Capítulo 2 Razonamiento Aritmético El objetivo objetivo de este capítulo capítulo es presentar presentar los conceptos de razonamiento aritmético y lograr que el estudiante pueda pueda aplicar y los use en forma adecuada en su su formación profesional. profesional. Los temas a los que nos dedicaremos son: 2.1 Sistemas de numeración. Aplicaciones. 2.2 Cuatro operaciones. Aplicaciones. 2.3 Divisibilidad. Divisibilidad. Aplicaciones. Aplicaciones. 2.4 Números fraccionarios. fraccionarios. Aplicaciones. 2.5 Razones y proporciones. Aplicaciones. 2.6 Sucesiones y series.
1
2.1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN
RESUMEN TEÓRICO Sistema de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.utilizados para expresar los números. Un Sistema de numeración posicional, posicional , por ejemplo está definido por la base que utiliza. La base de un sistema de numeración es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.
1. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL: El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen ocupen en la cifra: unidades, unidades, decenas, centenas, millares, etc. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa: significa: 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = , 8∗10 2∗2 ∗ 10 4∗4 ∗ 10 5∗15 ∗100 9∗19 ∗100− 7∗7 ∗ 10− 8000 8000 40 5 0,0,9 0,0,0707 = 8245 8245,,97
o, lo que es lo mismo:
En el caso de números con decimales, la situación es análoga a náloga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número se calcularía como: 8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
es decir:
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Expresa, en código binario, los números decimales siguientes:
,
, , , , ,
.
representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más 2. Averigua cuántos números pueden representarse grande que puede escribirse en cada caso.
3. Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?
2
2.1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN
RESUMEN TEÓRICO Sistema de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.utilizados para expresar los números. Un Sistema de numeración posicional, posicional , por ejemplo está definido por la base que utiliza. La base de un sistema de numeración es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.
1. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL: El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen ocupen en la cifra: unidades, unidades, decenas, centenas, millares, etc. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha. En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa: significa: 5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = , 8∗10 2∗2 ∗ 10 4∗4 ∗ 10 5∗15 ∗100 9∗19 ∗100− 7∗7 ∗ 10− 8000 8000 40 5 0,0,9 0,0,0707 = 8245 8245,,97
o, lo que es lo mismo:
En el caso de números con decimales, la situación es análoga a náloga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número se calcularía como: 8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
es decir:
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Expresa, en código binario, los números decimales siguientes:
,
, , , , ,
.
representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más 2. Averigua cuántos números pueden representarse grande que puede escribirse en cada caso.
3. Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?
2
4. Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:
, , , ,, , , , , , , , , , , , , , ,
5. Convierte los siguientes números decimales en octales:
6. Convierte al sistema decimal los siguientes números octales:
7. Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 8. Convierte
al
sistema
hexadecimal
los
decimales:
9. Convierte los siguientes números binarios en octales: Convierte los siguientes números octales en binarios:
10. Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:
2.2 CUATRO OPERACIONES. RESUMEN TEÓRICO 1. ADICIÓN Sean a,b,c ………, z números enteros Ent onces se tiene:
W S = a + b + c + ……… + z b z b Donde: a; b; c; c; …;z se se denominan sumandos S se denomina suma o total.
SUMAS NOTABLES: 1.- S 1 2 3 n
n.n 1 2
2.- S 1 3 5 2n 1 n
2
3.- S 2 4 6 2n n.n 1 2
2
2
2
4.- S 1 2 3 .... n
n. n 1 2n 1 6
2
5.- S 13 23 33 ... n 3 n.n 1
3
siguientes
números
1 2 3 n a 6.- S a a a a ....... a 0
n1
1
a 1
.
SUSTRACCIÓN: Sean : m, s y d números enteros entonces tenemos: D= M – Ss Donde: M : Minuendo S :Sustraendo D : Diferencia
PROPIEDADES 1) M S D 2) M S D 2 M 3) Para un número de la forma abc y cba si x z 9
a > c entonces : abc
cba x9 z
COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA(N)) El complemento aritmético de un número entero positivo es igual a la cantidad de unidades que le falta a dicho número para ser igual a una unidad de orden inmediato superior a su cifra de mayor orden.
Ejemplo: 1
CA (3) = 10 3 7
CA (28) = 10
2
28 72 3 CA (730) = 10 730 270 4 CA(6340) = 10 6340 3660 .
En general: Sea el numeral “N” que tiene “K” cifras en base 10:
CA N 10K N
4
Forma práctica :
CA abcd 9 a 9 b 9 c10 d CA abcd 104 abcd asumiendo d 0
OBSERVACIONES: 1.
Cuando un número termina en ceros ejemplo de : 3 200
9 10
C.A.3 200 6 800 2.
Cuando un número tiene sus primeras cifras máximas ejemplo de 99 943
9 9 9 9 10
C.A.9 9 9 4 3 57 Ejemplo: CA346228 65372 Resta
Resta de 10
CA363423 636577 Resta Resta de 10
CA 3 2 010 0 679900 Resta Resta de 10
Forma practica CA 42317 9 46572 9 Resta Resta de 9
CA 5300137 136654 7 Resta Resta de 7
5
CA 213000 5 232000 5 Resta Resta de 5
MULTIPLICACIÓN Sean a y b números enteros entonces: P a a ........ a b Veces P b a
Dónde: a y b se denominan factores: a : multiplicando b : multiplicador P : producto o total
3
2
5 x
Multiplicando
2
3
5
Multiplicador
6
6
2
5
3
9
7
5
2
6
5
0
3
1
1
3
1
7
Productos
5
Producto
DIVISIÓN Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en que dados dos números enteros llamados dividiendo y divisor se obtiene un tercer número llamado cociente que nos indica el número de veces que contiene el dividendo al divisor.
TÉRMINOS La cantidad de unidades que se posee, la cual se va ha agrupar se denomina (dividendo) el tamaño del grupo en la cual se está agrupando el dividendo, se denomina (divisor) y la cantidad de grupos obtenidos se denomina (cociente), teniéndose como consecuencia que sobre o falte unidades, a la cual se denomina (residuo)
D
d
r
q
D : dividendo d : Divisor q : Cociente
6
r : Residuo Algoritmo de la división: D dq r
CLASES A. División Exacta. - Cuando al agrupar las unidades no sobra ni falta unidades, es decir, se considera residuo cero no existe residuo.
