Chap III
Caractéristiques Caractérist iques géométriques de sections planes
Caractéristiques géométriques des sections planes
Pour le calcul des contraintes agissant sur les sections planes des éléments d’une structure et la détermination des déformations, on a besoin de connaître la valeur de diverses caractéristiques géométriques de ces sections.
1) Moment statique d’une aire plane : Par rapport aux axes Ox et Oy , l’aire A limitée par le contour c est donnée par :
∫
y
Y
∫∫
A= dA= dxdy c
dA
G
X
x les moments statiques mx et my de l’aire A par rapport au axes ox et oy ont pour valeur :
c
yG y o
∫
mx = y.dA
x xG
c
∫
my = x.dA c
Unité : le moment statique à pour dimension la troisième puissance d’une longueur, il 3
3
3
s’exprime en m , cm ou mm .
2) Centre de gravité d’une aire plane : Les distances xG et yG du centre de gravité G aux axes oy et ox de l’aire A sont définies par les relations suivantes : xG =
m y A
yG = m x A Remarque : pour une surface A composée de plusieurs surfaces Ai de centre de gravité G i (
de coordonnées x i et yi ) : n
xG =
. ∑ Ai xi ∑ Ai i =1
n
yG =
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. ∑ Ai yi ∑ Ai i =1
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les termes Ai sont les aires des parties composant la section, et les termes xi, yi sont les distances respective de leurs centre de gravité .
3) Moment d’inerti e d’une aire plane : Les moments d’inertie Ix et Iy de l’aire A par rapport aux axes xx et yy ont pour valeur : 2
Ix = ∫ y .dA 2
Iy = ∫ x .dA
Le
produit d’inertie Ixy de l’aire A par rapport aux axes xx et yy est défini par :
∫
Ixy = xy.dA Unités : Le moment d’inertie à pour dimension la quatrième puissance d’une longueur et 4
4
4
s’exprime en m ou cm ou mm .
4) Principe des axes parallèles : ( théorème de Hygènes )
Ix =
∫ ( y + d )². dA
∫
= ( y² + d ²+2dy)dA
∫
2
∫
2
∫ dA
0 IX = Ix + A.d
x
b
= y . dA + 2 d . y . dA + d
y
Y
G
y
x
2
d X Un raisonnement analogue dans l’autre direction montrerait que : IY = Iy + A.b
2
on démontre aussi que : IXY = Ixy + A.b.d
Remarque : Lorsqu’on parle de distance, il s’agit de distance perpendiculaire.
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5) Relation entre les moments d’inertie et le produit d’inertie : Soit l’aire A et le système d’axes ox et oy On
donne aussi les axes OX et OY qui font un angle θ avec les axes Ox et Oy.
xcosθ
y Y
dA
ysinθ
x ycosθ
X
y
x
θ
o
xsinθ
Les
formules de changement d’axes sont : X = x cos θ + y sin θ Y = y cos θ - x sin θ
Donc : 2
∫
2
∫
IX = Y dA= ( ycosθ − xsinθ ) .dA
∫
∫
∫
= cos²θ y²dA + sin²θ x²dA - 2sinθcosθ xydA 2
= Ix cos² θ + Iysin θ − Ixy.sin 2θ = Ix. 1+cos2θ + Iy. 1−cos2θ - Ixy.sin2θ 2 2 =
( Ix+ Iy ) + ( Ix− Iy ) .cos2θ - Ixy. sin2θ 2
∫
2
2
∫
2
IY = X dA= ( xcosθ + ysinθ ) dA 2
= Ix .sin θ + Iy.cos²θ + Ixy .sin2θ
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( Ix+ Iy ) - ( Ix− Iy ) .cos2θ + Ixy.sin2θ
=
2
2
∫
Ixy = XYd A = Ixy.cos2θ +
( Ix− Iy ) sin2θ 2
Remarque: on constate que : IX + IY = Ix ( sin² θ + cos²θ ) + Iy ( sin² θ + cos²θ)
Comme sin²θ + cos²θ = 1 On a donc:
IX + IY = Ix + Iy
6) VI- Axes principaux : Les axes principaux sont deux axes orthogonaux OX et OY qui passent par un point O d’une section et qui sont situés de façon que le produit d’inertie I XY soit égale à zéro. I x − I y Comme IXY = XYdA= I xycos2θ + sin 2θ =0 2
∫
On trouve la relation : tg2θ = 2 I xy I y − I x qui donne la valeur de l’angle θ que les axes principaux OX et OY font par rapport aux axes de référence Ox et Oy. 6-1) Moment quadratiques maximum et minimum :
On a :
IX =
( Ix+ Iy ) + ( Ix− Iy ) .cos2θ - Ixy. sin2θ
IY =
( Ix+ Iy ) - ( Ix− Iy ) .cos2θ + Ixy.sin2θ
2
2
IXY = Ixy.cos2θ +
2
2
( Ix− Iy ) sin2θ 2
On en déduit : dI X = - ( IX – IY ) sin2θ - 2IXY cos2θ = -2IXY d θ dI Y = ( IX – IY ) sin2θ + 2IXY cos2θ = 2IXY d θ Ces deux dérives, de signes contraires, s’annulent en changeant de signe pour I XY = 0, l’une des fonctions présentant un maximum et l’autre un minimum.
