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Capítulo 7 con ejercicios y soluciones.doc
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Capítulo 7 con ejercicios y soluciones.doc
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Maria Bustamante
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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
Capítu!o 7 Distribuciones muestrales EJERCICIOS RESUELTOS RESUELTOS DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES
1. Solución: µ
= 72,1
Z
=
x
σ
− µ =
σ
n
= ),1
n
71,7 − 72,1 ),1 (&
Z
= − 1,22 → A( &,)+++)
P
=
&,-&&&
−
&,)+++
=
= (&
P ( x < 71,7)
='
= − &,* ( (,*() = − 1,22
&,1112
),1
= 11,12 P ( x <
71,7 )
= 11,12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
2. Solución µ
= -(.)2&
Z
=
Z
=
σ
= 1+.&&&
&.&&& − -(.)2& 1+.&&& *&& &,7
=
n
= *&&
+& ( 2&) 1+.&&&
P ( x > &.&&& )
='
= &,7
→ A( &,27*)
P = &,-&&&
−
&,27*
=
&,22)
P ( x
>
&.&&&)
=
22,
3. Solución: µ
Z
= +*.-&&
=
σ
= 1-.&&&
+-7.-&& − +*.-&& 1-.&&&
=
n
= 2-
− 7.&& & ( -) 1-.&&&
=
P ( x < +-7.-&& )
− -.&&& 1-.&&&
='
= − 2,
2 Z
= − 2. →
A ( &,*&1)
2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
2. Solución µ
= -(.)2&
Z
=
Z
=
σ
= 1+.&&&
&.&&& − -(.)2& 1+.&&& *&& &,7
=
n
= *&&
+& ( 2&) 1+.&&&
P ( x > &.&&& )
='
= &,7
→ A( &,27*)
P = &,-&&&
−
&,27*
=
&,22)
P ( x
>
&.&&&)
=
22,
3. Solución: µ
Z
= +*.-&&
=
σ
= 1-.&&&
+-7.-&& − +*.-&& 1-.&&&
=
n
= 2-
− 7.&& & ( -) 1-.&&&
=
P ( x < +-7.-&& )
− -.&&& 1-.&&&
='
= − 2,
2 Z
= − 2. →
A ( &,*&1)
2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
=
P
−
&,-&&&
&, *(&1
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
&,&&((
P ( x
<
+-7.-&& )
=
&,
4. Solución: µ
= 17,*2
Z
σ
17,*2 − 17
1+ 1+
=
= 2,-+
2,-+
=
n
&,-+ ( -) 2,-+
= 2-
=
P ( x ≥ 1+)
2,& 2,-+
='
= 1,12
2 Z
= 1,12 →
P
=
&,-&&&
A ( &,)+)
−
&,)+
=
&,1)1* P ( x ≥ 1+)
= 1,1*
5. Solución: n1
= )
2
σ
n
n1 =
=
σ
n
2 )
σ =
σ
n
σ
=
σ
n
n
=
(
+1
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
6. Solución: σ
K
n1
σ
=
K
n2
=
n1
K 2 n2
n2
=
n1
. Solución: µ
= 2).&&&
P ( x
A ( &,*1&&)
− 1,)* σ
=
σ
→
Z
<
22.-&& )
=
n = 2-
&,&(
σ
='
= − 1,*
= ( 22.-&& −
2).&&& )
2-
( − -&&) ( -) = 1.+-,7 − 1,* σ
= 1.+-,7
!. Solución:
*
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-&&
∑ x
i
i
=1
µ
n ( n + 1) 2
=
Σ xi
=
N
-&&( -&1) 2
=
12- .2-& -&&
=
=
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= 12-.2-&
2-&,-
(/er propiedades de !a sumatoria) -&& i
∑ X i2 =
+ 1) ( 2n + 1)
n (n
=1
σ
2
=
σ
=
x
=
Σ X i2 N
=
µ
2
2&.+)),2-
Σ xi n
P ( x > 1+7,-& )
Z
−
x
=
σ
=
.&&& 1
=
− µ
=
*1.7(1.7-& -&&
− 2-&,- 2 =
+ 1)
=
*1.7(1 .7-&
2&.+)),2-
1**,)*
= 1+7,-&
'
=
1+7,- − 2-&,1**,*
n
=
− ,& ( *) 1**,*
= − 1,7-
1
Z
= − 1,7- →
P
=
&,-&&&
-&& ( -&1) (1.&&&
=
+
A ( &,*-) &, *-((
=
&,(-((
P ( x ≥ 1+7,-& )
=
-,
00 %CE3 C033ECC405 E5 6% 3894C% E5 /E: DE 2-1 ESC34$43 2-&,-
-
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
". Solución: x
=
Z
=
-.7&& +1
=
7&.7
7&,7 − + ,-
=
2,7 ( ) ,-
21, ,-
=
= ,&
+1
=
Z
,&
→
A ( &,-&&&)
("uy pe;ue
7&,)7 )
=
&
1#. Solución: µ
= 17&
Z
=
σ
17- − 17& 1+
= 1+
=
n
- ( ) 1+
=
= +1
*1+
P ( x > 17-)
='
= 2,-
+1 Z
=
2,-
→
P
=
&,-&&&
A ( &,*()+)
−
&,*()+
=
P ( x >17-)
&,&&2
= &,2
11. Solución: µ
= -,&2
σ
= &,)&
n
= 1&&
P ( x > -,1&)
='
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Z
=
x
− µ
-,1& − -,&2 &,&
=
σ
n Z
=
2,7
P
=
&,-&&&
Cap.7 Distriuciones muestra!es
= 2,7
1&&
→
A ( &,*2)
−
&,*(2
=
&,&&)+ P ( x > - ,1& )
= &,+
12. Solución:
µ
Si Si
=
,-,-
σ
< <
x x
< <
-,,-
a) Siendo µ ? Z
=
Z
=
,- − &,7) -,- − &,7)
=
=
*
= &,7-
n
=
(
Se suspende e! proceso Se de=a ta! y como est> @Cu>! es !a proai!idad de detener e! proceso'
&,- ( )) &,7-
=
1,&,7-
=2
= − &,- ( )) = − 1,- = − 2 &,7-
&,7-
7
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Z
=
→
2
+
&,*772 P = 1
−
P ( ,- ≤
≤
x
=
Z
=
&, *772
=
&,(-**
=
-,-)
) Siendo Z
A ( &,*772)
µ
=
A
= −2 →
Z
&,(-**A
=
&,&*-
Cap.7 Distriuciones muestra!es
A ( &,*772)
A ( &,*77))
ó *,-
*,-
,- − ,1+ &,7
-,- − ,1+ &,7)
@Cu>! es !a proai!idad de detener e! proceso'
,1+
=
=
&,2 ( ) &,7-
&, &,7-
=
= 1,2+
= − &,+ ( )) = − 2,&* = − 2,72 &,7-
&,7-
= 1,2+ → A ( &,)((7) A Z = − 2,72 → A ( &,*(7) Z
P = &,)((7
P = 1
P ( ,- ≤
−
x
≤
+
&,*(7
&,+(* -,-)
=
=
&,+(*
&,1&)
1&,)
= 1&,
c) Siendo µ = ,- − ,* &,7
,* @Cu>!
=
Z
=
Z
= &,*& → A ( &,1--*) A = − ),& → A ( &,*((+)
-,- − ,* &,7)
=
&,1( ) &,7-
Z
Z
=
es !a proai!idad de continuar e! proceso'
=
&, &,7-
= &,*&
= − &,( ( )) = − 2,7 = − ),& &,7-
&,7-
+
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P = &,1--*
P ( -,- ≤
x
≤
,-)
d) Siendo Z
=
Z
=
Z
=
+ &,*((+ = = -,-2
µ
=
,- − -,+ &,7) -,- − -,+ &,7) 2,+&
→
P = &,*(7*
P ( -,- ≤
x
≤
,-)
&,--2
-,-2
@Cu>! es !a proai!idad de continuar e! proceso'
-,+
=
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
&,7 ( )) &,7-
=
2,1 &,7-
= 2,+&
= − &,) ( )) = − &,( = − 1,2& &,7-
A ( &,*(7*)
+ &,)+*( = = ++,2
&,7-
A
Z
= − 1,2& →
&,++2)
A ( &,)+*()
= ++,2)
13. Solución: µ
= &,-
Z
=
Z
=
σ
= &,&1
&,*( − &,-& &,&1 * &,-1 − &,-& &,&1 *
n
=*
P ( &,*( < x < &,-1)
='
= − &,&1 ( 2) = − 2 &,&1
=
&,&1 ( 2) &,&1
=
2
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→
A ( &,*772)
Z
=
2
P
=
&,*772
+
A Z = − 2 →
&,*772
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
A ( &, *772 ) ó A ( &,*77)
P ( &,* < x < &,-1)
&,(-**
= -,**
14. Solución: µ
= 12&
σ
= xσ − µ =
Z
= 1& 11-
x
Z
= − 2,- →
A ( &,*+)
P
=
&,*()+
&,-&&&
−
n
= 2-
P ( x ≤ 11-)
='
− 12& = − - ( -) = − 2,-
1& 2-
n
= 11-
=
1&
&,&&2 P ( x ≤11-)
= &,2
15. Solución: µ
− x = *
µ
A ( &,*&&)
2,))
=
* σ
→
Z
⇒
− x = − *
=
σ
='
n
= 1&
P ( x − µ >
*
)
= &,&2
2,
2,)) σ
=
* ( ),1)
1&
1&
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
σ
=
* ( ,1) 2,
= -,*2
σ
=
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-,*2
16. Solución: µ
= (&&
Z
=
+7&
Z
=
(2-
σ
−
= 7&
(&&
7& )
n
= )
P ( +7& < x < (2-)
='
= − )& ( ) = − 2,-7 7&
− (&& = 7&
2- ( ) 7&
=
2,1*
) Z
= − 2,-7 →
P = &,*(*(
+
A ( &,*(*()
&,*+)+
=
A Z =
2,1*
→
A ( &,*+)+) P ( +7& < x < 2-)
&,(7+7
= 7,+7
1. Solución: µ = 2.&&
σ
= 1.-&&
n
= 1&&
P ( x > .2-,)
='
11
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Z
=
x
− µ
.2-, − 2.&& 1.-&&
=
σ
1.-&&
=
.- 1.-&&
= 2,*&
A ( &,*(1+)
= 2,*& →
P = &,-&&&
E = np
-, (1&)
1&&
n Z
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
− &, *(1+ = &,&&+2
P ( x > )).2-(, ) )
= &,+2
= -& ( &,&&+2 ) = 1 %proBimadamente un restaurante
E =
1
1!. Solución:
12,2* − -+& +& *(
Z
=
Z
=
2,+2
P
=
&,-&&&
→
=
)2,2* ( 7 ) +&
=
2,+2
A ( &,*7)
−
&,*(7
=
&,&&2*
P ( x > 12,2*)
= &,2*
1". Solución: µ
= ),-
Z
=
x
σ
− µ σ
n Z
= 1,2& →
=
=1 ,7
n
− ,1
= )
=
&,2 ( ) 1
P ( x > ),7)
='
= 1,2&
A ( &,)+*()
12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
P
=
−
&,-&&&
&,)+*(
=
&,11-1
P ( x > ,7)
Cap.7 Distriuciones muestra!es
= 11,-1
2#. Solución: µ
= 2-.(&&
σ
= x − µ =
Z
n
= 1,-7 →
P
=
&,-&&&
P ( x ≥ 2.1&&)
n
2 .1&& − 2- .(&& 1+&& 2&&
σ
Z
= 1+&&
= 2&&
=
P ( x > 2.1&&)
2&& (1*,1* ) 1+&&
=
='
2+2+ 1+&&
=
1,-7
A ( &,**1+)
−
&,**1+
=
&,&-+2
= -,+2
21. Solución:
µ
=
+
σ
−
Z
=
7-
+
Z
=
2,+
P
=
&,-&&&
1)
P ( x 〉 7-)
→
=
=
1-
n
( 7) 1-
=
=
)
x
=
2.7&& )
=
7-
P ( x
>
7-
)
=
'
2,+
A ( &,*7*)
−
&,*(7*
=
&,&&2
x
=
&
= &,2.
