CATEDRA 0
Facultad de Ingeniería Ingeniería de Minas Minas Geología y Civil Departamento académico académico de ingeniería de minas y civil
METODOS NUMERICOS
Ingeniería Civil ING.. CRI ING CRISTI STIAN AN CAS CASTRO TRO P.
cuac ones
ge ra cas
ING.. CRI ING CRISTI STIAN AN CAS CASTRO TRO P.
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ecuaciones Algebraicas Lineales
No lineales
Metodos Numericos Interval Halving (o bisection)
a se Position (o regula falsi)
Succesive Substitution (o fixed-point)
Secant
Wegstein We gstein
Ridder
Muller
Newton
Metodos Analiticos Brent
Broyden
Homotopy Dogleg step Hook step
Para problemas multidime multidimensionales nsionales
MÉTODOS NUMÉRICOS
Ecuaciones Algebraicas Lineales
No lineales
Metodos Numericos Interval Halving (o bisection)
a se Position (o regula falsi)
Succesive Substitution (o fixed-point)
Secant
Wegstein We gstein
Ridder
Muller
Newton
Metodos Analiticos Brent
Broyden
Homotopy Dogleg step Hook step
Para problemas multidime multidimensionales nsionales
ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES
-
Consideraciones generales Solución de ecuaciones no lineales Separación de raíces Métodos para ecuaciones con una sola variable: , - Iteración de punto fijo, - Método de bisección, - Método del Regula-Falsi, - Método de Newton-Raphson, , - Criterios de convergencia - Condicionamiento - Raíces de polinomios - Deflación - gor mos.
o o para ecuac ones
ING.. CRI ING CRISTI STIAN AN CAS CASTRO TRO P.
M t odos N um ric os pa ra Ecuac iones con una sola V a riable MÉTODOS PARA ECUACIONES CON UNA SOLA VARIABLE os m o os escr os en es a secc n es n or en a os a a so uc n ecuaciones que contienen una sola variable. Se supondrá que la ecuación por resolver está escrita en la forma:
e
= La raíz de la ecuación es un valor de “x” que satisface la ecuación; por lo tanto, los métodos para resolver la ecuación se denominan métodos para .
CONTENIDO • Antecedentes • Método para ecuaciones con una sola variable • Métodos de búsqueda incremental • Método de iteración de punto fijo • Método de bisección • Método de Newton-Raphson • Método de secante • Método de Muller
•
•
•
•
La finalidad principal de las matemáticas aplicadas es determinar los valores de x que cumplan con f(x) = 0. A estos valores se denomina raíces o ceros de la ecuación Para polinomios de 1er. a 3er. orden existen fórmulas que permiten lograr el objetivo antes dicho, sin embargo para grados superiores la Para la resolución de las expresiones no lineales (ENL) no es posible resolverlas salvo por aproximaciones sucesivas. , algunos válidos para cualquier ecuación y otros sólo para polinomios Una de las razones para mostrar alternativas es poder responder a la disponibles puede alcanzar un nivel de deseado de exactitud lo más rápido posible, mayor certeza y con menos problemas para empezar
• ayuda par obtener raíces de ecuaciones por simple inspección
Sea f(x) una función no lineal en x. Hallar el valor de x, x*, tal que se cumple f(x*)=0. x* se suele denominar el cero o raíz de f(x) x* se puede determinar por medios analíticos (solución exac a o por me os num r cos so uc n aprox ma a
La elección del método numérico depende del problema a reso ver estructura e pro ema, tipo e ecuaciones, precisión requerida, rápidez del cálculo,....). . Ti os de métodos Métodos acotados (bracketing methods)
Métodos abiertos (open methods)
cuac ones a ge ra cas no
nea es
Métodos acotados vs. Métodos abiertos Métodos acotados La raíz está situada en un intervalo (necesita dos puntos). Acaba convergiendo dentro de una tolerancia. Métodos abiertos Sólo emplean un punto inicial (o dos puntos que no tienen por qué contener a la raíz) y una fórmula para encontrar la raíz. No siempre convergen, pero cuando lo hacen son mucho más rápidos que los .
cuac ones a ge ra cas no
nea es
Métodos abiertos •Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valor estimado de la raíz (línea recta, cuadrática, polinomio) •Métodos: •Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa) •Newton-Raphson (línea recta empleando información del gradiente) •Secante (línea recta empleando dos puntos) •Muller (aprox. cuadrática empleando tres puntos)
cuac ones a ge ra cas no
nea es
Comparación entre ambos métodos. Similaridades: •Ambos métodos necesitan DOS valores iniciales
Convergence Rate
•Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo. 10
• caban conver iendo a la raíz con cierta tolerancia
Diferencias: • diferentes estrategias •En general el método de la posición falsa converge m s r p o que e e a secc n.
1 s r o r r E e v i t a l e R
Bisection method
False-position method
Number of iterations
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Este método es el análogo numérico de la determinación de una raíz de una ecuación al graficar f(x) contra “x” con el propósito de observar el punto en que f(x) cruza el eje “x”.
ALGORITMO: Método de Búsqueda Incremental 1)
Un contador i se iguala a cero, se elige un valor inicial x 0 , se elige un incremento h se calcula un valor de referencia f i ula a f x .
2)
i se incrementa en 1, xi se iguala a (x 0+ih) y se calcula f(x ). i
3)
Si { f 0 [ f ( xi )]} > 0 , se regresa al paso 2; en caso contrario, se continúa con el paso 4.
