7-2-2016
SISTEMA DE CONTROL CAPITULO VI
MAURICIO NAVARRETE – MAURICIO ROSERO SEXTO ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN
CAPITULO 6 TEMA: EJERCICIOS PLANTEADOS DEL CAPITULO 6 PARA DESARROLLAR HABILIDADES REFERENTES A LA ESTABILIDAD DE SISTEMAS ANALIZANDO LOS POLOS DEL MISMO.
OBJETIVOS. GENERAL.
Desarrollar los ejercicios planteados en el capítulo 6 del libro guía con el fin de desarrollar habilidades y destrezas para encontrar la estabilidad en los distintos sistemas analizando la función de transferencia y los po los del sistema.
ESPECIFICOS.
Comprender los componentes necesarios al analizar la estabilidad d e un sistema. Analizar la forma de resolución de ejercicios mediante el arreglo de Routh Hurwitz. Comprobar los casos que se plantea para la resolución de estabilidad de sistemas si se tiene ceros ya sea en la primera columna o toda una fila de ceros. Determinar incógnitas que permitan mantener a los sistemas en estado estable, inestable y marginalmente estable.
RESUMEN.
El presente trabajo pretende mostrar la resolución de los ejercicios que se plantean en el capítulo seis del libro de Norman Nise, en el cual c ual se trabaja con la estabilidad de los sistemas mediante la utilización de la función de transferencia total, ob teniendo los polos del sistema y llevándolos a la forma del arreglo de Hurwitz, que simplifica en gran medida el proceso de determinación de la estabilidad de un sistema. ABSTRACT.
This paper aims to show the resolution of the exercises posed in the sixth chapter of o f the book of Norman Nise, in which working with the stability of systems systems using the total transfer function, obtaining the poles of the system and leading them to the shape of arrangement Hurwitz, which greatly simplifies the process of determining the stability of a system. MARCO TEORICO. INTRODUCCIÓN:
Routh (1874) propuso un criterio legendario para saber si Un polinomio como:
Tiene todas sus raíces en el semiplano izquierdo, o no. El Criterio resulta de plantear un arreglo de coeficientes, con Forma triangular, y de observar si la primera columna tiene Todos sus coeficientes con signos iguales, o no. EL ARREGLO:
El arreglo se construye de la manera siguiente:
Las dos filas superiores se construyen de modo obvio, con los coeficientes del polinomio; las otras filas se construyen paulatinamente mediante el procedimiento insinuado enseguida:
El problema más importante de los sistemas de con trol lineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de control es estable si y sólo si todos los p olos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado.
En donde las a y las b son constantes y n m ≤.
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH:
El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos. Procedimiento en el criterio de estabilidad de Rou th: 1. Escriba el polinomio en s del denominador en la forma siguiente:
En donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que 0 ≠ n a ; es decir, se elimina cualquier raíz cero.
2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. La condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es q ue todos los coeficientes de la ecuación estén presentes y tengan signo positivo. 3. Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:
Los coeficientes b1,b2,b3,…,c1,c2,c3,….,d1,d2,…, etc., se evalúan del modo siguiente:
La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero. El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo. DESARROLLO PREGUNTAS DE REPASO 1. ¿QUÉ PARTE DE LA RESPUESTA DE SALIDA CAUSA LA DETERMINACIÓN DE ESTABILIDAD DE UN SISTEMA LINEAL? Respuesta natural 2. ¿QUÉ OCURRE A LA RESPUESTA QUE SE CITA EN LA PREGUNTA 1 QUE CREA INESTABILIDAD? Crece sin límite. 3. ¿QUÉ OCURRIRÍA A UN SISTEMA FÍSICO QUE SE TORNA INES TABLE? Puede destruirse o parar al golpear el límite 4. ¿POR QUÉ SON MARGINALMENTE ESTABLES LOS SISTEMAS CONSIDERADOS INESTABLES BAJO LA DEFINICIÓN BIBO DE ESTABILIDAD? Porque los sistemas sinusoidales tienen la misma frecuencia que l as respuestas no acotados, su
rendimiento o respuesta natural son acotadas a p esar de que la entrada es sinusoidal. 5. ¿EN DÓNDE TIENEN QUE ESTAR LOS POLOS DE UN SISTEMA PARA ASEGURAR QUE UN SISTEMA NO ES INESTABLE? Los polos deben estar en el semi plano izquierdo o en el eje jw.
6. ¿QUÉ NOS DICE EL CRITERIO DE ROUTH HURWITZ?
El número de polos de la función de transferencia en lazo cerrado que están en el semiplano izquierdo, el derecho-semiplano, y en el eje jw. 7. ¿BAJO QUÉ CONDICIONES NOS DIRÍA FÁCILMENTE EL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ LA UBICACIÓN REAL DE LOS POLOS EN LAZO CERRADO DE UN SISTEMA? Si hay un polinomio incluso de segundo orden y el polinomio original, es de cuarto orden, el
original polinomio puede ser fácilmente factorizada. 8. ¿QUÉ OCASIONA QUE UN CERO APAREZCA SOLO EN LA PRIMERA COLUMNA DEL ARREGLO DE ROUTH?
