INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO “MAX PLANCK”
CEPREMAX ¡¡¡Preparación de primer nivel!!! Principales Sistemas de Numeración
NUMERACIÓN Numeración. Parte de la aritmética que estudia la correcta formación, lectura y escritura de los números.
NOMBRE DEL SISTEMAS
BASE
CIFRAS QUE SE EMPLEAN
2
Binario
0; 1
3
Terciario
0; 1; 2
4
Cuaternario
0; 1; 2; 3
5
Quinario
0; 1; 2; 3; 4
6
Senario
0; 1; 2; 3; 4; 5
7
Heptanario
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8
Octanario
0; 1; 2; . . . ; 6; 7
Sistema Posicional de Numeración. Es un conjunto
9
Nonario
0; 1; 2; . . . ; 7; 8
de principios, normas, convenios y leyes que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números.
10
Decimal
0; 1; 2; . . . ; 8; 9
11
Undecimal
0; 1; 2; . . . ; 9; 10
12
Duodecimal
0; 1; 2; . . . ;10;11
Número. Es una idea o abstracción de una cantidad observada en la realidad concreta. Cifra (Digito). Símbolo empleado para representar un número.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Orden. Toda cifra que forma parte de un numeral, ocupa un orden determinado el cual se considera de derecha a izquierda. El lugar que ocupa una cifra se indica de izquierda a derecha. 1 2 3 4 5 6 Numeral:
Lugar
2 0 1 9 7 9 5 4 3 2 1 0
Orden
La Base. Todo sistema de numeración tiene una base, que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. Observaciones 1. A mayor ma yor numeral aparente le corresponde menor base y a menor numeral aparente le corresponde mayor base.
CEPREMAX ( m ) = CALIDAD ( n ) 2. Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero no negativo y menor que la base. Si: abcd n + Entonces: {a, b, c, d, n} ∈ Z ; a ≠ 0; n >1 Además: a, b, c, d < n
En base “n” se pueden utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son: CIFRA MÁXIMA
0 ; 1; 2; 3; 4; 5; . . . ; (n – 1) Cifras Significativas
Cifra no Significativa
Por convención, cuando la cifra cifr a es mayor que “9” se utiliza una letra mayúscula para su representación.
α <> (10) <> A Betta β <> (11) <> B Gamma γ <> <> (12) <> C Delta δ <> (13) <> D Alfa
M
M
M
M
Ejemplo 8(12)6(10)(11)(13) = 8 λ 6 αβ(13) = 8C6A B(13)
Valor de las Cifras Toda cifra que forma parte de un numeral tiene 2 valores. Valor Absoluto (V.A.). Es el valor que tiene una cifra por su apariencia o figura. Valor Relativo (V.R.). Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.
Representación Literal de un Numeral Cuando no se conocen las cifras de un numeral, estas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:
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Por Ruffini:
Toda expresión entre paréntesis representa una cifra. La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero. Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo señalen. Para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras.
4 5
113 1
Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son iguales, es decir tienen representación simétrica.
22
113
∴
4235 = 113
4 7
4
3
1
∴ 113
= 13014
Por lo tanto:
PROPIEDADES
* OSO
Numeral
∴
* SOMOS
4235 = 113 = 13014
de Cifras Máximas
(n − 1)(n − 1)...(n − 1) n = nk − 1 144 4 244 4 3
CAMBIOS DE BASE
k cifras
En general: si “n”, “10” y “m” son las bases de un numeral equivalente, donde: n ≠ m ≠ 10. Tener en cuenta la siguiente regla: De Base n
110
4 28 0
* aa * aba * abba * abcdcba Algunas palabras políndromas que representan al numeral capicúa. * SALAS
20
Por divisiones sucesivas
Numeral Capicúa.
* ANA
3
* Expresar 113 en base 4.
