S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
Versione n° 2 del 2/10/2006 2/10/2006
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S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
Versione n° 2 del 2/10/2006 2/10/2006
2
INDICE 1
Azioni Azioni interne interne ................................. ................................................... ................................... .................................. .................................. .................................. .............................5 ............5
2
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana...................... piana............. .................. ................... ................... .................. .................. ................ .......7 7
3
Disegno di una parabola note le tangenti .................. ......... .................. ................... ................... .................. .................. ................... ................... ................. ........9 9
4
Sistema di riferimento per il calcolo delle reazioni vincolari ................... .......... .................. .................. ................... ................... ..............9 .....9
5
Applicazioni Applicazioni del tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione .................. ......... ...........10 ..10 5.1
- Trave a mensola con carico concentrato inclinato di un angolo α posto posto all'estrem all'estremo o libero libero .....11
5.1.1
Verifica della isostaticità del sistema ................... .......... .................. .................. ................... ................... .................. .................. .............. .....11 11
5.1.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. ................................... ...................11 .11
5.1.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. .................. ...........11 ..11
5.1.4
Tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione........ sollecitazione .................. ................... ............12 ...12
5.2
- Trave a mensola con carico concentrato concentrato inclinato di un angolo α posto ad una distanza a
dall'incas dall'incastro tro ................................ ................................................. .................................. .................................. .................................. .................................. ................................... ...................13 .13 5.2.1
Verifica della isostaticità del sistema ................... .......... .................. .................. ................... ................... .................. .................. .............. .....13 13
5.2.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. ................................... ...................13 .13
5.2.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. .................. ...........13 ..13
5.2.4
Tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione........ sollecitazione .................. ................... ............14 ...14
5.3
Trave a mensola mensola con carico distribuito distribuito su tutta la lunghezza lunghezza .................. ......... .................. ................... ................... ............... ......15 15
5.3.1
Verifica della isostaticità del sistema ................... .......... .................. .................. ................... ................... .................. .................. .............. .....15 15
5.3.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. .................................. ...................15 ..15
5.3.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. ................... ...........15 .15
5.3.4
Tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione........ sollecitazione .................. ................... ............16 ...16
5.4
Confronto Confro nto tra la trave tr ave a mensola con carico distr distribuito ibuito su tutta tutt a la lunghezza e quella con carico
concentrato di valore valore pari alla risul r isultante tante del carico distribuito posto nel baricentro della distribuzione distribuzione 17 5.5
Trave cerniera-carrello con carico concentrato inclinato inclinato di un angolo α posto ad una distanza a
dall'estrem dall'estremo o di sinistra sinistra ................................. .................................................. .................................. .................................. .................................. .................................. ...................18 ..18 5.5.1
Verifica della isostaticità del sistema ................... .......... .................. .................. ................... ................... .................. .................. .............. .....18 18
5.5.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. ................................... ...................18 .18
5.5.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. ................... ...........18 .18
5.6
Trave cerniera-carrello cerniera-carrello con carico distribuito uniforme su tutta la lunghezza lunghezza .................. ......... .................. ......... 20
5.6.1
Verifica della isostaticità del sistema ................... .......... .................. .................. ................... ................... .................. .................. .............. .....20 20
5.6.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. ................................... ...................20 .20
5.6.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. ................... ...........20 .20
5.7
Sistema ad asse spezzato cerniera-carrello cerniera-carrello con carico distribuito distribuito sul tratto orizzontale.. orizzontale............ ...........22 .22
5.7.1
Verifica della isostaticità del sistema ................... .......... .................. .................. ................... ................... .................. .................. .............. .....22 22 3
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Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
5.7.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. .................................. ...................22 ..22
5.7.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. ................... ...........22 .22
5.8
Sistema ad asse spezzato spezzato cerniera-carrello cerniera-carrello con carico distribuito distribuito sul tratto verticale ................ ........ ........ 27
5.8.1
Verifica della isostaticità del sistema ................... .......... .................. .................. ................... ................... .................. .................. .............. .....27 27
5.8.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. .................................. ...................27 ..27
5.8.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. ................... ...........27 .27
5.9
Sistema ad asse spezzato spezzato pattino-carrello pattino-carrello con carico distribuito sul tratto orizzontale .............. ......... .....32 32
5.9.1
Verifica della isostaticità del sistema ................. ........ ................... ................... .................. .................. ................... ................... ............... ......32 32
5.9.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. .................................. ...................32 ..32
5.9.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. ................... ...........32 .32
5.10
Sistema ad asse spezzato spezzato pattino-carrello pattino-carrello con carico distribuito sul tratto verticale .................. ......... ......... 37
5.10.1
Verifica della isostaticità del sistema ................. ........ ................... ................... .................. .................. ................... ................... ............... ......37 37
5.10.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. .................................. ...................37 ..37
5.10.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. ................... ...........37 .37
5.11
Sistema composto composto da due travi di cui cui una ad asse asse spezzato spezzato e caricata caricata da un carico
uniformem uniformemente ente distribui distribuito to................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. ..............................42 .............42 5.11.1
Verifica della isostaticità del sistema ................... .......... .................. .................. ................... ................... .................. .................. .............. .....42 42
5.11.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. .................................. ...................42 ..42
5.11.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. ................... ...........43 .43
5.12
Sistema composto da due travi di cui una ad asse spezzato spezzato e caricata caricata da una coppia coppia concentrata
sul tratto verticale verticale .................................. ................................................... .................................. ................................... ................................... .................................. ........................48 .......48 5.12.1
Verifica della isostaticità del sistema ................... .......... .................. .................. ................... ................... .................. .................. .............. .....48 48
5.12.2
Calcolo Calcolo delle delle reazioni reazioni vincola vincolari ri .................................. ................................................... .................................. .................................. ...................48 ..48
5.12.3
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana ................... ......... ................... .................. .................. ................... ...........48 .48
4
1
Azioni interne
Le equazioni cardinali della Statica hanno consentito di calcolare le reazioni vincolari agenti su un sistema strutturale (composto da una o più travi) in modo tale da garantire l'equilibrio globale. Ci si propone di ottenere informazioni sulle sollecitazioni che agiscono in un sistema strutturale soggetto a carichi esterni (attivi e reatt ivi). ivi). Per semplicità, semplicità, e senza ledere ledere la generalità dei r isultati che si otterranno, ci si riferisce alla trave a mensola di Figura 1-1. Per una migliore visualizzazione la trave è rappresentata in assonometria ma è bene ricordare che essa deve considerarsi come un solido monodimensionale, nel quale, cioè, la dimensione longitudinale (quella dell'asse) risulta essere molto maggiore maggiore di quelle della sezione trasversale. Sempre per semplicità il carico esterno è applicato nel baricent baricentro ro della sezione di estremità, ma anche questo non lede la generalità dei risultati. YA WA XA
P
Figura 1-1: Trave a mensola in equilibrio equili brio sotto i carichi esterni e le reazioni vincolari
Si supponga di separare idealmente la trave in due parti sezionandola con un piano π ortogonalmente all'asse della trave stessa (Figura 1-2).) YA WA XA S
P
π
Figura 1-2: Trave a mensola di Figura 1-1 sezionata da un piano π
Affinché queste due parti (Figura 1-3) si mantengano individualmente in equilibrio è necessario postulare postulare (cioè si assume come vero e non si dimostra) che le due part i si scambino, attraverso la sezione S di separazione, delle azioni di cui le equazioni cardinali della Statica consentono di determinare la r isultante. Per semplicità tale risultante viene riportata nel baricentro della sezione S aggiungendo l'eventuale coppia di 5
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Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
trasporto (Figura 1-4). La risultante viene quindi decomposta nelle direzioni tangente all'asse ed ortogonale ad esso, e tali componenti vengono indicate, rispettivamente, con N e T (Figura 1-5). E' importante sottolineare che le tre quantità N , T ed M non forniscono indicazioni sullo stato di sollecitazione locale nei punti della sezione (di cui si occupa invece l'analisi dello stato di tensione). Tuttavia, tali quantità rappresentano delle misure globali significative dello stato di sollecitazione e la loro conoscenza risulta essere di fondamentale importanza, come sarà approfondito in altri capitoli della Statica. Le tre quantità N , T ed M vengono chiamate, rispettivamente, sforzo normale, sforzo di taglio e momento flettente e vengono indicate complessivamente come azioni interne. Tali quantità sono dotate di segno e la convenzione adottata è quella riportata in Figura 1-6 , nella quale si suppone positivo lo sforzo normale se di t razione, quello di taglio se tende a far ruotare in senso orario l'elemento su cui agisce ed il momento se tende le fibre inferiori. A prescindere dalla convenzione adottata è importante sottolineare, come sarà meglio messo in evidenza in altri capitoli della Statica, che alcuni materiali reagiscono differentemente a trazione e compressione, e, quindi, è di fondamentale importanza la conoscenza di quali fibre della t rave risultano essere tese e quali compresse. Tale considerazione riguarda quindi lo sforzo normale ed il momento flettente, in quanto la risposta dei materiali allo sforzo di taglio non risulta influenzata dal segno. YA WA XA S
S
P
Figura 1-3: Trave a mensola di Figura 1-1 separata in due parti distinte YA WA XA
R S M S M
R
P
Figura 1-4: Condizioni di equilibrio per le due parti singolarmente prese
6
YA WA R
XA S
T N
M S M T
N P
R
Figura 1-5: Determinazione delle caratteristiche della sollecitazione
M(x)
M(x+∆ x) T(x)
N(x)
N(x+∆ x) T(x+∆ x)
Figura 1-6: Sistema di riferimento per le azioni interne
2
Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana
Si consideri la trave a mensola di Figura 2-1 soggetta alle condizioni più generiche di carichi esterni uniformemente distribuiti: un carico uniformemente distribuito di ampiezza p x agente lungo l'asse della trave, uno uniformemente distribuito di ampiezza p z agente ortogonalmente all'asse della trave e delle coppie uniformemente distribuite di ampiezza m. Così come detto nel paragrafo precedente, la scelta di una trave a mensola è dovuta a ragioni di semplicità e non lede la generalità dei risultati. m p
z
p
x
Figura 2-1: Trave a mensola soggetta a carichi esterni uniformemente distribuiti
La trave si trova in condizioni di equilibrio sotto l'azione dei carichi esterni e delle reazioni vincolari determinabili attraverso le equazioni cardinali della Statica. Si individuano a ll'interno della trave due sezioni poste, rispettivamente, alla distanza x ed x + ∆ x, essendo x un sistema di riferimento locale avente origine nell'estremo incastrato della trave (Figura 2-2).
