FISICA GENERAL
CINEMÁTICA
vm =
x 150 15 0m = = 2,14 m/s t 70 s
EJEMPLO 1.1 Si el móvil de la figura figura 2.2 se encuentra en x1 = 5 m en t 1 = 10 s y más tarde se encuentra encuentra en x2 = 50 m en t2 = 15 s
EJEMPLO 1.4 La función x de t representada en la figura 1.5
Encontrar el desplazamiento y la velocidad media del móvil en
proporciona la posición de una partícula en cualquier instante.
este intervalo de tiempo.
Encuentre la velocidad instantánea instantánea en el instante t = 2 s
Solución Por definición el desplazamiento del móvil es: x = x 2 –
x(m)
x1 = 50m – 5m = 45 m
6
y la velocidad media es: 5
x x1 50 m 5 m x vm = = 2 = = 9 m/s t 15 s 10 s t 2 t1
4
EJEMPLO 1.2 ¿Cuánto recorre un ciclista en 5 minutos si su
3
velocidad media es de 24 km/h?
0
Solución En este caso deseamos hallar el desplazamiento x realizado en el intervalo de tiempo t de 5 minutos. Según la
1
2
3
4
5
6
7
8
t(s)
Figura 1.5 Posición en función del tiempo
ecuación (2.2) el desplazamiento esta dado por:
Solución En t = 2 s, la pendiente de la recta tangente a la curva
x = vmt
puede calcularse con la tangente trigonométrica del ángulo que
Desde que la velocidad está expresada en km/h debemos
forma la recta tangente y el eje +X. Esto es; la velocidad
transformar el tiempo de minutos a horas. Haciendo esto último
instantánea en t = 2 s es:
tenemos:
t = 5 min
1hora 60 min
v=
dx dt
= 0,0833 h
= tan = 3m / 4 s = 0,75 m/s
Se puede ver que la velocidad instantánea será cero en t = 3 s y t
Por tanto x = 24
= 6,4 s y alcanzará su máximo valor en t = 5,5 s. y la velocidad es
km h
negativa para t > 6,3 s
0,0833 h = 2 km
EJEMPLO 1.5 Una partícula se mueve de tal modo que su posición 3
EJEMPLO 1.3 Un atleta recorre 200 m en 40 s y luego da la vuelta
en cualquier instante está dado por: x = kt . Hállese la velocidad y
y recorre 50 m en 30 s y en dirección al punto desde el que inició
aceleración instantáneas en función del tiempo
su movimiento. ¿Cuál es el valor de la velocidad media y de la
Solución En un instante determinado t la posición de la partícula es
velocidad vectorial media?
x(t) = kt3.
Solución La distancia total recorrida es: 200m + 50 m = 250 m y
Después de un tiempo t, su nueva posición será:
el tiempo total transcurrido es 40 s + 30 s = 70 s. Por tanto la velocidad media es:
x(t+ x(t+t) = k(t + + t)3 = kt3 + 3kt2t + 3kt( 3kt( t)2 + k( k(t)3
Velocidad media = 250m / 42 s = 5,95 m/s Nótese que esta no es la media de las velocidades que son 5,0 m/s y 1,67 m/s m/s Para calcular la velocidad vectorial media, determinamos previamente el desplazamiento total. Si x1 es el punto de partida (origen de coordenadas) podemos tomar x1 = 0 y t1 = 0. 0. La posición final respecto al origen es x2 = 150 m (ya que
El desplazamiento respectivo es:
x = x(t + + t) – x(t) 3 x = kt + 3kt2t + 3kt ( ( t)2 + k( k(t)3 – kt3 2 2 3 x = 3kt t + 3kt ( ( t) + k( k(t) La velocidad media en este intervalo de tiempo es: vm =
x 2 2 = 3kt + 3kt (t) + k(t) t
retrocedió 50 m). y corresponde a t2 = 70 s. Por tanto x = x2 – x1 =
Cuando t 0, los dos últimos términos tienden a cero, por tanto
150 m – 0 = 150 m y la velocidad vectorial media es:
la velocidad instantánea está dada por: v = li m t 0
1
x t
=
dx dt
2
= 3kt
Lic. Fís. Raúl Zavala Sánchez
FISICA GENERAL
Se puede observar que la derivada de x respecto a t de la función 3
kt
se obtiene bajando el exponente como un factor del
=
dt
d dt
(x) =
inicial de 40 m/s .Si está sometida hacia abajo a una aceleración 2
coeficiente y disminuyendo el exponente en una unidad dx
EJEMPLO 1.7 Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 10 m/s ¿Cuánto tiempo se tardará en alcanzar la altura máxima?
d
2
3
(kt ) = 3kt
dt
Solución Elegimos como origen el punto de partida y sentido
La aceleración se determina aplicando el mismo procedimiento y se tiene:
positivo la dirección hacia arriba. Los datos del problema son: vo = 2
40 m/s, a = –10 m/s , al alcanzar la máxima altura su velocidad es cero (v = 0). Luego el tiempo transcurrido se obtiene despejando t
2
de la ecuación 2.14
v(t) = 3kt
2
2
v(t + t) = 3k(t +t) = 3kt + 6kt (t) + 3k(t)
2
t=
v vo a
el incremento de la velocidad es:
v = v(t + t) – v(t) = 6ktt + 3k(t)
=
0 40 m / s
10 m / s 2
=4s
EJEMPLO 1.8 Una partícula se mueve en línea recta y su posición
2
3
2
en función del tiempo está dada por: x = t – t – 5t donde x se la aceleración media está dada por am =
mide en metros y t en segundos. Calcular: a) la velocidad media en el intervalo: 2 < t < 5. b) la velocidad instantánea en el instante t.