4)
Se calcula la raíz “x” a partir de x = xi
− h[ f ( xi )] [ f ( xi ) − f ( xi − h)]
Ejercicio de Aplicación Desviación de una viga en voladizo Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La viga se extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). La desviación máxima δmax se produce en (X=L). La desviación δ en el punto (x= αL) está relacionada con δmax mediante:
f (α ) = α
4
− 4α 3 + 6α 2 − 3δ / δ max = 0
Aplicar el método de búsqueda incremental para resolver la ecuación para el valor de α al que δ δ max es igual a 0.75. Solución: A partir del problema físico, se espera que para α entre 0 y 1 exista una so uc n y que es m s prox ma a que a . or cons gu en e, se e ge un valor inicial α0 igual a 1 y se usa un incremeno negativo h = -0.05. Búsqueda con α 0
= 1,
= 0.75
f 0
y h
= −0.05
i
α i
f (α i )
f 0 f (α i )
1
0.95
0.550006
>0
.
.
3
0.85
0.150506
>0
4
0.80
-0.048400
>0
Interpolación:
α ≈ 0.8 − ( −0.05)(−0.0484) /( −0.0484 − 0.150506) ≅ 0.81217
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO También denominado método de aproximaciones sucesivas , requiere . El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que ocurra , . convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad ε.
ALGORITMO: Método de Iteración de Punto Fijo 0
ε . 2)
Se calcula un valor mejorado xmejorado a partir de xmejorado
3)
Si xmejorado
− x0 > ε ,
= g ( x0 )
x 0 se iguala a xmejorado y se vuelve al paso 2; en
caso contrario, xme orado es la raíz aproximada.
Un punto fijo de una función g( x ) es un número p tal que g( x ) = p. , un punto fijo en p de diferentes maneras. =
–
Teorema Si g ∈ C [a, b] y g ( x) ∈ C [a, b] para toda x ∈ C [a, b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b]. Si además g ’( x) existe en (a, b) y una constante positiva k <1 existe con ’ x <= k, ata toda x ∈ a, b , Entonces el punto fijo en [a, b] es único.
y=x
b p=g ( p)
y = g ( x)
a a
p
b
x
Si g ∈ C [a, b] y g ( x) ∈ C [a, b] para toda x ∈ C [a, b], además supongamos que existe g ’( x) en (a, b) y una constante positiva k <1 cuando |g ’( x)| <= k, pata toda x ∈ (a, b), ,
, pn = g ( pn –1), n >=1
Converge en el único punto fijo p en [a, b].
Gráfica del algoritmo de punto fijo y
=
y y = x
p3= g ( p2)
=
p2= g ( p1)
p2= g ( p1)
p1= g ( p0)
p3= g ( p2)
y = g x
p1= g ( p0)
p1 p3 p2 p0 x
p0
p1
p2 x
Casos de no convergencia y
y = x
=
y
=
y = g ( x)
x
x
Desviación de una viga en voladizo Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La viga = = . desviación máxima δmax se produce en (X=L). La desviación δ en el punto (x=αL) está relacionada con δmax mediante:
α
= α − α + α −
max
=
Aplicar el método de aproximaciones sucesivas para resolver la ecuación para el valor de α al que δ δ es igual a 0.75. Empezar con α = 0.75 y usar el criterio xmejorado
− x0 ≤ 10 −5 para indicar la convergencia.
Solución: La ecuación se reescribe como α = g (α ) =
(3δ / δ
max
+ 4α 3 − α 4 )/ 6
= α
Lue o α
La sucesión de valores α mejorado se tabula para números de iteraciones denotadas por i.
i
α 0
α mejorado
i
α 0
α mejorado
1
0.750000
0.776863
9
0.811333
0.811682
2
0.776863
0.791745
10
0.811682
0.811889
3
0.791745
0.800240
11
0.811889
0.812011
4
0.800240
0.805166
12
0.812011
0.812084
.
.
.
.
6
0.808048
0.809743
14
0.812127
0.812152
7
0.809743
0.810742
15
0.812152
0.812167
8
0.810742
0.811333
16
0.812168
0.812176
El último valor calculado de α mejorado es la raíz estimada: α ≅ 0.812176
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
Ecuaciones al ebraicas no lineales us
Problema (x)=0
uc n suces va
y
1.
Transformar a x=g(x)
2.
Seleccionar un punto inicial x0
3.
Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)
4.
Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
y= g(x)
y
Raiz
x2
y= x x
x
x
y= g(x)
Si: |g ’(x)|<1 El algoritmo converge linealmente |g’(x)|>=1 El algoritmo diverge
x3 x1
x0 x2
x
•
• • •
•
ncia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, sie m re la función x. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuand o g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x. El punto de intersección de las dos funciones, da enton ces el valor exacto de la raíz. El método consiste en considerar un valor inicial x 0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0 ), cons eran o ste como una aprox mac n e a ra z. El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide práctic amen e con x.
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
Método de Bisección
Base: Una función cambia de signo en la proximidad de una raíz , al signo de f(b)
Algoritmo
f ( x)
1. a
[nuevo punto]
Mid-point
b
x
. 3.
Comprueba si hay cambio de signo en [a,p] o en [p,b]. Comprobación: f(a)*f(p).
4.
Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.
[a,b]
f (a)
Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero
El método de bisección también se denomina método de bipartición del intervalo porque la estrategia es bisectar o separar a la mitad el intervalo de xa y xb y uego re ener e sem n erva o cuyos ex remos s guen aco an o a raíz. Este se clasifica como un método de acotamiento. Es aplicable a ecuaciones de = a b tales que la función f(x) cambia de signo una vez para valores x en el intervalo ( xa ≤ x ≤ xb ) . Por consiguiente, los valores limitantes acotan la raíz. El requisito de que la función cambie de signo sólo una vez constituye una manera de detrminar cuál semiintervalo retener. •
•
•
Este método se basa en encontrar una raíz de ƒ(x)=0 empezando con dos valores que encierran o ponen entre corchetes a la raíz Nos damos cuenta ue una función está entre corchetes cuando cambia de signo en sus puntos extremos. La función tiene que ser continua Se concibe como un método de búsqueda binaria en donde se va buscando la raíz en subintervalos de intervalos
ƒ(x)
(xm)0 (xm)1 raíz
x (xa)0
(xa)1,2 (x b)2
(x b)0,1
Des ués de la bisección 1
Intervalo ori inal 0
o o
e
secc
n
Se trata e encontrar os ceros e f ( x ) = 0
, diferentes.
y De acuerdo con el teorema del va or me o, ex s e p ∈ a, a que f ( p) = 0.
a y = f ( x)
El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p. lograr la precisión deseada.
b x a
f (b)
Primera iteración del algoritmo contiene a p
f (a) y = f ( x) 1
b x a
f (b) p p1=(a+b)/2
MÉTODO DE BISECCIÓN f(x) • Consiste en considerar un intervalo
x,
xs) en el que se garantice que la función z.