7
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Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
m p
z
p
x
x x+∆ x
Figura 2-2: Individuazione di un tronco di trave di lunghezza ∆ x
Estraendo dalla trave il tronco elementare di lunghezza ∆x, per garantirne l'equilibrio è necessario mettere in evidenza le azioni interne oltre, evidentemente, ai carichi esterni, (Figura 2-3):
p
M(x)
M(x+∆ x)
z
T(x)
p
x
N(x)
A
N(x+∆ x) T(x+∆ x) m
Figura 2-3: Tronco elementare di lunghezza ∆ x in equilibrio sotto i carichi esterni e le caratteristiche della sollecitazione
Applicando le equazioni cardinali della Statica al t ronco elementare di Figura 2-3 si ottiene: N ( x + ∆x ) − N ( x ) + p x ( x ) ∆x = 0;
−T ( x + ∆x ) + T ( x ) − p z ( x ) ∆x = 0;
(1)
M ( x + ∆x ) − M ( x ) − T ( x ) ∆x + m ∆x = 0;
Portiamo a secondo membro i carichi esterni e, dividendo per ∆x entrambi i membri, si ottiene: N ( x + ∆x ) − N ( x )
∆ x T ( x + ∆x ) − T ( x ) ∆ x M ( x + ∆x ) − M ( x ) ∆ x
= − p x ( x ) ; = − p z ( x ) ;
(2)
= T ( x ) − m;
Calcoliamo a questo punto il limite delle quantità definite dalle equazioni (2), cioè facciamo avvicinare le due sezioni fintantoché non arrivino praticamente a contatto, cioè: lim
N ( x + ∆x ) − N ( x )
∆ x T ( x + ∆x ) − T ( x )
= − p x ( x ) ;
' N ( x ) = − p x ( x ) ; N ( x ) = − p x ( x ) x + C 0 ; = − p z ( x ) ; ⇒ T ' ( x ) = − p z ( x ) ; ⇒ T ( x ) = − p z ( x ) x + C 1 ; lim (3) ∆ x→0 ∆ x ' 2 = − = − + + − M x T x m M x p x x C x C m ; 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) z 1 2 M ( x + ∆x ) − M ( x ) = T ( x ) − m; lim ∆ x→0 ∆ x ∆ x →0
Nelle scrittura delle (3) si è t enuto in considerazione che il limite delle quantità a primo membro delle (2) è il limite di un rapporto incrementale e, quindi, secondo le definizioni dell'Analisi Matematica rappresen8
ta la derivata della funzione nel punto. L'esame del secondo gruppo di equazioni nelle (3), consente di effettuare alcune considerazioni: a) la derivata dello sforzo normale è pari all'opposto della intensità del carico uniformemente distribuito in direzione x e tale funzione (sforzo normale) non è legata in alcun modo agli altri carichi esterni né alle altre caratteristiche della sollecitazione; b) la derivata dello sforzo di taglio è pari all'opposto della intensità del carico uniformemente distribuito agente in direzione ortogonale all'asse; c) la derivata del momento flettente è pari al taglio al quale va sottratto l'intensità delle coppie uniformemente distribuite. La considerazione c) impone un legame forte tra il momento flettente ed il taglio, in particolare nel caso in cui, come solitamente si suppone, m=0. Infatti, in tal caso la derivata del momento flettente è pari al taglio e, quindi, laddove ad esempio il taglio si annulli significa che lì il momento avrà derivata nulla e cioè un massimo (o un minimo) con tangente orizzontale. Si definiscono diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione i diagrammi che descrivono l'andamento delle caratteristiche della sollecitazione al variare della ascissa x lungo l'asse della trave (o delle travi se il sistema strutturale è composto da più travi).
3
Disegno di una parabola note le tangenti
Note le tangenti r ed s alla parabola, identificate dai segmenti AB e BC, rispettivamente, si dividono questi ultimi in un numero uguale di parti (Figura 3-1). Si numerano entrambi i segmenti nello stesso verso e si uniscono gli estremi con lo stesso numero. L'inviluppo così creato rappresenta la parabola cercata.
A
r
1
2
3
s
4
B
1
2
3
4
C
Figura 3-1: Disegno di una parabola note le tangenti
4
Sistema di riferimento per il calcolo delle reazioni vincolari
Nel prosieguo il sistema di riferimento adottato, laddove non diversamente segnalato, per il calcolo delle reazioni vincolari è il seguente:
y ϕ x Figura 4-1: Sistema di riferimento utilizzato per il calcolo delle reazioni vincolari
9
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Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
5 Applicazioni del tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
10
5.1
- Trave a mensola con carico concentrato inclinato di un angolo α α posto all'estremo libero
5.1.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 1; µ A = 3 ⇒
q = 3 n − µ totale = 0
(4)
L'incastro impedisce tutti i GL del sistema quindi la isostaticità è assicurata.
5.1.2 Calcolo delle reazioni vincolari Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari scriviamo le equazioni cardinali della St atica, considerando l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto A, ottenendo: X A − P cos (α ) = 0
X A = P cos (α )
Y A − P sin (α ) = 0 ⇒ YA = P sin (α ) W A = P sin (α ) ℓ W A − P sin (α ) ℓ = 0
(5)
Il fatto che le reazioni vincolari siano venute con il segno positivo significa che i versi ipotizzati erano corretti.
5.1.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana
N ( x ) = costante = C0 ; C0 = N ( 0 ) = − X A ; ⇒ ⇒ = = = = T ' ( x ) = 0; T x C C T Y costante ; 0 ; ( ) ( ) 1 1 A ' = = + = = − lineare ; 0 ; M x C x C C M W M ( x ) = costante; ( ) ( ) 1 2 2 A N ' ( x ) = 0;
(6)
L'esame delle equazioni (6) indica che, dal momento che p x = 0 , il diagramma dello sforzo normale deve essere costante lungo tutto il dominio 0 ≤ x ≤ ℓ . Analogamente si può affermare per quanto riguarda il diagramma del taglio in quanto anche p z = 0 . Ricordando il legame che intercorre tra il momento flettente ed il taglio, si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente deve essere lineare. Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ottiene M ( x ) = Y A x − YA ℓ = YA ( x − ℓ )
(7)
dalla quale si deduce immediatamente che il valore minimo (pari a W A ) si ha in corrispondenza dell'incastro ed il valore nullo sull'estremo libero. I valori delle costanti C 0 , C 1 e C 2 sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi del dominio. In particolare nelle (6) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza dell'incastro, cioè per x = 0 .
11
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
5.1.4 Tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
P A ℓ
YA WA
P
XA
A
N
-
XA
YA
+
T
WA
-
M
Figura 5-1: Sistema assegnato, reazioni vincolari e diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
12
5.2
- Trave a mensola con carico concentrato inclinato di un angolo α α posto ad una di- stanza a dall'incastro
5.2.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 1; µ A = 3 ⇒
q = 3 n − µ totale = 0
(8)
L'incastro impedisce tutti i GL del sistema quindi la isostaticità è assicurata.
5.2.2
Calcolo delle reazioni vincolari
Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari scriviamo le equazioni cardinali della Statica, considerando l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto A, ottenendo: X A − P cos (α ) = 0
X A = P cos (α )
Y A − P sin (α ) = 0 ⇒ YA = P sin (α ) W A = P sin (α ) a W A − P sin (α ) a = 0
(9)
Il fatto che le reazioni vincolari siano venute con il segno positivo significa che i versi ipotizzati erano corretti. Si può notare come i risultati dell'esempio precedente si possano considerare una particolarizzazione di quelli ottenuti in questo esempio al caso in cui a = ℓ .
5.2.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana Prima di scrivere le equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana è necessario dividere in due parti distinte la trave; infatti, la presenza del carico concentrato rappresenta una discontinuità che deve essere tenuta in opportuna considerazione. Si divide quindi la lunghezza della trave in due domini, uno 0 ≤ x ≤ a e l'altro a ≤ x ≤ ℓ ; entrambi i sistemi di riferimento hanno origine nell'incastro. Di conseguenza devono essere determinate sei funzioni delle caratteristiche della sollecitazione in quanto ce ne sono tre per la prima parte di trave e tre per la seconda. Si ottiene: I I N I ( x ) = costante = C0 ; C0 = N ( 0 ) = − X A ; I I ⇒ ⇒ = = = = T I' ( x ) = 0; T x C C T Y costante ; 0 ; ( ) ( ) I A 1 1 I I I ' = = + = = − M I ( x ) = costante; M x C x C C M W lineare ; 0 ; ( ) ( ) I A 1 2 2
N I' ( x ) = 0;
N II ( x ) = costante = C II C0II = N II ( ℓ ) = 0; 0 ; II II = = = = costante ; 0; ⇒ ⇒ T II' ( x ) = 0; T x C C T ℓ II ( ) II ( ) 1 1 II II II ' M II ( x ) = costante; M II ( x ) = lineare = C1 x + C2 ; C2 = M II ( ℓ ) = 0;
(10)
N II' ( x ) = 0;
(11)
L'esame delle equazioni (10)-(11) indica che, dal momento che p x = 0 , il diagramma di N I deve essere costante lungo tutto il dominio 0 ≤ x ≤ a , ed altrettanto si può affermare per quanto riguarda N II nel dominio a ≤ x ≤ ℓ . Analogamente si può affermare per quanto riguarda sia il diagramma di T I che per T II in quanto in entrambi i tratti p z = 0 . Ricordando le equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana (3), 13
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Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente risulta lineare per 0 ≤ x ≤ a e nullo per tutto il tratto a ≤ x ≤ ℓ in quanto p z = C1 II = C 2II = 0 . Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ottiene M ( x ) = Y A x − YA ℓ = YA ( x − a )
(12)
dalla quale si deduce immediatamente che il valore minimo (pari a W A ) si ha in corrispondenza dell'incastro ed il valore nullo all'ascissa x = a . I valori delle sei costanti sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi dei domini. In particolare nelle (10) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza dell'incastro, cioè per x = 0 , mentre nelle (11) in corrispondenza dell'estremo libero x = ℓ .