v = 6kt + 3k(t) t
c) la aceleración media en el intervalo 2 < t <5. d) la aceleración instantánea en el instante t
llevando al límite cuando t 0 resulta la aceleración instantánea:
v li m t 0 t
a=
Solución: a) Calculando el desplazamiento entre los instantes respectivos:
dv
=
dt
= 6kt 2
Nótese que la derivada de la función 3kt respecto al tiempo t se
potencial) su derivada respecto al tiempo se obtiene del siguiente modo:
dt
dt
(x) =
d
n
dt
n-1
8
EJEMPLO 1.6 La luz se propaga con una velocidad c = 3×10 m/s a) ¿Cuánto tiempo tarda la luz en ir del Sol a la Tierra a través de 11
m?
b) Un año luz es una unidad de
distancia igual a la recorrida por la luz en un año. Determinar la
para que un rayo luminoso viaje del Sol ha sta la Tierra es: t=
v
3 0 m / s 8
v
x 81m t 3s
= 27 m/s
dx dt
d dt
[t 3
t 2 5t ]
2
= 3t – 2t – 5
c) Calculando la aceleración media entre los instantes dados 2
usando v = 3t – 2t – 5
2
t2 = 5 s, v2 = 3(5) – 2(5) – 5 = 60 m/s
am
11
=
velocidad media v m
t1 = 2 s, v1 = 3(2) – 2(2) – 5 = 3 m/s
Solución a) De la ecuación (2.11), hallamos el tiempo necesario
1,5 0 m
= 75 m
2
distancia equivalente de un año luz en km
x
2
b) velocidad instantánea
(kt ) = nkt
una distancia de 1,510
3
t = t2 – t1 = 5 – 2 = 3 s
n
En general si una función de t tiene la forma x = kt (función
d
= – 6 m
x = x2 – x1 = 75 – ( – 6) = 81 m
y disminuyendo el exponente en una unidad
=
2
t2 = 5 s, x2 = (5) – (5) – 5(5)
puede obtener, bajando el exponente como factor del coeficiente
dx
3
t1 = 2 s, x1 = (2) – (2) – 5(2)
= 500 s = 8,33 min
v v 2 v1 57 t t 2 t 1 3
2
= 19 m/s
d) aceleración instantânea
b) Sabiendo que el día solar medio tiene 86400 segundos; el tiempo de un año expresado en segundos es t = 36586400 = 3,15107 s. Por tanto la distancia que recorre la luz en un año es 8
D = 9.4610 m = 9,4610
2
dv dt
d dt
[3t 2 2 t 5]
7
Un año luz: D = c t = (3 10 m/s)(3,1510 s) 15
a
12
a = 6t – 2
km.
Lic. Fís. Raúl Zavala Sánchez
FISICA GENERAL
EJEMPLO 1.9 Se deja caer una pelota desde la parte superior de
un edificio. La pelota tarda 0,10 s en pasar enfrente de una ventana de 2,50 m de altura que se encuentra a una distancia dada de la parte superior del edificio. a) ¿Cuál será la rapidez de la pelota cuando pasa por la parte superior de la ventana? b) ¿Cuál es la distancia de la parte superior de la ventana al punto donde se soltó la pelota?
Solución: Entre la parte superior e inferior de la ventana la pelota
dy
vy =
dz
vz =
dt
recorriendo una distancia h = 2,5 m en t = 0,1 s. Estas cantidades
d
2
dt d dt
4
3
(4t – t ) = 8t – 4t ,
3
2
(10t – t ) = 10 – 3t ,
pero v = vx i + vy j + vz k ; entonces:
v = ( – 4t + 9t2) i + (8t – 4t3) j + (10 – 3t2)k
realiza un movimiento uniformemente acelerado con una velocidad inicial v1 (velocidad en la parte superior de la ventana) y
dt
Del mismo modo hallamos previamente las componentes de la aceleración
2
están relacionadas por: h = v1t + ½ gt
ax =
dv x dt
vo= 0 y1
ay
az
v1
h
dv y dt dv z dt
=
=
=
d
2
( – 4t + 9t ) = – 4+18t ;
dt d
3
d dt
2
(8t – 4t ) = 8 – 12t
dt
2
(10 – 3t ) = – 6t
a = ( – 4 + 18t) i + (8 – 12t2) j – 6t k b) El módulo de la velocidad es: 2 2
3 2
2 2 1/2
v = [( – 4t + 9t ) +(8t – 4t ) + (10 – 3t ) ] de donde obtenemos la velocidad en la parte superior de la ventana:
para t = 1,5 s se tiene v = 14,69 m/s 2
2 2
2 1/2
c) a = [( –4 +18t ) + (8 – 12t ) + ( – 6t ) ] v1 =
h 1 gt 2 2
=
t
2,5 4,9(0,1) 2
2
para t = 1,5 s se tiene a = 31,16 m/s
0,1
2
3
d) para t = 5s, x = –2(5) + 3(5) = 325 v1 = 24,51 m/s
2
4
= – 525 metros
3
= – 75 metros
y = 4(5) – (5) Desde el punto de partida, la pelota recorre una distancia y1 hasta la parte superior de la ventana alcanzando allí la velocidad v1. Por consiguiente aplicando las ecuaciones (2.19) y (2.20) eliminamos el tiempo y tenemos: y1 =
v 12
=
2g
( 24.51) 2 19.6
r= xi +yj+zk r = 325 i – 525 j – 75 k
= 30,65 m
EJEMPLO 1.11 Un proyectil se dispara desde el piso con una
