⎜ RE + ⎡r ⎤ β + 1 ⎟⎠ ⎛ rz rz R⎞ ⎪ ⎝ ⇒ vs ≅ v e − ⎢ be + ⎜⎜ RE + ⎟⎟ ⎨ ⎥ is β ⎠ RE + R + rz ⎦ RE + R + r z ⎣ β ⎝ ⎪v = r i − rbe i z z s ⎪ s β +1 ⎩

Sylvain Géronimi

Page 219





⎛ r rz rz R⎞ ≅ 0.57 Ω . ≅ 11 10 −3 , R0 ≅ be + ⎜⎜ RE + ⎟⎟ β ⎝ β ⎠ RE + R + r z RE + R + r z

Stabilisation par contre-réaction Etude du régime continu 15. Schéma RE

Q

β IB

IS IP

R

VBE R1

0

IB

+

IZo

Rch

VE

VS

V’S

VZo

-

R2

0

16. Evaluation de IS et VS Le point de fonctionnement de la diode est inchangé ( VZo = 9 V , I Zo = 20 mA ). ⎧V + = VZ o ⎪ R2 ⎪ − ⎧VE ≅ RE IS + I Zo + R I Zo + VZo ⎪V = R + R VS ⎪ 1 2 ⎪ ⎞ R2 ⎪ ⎛ ⎪ Circuit → ⎨VE = RE β I B + I Zo + R I Zo + VZo ⇒ ⎨ Ad ⎜⎜VZo − VS ⎟⎟ = VBE + VS R1 + R2 ⎠ ⎪ ⎝ ⎪ ' + − ⎪V = R I ⎪VS = Ad V − V = VBE + VS S ch S ⎩ ⎪V = R I ch S ⎪ S ⎩⎪IS = (β + 1)I B + I P

(

(

(

)

)

La deuxième équation donne VS =

Le courant de polarisation I Bo ≅

Ad VZo − VBEo R2 1 + Ad R1 + R2

IS

β

≅ 1.35 mA .

17. Evaluation de la résistance R La première équation donne R ≅

⎛ R ⎞ ≅ VZo ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ ≅ 13.5 V . R 2 ⎠ ⎝

VS ≅ 135 mA . Rch

La troisième équation donne IS =

Sylvain Géronimi

)

(

VE − VZo − RE IS + I Zo I Zo

Page 220

) ≅ 395 Ω .




Etude du régime dynamique aux faibles signaux 18. Schéma β ib

RE

is ib

ip

R

ve

R1

rbe

0 iz

+

rz

-

Rch

v’s

vs

R2

0

19. Evaluation du paramètre rbe rbe =

UT ≅ 18.5 Ω . I Bo

20. Relation de v s (v e , i s ) ⎧v e = RE (i z + β i b ) + (R + rz ) i z ⎪ ⎞ ⎛ R2 ⎪ v s ⎟⎟ Circuit → ⎨v s' = rbe i b + v s = Ad ⎜⎜ rz i z − R1 + R2 ⎠ ⎝ ⎪ ⎪i ≅ (β + 1)i ≅ β i b b ⎩s

En éliminant successivement i b et i z , on obtient la relation souhaitée. ⎧v e ≅ RE i s + (RE + R + rz ) i z ⎪ ⎛ ⎞ ou encore R2 ⎨ rbe ⎪ β i s + v s ≅ Ad ⎜⎜ rz i z − R + R v s ⎟⎟ 1 2 ⎝ ⎠ ⎩

ve RE ⎧ ⎪i z ≅ R + R + r − R + R + r i s E z E z ⎪ ⎨ ⎛ ⎞ r R2 ⎪v ⎜1 + A ⎟⎟ ≅ Ad rz i z − be i s d ⎪ s ⎜⎝ R R + β 1 2 ⎠ ⎩

⎛r ⎛ R2 ⎞ rz r z RE ⎟⎟ ≅ Ad v e − ⎜⎜ be + Ad ⇒ v s ⎜⎜1 + Ad R1 + R2 ⎠ RE + R + r z RE + R + r z ⎝ β ⎝

⎞ ⎟⎟ i s ⎠


R0 =

⎛ rz R ⎞ rz ≅ ⎜1 + 1 ⎟ ≅ 17.8 10 −3 R2 RE + R + rz ⎜⎝ R2 ⎟⎠ RE + R + rz 1 + Ad R1 + R2 Ad

⎛ rbe r z RE ⎜ ⎜ β A +R + R + r R2 d E z ⎝ 1 + Ad R1 + R2

Sylvain Géronimi

Ad

⎞ ⎛ R ⎞ rz RE ⎟ ≅ ⎜1 + 1 ⎟ ⎟ ⎜ R ⎟ R + R + r ≅ 0.36 Ω . 2 ⎠ E z ⎠ ⎝

Page 221




Régulateur de tension 15 V / 2 A L’alimentation régulée de la figure ci-dessous doit répondre au cahier des charges suivant : VS = 15 V , IS ≤ 2 A

La tension d’entrée v E (t ) non régulée présente une valeur moyenne VE = 25 V . Les transistors sont caractérisés par β1 = 100 , β 2 = 50 , β 3 = 20 . L’amplificateur différentiel de tension U1 est supposé idéal. Q3

D1

R2

IS

Q2 IP << IS R3

2mA Q1 +

VE

U1

R4 VS

R1

D2 R5

2mA

L’étude de ce montage s’effectue en régime continu 1. Sachant que l’amplificateur différentiel de tension peut fournir un courant de sortie maximum de 20 mA, démontez l’obligation d’utiliser un ballast Darlington (on ne tiendra pas compte ici du courant dans la résistance R3 ). 2. Evaluez la puissance critique dissipée par Q3 (court-circuit en sortie). 3. Evaluez la résistance R3 suivant le critère de déviation du 1/10ème du courant maximum de base de Q3 . 4. La tension de référence est obtenue par un montage utilisant deux diodes zener polarisées chacune par un courant de 2 mA et telles que VZ1 = 10 V et VZ2 = 5 V . Evaluez les résistances R1 et R 2 . 5. Déterminez les valeurs des résistances R 4 et R5 du pont pour satisfaire le cahier des charges (prendre I P = 1 mA ).

Sylvain Géronimi

Page 222




Corrigé 1. Utilisation d’un ballast Darlington Il n’est pas nécessaire de tenir compte du courant dérivé par la résistance R3 puisqu’un ordre de grandeur du courant de base de Q2 est recherché lorsque IS max est demandé. I B3 max ≅ I B2 max ≅

IS max

= 100 mA , valeur de courant que ne peut produire U1 (20 mA maximum)

β3 I B3 max

= 2 mA , valeur inférieure à 20 mA.

β2

2. Puissance critique dissipée par Q3 Le transistor Q3 dissipe une puissance maximale PQ3 ≅ VCE3 IC3 ≅ (VE − VS )ISmax = 20 W , sans compter les conditions de court-circuit en sortie qui entraîne VCE3

max

= 25 V . Si Q3 doit

fonctionner en toute sécurité, la puissance dissipée en continu dans le pire cas doit être faible devant sa puissance totale maximale (donnée constructeur), ce qui à employer un transistor dont le gain en courant β min est de l’ordre de 20. Un montage Darlington est alors nécessaire.

3. Evaluation de la résistance R3 VBE3 ≅ R3

I B3

max

10

⇒ R3 ≅ 60 Ω

4. Evaluation des résistances R1 et R2 R1 =

VE − VZ1 I1

≅ 7.5 kΩ ( IB1 << 2 mA ) et R2 =

VZ1 − VEB1 I E1

≅ 4.7 kΩ ( I + = 0, β1 >> 1 )

5. Evaluation des résistances R 4 et R5 R5 ⎧ VS ⎪VZ2 = R 4 + R5 ⎨ ⎪V = (R + R )I 4 5 P ⎩ S

Sylvain Géronimi

(V

+

VZ2 ⎧ = 5 kΩ ⎪R5 = =V ) IP ⎪ ⇒ ⎨ ⎪R = VS − VZ2 = 10 kΩ ⎪ 4 IP ⎩ −

Page 223




Etage de puissance push-pull série avec sources de Widlar L’étude porte sur le régime pseudo-continu de l’étage terminal de puissance de la figure ci-dessous, le but étant d’évaluer le rendement maximal. Une étude complémentaire détermine les caractéristiques du montage aux faibles signaux. Les paires Q1 - Q2 de gain en courant β = 100 , et Q3 - Q4 de gain en courant β ' = 250 , sont des transistors supposés technologiquement parfaitement complémentaires dont l’effet d’Early est négligé ( VA = ∞ ). Les diodes D1 - D2 et D3 - D4 - D5 - D6 sont identiques. La valeur de la tension aux bornes d’une diode ou d’une jonction base-émetteur de transistor sera de l’ordre de 0.6 V, quelque soit le courant qui traverse le composant (même si ce courant est très faible). L’alimentation symétrique fournit des tensions VCC = ± 15 V et le montage fonctionne en classe AB tel que IC1 = IC2 = 10 mA . o

o

+VCC

D3 R1 400

D4

Q3 Q1 R3 120k

RE1 2.2

D1

iS(t) vE(t)

RE2 2.2

D2

Rch 100

vS(t)

Q2 Q4 D5 R2 400

D6

-VCC

Compréhension du schéma 1. Donnez une brève description du circuit et expliquez, en quelques mots, son fonctionnement lors d’une attaque par un signal sinusoïdal.

Etude du régime continu 2. Dessinez le schéma. 3. Déterminez les potentiels de nœuds et les courants circulant dans les branches du montage et rapportez ces valeurs sur le schéma. 4. Evaluez la puissance fournie par les alimentations.

Sylvain Géronimi

Page 224

Amplificateurs de puissance



Etude du régime pseudo- continu La tension d’attaque du montage est augmentée jusqu’à une valeur telle que la tension de sortie approche la limite de l’écrêtage. 5. Dessinez le schéma. 6. Evaluez la tension et le courant de sortie dans le cas où le transistor Q3 est voisin de la saturation ( VEC3 ≅ 0.2 V ). 7. Déterminez les potentiels de nœuds et les courants circulant dans les branches du montage. 8. Dans un contexte sinusoïdal de l’attaque, tracez les variations en fonction du temps de la tension VCE des transistors Q3 ou Q4 , du courant traversant les diodes D1 ou D2 , du courant de base des transistors Q1 ou Q2 et du courant de sortie. 9. Evaluez le rendement maximum du montage.

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 10. Dessinez le schéma dans le cas d’une variation de tension positive de v e (t ) en tenant compte de la présence des résistances rd des diodes et z0 des sources de courant. Le montage est attaqué par un générateur de résistance rg = 100 Ω . Les influences des résistances des diodes et des sources sont négligées ( rd = 0 , z0 = ∞ ) et le paramètre rbe1 est évalué à 80 Ω. 11. Evaluez la résistance d’entrée Re , le gain en tension A v = v s v e et la résistance de sortie Rs vue par la charge.

Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le schéma se compose d’un circuit de polarisation qui alimente un étage push-pull série débitant un courant dans la charge. - L’étage push-pull, constitué des transistors complémentaires Q1 et Q2 montés chacun en émetteur suiveur, doit fournir une grande excursion de tension en sortie et avoir une faible résistance de sortie vis-à-vis de la charge Rch (attaque en tension). Les résistances RE1 et RE 2

-

servent à améliorer la stabilité thermique du montage et leur valeur doit rester faible par rapport à la valeur de la charge. La tension de polarisation entre les bases déterminera la classe de fonctionnement. La polarisation s’effectue grâce aux sources de courant de type Widlar réglées par les résistances R1 et R2 . Au repos, la majorité du courant issu de ces sources parcourt la paire de diodes D1 et D2 connectées en série, produisant une translation de tension continue d’environ 1.2 V et le faible courant restant constitue le courant de base de Q1 et Q2 (caractéristiques des jonctions des diodes et transistors différentes). La distorsion de croisement est pratiquement éliminée en concédant une légère conduction des transistors de sortie au repos. La classe de fonctionnement est AB.

Lorsque le signal d’entrée devient positif, Q1 se comporte comme une source de courant alimentant la charge et Q2 se bloque et inversement pour un signal d’entrée négatif. Pour un signal sinusoïdal, chaque transistor ne conduit donc que durant à peu près une demi période.

Sylvain Géronimi

Page 225




Etude du régime continu 2. Schéma + 15 V

400 10 mA

1.5 mA

224 µA

14.4 V

13.8 V

Q3 6 µA

100 µA 0.6 V

Q1 1.4 mA

120k

2.2 0A

0V 0V 230 µA

VE 2.2 100

1.4 mA 100 µA - 0.6 V

Q2

6 µA -13.8 V

Q4 - 14.4 V

10 mA

1.5 mA 400 224 µA

- 15 V

3. Calcul des courants et tensions Aucune source dynamique n’étant appliquée à l’entrée du circuit, VE = 0 . I R3 =

2VCC − 4VD ≅ 230 µA avec VD ≅ 0.6 V . R3

I R1 =

VD ≅ 1.5 mA avec VEB ≅ 0.6 V (de même I R2 ≅ 1.5 mA ). R1

Les sources de courant produisent I 0 ≅ 1.5 mA car IC3 ≅ I R1 et IC4 ≅ I R2 . o

I D3D4 ≅ I R3 −

IC 3

o

β'

o

≅ 224 µA

Les valeurs des potentiels et courants sont indiqués sur le schéma ci-dessus.

4. Calcul de la puissance fournie Par symétrie, chacune des alimentations fournit au montage le même courant + =I − ICC C1 + I R1 + I D3D4 ≅ 11.7 mA (ou ICC = IC2 + I R2 + I D5D6 ) o

+ + I − ) ≅ 352 mW Pfournie = 2VCC (ICC CC

Sylvain Géronimi

o

Page 226




Etude du régime pseudo-continu En considérant la valeur crête Vemax de l’alternance positive de la tension sinusoïdale v E (t ) , le transistor Q2 est bloqué et la tension crête de sortie VS est maximale (limite de l’écrêtage). 5. Schéma + 15 V

400 133 mA

1.5 mA

224 µA

14.4 V

13.8 V

Q3 6 µA

1.33 mA

14.2 V

Q1 170 µA

120k

13.6 V 2.2 133 mA

13.6 V 13.3 V 230 µA

VE 1.5 mA

100

13 V 6 µA -13.8 V

Q4 - 14.4 V 1.5 mA 400

224 µA

- 15 V

6. Calcul des valeurs maximales des tension et courant de sortie Le transistor Q3 est au voisin de la saturation,

(

)

⎧⎪VCC ≅ VD + VEC3 sat + VBE1 + RE1 + Rch ISmax ⇒ ISmax ≅ 133 mA et VSmax ≅ 13.3 V ⎨ ⎪⎩VSmax = Rch ISmax Il faut noter que Q3 ne délivrera un courant I 0 constant (effet Early négligé) que si la tension VEC3 est supérieure ou voisine de VECsat .

7. Calcul des courants et tensions

I B1 max ≅

ISmax

β

≅ 1.33 mA , I D1 = I 0 − I B1max ≅ 170 µA .

Les valeurs des potentiels et courants sont indiqués ci-dessus. Le courant traversant la diode D1 étant relativement faible, la tension à ses bornes est surestimée par l’hypothèse du problème ( 0.5 V < VD1 < 0.6 V ). Il serait peut-être concevable d’augmenter la valeur de I 0 afin d’obtenir une polarisation plus correcte des diodes D1 et D2 au détriment du rendement.

Sylvain Géronimi

Page 227




Il est aussi à remarquer que la tension − VCC fournit uniquement les courants d’alimentation de la source de Wildar Q4 - R2 et qu’une tension de 0.3 V est perdue aux bornes de la résistance RE1 ( VEmax ≅ 13.6 V ). Le gain en tension du montage est donc VSmax VEmax ≅ 0.98 .

8. Détermination des variations sinusoïdales L’étude de la polarisation fournit les valeurs à t = 0, T 2 , T . L’étude précédente apporte les valeurs maximales obtenues à t = T 4 ainsi qu’à t = 3T 4 par la symétrie complémentaire du montage, lorsque le signal sinusoïdal d’attaque passe respectivement par les valeurs crête maximale et minimale. Au sein des chronogrammes, le signal sinusoïdal est de fréquence 1 kHz (période 1 ms). 30V

20V

(0, 13.8)

vEC3(t)

(745u, 27.4)

10V (245u, 200m) 0V 20V

(245u, 13.6)

vE(t) 0V

(1.25m, 13.3)

(1.75m, -13.3)

vS(t) (745u ,-13.6) -20V 0s

0.2ms

0.4ms

0.6ms

0.8ms

1.0ms

1.2ms

1.4ms

1.6ms

1.8ms

2.0ms

Time

La tension v EC (t ) de Q3 varie de 0.2 V ( ≥ VECsat ) à 27.4 V en valeurs extrêmes, de valeur moyenne VECo = 13.8 V et d’amplitude crête Vec = 13.6 V . Les tensions maximales d’entrée et de sortie diffèrent de 0.3 V (présence des résistances de stabilisation en température) puisque ces calculs ont été obtenus en supposant que les jonctions de composants présentaient 0.6 V malgré des courants et caractéristiques différentes. En continu, le potentiel de sortie est nul par le fait que les composants du circuit sont parfaitement complémentaires et identiques. 2.0mA

I0(t)

(245u, 1.33m)

(1.36m, 1.5m)

iD1(t)

1.0mA (245u, 170u)

iB1(t)

(1.5m, 100u)

(757u, 29n)

0A 200mA

(0, 10 m)

iC1(t)

(1.5m, 10m)

(245u, 133m)

0A

iC2(t)

(1.5m, -10m)

(745u, -133m)

-200mA 200mA (245u, 133m)

0A

iS(t)

(745u, -133m) (1.5m, 34n)

-200mA 0s

0.2ms

0.4ms

0.6ms

0.8ms

1.0ms

1.2ms

1.4ms

1.6ms

1.8ms

2.0ms

Time

Sylvain Géronimi

Page 228




Quant aux variations des courants, les courants collecteurs de Q1 ou Q2 , à l’image de leurs courants de base, correspondent à un signal monoalterné dû à la classe AB. Sur un faible temps par rapport à la période, l’angle de conduction est supérieur à π et la distorsion de croisement n’apparaît aucunement dans l’évolution de i S (t ) , les caractéristiques non linéaires de Q1 et Q2 étant identiques. L’évolution du courant dans la diode D1 est à l’inverse de l’évolution du courant de base de Q1 puisque leur somme est pratiquement constante à I 0 .

9. Calcul du rendement maximum Le calcul s’effectue pour une dynamique maximale aux bornes de la charge. La puissance utile est alors Putile max

(V =

2

s max

)

2

Rch

≅ 0.885 W (efficace).

L’alimentation + VCC fournit le faible courant parcourant les diodes D3 - D4 , le courant d’émetteur de Q3 (courants constants sur la période) et la valeur moyenne du courant monoalterné de collecteur de Q1 d’amplitude crête I s (courant variable existant uniquement sur la première demipériode), I 1 π + I s sinθ dθ = s ( θ = ωt , I s = ISmax ) = I D3D4 + I 0 + IC1moyen ≅ 44.06 mA avec IC1moyen ≅ soit ICC 2π 0 π

∫

Vu la symétrie du montage, l’alimentation − VCC fournit la même quantité de courant, soit

(

)

− + − ICC = I D5D6 + I 0 + IC2 moyen , d’où Pfournie max = VCC ICC + ICC ≅ 1.32 W ⇒ η max =

Putile max Pfournie max

≅ 0.67 .

Ce rendement parait très honorable pour cette structure. Il est à noter un point de détail dans le calcul de la valeur moyenne des courants de collecteur des transistors de sortie, effectué plus haut entre 0 et π. En effet, ce calcul sous-estime très légèrement la valeur moyenne du vrai signal d’angle de conduction supérieur à π (propre à la classe AB).

Etude du régime dynamique aux faibles signaux 10. Schéma rbe

rd ve

rd + z0

i

βi

RE1 Rch

vs

z0

11. Evaluation des caractéristiques Résistance d’entrée Re = rbe + (β + 1) RE1 + Rch ≅ 10.4 kΩ

(

rbe

Rg +

ve

i

βi

RE1 vs

Rch

vg

)

Gain en tension (β + 1)Rch v Av = s = ≅ 0.97 v e rbe + (β + 1) RE1 + Rch

(

)

Résistance de sortie vue par la charge rg + rbe Rs = + RE1 ≅ 4 Ω . β +1 (performances d’un étage collecteur commun)

Sylvain Géronimi

Page 229




Push-pull série piloté par amplificateur de tension intégré et contre-réaction L’étude porte sur l’amplificateur de puissance représenté à la figure ci-dessous. Cette étude est effectuée en régime dynamique aux faibles signaux en tenant compte des paramètres suivants : → R d = 1 MΩ , Rs = 100 Ω et fonction de transfert

U1

β = 100 , rbe = 80 Ω , rce = ∞ , Cbe , Cbc de valeurs négligeables

Q1, Q2

→

D1, D2

→ rd ≅ 0 Ω

I1, I2

Ad 1 avec Ad = 10 5 et fh = = 10 Hz 1+ τ p 2π τ

→ z0 très grand R4

9k +15V

I1 Q1

U1 D1

+

R1 2.2

V vE

R2

-

D2

Rch

2.2

vS

100

R3 1k I2

Q2

C1 10u

-15V

Compréhension du montage 1. Expliquez brièvement ce montage et préciser le type de contre-réaction et la classe de fonctionnement. 2. Dessinez le montage sous forme de schémas-blocs faisant apparaître la chaîne directe G(p) et la chaîne de retour B(p ) .

Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes 3. Caractérisez la chaîne directe ( Ze , Zs vue par la charge, Av ) et de la chaîne de retour. 4. Caractérisez le montage en boucle fermée ( Ze' , Zs' vue par la charge, A'v ) en vérifiant les conditions d’adaptation d’impédances. 5. Si un signal parasite v p de 1 Vpp s’ajoute au signal v issu de l’amplificateur U1 , exprimez la tension de sortie v s en fonction des tensions v e et v p . Interprétez ce résultat.

Sylvain Géronimi

Page 230




Etude du régime dynamique aux fréquences hautes et basses 6. Calculez la fréquence de coupure haute. 7. Dessinez le schéma équivalent aux basses fréquences et calculez la fréquence de coupure basse. 8. Tracez la réponse en fréquence du gain en tension dans le plan de Bode. 9. Déterminez les expressions des impédances d’entrée et de sortie en fonction de la fréquence et interprétez les résultats. 10. Pour un signal d’entrée en forme d’échelon, déterminez le temps de montée du signal de sortie, temps défini entre 10 et 90 %.

Corrigé

Compréhension du montage 1. Explication Le circuit est un système asservi tel que la chaîne directe se compose d’un amplificateur différentiel de tension U1 pilotant un étage push-pull série et la chaîne de retour d’un atténuateur résistif. La configuration étant série/parallèle, le circuit subit une contre-réaction tension/tension. - L’étage push-pull, suiveur de tension, présente une translation de tension entre les bases des transistors Q1 et Q2 , produite par deux diodes D1 et D2 montées en série. Cette translation définit un fonctionnement en classe B/AB. Les sources de courant doivent, potentiellement, fournir les courants de polarisation des diodes et les courants de base permettant d’atteindre le niveau de saturation de la tension de sortie. Les résistances R1 et R2 améliore le comportement thermique de l’étage de puissance (stabilisation par résistance d’émetteur). - Le circuit de retour fixe le gain en tension de l’ensemble contre-réactionné car la chaîne directe possède un fort gain en tension par le biais de l’amplificateur U1 . -

La contre-réaction est totale en régime continu. En effet, le condensateur C1 étant assimilé à un circuit ouvert et l’entrée du montage étant connectée à la masse, l’asservissement maintient le potentiel continu de sortie à 0 V. En régime dynamique, la contre-réaction est partielle, fixée par le pont résistif car le condensateur est assimilé à un court-circuit dans le domaine des fréquences de travail.

2. Schéma

G(p)

+

étage suiveur

U1

vd ve

Rch

vs

R4

R3 vr

C1

B(p)

Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes

Sylvain Géronimi

Page 231




L’adaptation sur la charge étant supposée réalisée (ici condition de circuit ouvert en sortie ou encore Rch → ∞ ), nous caractérisons chaque bloc de façon indépendante, puis le montage contre-réactionné en validant les conditions d’adaptation des blocs (voir cours « La contre-réaction »).

3. Caractérisation des chaînes directe et de retour

(+) rbe

Rs + vd Rd

Ad vd

i

βi

R1

z0 / 2

vs

Rch

(-)

Pour la chaîne directe, l’entrée (-) de l’amplificateur différentiel de tension U1 est à la masse, les deux sources de courant sont en parallèle ( z0 2 >> Rs ) et Rch → ∞ . A d (β + 1)Rch ⎧⎪ A d v d ≅ (Rs + rbe )i + (β + 1)(R1 + Rch )i v ⇒ Av = s ≅ ≅ A d = 10 5 ⎨ v d Rs + rbe + (β + 1)(R1 + Rch ) ⎪⎩v s = (β + 1)Rch i Le calcul de la résistance de sortie du dipôle se fait en éteignant la tension d’entrée ( v d = 0 ) ⎧i 0 + (β + 1)i = 0 v R +r ⇒ Z s = 0 ≅ R1 + s be ≅ 4 Ω et Z e = Rd = 1 MΩ ⎨ ( ) ( ) β 1 v ≅ − R + r i − + R i i β +1 s be 1 0 ⎩ 0

La chaîne de retour est un quadripôle résistif supposé attaqué en tension v s , non chargé, et de tension de sortie v r , le condensateur C1 étant assimilé à un court-circuit, soit

R3 vr = =λ. v s R3 + R 4

4. Caractérisation du montage en boucle fermée La théorie de la contre-réaction réclame la connaissance du facteur 1 + G( p ) B( p ) , soit, aux fréquences moyennes, 1 + Ad λ ≅ 10 4 avec G ≡ A v ≅ A d et B ≡ λ . Le gain est alors A 'v = Ad (1 + Ad λ ) ≅ 10 , la résistance d’entrée est Z e' = Z e (1 + Ad λ ) ≅ 1010 Ω (topologie série) et la résistance de sortie Z 's = Z s (1 + Ad λ ) ≅ 0.4 mΩ (topologie parallèle).

+ ve

Zs

Ze

vd

Rch

vs

Av vd

R4

vr

+

⇒

ve

Z’s

Z’e

Rch

vs

A’v ve

R3

Le quadripôle de retour est attaqué tel que Z s << R3 + R 4 et Z e >> R3 // (R 4 + Z s ) ne charge pas la sortie ( Z s << Rch ). Les conditions d’adaptation en tension sont donc satisfaites.

Sylvain Géronimi

Page 232




Rch A 'v v e ≅ A 'v v e puisque Z 's << Rch , ce qui Rch + Z s' correspond bien à une attaque en tension de la charge (condition de circuit ouvert en sortie).

La tension de sortie en charge est alors v s =

5. Influence d’un signal parasite Le signal parasite v p s’ajoute au signal v issu de l’amplificateur U1 . vp ve

+

v

Ad

+

vs

+1

-

λ

vp ⎧⎪v s = v p + v Ad v 1 + e ⇒ vs = vp + v e , mais Ad λ >> 1 ⇒ v s ≅ ⎨ Ad λ λ 1 + Ad λ 1 + Ad λ ⎪⎩v = Ad (v e − λ v s ) En sortie, la composante issue de la perturbation est divisée par le gain Ad de l’amplificateur différentiel par rapport à la composante du signal d’entrée. Pour v p = 1 Vpp , 100 µV viennent s’ajouter au transfert de tension.

Etude du régime dynamique aux fréquences hautes et basses 6. Calcul de la fréquence de coupure haute Le système en boucle fermée s’écrit H ( jω ) =

qui donne H ( jω ) =

Ad 1 + Ad λ

1

ω 1+ j ω h'

G( jω ) avec G( jω ) = 1 + G( jω ) B( jω )

Ad

ω 1+ j ωh

et B = λ , ce

avec ωh' = (1 + Ad λ )ωh (voir cours « La contre-réaction »).

La contre-réaction augmente la fréquence de coupure haute fh' ≅ 100 kHz ( fh = 10 Hz ).

7. Calcul de la fréquence de coupure basse Zs

(+) ve = 0

+ Ze

vd

Rch

vs

Av vd (-) R4

R3

C1

Sylvain Géronimi

Page 233




Le système est du premier ordre puisque le circuit comporte un seul condensateur. Le pôle de la fonction de transfert est trouvé à partir de la constante de temps C1 Req , avec Req résistance équivalente du dipôle vue aux bornes du condensateur. Pour ce calcul, remarquons que la branche composée de la source liée et de la résistance R 4 possède la tension v d à ses bornes après avoir constaté que Z s << Rch (Thévenin). R3

i0

v d ≅ − Av v d + R 4 i

i Ze

vd

v0

⇒

R4 +

d’où Req =

Av vd

La fréquence de coupure basse est fb ≅

vd R4 ≅ i 1 + Av

v0 R4 ≅ R3 + Z e // ≅ R3 . i0 1 + Av

1 ≅ 15.9 Hz , valeur très acceptable puisque le 2π R3 C1

gain en tension de la chaîne directe, fonction de la fréquence, n’a pratiquement pas varié ( ≅ 10 5 ). La fonction de transfert en tension peut s’annuler par la présence du même condensateur. En effet, si la tension de sortie v s est nulle, C1 voit à ses bornes les résistances R3 et R 4 // Z e en série et la valeur de la fréquence de coupure relative au zéro est fz ≅

La fonction de transfert est de la forme H (p ) =

Pour ω → ∞ ⇒ H ( jω ) ≅

1+ 1+

p

ωz p

ωc

=

1 ≅ 1.59 Hz . 2π (R3 + R 4 )C1

1 + (R3 + R 4 )C1 p ( p = jω ). 1 + R3 C1 p

R3 + R 4 = 10 ( 20 dB ) R3

Pour ω → 0 ⇒ H ( jω ) ≅ 1 ( 0 dB )

8. Tracé du gain en tension 30

contre-réaction dynamique

(15.849, 17.015) 20

(104.713K, 17.012)

pôle

10

pôle

(1.6046, 3.0025) pente 20 dB/décade

zéro

contre-réaction statique


0

gain unité

-10 100mHz 10mHz DB(V(S))

1.0Hz

10Hz

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

1.0MHz

Frequency

Sylvain Géronimi

Page 234




9. Expressions et tracés des impédances En négligeant l’effet dû au condensateur C1 (effet aux basses fréquences), ⎛ Ad λ Z e' ( jω ) = Z e ⎜⎜1 + ⎝ 1 + jωτ

⎞ ⎟⎟ = Z e (1 + Ad λ ) ⎠

1 + jω

τ

1 + Ad λ = Z e' 1 + jω τ

ω ωh' ω 1+ j ωh

1+ j

ω → 0, Ze' ≅ 1010 Ω (200 dB, boucle fermée), ω → ∞, Z e' ≅ 10 6 Ω (120 dB, boucle ouverte) ω

1+ j Zs Zs ωh 1 + jω τ ' ' Z s (p ) = = ≅ Zs τ ω Ad λ 1 + Ad λ 1 + jω 1+ j ' 1+ 1 + Ad λ 1 + jωτ ωh

ω → 0, Z s' ≅ 0.4 mΩ (- 68 dB, boucle fermée), ω → ∞, Z e' ≅ 4 Ω (12 dB, boucle ouverte) Les pôles et zéros sont positionnés aux valeurs 10 Hz et 100 kHz. Ces résultats indiquent que les impédances évoluent rapidement à partir de la fréquence de coupure de la chaîne directe.

10. Evaluation du temps de montée La réponse d’un système du premier ordre à un échelon de tension d’amplitude V s’écrit t ⎛ − ⎞ v S (t ) = V ⎜1 − e τ ⎟ avec τ constante de temps du système aux faibles signaux. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 10 ⎧ ⎪v S (t1 ) = 0.1 V → t1 = τ Ln ⇒ t r = t 2 − t1 = τ Ln 9 9 ⎨ ⎪v (t ) = 0.9 V → t = τ Ln 10 2 ⎩ S 2 soit t r ≅ 2.2 τ ou t r ≅

2 .2

ωh

ou encore t r ≅

0.35 ( fh fréquence de coupure haute). fh

Ici, le passe-bas du premier ordre présente une fréquence de coupure haute fh' ≅ 100 kHz et le temps de montée s’écrit t r' ≅

0.35 fh'

=

t 0.35 ≅ r et s’évalue à 3.5 µs ( t r temps de montée (1 + λ Ad )fh λ Ad

de la chaîne directe). Ainsi, en réponse à un échelon de tension en entrée, le temps de montée est amélioré par la contre-réaction d’autant mieux que λ est grand ou encore le gain en boucle fermée A 'v ≅ 1 λ est faible.

Sylvain Géronimi

Page 235




Etage de puissance push-pull série en pont L’étude porte sur l’étage amplificateur de puissance ponté en pont dont le schéma de principe est représenté à la figure ci-dessous. Les transistors de sortie ( Q1 , Q2 , Q5 , Q6 ) possèdent un gain β de 50 et les précédents ( Q3 , Q4 , Q7 , Q8 ) un gain β’ de 100. Les sources de courant I 0 sont constituées par des miroirs élémentaires dont les transistors ont un gain en courant très élevé devant l’unité. Dans chacune de ces trois catégories, les transistors sont supposés technologiquement parfaitement identiques ou complémentaires. Les amplificateurs de tension ( U1 , U 2 ) sont supposés idéaux et les diodes identiques. La valeur de la tension aux bornes d’une diode ou d’une jonction base-émetteur de transistor sera de l’ordre de 0.6 V, quelque soit le courant qui traverse le composant (même si ce courant est relativement faible). Les courants traversant les résistances de 100 Ω seront négligés dans les calculs. L’alimentation fournit une tension VCC = 12 V et la charge Rch est de valeur 4 Ω.