5.2.4
Tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
P A a
ℓ
YA WA
P
XA
A
N
-
XA
YA
+
T
WA
-
M
Figura 5-2: Sistema assegnato, reazioni vincolari e diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
E' importante sottolineare che i diagrammi dello sforzo normale e del taglio presentano una discontinuità (un salto) in corrispondenza del punto di applicazione del carico concentrato. Tale discontinuità è di valore pari alla corrispondente componente del carico concentrato. Il diagramma del momento flettente, invece, coerentemente con le indicazioni fornite dalle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana possiede una discontinuità nella tangente (cioè una cuspide), tale da accogliere la componente verticale del carico concentrato. Tali considerazioni sono di validità generale e risultano di fondamentale importanza nel tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione anche per sistemi più complessi.
14
5.3
Trave a mensola con carico distribuito su tutta la lunghezza
5.3.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 1; µ A = 3 ⇒
q = 3 n − µ totale = 0
(13)
L'incastro impedisce tutti i GL del sistema quindi la isostaticità è assicurata.
5.3.2 Calcolo delle reazioni vincolari Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari sostituiamo al carico uniformemente distribuito la sua risultante P = p z ℓ applicata nel baricentro della distribuzione (per il caso in esame a metà della lunghezza del tratto in cui è applicato il carico distribuito), e scriviamo le equazioni cardinali della Statica, considerando l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto A, ottenendo: X A = 0
Y A − P = 0
W A − P ℓ 2 = 0
X A = 0
⇒
YA = P W A = P ℓ 2 = pz
(14) ℓ
2
2
Il fatto che le reazioni vincolari siano venute con il segno positivo significa che i versi ipotizzati erano corretti.
5.3.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana Nel caso in esame il carico esterno è una funzione continua per tutta la lunghezza della trave. Ne deriva che il dominio di integrazione delle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana è unico. Si ottiene
N ( x ) = costante = C0 ; C0 = N ( 0 ) = 0; T ' ( x ) = − p z ; ⇒ T ( x ) = lineare = − p z x + C1 ; ⇒ C1 = T ( 0 ) = YA ; ' 2 C2 = M ( 0 ) = −W A ; M ( x ) = T ( x ) ; M ( x ) = parabolico = − p z x 2 + C1 x + C 2 ; N ' ( x ) = 0;
(15)
L'esame delle equazioni (15) indica che, dal momento che p x = 0 , il diagramma dello sforzo normale deve essere costante lungo tutto il dominio 0 ≤ x ≤ ℓ . Per quanto riguarda il diagramma del taglio, dal momento che p z ≠ 0 si può affermare in quanto che esso deve essere lineare. Ricordando il legame che intercorre tra il momento flettente ed il taglio, si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente deve essere parabolico. Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ottiene 2
2
M ( x ) = − p z x 2 + YA x − WA = − p z x 2 + p z ℓ x − p z
ℓ
2
2 2 = − p z x 2 − ℓ ( x − ℓ 2 )
(16)
dalla quale si deduce immediatamente che il valore minimo (pari a W A )si ha in corrispondenza dell'incastro ed il valore nullo sull'estremo libero. I valori delle costanti C 0 , C 1 e C 2 sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi del dominio. In part icolare nelle (15) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza dell'incastro, cioè per x = 0 . Per quanto riguarda il tracciamento della parabola si può ricorrere al metodo delle tangenti descritto nel 15
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
paragrafo 3 considerando come tangenti il diagramma del momento flettente ricavato dall'esempio precedente nel caso in cui a = ℓ 2; α = π 2; P = p z ℓ .
5.3.4 Tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
pz A ℓ
YA WA
P=pz ℓ
XA
A
N
YA T
WA
+
-
M
Figura 5-3: Sistema assegnato, reazioni vincolari e diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
16
5.4
Confronto tra la trave a mensola con carico distribuito su tutta la lunghezza e quella con carico concentrato di valore pari alla risultante del carico distribuito posto nel baricentro della distribuzione
Si possono effettuare le seguenti considerazioni:
Le reazioni vincolari sono uguali a patto di considerare P = p z ℓ ;
Il diagramma dello sforzo normale è nullo in entrambi i casi perché non ci sono componenti dei carichi esterni dirette secondo l'asse della trave;
Il diagramma del taglio presenta una discontinuità (pari a P) nel caso di carico concentrato mentre risulta essere una funzione continua lineare nel caso di carico uniformemente distribuito;
Il diagramma del momento flettente per carico concentrato rappresenta le tangenti alla parabola del diagramma del momento flettente per carico uniformemente distribuito.
P
pz A
A ℓ
YA WA
ℓ
XA
A
WA
XA
N
YA T
WA
P
YA
P=pz ℓ
A
N
YA
+
+
T
WA
-
M
-
M
Figura 5-4: Confronto tra il caso di una trave a mensola soggetta ad un carico uniformemente distribuito e ad un carico concentrato in mezzeria.
17
S. Benfratello
5.5
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
Trave cerniera-carrello con carico concentrato inclinato di un angolo α α posto ad una distanza a dall'estremo di sinistra
5.5.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 1; µ A = 2, µ B = 1 ⇒
q = 3 n − µ totale = 0
(17)
La cerniera in A impedisce le due traslazioni assolute (orizzontale e verticale) consentendo alla trave solamente la rotazione assoluta attorno ad A. Questa è impedita dal carrello in B in quanto perché avvenga la rotazione è necessario che l'estremo in B abbia uno spostamento verticale il quale risulta, invece, impedito proprio dal carrello. Da queste considerazioni si deduce che il sistema risulta essere isostatico.
5.5.2 Calcolo delle reazioni vincolari Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari scriviamo le equazioni cardinali della St atica, considerando l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto A, ottenendo: X A − P cos (α ) = 0
X A = P cos (α )
Y A + YB − P sin (α ) = 0 ⇒ YA + YB = P sin (α ) ⇒ YA = P sin (α ) b Y B ℓ − P sin (α ) a = 0 YB = P sin (α ) a ℓ
ℓ
(18)
E' importante sottolineare che, nel caso in cu 0 ≤ α ≤ π 2 , le reazioni vincolari risultano essere positive e quindi i versi ipotizzati sono corretti.
5.5.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana Prima di scrivere le equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana è necessario, anche in questo caso, dividere in due parti distinte la trave; infatti, la presenza del carico concentrato rappresenta una discontinuità che deve essere tenuta in opportuna considerazione. Si divide quindi la lunghezza della trave in due domini, uno 0 ≤ x ≤ a e l'altro a ≤ x ≤ ℓ ; entrambi i sistemi di riferimento hanno origine nell'estremo A. Di conseguenza devono essere determinate sei funzioni delle caratteristiche della sollecitazione in quanto ce ne sono tre per la prima parte di trave e tre per la seconda. Si ottiene:
N I ( x ) = costante = C I0 ; C0I = N I ( 0 ) = − X A ; I I ⇒ ⇒ T I' ( x ) = 0; T x C C T Y = = = = costante ; 0 ; I ( ) I ( ) A 1 1 I I I ' M I ( x ) = costante; M I ( x ) = lineare = C1 x + C2 ; C2 = M I ( 0 ) = 0; N I' ( x ) = 0;
II II N II ( x ) = costante = C0 ; C0 = N II ( ℓ ) = 0; II T II' ( x ) = 0; C1II = TII ( ℓ ) = −YB ; ⇒ TII ( x ) = costante = C1 ; ⇒ II II II ' M II ( x ) = costante; M x C x C M ℓ ) = 0 ⇒ C2 = Y Bℓ; = = + lineare ; ( ) ( II II 1 2
(19)
N II' ( x ) = 0;
(20)
L'esame delle equazioni (19)-(20) indica che, dal momento che p x = 0 , il diagramma di N I deve essere costante lungo tutto il dominio 0 ≤ x ≤ a , ed altrettanto si può affermare per quanto riguarda N II nel do18
minio a ≤ x ≤ ℓ . Analogamente si può affermare per quanto riguarda sia il diagramma di T I che per T II in quanto in entrambi i tratti p z = 0 . Ricordando le equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana (3), si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente deve essere lineare in entrambi i tr atti ma I II con pendenze diverse in quanto C1 ≠ C 1 . Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ottiene
M I ( x ) = YA x
;
M II ( x ) = YB ( ℓ − x )
(21)
I valori delle sei costanti sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi dei domini. In particolare nelle (19) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza dell'estremo A ( x = 0 ), mentre nelle (20) in corrispondenza dell'estremo B ( x = ℓ ). P A
B
a
ℓ YA XA
YB
P
A
B
N XA
-
YA
+
T
-
YB
M
+
Figura 5-5: Sistema assegnato, reazioni vincolari e diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
Nel caso particolare in cui a = ℓ 2 , come è facile verificare, si ottiene: Y A = YB = P sin (α ) / 2
(22)
e quindi le pendenze delle rette che rappresentano i diagrammi del momento flettente nei due tratti sono uguali in valore assoluto ma di segno opposto.