22. Solución: n
a)
=
)
µ =
-(
σ =
)
ó m>s se acepta
P ( x
>
&) =
x
<
& se
reca#a
'
1
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
&
=
Z
− -
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
2
)
Z
=
2
P
=
&,-&&&
µ
→
A ( &,*77)
−
= &,-
Z
σ
&
=
&,*77)
=
P ( x ≥ & )
&,&227
=)
P ( x < & )
= 2,27
='
− &,- = − 1
Z
= −1 →
A ( &,*1)
P
=
−
&,-&&&
&,)*1)
=
&,1-+7 P ( x < & )
= 1-,+7
23. Solución: µ
=
Z
=
n
-2& .&&&
=
P ( x > )& .&&& )
)
&.&&& − -2&.&&& 222.&
=
=
'
σ
= 222.(&
2,
Z
=
2,
P
=
&,-&&&
P ( x ≥ &.&&&)
→
A ( &,*+-)
− &,*(+- = = &,1-
&,&&1-
24. Solución: µ =
+
σ
2
=
**1 ⇒ σ
=
21
n
=
)
P ( x < & )
=
'
1*
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
σ
=
Z
&
− + 21
=
2
Cap.7 Distriuciones muestra!es
**1 puntaje 2
= − 2,2
Z
= − 2,2 →
P
=
&,-&&&
−
A ( &,*+&)
&,*+(&
=
&,&11& P ( x < &)
= 1,1
25. Solución:
= *&&.&&&
µ
Z
=
σ
= 7+.&&
**&.&&& − *&&.&&& 7+.&&
=
n
= 2-
P ( x > **&.&&&)
='
2,-*
2 Z
=
2,-*
⇒
P
=
&,-&&&
A ( &,**-)
−
&,*(*-
=
&,&&- P ( x ≥
**&.&&&)
= &,--
26. Solución: µ
= -+
Z
=
σ
7& − -+ 1
= 1
=
n
= 1
P ( -& < x < 7&)
='
,&& ⇒ A ( &,*+7)
1
Z
=
-&
− -+ = − 2 ⇒ 1
A ( &,*77))
1 P
=
&,*(+7
+
&,*77)
=
&,(7& P ( -& ≤
x
≤
7&)
= 7,&
2. Solución:
1-
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
µ
= 2*&.&&&
=
Z
σ
= +.2&&
27.&&& − 2*&.&&& +.2&&
n
= 2-
Cap.7 Distriuciones muestra!es
P ( x < 2)7.&&&)
='
A ( &,**)
= − 1,+ ⇒
2 P
=
&,-&&&
−
&,**
=
&,&))
P ( x ≤
27.&&&)
= ,
2!. Solución: µ =
Z
1,&) libras
=
σ =
1,&2 − 1,& &,&-
&,&-
= − 1,& ⇒
n
=
2+
P ( x
>
1,&2) =
'
A ( &,--*)
2+
=
P
+
&,-&&&
&,)--*
=
&,+--*
P ( x > 1,&2)
= +-,-*
2". Solución: µ
= 22.&&&
Z
=
σ
= ().+&&
2&.&&& − 22.&&& .+&&
n
= *(
= − 1,* ⇒
P ( x < 2&.&&&)
='
A ( &,*1)
* P
=
&,-&&&
P ( x < 2&.&&&)
−
&,*)1(
=
&,&+1
= ,+1
3#. Solución:
1
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
µ
= *17.-&&
Z
=
P
=
σ
= 17.&&&
*2& .&&& − *17 .-&& 17 .&&& *& &,-&&&
−
&,)2)+
=
=
n
&,()
⇒
Cap.7 Distriuciones muestra!es
= &,&+( -&&) = *&
P ( x > *2&.&&&)
='
A ( &,)2)+)
&,172
P ( x ≥
*2&.&&&)
= 17,2
31. Solución: µ
a) Z
= 112.&&&
=
P ( x > 11).-&&)
=
=
&,-&&&
P (111.-&& >
Z
=
Z
=
= -.-&&
x
−
n
=
'
11) .-&& − 112 .&&& -.-&& )
P
)
σ
&,**(-
> 11).2&&)
=
1,*
⇒
=
&,&-&-
A ( &,**(-)
P ( x > 11.-&&)
= -,&-
='
111 .-&& − 112 .&&& -.-&& )
11) .2&& − 112 .&&& -.-&& )
= − &,-- ⇒
=
1,)1
⇒
A ( &,2&++)
A ( &,*&*()
− [ &,2&++ + &,*&*] = &,+ P ( 111.-&& ≥ x ≥ 11.7&&) = +, =
1
32. Solución:
17
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
µ
= 1
Z
=
= ),-
σ
1-, − 1 ,-
n
= − 1,2 ⇒
= )
Cap.7 Distriuciones muestra!es
P ( x < 1-,))
='
A ( &,+*)
P
=
&,-&&&
−
&,)+*(
=
&,11-1
P ( x ≤ 1-,)
= 11,-1
33. Solución: µ =
Z
7&
=
7-
σ =
− 7& = 2&
2&
n
1,-
⇒
=
)
P ( x > 7-)
=
'
A ( &,*))2 )
) P
=
−
&,-&&&
&,*))2
=
&,&+
P ( x ≥ 7-)
= ,+
34. Solución:
µ
= )&&
Z
=
σ
)2+
2
= 2.-&&
− )&& = -&
2,+
σ
⇒
= -&
n
= 2-
x
= +.2&& = )2+ 2-
P ( x > )2+ )
='
A ( &,*(7*)
2 P
=
&,-&&&
P ( x ≥ 2+)
−
&,*(7*
=
&,&&2
= &,2
35. Solución:
1+
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
=-
σ
= 1&&
n
1 1&&
Z =
=
Z
=
2
⇒
P
=
&,-&&&
&,&227 ( 2)
2
P ( x −
µ
>
1
)
Cap.7 Distriuciones muestra!es
='
−2
y
A ( &,*77)
−
=
&,*77)
&,&*-*
=
=
&,&227
*,-*
P ( x −
µ
>
1
)
=
*,-*
P ( x −
µ
>
*
)
=
2,-&
36. Solución: σ
=+
n
Z =
* + 2&
=
2,2*
=
1
Z
=
= 2&
2,2*
⇒
P ( x − µ >
*
)
='
− 2,2*
y
A ( &,*+7-)
− [ &,*+7- +
&,*+7-]
=
&,&2-&
=
2,-&
3. Solución: µ
Z
= 7&&
=
σ
2
+& − 7&& 12& 1**
P = &,-&&& P ( x ≤ +&)
−
= 1*.*&& ⇒
= −2 ⇒
&,*77)
=
σ
= 12&
n
= 1**
P ( x ≤ +&)
='
A ( &,*77))
&,&227
=
2,27
= 2,27
3!. Solución:
1
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
µ
= +,1&
x
=
Z
=
σ
= 2 meses y - días
7 meses y 1- días
7,-
−
+,1& 2,17
σ
x
= − 1, ⇒
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
= 2,17 meses
n
=
P ( x < 7,-)
P ( x < 7 , -)
= *,+-
='
7,- meses
A ( &,*-1-)
P = &,-&&&
−
&,*-1-
=
&,&*+-
=
*,+-
DISTRIBUCIONES DE MEDIAS $RO$ORCIONALES
3". Solución: p
a)
Z
= -
n
P ( p < + )
=
p
= 1&&
='
− P =
&,+
− &,- =
( &,-) ( &,)-)
PQ n
1&&
Z
= &,) →
A ( &,2)-7)
P
=
&,2)-7
&,-&&&
+
=
&,&) &,2271&&
=
&,&) &,&&227-
= &,)
&,7)-7
2&
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
P ( p < + )
)
= 7,-7
P ( -,- <
Z
Cap.7 Distriuciones muestra!es
p
,-)
− P
p
=
<
PQ n
− P =
Z
=
p
Z
=
&,1
P
=
&,1217
=
−
ya que P ( p = )
−
&,-
&,-
&,&&227-
−
&,--
&,-
&,&&227-
PQ n
→
='
A ( &,1217 )
&,&*)+
A
=
Z
=
=
=
&,&1&,&*77
&,&&&,&*77
&,11
→
=& =
&,1
= &,11
A ( &,&*)+)
&,&77(
P ( -,- <
p
<
,- )
=
7,7(
4#. Solución: P = &,&1
n
− P =
Z
=
p
Z
=
2,&1
P
=
&,-&&&
PQ n
→ −
= *&&
&,&2
−
P ( p > &, &2 )
&,&1
&,&1 ( &,(( ) *&&
=
='
2,&1
A ( &,*77+)
&,*77+
=
&,&222
P ( p > &,&2)
= 2,22
41. Solución:
21
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
1 5ota En aria!es discretas se puede ap!icar e! Factor de corrección para una me=or 2n aproBimación a !a norma!. P = &,&*
n
= *&&
P ( p ≥ &,&-)
9órmu!a genera! Z
=
p − Z =
PQ n
1 2 ( *&&)
Z =
9órmu!a corregida
− P
p
=
1 +&&
Z
*&& = &,(& → A ( &,)1-()
P
=
P ( p ≥ &,&-)
−
1 − P 2n PQ n
= &,&&12-
( &,&- − &,&&12-) − &,&* = ( &,&*) ( &,()
&,-&&&
='
&,)1-(
=
&,&&+7&,&&&&(
=
&,&&+7&,&&(7
= &,(&
&,1+*1
= 1+,*1
42. Solución: P = &,*
n
= *&&
P ( p > &, -& )
='
a) Sin corregir
22
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Z
=
p
− P =
−
&,-&
&,*
=
( &,*) ( &,-*)
PQ n
&,&*& &,&)-2
Cap.7 Distriuciones muestra!es
= 1,1*
2&&
Z
= 1,1* →
P
=
A ( &,)72()
−
&,-&&&
&,)72(
=
P ( p > &, -& )
&,1271
= 12,71
) Corregido
p − Z =
1 − P 2n PQ n
Z
= 1,& →
P
=
&,-&&&
P ( p ≥ &, -& )
= ( &,-& − &,&&2-) − &,* = ( &,*) ( &,-*)
1,&
2&&
A ( &,)--*)
−
&,)--*
=
&,1**
= 1*,*
= 1*,*
43. Solución: P = &,17
Z
=
&,2&
n
= 2&&
− &,17
( &,17 ) ( &,+))
=
P ( p ≥ &, 2& )
&,&) &,&&&7&-
='
= 1,1)
2&& Z
= 1,1) →
A ( &,)7&+)
2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
P
=
&,-&&&
−
&,)7&+
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
&,12(2
P ( p ≥ &, 2& )
= 12,2
44. Solución:
a) G!anteamiento mediante !a Distriución inomia! P ( +& ≤ x ≤ 12& )
='
P = +&
2&& ( &,-) +& ( &,-)12&.............. + 12& ( &,-)12& ( &,-) +&
2&&
n
= 2&&
= &,-&
p
q
= &,-&
) Distriución norma! ='
P ( 7,- < x < 12&,-) σ
=
Z
=
X
Z
=
X
=