MÉTODO DE BISECCIÓN • Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en e que se garan ce que a unc n ene raíz.
f(x)
• El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección x como a roximación de la raíz buscada.
xs
xi
x
s
•Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)
f(x)
raíz.
fx
• de bisección xr como aproximación de la raíz buscada. • Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz.
r
f xs
xi
xr
xs
x
MÉTODO DE BISECCIÓN f(x)
x =x
f(xi)
f(xr)
xi
xr
x
xs
f(xs)
•
ons s e en cons erar un n erva o x i, xs en e que se garan ce que la función tiene raíz.
• El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección x r com o aprox mac n e a ra z usca a. • Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la raíz. • El proceso se repite n veces, hasta que el punto de n xr co nc e pr ct camente con e va or exacto
bisecció
e a ra z.
MÉTODO DE BISECCIÓN f(x) f(xi)
f(xr)
xi
xs
xr
x
f(xs)
Método de Bisección
ALGORITMO: Método de Bisección 1)
Se eligen los valores limitantes xa y xb (con xb
2)
Se calcula
3)
Se calcula el punto medio del intervalo
a
a
o
b
> xa )
b
xm
= ( xa + xb ) / 2
y se calcula
= 4)
Se usa (i) o (ii), dependiendo de si fa o fb está disponible a partir del paso (2); i
Si
a
m
>0
recolocar x a en
m
En caso contrario, recolocar xb en x m ii) Si ( f b f m ) > 0 , recolocar xb en x m ; En caso contrario, recolocar x a en x m 5)
6)
Si ( xb
− xa )
es suficientemente pequeño; es decir, menor o igual que , contrario, volver al paso (3). Usar interpolacion lineal para estimar la raíz x a partir de una de las dos expresiones:
x = xa
− ( xb − xa ) f ( xa ) [ f ( xb ) − f ( xa )]
O bien
=
−
−
a
−
a
E ercicio de A licación Determinación del Número de Mach Crítico El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre la velocidad del sonido. Los aviones subsónicos experimentan flujo de aire acelerado sobre la superficie de las alas. El Número de Mach crítico es el Número de Mach de vuelo al que el flujo en algún punto del ala alcanza la velocidad del sonido. p
define de modo que sea negativo y corresponda a la máxima velocidad del flujo sobre la superficie aerodinámica. Al número de Mach crítico M, la expresión para Cp es:
= [(2 + 0.4 M ) 2.4]
3.5
2
C p
−1
{0.7 M } 2
ara una super c e aero n m ca se pue en e ectuar prue as pre m nares a bajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes. Se supondrá que el coeficiente de presión mínimo C pi se obtiene para flujo incompresible y se relacionará con C p mediante la relación de Karman-Tsien:
C p C pi
[
{
= 1 − M 2 + ( M 2C pi / 2 ) 1 + 1 − M 2
]}
−1
Para determinar M, la expresión para C se sustituye en la relación de Karman-Tsien y con la ecuación resultante se evalúa M. La ecuación a resolver es: M
=
2 + 0.4 M 2 2.4
3.5
−1
0.7 M 2 C
−
1 − M 2
+ M 2 C
/ 2 1 + 1 − M 2
o o
e
−1
=0
secc
, . p = - . Usar los valores límite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y detener las bisecciones cuando (Mb-Ma) se vuelve menor o igual que 0.01
M a
M b
1
0.18000
0.98000
0.58000
2.44757
2
0.58000
0.98000
0.78000
-0.15476
3
0.58000
0.78000
0.68000
0.79287
.
M m
f ( M m )
Bisección
.
i
.
.
5
0.73000
0.78000
0.75500
-0.19607
6
0.73000
0.75500
0.74250
-0.03705
7
0.73000
0.74250
0.73625
0.04284
,
a
= .
b
= .
Interpolando se produce la solución estimada:
≅ 0.73960
en donde
= −4.3062 x10 −5
−
.
n
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN El método de la falsa posición se puede entender como un intento por mejorar las características de convergencia del método de bisección. Se comienza con valores limitantes xa y xb tales que f(x) cambia de signo sólo una vez en el . a Por interpolación lineal se encuentra una raíz aproximada entre xa a xb que sirve como valor intermedio xintermedio. El nuevo intervalo que contiene la raíz comprende ahora de xa a xintermedio o de xintermedio a xb. El razonamiento para determinar que intervaloMethod se retiene es le mismo que para el método de False-Position bisección.
Algoritmo
f ( x)
1.
Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero
2.
Calcula un punto intersección como nuevo punto
f (b)
a
a
punto] point Intersection
b
[a,b]
m- a
x
3.
Next estimate of False-position 4.
=
m- b
Þ m =b-
a-
f (a ) - f (b )
Comprueba si hay cambio de signo en , , . * . Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.
