Cap5 Vigas de Cimentacion

CAPÍTULO 5

VIGAS DE CIMENTACIÓN RESUMEN Se presenta la solución de vigas de cimentación de sección constante sobre un suelo que se considera linealmente elástico, se detalla el marco teórico, se resuelven ejercicios manualmente y finalmente se indica el uso del programa CIMEVIGA que sirve para resolver vigas de cimentación. Este programa reporta el desplazamiento vertical, la presión trasmitida al suelo, el giro, el momento y el cortante cada cuarto de la luz de cada vano. El programa permite resolver vigas con cargas en los nudos o vigas can cargas en los elementos o las dos simultáneamente para cualquier condición de apoyo. Finalmente se describe la solución de vigas de cimentación en forma de T invertida.

5.1 INTRODUCCIÓN En reconocimiento a la gran labor del gran investigador y profesor que fue el Ing. Alejandro Segovia Gallegos, se ha escrito este capítulo utilizando la misma nomenclatura y convención de signos, que utilizó en la solución solución de vigas de cimentación sobre suelo elástica pero adaptándola a la solución matricial que permite la elaboración de un programa de ordenador en forma fácil. La ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de vigas sobre suelo que se considera elástico, es la siguiente:

d 4 w  r w Po   EI EI dx 4

( 5.1 )

donde w es la componente de desplazamiento vertical de un punto situado a una distancia x de la viga de cimentación;  es el coeficiente de balasto del suelo, del cual muy poco se va a hablar en este texto ya que está descrito con verdadero detenimiento en los libros de suelos; r es el ancho de la viga de cimentación; EI es la rigidez a flexión y Po es la carga vertical que gravita sobre la viga. El modelo numérico modela al suelo como una serie de resortes verticales y cada uno de ellos tiene una rigidez que es igual a  r . La fuerza o reacción que se genera en cada resorte es igual a  r w y la presión que se transmite al suelo por efecto de las cargas vale  w . La solución de la ecuación diferencial ( 5.1 ) se resume en la tabla 5.1

CEINCI – ESPE Roberto Aguiar Falconí

104

w 

m V

Tabla 5.1 Solución Particular

Expresiones finales de la solución de una viga de cimentación.

Factor

.

.

.

.

.

.

.

.

c C

cS

s C

sS

wo

1

A1

A2

A3 A3

A4

 o

1 / 

A2+A3

A1+A4

-A1+A4

-A2+A3

mo

2 EI /  2

-A4

-A3

A2

A1

V o

2 EI / 

A2-A3

A1-A4

A1+A4

A2+A3

3

La forma de interpretar cada una de las ecuaciones escritas en la tabla 5.1, es por ejemplo la siguiente para el cortante.

V V o

2EI

.

.

. .

.

.

. .

A2 A3 c C A1 A4 c S A1 A4 s C A2 A3 s S

 3

donde V o es la solución particular del cortante que depende del tipo de carga que gravita en la viga. El significado de las variables descritas en la tabla 5.1 es el siguiente: sigu iente:

.

s .

S

.

sen u

c

cos u

.

senh u

C

cosh

u u



x 

EI  r

( 5.2 )

4 4

Por otra parte, A1, A2, A3 y A4 son constantes de integración, las mismas que se calculan en función de las condiciones de borde. w como se indicó es la componente de desplazamiento vertical, positivo si va hacia abajo;  es el giro, positivo si es horario; m es el momento, positivo si genera tracción en la parte inferior de la viga y V es el corte positivo si el lado izquierdo la fuerza es hacia arriba y en el lado derecho la fuerza es hacia abajo. Las soluciones particulares que están identificadas con un subíndice cero dependen del tipo de carga que gravita sobre la viga.

5.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO En la figura 5.1 se presenta el sistema de coordenadas locales de un elemento de una viga de cimentación. Para cimentaciones horizontales las coordenadas globales son iguales a las coordenadas locales. En la solución matricial se considera que la componente de desplazamiento vertical w es positiva si va hacia arriba y los giros son positivos si van en sentido se ntido horario. Nótese que primero se ha numerado el giro del nudo inicial, luego el desplazamiento vertical del nudo inicial, después el giro y desplazamiento vertical del nudo final. Con esta indicación, que se debe tener en cuenta para definir el vector de colocación, colocación, se pasa a indicar la matriz de rigidez de un elemento.

k k

b a bo

b t bo t o

a bo k b

bo t o b t

( 5.3 )


Figura 5.1

105

Coordenadas locales de un elemento.