19
S. Benfratello
5.6
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
Trave cerniera-carrello con carico distribuito uniforme su tutta la lunghezza
5.6.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 1; µ A = 2, µ B = 1 ⇒
q = 3 n − µ totale = 0
(23)
La cerniera in A impedisce le due traslazioni assolute (orizzontale e verticale) consentendo alla trave solamente la rotazione assoluta attorno al punto A. Questa è impedita dal carrello in B in quanto perché avvenga la rotazione è necessario che l'estremo in B abbia uno spostamento verticale che risulta, invece, impedito proprio dal carrello. Da queste considerazioni si deduce che il sistema risulta essere isostatico.
5.6.2 Calcolo delle reazioni vincolari Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari sostituiamo al carico uniformemente distribuito la sua risultante P = p z ℓ applicata nel baricentro della distribuzione (per il caso in esame a metà della lunghezza del tratto
in cui è applicato il carico distribuito), e scriviamo le equazioni cardinali della Statica, considerando l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto A, ottenendo: X A = 0
X A = 0
Y A + YB − P = 0 ⇒ YA + YB = P ⇒ YA = P Y B ℓ − P ℓ 2 = 0 YB = P 2
2
(24)
Il fatto che le reazioni vincolari siano venute con il segno positivo significa che i versi ipotizzati erano corretti.
5.6.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana Nel caso in esame il carico esterno è una funzione continua per tutta la lunghezza della trave. Ne deriva che il dominio di integrazione delle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana è unico. Si ottiene
N ( x ) = costante = C0 ; C0 = N ( 0 ) = 0; T ' ( x ) = − p z ; ⇒ T ( x ) = lineare = − p z x + C1 ; ⇒ C1 = T ( 0) = YA = p z ℓ 2; ' 2 C2 = M ( 0 ) = 0; M ( x ) = T ( x ) ; M ( x ) = parabolico = − p z x 2 + C1 x + C 2 ; N ' ( x ) = 0;
(25)
L'esame delle equazioni (25) indica che, dal momento che p x = 0 , il diagramma dello sforzo normale deve essere costante lungo tutto il dominio 0 ≤ x ≤ ℓ . Per quanto riguarda il diagramma del taglio, dal momento che p z ≠ 0 si può affermare in quanto che esso deve essere lineare. Ricordando il legame che intercorre tra il momento flettente ed il taglio, si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente deve essere parabolico. Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ottiene M ( x ) = − p z x 2 + YA x = − p z x 2 + p z ℓ x 2 = p z ( ℓx − x 2
2
2
)
2
(26)
dalla quale si deduce immediatamente che il valore massimo si ha in corrispondenza della mezzeria della trave ( M ( ℓ 2 ) = p z ℓ 2 8 ) ed i valori nulli in corrispondenza degli estremi. I valori delle cost anti C 0 , C 1 e 20
C 2 sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi del do-
minio. In particolare nelle (25) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza dell'estremo A, cioè per x = 0 . Per quanto riguarda il tracciamento della parabola si può ricorrere al metodo delle tangenti descritto nel paragrafo 3 considerando come tangenti il diagramma del momento flettente ricavato dall'esempio precedente nel caso in cui a = ℓ 2; α = π 2; P = p z ℓ . p z A
B
ℓ YA XA
YB
P
A
B
N
YA
+
T
-
M
YB
+
Figura 5-6: Sistema assegnato, reazioni vincolari e diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
E' importante sottolineare come le reazioni vincolari della cerniera in A e del carrello in B sono uguali; ciò implica che il diagramma del taglio sia una farfalla con punto di nullo in mezzeria. E' anche importante sottolineare (come si può peraltro dedurre facilmente dalla figura) che in corrispondenza del valore di taglio nullo il diagramma del momento flettente presenta un massimo con tangente orizzontale, in accordo con le equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana.
21
S. Benfratello
5.7
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
Sistema ad asse spezzato cerniera-carrello con carico distribuito sul tratto orizzon- tale
5.7.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 1; µ A = 2, µ B = 1 ⇒
q = 3 n − µ totale = 0
(27)
Il sistema strutturale assegnato si può considerare come composto da un unico corpo, per cu n=1. L'analisi delle molteplicità dei vincoli in A e B porta alla conclusione che la condizione necessaria per la isostaticità è verificata. Per quanto riguarda la condizione sufficiente, facciamo le seguenti considerazioni. La cerniera in A impedisce le due traslazioni assolute (orizzontale e verticale) consentendo al sistema solamente la rotazione assoluta attorno ad A. Questa è impedita dal carrello in B in quanto perché avvenga la rotazione è necessario che l'estremo in B abbia uno spostamento con componente ortogonale al piano di scorrimento del carrello diversa da zero. Tale considerazione porta alla conclusione che il sistema assegnato verifica anche la condizione sufficiente e quindi il sistema è isostatico.
5.7.2 Calcolo delle reazioni vincolari Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari sostituiamo al carico distribuito la sua r isultante P = p z ℓ applicata al baricentro della distribuzione (cioè in mezzeria del tratto AD) scriviamo le equazioni cardinali della Statica, considerando l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto B, ottenendo:
2 sin (α ) + cos (α ) X A + RB cos (α ) = 0 X A = − RB cos (α ) sin (α ) Y A + RB sin (α ) − P = 0 ⇒ YA = − RB sin (α ) + P (28) ⇒ YA = pz ℓ 1 − α + α 2 sin cos ( ) ( ) −Y A ℓ − X A ℓ + Pℓ / 2 = 0 R B ℓ sin (α ) + cos (α ) = Pℓ / 2 p z ℓ cos (α ) X A = − 2 sin (α ) + cos (α ) R B =
p z ℓ
Da un esame delle equazioni (28) si deduce che per stabilire il segno delle reazioni vincolari analiticamente è necessario conoscere il valore dell'angolo α. Al fine di stabilire i versi delle caratteristiche della sollecitazione per le condizioni al contorno delle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana si può quindi fare riferimento alla determinazione grafica delle reazioni vincolari riportata in Figura 5-8.
5.7.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana Dal momento che il sistema risulta composto da due travi ciascuna ad asse rettilineo non contiguo, prima di scrivere le equazioni indefinite di equilibrio per la tr ave piana è necessario dividere in due parti distinte il sistema. Si divide quindi il sistema in due domini, uno 0 ≤ x ≤ ℓ (tratto AD, orientato positivamente da A a D) e l'altro 0 ≤ x ≤ ℓ (tratto BD, orientato positivamente da B a D). Di conseguenza devono essere determinate sei funzioni delle caratteristiche della sollecitazione in quanto ce ne sono tre per il primo trat22
to e tre per il secondo. Si ottiene:
N I ( x ) = costante = C I0 ; C0I = N ( 0 ) = X A ; I ⇒ T I' ( x ) = − pz ; ⇒ TI ( x ) = lineare = − pz x + C1 I ; C T Y = = 0 ; ( ) A 1 ' 2 I I I M I ( x ) = TI ( x ) ; M I ( x ) = parabolico = − pz x 2 + C1 x + C 2 ; C 2 = M ( 0 ) = 0; N I' ( x ) = 0;
N II ( x ) = costante = C II C0II = N II ( 0 ) = −Y B ; ; 0 II II T II' ( x ) = 0; ⇒ TII ( x ) = costante = C1 ; ⇒ C1 = TII ( 0 ) = − X B ; ' II II II M II ( x ) = costante; M x C x C C M = = + = = lineare ; 0 0; ( ) ( ) II 1 2 2 II
(29)
N II' ( x ) = 0;
(30)
L'esame delle equazioni (29)-(30) indica che, dal momento che p x = 0 , il diagramma di N I deve essere costante lungo tutto il tratto AD, ed altrettanto si può affermare per quanto riguarda N II nel tratto BD. Per quanto riguarda il diagramma di T I questo deve essere lineare dal momento che p z ≠ 0 , mentre T II deve essere costante in quanto nel tratto BD p z = 0 . Ricordando il legame che intercorre tra il momento flettente ed il taglio, si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente deve essere lineare nel tratto BD e parabolico nel tratto AD. Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ottiene M I ( x ) = − pz x 2 + YA x
;
M II ( x ) = − X B x
(31)
I valori delle sei costanti sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi dei domini. In particolare nelle (29) e nelle (30) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza dell'estremo A e dell'estremo B, cioè per x = 0 per entrambi i tratti. Nella scrittura delle equazioni (31) si sono assunte come fibre inferiori del tratto BD quelle esterne (coerentemente con l'avere scelto l'origine del sistema di riferimento in B).
