1. ¿De las relaciones matemáticas siguientes, cuáles podrían encontrarse en un modelo de programación lineal y cuáles no? Para las relaciones que son inaceptables para los programas lineales, explique las causas. a. -1 A !B ≤ "# b. ! A -!B $ %# c. 1 A - !B! ≤ 1# d. &! A !B ≥ 1% e. 1 A 1B $' (. ! A %B 1 AB ≤ !%
!. )ncuentre las relaciones que satis(acen las restricciones siguientes* a. + A !B ≤ 1' b. + A !B
≥
c. + A !B $1'
1'
&. race race una gráca separada de cada una de las restricciones siguientes, donde muestre las rectas de restricción y las soluciones que satis(acen* a. & A !B ≤ 1 b. 1! A B
≥
+#
c. % A 1#B $ !##
+. race una gráca separada de cada una de las restricciones siguientes, donde muestre las rectas de restricción y las soluciones que satis(acen* a. & A - +B ≥ '# b. -' A %B c. % A -!B
≤
≤
#
'#
%. race una gráca separada de cada una de las restricciones siguientes, donde muestre las rectas de restricción y las soluciones que satis(acen* a. A ≥ #.!% / A B0 b. B
≤
#.1# / A + B0
c. A
≤
#.%# / A B0
'. res (unciones obeti2o para problemas de programación lineal son " A 1#B, ' A +B y -+ A "B. 3uestre la gráca de cada una para los 2alores de la (unción obeti2o iguales a +!#.
". 4dentique la región (actible para el conunto de restricciones siguiente* #.% A #.!%B ≥ 1 A %B
≥
#.!% A #.%B A, B
≥
#
!%# ≤
%#
. 4dentique la región (actible para el conunto de restricciones siguiente* ! A -1B ≤ # -1 A 1.%B A, B
≥
#
≤
!##
5. 4dentique la región (actible para el conunto de restricciones siguiente* & A - !B ≥ # ! A - 1B 1 A A, B
≤
≥
≤
1%# #
!##
1#. Para el programa lineal 3ax ! A &B s.a. 1 A &B ≤ ' ≤
% A &B A, B
≥
1%
#
encuentre la solución óptima mediante el procedimiento de solución gráca. ¿6uál es el 2alor de la (unción obeti2o en la solución óptima?
11. 7esuel2a el programa lineal siguiente mediante el procedimiento de solución gráca* 3ax % A %B s.a. 1 A ≤ 1## 1B
≤
# ≤
! A +B A, B
≥
#
+
1!. 6onsidere el problema de programación lineal siguiente* 3ax & A &B s.a. ! A 8+B ≤ 1! ' A +B A, B
≥
≤
#
!+
1&. 6onsidere el programa lineal siguiente* 3ax 1 A ! B s.a. 1 A ≤ % 1B ≤ + ! A ! B $1! ≥ A, B # a. 3uestre la región (actible. b. ¿6uáles son los puntos extremos de la región (actible? c. )ncuentre la solución óptima utili9ando el procedimiento gráco.
1+. Par, 4nc. es un peque:o (abricante de equipo y material de gol(. )l distribuidor de Par cree que existe un mercado tanto para una bolsa de gol( de precio moderado, llamada modelo estándar, como para una bolsa de gol( de un precio alto, llamada modelo de luo. )l distribuidor tiene tanta conan9a en el mercado que, si Par puede (abricar las bolsas a un precio competiti2o, comprará todas las bolsas que Par (abrique durante los tres meses siguientes. ;n análisis detallado de los requerimientos de manu(actura dio como resultado la tabla siguiente, la cual muestra los requerimientos de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manu(actura requeridas y la estimación que
TIEMPO DE PRODUCCION (HORAS) INSPECCIO TERMINAD CORTE Y COSTURA N Y O TEÑIDO EMPAQUE
PRODUC TO
)=>D>7 "@1#
1@!