npq
µ
= np =
2&& ( &,-) ( &,-)
− µ =
7(,- − 1&& 7,&7
−
12&,-
σ
µ
=
7,&7
=
2&& ( &,-)
=
-&
= 1&&
7,&7
= − 2&,- = − 2,(
− 1&&
7,&7
7,&7
=
2&,7,&7
=
2,(
= − 2, → A ( &,*+1) A Z = 2, → A ( &,*+1) Z
P ( 7(,- < P ( 7(,- ≤
x
x
< 12&,-)
≤ 12&,-)
=
=
&,*(+1
+
&,*(+1
=
&,((2
=
((,2
((,2
c) Distriución de proporciones (corregido) P = &,-&
p − Z =
P ( &,* < p < &,)
1 − P 2n PQ n
='
n
= 2&&
= ( &,* − &,&&2-) − &,-& = − &,1&2- = − 2,(& ( &,-) ( &,-)
&,&)-)-
2&&
2*
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
p − Z =
1 − P 2n
= − 2,& →
Z
=
2,(&
P
=
&,*(+1
→
= ( &, + &,&&2-) − &,- = ( &,-) ( &,-)
PQ n
Z
Cap.7 Distriuciones muestra!es
&,1&2&,&)-)-
= 2,(&
2&& A ( &,*+1)
A ( &,*(+1)
+
&,*(+1
=
&,((2
P ( &,*& <
p
<
&,&)
= ,2
d) Sin corrección Z =
Z
=
p
− P =
− &,1& = − 2,+)
( &,-) ( &,-)
PQ n
&,&&12-
2&&
− P =
p
− &,- =
&,*
&,
− &,-
=
( &,-) ( &,-)
PQ n
&,1& &,&&12-
=
2,+)
2&&
Z
=
2,+)
→
P
=
&,*(77
A ( &,*(77)
+
&,*(77
=
&,((-* P ( &,* ≤
p
≤
&,)
= ,-*
45. Solución: P = &,2-
Z
=
Q
=
&,7-
− &,2= − &,* ⇒ &,22 ( &,7+)
&,22
p
=
+ )
=
&,22
P ( p < &, 22 )
=
'
A ( &,1*)
2-
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
P = &,-&&&
−
&,1*
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
&,)))
P ( p < & , 22 )
= ,
46. Solución:
P = &,
Z
=
Q
= &,1&
n
− &,& = 1, &, ( &,1)
&,+
= *&
P ( p −
P > &,&+
)
='
− 1,
y
*& &,&+
Z
=
Z
= − 1,( ⇒ =
= 1,
&, ( &,1) *&
1
y
− 1,
A ( &,*-*-)
− [ &,*-*- +
&,*-*-]
=
&,&1
=
,1 P ( p −
P
>
&,&+
)
= ,1
4. Solución: P = &,(&
n
= *
P ( p > &,(-)
='
2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Z
=
&,(-
− &,( = 1,)) ⇒
&,( ( &,1& ) *
P = &,-&&&
−
&,*&+2
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
A ( &,*&+2)
P ( p ≥ &,-)
&,&(1+
= ,1+
4!. Solución: P = &,2&
Z
=
n
&,2-
= 1&&
P ( p < &,2-)
− &,2& = 1,2- ⇒
&,2 ( &,+) 1&&
P = &,-&&&
+
&,)(**
=
='
A ( &,)(**)
&,+(** P ( p ≤ &,2-)
= +,**
4". Solución: P = &,7&
Z =
&,-
n
= )
P ( p > -& )
− &,7 = − 2,2 ⇒
&,7 ( &,)) )
P = &,-&&& P ( p ≥ &,-&)
+
&,*(-
=
='
A ( &,*(-)
&,((-
= ,-
5#. Solución:
Z
=
&,1-
− &,&7 = 1,(+ ⇒
&,&7 ( &,())
A ( &,*72)
*&
27
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
P = &,-&&&
−
&,*72
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
&,&2)+ P ( p ≥ &,1-)
=
2,+
51. Solución:
P = &,2-
Z
n
&,2+
=
= 1-&
p
=
*2 1-&
− &,2- = &,+- ⇒
&,2- ( &,7-) 1-&
P = &,-&&&
−
&,)&2)
=
= &,2+
P ( p > &,2+ )
='
A ( &,)&2))
&,1(77
P ( p ≥
&,2+)
= 1,77
52. Solución: P =
1 )
n
= 1-&
p
=
*& 1-&
− &,)) = − 1,- ⇒
Z
=
&,27
P
=
&,-&&&
&,)) ( &,7 ) 1-&
P ( p ≤ &,27)
−
&,**&
=
= &,27
P ( p < &,27)
='
A ( &,**&)
&,&-(*
= -,*
2+
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
53. Solución: P = &,1&
n
2&&
p
− &,1& = − &,(* ⇒
Z
=
&,&+
P
=
&,-&&&
P ( p ≤
=
&,1& ( &,(& ) 2&&
&,&+)
−
&,)2*
=
=
1 2&&
=
&,&+
P ( p < &,&+)
=
'
A ( &,)2*)
&,17)
= 17,
54. Solución: NOTA: Gor
e;uiocación se reso!ió pensando ;ue !a pregunta era de! - ;ue usen menos !a corata. Sin emargo, de acuerdo con e! enunciado se puede reso!er de dos (2) Formas diFerentes (1) G ? &,7& A n ? * y G(pH&,**). 6a otra Forma sería (2) G ? &,& A n ? * y G(pH&,-). Gor !o tanto !as gr>Ficas son diFerentes y !os resu!tados deen ser igua!es. Si se ;uiere modiFicar todo e! desarro!!o ;uedaría así
P = &,)&
Z =
n
&,- − &,&
P ( p ≤ &, - )
&, ( &,7) *
= *
P ( p < & , - )
= − *,-*
aprox. ⇒ A ( &,-&&&)
= 1&&aproximada mente
2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
P = &,7&
= *
n
P ( p < &,-)
− &,7& = − 2,** ⇒
Z
=
&,-
P
=
&,-&&&
&,7 ( &,)) *
−
&,*(27
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
='
A ( &,*(27)
&,&&7)
= &,7
P ( p ≤ &,-)
55. Solución: P = 7*
n
−
Z
=
&,+2
P
=
&,-&&&
= )
&,7*
= 1,&( ⇒
&,7*( &,2 ) )
−
P ( p > +2)
&,)21
=
='
A ( &,)21)
&,1)7( P ( p ≥ &,+2 )
= 1,7
56. Solución: P = &,1&
&,7
n
=
&,1 ( &,)
=
p
= &,1& +
&,7
p
=
&,&)+
&,1&
+
P ( p < ' )
p
= 22,-
A( &,27-& )
⇒
Z = &,7
− &,1&
&,1 ( &,)
=
&,1)+ p
= 1,+
&
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
5. Solución: P = &,-
n
= 1&&
P ( p > &,+)
− &,- = &,) ⇒
Z
=
&,+
P
=
&,-&&&
&,- ( &,)-) 1&&
−
&,2)-7
=
='
A ( &,2)-7)
&,2*)
P ( p ≥ &, + )
= 2,*)
5!. Solución: P = &,1-
Z
=
P
=
&,2&
n
= *&&
P ( p > &,2&)
− &,1- = 2,+& ⇒
&,1- ( &,+-) *&& &,-&&&
−
&,*(7*
=
='
A ( &,*(7*)
&,&&2 P ( p ≥
&,2&)
= &,2
5". Solución: P = &,1-
Z
=
&,2&
n
= +&
P ( p > &,2&)
− &,1- = 1,2- ⇒
&,1- ( &,+-)
='
A ( &,)(**)
+& P
=
&,-&&&
−
&,)(**
=
&,1&- P ( p > &,2&)
= 1&,-
1
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
6#. Solución: P = &,--
Z =
n
= 1&&
&,* − &,-&,-- ( &,*-)
P ( p < *()
='
A ( &,+* )
= − 1,2& ⇒
1&& P
=
&,-&&&
−
&,)+*(
=
&,11-1 P ( p ≤
5ota Godría aerse tomado a
=
p
&,*(((
<
&,*)
= 11,-1
&,-&&&
61. Solución: P = &,*&
n
−
Z
=
&,2-
P
=
&,-&&&
&,*&
&,* ( &,) -&
+
= -&
P ( p > &,2-)
= − 2,17 ⇒
&,*+*
=
='
A ( &,*+*)
&,(+* P ( p ≥
&,2-)
= +,*
62. Solución: P = &,7&
Z
=
&,7)
n
= 1.&&&
p
− &,7& = 2,&7 ⇒
&,7& ( &,)&) 1.&&&
=
+& 1.&&&
= &,+
p
=
7)& 1.&&&
= &,7)
P ( &,+ <
p
<
&,7))
='
A ( &,*+&+)
2
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
− &,7& = − 1,)+ ⇒
Z
=
&,+
P
=
&, *12
&,7 ( &,)) 1.&&&
P ( &,+ ≤
&, 7)
≤
p
+
&, *+&+
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
A ( &,*12)
&,+(7&
= +,7&
63. Solución: P =
7 -&
= &,1*
= 1&&
p
− &,1* = − &,-+ ⇒
Z
=
&,12
P
=
&,-&&&
P ( p ≤
n
&,1* ( &,+ ) 1&&
&,12 )
=
−
&,21(&
=
=
12 1&&
= &,12
P ( p < &,12)
='
A ( &,21(&)
&,2+1&
2+,1&
64. Solución: P = &,1&
&,)1 =
n
p
= )
− &,1&
&,1 ( &,() )
p
=
p
= 11,-- ≅
&,1&
+
&,1 12
⇒
P ( p < ')
= 2
&,)1
&,1 ( &,() )
&,1 ( &,)
=
&,1&
+
A ( &,12&&)
=
p
&,&1--
→
Z = &,)1
− &,1&
=
&,11- p
=
&,12
= 12
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
65. Solución:
P = &,&)
n
−
Z
=
&,&-
P
=
&,-&&&
= )&&
&,&)
&,&) ( &,(7) )&&
−
=
p
2,&)
&,*7++
=
1)&&
=
⇒
= &,&-
P ( p > &,&-)
='
A ( &,*7++)
&,&212 P ( p ≥ &,&-)
=
2,12
66. Solución: P = &,1&
Z
=
&,&+
n
= 2&&
p
=
− &,1& = − &,(* ⇒
&,1& ( &,() 2&&
P = &,)2*
+
&,-&&&
=
1 2&&
= &,&+
P ( p > &,&+)
='
A ( &,)2*)
&,+2*
P ( p ≥
&,&+)
= +2,*
6. Solución:
*
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
P = +&
n
= *(
&,& − &,+&
Z
=
Z
= 1,7- ⇒
P ( &, 7 > p > &, (& )
= 1,7-
&,+ ( &,2&) *
