MOISES VILLENA
3 3.1 SUPERFICIES CILINDRICAS 3.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN 3.3 CUADRICAS 3.4 COORDENADAS CILÍNDRICA. 3.5 COORDENADAS ESFÉRICAS.
Se persigue que el estudiante: • Grafique Superficies Cilíndricas, de Revolución y Cuádricas.
1
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Este capítulo está dedicado a conocer ciertos lugares geométricos de 3
R .
3.1 SUPERFICIES CILINDRICAS. Sea C una curva de un plano π y sea l una recta no paralela a π . Se define Superficie Cilíndrica al conjunto de puntos que perteneces a rectas paralelas a l y que intersecan a C .
A C se la denomina Curva Generatriz (o Directriz) y a l se la denomina Recta Generatriz. Las superficies Cilíndricas que trataremos aquí serán aquellas que tienen la Curva Generatriz perteneciente a los planos coordenados y Rectas Generatrices Paralelas a los ejes coordenados. Es decir, si tienen una de la forma siguiente: f ( x, y ) = 0 Curva Generatriz perteneciente al plano xy ,
Rectas Generatrices paralelas al eje z. f ( x, z ) = 0 Curva Generatriz perteneciente al plano xz ,
Rectas Generatrices paralelas al eje y. f ( y , z ) = 0 Curva Generatriz perteneciente al plano yz ,
Rectas Generatrices paralelas al eje x.
Graficar y − x 2 = 0 SOLUCIÓN. Se dibuja primero la curva y = x 2 en el plano xy y luego se trazan rectas paralelas al eje z siguiendo esta curva. z
y = x 2
x
2
y
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Graficar z − ln y = 0 SOLUCIÓN. Se dibuja primero la curva z = ln y en el plano zy y luego se trazan rectas paralelas al eje x siguiendo esta curva. z
z = ln y
y
x
Graficar z − seny = 0 SOLUCIÓN.
Se dibuja primero la curva z = seny en el plano zy y luego se trazan trazan rectas paralelas al eje x siguiendo esta curva.
3
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Graficar z 2 + x 2 = 4 SOLUCIÓN. Se dibuja primero la curva z 2 + x 2 = 4 en el plano zx y luego se trazan rectas paralelas al eje y siguiendo esta curva. z
z 2
+
x2
=
4
y
1.
Bosqueje la superficie cilíndrica cuya ecuación se indica. a)
4 z
b)
z
c)
2
− y2 = 4
= sen y
y
2
d) x 2
= y 3
e) y = z
f) z − e y = 0 g) y 2 + z 2
=9
+z=4
3.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Las Superficies de Revolución que trataremos aquí son aquellas que se generan al girar 360º una curva perteneciente a uno de los planos coordenados alrededor de uno de los ejes coordenados. Por ejemplo suponga que se tiene la curva z = f ( y ) (contenida en el plano ZY) y la hacemos girar 360º alrededor del eje y, entonces se forma una superficie de revolución, observe la figura:
4
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z
r r y
x
La ecuación de la superficie de revolución se la deduce de la siguiente manera La sección transversal es circular, por tanto: r =
(0 − 0) + ( y − y ) + ( f ( y ) − 0) = f ( y ) 2
2
2
Como también se observa que: r =
( x − 0) + ( y − y ) + ( z − 0) = 2
2
2
x
2
+z
2
Entonces, igualando resulta:
x
2
+ z = [ f ( y )] 2
2
ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN CON CURVA GENERATRIZ x = f ( y ) (EN EL PLANO xy ) O TAMBIÉN z = f ( y ) (EN EL PLANO zy ), GIRADA ALREDEDOR DEL EJE “ y ”.