EJEMPLO 1.10 Las ecuaciones del movimiento de una partícula 2
z = 10(5) – (5)
3
son: x(t) = –2t + 3t
2
4
3
y(t) = 4t – t ; z(t) = 10t – t ; donde x, y, z se
velocidad de 20 m/s y ángulo de elevación de 75° Encontrar a) el tiempo que demora en alcanzar la altura máxima b) la altura
miden en metros y t en segundos. Calcular. a) El vector velocidad y
máxima, c) el tiempo de vuelo d) el alcance horizontal máximo
el vector aceleración en el tiempo t. b) El módulo de la velocidad
Solución Hallamos previamente las componentes de la velocidad
cuando t = 1,5 s. c) El módulo de la aceleración cuando t = 1,5 s. d)
de lanzamiento
El vector de posición cuando t = 5 s 2
3
2
4
3
Solución Del enunciado: x = –2t + 3t ; y = 4t – t ; z = 10t – t
vox = vocos75° = 20(cos75°) = 5,2 m/s; voy = vosen75° = 20sen75° = 19,3 m/s
a) Las componentes de la velocidad son: vx =
dx dt
d dt
2
3
2
( –2t + 3t ) = – 4t + 9t ,
El tiempo de subida t1 =
v oy g
=
19,3 m / s 9,8m / s
2
=1,97 s
Tiempo de vuelo: T = 2t1 = 3,93 s
3
Lic. Fís. Raúl Zavala Sánchez
FISICA GENERAL
2
Altura máxima ymax =
v oy
=
2g
(19,3)
R = voxT = 100(35,63) = 3563 m
2
2(9,8)
=19m
Alcance máximo R = voxT = (5,2 )(3,93) = 20,4 m
EJEMPLO 1.12: Si un proyectil es disparado desde lo alto de una torre de 50 m, con una velocidad inicial de 200 m/s y 60° de ángulo de elevación. Encontrar a) la altura máxima, b) el tiempo de vuelo, c) la distancia horizontal máxima medida desde el pie de
EJEMPLO 1.13 Una flecha se dispara horizontalmente con una velocidad de 50 m/s desde una altura de 5 m sobre un terreno horizontal. ¿A qué distancia del arquero, llegará la flecha al suelo?.
Solución: Cuando el lanzamiento del proyectil es horizontal, el ángulo de elevación es o = 0, por consiguiente las componentes de la velocidad inicial son vox = vocos0° = vo = 50 m/s
la torre
voy
voy = vosen0° = 0
v
Introduciendo estos valores en las ecuaciones del ejemplo 2.17 60° vox
encontramos y
yo x R
Posición horizontal x = vot
(1)
Velocidad horizontal vx = vo
(2) 2
Posición vertical y = yo – ½ gt
(3)
Velocidad vertical vy = – gt
(4)
Figura 2,20 disparando desde lo alto
Solución: Nótese que en este caso no es posible aplicar directamente todas las fórmulas del movimiento del proyectil ya
Cuando y = 0 el proyectil toca tierra de modo que de la ecuación
que el punto de lanzamiento se encuentra, a una altura yo con
(3) obtenemos el tiempo de vuelo t = T
relación al piso. Teniendo en cuenta el valor de yo las ecuaciones a usar son
T=
Posición horizontal x = voxt
(1)
Velocidad horizontal vx = vox
(2)
2yo g
=
2(5 m) 9,8 m / s 2
= 1,01 s
El alcance horizontal máximo R está dado por: 2
Posición vertical y = yo+ voyt – ½gt
(3)
Velocidad vertical vy = voy – gt
(4)
donde vox = vocos60° = 200cos60° = 100 m/s, voy = vosen60° = 200sen60° = 173,2 m/s
R = voT = 50(1,01) = 50,5 m La distancia entre el punto de partida (0 , yo ) y el punto de impacto (R, 0), está dada por: d= R
2
yo2
= 50,7 m
EJEMPLO 1.14: Desde un punto del piso horizontal se lanza un
En la posición de máxima altura vy = 0, de modo que, el tiempo de
proyectil al aire, de modo que cuando se encuentra a una altura
subida es según la ecuación (4): t = t1 = voy/g = 173,2/9,8 = 17,7 s
de 12 m sobre el piso, las componentes de su velocidad son vx = 4
Reemplazando t1 en (3) hallamos la altura máxima alcanzada y = ymax
m/s, vy = 3 m/s. Admitiendo que g = 10 m/s. Encuentre: a) la velocidad de disparo, b) la altura máxima alcanzada y c) el alcance horizontal máximo:
2
ymax = 50 +173,2(17,7) – ½ (9,8)(17,7) = 1580 m
Solución Desde que la componente horizontal de la velocidad no
En la figura 2.20 vemos que el proyectil tocará tierra (y = 0)
cambia tenemos que:
cuando ha transcurrido el tiempo T. Luego en la ecuación (3) resulta: 0 = 50 + 173,2T – ½ (9,8)T
2
vx = vox = 4 m/s La componente vertical de la velocidad inicial se obtiene de:
(4) vy
v 2oy 2gy
voy
v2y 2gy
2