Se ha identificado con k a la matriz de rigidez del elemento (con negrilla y minúscula) y con k a un elemento de la matriz de rigidez (sin negrilla). Las ecuaciones con las cuales se obtienen los elementos de la matriz de rigidez, son:

CS  sc k   2  S  s2 2 EI sC  Sc  2 a S  s2  4 EI SC  sc t  3  2 2  S s 2 EI

s2  S 2 b 2  2 2  S s sS 4 EI bo  2  2 2 S s  4 EI Sc  Cs t o  3  2 2  S s 2 EI

( 5.4 )

Las funciones trigonométricas e hiperbólicas que constan en ( 5.4 ) son:

s  sen

L 

S  senh

L 

c  cos

L 

C  cosh

L

( 5.5 )



5.3 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA Para encontrar la matriz de rigidez de la estructura K (con negrilla y mayúscula) se encuentra en primer lugar la matriz de rigidez de cada uno de los elementos k , luego se determina el vector de colocación que para vigas de cimentación tiene cuatro elementos, que son los grados de libertad del giro y desplazamiento vertical del nudo inicial y final respectivamente. Finalmente se ensambla la matriz de rigidez.



EJEMPLO 1

Encontrar la matriz de rigidez de la estructura, por ensamblaje directo, de la viga de cimentación indicada en la figura 5.2. La viga tiene una base de 60 cm y un peralte de 50 cm. La longitud de cada uno de los vanos es de 4.0 m. Esta sobre un suelo cuyo coeficiente de balasto es

  3000 T / m 3 . El módulo de elasticidad del material tiene un valor E  2100000 T / m 2 .


106

SOLUCIÓN

I 

r h 3 12

Figura 5.2

  4



0.6  0.5 3 12

Viga de cimentación que se resuelve.

4 * 2100000  0.00625 3000  0.6

C  cosh c  cos

4.0 2.3239 4.0

2.3239

 0.00625 m 4

 2.3239 m

 2.88516

 0.149877

S  senh s  sen

4.0 2.3239 4.0

2.3239

 2.706319

 0.988704

S 2  s 2  2.706319 2  0.988704 2  6.3466269 Al utilizar las ecuaciones indicadas en ( 5.4 ) se encuentra:

k  14160.61 bo  4098.55

a  5798.94 t  5048.74

b  6357.91 t o  1612.86

Luego la matriz de rigidez del elemento es:

k

14160.61  6357.91  5798.94  4098.55

 6357.91

5798.94

5048.74

 4098.55

 4098.55  1612.86

14160.61

Figura 5.3

6357.91

Grados de libertad de la estructura.

4098.55 

 1612.86 6357.91  5048.74 


107

Cada nudo de una viga de cimentación tiene dos grados de libertad que son la rotación y el desplazamiento vertical. En consecuencia, al no existir ninguna restricción de movimiento en los nudos de la estructura que se está resolviendo, se tienen 6 grados de libertad, los mismos que se indican en la figura 5.3. La viga de la izquierda se denomina elemento 1 y la viga de la derecha elemento 2. Con esta identificación el vector de colocación de cada elemento es:

VC (1)  1 VC ( 2)  3

2

3

4

4

5

6

Al efectuar el ensamblaje directo de la matriz de rigidez de la estructura se halla:

14160.61  6357.91  5798.94 K   4098.55  0.0  0.0 

5048.74

 4098.55  1612.86

28321.22 0.0

0.0

5798.94

0.0

4098.55

10097.48

 4098.55  1612.86

14160.61 6357.91

        5048.74

ARCHIVO DE DATOS DE PROGRAMA CAL B1 LOAD K1 R=4 C=4 14160.61 -6357.91 5798.94 -6357.91 5048.74 -4098.55 5798.94 -4098.55 14160.61 4098.55 -1612.86 6357.91 DUP K1 K2 LOADI VC R=4 C=2 1 3 2 4 3 5 4 6 ZERO K R=6 C=6 ADDK K K1 VC N=1 ADDK K K2 VC N=2 PRINT K QUIT

4098.55 -1612.86 6357.91 5048.74

5.4 VECTORES DE CARGAS Y COORDENADAS GENERALIZADAS En la figura 5.2 se indica las cargas actuantes en la viga de cimentación y en la figura 5.3 se muestra el sistema de coordenadas generalizadas. Cuando las cargas actúan en las juntas solo se debe ver en que coordenada actúa la carga y si es en el mismo sentido de la coordenada es positivo, caso contrario es negativo. Para el ejemplo el vector de cargas vale:


108

 4  50     0 Q   60    4     50  Para hallar el vector de coordenadas generalizadas q se debe resolver el sistema de ecuaciones lineales, en la que la matriz de rigidez de la estructura K es la matriz de coeficientes y el vector Q es el término independiente.

