Chuong 03 - Dong Luc Hoc Vat Ran

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng

79

Chươ Chươ ng ng 3

ĐỘNG ĐỘ NG LỰ LỰ C HỌ HỌC VẬ VẬT R ẮN ực h ọc của vật r ắ ắn, , Chươ ng ng này nghiên cứ u các phươ ng ng trình động l ự n là chuyể n động quay của vật r ắ ắn quanh một tr ục cố đị ố định.

đặc biệt

§3.1 – VẬ VẬT R ẮN 1 – Khái niệ niệm về về vậ vật rắ rắn: H ệ chấ t đ iể m

là một hệ gồm nhiều vật mà mỗi vật đều coi là một chất điểm. Các chất điểm trong hệ có thể t ươ ng ng tác lẫn nhau, các lực t ươ ng ng tác đó g ọi là nội l ự ự c; đồng thờ i có thể tươ ng ng tác vớ i các vật bên ngoài hệ, các lực tươ ng ng tác này gọi là ngoại ự c. l ự

ắ n V ật r ắ

là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ v ĩ mô) mô) trong một miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất k ỳ không thay đổi. Như vậy, vật r ắn luôn có hình dạng, kích thướ c và thể tích nhất định. Trên thực tế, không có vật r ắn tuyệt đối. Bở i lẽ, dướ i ảnh hưở ng ng của các điều kiện bên ngoài như: nhiệt độ, áp suất, lực tác dụng, … thì khoảng cách giữa các phần t ử trong vật có thay đổi đôi chút. Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu sự thay đổi đó là không đáng k ể thì ta coi vật đó là vật r ắn.

2 – Tính khố khối lượ lượ ng ng củ của mộ một vậ vật rắ rắn: Trong chươ ng ng 2, ta đã biết khối lượ ng ng là đại lượ ng ng đặc tr ưng cho mức quán tính và mức hấ p dẫn c ủa v ật. Trong phạm vi giớ i h ạn c ủa Cơ h h ọc c ổ điển, khối l ượ ng ng là đại lượ ng ng bấ t biế n. Do đó khối lượ ng ng của một hệ cô lậ p luôn bảo toàn. Khố i l ượ ng m của một hệ chấ t đ iể m bằ ng ng t ổ ng khố i l ượ ng các phần t ử t ạo nên ượ ng ổ ng ượ ng ử t

m = ∑ mi

hệ:

(3.1)

i

Vật r ắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục trong miền Ω nên khối lượ ng ng của vật r ắn đượ c tính bở i: m = dm i: (3.2)

∫

Ω

vớ i dm là vi phân của khối lượ ng ng m (chính là khối lượ ng ng của phần tử nhỏ bé cấu tạo nên vật r ắn). Tr ườ ng h ợ p v ật r ắn phân bố liên tục trong thể tích V (hình 3.1), tại mỗi điểm ườ ng khảo sát M, ta lấy một yếu t ố th t hể tích dV bao quanh M, gọi dm là khối lượ ng ng c ủa v ật ượ ng chất chứa trong yếu tố dV, ta định ngh ĩ a mật độ khố i l ượ ng khố i :

ρ(M) =

dm dV

(3.3)

80

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện

Khi đó, dm = ρ(M)dV và

m = ∫∫∫ ρ(M)dV

(3.4)

V

Nếu vật r ắn là đồng nhất (hay thuần nhất) thì ρ = const (lúc này ρ chính là khối lượ ng ng riêng của chất liệu cấu tạo nên vật r ắn). Khi đó (3.4) tr ở ở thành: thành: m = ρV

(3.5)

Tươ ng ng tự, nếu hệ phân bố liên tục trên bề mặt (S) (hình 3.2), thì ta định ngh ĩ a

ượ ng mật độ khố i l ượ ng mặt :

σ( M ) =

dm dS

(3.6)

vớ i dm là khối lượ ng ng vật chất chứa trên yếu tố diện tích dS. Khi đó ta có: dm = σ(M)dS

và

m = ∫∫ σ(M)dS

(3.7)

S

Nếu h ệ phân bố liên tục trên chiều dài L (hình 3.3), ta định ngh ĩ a mật độ khố i

λ =

ượ ng l ượ ng dài:

dm d

(3.8)

vớ i dm là khối lượ ng ng vật chất chứa trên yếu tố chiều dài d  . Khi đó ta có: dm = λd 

và

m = ∫ λ ( M ) d

(3.9)

L

Nếu hệ thuần nhấ t t thì thì từ (3.7), (3.9) ta có: M

m = σS = λL

(3.10)

dV M dS

M d

ế u t ố ố th a) Y ế th ể tích tích dV bao quanh M

b) Y ế diện tích ếu t ố ố di

c) Y ế chiề u dài ếu t ố ố chi

dS bao quanh M

d  bao quanh M

Hình 3.1 Một hệ phức tạ p có th ể chia thành nhiều phần, khối lượ ng ng của mỗi phần thuộc về một trong những dạng định ngh ĩ a trên. Và khối lượ ng ng của hệ là tổng khối lượ ng ng của các phần đó.

81


§3.2 KHỐ KHỐI TÂM Khi nghiên cứu chuyển động c ủa một hệ ch ất điểm hay chuyển động c ủa v ật ườ ng r ắn, trong một số tr ườ ng hợ p có thể rút gọn về chuyển động của một điểm đặc tr ưng cho hệ đó. Điểm đặc biệt này chính là khố i tâm của hệ.

1 – Định ngh ĩ a khố khối tâm: Định ngh ĩ Khối tâm đượ c định ngh ĩ a xuất phát từ bài toán tìm tr ọng tâm (điểm đặt của tr ọng lực) của h ệ 2 chất điểm. Xét hai chất điểm M1 và M 2 có khối lượ ng ng m1 và m2. Tr ọng lực tác dụng lên →

→

→

2 chất điểm đó là P 1 và P 2 . Hợ p lực của P 1 và →

M2

P2

→

→

P1

→

P

M 1G P2 m 2 = = M 2 G P1 m1

Hình 3.2: Khố i tâm của hệ 2 chấ t đ iể m

m1.M1G – m2.M2G = 0 →

M1

→

P 2 là P có điểm đặt tại G sao cho:

⇒

G

hay

→

m 1 . M 1G + m 2 . M 2 G = 0

(3.11)

Điểm G thỏa mãn (3.11) đượ c gọi là khối tâm của hệ 2 chất điểm M1 và M2. ườ ng Tr ườ ng hợ p tổng quát, hệ có n chất điểm có khối lượ ng ng lần lượ t là m1, m2, …, mn đặt tươ ng ng ứng tại các điểm M1 , M2 , … , Mn , ta định ngh ĩ a khối tâm của hệ là một điểm G thoả mãn:

→

→

m 1 M 1G + m 2 M 2 G + n

→

∑m M G

hay:

i

i

→

... + m n M n G = 0

=0

(3.12)

i =1

Vớ i vật r ắn, khối tâm là điểm G thỏa mãn: →

→

∫ MG dm = ∫ MG ρdV = 0

Vaät raén

(3.13)

Vaät raén

trong đó M là điểm bất kì trên vật r ắn, dV là yếu tố thể tích bao quanh M (hình 3.1) Khối tâm G đượ c định ngh ĩ a theo (3.12) và (3.13) là một điểm đặc tr ưng cho hệ, chỉ phụ thuộc vào vị trí tươ ng ng đối và phân bố khối lượ ng ng giữa các phần tử trong hệ, không phụ thu ộc vào các yếu t ố bên ngoài. Các k ết qu ả tính toán cho thấy, nếu h ệ có m ột y ếu t ố đối xứng (tâm đối xứng, tr ục đối xứng, mặt đối xứng) thì khối tâm của một hệ nằm trên yếu tố đối xứng đó. Như vậy, nếu hệ có nhiều yếu tố đối xứng thì khối tâm G thuộc về giao của các yếu tố đối xứng đó.

82


Ví dụ, khối tâm của đĩ a tròn đồng chất, khối lượ ng ng phân bố đều chính là tâm của đĩ a (giao điểm của hai đườ ng ng kính); khối tâm của miếng sắt mỏng đồng chất, hình chữ nhật chính là giao điểm của 2 đườ ng ng chéo, … Cần phân biệt hai thuật ngữ “ khố i tâm” và “tr ọng tâm”! Tr ọng tâm G’ của h ệ là điểm đặt của tr ọng lực tác dụng vào hệ, ngh ĩ a là vị trí của G’ không những phụ thuộc vào vị trí, khối lượ ng ng c ủa các phần t ử c ấu t ạo nên hệ mà còn phụ thu ộc vào gia ườ ng. tốc tr ọng tr ườ ng. Trong khi đó vị trí khối tâm G không phụ thuộc vào gia tốc tr ọng tr ườ ng. ườ ng. Trên thực t ế, hầu hết kích thướ c các hệ vật lí mà ta khảo sát là không lớ n, n, do đó gia tốc tr ọng tr ườ ườ ng ng hầu như không đổi tại mọi điểm và G’ trùng vớ i G. Việc phân biệt vị trí của G’ và G là không cần thiết!

Ví dụ 3.1: Hệ ba chất điểm có khối lượ ng ng bằng nhau, đặt tại ba đỉnh của tam giác ABC. Xác định khối tâm của hệ. Giả Giải →

→

→

Theo định ngh ĩ a, a, khối tâm G thỏa: m1 AG + m 2 BG + m 2 CG = 0 →

→

→

Vì m1 = m2 = m3 = m nên: AG + BG + CG = 0 ng trình trên chính là tr ọng tâm (giao điểm của ba trung tuyến) c ủa Điểm G thỏa phươ ng tam giac ABC.

2 – Toạ Toạ độ c khối tâm: độ củ ủa khố Trong k ỹ thuật, việc xác định chính xác khối tâm của vật r ắn là hết sức quan tr ọng, nhất là đối vớ i các vật r ắn có chuyển động quay. Xác định khối tâm G theo định ngh ĩ a (3.12) và (3.13) là r ất phức tạ p. Trong thực hành, ta có thể xác định G bằng cách tìm giao điểm của các tr ục đối xứng. Phươ ng ng pháp này đặc biệt tiện lợ i đối vớ i các vật phẳng đồng nhất. Trong lí thuyết, ta dùng phươ ng ng pháp tọa độ. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, vị →

→

trí của khối tâm G đượ c xác định bở i vectơ bán bán kính r G = OG . Áp dụng “qui tắc 3 →

→

điểm” đối vớ i 3 điểm O, G và Mi bất kì, ta có: OG = OM i

→

+ MiG .