Cap.7 Distriuciones muestra!es
='
−1,7-
y
A ( &,*-(()
= 1 − [ &,*-(( + &,*-((] = 1 − &,(1(+ = &,&+&2 P ( &,7 >
p
P ( p −
>
p
>
&,&)
& ,1&1
)
= +,&2 = +,&2
DISTRIBUCI%N DE DI&ERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES 6!. Solución: µ x
= µ y
Z
=
Z
=
µ x
&, *&, *
− µ y = &
−& +
-1,+* *
− &, − & *&, *
+
-1,+* *
σ x
= ,*
&,
=
1,*-
=
σ y
= 7,2
&, 1,2&*
n1
= *
n2
= *
P ( x −
y
>
&,
)
='
= &,-&
= − &, = − &,-& 1,*-
= &,-& → A ( &,1(1-) A P = &,1(1- + &,1(1- = &,)+)&
Z
Z
= − &,-& →
A ( &,1(1-)
ó P ( x −
y
>
&,
)
=
A
P
P
=
=1−
&,)+)&
=
&,)&+- + &,)&+-
&,17&
=
&,17&
1,7&
6". Solución:
-
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
µ x
Z
= 2&
=
&
= 2-
µ y
σ x
− ( 2& − 2-) = ) + )&,2-
1&
=
σ y
= -,-
),
+ ),)
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
n1
,(
= 1&
=
n2
P ( x −
y
> &)
='
= 1,(&
(
Z
= 1,(& →
P
=
A ( &,*71))
−
&,-&&&
&,*71)
=
&,&2+7 P ( x −
y
> &)
= 2,+7
#. Solución: µ x
= -&
Z
=
&
µ y
= &
− ( -& − &) 222-
+
Z
= 1,(( →
P
=
&,-&&&
−
2* 2&
σ x
= 1-
σ y
1&
=
+ 1,2
=
= 1+
1& 2-,2
n1
= 2-
n2
= 2&
P ( x −
y
> &)
='
= 1,
A ( &,*77)
&,*77
=
&,&2)) P ( x −
y
> &)
= 2,
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
1. Solución: µ x
=
Z =
Z
*.&&&
µ y
)&&
P ( x − y > )&& )
=
*.)&&
σ x
− ( − )&& )
(&.*&& 7&
= ,7 →
=
+
= (+& && 17+,2+
=
722.-&& *&
σ y
= +-&
n1
=
n2
7&
=
P ( x
*&
−
y
≥
)&& )
='
= ),)7
A ( &,*)
&,&* (Se aproBima a cero)
2. Solución: µ x
Z
=
=
(2&.&&&
µ y
=
(2-.&&&
−12.-1& − ( 2&.&&& − 2.2-&.&&& 1&&
Z
= − 1,22 →
P
=
&,-&&&
−
+
σ x
=
)1.-&&
2-.&&&)
2.7-.2-&.&&&
=
σ y
=
-2.-&&
− 7.-1& 7.*+-.&&&
= 1&&
n1
n2
= 1&&
= − 1,22
1&&
A ( &,+++)
&,)+++
=
&,1112
P ( x −
y
> −12.-1& )
= 11,12
3. Solución:
7
P ( x −
y
> −12.-1& )
=
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
µ x
= 1.-&&
Z
=
*&
&
2
2
+
+
1&&
=
σ y
− 1& 1,*-
= 1&&
n1
= 1&&
n2
= 1&&
P ( x −
y
>
*&)
= − &,7*
1&&
A ( &, 27&* )
= − &,7* ⇒
P = &,-&&&
= &
σ x
− (1.-&& − 1.*-&) 1&&
Z
= 1.*-&
µ y
Cap.7 Distriuciones muestra!es
&,27&*
=
&,77&* P ( x −
y
≥
*&)
= 77,&*
4. Solución: µ x
= 1.*&&
σ x
= 2&&
a)
P ( x −
Z
)
µ y
σ x
y
>
1& )
*&.&&& 12-
Z
= −2 ⇒
P
=
Z
Z
=
=
= 1&&
&,-&&&
y
>
2-& )
= 12-
2
σ y
n2
= 1&.&&&
= 12-
'
+ 1&.&&&
= − *& = − 2 2&
12-
+
&,*77)
=
'
*&.&&& 12-
⇒
= *&.&&&
A ( &,*77)
2-&
2,-
2
σ x
n1
1& − 2&&
=
P ( x −
=
= 1.2&&
=
− 2&& +
1&.&&& 12-
P ( x −
&,(77)
=
-& 2&
y
≥ 1&)
= 7,7
= 2,-
A ( &,*+)
+
='
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
P = &,-&&&
−
&, *()+
Cap.7 Distriuciones muestra!es
= &,&&2
P ( x −
y
≥
2-&)
= &,2
5. Solución: µ x
= 2 Coras
σ x
= *& minutos =
σ y
µ y
σ x
= &,7
n2
= &
= 1 Cora
con *& minutos
Cora
µ y
= 1,7
σ y
=
)2 minutos
> &)
=
'
Cora
&,-) Coras
n1
=
2+
Z
=
&
P ( x −
y
− ( 2 − 1,7 ) = − &,)) = − 2,&+ &,1-( &,7 2 &,-) 2 + 2+
)&
Z
= − 2,&+ ⇒
P
=
+
&,-&&&
A ( &,*+12)
&,*+12
=
&,(+12 P ( x −
y
≥ &)
= +,12
6. Solución: µ x
= -1
a)
P ( x −
Z
=
&,
y
>
µ y
= -&
&, )
=
σ x
=+
σ y
=
= 1&&
n2
= 1&&
'
− ( -1 − -& ) = − &,* = − &,* ⇒ 1,& +2 2 +
1&&
n1
A ( &,1--*)
1&&
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
P = &,-&&&
+
&,1--*
=
&,--* P ( x −
) Z
P ( x −
y
> − &,)
=
P
=
−
&,)
=
-,-*
'
1,&
&,-&&&
≥
y
= − &, − 1 = − 1, = − 1, ⇒ 1,&
Cap.7 Distriuciones muestra!es
&,**-2
=
A ( &,**-2 )
&,&-*+
P ( x −
y
= -,*+
≥ − &,)
. Solución: µ x
Z
= )+,
=
= )-,-
µ y
− 2 − ( +, − 1,+
2
1+ Z
= − 1,1& ⇒
P
=
&,-&&&
−
σ x
-,-) 2
+
=
1*,1
= 1),+
− -,1& *,-
σ y
= 1*,1
n1
= 1+
n2
= 1+
P ( x
−
y
> −2)
= − 1,1&
1+
A ( &,*)
&,)*)
=
&,1)-7 P ( x
−
y
≥ −2 )
= 1,-7
!. Solución: µ x
=
2 Coras
µ y
= 1 Cora
σ x
=
)& &
σ y
=
=
&
Z
= &,- Coras
2& &
con *- minutos
= &,)) Coras
⇒ n1
µ y
= 1,7- Coras
= n2 = )&
P ( x − y < &)
='
− ( 2 − 1,7-) = − &,2- = − 2,2( 2 &,1&( &,-& 2 + &,)) )&
)&
*&
=
'
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Z
= − 2,2 ⇒
P
=
&,-&&&
−
Cap.7 Distriuciones muestra!es
A ( &,*+&)
&, *+(&
=
&,&11 P ( x −
y
= 1,1
< &)
". Solución: µ x
Z
= )*
=
&
= )&
µ y
=
=
σ y
=*
− ( )* − )&) = − * = − 2,*+ ⇒ 1,1 ) + 1 2&
P
σ x
&,-&&&
n1
= 2&
n2
= 2&
P ( x − y < & )
='
A ( &,*()*)
2&
−
&,*()*
=
&,&&
P ( x −
y
< &)
= &,
!#. Solución: µ x
=
2.&&
µ y
=
2.*&&
σ x
=
2&&
σ y
= 1+&
n1
= 12-
n2
= 1&&
P ( x −
y
>
*1
1-&
)
=
'
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Z
1-&
=
−
2
2&&
=
P
=
P ( x −
1+&
+
12-
Z
2&&
− 1-& −
)
1-&
2-,+
2&&
A ( &,*7-)
= − 1,7 ⇒
= − 1,7 ⇒
+ &,*7( + & = = 7,
&,-&&& >
2
− -&
1&&
2-,+
y
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
A ( &,-&&& )
&,(7(
!1. Solución: µ x
Z
Z
1
=
=
=
2- gramos
2
− ( &)
21&& 2,+2
µ x
+
⇒
21&&
− µ y =
=
2 &,71
2-
−
= 2,+2
2-
=
y
− 2,+2
&
σ x
= - gramos = σ y
n1
= 1&&
n2
= 1&&
A ( &,*(7)
− [ &,*(7 +
&,*(7 ] = &,&&*+ P ( x −
y
>
2
)
= &,*+
DISTRIBUCI%N DE DI&ERENCIAS ENTRE DOS $RO$ORCIONES !2. Solución: P 1 = &,2-
P 2
= &,))
n1
= 1-&
n2
= 1&&
P ( p1 −
p2
≥
&)
='
*2
P ( x −
y
>
2
)
=
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Z
=
− ( &,2- − &,) = 1, ⇒ &,2- ( &,7-) &, ( &,7) + &
1-&
P
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
1&&
−
&,-&&&
A ( &,*11)
&,*1)1
=
&,&+(
P ( p1 −
p2
≥ &)
= +,(
!3. Solución: P 1
= &,17
Z
=
P 2
&,&)
= &,1-
Z
=
⇒
Z
= − &,&) −
Z
= − 1,)- ⇒
+
+
&,1- ( &,+-) 2&&
=
n2
&,&1 &,&)7
= 2&&
P ( p1 −
p2
>
&,&) )
='
= &,27
A ( &,1&*)
&,&2 &,&)7
P = &,&++-
= 2&&
− ( &,17 − &,1-)
&,17 ( &,+)) 2&& &,27
n1
= − &,&- = − 1,)&,&)7
A ( &,*11-)
&,)()
=
&,*+21
P ( p1 −
p2
>
&,&) )
= *+,21
!4. Solución:
*
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
P 1
= &,-
Z
=
Z
=
=
P 2
= &,-
2,1&
1
⇒
= 2&&
−&
&,1& &,- ( &,)-) 2&&
n1
+
&,- ( &,)-) 2&&
= 2&&
n2
= 2,1&
Cap.7 Distriuciones muestra!es
y
P ( p1 −
p2
>
='
&,1& )
− 2,1&
A ( &,*+21)
− [ &,*+21 +
&,*+21]
= &,&)-+ P ( p − 1
p2
>
= P ( p
−
&,1& )
= ,-+
!5. Solución:
P 1 = 2+
Z =
P 2
&
= )+
n1
= 1-&
− ( &,2+ − &,)+)
&,2+ ( &,72 ) 1-&
Z
= 1,* ⇒
P
=
= 1&&
P ( p1 > p2 )
1
p2
> &)
='
= 1,*
A ( &,**(-)
−
&,-&&&
+
&,)+ ( &,2 ) 1&&
n2
&,**(-
=
&,&-&-
P ( p1
−
p2
≥
&)
= -,&-
!6. Solución: P 1
= &,72
P 2
= &,72
n1
= 1-&
n2
= 1-&
**
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
a)
P ( p1 −
Z
=
p2
>
&,&
='
)
−&
&,& &,72 ( &,2+) 1-&
Z
1
+
&,72 ( &,2+) 1-&
= 1,1
y
− 1,1
A ( &,)77&)