+ 12 V

I0 10k

Q3

100 + 1µ vF(t)

100k

100 vE(t)

200k 10k

0.33

0.33

vS(t)

100 -

Rch

Q2 Q4

Q5

0.33

vA(t)

-

100k

Q7 Q1

U1

100k

I0

vB(t)

0.33

U2 +

100

Q6 Q8

10µ I0

I0


Etude du régime continu 2. Dessinez le schéma et indiquez les potentiels de nœuds en considérant la polarisation des étages de puissance en classe B.

Sylvain Géronimi

Page 236




Etude du régime pseudo-continu Une tension sinusoïdale v E (t ) est appliquée en entrée. Sa valeur crête est réglée de façon à obtenir une dynamique de sortie maximale correspondant à la limite de l’écrêtage. Dans cette situation, le courant minimum de polarisation des diodes est pris à la valeur d’environ 600 µA et les transistors des sources I 0 sont au voisinage de la saturation ( VCEsat ≅ 0.2 V ). 3. Dessinez le schéma. 4. Calculez les valeurs crête des signaux v S (t ) , v A (t ) , v B (t ) , v E (t ) et tracez les chronogrammes. 5. Evaluez le rendement maximum du montage.

Etude du régime dynamique aux fréquences moyennes Chaque étage de puissance possède un gain en tension voisin de l’unité, une résistance d’entrée importante devant la résistance de sortie de l’amplificateur intégré et une résistance de sortie faible devant la charge. 6. Dessinez le schéma. 7. Evaluez le transfert en tension Av = v s v e du montage.

Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le condensateur de liaison (1 µF) isole l’entrée du continu et le condensateur de découplage (10 µF) permet la connexion de l’entrée non inverseuse de U1 à la masse dans le domaine des fréquences de travail (découplage du pont 10 kΩ/10 kΩ). Ainsi U1 est monté en amplificateur inverseur et U 2 en amplificateur non inverseur. Ces amplificateurs pilotent chacun un étage suiveur push-pull série à Darlington simples dont les sorties sont connectées à la charge. L’ensemble constitue un montage de puissance monté en pont (structure en H) alimenté par une tension unique de 12 V. Le diviseur de tension 10 kΩ/10 kΩ impose un point de repos des amplificateurs de tension et de puissance à la moitié de la tension d’alimentation de manière à profiter du maximum d’excursion de la tension de sortie sur la charge. Quatre diodes compensent les seuils de conduction des jonctions des transistors et définissent une classe B/AB. Les résistances de 0.33 Ω, valeur faible devant celle de la charge, servent à la stabilité en température des transistors de sortie. Les résistances de 100 Ω améliorent également cette stabilité par dérivation du courant de fuite des Darlington. Les sources de courant I 0 fourniront le courant de polarisation des diodes et le courant maximum de base des Darlington nécessaire à l’obtention de la dynamique maximale en sortie.

Etude du régime continu 2. Schéma avec valeurs des potentiels de noeuds Les amplificateurs de tension étant supposés parfaits, aucun courant ne circule dans la résistance de 100 kΩ connectée à la borne non inverseuse de U 2 . De ce fait, les potentiels d’entrée des deux amplificateurs sont au même niveau. Aucun courant ne circule dans la résistance de 100 kΩ connectée à la borne non inverseuse de U1 puisque la différence de potentiels aux bornes de celle-ci est nulle. Ainsi, il n’y a pas de courant traversant les résistances de retour de U1 (200 kΩ)

Sylvain Géronimi

Page 237




et U 2 (100 kΩ). Le pont de résistances de 10 kΩ fixe les potentiels d’entrée des amplificateurs de tension à la moitié de la tension d’alimentation, soit 6 V. Les potentiels VA et VB étant aussi à 6 V, VS = 0 . Les diodes et les jonctions en direct des transistors produisent une translation de tension de 0.6 V.

0

+ 12 V

I0 7.2 V

10k

Q3

U1

100k -

0.33 200k

0

0

6V

6V

0V

6V

U2 +

0.33

Q2

Q6

Q4

4.8 V

100k

0.33 Rch

6V

0

10k

Q5

0.33

+ 6V

7.2 V

Q7 Q1

6V

100k

I0

Q8

4.8 V

I0

I0

Etude du régime pseudo-continu Considérons la demi période pendant laquelle les transistors

Q1 , Q3 , Q6 , Q8

conduisent,

Q2 , Q5 , Q4 , Q7 étant à l’état bloqué. Le schéma est alors le suivant.

3. Schéma + 12 V

I0

I0 Q3

11.8 V ID min

100k

IB max

Q1 10.6 V

100k

VS 6V

U1

100k VF

0.33

+ 10.6 V

2.05 V

9.95 V VA

-

Rch IS max

6V

-

VB U2

1.4 V

0.33

+

VF

1.4 V 200k ID min

Q6 Q8

I0

Sylvain Géronimi

0.2 V IB max I0

Page 238




4. Calcul des valeurs crête maximales des tensions et tracés Les transistors des miroirs de courant sont au voisinage de la saturation et délivreront un courant I 0 constant (effet Early négligé) tant que leur tension VCE > VCEsat .

VCC = VEC sat ( PNP ) + VBE3 + VBE1 + (2 RE + Rch )ISmax + VEB6 + VEB8 + VCE sat ( NPN ) ⇒ ISmax ≅ 1.974 A . VSmax = Rch ISmax ≅ 7.9 V valeur maximale autour de la tension au repos 0 V, soit Vs ≅ 7.9 Vcrête . VAmax = VCC − VEC sat ( PNP ) − VBE3 − VBE1 + RE ISmax ≅ 9.95 V ,

VBmax = VCE sat ( NPN ) + VEB6 − VEB8 + RE ISmax ≅ 2.05 V écarts maximaux par rapport à la tension au repos 6 V, soit Va = Vb ≅ 3.95 Vcrête . Les courants circulant dans les branches de contre-réaction des amplificateurs de tension sont de valeurs négligeables devant celui traversant la charge, mais importants comparés aux courants d’entrée de ces amplificateurs (supposés nuls). 2 1 Pour U1 , V + = V − = VF + VA = 6 V ⇒ VF = 4.025 V 3 3 1 Pour U 2 , VF = V − = (VB + 6 ) = 4.025 V 2 écart maximum par rapport à la tension au repos 6 V, soit Vf = 1.975 Vcrête .

La présence du condensateur de liaison en entrée translate ce signal autour de 0 V (isolation du continu), soit VEmax = VF − 6 = − 1.975 V . Ve ≅ 1.975 Vcrête est donc la valeur de l’amplitude de la tension sinusoïdale d’entrée à ne pas dépasser avant écrêtage du signal de sortie. Ce montage en pont présente un transfert en tension VSmax VEmax = − 4 , ce qui quadruple la puissance en sortie par rapport au montage traditionnel. 10V (250u, 9.95) (750u, 9.95) (1m, 6.0)

(250u, 7.975)

5V

(750u, 4.025)

vA (t)

vF (t)

vB (t)

(250u, 2.05) 0V 10V

vS (t)

(250u, 1.975)

vE (t)

(750u, 7.9) 0V (250u, - 7.9) (750u, - 1.975) -10V 0s

0.2ms

0.4ms

0.6ms

0.8ms

1.0ms

1.2ms

1.4ms

1.6ms

Time

Au sein des chronogrammes, le signal sinusoïdal est de fréquence 1 kHz (période 1 ms).

Sylvain Géronimi

Page 239




5. Calcul du rendement maximum

Puissance maximale en sortie

Putilemax

(V =

2

s

)

2

Rch

≅ 7.8 W avec Vs amplitude crête maximale.

Puissance fournie par l’alimentation sur une période L’alimentation fournit les courants de polarisation des miroirs du haut du schéma (chacun des transistors d’un miroir consomme un courant constant I 0 ), ainsi que les courants de collecteur de Q1 , Q3 , Q5 et Q7 , de forme sinusoïdale mono alternée dont les valeurs moyennes s’écrivent IC1 moy = IC5 moy ≅

Is

π

≅ 628 mA et IC3 moy = IC7 moy ≅

Is

πβ

≅ 12.6 mA ( I s amplitude crête maximale),

d’où ICC = 2 I 0 ( miroir ) + 2 I 0 ( miroir ) + IC1 moy + IC3 moy + IC5 moy + IC7 moy . Le courant constant I 0 doit être supérieur au courant de base maximum de Q3 de façon à polariser les diodes dans ce cas extrême. Pour cela, l’hypothèse propose I Dmin ≅ 0.6 mA et donc I0 = IDmin + I B3 max ≅ 1 mA avec I B3 max ≅ 0.4 mA . Pfourniemax = ICC VCC ≅ 15.42 W , ηmax ≅ 0.506 .

Ce calcul correspond au rendement de l’étage terminal. Le montage proposé montre une consommation supplémentaire de courants due au pont de polarisation générale 10 kΩ/10 kΩ (0.6 mA) et aux amplificateurs de tension. La consommation est essentiellement définie par le courant moyen des transistors de puissance Q1 , Q2 , Q5 , Q6 .

Régime dynamique aux faibles signaux 6. Schéma + va U1

+1

100k ve

Rch

+ vb

U2

+1

ve -

vs 100k

200k

100k

7. Evaluation du gain en tension Les adaptations en tension étant réalisées, les tensions à vide ( Rch = ∞ ), en sortie des montages inverseur et non inverseur, sont respectivement v a ≅ − 2 v e et v b ≅ 2 v e . Les contre-réactions tension/courant et tension/tension produisent une très faible résistance de sortie (topologies parallèles), ce qui permet d’écrire v s = v a − v b ≅ − 4 v e . Ce résultat est évidemment identique à celui trouvé dans l’étude du régime pseudo-continu.

Sylvain Géronimi

Page 240




Amplificateur de tension (inspiré du LM741 de National Semiconductor) On considère le circuit intégré de la figure ci-dessous. Le but est de caractériser l’amplificateur de tension, puis d’évaluer le produit gain bande passante au sein d’une étude aux faibles signaux. Tous les transistors de type NPN sont supposés identiques ( β = 250 , VANPN = 100V ). Pour les transistors de type PNP, Q3 , Q4 identiques ( β ' = 5 , VAPNP très grand), Q10 , Q11, Q15 identiques ( β = 250 , VAPNP = 50V ). L’alimentation symétrique du montage est telle que VCC = 15 V

et la

résistance de charge se situe hors puce. +VCC Q1

Q2 Q11

v1

Q10

v2

Q14 R4

Q3

Q4

R1 57.6k

C

4.5k

30p

Q7

Q9

R5 Rch

7.5k Q6

Q13

Q8

Q12

vS

Q15

Q5 R3

R2 9.78k

20k

-VCC

Compréhension du schéma 1. Donnez une description précise du circuit. Etude du régime continu 2. Déterminez les courants de collecteur de Q10 et Q13 . 3. Evaluez la tension entre les bases de Q14 et Q15 , puis concluez sur la classe de fonctionnement du dernier étage. 4. Dessinez le montage dans son régime. 5. Calculez les courants de collecteur de Q1, Q2 ,Q3 , Q4 , Q5 , Q6 , Q7 , Q8 et Q9 . Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 6. Evaluez les paramètres rbe et rce des modèles des transistors. 7. Evaluez les résistances dynamiques présentées par les étages de polarisation Q10 - Q11 - R1 - Q12 Q13 - R2 ( z10 , z13 ), par l’ensemble Q9 - R4 - R5 entre bases de Q14 - Q15 ( z9 ), ainsi que les éléments de la caractérisation de l’ensemble Q5 - Q6 ( ze , zs , Ai ). 8. Dessinez le montage dans son régime. 9. Caractérisez le montage en régime purement différentiel ( Ad , Zd , Zs ). 10. Caractérisez le montage en régime de mode commun ( Ac , Zc ). 11. Déduisez le taux de réjection de mode commun. 12. Caractérisez l’étage de gain en tension Q7 - Q8 ( A v , Z e' , Z s' ).

Sylvain Géronimi

Page 241

Circuits intégrés



Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences hautes) 13. Calculez la fréquence de coupure haute du montage, les transistors étant sous leur schéma aux fréquences moyennes. Justifiez ce résultat, puis évaluez le produit gain bande du circuit. Etude du régime pseudo-continu 14. Ecrivez les expressions des transferts IC3 (VD ) , IC4 (VD ) et I (VD ) de l’étage différentiel avec I courant de court-circuit en sortie de l’étage. Tracez ces fonctions. 15. Démontrez qu’en considérant la zone linéaire des transferts, on retrouve l’expression du transfert en tension à vide de l’étage différentiel obtenu lors de l’étude en régime dynamique aux faibles signaux. Ecrivez l’expression de la conductance de transfert i (v d ) .

Sylvain Géronimi

Page 242

Circuits intégrés



Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le schéma se compose d’un circuit de polarisation, d’un amplificateur différentiel, d’un étage de gain en tension et d’un étage de sortie push-pull. - Le circuit de polarisation est composé d’une source de Widlar Q12 - Q13 - R2 et d’un miroir de courant élémentaire Q10 - Q11 polarisant respectivement l’étage différentiel par le point commun des bases de Q3 - Q4 et l’émetteur commun Q8 . Les courants de ces sources sont réglés par la résistance R1 . -

-

-

-

-

L’étage différentiel est un amplificateur cascode, permettant d’obtenir une bande passante plus élevée que le montage traditionnel à comportement émetteur commun. Les collecteurs communs Q1 et Q2 sont suivis de bases communes Q3 et Q4 dont la charge dynamique du point commun des bases est la source de Widlar et la charge dynamique des collecteurs est un miroir de courant Q5 - Q6 . Le choix de la source de Widlar est, d’une part, de polariser l’étage d’entrée à très faible courant (effet lentille au lieu d’un effet miroir) et, d’autre part, de présenter une charge dynamique très importante en vue de minimiser au mieux l’amplification de mode commun. La présence du miroir permet de doubler le courant dynamique traversant la résistance interne de cette source, donc de doubler la valeur du gain différentiel en tension (condition à vide). Il est à remarquer que la sortie de l’étage est alors asymétrique. L’étage de gain en tension, nécessaire pour obtenir un gain global de quelques centaines de mille, est composé d’un collecteur commun Q7 suivi par un émetteur commun Q8 dont la forte charge dynamique est le miroir de courant Q10 - Q11 . Le rôle du collecteur commun est d’améliorer le transfert en tension entre l’étage différentiel de forte résistance de sortie (amplificateur à conductance de transfert) et l’étage émetteur commun de relativement faible résistance d’entrée. L’étage de sortie est un étage push-pull série à émetteur suiveur complémentaire, car Q14 et Q15 sont des transistors de type opposé et montés en collecteur commun. Le rôle de cet étage en régime dynamique est d’abaisser la résistance dynamique en sortie du circuit afin de satisfaire l’adaptation en tension vis-à-vis de la charge, tout en produisant un courant notoire dans cette dernière. De plus, cette structure permet une dynamique maximale en sortie par rapport aux tensions d’alimentation. En régime continu, le point commun de sortie des émetteurs doit être au potentiel 0 V en absence de dynamique, ainsi pas de courant traversant la charge, donc décalage de tension nul (réalisable par une contre-réaction totale tension-tension statique). La structure Q9 - R4 - R5 est un multiplicateur de VBE polarisé par le courant du miroir Q10 - Q11 . Son rôle consiste à produire une translation de tension continue entre les bases de Q14 et Q15 dont la valeur définit la classe de fonctionnement de l’étage push-pull (A, AB, B). Pour ce type de circuit intégré, la classe B est recommandée afin de dissiper un minimum d’énergie au repos d’une part, et d’autre part, de minimiser la distorsion de croisement que produirait l’étage de sortie sans cette translation. La distorsion restante sera fortement réduite par l’effet de contreréaction dû à la présence d’éléments extérieurs au circuit. La capacité intégrée C est une capacité de compensation par effet Miller sur l’étage de gain, requise pour rétrécir la bande passante de l’amplificateur afin que ce dernier soit inconditionnellement stable. De ce fait, les applications de ce circuit intégré appartiennent au domaine de l’amplification linéaire basses fréquences, donc non utilisable en fonctionnement en commutation par manque de rapidité dû au phénomène de triangulation (slew rate).

Sylvain Géronimi

Page 243

Circuits intégrés



Etude du régime continu 2. Courants issus des sources +VCC

VEB11 Q11

Q10

R1

IC10 Ipol

IC13 Q13 R2

I pol

Courant de 2VCC − VEB11 − VBE12 o o = ≅ 500 µA R1 Miroir de courant IC10 ≅ I pol ≅ 500 µA o

⎞ ⎛ I R2 pol ⎟ IC13 ≅ Ln ⎜⎜ o UT ⎜ IC13 ⎟⎟ o ⎠ ⎝ (équation transcendante)

Source de Widlar

Q12 VBE12

-VCC

référence

d’où IC13 ≅ 10 µA o

3. Multiplicateur de VBE ⎛ R ⎞ VCE9 = VBE 9 ⎜⎜1 + 4 ⎟⎟ ≅ 0.96 V R5 ⎠ ⎝ La valeur numérique trouvée permet de préciser la classe du push-pull série, ici classe B. En effet, cette tension compense les seuils de conduction des deux jonctions base-émetteur des transistors Q14 et Q15 (deux fois 0.5 V) et les valeurs de leurs courants de base ne sont pas significatifs (absence de l’étage push-pull au sein du schéma en régime continu).

4. Schéma

Q1

Q2 IC10o 500 µA

30 µA

30 µA

Q3

Q4

25 µA

25 µA

32 µA VCE9 128 nA

Q7

Q5

Q6

IC13o 10 µA

15 V

0A translateur de tension

0.96 V

2 µA

miroir

Q8

0A

source de 30 µA Widlar

15 V

R3 20k

Les sources dynamiques sont éteintes ( v 1 = v 2 = 0 ). Les étages de polarisation sont remplacés par leur équivalent statique, à savoir des sources de courant ( IC10 , IC13 ) et de tension VCE9 . Les o

o

o

deux alimentations continues VCC sont évidemment présentes. Attention, le miroir de courant Q5 Q6 , représenté sous sa forme originelle, reconduit le courant issu du collecteur de Q3 à sa sortie,

Sylvain Géronimi

Page 244

Circuits intégrés



mais n’est pas, pour autant, un étage de polarisation. L’étude du pseudo-continu permettra de mieux saisir son rôle. 5. Calcul des courants collecteurs Pour l’étage différentiel ⎧VBE1 − VBE 2 = VEB4 − VEB3 ⎪ ⎪I E = I E3 équations du circuit ⎨ 1 ⎪I E2 = I E 4 ⎪I ⎩ C13 = I B3 + I B4

+VCC Q1

Q2

VEB3 VEB4 VBE1

VBE2

Q3

⎧ ⎪Q ≡ Q 2 ⎪ 1 ⎪ équations technologiques ⎨ ⎪ ⎪Q3 ≡ Q4 ⎪⎩

Q4

IC13

⇒

I E1 I E2

=

IE4 I E3

⇒ I E1 = I E 2 et I E3 = I E 4 , d’où IC3 = IC4 = o

Pour l’étage de gain

o

o

o

o

o

IC8 = IC10 ≅ 500 µA et I E7 = o

o

o

Pour le multiplicateur de VBE , IC10 = IC9 + I B9 + o

o

o

VBE9

o

R5

VBE8

o

R3

β' 2

I E1

→

IE2 I E3

→

IE4

VBE1 −VBE2

≅e

UT VEB3 −VEB4

≅e

UT

IC13 = 25 µA , IC1 = IC2 ≅ 30 µA o

o

o

+ I B8 ≅ IC7 ≅ 32 µA o

⇒ IC 9 = o

o

β ⎛⎜

β + 1⎜ ⎝

IC10 − o

VBE9 ⎞ o ⎟ ≅ 418 µA R5 ⎟ ⎠

Pour la charge de l’étage différentiel : équations technologiques Q5 ≡ Q6 ⇒ IC5 ≅ IC6 car VBE5 = VBE6 en négligeant l’effet Early. ⎧⎪IC3 = I B5 + I B6 + IC5 équations des nœuds ⎨ ⎪⎩IC4 = I B7 + IC6 I B5 + I B6 << IC5 et I B7 << IC6 ⇒ IC5 = IC6 ≅ IC4 = 25 µA o

o

o

Un équilibrage de l’étage peut être nécessaire car I B5 + I B6 ≠ I B7 (voir la structure du 741). o

o

o

Etude du régime dynamique (faibles signaux) 6. Paramètres des modèles rbe =


d’où rbe1,2 ≅ 209 kΩ , rce1,2 ≅ 3.34 MΩ , rbe3,4 ≅ 5 kΩ , rce3,4 ≅ ∞ ,

rbe5,6 ≅ 250 kΩ , rce5,6 ≅ 4 MΩ , rbe7 ≅ 196 kΩ , rce7 ≅ 3.14 MΩ , rbe8 ≅ 12.5 kΩ , rce8 ≅ 200 kΩ , rbe9 ≅ 15 kΩ , rce9 ≅ 239 kΩ , rce10 ≅ 100 kΩ , rbe13 ≅ 625 kΩ , rce13 ≅ 10 MΩ

Sylvain Géronimi

Page 245

Circuits intégrés



7. Eléments dynamiques demandés Les étages de polarisation sont équivalents à des charges dynamiques ⎛ β R2 ⎞⎟ z10 = rce10 = 100 kΩ (miroir élémentaire), z13 ≅ rce13 ⎜1 + ≅ 48.5 MΩ (Widlar) ⎜ R2 + rbe ⎟ 13 ⎠ ⎝ Le miroir de courant, chargeant l’étage différentiel, est équivalent à un quadripôle de transfert en courant dont les paramètres valent rbe5 β ≅ 992 Ω , zs = rce6 = 4 MΩ , Ai = ≅ 0.992 ze = β +2 β +2 Le translateur de tension est équivalent à une résistance z9 de valeur négligeable devant la charge z10 mise en série au niveau du collecteur de Q8 . z9 ≅

R 4 + R5 // rbe9 1 + g m9 (R5 // rbe9 )

≅ 112 Ω

8. Schéma en régime dynamique

Q1

Q2 z10

v1

miroir

v2 Q3

Q4

Q14

z9

C Q7

ic3

translateur de tension Rch Q8

ze

zs Ai ic3

z13

source de Widlar

Q15

vs

R3

Les résistances dynamiques des sources d’alimentations sont négligeables (voir cours « Les régulateurs de tension »). La résistance dynamique produite par le translateur de tension continu est négligeable devant la charge équivalente du miroir mise en série z9 << z10 et les potentiels des bases de Q14 , Q15 sont quasiment identiques. Le miroir de courant Q5 - Q6 sera représenté par un quadripôle de transfert en courant, puisque le courant dynamique issu du collecteur de Q3 est reconduit en sortie à la précision du miroir. Le condensateur C aura un rôle à jouer uniquement lors de l’étude aux fréquences hautes.

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) L’étude met en oeuvre deux étapes, à savoir le calcul du transfert en tension à vide et la résistance de sortie du circuit, puis le calcul de la résistance d’entrée du circuit comprenant cinq étages par l’application du théorème de Thévenin (voir annexe « Méthode de travail pour la caractérisation d’un circuit complexe »).

Sylvain Géronimi

Page 246

Circuits intégrés



RG

Zs5

Zs2

Zs1 Ze1

vs

Ze5

Ze2

Rch

vg vs2=A2 vs1

vs1= A1 vg

vs5=A5 vs4

L’étage différentiel étant de structure relativement complexe, la méthode du demi-schéma est utilisée (voir annexe « Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel »). Le circuit étant linéaire, deux régimes sont étudiés séparément par application du théorème de superposition en effectuant deux étapes :

c l’étude du régime différentiel issu d’une attaque symétrique ( ± v d 2 ), les sources de mode commun étant éteintes ( v c = 0 ), permettant de caractériser les performances Ad , Zd , Zs , d l’étude du régime de mode commun issu d’une attaque parallèle ( +v c ), les sources différentielles étant éteintes ( v d = 0 ), permettant de caractériser les performances Ac , Zc .

ib1

ib2 Q1

+

Q2

+ - vd /2

vd /2 +

+ vc

vc Q3

Q4

v v1 − v 2 v1 + v 2 + = − d + vc 2 2 2

ic4

Ai ic3 ze

v1 − v 2 v1 + v 2 v d + = + vc 2 2 2

v2 = −

ib3+ib4 ic3

v1 =

zs

vs2

z13

Les transistors Q1 , Q2 d’une part et Q3 , Q4 d’autre part, étant supposés technologiquement identiques, les courants d’entrées se retrouvent, à une même proportionnalité près, sommés dans la résistance commune de base z13 . Si les courants sont issus d’une attaque en tension symétrique ( i b1 = −i b2 ), il ne passe aucun courant dans z13 et les bases de Q3 et Q4 sont à la masse. Si les courants sont issus d’une attaque en tension parallèle ( i b1 = i b2 ), le courant dans z13 est égal à 2 i b , en posant i b3 = i b4 = i b , et la résistance vue par le courant de base de Q3 ou

Q4 est 2 z13 . Pour chacune des études, le choix du demi-schéma de droite s’impose, puisqu’il propose la sortie vers l’étage de gain.

Sylvain Géronimi

Page 247

Circuits intégrés



Q1

+

Q2

Q1

+ vd /2

vd /2

Q2

+ vc

vc

+

Q3

Q3

Q4

Q4 2 z13

ic3

2 z13

ic3

ic4

ic3 = - ic4

ic4

ic3 = ic4 ze

zs

ze

v’s2

zs

Ai ic3

v’’s2

Ai ic3

9. Caractérisation en régime différentiel Première étape : calcul du gain en tension et de la résistance de sortie du circuit, l’attaque étant une source de tension −v d / 2 . Etage collecteur commun Q2 i2 rbe2 β i2

- vd /2

A1' =

v s' 1 − vd 2

=

rce2 (β + 1)

rbe2 + rce2 (β + 1) i0

i2 rbe2

i1 β i2

rce2

v0

rce2

Z s' 1

v's1

≅1

⎧i + (β + 1)i = i 2 1 ⎪⎪ 0 rbe2 rbe2 v r i ⇒ Z s' 1 = rce2 // ≅ ≅ 833 Ω = − ⎨ 0 be2 2 β +1 β +1 ⎪ ⎩⎪v 0 = rce2 i1

Etage base commune Q4 β' i4

Z's1

iC4

i4

zs rbe4

Ai ic3

v's2

Z s' 2

v's1

Sylvain Géronimi

Page 248

Circuits intégrés



[

]

⎧v s' = − rbe + (β '+1)Z s' i 4 ⎪ 1 4 1 ⎨ ' ⎪⎩v s2 = zs i c 4 − Ai i c3 avec i c 4 = − i c3 = − β ' i 4

(

A2' =

v s' 2 v s' 1

=

)

2 β ' zs 2 β ' zs β +1 ≅ ≅ 3985 , Z s' 2 = zs = 4 MΩ ' + (β '+1)Z s1 β + 2 rbe4 + (β '+1)Z s' 1

rbe4

Pour évaluer Z s' 2 , les deux sources de tensions indépendantes à l’intérieur du dipôle sont éteintes

( ± v d / 2 ). Pour le demi-schéma de droite représenté ici, la source v s' 1 = A1' (− v d 2) étant égale à

zéro, le courant i 4 est inexistant et i c 4 = 0 . Un même raisonnement sur le demi-schéma de gauche conduit à i c3 = 0 . Les sources liées β ' i 4 et Ai i c3 ne débitant aucun courant, le courant i 0 , produit par la source de tension v 0 appliquée à l’entrée du dipôle, traverse intégralement la résistance zs .

Pour l’étage de gain en tension, l’attaque est produite par l’équivalent de Thévenin de l’étage différentiel. Etage collecteur commun Q7 rbe7

i7

Z's2

rce7

R3

v's3

Z s' 3

β i7 v's2

A3' =

v s' 3 v s' 2

=

(β + 1) (R3 // rce ) + rbe + (β + 1) (R3 // rce 7

Z s' 2

7

7

)

≅ 0.543 , Z s' 3 = rce7 // R3 //

Z s' 2 + rbe7

β +1

≅ 9080 Ω

Etage émetteur commun Q8 i8 Z's3

rce8

rbe8

z10

β i8

v's4

Z s' 4

v's3

A4' =

v s' 4 v s' 3

=−

(

β rce8 // z10 rbe8 +

Z s' 3

) ≅ − 772 , Z '

s4

= rce8 // z10 ≅ 66.7 kΩ

Pour l’étage push-pull série, les transistors, montés en collecteur commun, travaillent à forts signaux alternativement pendant une demi période, Q14 amplifiant le signal positif pendant que Q15 est bloqué, puis inversement. Pour l’étude dynamique, on utilisera la caractéristique linéaire par morceaux de la diode base-émetteur à la place de la fonction exponentielle afin d’obtenir une valeur approchée de r be14 et rbe15 (valeur relativement faible). Chaque transistor produit un gain en

Sylvain Géronimi

Page 249

Circuits intégrés



courant égal à -(β+1) pendant sa durée de conduction. Le transfert en tension et la résistance de sortie sont évalués sans la charge, toujours étage non chargé.

Etage collecteur commun Q14

(β + 1)rce14 v s' 5 ⎧ ≅1 ⎪ A5' = ' = ' v s4 Z s4 + rbe7 + (β + 1)rce14 ⎪ (ou Q15 ) → ⎨ Z s' 4 + rbe7 Z s' 4 ⎪ ' ⎪Z s5 = rce14 // β + 1 ≅ β + 1 ≅ 266 Ω ⎩

Le gain en tension de la chaîne non chargée par Rch s’écrit

v s' 5 − vd 2

=

v s' 5 v s' 4 v s' 3 v s' 2

v s' 1

v s' 4 v s' 3 v s' 2 v s' 1 − v d 2

= A5' A4' A3' A2' A1'

Le gain différentiel en tension et la résistance de sortie du circuit intégré sont définis par v s' A' A' A' A' A' Ad = 5 = − 1 2 3 4 5 ≅ 835000 (118.4 dB), Z s = Z s' 5 ≅ 266 Ω . vd 2 Deuxième étape : calcul de la résistance d’entrée Pour l’étage push-pull série, la résistance d’entrée Z e' 5 ≅ β Rch ≅ 2.5 MΩ est très importante. i14 rbe14

β i14

Z e' 5

rce14

Rcharge

Pour l’étage de gain en tension, l’émetteur commun présente la diode d’entrée de Q8 vue de sa base, soit Z e' 4 = rbe8 i8

Z e' 4

rbe8

rce8

z10

Z'e5

β i8

(

)

et le collecteur commun Z e' 3 = rbe7 + (β + 1) rce7 // R3 // Z e' 4 ≅ 2.12 MΩ . i7 rbe7

Z e' 3

Sylvain Géronimi

β i7

Page 250

rce7

R3

Z'e4

Circuits intégrés



Pour l’étage cascode, le base commune présente la diode d’entrée de Q4 vue de son émetteur, soit Z e' 2 =

rbe4

β '+1

≅ 833 Ω . iC4

β' i4 i4

Z e' 2

zs

rbe4

Z'e3

Ai ic3 = 0

rbe4 ⎞ r ⎛ ⎟ ≅ rbe + (β + 1) be4 ≅ 418 kΩ . et le collecteur commun Z e' 1 = rbe2 + (β + 1)⎜⎜ rce2 // 2 ⎟ β ' +1 ⎠ β '+1 ⎝ i2 rbe2

Z e' 1

β i2

rce2

Z'e2

La résistance Z e' 1 étant vue par la source de tension v d / 2 , la résistance différentielle d’entrée vue par la source v d est Z d = 2 Z e' 1 ≅ 4 rbe2 ≅ 836 kΩ

car (β + 1)

rbe4

β '+1

=

U U U β + 1 UT = ( β + 1) T = ( β + 1) T = T = rbe2 β ' +1 I B 4 IE4 I E2 I B2 0

0

0

0

La représentation de l’amplificateur intégré de tension dans son régime purement différentiel est une source de tension contrôlée par la tension différentielle appliquée sur la branche contrôlante supportant Z d . (+)

B1 Zs Zd

vd

(-)

v’s

Rch

Ad v d B2

En constatant l’orientation de la tension v d et la valeur algébrique du transfert ( Ad > 0 ), il en découle que les entrées en base de Q1 et de Q2 correspondent respectivement aux bornes non inverseuse et inverseuse de l’amplificateur. Enfin, la tension en charge v s découle de l’adaptation en tension, c’est-à-dire vs =

Rch Ad v d ≅ Ad v d car Z s << Rch Z s + Rch

10. Caractérisation en régime de mode commun Première étape : calcul du gain en tension et de la résistance de sortie, l’attaque étant une source de tension v c .