Resolviendo esta ecuación cuadrática hallamos el tiempo de vuelo: T = 35,63 s El alcance horizontal máximo, es según la ecuación (1)
4
Lic. Fís. Raúl Zavala Sánchez
FISICA GENERAL
voy
32 2(10)(12)
Figura. 2.24 La componente normal an esta vinculado con el
= 15,78 m/s
cambio de dirección del vector velocidad
El ángulo de elevación está dado por:
v o arctg oy = 75,78° vox
2
at = – 5 i ; an = –9,8 j m/s a = at + an
y desde que vox = vocoso la velocidad de disparo es entonces: vo =
v ox
=
cos o
4 cos 75,78o
= 16,28 m/s
ymax =
2g
249 2(10)
(centrípeta) nos permite escribir.:
=
= 12,45 m
y el alcance horizontal máximo R=
vo2sen(2o ) g
Si es el radio de curvatura cuando la velocidad tangencial es v = 680 i m/s; la relación entre estas magnitudes y aceleración normal
la altura máxima: es: 2 voy
a = – 5 i – 9,8 j
v2 an
(680) 2 9,8
= 47200 m
EJEMPLO 1.17 : Un carro se mueve en forma horizontal a lo largo
(16,28) 2 sen(2x 75,78o ) 10
R = 12,62 m
EJEMPLO 1.15 En 7 s un automóvil se acelera uniformemente desde el reposo a una velocidad tal que sus ruedas giran a 6 rev/s. ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda. ¿Cuántas revoluciones efectuó la rueda?
Solución: Si el móvil parte del reposo (o = 0); la variación de la
de una línea recta con una rapidez constante de 25 m/s. Se debe lanzar un proyectil desde el carro de modo que regrese a este después de que el carro se ha movido 80 m. ¿Con qué rapidez (relativa al carro) y a que ángulo (respecto a la horizontal) debe dispararse el proyectil? (suponer que no existe el rozamiento del aire)
Solución Para un observador que se encuentra en la pista el carro debe moverse 80 m mientras el proyectil se encuentra en el aire. Por tanto el tiempo de vuelo del proyectil es:
T = 80/25 = 3,2 s
velocidad angular es: = - o = 6 rev/s = 12 rad/s ocurre
Este tiempo de vuelo es el mismo tanto para el observador que se
en el lapso t = 7 s Por tanto la aceleración angular es:
encuentra en el carro, como para aquel que se encuentra en la pista. Luego, podemos calcular la componente vertical de la
12 2 = = = 5,39 rad/s t 7
velocidad del proyectil válido para cualquier observador utilizando la fórmula
Para saber cuantas revoluciones efectuó la rueda, calculamos el desplazamiento angular realizado en 7 segundos: 2
= ½ t
T =
2v oy g
2
= ½ (12/7)(7) = 42
voy
n° de rev = /2 n° de rev = 42/2 = 21
EJEMPLO 1.16 Se dispara horizontalmente una bala con una velocidad de salida de 680 m/s La resistencia del aire origina una 2
desaceleración de 5 m/s en dirección horizontal. Calcular la aceleración total y el radio de curvatura de la trayectoria un instante después del disparo.
gT 2
9,8(3,2) 2
= 15,68 m/s
Si para el observador en el carro. el proyectil retorna a sus pies la solución es aceptable. Por tanto en el sistema móvil la velocidad de disparo es 15,68 m/s con un ángulo de elevación de 90°. En cambio para un observador en el sistema fijo las componentes de la velocidad de disparo son: vox = 25 m/s, voy = 15,68 m/s y por tanto la velocidad de disparo es:
Solución Según el enunciado tenemos la siguiente figura: v
at
vo =
( 25)2 (15,68)2 = 29,51 m/s
el ángulo de elevación en el sistema fijo es:
a
5
an
v oy = 32,1° v ox
o = arc tg
Lic. Fís. Raúl Zavala Sánchez
FISICA GENERAL
EJEMPLO 1.18 Una partícula está sometida a la acción de fuerzas
El valor de la constante de integración c1 se obtiene con la
intermitentes de tipo explosivo, siendo su aceleración resultante
condición inicial de que en t = 0 es v = 0; por tanto c1 = 0, y así
la que se muestra en la figura
tenemos: 2
v = 20 t – 30t
2
a(m/s ) 2
(2)
la distancia recorrida en este intervalo es: 1/3
0
0,5
x1 =
t(s)
vdt
-10 Figura
0,5
= 0
2
20t 30t dt 2
00.5
3
x1 = 10t – 10t
2.12 Gráfica a = f(t) de un movimi ento variado 2
2
3
3
x1 = 10[(0,5) – (0) ] – 10[(0,5) – (0) ] Si el móvil parte del reposo y termina en el reposo en el tiempo t1.
x1 = 1,25
Calcular: a) el tiempo t1. b) la distancia total recorrida.