1
1@1#
D) B;C
%@'
!@&
1@+
1
UTILIDAD POR BOLSA
A 1#,## A 5,##
)l director de manu(actura estima que se dispondrá de '
1.Para el programa lineal 3ax + A 1B s.a. 1# A !B ≤ & A !B ! A !B A, B
≥
≤
≤
1! 1#
#
a. )scriba este problema en (orma estándar. b. 7esuel2a el problema utili9ando el procedimiento de solución gráca. c. ¿6uáles son los 2alores de las tres 2ariables de
!#. Para el programa lineal 3ax & A ! B s.a. ≥ + A B ≤
& A + B A
≥
!+
!
A -B
≤
#
A, B
≥
#
a. )scriba este problema en (orma estándar. b. 7esuel2a el problema. c. ¿6uáles son los 2alores de las 2ariables de
!!. 7eiser =ports Products quiere determinar la cantidad de balones de (utbol de >ll-Pro / A0 y ;ni2ersitario /U0 a producir con el n de maximi9ar las utilidades durante el siguiente
ll-Pro producen utilidades de A% por unidad y los balones ;ni2ersitarios producen una utilidad de A+ por unidad. )l modelo de programación lineal con los tiempos de producción expresados en minutos es el siguiente* 3ax % A 8 +U s.t. 1! A 8 ' U 8 !#,+## 6orte y te:ido 5 A 8 1% U 8 !%,!## 6ostura ' A 8 ' U 8 1!,### 4nspección y empaque A, U 8 # ;na parte de la solución gráca al problema de 7eiser se muestra en la gura ".!+. FIGURA 7.24
P>7) D) B> =B;64G H7IJ46> P>7> )B )C)76464 !!
a. =ombree la región (actible para este problema. b. Determine las coordenadas de cada punto extremo y las utilidades correspondientes. ¿6uál punto extremo genera mayores utilidades? c. race la recta de utilidades correspondiente a una utilidad de A+ ###. 3ue2a la recta de utilidades lo más leos posible del origen con el n de determinar cuál punto extremo proporcionará la solución óptima. d. ¿6uáles restricciones son connantes? )xplique por quF. e. =uponga que los 2alores de los coecientes de la (unción obeti2o son A+ para cada modelo >ll-Pro y A% para cada modelo ;ni2ersitario producidos. ;tilice el procedimiento de solución gráca para determinar la solución óptima y el 2alor correspondiente de las utilidades.
!+. Kelson =porting )quipment, 4nc. (abrica dos tipos di(erentes de guantes de beisbol* un modelo regular y un modelo para catc
TIEMPO DE PRODUCCION (HORAS) MODELO
3D)B 7)H;B>7 3D)B P>7> 6>6L)7
UTILID EMPAQ CORTE Y ACABA AD POR UE Y CONFEC DOS GUANT ENVIO CION E
&@!
1 1@!
1@
1@&
1@+
A %,## A ,##
=uponiendo que la empresa está interesada en maximi9ar la contribución total a las utilidades, responda lo siguiente* a. ¿6uál es el modelo de programación lineal para este problema? b. )ncuentre la solución óptima utili9ando el procedimiento de solución gráca. ¿6uántos guantes de cada modelo debe (abricar Kelson? c. ¿EuF contribución total a las utilidades puede obtener Kelson con las cantidades de producción dadas? d. ¿6uántas
!'. >l restaurante =ea M
!. oms, 4nc. elabora 2arios productos de comida mexicana y los 2ende a Mestern Joods, una cadena de tiendas de abarrotes locali9adas en exas y ue2o 3Fxico. oms produce dos tipos de salsa* la salsa Mestern Joods y la salsa 3exico 6ity. Qásicamente, las dos contienen una me9cla di(erente de tomates enteros, salsa y purF de itomate. Ba salsa Mestern Joods contiene una me9cla de %#N de tomates enteros, N de salsa de tomate y !#N de purF de tomate, mientras que la 3exico 6ity, que tiene una consistencia más espesa y en tro9os, incluye "#N de tomates enteros, 1#N de salsa de tomate y !#N de purF de tomate. 6ada (rasco de salsa producido pesa 1# on9as. Para el periodo de producción actual oms, 4nc. puede comprar
. ;n asesor nanciero de Die
&!. 4dentique las tres soluciones del punto extremo para el problema de 3VD 6
&+. 6onsidere el programa lineal siguiente* 3in ! A ! B s.a. 1 A+ & B ≤ 1! & A 1 B
≥
1&
1 A - 1 B= & ≥ # A, B a. 3uestre la región (actible. b. ¿6uáles son los puntos extremos de la región (actible? c. )ncuentre la solución óptima mediante el procedimiento de solución gráca.