ƒ(x)
(xint)0 (xint)1 raíz
x (xa)0
(xa)1 xa 2
(x b)0,1,2
es u s e a ter terac ac n
Intervalo Intervalo ori inal 0
f(x) • Consiste Consiste en en conside considerar rar un un interva intervalo lo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene .
x
f(x)
• Consiste Consiste en considerar considerar un intervalo intervalo (x (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. • Se tra traza una rect recta a que une une los los punto untoss (xi, f(xi)), (xs, f(xs))
f(x)
x
xs
xi fx)
• Consis Consiste te en consid considera erarr un interva intervalo lo (xi, xs)
f(x)
raíz. • Se tr traza una una re recta ue un une lo los untos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)) • Se obtien obtienee el punto punto de inters intersecc ección ión de de esta recta con el eje de las abscisas: (x r, 0); se toma xr como aprox. de la raíz buscada.
fx
xi s
xs
x
MÉTODO DE LA REGLA FALSA • Consiste Consiste en considerar considerar un intervalo intervalo (xi, xs) en el que se garantice garantice que la la función función tiene tiene raíz. raíz. • Se traz traza a una una rect recta a que que une une los los puntos ntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)) y se obtiene el punto de intersección de esta esta rect recta a con con el e e de las las ab absc scis isas as:: x 0 se toma toma xr como aproximación de la raíz buscada.
f(x)
• Se ident identifica ifica luego en cuál cuál de de los los dos intervalos intervalos está la raíz.
xi
f(xr)
x
xs
xr
s
f(x) fx
f(xr) s
s
xi
xr
=
xs
r
x
• ce que la función tiene raíz.
i,
s
• , , s, s • Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje d e las abscisas: xr 0 se toma xr como a roximación de la raíz buscada. •
.
• El proceso se repite n veces, hasta que el punto de cción xr coincide prácticamente con el valor
interse
exacto de la r
.
f(x)
f ( x s )( x i - x s ) xr = x s xi - x s
fx
f(xr) s
xi
xr
xs
x
Método de la Falsa Posición
> xa )
1)
Se eligen los valores limitantes xa y xb (con xb
2)
Se calcula f a
3)
EL contador i se incrementa en 1 y se calcula el punto xint ermedio a partir
= f
xint ermedio = x a
xa o f b
= f
xb y un contador i se coloca en cero
− ( xb − xa ) f ( xa ) [ f ( xb ) − f (xa )]
O bien
xint ermedio = xb 4)
xb − − xb − xa xb Se calcula f int ermedio = f ( xint ermedio )
5
De endiendo de si f o f está dis onible a artir del aso 2 i)
xa se usa i o ii
Si ( f a f int ermedio ) > 0 , xa se recoloca en xint ermedio ; En caso contrario, xb se recoloca en xint ermedio
ii) Si ( f b f int ermedio ) > 0 , xb se recoloca en xint ermedio ; En caso contrario, xa se recoloca en xint ermedio 6
xint ermedio
S
es su c entemente pequeño; es ec r, menor o gua que
alguna pequeña cantidad prescrita ∈ , o si f alcanza un límite de iteración N, xint ermedio se considera como la raíz aproximada; en caso contrario, volver al paso (3).
E ercicio de A licación Determinación del Número de Mach Crítico El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre la velocidad del sonido. Los aviones subsónicos experimentan flujo de aire acelerado sobre la superficie de las alas. El Número de Mach crítico es el Número de Mach de vuelo al que el flujo en algún punto del ala alcanza la velocidad del sonido. p
define de modo que sea negativo y corresponda a la máxima velocidad del flujo sobre la superficie aerodinámica. Al número de Mach crítico M, la expresión para Cp es:
= [(2 + 0.4 M ) 2.4]
3.5
2
C p
−1
{0.7 M } 2
ara una super c e aero n m ca se pue en e ectuar prue as pre m nares a bajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes. Se supondrá que el coeficiente de presión mínimo C pi se obtiene para flujo incompresible y se relacionará con C p mediante la relación de Karman-Tsien:
C p C pi
{
[
= 1 − M + ( M C pi / 2 ) 1 + 1 − M 2
2
2
]}
−1
Para determinar M, la expresión para Cp se sustituye en la relación de Karman-Tsien y con la ecuación resultante se evalúa M. La ecuación a resolver es: M
=
2 + 0.4 M 2 2.4
3.5
−1
0.7 M 2 C
−
1 − M 2
+ M 2 C
/ 2 1 + 1 − M 2
−1
=0
Aplicando el método de falsa posición, resolver la ecuación cuando C pi=0.383. Usar los valores límite (M a=0.18) y (Mb=0.98), y terminar las iteraciones cuando f ( M int ermedio ) se vuelve menor o igual que 10 -2.
M a
M b
1
0.18000
0.98000
0.74306
-0.04414
2
0.18000 0.18000
0.74306
0.74258
-0.03804
0.74258
0.74217
-0.03278
3
0.18000
.
M int
f ( M int )
Iteración
i
.
- .
5
0.18000
0.74181
0.74151
-0.02435
6
0.18000
0.74151
0.74124
-0.02099
.
.
.
- .
8
0.18000
0.74101
0.74082
-0.01560
9
0.18000
0.74082
0.74065
-0.01345
La raíz estimada es:
≅ 0.74065
en donde
= −0.01345
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
Ecuaciones algebraicas no lineales Problema g(x)=0
Newton Raphson
1.
Seleccionar un punto inicial x0
2.
Ca cu ar g xi y g xi
3.
Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con el e e de abcisas tenemos el nuevo unto estimado
xi+1=xi4.
y
g(xi) g’(xi)
Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
•Necesita conocer la derivada de la función •Convergencia cuadrática (rápida) •Puede no converger (depende de la unción y e a estimación inicia
x2
x1
x0
x
El Método de Newton-Raphson •
Es lejos uno de los métodos más usados para resolver ecuaciones
•
Se basa en una aproximación lineal de la función, aunque aplicando una tangente a a curva
•
A partir de una estimación inicial x0 se efectúa un desplazamiento a lo , la siguiente aproximación
tan θ = f '( x0 ) =
( x0 ) x0
− x1
, x1
= x0 −
f ( x0 ) f '( x0 )
ƒ(x0)
Se continua el calculo al estimar x
=x −
f ( x1 ) '( x1 )
x1
x0 x0-x1
Se calculan f (x0 ) y f '(x0) IF ( f ( x0 ) ≠ 0) AND (f '( x0 )
Algoritmo
≠ 0)
Repeat
= x0 Se Hace x = x − x / ' x Until ( x0 − x1 < valor de tolerancia 1) OR ( f ( x0 ) < valor de tolerancia 2) Se Hace x1
= dado un valor de x0 razonablemente próximo a la raíz
•
•
•
End IF END
Este algoritmo al menos en la vecindad cualquiera de los antes vistos
converge más rápido que
Al ser un método cuadráticamente convergente el resultado neto es que el número de cifras decimales de exactitud casi se duplica en cada iteración Tiene como inconveniente la necesidad de dos evaluaciones funcionales en cada paso, ƒ(xn) y ƒ’(xn) y encontrar la derivada de la función
•
que cociente de las diferencias es una aproximación de la derivada •
El método de Newton funciona con raíces complejas si se proporciona un
f ( x)
La ecuación de la recta tangente es: – x = ’ x
x – x
Cuando y = 0, x = xn+1 o sea – xn =
xn xn+1 – xn
Pendiente = f ’ ( xn) n
o
xn +1 = x n
−
f ( x n ) f '( x n )
xn+1
xn
Ejemplo Determinar la raíz de la siguiente función ƒ(x)=3x + sen x – ex=0
= 3x + senx − e x f '( x) = 3 + cos x − e x x
x0 1
x x3
=0 =
0
−
f ( x0 ) f '( x0 )
=x −
f ( x1 )
= x2 −
f ( x2 )
x1 '
2
=
.
−
−1.0 3.0
= 0.33333 − = 0.36017 −
=
.
−0.068418 .
= 0.36017;
−6.279 *10−4 .
= 0.3604217;
Después de 3 iteraciones la raíz es correcta hasta con 7 dígitos significativos
f(x) cualquiera x1 como aproximación de la .
x
f x)
•
ons s e en e eg r un pun o n c a cua qu era x1 como aproximación de la raíz y obtener el . • Trazar una recta tangente a la función por ese unto.
x1
x
x1
f(x)
• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximación de la raíz. • Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta tangente a la función por ese punto. • El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas (xr, 0), constituye una .
1
x1
x2
x
f(x) fx
fx x1
x2
• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x 1 como mación de la raíz.
x
aproxi
• Obtener el valor de la función por ese punto y trazar una recta t . • El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas xr , , const tuye una segun a aprox mac n e a ra z. • El proceso se repite n veces hasta que el punto de interse cción xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.
-
-
-
-
Aun ue el método traba a bien, no existe arantía de conver encia.
f ( x )
f ( x )
x 1
x 0 x 2
x
x 0
x 2
x 1
x
mínimo local raíz cerca de punto de inflexión f ( x )
f ( x )
x 1 x 0
x
x 0
x 1
la iteración en un mínimo varias raíces
x
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
Ecuaciones algebraicas no lineales Problema g(x)=0
Secante
1.
Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1
2.
Calcular la recta que pasa por esos puntos
3.
El corte con el eje de abcisas da el nuevo punto estima o. Vo ver a ca cu ar a recta.
xi+1=xi4.
y
xi+1-xi x - x
g (xi+1)
Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida
•No Necesita conocer la derivada de la función (la aproxima). •Necesita dos puntos iniciales. •Puede no converger.
x3 x2
x1
x0 x
Se supone que ƒ (x) es lineal en la vecindad de la raíz • Se eligen puntos próximos a ésta y se traza una línea recta • Si bien es cierto ƒ (x) no es lineal y x2 no es igual a la raíz debe estar muy pr x ma. e ores estimaciones se logran iterando y reemplazando los valores x x ( x1 − x2 ) ( x0 − x1 ) •
=
f ( x1 )
x2
=
x1
−
ƒ(x0)
1
f ( x0 ) − f ( x1 )
f ( x1 )
( x0 0
− x1 ) −
x2 1
x1 az
x0
Algoritmo Para eterm nar una raíz e ƒ x =0 a os os va ores, x0 y x1 próx mos a a so u ción
Intercambiar x0 con x1. Repeat
=x − Sea x0 = x1. ea x1 = x2. Sea x
x *x
−x
/
x
−
x .
Until f (x2) < valor de tolerancia End IF
•
ons ste en e eg r os puntos n c a es cua qu era x 0, x1 para o s cuales se evalúan los valores de la función: f(x0) = f(x1)
• Se traza una recta secante a la función or esos dos
untos.
• El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas . 2, • El proceso se repite n veces hasta que el punto de interse cción xn coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.