Si el móvil parte del origen de coordenadas. La ecuación del
Solución. a) La gráfica "a vs t" es una línea quebrada y el área
movimiento es:
"debajo de la curva" es igual a la suma de dos áreas: una positiva
x1 = 10t – 10t
(triángulo de base 1/3) y otra negativa (triángulo de base t1-1/3). Como la velocidad final en t1 es cero, la suma de estas áreas es cero; por lo cual:
2
3
(3)
ii) Intervalo 0,5< t < 1, aplicamos el mismo procedimiento para hallar la ecuación de la aceleración. Esto es; la ecuación de la recta que pasa por los puntos B(0, 5, –10) y C(1 , 0). es:
(1 / 3)(20) 2
( t 1 1 / 3)(10)
2
de donde t1 = 1 segundo.
a C(1,0)
b) Para calcular la distancia recorrida debemos determinar
0
previamente la ecuación de la velocidad. v=
adt
P(t ,a)
(1)
B(0.5,-10)
Nótese en la gráfica, que la aceleración "a" varía linealmente
Figura 2.14 Recta de pendiente positiva
decreciendo en el intervalo 0< t <0.5 y aumentando en 0.5 < t < 1. i) Intervalo 0 < t < 0,5 . En la gráfica 2.13 la ecuación de la aceleración se obtiene admitiendo que el punto P de coordenadas (t,a) pertenece a la recta que pasa por los puntos A y B. Luego igualando pendientes se tiene: a 20 t 0
t(s)
Así, la ecuación buscada es a = 20t – 20, que sustituida en la ecuación (1) conduce a: 2
v = 10t –20t + c2
(4)
Nótese que para t = 0,5 s las ecuaciones (4) y (2) deben dar el
20 (10)
mismo resultado. De allí que:
0 0,5
2
2
10t -20t + c2 = 20t – 30t
a
2
2
10(0,5) – 20(0,5) + c2 = 20(0,5) – 30(0,5) A(0,20)
Así, obtenemos para c2 = 10 m/s; por tanto: P(t , a) t
0 B(0..5,-10)
Figura 2.13 Recta de pendiente negativa
2
v = 10t – 20t + 10
La distancia recorrida en este intervalo es:
x2 =
Esto es a = 20 – 60t, que sustituido en (1) e integrando, nos da: 2
v = 20t – 30t + c1
(5)
x2 =
vdt =
1
0,5
10 3
(10t 2
t 3 10t 2
20t 10)dt
10t 10.5
(6)
= 0,4166 m
La distancia total recorrida es:
6
Lic. Fís. Raúl Zavala Sánchez
FISICA GENERAL
x = x1 + x2 = 1,25 + 0,4166 = 1,666 m
50
x = 5/3 m. La ecuación del movimiento en el intervalo 0,5 < t < 1 se obtiene por
(
resultado es: x=
10 3
40
)
integración indefinida (sin límites) de la expresión (6) cuyo
30
3
2
t –10t + 10t + c3
(7) 0
el valor de c3 debe ser tal que en t = 0,5 s las ecuaciones (7) y (3) deben dar igual resultado
10 3 10 3
3
2
4
6
8
t(s)
Figura 2.37 El área como distancia
2
2
3
t –10t + 10t + c3 = 10t – 10t
3. Una nave espacial que lleva trabajadores a la Base Lunar I viaja en línea recta desde la Tierra a la Luna, una distancia de unos 8
3
2
2
2
4x10 m. Suponga que acelera a 20,0 m/s los primeros 10,0 min y
3
(0,5) –10(0,5) +10(0,5)+c3=10(0,5) – 10(0,5)
2
acelera a –20,0 m/s los últimos 10 minutos de su recorrido,
de donde c3 = – 5/3. Por tanto en el intervalo (0,5 < t < 1). la ecuación del movimiento es:
parando justo al llegar a la luna a) ¿Qué rapidez máxima se alcanzo?. b) ¿Qué fracción de la distancia se cubrió con rapidez constante? c) ¿Cuánto tardó el viaje?
Solución Del enunciado deducimos la gráfica v vs t del movimiento x=
10 3
3
2
t – 10 t + 10 t –
5 3
;
completo:
(8)
vm
y vemos que para t = 1s, es x = 5/3 m. Luego 2
3
10t – 10t
x=
10 3
3
;
2
t –10t +10t –
+a
0 < t < 0,5 5 3
uniforme
600
-a
T
600
; 0,5 < t < 1 Figura 2.38 Problema simétrico
PROBLEMAS PROPUESTOS
2
Como el movimiento con aceleración +20 m/s tiene la misma 2
1
Tres micrófonos situados en una recta en los puntos A, B y C
registraron en los instantes tA > tB > tC el sonido de cierta explosión
duración que el de -20 m/s , las distancias recorridas son iguales. Luego la distancia total puede expresarse así: 2
D = 2( ½ at 1 ) + vmT
que ocurrió en el punto O, contenido en AC.