SOLUCIÓN  0.0072919  0.021263    0.0  q   0.0068153   0.0072919     0.021263 

5.5 SOLUCIÓN EN PUNTOS INTERIORES A LA VIGA Si se continúa con la solución matricial vista en capítulos anteriores se obtendría las fuerzas y momentos que actúan en los extremos de la viga pero en un diseño a más de tener valores en los extremos se necesita conocer el desplazamiento vertical, la presión que se transmite al suelo, el giro, el momento y el corte en puntos interiores a la viga, para lograr este objetivo se utiliza el formulario indicado en la tabla 5.1 pero previamente se debe calcular las constantes de integración. Para calcular las constantes de integración A1, A2, A3 y A4 se debe recurrir a los desplazamientos verticales y giros ya conocidos y aplicar el formulario indicado en la tabla 5.2.

Tabla 5.2

 1   10

  1   10 

 2   20

  2   20 

1

1

0

0

0

1

 SC  sc

s

CS  sc

S

 S 2  s 2 

 SC  sc

A1 = A2 =

S s 2

A3 =

S s

2

cS  sC

 sS

 cS  sC 

sS

2 sS

cS  sC

2

1 2

A4 =

Formulario para calcular las constantes de integración.

FACTOR

2

2

1

S 2  s2

Donde  10 ,  10 corresponden a la solución particular en el nudo inicial, que depende del tipo de carga que actúa sobre la viga;  20 ,  20 corresponden a la solución particular en el nudo final. Por


109

otra parte,  1 es el desplazamiento vertical en el nudo inicial pero con la nueva convención de signos, se considera positivo si va hacia debajo;  1 es el giro en el nudo inicial, positivo si es horario;

 2 es el desplazamiento vertical en el nudo final, positivo si es hacia abajo y  2 es el giro en el nudo final, positivo si es horario.

Por lo tanto los desplazamientos verticales que vienen en el vector q deben cambiarse de signo para utilizar el formulario de la tabla 5.2. Las constantes de integración que se encuentran en la tabla 5.2 se obtienen reemplazando el valor de los desplazamientos y giros en la tabla 5.1 en X  0 que corresponde al nudo inicial y en X  L que corresponde al nudo final. Al hacer esto se tienen cuatro ecuaciones con 4 incógnitas que son las constantes A1, A2, A3 y A4. Al resolver el sistema de ecuaciones anotado se obtiene las ecuaciones presentadas en la tabla 5.2. En consecuencia, una vez que se tiene el vector q se debe encontrar para cada elemento lo siguiente: i. ii.

Desplazamiento y giro en los nudos  1 ,  1 ,  2 ,  2 . Teniendo en cuenta el cambio de signo en los desplazamientos. Si existe carga en los miembros y de acuerdo al tipo de carga se debe hallar  10 ,  10 en el nudo inicial y  20 ,  20 en el nudo final.

iii. iv. v.

Calcular las constantes de integración A1, A2, A3 y A4 mediante el formulario indicado en la tabla 5.2. Hallar el desplazamiento vertical  , el giro  , el momento m y el cortante V en los puntos interiores de la viga, se puede empezar en X  0 y terminar en X  L . La presión que se transmite al suelo se obtiene multiplicando el desplazamiento vertical por el coeficiente de balasto de suelo. Esta presión en ningún caso será negativa ya que el suelo no trabaja a tracción y deberá ser menor o igual a la presión admisible del suelo. Si no cumple estas dos condiciones se debe incrementar la sección de la viga.

5.6 SOLUCIONES PARTICULARES Y ACCIONES DE EMPOTRAMIENTO Se va a encontrar la solución particular para el caso de carga uniforme distribuida indicada en la figura 5.4. Para el efecto se debe resolver la ecuación diferencial ( 5.1 ).

Figura 5.4

Acciones de empotramiento para una viga sometida a carga uniforme distribuida.

Por se la carga uniforme se plantea que la solución sea una constante, si la carga habría sido de tipo lineal la solución particular también habría sido del tipo lineal. Luego:


110

 o  A La derivada es cero y al sustituir en:

d 4 w  r w Po   EI EI dx 4 Se obtiene:

 r A

EI



Po EI

 A 

Po  r

Luego:

 o 

Po  r

De otro lado se conoce que:

  4

4 EI



 r

 r 

4 EI

 4

Finalmente se tiene:

Po  4  o  4 EI Al ser  o constante, se tiene que  o

vertical

( 5.6 )

 0; mo  0; V o  0

Las acciones de empotramiento perfecto se obtienen para cuando no existe corrimiento ni giro en los nudos inicial y final. En consecuencia se debe reemplazar

 1   2   1   2  0 igual forma  10

en tabla 5.2. Además se debe reemplazar  10

  20  0 .