A, x 2 + z 2 se le llama Binomio de Circularidad. En cambio, si la curva generatriz anterior la hacemos girar alrededor del eje z, obtendríamos otra superficie de revolución, observe la figura:
5
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z
r
(0,0, z )
r
(0, f ( z ), z ) ( x, y, z )
y = f ( z )
y
x
Aquí en cambio: r =
(0 − 0 ) + ( f ( z ) − 0) + ( z − z ) = f ( z ) 2
2
2
Y también r =
( x − 0) + ( y − 0) + ( z − z ) = 2
2
2
x
2
+y
2
Entonces, igualando resulta:
x
2
+ y = [ f ( z )] 2
2
ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN CON CURVA GENERATRIZ x = f ( z ) (EN EL PLANO xz ) O TAMBIÉN y = f ( z ) (EN EL PLANO zy ), GIRADA ALREDEDOR DEL EJE “ z ”.
El Binomio de Circularidad seria 2 x + y . 2
QUÉ?
La curva curva ante anterio riorr no puede puede ser ser girad giradaa alrede alrededor dor del del eje eje “ x ”. ¿POR ¿POR
La ecuación de una superficie de revolución con curva generatriz y = f ( x) (en el plano xy ) o z = f ( x) (en el plano zx ) girada alrededor del eje “ x ”, sería: 2 y 2 + z 2 = [ f ( x)] ¡DEDUZCALA!
6
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Encontrar la ecuación de la superfic ie de revolución qu e se generar generar al girar y alrededor del eje y . SOLUCIÓN.
= x
Primero grafiquemos la curva generatriz en el plano xy y formemos la superficie de revolución.
z
y
y = x
Curva Generatriz x
Como el eje de rotación rotación es el eje y , el binomio binomio de circulari circularidad dad será: x 2 + z 2 .
= [ f ( y )]2 , donde f ( y ) es la ecuación de la curva generatriz; que en este caso seria: f ( y ) = y
Por tanto, la ecuación de esta superficie será de la forma: x 2 + z 2 Por tanto, la ecuación ecuación de la superficie superficie sería: sería: x 2 + z 2
= y 2
Identificar y graficar la superficie que tiene por ecuación 9 x 2 − z 2 + 9 y 2 = 0 . SOLUCIÓN. Primero identifiquemos el binomio de circularidad y la ecuación de la curva generatriz
− z 2 + 9 y 2 = 0 2 2 2 9( x + y ) = z 9 x
x
2
2
⎡ z ⎤ + y 2 = ⎢ ⎥ ⎣3⎦
2
Por tanto de acuerdo a la forma de la última ecuación se concluye que se trata de una superficie de revolución con curva generatriz x =
z 3
o también y =
z 3
, girada
alrededor del eje z ( la variable que no aparece en el binomio de circularidad).
7
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z
y =
z 3
y
x
1.
Halle una ecuación de la superficie de revolución que se genera al girar la curva plana dada, alrededor del eje dado. Grafique.
+ 4 z 2 = 16 , alrededor del eje x . = sen x , alrededor del eje x. 2 c) x = 4 y , alrededor del eje y . d) xy = 1 , alrededor del eje x . 2 e) z = 6 x , alrededor del eje x . x f) z = e , alrededor del eje x . a) x b) y
2.
2
Encuentre el eje y la curva generatriz de cada una de dichas superficies de revolución. Realice el gráfico correspondiente. a) x 2 + z 2
− 2y = 0 b) x 2 + z 2 = y c) y 2 + z 2
= e 2 x d) x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 = 36
8
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3.3 SUPERFICIES CUADRICAS. Las Superficies Cuádricas o simplemente Cuádricas con eje central paralelo a los ejes coordenados, coordenados, tienen por ecuación: ecuación:
Ax
2
+ By + Cz + Dx + Ey + Fz + G = 0 2
2
Si la llevamos a la forma canónica, completando cuadrado, tendremos los siguientes lugares geométricos.
3.3.1 ESFERA.
La ecuación canónica de la esfera es de la forma:
( x − h ) + ( y − k ) + ( z − l ) = r con r > 0 Donde, su centro es C (h, k , l ) y su radio es r 2
La ecuación esfera de centro
2
2
2
2
( x − 3)2 + ( y − 2)2 + (z − 1) 2 = 9 , tiene como lugar geométrico una C (3,2,1) y radio r = 3 z
r = 3 C (3,2,1)
y
2
Analice el lugar geométrico, si r
< 0 y si r = 0 2
9
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3.3.2 ELIPSOIDE
La ecuación canónica de un elipsoide es de la forma:
( x − h )
( y − k )
2
2
2
+
a Donde, su centro es C (h, k , l )
La ecuación
x
2
4
+
y
2
9
+
z
b
2
+
2
( z − l ) c
=1
2
2
= 1 representa un elipsoide con centro el origen.