N-R modificado o Método de la Secante Una de las formas de obtener la fórmula recursiva esencial para el método de la Secante, es reemplazar por una expresión aproximadamente equivalente, en:
, Así: f ' ( xi ) = lím
xi → xi −1
f ( xi ) − f ( xi −1 ) xi − xi −1
Si |xi - xi-1| <<< 0, se puede escribir: Sustituyendo 2 en 1, se obtiene:
f ' ( xi ) ≈
− xi −1 xi − xi −1
⎡ xi +1 = xi − f ( xi ) ⎢
i
xi − xi −1 xi
−
xi −1
⎤ ⎥
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
Métodos cerrados: Métodos gráficos o o e
secc n
Método de la posición falsa
Métodos abiertos: Iteración sim le de unto fi o Método de Newton-Raphson o o e a secan e
Raíces de polinomios: Método de Müller Método de Bairstow
FUNDAMENTOS CONCEPTUALES: • Manejar adecuadamente las DEFINICIONES de: • LÍMITE, CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES. • SUCESIONES CONVERGENTES Y DIVERGENTES. • INTEGRAL DE RIEMANN. • SERIES DE TAYLOR Y DE MaCLAURIN. • TEORÍA DE ERRORES Y TÉCNICAS DE REDONDEO. • Ejemplificar los siguientes TEOREMAS: • EL QUE RELACIONA LA DIFERENCIABILIDAD Y LA CONTINUIDAD • DE ROLLE • DEL VALOR MEDIO • DEL VALOR INTERMEDIO
Teorema de ROLLE
Teorema de ROLLE Generalizado
Teorema de ROLLE Generalizado
Teorema del Valor Medio
Teorema del Valor Medio
Teorema del Valor Medio
Teorema del VALOR INTERMEDIO
Teorema del VALOR INTERMEDIO
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
emp o Función de ejemplo
x
+ −
an x
Archivo: eqn_w3.m
unc
on y = eqn_w
x
y = sqrt(x^2 + 1) - tan(x);
>> bisec_n('eqn_w3',0,1.3) f_name = eqn_w3 Método de bisección: It. a b 1 0.000000 0.650000 2 0.650000, 0.975000 3 0.650000, 0.812500 4 0.812500, 0.893750 . , . 6 0.934375, 0.954688 7 0.934375, 0.944531 8 0.934375, 0.939453 9 0.939453, 0.941992 10 0.939453, 0.940723 11 0.940723, 0.941357 . , . 13 0.941357, 0.941516 14 0.941357, 0.941437 15 0.941437, 0.941476 16 0.941437, 0.941457 17 0.941457, 0.941467 18 0.941457, 0.941462 . , . 20 0.941459, 0.941460 21 0.941460, 0.941461 Se satisface la tolerancia. Resultado final: Raíz =
c 1.300000 1.300000, 0.975000, 0.975000, . , 0.975000, 0.954688, 0.944531, 0.944531, 0.941992, 0.941992, . , 0.941675, 0.941516, 0.941516, 0.941476, 0.941476, 0.941467, . , 0.941462, 0.941462, 0.941461
fa=f(a) 1.000000 0.432482, 0.432482, 0.232743, . , 0.015409, 0.015409, 0.015409, 0.004405, 0.004405, 0.001624, . , 0.000229, 0.000229, 0.000054, 0.000054, 0.000011, 0.000011, . , 0.000005, 0.000003,
fc=f(c) -1.9619810 -1.9619810 -0.0783150 -0.0783150 - . -0.0783150 -0.0297840 -0.0067920 -0.0067920 -0.0011690 -0.0011690 - . -0.0004700 -0.0001200 -0.0001200 -0.0000330 -0.0000330 -0.0000110 - . -0.0000000 -0.0000000
abs(fc-fa) 2.962e+000 2.394e+000 5.108e-001 3.111e-001 . e9.372e-002 4.519e-002 2.220e-002 1.120e-002 5.574e-003 2.793e-003 . e6.987e-004 3.492e-004 1.746e-004 8.731e-005 4.366e-005 2.183e-005 . 5.457e-006 2.729e-006
Ejemplo Sea la función: x3 + 4 x2 –10 = 0 tiene una raíz en [1, 2] Puede despejarse en: a. x = g 1( x) = x – x3 – 4 x2 +10 . x = g 2 x =
– x
c. x = g ( x) = (10/(4 + x))½ d. x = g 4( x) = x – ( x3 + 4 x2 – 10)/(3 x2 + 8 x)
(a)
(b)
(c)
(d)
1 1.5 2 -0.875 3 6.732421875 4 -469.72001200 5 1.02754555E8 6 -1.084933870E24 7 1.277055591E72 8 -2.082712908E216 9 NaN 10 11 12 13 14 15 20 25
1.5 1.286953767 1.402540803 1.345458374 1.375170252 1.360094192 1.367846967 1.363887003 1.365916733 1.364878217 1.365410061 1.365137820 1.365277208 1.365205850 . 1.365229578 1.365230028 .
1.5 1.348399724 1.367376371 1.364957015 1.365264748 1.365225594 1.365230575 1.365229941 1.365230022 1.365230012 1.365230013 1.365230013
1.5 1.373333333 1.365262014 1.365230013 1.365230013
Funciones graficadas en MatLab
a)
c)
b)
d)
%Objetivo: Encontrar una raíz de una función %Sintaxis: bisec_n('nombre_f', a, b) _ %a y b: extremos del intervalo inicial %Ejemplo: bisec_n ('eqn_w3', 0, 1.3) function bisec_n(f_name, a, c) _ % a, c : extremos del intervalo inicial % tolerance : tolerancia _ m : m e e n mero e erac ones % Y_a, Y_c ; valores y de los extremos actuales % fun_f(x) ; valor funcional en x fprintf('Método de bisección:\n\n'); tolerance = 0.000001; it_limit = 30; fprintf(' It. a b c fa=f(a)
');
fprintf(' fc=f(c) abs(fc-fa) \n'); it = 0; Y_a = feval(f_name, a); Y_c = feval(f_name, c) ; if (Y_a * Y_c > 0) fprintf('\n \n Detenido porque f(a)f(c) > O \n') ; else while 1 it = it + 1; b = (a + c)/2; Y_b = feval(f_name, b) ; fprintf('%3.0f %10.6f, %10.6f', it, a, b) ; fprintf('%10.6f, %10.6f, %10.6f0', c, Y_a, Y_c) ; fpr ntf('%12.3e n', abs((Y_c - Y_a))) ; if ( abs(c-a)/2<=tolerance ) fprintf('Se satisface la tolerancia. \n' );break pr n n am e a o y e ecu e o ra vez. n ; end if ( it>it_limit ) ' . ' break end _ * _ = = _ = _ else a = b; Y_a = Y_b; end end fprintf('Resultado final: Raíz = %12.6f \n', b) ; end
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I que la temperatura ambiente Ta = 70 ºF. A medida que el automóvil es conducido con ventilación mínima, el compartimiento de los pasajeros se enfría lentamente. Se mide la tem eratura T del com artimiento encontrándose ue es de 101 ºF des ués de 5 minutos de conducción, 86 ºF después de 10 minutos de conducción y 77 ºF después de 15 minutos de conducción. Un modelo de la temperatura T de la cabina en función del tiempo de conducción m esta dado por:
T − T a
= ∆T 0 e km
constante de la rapidez de enfriamiento. Usando una aproximación lineal por mínimos cuadrados, calcular el valor de k y ∆To.