Nhân hai vế phươ ng ng trình này vớ i mi r ồi lấy tổng theo i, ta có: →

→

→

m i OG = m i OM i + m i M i G n

→

n

→

∑ m OG = ∑ m OM

và

i =1

i

i =1

i

i

n

→

∑m M G

+

i

i =1

i

→

Vì OG không phụ thuộc vào chỉ số chạy i nên ta đưa ra ngoài dấu tổng: →

n

n

i =1

i =1

→

OG ∑ m i = ∑ m i r i +

n

→

∑m M G i

i =1

i

83

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng Mà theo định ngh ĩ a (3.12), ta có:

n

→

∑m M G = 0. i

i

i =1

n

→

Vậy:

→

rG = OG =

→

∑ m r i i

i =1 n

∑m

(3.14)

i

i =1

→

Trong hệ toạ độ Descartes, vectơ r i có t ọa độ ( x i , y i , z i ) nên khối tâm G của h ệ có

⎛ n ⎜ ∑ mi xi ; tọa độ: G ⎜ i =1n ⎜ ⎜ ∑ mi ⎝ i =1

⎞ m z ∑ i i ⎟ i =1 i =1 ⎟ ; n n ⎟ mi mi ⎟ ∑ ∑ i =1 i =1 ⎠ n

∑ mi yi

n

(3.15)

Vớ i vật r ắn thì tọa độ của G là:

⎧ ⎪ ⎨x G = ⎪ ⎩

∫ xdm

vaät raén

m

; yG =

∫ ydm

vaät raén

m

; zG =

∫ zdm

vaät raén

m

(3.16)

Trong đó (x,y,z) là tọa độ của yếu tố khối lượ ng ng dm; m là khối lượ ng ng của vật r ắn.

Ví dụ dụ 3.2: Có ba chất điểm khối lượ ng ng m1 = m2 = 2mo, m3 = 6mo đặt tại ba đỉnh A, B, C của tam giác đều, cạnh a. Xác định khối tâm G của hệ. Phải tăng hay giảm khối lượ ng ng của m3 đi bao nhiêu để khối tâm G trùng vớ i tr ọng tâm ∆ABC? Giả Giải

x

m1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 (3.15), ta có: x G = m1 + m 2 + m 3 Dễ thấy: x1 = xA = 0; x2 = xB = 0; x3 = xC = a 3 /2.

0 + 0 + 6m o a 3 / 2 3a 3 = Suy ra: x G = 10m o 10

C

m3

Dễ thấy, hệ đối xứng qua đườ ng ng cao OC, nên G nằm trên OC. Chọn tr ục Ox như hình vẽ. Theo

G m1 A

O

Hình 3.3

xA + xB + xC a 3 = Để G trùng vớ i tr ọng tâm ∆ABC thì : x G = 3 6

B m2

84


⇒

0 + 0 + m 3a 3 / 2 a 3 ⇒ m3 = 2mo = 2m o + 2 m o + m 3 6

d = Rdϕ α

Vậy phải giảm khối lượ ng ng vật m3 một lượ ng ng ∆m = 4mo

O -α

Ví dụ dụ 3.3: Xác định khối tâm của một vật thể hình cung tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm tâm 2α.

R

Giả Giải

ϕ x

x

Hình 3.4:

Chọn tr ục Ox là đườ ng ng phân giác của góc ở tâm như hình (3.4). Dễ thấy Ox chính là tr ục đối xứng của hệ. Suy ra khối tâm G phải nằm trên Ox. Xét một yếu t ố dài d chắn góc ở tâm tâm dϕ. Hoành độ của y ếu tố này này là: x = Rcos Rcosϕ; khối lượ ng ng chứa trong d là dm = λ d = λRdϕ. Theo (3.16), ta có:

∫ xdm ∫ R cos ϕ.λRdϕ

α

λR ∫ cos ϕ 2

R sin α (3.17) m m λR .2α α trong đó λ là m ật độ khối lượ ng ng dài của cung tròn; m = λR.2α là khối lượ ng ng của cung xG =

=

L

L

=

−α

=

tròn. Vậy khối tâm của vật thể hình cung tròn đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉ ở đỉnh, cách tâm một đoạn xG đượ c xác định bở i (3.17).

dS = r.dr.dϕ dϕ

dr

Ví dụ 3.4: Xác định khối tâm của một vật thể hình quạt tròn đồng nhất, bán kính R, chắn góc ở tâm 2α.

r

ϕ

Giả Giải Tươ ng ng tự như ví dụ 3 ta cũng suy ra khối tâm G của hình quạt đồng nhất nằm trên tr ục đối xứng Ox (đườ ng ng phân giác của góc ở tâm). tâm).

O

x R

Xét một yếu tố diện tích dS. Trong hệ tọa độ cực, ta có dS = r.dr.dϕ. Khối lượ ng ng chứa trong dS là dm = σdS; hoành độ c ủa dS là x = r.cosϕ. Hoành độ của khối tâm G là:

xG =

∫ xdm ∫∫ r . cos ϕ.σdS S

m

=

S

m

=

Hình 3.5

∫∫ r . cos ϕ.σ.r .dr .dϕ S

m

x

85


⇒ xG =

R

α

0

−α

σ ∫ r 2 dr . ∫ cos ϕdϕ 2

σ.αR

=

2R sin α 3α

(3.18)

Trong đó, m = σ.S = σ.αR 2 là khối lượ ng ng của hình quạt Vậy khối tâm của vật thể hình quạt đồng nhất nằm trên phân giác của góc ở đỉ ở đỉnh, cách tâm một đoạn xG đượ c xác định bở i (3.18).

Ví dụ 3.5: định Xác khối tâm của một vật thể hình nón đồng nhất, ng cao h. đườ ng

x

α h x

dx

r

Giả Giải Chia hình nón thành những phần nhỏ, có dạng đĩ a tròn bán kính r, bề dày dx (hình

h–x

G

h 4

O

O

Hình 3.6: Khố i tâm của vật hình nón

3.6). Ta có: x G =

∫ x.dm

vaät raén

m

=

∫ xρdV

vaät raén

∫ ρdV

=

vaät raén

∫ x(h − x) .tg α.dx 2

xG =

2 x r .dx ρπ ∫

vaät raén

2 r ρπ ∫ .dx

vaät raén

h

2

vaät raén

2 2 ( h x ) . tg − α.dx ∫

vaät raén

=

2 x ( h x ) .dx − ∫ 0 h

2 ( h x ) .dx − ∫

=

h 4

0

Vậy, khối tâm của khối hình nón đồng nhất nằm trên tr ục hình nón, cách đáy một

xG =

khoảng:

3 – Chuyể Chuyển động của khố khối tâm: động củ Vận tốc của khối tâm:

h 4

(3.19)

86

Giaùo Trình Vaät Lyù Ñaïi Cöông – Taäp 1: Cô – Nhieät – Điện n

→

d r G vG = = dt →

d m i r i ∑ dt i =1 n

∑m

→

d r i m ∑ i dt i =1 n

→

=

i

i =1

n

∑m

n

=

∑m

i

i =1

→

vi

i

i =1

(3.20)

n

∑m

i

i =1

n

d vG ∑ aG = = i =1n dt →

→

Tươ ng ng tự, gia tốc của khối tâm:

→

mi a i

∑m

(3.21)

i

i =1

→

→

Gọi Fi vaø f i là tổng các ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i; m=

∑m

Suy ra:

→

i

→

→

là khối lượ ng ng của toàn hệ. Theo (2.6) ta có : Fi + f i = m i a i . →

aG

→

→

i

i

F + ∑ f ∑ . = m

Mà theo định luật III Newton, các vật trong hệ tươ ng ng tác nhau bằng các lực tr ực đối, nên tổng các nội lực

→

∑ f = 0. i

→

Vậy:

→

aG

F =∑

i

m

→

→

hay m a G = ∑ Fi

(3.22)

(3.22) chính là phươ ng ng trình chuyển động c ủa kh ối tâm. Từ đó ta thấy r ằng, khố i tâm ượ ng ổng g khố i l ượ ượ ng của hệ chuyể n động như một chấ t đ iể m có khố i l ượ ng bằ ng ng t ổ n ng các vật trong h trong hệ.

Ví dụ dụ: Khi ta ném cái rìu lên tr ờ ời thì nó vừa bay, vừa xoay. Tuy vận tốc và qũi đạo của mỗi điểm trên cái rìu là hoàn toàn khác nhau và r ất phức t ạ p, nhưng q ũi đạo của kh ối tâm chắc chắn phải là đườ ng ng Parabol như chuyển động ném xiên của một chất điểm (bỏ qua sức cản không khí).

87

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng § 3.3 CHUYỂ CHUYỂN ĐỘ NG CỦ CỦA VẬT R ẮN ĐỘNG

Trong chươ ng ng 1, chúng ta đ ã nghiên cứ u tính chấ t các chuyể n động c ủa chấ t m. V ật r ắ ng chuyể n động riêng và trong m ỗ i d ạng chuyể n động, có nhữ ng ng đ iể m. ắ n có nhữ ng ưng g riêng. Giáo trình này chỉ nghiên tính chấ t đặc tr ư n nghiên cứ u chuyể n động song phẳ ng ng của ắ n, ắn luôn có qũi đạo vật r ắ n, nghĩ a là trong quá trình chuyể n động, mỗ i đ iể m trên vật r ắ ố định. nằ m trong một mặt phẳ ng ng song song vớ i một mặt phẳ ng ng cố đị

1 – Vậ Vật rắ rắn tị tịnh tiế tiến: Chuyển động của vật r ắn đượ c gọi là t ịnh tiế n nếu một đoạn thẳng nối hai ng không đổi). điểm bất kì trên vật r ắn luôn song song vớ i chính nó (có phươ ng Xét điểm M bất k ỳ trên vật r ắn và khối tâm G của vật r ắn. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo qui tắc 3 điểm ta có: →

→

→

→

→

G

OM = OG + GM hay

→

r M = r G

Suy ra:

M

Hình 3.7: Chuyể n động t ịnh ắn. . tiế n của vật r ắ n

→

d r M d r G = dt dt

+

d GM dt

→

→

Vì vật r ắn tịnh tiến nên vectơ GM không đổi. Do đó →

Vậy:

M

+ GM →

→

G

→

d r M d r G = dt dt

→

d GM = 0. dt

→

hay v M = v G

(3.23)

Khi vật r ắ ng ắ n t ịnh tiế n thì mọi đ iể m trong vật r ắ ắ n đề u vạch ra các qũi đạo giố ng nhau vớ i cùng một vận t ố ng vớ i vận t ố ố c bằ ng ố c của khố i tâm. Do đó chuyển động của vật

r ắn trong tr ườ ng hợ p này đượ c qui về chuyển động của khối tâm. Nói cách khác, toàn ườ ng bộ vật r ắn đượ c coi như một chất điểm có khối lượ ng ng bằng khối lượ ng ng toàn vật r ắn, đặt tại khối tâm G.

2 – Vậ Vật rắ rắn quay quanh mộ một trụ trục cố cố định: định: ắ n quay quanh tr ục cố đị ố định ( ∆ ) vớ i v ận t ố ốc góc ω thì mọi đ iể m của Khi vật r ắ vật r ắ vạch ra nhữ ng ng đườ ng ng tròn đồng tr ục ∆ , vớ i cùng một vận t ố ắ n sẽ v ố c góc →

→

ω.