1
Su traza (intersección) con el plano xy , se obtiene haciendo z = 0 , Entonces, resulta
x
2
4
+
y
2
= 1 , la ecuación de una elipse.
9
Además todas las secciones transversales son elipses. ¿Por qué? z
x
2
4
+
y
2
9
+
z
2
1
=1
3 x
2
4
2
+
y
y
2
9
=
1
x
3.3.3 HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
Un hiperboloide de una hoja con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación:
( x − h ) a Suponga que
10
2
2
+
( y − k ) b
2
2
−
( z − l ) c
2
=1
2
h = 0 , k = 0 , l = 0 , se tiene
x 2 a
2
+
y 2 b
2
−
z 2 c
2
=
1.
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Si z
= 0 (Traza xy )
x
2
2
+
y
2
2
= 1(Elipses)
a b Y todas sus secciones transversales paralelas al plano xy serán elipses. ¿Por qué? 2 2 x z Si y = 0 ( Traza zx ) 2 − 2 = 1 (hipérbolas) a c Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zx serán hipérbolas. ¿Por qué? 2 2 y z Si x = 0 (Traza zy ) 2 − 2 = 1 (hipérbolas) b c Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zy serán hipérbolas. ¿Por qué? z
x 2 a2
b
+
y 2 b2
−
z 2 c2
=1
y
a
x
PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de:
x
2
a
2
z
2
c
2
2
+
z c
2
2
+
y b
2
2
−
y b
2
2
−
x a
2
=1 =1
11
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3.3.4 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Un hiperboloide de dos hojas con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación: ( x − h )2 ( y − k )2 ( z − l )2 + − 2 = −1 2 2 a b c 2 2 2 x y z Suponga que h = 0 , k = 0 , l = 0 , se tiene 2 + 2 − 2 = −1 . a b c 2 2 x y Si z = 0 (Traza xy ) 2 + 2 = −1 (No tenemos lugar Geométrico) a b
x
2
y
2
= c , tenemos + = 0 (punto) a b Si z > c 0 z < − c tenemos elipses. ¿Por qué? Si z
2
x
2
2
z
2
− 2 = −1 (hipérbolas) 2 a c Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zx serán hipérbolas. ¿Por qué? 2 2 y z Si x = 0 (Traza zy ) 2 − 2 = −1 (hipérbolas) b c Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zy serán hipérbolas. ¿Por qué? Si y = 0 (Traza zx )
z
x 2 a2
+
y 2 b2
−
z 2 c2
1
= −
y
x
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PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de:
x
2
a
2
z
2
c
2
2
+
z c
2
2
+
y b
2
2
−
y b
2
2
−
x a
2
= −1 = −1
3.3.5 DOBLE CONO
Un Doble Cono con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación:
( x − h )
2
a
2
( y − k )
2
+
b
2
Suponga que h = 0 , k = 0 , l Si z
= 0 (Traza xy )
x
2
2
+
y
( z − l )
2
−
c
=0
2
= 0 , se tiene
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0.
