UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE-L 1. TEMA MA:: Resolución de ejercicios sobre funciones de transferencia para afianzar los conocimientos de conceptos básicos.
2. OBJE OBJET TIVO IVOS: Generales: Resolver correctamente los ejercicios propuestos en el capítulo 2, y que permitan reforzar los conocimientos adquiridos.
Ese!"#$!%s:
•
Resolver satisfactoriamente los ejercicios propuestos. Analizar los resultados y conocimientos obtenidos. Afianzar los conocimientos recibidos en clase por medio de la resolución de ejercicios.
&. RESUMEN: Este Este trab trabaj ajo o trat trata a sobr sobre e la reso resolu luci ción ón de ejer ejerci cici cios os de las las func funcio ione nes s de transferencia transferencia de una red elctrica, elctrica, de un sistema mecánico mecánico traslacional traslacional,, de un sistema mecánico rotacional, y de un sistema con en!ranes.
A's(ra!: "#is paper deals $it# solvin! e%ercises of t#e transfer functions of an electrical net$or&, a translational mec#anical system, a rotational mec#anical system, and a system $it# !ears.
). MA MAR* R*O O TE+ TE+RI RI*O *O::
F,n!$n e (rans#eren!$a' (na funció función n de transf transferen erencia cia es un model modelo o matem matemático ático que a trav ravs de un cociente cociente relaciona la respuesta de un sistema )modelada* )modelada* a una se+al se+al de de entrada
o e%citación )tambin modelada*. En la teoría de control, a menudo se usan las funciones funciones de transferenci transferencia a para caracterizar caracterizar las relaciones relaciones de entrada entrada y salida salida de componentes componentes o de sistemas sistemas que se describen describen mediante ecuaciones diferenciales diferenciales lineales e invariantes en el tiempo )unción de transferencia, 2-/*.
Ta'la 1.Rela!$%nes e /%l(a0e-!%rr$en(e /%l(a0e-!ara e $3ean!$a ara !aa!$(%res res$s(%res e $n,!(%res
Ta'la 2- Rela!$n e #,er4a-/e!(%r$al #,er4a-esla4a3$en(% e $3ean!$a ara res%r(es a3%r($,a%res /$s!%s%s 5 3asa (rasla!$%nales
Ta'la &. Rela!$%nes e ar /el%!$a an,lar ar esla4a3$en(% an,lar e $3ean!$a ara res%r(es a3%r($,a%res /$s!%s%s e $ner!$a r%(a!$%nal
6. DESARROLLO PREGUNTAS DE REPASO 1. 78,9 3%el% 3a(e3($!% er3$(e ,na #!$l $n(er!%ne;$n e l%s s$s(e3as #"s$!%s< 0a función de transferencia.
2. 1A =,9 !las$#$!a!$n e s$s(e3as se ,ee al$!ar 3e0%r la #,n!$n e (rans#eren!$a< A los sistemas de lazo abierto.
&. 78,9 (rans#%r3a!$n !%n/$er(e la s%l,!$n e e!,a!$%nes $#eren!$ales en 3an$,la!$%nes ale'ra$!as< 0a transformada de 0aplace.
). De#$na la #,n!$n e (rans#eren!$a. Es la relación de la salida de un sistema sobre su entrada.
>. 78,9 #,n!$n real$4an l%s enranes< 0os en!ranes proporcionan ventajas mecánicas a los sistemas rotacionales.
1?. 7*,les s%n las ar(es !%3%nen(es e las !%ns(an(es 3e!n$!as e la #,n!$n e (rans#eren!$a e ,n 3%(%r< nercia del motor, amorti!uamiento en la armadura, inercia de la car!a, amorti!uación de la car!a.
11. La #,n!$n e (rans#eren!$a e ,n 3%(%r rela!$%na el esla4a3$en(% e ar3a,ra !%n el /%l(a0e e ar3a,ra. 7*3% ,ee e(er3$narse la #,n!$n
e (rans#eren!$a =,e rela!$n el esla4a3$en(% e !ara 5 el /%l(a0e e ar3a,ra< 3ultiplicando la función de transferencia por relación de transmisión relativa a la posición del inducido o armadura para car!ar.
12. Res,3a l%s as%s ara @a!er l$neal ,n s$s(e3a n% l$neal. • • • • •
•
Reconocer el componente no lineal. Escribir la ecuación diferencial no lineal. (tilizamos la solución en estado estable o equilibrio. 4acemos lineal la ecuación diferencial no lineal (tilizamos la transformada de 0aplace de la ecuación diferencial linealizada. separamos variables de entrada y salida, y formamos la función de transferencia.