Xét một điểm M bất kì trên vật r ắn, gọi R là vectơ bán bán kính qu ĩ đạo của M, ta có: - Vận tốc dài:

→

→

→

v = ω x R

(3.24)

88


v = ωR

và độ lớ n: n: →

→

(3.25) →

- Gia tốc tiế p tuyến: a t = β x R

(3.26)

at = βR

và độ lớ n: n:

(3.27)

2

- Gia tốc pháp tuyến: a n = ω R →

→

(3.28)

→

- Gia tốc toàn phần: a = a t + a n và độ lớ n: n:

→

ω

→

R M

(3.29)

a = a 2t + a 2n

(3.30)

ω

Ví dụ dụ 3.6: Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vôlăng I và Hình 3.8: Chuyể n bánh xe II. Bán kính vôlăng là R 1 = 10cm; bánh xe là R 2 = động quay của 50cm. Vôlăng đang quay vớ i vận tốc 720 vòng/phút thì bị vật r ắ ắn quanh tr ục ngắt điện, nó quay chậm d ần đều, sau đó 30 giây vận t ốc ch ỉ ố định. cố đị ướ c khi còn 180 vòng/phút. Tính vận tốc quay của bánh xe tr ướ ngắt điện, số vòng quay của vôlăng và bánh xe trong kho ảng tr ờ ời gian trên. Sau bao lâu, k ể từ lúc ngắt điện, hệ thống sẽ dừng? Tính vận tốc góc trung bình của vôlăng và bánh xe trong khoảng thờ i gian từ lúc ngắt điện đến lúc dừng (dây cuaroa không bị tr ượ ượ t trên vôlăng và bánh xe). Giả Giải Gọi ω1 và ω2 là v ận tốc góc của vôlăng và bánh xe; ω01 và ω02 là các vận tốc góc ban đầu của chúng. Ta có: ω01 = 720 vòng/phút = 24π rad/s.

R1

t1 = 30s; ω1 = 180 vòng/phút = 6π rad/s. Vì dây cuaroa không bị tr ượ ượ t trên Hình 3.9 vôlăng và bánh xe nên các điểm tiế p xúc giữa vôlăng – dây cuaroa, bánh xe – dây cuaroa luôn có cùng vận tốc dài. Suy ra: ω1R 1 = ω2R 2 ; ω01R 1 = ω02R 2 Vậy vận tốc quay của bánh xe tr ướ ướ c khi ngắt điện là:

ωo 2 =

R 1 10 ωo1 = .720 = 144 vòng/phút = 4,8π rad/s. R 2 50

ω1 − ωo1 6π − 24π Gia tốc góc của vôlăng: β1 = = = −0,6π rad/s2. t1 30 Góc mà vôlăng đã quay trong thờ i gian t1 = 30s:

1 θ1 = ωo1 t 1 + β1 t 12 = 24π.30 − 0,3π.30 2 = 450π rad. 2

R2

89

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng Vậy, vôlăng đã quay đượ c N1 = 225 vòng.

R 1 N1 = 45 vòng. Số vòng quay của bánh xe trong thờ i gian t1 = 30s: N2 = R 2

ωo1 Ta có: ω1 = ωo1 + β1 t . Khi dừng: ω1 = 0. Suy ra t = − = 40s β1 Vậy, hệ thống sẽ dừng lại sau 40s k ể từ lúc ngắt điện. Góc mà vôlăng đã quay trong thờ i gian t = 40s:

1 2 θ = ωo1 t + β1 t = 24π.40 − 0,3π.40 2 = 912π rad 2 Vận tốc góc trung bình của vôlăng: ω1tb = Vận tốc góc trung bình của bánh xe: ω 2 tb

θ 912π = = 22,8π rad/s. t 40

R 1 = ω = 4,56π rad/s. R 2 1tb

3 – Chuyể Chuyển động phứ c tạ tạp củ của vậ vật rắ rắn: động phứ Khi vật r ắn có chuyển động phức t ạ p bất k ỳ (nh ưng vẫn là song phẳng), ta có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thờ i: i: tịnh tiến và quay. Để chứng minh điều này, ta xét 2 điểm bất k ỳ M và N trên vật r ắn và chọn điểm O làm gốc tọa độ. Theo →

→

→

→

→

→

qui tắc 3 điểm ta có: OM = ON + NM hay r M = r N + NM . Lấy đạo hàm hai vế →

→

→

v M = v N +

theo thờ i gian, ta có:

d NM dt

→

Vectơ NM có độ lớ n không đổi, nhưng có phươ ng ng thay đổi, nên ta có thể tìm đượ c →

→

tr ục quay (∆) tức thờ i sao cho NM quay quanh N vớ i vectơ v vận tốc góc ω thỏa mãn →

phươ ng ng trình:

→ → d NM → → = ω x R vôùi R = NM dt

Do đó ta có thể viết:

→

→

(3.31)

→

→

v M = v N + ω x R

(3.32)

Như Như vậ v ậy: N ếu ch ọn điểm N là điểm c ơ b b ản thì chuyển động c ủa điểm M (bất k ỳ trên vật r ắn) bao gồm hai chuyển động: →

- Tịnh tiến cùng vớ i điểm cơ b bản N vớ i vận tốc v N ; →

- Quay quanh điểm cơ b bản vớ i vận tốc góc ω .

90


Khi chọn điểm cơ bản khác nhau thì vận tốc tịnh tiến của điểm M cũng khác nhau →

nhưng vận tốc góc ω không thay đổi. Trong các bài toán, ta thườ ng ng chọn điểm cơ b bản ở thành: thành: là khối tâm của vật r ắn. Khi đó (3.32) tr ở →

→

vM = vG

→

→

→

→

+ ω x R vớ i R = GM

(3.33)

Tóm lạ lại: Chuyể n động bấ t k ỳ của vật r ắ phân tích thành hai chuyể n động ắn luôn có thể phân đồng thờ i: i: t ịnh tiế n của đ iể m cơ bản và quay quanh tr ục đ i qua đ iể m cơ bản đ ó. ó. Thông thườ ng, ng, ta chọn đ iể m cơ b bản là khố i tâm G của vật r ắ n. ắ n. Ví dụ 3.7: Bánh xe hình đĩ a tròn, lăn không tr ượ ng nằm ngang vớ i vận tốc ượ t trên đườ ng tịnh tiến vo. Xác định vectơ vận tốc, qũi đạo và quãng đườ ng ng đi (sau hai lần liên tiế p tiế p xúc vớ i mặt đườ ng) ng) của một điểm bất kì trên vành bánh xe. Giả Giải

y Xét điểm → M trên ng Đườ ng vM vành → → cong D bánh xe. ω x R cycloid Chọn hệ G → tr ục toạ M vo độ Oxy như hình A O 3.10. Gốc toạ độ và Hình 3.10: Qũi đạo, vận t ố ốc của đ iể m M trên vành bánh xe. gốc thờ i gian tại vị trí và thờ i điểm M tiế p xúc vớ i mặt đườ ng. ng.

x

Do bánh xe lăn không tr ượ ượ t nên vận tốc dài của điểm M có độ lớ n bằng vớ i vận tốc tịnh tiến của bánh xe: vM = ωR = vG = vo. →

→

→

→

→

→

→

Vận tốc của điểm M: v M = v G + ω x R = v o + ω x R (*) Chiếu (*) lên các tr ục tọa độ Ox, Oy ta có:

⎧v x = v o − ωR cos ϕ = v o − v o cos ωt = v o (1 − cos ωt ) ⎨v = 0 + ωR sin ϕ = v sin ωt o ⎩ y

(3.34)

trong đó ϕ = MGA = ωt : là góc mà điểm M đã quay đượ c trong thờ i gian t. 

Suy ra, độ lớ n vận tốc của điểm M:

v M = v 2x + v 2y = v o 2(1 − cos ωt ) = v o | sin

ωt | 2

(3.35)

91

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng →

→

→

→

→

Nếu ta chọn điểm cơ b bản là điểm A thì v M = ω x AM . Suy ra v M ⊥ AM . →

Vậy: phươ ng ng của v M luôn đi qua đỉnh D của bánh xe. (3.34) suy ra phươ ng ng trình chuyển động của M: t ⎧ 1 x v dt v ( t sin ωt ) = v o t − R sin ωt = = − ⎪ ∫ x o ω ⎪ 0 ⎨ t ⎪y = v dt = R (1 − cos ωt ) ⎪ ∫ y ⎩ 0

(3.36)

ĩ đạo của M là đườ ng (3.36) biểu diễn đườ ng ng cong cycloid. Vậy qu ĩ đạ ng cong cycloid. Khoảng thờ i gian giữa hai lần liên tiế p điểm M tiế p xúc vớ i mặt đườ ng ng chính

2π . Trong khoảng thờ i gian này, điểm M đã đi ω T → T ωt | dt = 8R. ng: s = ∫ | v M | dt = v o ∫ | sin (3.37) đượ c quãng đườ ng: 2 0 o

là chu kì quay quanh khối tâm: T =

§ 3.4 PHƯƠ PHƯƠ NG NG TRÌNH ĐỘ NG LỰ LỰ C HỌ HỌC VẬ VẬT R ẮN ĐỘNG 1 – Tổ Tổng quát: Chuyển động phức tạ p của vật r ắn đượ c phân tích thành hai chuy ển động đồng thờ i.i. Vì thế, mô tả chuyển động của vật r ắn về mặt động lực học, ta cũng có hai phươ ng ng trình:

•

Phươ ng ng trình mô tả chuyển động tịnh tiến của khối tâm G: →

d p → =F dt Vớ i: i:

→

→

→

hay m a = F

(3.38)

→

F = ∑ Fi là tổng các ngoại lực tác dụng lên vật r ắn;

→

→

→

p = ∑ m i v i = m v G là động lượ ng ng của vật r ắn; →

a là gia tốc tịnh tiến của vật r ắn (gia tốc của khối tâm).

•

Phươ ng ng trình mô tả chuyển động quay quanh tr ục ∆ đi qua khối tâm G: →

dL → =M dt

(3.39)

92


Vớ i: i:

→

∫d

L=

→ 

là mô men động lượ ng ng của vật r ắn;

vaät raén

→

M =

→

→

i

i

∑ (r x F ) là tổng momen ngoại lực đối vớ i tr ục ∆.

Hai phươ ng ng trình (3.38) và (3.39) mô tả chuyển động bất k ỳ của vật r ắn. Nếu xét trong hệ tr ục Oxyz ta có 6 phươ ng ng trình vi phân. Tuy nhiên, trong phạm vi giáo trình này, ta chỉ kh ảo sát các chuy ển động đặc bi ệt c ủa vật r ắn, nên việc giải các phươ ng ng trình trên sẽ đơ n giản hơ n. n. Tr ướ ướ c hết, nếu chuyển động của vật r ắn chỉ là t ịnh tiế n thì từ (3.38) ta thấy, chuyển động ấy đượ c qui về chuyển động c ủa khối tâm G và việc kh ảo sát giống như chuyển động của chất điểm G có khối lượ ng ng m. Dướ i dây ta sẽ khảo sát chi tiết hơ n về chuyển động quay của vật r ắn quanh tr ục cố định ∆.

2 – Phươ Phươ ng ng trình động lự c họ học củ của vậ vật rắ rắn quay quanh trụ trục cố cố định: động lự định: Xét vật r ắn quay quanh tr ục cố định ∆ vớ i vận tốc góc ω. Theo (2.57) ta có mômen động lượ ng ng của vật r ắn là: →

L=

∫d

→ 

=

vaät raén

Vớ i: i:

I∆ =

∫ dI =

vaät raén

→

→

∫ dI ω = ω ∫ dI = I

vaät raén

→

∆

ω

(3.40)

vaät raén

2 r ∫ dm

(3.41)

vaät raén

là mômen quán tính của vật r ắn đối vớ i tr ục quay ∆. Chiếu (3.40) lên tr ục ∆, ta có: Suy ra:

L∆ = I∆ω

(3.42)

dL ∆ d(I ∆ ω) dω = = I∆ = I ∆β dt dt dt

Chiếu (3.39) lên tr ục ∆ và k ết hợ p (3.43), ta có:

I ∆β = M ∆

(3.43) (3.44)

(3.44) là phươ ng ng trình động lực học của vật r ắn quay quanh tr ục ∆ c ố định. Trong đó: β là gia tốc góc; M∆ là tổng đại số các mômen ngoại lực đối vớ i tr ục quay ∆; I∆ là mômen quán tính của vật r ắn đối vớ i tr ục ∆. Về hình thức, (3.44) giống như phươ ng ng trình cơ bản (2.6) của động l ực học ch ất điểm, trong đó, mômen quán tính I đóng vai trò giống như khối lượ ng ng m. Vì khối lượ ng ng đặc tr ưng cho mức quán tính nên mômen quán tính cũng đặc tr ư ưng ng cho mứ c quán tính trong chuyể n động quay. Do đó, ngườ i ta còn gọi mômen quán tính I là quán tính quay.