2
2
= 0 (un punto)
a b Si z ≠ 0 tenemos elipses. 2 2 x z Si y = 0 ( Traza zx ) 2 − 2 = 0 (dos rectas) a c Si y ≠ 0 tenemos hipérbolas 2 2 y z Si x = 0 (Traza zy ) 2 − 2 = 0 (dos rectas) b c Si x ≠ 0 tenemos hipérbolas
z
y
x
13
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PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de:
x
2
a
2
z
2
c
2
2
+
z c
2
2
+
y b
2
2
−
y b
2
2
−
x a
2
=0 =0
3.3.6 PARABOLOIDE ELIPTICO
Un Paraboloide Elíptico con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación: ( x − h )2 ( y − k )2 + ± ( z − l ) = 0 2 2 a b 2 2 x y Suponga que h = 0 , k = 0 , l = 0 , grafiquemos: z = 2 + 2 a b 2 2 x y Si z = 0 (Traza xy ) 2 + 2 = 0 (un punto) a b Si z > 0 , tenemos elipses. (Con a = b tenemos circunferencias, en cuyo caso se lo denomina Paraboloide Circular). Si z < 0 , no tenemos lugar geométrico. 2 x Si y = 0 (Traza zx ) tenemos z = 2 (parábolas) a Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zx serán parábolas. ¿Por qué? 2 y Si x = 0 (Traza zy ) tenemos z = 2 (parábolas) b Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zy serán z parábolas. ¿Por qué?
y
x
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− z =
PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de:
z − l
x
2
a
2
= 2
x =
z a
2
2
y =
x a
2
+
x
2
a
2
y
2
b
2
+ 2
+
y b
2
2
+
z b
2
y
2
b
2
3.3.7 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
Un Paraboloide Hiperbólico con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación: ( x − h )2 ( y − k )2 − ± ( z − l ) = 0 2 2 a b Grafiquemos z Si z
=
y
2
b
2
−
x
2
a
2
.
= 0 (Traza xy ) tenemos
y
2
2
−
x
2
2
= 0 (2 rectas)
b a Si z > 0 o z < 0 tenemos hipérbolas. 2 x Si y = 0 (Traza zx ) tenemos z = − 2 (parábolas) a Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zx serán parábolas. ¿Por qué? 2 y Si x = 0 (Traza zy ) tenemos z = 2 (parábolas) b Y todas sus secciones transversales paralelas al plano zy serán parábolas. ¿Por qué?
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z
y
x
z =
PREGUNTA: ¿Cómo serían las gráficas de:
x
2
a
2
z − l
= 2
x =
z a
2
2
y =
x a
2
−
y
2
b
2
x
2
a
2
+ 2
−
y b
2
2
−
z b
2
y
2
b
2
Grafica el lugar geométrico cuya ecuación es: 4 x 2 − 3 y 2 + 12 z 2 + 12 = 0 SOLUCIÓN: Transformemos la ecuación dada a una de las formas descritas anteriormente: Despejando las variables: 2 2 2 4 x − 3 y + 12 z = −12 Dividendo para 12 y simplificando: 4 x
2
12
x
2
3
16
−
−
3 y
2
12
y
2
4
+
+ z
12 z
2
1
2
12
= −1
=−
12 12
MOISES VILLENA De acuerdo a la forma de la última ecuación, se concluye que representa un como eje de simetría simetría (el término término negati negativo vo lo PARABOLOIDE DE DOS HOJAS, con el eje y como indica )
z
x 2 3
−
2
+
z
2
2
−
y 2 4
= −1
y
x
Diga el nombre de las superficies cuádricas cuyas ecuaciones se dan a continuación. Haga la gráfica en cada caso. a) b) c) d) e) f)
+ 36 y 2 + 9 z 2 − 1 = 0 4 x 2 − y 2 + 4 z 2 − 4 = 0 2 2 2 144 x + 16 y − 9 z − 144 = 0 2 2 36 x + 4 y + 9 z = 0 2 2 2 9 x + 36 y − 4 z + 36 = 0 x 2 − 4 y 2 + 4 z 2 − 4 = 0 4 x 2
+ 225 y 2 − 36 z 2 = 0 h) 16 x 2 − 25 y 2 + 400z = 0 i) x 2 − z 2 + y = 0 j) 400 x 2 + 25 y 2 + 16 z 2 − 400 = 0 k) x 2 + 4 z 2 − 8 y = 0 l) 225 x 2 − 100 y 2 + 144 z 2 = 0 g) 100 x 2
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3.4 COORDENADAS CILÍNDRICA. Un punto P en Coordenadas Cilíndricas está denotado como ( r ,θ , z ) donde r y θ son las Coordenadas Polares.
