Capitolul 5 Transformata Laplace
Cuprins I. Transformata Laplace 1. Noţiuni fundamentale 2. Proprietăţi ale transformatei Laplace 3. Determinarea originalului când se cunoaşte imaginea 4. Exercitii II. Aplicaţii ale transformatei Laplace 1. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi 2. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi 3. Rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Volterra 4. Rezolvarea unor ecuaţii cu derivate parţiale 5. Exercitii
I. Transformata Laplace 1. Noţiuni fundamentale Definiţia 1. Funcţia f : R C se numeşte funcţie original dacă 1. f(t) = 0, t < 0; 2. f este continuă pe porţiuni; 3. () M > 0 şi s0 0 a.î. |f(t)| M e s t . 0
Numărul real s0 se numeşte indicele de creştere al funcţiei original. Un exemplu foarte important de funcţie original este dat de funcţia unitate a lui Heaviside 0, 1 (t ) 2 1
t 0 t 0,
(1)
t 0
care are indicele s0 = 0. Prima condiţie din definiţia funcţiei original restricţionează foarte mult clasa acestor funcţii. Această ipoteză a fost impusă de problemele practice în care funcţia f(t) reprezintă o mărime fizică cu proprietatea că, sau este nulă înainte de momentul iniţial t = 0, sau valorile sale pentru t 0 nu prezintă interes. Funcţiile elementare îndeplinesc condiţiile 2. şi 3., dar nu şi pe 1., adică nu se anulează pentru orice valoare negativă. Dar, acest inconvenient a fost depăşit. Pentru ca o astfel de funcţie să devină functie original se înmulţeşte cu funcţia unitate (t ) , spre exemplu f(t) = cos t f(t)
t 0
0, 1 (t ) 2 cos t
t 0
este funcţie original.
t 0
Dar, pentru a nu complica scrierea, notăm şi înainte şi după înmulţire cu acelaşi simbol adică 0, 1 f (t ) 2 cos t
t 0 t 0. t 0
Propoziţia 1. Fie funcţiile original f(t) şi g(t) şi C. Suma f(t) + g(t) şi produsele f(t)g(t), f(t) sunt funcţii original. Definiţia 2. Funcţia F de variabilă complexă definită prin
F (s)
f (t )e
st
dt
,
(2)
0
unde s = x + iy, iar f este funcţie original, se numeşte transformata Laplace a funcţiei f sau imaginea funcţiei f prin transformata Laplace.
Integrala (2) este absolut convergentă în semiplanul Res = x > s0. Într-adevăr, l
l
f (t )e
st
dt
0
l
f (t ) e
st
dt
0
M x s0
f (t ) e
x iy t
l
dt
0
1 e
( x s0 ) l
Me
( x s0 ) t
e
dt M
( x s0 )
0
l
x s0
f (t )e
st
M
dt
x s0
0
l
( x s0 ) t
0
.
Deci, transformata Laplace (2) există în semiplanul Res = x > s0. Ea este un operator prin care funcţiei original f(t) îi corespunde funcţia imagine F(s) şi o notăm prin L ( f ( t )) F ( s ) sau L
f (t ) F ( s )
. De asemenea, vom nota funcţiile original cu litere mici f(t), g(t), h(t),… iar
imaginile lor cu literele mari corespunzătoare F(s), G(s), H(s),… Teorema 1. Funcţia imagine F(s) este olomorfă în semiplanul Res = x > s0 şi
F '(s)
st
tf ( t ) e
dt
.
0
Exemple.
1. Determinăm imaginea prin transformata Laplace a funcţiei unitate (t ) . Ţinând cont că (t ) are s0 = 0, L ( ( t )) există în semiplanul x > 0. În baza lui (2) avem,
L ( ( t ))
(t )e
st
dt
0
e
st
dt
0
e
st
s
1
,
s
0
l
deoarece e st e x iy t e xt lim e st 0 . x0
2. Funcţia exponenţială
Tema.
s 0 Re
f (t ) e
t
, C, este funcţie original cu
0 , Re 0 s0 Re , Re 0
Res = x >
t
şi
L (e
t
)
e
t
e
st
dt
0
e
( s )t
dt
0
e
( s )t
(s )
0
1 s
,
.
Care este imaginea prin transformata Laplace a funcţiei original
f (t ) e
t
?