= 1,1 ⇒
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
− [ &,)77& +
&,)77&]
= &,2*& P ( p − 1
) P ( p
1
=
< p2 )
&,&-
=
P ( p1 −
p2
Z
= − &,&- − & = − &,(7
Z
= − &,(7 ⇒
P
=
≥ − &, &-)
p2
≥
&,& )
= 2*,&
='
&,&-1+
&,-&&&
−
A ( &,))*&)
&,))*&
=
P ( p1 −
&,1&
p2
> − &,&-)
= 1,&
!. Solución: P 1
= &,12
a)
P ( p1 −
Z
=
P 2 p2
>
= &,1-
&,&
&,&)
)
n1
= +&
n2
= 1&&
='
− ( &,12 − &,1-)
&,12 ( &,++) +&
+
&,1- ( &,+-) 1&&
=
&,& &,&-&(
= 1,1+
*-
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
− &,& − ( − &,&)
Z
=
Z
= 1,1+ ⇒
&,&-&
A ( &,-&&&
=
P
P ( p − 1
) P ( p
1
&,&
A ( &,-&&& )
) − A ( &,)+1& ) = &,11(&
+
&,11(&
=
&,1(&
= 1,&
)
=
> p2 )
⇒
&
A ( &,)+1&)
&,-&&& >
p2
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
P ( p1 −
Z
=
& + &,&) &,&-&(
Z
=
&,-(
P
=
&,-&&&
⇒
p2
=
> &)
='
&,-(
A ( &,222*)
−
&,222*
=
&,277
n1
= 1&&
n2
−
='
= 27,7
P ( p1 −
p2
> &)
P ( p1 −
p2
≥ − &,&))
!!. Solución: P 1
= &,2-
P 2
= &,2&
a) P ( ! > A) = P ( p
1
Z =
< p2 )
= P ( p
1
> − &,&) )
− &,&) − ( &,2- − &,2&) = − &,&+ = − 1,) &,&-+( &,2- ( &,7-) + &,2 ( &,+) 1&&
= − 1,) ⇒ P = &,-&&& −
1&&
A ( &,*1)1)
Z
)
p2
= 1&&
P ( A > !)
=
&,*1)1
P ( p1 −
p2
>
=
&,&)
&,&+(
= +,(
='
*
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
&,&
− ( &,2- − &,2&)
Z
=
Z
= − &,)* ⇒
P
=
P ( p1 −
p2
&,&-+
&,-&&&
≥
&,&))
+
Cap.7 Distriuciones muestra!es
= − &,&2 = − &,* &,&-+
A ( &,1))1)
&,1))1 = &,))1
= ),)1
!". Solución: P 1
=
Z
=
Z
-& 1&&
= &,-&
&,22 &,- ( &,-) )
= 1,+7 ⇒ =
1
P 2
= &,-&
−& +
=
&,- ( &,-) )
A ( &,*())
− [ &,*() −
A
n1
Z
&,*()]
= )
&,22 &,117(
= 1,+7
= − 1,+7 ⇒
=1−
n2
&,()+
= )
y
P ( p1 −
p2
>
≥
&,22 )
&,22
)
='
− 1,+7
A ( &,*())
=
&,&1*
P ( p − 1
p2
= ,1*
"#. Solución:
*7
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
P1 = &,&+ P2 = &,12 n1 = *& n2 = *& P p( − p 〈 &,&) ) = ' 1 2
&,&)
=
Z
− ( &,&+ − &,12)
&,&+ ( &,-) *&&
+
&,12 ( &,++) *&&
− &,& − ( &,&+ − &,12)
Z
=
Z
= ),)) ⇒
P
=
&,&21
&,*((
P ( p1 −
p2
≤
& , &)
A ( &,*(()
−
=
&,1+**
=
A
Z
&,&7& &,&21
=
&,&1& &,&21
=
&,*+
=
⇒
= ),))
&,*+ A ( &,1+**)
&,)1-2
) = )1,-2
TAMA'O DE MUESTRA M.A.S. "1. Solución: N = 1& .&&&
n
=
E = -.&&& 2
P = (-
σ
= )&.&&&
n
='
2
N Z σ
( N − 1) E 2
+ Z 2
2
σ
*+
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
1&.&&& (1,)
n
=
n
= 1)7 personas
(1&.&&& − 1)
-.&&&2
Cap.7 Distriuciones muestra!es
( &.&&&) 2 = 1,*2 ≅ 17 personas + 1,2 ( &.&&&) 2
2
"2. Solución: P = &,)
E = Z
E = '
E
=
= )&&
Z
= 1,(
N
= +.&&&
N − n N − 1
P Q n
E = 1,
n
&, ( &,*) &&
+.&&& − && +.&&& − 1 E = -,2
&,&-)2 (Error)
"3. Solución: E = )
n
n
N
= -.&&&
Z
= 1,( A
Como no se conoce G, se tiene ;ue P =
&,-&
2
N Z P Q
=
( N − 1) E 2 + Z 2
=
PQ
-.&&& (1,)
( -.&&& − 1)
2
2
&,&
( &,-&) ( &,-&) = + 1, 2 ( &,-) ( &,-)
++&
mu=eres casadas
n
=
++&
mu=eres casadas
"4. Solución: σ
a)
= 1+.&&& n
='
E = .&&&
Z = 2,-7
*
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
2
2
Z σ
2
Z σ = E
n
=
n
2,-7 × 1+.&&& = = ).&&&
2
E
Cap.7 Distriuciones muestra!es
2
) Siendo
N
=
2)+ estudiantes
≅
uniersitarios
= 12 .&&& @cu>! es e! a!or de n' 2
n& n= n 1+ & N
n
2)7,7+
n&
⇒
2)7 ,7+ 2)7 ,7+ 1+ 12.&&&
=
2)),1
=
Z σ
2
2
=
E
≅
2)*
2)7,7+
estudiantes uniersitarios
c) E! c>!cu!o para tota!es, arro=a un resu!tado, igua! a! anterior siendo de 2* estudiantes uniersitarios. "5. Solución: n pre!iminar = 7&
a)
N = .&& traa=ador es
n
=#
x
= *& minutos →
Z
= 1,
E = - de x
n
=
n
=
(
2
.&& 1,
( .&& − 1) 2.-&*
** ) P = 7&
=
&,&-
2
→
x
=
*& &
= & ,7 "oras
E = &,&- ( &,7)
σ
2
= 2,* "oras 2
= &,&-
( 2,*) = 2.-&,+ 1,2 ( 2,*)
traa=adores
&,)
Z =1,(
N = ).&&
E = 1&
-&
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
2
N Z PQ
n
=
n
=
n
= +7,*& = ++ trabajador es
( N − 1) E 2 + Z 2
PQ
.&& (1,)
( .&& − 1)
&,1& 2
( &,) ( &,7 ) = +7,*& + 1, 2 ( &,) ( &,7 ) 2
c) x
=
-(.&&& 7& n
=
n
=
= +*2,+
E = &,&- ( +*2,+ )
(
2
.&& 1,
( .&& − 1)
2
*2,1*
(2-
= *2,1*
Z = 1,(
N = ).&&
$ = )22
+ 1,2
(2- ) = 21*,2 2
21- trabajador es
Se toma e! mayor a!or de !os n ca!cu!ados, es este caso e! tama
a) n =
n
=
E = &,&
P = -,-
= Z = 2
Z 2 PQ E 2 22 ( &,) ( &,*) 2 &,&
= 1.&,7 ≅
1.&7 Fami!ias con eícu!o propio
) 3I aumenta e! tama
Bimo de n) -1
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
n
=
2
2
( &,-) ( &,-) = 2
2
2
&,&
Cap.7 Distriuciones muestra!es
( -&) ( -&) = 1.111,11 = 1.112 Fami!ias con carro propio 2
Si G ? & e! a!or de n se reduce
c)
2
( &,) ( &,1)
n
=
2
n
=
n& n 1+ & N
2
=
2
&,&
2
( & ) (1&) 2
1.&,7 1.&,7 1+ 1&.&&&
=
= *&& Fami!ias con carro propio
= (),+ ≅
(*
Fami!ias con carro propio
". Solución: E = &,&)
n
=
P = (7 ,-
⇒
2&.&&& ( 2,2*)
( 2&.&&& − 1)
2
&,&
Z
=
2, 2*
N
= 2& .&&&
P = +-
( &,+-) ( &,1-) = +,* = + 2,2*2 ( &,+-) ( &,1-) 2
+7 artícu!os
"!. Solución: P = &,2&
n 2
n
=
2,-7
='
E = 7
( &,2) ( &,+) 2
&,&7
2
=
2,-7
( 2&) ( +&) 7
2
Z = 2,-7
= 21-,7 ≅
21 personas
E = 2
Z
adu!tas
"". Solución: N
n
= )-
=
σ
= 12
n
='
(
1,* 2 ( )- ) 12 2
( )- − 1) 2 + 1,* 2 (12 ) 2 2
= 7,( =
= 1,*
ó 1,-
77 días
-2
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Cap.7 Distriuciones muestra!es
1##. Solución: E
= -.&&&
ries%o de &,&*-
σ
=
2+.&&&
n
=
2 2 ( 2+ .&&& ) -.&&& 2
n
⇒
1 − &,&*-
=
&,(--
= (-,- ⇒
Z
=
2
='
2
= 12-, ** ≅
12 Fami!ias de c!ase media de un arrio
1#1. Solución: E = *
P = -,-
(
⇒
Z = 2
='
n
N = .2&&
( &,-&) ( &,-&) = -2,&1 ≅ ( .2&& − 1) &,&*2 + 22 ( &,-) ( &,-) uniersidad priada n
.2&& 2
=
2
-2* estudiantes de cierta
1#2. Solución: Z = 2,-7
n&
n
=
=
E = 2
2,-7
2
( &,-) ( &,-) 2
&,&2
n& n 1+ & N
=
N 2
=
2,-7
*.12+,& *.12+,& 1+ 1&.&&&
= 1&.&&&
P = &,-& (dado ;ue no se conoce G)
( -&) ( -&) 22
= *.12+,&
= 2.(21,+( ≅
2.(22
e!ementos
1#3. Solución: E = &,1& litros
n
=
2
1,
Z
= 1,(
( &,&) = *-,7* ≅ 2
&,1&
2
σ
= &,(& consumo de oBígeno, !itros por minuto2
* estudiantes entre 17 y 21 a
-
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Cap.7 Distriuciones muestra!es
1#4. Solución: N = 1.-&&
Z = 2,-7
E = 1& minutos
2
σ
=
& 2 ( ),2-)
= 11.7&&
minutos2 n
1.-&& ( 2,-7 )
=
(1.-&& − 1) 1&
(11.7&&) = -1&,2* ≅ + 2,-72 (11.7&&)
2
2
-11 emp!eados
1#5. Solución: N = 12 .-&&
n
s
= )&.&&&
n
( (&.&&&
12.-&& 2
=
(12.-&& − 1)
2
.&&&
2
='
E = ).&&&
Z = 2