Để giải đượ c (3.44), ta cần tính đượ c mômen của các ngoại lực và mômen quán tính đối vớ i tr ục ∆.

93

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng 3 – Tính mômen lự lự c đối vớ i trụ trục : đối vớ

→

Để tìm hiểu rõ tác dụng làm quay vật r ắn quanh tr ục ∆ của ngoại lực F , ta →

phân tích F thành các thành phần (xem hình 3.11): →

→

→

→

→

→

F = F // + F ⊥ = F // + Fn + Ft

•

•

(3.45)

→

Thành phần F// có phươ ng ng song song vớ i tr ục ∆, nên có tác dụng làm vật r ắn tr ượ ượ t theo tr ục ∆. Thành phần này sẽ đượ c cân bằng bở i phản lực của tr ục ∆. →

Thành phần F ⊥ nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục quay, lại đượ c phân tích →

→

thành hai thành phần: Fn và Ft .

•

•

→

Thành phần Fn nằm trên pháp tuyến qũi đạo của điểm M, có tác dụng kéo vật chuyển động vuông góc vớ i tr ục ∆. Thành phần này cũng đượ c cân bằng bở i phản lực của tr ục quay ∆.

→

F//

→

F

→

ω →

→

Thành phần Ft hướ ng ng theo tiế p tuyến qũi đạo của điểm M, chính thành phần này mớ i thực sự làm vật r ắn quay quanh tr ục ∆.

Vậy, chỉ có thành phần tiế p tuyế n của l ự ự c mớ i thự c sự gây ra tác d ụng làm quay vật r ắ ắ n.

Ft

ω M

→

F⊥

→

Fn Hình 3.11: Chỉ có có thành phần tiế p tuyế n của l ự ực mớ i gây ra tác d ụng làm quay vật.

→

Suy ra mômen của ngoại lực F đối vớ i tr ục quay ∆ (gọi tắt là mômen quay) là: →

→

→

M ∆ = R x F t ⇒ M ∆ = Ft .R = F⊥ .d = F⊥ .R sin θ

(3.46)

vớ i R là bán kính qu ĩ đạo của điểm M (điểm đặt của ngoại lực); d = Rsin θ là cánh tay →

→

đòn; θ là góc giữa R và thành phần F ⊥ (xem hình 3.12). →

Từ (3.46) suy ra, mômen quay sẽ l ớ n nhất khi lực F nằm vuông góc vớ i tr ục →

quay và vuông góc vớ i vectơ bán kính R .

94


Nếu có nhiều ngoại lực tác dụng vào vật r ắn thì tổng mômen của ngoại lực là: →

→

→

M ∆ = ∑ (R i x F ti ) ⇒ M ∆ = ∑ Ft i .R i i

(3.47)

i

Ví dụ 3.8: Lực F = 10N tác dụng vào vật

H

→

r ắn có tr ục quay cố định. Biết F nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục quay, có điểm đặt cách tr ục quay 20cm và t ạo vớ i bán kính R một góc 30o. Tính mômen quay của lực.

d R O

Giả Giải

θ

M

Hình 3.12

Mômen quay của lực là:

→

F⊥

M∆ = F.R.sinθ = 10.0,2.sin30o = 1(Nm) .

Ví dụ d ụ 3.9: Tính mômen của l ực để mở cánh cánh cửa hình chữ nhật, biết lực tác dụng vào tay nắm (núm cử a) vuông góc vớ i mặt cánh cửa, có độ lớ n 5N và tay nắm ở cách bản lề 80cm. Nếu núm cửa mà chỉ điểm đặt của lực không phải ở núm cách bản lề 50cm thì độ lớ n của lực phải là bao nhiêu để có mômen trên?

→

→

F

F’

N

O

M

Hình 3.13: Mômen làm quay cánh cử a

Giả Giải Mômen lực khi đặt tại núm cửa: Mo = F.d = 5.0,8 = 4(Nm)

Nếu điểm đặt của lực chỉ cách bản lề 50cm thì độ lớ n của lực là: F’ = Mo/d’ = 4/0,5 = 8 (N).

đối vớ 4 – Tính mômen quán tính đối vớ i trụ trục : a) Nhắc l ại các công thứ c đị nh nh nghĩ a về mômen quán tính:

Mômen quán tính đối vớ i tr ục quay ∆ của:

• Một chất điểm: I∆ = mr 2 (3.48) vớ i r là khoảng cách từ chất điểm đến tr ục quay; m là khối lượ ng ng của chất điểm. n

•

Hệ chất điểm:

I ∆ = ∑ m i r i2

(3.49)

i =1

vớ i mi là khối l ượ ng ng của chất điểm thứ i; r i là khoảng cách từ chất điểm thứ i đến tr ục ∆.

95


•

I∆ =

Vật r ắn:

2 r ∫ dm

(3.50)

vaät raén

vớ i r là khoảng cách từ yếu tố khối lượ ng ng dm đến tr ục ∆. Tùy theo phân bố của vật r ắn mà dm có thể tính theo (3.4), (3.7) hay (3.9). b) Mômen quán tính của một số v vật r ắn tr ục quay đ i qua khố i tâm G:

ng phân bố đề đồng chấ t,t, khố i l ượ ượ ng ố đều đố i vớ i

ỗng, ng, thành mỏng hay vành tròn đồng Ví dụ dụ 3.10: Tính mômen quán tính của hình tr ụ r ỗ ượ ng ố đề u đố i vớ i tr ục của nó. chấ t, t, khố i l ượ ng phân bố đề dϕ Giả Giải Chia bề mặt hình tr ụ làm nhiều phần, có dạng hình chữ nhật, mỗi phần có chiều r ộng d  = Rdϕ. Gọi σ là mật độ khối lượ ng ng phân bố trên mặt tr ụ, ta có: dm = σ dS = σ h. h.d  = σhRdϕ

⇒

2

h

3

d

dI = dm. R = σ hR dϕ R

Vì khối lượ ng ng phân bố đều nên σ = const 2π

⇒

I=

∫ dI = ∫ σ hR dϕ = σ hR ∫ dϕ 3

maët truï

⇒

3

Hình 3.14

0

maët truï

I = 2πσ hR 3 = mR 2

vớ i m = 2πσhR là khối lượ ng ng hình tr ụ. Làm tươ ng ng tự đối vớ i vành tròn (tr ục quay là tr ục của vành tròn), ta cũng có: I = mR 2.

dr

Vậy: Mômen quán tính đối vớ i tr ục của hình tr ụ r ỗng, hay vành tròn đồng chất, khối lượ ng ng phân bố đều là: I = mR 2

(3.50)

vớ i m và R là khối lượ ng ng và bán kính hình tr ụ, hay vành tròn.

h

Ví dụ 3.11: Tính mômen quán tính của khố i tr ụ đặc hay đ iã iã tròn đồng chấ t, t, khố i l ượ ng phân bố đề ượ ng ố đề u đố i vớ i tr ục của nó. Giả Giải Chia khối tr ụ đặc thành nhiều lớ p mỏng, có bề dày dr. Mỗi lớ p đượ c coi như môt hình tr ụ r ỗng, nên có mômen quán tính là: dI = dm.r 2 = ρdV.r 2

dr r

vớ i ρ là khối lượ ng ng riêng của khối tr ụ. Mà dV = dS.h = [π(r + dr)2 - πr 2 ].h ≈ 2πhrdr

Hình 3.15

96


dI = 2πρhr 3 dr

⇒

R

⇒ I=

1 1 3 4 2 = πρ = πρ = dI 2 h r dr hR mR ∫ ∫0 2 2 toaøn khoái truï

Tươ ng ng tự, đối vớ i đĩ a tròn ta cũng thu đượ c k ết quả trên.

Vậy: Mômen quán tính đối vớ i tr ục đối xứng của khối tr ụ đặc hay điã tròn đồng chất,

1 mR 2 2

khối lượ ng ng phân bố đều là: I =

(3.51)

vớ i m và R là khối lượ ng ng và bán kính của khối tr ụ hay đĩ a tròn.

Ví dụ 3.12: Tính mômen quán tính của ượ ng ố đề u thanh đồng chấ t, t, khố i l ượ ng m phân bố đề theo chiề u dài  của thanh, đố i vớ i tr ục ∆ vuông góc vớ i thanh. Giả Giải

dx O

− x 2



Chia chiều dài thanh thành các phần 2 tử nhỏ có bề dày dx. Khối lượ ng ng của mỗi Hình 3.16 phần đó là dm = λ dx , vớ i λ là mật độ khối lượ ng ng phân bố theo chiều dài của thanh. Vì khối lượ ng ng phân bố đều nên λ = const. Ta có dI = dm.x2 = λ dx.x2 = λ x2 dx 

2

⇒

2 dI x = λ ∫ ∫ dx =

I =

toaøn thanh

−



1 3 1 λ = m 2 12 12

(3.52)

2

vớ i m = λ  là khối lượ ng ng của thanh;  là chiều dài của thanh.