(1)
8
A
B
0
C
Donde D = 410 m, t 1 = 600 s, vm = at 1 = (20)(600) = 12000 m/s. Reemplazando en (1) y simplificando se tiene: 8
2
410 = 20(600) + 12000T Figura 2.36 Propagación del sonido
4
de donde T = 3,2710 s Hállese la distancia AO si AB = BC = L. El momento de la puesta en marcha del reloj no corresponde al momento de l a explosión.
La distancia recorrida con velocidad constante es: 4
8
D = vmT = (12000)(3,2710 ) = 3,92810 m 2. La gráfica de la figura 2.37 muestra la velocidad de un policía en motocicleta en función del tiempo. a) Calcule la aceleración instantánea en t = 1 s, t = 4 s, t = 6 s. b) diga que distancia cubre el policía en los primeros 3 s; 4 s; 7s.
Esta distancia representa la fracción: D d
=
3,92 8x108 4 x108
= 0,982
4. El piloto de un automóvil que va a 25 m/s de pronto se da cuenta de que un tren obstruye la carretera. Cuando se aplican los
7
Lic. Fís. Raúl Zavala Sánchez
FISICA GENERAL
frenos, el tren se encuentra a 60 m. El automóvil desacelera
diferencia en las alturas a las cuales fueron soltadas? b) ¿ A qué
uniformemente y choca con el tren 3 segundos después.
altura se soltó la primera?.
a) ¿Cuál es la rapidez del automóvil en el momento del impacto?
12. Luisa suelta un llavero desde una azotea y oye que el llavero se
b) ¿Cuál fué su aceleración durante los 3 segundos?.
estrella 3,00 s. después ¿Qué altura tiene el edificio? La rapidez
5. Cuando un semáforo se pone en verde, un coche que esperaba 2
del sonido es 340 m/s. Ignore la resistencia del aire.
en el cruce arranca con aceleración constante de 2,00 m/s . En ese
13. Un mono que está en una rama a 20 m de altura suelta un
instante un camión con rapidez constante de 18,0m/s alcanza y
coco directamente por encima de la cabeza de un hombre que va
adelanta al coche. a) ¿A qué distancia de su punto de partida el
corriendo con una rapidez de 1,5 m/s por debajo del árbol a) ¿A
coche alcanza al camión? b) ¿Qué rapidez tiene el coche en ese
qué distancia del hombre choca el coco con el suelo? b) Si el mono
momento? c)Dibuje en una sóla gráfica la posición de cada
hubiera querido golpearle en sus pies, ¿cuánto tiempo antes debió
vehículo en función del tiempo. Considere x = 0 en el cruce.
haber soltado el coco?
6. Una nave espacial está descendiendo hacia la base lunar I
14 En una prueba de "adaptación a g", un voluntario gira en un
frenado por el empuje de su motor de descenso. El motor se
círculo horizontal de 6,3 m de radio. Diga con que periodo de
apaga cuando la nave está a 5,0 m de altura y tiene una rapidez
rotación la aceleración centrípeta tiene una magnitud de a) 2,5g;
hacia debajo de 1,5 m/s. Con el motor apagado, el vehículo está
b) 10 g.
en caída libre. ¿Qué velocidad tiene justo antes de tocar la superficie? La aceleración debida a la aceleración lunar es de 1,6 2
m/s .
Solución La aceleración centrípeta y el periodo están relacionados por: ac =
7. Un trineo cohete corre sobre una vía recta horizontal de 1070 m. Desde el reposo, puede alcanzar una rapidez de 447 m/s en 2
1,80 s. a) Calcule la aceleración en m/s , suponiendo que es
4 2 r T
r
ó T = 2
2
ac
reemplazando r = 6,3 m y ac = 2,5g = 2,5(9,8) =
24,5
2
m/s
hallamos:
constante .b) Cuál es la proporción entre esta aceleración y la de un cuerpo en caída libre (g) c)¿Qué distancia se cubre en 1,80 s.? d) En una revista se aseguró que al final de cierta prueba, la rapidez del trineo descendió de 283 m/s a cero en 1,40 s y que en
6,3
T = 6,28
= 3,18 s
24,5
2
ese tiempo la magnitud de la aceleración fue mayor que 40g. ¿Son
Si ac = 10g = 98 m/s , resulta T = 1,59 s
congruentes estas cifras?
15. Un automóvil parte del reposo y durante 10 s 2
8. La aceleración de una motocicleta está dada por a = bt - ct , con 3
4
b = 1,20 m/s y c = 0,120 m/s . La moto está en reposo en el origen en t = 0. a) Obtenga su posición y velocidad como funciones de t. b) Calcule la velocidad máxima que alcanza 9. La aceleración de una partícula que se mueve en el eje X está 3
dada en función del tiempo por a = –8t
+ 16t, donde la
2
aceleración se mide en m/s y el tiempo en segundos. Suponiendo
varía su
velocidad a razón de 1,2 m/s en cada segundo. Después se mueve con velocidad constante durante 1 minuto y por último desacelera 2
a razón de 2,4 m/s hasta que se detiene. Calcular: la distancia total recorrida. 16. Una partícula se mueve en una circunferencia de acuerdo a la 3
2
2
ley s = t – 3t – t. Si la aceleración de la partícula es 20 m/s cuando t = 3 s, calcular el radio de la circunferencia.