În secţiunea următoare, folosind proprietăţile transformatei Lapace, vom vedea şi alte posibilităţi de determinare a imaginii F(s) a funcţiei original f(t). 2. Proprietăţi ale transformatei Laplace Teorema 2. Dacă L ( f ( t )) F ( s ) şi L ( g ( t )) G ( s ) atunci L ( f ( t ) g ( t )) F ( s ) G ( s ) , , C
Demonstraţie.
L ( f ( t ) g ( t ))
st f ( t ) g ( t ) e dt 0
0
(3)
f (t )e
st
dt
g (t ) e 0
st
dt
F (s) G (s) .
Relaţia (3) exprimă faptul că transformata Laplace este un operator liniar. În continuare, folosind această proprietate vom găsi imaginile prin transformata Laplace a funcţiilor trigonometrice şi hiperbolice. Exemple. Determinăm imaginile prin transformata Laplace ale funcţiilor sin t, cos t, sh t şi ch t, C. Să ne reamintim mai întâi definiţiile funcţiilor trigonometrice şi hiperbolice: iz iz e e cos z 2 iz iz sin z e e 2i
şi
z e chz z shz e
z
e 2
z
e
.
2
Aplicându-le transformata Laplace şi ţinând cont de proprietatea de liniaritate a acesteia şi de
L (e
L (sin t ) L (
e
t
i t
1
)
e
i t
1
)
2i
2i
s i s i
2i s
L (cos t ) L (
2
e
i t
2
e
s 2
i t
)
2 s
L ( sh t ) L (
e
t
2
e
t
)
e
t
e
)
2
Tema.
Care
este
1
f ( t ) 3 sin 2 t 5 4 e
1 2
imaginea 2 t
L ( e
s
1 1 1 2 i s i s i
1 1 1 2 s i s i
) L (e
i t
)
) L (e
i t
)
;
2
2
2 t
i t
i t
s
2
2
L ( sh t ) L (
1 2
s i s i
L ( e
2
avem:
s
2
;
L ( e
t
) L (e
t
)
1 1 1 2 2 2s s s
L ( e
t
) L (e
t
)
1 1 1 2 2 2s s s
prin
transformata
Laplace
a
funcţiei
0
f (t )e
original
?
Teorema 3. (Teorema deplasării) Dacă L ( f ( t )) F ( s ) atunci t L ( e f ( t )) F ( s ) , C. Demonstraţie. F ( s )
;
( s ) t
dt
e
t
f (t ) e
st
dt
. Dar
e
(4) t
f (t )
este funcţie original cu
0
indicele de creştere s0 + Re , unde s0 este indicele de creştere al lui f(t), iar funcţia F ( s ) este olomorfă în semiplanul Res = x > s0 + Re . Deci (4) este justificată. Exemple.
Ţinând cont de (4) şi de imaginile funcţilor trigonometrice calculăm:
1.
L (e
2t
sin 3 t )
s 9 3
L (sin 3 t )
2
2.
L (e
3t
cht 2 e
s 1
L (e
3t
cos 4 t ) L ( e
3t
L ( e 3 t cht )
2
3
s 16
s 2 2
s3
s 3 2
L ( e 3 t cos
2
3
.
9
cht ) 2 L (1) L ( e
1
s
L (cos 4 t )
2
3
sin 3 t )
2t
s
L ( cht )
2 L (1)
2
cos 4 t )
;
s3
4t )
3t
s 3 2
;
16
.
s
Deci,
L (e
3t
cht 2 e
3t
cos 4 t )
s3
s 3
2
1
2
s
s3
s 3 2
16
.
Calculaţi L ( e t sh 3 t 3 e 3 t e 2 t sin 5 t ) . Tema. Teorema 4. (Teorema întârzierii) Dacă L ( f ( t )) F ( s ) atunci st 0
L ( f ( t t 0 )) e
Demonstraţie.
f (t t 0 ) 0
L ( f ( t t 0 ))
t t0
pentru
st
dt
0
st
f (t t 0 )e
st
dt
Calculăm
L (e
2(t 4 )
) e
4s
dt
st
f (t t 0 ) e
dt
.
t0
t t0
conduce la
f ( ) e
s ( t 0 )
d e
st 0
2(t 4 )
L (sin 3 t )
L (e ) 2t
f ( ) e
s
d e
st 0
F (s)
.