PROBLEMAS. 6. U($l$!e el MATLAB 5 las r,($nas e 3a(e3($!as s$3'l$!as ara @allar la (rans#%r3aa e Lala!e e las s$,$en(es #,n!$%nes e ($e3%. a f ( t )=5 t cos ( 3 t + 45 ° ) 2
*$% en Ma(la' syms t ang=45*pi/180 f=8*t^2*cos(3*t+ang); pretty(f) F=apace(f); F=simpe(F); pretty(F)
'
−2 t
f ( t )=5 t e
( +
sin 4 t 60 °
)
*$% en Ma(la' a=!0*pi/180 f=5*t*e"p(#2*t)*sin(4*t+a); pretty(f) F=apace(f); F=simpe(F); pretty(F)
Ma(la': 1&. Re$(a el r%'le3a 12 ara la s$,$en(e #,n!$n e (ras#eren!$a:
4
G ( S )=
3
2
S + 25 S + 20 S + 15 S + 42 5 4 3 2 S + 13 S + 9 S + 37 S + 35 S + 50
Gtf=tf([1 25 20 15 42],[1 13 9 37 35 50]) Gzpk=zpk(Gtf) Transfer function s!4 " 25 s!3 " 20 s!2 " 15 s " 42 ######################################### s!5 " 13 s!4 " 9 s!3 " 37 s!2 " 35 s " 50
$ero%po&e%'ain (s"242) (s"135) (s!2 # 0542s " 12*) ###################################################### (s"125) (s!2 " 143s " 1493) (s!2 # 094s " 279)
1). U($l$!e Ma(la' ara enerar la e;ans$n en #ra!!$%nes ar!$ales e la s$,$en(e #,n!$n: 4
R ( s )=
( s + 10 )( s + 60 ) s ( s + 40 )( s + 50 )( s + 7 s + 100 )( s + 6 s + 90 ) 10
2
2
*$% en Ma(la' n$mg=%#10 #!0&; 'eng=%0 #40 #50 (roots(%1 100&)) (roots(%1 ! 0&))&; %n$mg'eng&=,p2tf(n$mg'eng1e4); -tf=tf(n$mg'eng) -=,p.(-tf) %rp.&=resi'$e(n$mg'eng)
1>. Re$(a el r%'le3a 1. ,san% e!,a!$%nes e n%%s.
a)
Nodo a
Va ( S ) −Vi ( S ) Va ( S ) Va ( S )−Vb ( S ) + + =0 2S 1 3s Va ( S ) Vi ( S ) Va ( S ) Va ( S ) Vc ( S ) − + + − =0 2S 2S 1 3s 3s
( 5 + 6 S ) Va ( S ) Vc ( S ) Vi ( S ) − = 6S
3s
2S
+oo Vb ( S )− 0 Vb ( S )−Va ( S ) + =0 1 3S 1 2
−Va ( S ) 3s
−Va ( S ) 3s
+
+
SVb ( S ) 2
(
3S
2
+
+2
6S
)
Vb ( S ) 3S
=0
Vb ( S )= 0
S
[ ][ Vi ( S )
( 5 +6 S )
−1
6S
3S
−1
2
=
2S 0
∆=
(5 + 6 S ) 6S
×
3 S
2
+2
6S
3S
−
∆=
Va ( S ) =
[
1 2
9S
6S
3
=
3S
[
2
+2
6S
]
2
Vi ( S )
6S
2S
−1
0
3S 3
3
−
2
=
(
+ 2) +4 S+ 2 )
Vi ( s ) 3 S
( 6 S +5 S 3
2
]
+ 5 S +4 S + 2
=
2
2
6S
3
+5 S
2
2
+ 2− 2 ¿ ( Vi s ) ¿ V 0 ( s ) Va ( S )−Vb ( S ) = =¿ Vi ( s ) Vi ( s ) 3S
( ) + 4 S +2
2 Vi s
12 S
'
2
2
( 5+ 6 S )
6S
]
+ 10 + 18 S + 12 s 36 S
+5 S +4 S + 2 12 S
Vb ( S )
2
2S 0
2
][
+5 S + 4 S +2
−1
3
15 S
12 S
3S
+2
6S
Vi ( S )
6S
Vb ( S ) =
3S
Va ( S )
2
1 9S
2
Va ( S ) −Vi ( S ) ( S + 1 ) Va ( S )−0 Va ( S ) −Vo ( S ) + + =0 1 S S 2
(
)
Vi ( S ) S + S+ 2 Va ( S ) −Vo ( S )= S S 2
nodo b Vo ( S ) −Va ( S ) 1
+ SVo ( S ) +