que la partícula parte del reposo en el origen. Calcular: a) la
17. La ecuación del movimiento de un cuerpo en SI es r =
velocidad instantánea en función del tiempo b) el desplazamiento
(5sen2t)i + (5cos2t) j. Hallar la expresión de la componente
en función del tiempo c) el valor máximo del desplazamiento para
normal de la aceleración en cualquier instante.
t > 0 y d) el valor máximo de la velocidad para t > 0 10. La posición de un misil controlado por computadora es r = 2
2
3
18 Demostrar que en el movimiento curvilíneo, la aceleración tangencial at y la aceleración normal an están dadas por:
(12t –72t)i+[18t –4t ] j. Calcule la magnitud y dirección de los vectores de posición y aceleración en el instante en que el misil está en reposo.
at =
;
an =
| |
19 En la figura unas partículas se están moviendo en sentido
11. Se sueltan dos bolas desde diferentes alturas. Una de ellas se
contrario a las agujas del reloj (sentido antihorario) en una
suelta 2 s después de la otra y llegan de manera simultánea al
circunferencia de 5 m de radio con velocidades que pueden ser
piso, 5 s después de haber sido soltada la primera. a) ¿Cuál es la
8
Lic. Fís. Raúl Zavala Sánchez
FISICA GENERAL
variables, Los vectores aceleración se indican en ciertos instantes.
¿Dónde está el avión cuando la bomba toca tierra si la rapidez del
Hallar los valores de v, dv/dt en cada uno de estos instantes
avión se mantuvo constante?
v
26. Un lanzador de peso suelta la bala a cierta distancia sobre el
v
a r
a
30°
v
r
r
suelo con una velocidad de 14,0 m/s, 49,0 m/s sobre la horizontal. La bola toca el suelo 2,40 s después. Puede ignorarse la
45°
resistencia del aire. a)¿Cuáles son las componentes de la a a = 20 m/s
2
a = 30 m/s
2
aceleración de la bala en el vuelo? b)¿Cuáles son las componentes 2
a= 50 m/s
de la velocidad de la bala al principio y al final de su trayectoria? c) A que distancia horizontal llegó la bala? d) ¿A qué altura sobre el
Figura 2.41 Movimiento circular acelerado
suelo se soltó la bala? 27. Un proyectil recibe una velocidad inicial vo y ángulo sobre la y rapidez
superficie de una rampa, que a su vez esta inclinada grados
constante v = 6,00 m/s. Sea v1 la velocidad en t1 y v2 la velocidad
sobre la horizontal a) Calcule en función de vo, g, y . la distancia
en t2, considere v = v2 - v1 y t = t 2 - t 1 Recuerde que am = v/t.
sobre la rampa desde el punto de lanzamiento hasta el punto de
Para t = 0,5; 0,1 y 0,05 s; calcule la magnitud (con 4 cifras
impacto b) ¿qué ángulo da el alcance máximo sobre la rampa?
20. Un objeto viaja en círculo de radio R=2,0 m
significativas) y la dirección (relativa al vector v1) de la aceleración media am. Compare su resultado con la expresión general de la aceleración instantánea para el movimiento circular uniforme. vo
21. Se ejecuta un disparo de proyectil con una inclinación de 15°.
Después de cierto tiempo se observa que el alcance es de 100 m ¿Cuál es la velocidad de salida del proyectil ?
Figura alcance oblícuo
22. Un avión que desciende con un ángulo de 40,9º por debajo de la horizontal suelta una valija de correo desde 900 m de altura. La
28 El movimiento de una partícula en el plano YZ está dado por
bolsa golpea el suelo 5,00s después. Puede ignorarse la resistencia
las ecuaciones ay = 3sent, az = 2cost . Si t = 0 cuando y = 0 z = 2 ,
del aire. a) ¿Qué rapidez tiene el avión? b) ¿Cuánto viaja la bolsa
vy = 0, vz = 5. Encontrar: a) la ecuación de la trayectoria de la
horizontalmente al caer? c) ¿Qué componentes horizontales y
partícula b) el valor de la velocidad para t = /6 s
verticales tiene la velocidad de la bolsa justo antes de llegar al suelo?
29. Tres móviles A,B,C, se desplazan con movimiento uniforme siendo la velocidad de A respecto a B: 2i + 5 j y la de B respecto a C:
23. Se patea un balón verticalmente hacia arriba desde el suelo y una estudiante asomada a una ventana lo ve subir a 5,00 m/s. La ventana está a 15,0 m/s sobre el suelo. Ignore la resistencia del aire. a) ¿Hasta donde sube la pelota?.
b) ¿Cuánto tarda en
alcanzar esa altura?
–2 j + 4k. Calcular la velocidad de C respecto a A.