pz D
A
ℓ
B α
Figura 5-7: Sistema assegnato 23
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
P = pzℓ A
D
C
B
RB RA
K
P
Figura 5-8: Determinazione grafica delle reazioni vincolari
N
+
-
24
+ -
T
-
M
A
P = pzℓ C
E
O D
E' C'
B Figura 5-9: Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
Il diagramma del momento flettente su tutto il sistema (quindi sia di M I che di M II ) può essere disegnato per via grafica non ricorrendo esplicitamente alle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana. A 25
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
tal fine è importante ricordare che il momento di una forza è nullo se viene calcolato rispetto ad un qualsiasi punto che appartiene alla retta di azione della forza stessa. Con riferimento al sistema assegnato, si parte ad esempio dal punto B. L'analisi del sistema rivela immediatamente che il diagramma del momento flettente deve essere lineare nel tratto BD e che le fibre tese sono quelle di sinistra. Per tracciare una retta è necessario conoscere due punti: uno è il punto B che rappresenta il punto di nullo in quanto sul carrello il momento non può essere presente (tra l'altro B appartiene alla retta di azione di R B e quindi il momento deve essere nullo per quanto affermato in precedenza) e l'altro si determina scegliendo la scala grafica e quindi scegliendo il segmento DE. In tal modo il diagramma del momento flettente sul tratto BD è univocamente determinato. Per procedere al tracciamento del diagramma sul tratto DA si deve innanzitutto ribaltare il segmento DE in DE' (per motivi di equilibrio del nodo D) così come riportato in figura. Si sostituisce ora temporaneamente il carico uniformemente distribuito con la sua risultante applicata nel punto C. Nel tratto DC il momento risulta lineare ed un punto di esso è il punto E' determinato col ribaltamento al nodo D. Si tratta ora di trovare un secondo punto. In generale è comodo e conveniente trovare il punto di nullo. Questo è il punto di intersezione dell'asse della trave sul quale stiamo tracciando il diagramma con la risultante di tutte le forze (attive e reattive) che agiscono a destra o a sinistra del tratto considerato. Dal momento che a destra agisce solamente R B ne deriva che il punto di nullo è il punto O. Unendo O con E' fino ad arrivare sulla perpendicolare a C si ottiene il tratto di diagramma cercato. Per quanto riguarda il tratto AC, il momento deve essere lineare. Un punto di tale diagramma è sicuramente C' mentre il punto di nullo è chiaramente rappresentato da A (in quanto sulla cerniera non può essere presente il momento). Ricordando che il diagramma del momento per carico concentrato (equivalente ad uno distribuito) costituisce le tangenti al diagramma del momento per carico uniformemente distribuito è possibile disegnare la parabola con il metodo descritto nel paragrafo 3. Per chiarezza di rappresentazione la parabola non è stata disegnata.
26
5.8
Sistema ad asse spezzato cerniera-carrello con carico distribuito sul tratto verticale
5.8.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 1; µ A = 2, µ B = 1 ⇒
q = 3 n − µ totale = 0
(32)
Il sistema strutturale assegnato si può considerare come composto da un unico corpo, per cu n=1. L'analisi delle molteplicità dei vincoli in A e B porta alla conclusione che la condizione necessaria per la isostaticità è verificata. Per quanto riguarda la condizione sufficiente, facciamo le seguenti considerazioni. La cerniera in A impedisce le due traslazioni assolute (orizzontale e verticale) consentendo al sistema solamente la rotazione assoluta attorno ad A. Questa è impedita dal carrello in B in quanto perché avvenga la rotazione è necessario che l'estremo in B abbia uno spostamento con componente ortogonale al piano di scorrimento del carrello diversa da zero. Tale considerazione porta alla conclusione che il sistema assegnato verifica anche la condizione sufficiente e quindi il sistema è isostatico.
5.8.2 Calcolo delle reazioni vincolari Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari sostituiamo al carico distribuito la sua r isultante P = p z ℓ applicata al baricentro della distribuzione (cioè in mezzeria del tratto BD) scriviamo le equazioni cardinali della Statica, considerando l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto B, ottenendo:
α + α 2 sin cos ( ) ( ) X A + RB cos (α ) + P = 0 X A = − P − RB cos (α ) sin (α ) Y A + RB sin (α ) = 0 ⇒ YA = − RB sin (α ) ⇒ YA = pz ℓ (33) α + α 2 sin cos ( ) ( ) −Y A ℓ − X A ℓ − Pℓ / 2 = 0 Pℓ R B ℓ sin (α ) + cos (α ) = − cos (α ) 2 X A = − pz ℓ 1 − 2 sin (α ) + cos (α ) R B = −
p z ℓ
Da un esame delle equazioni (33) si deduce che per stabilire il segno delle reazioni vincolari analiticamente è necessario conoscere il valore dell'angolo α. Al fine di stabilire i versi delle caratteristiche della sollecitazione per le condizioni al contorno delle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana si può quindi fare riferimento alla determinazione grafica delle reazioni vincolari riportata in Figura 5-11.
5.8.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana Dal momento che il sistema risulta composto da due travi ciascuna ad asse rettilineo non contiguo, prima di scrivere le equazioni indefinite di equilibrio per la tr ave piana è necessario dividere in due parti distinte il sistema. Si divide quindi il sistema in due domini, uno 0 ≤ x ≤ ℓ (tratto AD, orientato positivamente da A a D) e l'altro 0 ≤ x ≤ ℓ (tratto BD, orientato positivamente da B a D). Di conseguenza devono essere determinate sei funzioni delle caratteristiche della sollecitazione in quanto ce ne sono tre per il primo tratto e tre per il secondo. Si ottiene: 27
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
N I ( x ) = costante = C I0 ; C0I = N I ( 0 ) = X A ; I I ⇒ ⇒ = = = = T I' ( x ) = 0; T x C C T Y costante ; 0 ; I ( ) 1 1 I ( ) A ' I I I M I ( x ) = costante; M I ( x ) = lineare = C1 x + C2 ; C2 = M I ( 0 ) = 0; N I' ( x ) = 0;
C0II = N II ( 0 ) = RB sin (α ) ; N II ( x ) = costante = C II 0 ; II T II' ( x ) = − pz ; ⇒ TII ( x ) = lineare = − p z x + C1 II ; ⇒ C1 = TII ( 0 ) = RB cos (α ) ; ' 2 II II II = = − + + = = parabolico 2 ; 0 0; M II ( x ) = TII ( x ) ; M x p x C x C C M ( ) ( ) II z 1 2 2 II
(34)
N II' ( x ) = 0;
(35)
L'esame delle equazioni (34)-(35) indica che, dal momento che p x = 0 , il diagramma di N I deve essere costante lungo tutto il tratto AD, ed altrettanto si può affermare per quanto riguarda N II nel tratto BD. Per quanto riguarda il diagramma di T I questo deve essere costante dal momento che p z = 0 , mentre T II deve essere lineare in quanto p z ≠ 0 nel tratto BD. Ricordando il legame che intercorre tra il momento flettente ed il taglio, si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente deve essere parabolico nel tratto BD e lineare nel tratto AD. Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ottiene M I ( x ) = YA x
; M II ( x ) = − pz x 2 − RB cos (α ) x
(36)
I valori delle sei costanti sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi dei domini. In part icolare nelle (34)-(35) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza dell'estremo A e dell'estremo B, cioè per x = 0 in entrambi i tratti. Nella scrittura delle equazioni (36) si sono assunte come fibre inferiori del tratto BD quelle esterne (coerentemente con l'avere scelto l'origine del sistema di riferimento in B).
D pz A
ℓ
B α
Figura 5-10: Sistema assegnato
28
D
A
C P= p ℓ z
K
B
P RA
RB
Figura 5-11: Determinazione grafica delle reazioni vincolari
N
+
+
29
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
+ -
T
+
M
E
A
D
E' O C
C'
B Figura 5-12: Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
Il diagramma del momento flettente su tutto il sistema (quindi sia di M I che di M II ) può essere disegnato per via grafica non ricorrendo esplicitamente alle equazioni indefinite di equilibrio per la tr ave piana. 30
Con riferimento al sistema assegnato, si parte ad esempio dal punto B. Si sostituisce ora temporaneamente il carico uniformemente distribuito con la sua risultante applicata nel punto C. L'analisi del sistema rivela immediatamente che il diagramma del momento flettente deve essere lineare nel tratto BC e che le fibre tese sono quelle di destra. Per tracciare una retta è necessario conoscere due punti: uno è il punto B che rappresenta il punto di nullo in quanto sul carrello il momento non può essere presente (tra l'altro B appartiene alla retta di azione di R B ) e l'altro si determina scegliendo la scala grafica e quindi scegliendo il segmento CC'. In tal modo il diagramma del momento flettente sul tratto BC è univocamente determinato. Per procedere al tracciamento del diagramma sul tratto CD si deve innanzitutto ricordare che in tale tratto il diagramma deve essere lineare e che il punto C' è sicuramente un punto di tale diagramma. L'altro punto si determina identificando il punto di nullo. Questo è il punto di intersezione dell'asse della trave sul quale stiamo tracciando il diagramma con la risultante di tutte le forze (attive e reattive) che agiscono a destra o a sinistra del tratto considerato. Dal momento che a sinistra agisce solamente R A ne deriva che il punto di nullo è il punto O. Unendo O con C' fino ad arrivare sulla perpendicolare a D si ottiene il tratto di diagramma cercato. A questo punto è necessario ribaltare il segmento DE in DE' (per motivi di equilibrio del nodo D) così come riportato in figura. Nel tratto DA il momento risulta lineare ed un punto di esso è il punto E' determinato col ribaltamento al nodo D. Si tratta ora di trovare un secondo punto, il quale si identifica immediatamente con il punto di nullo che coincide con il punto A (in quanto sulla cerniera non può essere presente il momento). Ricordando che il diagramma del momento per carico concentrato (equivalente ad uno distribuito) costituisce le tangenti al diagramma del momento per carico uniformemente distribuito è possibile disegnare la parabola con il metodo descritto nel paragrafo 3. Per chiarezza di rappresentazione la parabola non è stata disegnata.