⇒ les axes principaux sont les deux axes pour lesquels les moments quadratiques sont respectivement maximum et minimum.
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6-2) Cercle de Mohr d’inertie :
Le cercle de Mohr permet la détermination graphique des axes principaux et des moments correspondants. On connaît Ix, Iy et Ixy pour un système d’axes privilégié. On se propose de déterminer les axes principaux et les moments quadratiques correspondants. Sur l’axe Ox on porte OH = Ix, OH’ = Iy ce qui définit M, centre du cercle de Mohr : Ixy X
Iyx
.
c
O
B
.
θ H’
A
.M
x
H
Iy Ix
Par ailleurs, on porte HC = Ixy :
•
si Ixy < 0 , HC est reporté vers le haut,
•
si Ixy > 0, HC est reporté vers le bas,
ceci afin d’obtenir la position exacte de l’axe principal par rapport à Ox. C’est un point du cercle de Mohr qui coupe Ox en A et B. En définitive : ( Ox , OX ) = θ, OA = IX, OB = IY Remarque: dans le cas d’une section avec un axe de symétrie , cet axe est un axe principal
d’inertie, l’autre lui est perpendiculaire. Exemples :
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7) Rayon de giration : Le rayon de giration « r » est une caractéristique géométrique d’une section qui est utilisée dans la détermination de l’élancement d’un élément de structure soumis à un effort de compression ( poteau ). Il est donné par la relation: 2 r = I A
ou
r=
I A
Si l’on considère les axes xx et yy on aura: I y rx = I x ; ry = A A
VIII- Moment d’inertie polaire : Le
moment d’inertie polaire de l’aire A par rapport à un axe perpendiculaire au plan de
l’aire, passant par le point O est défini par l’intégrale :
∫
I 0 = r 2.dA
y
x r
dA
y
x
O
2
2
2
Si l’on considère l’axe xx et yy passant par o, r = x + y d’où
∫
2
∫
2
∫
2
I = r dA= y dA+ x dA= I x+ I y 0
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⇒ Le moment polaire est invariant par changement de repère. 1) Exercice d’applications : IX-1) cas d’un rectangle Soit le rectangle de la figure ci-contre :
y
Y
x
dx
dy h/2
y
X
G .
h/2
x b/2
b/2
Déterminer ces caractéristiques géométriques ; a) Surface :
∫
b
∫∫
h
∫ ∫
A= dA= dxdy = dx dy = b.h c
0
0
ou bien h
∫
A= b.dy =bh
dA = b.dy
0
b) Position de G : b
∫
∫
mx = b.h² 2
mx = y.dA= y.b.dy 0 h
∫
my = b².h 2
∫
my = x.dA= x.h.dx 0
my h.b² / 2 = A h. b
xG = b/2
yG = mx = h².b / 2 A h.b
yG = h/2
xG =
c) Moment d’inertie : h / 2
Ix =
h / 2
∫ y².dA= ∫b y. ².dy
− h / 2
Ix =
− h / 2
b .h
3
12
or d’après le théorème de Hyghèns : 3
Ix = IX + A.(h/2)²
Ix = b.h / 3
De même on trouve que :
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b / 2
∫
Iy =
b / 2
∫
x².dA=
−b / 2
b x . ².dx
Iy =
−b / 2
b
b
3
.h
12
h
Ixy = xy.dA= x.dx. y.dy → Ixy= b².h² 4 0 0
∫
∫
∫
IX-2 ) cas d’un triangle :
y
YG
yG
h
XG dy
G
θ
xG
x
y o
x b
a)surface :
∫
A = dA
avec dA = x.d y
x = b h ( − y ) h
Or
→ x=
b.(h− y ) h
h
A =
∫
k
0
(h− y )2 b(h− y ) dy = b − h h 2 o
⇒
A = bh 2
b)centre de gravité :
∫
mx = ydA =
h
∫ 0
b (h − y ) y . d y → h
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bh mx = 6
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2
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b
∫
my = xdA =
∫
h (b − x ) x .d x → b
0
d’où
hb my = 6
2
m y xG = = A
hb² 6 bh 2
→
xG = b/2
yG = m x = A
h²b 6 bh 2