  20  Po  4 / 4 EI ;

de

Al hacer todos estos reemplazos se hallan las constantes de integración

A1, A2, A3 y A4. Finalmente al sustituir las constantes de integración en el formulario de tabla 5.1 y al evaluar en X=0 se hallan las acciones de empotramiento en el nudo inicial y al evaluar en X=L se encuentran las acciones de empotramiento en el nudo final. Para la nomenclatura y simbología de figura 5.4 se tiene:

Po  2  S  s  M     2  S  s  M '   M

 C  c    S  s 

V  Po   V '  V

( 5.7 )

5.7 USO DE PROGRAMA CIMEVIGA El programa CIMEVIGA resuelve vigas de cimentación sobre suelo elástico con cargas en los nudos y cargas en los elementos. No es obligatorio que tenga los dos tipos de carga. La información que se debe suministrar en el archivo de datos es la siguiente:


111

Número de nudos, número de nudos restringidos, número de miembros y módulo de elasticidad. Para cada elemento se debe indicar: el número del elemento, el nudo inicial y el nudo final. Para cada elemento se debe indicar: el número del elemento, la longitud del elemento y el coeficiente de balasto. Posteriormente para cada elemento se debe dar el número del elemento, la base de la sección transversal y la altura de la sección transversal. Se debe indicar el número de juntas cargadas. Para cada junta cargada se debe indicar: el número de la junta, el momento actuante y la fuerza actuante, en este orden. El momento es positivo si es horario y la carga vertical



 



 

positiva si va hacia arriba.

Se debe indicar el número de elementos cargados. El programa solo trabaja con carga uniforme distribuida. Por lo tanto se debe indicar el número de elemento cargado y la carga que actúa sobre el elemento.

 

EJEMPLO 2



Resolver completamente la viga de la figura 5.2, con el programa archivo de datos e indicar los resultados cada cuarto de luz.

CIMEVIGA. Presentar el

SOLUCIÓN El programa encuentra el desplazamiento vertical, el giro, el momento y el cortante, cada cuarto de luz. Antes de cada grupo de datos se debe indicar cualquier comentario.

ARCHIVO DE DATOS DATOS: NUDOS, NUDOS RESTRINGIDOS, MIEMBROS, MODULO DE ELASTICIDAD 3

0

2

1 2

1 2

2 3

2100000.0

INFORMACION DE ELEMENTOS: ELEMENTO, NUDO INICIAL, NUDO FINAL LONGITUD DE LOS ELEMENTOS Y COEFICIENTE DE BALASTO 1 4.0 2 4.0

3000.0 3000.0

SECCIONES DE LOS ELEMENTOS: ELEMENTO, BASE, ALTURA. 1 2

0.60 0.50 0.60 0.50

CARGAS EN LAS JUNTAS: NUMERO DE JUNTAS CARGADAS 3

JUNTA CARGADA: NUMERO DE JUNTA, MOMENTO, FUERZA 1 2 3

4.00 0.00 -4.00

-50.0 -60.0 -50.0

CARGAS EN LOS ELEMENTOS: NUMERO DE ELEMENTOS CARGADOS 0

SOLUCION La matriz de rigidez de cada elemento, la matriz de rigidez de la estructura, el vector de cargas y el vector de coordenadas generalizadas reporta el programa. Estos valores ya fueron presentados por lo que se omite su presentación. Los resultados cada cuarto de luz son:


112

Tabla 5.3 Elemento

Distancia

1

2

Desplazamiento, giro, momento y corte cada cuarto de luz, de ejemplo 2.

Presión

( m. ) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

Desplazamie nto ( m. ) 0.021263 0.014341 0.009465 0.007216 0.006815

Giro

Momento

Corte

(T/m ) 63.79 43.02 28.39 21.65 20.45

( rad. ) -0.00729 -0.00614 -0.00353 -0.00110 0.000000

( T. m. ) 4.00 -29.02 -35.91 -25.36 -1.53

( T. ) -50.00 -18.14 2.89 17.54 30.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

0.006815 0.007216 0.009465 0.014341 0.021263

20.45 21.65 28.39 43.02 63.79

0.000000 0.00110 0.00353 0.00614 0.00729

-1.53 -25.36 -35.91 -29.02 4.00

-30.00 -17.54 -2.89 18.14 50.00

2

La convención de signos de los momentos indicados en la tabla 5.3 es la de resistencia de materiales. Por lo tanto si los momentos son positivos la tracción es en la fibra inferior y si son negativos en la fibra superior. El cortante es positivo si en el nudo inicial la fuerza es hacia arriba y en el nudo final la fuerza es hacia abajo.



