Capitulo_2

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CAPITULO 2: CALCULO DE LOS PARAMETROS DE LAS LINEAS ELECTRICAS. 2.1: DEFINICION CONCEPTUAL DE LOS PARAMETROS. En general, una línea, como componente de un SEP, está constituida por un sistema de conductores separados entre sí por distancias relativamente pequeñas, montados sobre estructuras, de las cuales están convenientemente convenientemente aisladas y que los mantienen a una distancia adecuada del suelo. En condiciones de operación normal, cada conductor está sometido a una cierta tensión y circulan por ellos corrientes, que establecen campos eléctrico y magnético respectivamente en el espacio ubicado entre los conductores y en el primer caso, entre los conductores y tierra, generándose adicionalmente una pérdida de energía en forma de calor. La figura 2.1. muestra esquemáticamente el caso de una línea formada por dos conductores y recorrida por una cierta corriente instantánea, la disipación de energía que ocurre en la línea y los campos eléctrico y magnético asociados a ella.

i

i r

B

r

E

r

B

r

B

r

B r

E

r

E

Figura 2.1. Campos Eléctrico y Magnético en una Línea de dos Conductores y la Disipación de Energía que Ocurre . Esta figura permite visualizar en forma práctica tres de los cuatro parámetros, los relevantes en cualquier condición de operación, de las líneas eléctricas.

- Parámetro Resistencia, R: Como la línea está formada por conductores físicos, tiene una resistencia eléctrica que es la principal causante de las pérdidas de energía, que en este caso, se manifiesta en forma de calor, por tanto, este parámetro es de capital importancia en los estudios económicos de transmisión de energía.

- Parámetro Inductancia, L: Caracteriza el efecto del campo magnético que rodea a los conductores, el cual produce en ellos efectos de autoinducción autoinducción e inducción mutua. El parámetro parámetro inductancia reunirá a ambos efectos en uno sólo y resulta ser clave en el diseño de las líneas de transmisión, ya que es dominante en relación a los otros parámetros de éstas.

- Parámetro Capacidad, C: Representa el efecto del campo eléctrico existente entre los conductores y entre conductores y tierra. Circuitalmente este parámetro constituye un camino de fuga para las corrientes que circulan por los conductores. Como se verá en su oportunidad, las corrientes de fuga

32 dependen de la tensión de operación de la línea y de su longitud, por lo que tendrán importancia importancia en las líneas de mediana y gran longitud.

- Parámetro Conductancia, G: Representa el efecto de las corrientes de fuga desde los conductores a tierra debido a la imperfección del sistema de aislación. Las corrientes de fuga, principalmente fluyen a través de las superficies de los aisladores que soportan a los conductores, cuyas propiedades aislantes varían decisivamente con el estado de sus superficies. En los cálculos normales se desprecia su efecto debido a su valor pequeño y a que no existen expresiones analíticas que permitan su evaluación. Cuando se requiere, las pérdidas debido a la conductancia, se d eterminan experimentalmente. experimentalmente. Los parámetros R y L determinan determinan la impedancia serie de de la línea y los parámetros C y G su admitancia shunt o paralelo. En general los parámetros se expresan en u nidades/unidad de longitud como se indica: R : [Ω/m] o en [Ω/km] L : [H/m] o en [H/km] C : [F/m] o en [F/km] o más habitualmente en [ µF/km] atendido al gran tamaño del Farad. G : [ /m] o en [ /km]

Obs.: La unidad internacionalmente aceptada para “G” es el Siemens [S]. Finalmente debe señalarse que las líneas eléctricas de un SEP son en general trifásicas y, en condiciones normales, operan en régimen balanceado. En este caso se calculan los parámetros por fase que permiten reemplazar el circuito trifásico original, por una equivalente monofásico. En caso de operación en régimen desequilibrado, el problema se debe resolver directamente en cantidades de fase o bien en cantidades de secuencia, que se verán en un capítulo posterior. En los apartados que sigue, se calcularán los parámetros por fase de una línea eléctrica.

2.2: CALCULO DEL PARAMETRO RESISTENCIA. En general se distinguen dos tipos de Resistencia eléctrica: óhmica o de C.C. y efectiva o de C.A. La primera responde a la que presenta un conductor recorrido por una corriente continua y la segunda al caso que el conductor sea recorrido por una corriente alterna. Ambas están relacionadas por el denominado efecto pelicular, piel, skin o Kelvin, que depende fundamentalmente de la frecuencia y la permeabilidad magnética del material. La resistencia de un conductor es función de la temperatura, la frecuencia y de sus dimensiones físicas. Para una frecuencia determinada (o nula -C.C.-) la resistencia es una función alineal de la temperatura y se puede representar por una serie como la siguiente: 2

3

RT = R0 + a1T + a2 T + a3T + ...

(2.1)

Sin embargo, dentro del rango habitual de la temperatura de operación para los conductores (entre 0 ºC y 100 ºC, normalmente), se puede aproximar esta serie de potencias por una relación lineal, lo que equivale a considerar que no hay modificación de las dimensiones físicas del conductor.

2.2.1: Resistencia Ohmica (de C.C.): La expresión usual para el cálculo de la resistencia de un conductor de largo “l”; área de la sección transversal “A” y de resistividad ρ, está dada por: ρl R= [Ω] (2.2) A En que usualmente las unidades en que están expresados son: l = [m] [m] 2 A = [mm [mm ]

 Ω mm 2   ρ =  m 

33 La resistividad, inversa de la conductividad, es propia de cada material y varía con la temperatura como se aprecia en la figura 2.2.

ρT

0 ºC

Figura 2.2. : Variación de

T [ºC]

con la Temperatura.

Así se puede escribir:

ρ T = ρ0 + c T

(2.3)

Donde: ρ T : Resistividad del conductor a la temperatura “T” en ºC. ρ0 : Resistividad del conductor a la temperatura de 0 ºC c : Pendiente de la recta, que representa la variación de la resistividad por cada grado de aumento de “T”. Este valor es una constante positiva, independiente de la temperatura y propia de cada material. Para otros compuestos, diferente de los metales, puede ser negativa. A partir de esta constante, se define un coeficiente de temperatura tal que: c -1 [ºC ]: coeficiente de temperatura relativa a 0º. α 0=

ρ0

Este coeficiente depende del material y de la temperatura de referencia. Es positivo para los metales, negativo en aislantes en general y aproximadamente cero en ciertas aleaciones como manganina, advance, nicrom, constantan, etc. Dimensionalmente, sus unidades son recíprocas de la temperatura. Si se reemplaza en (2.3.), se tiene:

ρT = ρ0 + α0 ρ0 T = ρ0 (1 + α0 T)

(2.4)

Y combinando esta expresión con (2.2): RT = R0 (1 +

α0 T)

(2.5)

En que: RT : Resistencia a la temperatura T ºC. R0 : Resistencia a la temperatura de 0 ºC. Si se requiere calcular la resistencia a la temperatura T 2 conocida la resistencia a una temperatura T1, distinta de 0 ºC. Se puede obtener una relación a partir de (2,5): RT1 = R0 (1 + α0 T1) RT2 = R0 (1 + α0 T2) Entonces, dividiendo miembro a miembro y despejando RT2, se puede escribir: 1 + α o T2 RT2 = R t1 1 + α o T1 Por otra parte, a veces el valor disponible es α1, a temperatura T1 en lugar de α0, entonces de (2.3): ρ T1 = ρ 0 + c T1 ⇒ ρ 0 = ρ T1 – c T1 ρ T2 = ρ 0 + c T2

(2.6)

34 Así:

ρ T2 = ρ T1 – cT1 + cT2 = ρ T1 + c (T2 – T1)

Si se define: Entonces:

α1 =

c

ρ T1 ρ T2 = ρ T1 + α1 ρ T1 (T2 – T1) ρ T2 = ρ T1 [1 + α1 (T2 – T1)]

(2.7)

Por tanto, análogamente a (2.5): RT2 = RT1 [1 +

α1 (T2 – T1)]

(2.8)

De las relaciones (2.6) y (2.8): 1+

α1(T2 – T1) =

1 + α 0 T2 1 + α 0 T1

;

Entonces se tiene:

α1 =

α0 1 = 1 1 + α 0 T1 + T1 α0

(2.9 )

Con el objeto de comparar las características eléctricas de los conductores, se ha definido la resistividad de un cobre patrón, normalizado, a 20 ºC de temperatura correspondiente a una muestra de cobre puro 2 de un metro de longitud, un gramo de peso y densidad de 8,89 (gr/mm ). El valor de la resistividad de 2 2 este cobre patrón es de: 0,0172414 [Ω/m/mm ] por lo cual su conductividad conductividad es de 58 [ /mm /m]. Comercialmente los conductores se expresan en términos de la conductividad y no de la resistividad y, además, como un porcentaje de la correspondiente al cobre patrón, considerada igual a 100%. La tabla siguiente, muestra algunos conductores usuales y sus características eléctricas.

Tabla 2.1: ALGUNAS CARACTERISTICAS DE CONDUCTORES Conductor: Cobre recocido Cobre duro, estirado en frío Aluminio duro, estirado en frío Acero

2

2

[Ω/m/mm ] 0,017241 0,01772 0,02781 0,14017

[ /mm /m] 100% 97% 62% 12,3%

0

a 0 ºC

0,00427 0,00414 0,00438 0,00471

1a

20 ºC

0,003934 0,003823 0,004027 0,004305

Las tablas que se incluyen en las páginas siguientes muestran las características de diferentes tipos de conductores: cobre; aluminio; aleación de aluminio y ACSR. En particular se señalan la resistencia óhmica y efectiva, además de otras características que se emplearán posteriormente.

2.1.2: Resistencia Efectiva (de C.A.): La densidad de corriente solamente es un iforme en el caso que el conductor esté recorrido por C.C. En el caso de corriente alterna, a mayor frecuencia, la densidad de corriente se incrementa en la superficie, disminuyendo en la zona central del conductor, fenómeno que se conoce como efecto superficial, pelicular, skin, piel o Kelvin. Esto trae como consecuencia una disminución de la superficie útil del conductor y por tanto un aumento de la resistencia. Esta resistencia se denominará “Resistencia efectiva” (Re) y se determina normalmente en forma experimental o bien a partir de la resistencia óhmica. En el primer caso, se mide la potencia perdida en el conductor y la corriente que circula por él, tal que: Re =

Pp I 2e

(2.10)

35

Tabla Nº 2. 2: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE COBRE COMERCIAL Nº AWG

e M d C n M ó e i c r c b e o S C

s a r b e H e d º N

l a t o T o r m t e m m á i D

m k / g k : o s e P

a n o a T i c a n r e u t t s p i s u e r a R l

a d d a a a c d i i m i c m a r x p é o a T r p C A

Resistencia: /km 25 ºC 50 ºC CC

50 Hz

50 Hz

= 97 %

Componentes de Conductor Xa Xa’ Reactancia Reactancia Serie: Paralelo: /km M km

---------

1000,00 950,00 900,00 850,00

61 61 61 61

29,30 28,50 27,80 27,00

4595 4365 4136 3905

20,41 19,41 18,37 17,37

1300 1260 1220 1170

0,0365 0,0384 0,0405 0,0429

0,0385 0,0405 0,0424 0,0448

0,0418 0,0440 0,0460 0,0486

0,2816 0,2835 0,2853 0,2868

0,2418 0,2433 0,2447 0,2464

---------

800,00 750,00 700,00 650,00

61 61 61 37

26,20 25,40 24,50 23,60

3676 3447 3216 2987

16,33 15,47 14,42 13,52

1130 1090 1040 990

0,0456 0,0486 0,0521 0,0561

0,0472 0,0501 0,0535 0,0576

0,0513 0,0546 0,0582 0,0626

0,2884 0,2909 0,2934 0,2959

0,2481 0,2499 0,2520 0,2542

---------

600,00 550,00 500,00 450,00

37 37 37 37

22,60 21,70 20,70 19,60

2758 2527 2298 2067

12,25 11,25 10,21 9,28

940 890 840 780

0,0608 0,0663 0,0729 0,0810

0,0620 0,0675 0,0738 0,0818

0,0675 0,0735 0,0805 0,0893

0,2984 0,3012 0,3040 0,3083

0,2564 0,2590 0,2616 0,2631

---------

450,00 400,00 350,00 300,00

19 19 19 19

19,60 18,50 17,30 16,00

2067 1838 1609 1378

9,00 7,96 7,08 6,12

780 730 670 610

0,0810 0,0912 0,1042 0,1215

0,0918 0,0918 0,1046 0,1219

0,0893 0,1002 0,1143 0,1330

0,3083 0,3120 0,3164 0,3207

0,2647 0,2682 0,2720 0,2763

------4/0

300,00 250,00 250,00 211,60

12 19 12 12

16,70 14,60 15,20 14,00

1378 1149 1149 972

5,96 5,10 5,06 4,30

610 540 540 490

0,1215 0,1458 0,1458 0,1723

0,1219 0,1460 0,1460 0,1725

0,1330 0,1597 0,1597 0,1883

0,3182 0,3269 0,3238 0,3288

0,2740 0,2817 0,2790 0,2838

4/0 3/0 2/0 1/0

211,60 167,80 133,10 105,50

7 7 7 7

13,30 11,80 10,50 9,40

972 771 616 485

4,15 3,34 2,69 2,16

480 420 360 310

0,1723 0,2173 0,2738 0,3455

0,1725 0,2173 0,2738 0,3455

0,1883 0,2374 0,2989 0,3765

0,3356 0,3425 0,3499 0,3574

0,2871 0,2938 0,3004 0,3071

1 1 2 2

83,69 83,69 66,37 66,37

7 3 7 3

8,34 9,14 7,41 8,12

384 381 305 302

1,73 1,64 1,38 1,32

270 270 230 240

0,4356 0,4340 0,5494 0,5450

0,4356 0,4340 0,5494 0,5450

0,4753 0,4704 0,5990 0,5934

0,3648 0,3630 0,3717 0,3704

0,3137 0,3083 0,3203 0,3151

2 3 3 3

66,37 52,63 52,63 52,63

1 7 3 1

6,54 6,60 7,24 5,83

299 242 240 237

1,36 1,10 1,07 1,11

220 200 200 190

0,5386 0,6928 0,6858 0,6792

0,5386 0,6928 0,6858 0,6792

0,5872 0,7556 0,7481 0,7407

0,3754 0,3791 0,3779 0,3829

0,3274 0,3270 0,3216 0,3341

4 4 5 5

41,74 41,74 33,10 33,10

3 1 3 1

6,45 5,19 5,74 4,62

190 188 151 149

0,85 0,89 0,68 0,72

180 170 150 140

0,8650 0,8562 1,0874 1,0790

0,8650 0,8562 1,0874 1,0790

0,9432 0,9339 1,1893 1,1775

0,3847 0,3897 0,3922 0,3972

0,3282 0,3409 0,3349 0,3475

6 6 7 8

26,25 26,25 20,82 16,51

3 1 1 1

5,10 4,11 3,66 3,26

120 118 94 74

0,55 0,58 0,47 0,37

130 120 110 90

1,3732 1,3620 1,7170 2,1650

1,3732 1,3620 1,7170 2,1650

1,4975 1,4851 1,8703 2,3612

0,3996 0,4046 0,4114 0,3673

0,3417 0,3540 0,3606 0,3673

(*): Para conductores a 75 ºC; ambiente a 25 ºC; suave brisa de 2,2 [km/hr]