Solo se puede trabajar en la parte aritmética. 9. ¿QUE OCASIONA QUE TODO UN RENGLÓN DE CEROS APAREZCA EN EL ARREGLO DE ROUTH HURWITZ? La presencia de un polinomio que es factor del polinomio original 10. ¿POR QUÉ A VECES MULTIPLICAMOS UN RENGLÓN DE UN ARREGLO DE ROUTH POR UNA CONSTANTE POSITIVA? Para la facilidad de encontrar los coeficientes por debajo de esa fila 11. ¿POR QUÉ NO MULTIPLICAMOS UN RENGLÓN DEL ARREGLO DE ROUTH POR UNA CONSTANTE NEGATIVA? Porque se afectaría el número de cambios de signo. 12. ¿SI UN ARREGLO DE ROUTH TIENE DOS CAMBIOS DE SIGNO ARRIBA DEL POLINOMIO PAR Y CINCO CAMBIOS DE SIGNO ABAJO DEL POLINOMIO PAR, CUANTOS POLOS DEL SEMIPLANO DERECHO TIENE EL SISTEMA? Tiene 7 polos 13. ¿LA PRESENCIA DE TODO UN RENGLÓN DE CEROS SIGNIFICA SIEMPRE QUE EL SISTEMA TIENE POLOS JW?. No; podría tener polos en ese cuadrante. 14. SI UN SISTEMA DE SÉPTIMO ORDEN TIENE UN RENGLÓN DE CEROS EN EL RENGLÓN Y DOS CAMBIOS DE SIGNO ABAJO DEL RENGLÓN ¿CUÁNTOS POLOS JW TIENE EL SISTEMA?
Ninguno, el sistema tiene dos polos en el semiplano derecho y dos polos en el semiplano izquierdo. 15. ¿ES CIERTO QUE LOS VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA MATRIZ DE UN SISTEMA SON IGUALES A LOS POLOS EN LAZO CERRADO?
Sí, es cierto 16. COMO ENCONTRAMOS LOS VALORES CARACTERÍSTICOS?
Aplicando el determinante de (sI-A)=0 PROBLEMAS
1. Diga cuantas raíces del siguiente polinomio hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw.
()=5+34+53+42++3
s5
1
5
1
+
s4
3
4
3
+
s3
3.667
0
0
+
s2
4
3
0
+
s1
-2.75
0
0
-
s0
3
0
0
+
2 polos en el semiplano derecho y 3 polos en el semiplano izquierdo 2. Mediante el uso del arreglo de Routh, diga cuantos polos de la siguiente función hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw.
()=+85−4+43−42+3−2
3 ℎ,2
3.
La función de transferencia en lazo cerrado de un sistema es
()=+++−− Determine cuántos polos en lazo cerrado se encuentran en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw.
3 polos a la derecha, 2 polos a la izquierda
4. ¿Cuántos polos hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw para el sistema en lazo abierto de la figura P6.17
4 3
s4
1
8
15
+
s3
4
20
0
+
s2
3
15
0
+
s1
6
0
0
-
s0
15
0
0
+
2do Orden
P. Derecho
P. Izquierda jw
0
0
2
Resto
0
2
0
Total
0
2
2
5. ¿Cuántos polos hay en el semiplano derecho, el semiplano izquierdo y sobre el eje jw para el sistema en lazo abierto de la siguiente figura? 2 7 2 1
s
s
s
s
s
s
5
1
3
2
+
4
-1
-3
-2
-
0
0
0
-
-2
-3
0
2
-3
-4
0
-
1
-1/3
0
0
-
0
-4
0
0
-
3
P. Derecho
P. Izquierda
4to Orden
0
0
Resto
1
0
Total
1
0
jw 4
4
6. Utilice MATLAB para hallar las ubicaciones del polo para el sistema del problema 5.
7. Utilice el MATLAB y las rutinas de matemática simbólica para generar un arreglo de Routh para resolver el problema 2.
8. Determine si el sistema realimentado unitariamente de la figura es estable si
s4
1
35
264
+
s3
10
50
0
+
s2
30
264
0
+
s1
-38
0
0
-
s0
264
0
0
+
2 ℎ,2 9. Utilice MATLAB para hallar las ubicaciones del polo para el sistema del problema 8.
10. Considere el sistema realimentado unitariamente de la figura P6.3 con
Con el uso del criterio de Routh-Hurwitz, encuentre la región del plano s donde se hallan los polos del sistema en lazo cerrado.
s4
4
4
1
+
s3
0
0
0
+
16
8
0
0
0
0
2
1
s2
+
s1
4
0
0
+
s0
1
0
0
+
4 polos en el eje jw
12 Con el uso del criterio de RouthHurwinz y el sistema realimentación unitario de la figura
() =
T ( s)=
1 2 2
4 + 3 + 2 + +
13 Dado el sistema realimentado
( ) =
8 ( 2 2 4 8 4 )
T ( s)
72 6 5 + 4 + 3 −2 − +
14.
Repita el problema 13 usando el MATLAB
15.