Ejemplos:
48
12
0
4
D
d
0
q
D dq
48 = 12 x 4
B. División Inexacta. - Cuando al agrupar las unidades sobran o faltan unidades para formar un grupo más. Cuando sobra unidades se dice que la división es inexacta por defecto. Cuando falta unidades para formar un grupo más, se dice que la división es inexacta por exceso. Ejemplo:
POR DEFECTO
POR EXCESO
78
78
10
2
8
8
10 7
Observación
Tanto el dividendo y el divisor en ambas divisiones son iguales. El cociente por exceso , es una unidad más que el cociente por defecto. Lo que sobra o falta unidades suman exactamente grupo.
EN GENERAL: POR DEFECTO
POR EXCESO
D
d
D
re
q 1
rd
7
d q
d dq 1 r e
DONDE:
r d
: Residuo por defecto
r e
d dq r d
: Residuo por exceso
PROPIEDADES 1. r < d 2. r(mínimo) =1 3. r(máximo) = d – 1 4. r d r e d Cuando la división es inexacta, y no se especifica el tipo, se asume que es inexacta por defecto.
ALTERACIÓN DE UNA DIVISIÓN INEXACTA Sea la división D dq r Sea “n” una cantidad entera positiva; sumando “n” ambos miembros de la igualdad anterior: D + n = d(q) + r + n
Si se aumenta una cantidad al dividendo, hace que puede variar el residuo y el cociente. Si “r+n < d ” el cociente no se altera. Si “r+n d” el cociente aumenta en tantas unidades como “r + n” contenga a “d”.
Ejemplo: 23
10
3
2
Sea: n = 5
23 5
10
3 5
2 no varia
sea: n = 12
8
23 12 3 12
10
35
2
5
10 3
EJERCICIOS RESUELTOS 1. En un corral se cuentan 50 cabezas entre conejos y gallinas, observándose también 140 patas en total. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay? A) 20 y 30 B) 30 y 20 C) 10 y 40
D) 40 y 10
E) 15 y 35
Solución.
Suponiendo que las 50 cabezas son de conejos se tendría: 50 . 4 = 200 patas en total, pero realmente sólo existen 140 patas, entonces: Diferencia total = 200 – 140 = 60 Esto ocurre porque al cambiar una gallina por un conejo se tiene: Diferencia unitaria = 4 – 2 = 2 Luego: Número de gallinas 60 30 2
Número de conejos = 50 – 30 = 20 Hay 20 conejos 30 gallinas.
2. Hace muchos años podía comprarse pavos a S/. 10 patos a S/. 5 y pollos a S/. 0.50. Si pudieron comprarse 100 animales con S/. 100 entre pavos, patos y pollos. ¿Cuántos fueron los pollos?
Solución. Sea: Pavos = Pv; Patos = Pt y Pollos = Po Luego tenemos: I. Pv + Pt + Po = 100 ……( * ) II. 10Pv + 5Pt +1/2 x Po = 100 20Pv + 10Pt + Po = 200 ...( * *) Restando los asteriscos tenemos: 19Pv + 9Pt = 100 (tanteando) 1 9 (única posibilidad) Reemplazando en ( I ) 1 + 9 + Po = 100 Po = 90 Fueron 90
3. Un kilogramo de monedas de un nuevo sol vale el doble de un kilogramo de monedas de 0,20 soles. Si cada moneda de 0,20 nuevos soles pesa 10 gramos. ¿ Cuánto valen 5 kilogramos de monedas de un nuevo sol?
9
Solución. Si cada moneda de 0,20 pesa 10g, podemos averiguar cuántas kilogramo ( 1000g) 1000 10 = 100 monedas 100(20) = S/.20
de estas monedas hacen un
Por lo tanto 1kg. de monedas de S/. 0,20 = S/.20 1kg. de monedas de un sol vale el doble: S/.40 Luego 5 kg. de monedas de un sol valen: S/.200
4. Entre cuatro “cambistas” reúnen 3400 dólares. Los cuatro tienen igual número de billetes. El primero tiene solo billetes de 50 dólares, el segundo de 20 dólares, el tercero de 10 y el cuarto de 5 dólares. ¿Cuánto dinero tiene el poseedor de la mayor cantidad de dólares? A) 400
B) 1500
C) 1600
D) 2000
E) 4000
Solución: Si a cada cambista le pedimos 1 billete, reuniríamos: 50 + 20 + 10 + 5 = 85 dólares Luego del total de dinero: 3400 85 = 40 veces Con lo cuál cada cambista tiene 40 billetes Por lo tanto el de mayor dinero es: 40x50 = $2000
5. Un ciclista da 12 vueltas en 7min en una pista circular, mientras que otro ciclista da 13 vueltas en 9min. En cuantos minutos el ciclista más veloz sacará una ventaja de 68 vueltas.
A) 250min
B) 252min
C) 231min
Solución. Del enunciado tenemos: 1er ciclista 12 v = 7min 1min =
12 v
2do ciclista 13v = 9 min 1 min =
13
7
v 9
La ventaja que hay es: 12 7
13 9
17 63
Luego: Minutos 1 X
# vueltas 17 63
68
10
D) 258min
E) 245min
Desarrollando: x = 252 min
6. La clientela de un lechero queda cubierta con 600 litros diarios que obtenía de sus 20 vacas. Pero aumentó la demanda al punto de exigirle 300 litros diarios más ¿Cuántas vacas de la misma producción tendrá que agregar a las que ya tiene? A) 12
B) 8
C) 15
D) 10
E) 9
Solución. La producción diaria de cada vaca es: 600 20 = 30 litros Luego para satisfacer la demanda adicional son necesarias: 300
30 = 10 vacas más.
7. Julio debe S/. 80 a Jorge, Jaime debe S/. 70 a José. Jorge debe S/. 50 a Jaime, y José debe S/. 80 a Julio. Todas estas deudas quedarán canceladas si: A) B) C) D) E)
Jaime paga S/. 30 a Jorge José paga S/. 10 a Jaime. Jorge paga S/. 20 a Jaime y S/. 10, a José. Jaime y José pagan a Jorge S/. 20 y S/. 10, respectivamente. José y Jaime pagan a Jorge S/. 20 y S/. 10, respectivamente.
Solución. Denotamos que “paga”' con el signo “–“ y “recibe” con el signo “+”. Por ejemplo Julio debe S/. 80 a Jorge y si la cuenta es cancelada: Julio: – S/. 80 (paga) Jorge: +S/. 80 (recibe) Entonces, si todas las cuentas son canceladas tenemos el siguiente cuadro.