Ví dụ 3.13: Tính mômen quán tính của khố i cầu đặc, đồng chấ t,t, khố i l ượ ượ ng ng phân bố đề u đố i vớ i tr ục quay chứ a đườ ng ng kính. z

Giả Giải Mômen quán tính đối vớ i tr ục Oz (hình 3.17):

Iz =

∫ dI = ∫

khoái caàu

khoái caàu

2 z

r dm =

∫ (x

2

z

r

2

+ y )dm O

khoái caàu

2 2 ( y z )dm ; + ∫

khoái caàu

Iy =

2 2 ( z x )dm . + ∫

khoái caàu

y

x

Tươ ng ng tự đối vớ i tr ục Ox, Oy ta cũng có:

Ix =

M

x

Hình 3.17

y

97

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng Do tính đối xứng cầu nên Ix = Iy = Iz = I =

⇒ I =

Ix + Iy + Iz 3

2 2 2 2 2 ( x y z ) dm r 2ρdV + + = ∫ ∫ 3 khoái caàu 3 khoái caàu

Mà thể tích hình cầu là V =

4 3 πr ⇒ 3

dV = 4πr 2 dr

R 2 8 8πρ 5 2 2 2 4 2 ⇒ I= r 4 r dr r dr R mR = ρ π = πρ = ∫ ∫ 3 khoái caàu 3 0 15 5

vớ i R, m = ρV =

(3.53)

4 3 πR ρ là bán kính, khối lượ ng ng của khối cầu. 3

Ví dụ 3.14: Tính mômen quán tính của khố i cầu r ỗ ỗng, ng, thành mỏng đồng chấ t,t, khố i ượ ng ố đề u đố i vớ i tr ục quay chứ a đườ ng l ượ ng phân bố đề ng kính. Giả Giải Xét điểm M trên mặt cầu, ta có: x2 + y2 + z2 = R 2 = const . Làm tươ ng ng tự ví dụ 6, ta cũng có: I =

2 2 2 2 2 2 2 2 ( x y z ) dm R dm mR + + = = 3 maët∫caàu 3 maët∫caàu 3

(3.54)

c) Đị nh nh lí Huygens – Steiner:

Các công thức (3.50) đến (3.54) chỉ cho phép tính mômen quán tính của vật r ắn đối vớ i tr ục quay ∆G đi qua khối tâm G. Trong tr ườ ng h ợ p, tr ục ∆ không đi qua G ườ ng nhưng song song vớ i ∆G, ta có thể vận dụng định lí Huygens – Steiner để tính: I∆ = IG + md2

(3.55)

vớ i m là khối lượ ng ng của vật r ắn và d là khoảng cách giữa hai tr ục quay ∆ và ∆G. Chứ ng ng minh:

Xét một yếu tố khối lượ ng ng dm, các tr ục ∆G một đoạn x và cách tr ục ∆ một khoảng (x + d) (xem hình minh họa 3.18). Mômen quán tính của vật r ắn đối vớ i tr ục ∆G là: I G = x 2 dm và đối vớ i tr ục ∆ là:

∫

∆G

∆ d

x

dm x

O

VR

I = ∫ ( x + d) 2 dm = ∫ ( x 2 + 2dx + d 2 )dm VR

VR

⇒ I = ∫ x 2 dm + 2d ∫ xdm + ∫ d 2 dm (*) VR

VR

VR

Hình 3.18: Chứ ng ng minh định lí Huygens - Steiner

98


Số hạng thứ nhất ở v vế phải của (*) chính là mômen quán tính đối vớ i tr ục ∆G; số hạng thứ hai luôn triệt tiêu, vì hàm dướ i dấu tích phân là hàm l ẻ theo x và miền tính tích phân đối xứng quanh tr ục ∆G của v ật r ắn (nói cách khác nếu có yếu tố dm ở tọa độ x thì tồn tại yếu tố dm ở t tọa độ (– x) nên tích phân thứ hai bằng không); Số hạng thứ ba chính là md2. Vậy: I∆ = IG + md2 (đ pcm).

Ví dụ 3.15: Tính mômen quán tính của thanh đồng chất đối vớ i tr ục quay đi qua một đầu và vuông góc vớ i thanh. Giả Giải Ap dụng định lí Huygen – steiner: I∆ = IG + md2 =

1 1  m 2 + m( ) 2 = m 2 12 2 3

(3.56)

§ 3.5 PHƯƠ PHƯƠ NG NG PHÁP GIẢ GIẢI BÀI TOÁN LỰ C HỌ HỌC VẬ VẬT R ẮN ĐỘNG LỰ ĐỘNG T ươ ng t ự như Độ m, trong Động Lự c H ọc vật r ắ ươ ng ự nh Động Lự c H ọc chấ t đ iể m, ắ n cũng có hai d ạng bài toán: thuận và nghịch. Bài toán cho bi ế t các l ự c , tìm gia t ố ực, ố c – g ọi là bài toán thuận; bài toán cho gi a t ố c , mômen l ự ốc tìm các l ự ực, ự c – g ọi là bài toán nghịch. ự sau: Phươ ng ng pháp giải các d ạng bài toán này đề u tuân theo trình t ự sau:

1 – Các bướ bướ c: c:

• •

Bướ c 1: Bướ c 2:

Phân tích các lực tác dụng lên vật r ắn. Viết cc phươ ng ng trình động lực học:

ng trình động tịnh tiến v phươ ng có).

∑M

∆

→

→

∑F = ma

(1) cho chuyển

= I ∆ .β (2) cho chuyển động quay (nếu

•

Bướ c 3: Chiếu phươ ng ng trình (1) lên các tr ục toạ độ cần thiết.

•

Bướ c 4: Giải hệ phươ ng ng trình và biện luận k ết quả.

Chú ý: - Khi chiếu một vectơ lên lên tr ục toạ độ, nếu vectơ đ ơ đó đã xác định thì hình chiếu của nó sẽ có dấu xác định tùy theo nó theo chiều dươ ng ng hay âm của tr ục toạ độ. Nếu ơ đó chưa xác định (thườ ng vectơ đ ng là vectơ gia gia tốc và các lực liên k ết) thì hình chiếu của nó sẽ có giá tr ị đại số. - Khi tính tổng các mômen lực, cần chọn một chiều quay dươ ng ng (thườ ng ng là chiều quay của vật, hoặc chiều kim đồng hồ). Nếu lực nào làm vật quay theo chiều đó thì mômen của nó sẽ dươ ng; ng; trái lại là mômen âm.

99

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng 2 – Các ví dụ dụ mẫ mẫu:

Ví dụ 3.16: Một bánh xe (coi như hình tr ụ đặc đồng nhất), bán kính R bắt đầu lăn không tr ượ ng ngang ượ t từ đỉnh một cái dốc có độ cao h, nghiêng một góc α so v ớ i phươ ng xuống chân dốc. Bỏ qua ma sát cản lăn. Tính gia tốc và vận tốc của khối tâm bánh xe chân dốc. ở chân Giải Bướ c 1: Lực tác dụng lên bánh xe gồm: →

- Tr ọng lực P (có giá qua khối tâm G); →

- Phản lực pháp tuyến N (có giá qua khối tâm G); →

- Lực ma sát nghỉ f msn (tiế p tuyến vớ i mặt tiế p xúc). →

→

ếu hoàn toàn không có ma sát, bánh xe s ẽ tr ượ t mà không quay, vì P và N Chú ý: N ế tr ượ đề u có giá qua G nên không t ạo mômen quay. Do đ ó ph ải có ma sát nghỉ t ạo mômen quay. Lự c này đ óng óng vai trò là l ự ực phát động, không phải l ự ự c cản (bỏ qua ma sát cản l ăn). Để hi hiể u rõ thêm về l l ự ự c ma sát trong chuyể n động l ăn, xin đọc § 3.6. Bướ c 2:

Chuyển động của bánh xe bao gồm hai chuyển động đồng thờ i: i: Tịnh tiến của khối tâm G và quay quanh tr ục đi qua G, nên ta có hai phươ ng ng trình: →

→

→

→

Áp dụng (3.5 (3.544), ta có: N + P + f msn = m a

(1) (1)

Áp dụng (3.56), ta có: f msn msn.R = I.β

(2)

Chú ý: chỉ có lực ma sát là tạo mômen quay, còn các lực khác đi qua khối tâm G nên không tạo mômen quay. →

→

N

f msn

→

h

P

α Hình 3.19

→

v

100


Bướ c 3:

Chiếu (1) lên phươ ng ng mặt phẳng nghiêng, chiều dươ ng ng hướ ng ng xuống chân dốc, ta có: Psinα - f msn (3) msn = ma

Do lăn không tr ượ ượ t nên a = at = β.R ⇒ β = a/R

(4)

Bướ c 4: Thay (4) vào (2) và k ết hợ p (3), ta có gia tốc của khối tâm bánh xe là:

a=g

m sin α m sin α 2 =g = g sin α I 1 m+ 2 m+ m 3 2 R

(3.57)

Tớ i chân dốc, khối tâm G của bánh xe còn cách m ặt đườ ng ng một đọan R, nên quãng ng mà khối tâm đã đi là: s = (h – R)/sinα. Vậy vận tốc của G ở chân chân dốc là: đườ ng

v = 2as = 2a

h − R 4g(h − R ) = sin α 3

(3.58)

Ví dụ dụ 3.17: Một động cơ đ ơ điện khở i động nhanh dần đều trong thờ i gian 3 giây, và đạt vận t ốc ổn định là 720 vòng/phút. Coi rotor có dạng hình tr ụ đặc đồng nhất, bán kính R = 10cm, khối lượ ng ng m = 5 kg và coi lực từ có phươ ng ng tiế p xúc vớ i bề mặt rotor, hãy tính mômen khở i động của lực từ và độ lớ n của lực từ. Bỏ qua mômen cản ở tr ục rotor. Giả Giải →

→

Lực tác dụng lên rotor gồm tr ọng lực P ,

F

→

→

phản lực pháp tuyến N của vòng đỡ , lực từ F →

(khi quấn động cơ , ngườ i ta tính toán sao cho F có phươ ng ng tiế p tuyến để tạo mômen lớ n nhất). Dễ thấy →

→

N cân bằng vớ i tr ọng lực P và chỉ có lực từ tạo mômen làm quay động cơ . Mômen khở i động của lực từ:

Hình 3.20

ω − ωo t 1 1 I = mR 2 = .6.0,12 = 0,03kgm2 ; ωo = 0 rad/s; ω = 720 vòng/phút = 24 π 2 2

M∆ = I.β = I Vớ i

rad/s thì mômen lực là: M∆ = 0,03.24π/3 = 0,72π ≈ 2,26 Nm.

M ∆ 2,26 Độ lớ n của lực từ: M∆ = F.R ⇒ F = = = 22,6 N . R 0,1 Ví dụ 3.18: Cho cơ hệ như hình 3.21. Khối lượ ng ng vật A, con lăn B và ròng r ọc C là m1, m2 và mo. Bán kính ròng r ọc là r, bán kính con lăn là R. Mômen cản ở tr ục ròng r ọc là Mc, hệ số ma sát lăn giữa con lăn và mặt bàn là µ’ (có thứ nguyên là mét). Bỏ

101


qua mômen cản ở tr tr ục con lăn, coi dây không giãn và không tr ượ ượ t trên ròng r ọc. Tính gia tốc của vật A. Giả Giải Phân tích lực: B • Lực tác dụng lên vật A gồm: tr ọng lực →

C

→

P1 , lực căng dây T1 •

Lực tác dụng lên con lăn B gồm: tr ọng →

→

lực P2 , phản lực pháp tuyến N 2 , lực

H 3.21

→

→

A

căng dây T2 , lực ma sát F ms .

•

→

Lực tác dụng lên ròng r ọc C gồm: tr ọng lực P0 , phản lực liên k ết của tr ục →

→

→

quay R , lực căng dây T3 , T4 . Viết các phươ ng ng trình động lực học cho A, B, C: →

→

→

P1 + T1 = m1 a 1

A:

→

B:

và: C:

→

→

(1)

→

→

P2 + N 2 + T2 + F ms = m 2 a 2

(2)

∑M ∑M

/G

= I 2β 2

(3)

/G

= I 0β 0

(4)

→

N 2

→

R

B →

F ms

→

T2

→

T3

C

O x

→

T4 →

P0 A

→

P2

→

T1

y

H 3.22 →

P1 Chiếu (1) lên Ox ⇒ P1 – T1 = m1a1

(5)

102


Chiếu (2) lên Ox ⇒ T2 – Fms = m2a2

(6)

Chiếu (2) lên Oy ⇒ P2 – N2 = 0

(7)

Chọn chiều quay dươ ng ng là chiều kim đồng hồ.