36

Tabla Nº 2.3: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE ALUMINIO l a t o T o r t e m á i m D m

n ó i c l a a n i i c m r o e n m e o D C

e d M C M o n i n ó i i c m c u e l S A

Jessamine Coreopsis Gladiolus Carnation

1750,0 1590,0 1510,5 1431,0

61 61 61 61

38,7 36,9 36,0 35,0

2446 2226 2116 2005

14,90 13,59 12,91 12,23

Columbine Narcissus Hawthorn Marigold

1351,5 1272,0 1192,5 1113,0

61 61 61 61

34,0 33,0 32,0 30,9

1893 1781 1670 1560

Larkspur 1033,5 Bluebell 1033,5 Goldenrod 954,0 Magnolia 954,0

61 37 61 37

29,8 29,8 28,6 28,6

Crocus Anemone Lilac Arbutus

874,5 874,5 795,0 795,0

61 37 61 37

Petunia Nasturtium Violet Orchid

750,0 715,5 715,5 636,0

Mistletoe Dahlia Zinnia Syringa

s a r b e H e d º N

m k / g k : o s e P

a n o a T i c a n r u e t t s i p s u e r a R l

a d d a a d m i a c i c i x a m o p r r a é p C T A

= 62 %

Resistencia: /km 25 ºC 50 ºC


CC

50 Hz

50 Hz

1550 1460 1410 1370

0,0326 0,0359 0,0378 0,0399

0,0346 0,0381 0,0399 0,0419

0,0378 0,0415 0,0435 0,0457

0,2618 0,2673 0,2702 0,2704

0,2260 0,2285 0,2298 0,2313

11,80 11,09 10,62 9,91

1320 1270 1220 1160

0,0423 0,0449 0,0479 0,0513

0,0442 0,0467 0,0496 0,0529

0,0482 0,0510 0,0542 0,0578

0,2725 0,2740 0,2762 0,2782

0,2331 0,2348 0,2367 0,2387

1445 1445 1333 1333

8,28 8,84 7,65 8,16

1130 1130 1080 1080

0,0553 0,0553 0,0599 0,0599

0,0568 0,0568 0,0613 0,0613

0,0621 0,0621 0,0671 0,0671

0,2808 0,2813 0,2834 0,2839

0,2408 0,2408 0,2429 0,2431

27,3 27,3 26,1 26,0

1222 1222 1111 1111

7,87 7,47 6,50 6,94

1020 1020 960 960

0,0652 0,0652 0,0721 0,0721

0,0664 0,0664 0,0732 0,0732

0,0728 0,0728 0,0803 0,0803

0,2860 0,2864 0,2890 0,2896

0,2454 0,2456 0,2483 0,2483

37 61 37 37

25,3 24,8 24,7 23,3

1048 1000 1000 889

6,55 5,96 6,38 5,67

930 900 900 830

0,0765 0,0795 0,0795 0,0895

0,0776 0,0805 0,0805 0,0904

0,0852 0,0884 0,0884 0,0993

0,2909 0,2922 0,2927 0,2963

0,2497 0,2512 0,2514 0,2547

556,5 556,5 500,0 477,0

37 19 19 37

21,8 21,8 20,6 20,2

774 774 696 664

4,46 4,76 4,28 3,90

760 760 710 690

0,1025 0,1025 0,1142 0,1199

0,1033 0,1033 0,1150 0,1206

0,1135 0,1135 0,1265 0,1325

0,3005 0,3014 0,3051 0,3057

0,2585 0,2587 0,2617 0,2630

Cosmos Canna Tulip Peony

477,0 397,5 336,4 300,0

19 19 19 19

20,1 18,4 16,9 16,0

664 553 467 417

4,08 3,47 3,00 2,67

690 610 550 510

0,1199 0,1435 0,1696 0,1910

0,1206 0,1441 0,1701 0,1917

0,1325 0,1584 0,1870 0,2107

0,3067 0,3117 0,3174 0,3211

0,2630 0,2682 0,2730 0,2764

Laurel Daisy Oxlip Phlox

266,8 266,8 211,6 167,8

19 7 7 7

15,1 14,9 13,3 11,8

369 369 293 232

2,18 2,28 1,81 1,44

475 475 410 350

0,2144 0,2144 0,2697 0,3405

0,2148 0,2148 0,2700 0,3407

0,2363 0,2363 0,2970 0,3748

0,3247 0,3282 0,3351 0,3430

0,2798 0,2803 0,2871 0,2938

Aster Poppy Pansy Iris

133,1 105,6 83,7 66,4

7 7 7 7

10,6 9,4 8,3 7,4

184 146 116 92

1,19 0,94 0,78 0,63

305 260 225 195

0,4294 0,5412 0,6823 0,8606

0,4296 0,5414 0,6824 0,8607

0,4726 0,5956 0,7508 0,9470

0,3502 0,3574 0,3646 0,3719

0,3002 0,3070 0,3135 0,3203

Lily Rose Peachbell

52,6 41,7 26,2

7 7 7

6,6 5,9 4,7

73 58 36

0,52 0,41 0,25

175 145 105

1,0855 1,0856 1,1944 1,3683 1,3684 1,5056 2,1773 2,1773 2,3956

0,3791 0,3866 0,4011

0,3268 0,3334 0,3467


37

Tabla Nº 2.4: CARACTERISTICAS DE CONDUCTORES DE ALEACION DE ALUMINIO n ó i c l a a n i i c m r o e n m e o D C

l e d

s r a r o t b c e n u H ó d i 0 c M e c n C d º e o S C M N

l a t o T o r t e m á i m D m

m k / g k : o s e P

a l a a n i o c T n e a t r s u i t s p e R u r

) * ( a d d a a d m i a c i c i x a m o p r r a é p C T A

Resistencia: /km 25 ºC 50 ºC CC

50 Hz

50 Hz


Tola Tincal Turret Tenet

1750,0 1700,0 1600,0 1500,0

61 61 61 61

38,7 38,2 37,0 35,8

2445 2375 2235 2095

19,10 18,51 17,46 17,33

1470 1450 1390 1340

0,0370 0,0382 0,0408 0,0434

0,0393 0,0405 0,0430 0,0458

0,0429 0,0442 0,0472 0,0499

0,2618 0,2644 0,2671 0,2692

0,2260 0,2265 0,2283 0,2302

Tasset Taper Taker Tetro

1400,0 1300,0 1250,0 1200,0

61 61 61 61

34,6 33,4 32,7 32,1

1955 1816 1746 1677

16,15 15,20 14,61 14,06

1280 1220 1190 1160

0,0464 0,0500 0,0520 0,0543

0,0487 0,0522 0,0540 0,0562

0,0531 0,0570 0,0591 0,0614

0,2713 0,2735 0,2749 0,2760

0,2321 0,2341 0,2354 0,2364

Spate 0Saker Greeley Solar

1100,0 1000,0 927,2 927,2

37 37 37 37

30,7 29,2 28,1 28,1

1537 1397 1295 1295

12,11 11,02 13,83 10,84

1100 1050 990 1000

0,0592 0,0651 0,0714 0,0701

0,0610 0,0669 0,0730 0,0717

0,0667 0,0731 0,0800 0,0785

0,2790 0,2822 0,2846 0,2846

0,2390 0,2418 0,2440 0,2440

Sora Flint Spar Sural

833,6 740,8 740,8 704,6

37 37 37 37

26,7 25,1 25,1 24,5

1165 1035 1035 984

9,71 11,07 8,75 8,44

940 860 870 840

0,0780 0,0895 0,0878 0,0924

0,0794 0,0908 0,0891 0,0936

0,0870 0,0997 0,0978 0,1027

0,2878 0,2917 0,2917 0,2932

0,2469 0,2505 0,2505 0,2519

Elgin Rune Ruble Darien

652,4 652,4 587,2 559,5

19 19 19 19

23,5 23,5 22,3 21,8

911 911 820 782

9,93 7,35 6,62 8,53

790 800 750 720

0,1017 0,0997 0,1109 0,1184

0,1027 0,1007 0,1120 0,1193

0,1128 0,1106 0,1230 0,1311

0,2966 0,2966 0,2999 0,3014

0,2543 0,2543 0,2573 0,2585

Remex Rex Cairo Ragout

559,5 503,6 465,4 465,4

19 19 19 19

21,8 20,7 19,9 19,9

782 703 650 650

6,31 5,67 7,08 5,53

730 680 640 640

0,1161 0,1293 0,1425 0,1398

0,1170 0,1286 0,1302 0,1431 0,1433 0,1575 0,1406 0,1545

0,3014 0,3046 0,3071 0,3071

0,2585 0,2615 0,2638 0,2638

Rede Canton Radian Radar

419,6 394,5 394,5 355,1

19 19 19 19

18,9 18,3 18,3 17,4

586 551 551 496

5,08 6,03 4,76 4,35

600 570 580 540

0,1550 0,1681 0,1648 0,1833

0,1558 0,1688 0,1655 0,1837

0,1710 0,1855 0,1819 0,2021

0,3103 0,3124 0,3124 0,3155

0,2667 0,2686 0,2686 0,2714

Butte Ramie Ratch Alliance

312,8 312,8 281,4 246,9

19 19 19 7

16,3 16,3 15,5 14,3

437 437 393 345

4,99 3,83 3,45 3,88

490 500 465 420

0,2119 0,2079 0,2313 0,2685

0,2125 0,2085 0,2317 0,2690

0,2336 0,2292 0,2549 0,2959

0,3196 0,3196 0,3228 0,3306

0,2752 0,2752 0,2781 0,2827

Kittle Amherst Kopeck Anaheim

246,9 195,7 195,7 155,4

7 7 7 7

14,3 12,8 12,8 11,4

345 273 273 217

2,87 3,08 2,28 2,44

425 365 365 315

0,2635 0,3389 0,3323 0,4277

0,2640 0,3393 0,3327 0,4280

0,2904 0,3732 0,3659 0,4708

0,3306 0,3375 0,3375 0,3448

0,2827 0,2890 0,2890 0,2956

Kayak Azusa Kibe Ames

155,4 123,3 123,3 77,5

7 7 7 7

11,4 10,1 10,1 8,0

217 172 172 108

1,94 2,02 1,56 1,27

315 270 275 200

0,4178 0,5363 0,5264 0,8554

0,4180 0,5365 0,5266 0,8555

0,4599 0,5903 0,5794 0,9413

0,3448 0,3524 0,3524 0,3671

0,2956 0,3026 0,3026 0,3159

Kench Alton Kaki Akron

77,5 48,7 48,7 30,6

7 7 7 7

8,0 6,4 6,4 5,0

108 68 68 43

1,01 0,80 0,65 0,50

205 150 150 110

0,8390 1,3621 1,3357 2,1681

0,8391 1,3622 1,3358 2,1681

0,9232 1,4987 1,4697 2,3855

0,3671 0,3811 0,3811 0,3966

0,3159 0,3287 0,3287 0,3428


38

Tabla Nº 2.5: CARACTERÍSTICAS DE CONDUCTORES DE ALUMINIO REFORZADO CON ACERO ( ACSR) l a t o T o r t e m á i m D m

n ó i c l a a n i i c m r o e n m e o D C

e d M C M o n i n ó i i c m c u e l S A

s r a r e c b A e / o H i n e i d m u º l N A o

Chukar Falkon Parrot Plover

1780,0 1590,0 1510,5 1431,0

84/19 54/19 54/19 54/19

40,7 39,2 38,2 37,2

3086 3028 2877 2725

24,31 25,45 24,18 22,86

Martin Pheasant Grackle Finch

1351,5 1272,0 1192,5 1113,0

54/19 54/19 54/19 54/19

36,2 35,4 34,0 32,8

2574 2422 2271 2120

Curlew Cardinal Canary Crane

1033,5 954,0 900,0 874,5

54/7 54/7 54/7 54/7

31,7 30,4 29,5 29,1

Condor Drake Mallard Crow

795,0 795,0 795,0 715,5

54/7 26/7 30/19 54/7

Starling Redwing Gull Flamingo

715,5 715,5 666,6 666,6

Goose Grosbeak Egret Rook

m k / g k : o s e P

a n o a T i c a n r u e t t s p i s u e r a R l

a d d a a d m i a i c x c i a m o p r r a é p C T A

Resistencia: /km 25 ºC 50 ºC


CC

50 Hz

50 Hz

1440 1350 1310 1260

0,0324 0,0365 0,0384 0,0405

0,0326 0,0367 0,0386 0,0407

0,0372 0,0419 0,0441 0,0465

0,2587 0,2605 0,2623 0,2636

0,2229 0,2250 0,2263 0,2281

21,60 20,32 19,55 18,24

1220 1170 1120 1070

0,0429 0,0456 0,0487 0,0521

0,0431 0,0458 0,0488 0,0523

0,0492 0,0522 0,0556 0,0595

0,2654 0,2673 0,2698 0,2716

0,2296 0,2313 0,2333 0,2352

1979 1826 1723 1674

16,85 15,54 14,65 14,25

1020 990 960 940

0,0561 0,0608 0,0646 0,0665

0,0564 0,0610 0,0646 0,0665

0,0637 0,0695 0,0730 0,0757

0,2741 0,2766 0,2785 0,2791

0,2373 0,2396 0,2412 0,2421

27,8 28,1 29,0 26,3

1522 1624 1833 1370

12,95 14,18 17,44 11,95

880 890 880 820

0,0727 0,0727 0,0727 0,0814

0,0733 0,0727 0,0727 0,0814

0,0844 0,0800 0,0800 0,0915

0,2822 0,2810 0,2779 0,2853

0,2448 0,2439 0,2423 0,2477

26/7 30/19 54/7 24/7

26,7 27,4 25,4 25,4

1462 1648 1276 1277

12,75 15,69 11,14 10,77

830 820 790 790

0,0814 0,0814 0,0870 0,0870

0,0814 0,0814 0,0876 0,0876

0,0896 0,0896 0,0989 0,0989

0,2841 0,2816 0,2878 0,2882

0,2470 0,2454 0,2499 0,2500

636,0 636,0 636,0 636,0

54/7 26/7 30/19 24/7

24,8 25,2 25,9 24,8

1218 1299 1466 1219

10,73 11,34 14,33 10,27

760 770 760 760

0,0913 0,0913 0,0913 0,0913

0,0920 0,0913 0,0913 0,0913

0,1043 0,1005 0,1005 0,1005

0,2890 0,2884 0,2853 0,2897

0,2512 0,2504 0,2487 0,2514

Duck Teal Squab Peacock

605,0 605,0 605,0 605,0

54/7 30/19 26/7 24/7

24,2 25,2 24,5 24,2

1158 1397 1268 1159

10,21 13,63 10,95 9,80

730 730 740 740

0,0957 0,0960 0,0957 0,0957

0,0963 0,0965 0,0957 0,0963

0,1091 0,1075 0,1069 0,1075

0,2909 0,2871 0,2897 0,2912

0,2526 0,2500 0,2518 0,2527

Dove Eagle Parakeet Heron

556,5 556,5 556,5 500,0

26/7 30/7 24/7 30/7

23,6 24,2 23,2 23,0

1137 1293 1067 1162

10,19 12,36 9,00 11,09

700 700 700 680

0,1044 0,1044 0,1044 0,1162

0,1044 0,1044 0,1051 0,1162

0,1115 0,1115 0,1120 0,1280

0,2921 0,2897 0,2937 0,2928

0,2541 0,2526 0,2550 0,2556

Hawk Hen Flicker Ibis

477,0 477,0 477,0 397,5

26/7 30/7 24/7 26/7

21,8 22,4 21,5 19,9

975 1108 914 812

8,82 10,59 7,80 7,34

640 630 630 560

0,1218 0,1218 0,1218 0,1460

0,1218 0,1218 0,1218 0,1460

0,1342 0,1342 0,1342 0,1609

0,2971 0,2940 0,2987 0,3027

0,2585 0,2570 0,2595 0,2637

Lark Linnet Oriole Ostrich

397,5 336,4 336,4 300,0

30/7 26/7 30/7 26/7

20,4 18,3 18,8 17,3

923 687 782 613

9,06 6,38 7,74 5,73

560 510 510 470

0,1460 0,1727 0,1727 0,1932

0,1460 0,1727 0,1727 0,1932

0,1609 0,1901 0,1901 0,2125

0,2996 0,3083 0,3052 0,3120

0,2620 0,2684 0,2670 0,2718

Piper Partridge Penguin Pigeon

300,0 266,8 211,6 167,8

30/7 26/7 6/1 6/1

17,8 16,3 14,3 12,7

697 545 433 343

7,00 5,10 3,82 3,03

480 440 360 315

0,1932 0,2175 0,2745 0,3460

0,1932 0,2175 0,2745 0,3465

0,2125 0,2392 0,3015 0,3805

0,3089 0,3151 0,3755 0,3959

0,2703 0,2751 0,2828 0,2893

Quail Raven Robin Sparrow

133,1 105,5 83,7 66,4

6/1 6/1 6/1 6/1

11,3 10,1 9,0 8,0

272 216 171 136

2,43 1,94 1,59 1,27

270 235 205 180

0,4370 0,5500 0,6960 0,8550

0,4375 0,5500 0,6960 0,8550

0,4800 0,6050 0,7650 0,9400

0,4064 0,4145 0,4189 0,4190

0,2959 0,3026 0,3090 0,3160


39 Se define un coeficiente “k” que relaciona las resistencias efectiva y óhmica que es función de la frecuencia, la permeabilidad y las dimensiones del conductor. Se tiene: k = Re/R