EJEMPLO 3

La viga de cimentación de la figura 5.5, tiene una base de 60 cm., y un peralte de 50 cm. Los apoyos no permiten desplazamiento vertical de tal manera que solo se tiene un giro en cada nudo. El 3 primer vano tiene 4.0 m. de luz y un coeficiente de balasto de 3000 T/m ; el segundo vano tiene 4.5 3 m. de luz y un coeficiente de balasto de 3000 T/m ; el tercer vano tiene 4.0 m. de luz y un coeficiente 3 de balasto de 1000 T/m . Las cargas que actúan sobre cada uno de los elementos están indicadas en figura 5.5. Se pide presentar el archivo de datos para el programa CIMEVIGA. Indicar cual es la matriz de rigidez de la estructura, el vector de cargas generalizadas, el de coordenadas generalizadas y los desplazamientos verticales, la presión transmitida al suelo, giros, momentos y cortantes cada 2 cuarto de luz. El módulo de elasticidad del material es 2100000 T/m . Este ejercicio está resuelto manualmente en Hidalgo (1989).

SOLUCIÓN La matriz de rigidez del elemento 1, fue presentada en el ejemplo 1, con detalle. Los cuatro grados de libertad que tiene la estructura se indican en la figura 5.6.

Figura 5.5 Descripción de la viga de cimentación a resolver.


Figura 5.6

113

Grados de libertad


4

3

1 2 3 4

0 0 0 0

1 1 1 1

1 2 3

1 2 3

2 3 4

2100000.0

NUDO RESTINGUIDO: NUMERO DE NUDO, RESTRICCION AL GIRO, RESTRICCION AL DESPLA.

INFORMACION DE ELEMENTOS: ELEMENTO, NUDO INICIAL, NUDO FINAL

LONGITUD DE LOS ELEMENTOS Y COEFICIENTE DE BALASTO 1 4.0 3000.0 2 4.5 3000.0 3 4.0 1000.0

SECCIONES DE LOS ELEMENTOS: ELEMENTO, BASE, ALTURA. 1 2 3

0.60 0.50 0.60 0.50 0.60 0.50



ELEMENTOS CARGADOS: NÚMERO Y CARGA VERTICAL 1 2 3

3.0 4.8 2.0

SOLUCIÓN 14160.612 5798.936 K    0.00   0.00

5798.936

0.00

27254.323

4791.749

4791.749

26577.282

0.00

3.766  3.603   Q  4.756    2.612

6295.108

0.000218  0.000116   q  0.000173    0.000113

  0.00  6295.108   13483.570 0.00


114

ANALISIS CADA CUARTO DE LUZ DE ELEMENTO 1 DIST.

DESPLA.

GIRO

.00

.000000

.00022

MOMENTO .00000

1.00

.000179

.00011

2.00

.000190

-.00008

3.00

.000054

4.00

.000000

CORTE

PRESION

3.86208

.00000

2.42373

1.03988

.17858

2.14223

-1.59968

.18957

-.00015

-.82150

-4.36949

.05429

.00012

-6.67701

-7.36005

.00000


DESPLA.

GIRO

MOMENTO

CORTE

PRESION

.00

.000000

.00012

-6.67701

9.88491

.00000

1.13

.000298

.00030

1.49823

4.75383

.29793

2.25

.000495

.00001

4.25306

.21158

.49483

3.38

.000322

-.00029

1.98534

-4.30277

.32162

4.50

.000000

-.00017

-5.65778

-9.39768

.00000

ANALISIS CADA CUARTO DE LUZ DE ELEMENTO 3



DIST.

DESPLA.

.00

.000000

-.00017

GIRO

-5.65778

MOMENTO

5.39736

CORTE

PRESION .00000

1.00

-.000020

.00008

-1.26889

3.37900

-.01978

2.00

.000070

.00007

1.11322

1.39449

.06987

3.00

.000087

-.00004

1.53326

-.55262

.08716

4.00

.000000

-.00011

.00000

-2.52280

.00000

EJEMPLO 4

A la viga de cimentación de la figura 5.7 llegan tres columnas pero la viga tiene en sus dos extremos unos voladizos el uno de 1.50 m., de longitud y el otro de 1.80 m., de longitud. Los dos vanos centrales son de 6.0 m., cada uno. En el tramo izquierdo de 1.50 m., el coeficiente de balasto 3 3 es igual a 2000 T/m ; en el de 6.0 m., el coeficiente de balasto es igual a 2500 T/m , en el siguiente 3 vano de 6.0 m., el coeficiente de balasto es de 2500 T/m y en el último vano de 1.8 m., de longitud el 3 coeficiente de balasto es de 2000 T/m . La base de la viga es constante en toda su longitud y vale 1.8 metros, el peralte de cada tramo va cambiando y tiene las siguientes dimensiones: 58.48 cm., en el vano en voladizo; 64.375 en el segundo vano; 66.943 en el tercer vano y 58.48 cm., en el último vano. 2 El módulo de elasticidad del material es 2100000 T/m . Se pide presentar el archivo de datos para resolver esta viga de cimentación con el programa CIMEVIGA y presentar los desplazamientos, la presión transmitida al suelo, giros, momentos y corte, cada cuarto de la luz. Este ejercicio está resuelto manualmente en Hidalgo (1999).