Sylvain Géronimi

Page 251

Circuits intégrés



Pour l’étage collecteur commun, mêmes résultats avec les notations A1'' =

v s''1 vc

( ≡ A1' ) et Z s''1 ≡ Z s' 1

Pour l’étage pseudo-base commune

β' i4 Z''s1

iC4

i4

zs rbe4

Ai ic3

v''s2

Z s'' 2

v''s1 2 z13

[

]

⎧v s'' = − (β '+1)Z s'' + rbe + 2 z13 i 4 ⎪ 1 1 4 ⎨ '' v z i A i i c3 = i c 4 = − β ' i 4 = − avec ⎪⎩ s1 s c4 i c3 v s'' β ' zs β ' zs 2 A2'' = 2 = ≅ ≅ 1.64 10 −3 , Z s''2 = zs = 4 MΩ v s''1 rbe4 + (β '+1)Z s''1 + 2 z13 β + 2 (β + 2) z13

(

)

Pour l’étage de gain en tension et l’étage push-pull, les résultats analytiques sont identiques à ceux v s'' trouvés lors de l’étude du régime différentiel avec les notations Ai'' = '' i ≡ Ai' et Z s''i pour i =3 à 5. v si −1 Le gain s’écrit

v s'' 5 vc

= A5'' A4'' A3'' A2'' A1'' = Ac ≅ − 0.69 , gain en tension en régime de mode commun et

la résistance de sortie du montage est Z s = Z s''5 ≡ Z s' 5 . Deuxième étape : calcul de la résistance d’entrée Pour les étages push-pull et gain en tension, les résistances d’entrée demeurent inchangées Z e''5 ≡ Z e' 5 , Z e'' 4 ≡ Z e' 4 , Z e'' 3 ≡ Z e' 3 . Pour l’étage cascode, le schéma du base commune à charges réparties est modifié par la présence de la résistance 2 z13 en série avec la résistance rbe4 , ce qui conduit à remplacer rbe4 par rbe4 + 2 z13 dans les expressions analytiques

rbe4 + 2 z13

rbe + 2 z13 ⎞ ⎛ ⎟. et Z e''1 = rbe2 + (β + 1)⎜⎜ rce2 // 4 β '+1 β '+1 ⎟⎠ ⎝ La résistance de mode commun, vue par la source de tension v c dans le contexte du demischéma, est donc Z c = Z e''1 ≅ 688 MΩ .

soit Z e'' 2 =

La représentation de l’amplificateur intégré de tension dans son régime de mode commun est une source de tension contrôlée par la tension de mode commun appliquée sur la branche contrôlante supportant Z c , schéma vu des bases de Q1 ou Q2 .

Sylvain Géronimi

Page 252

Circuits intégrés



B1 ou B2 Zs Zc

vc

v’’s

Rch

Ac v c

11. Taux de réjection de mode commun Les gains de transfert en tension sont Ad =

v s' 5 vd

=−

v s'' A1' A2' A3' A4' A5' et Ac = 5 = A1'' A2'' A3'' A4'' A5'' . vc 2

La tension obtenue en fin de chaîne est la somme des tensions de sortie à vide issues des deux régimes (théorème de superposition), soit v s5 = v s' 5 + v s'' 5 = Ad v d + Ac v c et la qualité de l’amplification différentielle par rapport à l’amplification du mode commun est exprimée par la valeur du taux de réjection de mode commun TRMC =

Ad A2' = , soit 122 dB. Il est évident que Ac 2 A2''

ce TRMC est produit par l’étage différentiel, comme le prouve son expression analytique. La valeur trouvée est trop élevée pour un amplificateur de ce type. Le fait d’avoir négligé le paramètre rce des modèles de Q3 et Q4 augmente la valeur de Ad et diminue celle de Ac , ce qui explique cette performance. 12. Caractérisation de l’étage de gain On considère le quadripôle caractérisant l’étage de gain en tension Q7 ,Q8 , attaqué par l’équivalent de Thévenin de l’étage différentiel et chargé par la résistance d’entrée de l’étage push-pull Z e' 5 étant très importante devant Z s' 4 .

Z’s2

v’s2

Z’s4

Z’s3 Z’e3

Z’e5

Z’e4 v’s4= A’4 v’s3

v’s3= A’3 v’s2

Le gain de transfert en tension Av aux fréquences moyennes (absence de C) doit être exprimé en terme de source liée à la tension v de la branche contrôlante supportant Z e' 3 afin de respecter la modélisation du quadripôle (voir cours « La caractérisation d’un amplificateur linéaire »). La caractérisation de l’étage devient alors : ⎛ Zs' ⎞ Z e' = Z e' 3 ≅ 2.12 MΩ , Z s' = Z s' 4 ≅ 66.7 kΩ << Z e' 5 ≅ 2.5 MΩ , A v = ⎜1 + ' 2 ⎟ A3' A4' ≅ − 1209 ⎜ Z e3 ⎟⎠ ⎝ 13. Evaluation de la fréquence de coupure haute (fréquences hautes) La caractérisation de l’étage de gain va permettre une approche rapide du comportement en fréquence du circuit. Sous l’hypothèse d’obtenir la fréquence de coupure à -3 dB uniquement par la présence du condensateur C, le schéma équivalent du système est alors du premier ordre (un seul condensateur).

Sylvain Géronimi

Page 253

Circuits intégrés



C

i0 v

Z’s

Z’s2

v0

Z’e

v

Z’e5

Av v

Av v

v’s2

Z’e // Z’s2

Z’s

Le condensateur voit à ses bornes une résistance (dipôle de Thévenin) 1 ⇒ fh = ≅ 3.16 Hz RC0 = Z s' + Z s' 2 // Z e' 1 − A v ≅ 1680 MΩ 2 π RC0 C

(

)(

)

La constante de temps produisant la fréquence trouvée est de valeur énorme devant la somme de toutes les constantes de temps à vide produites par les capacités parasites des transistors et l’application de la méthode du pôle dominant donne (voir « Annexes ») :

f1 ≅

1 ≅ fh 2 π a1

avec a1 = RC0 C +

15

∑ i =1

0 Rbe Cbei + i

15

∑R i =1

0 bc i C bc i

≅ RC0 C

L’amplificateur de tension différentielle se comporte comme un circuit du premier ordre de gain en Ad boucle ouverte G( p ) = avec Ad ≅ 118 dB et fh ≅ 3.16 Hz . f 1+ j fh La faible fréquence de coupure haute permet d’atteindre un gain unité avec une pente de –20 dB par décade dans le plan de Bode. Cette compensation rend le circuit inconditionnellement stable. Le produit gain en tension (en unités et non en dB) fréquence de coupure haute (propriété d’un système du premier ordre) permet de chiffrer la fréquence de transition ft = Ad fh ≅ 2.64 MHz . 150 232.631m, 118.205)

(42.658K, 115.209)

100 (3.2359, 115.204)

amplificateur non compensé

amplificateur compensé (C = 30 pF)

50 - 40 dB / décade

- 20 dB / décade

0 (2.6510M, 8.2797m) -50 100mHz 1.0Hz DB(V(s))

10Hz

100Hz

1.0KHz

10KHz

100KHz

1.0MHz

10MHz

100MHz

Frequency

Si la capacité C de compensation était absente, l’influence conjuguée du montage émetteur commun Q8 (voir le problème « Réponse en fréquence d’un émetteur commun »), et du montage base commune Q4 cumulant sur sa forte charge de collecteur les capacités parasites du miroir et de l’entrée de Q7 , produirait la fréquence de coupure haute. La présence de ces pôles rend le système instable comme le montre la simulation.

Sylvain Géronimi

Page 254

Circuits intégrés



Etude du régime pseudo continu

+VCC

Q1 VD

Q2

VBE1

VBE2 VEB3 VEB4

Q3

IB4

IB3

Q4 IC4

IC3

I IC5

IC6

Q5

Q6 VBE5

IC13o 10µ

VBE6 -VCC

14. Expressions des transferts courant / tension ⎧ ⎪ ⎪Q ≡ Q 2 ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨Q3 ≡ Q4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Q5 ≡ Q6 ⎪ ⎪ ⎩

→

→

→

VBE1 ⎧ ⎪I E ≅ ( β + 1) I BS e UT ⎪ 1 ⎨ VBE2 ⎪ UT ≅ + I β I e ( 1 ) BS ⎩⎪ E2

⎧ ⎪I E ⎪ 3 ⎨ ⎪ ⎪⎩I E 4 ⎧ ⎪IC ⎪ 5 ⎨ ⎪ ⎪⎩IC6

' e ≅ ( β '+1) I BS ' e ≅ ( β '+1) I BS

≅ β I BS e ≅ β I BS e

VEB3 UT VEB4

(technologie)

UT

VBE5 UT

⎧VD = VBE + VEB − VEB − VBE 1 3 4 2 ⎪ ⎪I E1 = I E3 ⎪ ⎪I E 2 = I E 4 ⎪ (circuit) ⎨IC13o = I B3 + I B4 ⎪ ⎪VBE5 = VBE6 ⎪ ⎪IC3 ≅ IC5 ⎪I = I − I C4 C6 ⎩

VBE6 UT

A partir des quatre premières équations du circuit, on obtient : ⎧I E1 = I E3 ⎪ ⎪I E 2 = I E 4 ⎪ ⎛ I E1 I E3 ⎨ ⎜ ⎪VD = UT ⎜ Ln I + Ln I E2 E4 ⎝ ⎪ ⎪β ' I = + I I C3 C4 ⎩ C13o

β ' IC13 ⎧ o ⎪IC3 ≅ VD ⎧ IE VD I C − 3 3 ⎪ ⎪ = e 2 UT = 1 + e 2 UT ⎞ ⇒ ⎪⎨ I E 4 IC4 ⇒ ⎪⎨ ⎟ β ' IC13 ⎪ ⎪β ' I o ⎟ ⎪⎩ C13o = IC3 + IC4 ⎠ ⎪IC4 ≅ VD ⎪⎩ 1 + e 2 UT

et à l’aide des trois dernières

β ' IC13 β ' IC13 V ⎪⎧IC5 = IC6 o o ⇒ I≅ − = − β ' IC13 th D ⎨ VD VD o ≅ − I I I 4 UT − ⎪⎩ C4 C3 1 + e 2 UT 1 + e 2 UT

Sylvain Géronimi

Page 255

avec β ' IC13 = 50 µA o

Circuits intégrés



linéarisation du transfert

50uA

Q4 saturé

Q3 saturé

25uA (111.0E-18, 24.913u)

0A

Q3 bloqué

Q4 bloqué (111.0E-18, -37.759n)

-25uA linéarisation du transfert -50uA -400mV IC(Q3)

-300mV IC(Q4)

-200mV -100mV IC(Q4) - IC(Q3)

0V

100mV

200mV

300mV

400mV

VD

15. Retour à l’étude dynamique aux faibles signaux Expression de v s' 2 v d (tension à vide) La polarisation est obtenue pour VD = 0 , soit IC3 = IC4 =

β ' IC13

o . 2 Les pentes des transfert au point de polarisation sont telles que V ⎤ ⎡ − D ⎥ ⎢ e 2 UT ⎥ ⎢ β ' IC13 β ' IC13 iC iC4 ⎡ dIC3 ⎤ 2 U o o T ⎥ = = 3 et = ⎢ β ' IC13 =− . ⎥ ⎢ 2 o ⎥ ⎢ 8 U v v 8 U V ⎢⎣ dVD ⎥⎦ V =0 D T d d T ⎞ ⎛ − D ⎢ ⎜1 + e 2 UT ⎟ ⎥ ⎢ ⎟ ⎥ ⎜ ⎠ ⎦⎥ VD =0 ⎝ ⎣⎢ o

i C3 = − i C 4 =

β ' IC13

o

8UT

vd =

IC 4

o

4UT

vd =

o

' gm vd 4

Le transfert en tension de l’étage différentiel v s' 2 v d à vide s’écrit iC4

rce6

v's2

v s' 2 = rce6 ( i c 4 − Ai i c3 ) ≅ 2 rce6 i c 4 ⇒

Ai ic3 ≅ ic3

v s' 2 vd

=−

' gm rce6

2

La relation obtenue dans l’étude du régime dynamique purement différentiel aux faibles signaux est rapportée ci-dessous v s' 2 vd

=−

A1' A2' ≅− 2

Sylvain Géronimi

β ' rce6 rbe4 + (β '+1)

rbe2

avec

rbe2

β +1

=

β +1

Page 256

rbe4 UT U U UT = T = T = = IE2 IE4 ( β + 1) I B2 ( β '+1) I B4 ( β '+1) o

o

o

o

Circuits intégrés



ce qui conduit au même résultat. Expression de i v d (courant de court-circuit) I ≅ − β ' IC13 th o

VD pour v d (t ) << 4 UT 4 UT

i rce6

Sylvain Géronimi

v's2

⎛ v ⇒ th⎜⎜ d ⎝ 4 UT

⎞ v ⎟⎟ ≅ d ⎠ 4 UT

β ' IC13 g' i o =− = − m (ou encore i ≅ iC4 − iC3 ) 4UT 2 vd

Page 257

Circuits intégrés



Amplificateur de tension TL071 (technologie BiFet) La figure 1 représente le schéma électrique simplifié du circuit intégré TL071 de Texas Instruments. Les étages de polarisation sont présentés sur la forme de sources de courant I1 et I 2 dont la conception est détaillée à la figure 2. Les types de transistors sont supposés technologiquement identiques et possèdent les caractéristiques (effet Early négligé)

β = 250 ( >> 1) , VBE0 ≅ 0.6 V (JBT) et I DSS = 200 µA , VP = 3 V (JFET). L’étude porte ici sur le régime continu. Compréhension du schéma (figure 1) 1. Donnez une description précise du circuit. Prouvez que ce dernier est bien un amplificateur de tension. 2. Montrez que les bornes « in + » et « in - » correspondent respectivement aux entrées non inverseuse et inverseuse du circuit. Conception du circuit de polarisation (figure 2) 3. Evaluez les résistances R6 et R7 afin d’obtenir les courants I1 et I 2 de l’ordre de 160 µA et de 250 µA respectivement. 4. Trouvez la relation donnant la valeur minimale des tensions d’alimentation VCC en fonction de la tension de pincement VP du JFET et de la tension zener VZ de la diode D1 , ceci en maintenant le courant de drain de J 3 inchangé. Etude du régime continu Le circuit est alimenté par deux sources symétriques de tension VCC = ± 15 V et les entrées sont connectées à la masse. L’étage push-pull consomme alors des courants IC8 = IC9 = 25 µA . 5. Dessinez le schéma et indiquez dessus toutes les variables de polarisation. Constatez que le choix de la topologie du miroir chargeant valeur l’étage différentiel, conduit à un meilleur équilibrage de la polarisation de ce dernier. 6. Evaluez le courant continu d’alimentation ICC du circuit sans charge ( Vout = 0 ) et déduisez la puissance dissipée. Etude du régime pseudo-continu Une tension continue est appliquée à l’entrée de l’amplificateur telle que Vin + = VD et Vin − = 0 (masse), la sortie étant chargée par une résistance Rch = 2 kΩ . 7. Déterminez le domaine des valeurs de VD produisant un courant maximal de drain pour l’étage différentiel. 8. Pour VD = ± 5 V , évaluez les courants et potentiels de nœuds du schéma en précisant l’état des transistors.

Sylvain Géronimi

Page 258

Circuits intégrés



+ VCC

I2

I1

Q8 in -

J1

J2

R4 64

Q7

out

in +

Q6 R5 64

R3 10k

Q9 Q3

Q4

Q1

Q2

Q5 R2 50k

R1 50k

- VCC

Figure 1

+ VCC

R6 Q11 Q12

Q10 I1

I2

J3

Q13

D1 R7

5.6V

- VCC

Figure 2

Sylvain Géronimi

Page 259

Circuits intégrés



Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le schéma se compose d’un circuit de polarisation, d’un étage différentiel associé à un transfert dynamique de courant et d’un étage de tension. - Le circuit de polarisation doit produire les courants I1 et I 2 alimentant respectivement un étage différentiel et un étage de tension. Sa conception (figure 2) fait apparaître un répétiteur de courant, association d’une source de Widlar Q10 - Q12 - R6 et d’un miroir de courant élémentaire Q11 - Q12 , dont le courant de référence est fourni par le circuit Q13 - R7 - D1 - J 3 (explication plus loin). - L’étage différentiel J1 - J 2 est à comportement source commune (canal P), attaquant en

-

courant un miroir Q1 - Q2 - Q3 - R1 à transistors NPN. L’effet miroir a pour but de doubler le transfert en courant de l’étage en régime dynamique aux faibles signaux. L’étage de tension utilise un montage émetteur commun Q5 , adapté par le montage collecteur commun Q4 en amont pour un meilleur transfert de tension et par un étage pushpull série Q8 - Q9 en aval pour une sortie à amplitude optimale et basse résistance (montage suiveur complémentaire). Les résistances R 4 et R5 , de faible valeur, limitent le courant de sortie. - L’étage push-pull est polarisé en classe B/AB par le translateur Q7 de tension Q6 - Q7 - R3 . Ce translateur est constitué d’une paire VBE7 Q6 de Darlington avec le premier transistor monté en diode et d’une VBE6 résistance déviant une partie du courant de base du second R3 transistor. L’intérêt par rapport à deux transistors montés en diode réside dans une occupation de surface moindre pour la paire Darlington. Le décalage en tension est de l’ordre de 2VBE .

Nous sommes donc en présence d’un amplificateur de tension de résistance d’entrée différentielle très importante (JFET) et de faible résistance de sortie. 2. Entrées non inverseuse et inverseuse Appliquons une tension alternative à l’entrée de l’étage différentiel, la grille de J1 étant à la masse et intéressons-nous à la phase du signal recueilli en sortie des étages successifs. L’étage source commune J 2 inverse la phase, l’étage collecteur commun Q4 la conserve, l’étage émetteur commun Q5 inverse à nouveau la phase et l’étage push-pull suiveur Q8 - Q9 la conserve. La tension de sortie est donc en phase avec la tension d’entrée et la borne non inverseuse est bien la grille de J 2 .

Conception du circuit de polarisation 3. Evaluation des résistances R6 et R7 Le répétiteur de courant utilise un effet miroir ( Q11 - Q12 ) tel que I 2 ≅ IC13 , ainsi qu’un effet lentille ( Q10 - Q12 - R 6 ) tel que IC13 ≅ I1 e

Sylvain Géronimi

R6 I1 UT

(voir cours).

Page 260

Circuits intégrés


Or I E13 =


VZ − VBE13 R7

≅ IC13 ⇒ R7 ≅

VZ − VBE13 I2

= 20 kΩ et R6 ≅

UT I Ln 2 ≅ 70 Ω . I1 I1

4. Valeur minimale de la tension VCC ⎛ V Le modèle de comportement des JFET canal P est donné par l’équation I D = I DSS ⎜⎜1 − GS VP ⎝ les tensions VGS et VP > 0 et telles que 0 ≤ VGS ≤ VP .

2

⎞ ⎟⎟ avec ⎠

Puisque VGS3 = 0 , alors I D3 = I DSS , courant de polarisation de la diode zener. Le transistor J 3 fournit ce courant à condition de se situer dans sa zone de saturation, c’est-à-dire − VDS3 ≥ VP . Or 2VCC = VZ − VDS3

⇒ 2VCC − VZ ≥ VP d’où VCC ≥

VP + VZ . 2

L’intérêt de ce système est de proposer un choix de l’alimentation symétrique ± VCC tout en conservant la même polarisation du circuit intégré à condition que VCC ≥ 4.3 V .

Etude du régime continu

+ 15 V

R6 70

25 µ

Q11

14.4 V Q10 13 µ

160 µ

Q12

250 µ 100 n Q8

- 1.1 V J1

J2

R4

Q7

250 µ

≅ 1.2 V

80 µ

50 n

100 n

52 n Q3

Q1

Q4

- 13.8 V

320 n 320 n

Q9

250 µ

200 µ

Q5

12 µ

R1

R2

50k

50k

- 9.4 V

Q13 - 10 V

1µ

- 14.4 V Q2

12 µ

R5

R3

12.6 µ

- 13.8 V

J3

Q6

80 µ

+ 15 V

25 µ

R7

D1

5.6 V

20k

- 15 V

5. Evaluation des variables de polarisation Pour l’étage différentiel ( J1 ≡ J 2 ),

Sylvain Géronimi

Page 261

Circuits intégrés



2 ⎧ ⎛ V ⎞ ⎪I D = I DSS ⎜1 − GS1 ⎟ ⎜ ⎪⎪ 1 VP ⎟⎠ ⎝ J1 ≡ J 2 → ⎨ et VGS1 − VGS2 = 0 (topologie) 2 ⎪ ⎛ VGS2 ⎞ ⎟ ⎪I D2 = I DSS ⎜⎜1 − VP ⎟⎠ ⎪⎩ ⎝ ⎛ I D1,2 ⎞⎟ I ⇒ I D1 = I D2 = 1 = 80 µA et VGS1 = VGS2 = VP ⎜⎜1 − ≅ 1 .1 V . I DSS ⎟⎟ 2 ⎜ ⎠ ⎝ VBE1 ⎧ ⎪I ≅ β I e UT BS ⎪C Q1 ≡ Q2 → ⎨ 1 et VBE1 − VBE 2 = 0 (topologie) ⇒ I B1 = I B2 et IC1 = IC2 avec leurs VBE2 ⎪ ⎪IC2 ≅ β I BS e UT ⎩ potentiels de collecteur à 2VBE au dessus de − VCC , soit – 13.8 V.

L’équilibrage statique de l’étage impose alors que I B3 = I B4 avec des transistors supposés identiques ( β >> 1 ), puisque I D1 = IC1 + I B3 et I D2 = IC2 + I B4 . La topologie du miroir permet d’approcher cet équilibre puisque VBE 5 VBE1 I1 VBE1 I et I E 4 = 2 + avec R = R1 = R2 . I E3 = I B1 + I B2 + ≅ + β R R1 β R Comme

I1

β

et

I2

β

<<

VBE ≅ 12 µA ⇒ I E3 ≅ I E 4 , donc I B3 ≅ I B4 . R

6. Calcul de la consommation du circuit + L’alimentation au dessus de la masse fournit ICC = IE10 + IC4 + IC11 + IC8 + I E12 + I D1 ≅ 898 µA . De − même, l’alimentation sous la masse fournit ICC = I E1 + I E 2 + I R1 + I R2 + I E5 + IC9 + I E13 + I Z ≅ 909 µA . + − + ICC ≅ 1.8 mA et Pcontinue = 2VCC ICC ≅ 54 mW . d’où ICC = ICC

7. Détermination du domaine de VD

I1 VGS1

⎧VD = VGS2 − VGS1 ⎪ ⎛ ⎪⎪ I D1,2 ⎜ ⎨VGS1,2 = VP ⎜1 − I DSS ⎜ ⎪ ⎝ ⎪ ⎪⎩I1 = I D1 + I D2

VGS2

J1 ID1

J2 ID2

VD

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

Le courant de drain d’un transistor est maximal lorsque l’autre transistor ne produit aucun courant. ⎛ I1 ⎞⎟ Si J1 est bloqué, I D1 = 0 pour VGS1 ≥ VP et I D2 = I1 avec VGS2 = VP ⎜1 − ≅ 0.32 V tel que ⎜ I DSS ⎟⎠ ⎝ 0 ≤ VGS2 < VP , d’où VD ≤ − VP

Sylvain Géronimi

I1 I DSS

.

Page 262

Circuits intégrés



⎛ I1 Si J 2 est bloqué, I D2 = 0 pour VGS2 ≥ VP et I D1 = I1 avec VGS1 = VP ⎜1 − ⎜ I DSS ⎝ I1

0 ≤ VGS1 < VP , d’où VD ≥ VP

I DSS

⎞ ⎟ ≅ 0.32 V tel que ⎟ ⎠

.

Le domaine des tensions est donc VD ≥ 2.68 V . 8. Evaluation des courants et potentiels de nœuds pour VD = ± 5 V Comme VD > 2.68 V , l’étage différentiel présente un transistor JFET bloqué, l’autre transistor fournissant un courant de drain de 160 µA associé à une tension grille-source de 0.32 V (voir l’étude précédente). Premier cas : VD = − 5 V + 15 V

R6 70

Q11 14.4 V

Q10 160 µ

Q12

250 µ

40 m

- 13.8 V - 5.32 V J1

250 µ J2

Q7 -5V - 14.4 V

160 µ

+ 15 V

0

Q6

- 13.4 V Q3 0

Q1

0

28 µ

160 µ Q4

0

0

Q9

278 µ

R7 200 µ

2k

Q5

16 µ

R1

R2

50k

50k

- 9.4 V

Q13 - 10 V

≅ 40 m

- 14.2 V Q2

≅ -15 V

J3 R5 64

R3 0

7m

-14 V

≅7m

R7

D1

20k

40.3 m

- 15 V

J1 est bloqué ( I D1 = 0 ), J 2 conduit ( I D2 = 160 µA , VGS2 ≅ 0.32 V ) et VGS1 = VGS2 − VD ≅ 5.32 V .

Le miroir Q1 - Q2 - Q3 - R1 renvoyant un courant nul, le courant de base de Q4 est égal à 160 µA et son courant de collecteur est de l’ordre de 40 mA. En constatant que le courant circulant dans la résistance R 2 est de faible valeur devant le courant émetteur de Q4 , I B5 ≅ 40 mA et, de ce fait, Q5 est saturé ( VCE5 très faible). L’étage push-pull est tel que Q8 est bloqué et Q9 conduit. La maille de sortie s’écrit alors VCC = VCE5

sat

+ VEB9 + (R5 + R7 )I E9 et Vout = − R7 I E9 , d’où IE9 ≅ 7 mA

et Vout ≅ − 14 V . La sortie est à l’état de saturation négative. Puisque I B9 ≅ 28 µA , IC5 = IC11 + I B9 ≅ 278 µA . Constatons alors que le rapport IC5 I B5 ≅ 7 10 −3 est différent de β. Cette très faible valeur de β forcé conduit à VCE5 ≅ 0 V , ce qui corrobore l’état de saturation de Q5 .

Sylvain Géronimi

Page 263

Circuits intégrés



Deuxième cas : VD = 5 V + 15 V

R6

≅7m

70

Q11 14.4 V

Q10

≅ 160 µ

Q12

28 µ

0

28 µ

≅ 15 V

Q8

0 0

- 0.32 V J1

J2 5V

≅ 160 µ

14 V

0

+ 15 V

Q6

≅ 160 µ

0

Q2

200 µ

0

Q5

0

R1

R2

50k

50k

- 9.4 V

- 10 V

0

- 15 V

Q1

J3 R7

Q13

Q4

0

-14.4 V

7m

2k

R3 - 15 V Q3

250 µ

R4 64

Q7

R7

D1

20k

- 15 V

J 2 est bloqué ( I D2 = 0 ), J1 conduit ( I D1 = 160 µA , VGS1 ≅ 0.32 V ) et VGS2 = VGS1 + VD ≅ 5.32 V .

Or, la loi du nœud de sortie de l’étage différentiel impose que I B4 = I D2 − IC2 ≅ − IC2 . Le sens des courants de Q2 et Q4 est incompatible pour des transistors de type NPN car I B4 doit se diriger vers la base de Q4 , d’où I B4 ≅ 0 et IC2 ≅ 0 . L’ensemble Q1 - Q2 - Q3 - R1 ne travaille plus en effet miroir et Q4 est bloqué. Aucun courant ne circulant dans R2 , Q5 est aussi bloqué et le translateur de tension n’est plus alimenté. Le courant de collecteur de Q11 s’identifie alors au courant de base de Q8 . L’étage push-pull est tel que Q8 conduit et Q9 est bloqué. La maille de sortie s’écrit alors VCC = VEC11 + VBE8 + (R 4 + R7 )I E8 et Vout = R7 I E8 , d’où I E8 ≅ 7 mA et sat

Vout ≅ 14 V . La sortie est à l’état de saturation positive. Constatons que I B8 ≅ 28 µA et IC11 ≅ I B8 . Q11 ne fournit plus le courant I 2 et son état de

saturation conduit à un β forcé = IC11 I B11 < β , c’est-à-dire à un courant de base nettement plus important. Le courant de référence du répétiteur distribue les courants suivant la loi du nœud IC13 = IC12 + I B12 + I B11 + I B10 = 250 µA . L’augmentation de I B11 a pour conséquence une diminution des autres courants, en particulier celle du courant de polarisation I1 de l’étage différentiel. Cette modification ne change en rien le niveau de tension en sortie puisque Q4 est toujours bloqué. Ainsi, la tension de sortie de l’amplificateur en boucle ouverte est Vout = ± Vsat avec Vsat = 14 V dans une condition de charge de 2 kΩ et pour toute tension d’entrée telle que VD ≥ 2.68 V .

Sylvain Géronimi

Page 264

Circuits intégrés



Amplificateur intégré de type Norton (LM359 de National Semiconductor) On considère le circuit intégré (CI) de la figure ci-dessous. Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques de caractéristiques β = 200, VA = 100 V , VBEo ≅ 0.6 V . Au sein des calculs, le paramètre β est considéré comme grand (courants de base négligés). La notation suivante est utilisée pour les variables entrée/sortie (superposition des régimes continu et dynamique), à savoir i + (t ) = I1 + i1(t ) , i − (t ) = I 2 + i 2 (t ) , v out (t ) = VS + v s (t ) .

+VCC 12 V

Q10

Q12

Q11

R1

Q5

5.7k

Q6

Q4

out

Q7 i-

(-)

(+)

vout

+VCC

Q3 i

R2

Q8

19k

+

Q14 Q1

Q2

Q9

Q13

Q15

Compréhension du circuit 1. Donnez une description précise du circuit. Etude du régime continu 2. Dessinez le schéma. 3. Calculez les valeurs des courants de collecteur de Q10 , Q11 , Q13 , Q14 , Q3 , Q4 , des potentiels de nœuds d’entrées (+), (-) de la base et de l’émetteur de Q4 . On modélise le CI à l’image du schéma qui suit. (-)

I2

IB3 VBE3

out

I1 VS

(+)

I1 VBE1

Sylvain Géronimi

Page 265

Circuits intégrés



4. Expliquez la présence des éléments de cette modélisation.

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 5. Evaluez les paramètres rbe , rce des modèles des transistors Q3 , Q4 , Q5 , Q6 et rbe7 , rbe8 , rbe9 , rce10 , rce11 , rce13 , rce14 des transistors associés.

6. Prouvez par le calcul que la résistance dynamique vue entre base de Q4 et la masse est de valeur négligeable devant rbe4 . 7. Dessinez le schéma du circuit. 8. Ecrivez les expressions du transfert Rt = v s (i1 − i 2 ) et de la résistance de sortie du montage non chargé. On modélise le CI à l’image du schéma qui suit. i2 (-) out Ze2

vi1

Zs vs Av v -

i1 (+) v+

Ze1

9. Identifiez les éléments Z e1, Z e2 , Z s , Av du modèle et évaluez Z e2 , Z s , Av .

Sylvain Géronimi

Page 266

Circuits intégrés



Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le schéma se compose de deux étages de polarisation, d’un étage cascode attaqué par un courant différentiel obtenu par un miroir de courant et d’un étage darlington en sortie. - Les circuits de polarisation, répétiteurs de courant, sont l’association de deux miroirs de courant élémentaires. Le répétiteur Q10 - Q11 - Q12 fournit deux courants sortants (transistors PNP) réglés par la résistance R1 . Le courant issu de Q10 impose les courants de collecteur des transistors Q3 , Q4 et le courant issu de Q11 polarise trois transistors montés en diode ( Q7 , Q8 , Q9 ) et mis en série, produisant une translation des potentiels continus de la base de Q4 à 3VBE et du collecteur de Q3 à 2VBE par rapport à la masse. Le répétiteur Q13 - Q14 - Q15 fournit deux courants entrants (transistors NPN) réglés par la résistance R2 . Les courants issus de Q13 et Q14 polarisent respectivement les étages collecteur commun Q5 et Q6 . -

Le miroir de courant Q1 - Q2 , inversant le sens de son courant d’entrée, permet de constituer un courant différentiel à partir des courants issus des bornes d’entrée du CI. L’association des étages émetteur commun Q3 et base commune Q4 chargé par la source de courant réalise un montage cascode à impédance de sortie élevée. Les étages collecteur commun Q5 et Q6 se comportent en suiveur par la présence des charges dynamiques d’émetteur et en abaisseur d’impédance. La sortie du CI est alors adaptée en tension.

La tension de sortie est proportionnelle à la différence des courants des entrées. Le CI est donc un amplificateur à résistance de transfert, appelé aussi amplificateur de Norton. Etude du régime continu 2. Schéma +VCC

2 mA

IC10

2 mA

IC11

Q5

Q6

1.8 V

Q4

out

1.2 V 2 mA

(-)

(+)

I2

Q7

0.6 V Q3

VS

Q8

I1 IC13 Q1

Sylvain Géronimi

Q2

Q9

Page 267

0.6 mA

IC14 0.6 mA

Circuits intégrés



3. Evaluation des courants et potentiels de noeuds Répétiteur de courant PNP (effet miroir) : VCC − VEB12 o I R1 = = 2 mA et IC10 ≅ IC11 = IC4 ≅ IC3 ≅ 2 mA o o o o R1 Répétiteur de courant NPN (effet miroir) : VCC − VBE15 o I R2 = = 0.6 mA et IC13 ≅ IC5 ≅ IC14 ≅ IC6 ≅ 0.6 mA o o o o R2 Potentiels de nœuds : V + = VBE1 ≅ 0.6 V , V − = VBE3 ≅ 0.6 V , VB4 = 3VBE o ≅ 1.8 V , VC3 = 2VBEo ≅ 1.2 V o

o

avec VBEo = VBE7 = VBE8 = VBE9 . o

o

o

4. Explication des éléments du modèle L’entrée (+) présente le transistor Q1 monté en diode en parallèle sur la jonction base-émetteur de Q2 , ce qui est toujours l’équivalent statique d’une diode passante avec une tension de 0.6 V à ses bornes. Entre l’entrée (-) et la masse, la sortie du miroir de courant Q1 - Q2 est équivalente à une source de courant continue inversant le courant d’entrée I1 . Cette source est en parallèle sur la jonction base-émetteur de Q3 . Notons que ce miroir est indépendant de l’effet Early puisque VBC2 ≅ 0 V , donc VCE1 = VCE 2 ≅ 0.6 V . Le potentiel de sortie VS dépendra du montage externe et sera généralement amené à la moitié de la tension d’alimentation, c’est-à-dire VS ≅ VCC 2 , permettant aussi une dynamique de sortie optimale (voir « applications de l’amplificateur Norton »).