⇒

Re = k R

(2.11)

Ejemplo 2.1: Calcular la resistencia óhmica de un conductor de cobre estirado en frío de 33,63 mm2 de sección (66,37 MCM) a 25 ºC y 50 ºC; en las siguientes situaciones. Expresar los valores en [Ω /km]. a) El conductor es macizo

b) El conductor es de 3 hilos

c) El conductor es de 7 hilos

Solución: Para cada uno de los conductores, se tendrá: a) Conductor macizo: 2 De la tabla 2.1: ρ 20 ºC = 0,01772 [Ω/m/mm ] De (2.2):

R 20 ºC =

0,01772 ∗ 10 3

33,63 De (2.6) y de la misma tabla 2.1; con R25 ºC =

R 50 ºC =

1 + 0,00414 ∗ 25 1 + 0,00414 ∗ 20 1 + 0,00414 ∗ 50 1 + 0,00414 ∗ 20

= 0,5269 [Ω /km]

α 0 = 0,00414 [ºC-1 ]

∗ 0,5269 = 0,537 [Ω/ km]

(*)

∗ 0,5269 = 0,5873 [Ω /km]

(*)

Nota: (*): Se pudo haber calculado con (2.8): Considerando: (T1=20 ºC

⇒

α1 = 0,003823 [ºC-1] )

b) Los conductores cableados, aunque tengan igual sección y longitud que uno macizo, presentan una mayor resistencia debido a que las hebras componentes van trenzadas, por lo que su longitud es mayor que la del cable mismo. En general, para representar este efecto, se suele considerar un incremento porcentual de la longitud y por ende de la resistencia, como el señalado:

-

Para conductores de 3 hilos: aumento de 1% Para conductores de 7 hilos: aumento de 2% Para conductores de más de 11 hebras aumento de 3%

Usando este criterio se tiene: - Conductor de 3 hebras: R 25 ºC = 0,537*1,01 = 0,5424 [Ω/km] R 50 ºC = 0,5873 *1,01 = 0,5932 [Ω/km] - Conductor de 7 hebras: R 25 ºC = 0,537*1,02 = 0,5477 [Ω/km] R 50 ºC = 0,5873 *1,02 = 0,599 [Ω /km] Puede apreciarse que estos valores son prácticamente coincidentes con los valores dados por los fabricantes y contenidos en las tablas anteriores.

40

Ejemplo 2.2: Calcular la resistencia óhmica en [Ω/km] a 50 ºC de un conductor ACSR (54/7) formado por 54 hilos de aluminio y 7 de Acero 954 MCM de sección. Las hebras de aluminio y acero tienen el mismo diámetro de 3,38 mm.

Solución: Los conductores de aluminio y acero están en paralelo y tienen resistencias distintas que se deben evaluar por separado, como se muestra a continuación: a): Resistencia de la sección de aluminio: Area = A1 = 54 ∗

π

∗ 3,38 2 = 484,526 [mm2]

4 Resistencia a 20 ºC. De la tabla 2.1 y consideración anterior del inciso b) del problema anterior: 0,02781 ∗ 10 3 ∗ 1,03 R 20 ºC = = 0,0591 484,526

[Ω/km]

De (2.8): R 50 ºC = 0,0591(1 + 0,004027* 30) = 0,0663 [Ω/km]

(*)

b): Resistencia del alma de Acero: A2 = 7 ∗

π

∗ 3,38 2 = 62,8089 [mm2]

4 Resistencia a 20 ºC: R20ºC =

0,14017 ∗ 10 3 ∗ 1,02 = 2,2763 [Ω/km] 62,8089

R50ºC = 2,2763 (1+ 0,004305*30) = 2,5703 [Ω/km]

(*)

Resistencia equivalente del conductor completo a 50ºC. 0,0663 ∗ 2,5703

= 0,0646 [Ω/km] 0,0663 + 2,5703 (*) Se pudo evaluar usando la expresión (2.6) al igual que en el caso del ejemplo 2.1. R=

2.3: CALCULO DEL PARAMETRO INDUCTANCIA Y DE LA REACTANCIA INDUCTIVA. 2.3.1: Caso de un Sólo Conductor: Para establecer las consideraciones generales que permitan el cálculo de “L” y “X L”, se considerará inicialmente el caso de un único conductor recorrido por una corriente. Instantánea “i”. Su retorno ocurre por un conductor, tan alejado del primero, que su efecto sobre éste es despreciable. La figura siguiente ilustra esta situación:

i

ϕe ϕi ϕe Figura 2.3: Flujos Interno y Externo Asociados a un Conductor Recorrido por una Corriente Instantánea “i”. De acuerdo con la ley de Faraday-Henry, abreviadamente se puede escribir:

41 dλ di Ahora bien, si el flujo se establece en un medio lineal, de permeabilidad constante, se tendrá: L=

L=

(2.12)

λ

(2.13) i El valor de λ, y por tanto el de la inductancia, depende, como en el caso de la figura anterior, del flujo interno ϕ i y del flujo exterior ϕe que rodea al conductor. Por ello, para el cálculo de la inductancia total del conductor se evaluará el flujo enlazado interno λi y su inductancia asociada “Li” y luego la componente debido al flujo enlazado externo λe y su inductancia asociada “Le”. Finalmente como se ha supuesto un medio lineal, se cumple el principio de superposición y la inductancia total será la suma de ambas componentes.

a): Cálculo del Flujo Enlazado Interno y su Inductancia Asociada: C onsidérese la figura siguiente para graficar la aplicación de la Ley de Ampere:

dx

C r

Figura 2.4: Corte del Conductor para el Cálculo del Flujo Interno. Si se aplica la ley de Ampere al contorno interior “C” de la fig. 2.4, se puede escribir:

∫

r

r

H • d l = Hx 2π x = ix

⇒ Hx =

ix 2πx

(2.14)

En que ix es la corriente instantánea que circula por la sección interna de radio x en el conductor. Si se considera una densidad de corriente uniforme en toda la sección transversal del conductor, se puede establecer la siguiente proporción:

πx 2 = 2 i πr

ix

2

 x  ⇒ ix =   i  r 

Si se reemplaza esta expresión en (2.14): x Hx = i [A/m] 2πr 2 Además: x Bx = µ Hx = µ0 µ r i [Web./A/m] 2πr 2 En que: µ0 : permeabilidad absoluta del vacío = 4π ∗10-7 [Web./A/m] µ r : permeabilidad relativa del conductor [Adimensional] Por otro lado:

(2.15)

(2.16)

(2.17)

42 r

r

r

(2.18)

r

ϕ = B • A ⇒ dϕ = B • dA Por tanto, escogiendo un elemento de área tal que: dA = 1 dx r

d ϕ x = B • dx = Bx dx = r

x

µ0 µ r

2πr 2

i dx

(2.19)

Este flujo elemental solamente enlaza a la corriente i x, de tal modo que el flujo interno enlazado d λi, resulta igual a: dλi = dϕx

ix i

= d ϕx

x2

( 2.20)

r 2

Entonces:

µ 0 µ r  x  2 µ µ r µ µ µ µ λi = ∫ dλ i = ∫ 2 x i   dx = 0 4r i ∫ x 3 dx = 0 4r i ( r 4 - 0 ) = 0 r i 8π 2πr 0 8πr  r  0 0 2πr r

r

De donde: Li =

λi i

=

µ 0µr [H/m] 8π

(2.21)

b): Cálculo del Flujo Externo Enlazado: La figura siguiente, muestra el esquema para el cálculo del flujo externo. La intensidad magnética, H, a una distancia “y” del centro del conductor, será i H • d l = H y 2π y = i ⇒ Hy = [A/m] 2πy

∫

r

r

r

(2.22)

r

d ϕ e = B • dA

Además: Con: r

B=µ

r

0H

⇒ B y = µ 0 Hy = µ 0

i (2.23)

2πy

El elemento de área escogido es: dA = dy * 1 = dy 1 d ϕ y = By dA = µo i dy 2πy

Así se puede escribir:

i

dA = p

y

r

d D

Figura 2.5: Flujo Externo al Conductor El flujo externo que enlaza el conductor hasta un punto “p” cualquiera ubicado a una distancia “D”, del centro del conductor, será: D

D

µ i dy µ D dλ e = d ϕ e ⇒ λ e = dλ e = 0 = 0 i Ln 2π y 2π r r r

∫

Con lo que:

∫

43 Le =

λe i

=

µ0 D Ln 2π r

[H/m]

(2.24)

µ 0 µ r µ 0 D Ln + 8π 2π r

(2.25)

Finalmente la inductancia total, será: L= Li + Le =

De la expresión anterior, se observa que la inductancia depende de la ubicación del punto “p” (distancia D). Si este punto se aleja hasta el infinito, la inductancia se hará también infinita. Por lo anterior la inductancia de un único conductor recorrido por una corriente instantánea “i”, resulta indeterminada, lo que es consistente con el hecho que físicamente no es posible disponer de un único conductor recorrido por una corriente, sin que exista retorno para ella. Sin embargo, esta expresión será útil para los cálculos posteriores.

2.4: FLUJO ENLAZADO POR UN SISTEMA MULTICONDUCTOR. Consideremos una línea constituida por “n” conductores, cilíndricos y paralelos entre sí, recorridos, cada uno de ellos por una cierta corriente instantánea, como se muestra en la figura siguiente: 2

i2 D2

D12

1 i1

D1 D1k

D1n

“p” k ik Dk

D13 Dn

in

n

D3 3

i3

Figura 2.6: Línea Multiconductor. Como no existen otros conductores en el espacio, se tiene: n

∑i

k

=0

(2.26)

k =1

De esta manera, como el sistema es lineal, se calculará el flujo enlazado por el conductor “1”, debido a su propia corriente y luego a las restantes n - 1, corrientes que circulan por los otros conductores. El flujo externo se evaluará hasta el punto “p” que se aprecia en la figura anterior. Por tanto se empleará el principio de superposición. Se supondrá que inicialmente sólo existe corriente en el conductor 1 y que en los restantes conductores ésta es nula y evaluaremos la inductancia hasta el punto “p”. De acuerdo con (2.25), se tiene: µ µ µ D λ 11 (p) = 0 r i1 + 0 i1 Ln 1 8π 2π r 1 Si ahora se considera que sólo circula corriente por el conductor 2, el flujo enlazado por el conductor “1”, será:

44

λ 12 (p) =

µ0 D i 2 Ln 2 2π D12

Sucesivamente es posible evaluar el flujo enlazado por el conductor “1” debido a la circulación de corriente en los restantes conductores. Particularmente el efecto de la circulación de corriente por el conductor “n – ésimo” será:

λ 1n (p) =

µ0 D i n Ln n 2π D1n

Así, el flujo total enlazado por el conductor “1”, debido a la circulación de corriente en todos los conductores de ésta línea, incluido él mismo, será: n

λ 1 (p) = ∑ λ 1k (p) = k =1

µ 0 µ r µ µ µ D D D i1 + 0 i1 Ln 1 + 0 i 2 Ln 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 0 i n Ln n 8π 2π r 1 2π D12 2π D1n

(2.27)

Los dos primeros términos del segundo miembro se suelen presentar como: µr µ 0 µ r µ0 D1 µ 0  D1  µ 0 D1 4  i1 + i1 Ln i1 Ln = i1 Ln e + Ln  = 8π 2π r 1 2π  r 1  2π RMG1  

Donde: RMG1 = r 1 e

µ − r 4

[m]

(2.28)

Se denomina Radio Medio Geométrico del conductor, en este caso “1”, y depende de la permeabilidad relativa del conductor. En conductores homogéneos, de material no magnético, µ r = 1; y entonces: −

1 4

RMG = r e [m] Esta expresión solamente es válida para conductores macizos. Bajo estas consideraciones la expresión (2.27), se puede reescribir como:

λ 1(p) = =

µ0  D1 D D D  + i 2 Ln 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + in-1 Ln n-1 + inLn n  = i1 Ln 2π  RMG1 D12 D1(n-1) D1n   µ0  1 1 i1 Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + in Ln + i1 Ln D1 + ⋅ ⋅ ⋅ + in-1Ln D n-1 + in Ln D n   2π  RMG1 D1n  n −1

De (2.26):

in

=-

∑i

k

k =1

Por tanto, reemplazando in en el último término de la expresión anterior, se tiene:

µ0  D D D  1 1 i1 Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + in Ln + i1 Ln 1 + i 2 Ln 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + in-1 Ln n-1   2π  RMG1 D1n Dn Dn Dn  Haciendo tender p → ∝ ⇒ D1 = D2 =......... = D n-1 = Dn λ 1 (p) =

Por tanto:

λ 1(p) = λ 1 = p→∝

µ0  1 1 1 1  i1 Ln + i 2 Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + i k Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + in Ln   2π  RMG1 D12 D1k D1n 

Si ahora se hace variar el índice de 1 a n, se tendrá el siguiente sistema de ecuaciones:

(2.29)

45

µ0 1 1 i1 Ln i2 Ln 2π RMG1 D12

λ1 λ2

µ0 1 i1 Ln 2π D 21

i 2 Ln

λn

µ0 1 i1 Ln 2π D n1

1 i 2 Ln D n2

in Ln

1

i n Ln

RMG 2

1 D1n 1 D 2n

(2.30)

1 i n Ln RMGn

Que se puede escribir también en forma matricial como:

λ1  1 1  Ln   Ln RMG D12 1    λ 1 1  2  Ln Ln    D 21 RMG 2  ⋅  µ0  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅  ⋅ =  1 1   2π  Ln Ln λ  k D k1 Dk2  ⋅   ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅⋅    1 1 ⋅  Ln  Ln D n1 D n2 λ n  

⋅⋅⋅

1

Ln

D1k 1 Ln D 2k

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 1 ⋅ ⋅ ⋅ Ln

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

RMGk

⋅⋅⋅

1 Ln D nk

 D1n   1  Ln D 2n  ⋅ ⋅ ⋅  1  Ln D kn  ⋅⋅⋅  1  Ln  RMGn  Ln

1

i1      i 2    ⋅  ik    ⋅  ⋅    in 

(2.30a)

La ventaja que presentan estas expresiones generales, es que a partir de ellas, es posible calcular la inductancia de líneas de cualquier configuración.