Figura 5.7

Viga de cimentación con voladizos.


115

SOLUCIÓN



Al igual que en vigas en el aire, que tienen voladizos, se puede analizar aparte el voladizo, encontrar las acciones de empotramiento perfecto y colocarle como carga en el nudo, cambiando de sentido. Esta es una posibilidad y la otra es considerar al extremo del voladizo como un nudo más, la última opción es la que se considera en el presente ejemplo, de tal manera que la estructura tiene 10 grados de libertad.


0

4

2100000.0

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 5

1 2 3 4

1.5 6.0 6.0 1.8

2000.0 2500.0 2500.0 2000.0

1 2 3 4

1.80 1.80 1.80 1.80


LONGITUD DE LOS ELEMENTOS Y COEFICIENTE DE BALASTO

SECCIONES DE LOS ELEMENTOS: ELEMENTO, BASE, ALTURA. 0.5848 0.6437 0.6694 0.5848


NUMERO DE LA JUNTA CARGADA, MOMENTO Y FUERZA VERTICAL 2 3 4

20.0 35.0 25.0

-65.0 -85.0 -75.0


Tabla 5.4 Elemento

Desplazamiento, giro, momento y corte cada cuarto de luz, de ejemplo 3.

Distancia ( m. ) 0.00 0.38 0.75 1.13 1.50

Desplazamiento ( m. ) 0.004175 0.004098 0.004017 0.003927 0.003816

Presión 2 (T/m ) 8.35 8.20 8.03 7.85 7.63

Giro ( rad. ) -0.00021 -0.00021 -0.00022 -0.00026 -0.00034

Momento ( T. m. ) 0.00 1.05 4.18 9.33 16.48

Corte ( T. ) 0.00 5.58 11.06 16.43 21.66

2

0.00 1.50 3.00 4.50 6.00

0.003816 0.003069 0.002529 0.002625 0.003072

7.63 6.14 5.06 5.25 6.14

-0.00034 -0.00052 -0.00015 0.00025 0.00023

36.48 -10.35 -25.90 -15.28 22.24

-43.34 -19.96 -1.39 15.66 34.90

3

0.00 1.50 3.00 4.50 6.00

0.003072 0.003005 0.002931 0.003541 0.004791

6.14 6.01 5.86 7.08 9.58

0.00023 -0.00016 0.00014 0.00067 0.00090

57.24 -2.21 -31.20 -29.92 7.80

-50.10 -29.27 -9.49 11.90 39.81

1


116

4

0.00 0.45 0.90 1.35 1.80

0.004791 0.005151 0.005450 0.005720 0.005983

9.58 10.30 10.90 11.44 11.97

0.00090 0.00072 0.00062 0.00059 0.00058

32.80 18.76 8.47 2.15 0.00

-35.19 -27.12 -18.53 -9.48 0.00

5.8 VIGA T INVERTIDA En la elección de la forma de la sección transversal de la viga de cimentación, se debe tener presente que se requiere que la viga tenga gran inercia a flexión y además que el ancho de la misma sea adecuado para que le de estabilidad a la cimentación. Estas dos condiciones se las cumple con las vigas T invertidas, ya que tienen una gran base que le da estabilidad y un gran peralte con lo que se garantiza una considerable inercia a flexión. En la figura 5.8 se presenta la sección transversal de la viga T que se propone, la misma que tiene un ancho superior de magnitud t y un ancho inferior de magnitud 3t. Por otra parte el peralte del ala es d y el resto del peralte es 1.5 d. De tal manera que la altura total de la sección transversal es

2.5 d.

Figura 5.8 

Nomenclatura utilizada en el modelo.

Para esta geometría el centro de gravedad

I 

c

5427 2592

33 36

t d 3

d y el momento de inercia a flexión vale:

( 5.8 )

El programa CIMEVIGA trabaja con vigas rectangulares, de tal manera que si se quiere resolver una cimentación con vigas T, se debe encontrar una sección rectangular equivalente que tenga la misma inercia a flexión, como se ilustra en la figura 5.9 El ancho equivalente be se puede considerar igual a la semisuma de la base mayor y la base menor. La altura equivalente he se obtiene en base a la inercia a flexión.


be 

3t  t

he  3

Figura 5.9



2

 2.0 t

12 I

( 5.9 )

be

Viga rectangular equivalente a la viga T.

EJEMPLO 5

Determinar el centro de gravedad y el momento de inercia a flexión de la viga efecto considerar las figuras rectangulares indicadas en la figura 5.10.

Figura 5.10



117

T, para el

Figuras consideradas para la deducción de inercia a flexión.