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 5. Evaluation des paramètres rbe ≅


d’où r be3 ≅ r be4 ≅ 2.5 kΩ , rce3 ≅ rce4 ≅ 50 kΩ ,

' ≅ 2.5 kΩ rbe5 = rbe6 ≅ 8.33 kΩ , rce5 = rce6 ≅ 167 kΩ , rbe7 = rbe8 = rbe9 = rbe

et posons z10 = rce10 ≅ 50 kΩ , z11 = rce11 ≅ 50 kΩ , z13 = rce13 ≅ 167 kΩ , z14 = rce14 ≅ 167 kΩ .

6. Transistor Q4 en base commune Les trois transistors Q7 , Q8 , Q9 , montés en diode et mis en série, composent une résistance dynamique équivalente à 3

' U rbe ≅ 37.5 Ω (ou 3 T ). La résistance vue entre base de Q4 et la IC11 β +1 o

r' masse s’écrit z 4 = 3 be // rce11 , valeur très faible devant la résistance de jonction rbe4 située en β +1 série ( 2.5 kΩ >> 37.5 Ω ). La base du transistor Q4 étant, pour ainsi dire, connectée à la masse, l’étage correspond à un montage base commune.

Sylvain Géronimi

Page 268

Circuits intégrés



7. Schéma z10

Q5

Q4

Q6

i2

(-)

z13

Q3

z14

vs

i1

(+)

Q1

Q2

8. Expressions du transfert et de la résistance de sortie Afin de trouver l’équivalent du dipôle de sortie du montage sous la forme Thévenin (ici résistance de transfert), rappelons qu’une méthode de travail consiste à représenter la sortie d’un étage élémentaire non chargé sous la forme équivalente d’un dipôle de Thévenin ( v s , Z s ) ou de Norton ( i s , Z s ) suivant le cas, étude effectuée du premier étage au dernier. A chaque étape, le dipôle obtenu attaque l’étage élémentaire suivant. Les étapes successives étudient un miroir de courant, un étage émetteur commun, un étage base commune et deux étages collecteur commun. Miroir de courant élémentaire Q1 - Q2 i1

rce2 rbe / (β+2)

≅ i1

Zs1

⇒

Zs2

is1

C’est un amplificateur de courant de dipôle de sortie (Norton) caractérisé par le courant de courtcircuit i s1 = i1 et la résistance de sortie Z s1 = rce2 . L’écriture de la résistance d’entrée est donnée telle que r be1 = r be2 = r be .

Etage émetteur commun Q3 i2

i3 Zs1 i1

Sylvain Géronimi

rce3

rbe3 β i3

Page 269

vs2

Zs2

Circuits intégrés



⎧⎪v s2 = − β i 3 rce3 ⎨ ⎪⎩i 3 = i 2 − i1

⇒ v s2 = β rce3 (i1 − i 2 ) et Z s2 = rce3

( rce2 >> rbe3 )

Etage base commune Q4 β i4

(β+1) i4

Zs2

i4

z10

Zs3

vs3

rbe4 vs2 z4

⎧⎪v s3 = − β i 4 z10 ⎨ ⎪⎩v s2 = − (β + 1)Z s2 + rbe4 i 4

[

v s3

⇒

]

v s2

≅

z z β z10 ≅ 10 = 10 ( β + 1)Z s2 Z s2 rce3

et Z s3 = z10 .

Si nous tenons compte de la présence de rce4 dans ces calculs, les résultats obtenus demeurent toujours valables (erreur de l’ordre de 0.5%). En effet, un montage base commune présente, en sortie, une jonction polarisée en inverse, donc une résistance dynamique très importante devant la charge z10 . Etages collecteur commun Q5 et Q6 rbe5

i5

Zs3

rce5

β i5

z13

vs4

Zs4

vs3

( [

)

(

)

⎧⎪v s4 = rce5 // z13 (β + 1)i 5 (β + 1) rce5 // z13 v s4 ⇒ ≅ ≅ +1 ⎨ ( ) = + + + v Z r r // z β 1 i v Z + r ⎪⎩ s3 s3 be5 ce5 13 5 s3 s3 be5 + (β + 1) rce5 // z13 Zs 4 = rce5 // z13 //

(

Z s3 + rbe5

(β + 1)

]

)

≅

Z s3 + rbe5

(β + 1)

(

)

≅ 290 Ω

La topologie étant identiques pour les deux étages, on obtient v s5 v s4

≅ +1 , Z s5 ≅

Sylvain Géronimi

Z s 4 + rbe6

(β + 1)

≅ 43 Ω

Page 270

Circuits intégrés



L’expression de la résistance de transfert est égale au produit des transferts élémentaires puisque ces derniers tiennent compte de l’interaction inter-étages par la présence de la résistance de Thévenin / Norton. Rt =

v s v s v s v s2 vs = 5 4 3 ≅ β z10 = 10 MΩ (140 dB) i 1 − i 2 v s 4 v s3 v s 2 i 1 − i 2

avec v s = v s5 et Z s = Z s5 .

9. Identification des éléments du modèle Z e1 =

rbe , Z e2 = rbe3 = 2.5 kΩ , Z s ≅ 43 Ω β +2

⎧⎪v s = Rt (i1 − i 2 ) = − Av v − ⎨ − ⎪⎩v = (i 2 − i1 )Z e2

Sylvain Géronimi

⇒ Av =

Rt = + 4000 (72 dB) Z e2

Page 271

Circuits intégrés



Applications de l’amplificateur Norton Nous proposons deux applications de l’amplificateur. Dans les schémas apparaît le montage de l’étude précédente sous l’image symbolique suivante. + VCC i

-

i+

symbole de l’amplificateur Norton

Application n°1 R2 10k C

R1 -

1k ve

+ vs R3 +VCC 12 V

Etude du régime continu 1. Dessinez le schéma. 2. Evaluez la résistance R3 afin que le potentiel de sortie VS soit de l’ordre de VCC 2 ( VBE ≅ 0.6 V et I B3 << I1 et I 2 ). Etude dynamique aux fréquences moyennes 3. Dessinez le schéma. 4. Déterminez le gain en tension défini par v s v e et concluez sur le type d’amplificateur.

Application n°2 R2 10k C

R1 +

1k

vs R3

ve +VCC 12 V

Sylvain Géronimi

Page 272

Circuits intégrés



Etude du régime continu 5. Dessinez le schéma. 6. Evaluez la résistance R2 afin que le potentiel de sortie VS soit à VCC 2 ( VBE ≅ 0.6 V et I B3 << I1 et I 2 ), puis déduisez la valeur du courant I1 . Etude dynamique aux fréquences moyennes 7. Dessinez le schéma. 8. Déterminez le gain en tension défini par v s v e et concluez sur le type d’amplificateur.

Sylvain Géronimi

Page 273

Circuits intégrés



Corrigé Application n°1 Etude du régime continu 1. Schéma R2

I2

IB3

VS

VBE

I1

R3

I1

+ VCC

VBE

2. Evaluation de la résistance ⎧I B3 << I1 ⎪ VCC ⎪ = R2 I1 + I B3 + VBE ⎨VS = 2 ⎪ ⎪VCC = R3 I1 + VBE ⎩

(

)

⇒ R3 ≅ 2R2

VCC − VBE ≅ 21.1 kΩ VCC − 2VBE

Etude dynamique aux fréquences moyennes 3. Schéma R1

i’

i

Ze2

v-

ve

0

i2

R2

Zs ≅ 0 vs Av v -

i1 = 0

R3

Ze1

4. Gain en tension ⎧v s ≅ − A v v − ⎪ ⎪i ' = v e − v − ⎧v s ≅ − A v v − ⎪⎪ R1 ⎪ ⇒ ⎨ v− ve vs ⎛ 1 ⎨ 1 ⎞ − − − v v ⎪i = s ⎪ Z = R + R − ⎜⎜ R + R ⎟⎟ v 1 2 2 ⎠ ⎝ 1 ⎩ e2 ⎪ R2 ⎪ − ' ⎩⎪v = (i + i )Z e2

Sylvain Géronimi

Page 274

1 vs R1 ≅− ≅ − 9.965 ⇒ ve 1 ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟ 1 + + A v ⎜⎝ Z e2 R1 ⎟⎠ R2

Circuits intégrés



En acceptant une approche numérique à quelques %,

vs R ≅− 2 . ve R1

C’est un amplificateur inverseur de gain 20 dB. L’intérêt du montage est l’absence de mode commun puisque les entrées (+) et (-) voient de faibles impédances (résistances de diode passante).

Application n°2 Etude du régime continu 5. Schéma R2

I2

IB3 VBE

VS

I1

R3 + VCC

I1 VBE

6. Evaluation de la résistance et du courant La topologie étant la même que précédemment, les résultats sont identiques. ⎛V ⎞ 1 R3 ≅ 21.1 kΩ et I1 ≅ ⎜ CC − VBE ⎟ = 540 µA . ⎝ 2 ⎠ R3 IC Le courant de base de Q3 vaut IB3 = 3 = 10 µA , courant négligeable devant I1 , validant ainsi

β

l’hypothèse de départ.

Etude dynamique aux fréquences moyennes 7. Schéma i2

Ze2

v-

R2

Zs ≅ 0 vs

i1 Av v R1

ve

Sylvain Géronimi

i1

R3

Ze1

Page 275

Circuits intégrés



8. Gain en tension ⎧v s ≅ − A v v − ⎪ ⎪ vs − v − ⎧v s ≅ − A v v − ⎪i 2 = ⎪⎪ R2 ⎪ ⇒ ⎨⎛ 1 ⎨ ve 1 ⎞⎟ − v s ⎜ ve + v = − ⎪i ≅ ⎪⎜ ⎟ Z R R R 1 2 ⎠ 2 1 + Z e1 ⎪ ⎩⎪⎝ e2 R1 + Z e1 ⎪ ⎪v − = (i 2 − i1 )Z e 2 ⎩

avec Z e1 =

rbe1

β +1

≅

⇒

1 R1 + Z e1

vs ≅− ≅ + 9.55 ve 1 ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟ 1 + + A v ⎜⎝ Z e2 R2 ⎟⎠ R2

UT UT = ≅ 46.3 Ω , valeur faible devant R3 ( R3 // Z e1 ≅ Z e1 ). I E1 I1

En acceptant une approche numérique à quelques %,

v s R2 ≅ = 10 . v e R1

C’est un amplificateur non inverseur de gain 20 dB.

Sylvain Géronimi

Page 276

Circuits intégrés



Amplificateur à conductance de transfert (LM13600 de National Semiconductor) On considère le circuit intégré de la figure ci-dessous où R est un élément hors puce. Le but est de caractériser la conductance de transfert en sortie de S1 sur une impédance de charge Z ch . Tous les transistors sont supposés identiques ou parfaitement complémentaires ( β >> 1 ).

+VCC

Q8

Q11

Q7

Q16

Q10

Q17

Q12

Q9 Q1

E2

S2

Q2

S1

(+) Is

vD (-) Q15

Ipol R

Q5

Q6

Q3

V

Q13 Q4

Q14

-VCC

Compréhension du schéma 1. Donnez une description précise du circuit. Etude du régime pseudo-continu 2. Ecrivez l’expression du courant de sortie IS en fonction de la tension différentielle d’entrée VD et tracez ce transfert. 3. Faîtes apparaître dans l’expression trouvée les termes V et R . Commentez ce résultat.

Etude du régime continu 4. Donnez les courants de polarisation du montage. Etude du régime dynamique purement différentiel (faibles signaux aux fréquences moyennes) 5. Rappelez la caractérisation du quadripôle défini par la source de Wilson ( ze , zs , A i ). 6. Ecrivez l’expression du courant i s en fonction de v d en discutant des conditions aux impédances sur les divers transferts en courant. 7. Démontrez qu’en considérant la zone linéaire du transfert IS (VD ) obtenu lors de l’étude en régime pseudo-continu, on retrouve le résultat précédent. 8. La sortie S1 étant chargée par une impédance Z ch , caractérisez l’amplificateur sous forme de quadripôle ( Y t , Z e , Z s1 ). 9. La sortie S1 , chargée par Z ch , est reliée à la base de Q16 et une résistance Rch est branchée entre S2 et la masse, précisez le type d’amplificateur obtenu.

Sylvain Géronimi

Page 277

Circuits intégrés



Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le schéma se compose d’un étage de polarisation, d’un étage différentiel associé à un transfert dynamique de courant et d’un étage darlington indépendant. - Le circuit de polarisation, répétiteur de courant, est l’association d’une source de Wilson Q3 - Q4 -

-

-

Q5 et d’un miroir de courant élémentaire Q4 - Q6 polarisant respectivement l’étage différentiel par le point commun des émetteurs de Q1 - Q2 et l’étage collecteur commun Q16 . Les courants de ces sources sont réglés par la résistance R et la tension de polarisation V (éléments hors puce). L’étage différentiel est à comportement émetteur commun, attaquant en courant des miroirs de haute précision de type Wilson à transistors PNP. La présence de la source de Wilson utilisant des transistors NPN permet d’inverser le sens du courant afin de reconduire la différence des courants issus des collecteurs de l’étage différentiel à la sortie S1 . Ce point de sortie doit être au potentiel 0 V en absence de dynamique (décalage de tension nul). Une deuxième sortie S2 est proposée par le biais des deux montages émetteur suiveur Q16 - Q17 ,

constituant un buffer, isolant la charge au point S1 et recopiant la tension aux bornes de celle-ci en sortie S2 . La charge d’émetteur de Q17 peut alors être attaquée en tension. Au niveau du continu, le potentiel de sortie est abaissé de 2VBE . Ce circuit intégré peut donc être utilisé en amplificateur différentiel à conductance de transfert, associé à un buffer. Etude du régime pseudo-continu 2. Expression du courant de sortie Les transistors sont identiques et β >> 1 . La source de Wilson étant un miroir de précision, les courants d’entrée de chacune d’elles sont reconduits en sortie et inversés, c’est-à-dire I pol ≅ IC5 (courant constant) et IC1 ≅ IC9 ≅ IC15 , IC2 ≅ IC12 . o

équations du circuit

⎧VD = VBE1 − VBE 2 ⎪ ⎪V = R I pol + VBE5 + VBE 4 − VCC → ⎨ ⎪IC5o = I E1 + I E2 ⎪I = I − I C15 C12 ⎩S

VBE1 ⎧ ⎪I ≅ β I e UT BS ⎪ C1 équations technologiques Q1 ≡ Q2 → ⎨ VBE2 ⎪ ⎪IC2 ≅ β I BS e UT ⎩ VD IC 5 IC 5 ⎛ V o o ⇒ IC1 ≅ IC2 e UT d’où IC1 ≅ , IC 2 ≅ , IS ≅ IC1 − IC2 ≅ I pol th⎜⎜ D VD VD − ⎝ 2 UT 1 + e UT 1 + e UT

3. Commentaire V − VBE5 − VBE 4 + VCC I pol = R

⎞ ⎟⎟ ⎠

V − 2VBE + VCC ⎛ VD ⎞ ⎟⎟ th⎜⎜ R ⎝ 2UT ⎠ Le transfert sera modifiable en retouchant la tension V et/ou la résistance R extérieure.

Sylvain Géronimi

⇒

IS ≅

Page 278

Circuits intégrés



Si VD >> 2 UT ⇒ IS ≅ ± I pol 500uA

Ipol tangente au point de polarisation (VD = 0)

0A

zone linéaire

- Ipol -500uA -200mV IS

-150mV

-100mV

-50mV

-0mV

50mV

100mV

150mV

200mV

VD

Etude du régime continu 4. Courants de polarisation Aucune source dynamique n’étant appliquée à l’entrée du circuit, les bases des transistors Q1 et Q2 sont à la masse. Dans l’étude du régime pseudo-continu, cela revient à poser VD = 0 . Il s’en suit I pol , IS ≅ IC1 − IC2 ≅ 0 IC1 = IC2 ≅ o o o o 2

Etude du régime dynamique purement différentiel (faibles signaux aux fréquences moyennes) 5. Caractérisation du miroir (voir problème « Source de Wilson pour transfert dynamique ») is

ie

ig

ze rg

ie

β rce , zs ≅ , Ai ≅ 1 β 2 avec les conditions rg >> ze , zs >> Rch

ze ≅

zs Rch

2 rbe

6. Expression du courant de sortie IC1 ⎧ I pol β vd o ⎪i c1 ≅ vd ≅ = vd r U I pol 2 T 4 UT ⎪ be1 2 ⇒ i s ≅ i c1 − i c2 ≅ vd ⎨ 2 UT I pol β vd ⎪ ≅− vd ⎪i c 2 ≅ − r 4 UT be2 2 ⎩ car attaque en courant en sortie de l’étage différentiel rce1 et rce2 >> ze et de même entre miroirs

zs >> ze (pour la sortie sur Rch , voir plus loin).

Sylvain Géronimi

Page 279

Circuits intégrés



7. Linéarisation du transfert On peut calculer la pente à l’origine telle que

dI S ⎤ ⎥ dVD ⎦V

D =0

v d (t ) << 2 UT

⎛ v ⇒ th⎜⎜ d ⎝ 2 UT

⎞ v ⎟⎟ ≅ d 2 UT ⎠

=

I pol

2 UT

=

is vd

ou encore considérer

(voir le tracé, excursion très faible !)

8. Caractérisation du montage en sortie S1 La résistance différentielle d’entrée, située entre les bases des transistors Q1 et Q2 , s’écrit rbe1 + rbe2 . La résistance de sortie, vue entre le nœud S1 et la masse, est produite par deux miroirs en parallèle, soit zs // zs =

β rce

, haute impédance due à l’emploi de sources de Wilson 4 bien mieux adapté qu’un autre type de miroir. Ceci montre que si les conditions d’adaptation suivantes sont respectées, attaque en tension en entrée ( rbe1 + rbe2 >> rg ) et attaque de la charge en courant ( β rce 4 >> Z ch ), le quadripôle obtenu représente un amplificateur différentiel à conductance de transfert. is

Ze

vd

Zs1

Zch

vs1

Yt vd

⎛i Yt = ⎜⎜ s ⎝ vd

I pol ⎞ ⎛v ⎟ ≅ , Z e = ⎜⎜ d ⎟ ⎠v s1 =0 2UT ⎝ ie

⎛ vs ⎞ ⎟ = 2 rbe , Z s1 = ⎜⎜ 1 ⎟ ⎠v s1 =0 ⎝ is

⎞ β rce ⎟ = ⎟ 4 ⎠v d = 0

9. Caractérisation du montage en sortie S2 Les transistors, Q16 alimenté par le miroir de courant Q6 - Q4 , et Q17 connecté à la charge, sont montés en collecteur commun. L’étage darlington présente une très importante résistance d’entrée ( ≅ β 2 Rch ) et une résistance de sortie très diminuée ( ≅ ZS1 β 2 << Rch ) permettant d’attaquer la charge en tension. C’est alors un amplificateur de tension.

Zs2 vd

Ze

Rch

A v vd

Le constructeur permet à l’utilisateur de recopier la tension nodale S1 aux bornes de la charge par le biais de l’adaptation en tension, à un décalage d’offset près de 2VBE vers la masse. Le darlington est donc un buffer.

Sylvain Géronimi

Page 280

Circuits intégrés



Application de l’amplificateur à conductance de transfert Dans le schéma apparaît le montage de l’étude précédente sous l’image symbolique suivante.

buffer

+VCC

OTA + -

-VCC

Ipol

L’étude porte sur l’association en boucle de deux amplificateurs à conductance de transfert (OTA) avec leur buffer. L’alimentation symétrique du montage est VCC = 15 V et la tension Vcom est la variable de commande du montage.

+VCC

+VCC

OTA1

OTA2

+

+

-

-VCC

Ipol1

R1 30k

Vcom

R2 10k

C 200p

-VCC

Ipol2

R3 25k

-VCC +VCC

R4 5k

R5 10k

vOUT

-VCC

1. Expliquez le fonctionnement du montage sachant que les deux OTA travaillent ici à forts signaux d’entrée. 2. Tracez les évolutions des potentiels nodaux des entrées de l’OTA2. 3. Ecrivez l’expression de la période des oscillations. 4. Dans la considération d’un oscillateur contrôlé par la tension de commande Vcom (VCO), écrivez les expressions de la fréquence libre f0 et le facteur de sensibilité K 0 , répondant à la relation fVCO = K 0 Vcom + f0 , en fonction des composants passifs et des tensions appliquées au circuit. Evaluez ces paramètres. 5. Discutez de l’influence des valeurs des composants passifs R1 , R3 , R 4 et C sur les performances de l’oscillateur.

Sylvain Géronimi

Page 281

Circuits intégrés



Corrigé 1. Fonctionnement de l’oscillateur Les OTA travaillant à forts signaux, le courant de sortie en fonction du temps est de la forme ⎛ v (t ) ⎞ i S (t ) = I pol th ⎜⎜ D ⎟⎟ ≅ ± I pol , car v D (t ) >> 2 UT . ⎝ 2 UT ⎠ En régime permanent, le signal sur la résistance de charge R 4 de OTA2 est un signal carré de niveau ± R 4 I pol 2 par rapport à la masse. Ce signal est appliqué à l’entrée (+) de OTA1 et comparé à la masse et le condensateur C en sortie, chargé (ou déchargé) à courant constant, produit à ses bornes un signal triangulaire. Ce signal est recopié à la sortie du buffer de OTA1, à la translation 2VBE près, et comparé au signal carré à l’entrée de l’OTA2. Il y a basculement lorsque les niveaux des signaux sont quasiment égaux ( v D (t ) ≅ 0 ). Ainsi, la tension aux bornes du condensateur croît ou décroît linéairement suivant que le signal carré est sur son front haut ou son front bas et ceci de façon périodique. Le circuit est donc un oscillateur produisant deux signaux synchrones de forme carrée et triangulaire. Le signal carré v OUT (t ) est disponible en sortie de buffer sous faible impédance pour une attaque en tension. Si la tension Vcom est variable (modulation) , la fréquence de l’oscillateur est modifiée (VCO). 2. Chronogrammes

+ R 4 I pol 2

+ v OTA

2

− v OTA 2 0

t2

t1

t

− R 4 I pol 2 + − (t ) − v OTA (t ) ≅ 0 , c’est-à-dire que les tensions Les basculements ont lieu lorsque v D (t ) = v OTA 2 2

+ − = ± R 4 I pol 2 et v OTA = v C (t ) − 2VBE sont à peu près égales. nodales v OTA 2 2

3. Période des oscillations En prenant pour origine des temps, le basculement − R 4 I pol 2 → + R 4 I pol 2 de la tension de sortie de OTA2, calculons les instants t1 et t 2 des basculements suivants. A partir de l’instant t = 0 , v C (t ) =

d’où v C (t ) =

Sylvain Géronimi

I pol1 C

I pol1 C

t + cte avec cte = v C (0) = − R 4 I pol 2 + 2VBE

t − R 4 I pol 2 + 2VBE pour t ∈ [0, t1 ]

Page 282

Circuits intégrés



A l’instant t1 du basculement suivant + R 4 I pol 2 → − R 4 I pol 2 , v C (t1 ) = R 4 I pol 2 + 2VBE =

I pol1 C

t1 − R 4 I pol 2 + 2VBE ⇒ t1 =

A partir de l’instant t1 , VC (t ) = − d’où v C (t ) = −

I pol1 C

I pol1 C

2 C R 4 I pol 2 I pol1

t + cte avec cte = VC (t1 ) +

I pol1 C

t1 = 3 R 4 I pol 2 + 2VBE

t + 3 R 4 I pol 2 + 2VBE pour t ∈ [t1,t 2 ]

A l’instant t 2 du basculement suivant − R 4 I pol 2 → + R 4 I pol 2 , v C (t 2 ) = − R 4 I pol 2 + 2VBE = −

Ainsi, t 2 = 2 t1 =


I pol1 C

t 2 + 3 R 4 I pol 2 + 2VBE ⇒ t 2 =


= T (période des signaux)

4. Caractéristique du VCO fVCO ≅

I pol1

avec I pol1 =

4 C R 4 I pol 2

de la forme fVCO = K 0 Vcom + f0

2VCC − 2VBE Vcom − 2VBE + VCC et I pol 2 = R1 R3

avec f0 ≅

R3 VCC − 2VBE 4 C R1 R 4 2VCC − 2VBE

et K 0 ≅

VCC

f0 − 2VBE

L’application numérique donne f0 ≅ 100 kHz et K 0 ≅ 7.23 kHz / V . 5. Discussion Les résistances R3 et R 4 réglent l’amplitude du signal carré. Le choix de la fréquence centrale f0 du VCO est fixée par la valeur de C et R1 avec la condition Vcom = 0V , tension correspondant au centrage de la plage des fréquences possibles.

200K

150K

K0 ≅ 6.89 kHz/V

(15.000, 195.371K) (20.548m, 96.440K)

100K

(-12.000, 12.280K) 50K

0 -12

Sylvain Géronimi

1/ Period(V(OUT))

-8

-4

0

4

8

12

15

Vcom

Page 283

Circuits intégrés



Vcom = 0 V

10V (32.318u, 5.6410)

fosc ≅ 96.8 kHz

2VBE 0

pente ≅ 2.21 V/µs

-10V

28us

(36.671u, -7.2086) 30us V(OTA2:+) - V(OTA2:-) V(OTA2:+)

32us V(OTA2-) V(OUT)

V(C)

34us

36us

(37.706u, -5.8083)

38us

40us

Time

La simulation montre des résultats en accord avec l’étude à la précision près des valeurs de VBE (0.6 à 0.7 V) et de la transition de IS = ± I pol en fonction de VD lors des basculements. Pente du signal triangulaire

I pol1 C

≅ 2.3 V / µs et amplitude crête du signal carré R 4 I pol 2 ≅ 5.76 V avec

VBE = 0.6 V .

Sylvain Géronimi

Page 284

Circuits intégrés



Buffer et amplificateur à conductance de transfert (OPA660 de Burr-Brown) Le circuit à étudier intègre deux fonctions, un buffer et un amplificateur à conductance de transfert. Tous les transistors sont supposés technologiquement identiques ou parfaitement complémentaires et de gain en courant β = 200 , de tension d’Early VA = 100V . L’alimentation symétrique du montage est telle que VCC = ± 5 V . Les résistances R pol et Rch sont hors puce et la tension VE est appliquée à l’entrée du circuit. Lors des calculs, les courants de base seront négligés ( β grand ) et VA >> VCEo . Etude du buffer de tension (Diamond Buffer) +VCC

Q4

Q3

Q8

Q6 Rpol 17.6k

vE

Q7

Q5

Ipol

Q1

Rch 1k

vS

Q2

-VCC

Compréhension du schéma 1. Donnez une description précise du circuit. Etude du régime pseudo-continu 2. Ecrivez la relation de la tension VS en fonction de VE et I pol , Rch .

Etude du régime continu 3. Evaluez les courants de collecteur des transistors. Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 4. Evaluez les paramètres rbe et rce des modèles des transistors. 5. Dessinez le schéma. 6. Ecrivez l’expression du transfert en tension Av = v s v e . Comparez au résultat obtenu lors de l’étude en régime pseudo-continu. 7. Ecrivez les expressions des résistances d’entrée Z e et de sortie Z s vue de la charge. 8. Evaluez les paramètres Z e , Z s , A v qui caractérisent l’amplificateur de tension en précisant les conditions d’adaptation à respecter.

Sylvain Géronimi

Page 285

Circuits intégrés



Etude de l’amplificateur à conductance de transfert (Diamond Transistor) +VCC

Q4

Q3

Q11

Q12

Q8

Q6

iS

Rpol 17.6k

vE

Q7

Q5

vS

Ipol

Q1

Q2

Q9

Rch 1k

Q10

-VCC

Compréhension du schéma 9. Donnez une description précise du circuit. Etude du régime pseudo-continu 10. Ecrivez la relation de la tension IS en fonction de VE et I pol .

Etude du régime continu 11. Evaluez les courants de collecteur des transistors. Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 12. Evaluez les paramètres rbe et rce des modèles des transistors, ainsi que les éléments de la caractérisation des miroirs Q9 - Q10 et Q11 - Q12 ( ze , zs , Ai ). 13. Dessinez le schéma. 14. Ecrivez l’expression du transfert en tension Yt = i s v e . Comparez au résultat obtenu lors de l’étude en régime pseudo-continu. 15. Ecrivez les expressions des résistances d’entrée Z e et de sortie Z s du montage. 16. Evaluez les paramètres Z e , Z s , Y t qui caractérisent l’amplificateur à conductance de transfert en précisant les conditions d’adaptation à respecter. Rappel de la notation : v E (t ) = VE + v e (t ) , … (superposition des régimes continu et dynamique).

Sylvain Géronimi

Page 286

Circuits intégrés



Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le schéma se compose d’un étage de polarisation et de quatre étages collecteur commun. Une symétrie par rapport à la masse, due aux transistors complémentaires fait apparaître une topologie parallèle de l’ensemble. - Le circuit de polarisation est composé de deux miroirs de courant élémentaire Q1 - Q2 et Q3 - Q4 polarisant respectivement les transistors Q6 et Q5 . Les courants de ces sources sont fixés par le choix de la résistance R pol . Nous démontrerons que l’association des transistors parfaitement complémentaires Q5 - Q8 et Q6 - Q7 produit ici les mêmes courants de polarisation. -

Les étages collecteur commun Q5 et Q6 , chargés en partie par une source de courant, présentent un niveau de résistance d’entrée relativement élevé, permettant une attaque en tension du montage. Les étages collecteur commun Q7 et Q8 assurent une faible résistance de sortie, permettant une attaque en tension de la charge. L’association de ces émetteurs suiveurs conduit à un gain en tension unité. Ici, l’intérêt de cette topologie réside dans l’association en cascade de deux émetteurs suiveurs complémentaires ( Q5 - Q8 ou Q6 - Q7 ) qui compensent leurs tensions base-émetteur en mode actif (ni saturés ou bloqués), donc pas de translation de tension continue entre entrée et sortie ( VS ≅ VE ) et amélioration de la stabilité thermique (structure Diamond).

Cette partie du circuit intégré est appelé Diamond Buffer.

Etude du régime pseudo-continu Les courants de saturation I BS des jonctions base-émetteur et les gains en courant β des transistors sont supposés identiques, l’effet Early est négligé. 2. Relation VS (VE ) Pour les étages de polarisation : VBE1 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ Q1 ≡ Q2 → ⎨ 1 (technologie) VBE2 ⎪ UT ⎩⎪IC2 ≅ β I BS e VEB3 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ Q3 ≡ Q4 → ⎨ 3 (technologie) VEB4 ⎪ ⎪⎩IC4 ≅ β I BS e UT

VBE1 = VBE 2 (circuit)

⇒ IC1 ≅ IC2 ≅ I pol

VEB3 = VEB4 (circuit)

⇒ IC3 ≅ IC4 ≅ I pol

Pour les étages émetteurs suiveurs VEB5 ⎧ VE −VS ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ 5 Q5 ≡ Q8 → ⎨ (technologie) VE = −VEB5 + VBE8 + VS (circuit) ⇒ IC8 ≅ I pol e UT VBE8 ⎪ ⎪⎩IC8 ≅ β I BS e UT

Sylvain Géronimi

Page 287

Circuits intégrés



VBE6 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ 6 Q6 ≡ Q7 → ⎨ (technologie) VEB7 ⎪ UT ⎩⎪IC7 ≅ β I BS e

VE = VBE6 − VEB7 + VS (circuit) ⇒ IC7 ≅ I pol e

−

VE −VS UT

Pour définir la tension de sortie

(

VS ≅ Rch IC8 − IC7

)

V −V ⎛ VE −VS − E S ⇒ VS ≅ Rch I pol ⎜ e UT − e UT ⎜ ⎝

⎞ ⎟ = 2 R I sh VE − VS ch pol ⎟ UT ⎠

Comme il a été dit lors de la discussion, VS ≅ VE ou VE − VS << UT d’où VS ≅

⎛ V − VS ⇒ sh⎜⎜ E ⎝ UT

⎞ VE − VS ⎟⎟ ≅ UT ⎠

1 VE ≅ VE tant que les transistors travaillent en mode actif. UT 1+ 2 I pol Rch

Etude du régime continu 3. Courants de polarisation Aucune source dynamique n’étant appliquée à l’entrée du circuit, les bases des transistors Q5 et Q6 sont à la masse. Dans l’étude du régime pseudo-continu, cela revient à poser VE = 0 . Il s’en suit que tous les courants de collecteur sont égaux à I pol et la tension de sortie VS ≅ 0 . 2VCC = VEB3 + R pol I pol + VBE1 (circuit) ⇒ I pol ≅ 500 µA avec VBEo ≅ 0.6 V .