z
P(r ,θ , z ) •
r
θ
x
y
y
Entonces las transformaciones serían:
⎧r = x + y ⎪ ⎨θ = arctan ( ) ⎪ z = z ⎩
⎧ x = r cos θ ⎪ ⎨ y = rsenθ ⎪ z = z ⎩
2
2
y x
El cilindro que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares x 2 + y 2 = 9 , su ecuación en coordenadas cilíndricas será r = 3
z
x 2
+
y2
=
9
r = 3
y
x
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El plano que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares y = x , su ecuación en coordenadas cilíndricas será θ =
π 4
z
θ =
π 4
y
y = x x
El Doble Cono Circular que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares z2 = x2 + y2 , su ecuación en coordenadas cilíndricas será z = r
z
z
=
r y
z 2
=
x 2
+
y 2
x
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El Paraboloide Circular que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares z = x2 + y2 , su ecuación en coordenadas cilíndricas será z = r 2 z
z
=
2
r
z
=
x 2
+
y 2 y
x
3.5 COORDENADAS ESFÉRICAS. 3
Un punto de , puede ser denotado también como un vector que inicia en el origen con: • Magnitud ρ , • Angulo θ , que forma su proyección r en el plano xy con respecto a la dirección positiva del eje x , y • Angulo φ con respecto a la dirección positiva del eje z z
r z
P( ρ ,θ , φ )
φ
•
0 ≤ ρ < ∞
ρ z y
x
θ y
x
20
r
=
x2
+
y2
0 ≤θ
≤ 2π 0 ≤ φ ≤ π
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Observe que:
⎧ ⎪ ⎪ ρ = x2 + y2 + z2 ⎪ y ⎪ θ = arctg ⎨ x ⎪ ⎪ ⎛ z ⎪φ = arc cos ⎜ ⎜ x2 + y2 + ⎪⎩ ⎝
2
z
⎧ x= ρ senφ cos θ ⎪ y ⎨ = ρ senφ cos θ ⎪ z = ρ cos φ ⎩
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
La Esfera que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares x2 + y2 + z2 = 9 , su ecuación en coordenadas esféricas será ρ = 3 z
ρ = 3
y
x
El Cono que tiene por ecuación en coordenadas rectangulares z = ecuación en coordenadas esféricas será φ =
x2
+
y2 , su
π 4
z
φ =
π 4 y
x
21
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Identificar y graficar la superficie que tiene por ecuación ρ = 3cos φ . SOLUCIÓN: Utilizando las ecuaciones de trasformación:
= 3cos φ
ρ
ρ = 3
z
ρ
x
= 3 z + y2 +
x2
+
2
ρ
2
z2
=3z 2
+ ( z− 32 ) =
y2
9 4
De la última ecuación se concluye que es una esfera de centro ( 0,0, 32 ) y radio
3 2
z
ρ r =
=
3cos φ
3 2
( 0,0, 32•)
y
x
Halle una ecuación en coordenadas rectangulares y dibuje las siguientes superficies. f) ρ = 4 sec φ
a) r = 2 2
2
k) r = z
2
= z c) θ = π
g) r = 5 − x
l) r = 2 cos θ
h) r = 2 senθ
m)
φ = π4 e) ρ = 5
= r 2 sen 2 θ j) ρ = 4 cos φ
n) r 2 + z 2
b) r
4
d)
i) z
ρ2 + x = 2
=4 o) ρ = 4 csc φ sec θ p) r 2 cos 2 θ − sen 2 θ q) ρ = csc φ
22
)+ z
2
=1
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1. Identifique Y GRAFIQUE las siguientes superficies.