2.4.1: Línea Monofásica de Dos Conductores: La figura siguiente muestra una línea monofásica: i1

i2 2 r 2

1 r 1 D

Figura 2.7: Línea Monofásica de dos Conductores con Disposición Horizontal. De (2.26):

i1 + i2 = 0

⇒

i1 = - i2

Además: D12 = D21 = D De (2.30), y haciendo n =2, se p uede escribir:

λ1 =

µ0  1 1 µ D i1 Ln + i 2 Ln  = 0 i1 Ln  2π  RMG1 D 2π RMG1

Con lo que: L1 =

λ1 i1

=

µ0 D Ln 2π RMG1

[H/m]

(2.31)

46 Análogamente:

λ2 =

µ0 2π

 µ0 1 1  D i1 Ln D + i 2 Ln RMG  = 2π i 2 Ln RMG 2  2 

λ2

=

Entonces: L2

=

i2

µ0 D Ln 2π RMG 2

Así: LT = L1 + L2 =

µ0 D2 Ln 2π RMG1 RMG 2

[H/m]

(2.32)

Si en particular los conductores son idénticos (r 1 = r 2), los Radios Medios Geométricos también serán iguales, es decir: RMG 1 = RMG2 = RMG; y por tanto: µ D [H/km] LT = 0 ∗ 10 3 Ln RMG π La reactancia inductiva será: XL = ωL; con lo cual: X L1 X L1

=

ωµ 0 D Ln 2π RMG1

ωµ 0 ∗ 10 3 D = Ln 2π RMG1

X LT X LT

=

ω µ0 D2 = Ln 2π RMG1RMG 2

[Ω/m] [Ω/km] [Ω/m]

ωµ 0 ∗ 10 3 D2 Ln 2π RMG1 RMG 2

[Ω/km]

ωµ 0 ∗ 10 3 D Ln = RMG π

[Ω/km]

(2.33)

Y sí r 1 = r 2: X LT

2.4.2: Línea Trifásica de Disposición Equilátera: La figura siguiente muestra una línea trifásica de distribución equilátera:

i3

3

Ds

i2

Ds i1 Ds

2

1

Figura 2.8: Línea Trifásica de Disposición Equilátera (Simétrica) Por (2.26): i1 + i2 + i3 = 0; además de la figura D12 = D13 = D23 = Ds. Ahora, si en (2.30), se hace n = 3, se puede escribir:

47

λ1 =

µ0  Ds 1 1 1  µ  1 1  µ + i 2Ln + i 3 Ln  = 0 i1 Ln + (i 2 + i 3 ) Ln  = 0 i1 Ln i1 Ln  2π  RMG1 Ds D s  2π  RMG1 D s  2π RMG1

De donde: L1

=

Ds µ0 Ln 2π RMG1

[H/m]

(2.34)

Además:

λ2 =

Ds µ0  1 1 1  µ + i 2 Ln + i 3 Ln  = 0 i 2 Ln i1 Ln  2π  Ds RMG 2 D s  2π RMG 2

⇒ L2 =

Ds µ0 [ H/m] Ln 2π RMG 2

µ0  µ Ds Ds 1 1 1  µ0 + i 2 Ln + i 3 Ln = ⇒ L 3 = 0 Ln [ H/m] i1 Ln i 3 Ln   2π  Ds Ds RMG 3  2π RMG3 2π RMG 3 Si se cumple que r 1 = r 2 = r 3 ⇒ RMG1 = RMG2 = RMG3 = RMG ⇒ L1 = L2 = L3 = L; De modo que: µ ωµ Ds D [H/m] ⇒ X L = 0 Ln s [Ω/m/fase] L= 0 Ln 2π RMG 2π RMG (2.35) µ0 ω µ0 Ds Ds 3 3 L= ∗ 10 Ln ∗ 10 Ln [H/km] ⇒ X L = [Ω/km/fase] 2π RMG 2π RMG λ3 =

En que como la línea tiene un solo conductor por fase, a estos valores es usual llamarlos inductancia y reactancia inductiva “por fase”.

2.4.3: Línea Trifásica con Transposiciones: La disposición equilátera de los conductores en una línea, es poco frecuente en la práctica por problemas constructivos. Lo habitual es que las líneas de alta tensión sean de disposición asimétrica. En estas condiciones, los flujos enlazados por cada conductor serán diferentes entre sí, por lo que la caída de tensión será distinta en cada fase y el sistema operará en condiciones desequilibradas, generando problemas de interferencia inductiva en líneas de comunicaciones adyacentes. Sin embargo, es posible determinar una inductancia para cada conductor, haciendo algunas aproximaciones razonables. Para evitar los trastornos señalados, se recurre al mecanismo de transposición que consiste en cambiar cíclicamente la posición que ocupan los conductores a lo largo de toda la línea, de modo de asegurarse que cada uno de los conductores ocupe las tres posiciones posibles durante un tercio o múltiplo de éste de la longitud total de la línea. La figura siguiente ilustra este mecanismo. I II III 2 1 3

1

2

l/3

3

1

l/3

2

3

l/3

l = largo total de la línea

Figura 2.9: Línea Trifásica con Transposiciones Este mecanismo de transponer las líneas permite calcular un valor promedio del flujo enlazado por cada conductor, evaluándolo, parcialmente, en cada uno de los ciclos de transposición. Así, para el primer tramo, de (2.30) con n = 3, se tiene:

48

λ 1(I) =

µ0  1 1 1  + i 2 Ln + i 3 Ln i1 Ln   2π  RMG1 D12 D13 

En el segundo tramo del ciclo de transposición, para el mismo conductor “1”, se tiene:

λ 1(II) =

µ0  1 1 1  i1 Ln + i 2 Ln + i 3 Ln   2π  RMG1 D 23 D 21 

En el tercer tramo, para el mismo conductor “1”, se puede escribir:

λ 1(III) =

µ0  1 1 1  + i 2 Ln + i 3 Ln i1 Ln   2π  RMG1 D 31 D 32 

Entonces, el promedio del flujo enlazado por el conductor 1, será; 1 λ 1 prom. = [λ 1 (I) + λ 1(II) + λ 1 (III)] 3 Reemplazando los valores del flujo enlazado para cada uno de los tres tramos, y considerando que la distancia entre conductores es un escalar, por tanto Dij = D ji; se tiene:

λ 1prom. =

1 µ0  1 3i1 Ln  3 2π  RMG1

λ 1prom. =

1 µ0  1 3i1Ln  3 2π  RMG1

Pero por (2.26): i1 +i2 + i3 = 0 expresión, se puede escribir:

+ I 2 Ln

1 D12D 23 D 31

+ (i 2 + i 3 ) Ln

+ i 3 Ln

1 D13 D 21D 32

  

 1  D12D13 D 23 

⇒ i1 = -(i2 + i3). Por lo tanto, reemplazando (i2 + i3) en la última

3D D D  µ0 µ0  1 1 1 12 13 23 λ 1 prom. = = i1  Ln - Ln i1 Ln  2π  RMG1 3 D12D 13 D 23  2π RMG1

[Weber/m]

(2.36)

Por lo tanto: L1

=

λ 1prom. i1

=

µ0 DMG Ln 2π RMG1

[H/m]

(2.37)

Donde se ha definido, Distancia Media Geométrica (DMG) entre conductores, como: DMG = 3 D12D13 D 23

(2.38)

[m]

Realizando el mismo análisis para los conductores 2 y 3, se encuentra que sí: r 1 = r 2 = r 3 = r; entonces RMG1 = RMG2 = RMG3 = RMG; por tanto: L1 =L2 = L3 = L y con ello, la reactancia inductiva, será: XL

= ωL =

ωµ 0 DMG ∗ 10 3 Ln 2π RMG

[Ω/km]

(2.39)

Ejemplo 2.3: Calcular la inductancia y reactancia inductiva de la línea que se muestra en la figura. Los conductores son macizos, de cobre Nº 2 AWG y la línea está convenientemente transpuesta. 1

2

0,7

3

0,7

Figura 2.10: Línea Trifásica de Disposición Horizontal del Ejemplo 2.3. Solución: De acuerdo con la tabla, el diámetro del conductor es de 6,54 mm. De donde su RMG, será

49 RMG = r e

-1/4

6,54

=

e

−

1 4

= 2,5467 [mm] = 2,5467 ∗ 10 -3 [m] ; ya que el material es cobre, por

2 tanto su permeabilidad relativa µr = 1. De la figura: D12 = D23 = 0,7 [m] D13 =2 * 0,7 =1,4 [m] Entonces, de (2.37): L=

4π ∗ 10 −7 2π

3

∗ 10 Ln

3

0,7 2 ∗ 1,4

2,5467 ∗ 10

-3

= 2 ∗ 10 - 4 Ln 346,3118 = 0,0011695 [H/km]

L = 1,1695 [mH/km] Con lo cual, la reactancia inductiva de la línea será: X L =

ω L = 2π ∗ 50 ∗ 1,1695 ∗ 10 -3 = 0,3674 [Ω/km]

2.4.4: Concepto de Distancia Media Geométrica: En el cálculo de inductancias y capacidades de líneas, cuyas fases están formadas por varios conductores, resulta práctico emplear los conceptos de radio medio geométrico y Distancia Media Geométrica (DMG).

- Distancia Media Geométrica de un punto a otros puntos: Se define la DMG de un punto “p” a otros puntos. 1,2,....,n como la raíz n-ésima del producto de las distancias entre el punto “p” y los restantes n puntos. Es decir: (2.40) DMG = n D D ⋅ ⋅ ⋅ D 1

2

n

La DMG de un punto a una circunferencia, se tiene si los puntos están ubicados sobre ella y su número tiende a infinito.

- Distancia Media Geométrica de un punto a una superficie: Si se divide la superficie en un gran número de elementos iguales y se calcula la DMG del punto a cada elemento de superficie, la DMG del punto a esos elementos de superficie está dado por (2.40). Si el número de elementos tiende a infinito, se tiene el concepto de DMG de un punto a una superficie; así : DMG

A la sup.

= lim n D1 D 2 ⋅ ⋅ ⋅ D n n→∝

- Distancia Media Geométrica entre dos superficies: Supongamos dos superficies A1 dividida en m elementos y otra A2 en m’ elementos. La DMG entre ambas superficies, se define como la raíz mm’-ésima de los mm’ productos de las distancias entre los elementos de A 1 y A2, cuando el número de ellos tiende a infinito. La figura siguiente muestra algunas distancias entre elementos.

1

1’

D11’

D12’

’

D21’ D13’

D22’ D23’ 2

Figura 2.11: Algunas Distancias entre Elementos de dos Superficies.

3’

50

m,m'    DMG = lim  ∏ D ii'  m→∝ = i 1  m'→∝   i'=1 

1 mm'

(2.41)

- Distancia Media Geométrica propia de una superficie: Es el límite de la DMG entre todos los pares de elementos en que se ha dividido la superficie considerada, cuando el número de ellos tiende a infinito. Se demuestra que para una superficie circular de radio “r”, su distancia media geométrica resulta igual a r - 1/4 e . Este valor coincide con la definición de RMG para un conductor cilíndrico de material homogéneo no magnético. Habitualmente, en el caso de conductores compuestos de varios hilos, la distancia media geométrica propia, se denomina Radio Medio Geométrico del conductor.

2.4.5: Cálculo de Inductancias y Reactancias Inductivas Empleando los Conceptos de RMG y DMG: En general los conductores de las líneas de transmisión no son macizos sino cableados, formados por varias hebras trenzadas y en consecuencia no tienen la misma inductancia que uno macizo del mismo diámetro. Por ello es necesario disponer de un método de cálculo que posteriormente se pueda aplicar a otras configuraciones de líneas.

2.4.5.1: Línea Monofásica Multifilar : Considérese una línea monofásica multifilar, como la que se muestra en la figura siguiente. El conductor a, de fase, se supone compuesto de n hebras idénticas entre sí y el b, de retorno, formado por m hilos iguales entre sí, pero que pueden ser distintos de los que forman el conductor a. Ambos conductores transportan la misma corriente instantánea “i”.

ib = - i

ia = i

Conductor a: “n hilos

Conductor b: “m” hilos

Figura 2.12. Línea Monofásica Multifilar. Si se asume una distribución uniforme de corriente, cada hebra del conductor a, transportará una corriente i/n y cada uno de los hilos de b transportará una corriente i/m. Usando las ecuaciones (2.30), se tendrá para el hilo “1”, perteneciente al conductor a, que el flujo enlazado por éste será:

λ1 =

µ0 i  1 1 1  µ0 i  1 1 1  + Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + Ln + Ln + ⋅ ⋅ ⋅ + Ln Ln Ln    = 2π n  RMG1 D12 D1n  2π m  D11' D12' D1m  mD D mD D µ0 µ0 11' 12' ⋅ ⋅ ⋅ D1m 11' 12' ⋅ ⋅ ⋅ D1m i Ln i Ln = = n RMG D nD D 2π 2π 1 12 ⋅ ⋅ ⋅ D1n 11 12 ⋅ ⋅ ⋅ D1n

En que se ha denominado D11 = RMG1 Distancia Media Geométrica Propia del hilo “1”

51 Con ello: mD D µ0 11' 12' ⋅ ⋅ ⋅ D1m L1 = n Ln = nD D i 2π 11 12 ⋅ ⋅ ⋅ D1n

λ1

n Análogamente, para una hebra “j” cualquiera, se tendrá: mD D µ0 j1' j2' ⋅ ⋅ ⋅ D jm L j = n Ln = i nD D 2π j1 j2 ⋅ ⋅ ⋅ D jn

λ j

(2.42)

n Entonces, la inductancia promedio de cada hebra será n

∑ L j

L prom. =

j=1

(2.43)

n

Adicionalmente, como los n hilos del conductor “a”, están conectados en paralelo, la inductancia total de dicho conductor, será: n

L prom. La = n

∑ L j

=

j=1

(2.44)

n2

Reemplazando en esta última expresión L j, según (2.42) y teniendo en cuenta que todas las hebras del ... ... conductor cableado “a” son iguales entre sí, (es decir r 1 = r 2 = = r n; por lo cual RMG1 = = RMGn = D jj), se tiene: mD D µ0 1 n j1' j2' ⋅ ⋅ ⋅ D jm = La = Ln ∑ nD D 2π n j=1 j1 j2 ⋅ ⋅ ⋅ D jn

µ L a = 0 Ln 2π n2 RMGn D

mn D 12

11'

⋅ ⋅ ⋅ D1m ⋅ ⋅ ⋅ D j1' ⋅ ⋅ ⋅ D jm ⋅ ⋅ ⋅ D n1' ⋅ ⋅ ⋅ D nm

⋅ ⋅ ⋅ D1nD 21 ⋅ ⋅ ⋅ D 2n ⋅ ⋅ ⋅ D j1 ⋅ ⋅ ⋅ D jn ⋅ ⋅ ⋅ D (n−1)1 ⋅ ⋅ ⋅ D (n−1)nD n1 ⋅ ⋅ ⋅ D n(n−1)

En que se ha retornado a la definición de Radio Medio Geométrico. mn D µ0 11' ⋅ ⋅ ⋅ D 1m ⋅ ⋅ ⋅ D j1' ⋅ ⋅ ⋅ D jm ⋅ ⋅ ⋅ D n1' ⋅ ⋅ ⋅ D nm La = Ln n 2 2π n2 RMG D ⋅ ⋅⋅D2 D2 ⋅ ⋅ ⋅D2 D 2 ⋅ ⋅⋅D2 ⋅ ⋅⋅D2 12

1n

23

2n

34

3n

(2.45)

(n −1)n

Si en esta expresión, se define como Distancia Media Geométrica entre los conductores “a” y “b”: DMGab =

mn

D11'

⋅ ⋅ ⋅ D1mD 21' ⋅ ⋅ ⋅ D 2m ⋅ ⋅ ⋅ D n1' ⋅ ⋅ ⋅ D nm

(2.46)

Y al denominador, se le denomina RMG del conductor cableado “a”, o bien DMG propia del conductor cableado “a”. Es decir: 2 (2.47) 2 RMGa = n RMGnD 12 ⋅ ⋅ ⋅ D12n ⋅ ⋅ ⋅ D (2n−1)n La expresión (2.45), se puede escribir como: DMG ab µ La = 0 Ln [H/m/conductor] 2π RMG a Repitiendo el procedimiento para el conductor “b”, se tendrá: µ DMGab L b = 0 Ln [H/m/conductor] 2π RMGb

(2.48)

(2.49)

52 Finalmente la inductancia total será: DMG 2ab µ0 L = La + Lb = Ln 2π RMG a RMGb

[H/m]

(2.50)

La reactancia inductiva a su vez, será: ωµ 0 DMGab [Ω/m/conductor ] X La = Ln 2π RMG a XL

=

(2.51)

2 DMG ab

ωµ 0 Ln [Ω/m] 2π RMGa RMGb

El RMG de los conductores comerciales, se encuentra en algunas tablas y en otras, se establece, en lugar de éste, la denominada “componente de conductor”, que está directamente ligada con el RMG, como se aprecia en las tablas 2.2 a 2.5 de este mismo capítulo. Mediante el empleo de (2.47), se puede encontrar el RMG de conductores cableados homogéneos, en forma aproximada. En caso de conductores ACSR, es posible obtener un valor aproximado del RMG, considerando solamente las hebras de aluminio.