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 4. Evaluation des paramètres des modèles des transistors rbe ≅

UT V β et rce ≅ A ( VCEi << VA ) , soit rbe ≅ 10 kΩ , rce ≅ 200 kΩ I pol I pol

5. Schéma

rce Q8 Q5

Q6

ve

vs

Rch

Q7 rce

Sylvain Géronimi

Page 288

Circuits intégrés



6. Expression du transfert en tension Etages collecteur commun Q5 ou Q6 i rbe βi

rce /2

ve

Z s1

vs1

rce ⎧ rce (β + 1) ⎪⎪v e = rbe i + 2 (β + 1)i v s1 2 ⇒ = ≅1 ⎨ rce ve ⎪v = rce (β + 1)i (β + 1) rbe + ⎪⎩ s1 2 2 i0 i

i1 βi

rbe

rce /2

v0

⎧i 0 + (β + 1)i = i1 ⎪ r r r rce ⎪ ⇒ Z s1 = ce // be ≅ be i1 ⎨v 0 = 2 β +1 β +1 2 ⎪ ⎪⎩v 0 = − rbe i

Etages collecteur commun Q7 ou Q8 i Zs1 + rbe βi

rce

βi

rce

vs1

i Zs1 + rbe vs1

(

)

vs ⎧⎪v s1 = Zs1 + rbe i + 2 (β + 1)(rce // rce // Rch )i ⇒ 1 ≅1 ⎨ vs ⎪⎩v s = 2 (β + 1)(rce // rce // Rch )i

Le transfert en tension global est donc

Rch

vs

Zs

(avec charge équivalente rce // rce // Rch )

v s1 v s ≅ 1 ou v s ≅ v e , ce qui est la même expression que v e v s1

pour le transfert en régime pseudo-continu. 7. Résistances d’entrée et de sortie du montage Calcul de la résistance d’entrée Les étages collecteur commun Q7 ou Q8 présentent chacun la résistance d’entrée Z e2 = rbe + 2 (β + 1)(rce // rce // Rch ) . La résistance d’entrée du montage est donc celles des étages collecteur commun Q5 ou Q6 mis en parallèle, chargés chacun par Z e2 , soit

Sylvain Géronimi

Page 289

Circuits intégrés


Ze =


1⎡ ⎛ rce ⎞⎤ β ⎡ r // Ze2 ⎟⎥ ≅ ⎢ ce ⎢rbe + (β + 1)⎜ 2⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ 2 ⎢⎣ 2

⎛ ⎛r ⎞ ⎞⎤ // ⎜⎜ 2 β ⎜ ce // Rch ⎟ ⎟⎟⎥ ⎠ ⎠⎥⎦ ⎝ ⎝ 2

Calcul de la résistance de sortie La résistance de sortie, vue par la charge extérieure, est produite par les deux étages collecteur rbe + Z s1 ⎞ rbe 1⎛ ⎟≅ . commun Q7 et Q8 en parallèle, soit Z s = ⎜⎜ rce // 2⎝ β + 1 ⎟⎠ 2 β L’association de cette résistance Z s en série avec une source de tension indépendante v s constitue le dipôle équivalent de Thévenin pouvant attaquer la charge du montage. 8. Caractérisation du buffer Les conditions d’adaptation à respecter pour ce type d’amplificateur en tension sont une attaque en tension en entrée ( Z e >> RG ) et en sortie ( Z s << Rch ).

Zs

RG ve

Ze

Rch

A v ve

vg

avec les valeurs Av ≅ 1 , Ze ≅ 8 MΩ , Zs ≅ 25 Ω .

5.0V

pente de 0.983 V/V

VS (VE)

saturation et blocage des transistors

0V

fonctionnement en mode actif des transistors

saturation et blocage des transistors -5.0V -5.0V

0V

5.0V

Nous constatons que le domaine de linéarité est très étendu, puisque la tension d’entrée maximale possible est voisine de la tension d’alimentation ±VCC .

Sylvain Géronimi

Page 290

Circuits intégrés



Compréhension du schéma 9. Description Le schéma est conçu sur la même idée que le buffer étudié précédemment (structure Diamond). Il vient s’ajouter un transfert statique et dynamique de courant vers la nouvelle sortie. La symétrie par rapport à la masse de l’ensemble, due aux transistors complémentaires, fait toujours apparaître une topologie parallèle. - Les étages émetteur suiveur Q7 et Q8 reconduisent leur courant de collecteur vers la sortie par le biais des miroirs Q9 - Q10 et Q11 - Q12 . Cet ensemble étant complémentaire par rapport à la masse, le courant de sortie i S est la différence de leurs courants de collecteur. -

Les deux miroirs en parallèle produisent en sortie une résistance dynamique relativement importante pour attaquer une charge en courant.

Ce circuit intégré peut donc être utilisé en amplificateur à conductance de transfert.

Etude du régime pseudo-continu 10. Relation IS (VE ) Pour définir la tension de sortie du buffer (émetteurs suiveurs en mode actif) Rch VS ≅ Rch IC8 − IC7 ou VS ≅ VE ≅ VE . U Rch + T 2 I pol

(

)

Pour les étages de transfert de courant VBE9 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ 9 Q9 ≡ Q10 → ⎨ (technologie) VBE10 ⎪ ⎪⎩IC10 ≅ β I BS e UT

Q11 ≡ Q12

VEB11 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ → ⎨ 11 (technologie) VEB12 ⎪ ⎪⎩IC12 ≅ β I BS e UT

VBE9 = VBE10 (circuit)

⇒ IC9 ≅ IC10

VEB11 = VEB12 (circuit)

⇒ IC11 ≅ IC12

Pour définir le courant de sortie ⎧IS = IC − IC 12 10 VS VE V 1 ⎪⎪ ≅ E ou encore IS ≅ ⎨IC12 ≅ IC11 ≅ IC8 ⇒ IS ≅ IC8 − IC7 ≅ U Rch Rch Rch T ⎪ 1+ ⎪⎩IC10 ≅ IC9 ≅ IC7 2 I pol Rch tant que les transistors travaillent en mode actif.

Etude du régime continu 11. Courants de polarisation Tous les courants de collecteur sont égaux à I pol et le courant de sortie IS ≅ 0 .

Sylvain Géronimi

Page 291

Circuits intégrés



Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 12. Evaluation des paramètres des modèles des transistors et des quadripôles de transfert de courant rbe ≅ 10 kΩ , rce ≅ 200 kΩ et ze =

rbe β ≅ 50 Ω , zs = rce ≅ 200 kΩ , Ai = ≅1 β +2 β +2

13. Schéma ≅ i1 ze

rce

zs i1 Q8

Q5

ve

is

in

Q6

vs

Rch

Q7 i2 rce

zs

ze

≅ i2

14. Expression de la conductance de transfert Etages collecteur commun Q5 ou Q6 (inchangé) Etages collecteur commun Q7 ou Q8 Les schémas des deux étages étant identiques, chacun débite un même courant constituant le courant i n traversant la charge. i

in /2

in /2

Zs1 + rbe βi

rce

vs1

Rch

(

)

⎧v s1 = Z s1 + rbe i + rce (i1 + β i ) + ze i1 ⎪ ⎨rce (i1 + β i ) + ze i1 = Rch i n ⎪i = 2 (i − i ) 1 ⎩n

vs

β i + i1 i1 ze

(

)

⎧⎪v s = Z s1 + rbe + β rce i + (rce + ze )i1 ⇒ ⎨ 1 ⎪⎩(rce + ze + 2 Rch )i1 = (2 Rch − β rce )i

soit

i1 1 ≅− v s1 2 Rch

(

)

⎡ ⎤ r + ze + 2 Rch + rce + ze ⎥ i1 ⇒ v s1 = ⎢ Z s1 + rbe + β rce ce R r − 2 β ch ce ⎣ ⎦

avec rce >> ze , β rce >> 2 Rch et Z s1 + rbe .

Etages de transfert en courant i s ≅ − (i1 + i 2 ) = − 2 i1

⇒ i s ≅ − (i1 + i 2 ) = − 2 i1 ≅

ve Rch

(courant de court-circuit à l’image du

théorème de Norton)

Sylvain Géronimi

Page 292

Circuits intégrés


soit Yt =

is 1 ≅ v e Rch


(même expression que pour le transfert en régime pseudo-continu).

15. Résistances d’entrée et de sortie du montage La résistance d’entrée du montage est inchangée (voir l’étude du buffer). Calcul de la résistance de sortie rce . 2 L’association de cette résistance Z s en parallèle avec une source de courant indépendante i s constitue le dipôle équivalent de Norton pouvant attaquer la charge du montage.

La résistance de sortie est produite par deux miroirs en parallèle, soit Zs = rce10 // rce12 =

16. Caractérisation de l’amplificateur à conductance de transfert Les conditions d’adaptation à respecter pour ce type d’amplificateur sont une attaque en tension en entrée ( Z e >> RG ) et une attaque de la charge en courant ( Z s >> Rch ). is

ve

Ze

vs

Zs

Rch

Yt ve

avec les valeurs Yt ≅ 1 mA / V , Z e ≅ 8 MΩ , Z s ≅ 100 kΩ . 5.0mA

IS (VE)

saturation et blocage

pente de 0.973 mA/V 0A

fonctionnement en mode actif des transistors

saturation et blocage

-5.0mA -5.0V

0V

5.0V

Nous constatons que le domaine de linéarité est très étendu, puisque la tension d’entrée maximale possible est voisine de la tension d’alimentation ± VCC . De plus, les transferts en tension et en courant ont même expression en régime pseudo-continu et en régime dynamique à condition de rester dans le mode actif des transistors. Par contre, l’étude du régime pseudo-continu est la seule étude à délimiter les domaines de linéarité.

Sylvain Géronimi

Page 293

Circuits intégrés



Applications de l’amplificateur à conductance de transfert L’amplificateur à conductance de transfert peut être vu comme un « transistor auto-polarisé », puisque par définition, c’est une source de courant commandée par une tension. Ce quasi-transistor possède trois bornes : une entrée à haute impédance (base), une entrée/sortie à basse impédance (émetteur) et une sortie de courant (collecteur). Nous proposons trois applications de base de l’amplificateur qui démontrent une équivalence de comportement avec les montages fondamentaux traditionnels. Dans les schémas apparaît le montage de l’étude précédente sous l’image symbolique suivante.

C B E

Application n°1

Application n°2

Application n°3

iS

iS

C

Rch

C

vOUT

E

vIN

C

B

B

E

vIN

vOUT

E iS

iS RE

Rch

B

vE

Rch

vOUT

RE

vIN

1. Déterminez le transfert en tension des montages suivants. 2. Comparez avec les caractéristiques des montages fondamentaux.

Corrigé Application n°1

1. Transfert en tension Régime pseudo-continu V R VE V 1 1 VE ≅ VIN ≅ VIN , IS ≅ ≅ E , VOUT = Rch IS ⇒ OUT ≅ ch UT UT RE RE VIN RE 1+ 1+ 2 I pol RE 2 I pol RE Régime continu VE ≅ VIN = 0 (base à la masse), IS ≅ 0 ⇒ VOUT ≅ 0 Régime dynamique aux faibles signaux v R r v v e ≅ v in , v out ≅ Rch i s ≅ Rch in ⇒ out ≅ ch , Z s ≅ ce // Rch ≅ Rch 2 RE v in RE

Sylvain Géronimi

Page 294

Circuits intégrés



2. Comparaison Le montage est un amplificateur non inverseur, comparable à un montage pseudo-émetteur commun (inverseur) sans translation de l’ordre 0.6 V de la tension de sortie en régime continu. Sa résistance de sortie est de valeur importante (source de courant).

Application n°2

1. Transfert en tension Régime pseudo-continu 1 VOUT ≅ VIN ≅ VIN UT 1+ 2 I pol Rch Régime continu VIN = 0 (base à la masse) ⇒ VOUT ≅ 0 Régime dynamique aux faibles signaux r v out ≅ v in , Z s ≅ be 2β 2. Comparaison Le montage est un amplificateur suiveur (buffer), comparable à un montage collecteur commun sans translation de 0.6 V de la tension de sortie en régime continu. Sa résistance d’entrée est de valeur importante et sa résistance de sortie de valeur faible.

Application n°3

1. Transfert en tension Régime pseudo-continu V R V IS ≅ − IN , VOUT = Rch IS ⇒ OUT ≅ − ch RE VIN RE Régime continu VIN = 0 , IS ≅ 0 ⇒ VOUT ≅ 0 Régime dynamique aux faibles signaux v R v i s ≅ − in , v out ≅ Rch i s ⇒ out ≅ − ch , Z s ≅ Rch RE v in RE 2. Comparaison Le montage est un amplificateur inverseur, comparable à un montage base commun (non inverseur) sans translation de la tension de sortie en régime continu. De plus, l’amplificateur travaille en convoyeur de courant de gain unité. Sa résistance d’entrée est de valeur faible et sa résistance de sortie de valeur importante.

Sylvain Géronimi

Page 295

Circuits intégrés



Amplificateur à contre réaction de courant (LT1223 de Linear Technology) Tous les transistors de ce circuit intégré sont supposés technologiquement identiques ou parfaitement complémentaires et de gain en courant β = 200 , de tension d’Early VA = 100V . La capacité C correspond à un effet parasite en H.F.. La résistance R est hors puce et la tension VE est appliquée à l’entrée du circuit. L’alimentation symétrique du montage est telle que VCC = ± 15 V . Lors des calculs, les courants de base seront négligés ( β grand ) et VA >> VCEo .

+VCC

Q5

Q6

Q12

Q9 Q10

Q11

Q3

Q19

Q17

Ipol Q1 iN C

R 57.6k

vE

Q2

vS

vN Q18

Q4

Q15 Q20 Q14 Q7

Q8

Q16

Q13

-VCC

Compréhension du schéma 1. Donnez une description précise du circuit. Etude du régime continu 2. Evaluez les courants de collecteur des transistors. Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences moyennes 3. Evaluez les paramètres rbe et rce des modèles des transistors, ainsi que les éléments de la caractérisation des sources de courant. 4. Dessinez le schéma du circuit intégré en prenant en compte les éléments précédents.

Sylvain Géronimi

Page 296

Circuits intégrés



5. En considérant uniquement la partie de circuit composée des transistors Q1 - Q2 - Q3 - Q4 et leurs charges, écrivez les expressions des résistances d’entrée Re1 et de sortie Rs1 , du gain de transfert en tension α1 = v n v e dans des conditions idéales d’adaptation en tension à l’entrée et chargé par une résistante Rch1 à la sortie. Evaluez ces paramètres. 6. En considérant uniquement la partie de circuit composée des transistors Q17 - Q18 - Q19 - Q20 et le circuit d’attaque, écrivez les expressions de la résistance de transfert Rt = v s i n à vide (charge infinie), et de sortie Rs2 . Evaluez ces paramètres. Etude du régime dynamique faibles signaux aux fréquences hautes 7. En ne considérant que l’effet dû à la capacité parasite C, écrivez les expressions des impédances de transfert Z t (p ) et de sortie Z s2 ( p ) . 8. Dessinez le schéma de l’ensemble du circuit en utilisant les paramètres de caractérisation obtenus.

Sylvain Géronimi

Page 297

Circuits intégrés



Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le schéma se compose d’un buffer en entrée (étage tampon de gain en tension unité) dont le courant de sortie, dépendant de sa charge, subit un transfert vers l’entrée d’un second buffer. Un étage de polarisation, présent en amont, conditionne les courants du circuit intégré. La symétrie par rapport à la masse de l’ensemble, due aux transistors complémentaires, fait apparaître une topologie parallèle. -

Le circuit de polarisation est composé de deux miroirs de courant élémentaire Q5 - Q6 et Q7 - Q8 imposant respectivement les courants de collecteur des transistors Q1 et Q2 . Les courants de ces sources sont fixés par le choix de la résistance R. L’association des transistors parfaitement complémentaires Q1 - Q3 et Q2 - Q4 reconduit ces courants de polarisation à l’entrée des deux répétiteurs de courant à effet miroir (miroirs élémentaires et Wilson) pour polariser les transistors Q17 et Q18 en association avec Q19 et Q20 .

-

Le buffer d’entrée est constitué de quatre transistors Q1 - Q2 - Q3 - Q4 montés en collecteur commun. Q1 et Q2 , chargés en partie par une source de courant, présentent un niveau de résistance d’entrée relativement élevé, permettant une attaque en tension du montage. Q3 et Q4 assurent une faible résistance de sortie au niveau de leurs émetteurs, permettant une attaque en tension de la charge. L’association de ces émetteurs suiveurs conduit à un gain en tension unité. Ici, l’intérêt de cette topologie réside dans l’association en cascade de deux émetteurs suiveurs complémentaires ( Q1 - Q3 ou Q2 - Q4 ) qui compensent leurs tensions base-émetteur en mode actif (ni saturés ou bloqués), donc pas de translation de tension continue entre entrée et sortie ( VS ≅ VE ) et amélioration de la stabilité thermique (structure Diamond).

-

Le faible courant différentiel en sortie du buffer est reconduit par effet miroir (sources de Wilson Q9 - Q10 - Q11 et Q13 - Q14 - Q15 ) de manière à ce qu’il traverse une charge dynamique complexe de valeur très importante (résistances de sortie des sources Wilson en parallèle avec la capacité parasite C). Le buffer de sortie Q17 - Q18 - Q19 - Q20 possède une topologie à l’image du buffer d’entrée à l’apport d’un transfert en courant près (miroirs élémentaires Q10 - Q12 et Q14 - Q16 ). La tension développée aux bornes de la charge à l’entrée du buffer est recopiée à sa sortie. Les caractéristiques dynamiques des buffers sont fonctions des conditions d’attaque et de charge.

-

En résumé, si un signal est appliqué à l’entrée, il déséquilibre les entrée de Q1 et Q2 en générant un courant de décalage. Ce faible courant est transmis à une forte impédance dynamique dont la tension résultante est recopiée en sortie (à l’adaptation près).

+ VCC

buffer E

I1

transfert de courant

I1 buffer

+1

N

+1

S

C I2

transfert de courant

I2

- VCC

Sylvain Géronimi

Page 298

Circuits intégrés



Etude du régime continu 2. Courants de polarisation Aucune tension n’étant appliquée à l’entrée du circuit, les bases des transistors Q1 et Q2 sont à la masse. Il s’en suit que tous les courants de collecteurs sont égaux à I pol et les tensions de sortie VN ≅ 0 et VS ≅ 0 (symétrie complémentaire). VBE i

Les transistors étant technologiquement identiques, ICi ≅ β I BS e

UT

.

Pour le buffer d’entrée, VE = − VEB1 + VBE3 + VN ⇒ VEB1 = VBE3 ⇒ IC1 = IC3 ≅ I pol et VBE 2 = VEB4 ⇒ IC2 = IC4 ≅ I pol . Pour le buffer de sortie, les courants de polarisation sont reconduits par les miroirs Q10 - Q12 et Q14 - Q16 , IC17 = IC19 ≅ I pol et IC18 = IC20 ≅ I pol . Le courant de polarisation est calculé à partir de l’écriture de la maille 2VCC = VEB5 + R I pol + VBE7 d’où I pol ≅ 500 µA avec VBEo ≅ 0.6 V .

Etude du régime dynamique (faibles signaux aux fréquences moyennes) 3. Evaluation des paramètres des modèles des transistors et des quadripôles de transfert de courant U V rbe ≅ T β et rce ≅ A ( VCEi << VA ) , soit rbe ≅ 10 kΩ et rce ≅ 200 kΩ I pol I pol ze =

2 rbe β ≅ 99 Ω , zs ≅ rce ≅ 20 MΩ , Ai ≅ 1 (sources de Wilson) β +2 2

zs' = rce12,16 = 200 kΩ , Ai' ≅ 1 (miroirs élémentaires)

4. Schéma

≅ i1

≅ i1

ze

rce

rce

zs i1 Q3

Q1

ve

Q19 Q17

in

Q2

C

vn

Q18

Q4

vs Q20

i2 rce

ze

buffer d’entrée

zs ≅ i2

rce ≅ i2

transfert en courant

buffer de sortie

La symétrie du schéma conduit à i1 = i 2 .

Sylvain Géronimi

Page 299

Circuits intégrés



5. Caractérisation du buffer d’entrée i rbe

i’ rbe

βi

β i’

rce /2

rce

2i

in /2 in

i1 ze ve

in /2 i rbe

vn

i’ rbe

βi

rce /2

β i’

rce

i1 ze

Evaluation du transfert en tension à vide Etages collecteur commun Q1 ou Q2 i rbe βi

rce /2

ve

i0 i rbe

⎧i 0 + (β + 1)i = i1 ⎪ r r r rce ⎪ ⇒ zs1 = ce // be ≅ be i1 ⎨v 0 = 2 β + 1 β +1 2 ⎪ ⎪⎩v 0 = − rbe i

i1 βi

rce /2

zs1

vs1

rce ⎧ ⎪⎪v e = rbe i + 2 (β + 1)i ⎨ ⎪v = rce (β + 1)i ⎪⎩ s1 2 vs (β + 1)rce ≅ 1 ⇒ 1 = 2 rbe + (β + 1)rce ve

v0

Etages collecteur commun Q3 ou Q4 i’ zs1 + rbe β i’

rce

vs1

vn

i1

(

)

⎧v s1 = zs1 + rbe i '+ rce (β + 1)i '+ ze i1 ⎪ ⎨v n = rce (β + 1)i '+ ze i1 ⎪i = i ' ⎩1

ze

⇒

rce (β + 1) + ze v v v s1 vn ≅ 1 (à vide) = ≅ 1 d’où α 1 = n = n v s1 zs1 + rbe + rce (β + 1) + ze v e v s1 v e

Sylvain Géronimi

Page 300

Circuits intégrés



Evaluation de la résistance de sortie i0 i’

β i’

rce

⎧i + (β + 1)i ' = β i '+ i 0 1 ⎪⎪ ⎨v 0 = − rbe + zs1 i ' ⎪ ⎪⎩rce (β i '+i1 ) + ze i1 + rbe + zs1 i ' = 0

(

v0

zs1 + rbe

)

(

)

i1

⎧i = i − i ' ⎪⎪ 0 1 ⇒ ⎨v 0 = − rbe + zs1 i ' ⎪ ⎩⎪ (ze + rce ) i1 + rbe + zs1 + β rce i ' = 0

ze

(

v0 ⎧ ⎪i 0 = i1 + r + z be s1 ⎪ ⇒ ⎨ v0 ⎪ (z + r ) i = r + z + β r be s1 ce ⎪ e ce 1 r be + zs1 ⎩

(

d’où Rs1 ≅

rbe + zs1

2 (β + 1)

⇒

)

v0 = i0

(

)

rbe + zs1

1+

rbe + zs1 + β rce

)

≅

rbe + zs1

β +1

ze + rce

≅ 25 Ω .

Evaluation de la résistance d’entrée L’évaluation de la résistance d’entrée est fonction de la résistance de charge Rch1 du buffer. i’

in /2

in /2

rbe β i’

rce

v0

Rch1

vn

β i’ + i1 i1 ze

⎧v 0 = rbe i '+rce (β i '+ i1 ) + ze i1 ⎪ ⎨Rch1 i n = rce (β i '+ i1 ) + ze i1 ⎪ ⎩i n = 2 (i '−i1 )

⇒ ze2 = rbe + β rce + (rce + ze )

⎧⎪v 0 = (rbe + β rce ) i '+ (rce + ze )i1 ⇒ ⎨ ⎪⎩ rce + ze + 2 Rch1 i1 = 2 Rch1 − β rce i '

(

)

2 Rch1 − β rce rce + ze + 2 Rch1

(

)

⎞ ⎛r ≅ rbe + 2 (β + 1)⎜ ce // Rch1 ⎟ ⎠ ⎝ 2

La résistance d’entrée du montage est donc celles des étages collecteur commun Q5 ou Q6 mis en parallèle, chargés chacun par ze2 , soit Re1 =

1⎡ ⎛ rce ⎞⎤ // ze2 ⎟⎥ ⎢rbe + (β + 1)⎜ 2⎣ 2 ⎝ ⎠⎦

Les valeurs limites de cette résistance sont 0.92 MΩ ≤ Re1 ≤ 10 MΩ pour 0 ≤ Rch1 ≤ ∞ .

Sylvain Géronimi

Page 301

Circuits intégrés



Le buffer peut être représenté sous la forme du quadripôle suivant : in Rs1 Re1

ve

vn =

Rch1

vn

R α 1v e (en charge) R + Rs1

α1 ve

Les conditions d’adaptation à respecter pour ce type d’amplificateur en tension sont une attaque en tension en entrée ( Re1 >> RG ) et en sortie ( Rs1 << R ).

Expressions des courants i1 , i 2 , i n Le schéma du buffer étant symétrique, les étages suiveurs Q1 - Q3 et Q2 - Q4 débitent un même courant ( i1 = i 2 ) constituant le courant i n traversant la résistance de charge Rch1 . ⎪⎧Rch1 i n = rce (β i '+ i1 ) + ze i1 ⎨ ⎪⎩i n = 2 (i '−i1 )

⇒ 2 i1 =

2 Rch1 − β rce

(β + 1)rce + ze

in ≅ −

β in ≅ − in β +1

avec (β + 1)rce >> ze et β rce >> 2 Rch1 Rch1 i n =

Rch1 Rch1 + Rs1

α 1v e

d’où i1 = i 2 ≅ −

ve in et i n ≅ . 2 Rch1 + Rs1

6. Caractérisation de l’étage amplificateur à résistance de transfert rbe

rbe

i βi

rce /2

2i

i’ β i’

in /2

rce

i’’ in

Rn rbe

vs

rbe i’

i βi

rce /2

in /2

β i’

rce

i’’

Evaluation de la résistance de transfert à vide La sortie des sources de Wilson (étages de transfert en courant) fait apparaître un circuit sous forme de Norton, attaquant le second buffer, tel que i n ≅ − (i1 + i 2 ) = − 2 i1 et Rn =

Sylvain Géronimi

zs = 10 MΩ . 2

Page 302

Circuits intégrés


in ⎧ '' ' ⎪(β + 1)i + 2 = i + i ⎪ ⎪[r + r (β + 1)]i ' = rce i '' ⎪ be ce 2 ⎨ ⎪ rce '' i ⎪R n (i n − 2 i ) = rbe i + 2 ⎪ ⎪v s = rce (β + 1)i ' ⎩


⎧⎡ rce ⎤ ' rce (β + 1)i + rce i n i = ⎪⎢rbe + rce (β + 1) + ⎥ 2 ⎦ 2 4 ⎪⎣ ⎪ ' ⇒ ⎨R n i n = (2 Rn + rbe ) i + [rbe + rce (β + 1)]i ⎪ ' ⎪v s = rce (β + 1)i ⎪ ⎩

rce ⎡ rce ⎤ ⎧ (β + 1)⎫⎪⎪ v ⎢ 2 (β + 1)Rn rce ⎥ rce ⎪⎪ s 2 ⇒ ⎨rbe + rce (β + 1) + =⎢ + + [rbe + rce (β + 1)] ⎥ in ⎬ 2 2 Rn + rbe ⎪ rce (β + 1) ⎢ 2 Rn + rbe 4 ⎥ ⎪ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ rce ⎤ ⎢ 2 (β + 1)Rn rce ⎥ vs rce (β + 1) = + d’où Rt = ⎢ ⎥ rce in 2 Rn + rbe 4 ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ (β + 1)⎥ r ⎢ ⎢ ⎦⎥ ce ⎣ [rbe + rce (β + 1)] ⎢1 + 2 ⎥+ + R r 2 2 n be ⎥ ⎢ ⎣⎢ ⎦⎥ rce rce (β + 1)(β + 2) (β + 2)Rn 2 Rt ≅ ≅ 2 ≅ 5.03 MΩ avec rbe << 2 R n et rce (β + 1) . rce rce ⎡ ⎤ ( ) R 2 1 + + β ( ) + 1 β n ⎢ ⎥ 2 2 (β + 1) ⎢1 + 2 ⎥ +1 R 2 n ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

Evaluation de la résistance de sortie ( v e = 0 ⇒ i n = 0 ) R s2 =

1 2

⎛ zs1 + rbe ⎞ zs1 + rbe rce 2 Rn + rbe ⎜ ⎟ ⎜ β + 1 // rce ⎟ ≅ 2 (β + 1) ≅ 149 Ω avec zs1 = 2 // β + 1 ≅ 50 kΩ ⎝ ⎠

7. Etude aux fréquences hautes L’introduction de la capacité parasite en parallèle sur Rn conduit à une charge complexe Rn , d’où l’impédance de transfert à vide et l’impédance de sortie 1 + Rn C p rce rce (β + 2)Rn (β + 2)Rn Rt 1 2 Zt ( p) ≅ = 2 ≅ rce rce rce 1 + Rt C p (β + 1)(1 + Rn C p ) 2 Rn + (β + 1) (β + 1)Rn C 2 Rn + 2 2 1+ 2 p r 2 Rn + ce (β + 1) 2 p 1+ Z s1 ( p ) + rbe zs1 + rbe rbe ω1 1 Z s2 ( p ) ≅ = R s2 avec ω1 = et ω2 = ω1 ≅ p z z 2 (β + 1) rbe + zs1 s s 1+ ( ( β + 2) 1 rbe C β + 1) 1 C ω2 2 2 ( f1 ≅ 37.8 kHz et f2 ≅ 6.3 kHz ) Zn ( p) =

r r ⎞ ⎛ 1 + be C p ⎟ 1 + be C p rce 2 Z n ( p ) + rbe rce ⎜⎜ 2 Rn 2 2 ⎟ ≅ zs avec Z s1 ( p ) = // // ≅ 1 zs β +1 2 2 ⎜ β + 1 1 + Rn C p ⎟ ⎟ ⎜ 1 + (β + 1) 1 C p ⎠ ⎝ 2

Sylvain Géronimi

Page 303

Circuits intégrés



L’impédance de sortie demeure constante au-delà de la fréquence du zéro ( f >> f1 ) à la valeur Rs' 2 =

rbe ω2 Rs2 ≅ 25 Ω . Rs 2 ≅ ω1 rbe + zs1

Notons que l’influence des buffers en fonction de la fréquence est négligée, les montages collecteur commun présentant une large bande importante. La stabilité ne peut être étudiée ici.

8. Caractérisation de l’amplificateur à contre-réaction de courant

ve

+1 Zs2 (p) in Rs1

Zt (p) in

vs

vn

Sylvain Géronimi

Page 304

Circuits intégrés



Application de l’amplificateur à contre réaction de courant Le circuit intégré de l’amplificateur à contre réaction de courant figure sous l’image symbolique suivante au sein des datasheets.

+ +

ve R2

symbole

vs

R1

1. Déterminez le transfert en tension du montage aux fréquences moyennes. 2. En ne considérant que l’effet de la capacité parasite, déterminez la fréquence de coupure haute. 3. Concluez sur l’originalité de ce type de circuit.

Corrigé 1. Gain en tension aux fréquences moyennes v e − Rs1 i n Rt i n − v s ⎧ − ⎪i n = R1 R s2 ⎪ ⇒ ⎨ ⎪v = v − R i + Rt i n − v s R e s1 n 2 ⎪ s Rs 2 ⎩ ve v + s ⎛ Rt R 2 ⎞ R1 Rs2 R ⇒ vs = ve + ⎜ − Rs1 ⎟ − 2 vs ⎜ Rs ⎟ Rs1 Rt R s2 2 ⎝ ⎠ 1+ + R1 Rs2

⎧i n = i1 − i 2 ⎪ ⎪v e ≅ Rs1 i n + R1 i1 ⎨ ⎪v s = Rt i n − Rs2 i 2 ⎪v = R i + R i 1 1 2 2 ⎩ s

⎡ Rs ⎡ Rt Rt ⎛ R ⎞ Rs ⎤ R + 2 + ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 1 ⎥ v s = ⎢1 + ⇒ ⎢1 + 1 + R1 Rs2 Rs2 ⎝ R1 ⎠ Rs2 ⎥⎦ ⎢⎣ Rs2 ⎣⎢ ⎛ R s2 K ⎜1 + ⎜ K Rt v ⇒ s = ⎝ R ve 1+ x Rt

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

en posant K = 1 +

⎛ R2 ⎞⎤ ⎜⎜1 + ⎟⎥ v e R1 ⎟⎠⎥⎦ ⎝

⎛ Rs ⎞ R2 et R x = ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ Rs2 + R 2 + K Rs1 . R1 R1 ⎠ ⎝

2. Réponse aux fréquences hautes

Rt Zt ( p) ≅ et Z s2 ( p ) ≅ Rs2 1 + Rt C p

1+ 1+

p

ω1 p

( f1 ≅ 37.8 kHz et f2 ≅ 6.3 kHz )

ω2

Une approche directe de la fréquence de coupure peut être effectuée en prenant Z s2 ( p ) ≅ Rs' 2 pour des fréquences très élevées (>> 1 MHz).