2
+ 22 ( &.&&&) 2
= +7, =
++ ogares en una ciudad
1#6. Solución: n
n
='
=
P = &,72 2
1,
E = &,12
Z
= 1,(
( &,72) ( &,2+) = 1,2 ( 72) ( 2+) = -,7+ ≅ 2 2 &,12
12
-* ciudadanos
1#. Solución:
a)
n
='
n
=
n
=
E = &,&-
1,2 ( &,-) ( &,-) 2
&,&2
)
1,
Z
=
( &,2+) ( &,72) &,&-2
= 1,(
1,2 ( -&) ( -&) -
2
2
=
1,
P = &,-&
= +- reses
( 2+) ( 72 ) -2
= &,7 ≅
1& reses
-*
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c)
N
=
n
=
n
E = &,&2
2.&&&
2.&&& (1,)
( 2.&&& − 1)
&,&22
2.&&& (1,)
=
( 2.&&& − 1)
&,&2
2
2
Cap.7 Distriuciones muestra!es
P & &,-&
( &,-) ( &,- ) = 1.&1, ≅ + 1, 2 ( &,-) ( &,- ) 2
( &,2+) ( &,72) = +*,& = + 1,2 ( &,-) ( &,-)
1.&2 reses
+- reses
1#!. Solución: n
n
='
=
E = &,&*
( &,) ( &,7)
2
1,*
&,&*2
P = &,&
=
2
1,*
⇒
( & ) ( 7& ) *2
Z
= 1,*
P = &,&
= -,&1 ≅
-*
ogares
1#". Solución:
a)
n
)
='
E = &,&)
( &,2) ( &,+)
2
n
=
1,
n
=
n& n 1+ & N
2
&,&
=
Z
=
2
1,
+2,(+2,(1+ .&&&
= 1,(
( 2&) ( +& ) 2
P = &,2&
= +2,- ≅
= 1),1 ≅
1*
+ a!umnos
a!umnos
11#. Solución: E = ) "oras
Z
= 1,(
s
= 2& "oras
2 ( 2&&) ( 2&) n = = 2, = ( 2&& − 1) 2 + 1,2 ( 2&2 )
N
=
2&&
2
1,
n
=
superisores
() superEisor es
--
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111. Solución:
a)
n
)
n
='
n
=
n
=
= J2.*&&
E
1, 2
Z
(1.&&&) 2 = 112 ,71 = 2
2.*&&
n& n 1+ & N
=
112,71 112,71 1+ 1.2&&
= 1,(
s
11 Fami!ias
= 1&),&) ≅
1&*
= J1).&&&
de un arrio de !a ciudad
Fami!ias de un arrio de !a ciudad
= 11) 'amilias
112. Solución: N
= 2.&&&
n
=
n
=
E = )& .&&& ( &,&))
2.&&& ( 2,-7)
( 2.&&& − 1)
&&2
= (&&
σ
= 2.(+&
( 2.+&) 2 = ,2 = + 2,-72 ( 2.+&) 2
Z
= 2,-7
2
7&
7& proFesores uniEersitarios
113. Solución: E = 22 .&&&
n
=
n
=
2
2
Z
( ++.&&&) 2 22.&&&
2
=2
n
='
σ
= ++ .&&&
= *
* 'amilias
114. Solución:
-
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yi
ni
1 2 * 7 Σ
N = *.&&&
n
=
n
=
yi2 ni
yi ni
1 17 7 * 1 *&
1 * 12+ 22* 7 1*
Z = 1,(
*.&&& (1,)
( *.&&& − 1)
&,17 2
2
Cap.7 Distriuciones muestra!es
y
1 + *112 121** * -**
s
E = -
( 2,**)
+ 1,2 ( 2,**)
= ∑ yni ni = 1)* = ),)*&
2
=
-**
−
*&( ),)-)
−1
*&
E = &,&-( ),)- )
2
=
2,**
= &,17
= &1
)&1 eBp!otaciones
115. Solución: ni
yi
& 1 2 * 7
1& 2 2 & 1 1 &
Σ
yi2 ni
yi ni
& 1& + & 7 *
a) Estimación de! promedio E = n
=
7.+&& ( 2)
=
s
2
= ∑ yni ni = 1*
=
* )&
= 1,-)
− & (1,-) 2 = ,22 pie#as con & − 1
caries2 N = 7.+&&
&,&- (1,-))
=
Z = 2
E = -
&,&+
( ,22) = 1.&& estudiantes matricu!ados ( 7.+&& − 1) ( &,&+) + 22 ( ,22 ) 2
2
) Groporción p
& 2& 1+ 2 & * 1*
y
2& &
→
son 2& estudiantes con caries
= &,7
n
=
7.+&& ( 2 )
( &,7 ) ( &,) = +,*- = ( 7.+&& − 1) ( &,&-) + 22 ( &,7 ) ( &,) 2
2
estudiantes
-7
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5ota se toma como n e! mayor a!or, en este caso
n
=
1.&&
estudiantes matricu!ados
116. Solución:
a) Gromedio de personas por Fami!ia
s
2
N
n
=
− 17 ( ),7) 2 = 17 − 1
27
= 1.2&&
=
Z
x
=
Σ xi n
* 17
= ,7
2,2)
= 1,(
E = &,&- ( x )
E = -
1.2&& (1,)
=
( 2,2) = 2&1,7 = (1.2&& − 1) ( &,1++2 ) + 1,2 ( 2,2)
=
&,&- ( ),7)
=
1.2&& (1,)
&,1++
2
2&2 Fami!ias
= &,) ) Groporción de Fami!ias con suscripción son ⇒ p = 17 n
=
( &,-) ( &,-) = 27&,+ = (1.2&& − 1) ( &,&-) 2 + 1,2 ( &,-) ( &,- )
E = -
2
271 Fami!ias
11. Solución: P = (-
→ Z = 1,(
E = -
n
='
a) Groporción de cuentas ;ue indican gastos de traa=o 2
n
=
1,
( &,*) ( &,) &,&-2
2
=
1,
( *&) ( & ) -2
n piloto
p
= +,7 =
= )& cuentas
=
12 &
= &,*&
cuentas
-+
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-.*&& .&&& = 1+&.&&& ) x =
Cap.7 Distriuciones muestra!es
E = 1+&.&&& ( &,&-)
)&
= (.&&&
s2
= 2&.&&&2
pesos2
n
=
2
1,( ( 2&.&&&) (.&&&
2
2
2
1,( ( 2&.&&&) Cuentas = = 1( (.&&&
5ota se se!ecciona, e! primer resu!tado (n ? ) por ser e! m>s a!to. En este e=ercicio no se conoce e! tama
11!. Solución:
a) Gromedio de a!umnos por co!egio s
2
N
n
= =
=
.2*+.&&* 1&& *.+&
−
*,++ 2
P = -
*.+& (1,)
→
=
=
Σ xi n
=
**.++ 1&&
= *,++
= 112.&&,& Z
= 1,
E
=
&,&+ ( *((,++ )
(112.&&,&) = 2--,7 ≅ ( *.+& − 1) ( ,) + 1,2 (112.&&,&) 2
*.+& (1,)
=
)(,((
2
) Groporción de co!egios priados
n
x
p
=
* 1&&
2- p!ante!es
= &,*
( &,*) ( &,-* ) = 1**,- ≅ ( *.+& − 1) ( &,&+) 2 + 1,2 ( &,* ) ( &,-* ) 2
1*- p!ante!es
11". Solución:
a)
s
= J**.&&&
Z
= 1,(
E = J2&.&&&
n
='
-
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n
)
s
Cap.7 Distriuciones muestra!es
(1,) 2 ( **.&&&) 2 = = 1 cuentas ( 2&.&&&) 2 = J **.&&&
Z
= 1,(
E = J)&.&&&
n
n
= 1( cuentas
n
=
='
2 2 ( 1,) ( **.&&&) = cuentas n = ( &.&&&) 2
( cuentas
12#. Solución: N = &.&&& n
=
E = &,&2
Z
= 2,-7
P = &,-& ( se toma &,- ya que no se conoce)
'
( &.&&&) ( 2,-7) 2 ( &,-&) ( &,-&) n= = .2 ( &.&&&) ( &,&2) 2 + ( 2,-7) 2 ( &,-&) ( &,-&) n = ).2( amas de casa 121. Solución: N
= )-
n=
E = )
σ
2
= 1**
accidentes diarios 2
(1,*) 2 ( -) (1**) = días ( -) ( ) 2 + (1,*) 2 (1**)
n
='
n
=
)( días
122. Solución: σ
2
= ( 2&.-&& ) 2 pesos 2
n p
= +&
n
='
&
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
E = 2.*&&
a)
n
=
)
n
2 2 1,( ) ( 2& .-&& ) ( n = 2 1 + 2 . *&& ( )
='
= 2++ Fami!ias +& 2
2++ 'amilias
N
= 2.&&&
n
= 1+
n
= 1,
Z
Cap.7 Distriuciones muestra!es
=
n
2++ 2++
=
='
2-2
Fami!ias
2.&&&
2-2 'amilias
123. Solución: E = 2&.&&&
σ
= +&.&&&
=1−
=
&,(--&
P
&,&*-
)ies%o D ni(el de si%ni'icación P = -,-
⇒
Z
=
2
( 2) 2 ( +&.&&& ) 2 = * n= ( 2&.&&&) 2 n
=
* 'amilias de clase media
124. Solución: E = &,&-
n
=
)ies%o
= &,&*- ⇒
( 2) 2 ( &,-&) ( &,-&) = *&& ( &,&-) 2
Z
=2
P = &,-& (no se conoce)
n
=
n
='
*&& estudiante s
125. Solución:
1
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N
= 2+
E = +&
n
=
n
= 1- caminones
2
σ
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
2-.&&& Eentas
2
Z
= 1,
n
='
(1,) 2 ( 2+) ( 2-.&&&) = 12 2+ ( +&) + 1,2 ( 2-.&&&) repartidor es
126. Solución: N
a) E
= *.&&&
= &,&2
Z
= 1,*
P = *- o -
⇒
se toma el m*s cercano a &,- en este caso P = &,*-
( *&&& ) (1,*) 2 ( &,*-) ( &,--) n= = 1. 17 (i(iendas ( *&&&) ( &,&2) 2 + (1,*) 2 ( &,*-) ( &,--)
) E
= &,&1 n
P = - o 1&
⇒
se toma el m*s cercano a &,-& en este caso P = &,1&
( *&&&) (1,*) 2 ( &,1&) ( &,&) = = 1. -& (i(iendas ( *&&&) ( &,&1) 2 + (1,*) 2 ( &,1&) ( &,&)
Se toma n ? 1.-& iiendas por ser e! mayor a!or otenido para n. 12. Solución:
a)
E = 2- CorasA
σ
= 1&&
CorasA
Z
= 1,
n
='
(1,) 2 (1&&) 2 n= = 2 bombillas ( 2-) 2
)
N
=
1.&&&
(1,) 2 (1.&&&) (1&&) 2 n= = -+bombillas (1.&&&) ( 2-) 2 + (1&&) 2 (1,) 2
2
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Cap.7 Distriuciones muestra!es
12!. Solución:
='
n
n=
Z
= 1,*
E = &,&-
N
= -.&&&
P = &,-& ( no se conoce)
( -.&&&) (1,*) 2 ( &,-&) ( &,-&) = 2- títulos ( -.&&&) ( &,&-) 2 + (1,*) 2 ( &,-&) ( &,-&)
12". Solución:
a) σ
= 1&
)
Z
= 1,
E = &,&
× & = ,
(1,( ) 2 (1& ) 2 n= 1 + ( ),) 2
2 = )2 clientes )&
P = &,7-
Z
Q
=
&,2-
= 1,
n p
= &
x
= 1 Cora = & minutos
E = &,&
n
(1,) 2 ( &,7-) ( &,2-) = 2&1 clientes = ( &,&) 2
n
=
2&1 clientes, se toma el mayor (alor
13#. Solución: n
='
Z
= 1,
E = &,&+
N
= -.&&&
P = &,-&
( -&&&) (1,) 2 ( &,-&) ( &,-&) n= unidades = 1* ( -&&& ) ( &,&+) 2 + (1,) 2 ( &,-&) ( &,-&) 131. Solución: n
=
2&&
E = Z
Z = 2,-7
PQ N
E = 2,-7
P =
2& 2&&
=
&,1&
( &,1&) ( &,&) 2&&
= &,&-*-
E = -,*-
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132. Solución: n
=
'
E = &,&2
Z = 1,(
P =
1 *
=
&,2-
2 ( 1,) ( &,2-) ( &,7-) = 1.+&1 Conductores con eBperiencia de un a
133. Solución: n
='
E = 12.-&&
n
2 2 ( 1,) ( 7.&&&) ( -.&&&) = = ( 7.&&&) (12.-&&) 2 + (1,) 2 ( -.&&&) 2
Z
= 1,
N
=
7.&&&
σ
= -.&&& pesos (J)
de cr+dito 21 cuentas
134. Solución:
a)
n
='
E = &,&
Z
= 1,
N
= .&&&
P = &,-& ( no se conoce P )
( .&&&) (1,) 2 ( &,-&) ( &,-&) = 7++ tarjetas n= ( .&&&) ( &,&) 2 + (1,) 2 ( &,-&) ( &,-&)
)
n
='
E = &,&
Z
= 1,
N
= .&&&
per'oradas
P = &,72 ( el m*s cercano a &,-)
( .&&&) (1,) 2 ( &,72) ( &,2+) = tarjetas n= ( .&&&) ( &,&) 2 + (1,) 2 ( &,72) ( &,2+)
per'oradas
135. Solución: n
='
E
= &,&&-
Z
= 1,
N
= -&.&&&
P = &,1&
2 ( -&.&&& ) (1,) ( &,1&) ( &,& ) = 1&.+* suscriptores n= ( -&.&&&) ( &,&&-) 2 + (1,) 2 ( &,1&) ( &,& )
*
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136. Solución:
a) n = '
E = &,&1
Z = 2,))
N = -.&&&
P = 1 7
2 ( -&.&&& &&&) ( 2,) (1 I 7 ) ( I 7 ) = 2.+-* n= +-* eícu!os 2 2 ( -&.&&& &&&) ( &,&1) + ( 2,) (1 I 7 ) ( I 7 )
) 6os -.&&& eícu!os ;ue se an a producir. pr oducir. 13. (olución:
a) ) c) d) e)
9a!so. Keóricam Keóricamente ente no dee dee aer aer sustit sustitución. ución. /erdadero. /e rdadero. 9a!so. 9a!so. Dee Dee ser en en un orden orden determ determinad inado. o. 9a!so. 9a!so. Gro Gro e! contrari contrarioo disminuy disminuyee e! tama
13!. Solución:
n
=
n=
'
E = &,&) = )
Z = 1,(
N = -.&&
P = 2+ -
2 ( -.&& && ) (1,) ( &,-&) ( &,-&) = +7 egresados 2 2 ( -.&& &&) ( &,&) + (1,) ( &,-&) ( &,-&)
=
&,-
n p
=
-
(se c>!cu!o sin corregir)
13". Solución: n
='
a)
Z
N
= 1,
= -&& superisores E =
2
σ
= *&& oras2
(1,) 2 ( -&&) ( *&&) = 12+ superisores n= ( -&&) ( ) 2 + (1,) 2 ( *&&)
)
Z
= 1,
E = &,&-
P = &,
-
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n
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
( -&&) (1,) 2 ( &,) ( &,*) = 21 21 superisores ( -&&) ( &,&-) 2 + (1,) 2 ( &,) ( &,*)
Se tiene e! mayor a!or de n, en este caso, n ? 21 superisores 14#. Solución: n
σ
=' 2
X
=
E
=
2
Z
Σ X i2 − N X 2 N
X i = Σ N =
(& 1-
= 1,*
=
*&
N
= 1-
2
σ
=
,7
a!ores2
− 1- ( ) 2 = ,7 1-
=
(1,*) 2 (1-) ( ,7) = * unidades n= (1-) ( 2) 2 + (1,*) 2 ( ,7)
o (alores
141. Solución: n
='
n
2 2 1,*) (1.-&& -&&) ( 2&.&&& &&& ) ( = = 11 cuentas (1.-&&) (1&.&&&) 2 + (1,*) 2 ( 2&.&&&) 2
E
= 1&.&&&
Z
= 1,*
N
= 1.-&&
σ
=
2&.&&& pesos
(J)
142. Solución:
n
='
E = &,&)
Z = 2,2*
N = 2&.&&&
P =
+1&&
= &,+-
( 2&.&&&) ( 2,2*) 2 ( &,+-) ( &,1-) n= artículos = +7 ( 2&.&&&) ( &,&) 2 + ( 2,2*) 2 ( &,+-) ( &,1-) 143. Solución:
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
n
='
E = &,&-
Z = 1,*
no
1,*2 ( &,-) ( &,-) = 1 + 2 & , &
no
=
2-, 2- 2-, 1+ 7&& 7&&
= 1++ 1++
Cap.7 Distriuciones muestra!es
N = 7&&
P =
1* *&
= &,)-
2 = 2-, *&
ogares
(se rea!i#ó con corrección)
( 7&&) (1,*) 2 ( &,-) ( &,-) = 1+2 ogares (se rea!i#ó sin corrección) n= ( 7&&) ( &,&-) 2 + (1,*) 2 ( &,-) ( &,-) 144. Solución: n
= 22-
E = '
Z = 1,(
.&&& − 22.&&&
( &,* ) ( &, )
E = 1,(
N = .&&&
22-
P = &,*
=
(& 22-
= &,&2+
E = ,2+
145. Solución: E = 12.&&& &&&
)an%o
Z
= X maB −
= 1,
X min
N = *&&
)an%o
= 7&.&&&
= 1-&.&&& − +&.&&& = 7&.&&&
2 2 ( *&& *&&) (1,) ( 7&.&&& &&&) n= = clientes 2 2 2 ( *&&) (12.&&& &&&) + (1,) ( 7&.&&&)
50K% 50K% Se toma como arian#a e! rango, recorrido u osci!ación. 146. Solución: E
=
-
Z
= 1,(
N
=
-.&&&
P = 1
−
&,&-
=
&,(-
⇒
)ies%o
=
&,&-
2
σ
=
2-2
Lgs2
7
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
n
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
( -.&&&) (1,) 2 ( 2-) 2 = - ari!!as de acero ( -.&&&) ( -) 2 + (1,) 2 ( 2-) 2
14. Solución: E = &,-
Z
= 1,
σ
2 ( 1, ) (1, ) n = = - (iajes 2
= 1, Lpg.
&,-
14!. Solución:
a) n = '
E = &,&
Z = 1,(
(1,) 2 ( &,) ( &,*) n= 2 1 + & , &
P =
E = &,& (1+& .&&& )
)&
(1,) 2 ( 2&.&&&) 2 = 2 1&.+&&
= )&
12 )&
= &,*
=
1&.+&&
2 = 27* cuentas &
-.*&& .&&& = 1+&.&&& ) x =
n
n p
1 +
Z
= 1,(
2 = 1- cuentas &
Se dee tomar como n ? 27* cuentas por ser e! mayor resu!tado. 14". Solución: n
='
n
=
E = &,&
Z
=2
N
)& ( * ) ( &,-) ( &,-) )& ( &,&( )
2
+ * ( &,-) ( &,-)
P = &,- ( no se conoce P )
= &
= (2 F>ricas de e!ados
15#. Solución:
a) n
='
E = &,&2 ( 7-&.&&& )
= 1-.&&&
Z
= 1,(
N
= 1&.&&&
2
σ
= J*&.&&& 2
+
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
n Z
)
=
1&.&&& ( ,+*1) ( *&.&&&) 1&.&&& (1-.&&&)
= 1,( 2 =
=
n
Cap.7 Distriuciones muestra!es
2
+ ( ,+*1) ( *&.&&& ) 2
2
= 2+ oreros
),+*1
1&.&&& (1,)
( &,*) ( &,) = 1* oreros 2 1&.&&& ( &,&+) + 1, ( &,*) ( &,) 2
2
151. Solución:
a)
n
='
E = &,&
Z
= 1,
P = &,21
2 ( 1,) ( &,21) ( &,7 ) = 7& e=ecutios sua!ternos n = 2
&,&
)
n
='
n
=
E = &,&
Z
= 1,
N
= -2&
-2& ( ),+*1 ) ( &,-) ( &,-) -2& ( &,&) )
2
+ ( ),+*1 ) ( &,-) ( &,-)
P = &,- ( no se conoce G)
= )-& e=ecutios sua!ternos
152. Solución:
a) x
= -,2 ( &) = 1- días N
)
=
Z
= 1,*
n p
= 2-
s
n
n
='
2& (1,*)
=
Se toma
= 2,*
2&
(1*) 2 = = +* endedores 2 2 2 2& ( 2,*) + (1,*) (1*)
n
E = &,&1- ( 1-)
= 1* días
2
E = &,12
2& (1,*)
Z
= 1,*
N
= 2&
np
=
2-
2
( &,2) ( &,+) = 2 2& ( &,12) + (1,*) ( &,2) ( &,+) 2
P = &,2
*2 endedores
n ? +* endedores por ser e! mayor a!or de n.