30 Un misil disparado desde un reactor despega con una 2
aceleración de 500 m/s que dura 3 s . La velocidad del reactor es de 500 m/s en dirección este. a) ¿Cuáles son la posición y velocidad del misil, tal como es observado por el piloto del reactor
24. En el salto de altura, un atleta se agazapa y salta hacia arriba
2 s después del disparo.? b) ¿Cuáles son la posición y velocidad del
con toda su potencia. Ni los campeones pasan mucho más 1,00 s
misil observado por una persona en el suelo 2 s después del
en el aire ("tiempo de suspensión"). Considere al atleta como una
disparo? (despreciar la aceleración debida a la gravedad)
partícula y sea ym su altura máxima sobre al suelo. Para explicar por que parece estar suspendido en el aire, calcule la razón de tiempo que está sobre ym/2 al que tarda en llegar desde el suelo a esa altura. Ignore la resistencia del aire. 25. Un avión militar vuela horizontalmente con una rapidez de 120 m/s y accidentalmente suelta una bomba (por suerte no armada)a una altitud de 2000 m. Puede ignorarse la resistencia del aire. a) ¿Cuánto tiempo tarda la bomba en llegar a la tierra? b)¿Qué distancia horizontal viaja mientras cae? c) Halle las componentes horizontal y vertical de su velocidad justo antes de tocar tierra. d)
9
31. Desde una plataforma con aceleración horizontal "a", se dispara un proyectil con ángulo de elevación de 60°.Calcular el valor de "a" para que la trayectoria sea siempre rectilínea vista desde la plataforma. 33.
Un río fluye al norte a 2,4 m/s. Un hombre cruza el río
remando un bote con velocidad relativa al agua de 4,2 m/s al este. El río tiene 1000 m de ancho. a) ¿qué velocidad tiene en relación con la tierra? b) ¿Cuánto tiempo le lleva cruzar el río? c) ¿A qué distancia al norte de su punto de partida llegará a la orilla opuesta?
Lic. Fís. Raúl Zavala Sánchez
FISICA GENERAL
34 Un piloto desea volar su avión hacia el norte. Un viento de 80,0
respecto a la plataforma .a) Dibujar el gráfico aproximado de la
km/h sopla al oeste
trayectoria del móvil visto por un observador fijo a la tierra b)
a) Si la rapidez del avión en el aire estacionario es de 240,0 km/h, ¿qué dirección debe seguir el piloto? b) ¿Cuál es la rapidez del avión sobre el suelo? Dibuje un diagrama vectorial
Determinar la aceleración tangencial, la aceleración normal y el radio de curvatura (en función del tiempo) para el observador fijo. c) determinar la aceleración de Coriolis para el observador fijo, indicando cual es el módulo y cual su dirección respecto al vector
35. Una partícula parte del reposo y se mueve en línea recta con
de posición.
2
una aceleración constante de 4 m/s hacia la derecha durante 3 s después del cual se mueve con una velocidad constante durante 2 segundos más. Determinar la aceleración constante después de los primeros 5 segundos si llega al reposo después de recorrer 78 m. a la derecha del punto de partida.
41 Demostrar que en el movimiento en dos dimensiones, el radio de curvatura de la trayectoria de un móvil en un punto P está dado por:
36. La nariz de un avión supersónico apunta al norte, y su velocímetro indica 25 m/s. Hay un viento de 10 m/s que sopla al sudoeste relativo a la Tierra. a) Dibuje un diagrama de suma vectorial que muestre la relación de v (velocidad del avión relativa a tierra) con los 2 vectores dados. b) Si X es al este, Y al norte, obtenga las componentes de v. c) Obtenga la magnitud y dirección de v.
( x 2 y 2 )3 / 2 x y y x
43. En la siguiente figura se muestra una partícula moviéndose con una velocidad constante en módulo e igual a V, sobre un plano horizontal XY describiendo una trayectoria circular de radio R. A una distancia D se halla un observador O' en reposo que empieza a caminar con una aceleración constante A = A j en el mismo instante en que la partícula pasa por el punto P.
37 Una pelota se lanza con velocidad inicial vo y ángulo o. Un conductor que viaja en la dirección +X con rapidez constante u
Determinar respecto al observador la posición, velocidad y aceleración de la partícula.
pasa junto al lanzador justo en el instante en que se suelta la z
pelota. Puede ignorarse la resistencia del aire. a) Obtenga la ecuación de la trayectoria de la pelota (altura 'y' en función de la
D
posición horizontal x) en el marco de referencia del conductor. ¿qué clase de curva es la trayectoria? b) Si el conductor ve la
y
pelota subir y bajar verticalmente, ¿Qué relación hay entre vo, o y x
u?
P
v
38. Una partícula se mueve en línea recta hacia la derecha con una 2
velocidad inicial de 18 m/s y una aceleración de 3 m/s hacia la
Figura 2.54 Movimiento relativo
izquierda durante 8 s. La aceleración entonces se hace cero durante
T
seg.
Después
del
cual,
la
velocidad
cambia
uniformemente hasta que es 8 m/s hacia la derecha. La distancia total recorrida es de 109 m y el desplazamiento lineal es de 31 m hacia la derecha. Determinar el intervalo de tiempo (T) que la partícula viajó con velocidad constante. 39. a) ¿Cuál es la velocidad angular del minutero de un reloj? b) ¿Del segundero? c) ¿Cuál es la suma vectorial de estas dos velocidades?. 40. Un cuerpo, inicialmente en el centro de una plataforma que gira con una velocidad angular constante, se mueve alejándose del centro con una velocidad de módulo vo y dirección radial
10
Lic. Fís. Raúl Zavala Sánchez