Sylvain Géronimi

Page 305

Circuits intégrés



Rs' 2 C K p ⎞ 1+ Rs' 2 ⎟ Rs' C 1+ ⎟ 1+ 2 p K Rt ⎠ K ≅K 1 + (R x // Rt )C p 1+ Rx C p

⎛ ⎛ Rs' 2 ⎞⎟ Rs' 2 K ⎜1 + K ⎜1 + ⎜ K Zt ( p) ⎟ ⎜ K Rt V ( p) ⎠= ⎝ d’où s ≅ ⎝ Rx R Ve ( p ) 1+ 1+ x Zt ( p ) Rt

⎛ Rs car Rs' 2 << K Rt et R x << Rt avec R x = ⎜⎜1 + 1 R1 ⎝

⎞ ' ⎟ Rs + R 2 + K R s . 1 ⎟ 2 ⎠ 1 K . Les coupures dues aux pôle et zéro sont respectivement fc ≅ et fz ≅ 2π Rx C 2 π Rs' 2 C

Ce pôle est évidemment un pôle dominant vis-à-vis des effets capacitifs des transistors en montage collecteur commun et sa valeur fluctue légèrement en fonction des résistances de contre réaction (voir tableau plus loin). Il y a intérêt à prendre des valeurs faibles pour ces dernières afin d’obtenir une large bande passante. 3. Originalité du circuit intégré vs R ≅ 1+ 2 = K . ve R1 Cette expression est identique à celle obtenue avec un amplificateur de tension à contre réaction tension-tension. Aux hautes fréquences, ce rapprochement n’est plus à faire puisque la fréquence de coupure en boucle fermée est uniquement fonction du paramètre R x . La notion de produit gain bande passante n’a plus lieu. C’est l’originalité de ce type d’amplificateur de tension.

Aux fréquences moyennes, le gain en tension en boucle fermée s’écrit donc

Application numérique : Rs1 ≅ 25 Ω , Rs' 2 ≅ 25 Ω R1 (Ω)

R2 (Ω)

∞ 750 187 83

750 750 750 750

K 1 2 5 10

R x (Ω)

fc (MHz)

fz (GHz )

800 826 904 1033

39.8 38.5 35.2 30.8

1.27 2.55 6.37 12.7

Simulation : 30

R1 = 83 Ω

K = 10

R1 = 187 Ω

K=5

20

R1 = 750 Ω R1 = ∞

0

(30.406M ,16.923) (34.656M ,10.863)

K=2

(37.486M ,2.9676)

K=1

(38.479M, -3.0174)

R2 = 750 Ω

-20 10KHz

Sylvain Géronimi

DB(V(S))

100KHz

1.0MHz

10MHz

100MHz

1.0GHz

Frequency

Page 306

Circuits intégrés



Comparateur (LM139 de Texas Instruments) Considérons le circuit intégré de la figure ci-dessous où la résistance Rch est un élément hors puce. Le but est de décrire le transfert en tension provoqué par un signal carré à l’entrée du montage au sein d’une étude à forts signaux. Tous les transistors sont supposés identiques ou parfaitement complémentaires ( β >> 1 ) et la tension d’Early est négligée ( VA = ∞ ). Le modèle mathématique d’Ebers-Moll sera utilisé à cause du comportement non linéaire des transistors, avec les paramètres α F ≅ 1 , α R ≅ 0.5 et I ES = 1 fA . VCC 5V

I1

I2

100µA

100µA Rch

Q2

5k

Q3

(+)

(-) Q1

Q4

VD Q8

VS

Q7

Q5

Q6

Compréhension du schéma 1. Donnez une description précise du circuit. Etude du régime pseudo-continu 2. Ecrivez l’expression des courants IC2 et IC3 en fonction de la tension différentielle d’entrée VD et de la source de courant I1 . Tracez ce transfert. 3. Pour une valeur de VD >> 2 UT , expliquez les modes de fonctionnement des transistors Q5 , Q6 , Q7 et Q8 . Commentez ce résultat. 4. Même question pour une valeur de VD << 2 UT . 5. Tracez la réponse temporelle de VS et concluez. Conception du circuit de polarisation 6. Dessinez le circuit représentatif des sources de courant I1 et I 2 en employant des résistances dont les valeurs n’excèdent pas 20 kΩ.

Sylvain Géronimi

Page 307

Circuits intégrés



Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le circuit intégré se compose d’un étage de polarisation, d’un étage différentiel associé à un transfert dynamique de courant et d’un étage de sortie. - Le circuit de polarisation est symbolisé, dans son régime continu, par deux sources de courant I1 et I 2 qui alimentent respectivement l’étage différentiel et l’étage de sortie. La véritable structure de ce circuit peut être un répétiteur de courant (source de Widlar par exemple) dont les valeurs de résistances demeurent raisonnables afin d’occuper un minimum de place sur la puce. - L’étage différentiel est à comportement émetteur commun. Les transistors Q1 et Q4 montés en collecteur commun, qui précèdent les transistors Q2 et Q3 respectivement, proposent un faible courant de polarisation en entrée (quelques nA). Le circuit de charge est un miroir élémentaire Q5 - Q6 qui commande en courant l’étage terminal. -

L’étage de sortie utilise deux montages émetteur commun. Le transistor Q8 est à collecteur ouvert, permettant à l’utilisateur de choisir la valeur de la charge. Si la charge n’est pas alimentée en courant, le circuit est à faible consommation (1 mW). L’intérêt de cette structure apparaîtra lors de l’étude en commutation de ces transistors.

Etude du régime pseudo-continu Rappelons la modélisation du JBT en régime continu (modèle mathématique d’Ebers-Moll) ⎧ ⎛ − VCB ⎞ ⎛ VBE ⎞ ⎪I E = I ES ⎜ e UT − 1⎟ − α R ICS ⎜ e UT − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎪⎪ = − I I I ⎨B E C ⎪ VCB ⎛ ⎞ ⎛ VBE ⎞ ⎪ ⎜ −U ⎟ ⎟ ⎜ U ⎪IC = −ICS ⎜ e T − 1⎟ + α F I ES ⎜ e T − 1⎟ ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

associées à la condition de réciprocité α F I ES = α R ICS .

Par exemple, en mode actif direct ( VBE > 0 , VCB ≥ 0 ), les équations s’écrivent : VBE ⎧ ⎪I E ≅ I ES e UT ⎪ VBE ⎪ ⎨IC ≅ α F I ES e UT ⎪ VBE ⎪I ≅ (1 − α )I e UT F ES ⎪B ⎩

⇒

IC αF ≅ = βF ≡ β IB 1 − α F

si le courant de fuite de la jonction en inverse est négligeable devant le courant direct de la jonction base-émetteur et VBE >> UT . 2. Expression du courant de sortie Les transistors Q1 , Q2 , Q3 et Q4 sont identiques et travaillent en mode actif direct ( β >> 1 ou α F ≅ 1).

Sylvain Géronimi

Page 308

Circuits intégrés



⎧VD = −VEB1 − VEB2 + VEB3 + VEB4 ⎪ ⎪I B2 = I E1 équations du circuit → ⎨ ⎪I B3 = I E 4 ⎪I = I + I ⎩ 1 E2 E3 VEB1 ⎧ ⎪I E ≅ I ES e UT ⎪ 1 équations technologiques Q1 ≡ Q2 → ⎨ VEB2 ⎪ ⎪⎩I E 2 ≅ I ES e UT

⎧ ⎛ IE IE ⎪VD = UT ln ⎜ 3 4 ⎜ IE IE ⎪ ⎝ 1 2 ⎪ ⇒ ⎨I1 = I E 2 + I E3 ⎪ ⎪ I E1 = I B2 = I E 2 ⎪I I B3 I E3 ⎩ E4

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎧ ⎛ IE ⎪⎪VD = 2 UT ln ⎜ 3 ⎜ IE ⇒ ⎨ ⎝ 2 ⎪ I I I = + ⎩⎪ 1 E 2 E3

VEB3 ⎧ ⎪I E ≅ I ES e UT ⎪ 3 et Q3 ≡ Q4 → ⎨ VEB4 ⎪ ⎪⎩I E 4 ≅ I ES e UT

⎞ ⎟ ⎟ d’où I ≅ E2 ⎠

I1 1+ e

VD 2 UT

I1

≅ IC 2 , I E 3 ≅

1+ e

−

VD 2 UT

≅ IC 3

100uA

IC 3

IC2

50uA

0A -300mV

-200mV

-100mV

0V

100mV

200mV

300mV

VD

3. Explication du fonctionnement des transistors pour VD >> 2 UT Si VD >> 2 UT

⇒ IC2 ≅ 0 et IC3 ≅ I1 = 100 µA . Le transistor Q2 fournit un courant de collecteur

pratiquement nul et le transistor Q3 transfère la quasi intégralité du courant issu de la source I1 . Le miroir reconduisant le courant d’entrée IC5 ≅ IC2 , amène à sa sortie IC6 ≅ 0 . La loi de nœud s’écrit IC3 = IC6 + I B7 , donc I B7 ≅ 100 µA . Si le courant collecteur de Q7 était supérieur à son courant de base, la loi du nœud serait telle que I B8 = I 2 − IC7 < 0 , sens du courant de base de Q8 incompatible avec le type du transistor (NPN). Ainsi, I B7 ≅ IC7 = 100 µA et le transistor Q8 est bloqué. Aucun courant ne circule dans la charge et le potentiel de sortie est au niveau de l’alimentation VCC . On peut vérifier que l’ensemble Q5 - Q6 fonctionne bien en miroir de courant. En effet, VBE5 = VBE6 (tension faible), VCB5 = 0 V (transistor Q5 monté en diode) et VCB6 = VBE7 − VBE6 > 0 , ce qui correspond à un mode actif direct à très faible courant.

IC 5

⎞ ⎞ ⎛ VBE6 ⎛ VBE5 ⎟ ⎜ U T = α F I ES ⎜ e − 1⎟ et IC6 ≅ ICS + α F I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ≅ IC5 (effet miroir) ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

Sylvain Géronimi

Page 309

Circuits intégrés



Pour le transistor Q7 , ⎛ − VCB7 ⎞ ⎛ VBE7 ⎞ ⎛ VBE7 ⎞ ⎛ − VCB7 ⎞ IC7 ≅ I B7 ⇒ − ICS ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ + α F I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ≅ (1 − α F )I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ + (1 − α R )ICS ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

soit (2 − α R )ICS e

−

VCB7

≅ (2 α F − 1)I ES e

UT

VBE7

IC 7 ≅

1− αR αF I ES e 2 − αR

IC 7 ≅

− 1− αR αF ICS e 2α F − 1

UT

VBE7 UT

car forts courants ( −VCB7 et VBE7 >> UT ).

⎛ 3 IC 7 ⇒ VBE7 ≅ UT Ln ⎜⎜ ⎝ I ES

⎞ ⎟ ≅ 0.66 V ⎟ ⎠

VCB7

et VCE7 = VCB7 − VBE7

⎛ 2 IC 7 ⇒ − VCB7 ≅ UT Ln ⎜⎜ ⎝ ICS ≅ 27 m V UT

⎞ ⎟ ≅ 0.633 V ⎟ ⎠

Le transistor Q7 est évidemment saturé et comme VBE8 = VCE7 , le transistor Q8 est bien bloqué. La tension de sortie est VS = 5 V . 5V

Rch

≅0A

100 µA

100 µA 27 mV

0.66 V

5V Q8

100 µA Q7

≅0A Q5

≅0A

Q6

4. Explication du fonctionnement des transistors pour VD << 2 UT Si VD << − 2 UT ⇒ IC2 ≅ I1 = 100 µA et IC3 ≅ 0 . Le transistor Q2 transfère la quasi intégralité du courant issu de la source I1 et le transistor Q3 amène un courant de collecteur pratiquement nul tel que IC3 = IC6 + I B7 ≅ 0 , soit I B7 ≅ − IC6 . Ainsi, l’ensemble Q5 - Q6 renvoie un courant IC6 dont le sens est incompatible avec le courant de base de Q7 (type NPN) et I B7 s’identifie grossièrement au courant de fuite de la jonction collecteur-base du transistor Q7 (tension VBE7 ≅ 0 ). La loi du nœud impose donc que IC6 ≅ 0 et l’ensemble Q5 - Q6 ne travaille plus en miroir de courant. Les équations du transistor Q6 s’écrivent ⎧ ⎞ ⎛ VBE6 ⎞ ⎛ − VCB6 ⎪I = − I ⎜ e UT − 1⎟ + α I ⎜ e UT − 1⎟ ≅ 0 C6 CS ⎜ F ES ⎪ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎞ ⎛ VBE6 ⎪ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎟ ⎜ U ( ) ⇒ I 1 α α I ≅ − ⎨ B6 R F ES ⎜ e T − 1⎟ VBE6 VCB6 ⎟ ⎜ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎪ ⎠ ⎝ ⎟ ⎟ ⎜ − ⎜ ⎪I E 6 = I ES ⎜ e UT − 1⎟ − α R ICS ⎜ e UT − 1⎟ ≅ I B6 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎪ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎩

Sylvain Géronimi

Page 310

Circuits intégrés



et pour le transistor Q5 monté en diode IC5

⎞ ⎛ VBE5 = α F I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ . ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

⎞ ⎛ VBE6 ⎧⎪IC2 = I E5 + I B6 ≅ I1 De plus, la topologie impose ⎨ ⇒ I1 ≅ (α F + 1 − α R α F )I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎪⎩VBE5 = VBE 6 ⎠ ⎝

d’où I E5 ≅

αF 1− αR αF I1 ≅ 67 µA , I B6 ≅ I1 ≅ 33 µA , αF + 1− αR αF αF + 1− αR αF

⎡ ⎤ I1 et VBE5 = VBE 6 ≅ UT Ln ⎢ ⎥ ≅ 0.623 V ( ) I 1 α α α + − R F ES ⎦ ⎣ F VCB6 ⎞ ⎞ ⎛ VBE6 ⎛ VBE6 ⎞ ⎛ − VCB6 − ICS ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ≅ α F I ES ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ⇒ e UT − 1 ≅ α R ⎜⎜ e UT − 1⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝

d’où − VCB6 ≅ VBE6 + UT Ln (α R ) ≅ 0.606 V et VBE7 = VCE6 = VBE 6 + VCB6 ≅ 17 m V Le transistor Q7 étant bloqué, le courant issu de la source I 2 constitue le courant de base de Q8 , fort courant qui sature le transistor. Ainsi, I B8 ≅ 100 µA et IC8 ≅

VCC ≅ 1 mA Rch

Les équations du transistor Q8 s’écrivent VCB8 VBE8 ⎧ − ⎪IC ≅ − ICS e UT + α F I ES e UT ⎪ 8 ⎨ VBE8 VCB8 − ⎪ U ⎪⎩I B8 ≅ (1 − α F )I ES e T + (1 − α R )ICS e UT

⎡ I B + (1 − α R )IC8 VBE8 ≅ UT Ln ⎢ 8 ⎢⎣ (1 − α R α F )I ES VCE8 = VBE8 + VCB8 ≅ 62 m V

⇒ I B8 ≅ (1 − α R α F )I ES e

VBE8 UT

− (1 − α R )IC8

⎤ ⎡ α F I B8 + (α F − 1)IC8 ⎥ ≅ 0.695 V , − VCB8 ≅ UT Ln ⎢ ⎥⎦ ⎢⎣ (1 − α R α F )ICS

⎤ ⎥ ≅ 0.633 V ⎥⎦

La source de courant I 2 permet une faible tension de saturation en sortie puisque VS ≅ 62 mV . 5V 1mA Rch 100µA

≅0A

100µA 100µA 0.695 V

62 mV Q8

≅0A 0.623 V

17 mV

Q7

≅0A Q5 67 µA

Sylvain Géronimi

33 µA

Q6

Page 311

Circuits intégrés



5. Tracé de VS (t ) La simulation confirme les résultats obtenus. 6.0V

(124u, 5.00)

4.0V

2.0V

(24u, 300m)

(173u, 62m)

(73u ,-300m) 0V

fréquence 10 kHz -2.0V

0s

V(S)

V(in+)

50us

100us

150us

200us

250us

300us

Time

Le niveau du signal VS (t ) , issu du comparateur alimenté sous 5 V, est directement compatible avec des technologies TTL et CMOS. Comme rien n’empêche de brancher le CI sous une tension d’alimentation symétrique ( ± VCC ), la compatibilité demeure valable pour une technologie ECL. Conception du circuit de polarisation 6. Schéma du circuit représentatif des sources de courant VCC

R1

R2

200

200 Q11

Q9

Q10 I1

IC11

I2

R3 19.8 k

Le choix se porte sur un répétiteur à sources de Widlar symétriques ( I1 = I 2 ) dont les équations de circuit sont : ⎧VEB11 = VEB9 + R1 I E9 VEB9 R1 I E9 R1 I1 R2 I 2 ⎪ U T VEB11 ⇒ I E11 ≅ α F I ES e e UT soit IC11 ≅ I1 e UT ≅ I 2 e UT ( α F ≅ 1 ) ⎨ ⎪I E ≅ α F I ES e UT ⎩ 11

En prenant R1 = R2 = 200 Ω , IC11 ≅ 222 µA et R3 ≅

Sylvain Géronimi

Page 312

VCC − VEB11 IC11

≅ 19.8 kΩ ( ≤ 20 kΩ ).

Circuits intégrés



Boucle à verrouillage de phase analogique (NE565 de Motorola) L’étude porte sur le circuit intégré de la figure ci-dessous. Le but est de retrouver les performances du circuit fournies par le constructeur. Tous les transistors sont supposés identiques ou parfaitement complémentaires, de gain en courant important ( β >> 1 ) et dont l’effet Early est négligé ( VA = ∞ ). Un transistor présente VBE ≅ 0.6 V en mode actif direct, VBEsat ≅ 0.8 V et VCEsat ≅ 0.2 V en mode saturé. La diode zener D10 présente une tension inverse VZ ≅ 2.7 V et les autres diodes VDi ≅ 0.6 V en direct. Une alimentation symétrique par rapport à la masse ( ± VCC ) est branchée entre les bornes 10 et 1.

Ce circuit se compose de deux parties, d’une part la fonction oscillateur contrôlé en tension (VCO), comprise entre les bornes 7 (entrée) et 4 (sortie), dont la fréquence libre des oscillations est ajustée par deux composants passifs extérieurs que sont la résistance R1 branchée entre les bornes 8 et 10 et le condensateur C1 branché entre les bornes 9 et 1, d’autre part la fonction comparateur de phase (CDP), remarquable par ses deux entrées, borne 5 et bornes 2 et 3, avec la sortie sur la borne 7. La sortie du CDP est directement reliée à l’entrée du VCO. L’étude à entreprendre est en régime pseudo-continu. Les caractéristiques statiques à évaluer seront - le facteur de sensibilité K D du CDP, -

la fréquence libre des oscillations fo et le facteur de sensibilité K 0 du VCO,

-

la plage de maintien 2 ∆fM , centrée autour de fo , de la PLL.

-

la plage de capture 2 ∆f A , centrée autour de fo , de la PLL associée à un filtre RC.

Sylvain Géronimi

Page 313

Circuits intégrés



Fonction CDP Le circuit du CDP est constitué d’un multiplicateur à quatre quadrants, suivi d’un amplificateur différentiel asymétrique fonctionnant en régime linéaire. +VCC

R14

R16

3.3k

7.2k

D12

R18

R19

7.2k

1.75k

D13

R24

VC

VM1 VM2

VS

3.6k

Vref

Q26

Q27

D11 Q18

Q19

Q22

Q20

Q23

R20

R23

R25

3.8k

1k

1k

R21

Q24

8.1k

VE

Q25

Q21

R15

Q28

5.7k R22

R26

R27

200

200

205

-VCC

Fonction VCO Le VCO du circuit NE 565 est un oscillateur à relaxation, constitué à partir d’une source de courant commandée et d’un trigger de Schmitt. +VCC

R1

D10

VF

R5

R8

R10

R12

6.5k

4.7k

16k

4.3k

Q1 Q2

Vo

R27

Q13

13.65k

Q4

Q3

VS D3

D2

VT

D8

Q9 D6

Q5

C1

Q12 D7

R3 530

5.8k

Vi

Q7

R2

R11

R7 8.4k

-VCC

530

Q16

Q15

D9

Q11 Q6

Q14

Q17

Q25

Q10 D4

Icom

D5 Q8 R4

R13 2.4k

R6 2.6k

R9 4.8k

R17 200

R26 200

-VCC

Sylvain Géronimi

Page 314

Circuits intégrés



Compréhension du schéma 1. Donnez une description précise du schéma du constructeur. Etude de la fonction CDP 2. Ecrivez l’expression de la tension différentielle de sortie VM = VM1 − VM 2 du multiplicateur en fonction des tensions VE et VS d’entrée. 3. Si les tensions d’entrée sont des signaux carrés de même fréquence et d’amplitude importante devant 2UT , décrivez le fonctionnement du multiplicateur. 4. En régime continu, évaluez les potentiels Vref et VCo . Concluez sur les résultats obtenus. 5. En régime dynamique aux faibles signaux, évaluez le gain en tension Ad de l’amplificateur asymétrique ( β = 200 ). Précisez l’amplitude du signal v C (t ) . 6. Calculez le facteur de sensibilité K D du CDP. Etude de la fonction VCO 7. Ecrivez l’expression du courant I1 , issu des émetteurs de Q3 et Q4 , en fonction du potentiel VF . 8. Ecrivez l’expression de la période du signal VT en fonction de ses variations ∆VT et du courant I1 . 9. En négligeant la présence des diodes D6 à D9 et de la résistance R7 , évaluez Vi et Vo , respectivement potentiels d’entrée et de sortie du trigger dans les cas Q11 bloqué et Q12 saturé et inversement. Déduisez les valeurs des potentiels VT+ , VT− et VS . 10. Expliquez précisément la commande de Q8 par le courant I com issu de l’étage différentiel. Etude de la fonction PLL Le système est bouclé en connectant les bornes 4 et 5. Un condensateur C2 est connecté entre les bornes 7 et 10, introduisant ainsi un filtre passe-bas de constante de temps τ = R24 C2 . 11. Pour toute valeur des composants extérieurs R1 et C1 , écrivez les relations donnant la fréquence libre fo du VCO, les gains de conversion K D et K 0 et les plages de maintien 2 ∆fM et d’acquisition 2 ∆f A .

Sylvain Géronimi

Page 315

Circuits intégrés



Corrigé Compréhension du schéma 1. Description Le schéma se compose d’un étage de polarisation, d’un comparateur de phase et d’un oscillateur contrôlé en tension. - Le circuit de polarisation, répétiteur de courant, est l’association de sources de type Widlar dont le courant de référence est fourni par le transistor Q25 et les résistances R19 , R 20 , R21 et R 26 . Les sorties collecteurs Q10 , Q17 , Q21 et Q28 , associées à leur résistance d’émetteur, polarisent respectivement l’étage collecteur commun Q9 , la diode zener D10 qui fixe le potentiel de base de Q16 , l’étage différentiel Q20 - Q24 , l’étage différentiel Q26 - Q27 . Le circuit VCO est un oscillateur à relaxation comportant d’une source de courant commandée chargeant et déchargeant un condensateur et d’un trigger de Schmitt basculant en fonction du niveau aux bornes du condensateur. - Les transistors Q1 à Q7 et les diodes D1 à D3 forment la source de courant. Le signal de commande est appliqué sur la base de Q1 . Les transistors Q1 à Q4 constituent la source de courant commandée par v F (t ) , Q1 et Q2 permettant d’appliquer indirectement v F (t ) aux bornes de la résistance R1 (composant extérieur) et Q3 et Q4 imposant des courants pratiquement égaux dans Q1 et Q2 pour que les jonctions base-émetteur de ces derniers soient polarisées de façon identiques. La tension v F (t ) est donc transférée à la borne 8 et le courant I1 constitue le courant de charge pour le VCO. Ce courant arrive sur les anodes des diodes D2 et D3 . Lorsque le transistor Q8 , contrôlé par le trigger, est saturé, D3 est polarisée en inverse. Tout le courant traverse D2 et commande le miroir de courant (type Wilson) constitué des transistors Q5 à Q7 et des résistances R 2 et R3 . Il apparaît alors un courant de décharge du condensateur C1 (composant extérieur) sur le collecteur de Q5 égal à I1 . Lorsque Q8 est bloqué, la source de courant de type Wilson n’est plus alimentée et le condensateur C1 est chargé par l’intermédiaire de D3 . Le signal triangulaire est disponible sur la borne 9. -

Le trigger de Schmitt, formé par les transistors Q11 et Q12 , est piloté par le signal triangulaire issu de l’armature positive du condensateur C1 par le biais de l’émetteur suiveur Q9 chargé par une source de courant de type Widlar (étage buffer). Les diodes D6 à D9 évitent la saturation de Q11 et Q12 , ce qui permet d’améliorer la vitesse de commutation. La sortie du trigger est suivie d’un transistor Q13 , monté en émetteur suiveur, permettant une sortie sous faible impédance. Un signal carré est alors disponible sur la borne 4. Cette sortie est également connectée à un amplificateur différentiel Q14 - Q16 qui génère un courant de commande vers la base de Q8 par le biais de Q15 - R11 . Les diodes D4 et D5 évitent la saturation de Q8 pour améliorer la vitesse de commutation.

Le circuit CDP est composé d’un multiplicateur à quatre quadrants et d’un amplificateur différentiel de tension. - Les transistors Q20 et Q24 forment un circuit différentiel à couplage par émetteurs, alimenté par le courant issu du collecteur de Q21 et attaqué par le signal v E (t ) . Chacun des transistors Q20 et Q24 constitue une source de courant pour les paires différentielles Q18 - Q19 et Q22 - Q23 . A ces paires est appliquée la tension différentielle v S (t ) issue du VCO. La tension différentielle de sortie du multiplicateur, issue des résistances de charges R16 et R18 , est limitée en amplitude par les diodes D12 et D13 .

Sylvain Géronimi

Page 316

Circuits intégrés


-


La tension différentielle recueillie est appliquée à l’entrée d’un étage différentiel asymétrique Q26 Q27 (absence de charge sur le collecteur de Q26 ), présentant une contre-réaction locale d’émetteurs due aux résistances R 23 et R 25 . Cette contre-réaction permet un fonctionnement linéaire de l’amplificateur de tension, relativement à l’amplitude de l’attaque. La tension de sortie du CDP est disponible sur la résistance R 24 (borne 7).

Le CDP étant directement connectée à l’entrée du VCO, le potentiel continu du collecteur de Q27 fixe la fréquence libre du VCO réglé par le choix des composants extérieurs R1 et C1 . Seul, un filtre passe-bas passif est utilisable puisqu’un filtre actif ne peut être intercalé entre CDP et VCO. La boucle est refermée en reliant les bornes 4 et 5. Le signal à l’entrée de la PLL est appliqué entre les bornes 2 et 3 tel que sa valeur moyenne soit nulle (attaque centrée par rapport à la masse).

Etude de la fonction CDP 2. Expression de la tension différentielle de sortie VM du multiplicateur à quatre quadrants Ce multiplieur analogique intégré à découpage est basé sur le fonctionnement du montage différentiel travaillant en saturation. +VCC

R14

R16

3.3k

7.2k

D12

R18

R19

7.2k

1.75k

D13 vM D14 Q18

Q19

Q22

Q23

R20 3.8k

vS

Q20

R21

Q24

vE

8.1k Ipol

IE

R15 5.7k

Q21

Q25

R22

R26

200

200

-VCC

Sylvain Géronimi

Page 317

Circuits intégrés



Pour les transistors Q20 et Q24 VBE20 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ 20 ⎨ VBE24 ⎪ ⎪⎩IC24 ≅ β I BS e UT

(technologie) VE = VBE20 − VBE 24 (circuit) ⇒

IC20 IC24

VE

≅ e UT

Le générateur de courant I E impose I E = I E 20 + I E24 ≅ IC20 + IC24 ⇒ IC20 ≅

IE 1+ e

−

VE UT

et IC24 ≅

IE VE

1 + e UT

De la même façon, les expressions des courants collecteurs de Q18 , Q19 , Q22 et Q23 s’écrivent : IC18 ≅

IC20 V − S 1 + e UT

d’où IC18 ≅

1+ e

VE ⎛ ⎜1 + e − UT

⎜ ⎝

et IC22 ≅

⎛ ⎜1 + e ⎜ ⎝

IC20

et IC19 ≅

VE UT

IE VS ⎞⎛ ⎟ ⎜1 + e − UT ⎟⎜ ⎠⎝

IE VS ⎞⎛ ⎟ ⎜1 + e UT ⎟⎜ ⎠⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

IC24

, IC22 ≅

VS UT

1+ e

, IC19 ≅

VE ⎛ ⎜1 + e − UT

⎜ ⎝

, IC23 ≅

⎛ ⎜1 + e ⎜ ⎝

VE UT

IC24

et IC23 ≅

VS UT

1+ e

IE VS ⎞⎛ ⎟ ⎜1 + e UT ⎟⎜ ⎠⎝

IE VS ⎞⎛ ⎟ ⎜1 + e − UT ⎟⎜ ⎠⎝

−

VS UT

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

La tension différentielle de sortie du multiplicateur VM est telle que :

( (

⎧⎪VM1 = VCC − R16 IC18 + IC22 ⎨ ⎪⎩VM 2 = VCC − R18 IC19 + IC23 ⎛ V soit VM = − R I E th⎜⎜ E ⎝ 2 UT

) )

(

)

(

)

⇒ VM = VM1 − VM 2 = − IC18 + IC22 R16 + IC19 + IC23 R18

⎞ ⎛ VS ⎟⎟ th⎜⎜ ⎠ ⎝ 2 UT

⎞ ⎟⎟ avec R = R16 = R18 ⎠

e x − e −x ⎛x⎞ (car th⎜ ⎟ = ) ⎝ 2 ⎠ (1 + e x )(1 + e − x )

La tension de sortie VM est donc égale au produit des tangentes hyperboliques des tensions différentielles d’entrée. Dans un contexte général, selon les amplitudes des variations de v e (t ) et de v s (t ) devant 2UT , le comportement du circuit peut être classé en trois catégories : -

Si v e et v s << 2UT , le circuit se comporte comme un multiplicateur linéaire générant une tension de sortie v m (t ) = −

-

R IE v e (t ) v s (t ) . 4 UT2

Si v e ou v s << 2UT , imposant un fonctionnement en commutation des transistors considérés, le circuit fonctionne en modulateur générant une tension de sortie v m (t ) = ± v m (t ) = ±

-

R IE v e (t ) ou 2 UT

R IE v s (t ) . On multiplie donc un signal de faible amplitude par un signal carré. 2 UT

Si v e et v s >> 2UT , les six transistors fonctionnent comme un “ou exclusif”. Le circuit n’est sensible qu’à la différence de phase entre v e (t ) et v s (t ) , signaux synchrones et de même fréquence. C’est le fonctionnement en modulateur équilibré qui génère une tension de sortie v m (t ) = ± R I E .

Sylvain Géronimi

Page 318

Circuits intégrés



3. Description du fonctionnement du multiplicateur Dans le cas présent, le circuit est sensé fonctionner en commutation, v m (t ) = ± R I E signal rectangulaire de forte amplitude et de valeur moyenne nulle. Cependant, cette tension de sortie est limitée par les tensions sur les diodes D12 et D13 et v M (t ) = VMo + v m (t ) avec v m (t ) ≅ ± 0.6 V et VM o = 0 V .

4. Evaluation des potentiels Vcont et VCo Amplificateur différentiel asymétrique +VCC

Vref

R19

R24

1.75k

3.6k

VC

VM Q26

Q27

R20

R23

R25

3.8k

1k

1k

R21 8.1k

Ipol

I0

Q25

Q28

R26

R27 205

200

-VCC

En régime continu, l’étage différentiel est polarisé par un quasi miroir de courant, car R26 ≅ R27 . ⎧⎪2VCC ≅ VBE25 + (R19 + R 20 + R21 + R26 )I pol 2VCC − VBE 25 R ⇒ I pol = et I 0 ≅ 26 I pol . ⎨ V R I V R I + ≅ + R + R + R + R R27 ⎪⎩ BE25 26 pol BE 26 27 0 19 20 21 26

Les expressions des potentiels disponibles en sortie du CDP en régime continu s’écrivent : I R R Vref = Vcc − R19 I pol (borne 6) et VCo ≅ VCC − R24 0 ≅ VCC − 24 26 I pol (borne 7) 2 2 R27

R24 R26 ), ces deux bornes sont équipotentielles 2 R27 et permettent une attaque différentielle issue de la sortie du filtre. La tension continue VCo , qui est Les coefficients de I pol étant du même ordre ( R19 ≅

appliquée à l’entrée du VCO, définit en partie sa fréquence libre d’oscillations (voir l’étude du VCO).

Sylvain Géronimi

Page 319

Circuits intégrés



5. Evaluation du gain en tension Ad L’amplificateur différentiel fonctionne en amplification linéaire de tension à cause de forte contreréaction locale d’émetteur R 23 et R 25 . Le calcul du gain de l’étage se fait en régime dynamique aux faibles signaux. La méthode du demi schéma est employée ici.

R18

rbe

βi

i

R24

vm / 2

vc

R25

⎧ vm = [R18 + rbe + (β + 1)R25 ]i v β R24 ⎪− ⇒ Ad = c = ⎨ 2 v m R18 + rbe + (β + 1)R25 ⎪v = − R β i 24 ⎩ c

Or rbe =

2UT UT β ≅ β ⇒ Ad = IC I0

R24 ≅ 1.64 ⎞ ⎛ R18 2 UT 2 ⎜⎜ + + R25 ⎟⎟ I0 ⎠ ⎝ β

( β = 200 ).