•

→

→

Đối vớ i con lăn B, các lực P2 và T2 không gây ra mômen quay, vì giá của →

→

chúng đi qua tr ục quay; chỉ có lực ma sát F ms và phản l ực pháp tuyến N 2 là gây ra mômen quay. Mômen của l ực ma sát là mômen phát động làm con lăn quay theo chiều kim đồng hồ: Mms = Fms.R ; còn mômen của phản lực pháp tuyến là mômen cản lăn (xem § 3.6): M N = – µ’.N2. Do đó (3) tr ở thành: ở thành: Fms.R – µ’.N2 = I2.β

•

(8)

Tươ ng ng tự đối vớ i ròng r ọc C, (4) tr ở ở thành: thành: T4 .r – T3 .r – Mc = I0.β0

(9)

Ngoài ra ta có các điều kiện: - Dây không giãn ⇒ a1 = a2 = a

(10)

- Dây không khối lượ ng ng ⇒ T1 = T4 = T; T2 = T3 = T’

(11)

- Dây không tr ượ ượ t trên ròng r ọc ⇒ a = at = β0. r = β2.R

(12)

Giải hệ phươ ng ng trình: thay (10), (11), (12) vào (5), (6), (7), (8), (9), ta có: (5) ⇒ m1g – T = m1a

(5’)

(6) ⇒ T’ – Fms = m2a

(6’)

a 1 µ' m2g = I2 2 = m2a R R 2 M I a 1 (9) ⇒ T – T’ − c = 0 . = m 0 a r r r 2 (8) ⇒ Fms −

(8’) (9’)

Cộng vế vớ i vế các phươ ng ng trình (5’), (6’), (8’) và (9’), ta thu đượ c gia tốc của vật:

M µ' m2 − c R gr a=g 3 1 m1 + m 2 + m o 2 2 m1 −

(3.59)

3 – Con lắ lắc vậ vật lý: Con l ắ ng m, có thể quay quay quanh tr ục cố đị ắc vật lý là một vật r ắ ắ n khố i l ượ ượ ng ố định, nằ m ngang .

Gọi G là khối tâm của con lắc, d là khoảng cách từ G đến tr ục quay O; θ là góc lượ ng ng giác tạo bở i phươ ng ng thẳng đứng và đườ ng ng OG. Bỏ qua ma sát thì lực tác

103


→

dụng lên con lắc g ồm tr ọng l ực P (có điểm đặt tại khối tâm) và phản lực R của tr t r ục quay (có điểm đặt tại tr ục quay). Suy ra, chỉ có tr ọng lực gây ra mômen quay, còn phản lực không tạo mômen quay (vì có giá đi qua tr ục quay). Phươ ng ng trình chuyển động quay của con lắc quanh tr ục O là:

d 2θ I 2 = M → = −P sin θ.d = − mg sin θ.d P/ O dt

(3.60)

vớ i I là momen quán tính của con lắc đối vớ i tr ục quay; d là khoảng cách từ khối tâm G đến tr ục quay; chiều quay dươ ng ng là chiều ng ượ c kim đồng hồ . Xét tr ườ ng hợ p con lắc dao động vớ i biên độ góc ườ ng θo nhỏ thì sinθ ≈ θ. (3.60) tr ở ở thành: thành:

θ

d 2θ mgd d 2θ 2 hay: + θ = . 0 + ω o θ = 0 (3.61) 2 2 dt dt I Vớ i ωo2 =

G

mgd . (3.61) là phươ ng ng trình vi phân I

của con lắc vật lý. Nghiệm của phươ ng ng trình này có dạng: θ = θosin(ωot + ϕ). (3.62) o

Vậy, vớ i biên độ góc nhỏ (θo < 10 ), dao động của con lắc vật lý là dao động điều hoà tự do, có :

•

Tần số góc riêng:

ωo =

•

Chu kì riêng:

To =

→

P

Hình 3.23: Con l ắ ắ c vật lý

mgd I

(3.63)

2π I = 2π mgd ωo

(3.64)

ườ ng Tr ườ ng hợ p đặc biệt, vật r ắn là một chất điểm đặt tại G, khi đó I = md2 và ta có:

To = 2π

d g

hay To = 2π



g

(3.65)

con lắc vật lý tr ở thành con lắc toán học (con lắc đơ n) n) có chiều dài  = d. ở thành Nếu một con lắc đơ n và một con lắc v ật lý có cùng chu kì thì ta nói chúng là hai con lắc đồng bộ.

104


ĐỘNG § 33.6 .6 MA SÁT TRONG CHUYỂ CHUYỂN ĐỘ NG LĂ LĂN CỦ CỦA VẬ VẬT R ẮN Trong sinh hoạt hàng ngày, ta thườ ng ng g ặ p chuyể n động l ăn của các vật hình ằ ng, ất nhanh mà tr ụ trên mặt phẳ ng ng ngang. Ta cũng thấ y r ằ ng, có lúc bánh xe quay r ấ ượ t mà không l ăn; hoặc vừ a l ăn, không tiế n lên đượ c (xe bị lún sình); hoặc bánh xe tr ượ vừ a tr ượ ng trên là do ma sát. Bài này cung c ấ p ượ t,t, …. Nguyên nhân của các hiện t ượ ượ ng thêm thông tin về đặ ề đặc đ iể m của ma sát l ăn; vai trò của ma sát trong các chuyể n động ượ t của các vật r ắ ắ n có d ạng hình tr ụ. Nói chung, ma sát trong chuyể n l ăn không tr ượ động l ăn r ấ ấ t phứ c t ạ p. Có lúc ma sát đ óng ự c phát động, như ng óng vai trò là l ự ng cũng có ở chuy lúc l ại c ản tr ở chuyể n động. Sau đ ây ây chúng ta kh ảo sát ảnh hưở ng ng c ủa ma sát đố i v ớ i chuyể n động l ăn của khố i tr ụ trong các tr ườ ng hợ p cụ thể . ườ ng

1 – Trườ Trườ ng ng hợ p 1: ở th khối trụ trụ có chuyể chuyển động tiến vớ i vận ở thờ ờ i điểm to = 0, khố động tịnh tiế →

t ốc v o : →

Nếu giữa mặt ngang và khối tr ụ hoàn toàn không có ma sát thì phản lực N và →

tr ọng lực P triệt tiêu nhau (hình 3.24). Do đó khối tr ụ →

→

tr ượ ượ t theo quán tính vớ i vận tốc v o không đổi (điểm

N

→

tiế p xúc A cũng tr ượ ượ t vớ i vận tốc v o , vì không có lực tạo mômen quay). Thực tế luôn có ma sát tác dụng lên khối tr ụ và lực ma sát có hai tác d ụng (hình 3.25):

→

(3.66)

• Tạo mômen làm quay vật r ắn theo phươ ng ng trình: dω (3.67) I = f ms .R dt

P

Hình 3.24 →

→

R

N

trong đó: v là vận tốc t ịnh tiến c ủa khối tâm; ω là vận tốc góc và I là mômen quán tính đối vớ i tr ục quay qua khối tâm. Lúc này, vận tốc tr ượ ượ t của điểm tiế p xúc A là: vtr = = v – ωR

O →

f ms

(3.68)

Vận tốc tịnh tiến v càng lúc càng giảm còn vận tốc góc ω càng lúc càng tăng. Do đó, sau một khoảng thờ i gian t1 thì vtr = = 0. Lúc đó điểm tiế p xúc A không còn tr ượ ượ t nữa, ta nói khối tr ụ l ăn không tr ượ ượ t t trên mặt

vo

A

ở chuy • Cản tr ở chuyển động tịnh tiến theo phươ ng ng trình:

dv m = −f ms dt

→

O

A →

P

Hình 3.25

→

vo

105

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng phẳng ngang vớ i vận tốc góc ω1 và vận tốc tịnh tiến v1 đượ c xác định như sau: t

f ms dv 1 1 m = −f ms ⇒ dv = − dt ⇒ v1 = v o − ∫ f ms dt dt m m0

(*)

t

dω R R 1 I = f ms .R ⇒ dω = f ms dt ⇒ ω1 = ωo + ∫ f ms dt dt I I 0

(**)

ượ t: Khử tích phân trong (*) và (**) r ồi k ết hợ p vớ i điều kiện lăn không tr ượ t: v1 = ω1R, ta vo ⎧ ω = ⎪ 1 I ⎪ R + ⎪ mR có: (3.69) ⎨ ⎪v 1 = v o ⎪ I 1 + ⎪⎩ mR 2 Trên lý thuyết, khối tr ụ lăn không tr ượ ượ t vớ i vận tốc góc ω1, nhưng trên thực tế, k ể từ lúc t1 tr ở ở đi, khối tr ụ lại chuyển động chậm dần và dừng lại. Điều đó chứng tỏ giữa khối tr ụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mớ i (sẽ khảo sát trong mục 3).

2 – Trườ Trườ ng ng hợ p 2: ở th khối trụ trụ có chuyể chuyển động vớ i vận tốc ở thờ ờ i điểm to = 0, khố động quay vớ góc o: Cho khối tr ụ quay quanh tr ục của nó vớ i vận tốc góc ωo r ồi đặt nhẹ xuống mặt phẳng ngang. Nếu giữa hình tr ụ và mặt phẳng ngang không có ma sát thì tổng mômen các ngo ại l ực bằng không (vì tr ọng lực và phản lực không tạo mômen quay) nên mômen động lượ ng ng đượ c bảo toàn và vật tiế p tục quay tại chỗ vớ i vận tốc góc ωo không đổi. Nếu giữa hình tr ụ và mặt phẳng ngang có ma →

ω

O →

f ms

A

Hình 3.26

sát thì tại điểm tiế p xúc A xu ất hiện lực ma sát f ms có →

khuynh hướ ng ng giữ chặt điểm A lại (hình 3.26). f ms có hai tác dụng:

• Cản tr ở ở chuy chuyển động quay theo phươ ng ng trình: I

dω = −f ms .R dt

• Kéo hình tr ụ chuyển động sang phải vớ i phươ ng ng trình: m

dv = f ms dt

Vận tốc tr ượ = ωR – v. ượ t của điểm tiế p xúc A: vtr = Vận tốc t ịnh tiến v càng lúc càng t ăng còn vận t ốc góc ω càng lúc càng giảm. Do đó, sau một khoảng thờ i gian t1 thì vtr = = 0. Lúc đó điểm tiế p xúc A không còn tr ượ ượ t nữa, ta

106


nói khối tr ụ l ăn không tr ượ trên mặt phẳng ngang vớ i vận tốc góc ω1 và v ận t ốc t ịnh ượ t t trên tiến v1 đượ c xác định như sau: t

f ms dv 1 1 m = f ms ⇒ dv = dt ⇒ v1 = ∫ f ms dt dt m m0

(*) t

dω R R 1 I = −f ms .R ⇒ dω = − f ms dt ⇒ ω1 = ωo − ∫ f ms dt (**) dt I I 0 Khử tích phân trong (*) và (**) r ồi k ết hợ p vớ i điều kiện lăn không tr ượ t: v1 = ω1R, ta ượ t: có: ⎧ω = ωo ⎪ 1 mR 2 ⎪ 1+ ⎪ I ⎨ ⎪v1 = R ωo ⎪ mR 2 1+ ⎪⎩ I

(3.70)

Trên lý thuyết, khối tr ụ lăn không tr ượ ượ t vớ i vận tốc góc ω1, nhưng trên thực tế, k ể từ ở đi, khối tr ụ lại chuyển động chậm dần và dừng lại. Điều đó chứng tỏ giữa lúc t1 tr ở khối tr ụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mớ i (sẽ khảo sát trong mục 3).