Considere el siguiente arreglo de Routh. Notese que el renglón s^5 estaba originalmente en ceros. Diga cuantas raíces del polinomio original había
Total= jw=4; der=1; izq= 2 18. Determine si el sistema realimentado unitariamente de la figu ra P6.3 con
Puede ser inestable
Por ser sistema de segundo orden el sistema es estable, si todos los coeficientes son positivos las raíces estarán el semiplano izquierdo, Por lo tanto > −1
20. Para el sistema realimentado unitariamente de la figura P 6.3 con
Determine el margen de K para asegurar estabilidad
s4
1
26
k1
s3
9
24+k
0
s2
k
0
0
0
0
0
24 234 s
1
(9k+((24+k)( k210))/9)/((k+ 210)/9) s0
k
Aplicando propiedades de inecuaciones:
Intersecciones
21. Repita el problema anterior con MATLAB
Programa:
K=[-6:0.00005:0]; for i=1:length(K); dent=[(1+K(i)) (8*K(i)-6) (8+15*K(i))]; R=roots(dent); A=real(R); B=max(A); if B>0 R K=K(i) break end end K=[6:-0.00005:0]; for i=1:length(K); dent=[(1+K(i)) (8*K(i)-6) (8+15*K(i))]; R=roots(dent);
A=real(R); B=max(A); if B>0 R K=K(i) break end end
Respuesta:
R= 1.0e+005 * 2.7999
-0.0000 K= -1.0000 R= 0.0001 + 3.3166i 0.0001 - 3.3166i K= 0.7500
22. Utilice MATLAB y las rutinas matemáticas simbólica para generar un arreglo de Routh en términos de K para el problema 20 Programa:
%-det([si() si();sj() sj()])/sj() %Template for use in each cell. syms K %Construct a symbolic object for %gain, K. s2=[(1+K) (8+15*K) 0]; %Create s^2 row of Routh table. s1=[(8*K-6) 0 0]; %Create s^1 row of Routh table. s0=[-det([s2(1) s2(2);s1(1) s1(2)])/s1(1)... -det([s2(1) s2(3);s1(1) s1(3)])/s1(1) 0 0]; %Create s^0 row of Routh table. 's2' %Display label. s2=simplify(s2); %Simplify terms in s^1 row. pretty(s2) %Pretty print s^1 row. 's1' %Display label. s1=simplify(s1); %Simplify terms in s^1 row. pretty(s1) %Pretty print s^1 row.
's0' %Display label. s0=simplify(s0); %Simplify terms in s^0 row. pretty(s0) %Pretty print s^0 row.
Respuesta:
ans = s2 [1 + K 8 + 15 K 0] ans = s1 [8 K - 6 0 0] ans = s0 [8 + 15 K 0 0 0] 23. Encuentre el margen de K para la estabilidad para el sistema realimentado unitariamente de la figura P6.3 con
Para coeficientes positivos en el denominador debe estar en el siguiente rango para que el sistema sea marginalmente estable:
−1 < <3/4
ANALISIS DE RESULTADOS
Encontrar la estabilidad de un sistema se vuelve un proceso de vital importancia en el análisis, corrección y estudio en general de un sistema. La función de transferencia es una herramienta muy poderosa que brinda valiosa información de las características representadas a través de los polos y ceros, pero en ciertas ocasiones se vuelve tedioso encontrar la estabilidad del sistema en general, ya sea porque tiene demasiados componentes o porque la función en sí resulta complicada de analizar; por tal motivo, se utilizan diversas técnicas para simplificar estos procesos como son Routh Hurwitz, que mediante un arreglo matemático en el cual hay que formar una matriz se encuentra los signos de las raíces del sistema, y por lo tanto la estabilidad se define con tan solo notar los cambios de signo existentes en el arreglo. CONCLUSIONES
Se ha obtenido el conocimiento para encontrar la estabilidad de un sistema mediante el análisis de los polos. Se ha logrado representar el arreglo de Hurwitz para distintos valores y con todas las variaciones que se presentan dependiendo de la función de transferencia. Se puede encontrar la estabilidad del sistema sin necesidad de encontrar los valores exactos de las raíces
La aparición de ceros en el arreglo de Hurwitz se puede simplificar de distintas maneras y de esta manera se evita realizar el proceso con otro método de estudio.
RECOMENDACIONES
Se recomienda revisar cómo armar el arreglo de Hurwitz para distintos órdenes de polinomios. Analizar de manera adecuada el sistema cuando no se pida encontrar la estabilidad sino un valor límite de estabilidad, ya que si no se toman las suficientes consideraciones, el resultado puede ser completamente contrario al que deseamos. Tomar en cuenta que el arreglo de Hurwitz se realiza a la función T(s) y no a la G(s) como se acostumbra en el resto de los análisis.
Tomar en cuenta las filas de cero que pueden aparecer y en qué lugar aparecen para poder realizar la derivación del término apropiado y obte ner el resultado apropiado.
REFERENCIAS
Nise, Norman S., Control systems engineering/Norman S. Nise, 3rd. Edition, John Wiley, New York , 2000, esp, [0471366013 (cloth/CD-ROM)] http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material107/mecanismos/mec_eng_multiplicador.htm