Paga
Recibe
Saldo
Julio : – S/. 80 Jorge: – S/. 50 Jaime: – S/. 70 Jose: – S/. 80
+ S/. 80 + S/. 80 + S/. 50 + S/. 70
– + S/. 30 – S/. 20 – S/. 10
Luego, para que todas las cuentas queden canceladas, Jorge debe recibir S/. 30 debido a: Jaime y José que pagan a Jorge S/. 20 y S/. 10 respectivamente. Rpta. D
8. En un campeonato de fútbol participan 8 equipos. Si en cada partido se disputan 2 puntos y todos juegan contra todos. ¿Cuál fue el máximo número de partidos empatados si el campeón absoluto resultó con 8 puntos? A) 10 B) 29 C) 28 D) 27 E) 25
Solución.
11
Como son 8 equipos, cada equipo debe jugar 7 partidos; como nos piden el máximo número de partidos empatados, supongamos que todos los partidos de cada equipo son empatados, en conclusión, obtendría 7 puntos. Pero el campeón absoluto obtuvo 8 puntos, es decir, que de sus 7 partidos, tuvo que ganar 1 punto. Sabemos: Número de partidos = 8x7 = 28 2 Luego Nro. Partidos empatados: 28 – 1 = 27 Rpta. D
9. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores 250 soles. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás recibiendo cada uno 300 soles. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente?
Solución. Como uno de ellos es despedido entonces a cada uno le toca ahora 300 soles. Como ahora reciben 300 soles cada uno el aumento de 50 soles procede de repartir la parte que le tocaba (S/. 250 soles) entre los demás, alcanzando este dinero para que se beneficien: 250 50 = 5 trabajadores, que eran los que quedaban. Inicialmente entonces eran: 5 + 1 = 6 trabajadores.
10. En un baile de matemáticos Tulio le dice a Rocío, somos el doble o triple de ustedes. Ella le dice: Mira allí vienen mis cinco amigas con los cuales nadie se quedará sin bailar. ¿Cuántos hombres hay en la fiesta?
Solución. Sea número de mujeres: x Luego: 2x = x + 5 ó 3x = x + 5 x=5 x = 5/2 pero la cantidad de mujeres es un número entero, entonces la cantidad de hombres es 10.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Si a y B son números enteros negativos. ¿Qué alternativa tiene valor necesariamente positivo? A) a + b
B) a – b
C) b – a D) – (a – b)
E) – (a + b)
2.
En una sustracción; la suma de sus términos es 72, además el minuendo es dos veces más que el sustraendo, calcule la diferencia. Rpta: 24
3.
La suma de los términos de una sustracción es S/. 742 y el producto del sustraendo por la diferencia es 6688. calcule el sustraendo sabiendo que es mayor que la diferencia. Rpta:552
12
Si CA abc abco 397 Calcule: a x b x c
4.
Rpta: 14
Si: CA abcde ee Calcule: (a + b + c + d + E)
5.
Rpta: 36
6.
Calcule: a b c d
CA abca 7 b 2dd 7 Rpta : 14
7.
En una multiplicación si al multiplicando se le aumenta 5 unidades, el producto aumenta en 200. si al multiplicador se le aumenta 7 unidades, el producto aumenta en 91. calcule la suma de cifras del producto inicial. Rpta:7
8.
Con una lata de comida se puede alimentar a 6 perritos o a 2 perros. Si se tiene 10 latas y se ha alimentado a 21 perritos. ¿Cuántos perros más se puede alimentar? A) 11
9.
C) 13
D) 14
E) 10
Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175 gramos. ¿Cuántas botellas seme jantes serán necesarias para vaciar en ellas el contenido de un barril de 225 litros? A) 150
10.
B) 12
B) 200
C) 400
D) 350
E) 300
Se tienen 54 monedas las cuales se separan en tres grupos: del primero se pasan al segundo tantas monedas como hay en este; del segundo al tercero tantas monedas como la mitad que tenía este obteniéndose igual cantidad de monedas en cada grupo. El primer grupo tenía: A) 25 monedas B) 30 monedas C) 26 monedas D) 12 monedas E) 24 monedas
11. Por la compra de 240 libros se paga en impuestos el valor de un libro más 60 soles. Por 180 libros del mismo tipo se paga en impuesto el valor de un libro menos 40 soles. ¿Cuánto cuesta cada libro? A) 400 soles B) 440 soles C) 340 soles D) 240 soles E) 100 soles
12. Cinco veces el producto de las edades de Roberto y Rozendo es igual a 11 veces más que la suma de dichas edades. Cinco veces el producto de las edades de Rozendo y Adrián es igual a 18 veces la suma de dichas edades, y 13 veces el producto de las edades de Roberto y Adrián es igual a 35 veces más que la suma de sus edades. ¿En cuánto excede la edad de Adrián a la edad de Roberto? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
13. En una cacería de venados
observé que el número de sabuesos excedía al de cazadores en 4, los venados más uno eran igual al doble de sabuesos, además el cuadrado del número de cazadores menos uno eran tantos como los venados. ¿Cuántos eran los cazadores? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
13
14.
En una guerra, un cañón realiza 35 disparos por hora y otro 24 disparos en el mismo tiempo. Si el primero ha estado disparando durante 3 horas cuando empieza a disparar el segundo y el total se realizan 518 disparos. ¿Cuántos disparos hizo en total el primer c añón? A) 245 B) 700 C) 250 D) 350 E) 494
15.
A una fiesta asisten tres grupos disparejos de chicos y chicas; donde al inicio cada uno quiso bailar en su grupo observándose 30 parejas bailando. Cuando se reunieron los sobrantes del primer grupo con los del segundo grupo quedaron 10 personas sin bailar, al juntarse los sobrantes del segundo grupo con los del tercer grupo quedaron 12 Sin bailar pero al unirse los sobrantes de los tres grupos se vio que todos bailaron. ¿Cuántos asistieron a la fiesta? A) 96 B) 100 C) 104 D) 114 E) 144
16. Un granjero y su buena esposa están en el mercado para negociar sus aves de corral po r ganado, sobre la base de que 85 pavos equivalen a un caballo más una vaca; y que 5 caballos tienen el mismo valor que 12 vacas. I. Esposa: “llevemos otros tantos caballos como los que ya hemos elegido, entonces tendremos 17 caballos y vacas que alimentar ”.
II. Granjero: “creo que deberíamos duplicar el número de vacas que hemos elegido y así tendríamos en total 19 vacas y caballos; y tendríamos la cantidad exacta de pavos”
¿Cuántos pavos llevaron al mercado el granjero y su esposa? A) 650
17.