Vo ( S )−Vi ( S ) =0 S
Vi ( S ) S + S + 1 Va ( S )+ Vo ( S )= S S 2
Vi ( S ) S2 + S + 1 Va ( S )= − Vo ( S ) S S
(
S
2
+ S+ 2 S
)[
Vi ( S ) S
−
S
2
+S +1 S
[
2
]
Vo ( S ) −Vo ( S ) =
]
S+ 2 S + 2 S + 1 ( ) Vi S = Vo ( S ) 2 S S
Vi ( S ) S
2 Vo ( S ) S +2 = Vi ( S ) S3 + 2 S 2+ 2
G ( s )=
21. En!,en(re la #,n!$n e (rans#eren!$a
V o ( s ) V i ( s )
ara !aa ,n% e l%s
!$r!,$(%s a3l$#$!a%res %era!$%nales =,e se $l,s(ran en la #$,ra. a
1
3
Z 1=500∗10 +
−6 1 10 s
∗
6
5
Z 1=5∗10 +
5
Z 2=1∗10 +
10
s
10
6
s
5
10
6
−Z ( s ) 1∗10 + s G( s ) = = = V i ( s ) Z ( s ) 10 5∗10 + V o ( s )
2
6
1
5
s
5
6
1 s + 10 − − s +1 10 s G( s ) = = 5 6 1 5∗10 s + 10 s +1 2 s 10
G( s ) =
−1 s + 10 5 s+2
-)
6
Z 1=10
5
10
+
s
5
∗10
6
s
Z eq = 10
1
10
5
+
10
6
s
11
∗10
11
6
6
s 1∗10 10 10 Z eq = 5 = 5 = = 6 6 s + 10 s + 10 10 s + 10 10 s + 10 s
5
Z 2=10 +
10
6
s + 10
5
Z 2=
10
6
6
s + 10 + 10 s + 20 =105 s + 10 s + 10
5
G ( s )=
−Z
2
Z 1
− G ( s )=
−10 =
5
10
s + 20 s + 10
+
10
6
s
s + 20 s + 10
=
s + 10
−s ( s + 20 ) ( s + 10 ) 2
s
G( s ) =
−s ( s + 20 ) ( s + 10 ) 2
2&. En!,en(re la #,n!$n e (rans#eren!$a GCs1CsFCs ara el s$s(e3a 3e!n$!% e (ransla!$n =,e se $l,s(ra en la #$,ra P2.>.
[ ] [− F ( S ) 0
=
1 1
−1 1+ S + S 2
][ ] X 2
2
X 1
∆ = 1 + S + S −1 = S + S
2
X 1=
[
1
F ( s )
1
0 2
S+ S
]=
F ( S ) S+ S
2
→
X 1 F ( S )
=
1
S+ S
2
=
1
S ( 1+S )
2). En!,en(re la #,n!$n e (rans#eren!$a GCS2CSFCS ara la re 3e!n$!a (rasla!$%nal =,e se 3,es(ra en la #$,ra P2.1?.
[ ][ F ( s ) 0
=
2
+1 −1
s
][ ]
−1 ∗ X 1 ( s ) s +1 X 2 ( s ) 2
∆ =( s + 2 s + 1 ) −1 4
2
∆ =s
4
2
+2 s
2
2
∆ =s ( s + 2 )
[− 2
s +1
X 2
( s )=
F ( s )
1
0
∆ X 2 ( s ) F ( s )
=
]=
F ( s )
1
s
2
2
2
2
s ( s +2 )
( s +2 )
2. Para el s$s(e3a e la #$,ra P2.12 en!,en(re la #,n!$n e (rans#eren!$a GCS1CSFCS.
[ ][
2
+S +3 S = F ( S ) −(1 + S ) 0
2
−(1 + S ) 1 +2 S+ S
][ ] X 1
2
X 2
∆ = ( 2 + S + 3 S ) ( 1 + 2 S + S )− ( 1 + S ) 2
4
3
2
2
3
2
2
2
2
∆ =S + 2 S + S + 3 S + 6 S + 3 S + 2 S + 4 S + 2−1 −2 S − S ∆ =S
[
4
3
2
+ 5 S +8 S + 5 S +1
]
−( 1 + S ) F ( s ) 1 +2 S + S F ( s ) ( 1 + S ) X 1= = S + 5 S + 8 S +5 S +1 ( S +1 ) ( S + 4 S +4 S + 1 ) 0
2
4
→
3
2
3
2
(1 + S ) 1 = F ( S ) ( S + 1 ) ( S + 4 S + 4 S + 1 ) ( S + 4 S + 4 S + 1 ) X 1
=
3
2
3
2
2H. En!,en(re la #,n!$n e (rans#eren!$a GCs&CsFCs ara el s$s(e3a 3e!n$!% (rasla!$%nal =,e se 3,es(ra en la #$,ra P2.1&.