&'. 6omo parte de una iniciati2a de meora de la calidad, los empleados de 6onsolidated )lectronics completan un programa de capacitación de tres días sobre trabao en equipo y otro de dos días sobre solución de problemas. )l gerente de meoramiento de la calidad demás, e l equipo directi2o
&. >pplied-ec40 (abrica cuadros para bicicleta utili9ando dos materiales de bra de 2idrio que meoran la ra9ón (uer9a a peso de los cuadros. )l costo del material de calidad estándar es A".%# por yarda y el costo del material de calidad pro(esional es A5.## por yarda. Bos materiales de ambas calidades contienen di(erentes cantidades de bra de 2idrio, bra de carbón y Ke2lar, como muestra la tabla siguiente*
6>B4D>D )=>D>7 J4Q7> D) W4D74 J4Q7> D) 6>7Q K)WB>7
6>B4D>D P7J)=4>B
#,+N
#,%N
#,1#N #,#'N
#,N #,1!N
>4 rmó un contrato con un (abricante de bicicletas para producir un cuadro nue2o con por lo menos !#N de contenido de bra de carbón y no más de 1#N de contenido Ke2lar. Para cumplir con la especicación de peso requerida, se debe utili9ar un total de yardas de material para cada cuadro. a. Jormule un programa lineal para determinar el nUmero de yardas de cada calidad de material de bra de 2idrio que >4 debe utili9ar en cada cuadro para minimi9ar el costo total. Dena las 2ariables de decisión e indique el propósito de cada restricción. b. ;tilice el procedimiento de solución gráca para determinar la región (actible. ¿6uáles son las coordenadas de los puntos extremos? c. 6alcule el costo total en cada punto extremo. ¿6uál es la solución óptima? d. )l distribuidor de material de bra de 2idrio actualmente t iene un exceso de artículos almacenados del material de calidad pro(esional. Para reducir el in2entario, el distribuidor o(reció a >4 la oportunidad de comprar material de calidad pro(esional a A la yarda. ¿6ambiará la solución óptima? e. =uponga que el distribuidor reduce aUn más el precio del material de calidad pro(esional a A".+# por yarda. ¿Ba solución óptima cambia? ¿EuF e(ecto tendrá en la solución óptima el precio aUn más bao del material de calidad pro(esional? )xplique por quF.
+#. Punque se puede ordenar más de esta materia prima si es necesario, el in2entario actual que no se use dentro de las siguientes dos semanas se ecdemás, se sabe que el p roducto 1 requiere 1 libra de esta materia prima perecedera por galón y el producto ! requiere ! libras de la materia prima por galón. 6omo el obeti2o de P
+!. ¿)l siguiente programa lineal in2olucra in(actibilidad, ilimitación o soluciones óptimas alternas? )xplique por quF. 3ax + A + B s.a. ! A + ! B ≤ 1# -1 A 1 B A, B
≥
#
++. 6onsidere el programa lineal siguiente* 3in 1 A 1 B s.a. % A & B ≤ 1% ≤
& A + % B A, B
≥
1%
#
a. ¿6uál es la solución óptima para este problema? b. =uponga que la (unción obeti2o cambia a 1 A !B. )ncuentre la nue2a solución óptima.
+'. )l gerente de una peque:a tienda de abarrotes independiente trata de apro2ec
+. Para el problema de 3VD 6