3 – Chuyể Chuyển động lăn không trượ trượ t củ của khố khối trụ trụ – ma sát lă lăn: động lă Trong các mục 1 và 2, ta thấy, sau thờ i điểm t1, muốn duy trì chuyển động của →

khối tr ụ thì phải tác dụng lực F vào khối tr ụ. Điều đó chứng tỏ giữa hình tr ụ và mặt phẳng ngang xuất hiện một lực cản mớ i.i. Nguyên nhân của l ực cản này là do khối tr ụ tiế p xúc vớ i mặt phẳng ngang không phải tại một điểm A mà cả một mặt, một cung AB. Khi khối tr ụ lăn sang phải, tr ọng lượ ng ng của nó hầu

→

N ω →

→

như đặt t ại B, ngh ĩ a là phản l ực N đặt t ại B, lệch ra ướ c một khoảng nhỏ µ' L so vớ i khối tâm phía tr ướ →

→

(hình 3.27). Tr ọng lực P và phản lực pháp tuyến N tạo thành một ngẫu lực, cản tr t r ở ở sự quay, do đó khối tr ụ s ẽ l ăn ch ậm d ần. Muốn cho khối tr ụ ti ế p t ục l ăn, →

ta phải tác dụng vào khối tr ụ một lực F sao cho

F

O →

f ms

B A →

Hình 3.27

P

→ →

→ →

mômen của cặ p lực ( F , f ms ) phải lớ n hơ n mômen của cặ p lực ( P , N ):

FR ≥ Nµ ' L

⇒

F ≥

µ' L N R

(3.71)

107

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng Vậy, giớ i hạn của lực F để khối tr ụ lăn đều là:

Fmin

f ms ms = Fmin =

Khi đó, lực ma sát lăn là:

µ' L = N R

(3.72)

µ' L N R

(3.73)

Trong đó: µ' L có thứ nguyên chiều dài, đượ c gọi là “hệ số ma sát lăn” (ở ch chươ ng ng 2, ta

đã kí hiệu h ệ số này là µ’L). Đặt

µ' L = µL là hư s ố (không thứ nguyên) thì ta có f msl mslăn R

ườ ng ượ t: = µL N, giống như tr ườ ng hợ p ma sát tr ượ t: f mst mst = µ N. Vì thế, đôi khi ta cũng g ọi µL là hệ số ma sát lăn. Để thống nhất cách gọi, trong giáo trình này, ta qui ướ c hệ số ma ma sát l ăn là µ ’ ’ L (có thứ nguyên là mét). 4 – Phân biệ bi ệt ma sát nghỉ nghỉ và ma sát lă lăn: Trong chuyển động l ăn c ủa kh ối tr ụ thì lực ma sát nghỉ luôn có xu hướ ng ng giữ ượ t về phía sau. Chính lực này đóng vai trò chặt điểm tiế p xúc A, ngăn không cho nó tr ượ lực phát động làm cho điểm tiế p xúc A chuyển động đi tớ i.i. Khi khối tr ụ lăn, thì xuất hiện lực ma sát lăn, cản tr ở chuyển động lăn của khối ở chuy tr ụ. Lực này gây ra mômen cản tr ở chuyển động quay của khối tr ụ. ở chuy

Để hình dung vai trò của ma sát nghỉ đối vớ i chuyển động lăn, ta xét chuyển có hệ động của bánh xe sau của xe môtô (bánh phát động). Khi nổ máy và vào số, nhờ có thống nhông, sên, đĩ a, a, nội lực làm cho bánh xe có khuynh hướ ng ng quay và điểm tiế p xúc A có khuynh hướ ng ng tr ượ ượ t v ề phía sau. Khi đó xu ất hi ện l ực ma sát nghỉ (chính là ngoại lực) có khuynh hướ ng ng giữ chặt điểm tiế p xúc A. Lực ma sát nghỉ có độ lớ n tăng ờ đó toàn bộ xe và ngườ i chuyển động. dần, cuối cùng kéo điểm tiế p xúc A đi tớ i,i, nhờ đ Khi bánh xe lăn, xuất hiện lực ma sát lăn cản tr ở chuyển động lăn. Nếu lực ma sát ở chuy nghỉ cân bằng vớ i ma sát lăn thì xe chuyển động đều. Như v ậy, trong chuyển động c ủa ôtô nói riêng và các v ật r ắn khác nói chung, lực ma sát nghỉ đóng vai trò là ngoại lực phát động. Vì lực ma sát nghỉ có giá tr ị lớ n ượ t), nhất là µ N (bằng ma sát tr ượ t), nên khi lực ma sát nghỉ đạt đến giá tr ị cực đại, dù công ơ đốt trong có tăng đến m ấy cũng không thể làm cho xe chuyển động suất của động c ơ đố nhanh hơ n đượ c! c!

Đối vớ i bánh xe tr ướ ướ c, c, lúc t = 0, nó nhận đượ c vận tốc tịnh tiến vo và điểm ượ t tớ i.i. Chính lực ma sát nghỉ đã làm cho nó có chuyển động quay. tiế p xúc bị tr ượ Vậy, trong các lực ma sát thì ma sát ngh ỉ đóng vai trò tích cực, h ữu ích trong mọi chuyển động lăn của vật.

5 – Ma sát củ của dây quấ quấn vào khố khối trụ trụ: Một dây vắt lên khối tr ụ, bán kính R, phần tiế p xúc vớ i khối tr ụ là một cung tròn α. Hệ số ma sát giữa dây và khối tr ụ là µ. Đặt vào một đầu dây một lực có độ lớ n

108


P, ta chứng minh đượ c, c, dây sẽ cân bằng nếu đặt vào đầu kia một l ực có độ lớ n Q thỏa (3.74) điều kiện: Q = P.e - µα

α

Để chứng minh (3.74), ta xét một mẩu dây chắn góc ở tâm dα. Lực tác dụng lên mẩu dây này gồm: lực →

→

R

→

→

căng dây T và T ’; lực ma sát f ms ; phản lực pháp

Q

→

tuyến N của khối tr ụ. →

Từ điều kiện cân bằng của mẩu dây, ta có: →

→

→

Hình 3.28

P

→

T + T ’+ f ms + N = 0 (*)

Chiếu (*) lên phươ ng ng tiế p tuyến vớ i mặt tr ụ: T – T’ – f ms ms = 0 Hay: dT = T’ – T = – f ms ms = – µ N

(**)

Chiếu (*) lên phươ ng ng pháp tuyến của mặt tr ụ và lưu ý T’ ≈ T, ta có:

→

→

f ms

N

N = T.dα ⇒ dT = – µTdα

→

T'

Q

dT dT = −µα ⇒ = −µdα ⇒ T P T

∫

⇒

Q ln( ) = −µα P

⇒

Q = Pe - µα (đ pcm).

→

N

→

T

→

T' dα

→

T Hình 3.29

Nếu dây quấn hơ n một vòng, Q << P.

Ví dụ 3.19: M ột ngườ i kéo chiếc sàlan và quấn nó vào một tr t r ụ trên bờ c c ảng. Nếu l ực giữ đầu dây lớ n nhất là 200N còn dòng nướ c chảy, đẩy sàlan làm căng đầu dây kia một lực 20000N. Hỏi ngườ i đó phải quấn mấy vòng dây vào tr ụ để có thể giữ đượ c sàlan? Biết hệ số ma sát giữa dây và cột tr ụ là µ = 0,5. Giả Giải Theo (3.80), ta có Q =Pe - µα

⇒ α=−

ln(Q / P) ln(200 / 20000) =− = 9,21rad ≈ 1,5 vòng. 0,5 µ

ưỡ i là có thể giữa đượ c sàlan. Vậy ngườ i đó chỉ cần quấn một vòng r ưỡ

109

ng 3: ĐỘ NG LỰ C HỌC VẬT R Ắ N Chươ ng BÀI TẬ TẬP CHƯƠ CHƯƠ NG NG 3

3.1 Tính khối lượ ng ng của một tấm ph ẳng hình tròn, bán kính R, biết r ằng mật độ khối lượ ng ng phân bố trên bề mặt giảm theo qui luật hàm mũ: σ = σ o e − k r , vớ i k, σo là các hệ số dươ ng; ng; r là khoảng cách từ tâm đĩ a đến điểm khảo sát. Á p d ụng số : σo = 2 5kg/m ; k = 10g/cm; R = 50cm. 3.2 Khối bán cầu bán kính R, có mật độ kh ối l ượ ng ng t ăng tuyến tính theo chiều cao: ρ = ah + b, vớ i a, b là các hằng số; h là khoảng cách từ mặt đáy bán cầu đến điểm khảo sát. Tính khối lượ ng ng của khối bán cầu. Áp dụng số: R = 50cm; a = 20000 4 kg/m ; b = 0. 3.3 Một thùng đựng r ượ ượ u thành mỏng, có dạng Elíp tròn xoay quanh tr ục lớ n 2a, nhưng bị cắt bỏ ở hai hai đầu sao cho khoảng cách từ tâm đến hai mặt đáy bằng bán ượ u mà thùng có thể tr ục nhỏ b của Elíp. Tính dung tích của thùng và khối lượ ng ng r ượ chứa, biết khối lượ ng ng riêng của r ượ ượ u là ρ. Áp dụng số: a = 0,8m; b = 0,5m; ρ = 3 800kg/m . 3.4 Quan sát chuyển động quay của các quạt tr ần hoặc quạt bàn, ta thấy có cái quay r ất “êm”, nhưng có cái lắc r ất mạnh. Hãy tìm ra nguyên nhân và đưa ra hướ ng ng khắc phục. 3.5 Xác định khối tâm của hệ ba chất điểm có khối lượ ng ng lần lượ t là: m, 2m, 2m đặt tại ba đỉnh A, B, C của tam giác đều, cạnh a. Cần phải tăng hay giảm kh ối lượ ng ng của chất điểm tại đỉnh A đi bao nhiêu để khối tâm của hệ trùng vớ i trung điểm của ng cao AH? đườ ng c 3.6 Xác định khối tâm của hệ bốn chất điểm có khối lượ ng ng lần lượ t là: m, 2m, 3m, 4m đặt tại bốn đỉnh O, A, B, C của hình a vuông cạnh a. 3.7 Xác định khối tâm của các vật phẳng đồng nhất có dạng nửa hình tròn; ¼ hình tròn bán kính R.

b

3.8 Xác định khối tâm của vật phẳng đồng

x 2 y2 nhất có dạng nửa elíp: 2 + 2 = 1 ; vớ i a b

a là bán tr ục lớ n, n, b là bán tr ục nhỏ. Xét hai tr ườ ng hợ p: a) nửa elíp có x ≥ 0; b) ườ ng nửa elíp có y ≥ 0.

a Hình 3.30

3.9 Xác định khối tâm của khối bán cầu đồng nhất, bán kính R.

3.10 Xác định khối tâm của vật phẳng đồng nhất có dạng hình tròn, bán kính R b ị khoét một lỗ cũng có dạng hình tròn, bán kính r. Biết tâm của lỗ cách tâm hình ườ ng tròn lớ n một đoạn a. Suy ra tr ườ ng hợ p r = a =

R . 2

110


3.11 Xác định khối tâm của khối cầu đồng nhất bán kính R, bị khoét một lỗ cũng có dạng hình cầu bán kính r. Biết tâm của lỗ cách tâm khối cầu lớ n một đoạn a. ườ ng Suy ra tr ườ ng hợ p r = a =

R . 2

3.12 Một thướ c dẹt đồng nhất có dạng hình chữ T (hình 3.30) Hãy xác định khối tâm của thướ c. c. Xét tr ườ ng hợ p đặc biệt c = b. ườ ng 3.13 Một vật thể đặc, đồng nhất gồm một phần hình tr ụ, chiều cao h và một bán cầu bán kính R (hình 3.31). Xác định h theo R để khối tâm của vật nằm ở

h

Hình 3.31

phần bán cầu.