[ ][ 0
s
2
=
F ( s )
+ s+ 1 −1
0
s
2
0
−1 + s +2 −s
2
s
][ ] x 1 ( s )
0
−s + s +1
x 2 ( s ) x 3 ( s )
∆ =( s + s + 1 ) ( s + s + 1 ) ( s + s + 2 ) −( s + s + 2 s + s + 1 ) 2
2
6
5
2
4
4
3
4
2
2
3
2
5
4
3
4
3
2
∆ =s + s + 2 s + s + s + 2 s + s + s + 2 + 2 s + 2 s + 4 s + 2 s + 2 s + 4 s + 2 s 2
4
3
2
2
+ 2 s + 4 s − s − s − s − s − s −1 6
5
4
3
2
∆ =s + 3 s + 6 s + 8 s + 7 s + 4 s + 1
[
]
2
−1 0 −1 s + s + 2 F ( s ) 0 0 −s x ( s )= s + 3 s +6 s + 8 s + 7 s + 4 s +1 3
6
s + s+1
2
5
4
3
( s + s + s ) F ( s ) 2
x 3 ( s )=
x 3 ( s ) F ( s )
2
6
5
2
4
3
2
s + 3 s +6 s + 8 s + 7 s + 4 s +1
( s + s +s ) 2
=
6
s
5
4
2
3
2
+ 3 s + 6 s + 8 s +7 s + 4 s + 1
3
&1. Para el s$s(e3a 3e!n$!% r%(a!$%nal =,e se 3,es(ra en la #$,ra P2.1H en!,en(re la #,n!$n e (rans#eren!$a GCS 2CSTCS.
[ ] [ −( + ) T ( S ) 0
( ) = S + 2 S + 1 −(1 + S ) 2
1
S
+
1 2S
][ ] θ1 θ2
∆ =( S + 2 S + 1 ) ( 1 + 2 S )− (1 + 2 S ) 2
3
2
2
2
∆ =2 S + 4 S + 2 S =2 S ( S + 2 S + 1)
θ 2=
[
( S + 2 S +1 )
T ( S )
−( 1 + S )
0
2
]
( +2 S + 1 )
2S S
2
=
T ( S ) ( 1 + S )
( +1 ) ( S + 1 )
2S S
→
θ2 T ( S )
=
1
( +1 )
2S S
&&. Para el s$s(e3a r%(a!$%nal =,e se 3,es(ra en la #$,ra en!,en(re la #,n!$n e (rans#eren!$a G ( s )=θ ( s )/ T ( s ) 2
&. Para el s$s(e3a r%(a!$%nal =,e se 3,es(ra en la #$,ra P2.22 en!,en(re la #,n!$n e (rans#eren!$a GCS lCSTCS.
Gra#$!% e=,$/alen(e:
[ ][ 10 T
( S)
0
S (S + 1 ) − S = −S S +1
0
0
−1 S +1
−1
0
[
][ ] θ2 θ3 θ4
∆ =S ( S + 1 ) − S ( S + 1 ) + S ( S + 1 ) 2
2
]
∆ = S ( S + 1 ) − S ( S + 1 ) ( S + 1 ) = S ( S + 1 ) [ ( S + 1 ) −1 ] 3
2
∆ =S
θ 4=
[
2
( S+ 1)
2
]
S ( S +1 )
−S 0 2
S
−S 10 T ( S ) 0 S +1 0 −1 10 T ( S ) S 10 T ( S ) = = ( S+ 1) S ( S+ 1 ) S ( S +1 ) 2
→
2
θ4 10 = T ( S ) S ( S + 1 )2
θL=
50 θ 4 10
=5 θ 4
2
2
θL=5
10
S ( S+1 )
2
=
50
S ( S+1 )
2
. ANLISIS DE RESULTADOS H. *ON*LUSIONES •
•
•
•
Realizar las pre!untas de repaso fue bastante enriquecedor para afianzar los conocimientos de la materia respecto a los temas tratados en clase. 5e recordó la resolución de la transformada de 0aplace y su utilización en ejercicios de circuitos elctricos y de movimiento mecánicos, recordando que facilita el análisis de sistemas en el dominio s, mediante la utilización de las funciones de transferencia. 5e realizó efectivamente los ejercicios propuestos demostrando que los temas fueron asimilados correctamente. Además se aprendió la utilización de ciertos comandos en 3atlab, 6tiles a la #ora de trabajar con las funciones de transferencia de los sistemas.
. BIBLIOGRAFA Función de transferencia (23 e +o.ie/-re e 2014) -tenio e ttp%%esikipeiaor'%iki%unci363netransferencia
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS FÍSICOS (sf) 8ecuperao e& 23 e +:;<68; e 2014, e ttp%%ciepin'uas&p/%n>>ccontro&%i/a'es%pf%cte/a22pf +ise, + (200) Sistemas de control para inenier!a (Tercera ;ici?n e) <@ico ;itoria& ontinenta&