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I La profundidad normal “y” del flujo en un canal de sección parabólica abierto de ancho “T” está relacionada con el caudal “Q”, la pendiente del canal “S” y el coeficiente de fricción de Manning “n” mediante las ecuaciones:
1 Q = AR 2 / 3 S 1 / 2 n
Î
Qn 1/ 2
S
= A 5 / 3 P −2 / 3
“ ” de datos: Caudal (Q)
100.0 m3/s .
Pendiente (S)
0.0045
Espejo de agua (T)
16.00 m
Foco (K)
8.00
m
16.00
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I
Imagine una pared de tabique con un espesor de 0.05 m. La temperatura en el lado interior de
la pared T0 = 625 ºK, pero se desconoce la temperatura del lado exterior. La pérdida de calor de la su erficie exterior se efectúa or convección or radiación. La tem eratura T está determinada por la ecuación:
f (T 1 ) =
k
(T 1 − T 0 ) + εσ (T 14 − T ∞4 ) + h(T 1 − T f ) = 0
Donde: : k : ε : T 0
Conductividad térmica de la pared, 1.2 W/mºK Emisividad 0.8 Temperatura del lado interior de la pared, 625ºK
T 1
:
Temperatura del lado esterior de la pared, desconocida en ºK
T ∞
:
Temperatura del entorno, 298 ºK
T ∞
: : h : σ ∆ x : Determine T
Temperatura del aire, 298 ºK Coeficiente de transferencia de calor 20 W/m2ºK Constante de Stefan-Boltzmann, 5.67x10-8 W/m 2ºK4 Espesor de la pared, 0.05 m or cual uier método ara hallar raíces de ecuaciones no lineales.
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I En el ráfico se muestra una sección tí ica de ti o “Baúl” en la cual se desea determinar el tirante normal o calado “Y” que tiene para los datos mostrados en la tabla adjunta. Además es necesario hallar el gráfuco de la variación tirante (Y) vs. Caudal (Q), conocida como curva de descarga. Para determinar “Y” puede utilizar cualquier método para hallar raíces de ecuaciones no lineales.
Un eje longitudinal L (pulg) está fijo en un extremo y es sometido a un par de torsión T (lb.pulg) aplicado en el otro extremo. La sección transversal del eje es rectangular con lados de dimensiones a y b (pulg), con b < a. El esfuerzo cortante máximo S máx (lb/pulg 2) y el ángulo máximo de giro αmáx (grados) están dados por:
S max = α max =
C 1T
(ab2 ) 180TL
(π ⋅ C 2Gab3 )
Donde G es el módulo de deformación lbf ul como sigue:
2
C1
C2 son coeficientes ue de enden de a b
a/b
C1
C2
1.0 . 2.0 3.0 5.0
4.81 . 4.06 3.74 3.44
0.141 . 0.229 0.263 0.291
que permita calcular S máx y αmáx para ejes de acero (G = 12x 10 6 lb/pulg 2) cuando a y b están en el intervalo (1.0 ≤ a/b ≤ 5.0). Calcular según la metodología empleada en el pseudocódigo, para los siguientes conjuntos de datos de entrada. Conjunto 1: T = 7500 lb-pulg
L = 12.0 pulg.
a = 1.00 pulg
b = 0.80 pulg.
Conjunto 2: T = 8000 lb-pulg
L = 10.0 pulg.
a = 1.00 pulg
b = 0.60 pulg.
Conjunto 3: T = 9000 lb-pulg
L = 15.0 pulg.
a = 1.50 pulg
b = 0.40 pulg.
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2004-I fuga de agua en su vértice.
Suponga que el tanque mide 20 ft. de altura y 8 ft. de radio, y que el agujero circular tiene un radio de 2 in. En el modelo tomar en cuenta la fricción y la contracción del agua en el agujero, con c = 0.6 y se toma g = 32 ft/s 2. Si el tanque está lleno, ¿Cuánto tardará en vaciarse?
Suponga que en el vértice el tanque forma un ángulo de 60º y que el agujero circular tiene un radio de 2 in. Deduzca la ecuación diferencial que gobierne la altura h del agua. Use c = 0.6 y g = 32 ft/s 2. Si la altura inicial del agua es de 9 ft. ¿Cuánto tardará el agua en vaciarse?.
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2004-I El desplazamiento x(m) de una masa que experimenta una oscilación amortiguada varía con
⎤ ⎛ β ⎞ β t ⎡ x = −0.1e ⋅ ⎢cos(ω ⋅ t ) − ⎜ ⎟ sin (ω ⋅ t )⎥ ⎝ ω ⎣ ⎦ Donde β y ω tienen unidades en s-1. Al realizar mediciones se obtiene un desplazamiento x 1 de 0.0162 m en un instante t 1 de . , - . . . v 2 2 1 y x 2 están próximos a los desplazamientos máximos y mínimo, respectivamente. Usando éstos valores en el modelo para x , determinar β y ω. Las estimaciones iniciales para β y ω se pueden encontrar a partir de la cercanía de x 1 y x 2 a los extremos del desplazamiento. Estas estimaciones son:
⎡ln⎛ − x2 ⎞⎤ ⎢ ⎜ x1 ⎟⎥ = [t 2 − t 1 ]
ω =
π
[t 2 − t 1 ]
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2002-I Un in eniero civil diseña un tan ue de a ua en forma de balón de fútbol tan ue esférico con radio de 5 m. está lleno hasta el tope. Se va a drenar por un agujero de radio b = 0.1 m en el fondo, comenzando a t = 0.00 seg. Si no hay fricción ¿Cuánto tiempo tardará el nivel de agua en llegar a 0.5 m, medido desde el f ondo?