B) 240
C) 520
D) 950
E) 250
Se ha pagado una deuda de 265 soles, con monedas de 5 soles y de 2 soles. El número de monedas de 2 soles es mayor que el de 5 soles en 17 monedas. ¿Cuánto suman las monedas de 2 soles y se 5 soles? A) 820 B) 81 C) 80 D) 83 E) 79
18. Se desea saber
el mayor número de postulantes que hay en un aula, si al doble del número de éstos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si al triple se le disminuye en 5 el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16. A) 20 B) 22 C) 21 D) 18 E) 23
19.
Se desea repartir naranjas equitativamente entre cierto número de niños sobrando 3 naranjas; pero si se les da 2 naranjas más a cada uno faltarían 7 naranjas. ¿cuántas niños eran? A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6
20. Suena una sirena de un pesquero A y a los 20 segundos suena la del otro B que está pescando a 10000m de A. Calcular la posición de un tercer pesquero C situado entre A y B en línea recta, desde donde se oyen ambas sirenas en el mismo instante. (Considerar que la velocidad del sonido es 340 m/s) A) 6800m de A B) 3200m de B C) 8400m de A D) 1600m de B E) C y D son respuestas
21. Al comprar 10 manzanas me regalan 2 y al vender 15 regalo 1. ¿Cuántas debo comprar para ganar 24 manzanas? A) 192
B) 120
C) 180
14
D) 280
E) 620
22.
Un campesino ha entregado 9kg de tomates y S/.2,7 en efectivo por 1,80m de género, pero si hubiera entregado 3kg más de tomates y nada en dinero, habría adquirido 2,60m de género. ¿Cuánto suma el importe de un kilogramo de tomates y un metro de género? A) 17,71 B) 17,70 C) 17,67 D) 17,69 E) 17,68
23. Dos hermanos heredan un rebaño de ovejas. Venden cada uno a un precio igual al número de ovejas que hay en el rebaño. La cantidad total se les paga en billetes de 10 soles y un resto en monedas de un sol, que entre todos hacen menos de 10 soles. A la hora de hacer el reparto colocan el montón de billetes en una mesa y van tomando alternadamente un billete cada uno. Al acabar el hermano menor dice: I.“No es justo, tú te has llevado un billete más que yo”
II. “ Tienes razón dijo el otro ”. III. “ Para compensarte te daré todas las monedas y un cheque por la diferencia ”. ¿Cuál es el valor del cheque? A) S/.2
B) S/. 3
C) S/.4
D) S/.5
E) S/.8
24. Asumiendo
que no se trata de un año bisiesto. ¿Qué día del año indicará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas exceda en 2 a los 3/8 del número de hojas que quedan? A) 9 de abril B) 11 de abril C) 13 de abril D) 10 de abril E) 12 de abril
25. Dieciséis personas tienen que pagar por partes iguales 7500 soles;
como algunas de ellas no pueden hacerlo, cada una de las restantes tienen que poner 281,25 soles; para cancelar la deuda. ¿Cuántas personas no pagaron? A) 8 personas B) 4 C) 9 D) 3 E) 6
2.3 DIVISIBILIDAD RESUMEN TEÓRICO 1. MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL. Se llaman múltiplos de un número a todos los números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales.(consideraremos el N* )
Ejemplo: son múltiplos del número 2, denotaremos por:
2 ̇ =0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22 ……}
Como todo número tiene sus múltiplos así también tienen sus divisores es decir otros números que lo dividen exactamente. Ejemplo: los divisores de 20, denotaremos por:
D(20)=1, 2, 4,5, 10,20 } 15
El uno es divisor de todos los números. Todo número es divisor de sí mismo.
2. CRITERIOS DE DIVISIBIDAD. Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando acaba en 0 o en cifra par . Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3 Divisibilidad por 4: un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un número divisible por 4 .
Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 cuando acaba en 0 o en 5 . Divisibilidad por 6: un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 a la vez . Divisibilidad por 7: Para saber si un número es divisible entre 7 hay que restar el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades. Si el resultado es 0 o múltiplo de 7 entonces el número es divisible entre 7. Si el resultado es diferente, el número no es divisible entre 7.
Divisibilidad por 9: un número es divisible por 9 cuando lo es la suma de sus cifras . Divisibilidad por 10: un número es divisible por 10 si termina en 0 . Divisibilidad por 11: un número es divisible por 11 cuando la suma de las cifras de lugar impar menos las de lugar par es 0 o múltiplo de 11. Por ejemplo 82709 y 4675 son múltiplos de 11.
Divisibilidad del 13: Para saber si un número es divisible entre 13 hay que restar el número sin la cifra de las unidades y 9 veces la cifra de las unidades. Si esa resta tiene como resultado 0 múltiplo de 13 entonces el número es divisible entre 13. Los números primos son aquellos que tienen la propiedad de poseer únicamente dos divisores: el mismo número y el 1. El 1 no es ni primo ni compuesto. Son números primos el 2, 3, 5, 7, 11...
3. DESCOMPOSICIÓN DE UN NUMERO EN FACTORES PRIMOS Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o m ás factores primos.
Ejemplo: Descomponer, en factores primos, los números 48 y 30.
3015| 23 51 5. 30=2×3×5
16
4824 22 126 223 31 . 48=2 ×3
4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS. El mínimo común múltiplo de dos números es el más pequeño de los múltiplos comunes a ambos. Existe una manera práctica y fácil para hallar el m.c.m, sobre todo si se trata de números muy altos. Consiste en descomponer cada número en factores primos y el mí nimo común múltiplo será igual al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo: el mcm de 72 y 50 será:
Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:
4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS NÚMEROS. Para hallar el máximo común divisor (m.c.d.) de varios números, se procede de la misma manera que para el m.c.m., con la diferencia de que luego de descomponer las cantidades dadas en sus factores primos, se toman de ellos, el producto de los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplo: para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos.
El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:
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Son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1. Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Descomponer en sus factores primos los números: 54, 102, 367, 432 ,8200. 2. Hallar el MCM y el MCD de los siguientes pares de números: 26 y 38; 48 y 74; 123 y 312; 475 y 720
2.4 NÚMEROS FRACCIONARIOS
RESUMEN TEÓRICO Concepto de números fraccionarios, tipos de fracciones, fracciones propias e impropias, fracciones equivalentes
Definición 1 (Conjunto de números racionales Q) El conjunto de los números racionales es constituido por elementos de la forma
; donde
,
son
números enteros y n diferente de cero. Esto lo escribimos en forma de conjuntos en la forma
= /, ∈ ; ≠0 }
.