SOLUCIÓN

En la tabla 5.5 se muestra el cálculo del centro de gravedad de la viga T con respecto al eje Y, con respecto al eje X se halla en 1.5 t, medido con respecto a un eje de coordenadas cuyo origen está ubicado en el borde inferior izquierdo. Por otra parte, en la tabla 5.6 se halla el momento de inercia con respecto al centro de gravedad.


118

Tabla 5.5 Cálculo del centro de gravedad en sentido Y. Área Y

Figura

t d

1

2

5 2



9 2

t d

2

2

d

25 8

4

t d

3

d 5

t d

Y Área

t d 2

d

t d 2

2

2

33

t d

8

t d 2

 Y Área  33td / 8  33 d c  Área 9td / 2 36 2

Tabla 5.6

Cálculo del momento de inercia con respecto al centro de gravedad.

Figura

I cg

1

t  d 3

225

12

1296

2 3



Y 2 Área

125 t d

144

96

1296

3

225

12

1296

96

405

t d 3

t d 3 5

  t d 3

t  d 3 141

2

648

2

t d 3 t d 3

 141 405  5427 3 td   96 648 2592  

I  td 3 

Figura 5.11 Descripción de las vigas de cimentación de ejemplo 8.

CEINCI – ESPE Roberto Aguiar Falconí 

119

EJEMPLO 6

Se desea resolver la viga de cimentación de la figura 5.11, que esta compuesta por una sección en forma de T invertida en la parte sombreada y vigas rectangulares en la parte central de los tramos. El peralte de la viga T y rectangular es de 50 cm. Las cargas que gravitan son las indicadas 2 en la figura 5.15. El módulo de elasticidad es E = 1738970.0 T/m ; el coeficiente de balasto del suelo 3 2 vale 500 T/m y la presión admisible del suelo es de 10 T/m . En la figura 5.12 se presenta una vista en planta de la cimentación.

Figura 5.12

Vista en planta de la geometría de las vigas de cimentación.

La viga T tiene una base superior de 0.40 m., y una base inferior de 1.20 m., el peralte total es de 0.50 m., pero el peralte del ala es de 0.20 m. En la figura 5.13 se indica la geometría de la viga T, a la izquierda y de la viga rectangular a la derecha. Con esta estructuración se optimiza el diseño y se facilita el sistema constructivo.

Figura 5.13 Sección transversal de la viga T y rectangular. Este ejercicio fue resuelto por Fernando Ruiz (2005) utilizando el programa CIMEVIGA, para ello se debe encontrar en primer lugar la sección de la viga rectangular equivalente a la T.

I  be

5427

t d 3 

5427

0.40  0.20  0.0067 m 3

2592 2592 1.20  0.40   0.80 m. 2

he  3

12 I

be

3

12  0.0067 0.80

 0.465 m.

4


120

En la figura 5.14 se indica la numeración de nudos y de los elementos se ha colocado dentro de un círculo.

Figura 5.14

Numeración de elementos y nudos.

Antes de presentar el archivo de datos se recuerda que para los datos de las cargas, la convención de signos adoptada es el momento es positivo si es horario y la carga vertical es positiva si va hacia arriba.

DATOS: NUDOS, NUDOS RESTRINGIDOS, MIEMBROS, MODULO DE ELASTICIDAD 8

0

7

1738970.0

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

1.05 1.8 1.0 1.0 2.0 0.75 0.75

500.0 500.0 500.0 500.0 500.0 500.0 500.0

1 2 3 4 5 6 7

0.80 0.40 0.80 0.80 0.40 0.80 0.80

0.46 0.50 0.46 0.46 0.50 0.46 0.46


LONGITUD DE LOS ELEMENTOS Y COEFICIENTE DE BALASTO

SECCIONES DE LOS ELEMENTOS: ELEMENTO, BASE, ALTURA.


JUNTA CARGADA: NUMERO DE JUNTA, MOMENTO, FUERZA 1 4.0 4 -2.0 7 -2.0

-10.0 -22.0 -12.0



121

Los momentos y cortantes en los extremos de los elementos que se obtienen luego de ejecutar el programa CIMEVIGA se indican en la figura 5.15 únicamente para los cuatro primeros elementos.

Figura 5.15

Momentos y cortantes finales en los extremos de los elementos.

En todos los elementos se verifica que la presión transmitida al suelo por efecto de las cargas es menor a 10 T/m2 como se aprecia en la última columna del reporte del programa CIMEVIGA. Se indican los resultados obtenidos únicamente para los cuatro primeros elementos. ANALISIS CADA CUARTO DE LUZ DE ELEMENTO 1 DIST.

DESPLA.

GIRO

MOMENTO

CORTE

PRESION

.00

.019699

-.00076

4.00000

-10.00000

9.84949

.26

.019489

-.00083

1.64553

-7.94251

9.74429

.53

.019268

-.00085

-.17181

-5.90775

9.63394

.79

.019048

-.00083

-1.45808

-3.89622

9.52398

1.05

.018837

-.00078

-2.21931

-1.90738

9.41833

CORTE

PRESION


DESPLA.