31
S. Benfratello
5.9
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
Sistema ad asse spezzato pattino-carrello con carico distribuito sul tratto orizzonta- le
5.9.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 1; µ A = 2, µ B = 1 ⇒
q = 3 n − µ totale = 0
(37)
Il sistema strutturale assegnato si può considerare come composto da un unico corpo, per cu n=1. L'analisi delle molteplicità dei vincoli in A e B porta alla conclusione che la condizione necessaria per la isostaticità è verificata. Per quanto riguarda la condizione sufficiente, facciamo le seguenti considerazioni. Il pattino in A impedisce la traslazione orizzontale assoluta e la rotazione assoluta consentendo al sistema solamente la traslazione assoluta verticale. Questa è impedita dal carrello in B in quanto perché avvenga tale traslazione è necessario che l'estremo in B abbia uno spostamento di componente ortogonale al piano di scorrimento del carrello diversa da zero. Tale considerazione porta alla conclusione che il sistema assegnato verifica anche la condizione sufficiente e quindi il sistema è isostatico.
5.9.2 Calcolo delle reazioni vincolari Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari sostituiamo al carico distribuito la sua r isultante P = p z ℓ applicata al baricentro della distribuzione (cioè in mezzeria del tratto AD) scriviamo le equazioni cardinali della Statica, considerando l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto A, ottenendo:
R B sin (α ) − P = 0 ⇒ X A = P / tan (α ) R B cos (α ) ℓ + RB sin (α ) ℓ − Pℓ / 2 + W A = 0 W A = − Pℓ 1 2 + 1 tan (α ) X A + RB cos (α ) = 0
RB = P / sin (α )
(38)
Da un esame delle equazioni (38) si deduce che per stabilire il segno delle reazioni vincolari analiticamente è necessario conoscere il valore dell'angolo α. Al fine di stabilire i versi delle caratteristiche della sollecitazione per le condizioni al contorno delle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana si può quindi fare riferimento alla determinazione grafica delle reazioni vincolari riportata in Figura 5-14.
5.9.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana Dal momento che il sistema risulta composto da due travi ciascuna ad asse rettilineo non contiguo, prima di scrivere le equazioni indefinite di equilibrio per la tr ave piana è necessario dividere in due parti distinte il sistema. Si divide quindi il sistema in due domini, uno 0 ≤ x ≤ ℓ (tratto AD, orientato positivamente da A a D) e l'altro 0 ≤ x ≤ ℓ (tratto BD, orientato positivamente da B a D). Di conseguenza devono essere determinate sei funzioni delle caratteristiche della sollecitazione in quanto ce ne sono tre per il primo tratto e tre per il secondo. Si ottiene:
32
N I ( x ) = costante = C I0 ; C0I = N ( 0 ) = X A ; I ⇒ = = T I' ( x ) = − pz ; ⇒ TI ( x ) = lineare = − pz x + C1 I ; C T 0 0; ( ) 1 I I I ' 2 = = − + + = = M I ( x ) = TI ( x ) ; M x p x C x C C M W parabolico 2 ; 0 ; ( ) ( ) I z 1 2 2 A
(39)
N II ( x ) = costante = C II C0II = N II ( 0 ) = − RB sin (α ) ; 0 ; II II ⇒ ⇒ = = = = − α T II' ( x ) = 0; T x C C T R costante ; 0 cos ; ( ) II ( ) 1 1 II ( ) B ' II II II M II ( x ) = costante; M II ( x ) = lineare = C1 x + C2 ; C 2 = M II ( 0 ) = 0;
(40)
N I' ( x ) = 0;
N II' ( x ) = 0;
L'esame delle equazioni (39)-(40) indica che, dal momento che p x = 0 , il diagramma di N I deve essere costante lungo tutto il tratto AD, ed altrettanto si può affermare per quanto riguarda N II nel tratto BD. Per quanto riguarda il diagramma di T I questo deve essere lineare dal momento che p z ≠ 0 , mentre T II deve essere costante in quanto nel tratto BD in quanto p z = 0 . Ricordando il legame che intercorre tra il momento flettente ed il taglio, si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente deve essere lineare nel tratto BD e parabolico nel tratto AD. Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ott iene M I ( x ) = − pz x 2 + WA
;
M II ( x ) = − RB cos (α ) x
(41)
I valori delle sei costanti sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi dei domini. In particolare nelle (39) e nelle (40) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza dell'estremo A e dell'estremo B, cioè per x = 0 per entrambi i tratti. Nella scrittura delle equazioni (41) si sono assunte come fibre inferiori del tratto BD quelle esterne (coerentemente con l'avere scelto l'origine del sistema di riferimento in B).
pz D
A
ℓ
B α
Figura 5-13: Sistema assegnato
33
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
P = pz A
D
C
B
RB K
P
RA
Figura 5-14: Determinazione grafica delle reazioni vincolari
XA
+
N
-
YB
34
T
-
YB
-
XB
M
P = pz ℓ
A
C
E
O D
WA
E' C'
B Figura 5-15: Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
Il diagramma del momento flettente su tutto il sistema (quindi sia di M I che di M II ) può essere disegnato per via grafica non ricorrendo esplicitamente alle equazioni indefinite di equilibrio per la tr ave piana. 35
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
Con riferimento al sistema assegnato, si parte ad esempio dal punto B. L'analisi del sistema rivela immediatamente che il diagramma del momento flettente deve essere lineare nel tratto BD e che le fibre tese sono quelle di sinistra. Per tracciare una retta è necessario conoscere due punti: uno è il punto B che rappresenta il punto di nullo in quanto sul carrello il momento non può essere presente (tra l'altro B appartiene alla retta di azione di R B ) e l'altro si determina scegliendo la scala grafica e quindi scegliendo il segmento DE. In tal modo il diagramma del momento flettente sul tratto BD è univocamente determinato. Per procedere al tracciamento del diagramma sul tratto DA si deve innanzitutto ribaltare il segmento DE in DE' (per motivi di equilibrio del nodo D) così come riportato in figura. Si sostituisce ora temporaneamente il carico uniformemente distribuito con la sua risultante applicata nel punto C. Nel tratto DC il momento risulta lineare ed un punto di esso è il punto E' determinato col ribaltamento al nodo D. Si tratta ora di trovare un secondo punto. In generale è comodo e conveniente trovare il punto di nullo. Questo è il punto di intersezione dell'asse della trave sul quale stiamo tr acciando il diagramma con la risultante di tutte le forze (attive e reattive) che agiscono a destra o a sinistra del tratto considerato. Dal momento che a destra agisce solamente R B ne deriva che il punto di nullo è il punto O. Unendo O con E' fino ad arrivare sulla perpendicolare a C si ottiene il tratto di diagramma cercato. Per quanto riguarda il tratto AC, il momento deve essere costante in quanto a sinistra agisce solamente la coppia di trasporto W A . Ricordando che il diagramma del momento per carico concentrato (equivalente ad uno distribuito) costituisce le tangenti al diagramma del momento per carico uniformemente distribuito è possibile disegnare la parabola con il metodo descritto nel paragrafo 3. Per chiarezza di rappresentazione la parabola non è stata disegnata.
36
5.10 Sistema ad asse spezzato pattino-carrello con carico distribuito sul tratto verticale 5.10.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 1; µ A = 2, µ B = 1 ⇒
q = 3 n − µ totale = 0
(42)
Il sistema strutturale assegnato si può considerare come composto da un unico corpo, per cu n=1. L'analisi delle molteplicità dei vincoli in A e B porta alla conclusione che la condizione necessaria per la isostaticità è verificata. Per quanto riguarda la condizione sufficiente, facciamo le seguenti considerazioni. Il pattino in A impedisce la traslazione orizzontale assoluta e la rotazione assoluta consentendo al sistema solamente la traslazione assoluta verticale. Questa è impedita dal carrello in B in quanto perché avvenga tale traslazione è necessario che l'estremo in B abbia uno spostamento con componente ortogonale al piano di scorrimento del carrello diversa da zero. Tale considerazione porta alla conclusione che il sistema assegnato verifica anche la condizione sufficiente e quindi il sistema è isostatico.
5.10.2 Calcolo delle reazioni vincolari Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari sostituiamo al carico distribuito la sua r isultante P = p z ℓ applicata al baricentro della distribuzione (cioè in mezzeria del tratto BD) e scriviamo le equazioni cardinali della Statica, considerando l'equilibrio alla rot azione rispetto al punto B, ottenendo: X A + RB cos (α ) + P = 0
R B = 0 R B sin (α ) = 0 ⇒ X A = − P W A = − Pℓ / 2 R B sin (α ) ℓ − RB cos (α ) ℓ + Pℓ / 2 + W A = 0
(43)
Il fatto che le reazioni non nulle siano venute negative significa che i versi reali sono opposti a quelli ipotizzati nella scrittura delle equazioni cardinali della Statica.