→
yG = b/2
c) moment d’inertie : 3
h
∫
2
∫
2
∫
2
b
2
Ix = y dA = y b (h − y )d y h 0
→
bh Ix = 12
→
bh Iy = 12
→
Iyx = b²h² 24
3
∫
Iy = x dA = x h (b − x )dx b 0
∫
Iyx = xydA d)Axes principaux en O : 2
−2 I yx = tg 2 α = I x− I y
−12*2b h
2
=
−bh
h 2−b 2 − bh hb 24 3
3
e)Axes principaux en G :
−2 IyG xG = −2 bh 2 tg 2θ = IxG − IyG h −b
avec : 3
IxG = Ix-(yG)2.S =
bh 36
3
hb IyG = 36
2
b h IxGyG = Ixy – y G.xG.S = − 72
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2
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IX-3 ) cas d’un cercle :
(coordonnées polaires)
y
r
dA dθ
dρ ρ
y = ρ.sinθ
x
O
a) surface : L’élément hachuré est approximativement un rectangle et
sa surface à pour expression :
dA = ρ . d θ . d ρ A= =
∫∫ ρ .d θ .d ρ r
2π
0
0
∫ ρ .d ρ ∫d θ ⇒ A = π .d ²
= 1 ⋅r ²⋅2π 2
4
b) moment d’inertie :
∫
2
y dA
Ix =
Comme : y = ρ sin . θ et dA= ρ .d θ ..d ρ 2π
Ix =
∫ ∫ 0
2
r
2
ρ sin θ . ρ .d θ .d ρ
0
r 2 π
4 2 = 1 ρ . ∫ sin θ d θ 4 o 0
4
π r ⇒ Ix = 4
pour D=2r →
π D Ix =Iy= 64
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4
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c) axes principaux : il s’agit d’une section qui présente plusieurs axes de symétrie, dont les axes Ox et Oy : sont deux axes principaux d’inertie. IX-4) Section en L : Déterminer les caractéristiques géométrique de la section en L, représentée ci-après :
y Y
yG
1
X
θ
150 G1
G
xG
G2
2
10
x
100 mm
a) détermination de la position du centre de gravité G : xG =
my = A
∑ Aixi A
150×10×75+(90×10×55) (90×10)+(150×10)
xG =
⇒ xG = 23.75 mm yG =
∑ AiYi A
⇒ yG = 48.75 mm b) détermination des moments d’inertie IxG, IyG et du produit d’inertie IxyG IxG = Ix+ yG2 .A= (IxG1+ yG2 1. A1)+( IxG2 + y²G2. A . 2)
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IxG
10×150 3 90×10 3 2 2 = +(75−48.75) .(150×10) + +(48.75−5) .90×10 12 12
=
3846093,75
+
1730156,25
⇒ IxG = 5,576.106mm4
3
IyG =
[
3
2 2 10×150 10×50 +18,75 ×(10×150) ] + [ +31,25 ×(10×90) ] 12 12
⇒ IyG = 2,026.10 6mm4 IxyG = Ixy + x GyG.A = (-18,75).(26,25).(150x10).(90x10) x 31,25 x (-43,75)
⇒ IxyG = -1,968.10 6mm4 c) détermination de l’angle θ qui situe les axes principaux Y, X passant par G. On a: tg2 θ =
2 IxyG IyG− IxG 6
tg2 θ =
−2*1,968.10
(2,026−5,576)10
6
⇒ tg2 θ = +1,109
d’où 2 θ = 48° et θ = 24°
d) Calcul des moments d’inertie par rapport aux axes principaux : 2
2
Ix = IxG cos θ + IyG sin θ - Ixy sin2 θ 2
2
Ix= 5,576.cos (24)+2,026 sin (24)+1,968 sin (48)
⇒ Ix = 6,45.106mm4 2 2 2 IY= Ixsin θ +Iy cos θ +Iysin θ
⇒ IY = 1,151.10 6mm4 Par ailleurs
6
4
Ix + Iy = 7,601.10 mm Et
par conséquent IX+IY=IxG+ IyG 6
4
IxG + IyG = 7,601.10 mm
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Commentaire :
On constate que par rapport aux axes principaux GX et GY, la valeur du moment d’inertie
IX est un maximum et celle de IY est un minimum. On distingue généralement les axes principaux GX et GY comme l’axe fort et l’axe faible de l’aire. Pour les pièces fléchies, il est donc préférable que l’axe fort de l’aire d’une section soit un axe de symétrie passant par son centre de gravité et qu’il soit perpendiculaire au plan de flexion pour que la valeur du moment d’inertie soit faible.
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