Ejemplo 2.4: Calcular el RMG de un conductor de cobre de 7 hebras de igual radio “r” que se muestra en la figura siguiente: r 1 2

6 7 5

3 4

Figura 2.13: Disposición de un Conductor Cableado de 7 Hebras. Solución: De acuerdo con (2.47), y llamando RMG1 al radio medio geométrico de cada hebra, se tiene: RMG =

49

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 RMG17D12 D13 D14 D 15 D16 D17 D 223 D 224 D 225 D 226 D 227 D 34 D 35 D 36 D 37 D 245 D 246D 247 D 56 D 57 D 267

Como el conductor es de cobre; RMG1 = r e

–1/4

µr = 1; por lo tanto el Radio Medio Geométrico de cada hebra será:

= 0,7788 r

Pero de la figura: D12 = D23 = D34 =D45 = D56 = D61 = D17 = D27 = D37 = D47 = D57 = D67 = 2 r D13 = D24 = D35 = D46 = D51 = D62 = 2 r 3 D14 = D25 = D36 = 4 r Entonces: RMG =

49

(0,7788r ) 7 (2r ) 24 (2r 3 )12 ( 4r ) 6

= 49 3,56578916 ∗ 1016 r 49 = 2,1767 r

Si se considera el radio exterior del conductor, r e, (que de acuerdo con la figura 2.13 es de 3 r), se puede establecer: RMG = 0,7256 r e Donde, como ya se ha mencionado, r e es el radio exterior del conductor. A modo de ilustración, para establecer algunas órdenes de magnitud, se han encontrado los siguientes valores de RMG para conductores de material homogéneo formado por distintos números de hebras, en función del r e.

53

Tabla Nº 2.6: FACTORES EMPIRICOS CONDUCTORES.

PARA

Conductores Homogéneos Tipo de Conductor RMG Macizo 7 hebras 19 hebras 37 hebras 61 hebras 91 hebras 127 hebras

EL

CALCULO

DEL

RMG

DE

ALGUNOS

Conductores ACSR Tipo de Conductor RMG

0,7788 r e 0,7256 r e 0,7576 r e 0,7682 r e 0,7721 r e 0,7738 r e 0,7756 r e

30 hebras (2 capas) 26 hebras (2 capas) 52 hebras (2 capas)

0,8257 r e 0,8091 r e 0,8103 r e

Nota Importante: Como todo valor empírico, estos valores son aproximados y se usarán solamente mientras se encuentra una manera analítica de calcular el RMG de conductores cableados, a partir de las tablas de conductores, proporcionadas por los fabricantes.

2.4.6: Línea Trifásica en Doble Circuito con Transposiciones: Las líneas que tienen esta configuración están formados por dos circuitos independientes trifásicos, que van montados sobre la misma estructura (postación común) o bien que corren paralelamente a corta distancia con estructuras independientes (ruta común). En cualquiera de ambas alternativas, cada fase está formada por dos conductores que están conectados en los extremos de la línea. La figura siguiente muestra una configuración en postación común y una alternativa de transposición. Esta conexión permite, razonablemente, suponer que la corriente de cada fase, se reparte uniformemente y por tanto es posible aplicar el método de la DMG y RMG. Fase a

1

3

1’

Fase b 2

2’

Fase c 3

3’

2

3’

1

1’ 2

2’

2’

3

3’ 1

1’

1 2 3 1’ 2’ 3’ l/3

l/3

l/3

Figura: 2.14: Línea Trifásica en Doble Circuito con Transposición en Postación Común El proceso de cálculo es análogo al caso de un simple circuito y por tanto se evaluará el flujo enlazado por el conductor 1 en cada tramo y se encontrará su valor promedio, a continuación se repetirá para el conductor 1’, con la finalidad de encontrar, finalmente la inductancia de la fase “a”. Se tiene:

λ 1(I) =

µ0  1 1 1 1 1 1  i1 Ln + i 2 Ln + i 3 Ln + i1' Ln + i '2 Ln + i '3 Ln   2π  RMG1 D12 D13 D11' D12' D13' 

54 Para los tramos II y III, se tendrá:

λ 1(II) =

µ0  1 1 1 1 1 1  i1 Ln + i 2 Ln + i 3 Ln + i1' Ln + i '2 Ln + i '3 Ln   2π  RMG 2 D 23 D 21 D 22' D 23' D 21' 

λ 1(III) =

µ0  1 1 1 1 1 1  i1 Ln + i 2 Ln + i 3 Ln + i1' Ln + i '2 Ln + i '3 Ln   2π  RMG 3 D 31 D 32 D 33' D 31' D 32' 

En que nótese que se ha asociado el RMG, con la posición que ocupa el conductor en cada uno de los ciclos de transposición. Además, como los conductores que forman cada fase son iguales entre sí, se tendrá: i1 = i’1 = i2 = i’2 = i3 =i’3 =

ia 2 ib 2

(2.52)

ic 2

Y también: ia + ib + ic = 0 El flujo enlazado promedio será: 1 3

λ 1prom. = [λ 1 (I) + λ 1(II) + λ 1(III)] λ 1prom. =

1 µ0 3 2π

  i a   ib 1 1 1 1 1  Ln  +  Ln  + + Ln + Ln + Ln RMG D RMG D RMG D 2 D D D D D D 1 11' 2 22' 3 33'  12 23 31 12' 23' 31'  2     i c 1 1  +  Ln + Ln D13' D 21' D 32'  2  D13D 21D 32

Análogamente para el conductor 1’, se tendrá en cada u no de los tres tramos:

λ 1' (I) =

µ0  1 1 1 1 1 1  i1 Ln + i 2 Ln + i 3 Ln + i1' Ln + i 2' Ln + i 3' Ln   2π  D1'1 D1'2 D1'3 RMG1 D1'2' D1'3' 

λ 1' (II) =

µ0  1 1 1 1 1 1  + i 2 Ln + i 3 Ln + i1' Ln + i '2 Ln + i '3 Ln i1 Ln   2π  D 2'2 D 2'3 D 2'1 RMG 2 D 2'3' D 2'1' 

λ 1' (III) =

µ0  1 1 1 1 1 1  + i 2 Ln + i 3 Ln + i1' Ln + i '2 Ln + i '3 Ln i1 Ln   2π  D 3'3 D 3'1 D 3'2 RMG3 D 3'1' D 3'2' 

El promedio del flujo enlazado por el conductor 1’será:

  i a   i b 1 1 1 1 1  Ln  +  Ln  + + Ln + Ln + Ln RMG 2 D 2'2 RMG 3D 3'3  2  D 1'2D 2'3 D 3'1 D1'2' D 2'3' D 3'1'  2  RMG1D1'1   i c 1 1  +  Ln + Ln D1'3' D 2'1' D 3'2'  2  D1'3D 2'1D 3'2

λ 1' prom. =

1 µ0 3 2π

El flujo enlazado por cualquiera de los conductores de la fase “a”, 1 ó 1’, será 1 λ 1 = [λ 1prom + λ 1' prom] 2

55 Reemplazando en esta relación las expresiones anteriores se puede escribir:

λ1 =

  1 1 1  2 Ln  i a + Ln (ib + i c ) + Ln (ib + i c ) + RMG1D11' RMG 2D 22'RMG3 D 33'  D12D 23 D 31 D1'2'D 2'3'D 3'1' 

µ0 1 1 2π 4 3

+ Ln

1 D12'D 23' D 31'

Pero como:

λ1 =

(ib + i c ) + Ln

1 D1'2D 2'3 D 3'1

(ib + i c )

Ib + ic = - ia

µ 0 1  1 1 Ln − Ln 4D D D D D 2π 3  4 RMG 2D 2 RMG 2D 2 RMG 2D 2 12 23 31 12' 23' D 31' D1'2 D 2'3 D 3'1D1'2' D 2'3' D 3'1' 1 11' 2 22' 3 33' 

  ia  

Llamando: RMGa =

4

2 RMG12D11'

= RMG1D11'

RMG de la fase “a”

RMGb =

4

RMG 22D 222'

= RMG 2D 22'

RMG de la fase “b”

RMGc =

4

2 RMG32D 33'

= RMG3 D 33'

RMG de la fase “c”

DMGab = 4 D12D12' D1'2D1'2'

DMG entre fases “a” y “b”

DMGac = 4 D13 D13' D1'3D1'3'

DMG entre fases “a” y “c”

DMGbc =

4

D 23 D 23' D 2'3D 2'3'

(2.53)

(2.54)

DMG entre fases “b” y “c”

Se tiene:

λ1 =

3 DMG DMG DMG DMG e µ0 µ ab ac bc = 0 i a Ln i aLn 3 RMG RMG RMG 2π 2π RMG e a b c

(2.55)

Donde: DMGe: Distancia Media Geométrica Equivalente y RMG e: Radio Medio Geométrico equivalente, definidos como: DMGe = 3 DMGab DMG ac DMGbc RMGe =

3

(2.56)

RMGa RMGb RMGc

Finalmente: La = L1 = L1’ =

µ0 DMG e Ln 2π RMG e

µ 0 DMG e Ln π RMG e

⇒

⇒ X L1 =

X La

ωµ 0 DMG e Ln 2π RMG e

DMG e ωµ 0 Ln π RMG e

[Ω/m/fase]

[Ω/m/conductor ]

(2.57)

Si se realiza un análisis similar para los conductores que forman las fases “b” y “c”, se encuentran las mismas expresiones anteriores. Nótese que en el cálculo realizado, se ha considerado el efecto mutuo que aparece entre los conductores de los dos circuitos. Cuando las distancias son grandes entre ambos circuitos (ruta común), es usual despreciar este efecto de inducción mutua y en ese caso se calcula la inductancia como en el caso de un circuito simple con transposiciones y luego, para encontrar los valores por fase, obtenerlos como dos conductores en paralelo.

Ejemplo 2.5: Calcular la reactancia inductiva por fase de la línea de transmisión que se muestra en la figura. La línea opera a 220 kV, 50 cps y tiene una longitud de 100 km. Los conductores son ACSR 954 MCM 54/7. La línea se supone transpuesta en todo su recorrido y es simétrica con respecto a la vertical. Las distancias están expresadas en metros.

56

D11’ = 10,82 [m] D12 = 6,74 [m] D23 = 6,74 [m] D12’ = 12,75 [m] D13’ = 17,29 [m]

1

1’ Fase a

2

2’

3

Fase b

3’ Fase c

5,41

Circuito A

Circuito B

Figura 2.15: Línea de Transmisión de Simetría Vertical en Doble Circuito del Ejemplo 2.5. Solución: De (2.57): XL = DMGe = DMGab =

3

ωµ 0 DMG e ∗ 10 3 Ln [Ω / km / fase] 2π RMG e

DMG ab DMG ac DMGbc

4

2 2 = 4 D12 D12 ' = D12 D12' =

D12D12' D1'2D1'2'

6,74 ∗ 12,75

= 9,27 [m]

DMGbc = DMGab = 9,27 [m] DMGac = DMGe =

4 3

D13 D13'D1'3 D1'3'

= D13 D13' = 17,29 ∗ 13,48 = 15,27 [m]

9,27 ∗ 9,27 ∗ 15,27

De (2.5 3): RMGa =

= 10,95 [m]

RMG1D11'

El radio medio geométrico, se obtendrá, por ahora , de la expresión empírica de la tabla 2.6, en tanto encontremos una expresión analítica para calcularlo. De acuerdo a lo allí indicado, para un conductor ACSR, 54 hebras el RMG = 0,8103 r e. De la tabla de conductores ACSR, el “Cardinal” corresponde al de la línea del ejemplo, con un diámetro de 30,4 [mm], por lo cual su radio es de 15,2 [mm]. Entonces:

-3

RMG = 0,8103 * 15,2 * 10 = 0,0123 [m]

Así, de la simetría de la línea, se tiene: RMGa = RMGb = RMGc = De (2.56):

RMGe =

De (2.57): XLa = X La

3

RMG1D11'

=

0,0123 ∗ 10,82

= 0,3651 [m]

RMG aRMGb RMG c = 0,3651 [m]

ωµ 0 DMG e 2π ∗ 50 ∗ 4π ∗ 10 −7 10,95 * 10 3 Ln = ∗ 10 3 Ln 2π RMG e 2π 0,3651

= 200π ∗ 10 − 4 Ln

10,95 0,3651

= 0,2137 [Ω/km/fase]

57

2.47: Línea Trifásica en Circuito Simple con un Haz de dos Conductores: La figura siguiente muestra una línea con estructura tipo portal, de dos conductores por fase:

1’

1

2’

2

s

s

s

fase “b”

fase “a”

3’

3 fase “c”

Figura 2.16. Línea trifásica con dos Conductores en Haz. Como la línea es similar al caso de una línea en doble circuito, se usarán las expresiones encontradas en el apartado anterior, con las particularizaciones del caso. Los conductores que constituyen el haz están fijados a la misma cadena de aisladores y conectados eléctricamente en paralelo en cada una de las estructuras. En general estas líneas operan en EAT (sobre 220 kV) y se asumirá que están transpuestas en la misma forma ya revisada. Entonces se tiene; de (2.54) RMGa =

4

2 RMG 2D11 '

= RMG s

(2.58)

Donde: RMG: Radio Medio Geométrico de los conductores. Por la simetría de la línea: RMGa = RMGb = RMGc ; RMGe =

3

RMG a RMGb RMGc

=

3

(RMGa )3 =

Luego:

RMG s

(2.59)

De (2.54) DMGab =

4

D12 D12' D1'2D1'2'

= 4 D (D + s) (D - s)D

(2.60)

Pero considerando que D >> s D−s

≈D+s ≈D

(2.61)

Entonces: DMGab = D DMGbc = D DMGac = 2 D Así: DMGe =

3

DMGab DMGbc DMG ac

= 3 2D 3 = D3 2

Recordando que en el caso de una línea en doble circuito se tenía para la reactancia inductiva:

(2.62)

58 XL = ωL = 2π f L = 2 πf XL

µ0 DMG e ∗ 10 3 Ln 2π RMG e −4

= 4π ∗ 10 f Ln

[Ω/km/fase] (2.63)

DMG e

[Ω/km/fase]

RMG e

Por tanto, para el caso de dos conductores por fase será: XL = 4π

∗ 10 −4 f Ln

DMGe RMG s

[Ω/km/fase ]

(2.64)

En ésta, como en las anteriores relaciones encontradas para la inductancia como para la reactancia inductiva, tanto la DMGe, como el RMGe están expresados en las mismas unidades, metro en el caso del Sistema MKS Racionalizado. .

2.4.8. Tres Conductores por Fase: En este caso los subconductores están ubicados en el vértice de un triángulo equilátero como se muestra en la figura siguiente, separados entre sí una distancia “s”. 1 s

s 1’’

s

1’

Figura 2.17: Haz de Tres Conductores: Si recordamos que según (2.47) el RMG está dado como: De acuerdo a la figura 2.17, se tiene: Así:

RMGe =

9

RMG 3 s 6

XL = 4 π ∗ 10 − 4 f Ln

RMG =

n2

2 2 2 RMG1n D12 ... D1n ... D (n -1) n

D11’ = D11’’ = D1’1’’ = s

= 3 RMG s 2 ; con lo cual, según (2.63)

DMG e RMG e

= 4π ∗ 10 −4 f Ln

DMG e 3

RMG s

2

[Ω/km/fase ]

(2.65)

2.4.9: Cuatro Conductores por Fase: En este caso los conductores se ubican en los vértices de un cuadrado de lado “s”. Como se muestra en la figura siguiente, donde análogamente el caso de tres conductores por fase, se tiene: D11’ = D1’1’’ = D1’’1’’’ = D1’’’1 = s D11’’ = D1’1’’’ = s

2 s

1’’’

Figura 2.18: Haz de Cuatro Conductores

Entonces: RMGe =

16

1’

s

1

RMG 4 s 8 (s 2 ) 4

XL = 4 π ∗ 10 − 4 f Ln

DMG e 4

RMGs 3 2

s 2

s

s

1’’

= 4 RMGs 3 2 Reemplazando en (2.64):

[Ω/km/fase]

(2.66)

59

2.4.10: Uso de Tablas para el Cálculo de la Reactancia Inductiva: La reactancia inductiva por conductor de una línea monofásica o por fase de una línea trifásica de configuración simple, simétrica o asimétrica transpuesta, se puede escribir en general como: XL =

ωµ 0 DMG Ln [Ω/unidad de longitud] 2π RMG

(2.67)

En que la unidad de longitud dependerá del sistema de medida empleado y debe ser consistente con el valor de la contante µ0 . Esta expresión se puede escribir también como: XL = Xa + Xd [Ω/unidad de longitud]

(2.68)

ωµ 0 1 [Ω/unidad de longitud] Ln 2π RMG ωµ 0 Xd = Ln DMG [Ω/unidad de longitud] 2π

(2.69)

Donde : Xa =

-

Xa: Se interpreta como la reactancia por unidad de longitud, debida al flujo interno del conductor, hasta una distancia igual a la que se ha expresado el RMG. (Pié, cm, m, etc.) y depende de la frecuencia y del RMG del conductor y en algunas tablas se le denomina “Componente de Conductor”.