= x 2 + 4 y 2 − 2 x + 8 y + 4 z
+ 4 y 2 − z 2 = 0
a)
z 2
b)
9 z
2
− 2 x 2 − 3 y − 3 x + 5 = 0
l) z 2 y 2
c)
5 x
2
− y 2 − z 2 − 2 x + 2 z + 3 y = 0
m) x 2
= y 2 − z 2
d)
− 3 x 2 + 2 y 2 − 3 x + 2 y + z 2 = 0
n) 5 x 2
− 3 y 2 + z 2 = 4
e)
x
f)
2 x
g)
− 3 x 2 + 2 y 2 + 2 y − 3 x + z = 0
h)
3 x
2
i)
9 y
2
j)
16 x
2
k) x 2
+ 5 y 2 − 2 x + 10 y = z 2 2
o) y
+ 3 y 2 − y − 2 = 0
2
+ z 2 x 2 = 4
= ln z
p) x 2
+ y 2 − z 2 = 0
q) z 2
= sen y + 5
+ 2 y 2 + z 2 − 6 x − 8 y + 2 z + 17 = 0
r) 2 x
= ln z 2 + y 2 )
− 4 z 2 + 18 x 2 = 0
s) x 2
+ y − 2 z = 0
2
− 9 y 2 − z 2 = 146
2. Encuentre la ecuación general de la esfera que es tangente al plano x − 8 y + 4 z + 4 = 0 y que tiene el mismo centro que
x
2
+ y 2 + z 2 − 12 x − 4 y − 6 z + 33 = 0 . Resp. ( x − 6)2 + ( y − 2 )2 + (z − 3)2 = 49
3. Hallar la menor distancia que hay entre el plano x + 2 y + 2 z
= 20 , y la esfera esfera que que
tiene por ecuación x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z + 13 = 0
Resp. d = 2 4. Dibújese la región limitada por las gráficas de las ecuaciones. a)
=2
z
x
2
+ y 2 ,
z
=2
= 4 − x 2 , y = 4 − x 2 , x = 0, c) x 2 + y 2 = 1, x + z = 2, z = 0
b)
z
d)
x
2
e)
z
=
4 − x
f)
z
=
x
+ y 2 + z 2 = 4,
2
2
z
− y 2 ,
+ y 2 ,
z
y
=
x
2
= 2 z,
+ y 2 , z
y
z
= 0,
z
=0
=0
=0
= 4 − x 2 − y 2
5. Encuentre las coordenadas de los focos de la elipse que resulta de la intersección de z
=
x 2 4
+
y 2 9
con z = 4 .
Resp.
(0, 2
5 ,4
y
(0,−2
5 ,4
6. Encuentre las coordenadas del foco de la parábola que resulta de la intersección de z
=
x 2 4
+
y 2 9
con x = 4 .
Resp.
(4,0, ) 25 4
7. Pruebe que la proyección en el plano xz de la curva curva que es la intersección de las superficies superfici es y = 4 − x 2 , y mayor y menor.
y
= x 2 + z 2 es una elipse elipse y encuentre encuentre sus diámetr diámetros os
8. Dibuje el triángulo en el plano y
= x que está arriba del plano z =
plano z = 2 y , y dentro del cilindro cilindro x 2
y 2
, debajo del
+ y 2 = 8 . Después Después encuentr encuentre e el área de este
triángulo.
23
MOISES VILLENA Resp. A = 3
2
9. Encontrar Encontrar los valores de k para los cuales la intersección intersección del plano x + ky hiperboloide elípti elíptico co de dos hojas y 2 − x 2 − z 2 = 1 es: a) Una elipse b) Una hipérbola Resp. a) k ∈ − 2 ,−1 ∪ 1, 2
(
) (
)
10. Demostrar que la intersección del paraboloide hiperbólico z
b) y
2
b
2
−
x
2
a
2
= 1 y el
k ∈ (−1,1)
=
z c
y el plano
= bx + ay consiste de dos líneas rectas que se interceptan.
11. Sean P, Q los puntos de intersección intersección del paraboloide paraboloide hiperbólico hiperbólico y 2 − x 2 con la recta
x − 2 1
=
y − 1 2
=
z −3 3
, hallar la proyección del vector PQ sobre el
vector V = −î + jˆ + k ˆ
Resp.
⎯ ⎯→ Pr oy → PQ V
24
=z
= (− 4,4,4 )