5.10.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana Dal momento che il sistema risulta composto da due travi ciascuna ad asse rettilineo non contiguo, prima di scrivere le equazioni indefinite di equilibrio per la tr ave piana è necessario dividere in due parti distinte il sistema. Si divide quindi il sistema in due domini, uno 0 ≤ x ≤ ℓ (tratto AD, orientato positivamente da A a D) e l'altro 0 ≤ x ≤ ℓ (tratto BD, orientato positivamente da B a D). Di conseguenza devono essere determinate sei funzioni delle caratteristiche della sollecitazione in quanto ce ne sono tre per il primo tratto e tre per il secondo. Si ottiene:
N I ( x ) = costante = C I0 ; C0I = N ( 0 ) = X A ; I I T I' ( x ) = 0; ⇒ TI ( x ) = costante = C1 ; ⇒ C1 = T ( 0 ) = 0; ' I I I = = + = = M I ( x ) = costante; M x C x C C M W lineare ; 0 ; ( ) ( ) I 1 2 2 A N I' ( x ) = 0;
(44)
37
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
C0II = N II ( 0 ) = 0; ; N II ( x ) = costante = C II 0 II II ⇒ ⇒ = = = = T II' ( x ) = 0; T x C x C T lineare ; 0 0; II ( ) 1 1 II ( ) ' 2 II II II M II ( x ) = TII ( x ) ; M II ( x ) = parabolico = − pz x / 2 + C1 x + C2 ; C2 = M II ( 0 ) = 0; N II' ( x ) = 0;
(45)
L'esame delle equazioni (44)-(45) indica che, dal momento che p x = 0 , il diagramma di N I deve essere costante lungo tutto il tratto AD, ed analogamente si può affermare per quanto riguarda N II nel tratto BD. Per quanto riguarda il diagramma di T I questo deve essere costante dal momento che p z = 0 , mentre T II deve essere lineare in quanto p z ≠ 0 nel tratto BD. Ricordando il legame che intercorre tra il momento flettente ed il taglio, si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente deve essere parabolico nel tratto BD e lineare nel tratto AD. Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ottiene: M I ( x ) = WA
;
M II ( x ) = pz x 2 / 2
(46)
I valori delle sei costanti sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi dei domini. In part icolare nelle (44)-(45) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza dell'estremo A e dell'estremo B, cioè per x = 0 in entrambi i tratti. Nella scrittura delle equazioni (46) si sono assunte come fibre inferiori del tratto BD quelle esterne (coerentemente con l'avere scelto l'origine del sistema di riferimento in B). z
A
ℓ
B
α
Figura 5-16: Sistema assegnato
38
A
C P= p ℓ z
B
P RA Figura 5-17: Determinazione grafica delle reazioni vincolari
XA
+
N
39
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
XA T
-
M
E
A
D
WA
E' C
B Figura 5-18: Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
Il diagramma del momento flettente su tutto il sistema (quindi sia di M I che di M II ) può essere disegnato per via grafica non ricorrendo esplicitamente alle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana. Con riferimento al sistema assegnato, si parte ad esempio dal punto B. Si sostituisce ora temporaneamente il carico uniformemente distribuito con la sua risultante applicata nel punto C. L'analisi del sistema ri-
40
vela immediatamente che il diagramma del momento flettente deve essere lineare nel tratto BC ed in particolare costante (nullo) perché R B = 0 . Di conseguenza il punto C è un punto del diagramma del momento flettente. Nel tratto CD il diagramma deve essere lineare; il punto di nullo è il punto C e l'altro si determina scegliendo la scala grafica e quindi scegliendo il segmento DE. In tal modo il diagramma del momento flettente sul tratto CD è univocamente determinato. Per procedere al tracciamento del diagramma sul tratto DA è necessario ribaltare il segmento DE in DE' (per motivi di equilibrio del nodo D) così come riportato in figura. Nel tratto DA il momento risulta lineare ed in particolare costante dal momento che a sinistra agiscono una forza diretta secondo l'asse della (e che quindi non influenza il momento flettente) ed una coppia. Ricordando che il diagramma del momento per carico concentrato (equivalente ad uno distribuito) costituisce le tangenti al diagramma del momento per carico uniformemente distribuito è possibile disegnare la parabola con il metodo descritto nel paragrafo 3. Per chiarezza di rappresentazione la parabola non è stata disegnata.
41
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
5.11 Sistema composto da due travi di cui una ad asse spezzato e caricata da un carico uniformemente distribuito 5.11.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 2; µ A = 2, µ B = 1, µ C = 1, µ D = 2
⇒ q = 3 n − µ totale = 0
(47)
La cerniera in A impedisce le due traslazioni assolute (orizzontale e verticale) consentendo alla trave AD solamente la rotazione assoluta attorno ad A. Questa è impedita dal carrello in C in quanto, perché avvenga la rotazione, è necessario che il punto in C abbia uno spostamento con componente ortogonale al piano di scorrimento del carrello diversa da zero (e quindi il carrello impedisce lo spostamento e di conseguenza la rotazione). La trave DB risulta quindi collegata ad una trave isostatica. La cerniera in D impedisce le due traslazioni assolute (orizzontale e verticale) consentendo alla trave DB solamente la rotazione assoluta attorno a D. Questa è impedita dal carrello in B in quanto perché avvenga la rotazione è necessario che l'estremo in B abbia uno spostamento con componente ortogonale al piano di scorrimento del carrello diversa da zero. Dalle considerazioni effettuate si deduce che il sistema nel suo complesso è isostatico.
5.11.2 Calcolo delle reazioni vincolari Dal momento che il sistema è composto da due travi possiamo scrivere le equazioni cardinali della Statica per i due corpi presi separatamente (tenendo in opportuna considerazione il legame tra le reazioni della cerniera in D sui due corpi, e cioè che tali reazioni devono essere uguali ed opposte per garantire l'equilibrio della cerniera che non risulta essere caricata). In alternativa scegliamo di ottenere le sole reazioni vincolari esterne, cioè quelle dei vincoli A, B e C. A tal fine sostituiamo al carico distribuito la sua risultante P = p z ℓ applicata al baricentro della distribuzione (cioè in mezzeria del tratto DE) e scriviamo le equazioni cardinali della Statica, considerando l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto A per quanto riguarda l'equilibrio globale, ed attorno al punto D per quanto riguarda l'equilibrio parziale della trave DEB, ottenendo:
Y A + YC − P + RB sin (α ) = 0 X A = − P cos (α ) {2 cos (α ) + sin (α ) } ⇒ (48) 2 + 2 ℓ RB sin (α ) + RB cos (α ) ℓ − Pℓ 3 / 2 = 0 Y A = −2 P + 3P sin (α ) {2 cos (α ) + sin (α )} R B cos (α ) ℓ + ℓ RB sin (α ) − Pℓ / 2 = 0 YC = P + 2 P cos (α ) cos (α ) + sin (α ) X A + RB cos (α ) = 0
YC ℓ
R B = P {2 cos (α ) + sin (α ) }
Da un esame delle equazioni (48) si deduce che per stabilire il segno delle reazioni vincolari analiticamente è necessario conoscere il valore dell'angolo α. Al fine di stabilire i versi delle caratteristiche della sollecitazione per le condizioni al contorno delle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana si può quindi fare riferimento alla determinazione grafica delle reazioni vincolari riportata in Figura 5-20.
42
5.11.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana Prima di scrivere le equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana è necessario, anche in questo caso, dividere in diverse parti distinte la trave; infatti, la presenza del carrello in C, il carico distribuito solo sull'asta DE e l'asse spezzato rappresentano discontinuità (di varia natura) che devono essere tenute in opportuna considerazione. Si divide quindi la lunghezza della trave in quattro domini: tratto AC ( 0 ≤ x ≤ ℓ 2 , origine in A), tratto CD ( 0 ≤ x ≤ ℓ 2 , origine in C), tratto DE ( 0 ≤ x ≤ ℓ , origine in D), tratto BE ( 0 ≤ x ≤ ℓ , origine in B). Di conseguenza devono essere determinate dodici funzioni delle caratteristiche della sollecitazione in quanto ce ne sono tre per ogni tratto. Si ottiene:
N I ( x ) = costante = C I0 ; C0I = N I ( 0 ) = X A ; I I = = = = − costante ; 0 ; ⇒ ⇒ T I' ( x ) = 0; T x C C T Y ( ) ( ) I 1 1 I A I I I ' = = + = = M I ( x ) = costante; M x C x C C M lineare ; 0 0; ( ) ( ) I 1 2 2 I N I' ( x ) = 0;
N II ( x ) = costante = C II C0II = N II ( 0 ) = X A ; 0 ; II II ' T II ( x ) = 0; ⇒ TII ( x ) = costante = C1 ; ⇒ C1 = TII ( 0 ) = YC − YA ; ' II II II = = + = = − M II ( x ) = costante; M x C x C C M Y ℓ 2; lineare ; 0 ( ) ( ) II 1 2 2 II A
(49)
N II' ( x ) = 0;
(50)
C0III = N III ( 0 ) = X A ; ; N III ( x ) = costante = C III 0 III T III' ( x ) = − p z ; ⇒ TIII ( x ) = lineare = − p z x + C1 III ; ⇒ C1 = TIII ( 0) = YC − YA ; ' 2 III III III = = − + + = = M III ( x ) = TIII ( x ) ; M x p x C x C C M parabolico 2 ; 0 0; ( ) ( ) III z 1 2 2 III
(51)
N IV ( x ) = costante = C IV C0IV = N IV ( ℓ ) = − RB sin (α ) ; 0 ; IV IV ⇒ ⇒ = = = = − α T IV' ( x ) = 0; T x C C T R ℓ costante ; cos ; ( ) IV ( ) 1 1 IV ( ) B ' IV IV IV M IV ( x ) = costante; M IV ( x ) = lineare = C1 x + C2 ; C 2 = M IV ( ℓ ) = 0;
(52)
' N III ( x ) = 0;
' N IV ( x ) = 0;
L'esame delle equazioni (49)-(52) indica che, dal momento che p x = 0 in tutti i tratti, il diagramma dello sforzo normale deve essere costante in tutto il sistema. Per quanto riguarda il diagramma del taglio questo risulta essere costante nei tratti AC, CD e BE mentre risulta essere lineare nel tratto DE in quanto in questo tratto p z ≠ 0 . Ricordando il legame che intercorre tra il momento flettente ed il taglio, si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente deve essere lineare nei tratti AC, CD e BE mentre risulta essere parabolico nel tratto DE. Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ottiene M I ( x ) = −YA x;
M II ( x ) = YC x − YA ℓ;
M III ( x ) = pz
x 2
2
+ (YA − YC ) x ; M IV ( x ) = − RB cos (α ) x
(53)
I valori delle costanti sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi dei domini. In particolare nelle (49)-(52) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza delle origini dei sistemi di riferimento. Nel tratto BE si sono considerate come fibre inferiori quelle esterne coerentemente con l'avere scelto l'origine del sistema di riferimento in B.