-

Xd: Representa la reactancia inductiva del conductor, debido al flujo externo, desde una distancia entre la unidad de medida del RMG y DMG hasta el valor de la DMG. Este término se conoce como “factor de separación y depende de la frecuencia y distancia entre conductores.

En los desarrollos realizados anteriormente se ha empleado el sistema MKS racionalizado con la 3 salvedad de amplificar, la constante por 10 para expresar los resultados en [Ω/km] en lugar de [Ω/m]. Por tanto en general se ha expresado la reactancia inductiva como: XL

=

ωµ 0 DMG DMG ∗ 10 3 Ln = 4π ∗ 10 - 4 f Ln 2π RMG RMG

[Ω/km]

Entonces los valores de Xa y Xd, serán respectivamente: Xa = 4 π ∗ 10 − 4 f Ln

1 RMG

Xd = 4π ∗ 10 −4 f Ln DMG

[Ω/km]

(2.70)

[Ω/km]

Los valores de Xa se encuentra en la tabla de características de los conductores y los valores de Xd, se encuentran en la tabla de componente de distancia o factor de separación. De (2.70): Se puede despejar el valor del RMG, tal que: 1 Ln RMG

=

Xa 4πf ∗ 10

−4

⇒ RMG = e

-

Xa ∗10 4 4 πf

[m]

(2.71)

Nota: Esta será la expresión analítica para encontrar el RMG de los conductores. - Caso de dos Conductores por Fase: En el evento que la línea este formado por un haz de dos conductores. De ( 2.64): 1 1 1 1  = 4π ∗ 10 - 4 f Ln  Ln + Ln + Ln DMGe  =  2 RMG 2 s  RMG s 1 1 1  XL = 4 π ∗ 10 − 4 f  Ln - Ln s + Ln DMG e   2 RMG 2  XL = 4π ∗ 10 − 4 f Ln

DMG e

60 XL =

1 1 Xa - Xs + Xd 2 2

[Ω/km/fase]

(2.72)

Con: 1 RMG

[Ω/km]

Xs = 4 πf ∗ 10 -4 Ln s

[Ω/km] [Ω/km]

Xa = 4 πf ∗ 10 - 4 Ln

Xd = 4

πf ∗ 10 -4 Ln DMG e

(2.73)

Así se puede escribir, análogamente a (2.72) 1 1   XL = Xa +  Xd - Xs  [Ω/km/fase] 2 2  

(2.74)

- Caso de Tres Conductores por Fase: Esta situación, considera que cada una de las fases está formado por un haz de tres conductores, como se estableció en 2.4.8. De (2.65): XL = 4

πf ∗ 10 − 4 Ln

XL =

1 2 1  = 4πf ∗ 10 − 4  Ln - Ln s + Ln DMG e  3  3 RMG 3  RMG s 2 DMG e

1 2   Xa +  Xd - Xs  3 3  

[Ω/km/fase]

(2.75)

- Cuatro Conductores por Fase: Esta situación se ilustró en el apartado 2.4.9. Así de (2.66): XL = 4π f ∗ 10 - 4 Ln

XL =

DMG e 4

RMG s 3

1 3 1 1  = 4πf ⋅ 10 − 4  Ln - Ln s - Ln 2 + Ln DMG e  = 4  4 RMG 4  2

1 3   Xa +  Xd - Xs - 0,0054  4 4  

En que el valor constante:

[Ω/km/fase]

0,0054 = 4 π ∗ 50 ∗ 10 - 4

(2.76) 1

∗ Ln 2

4 Nota: Si se conoce el valor de Xa en el sistema inglés y se trata de llevar este valor al sistema MKS racionalizado, con además un cambio de frecuencia desde f 1 (60 cps) a f 2 (50 cps) por ejemplo, se puede aplicar la relación:

  

XA =  0,6214

f 2 

f 1 

Xa + 0,00149 f 2

[Ω/km]

(2.77)

En general el valor de la reactancia inductiva para líneas de alta tensión, fluctúa entre 0,38 y 0,46 [Ω /km], debido a la poca sensibilidad del factor logarítmico a la variación de magnitudes. En la página siguiente, Tabla 2.7, se muestra los valores de Xd calculados para distintas distancias:

61

Tabla 2.7: COMPONENTE DE DISTANCIA Xd EN [ /km] PARA 50 cps.

Metros 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

Metros 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0

Centímetros 0 ---0,1447 -0,1011 -0,0756 -0,0576 -0,0436 -0,0321 -0,0224 -0,0140 -0,0066 0 0,0060 0,0115 0,0165 0,0211 0,0255 0,0295 0,0333 0,0369 0,0403

1 -0,2894 -0,1387 -0,0981 -0,0736 -0,0560 -0,0423 -0,0311 -0,0215 -0,0132 -0,0059 0,0006 0,0066 0,0120 0,0170 0,0216 0,0259 0,0299 0,0337 0,0373 0,0407

2 -0,2458 -0,1332 -0,0951 -0,0716 -0,0545 -0,0411 -0,0300 -0,0206 -0,0125 -0,0052 0,0012 0,0071 0,0125 0,0174 0,0220 0,0263 0,0303 0,0341 0,0376 0,0410

3 -0,2203 -0,1282 -0,0923 -0,0697 -0,0530 -0,0399 -0,0290 -0,0198 -0,0117 -0,0046 0,0019 0,0077 0,0130 0,0179 0,0225 0,0267 0,0307 0,0344 0,0380 0,0413

0

10

20

30

0 0,0436 0,0690 0,0871 0,1011 0,1126 0,1223 0,1307 0,1381 0,1447 0,1507 0,1561 0,1612 0,1658 0,1702 0,1742 0,1780 0,1816 0,1850 0,1882 0,1913 0,1942 0,1970 0,1997 0,2022

0,0060 0,0466 0,0711 0,0887 0,1024 0,1136 0,1232 0,1314 0,1387 0,1453 0,1512 0,1567 0,1616 0,1663 0,1706 0,1746 0,1784 0,1820 0,1853 0,1885 0,1916 0,1945 0,1973 0,1999 0,2025

0,0115 0,0495 0,0731 0,0902 0,1036 0,1146 0,1240 0,1322 0,1394 0,1459 0,1518 0,1572 0,1621 0,1667 0,1710 0,1750 0,1788 0,1823 0,1857 0,1889 0,1919 0,1948 0,1976 0,2002 0,2027

0,0165 0,0523 0,0750 0,0916 0,1048 0,1156 0,1249 0,1330 0,1401 0,1465 0,1524 0,1577 0,1626 0,1671 0,1714 0,1754 0,1791 0,1826 0,1860 0,1892 0,1922 0,1951 0,1978 0,2005 0,2030

4 -0,2022 -0,1235 -0,0897 -0,0678 -0,0516 -0,0387 -0,0280 -0,0189 -0,0110 -0,0039 0,0025 0,0082 0,0135 0,0184 0,0229 0,0271 0,0311 0,0348 0,0383 0,0416

5 -0,1882 -0,1192 -0,0871 -0,0660 -0,0502 -0,0376 -0,0271 -0,0181 -0,0102 -0,0032 0,0031 0,0088 0,0140 0,0189 0,0233 0,0275 0,0315 0,0352 0,0387 0,0420

Centímetros 40 50 0,0211 0,0550 0,0769 0,0931 0,1060 0,1166 0,1258 0,1337 0,1408 0,1471 0,1529 0,1582 0,1631 0,1676 0,1718 0,1758 0,1795 0,1830 0,1863 0,1895 0,1925 0,1953 0,1981 0,2007 0,2032

0,0255 0,0576 0,0787 0,0945 0,1071 0,1176 0,1266 0,1345 0,1415 0,1477 0,1535 0,1587 0,1635 0,1680 0,1722 0,1761 0,1798 0,1833 0,1866 0,1898 0,1928 0,1956 0,1984 0,2010 0,2035

6 -0,1768 -0,1151 -0,0846 -0,0642 -0,0488 -0,0364 -0,0261 -0,0172 -0,0095 -0,0026 0,0037 0,0093 0,0145 0,0193 0,0238 0,0279 0,0318 0,0355 0,0390 0,0423

7 -0,1671 -0,1113 -0,0823 -0,0625 -0,0474 -0,0353 -0,0252 -0,0164 -0,0088 -0,0019 0,0043 0,0099 0,0150 0,0198 0,0242 0,0283 0,0322 0,0359 0,0393 0,0426

60

70

0,0295 0,0600 0,0805 0,0959 0,1082 0,1186 0,1274 0,1352 0,1421 0,1483 0,1540 0,1592 0,1640 0,1685 0,1726 0,1765 0,1802 0,1837 0,1870 0,1901 0,1931 0,1959 0,1986 0,2012 0,2037

0,0333 0,0624 0,0822 0,0972 0,1094 0,1195 0,1283 0,1359 0,1428 0,1489 0,1545 0,1597 0,1645 0,1689 0,1730 0,1769 0,1806 0,1840 0,1873 0,1904 0,1934 0,1962 0,1989 0,2015 0,2040

8 -0,1587 -0,1077 -0,0800 -0,0608 -0,0461 -0,0342 -0,0242 -0,0156 -0,0080 -0,0013 0,0048 0,0104 0,0155 0,0202 0,0246 0,0287 0,0326 0,0362 0,0397 0,0429

80 0,0369 0,0647 0,0839 0,0986 0,1104 0,1204 0,1291 0,1366 0,1434 0,1495 0,1551 0,1602 0,1649 0,1693 0,1734 0,1773 0,1809 0,1843 0,1876 0,1907 0,1936 0,1965 0,1992 0,2017 0,2042

9 -0,1513 -0,1043 -0,0778 -0,0592 -0,0448 -0,0332 -0,0233 -0,0148 -0,0073 -0,0006 0,0054 0,0109 0,0160 0,0207 0,0251 0,0291 0,0330 0,0366 0,0400 0,0432

90 0,0403 0,0669 0,0855 0,0999 0,1115 0,1214 0,1299 0,1374 0,1440 0,1501 0,1556 0,1607 0,1654 0,1697 0,1738 0,1776 0,1813 0,1847 0,1879 0,1910 0,1939 0,1967 0,1994 0,2020 0,2045

62

2.5. CALCULO DE CAPACIDADES Y REACTANCIAS CAPACITIVAS. Otro de los parámetros relevantes de las líneas de transmisión, es la reactancia capacitiva, que ofrece un camino de fuga a las corrientes que circulan por la línea y que es el parámetro dominante de la admitancia shunt. Para determinarla, es preciso evaluar primeramente la capacidad entre conductores. Recordemos que al aplicar una diferencia de potencial instantánea a dos conductores separados por una cierta distancia, éstos adquieren una carga +q(t) y -q(t). El valor absoluto de la carga dependerá de la diferencia de potencial v(t) y una constante de proporcionalidad “C”, tal que: C=

q( t ) v( t )

(2.78)

Esta capacidad depende de las dimensiones y configuración geométrica de los cuerpos cargados, de la posición de ellos respecto a otros cuerpos conductores, de la naturaleza del medio que los separa, es decir del dieléctrico y de la distancia o posición relativa de un cuerpo con respecto al otro. Un condensador elemental está constituido por dos cuerpos, tales, que todas las líneas de fuerza comienzan en uno y terminan en el otro. Así se tiene una capacidad única y ambos cuerpos tienen la misma carga pero con signos distintos. Si se tiene un conjunto de cuerpos cargados, no existe una única capacidad y se tendrá un condensador compuesto y por tanto existirán capacidades parciales. Como ejemplo, considérese el conjunto de cuerpos cargados que se muestra en la figura siguiente:

a

+

+

+ + +

+

+ -

+

+ -

-

2

+ + +

1 b

+ + +

+ + + +

-

c

-

+

3

+

+ +

Figura 2.19. Sistema de Cuerpos Cargados y Líneas de Fuerza. Si se emplea la definición de capacidad y expresión (2.78), se pu ede escribir: C12 = Donde:

q12 v1

− v2

C13

=

q13 v1 - v 3

⋅⋅⋅

C1n

=

q1n v1 - v n

(2.79)

q12 = qab: Carga en el sector superficial ab del conductor “1” q13 = qbc: Carga en el sector superficial bc del conductor “1”

En el caso de las líneas de transmisión, el concepto de capacidades parciales se puede apreciar en la figura siguiente:

63

2 -q2

1 +q1

C12 1

2

C10

- - Figura 2.20.

C20

+ + +

Línea de dos Conductores en Presencia de Tierra y Capacidades Parciales que Presenta.

En este caso aparecen tres capacidades parciales: Entre los conductores y entre cada uno de ellos y tierra. Estas son: q q q12 C12 = ; C10 = 10 ; C20 = 20 v1 − v 2 v1 v2

2.5.1: Cálculo de Capacidades de Líneas sin Considerar el Efecto de Tierra: Esto implica considerar nulos C10 y C20 en la figura 2.20. Es decir, se supone que los conductores están ubicados en un medio dieléctrico de extensión infinita, por tanto se calculará el potencial en un punto “p” debido a la presencia de “n” conductores cargados en su espacio cercano en relación a un origen arbitrario “O” y que además, son cilíndricos. 2 q2 D2

D12

1 q1

d20 D1 “p” k qk Dk

D1n

D13 d10

Dn qn

n

D3 3

dn0

d30

q3

O

Figura 2.21. Sistema de “n” Conductores Cargados. Si se asume que no hay otros conductores cargados en las cercanías, se tiene: n

∑ qk

k =1

= 0

(2.80)

Además, la diferencia de potencial entre los puntos “p” y “O” debida a la presencia de un conductor cilíndrico cargado uniformemente con “q” [Coulomb/m] y de extensión infinita, está dado como:

64 D1

r

r

∫

E •dl

(vp – vo)1 =

=

d10 - 12

Con εo= 8,85 * 10

q1 2π ε 0

Ln

d10

(2.81)

D1

[F/m] : constante de permitividad del vacío.

Asimismo, la presencia de los restantes conductores hará que: q2 d (vp-vo)2 = Ln 20 2π ε 0 D2

. . (vp-vo)n

=

qn 2π ε 0

Ln

(2.82)

d n0 Dn

Finalmente, la diferencia de potencial entre los ptos. “p” y “O”, debido a la presencia de los “n” conductores cargados ubicados en ese espacio será: vp – v0 =

n

1

d

∑ qk Ln Dk0

(2.83)

 n   q k Ln d k0   k =1 

(2.84)

2π ε 0

k =1

k

Esta expresión se puede reescribir como:

n 1  1 vp - v0 =  q k Ln  + 2π ε 0  k =1 D k  2π ε 0 1

∑

∑

Se aprecia que el segundo término es constante para una elección fija del punto “O”, por tanto: vp - v0 =

n 1  qk Ln ∑   + Constante 2π ε 0 k =1 Dk  1

Si se considera que el potencial del punto “p” está referido al “O” y que la constante se eliminará en cada cálculo de diferencia de potencialmente conductores, se tiene, finalmente: vp =

n 1  qk Ln ∑   2π ε 0 k =1 Dk  1

[volts]

(2.85)

Se debe recalcar que los conductores son cilíndricos, paralelos entre sí y uniformemente cargados en toda su superficie, lo que es razonable para líneas aéreas.