Le gain en tension Ad est fonction du courant I 0 , donc de la tension d’alimentation du circuit. Cependant, le terme

2 UT étant négligeable devant la valeur de R25 , Ad est pratiquement constant. I0

Le signal rectangulaire v M (t ) , de valeur moyenne nulle et d’amplitude crête ± 0.6 V est donc amplifié. Le signal de sortie, image de v M (t ) est v C (t ) = VCo + v c (t ) = VCo + Ad v d (t ) , soit v C (t ) = 4.56 ± 1V . 8.0V 5.56 V

VC(t) 4.56 V

Vref 4.0V

3.56 V 0.6 V

VM(t) 0V

- 0.6 V -2.0V

0s

0.2ms

0.4ms

0.6ms

0.8ms

1.0ms

1.2ms

Time

Le comportement « ou exclusif » du multiplicateur produit un signal de sortie rectangulaire de fréquence double par rapport à la fréquence des signaux d’entrée et de rapport cyclique fonction du décalage temporel entre ces signaux.

Sylvain Géronimi

Page 320

Circuits intégrés



6. Evaluation du facteur de sensibilité K D Calcul de la valeur moyenne de v C (t ) ⇒ v C (t ) =

1 T

∫

T 0

v C (t ) dt = VCo +

2 T

∫

T 2v

0

c (t ) dt

400mV

T

0V

VE(t)

-400mV 6.0V

∆t

4.0V

VS(t)

2.0V 0V -2.0V 6.0V

VC(t)

5.0V 4.0V 3.0V

0s

0.2ms

0.4ms

0.6ms

0.8ms

1.0ms

1.2ms

1.6ms

1.4ms

Time

Pour illustration, les signaux carrés v E (t ) = VEo + v e (t ) et v S (t ) = VSo + v s (t ) , d’amplitudes >> 50 mV , sont tels que v e (t ) = ± 0.25 V , valeur moyenne VEo = 0 V et v s (t ) = ± 3.08 V , VSo ≅ 2.32 V (voir la simulation dans l’étude du VCO). Le décalage temporel entre les deux signaux est ∆t . Pour 0 ≤ ∆t ≤

⇒ vC =

Pour

2

π

2⎡ 4 ∆t T ⎛T ⎞⎤ , v C (t ) = VCo + ⎢∆t − ⎜ − ∆t ⎟⎥ = VCo − 1 + T⎣ 2 T ⎝2 ⎠⎦

ϕ d + 3.56 pour 0 ≤ ϕ d ≤ π ( ϕ d = 2 π

∆t ) T

⎤ 2⎡ ⎛ 4 ∆t T⎞ T ≤ ∆t ≤ T , v C (t ) = VCo + ⎢− ⎜ ∆t − ⎟ + (T − ∆t )⎥ = VCo + 3 − 2⎠ T⎣ ⎝ T 2 ⎦

⇒ vC = −

2

π

2

ϕ d + 7.56 pour π ≤ ϕ d ≤ 2 π ou encore v C = − ϕ d + 3.56 pour − π ≤ ϕ d ≤ 0 . π Vc

5.56 V

moyen

point stable

5.0

4.56 V

point instable 4.0

pente = 2 / π V / rad 3.56 V 3.0

-π

- π/2

0

ϕd π/2

π

2π

La sensibilité du CDP est donnée par la pente de la caractéristique , soit K D = ±

2

π

≅ ± 0.64 V / rad . Le

point stable retenu doit être tel que le produit K D K 0 > 0 (voir plus loin le signe de K 0 ).

Sylvain Géronimi

Page 321

Circuits intégrés



Etude de la fonction VCO Les courants de base sont négligés par rapport aux courants de collecteur ou d’émetteur. La borne 7 est directement reliée à l’entrée du VCO. En l’absence de filtre passe-bas, les potentiels sont identiques v F (t ) = v C (t ) et donc v F (t ) = VFo + v f (t ) avec VFo = 4.56 V .

7. Expression du courant I1 Source de courant commandée +VCC I R1

Q1 VF

VEB2

VBE1 Q2

Q3

Q4

I1

Pour le miroir de courant VBE3 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ Q3 ≡ Q4 → ⎨ 3 VBE4 ⎪ ⎪⎩IC4 ≅ β I BS e UT

(technologie) VBE3 = VBE 4 (circuit) ⇒ IC3 ≅ IC4

Pour les transistors Q1 et Q2 VBE1 ⎧ ⎪IC ≅ β I BS e UT ⎪ 1 ⎨ VEB2 ⎪ ⎪⎩IC2 ≅ β I BS e UT

(technologie)

⎧⎪IC3 ≅ IC1 (circuit) ⇒ VBE1 ≅ VEB2 ⎨ ⎪⎩IC4 ≅ IC2

Pour le restant du circuit ⎧I1 = I E + I E 3 4 ⎪⎪ ⎧I ≅ I1 V − VF ⇒ ⎨ ⇒ I1 ≅ CC I I I = + ⎨ C1 E2 V R I V ≅ + R1 1 1 F ⎩ CC ⎪ ⎩⎪VCC = R1I + VEB2 − VBE1 + VF Les potentiels de collecteur et de base de Q1 sont égaux ( VCB1 ≅ 0 ). Le potentiel d’entrée VF est reconduit au point bas de la résistance R1 . Le choix de cette résistance définit le courant I1 .

Sylvain Géronimi

Page 322

Circuits intégrés



8. Expression de la période du signal VT Générateur d’onde triangulaire I1

D2

D3 VT Q5

C1 68n

Q6

-VCC

Q7

R2

R3

530

530

Icom Q8

-VCC

Le transistor Q8 est commandé par le courant I com et fonctionne en commutation (voir plus loin l’étude du trigger). Supposons qu’au départ, le transistor soit bloqué ( I com ≅ 0 ). Le point commun des résistances R2 et R3 n’est plus connecté, ce qui entraîne le blocage des transistors Q5 , Q6 , Q7 et de la diode D2 . Le courant I1 , passant par la diode D3 , charge alors le condensateur C1 et le potentiel de l’armature positive augmente jusqu’à atteindre le seuil de basculement VT+ du trigger. Ce dernier bascule et le courant I com , de valeur relativement importante, rend le transistor Q8 saturé. Le circuit du miroir de courant est alors connecté à l’alimentation. Le potentiel de l’anode de la diode D3 est alors de VD2 + VBE5 + VBE7 + R3 I1 + VCE8 sat − VCC

avec R3 I1 ≅ R3

VCC − VFo R1

soit légèrement > − 4 V .

A l’instant du basculement, le potentiel de la cathode de la diode D2 étant égal à VT+ , valeur supérieure au potentiel d’anode, la diode est bloquée. Le courant I1 passe par la diode D2 et le miroir de courant permet la circulation de ce courant dans le transistor Q5 , ce qui va produire la décharge du condensateur à travers ce dernier. La décharge prend fin lorsque le potentiel d’entrée VT− du trigger est atteint, ce qui provoque le blocage de Q8 . La situation de départ est retrouvée et le cycle recommence. Sous le régime de polarisation, le potentiel d’entrée est constant ( VF = VFo ). Le condensateur C1 se charge et se décharge à courant I1 constant. Le circuit génère un signal triangulaire à sa sortie dont l’évolution temporelle est VT = ±

Sylvain Géronimi

I1 t. C1

Page 323

Circuits intégrés



Pour une évolution positive du potentiel VT , la variation ∆VT = VT+ − VT− s’effectue durant une demi période ∆t = T 2 ⇒ T =

2 C1 + (VT − VT− ) . I1

9. Evaluation des potentiels du trigger Trigger +VCC

R5 6.5k

R8 4.7k

Vo

Q12 R7

Q11

8.4k

Vi

R6 2.6k

-VCC

Le signal triangulaire de variation d’amplitude ∆VT = VT+ − VT− , disponible sur la base du transistor Q9 (borne 9), subit une translation de tension d’environ 0.6 V par l’étage suiveur. La forte impédance d’entrée de l’étage, chargé par une source de courant, impose que le courant I1 se dirige vers le condensateur C1 . Le signal triangulaire décalé vers le bas, pilote le trigger de Schmitt, composé par les transistors Q11 et Q12 . La sortie du trigger de Schmitt est suivie du transistor Q13 , monté en émetteur suiveur, permettant de sortir sous faible impédance (borne 4). Le potentiel Vi est donc à l’image du potentiel de l’armature positive du condensateur C1 à la translation près de VBE9 ≅ 0.6 V . Pour une approche analytique plus directe, le courant dans la résistance R7 sera négligé par rapport aux autres courants et les diodes D6 à D9 , qui permettent d’améliorer la vitesse de commutation, ne seront pas représentées. +VCC

Cas 1 : Q11 bloqué et Q12 saturé

⎧⎪2VCC = R5 I ' + VBEsat + R6 (I + I ' ) ⎨ ⎪⎩2VCC = R8 I + VCEsat + R6 (I + I ' )

R5 6.5k

2VCC − VCEsat − (R6 + R8 )I ⎧ ⎪I ' = R6 ⎪ ⎪⎪ ⎛ R ⎞ ⇒ ⎨ 2VCC − VBEsat − ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟ 2VCC − VCEsat ⎝ R6 ⎠ ⎪I = ⎪ ⎛ R ⎞ ⎪ R6 − ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟ (R6 + R8 ) ⎪⎩ ⎝ R6 ⎠

(

R8 4.7k I

I’

)

Q12

Vo

I + I’ R6 2.6k

-VCC

Sylvain Géronimi

Page 324

Circuits intégrés



Le potentiel de sortie Vo est à l’état bas (Low) VoL = VCC − R8 I . Ce potentiel subit une translation de tension continue par la présence de l’étage suiveur Q13 , la borne 4 du circuit intégré présente donc VS = VoL − VBE13 . Au moment du basculement du trigger, le transistor Q11 est conducteur et le

potentiel d’entrée vaut Vi = VBE11 + R6 (I + I ' ) − VCC . Ce potentiel ayant subi une translation de tension continue par la présence de l’étage suiveur Q9 , la borne 9 du circuit intégré présente donc :

VT+

= VBE9 + VBE11 + 2VCC − VCEsat − R8

(

)

R5 + R 6 2VCC − VCEsat R6 − VCC R + R6 (R6 + R8 ) R6 − 5 R6

2VCC − VBEsat −

Cas 2 : Q11 saturé et Q12 bloqué

+VCC

⎧⎪2VCC ≅ VCEsat + (R5 + R6 )I ⎨ ⎪⎩Vi = VBE11 + R6 I − VCC ⇒ Vi = VBE11 + R6

R5 6.5k

2VCC − VCEsat R5 + R 6

Q11

− VCC

Vi

I R6 2.6k

-VCC

Le transistor Q12 étant bloqué, le potentiel de sortie Vo est à l’état haut (High) VoH ≅ VCC . La borne 4 présente alors un potentiel de sortie VS ≅ VoH − VBE13 . La borne 9 du circuit intégré présente le potentiel Vi translaté VT− = VBE9 + VBE11 +

(

)

R6 2VCC − VCEsat − VCC R5 + R 6

Ainsi, le signal sur la borne 4 est un signal carré v S (t ) de fréquence fs tel que v S (t ) = VSo + v s (t ) avec une valeur moyenne VSo =

VoH + VoL − VBE13 et une variation v s (t ) ≅ VoH − VoL autour de cette 2

valeur moyenne.

(

VoH − VoL

⎛ R ⎞ 2VCC − VBEsat − ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟ 2VCC − VCEsat ⎝ R6 ⎠ ≅ R8 ⎛ R ⎞ R6 − ⎜⎜1 + 5 ⎟⎟ (R6 + R8 ) ⎝ R6 ⎠

)

Le signal sur la borne 9 est un signal triangulaire vT (t ) de même fréquence fs tel que v T (t ) = VTo + v t (t ) avec une valeur moyenne VTo ≅

VT+ + VT− et une variation v t (t ) ≅ VT+ − VT− autour de 2

cette valeur moyenne.

VT+

− VT−

= 2VCC − VCEsat − R8

Sylvain Géronimi

(

)

R5 + R 6 2VCC − VCEsat R6 R6 2VCC − VCEsat − R5 + R 6 R5 + R 6 (R6 + R8 ) R6 − R6

2VCC − VBEsat −

Page 325

(

)

Circuits intégrés



6.0V

4.0V

fs = 1413 Hz

5.40 V

VS(t)

R1 = 3.3 Ω C1 = 68 nF

∆VS = 6.16 V 2.0V

0.84 V

VT(t) 0V

∆VT = 2.27 V - 0.76 V -2.0V

0s

0.2ms

- 1.43 V 0.4ms

0.6ms

0.8ms

1.0ms

1.2ms

1.4ms

1.6ms

Time

10. Explication de la commande de Q8 Amplificateur différentiel pour commande en courant +VCC

D10 R10

R12

16k

4.3k

R27 13.65k

Q14 VS

Q16 Q15 R11 5.8k

Icom

Q17

Q25 R17 200

R26 200

-VCC

La sortie de l’étage collecteur commun Q13 est connectée à un amplificateur différentiel ( Q14 et Q16 ) qui commande en courant le transistor Q8 par le biais de Q15 .

Sylvain Géronimi

Page 326

Circuits intégrés



Le miroir de courant polarise la diode zener D10 qui fixe le potentiel de la base de Q16 à la valeur VB16 = VCC − VZ ≅ 3.3 V . La différence de potentiel de l’attaque de l’étage différentiel est VS − VB16 . Sur le front bas du signal carré ( VS = VoL − VBE13 ), le potentiel de base de Q14 est à un niveau très inférieur à VB16 . Le potentiel commun des émetteurs étant plus bas que VB16 , Q16 est bloqué et Q14 saturé. Le courant traversant la résistance R11 étant négligeable, le transistor Q15 est bloqué et I com ≅ 0 . Le transistor Q8 est bloqué lors de la charge du condensateur C1 . Sur le front haut du signal carré ( VS ≅ VoH − VBE13 ), le point commun des émetteurs est supérieur à VB16 . Q14 est bloqué et Q16 saturé. La majorité du courant de collecteur de Q16 traverse la résistance R11 , produisant une tension telle que Q15 devient conducteur. Ainsi, le courant I com est suffisamment important pour saturer Q8 lors de la décharge du condensateur C1 .

Etude de la fonction PLL 11. Ecriture des relations générales En posant la tension d’alimentation totale appliquée au circuit VALIM = 2VCC , et en considérant que VALIM >> VCEsat et VBEsat , les équations issues de l’étude du VCO s’écrivent : ⎛ R5 (R5 + R6 )R8 ⎞⎟ 2V − V R 6 R8 VT+ − VT− = ⎜⎜ − 2VCC − VBEsat CC CE sat + ⎟ ( ) ( + + R R R + R R + R R R R 6 5 6 8 5 6 ⎠ 5 6 )R 8 + R 5 R 6 ⎝ 5 R5 R5 R8 ⇒ VT+ − VT− ≅ k VALIM avec k = − ≅ 0.2023 R5 + R6 (R5 + R6 )R8 + R5 R6

(

VCC − VFo ≅

)

(

)

2VCC − VBE25 R24 R26 R R I pol = 24 26 2 R27 2 R27 R19 + R20 + R21 + R26

⇒ VCC − VFo ≅ k 'VALIM avec k ' =

R24 R26 ≅ 0.1268 2 R27 (R19 + R20 + R21 + R26 )

D’après l’expression de la période du signal carré v S (t ) issu du VCO (borne 4), la pulsation s’écrit

ω=

π I1 2π . = T C1 (VT+ − VT− )

Le courant I1 est obtenu à partir, d’une part de la résistance extérieure R1 et, d’autre part, de la tension d’entrée VF = VFo + ∆VF , d’où I1 ≅

ωs =

(

π VCC − VFo

)

VCC − VFo R1

−

∆VF (composantes continue et variable). R1

π

− ∆VF de la forme ωs = ωo + ∆ω = ωo + K 0 ∆VF R1C1 (VT+ − VT− ) R1C1 (VT+ − VT− )

Par identification, les expressions de la pulsation libre et de la sensibilité du VCO s’écrivent :

ωo =

(

π VCC − VFo

(

R1C1 VT+

Sylvain Géronimi

)

− VT−

π k'

)≅ R C k 1 1

et K 0 =

−π −π ≅ . R1C1 (VT+ − VT− ) R1C1 k VALIM

Page 327

Circuits intégrés



La PLL est associée à un filtre passif de la forme F ( p ) =

1 avec τ = R24 C2 . 1+ τ p

Calcul de la plage de maintien La variation maximale de la tension d’erreur générée à la sortie du CDP est ∆v c max = K D ϕ d En sortie du filtre, la tension est ∆v f max = F (0) ∆v c max = K D

max

.

π

puisque F (0) = 1. 2 En sortie du VCO, la variation de la pulsation du signal de sortie autour de la pulsation libre ωo est ∆ωs max = K 0 ∆v f max = K D K 0

π 2

.

Par définition ∆ωs max = 2 π ∆fM , ce qui donne la plage de maintien 2 ∆fM =

KD K0 . 2

Calcul de la plage d’acquisition ∆ω A ≅ K D K 0

π 2

F ( j∆ω A ) pour une capture rapide, avec F ( j∆ω A ) =

1 1 + ∆ω A2 τ 2

≅

1 ∆ω A τ

.

En supposant que la demi-largeur de capture ∆ω A est, en pratique, très supérieure à la pulsation de coupure du filtre 1 τ , ∆ω A ≅ K D K 0

π

1 ⇒ 2 ∆f A ≅ 2 ∆ω A τ

2 ∆f M

πτ

.

Dans le cas général, les données de la PLL NE565 sont les suivantes : K D ≅ − 0.64 V / rad , fo ≅ ∆f A ≅

50 fo 8 fo 1 (Hz), K 0 ≅ − (rad/s/V), ∆fM ≅ (Hz), 3.19 R1C1 VALIM VALIM

5 fo 1 (Hz) avec τ = 3.6 10 3 × C2 (pour un réseau RC). 2 τ VALIM

Le gain de conversion K D du CDP est peu sensible à la valeur de la tension d’alimentation totale. Si le multiplicateur fonctionne en commutation (modulateur équilibré), sa valeur est quasi constante et négative car le gain K 0 du VCO est négatif. Sur la caractéristique triangulaire v C (ϕ d ) , le point de repos stable est donc à l’abscisse ϕ d = −

π

, centré entre - π et 0 (voir cours « technologie des 2 PLL »). Si le multiplicateur ne travaille pas en commutation, K D est fonction de l’amplitude des signaux v E (t ) et v S (t ) . La fréquence centrale libre des oscillations fo est ajustée par R1 et C1 . Les domaines de verrouillage et de capture s’étendent respectivement de ∆fM et ∆f A de chaque côté de la fréquence centrale.

Sylvain Géronimi

Page 328

Circuits intégrés



Applications de la PLL 565 Nous proposons deux applications de la PLL. L’étude précédente permet de présenter le composant sous le schéma suivant. 10

+VCC

R24

2

Multiplicateur

3

Amplificateur

7

3.6k

6

5 4

VCO

8

9

1

R1

C1

+VCC

-VCC

-VCC

Application n°1 : Démodulation FSK +6V R1

C2 47n

CE

10

8 2

7

1u 565 vE (t)

6 5

3 Ra

Ra

680

680

9

1

4

C1 6.8n -6V

La boucle est fermée en reliant les bornes 4 et 5. La résistance R24 intégrée au sein du circuit et le condensateur C2 compose le filtre passe-bas (FPB) du premier ordre. Les résistances Ra de polarisation du multiplicateur ont une influence négligeable. Le composant CE est un condensateur de liaison pour la source d’attaque v E (t ) d’amplitude >> 50 mV . Caractérisation des paramètres statiques de la boucle En l’absence du signal v E (t ) et du condensateur de filtrage C2 , la fréquence libre des oscillations est ajustée à fo = 10 kHz à l’aide de la résistance R1 . 1. Déterminez les valeurs des paramètres K D , K 0 , 2 ∆fM de la PLL. Evaluez la résistance R1 qui règle la fréquence fo à la valeur souhaitée. 2. Ecrivez la relation linéaire fs (VF ) du transfert du VCO.

Sylvain Géronimi

Page 329

Circuits intégrés



Etude dynamique Le filtre passe-bas est introduit dans la boucle en connectant C2 entre les bornes 7 et 10. Un signal carré v E (t ) est appliqué à l’entrée, d’amplitude v e (t ) = ± 0.25 V et de valeur moyenne nulle, de fréquence 9 kHz durant 3 ms , puis 11 kHz durant 3 ms et ceci périodiquement. 3. Evaluez la fréquence de coupure du filtre et la plage de capture correspondante. 4. La PLL étant verrouillée, tracez v F (t ) théorique. Discutez du type de démodulation. Vf ( p ) , puis écrivez les expressions de ω n et ζ, Ωe ( p) respectivement pulsation propre du système non amorti et coefficient d’amortissement. 6. En appliquant le théorème de la valeur finale, évaluez la variation d’amplitude de v f (t ) en régime permanent relative au saut de pulsation en entrée, ainsi que la fréquence des oscillations amorties et le dépassement pendant le régime transitoire. 7. Tracez v F (t ) réelle en respectant les échelles sur le régime transitoire. 8. Discutez de l’efficacité du filtre sur les résidus de porteuse et de la stabilité du système.

5. Ecrivez la fonction de transfert en boucle fermée

Application n°2 : Modem 300 bauds +5V R1

C2

3.94k

CE

220n

10

8 2

C

C

C

22n

22n

22n

R

R

R

10k

10k

10k

7

1u

+ TL082

R' 565

vE (t) Ra

680

680

30k

5

3 Ra

-

6

9

1

4

C1 68n -5V

La PLL 565 est destinée à démoduler un signal FSK (lignes téléphoniques pour transmission de signaux binaires). Le signal v E (t ) qu’elle reçoit a une fréquence de 1270 Hz lorsque l’information correspond à un 1 logique et une fréquence de 1070 Hz lorsque l’information correspond à un 0 logique. Le composant CE évite une composante continue indésirable. La valeur du condensateur C2 du filtre de boucle est fixée par le choix du dépassement approprié sur la tension démodulée v F (t ) . Un filtre en échelle à trois étages RC est utilisé pour enlever les résidus de porteuse ( 2 fe ) et sa bande passante doit se situer approximativement à mi-chemin entre la vitesse maximale du débit binaire (ici 300 bits/s ou 150 Hz) et deux fois la fréquence d’entrée (autour de 2340 Hz). La fréquence libre du VCO est ajustée avec R1 pour que le potentiel continu à la sortie (signal à rapport cyclique de 50 % sur la borne 7) soit le même que sur la borne 6. Un comparateur de tension convertit le signal de sortie en logique compatible. La résistance R ' = 3 R équilibre les entrées au niveau continu. Développez le problème à l’image de l’application précédente.

Sylvain Géronimi

Page 330

Circuits intégrés



Corrigé Application n°1

Caractérisation des paramètres statiques de la boucle 1. Valeurs des paramètres

K D ≅ − 0.64 V / rad (pour le multiplicateur fonctionnant en commutation) K0 ≅ − R1 ≅

50 fo 8 fo ≅ − 41667 rad / s / V , ∆fM ≅ ≅ 6667 Hz avec VALIM = 12 V VALIM VALIM

1 ≅ 4610 Ω 3.19 C1 fo

2. Relation du transfert du VCO

ωs = aVF + b avec a = K 0 , b = ωo − K 0 VF0 et VFo ≅ 4.56 V ⇒ ωs ≅ − 41700 VF + 252833 rad / s ou encore fs ≅ − 6632 VF + 40240 Hz 30K

fS (Hz) K0 ≅ - 6632 Hz / V (4.0, 13.71K)

20K

(4.56, 10K) (5.0, 7.08K) 10K

0

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

VF (V)

Etude dynamique 3. Evaluation de la fréquence de coupure du filtre et de la plage de capture F ( p) = ∆f A ≅

1 1 avec τ = R24 C2 ⇒ ffpb = ≅ 941 Hz 1+ τ p 2π τ

5 fo 1 ≅ 2.48 kHz valeur majorée par l’hypothèse ∆ω A2 τ 2 >> 1 . 2 τ VALIM

4. Tracé de v F (t ) théorique Pour fs = 9 kHz , VF ≅ 4.71V et pour fs = 11 kHz , VF ≅ 4.41V , ce qui donne un écart de tension ∆VF ≅ 0.3 V associé à une valeur moyenne VFo = 4.56 V .

Sylvain Géronimi

Page 331

Circuits intégrés



4.71 V 4.7V

vF (t)

9 kHz

∆VF = 0.3 V

4.6V

VF moyen = 4.56 V

4.5V

11 kHz 4.4V 4.41 V

3.0ms

0s

6.0ms

9.0ms

Time

Le signal démodulé v F (t ) est à l’image du signal modulant de forme carré de fréquence d’environ 167 Hz, de valeur moyenne nulle et dont l’amplitude est réglée pour produire un saut de fréquence de 2 kHz centré sur la fréquence de 10 kHz de la porteuse. Le signal v E (t ) modulé à l’entrée de la PLL subit un décalage en fréquence. Le circuit effectue une démodulation FSK. 5. Ecriture de la fonction de transfert en boucle fermée H ( p) =

Ω ( p) K D K 0 F ( p) K K F ( p) G( p ) avec G( p ) = D 0 et B( p ) = 1 (retour unitaire ) ⇒ s = 1 + G( p ) p Ωe ( p) p + K D K 0 F ( p)

Ω s ( p ) = K 0 Vf ( p ) ⇒

⇒

Vf ( p ) 1 = Ω e ( p) K 0

de la forme

1 K0

Vf ( p ) K D F ( p) 1 avec F ( p ) = = 1+ τ p Ω e ( p) p + K D K 0 F ( p)

1 1 τ 1+ p+ p2 KD K0 KD K0 1 1+

2ζ

ωn

p+

p2

avec ωn =

KD K0

τ

et ζ =

ωn2

1 2 τ KD K0

6. Paramètres de v f (t ) En régime permanent, la variation de l’amplitude de la tension v F (t ) est obtenue par l’application du théorème de la valeur finale ∆ω e ∆ω e , soit ∆VF ≅ 0.3 V pour ∆fe = 2 kHz . ⇒ v f (∞ ) = lim v f (t ) = lim pVf ( p ) avec Ω e (p ) = p K0 p→0 t →∞ En régime transitoire, les paramètres ζ ≅ 0.235 , fn =

1 2π

KD K0

τ

≅ 2 kHz du domaine fréquentiel

se traduisent par les paramètres fosc = fn 1 − ζ 2 ≅ 1942 Hz , D = e

−

πζ 1−ζ 2

≅ 46.8 % (valeur

normalisée du premier dépassement) dans le domaine temporel.

Sylvain Géronimi

Page 332

Circuits intégrés



7. Tracé de v F (t ) réelle fréquence des oscillations ≅ 1942 Hz

4.85 V

4.8V

dépassement ≅ 46.8 %

4.71 V

vF (t) 4.6V

∆V = 0.3 V

4.4V

4.41 V 4.27 V 4.2V

2ms

0s

4ms

6ms

8ms

10ms

Time

Les valeurs crête valent 4.41 + 0.3 × 1.468 ≅ 4.85 V et 4.71 − 0.3 × 1.468 ≅ 4.27 V .

8. Discussion sur le filtrage et la stabilité Le filtre atténue ces fréquences suivant la relation F ( jω ) =

1

ω2 1+ ωc2

. Son rôle est d’éliminer les

résidus de porteuse issus du doublage de fréquence du CDP à comportement « ou exclusif ». Le signal démodulé v F (t ) supporte sur ses fronts des résidus aux fréquences 18 kHz ( 2 × 9 kHz ) et 22 kHz ( 2 × 11 kHz ). Dans le cas présent ffpb ≅ 941 Hz pour C2 = 47 nF , les atténuations à 18 kHz et 22 kHz valent respectivement 0.052 et 0.043 (contexte sinusoïdal), soit des résidus d’amplitude 104 mV et 85 mV issus du signal rectangulaire d’amplitude d’environ 2 V ( v C (t ) = 4.56 ± 1V ). 5.7V

sans C2

signaux à la fréquence de 22 kHz

5.0V

(fe = 11 kHz) C2 = 4.7 nF C2 = 47 nF 4.0V

C2 = 470 nF 3.6V 440us

460us

VF (t)

480us

500us

520us

540us

560us

580us

600us

Time

Sur cette simulation, nous pouvons observer l’efficacité du filtrage lorsque la valeur du condensateur C2 augmente. Le choix de C2 = 47 nF apparaît relativement acceptable.

Sylvain Géronimi

Page 333

Circuits intégrés



La stabilité du système laisse à désirer au regard des valeurs des paramètres ζ = 0.235 ou D ≅ 46.8 % . Ce type de filtre est incapable de satisfaire stabilité et filtrage simultanément. Cependant, pour la variation maximale ∆VF ≅ ± 0.29 V de la tension à l’entrée du VCO autour de la valeur moyenne VFo = 4.56 V correspond une variation dynamique de fréquence ∆fdyn =

K 0 ∆VF ≅ 1923 Hz autour de la fréquence libre fo = 10 kHz . La demi plage de maintien, 2π

centrée autour de fo , valant ∆fM ≅ 6.67 kHz pour ce type de filtre, la PLL est bien verrouillée. excursion maximale de la fréquence 3.3

7.5 8.1

10

11.9 12.5

fo-∆fM

fo-∆fA fo-∆fdyn

fo

fo+∆fdyn fo+∆fA

16.7

fo+∆fM f (kHz)

plage de verrouillage

5.0V

fréquence amortie = 1942 Hz

résidu issu du signal carré à fe = 9 kHz

dépassement = 46.8 %

fréquence ≅ 18 kHz

VF (t)

niveaux différents des amplitudes des résidus

4.5V

amplitude ≅ 85 mV fréquence = 22 kHz résidu issu du signal carré à fe = 11 kHz

fréquence du signal modulant = 167 Hz 4.0V

0s

2ms

4ms

6ms

8ms

10ms

Time

Simulation de la PLL 565 en démodulation FSK : le signal d’attaque est un signal v e (t ) = ± 0.25 V de valeur moyenne nulle et modulé par un signal carré de fréquence 167 Hz dont l’amplitude est réglée de façon à obtenir un saut de fréquence de 2 kHz.

Sylvain Géronimi

Page 334

Circuits intégrés

12ms



Application n°2 Caractérisation des paramètres statiques de la boucle La fréquence libre du VCO a pour valeur fo ≅

1 ≅ 1170 Hz , centrée par rapport au saut 3.19 R1C1

de fréquence de 200Hz. K D ≅ − 0.64 V / rad (pour le multiplicateur fonctionnant en commutation) K0 ≅ −

50 fo 8 fo ≅ − 5850 rad / s / V , ∆fM ≅ ≅ 936 Hz avec VALIM = 10 V VALIM VALIM

Evaluation de la fréquence de coupure du filtre de boucle et de la plage de capture F ( p) = ∆f A ≅

1 1 avec τ = R24 C2 ⇒ ffpb = ≅ 201 Hz 1+ τ p 2π τ

5 fo 1 ≅ 430 Hz valeur majorée par l’hypothèse ∆ω A2 τ 2 >> 1 . 2 τ VALIM

Paramètres de v F (t ) fn =

ζ =

1 2π

KD K0

τ

1 2 τ KD K0

≅ 346 Hz ⇒ fosc = fn 1 − ζ 2 ≅ 331 Hz , ≅ 0.29 , D = e

−

πζ 1−ζ 2

≅ 38.6 %

Variation en régime permanent de v F (t ) autour de VFo = 3.81V (car VALIM = 10 V ) relative à une variation ∆fe = 200 Hz ⇒ ∆v f (∞ ) =

∆ω e ≅ 215 mV . K0

Filtres de lissage et comparateur de tension Ce filtre du troisième ordre doit lisser les résidus de porteuse du signal v F (t ) . Par une approche ne tenant pas compte de l’interaction entre cellules, y compris celle du FPB (adaptation en tension 1 réalisée), la fréquence de coupure est de l’ordre de flissage = ≅ 723 Hz avec une descente 2 π RC de – 60 dB par décade. Les résidus de porteuse de v F (t ) étant éliminés à l’arrivée d’une entrée du comparateur, ce dernier bascule lorsque v + = v − , soit pour v F (t ) = Vref avec Vref ≅ 3.81V . Les variations de v f (t ) sont centrées par rapport à la masse (si ce n’est pas le cas, retouchez la fréquence libre à l’aide de la résistance R1 ). ⎧⎪v + > v − ⎨ + ⎪⎩v < v −

→

v s = + Vsat

→

v s = −Vsat

avec ± Vsat en accord avec la logique compatible.

La vitesse maximale de transmission est de l’ordre de <

Sylvain Géronimi

Page 335

fosc ≅ 165 Hz . 2

Circuits intégrés



Simulation 4.2V

vF(t)

4.0V

3.6V 3.4V

fe = 1270 Hz

fe = 1070 Hz

500mV

vE(t) 0V

-500mV

0s

5ms

10ms

15ms

20ms

25ms

30ms

35ms

40ms

Time

La porteuse est un signal sinusoïdal d’amplitude 1 Vpp et de valeur moyenne nulle changeant de fréquence toutes les 10 ms de manière périodique. Le signal démodulé v F (t ) , image du signal modulant (information), présente d’importants résidus de porteuse (2 fe).