El conjunto de los números enteros:
Z ={ ...-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... }, que contiene a los números enteros negativos, al número cero y a los números enteros positivos juega un rol importante en la definición del conjunto de los números racionales; y cuando se habla de números racionales se piensa en el cociente o división de dos números; este cociente nos puede dar un número entero como
=5
5 o un número decimal
=0,25
. En este contexto podemos
clasificar a los números racionales en números enteros y números fraccionarios. Siendo los números fraccionarios aquellos números racionales que no son enteros y podemos aún clasificar a los números fraccionarios como sigue:
1: 0,75= 34 = ó :0,3̂ = 35 { :0,416̂ = 12
Definición 2. (Concepto de fracción)
Establecemos como concepto de fracción a la división exacta entre dos números enteros, teniendo en cuenta que el divisor debe ser distinto de cero.
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Las fracciones o divisiones de dos números enteros de la forma cantidad que representa el dividendo en este caso a representa el divisor y se le llama el denominador.
tiene como elementos a la
, se le llama numerador y a la cantidad
que
Tipos de fracciones. Si el numerador es mayor que el denominador se llama fracción impropia y si el denominador es mayor que el numerador se llama fracción propia.
Fracciones equivalentes: Se dice que un número racional está en su mínima expresión si el máximo común divisor del numerador y denominador es 1. Los números racionales se escriben en su mínima expresión mediante la siguiente propiedad fundamental de los números racionales
Proposición 1. Si
,,
son enteros con b ≠0 , k ≠0 entonces
=
.
Asimismo la propiedad del producto cruzado determina la igualdad de números racionales como sigue.
Proposición 2. Dos fracciones
y
son equivalentes si b.c = a.d .
Las operaciones de suma entre números fraccionarios es dada por la propiedad siguiente:
Proposición 3. Si
y d son dos números racionales entonces
Del mismo modo para la multiplicación
Proposición 4. Si
y d son dos números racionales entonces
Representación de fracciones como decimales.
= +
=
EJERCICIOS RESUELTOS 1. En 3 minutos un caño lleno 1/24 de un depósito ¿qué tiempo se demorará en llenar todo el depósito?
Solución. Uno puede resolver este problema de diferentes formas, esta sería una de ellas, dado que el depósito entero es la unidad entonces y en tres minutos el caño llena el depósito en 1/24 parte
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del depósito entonces para llenar todo el depósito hace falta 1- 1/ 24 = 23/ 24 partes; si para 1/ 24 se demora 3 minutos para 23 /24 se tendrá más minutos, Así
( = /) =69
minutos
2. Moisés es el triple de rápido que Esteban y juntos realizan una obra en 12 días. Si la obra lo hiciera solamente Moisés ¿cuánto tiempo le tomaría?
Solución. Si x representa el avance de Moisés por día entonces el avance de Esteban es x por día, luego, como los dos trabajan juntos por doce días se tiene:
12 =1
donde uno es la
totalidad de la obra, realizando las operaciones indicadas se obtiene que el avance de Moisés en un día es x=1/16 . Luego para que Moisés haga sólo la obra se necesitará de 16 días.
3. Dos hermanos se reparten las canicas de un pote. El primero se lleva el segundo obtiene las 55 restantes. ¿Cuántas contenía el pote?,
del total, mientras que
Solución. Del todo que representa una unidad (de canicas), se divide en 8 partes al primero le
() =88
corresponde 3 y al segundo 5 partes, luego las 5 partes hacen un total de 55 canicas de modo que todo es
canicas.
4. Messi ha metido los 2/5 del número de goles marcados por su equipo en el año pasado y Neymar la cuarta parte del resto. Si los demás jugadores han conseguido 45 goles, ¿cuántos goles hizo el equipo en toda la temporada?
Solución. Los goles de Neymar son la cuarta parte de
=
Neymar se tiene representa
+
esto es
() =100
=
; entre Messi y
de los goles, de modo que los 45 goles de los otros jugadores
Así el total de goles del equipo es de:
5. Un tonel de vino está lleno hasta los
de su capacidad. Se necesitan todavía 1 804 litros para
llenarlo completamente. ¿Cuál es la capacidad del tonel?
Solución. Los del tonel es
de la capacidad del tonel es 1 804 litros, de modo que el total de la capacidad
1804=2761 litros.
6. Armando y Bernardo pueden hacer una obra en 70 días, Bernardo y César pueden hacerlo en 84 días; asimismo Armando y César en 140 días ¿cuántos tiempo emplearán trabajando los tres juntos?
Solución. El avance en un día de Armando y Bernardo es la fracción de la obra de Bernardo y César en un día es es
70 de la obra; el avance
; asimismo el avance en un dia de Armando y César
; de modo que el avance de la obra en un día será la suma de las fracciones de avance de la
obra dividido entre 2 obteniendo 1/60; así si los tres trabajan al mismo tiempo la obra lo harán en 60 día.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Américo realiza un trabajo en cinco minutos, indica que parte del trabajo realiza en: 20
1. 3 minutos. 2. Treinta segundos 3. En 90 segundos.
2. Un obrero demora seis días en abrir una zanja ¿qué parte de la zanja abrió en 4 h si trabaja 7h por día? Rpta: 2/21 3. Un caño llena el depósito A en 6 minutos y el depósito B en 12 minutos ¿ en qué tiempo llenará ambos depósitos?
4. Alfredo y Braulio pueden hacer una obra en cuatro dí as, Alfredo trabajando sólo lo haría en seis días. Cuánto tiempo emplearía Braulio para hacer dicha obra?
5. Tres obreros hacen un trabajo en cuatro días. Si el primero lo haría solo en doce días y el segundo en 24 días ¿cuánto demoraría el tercero? Rpta: 48 días 6. Un caño llena un depósito en 8h y un desagüe lo vacía en 12 horas ¿en qué tiempo se llenará el depósito si se abre el desagüe una hora después de abrir el caño?
7. De dos caños que fluyen en un tanque, uno solo lo puede llenar en seis horas y el otro lo puede llenar en ocho horas, Si abrimos los dos caños a la vez estando el tanque vacío ¿en qué tiempo se llenará dicho tanque?
8. Alejandro puede hacer un trabajo en 8 días y Antonio lo puede hacer en 12 días ¿cuántos días les tomará hacer toda la obra juntos?
9. De los tres caños que fluyen a un estanque, uno de ellos lo puede llenar en solo 36 horas, otro en 30 horas y el otro en 20 horas. Abriendo los tres caños a la vez, ¿en cuánto tiempo se llenarán los 2/3 del estanque? Rpta. 16/21 10. Si Walter y Javier pueden construir un edificio en 70 días; Javier y Pedro lo pueden hacer en 84 días y Walter y Pedro en 140 días ¿en cuántos días lo harán si trabajan los tres juntos?