2.5.1.1: Línea Monofásica: Considérese una línea monofásica, como la que se muestra en la figura siguiente:

p p

D1

v1 r 1

D2 r 2

q1

q2 v2 D

Figura 2.22: Línea Monofásica de dos Conductores.

65 Aplicando la ecuación (2.85), el potencial en el punto “p”, será: vp =

q1 2π ε 0

Ln

1 D1

+

q2 2π ε 0

Ln

1 D2

(2.86)

Trasladando el punto “p” a la superficie de cada uno de los conductores 1 y 2 y considerando que q 1 + q2 = 0:  q1  1 q1 D  Ln - Ln 1  = v1 = Ln 2π ε 0  r 1 D  2π ε 0 r 1 v2 =

 1  q2 q1 r D  Ln - Ln 1  = = Ln Ln 2 2π ε 0  r 2 D  2π ε 0 r 2 2π ε 0 D q2

Nótese que se ha considerado que como D >> r i ; se tiene D - r 1 q1 q D2 D = 1 Ln v1 – v2 = Ln π ε0 2π ε 0 r 1 r 2 r 1 r 2

≈ D – r 2 ≈ D. Entonces: (2.87)

Así la capacidad de la línea será: C=

q1 v1

− v2

π ε0

=

D

Ln

[F/m]

(2.88)

[F/m]

(2.89)

[Ωm]

(2.90)

r 1 r 2

Si r 1 = r 2 = r, se puede escribir: C=

π ε0 D Ln r

Y la reactancia capacitiva total de la línea será: 1 1 1 D = = 2 XC = Ln r ωC 2π f C 2π f ε 0

-12

Recuérdese que εo es la permitividad del vacío, de valor 8,85 x10 [Coulomb/volt] en el Sistema MKS. En el caso de conductores cableados “r” corresponde al radio exterior. Normalmente se expresa el valor de la capacidad por conductor, por lo que en (2.89), se ha determinado la capacidad total de la línea. Empleando el concepto de capacidades parciales, se puede representar como: Cn

C = C12 1

2

1

n

Cn 2

Figura 2.23 Capacidades Parciales Equivalentes. En que el punto “n”, es un punto de potencial cero y corresponde a la mitad de la distancia que separa a ambos conductores. Se tiene: Cn = 2 C =

2π ε 0 D Ln r

[F/m/conductor ]

Normalmente, atendiendo al gran tamaño del Farad, la capacidad se expresa en

(2.91)

µF/km, por lo que:

66 2π ε 0 10 6 D 10 -3 Ln r Con lo que: Cn =

XCn =

=

2π ε 0 Ln

∗ 10 9 D

(2.92)

[MΩ km/conductor ]

(2.93)

r

1 4π 2 ε 0

[µF/km/conductor ]

∗ 10 9 f

Ln

D r

2.5.1.2: Línea Trifásica de Disposición Equilátera: La figura siguiente muestra esta disposición para una línea de transmisión:

q3

p

D3

3

D2

D1

Ds

q2

Ds q1 Ds

2

1

Figura 2.24: Línea Trifásica de Disposición Equilátera Se cumple que D12 = D13 = D23 = Ds ; r 1 = r 2 = r 3 = r ; q 1 + q2 + q3 = 0 De (2.85), se puede escribir: vp =

 1 1 1  + q 2 Ln + q 3 Ln  q1 Ln  2πε 0  D1 D2 D3  1

Trasladando el punto “p” a la superficie de cada conductor y considerando que D >> r. v1

=

 D 1 1 1  1 q1 Ln + q 2 Ln q1 Ln s + q 3 Ln  =  2π ε 0  r Ds D s  2π ε 0 r 1

Análogamente el potencial para los conductores 2 y 3, será:

 D 1 1 1  1 + q 2 Ln + q 3 Ln  = q1 Ln q 2 Ln s  2π ε 0  Ds r D s  2π ε 0 r D 1  1 1 1 1 + q 2 Ln + q 3 Ln  = v3 = q1 Ln q 3 Ln s  2π ε 0  Ds Ds r  2π ε 0 r v2

=

1

De allí, se tiene: C1 = C2 = C3 = Cn =

2π ε 0 D Ln s r

[F/m]

(2.94)

67 Esta capacidad corresponde a cada fase (conductor) con respecto a un punto de potencial cero, que en este caso, por la disposición de la línea está ubicado en el centro del triángulo equilátero, como se muestra en la figura siguiente. 3 C3 = Cn C1 = Cn

O

C2 = Cn

1

2

Figura 2.25: Diagrama de Capacidades Esta capacidad en la nomenclatura de USA, se llama “capacidad al neutro” y en Europa, “capacidad de servicio”. Se aprecia que (2.94) es idéntica a (2.91), por tanto si se expresa en [ µF/km/fase], se tendrá (2.92) y la reactancia capacitiva estará dada por (2.93).

2.5.1.3: Línea Trifásica con Transposiciones: Asumiendo la línea convenientemente transpuesta como se muestra en la figura siguiente I 3

2 1

l/3

II

2

3

1

l/3

III

1

2

3

l/3

l = largo total de la línea

Figura 2.26: Línea Trifásica con Transposiciones: Usando la expresión (2.85) y de la figura 2.26, se puede escribir:

 1 1 1  q1 Ln + q 2 Ln + q 3 Ln   2π ε 0  r D12 D13  1  1 1 1  + q 2 Ln + q 3 Ln v2 = q1 Ln   2π ε 0  D 21 r D 23  1  1 1 1 + q 2 Ln + q 3 Ln  v3 = q1 Ln  2π ε 0  D 31 D 32 r  v1

=

1

Este juego de ecuaciones se puede aplicar a cada tramo del ciclo de transposiciones. Sin embargo, se debe considerar que si se asume que la tensión permanece contante, el valor de las cargas debe variar

68 dada la diferente posición que tienen los conductores en cada tramo. Si se asume que lo que permanece constante son las cargas, variará el potencial. Esta última suposición es la que se hará y en ese caso el potencial del conductor “1” en cada tramo será:

 1 1 1  + q 3 Ln q1 Ln + q 2 Ln   2π ε 0  r D12 D13  1  1 1 1  v 1(II) = q1 Ln + q 2 Ln + q 3 Ln   2π ε 0  r D 23 D 21  1  1 1 1  + q 3 Ln v 1(III) = q1 Ln + q 2 Ln   2π ε 0  r D 31 D 32  1

v 1(I) =

La tensión promedio en todo el ciclo de transposiciones será: v1

=

v1 =

1 3

(v 1 (I) + v 1 (II) + v 1(III)) = 1

2π ε 0

3

q1 Ln

D12D13D 23 r

  1  3 q1 Ln 1 + (q 2 + q 3 ) Ln  3 2π ε 0  r D12D13 D 23  1

1

=

1 2π ε 0

q1 Ln

DMG r

Entonces: C1 =

q1 v1

=

2π ε 0 DMG Ln r

[F/m]

(2.95)

Si se repite el proceso para los otros 2 conductores, se comprueba que C 1 = C2 = C3 = Cn, por tanto la capacidad por fase de la línea será: 2π ε 0 Cn = [F/m] DMG Ln r (2.96) O bien: 2π ε 0 ∗ 10 9 [µF/km] Cn = DMG Ln r Y la reactancia capacitiva será a su vez: 1 1 DMG = 2 XCn = Ln 2π f C n 4π ε 0 f r XCn =

1 4π 2

ε 0 f ∗ 10 9

Ln

DMG r

[Ω m] (2.97)

[MΩ km]

2.5.14: Uso de Tablas: Para calcular la reactancia capacitiva y entrar directamente a las tablas, se puede escribir, en forma análoga al cálculo de la reactancia inductiva: [MΩ km]

XCn = X’a +X’d

(2.98)

Donde: X’a = X’d =

10

10 −9 4π 2 ε 0 f −9

4π 2 ε 0 f

Ln

1 r

[MΩ km]

Ln DMG [MΩ km]

(2.99)

69

2.5.1.5: Cálculo de la Capacidad y Reactancia Capacitiva de Líneas Trifásicas en Doble Circuito: Es posible hacer un desarrollo igual al del caso de la inductancia y reactancia inductiva de líneas en doble circuito. La diferencia se presenta que en lugar de emplear el RMG de cada conductor, se emplea “r”, radio exterior del conductor, dado que la carga eléctrica está distribuida en la periferia de éstos. En general la disposición de los conductores es asimétrica, por lo que se debe asumir que la línea está convenientemente transpuesta. Además se supone que las cargas por unidad de longitud se mantienen constantes en todo el ciclo de transposiciones y los conductores que forman una fase tienen igual carga por unidad de longitud. 1

1’ 2

2

3’

3 Circuito A

Fase “a” Fase “b”

Fase “c”

Circuito B

Figura 2.27: Línea Trifásica en Doble Circuito En este caso se tiene: 2π ε 0 ∗ 10 9 Cn = DMG e Ln RMG e

[µ F/km ]

(2.100)

[MΩ km]

(2.101)

La reactancia capacitiva será: XCn =

1 ωC n

=

10 -9 4π

2

ε 0 f

Ln

DMG e RMG e

Donde: DMGe =

3

(2.102)

DMG ab DMGbc DMGac

DMGab = 4 D12D12' D1'2D1'2'

DMG entre fases “a” y “b”

DMGac = 4 D13 D13' D1'3 D1'3'

DMG entre fases “a” y “c”

DMGbc =

4

D 23 D 23' D 2'3 D 2'3'

(2.103)

DMG entre fases “b” y “c”

y: RMGa =

Con lo que:

4

2 r 12 D11'

= r D11' RMG de la fase “a”

RMGb =

4

r 12 D 222'

= r 2 D 22' RMG de la fase “b”

RMGc =

4

2 r 32 D 33'

= r 3 D 33' RMG de la fase “c”

(2.104)

70 3

RMGe =

(2.105)

RMG a RMGb RMG c

2.5.1.6: Conductores Fasciculados: Se analizarán los casos de dos, tres y cu atro conductores por fase: - Dos conductores por Fase: Si se considera la línea mostrada en la figura 2.16. y considerando que la separación entre los conductores se designará por “s”, se tiene D11’ = s = D22’ = D 33’, de donde, para los Radios Medios Geométricos de cada fase se cumplirá que: RMGa = RMGb = RMGc = Entonces, reemplazando en la expresión (2.105) RMGe =

3

RMG 3a

r s

= r s

Reemplazando en (2.101), se tiene: DMG e 10 −9 10 −9  1 1 1  XCn = Ln Ln - Ln s + Ln DMG e  [MΩ km] =  r 2 4π 2 ε 0 f 4π 2 ε 0 f  2  r s

=

X Cn

1 1   X' a +  X' d − X' s  2 2  

[MΩ km]

(2.106)

En que: X’a =

10 −9 4π 2

10 −9

X’d =

4π 2 X’s =

ε 0 f

ε 0 f

1

Ln

r

LnDMG e

10 −9 4π 2

ε 0 f

Ln s

[MΩ km] [MΩ km]

(2.107)

[MΩ km]

- Caso de Tres Conductores por Fase: En este caso los subconductores e stán ubicados en los vértices de un triángulo equilátero de lado “s”, como se muestra la figura 2.28. 1 s

s s

1’’

1’

Figura 2.28: Haz de Tres Conductores por Fase Si en (2.101) se reemplaza la expresión del RMGe según (2.47); es decir, 2

2 RMGe = n RMGnD12

⋅ ⋅ ⋅ D12n ⋅ ⋅ ⋅ D (2n−1)n y considerando, según la figura 2.28 que: D11’ = D11’’ = D1’1’’ = s

El RMGe, en particular, resulta igual a:

X Cn

=

10 −9 4π 2

ε 0 f

Ln

DMG e 3

XCn = Con:

r s 2 1 3

=

RMGe =

9

r 3 s 6

10 −9

= 3 r s 2 ; por tanto,

1 1 2  Ln - Ln s + Ln DMG e  [MΩ km]  r 3 4π 2 ε 0 f  3 

(2.108)

 

(2.109)

X' a +  X' d −

2 3

 [MΩ km] 

X' s 

71 X’a =

10 −9 4π

ε 0 f

4π 2

10 -9 4π 2

Ln

10 -9

X’s = X’d =

2

ε 0 f

ε 0 f

1 r

[MΩ km]

Ln s [MΩ km]

(2.110)

Ln DMG e [MΩ km]

- Cuatro Conductores por Fase: En este caso los conductores están en el vértice de un cuadrado de lado “s”, como se indica en la figura siguiente:

D11’ = D1’1’’ = D1’’1’’’ = D1’’’1 = s

1’

s

1

s

s 2

s

2

D11’’ = D1’1’’’ = s

1’’’

s

1’’

Figura 2.29: Haz de Cuatro Conductores Reemplazando en (2.47), se tiene; RMGe =

16

r 4 s 8

(

2 s

)

4

= 4 r s 3 2

Introduciendo esta relación en (2.101) DMG e 10 −9 10 −9  1 1 = XCn = Ln Ln + Ln DMG e  2 2 4 r 4π ε 0 f r s 3 2 4π ε 0 f  4 X Cn

=

1 4

 

X' a +  X' d -

3 4

 

X' s - 0,00496  [MΩ km]

3 1  − Ln s - Ln 2  [MΩ km] 4 4  (2.111)

Con: X’a = X’d =

10 −9 4π

2

10 −9 4π 2 X’s =

0,00496 =

ε 0 f

ε 0 f

[MΩ km]

Ln s

[MΩ km]

Ln 2

[MΩ km]

ε 0 f

ε 0 f

[MΩ km]

(2.112)

−9

10 −9 4π 2

1 r

Ln DMG e

10 4π 2

Ln

En la página siguiente se muestra la tabla Nº 2.8, que incluye los valores calculados para X’d y X’s. Los valores de X’a se obtienen directamente de la tabla de características de los conductores en la columna, “componentes de conductor”

72

Tabla 2.8: COMPONENTE DE DISTANCIA X’d EN [M Metros 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

Metros 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0 20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0

0

1

2

3

---0,1318 -0,0921 -0,0689 -0,0525 -0,0397 -0,0292 -0,0204 -0,0128 -0,0060 0 0,0055 0,0104 0,0150 0,0193 0,0232 0,0269 0,0304 0,0336 0,0367

-0,2636 -0,1264 -0,0893 -0,0670 -0,0510 -0,0385 -0,0283 -0,0196 -0,0121 -0,0054 0,0006 0,0060 0,0109 0,0155 0,0197 0,0236 0,0273 0,0307 0,0340 0,0370

-0,2239 -0,1214 -0,0867 -0,0652 -0,0497 -0,0374 -0,0274 -0,0188 -0,0114 -0,0048 0,0011 0,0065 0,0114 0,0159 0,0201 0,0240 0,0276 0,0310 0,0343 0,0373

-0,2007 -0,1168 -0,0841 -0,0635 -0,0483 -0,0363 -0,0264 -0,0180 -0,0107 -0,0042 0,0017 0,0070 0,0119 0,0163 0,0205 0,0243 0,0280 0,0314 0,0346 0,0376

0

10

20

30

0 0,0397 0,0629 0,0794 0,0921 0,1026 0,1114 0,1190 0,1258 0,1318 0,1373 0,1422 0,1468 0,1511 0,1550 0,1587 0,1622 0,1655 0,1686 0,1715 0,1743 0,1769 0,1795 0,1819 0,1843

0,0055 0,0425 0,0648 0,0808 0,0933 0,1035 0,1122 0,1197 0,1264 0,1324 0,1378 0,1427 0,1473 0,1515 0,1554 0,1591 0,1625 0,1658 0,1689 0,1718 0,1746 0,1772 0,1797 0,1822 0,1845

0,0104 0,0451 0,0666 0,0821 0,0944 0,1044 0,1130 0,1204 0,1270 0,1329 0,1383 0,1432 0,1477 0,1519 0,1558 0,1594 0,1629 0,1661 0,1691 0,1721 0,1748 0,1775 0,1800 0,1824 0,1847

0,0150 0,0477 0,0683 0,0835 0,0955 0,1054 0,1138 0,1211 0,1277 0,1335 0,1388 0,1437 0,1481 0,1523 0,1562 0,1598 0,1632 0,1664 0,1694 0,1723 0,1751 0,1777 0,1802 0,1826 0,1849

km] PARA 50 cps.