4.0V

Vfiltre1(t) Vref

Vfiltre2(t)

3.8V

basculement

Vfiltre3(t)

3.6V 5.0V

Vlogic(t)

démodulation FSK 100 bits / s

0V

(f = 50 Hz)

-5.0V

0s

5ms

10ms

15ms

20ms

25ms

30ms

35ms

40ms

Time

Le signal démodulé v F (t ) , en sortie de filtre de boucle, subit un triple filtrage et le signal résultant v filtre3 (t ) est comparé au potentiel Vref . A l’instant de basculement, la tension de sortie du comparateur change de niveau de saturation. La vitesse de transmission est de 100 bauds (100 bits par seconde). Si le signal démodulé n’est pas centré par rapport à Vref , le rapport cyclique de v logic (t ) est différent de 50 % et le temps de bit n’est pas respecté (10 ms).

Sylvain Géronimi

Page 336

Circuits intégrés



4.2V

Vfiltre1(t)

vF(t) 4.0V

Vref

Vfiltre2(t)

Vfiltre3(t)

3.6V 3.4V 5.0V

Vlogic(t)

démodulation FSK 200 bits / s

0V

(f = 100 Hz)

-5.0V

0s

2ms

4ms

6ms

8ms

10ms

12ms

14ms

16ms

18ms

20ms

14ms

16ms

18ms

20ms

Time

La vitesse de transmission est ici de 200 bauds. 4.2V

vF(t) 4.0V

Vref 3.6V 3.4V 5.0V

Vlogic(t) 0V

-5.0V

0s

2ms

4ms

6ms

8ms

10ms

12ms

Time

La nécessité de filtrer les résidus apparaît de façon évidente en reprenant le cas de la transmission est à 200 bauds où le triple réseau RC n’est pas utilisé. L’information binaire est alors erronée.

Sylvain Géronimi

Page 337

Circuits intégrés


Electronique analogique - Cours

Modèles de composants associés aux différents régimes

La diode ⎧v D (t ) = VD + v d (t ) ⎩i D (t ) = ID + i d (t )

iD(t)

avec ⎨

vD(t)

Régime continu Modèle mathématique non linéaire

⎛ UVD ⎞ I D = I S ⎜ e T − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

en direct I D ≅ IS e

Modèle linéarisé

VD UT

en inverse ID ≅ −IS ≅ 0

ID RD

en direct

ID

en inverse

VD

VD = RD I D + Vγ

VD

Vγ

∞

Régime dynamique aux faibles signaux Modèle linéarisé

en direct

rd

Cd

UT ⎧ ⎪rd = I D0 ⎪ ⎨ ⎪C = τ ⎪ d rd ⎩

en inverse

∞

Ct

Données du constructeur : Vγ (tension dépendante du matériau), τ (durée de vie moyenne des porteurs ou temps de recombinaison des porteurs minoritaires en « excès »), Ct (capacité de transition), UT =

kT ≅ 26 mV à 27 °C (tension thermique). q

Le transistor à effet de champ (JFET)

D

canal N G vGS(t)

Sylvain Géronimi

iD(t)

⎧v GS (t ) = VGS + v gs (t )

avec ⎨

0

⎩i D (t ) = ID + i d (t )

S

Page 338

Annexes



Régime continu

Modèle mathématique non linéaire 2

⎛ V ⎞ ID = IDSS ⎜⎜1 − GS ⎟⎟ VP ⎠ ⎝ avec 0 ≤ VGS ≤ VP

pour canal N : VGS et VP < 0

pour canal P : VGS et VP > 0

Transistors technologiquement identiques : mêmes I DSS et VP .

Régime dynamique aux faibles signaux Cgd

Modèle linéarisé

gm

I D0 I DSS

Cgs

∞

vgs

2 =± VP

id

∞

G

(pour VDS > VP : zone de saturation)

rds

D

vds

g m vgs

en A/V

(paramètre g m toujours >0)

S

Données du constructeur : I DSS (courant de saturation de drain pour VGS = 0 ), VP (tension de pincement), C gs , C gd (capacités de transition), rds (résistance dynamique de sortie).

Le transistor bipolaire à jonction (JBT) IC

IC IB

IB

VEC

VCE

en mode actif VBE

⎧v BE (t ) = VBE + v be (t ) avec ⎨ ⎩i B (t ) = I B + i b (t )

VEB

IE

IE

NPN

PNP

Régime continu

Modèle mathématique non linéaire (équations d’Ebers-Molls en mode actif) VBE

⎛ V IC = β I B = β I BS e UT ⎜⎜1 + CE VA ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

VEB

(NPN)

⎛ V IC = β I B = β I BS e UT ⎜⎜1 + EC VA ⎝

VBE

IC = β I B = β I BS e UT

⎞ ⎟⎟ ⎠

(PNP)

VEB

(NPN)

IC = β I B = β I BS e UT

(PNP)

(effet Early négligé)

Transistors technologiquement identiques : mêmes β et I BS .

Sylvain Géronimi

Page 339

Annexes



Modèle linéarisé

IB

B

⎧I E = I B + IC ⎪ ⎨IC = β I B ⎪ ⎩ VBE ≅ 0.6 à 0.7 V

IC +

C

Vγ β IB RD ≅ 0

VBE

IE

E

Régime dynamique aux faibles signaux Cbc

Modèle linéarisé B

UT UT ⎧ β ⎧ ⎪rbe = I = I β ⎪g m = r B0 C0 be ⎪ ⎪ et ⎨ ⎨ + V V V CE 0 ⎪C + C = IC0 ⎪r = A ≅ A bc ce ⎪ be ⎪ 2π UT ft IC 0 IC 0 ⎩ ⎩

ib ib1 rbe

vbe

ic

∞

C

β ib1 rce

Cbe gm vbe

E

Données du constructeur : β (valeur typique acceptable en régimes statique et dynamique), Cbc (capacité de transition), ft (fréquence de transition), VA (tension d’Early supposée grande devant VCE 0 ).

Tableau récapitulatif sur le choix du modèle du composant en fonction du régime étudié

diode

Régime continu

Régime dynamique

Données constructeur Hypothèses simplificatrices

modèle linéaire par morceaux

VD = RD I D + Vγ

modèle mathématique

⎛ VD ⎞ ⎜ ⎟ I D ≅IS ⎜ e UT − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

modèle faibles signaux aux fréquences basses et moyennes aux fréquences hautes

JFET

JBT VBE ≅ 0.6 V , IC = β IB

⎛ V ID = IDSS ⎜1 − GS ⎜ VP ⎝ gm = ±

U rd = T , ri = ∞ ID0

2 VP

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

VBE

2

IC ≅ β I BS e UT (mode actif direct) gm =

I D I DSS

rds

Cd , Ct

Cgs , Cgd

Rd , Vγ , Cd , Ct

I DSS , VP , rds , Cgs , Cgd

rbe =

β rbe

UT V β , rce ≅ A IC 0 IC0

Cbe ≅

IC0 2π UT ft

− Cbc

β , VA , Cbc , ft

VD ≅ −VZ pour

VBE ≅ Vγ , RD = 0

zener (R Z = 0)

VA >> VCE0

( Transistors technologiquement identiques : mêmes β , IBS pour les JBT ou mêmes I DSS , VP pour les JFET au sein du modèle non linéaire en régime continu ; pour le JBT en mode actif direct du modèle Ebers-Moll, l’expression du transfert est simplifiée VBE VBE ⎛ VCE0 ⎞⎟ UT UT ⎜ IC = β I BS e avec VCE0 << VA (tension d’Early). ⎜⎜1 + V ⎟⎟ ≅ β I BS e A ⎝ ⎠

Sylvain Géronimi

Page 340

Annexes



Modèle de Giacoletto En régime dynamique faibles signaux, le transistor bipolaire se comporte comme un quadripôle linéaire en hautes fréquences. Le schéma équivalent en montage émetteur commun, appelé encore schéma de Giacoletto, est représenté sur la figure suivante. rb'c

B

ib

rbb'

B'

ic Cb'c

ib1

C

β ib1 vbe

rb'e

vb'e

rce

Cb'e

Cce

vce

gm vb'e

E

E

En premier lieu, on remarque l’introduction du point B’ constituant le niveau de base vraie. On définit ainsi : rbb ' comme étant la résistance extrinsèque de base située entre le foyer actif des porteurs B’ et la connexion de base B ; sa valeur n’est pratiquement pas influencée par la température, ni par une variation de courant. rcc ' et ree ' représentation semblable au niveau des autres électrodes. Les jonctions du transistor sont représentées sous la forme d’un schéma R-C parallèle. Une capacité de jonction est la résultante de - une capacité de transition dominante dans une polarisation inverse telle que sa valeur est d’autant plus faible que la tension aux bornes est plus grande, - une capacité de diffusion, représentant le phénomène de diffusion des porteurs à l’intérieur de la jonction, caractérisé d’une part, par le temps de transit (ou temps moyen mis par un porteur « commandé » pour aller de l’entrée à la sortie, et d’autre part, par la dispersion du flux des porteurs, dépendante du phénomène de recombinaison et des répulsions mutuelles qui conduit, tout compte fait, à une dispersion sur le temps de transit moyen (il faut souligner ici que l’assimilation du mécanisme de diffusion à une capacité n’est admissible que pour des fréquences beaucoup plus faibles que l’inverse du temps moyen). Ainsi, la jonction base vraie - émetteur est une jonction polarisée dans le sens passant et sa modélisation est la suivante : rb'e est la résistance dynamique de la jonction vue de la base vraie ; sa valeur est inversement proportionnelle au courant de polarisation, donc dépendante du point de repos choisi, et varie U U avec la température rb 'e = T = T β avec UT ≅ 25 mV , I B0 IC 0

-

Cb'e est la capacité de la jonction modélisant le phénomène de diffusion; sa valeur est proportionnelle au courant de polarisation, donc dépendante du point de repos choisi, et varie IC 0 − C b 'c . avec la température Cb 'e ≅ 2π f U t

T

La jonction base vraie - collecteur est une jonction polarisée dans le sens bloquant et sa modélisation est la suivante : rb 'c est la résistance dynamique de la jonction polarisée en inverse (valeur très importante),

-

Cb'c est la capacité de la jonction modélisant le phénomène de transition.

Il est intéressant de noter que ces éléments constituent le circuit de couplage entre l’entrée et la sortie du transistor.

Sylvain Géronimi

Page 341

Annexes



Il ne reste plus qu’à considérer ce qui se passe entre les électrodes du collecteur et de l’émetteur. Ceci est plus délicat à modéliser puisqu’il n’y a pas de jonction : rce est la résistance dynamique qui définit grossièrement la résistance de sortie du transistor ; sa valeur peut être approchée par la tension d’Early VA telle que rce ≅ VA IC0 si VA >> VCE0 ,

-

Cce est une capacité extrinsèque que l’on peut caractériser de type électrostatique (très faible).

La source de courant dépendante est liée aux variables de la branche supportant rb 'e illustre l’effet amplificateur du transistor. Dans cette représentation, le courant commandé est proportionnel à la tension vb’e par le facteur g m (pente interne du transistor) ou au courant traversant la résistance de jonction par le facteur β (gain en courant). Le relation liant les deux facteurs est g m = β rb 'e . De façon pratique, cette modélisation du transistor n’est valable que pour des fréquences inférieures à la fréquence de transition, ceci à cause de la représentation du mécanisme de diffusion sous la forme d’une simple capacité. D’autre part, on considère que l’on peut négliger les influences de rb'c et Cce qu’on assimile à des circuits ouverts et l’influence de rbb ' qu’on assimile à un court-circuit. Les points B et B’ étant confondus, les paramètres rb'e , Cb'e , Cb'c s’identifient à rbe , Cbe , Cbc . L’influence de la résistance rce peut être négligée qu’à condition que la charge soit faible.

Evaluation du paramètre Cbe du modèle Soit le montage émetteur commun excité en courant et chargé par un court-circuit ( Rch << rce ). Cbc

v ib

rbe

ic

vs =0

Cbe gm v

Il est nécessaire d’écrire l’expression du paramètre hybride h21e (p ) =

Equations de nœuds →

β (p ) = β 0

1− 1+

ic = β (p ) ib

⎧ ⎛ 1 ⎞ + Cbe p + Cbc p ⎟⎟ ⎪i b = v ⎜⎜ ⎨ ⎝ r b 'e ⎠ ⎪ ⎩i c = v (g m − Cbc p )

p

ωz p

avec ω z =

ωβ

gm 1 et ω β = Cbc rbe (Cbe + Cbc )

( ω β << ω z )

La fréquence de transition ft est la fréquence à laquelle le gain en courant en court-circuit d’un émetteur commun a une amplitude unité :

β (p ) ≅

β0 1+

p

ωβ

pour ω ≤ ωt

⇒

β ( jωt ) ≅

β0 ⎛ω 1+ ⎜ t ⎜ ωβ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⇒ 1 ≅ β0

ωβ ωt

car

ω β << ωt

soit 1⋅ ft ≅ β 0 f β (produit gain en courant x fréquence de coupure haute constant pour un système passe-bas du premier ordre), d’où l’expression de la capacité de diffusion : g Cbe ≅ m − Cbc ( β , ft , Cbc données constructeur). 2π ft Sylvain Géronimi

Page 342

Annexes



Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un étage différentiel Cette méthode de travail est valable pour un étage différentiel à structure symétrique (charges identiques). Si les charges sont différentes (résistances ou miroir de courant), la méthode reste valable à condition que les transistors attaquent les charges en courant ( rce = ∞ ). Les sources de tension à l’entrée de l’étage se décomposent chacune en deux sources mises en série, faisant apparaître des composantes propres à un régime différentiel et à un régime de mode v v − v 2 v1 + v 2 v d v − v 2 v1 + v 2 + = + vc , v2 = − 1 + = − d + vc . commun : v 1 = 1 2 2 2 2 2 2 Le circuit étant linéaire, ces deux régimes sont étudiés séparément par application du théorème de superposition en effectuant deux étapes : c l’étude du régime différentiel issu d’une attaque symétrique ( ± v d 2 ), les sources de mode commun étant éteintes ( v c = 0 ), permettant de caractériser les performances Ad , Zd , Zs , d l’étude du régime de mode commun issu d’une attaque parallèle ( +v c ), les sources différentielles étant éteintes ( v d = 0 ), permettant de caractériser les performances Ac , Zc . ( Exemple d’un amplificateur différentiel classique (résistances de charge identiques)

vs1

RC

RC

+

Q1

Q2

+

ie1+ ie2

vs2

ib1

ib2 + - vd /2

vd /2 +

vc

vc z0

Les transistors Q1 , Q2 étant supposés technologiquement identiques, les courants d’entrées se retrouvent, à une même proportionnalité près, sommés dans la résistance commune d’émetteur z0 . Si les courants sont issus d’une attaque en tension symétrique ( i b1 = −i b2 ), il ne passe aucun courant dans z0 et les émetteurs des transistors sont à la masse. Si les courants sont issus d’une attaque en tension parallèle ( i b1 = i b2 ), le courant dans z0 est égal à 2 i e , en posant i e1 = i e2 = i e , et la résistance vue par le courant d’émetteur de Q1 ou Q2 est 2 z0 . Cela fait apparaître deux demi-schémas dans chacun des régimes.

vs1

RC

RC

Q1

Q2

ib1 + vd /2

vs1

vs2

ib2 +

+ - vd /2

RC

RC

Q1

Q2

Page 343

+ vc

vc 2 z0

Sylvain Géronimi

vs2

2 z0

Annexes



De façon générale, pour chacune des études, le choix du demi-schéma s’imposera selon la sortie envisagée (sortie vers l’étage suivant par exemple). Dans le cas présent où les charges de collecteurs sont égales, il n’apparaît qu’une différence dans les performances, à savoir le signe du gain en tension sur le schéma de gauche. La représentation de l’amplificateur dans son régime purement différentiel est une source de tension contrôlée par la tension différentielle appliquée sur la branche contrôlante supportant Z d . (+)

B1 Zs Zd

vd

v’s

Rch

Ad v d

(-) B2

De même, la représentation de l’amplificateur dans son régime de mode commun est une source de tension contrôlée par la tension de mode commun appliquée sur la branche contrôlante supportant Z c , schéma vu des bases de Q1 ou Q2 . B1 ou B2 Zs vc

Zc

v’’s

Rch

Ac v c

Méthode de travail pour la caractérisation linéaire d’un circuit complexe Dans le cadre d’étude en régime dynamique (faibles signaux), la méthode consiste à découper le circuit en étages élémentaires. Pour chaque étage en cascade, le dipôle de sortie, représenté par son schéma équivalent de Thévenin ou Norton à vide, est à l’image d’un générateur d’attaque pour l’étage suivant et ainsi de suite. Deux étapes sont nécessaires : c La première étape permet l’évaluation du transfert en tension à vide, ou du courant de court-circuit selon le cas, et la résistance de sortie du circuit, fournissant ainsi un dipôle équivalent sous la forme Thévenin ou Norton. La procédure commence par l’obtention du dipôle équivalent relatif au premier étage attaqué par l’équivalent de Thévenin ou Norton, l’étage suivant étant non connecté. Le dipôle obtenu attaque l’étage suivant dans les mêmes conditions de charge et la procédure se poursuit jusqu’au dernier étage non chargé. d La deuxième étape permet l’évaluation de la résistance d’entrée du circuit. La procédure de calcul considère le dernier étage chargé dont on évalue la résistance d’entrée (résistance de Thévenin ou Norton du dipôle). La résistance obtenue servira de charge pour l’étage précédent dont on évalue la résistance d’entrée et la procédure se poursuit jusqu’au premier étage.

Ainsi, la résistance d’entrée du premier étage est la résistance d’entrée du circuit, la résistance de sortie du dernier étage est la résistance de sortie du circuit non chargé et le transfert à vide ou en court-circuit en sortie du montage est le produit des gains élémentaires puisque l’atténuation interétages a été prise en compte par la présence de la résistance du dipôle d’attaque.

Sylvain Géronimi

Page 344

Annexes



( Exemple d’un amplificateur de tension à cinq étages en cascade

RG

vg

Zs5

Zs2

Zs1 ve

Ze1

vs

Ze5

Ze2 vs1 = A1 vg

vs2 = A2 vs1

Rch

vs5 = A5 vs4

Le circuit d’attaque est représenté sous la forme d’un dipôle de Thévenin ( RG , v g ) et la résistance Rch est la charge terminale.

Nous aboutissons au schéma suivant produisant une résistance d’entrée fermant la maille du circuit d’attaque et un dipôle de Thévenin branché sur la charge.

RG

Zs5 Ze1

ve vg

vs

Rch

vs5 = A0 vg

Les impédances d’entrée et de sortie de l’amplificateur sont respectivement Z e = Z e1 et Z s = Z s5 . Le gain en tension est A 0 =

v s5 vg

5

=

∏A

i

à vide et v s = A 0 v g

i =1

Rch en charge. Rch + Z s

La représentation d’un amplificateur à transfert quelconque (tension, courant, résistance de transfert, conductance de transfert) fait apparaître un modèle utilisant une source contrôlée de tension ou de courant, associée à une branche contrôlante supportant une impédance. ( Exemple de l’amplificateur de tension précédent

Dans ce cas, la source liée de tension est commandée par v e , tension aux bornes de la branche contrôlante supportant la résistance d’entrée Z e du quadripôle.

RG

Zs ve

Ze

vs

Rch

vg Av ve

Le transfert en tension doit être calculé à nouveau en tenant compte du pont résistif en entrée. A0 v g = A0

Sylvain Géronimi

⎛ R Z e + RG v e ⇒ A v = A 0 ⎜⎜1 + G Ze Ze ⎝

⎞ ⎟ (non chargé) ⎟ ⎠

Page 345

Annexes



Méthode de travail pour la réponse en fréquence (approximation du pôle dominant) La méthode, dite par « approximation du pôle dominant » proposée ici, permet une détermination plus directe de la bande passante d’un amplificateur à large bande dans le cadre d’une étude en régime dynamique aux faibles signaux. La stabilité du système peut aussi être discutée dans le cadre de la réponse aux fréquences hautes (marge de phase). Considérons un circuit linéaire constitué de résistances, de condensateurs et de sources liées. Le nombre de pôles de la fonction de transfert associée au circuit égale le nombre de condensateurs indépendants (ordre du système). Dans le cas d’une fonction de transfert à pôles réels, celle-ci s’écrit pour un ordre n : N( p) N( p) H (p ) = H 0 = H0 ⎛ 1 + a1p + a2 p 2 + a3 p 3 + ... p ⎞⎛ p ⎞⎛ p ⎞ ⎟⎟ ... ⎜⎜1 + ⎟⎟⎜⎜1 + ⎟⎟⎜⎜1 + ⎝ ω1 ⎠⎝ ω2 ⎠⎝ ω3 ⎠ avec a1 =

1

ω1

+

1

ω2

+ ... , a2 =

1

ω1ω2

+

1

ω1ω3

+

1

ω2ω3

+ ... , etc et N (p ) polynôme d’ordre ≤ n.

Nous ne nous intéressons qu’aux coefficients a1 et a2 en vue de l’application de la méthode dite de l’ « approximation du pôle dominant » détaillée plus bas. La forme analytique ci-dessus montre que ces coefficients sont égaux respectivement à une somme et à un produit de constantes de temps qui peuvent s’écrire de la manière suivante : k

a1 =

∑R C 0 i

i

: somme de toutes les constantes de temps à vide du circuit, avec k le nombre de tous

i =1

les condensateurs du schéma et Ri0 la résistance vue par Ci à fréquence nulle. La notation adoptée pour les résistances Ri0 est la suivante : l’indice donne la référence de la capacité Ci aux bornes de laquelle la résistance est calculée et l’exposant indique que le calcul est effectué à fréquence nulle, tous autres les condensateurs étant assimilés à des circuits ouverts. a2 =

∑R C ⋅ R C 0 i

i

i j

j

avec Ri0Ci ⋅ R ij C j = R 0j C j ⋅ Rij Ci : somme pour toutes les paires possibles de

capacités avec R ij la résistance vue par C j lorsque Ci est court-circuitée, les autres condensateurs étant assimilés à des circuits ouverts. La notation adoptée pour les résistances R ij est la suivante : l’indice donne la référence de la capacité C j aux bornes de laquelle la résistance est calculée et l’exposant indique que le calcul est effectué à fréquence nulle, tous les autres condensateurs étant assimilés à des circuits ouverts à l’exception du condensateur C j assimilé à un court-circuit. Quant au choix de la constante de temps à vide R 0j C j ou en court-circuit R ij C j , il résulte de la topologie du circuit présentant le calcul le plus commode. Notons enfin que les expressions analytiques de ces coefficients correspondent exactement à celles obtenues par la méthode traditionnelle de mise en équations. Ainsi, l’écriture d’une fonction de transfert du second ordre est plus rapide par cette méthode des constantes de temps.

Approximation du pôle dominant

Hypothèse : la fonction de transfert est supposée à pôles réels et présente une pulsation ω1 , issue du pôle provoquant la coupure à – 3 dB, nettement éloignée des pulsations issues des autres pôles et zéros. ( Exemple d’un système passe-bas du second ordre (réponse aux fréquences hautes) Sylvain Géronimi

Page 346

Annexes



La fonction de transfert est de la forme H0 H0 1 1 H (p ) = = avec a1 = + 2 1 a p a p + + ω ω ⎛ p ⎞⎛ p ⎞ 1 2 1 2 ⎜⎜1 + ⎟⎟⎜⎜1 + ⎟⎟ ω ω 1 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎧ ⎪a1 = ω (1 + ε ) ω ⎪ 1 Posons ε = 1 ⇒ ⎨ , si ω1 << ω 2 (ε << 1) ⇒ ω2 a1 ⎪a = ⎪⎩ 2 ω2 (1 + ε )

et a2 =

1

ω1ω 2

.

1 ⎧ ⎪ω1 ≅ a ⎪ 1 . ⎨ a ⎪ω ≅ 1 ⎪⎩ 2 a2

Notons que l’hypothèse ω1 << ω 2 sous-estime la valeur du pôle dominant ω1 et surestime la valeur de ω2 . L’approximation sera d’autant plus précise que ω1 est distant des autres pôles et zéros (les zéros étant au-delà de deux décades du pôle dominant). Dans le cas présent où le circuit présente deux condensateurs indépendants C1 et C2 , les coefficients s’écrivent a1 = R10C1 + R20C2 et a2 = R10C1 R21C2 = R12C1 R20C2 . f1 ≅

1 2π (R10C1 + R20C2 )

( fh ≅ f1 ) et f2 ≅

1 R10C1 + R 20C2 1 R10C1 + R20C2 1 1 = = + . 0 1 2 0 1 2π R1 C1R2C2 2π R1 C1R2 C2 2π R2C2 2π R12C1

L’inverse de la fréquence de coupure haute fh à 3 dB est approché par la somme des inverses des fréquences de coupure produites par chaque capacité, les autres étant assimilées à un circuit ouvert.

( Exemple d’un système passe-haut du second ordre (réponse aux fréquences basses)

La fonction de transfert est de la forme ⎛ ⎛ p ⎞ p p ⎞ p ⎟⎟ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎜⎜1 + ω ω ω 1 1 1 3 ⎠ 4 3 ⎠ ω4 ⎝ ⎝ H (p ) = H 0 avec a1 = + , a2 = , ω1ω 2 = ω 3ω 4 . = H0 1 + a1p + a2 p 2 ω1 ω 2 ω1ω2 ⎛ p ⎞⎛ p ⎞ ⎜⎜1 + ⎟⎜1 + ⎟ ω1 ⎟⎠⎜⎝ ω 2 ⎟⎠ ⎝ a 1 (sous-estimé) si ω1 >> ω2 ⇒ ω1 ≅ 1 (surestimé), ω2 ≅ a2 a1 Nous obtenons les expressions duales du cas précédent : 1 R10C1 + R20C2 1 1 1 = + ( fb ≅ f1 ) et f2 ≅ f1 ≅ 0 0 1 1 2 2π R1 C1R2C2 2π (R1 C1 + R20C2 ) 2π R2C2 2π R1 C1 La fréquence de coupure basse fb à 3 dB est approchée par la somme des fréquences de coupure associées à chaque condensateur, l’autre étant assimilé à un court-circuit. En généralisant à plus de deux condensateurs, nous pouvons écrire l’équation suivante : n

fb ≅

∑ 2π R i =1

1 ∞ i Ci

n

=

∑f i =1

bi

où Ri∞ est la résistance vue par Ci lorsque les autres condensateurs sont court-circuités (calcul effectué à fréquence infinie). La fréquence de coupure à 3 dB est approchée par simple addition des fréquences de coupure à 3 dB produites indépendamment par chaque condensateur du circuit.

Sylvain Géronimi

Page 347

Annexes



Transformation de schéma par application du théorème de Miller Le théorème de Miller s’applique sur une topologie très spécifique reconnaissable par une impédance branchée entre l’entrée et la sortie d’un amplificateur attaqué en tension. L’application du théorème transforme le schéma original en un schéma plus simple à traiter analytiquement grâce à la disparition de la contre-réaction. La mise en équations du circuit sera alors plus directe pour le calcul du transfert et de l’impédance d’entrée du circuit considéré. Z

i

i

Amplificateur

ve

vs

ve

Z1

i

Amplificateur

Z2

vs

⎧Ve ( p ) − Vs ( p ) = Z ( p ) I ( p ) V ( p) Z( p) ⎪ = Ve ( p ) 1 − a v ( p ) = Z ( p ) I ( p ) ⇒ Z1( p ) = e Vs ( p ) ⎨ = ( ) a p I ( p ) 1 − a v ( p) v ⎪ Ve ( p ) ⎩

[

]

⎡ V ( p) Z( p) 1 ⎤ = − Vs ( p ) ⎢1 − ⎥ = Z( p) I( p) ⇒ Z2 ( p) = s 1 a ( p ) I ( p ) − v ⎦⎥ ⎣⎢ 1− a v ( p)

L’attaque en tension ne peut correspondre qu’à un amplificateur de tension ou un amplificateur à admittance de transfert.

Si l’amplificateur est caractérisé par ses paramètres d’admittance de transfert ( Z e , Z s , Yt ), nous obtenons (en allégeant la notation de Laplace ne faisant pas apparaître le terme (p) des variables) :

ve

Z1

Ze

Zs

Z2

vs

Yt ve

av =

Vs = − Yt Ve

Zs Z2 Zs + Z 2

Vs Zs Z − Yt Z s Z + Z s Zs Z Z = − Yt ⇒ av = et Z1 = = + − Y Z Z + Z Ve 1 + Y Z 1 + Yt Z s Z + Z ⎛ ⎞ t s s t s s 1− ⎜1 − 1 ⎟ Z s + Z Z + Z ⎜ av ⎟ s ⎝ ⎠

L’impédance ramenée à l’entrée est l’association en série de deux impédances. Il est important de constater que Z 2 , impédance de la branche ramenée en sortie, n’a d’utilité que pour définir le transfert en tension a v . Le schéma transformé par le théorème de Miller ne conduit donc qu’aux expressions du transfert en tension a v et de l’impédance d’entrée Z1 // Z e . L’impédance de sortie du circuit ne peut être calculée qu’à partir du circuit original. ( Exemple d’un émetteur commun en H.F.

Identification : Z =

Sylvain Géronimi

1 1 , Yt = g m , Z s = rce // RC ≅ RC et Z e = rbe // C bc p Cbe p

Page 348

Annexes



Cbc

ve

rbe

rce

RC

Cbe

vs

gm ve

En régime sinusoïdal ( p = jω ),

ω ω2 g 1 a v ( jω ) = − g m RC avec ω1 = (pôle), ω2 = m (zéro) et ω1 < ω2 ω RC C bc Cbc 1+ j ω1 1− j

d’où Z1 ( jω ) =

RC 1 , association série d’une capacité C1 = Cbc (1 + g m RC ) et + jωCbc (1 + g m RC ) 1 + g m RC

d’une résistance R1 =

RC , branche en parallèle sur Z e ( jω ) . 1 + g m RC

Pour des fréquences telles que f < f1 , a v = − g m RC (gain réel) et Z1 ( jω ) ≅ dire que la capacité C1 = Cbc (1 + g m RC ) est uniquement ramenée en entrée.

1 , c’est-àjωCbc (1 + g m RC )

Si l’amplificateur est caractérisé par ses paramètres de tension ( Z e , Z s , A v ), nous obtenons

ve

Z1

Ze

Zs

Z2

Z2 avec A v = − Yt Z s Zs + Z 2 (transformation Thévenin/Norton). Vs = A v Ve

vs

A v ve

Cette même expression de départ conduit évidemment aux mêmes résultats qui s’écrivent Av Z + Zs Z + Zs et Z1 = . av = 1 − Av Zs + Z Ce dernier cas est plus explicite puisqu’il montre que l’impédance ramenée en entrée est l’impédance de sortie Z s du quadripôle en série avec Z, divisée chacune par le terme ( 1 − A v ) où A v est le gain en tension à vide du quadripôle non contre-réactionné. ( Exemple d’un amplificateur différentiel de tension R

ve +

vs

Identification : Z = R , A v = − Ad , Z s = Rs avec Rs << R et Ad >> 1 av =

R + Rs − Ad R + Rs R R R ≅ − Ad , R1 = et faible résistance d’entrée ≅ // Rd ≅ Rs + R 1+ Ad Ad Ad Ad

Sylvain Géronimi

Page 349

Annexes



Ouvrages spécialisés « Microélectronique », Tome 3 et 4, par J. Millman et A. Grabel (Mc Graw-Hill) « Principes et pratique de l’électronique », Tome 1, par F. de Dieuleveult et H. Fanet (Dunod) « Composants actifs discrets », Tomes 1 et 2, par M. Girard (Mc Graw-Hill) « Amplificateurs opérationnels », Tomes 1 et 2, par M. Girard (Mc Graw-Hill) « Amplificateurs de puissance », par M. Girard (Mc Graw-Hill) « Filtres actifs », par P. Bildstein (Editions Radio)

Principaux symboles utilisés Av

gain d’un amplificateur de tension

Ai

gain d’un amplificateur de courant

Zt

gain d’un amplificateur à résistance (impédance) de transfert

Yt

gain d’un amplificateur à conductance (admittance) de transfert

Ze

résistance (impédance) d’entrée d’un amplificateur

Zs

résistance (impédance) de sortie d’un amplificateur

ζ τ ωn ωc ω rip

coefficient d’amortissement constante de temps de filtre pulsation naturelle (pulsation propre non amortie) pulsation de coupure à – 3 dB pulsation définissant la bande d’ondulation d’un filtre passe-bas

B(p ) G(p ) H (p )

fonction de transfert de la chaîne de retour fonction de transfert de la chaîne directe fonction de transfert en boucle fermée

RG v G (t ) , i G (t ) v E (t ) , i E (t ) v S (t ) , i S (t )

résistance de générateur tension, courant du générateur tension , courant d’entrée du montage tension, courant de sortie du montage

Notations de variables Superposition des régimes continu et dynamique aux faibles signaux :

i E (t ) = I E 0 + i e (t ) ,

v E (t ) = VE0 + v e (t ) , …. avec I E0 , VE0 , … valeurs des variables en régime continu (polarisation),

i e (t ), v e (t ) , … variations (faibles signaux) des variables en régime dynamique. Etude du régime pseudo-continu : I E , VE , VD , … variations non linéaires des variables en régime continu (forts signaux) Etude fréquentielle dans le plan de Bode ( p = jω ) : I E ( p ), VE ( p ) , … complexes et G( p ), B( p ), H ( p ) fonctions de transfert.

Sylvain Géronimi

Page 350

Z1( p ), Y1( p ) , … variables

Annexes

circuits analogiques -problemes et corriges-.pdf

Recommend Documents