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
153. Solución: N
n
= -.&&&
E ,-,A.
-.&&& (1,)
= ).&&&
σ
2
= )
E promedio
=
).&&& -.&&&
Z
= 1,
= &,& gramos
( ) = -7 po!!itos 2 -.&&& ( &,) + (1,) ( )
=
2
2
154. Solución: E = &, ( prom )
N
= *.&&&
y
= 1- = 1,(-
⇒
E = &,12 ( prop )
= 1.&) − +& (1,(-) = (,12
s 2
+&
+&
np
= +&
( a ) E = &,& (1,(-) = &,12 ( b ) E = &,12 = 12
( proporción )
a) ni
yi
& 1 2 * + 1& 12
yi ni
7 1 + + * 2 2 +&
Σ
& 1 1 2 2& 1 2& 1-
yi2 ni
& 1 2 12+ 1&& 12+ 2&& *2 1.&
2 ( 1,) ( *.&&&) ( ,1-) = 1.-1 n = 2 2 *.&&& ( &,12) + (1,) ( ,1-)
n
=
1.-1
ca=as
*.&&& (1,)
n
=
( &,-*) ( &,* ) = 2 2 *.&&& ( &,12) + (1,) ( &,-*) ( &,* )
n
=
2
ca=as p
=
* +&
= &,-*
7&
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
Se toma e! mayor a!or
1.-1 cajas
155. Solución:
a)
='
n
E = &,&&-
Z
= 1,
( $e toma el m*s cercano
)
-.&&& (1,)
N
= -.&&&
P = &,1&
a &,- como p )
( &,1&) ( &,& ) = .7 c!ientes 2 2 -.&&& ( &,&&-) + (1,) ( &,1&) ( &,& )
n
=
n
='
2
E = &,&&- ( 2).&&&)
-.&&& (1,)
= 11-
Z
= 1,(
N
n
(1.-&&) 2 = = -7 c!ientes 2 2 2 -.&&& (11- ) + (1,) (1.-&& )
n
=
).7)
= -.&&&
σ
= J1.-&&
2
(se toma e! a!or mayor como n)
156. Solución: n
= 2&&
P = &,1
E = 1,
Z = 1,(
( &,1) ( &,) 2&&
=
2& 2&&
E = '
p
= 2.&&&
P = &,&*
= &,1&
= &,&*1-
E = *,1-
15. Solución: n
='
n
=
E =
Z
2.&&& (1,)
= 1,
N
( &,&*) ( &,) = *1 cuentas 2 2 2.&&& ( &,&) + (1,) ( &,&*) ( &,) 2
15!. Solución:
71
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
a. 6os estimadores son medidas, ap!icadas a !as características de !os e!ementos o unidades en una muestra, en camio, !os par*metros se ap!ican en !a po!ación. . Población es un con=unto de e!ementos o unidades y !a /uestra corresponde a un con=unto de e!ementos o unidades de una parte de !a po!ación. c. Como su nomre !o indica, descrie e! comportamiento de !as características de !os e!ementos, a traMs de cuadros gr>Ficas y medidas ;ue !e son ap!icadas. 6a in'erencia consiste en eBtraer una muestra, con !a cua! se otienen unos resu!tados ;ue son considerados como correspondiente a! comportamiento de toda una po!ación. d. Cuando todos !os e!ementos de una po!ación tienen !a misma posii!idad de ser se!eccionados. E! no aleatorio, es una muestra resgada es decir, no tienen ninguna conFiai!idad, dado ;ue !os e!ementos son se!eccionados en Forma capricosa, por coneniencia, en Forma o!untaria o en Forma intenciona!. 15". Solución:
a. Cuando !a po!ación no es norma!, si se eBtrae muestras pe;ue
= 1-&
x
=
77- .&&&
σ x
= 2&.&&&
n2
= 12&
y
=
7+& .&&&
σ y
=
µ x
=
µ y
2& .&&&
72
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Z
Z
=
( 77- .&&& − 7+& .&&& ) − ( & ) 2& .&&& 1-&
= − 2,&* →
&,-&&&
−
2
2& .&&& 12&
+
Cap.7 Distriuciones muestra!es
= − -.&&& = − 2,&* 2.**( , *(
2
A ( &,*7)
&,*7()
=
&,&2&7
=
2,&7
P ( x −
y
> −-.&&& )
=
2,&7
161. Solución: µ
=
*,+ mill . J
σ
⇒
exceda en &,) mill . J
Z =
A
=
-,1 − *,+ 1,1&& &,-&&&
−
=
= 1,- mill J
&, 1&& 1,-
&,*77)
=
*,+
+
n
&,)
=
= 1&&
P ( x
>
-,1)
=
'
-,1 mill . J
= 2 ⇒ A ( &,*77)
&,&227
=
2, 27
P ( x > -.1)
=
2,27
162. Solución: n
=
*
(a) Se detiene si es superior a! punto crítico, pues se reosa
7
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
σ
=
A
= ( &,-&&& −
() Se continua, en caso contrario, Funcionamiento norma!
2,-
&,&-&& )
,= x −2*&7 ,-
1,-
Cap.7 Distriuciones muestra!es
→
=
&,*-&&
1,-
⇒
Z
2,- = *
= 1,* o 1,x
− *&7 ,-
*
=
x
*&7 ,-
+
&,&*
=
*&7 ,-
x
=
*&7 ,- gramos
163. Solución: n
=
Z
*&&
=
P ( p
&,2 − &,2& &,2 ( &,+) *&&
=
−
P > &,&)
&,& &,&2
)='
= 1,- ⇒ A ( &,*2)
7*
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Z
=
&,17 − &,2& &,&2
P = 1 − ( &, *))2
Cap.7 Distriuciones muestra!es
= − &,& = − 1,- ⇒ A ( &,*2) &,&2
+ &,*))2 ) = &,1)) = 1),) P ( p − P >
&, &
)
= 1, P ( 17 >
p
> &, 2)
= 1,
164. Solución: N
= 1& .&&&
σ
= ).&&&
1&.&&& (1,)
E = )+&
P = (-
⇒
Z
= 1,(
2 ( .&&&) ≅ 2* 9ami!ias de c!ase media de !a ciudad n= 2 2 1&.&&& ( +&) + 1,2 ( .&&&) 2
165. Solución:
N = ).&&
n
=
n pre!iminar
.&& (1,)
=
(
&,&1 ).&&
) = )
p
=
2+ )
= &,7+
( &,7+) ( &,22) = & egresados 2 .&& ( &,&) + 1, ( &,7+) ( &,22) 2
2
166. Solución:
a. Consiste en reco!ectar !a mayor inFormación en e! menor costo posi!e . Es correcta !a aFirmación. c. Gr>cticamente se puede decir, ;ue es !a diFerencia ;ue puede aer entre e! a!or de! par>metro y e! de! estimador. d. Se dice ;ue es me=or, cuando !a característica inestigada en !a muestra, tiene un a!to grado de omogeneidad. 16. Solución:
7-
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
p1
=
12 12&
= &.1&
p2
1 12&
&,& − &,&
Z =
( &,1) ( &,)
( &,1) ( &,+7)
+
12&
Z
=
= &,1
Cap.7 Distriuciones muestra!es
P ( p
1
−
p2
>
&, &
)
=
'
p2
>
=&
12&
= − &,& − &,& = − &,& = − 1,- ⇒ A ( &,*2 ) &,&*
P = &,-&&&
+
&,&*
&,&+
= &,-+ = -,+ P ( p1 −
& , &)
) = -,+
16!. Solución: µ
= 1&
σ
A ( &, *&&&)
1,2+
⇒
= &,+2 Z
n
= 2-
x= '
= 1,2+
= x − 1&
x = 1&
&,+2
+ 1,2+
&,+2 2-
21&
&,21
x
=
x
= 1&, 21
+
=1&,21
on#as
16". Solución: µ
= + "oras
a)
σ
)
P ( 7 ≤
n
=
x
σ
= 2 "oras
n
= 2&
error est*ndar de la media
≤
+, - )
=
⇒ σ x =
2 2&
=
&,*-
'
7
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Z
=
7−+ &, *-
Z
=
+,- − + &,*-
P = &,*++
c)
P ( x
Z
=
Cap.7 Distriuciones muestra!es
= − 1 = − 2,22 ⇒ A( &,*++) &, *-
= 1,11 ⇒ A ( &,-)
+ &,)- = &,+-)) = +-,))
> () = −+ &,*-
'
=
P = &,-&&&
P(7 〈x〈+, )- =+-,
1 &,*-
=
2, 22
⇒ A ( &,*++)
− &,*++ = &,&1)2 = 1,)2
P ( x 〉 ) =1,2 1#. Solución: P = &,1&
Z =
n = )&
P
− &,1& = ,1& ⇒ &,1 ( &,)
&,27
( p > &, 27 )
='
A ( &,*&)
& P = &,-&&&
− &,*((& = &,&&1& = &,1& P ( p > &, 27 )
= &,1&
77
Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro "artíne# $encardino – Ecoe Ediciones %ctua!i#ado en diciemre de 2&&7
Cap.7 Distriuciones muestra!es
11. Solución: P 1
a)
= &,12 P ( p − 1
p2
>
P 2
= &,1-
&, &
) ='
&,& − ( − &,&)
Z =
&,12 ( &,&+) 7&
Z =
+
&,1- ( &,+-) &
− &,& − (−&,&)
Z
= 1,&( ⇒
A ( &,-&&& p2
) P ( p
1
= (&
>
& , &)
)
−
=
&,& &,&--
=
= 1,&
&,&--
A( &,)21) &,)21)
=
&,1)7(
+
&,-&&&
=
&,)7(
=
),7(
= ),7(
− p2 > & )
=
P ( p1 >
&,&) ) = & −&(,−&-= A
n2
= & =&
&,&- Z 〈 & ⇒ A(&,-&&&)
Z
= 7&
− P 2 = &,12 − &,1- = − &,&)
P 1
P ( p1 −
n1
&,-&&&
−
p2 )
&,&) &,&--
&, 2&++
=' = &,-- ⇒ A ( &,2&++) =
&, 2(12
=
2(,12
7+
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