Centímetros 4 5 -0,1843 -0,1125 -0,0817 -0,0618 -0,0470 -0,0353 -0,0255 -0,0172 -0,0100 -0,0035 0,0022 0,0075 0,0123 0,0168 0,0209 0,0247 0,0283 0,0317 0,0349 0,0379

-0,1715 -0,1086 -0,0794 -0,0601 -0,0457 -0,0342 -0,0247 -0,0165 -0,0093 -0,0029 0,0028 0,0080 0,0128 0,0172 0,0213 0,0251 0,0287 0,0320 0,0352 0,0382

Centímetros 40 50 0,0193 0,0501 0,0701 0,0848 0,0965 0,1063 0,1146 0,1218 0,1283 0,1341 0,1393 0,1441 0,1486 0,1527 0,1565 0,1601 0,1635 0,1667 0,1697 0,1726 0,1754 0,1780 0,1805 0,1829 0,1852

0,0232 0,0525 0,0717 0,0861 0,0976 0,1071 0,1153 0,1225 0,1289 0,1346 0,1398 0,1446 0,1490 0,1531 0,1569 0,1605 0,1638 0,1670 0,1700 0,1729 0,1756 0,1782 0,1807 0,1831 0,1854

6

7

8

-0,1610 -0,1049 -0,0771 -0,0585 -0,0445 -0,0332 -0,0238 -0,0157 -0,0086 -0,0023 0,0033 0,0085 0,0132 0,0176 0,0217 0,0255 0,0290 0,0324 0,0355 0,0385

-0,1522 -0,1014 -0,0750 -0,0569 -0,0432 -0,0322 -0,0229 -0,0150 -0,0080 -0,0017 0,0039 0,0090 0,0137 0,0180 0,0221 0,0258 0,0294 0,0327 0,0358 0,0388

-0,1446 -0,0982 -0,0729 -0,0554 -0,0420 -0,0312 -0,0221 -0,0142 -0,0073 -0,0012 0,0044 0,0095 0,0141 0,0184 0,0224 0,0262 0,0297 0,0330 0,0361 0,0391

60

70

0,0269 0,0547 0,0733 0,0874 0,0986 0,1080 0,1161 0,1232 0,1295 0,1351 0,1403 0,1450 0,1494 0,1535 0,1573 0,1608 0,1642 0,1673 0,1703 0,1732 0,1759 0,1785 0,1810 0,1833 0,1856

0,0304 0,0569 0,0749 0,0886 0,0996 0,1089 0,1168 0,1238 0,1301 0,1357 0,1408 0,1455 0,1498 0,1539 0,1576 0,1612 0,1645 0,1676 0,1706 0,1735 0,1762 0,1787 0,1812 0,1836 0,1858

80 0,0336 0,0589 0,0764 0,0898 0,1006 0,1097 0,1176 0,1245 0,1307 0,1362 0,1413 0,1459 0,1502 0,1543 0,1580 0,1615 0,1648 0,1679 0,1709 0,1737 0,1764 0,1790 0,1814 0,1838 0,1861

9 -0,1378 -0,0951 -0,0709 -0,0539 -0,0408 -0,0302 -0,0212 -0,0135 -0,0067 -0,0006 0,0049 0,0100 0,0146 0,0189 0,0228 0,0265 0,0300 0,0333 0,0364 0,0394

90 0,0367 0,0609 0,0779 0,0910 0,1016 0,1106 0,1183 0,1251 0,1312 0,1367 0,1418 0,1464 0,1507 0,1546 0,1584 0,1618 0,1651 0,1682 0,1712 0,1740 0,1767 0,1792 0,1817 0,1840 0,1863

73

2.5.2: Cálculo de Capacidades de Líneas Considerando el Efecto de Tierra: Se considera en el caso de líneas que operan en Extra Alta Tensión (EAT), ya que la separación entre conductores es comparable a la existente entre conductores y tierra. Para el análisis se harán las siguientes consideraciones: -

La superficie de la tierra se considera un plano equipotencial de potencial cero y extensión infinita. La carga en la superficie de cada conductor se supone uniformemente distribuida. Los conductores se suponen ubicados a una altura “h” constante sobre el plano de tierra, cilíndricos, paralelos entre sí y sus radios son mucho menores que las distancias entre conductores.

Se empleará el método de imágenes, en que a cada conductor le corresponde un conductor imagen ubicado a la misma distancia que el conductor real bajo el plano de tierra. Las cargas de los conductores imágenes son de igual magnitud y signo distinto que la de los conductores reales. Es decir: q’k = - q k Así el cálculo del potencial en un punto “p” respecto a tierra, debido a la presencia de “n” conductores cargados, se transforma en un problema de “2n” conductores (los “n” conductores reales y sus “n” imágenes). q2 q1 1

2

D12

D2

Dn

p

D1

n qn

Dk

k qk

D12’

H1

D21’

D1’ D22’ V=0

D11’

D2’

Dk’

H1

k’ 1’

q’1 2’

q’2

q’k

Dn’ n’ q’n

Figura 2.30 Línea de “n” Conductores y sus Imágenes Respectivas. Bajo las condiciones estipuladas precedentemente, se cumple entonces que: n

∑ (qk + q' k ) = 0

k =1

Según (2.85), el potencial en el punto “p” será:

(2.113)

74 vp =



1

2π ε 0 k =1 

k

1

n

∑ qk Ln D

+ q' k Ln

1 Dk'

  

(2.114)

2.5.2.1: Línea Monofásica: Este caso, se considerará como una situación particular del caso general. En efecto, si se hace en (2.114), n = 2 y de acuerdo con la figura 2.30, se tiene:

   q1 Ln 1 + q 2 Ln 1 + q'1 Ln 1 + q' 2 Ln 1  2π ε 0  D1 D2 D1' D 2'  D  1   q1 Ln D1' + q 2 Ln 2'  vp = 2π ε 0  D1 D 2  vp =

1

Trasladando el punto “p”, sucesivamente a la superficie de los conductores 1 y 2, se tiene: D    q1 Ln 2H1 + q 2 Ln 12'  2π ε 0  r 1 D12  2H  1   q1 Ln D12' + q 2 Ln 2  v2 = 2π ε 0  D12 r 2  v1 =

1

Considerando que q1 = -q2 y que D12 = D12’ (diagonales de un cuadrilátero simétrico), se tiene:

v1 – v2 =

2 2D12 H1H 2  2H1D12 D12' r 2  q1 4H1H 2D12 q1 Ln Ln Ln Ln = =   2 π ε0 2π ε 0  r 1 D12' 2 D12 H 2  2π ε 0 r 1 r 2D12 D12' r 1 r 2 '

q1

Por tanto; la capacidad total de la línea será: C=

q1 v1

− v2

π ε 0 ∗ 10 9

=

2 D 12 H1 H 2

Ln

[µF/km ]

(2.115)

D12' r 1 r 2

Si en particular r 1 = r 2 = r ; H1 = H2 = H y D12 = D; Se tiene C=

π ε 0 ∗ 10 9 2DH Ln D12' r

=

π ε 0 ∗ 10 9 Ln

2 DH r 4H 2

[µF/km]

(2.116)

+ D2

Nótese que si H >> D, esta expresión es igual a la línea monofásica sin considerar el efecto de tierra. En términos de capacidades parciales “C” corresponde a la combinación en paralelo de C12 y la rama serie C10 y C20. C12 1 2

C10

C20

C = C12 +

C10 C 20 C10

+ C 20

75

Figura 2.31: Capacidades Parciales de la Línea Monofásica Análogamente al caso en que no se consideró el efecto de tierra: Cn = Ln

2π ε 0 ∗ 10 9 2DH

[µF/km/conductor ]

(2.117)

r 4 H 2 + D 2 A su vez, la reactancia capacitiva: XCn =

10 −9

Ln

2DH

[MΩ km/conductor ]

(2.118) r 4 H + D Considerando que la altura H no es constante, debido a la catenaria o parábola que describe el conductor entre las estructuras vecinas, se realiza la siguiente corrección empírica: 4π 2

ε 0 f

2

2

Hm = H – 0,7 F

(2.119)

Donde H: Altura del conductor sobre tierra en la torre F: Flecha del conductor

2.5.2.2: Línea Trifásica con Transposiciones: La figura siguiente muestra la distribución de los conductores. 2

3 1 H1

H1

H2

H3

H2

H3

1’ 3’

2’

Figura 2.32. Línea Trifásica Asimétrica Asumiendo que la línea está convenientemente transpuesta, se pueden hacer las siguientes consideraciones: La distancia D, se reemplaza por la DMG entre los conductores. La altura H, por la altura media geométrica HMG; considere la corrección empírica señalada en (2.119) En el caso que la línea esté formada por conductores fasciculados, se reemplaza r por RMG de los conductores que forman la fase. Así se tiene:

76 2π ε 0 ∗ 10 9 2 DMG HMG

Cn = Ln RMG

X Cn

=

10 −9 4π

2

ε 0 f

Ln

4 HMG 2

[µF/km/fase]

(2.120)

+ DMG 2

2 DMG HMG RMG 4 HMG 2

+ DMG 2

[MΩ km/fase]

(2.121)

En el caso de la figura anterior: HMG = DMG = RMG = r

3

H1H 2H 3

3

[m]

D12D13 D 23

[m]

(para el caso de un solo conductor por fase)

Dada la característica del término logarítmico, la variación de la capacidad es reducida y para líneas trifásicas aéreas la capacidad por fase, varía entre 0,008 [µF/Km/Fase] y 0,009 [ µF/Km/fase].

2.6. PROBLEMAS PROPUESTOS. 2

2.1.

Determinar el área, en [ mm ], para los siguientes conductores: a) Nº 2 AWG, de 66,37 MCM, 7 hebras b) Nº 4 AWG, de 211,6 MCM, 12 hebras, 3 capas c) 250 MCM, 19 hebras

2.2.

Determine al radio de cada hebra de los mismos conductores del problema Nº 2.1

2.3.

Un conductor de aluminio está compuesto por 37 hilos, cada uno de los cuales tiene un diámetro de 0,333 cm. Calcular la resistencia óhmica en [Ω/km], a 75 ºC.

2.4.

El conductor Marigold, de 61 hebras, 1.113 MCM, tiene una resistencia óhmica de 0,0513 [Ω/km] a 25 ºC y una resistencia efectiva de 0,0578 [ Ω/km] a 50 ºC. Verificar el valor de la resistencia óhmica dada por la tabla y calcular el valor del coeficiente de efecto superficial K = Ref/R

2.5.

Los datos de un cierto conductor de aluminio son ρ = 0,02828 [Ω/mm /m] a 20 ºC; α0 = 0,00438 (ºC)-1; coeficiente de efecto superficial K = 1,1; diámetro, 15 [mm]. Calcular las resistencia óhmica y efectiva a 50 ºC en [ Ω/km].

2.6.

Verifique que el valor de la resistencia óhmica para el conductor ACSR de 500 MCM, 30/7, Heron, 2 . es de 0,1162 [Ω/km]. Determine su diámetro y la sección en [mm ] Calcule además el diámetro de cada una de las hebras, asumiendo q ue tanto las de aluminio como las de acero son idénticas.

2.7.

Un cable ACSR, tiene una resistencia efectiva de 0,66 [Ω/km] a 50 ºC. Se desea reemplazar la línea construida con este cable, por otra formada por dos conductores de cobre estirado en frío, ambos de igual sección y conectados en paralelo. Calcular la sección de cada conductor de cobre, de modo que la línea tenga la misma resistencia, en [Ω/km], que la original. Los valores medidos, 2 -1 para el cobre, ambos a 20 ºC, son: ρ = 0,01772 [Ω/mm /m] y α = 0,00382 (ºC) .

2.8.

Calcular el RMG de los conductores que se muestran en la fig. siguiente, en función del radio “r” de cada una de las hebras, que es igual para todas ellas.

2

a)

b)

c) r

r

r

77 2.9.

El RMG de un conductor de 3 hebras iguales que se muestra en la figura siguiente, es de 0,05 [m]. Determinar el radio de cada uno de los hilos.

r

2.10. Una línea monofásica opera a 50 cps. y tiene una separación de tres metros entre conductores. El conductor y su retorno son de aluminio con σ = 62 %, macizos y su diámetro es de 0,412 [mm]. Calcular el valor de la inductancia y reactancia inductiva de la línea por conductor y total. 2.11. Una línea trifásica de disposición horizontal está compuesta por conductores de material no magnético, de tres hebras, con una separación entre las fases Dab = Dbc = 3,5 [m]. El radio de cada hilo es de 3 [mm]. Calcular el RMG y determinar la inductancia y reactancia inductiva por fase de la línea. 1

2.12. Una línea monofásica tiene las siguientes características: Conductor de fase, formado por dos cables, retorno, por uno sólo, todos de aluminio y de iguales características (σ = 62 %, 266,8 MCM 7 hebras). Calcular la reactancia inductiva, en [Ω/km], de la línea, cuya configuración se muestra en la figura. Las distancias están expresadas en metros y el gráfico no está dibujado a escala.

1 1’

3,0 1,0 2

2.13. Una línea monofásica, tiene la disposición mostrada en la figura. La fase está formada por 3 conductores de 2 [mm] de diámetro y el retorno, por dos conductores de 4 [mm] de diámetro cada uno. Calcular la inductancia de la línea en [H/km]. Las distancias están expresadas en metros y todos los conductores son macizos.

5 F a s e

2

2

Retorno

2

2.14. Una línea trifásica de disposición equilátera, tiene una separación entre conductores de 2 metros entre ellos. Se ha decidido rediseñar la línea, empleando el mismo conductor, pero con disposición horizontal, tal que D13 = 2D12 = 2d23. ¿Cuál deberá ser la separación entre conductores adyacentes, para tener la misma inductancia que en el diseño original? 2.15. Una línea trifásica en simple circuito, convenientemente transpuesta, tiene la configuración mostrada en la figura y está operando a 50 cps. El diámetro de cada uno de los conductores, que son macizos, es de 5,83 [mm]. Evaluar la inductancia y reactancia inductiva por fase de la línea. Las distancias están expresadas en metros.

a 2

2 b

c

5

2.16. Determinar la reactancia inductiva de la línea en doble circuito, que opera a 50 cps. cuya disposición se muestra en la figura. La línea está convenientemente transpuesta y el conductor es de cobre 250 MCM y 12 hebras. a a’ 5,0 m 3,0 m

b

b’

7,5 m

4,5 m c

5,0 m

c’

78

2.17. Calcular la reactancia inductiva en [Ω/km/fase] y [Ω/m/fase] de la línea, en doble circuito, que opera a 50 cps, con la disposición mostrada en la figura y que está formada por conductor ACSR Ostrich.

a

b

c 1,8 m

1,8 m

18m

c’

b’

a’

1,8 m

1,8 m

2.18. Una línea trifásica en doble circuito es simétrica con respecto a la vertical y está construida con conductor Drake. La línea está convenientemente transpuesta y tiene la disposición que muestra la figura. Calcular la reactancia inductiva, si la línea opera a 50 Hz. a

a’

6m

3m b

b’

3m c

c’

2.19. Calcular la reactancia inductiva de la línea con conductores fasciculados que se muestra en la figura. Los subconductores son ACSR 27/6 de 795 MCM. Las distancias están medidas en metros.

1

1’

1

0,1

2 2

4

2’ 2

3

3’

3

2.20. La línea de la figura está construida con 3 conductores por fase que forman un triángulo equilátero entre sí, con separación de 45 cm entre sub conductores. La línea está operando a 440 kV, 50 cps y está formada por conductores de Al σ = 62 %, 795 MCM, 37 hebras. Calcular L y X L. Verifique además que el radio de un sub conductor es de 13,1 mm. Fase a

12 m

8m

Fase b

9m Fase c

Capitulo_2

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