GIRO

MOMENTO

.00

.018837

-.00078

-2.21931

-1.90738

9.41833

.45

.018519

-.00062

-2.69845

-.22690

9.25954

.90

.018275

-.00046

-2.42732

1.42829

9.13759

1.35

.018097

-.00034

-1.41581

3.06464

9.04869

1.80

.017957

-.00030

.32877

4.68697

8.97873


DESPLA.

CORTE

PRESION

.00

.017957

-.00030

GIRO

MOMENTO .32877

4.68697

8.97873

.25

.017880

-.00032

1.72466

6.47890

8.94003

.50

.017793

-.00038

3.56754

8.26266

8.89645

.75

.017686

-.00048

5.85520

10.03681

8.84289

1.00

.017546

-.00064

8.58493

11.79873

8.77301

CORTE

PRESION


DESPLA.

GIRO

MOMENTO

.00

.017546

-.00064

6.58493

-10.20127

8.77301

.25

.017369

-.00076

4.25323

-8.45526

8.68456

.50

.017168

-.00084

2.35572

-6.72823

8.58424

.75

.016955

-.00087

.88738

-5.02201

8.47729

1.00

.016736

-.00088

-.15710

-3.33748

8.36778

5.9 COMENTARIOS PARA EL DISEÑO Si bien es cierto este no es un libro de diseño, sin embargo es necesario dar ciertas nociones relacionadas con la forma como se procede para diseñar una viga de cimentación sobre suelo considerado elástico.


122



A la cimentación se transmite una fuerza horizontal que no ha sido considerada en el análisis estático presentado. Ahora bien se debe encontrar el cortante basal que llega a la fundación y verificar que este cortante no va a desplazar a la cimentación. Para evitar esto se debe cimentar a una profundidad adecuada. Si existe problema de desplazamiento por efecto del cortante basal (fuerza horizontal) se debe cimentar a una mayor profundidad o agrandar la cimentación para que tenga más peso, pero ésta última opción no es recomendable. Se debe verificar que la resistencia al corte del suelo  RES sea mayor que el cortante actuante  ACT .

 ACT 

V 0 A

 RES  C   tag

 

N A

F .S . 

 RES  ACT

Donde V 0 es el cortante basal; A es el área en planta de la cimentación que está en contacto con el suelo; C es la cohesión del suelo;  es la tensión normal; N es la fuerza normal que actúa sobre la cimentación (igual al peso); tag es el coeficiente de rozamiento del suelo;  es el ángulo de fricción del suelo. F .S . es el factor de seguridad al desplazamiento horizontal de la cimentación, se recomienda que sea mayor a 2. 

El control de que la presión transmitida al suelo por efecto de las cargas sea menor o igual a la presión máxima admisible del suelo  AD , debe realizarse con cargas de servicio. Se debe resolver la viga de cimentación para los siguientes estados de carga: i) iv)

D+L D+S

ii) v)

D+L+S D – S

iii)

D + L – S

Donde D es el estado de cargas permanente (muerta); L es el estado de cargas transitorias (viva); S es el estado de cargas sísmicas. Para el primer estado de carga se considera el 100% de la carga viva. En cambio para los estados de carga ii) a v) se debe trabajar con un porcentaje de la carga viva; para viviendas este porcentaje es del 25% de la carga total viva. En una curva esfuerzo deformación de un suelo, existen tres zonas, la primera se denomina de adensamiento, la segunda elástica y la tercera plástica. En la primera zona predominan las deformaciones por compactación y consolidación. En la segunda zona la relación entre el esfuerzo y la deformación tiende a ser lineal y la tercera se caracteriza por un incremento muy rápido de las deformaciones por efecto de la carga. Se define  R como el esfuerzo de rotura del suelo como el límite entre la deformación elástica y el inicio de la deformación plástica. En base a  R se determinan dos esfuerzos admisibles del suelo  AD el uno es para cargas verticales  AD V y el otro es para cargas sísmica  AD S

 ADV  En el estado de carga i)

 R 3

 ADS 

 R 2

D + L la presión transmitida al suelo debe ser menor a  AD V . En los

estados de carga ii) a v) la presión transmitida al suelo será menor a  AD S . Se ha visto que ante cargas rápidas y de corta duración como son las acciones sísmicas el suelo tiene mejor comportamiento por este motivo es que  AD S es mayor al  AD V .

Una vez que se ha controlado la presión transmitida al suelo se procede al diseño, para ello las cargas deben ser mayoradas para pasar de cargas de servicio a cargas últimas.

Cap5 Vigas de Cimentacion

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