Sugerencia.- La velocidad de agua que drena por el agujero está determinada por la ecuación
g ( z + R ) =
u2 2
Donde u es la velocidad, z es el nivel de agua medido desde el centro de la esfera, R es el radio del tanque y g es la aceleración de la gravedad igual a igual a 9.81 m/s2. El primer término del miembro derecho es la energía cinética del agua que sale del tubo y el . .
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2006-I
El factor de fricción f para los flujos turbulentos en una tubería esta dado por:
1 f
⎡e = 1.14 − 2 log10 ⎢ + D
9.35 Re f
⎤ ⎥
Llamada correlación de Colebrook. Donde: Re = Número de Re nolds e = aspereza de la superficie de la tubería D = diámetro de la tubería Aplicación.- Con base en los resultados de la expresión mostrada, se construye el Diagrama de Moody y que sirve para determinar f cuando se conoce el caudal. También se puede construir el diagrama de Jonson-Rouse que sirve para determinar f cuando el caudal es desconocido.
a) Escribir un procedimiento (pseudocódigo y/o diagrama de flujo) que resuelva la ecuación para f , utilizando un método numérico apropiado. b) Evalúe f ejecutando el procedimiento previo para los siguientes casos: D = 0.1 m e = 0.0025 m Re = 3 x 10 4 6 . . •
EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2009-I ECUACIONES NO LINEALES – APLICACIONES A LA INGENIERÍA Consideremos el cable AB de la figura adjunta que muestra un cable de transmisión suspendido por acción de “ ” . carga “γL” se mide en unidades de fuerza por unidad de longitud. Un cable que cuelga bajo la acción de su propio peso soporta una carga de este tipo, y la curva que adopta corresponde a un coseno hiperbólico o catenaria. La solución de la catenaria para “c” es un resultado intermedio para calcular la tensión máxima y “ ” .
y
⎛ x ⎞ ⎞ = c⎜⎜ cosh⎛ ⎜ ⎟ − 1⎟⎟ c
Con un método numérico abierto y uno cerrado, calcular el valor de la constante “ ” de tal forma que pueda determinar la longitud “ ” del cable usando la expresión:
s
x
= c ⋅ senh⎜ ⎟ ⎝ c ⎠
A
B
20 m
100 m
Texto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.1:
Una artesa de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r (ver figuras). Cuando se llena con agua hasta una distancia h desde la parte superior, el volumen V de agua es: = . πr - r arcsen r – r – Suponga que L=10 pies, r=1 pie y que V=12.4 pies3. ncuen re a pro un a e agua en a ar esa dentro de 0.01 pie.
Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se llena de agua hasta una distancia h de la parte superior, el volumen V de agua es V = L [ 0.5Πr 2 – r 2 arcsen(h /r ) – h (r 2 – h 2)1/2 ]
scr a un programa en a a am ga e para e usuario que lea los datos de este problema y . el método de bisección para encontrar la solución. r h
⎛ h ⎞ ⎟
sen β = ⎜
r h L
r
area sector = r 2α α = r
β
α
π 2
h
= A = area sector − area trian ular = r
2
base × altura 2
⎛ π − sen−1 2
⎡ ⎛ π − sen−1 (h / r ) ⎞⎟ − h
V = LA = L ⎢r 2 ⎜
π
− sen −1 ⎜ ⎟ 2 ⎝ r ⎠ 2 2 ⎛ π − ⎝ 2
− β =
= ⎞ − h
h / r
⎞ ⎠
−1
2
− 2
r
2
− h2
⎤
r 2 − h 2 ⎥
Texto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.3:
os pro emas re ac ona os con a can a e nero requerida para pagar una hipoteca en un periodo fijo ,
A = [1 – (1 + i )-n]*(p/i) Donde: Suponga que se necesita una hipoteca a 30 años para , sumo $625 al mes. ¿Cuál es la tasa de interés máxima
El valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularse con la ecuación de anualidad vencida A = P [(1
+ i )n - 1 ] / i
En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita periódicamente e i es la tasa de interés por per o o para os n per o os e ep s o. un ngen ero e gustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de $ 750 000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años y puede depositar $ 1,500 dólares mensuales para lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puede nver rse ese nero, supon en o que es un n er s compues o mensual? Escriba un ro rama en MatLab ara este roblema el programa deberá pedir todos los datos necesarios y utilizar el método de Newton para calcular el interés a que debe nver rse e nero.
Para estimar el valor inicial de i podemos desarrollar el binomio 1 + i n ara a roximarlo a la segunda potencia. El resultado es
−n i0 = n n − 1 P Se sugiere validar los datos de entrada. El capital a obtener debe ser mayor que el depósito por el número de abonos, es decir A > nP
a carga en un c rcu o
ser e es a a a por 2
q(t ) = q0 e − Rt /( 2 L ) cos ⎢
− ⎜ ⎟ t ⎥ ⎢ LC ⎝ 2 L ⎠ ⎥
Su on a q 0/q = 0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F.
Encuentre el valor de la Resistencia R usando el método de Newton. Haga un programa en C para este problema.
o os
um r cos
Aplicados a la Ingeniería