11. ¿Cuántas botellas de 4 de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros? 12. Con el contenido de un bidón de agua se han llenado 40 botellas de de agua había en el bidón?
de litro. ¿Cuántos litros
13. Un frasco de perfume tiene la capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se pueden llenar con el contenido de una botella de 3/4 de litro?
14. Jacinto se come los 2/7 de una torta y Pepita los 3 5 del resto. ¿Qué fracción se ha comido Pepita? ¿Qué fracción queda?
15. De un depósito que contenía 600 litros de agua han sacado primero 1/6 del total y después 3/4 del total. ¿Cuántos litros quedan?
16. De un depósito que estaba lleno se han sacado 2 /3 del total y, después, 1/ 5 del total. Sabiendo que aún quedan 400 litros, ¿cuál era la capacidad del depósito?
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17. Dos atletas llevan recorrido los 3/ 12 y los 8 /32 de una carrera, respectivamente. ¿Cuál de los dos va delante? Rpta. Van empatados
18. En una carrera de automóviles faltan 372 km para llegar a meta. ¿Cuántos km debe recorrer en total un coche que ya ha recorrido 9/ 40 ?
19. De una caja de manzanas se pudren 2/ 3 . Comemos las 4/ 5 del resto y las 25 restantes las utilizamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la caja?
20. Entre 7 personas se reparten 4 /9 de una herencia. Si cada uno recibe 1 750 soles, ¿cuál es el total de la herencia?
21. Tres jinetes disputan una carrera invirtiendo para ello 7/5 de hora, 20/12 hora y 16/9 horas, respectivamente. ¿Cuál de ellos es más veloz? Rpta. El nombrado al final
22. Un ganadero vende los 3/4 del número de reses que tiene. Más tarde los 3/4 del resto, quedando así 16 reses en la ganadería. ¿Cuántos animales tenía?
23. Una tienda ofrece pantalones rebajados en 1/7 de su precio. Si ahora se venden a 88,50 soles, ¿cuál era su precio antes de la rebaja?
24. Aurora sale de casa con 30 soles. Se gasta 2/5 del dinero en un libro y después 4/5 de lo que le quedaba en un disco. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa?
25. Un vendedor despacha por la mañana las 3/4 partes de las naranjas que tenía. Por la tarde vende 4/5 de las que quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas, ¿cuántos kilos tenía? Rpta. 500 26. En una biblioteca los 2/9 de los libros que hay son de matemáticas, 3/5 son de literatura, 1/7 son de ciencias sociales y el resto de idiomas. Ordena las diferentes asignaturas por el número de volúmenes que encontraron en la biblioteca.
27. Los 5/6 de lo gastado por una familia este fin de semana son 87 soles. ¿Cuánto supone los 2/3 de los gastos de esa misma familia?
28. Nos dicen que el resultado de un examen ha sido el siguiente: 1/ 8 de los alumnos y alumnas han obtenido insuficiente, 3 /7 suficiente, 3/ 8 notable y 1 /10 sobresaliente. Comprueba si estos resultados son posibles.
29. Un aventurero realiza 2/5 de un viaje en todo terreno, 1/3 a caballo y el resto andando. Si la caminata ha sido de 80 km , ¿cuál es la longitud total de su recorrido? Rpta. 1200
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2.5 RAZONES Y PROPORCIONES
RESUMEN TEÓRICO En esta sección daremos algunos conceptos proporcionalidad, regla de tres y porcentajes.
y propiedades
de
razones, proporciones,
Definición 1. (Razón) Llamaremos razón o relación al resultado de comparar dos cantidades. Debemos indicar que dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede uno a la otra; es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra; es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente. Las razones pueden ser utilizadas para comparar cantidades o para establecer la relación que debe existir entre dos cantidades. Por ejemplo,
Para diluir una pintura la relación diluente- pintura debe estar en la razón de 1 es a 3. En una bolsa con bolas blancas y negras, la razón de bolas blancas a negras es de 2 a 7. En cierto examen, la razón entre aprobados y desaprobados es de 4 a 3.
Definición 2. (Proporción) Se llama proporción a una igualdad entre dos razones. Si en una proporción aplicamos transformaciones equivalentes podemos despejar cualquiera de sus elementos. Una de estas transformaciones nos conduce a una relación que cumplen todas las proporciones conocida como la propiedad fundamental de las proporciones.
Definición 3. (Proporcionalidad)} Llamaremos proporcionalidad a una relación o razón constante entre magnitudes medibles. Dicho con otras palabras, si uno aumenta o disminuye el otro también aumenta o disminuye proporcionalmente. Existen dos tipos de proporcionalidad, una inversa y otra directa, aunque, ambas sirven para resolver aquellos problemas en donde se conoce una razón y tan solo un dato de la segunda.
Proporcionalidad directa: Dos variables (una independiente x y la otra dependiente y) son directamente proporcionales si el cociente entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante ( y/ x=k ).
Proporcionalidad inversa: Dos variables (una independiente x y la otra dependiente y) son inversamente proporcionales si el producto entre los valores respectivos de cada una de las variables es constante ( xy=k ).
En otras palabras, dos variables son inversamente proporcionales (o están en variación inversa, o en proporción inversa o en proporción recíproca) si una de las variables es directamente proporcional con la multiplicativa inversa (recíproca) de la otra, o equivalentemente, si sus productos son constantes.
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En resumen, la relación de proporcionalidad directa o inversa entre dos magnitudes, permite hacer predicciones acerca de lo que se está midiendo o calculando. Entre las aplicaciones de la proporcionalidad tenemos regla de tres, repartos proporcionales y porcentajes.
Definición 4. (Regla de tres) Se llama regla de tres a una operación que tiene por objeto, dados dos o más pares de cantidades proporcionales, hallar el valor de la incógnita. Puede ser simple y compuesta.
1. Regla de tres simple. Intervienen tres cantidades proporcionales conocidas o datos y una desconocida. Puede ser directa o inversa. a) Regla de tres simple directa. Si las dos magnitudes son directamente proporcionales y van de más a más o de menos a menos. b) Regla de tres simple inversa . Si las dos magnitudes son inversamente proporcionales y van de más a menos o de menos a más.