SISTEMAS ≠ SISTEMAS Multiplicación de 8 factores
Numeral de 8 cifras
4
x
2
De Base
Descomposición polinómica o RUFFINI
Bases
Sucesivas
1a1b
De Base m
1c
= n+ x +2 + b4 +3 ...4 c4 a 1+4 k sumandos
O “k” 1x n numerales
Divisiones sucesivas
1a 1a
Descomposición Polinómica
= n + ka
1a “k” O numerales 1a n
Simple:
mydoomk = mk 5 + yk 4 + dk 3 + ok 2 + ok + m Por Bloques:
Conteo de Cifras
mydoom k = my k ⋅ k 4 + do k ⋅ k 2 + omk
Dado un entero positivo N, de “k” cifras (k∈N), la cantidad de cifras que se utiliza al escribir todos los enteros desde 1 hasta N, está dado por:
Ejemplos * Expresar
4235 a base 10.
Cantidad de cifras =
(N + 1)k − 11111 ... 11 1 42 43 " k " cifras
Por descomposición polinómica:
4235 = 4 ⋅ 5 2 + 2 ⋅ 5 + 3 4235 = 100 + 10 + 3 = 113
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Lic. Fredy Franklin TOLEDO GUERREROS
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CEPREMAX ¡¡¡Preparación de primer nivel!!! 10) Hallar un número comprendido entre 200 y 300 tal que leído al revés y menos uno, resulta el triple del número original. Dar la cifra de las decenas. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
1) Un depósito tiene ab litros de aceite, se empieza a llenar con un caudal constante. Al cabo de media hora tiene ba litros y cumplida
11) Hallar “a” para que se cumpla: a11(7) = 37 a(8) a) 2
la primera hora ( a − 1)( a + 1)(b − 2) litros. Hallar: a+b a) 8
b) 6
c) 9
d) 10
c) 5
d) 6
e) 4
12) Si “a” , “b” y c son cifras diferentes entre sí, hallar “m + p”, si se cumple:
e) 12
2) Si a un número de 3 cifras se le agrega la suma de sus cifras se obtiene 432. Hallar la suma de la cifras del número. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
abc(4) + bc(3) + c(2) = mp a) 10
b) 11
c) 12
d) 14
e) 15
13) Calcular “a + b + c” si se cumple:
56d = abcd(8)
3) Hallar el mayor número de 3 cifras que al restarle 459 dé como resultado la suma de sus cifras. a) 539 b) 519 c) 499 d) 479 e) 509
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
14) Expresar 48 en base “n” y dar la suma de sus cifras, si se cumple: 115(n) = 235(6)
4) ¿Qué sucede con un número de 3 cifras si a la primera cifra se le disminuye en 3, a la segunda se le aumenta en 8 y a la tercera se le disminuye en 2? a) Disminuya en 222 b) Aumenta en 222 c) Disminuye en 378 d) Aumenta en 378 e) Faltan datos
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
15) Hallar “a + b + c” si se cumple: aaaa(5) = bc2 a) 5
b) 7
c) 8
d) 6
e) 10
16) Expresar en el sistema senario el menor número de tres cifras diferentes de la base 8.
5) Un número de 6 cifras empieza en la cifra 1, si esta cifra se ubicará al final, el nuevo número sería el triple del original. Hallar la suma de las cifras del número. a) 20 b) 26 c) 27 d) 32 e) 31
a) 132(6)
b) 150(6)
d) 124(6)
e) 125(6)
c) 133(6)
17) El mayor número de 3 cifras de la base “n” se representa en base 5 como 4021. Hallar: n a) 9 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12
6) Calcular la suma de las cifra de un número capicúa de tres cifras que sea igual a 23 veces la suma de sus cifras diferentes. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
18) Expresar en base 9 el menor número de la base 6 cuya suma de cifras sea 18.