43
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
C
pz E
D
A
ℓ
ℓ /2
B
α ℓ
ℓ
Figura 5-19: Sistema assegnato
44
K2
D
C
P E
F
A
B α
K1
RB I D
R
RA P
RC RIID
Figura 5-20: Determinazione grafica delle reazioni vincolari 45
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
+ F
D
C
A
-
B
+ C A
F
D
-
-
-
B
C'
D A
F
G'
O
C
E
G'' F'
B Figura 5-21: Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione
46
Il diagramma del momento flettente su tutto il sistema può essere disegnato per via grafica non ricorrendo esplicitamente alle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana. Con riferimento al sistema assegnato, si parte ad esempio dal punto B. Si sostituisce ora temporaneamente il carico uniformemente distribuito con la sua risultante applicata nel punto F. L'analisi del sistema rivela immediatamente che il diagramma del momento flettente deve essere lineare nel tratto BE; il punto di nullo è il punto B e l'altro si determina scegliendo la scala grafica e quindi scegliendo il segmento EG'. In tal modo il diagramma del momento flettente sul tratto BE è univocamente determinato. Per procedere al tracciamento del diagramma sul tratto EF è necessario ribaltare il segmento EG' in EG'' (per motivi di equilibrio del nodo E) così come riportato in figura. Nel tratto EF il momento risulta lineare ed il punto di nullo è il punto di intersezione della R B con l'asse della trave EF. Raggiunto il punto F si procede considerando che nel punto D è presente una cerniera interna non caricata e che quindi non solo il momento è sicuramente nullo ma anche il taglio (e quindi la pendenza del diagramma del momento flettente) è uguale a destra e a sinistra del vincolo. Da queste considerazioni si deduce che il diagramma nel tratto CF si ottiene unendo il punto F' con D e prolungandolo fino alla verticale su C. Nel tratto AC il diagramma è lineare, un punto di esso è C' mentre il punto di nullo è chiaramente A in quanto sede di un cerniera. Ricordando che il diagramma del momento per carico concentrato (equivalente ad uno distribuito) costituisce le tangenti al diagramma del momento per carico uniformemente distribuito è possibile disegnare la parabola con il metodo descritto nel paragrafo 3. Per chiarezza di rappresentazione la parabola non è stata disegnata. E' importante sottolineare che il diagramma tracciato per carico concentrato presenta le cuspidi in corrispondenza dei carichi concentrati rappresentati dal carico P e dalla reazione del carrello in C.
47
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
5.12 Sistema composto da due travi di cui una ad asse spezzato e caricata da una coppia concentrata sul tratto verticale 5.12.1 Verifica della isostaticità del sistema n = 2; µ A = 2, µ B = 1, µ C = 1, µ D = 2
⇒ q = 3 n − µ totale = 0
(54)
La cerniera in A impedisce le due traslazioni assolute (orizzontale e verticale) consentendo alla trave AD solamente la rotazione assoluta attorno ad A. Questa è impedita dal carrello in C in quanto, perché avvenga la rotazione, è necessario che il punto in C abbia uno spostamento con componente ortogonale al piano di scorrimento del carrello diversa da zero (e quindi il carrello impedisce lo spostamento e di conseguenza la rotazione). La trave DB risulta quindi collegata d una trave isostatica. La cerniera in D impedisce le due traslazioni assolute (orizzontale e verticale) consentendo alla trave DB solamente la rotazione assoluta attorno a D. Questa è impedita dal carrello in B in quanto perché avvenga la rotazione è necessario che l'estremo in B abbia uno spostamento con componente ortogonale al piano di scorrimento del carrello diversa da zero. Dalle considerazioni effettuate si deduce che il sistema nel suo complesso è isostatico.
5.12.2 Calcolo delle reazioni vincolari Dal momento che il sistema è co mposto da due travi possiamo scrivere le equazioni cardinali della Statica per i due corpi presi separatamente (tenendo in opportuna considerazione il legame tra le reazioni della cerniera in D sui due corpi, e cioè che tali reazioni devono essere uguali ed opposte per garantire l'equilibrio della cerniera che non risulta essere caricata). In alternativa scegliamo di ottenere le sole reazioni vincolari esterne, cioè quelle dei vincoli A, B e C. A tal fine scriviamo le equazioni cardinali della Statica, considerando l'equilibrio alla rotazione rispetto al punto A per quanto riguarda l'equilibrio globale, ed attorno al punto per quanto riguarda l'equilibrio parziale della trave DEB, ottenendo:
{ℓ cos (α ) + sin (α )} Y + Y + R sin (α ) = 0 X = −M cos (α ) {ℓ cos (α ) + sin (α )} ⇒ ℓ 2 + 2 ℓ R sin (α ) + R cos (α ) ℓ −M = 0 Y = ( −2 + ℓ )M sin (α ) {ℓ ( 2 + ℓ ) cos (α ) + sin (α )} R cos (α ) ℓ + ℓ R sin (α ) −M = 0 Y = −2M sin (α ) {( 2 + ℓ ) cos (α ) + sin (α )} X A + RB cos (α ) = 0
A
YC
B
B
C
B
B
R B =M A
(55)
A
B
C
Da un esame delle equazioni (55) si deduce che per stabilire il segno delle reazioni vincolari analiticamente è necessario conoscere il valore dell'angolo α. Al fine di stabilire i versi delle caratteristiche della sollecitazione per le condizioni al contorno delle equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana si può quindi fare riferimento alla determinazione grafica delle reazioni vincolari riportata in Figura 5-23.
5.12.3 Equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana Prima di scrivere le equazioni indefinite di equilibrio per la trave piana è necessario, anche in questo caso, dividere in diverse parti distinte la trave; infatti, la presenza del carrello in C, la coppia concentrata in F e 48
l'asse spezzato rappresentano discontinuità che devono essere tenute in opportuna considerazione. Si divide quindi la lunghezza della trave in quattro domini: tratto AC ( 0 ≤ x ≤ ℓ 2 , origine in A), tratto CE ( 0 ≤ x ≤ 3ℓ 2 , origine in C), tratto BF ( 0 ≤ x ≤ ℓ 2 , origine in B), tratto FE ( 0 ≤ x ≤ ℓ 2 , origine in F). Di conseguenza devono essere determinate dodici funzioni delle caratteristiche della so llecitazione in quanto ce ne sono tre per ogni tratto. Si ottiene:
N I ( x ) = costante = C I0 ; C0I = N I ( 0 ) = X A ; ' I I T I ( x ) = 0; ⇒ TI ( x ) = costante = C1 ; ⇒ C1 = TI ( 0 ) = YA ; ' I I I = = + = = M I ( x ) = costante; M x C x C C M lineare ; 0 0; ( ) ( ) I 1 2 2 I N I' ( x ) = 0;
N II ( x ) = costante = C II C0II = N II ( 0 ) = X A ; 0 ; II II = = = = − costante ; 0 ; ⇒ ⇒ T II' ( x ) = 0; T x C C T Y Y ( ) ( ) II 1 1 II A C ' II II II = = + = = − M II ( x ) = costante; M x C x C C M Y ℓ / 2; lineare ; 0 ( ) ( ) II 1 2 2 II A
(56)
N II' ( x ) = 0;
N III ( x ) = costante = C III C0III = N III ( 0 ) = − RB sin (α ) ; 0 ; III III ⇒ ⇒ = = = = α T III' ( x ) = 0; T x C C T R costante ; 0 cos ; ( ) ( ) ( ) III 1 1 III B ' III III III = = + = = M III ( x ) = costante; M x C x C C M lineare ; 0 0; ( ) ( ) III 1 2 2 III
(57)
' N III ( x ) = 0;
(58)
N IV ( x ) = costante = C IV C0IV = N IV ( 0 ) = − RB sin (α ) ; 0 ; ' IV IV T IV ( x ) = 0; ⇒ TIV ( x ) = costante = C1 ; ⇒ C1 = TIV ( 0 ) = − RB cos (α ) ; (59) ' IV IV IV = = + = = − α M IV ( x ) = costante; M x C x C C M R ℓ / 2 + M ; lineare ; 0 sin ( ) ( ) ( ) IV 1 2 2 IV B ' N IV ( x ) = 0;
L'esame delle equazioni (56)-(59) indica che, dal momento che p x = 0 in tutti i tratti, il diagramma dello sforzo normale deve essere costante in tutto il sistema. Anche il diagramma del taglio questo risulta essere costante in tutto il sistema in quanto p z = 0 . Ricordando il legame che intercorre tra il momento flettente ed il taglio, si può quindi affermare che il diagramma del momento flettente deve essere lineare in tutto il sistema e presentare un salto (una discontinuità di valore) in corrispondenza del punto di applicazione della coppia concentrata M . Sostituendo i valori delle reazioni vincolari si ottiene M I ( x ) = YA x;
M II ( x ) = YA ℓ / 2 − YC x;
M III ( x ) = − RB cos (α ) x;
M IV ( x ) =M − RB cos (α ) ℓ / 2 + RB cos (α ) x
(60)
I valori delle costanti sono individuati dai corrispondenti valori delle caratteristiche della sollecitazione agli estremi dei domini. In particolare nelle (56)-(59) si è scelto di imporre le condizioni al contorno in corrispondenza delle origini dei sistemi di r iferimento.
49
S. Benfratello
Caratteristiche della sollecitazione e diagrammi
D
C
E
A
ℓ /2
F
ℓ
ℓ /2
B α ℓ
ℓ
Figura 5-22: Sistema assegnato
D
C
E
A
K
F
B α
d
RID RB
RC
RA RIID
Figura 5-23: Determinazione grafica delle reazioni vincolari
50
XA
+ D
C
A
-
B YB
YA
+ C D
A
YB
-
-
B XB
O'
O
E'' C
D E
A
E'
C'
F'
F
F''
B
Figura 5-24: Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione 51