2. Regla de tres compuesta.
Cuando intervienen tres o más proporcionales. Siendo una desconocida.
pares de cantidades que son
Definición 5. (Porcentajes) Se llama porcentaje o tanto por ciento a una cierta cantidad con relación a 100 unidades. La regla del tanto por ciento es una aplicación de la regla de tres simple directa. Su representación simbólica es %, y matemáticamente: m% =
m/100
Observación 1. Se tienen los siguientes conceptos:
Se llama descuento sucesivo, cuando el primer descuento se aplica a la cantidad inicial, y a partir del segundo descuento, éstos se aplican a la cantidad que ha quedado del descuento anterior.
Se denomina aumentos sucesivos, cuando el primer tanto por ciento de aumento se aplica a la cantidad inicial; el segundo aumento se aplica a lo que ha resultado luego del primer aumento; el tercer aumento se aplica a lo que ha resultado luego del segundo aumento; y así sucesivamente.
EJERCICIOS RESUELTOS En esta sección presentamos algunos ejercicios resueltos sobre razones, proporciones y repartos proporcionales.
1. La edad de 2 personas están en la relación de 5 es a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.
Solución. Si las edades son a y b, entonces expresamos los datos como una razón: a/b= 5/9.
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Ahora nos indican por dato que la suma de las 2 edades nos tiene que dar 84. Esto se expresa así: a+b=84. Aplicando la propiedad de linealidad se tiene que las edades son 30 y 54.
2. Tres alumnos montan el bar para celebrar la fiesta de fin del curso en 4 horas y 40 minutos ¿cuánto hubieran tardado entre cuatro alumnos?
Solución. Sea x el tiempo en minutos. Sabemos que en 4 horas y 40 minutos hay 280 minutos; por tanto la proporción es 4 alumnos es a tres alumnos como 280 minutos es a x minutos. De esto se tiene por la propiedad fundamental que x=210 minutos, o lo que es lo mismo 3 horas y 30 minutos.
3. La relación de clientes hombres a clientes mujeres que visitan un restaurante criollo del Perú diariamente es de 4 a 5. Si en este momento hay 20 clientes mujeres ¿Cuántos clientes varones hay en el restaurante? Si cada cliente hombre come un plato de tallarines rojos de 616 calorías ¿cuántas calorías se habrán consumido en total?
Solución. En primer lugar, definimos las siguientes variables: x: Número de clientes varones. y: Número de clientes mujeres.
Entonces podemos establecer la proporción x es a y como 4 es a 5. Ahora, si en este momento hay 20 clientes mujeres, entonces la proporción queda x es a 20 como 4 es a 5; y de esto se obtiene x = 16 clientes varones. Ahora, sabiendo que cada uno consumió un plato de tallarines rojos de 616 calorías, tenemos el total de calorías: (16 clientes varones)(616 calorías) = 9856 calorías. Así, en el restaurante hay 16 clientes varones y se consumieron 9856 calorías.
4. En un campeonato deportivo realizado en la Universidad Nacional de San Agustín, la razón de partidos ganados a partidos perdidos del equipo favorito está en la relación 6 es a 4. Si en total se jugaron 20 partidos y no hubo empates ¿Cuántos partido ganó? ¿Cuántos perdió? Si durante todo el campeonato se consumieron 450 onzas de agua ¿cuántas botellas de 1500 mililitros se utilizaron?
Solución. En primer lugar, definimos las siguientes variables: x: Número de partidos ganados. y: Número de partidos perdidos. Entonces podemos establecer la proporción x es a y como 6 es a 4. Si se jugaron un total de 20 partidos, entonces la proporción queda x es a 20 como 6 es a 4; de esto se tiene x = 12 partidos ganados.
Si una onza líquida u onza fluida = 29.6 mililitros, entonces aplicando dicha equivalencia tenemos: Total onzas líquidas: (29.6 ml.)(450 onzas líquidos.) = 13320 ml.
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Total botellas: 13320 ml. /1500 ml. = 8.88 botellas. Por lo tanto, el equipo favorito ganó 12 partidos y perdió 8 partidos. Se utilizaron aproximadamente 9 botellas de agua.
5. Si cuatro máquinas tardan 10 días en terminar una obra ¿Cuánto tardarán el doble de máquinas?
Solución. Es claro que a más máquinas menos días; por lo tanto, es inversamente proporcional. Por ello resulta que el doble de máquinas tardará 5 días.
6. ¿Cuánto dinero se gana durante un año si se depositan 25000 soles en una cuenta bancaria que ofrece el 5.3% de inter\'es anual?
Solución. Los intereses que produce un capital en un plazo de un año, con intereses del 5.3% anual están dados por el producto de capital e inter\'es; esto es: I = 25000 (0.053), o bien, I = 1325 soles, lo cual termina la solución.
7. ¿Qué le conviene más a un empleado que recibe un aumento salarial? ¿Primero un 20% y poco después un 7% adicional, o recibir un 28 % en total?
Solución. Suponiendo que su salario original es S , después del primer incremento, éste será: S 1 = S + (0.20) S = (1 + 0.20) S = (1.20) S .
Después del segundo incremento, su salario será un 7% mayor: S 2= S 1 + (0.07) S 1= (1.07) S 1= (1.07) (1.20) S = (1.284) S = (1 + 0.284) S .
Este resultado representa un incremento total del 28.4%, cifra que es un poco mayor que el 28% de la segunda opción, lo cual termina la solución.
8. En una compañía trabajan 250 personas, donde el 80% son hombres ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 60% del personal sean mujeres?
Solución. Del enunciado se tiene el total de mujeres es 50 y de hombres 200. Sean x las mujeres que deben contratarse. Luego, 60% personal = mujeres, o lo que es lo mismo 60/100(250 + x) = 50 + x, y de esto x= 250, lo cual termina la solución.
9. Tres amigos han ganado 250 soles por reciclar papel, de manera que Elena ha trabajado 3 horas, Javier 2 horas y Vicente 5 horas ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?
Solución. Se trata de un reparto directo, es decir: Elena es a 3 horas como Javier es a 2 horas como Vicente es a 5 horas. Aplicando la propiedad de linealidad se obtiene que a Elena le toca 75 soles, a Javier 50 soles y a Vicente 125 soles, lo cual termina la solución.
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10. Si he leído 45 páginas, que representan el 60% de la mitad de un libro ¿Qué porcentaje del libro me queda por leer?
Solución. Como dice que ha leído el 60% de la mitad del libro, significa que ha leído el 60% del 50% del libro, es decir: (60/100) (50/100) = (0,6)(0,5) = 0,3 =30 \%, por lo tanto las 45 páginas leídas suponen el 30% del libro. Esto quiere decir que me queda el 70% por leer, termina la solución.