7) Hallar el valor de “a”, si el número ab0ab es el producto de 4 números enteros consecutivos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
a) 1185(9)
b) 1285(9)
d) 1158(9)
e) 1228(9)
c) 1153(9)
19) Dadas las siguientes igualdades:
8) Hallar un número de 3 cifras que sea igual a 36 veces la suma de sus cifras. Dar la mayor de sus cifras. a) 2 b) 7 c) 3 d) 8 e) 4
23a(9) = 27b(n) abc(8) = 1611(n) Hallar: m + n a) 16 b) 12
9) Si un entero de dos dígitos es “k” veces la suma de sus dígitos, el número que se obtiene al intercambiarse los dígitos, es la suma de los dígitos multiplicado por: a) 9 – k b) 10 – k c) 11 – k d) k – 1 e) k + 1
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b) 3
c) 10
d) 17
e) 15
20) El número 1002 de la base 4, en que base se escribe como 123. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
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Lic. Fredy Franklin TOLEDO GUERREROS
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CEPREMAX ¡¡¡Preparación de primer nivel!!! 21) El menor números de 4 cifras de la base “n” se
32) Un número de 3 cifras del sistema de base 7, se escribe en la base 9 con las mismas cifras pero colocados en orden inverso. Expresar el número en base decimal y dar la suma de sus cifras. a) 14 b) 15 c) 12 d) 17 e) 9
escribe en base diez como 5ab . Hallar “a + b + n” y expresar el resultado en base 2. a) 101(2)
b) 110(2)
d) 1101(2)
e) 1111(2)
c) 1011(2)
33) Si se cumple: 4 a ( ab ) = a 0 a ( 8)
22) Si se cumple: 122(n) = 25 a = bc1(8) Hallar: a + b + c + n a) 18 b) 20 c) 24
d) 26
Además : (n − 2)(n2 )(n + 4) = cde ( 7 ) Hallar a) 12
e) 30
23) Hallar “a + b + n”, si se cumple:
b) 12
c) 14
d) 8
e) 9
24) Hallar “a + b + c + d + n”, si se cumple:
102(3) = abcd(n) a) 4
b) 5
c) 6
25) Si se cumple: Hallar: n a) 1 b) 2
1312(101
(n) )
c) 3
d) 4
35) Hallar “a + b + c”, si se cumple: e) 8
abc( a) = 2553(c) = 1611(a) = 1205(b) a) 9
= 1312
Hallar: a + b + n a) 15 b) 18
c) 20
d) 24
d) 13
e) 14
37) Sabiendo que: 35a(7 ) = aa(2a)(9) . Hallar: “a” a) 1
e) 26
b) 2
c) 3
38) Hallar “n” en: 13 13 a) 20
d) 11
c) 12
(n + 1). ¿Cuánto suman sus cifras? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
e) 5
2 abc ( 7 ) = 3254 ( n )
Hallar: a + b + c + n a) 8 b) 9 c) 10
b) 10
36) Si el numerador 1458(n), se expresa en base
abc ( 8 ) = 1036 (n )
26) Si se cumple:
27) Si se cumple:
d) 7
e) 18
34) Un número escrito en 2 bases que se diferencian en dos unidades está representado por 413 y 231. Hallar dicho número en el sistema decimal y dar la suma de sus cifras. a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14
ab 5 (n) = ban ( 7 ) a) 11
: a+b+c+d+e+n b) 14 c) 15 d) 17
e) 12
b) 9
d) 4
e) 0
13 13 = 20 (n)
c) 7
d) 6
e) 8
abc( x) = mn( y ) y los números: 36(x) y
39) Si: 28) Hallar “a + b + c + d + e + n”, si se cumple: 211(3) = a) 4
b) 5
1 y(9)
abcde (n)
c) 6
d) 8
e) 10
a) 28
29) Hallar “a + b + c”, si se cumple: 121(n) = 8ab a) 34
b) 32
c) 27
d) 21
están bien escritos, hallar: “ xy ” b) 56
c) 78
d) 42
e) 63
40) Hallar (x . y)
e) 17
Si:
30) Hallar “a + b + c + d + e”, si:
a) 6
xy( 4) + yx (5) + xx (6) + yy (7 ) = 66 b) 7
c) 8
d) 4
e) 9
ababab (5 ) = 9cde a) 32
b) 16
c) 20
d) 21
e) 25
AUTOR: Lic. Fredy Franklin TOLEDO GUERREROS
31) Si se cumple:
4 abb(n) = mmmm (6) Hallar: a + b + m + n a) 8 b) 10 c) 11
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d) 12
e) 13
4
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