3.14

D

ượ t trên Một bánh xe bán kính R lăn không tr ượ →

đườ ng ng thẳng vớ i v ận t ốc v o (hình 3.32). Hãy xác định: a) Vận tốc t ại các điểm A, B, C, D. Từ đó suy ra, muốn bánh sau xe đạ p không văng bùn đất lên ngườ i thì cái chắn bùn (dè xe) phải phủ như thế nào?

A

→

O

vo

B C

Hình 3.32

b) Qu ĩ đạ ĩ đạo, vận tốc, gia tốc của một điểm M bất kì trên vành bánh xe. c) Quãng đườ ng ng mà điểm M đi đượ c giữa 5 lần liên tiế p tiế p xúc vớ i mặt đườ ng. ng.

3.15 Một dây cuaroa truyền động, vòng qua khối tr ụ I và bánh xe II. Bán kính khối tr ụ r 1 = 30cm, bánh xe r 2 = 75cm. Bánh xe bắt đầu quay vớ i gia tốc góc 0,4πrad/s2. Hỏi sau bao lâu, khối tr ụ I sẽ quay vớ i vận tốc góc 300 vòng/phút? (dây cuaroa không tr ượ ượ t trên khối tr ụ và bánh xe).

d H 3.33

3.16 Một cái đĩ a chia thành n hình quạt đều nhau, quay chậm dần đều. Một kim chỉ thị g ắn ở ngoài, ngoài, gần mép đĩ a (giống như chiế c nón kì diệu). Hình quạt th ứ nh ất đi qua kim trong thờ i gia t1 = 4s, hình quạt thứ hai trong thờ i gian t2 = 5s; sau đó đĩ a quay thêm đượ c góc ϕ = 0,75π thì dừng lại. Tính gia tốc của đĩ a. a. ượ t trên hai thanh ray song song 3.17 Quả c ầu bán kính R = 3cm, l ăn đều, không tr ượ cách nhau d = 4cm. Sau 2s, nó đi đượ c 120cm. Xác định vận tốc của điểm cao nhất, thấ p nhất của quả cầu (hình 3.33). 3.18

Một hình tr ụ bán kính R, đặt giữa 2 tấm ván phẳng chuyển động song song →

→

vớ i vận tốc v 1 và v 2 (H 3.34). Giả sử 2 tấm ván không tr ượ ượ t đối vớ i hình tr ụ. Tính vận tốc góc của hình tr ụ và vận tốc tịnh tiến của tr ục hình tr ụ trong hai tr ườ ng hợ p: ườ ng

111


→

a) v 1 và v 2 cùng chiều. →

→

v2

→

b) v 1 và v 2 ngượ c chiều.

3.19 Trong thờ i gian đạ p một vòng bàn đạ p → thì xe đạ p đi đượ c mấy mét? Biết số r ăng v1 H 3.34 của đĩ a gấ p đôi số r ăng của líp và đườ ng ng kính lố p xe là 700mm. Suy ra muốn xe đi đượ c 10km thì phải đạ p mấy vòng? Nếu vận tốc xe là v = 20km/h thì vận tốc đạ p là bao nhiêu vòng/phút? 3.20 Chiều dài đùi pêđan (giò d ĩ a) a) xe đạ p là l à 20cm; chân ngườ i tác dụng một l ực F = 100N hướ ng ng thẳng đứng xuống dướ i.i. Tính độ l ớ n của mômen quay đối v ớ i tr ục giò d ĩ a khi giò d ĩ a làm vớ i đườ ng ng thẳng đứng một góc 30o; 60o; 90o ; 180o ? →

→

3.21 Tính mômen của các lực F1 ; F 2 đối vớ i điểm O trong hình 3.35, biết F1 = 20N; F2 = 15N; α = 150o; β = 120o; OA = 20cm; OB = 10cm. Suy ra tổng mômen làm vật r ắn quay quanh O? Vật sẽ quay theo chiều nào? →

3.22 Trong mặt phẳng Oxy, lực F = (6;8)N đặt tại điểm A(-20;50) cm. Hãy tính độ lớ n →

A O B

α β →

F2

→

F1

Hình 3.35

mômen của lực F đối vớ i gốc O.

3.23 Tính mômen quán tính của khối tr ụ r ỗng, đồng nhất đối vớ i tr t r ục của kh ối tr ụ. Biết khối tr ụ có khối lượ ng ng m, bán kính thành ngoài R 1 thành trong R 2 3.24 Tính mômen quán tính của khối hình nón đồng nhất đối vớ i tr ục quay là tr ục hình nón. Biết nó có khối lượ ng ng m, bán kính đáy là R. Tươ ng ng tự vớ i hình nón cụt, bán kính R, r. 3.25 Tính mômen quán tính của đĩ a đặc phẳng, hình tròn đồng nhất, khối l ượ ng ng m, bán kính R đối vớ i tr ục quay chứa đườ ng ng kính đĩ a và đối vớ i tr ục quay đi qua mép đĩ a, a, vuông góc mặt phẳng đĩ a. a. 3.26 Tính mômen quán tính của vành tròn, đồng nhất, khối lượ ng ng m, bán kính R đối vớ i tr ục quay chứa đườ ng ng kính vành tròn. 3.27 Một đĩ a đặc, phẳng, hình tròn, đồng nhất, bán kính R bị khoét một ph ần c ũng có dạng hình tròn, bán kính r, tâm phần khoét cách tâm đĩ a một đoạn d. Khối lượ ng ng phần còn lại là m. Tính mômen quán tính của phần còn lại đối vớ i tr ục quay : a) đi qua hai tâm của hai hình tròn; b) đi qua tâm hình tròn lớ n và vuông góc vớ i ườ ng mặt đĩ a. a. Suy ra tr ườ ng hợ p r = d = R/2. 3.28 Tính mômen quán tính của khối cầu đặc, đồng nhất, khối lượ ng ng m, bán kính R bị khoét một phần cũng có dạng hình cầu, bán kính r, đối vớ i tr ục quay đi qua hai tâm của hai hình cầu. Suy ra tr ườ ng hợ p đặc biệt r = R/2. ườ ng

112


3.29 Tính mômen quán tính của cánh cửa phẳng hình chữ nhật đồng nhất khối lượ ng ng m, chiều r ộng a, chiều dài b đối vớ i tr ục quay: a) chứa bản lề;

b) vuông góc vớ i mặt cánh cửa tại tâm hình chữ nhật.

3.30 Một tr ục khuỷu có dạng một thanh nhỏ đồng nhất, chiều dài  , khối lượ ng ng m có thể quay quanh tr ục vuộng góc vớ i thanh và đi qua một đầu của thanh. Tính mômen quán tính của tr ục khuỷu đối vớ i tr ục quay này. 3.31 Có 4 viên bi nhỏ, khối l ượ ng ng m ỗi viên là m đượ c đặt t ại 4 đỉnh của m ột hình thoi mà độ dài hai đườ ng ng chéo là 2a và 2b. Tìm kh ối tâm của hệ và tính mômen quán tính của hệ đối vớ i tr ục quay đi qua khối tâm và: a) vuông góc mặt phẳng hình thoi; b) chứa đườ ng ng chéo 2a; c) chứa đườ ng ng chéo 2b. 3.32 Có 4 viên bi nhỏ, khối lượ ng ng mỗi viên là m đượ c đặt tại 4 đỉnh của một hình vuông, cạnh a. Tính mômen quán tính của hệ đối vớ i tr ục quay: a) đi qua khối tâm và vuông góc mặt phẳng hình vuông; b) chứa đườ ng ng chéo; c) chứa một cạnh; d) đi qua một đỉnh và vuông góc v ớ i mặt phẳng hình vuông.

→

F

O r

α

R H 3.36

3.33 Một cuộn dây điện (dây đồng r ất mảnh) có bán kính hình tr ụ ngoài là R và lõi có quấn dây điện, tạo thành hình tr ụ trong có bán kính r. Cuộn dây sẽ chuyển động theo chiều nào, gia tốc của tr ục hình tr ụ là →

bao nhiêu, nếu kéo đầu dây bằng l ực F (H 3.36)? Cho biết khối lượ ng ng và mômen quán tính của cuộn dây là m và I; bỏ qua ma sát cản lăn.

3.34 Tính gia tốc c ủa v ật và lực c ăng dây quấn vào ròng r ọc trong các cơ h hệ hình 3.37; 3.38. Biết khối lượ ng ng vật và ròng r ọc là m và mo; dây nhẹ, không ượ t trên ròng r ọc; bỏ qua ma co giãn và không tr ượ sát ở tr tr ục ròng r ọc. 3.35 Tính gia tốc của các vật và lực căng các dây trong các cơ hệ hình 3.39; 3.40. Biết khối lượ ng ng các vật và ròng r ọc là m1, m2 và mo; dây nhẹ,

H 3.37

H 3.38

mo mo

m2 m

α

m2

m1 H 3. 39

H 3.40


113

không co giãn và không tr ượ ượ t trên ròng r ọc; bỏ qua ma sát ở tr ục ròng r ọc; hệ số ma sát giữa vật và mặt nghiêng là µ.

3.36 Một khối tr ụ đặc khối lượ ng ượ t trên mặt phẳng ngang dướ i tác ng m lăn không tr ượ dụng của l ực kéo đặt tại tâm như hình 3.41. Tính gia tốc của khối tr ụ, bỏ qua ma sát lăn. 3.37 Một vô lăng đang quay vớ i vận tốc góc ωo thì bị hãm bở i một lực có mômen tỉ lệ vớ i căn bậc hai của vận tốc góc của vô lăng. Tính vận tốc góc trung bình của vô lăng trong suốt thờ i gian hãm. 3.38 Bánh mài của máy mài hình đĩ a, a, khối lượ ng ng 500g, bán kính R = 20cm đang quay vớ i vận tốc 480 vòng/phút thì bị hãm đều lại. Tính mômen hãm để: a) bánh mài dừng lại sau 50 giây b) bánh mài quay thêm 100 vòng thì dừng. 3.39 Một thanh đồng chất, dài 1m, khối lượ ng ng 3 kg có thể quay quanh tr ục ∆ đi qua khối tâm và vuông góc vớ i thanh. Tác dụng vào đầu → thanh một lực F = 10N theo hướ ng ng hợ p vớ i thanh một F o

→

góc 60 ( F nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i tr ục quay), trong thờ i gian 2 giây. Tính vận tốc góc mà thanh Hình 3.41 c. đạt đượ c. 3.40 Một vô lăng hình đĩ a tròn có khối lượ ng ng m, bán kính R đang quay vớ i vận tốc góc ωo thì bị hãm và dừng lại sau t giây. Tính mômen của lực hãm.

Chuong 03 - Dong Luc Hoc Vat Ran

Recommend Documents