11. Si en el año 2003 el metro cuadrado de vivienda nueva costaba 1800 soles ¿Cuánto costará un 2
piso nuevo de 90 m en el año 2006 si se sabe que cada año el metro cuadrado sube un 5%?
Solución. En el primer año, 1800 soles son el 100% del valor. En el 2004 sube un 5%; es decir, se va a pagar el 105%. Vamos a calcular ese 105% para ver su subida en el 2005. Para esto sea x el valor buscado. Entonces: 1800 soles es a x soles como 100% es a 105% de esto se tiene x= 1890 soles. El segundo año, en el 2005 se vuelve a incrementar un 5%, por tanto, hay que volver a calcular el 105% pero esta vez tenemos que partir del valor: 1890 soles, es decir, consideramos que en el 2005, el 100% del valor son 1890 soles. 1890 soles es a x soles como 100% es a 105%, y de esto se tiene x= 1984,5 soles. Por último en el año 2006 habrá que volver a añadir el 5% de precio, es decir, volvemos a calcular el 105% de 1984,5 soles: 1984,5 soles es a x soles como 100% es a 105%, y de esto se tiene x= 2083,73 soles. En total, como en el 2006 el m 2 cuesta 2083,73 soles, un piso de 90m 2 costará 2083,73(90) = 187535,25 soles, lo cual termina la solución.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Por un grifo fluye agua a razón de 4 m 3 cada 10 horas ¿Qué cantidad de agua fluirá en dos semanas? Rpta. 134,4 m3.
2. Si la cuota de cada alumno, en un curso de 30 alumnos, es de 500 soles ¿Cuánto dinero se recibe si todos los alumnos la cancelan? Rpta. 15000 soles.
3. Un vehículo es capaz de viajar a 200 km/hr durante 2 horas para cubrir la distancia entre dos ciudades ¿Cuánto tiempo tardaría, en cubrir la misma distancia, viajando a la máxima rapidez permitida en la carretera?
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Rpta. 4 horas. 4. En una caja hay 200 caramelos de dos sabores; limón y naranja. Si por cada caramelo de limón hay 3 de naranja ¿Cuántos caramelos de naranja hay en la caja? Rpta. 150 caramelos de naranja en la caja.
5. En una granja avícula hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿Cuánto tiempo les durará la misma cantidad de grano? Rpta. 15 días
6. Para llegar a su Universidad Nacional de San Agustín, un alumno debe dar 560 pasos ¿Cuántos minutos demorará en llegar, si da dos pasos en la cuarta parte de medio minuto? Rpta. 35 minutos.
7. ¿Cuánto recibe un empleado de la Universidad Nacional de San Agustín que, por su desempeño, se hizo acreedor a un premio del 95% del equivalente al 18% de su salario anual, el cual es de 34250 soles? Rpta. 5856.75 soles.
8. A las 5 de la tarde el poste en la esquina de una cancha de fútbol proyecta una sombra de 180 cm ¿Cuál será la estatura del portero si a la misma hora proyecta una sombra de 382 cm? Considere que la altura del poste es de 85 cm. Rpta. 180.39 cm.
9. Por su puntualidad, un docente de la Universidad Nacional de San Agustín recibió un bono mensual de 520 soles habiendo llegado 3 minutos tarde durante el mes ¿Cuánto recibirá este mes si llegó sólo 2 minutos tarde? Rpta. 780 soles.
10. El producto de los consecuentes de una proporción cuya razón es 3/4, es 880. Si los antecedentes están en la relación de 5/11. Hallar la suma de todos estos términos. Rpta. 112.
11. Repartir la cantidad 276 en tres partes directamente proporcionales a los números 2, 4, y 5 e inversamente proporcional a 12, 18 y 20.
Rpta. 72, 96 y 108. 12. 6 obreros hacen una obra en 12 días, al cabo de 2 días se retiran 2 obreros ¿En cuántos días harán los obreros que quedan, la parte que falta? Rpta. 15 días.
13. Para asfaltar 180 metros de una carretera, 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos días se necesitaran para asfaltar 120 metros de la misma carretera con 4 obreros menos?
Rpta. 18 días. 14. Se vendió un artículo en 8600 soles ganando el 25% del 30% del precio de costo más el 15% del 20% del precio de venta. ¿Cuál fue el costo del artículo? Rpta. 7760 soles.
15. Un estudiante gasto en un regalo 12 soles que es el 15% de sus ahorros semanales ¿Cuánto es lo que le queda al estudiante?
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Rpta. 68 soles. 16. Un profesor le preguntó a su alumno Rodrigo cuánto había gastado de los 50 soles que le dio, y Rodrigo le contesto que había gastado el 25% de lo que no gastó. ¿Qué cantidad gasto Rodrigo? Rpta. 10 soles.
17. El aula 201 del curso de razonamiento matemático tiene demasiados alumnos, por lo que se decide abrir otra aula, el aula 202, con el 40% de estos alumnos. Si el 10% de los alumnos del aula 202 no está conforme y regresa al aula 201. y luego el 25% del aula 201 decide ir al aula 202, pues en ésta hay demasiada gente ¿Cuál es el nuevo porcentaje del aula 202 respecto al total inicial? Rpta. 52%.
18. Si el largo de un rectángulo disminuye en 80% y el ancho disminuye en 60% ¿En que porcentaje varía su área? Rpta. 92%.
19. Para vender un fierro primero se hace un descuento del 10%, luego se le recarga el 20% y finalmente se vuelve a descontar el 30%, pagando así 756 soles ¿Cuál es el precio original? Rpta. 1000 soles.
20. En una tienda se le hace al cliente dos descuentos sucesivos del 10% y del 20% y aun ganan el 40% del costo. Si el departamento de compras de dicha tienda compra un artículo en 360 soles ¿Qué precio fijará para su venta? Rpta. 700 soles.
2.6 SUCESIONES Y SERIES
RESUMEN TEÓRICO En esta sección presentamos un tema fundamental en el aprendizaje de las matemáticas: las progresiones o sucesiones. Se emplean en la resolución de diferentes problemas que tienen que ver en la vida real.
Definición 1. (Sucesión) Es el conjunto ordenado de números, llamados términos de la sucesión y en este libro se denotan con an, donde el subíndice n indica la posición del término.
Definición 2. (Sucesión aritmética) Una progresión es aritmética si cada término es igual al anterior más una constante d llamada diferencia común, es decir, si el enésimo término es: an = an-1 + d
Teorema 1. El enésimo término de la progresión aritmética con a1 como primer término y d como la diferencia común, es: an = a1 + (n - 1)d
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