0
L (sin 3 ( t 1) e s
st
t0
0
L (sin 3 ( t 1)) e
Tema.
f (t t 0 ) e
f (t t 0 )e
t0
Exemple.
dt
0
În ultima integrală, schimbarea de variabilă L ( f ( t t 0 ))
(5)
. Deci
t0
f (t t 0 )e
F (s) , t0 0
e
4s
s2
). s
s 9 3e 2
L (sin 3 ( t 1) e
2(t 4 )
)
=
3e
s
s 9 2
+
e
4s
s2
.
Calculaţi L ( ch 2 ( t 4 ) sin 5 ( t 1)) .
Teorema 5. (Teorema derivării originalului) Dacă L ( f ( t )) F ( s ) şi derivatele lui f : f’, f’’,…, f(n) sunt funcţii original atunci L( f
(n)
( t )) s F ( s ) s n
n 1
f (0) s
n2
f ' ( 0 ) ... sf
(n2)
(0) f
( n 1 )
(0)
,
(6)
unde f’ (0), f’’(0),…, f (n) (0) sunt limitele la dreapta în 0. Exemple.
s
Cunoaştem imaginea funcţiei f(t )= cos t, L (cos t )
s 2
şi determinăm
2
imaginea lui sin t, folosind (6) pentru n = 1. L ( f ' ( t )) sF ( s ) f ( 0 ) f ' ( t ) sin t L (sin t ) 2 . 2 s
L ( sin t ) s
s s 2
1
L (sin t )
2
s 2
2
Fie f(t)=2sint 5t + e-3t . Calculaţi L ( f ' ( t )) folosind teorema derivării originalului.
Tema.
Teorema 5. (Teorema derivării imaginii) Dacă L ( f ( t )) F ( s ) atunci L ( t f ( t )) F n
(n)
.
(s)
(7)
Cu ajutorul relaţiei (7) vom determina imaginea funcţiei polinomiale tn. Avem L ( t f ( t )) F
1 f ( t ) 1 F ( s ) L (1) s n
(n)
(s)
1
(n)
L ( t ) n
s
Mai mult, utilizând şi teorema deplasării, obţinem Exemple.
Calculăm
L ( t cos 2 t t te 3
t
)
( 1) n ! n
( 1) L ( t ) n
n
s t
L (e t )
n!
n
s
'
2
Tema.
Calculaţi
. Deci,
L ( t sin t 2 t e 2
.
.
s s 4 L ( t cos 2 t ) L (( t ) cos 2 t ) L (cos 2 t ) 2 2 2 s 4 s 4
n 1
.
s n 1
'
2 s 4 L ( t cos 2 t ) 2 2 s 4 3! 3 L (t ) 4 s 1 t L ( te ) 2 s 1
n!
L (t n )
n 1
3
2t
s 4 2
L ( t cos 2 t t te 3
4t ) 4
t
)
s
2
4
2
3! s
4
1
s 12
.
.
Teorema 6. (Teorema de derivare în raport cu parametrul) Dacă L ( f ( , t )) F ( , s ) , în care este un parametru real, atunci L(
f
( , t ))
F
( , s )
.
(8)
Vom utiliza teorema de derivare în raport cu parametrul în rezolvarea ecuaţiilor cu derivate parţiale. Exemple.
Relaţia (8) ne oferă o altă posibilitate de a găsi Ştim că
L (e
t
)
1
L ( te
şi
n
n
L (t ) .
. Aplicând (8) considerând pe parametru
s '
t
t
L (e t )
1 ) s
L ( te
t
1!
)
s 2
.
Aplicăm din nou (8): 2
L (t e
t
1 ) s
'
2
2
L (t e
t
2!
)
s 3
Repetând derivarea în raport cu obţinem, Din teorema deplasării
n!
L (t ) n
s
Calculaţi
Tema.
5
L (t e
t
4t e 7
4t
n 1
. n
L (t e
t
)
n!
s n 1
.
.
).
Teorema 7. (Teorema integrării originalului) Dacă L ( f ( t )) F ( s ) atunci t
F (s)
L ( f ( ) d )
.
(9)
s
0
t
Integrala
dă o nouă funcţie original cu acelaşi indice de creştere ca şi f(t).
f ( ) d
0
Relaţia (9) arată că imaginea sa se obţine împărţind imaginea lui f(t) la s. Exemple.
Determinăm imaginea funcţiei sin 2 t . Fie f ( t ) sin 2 t care are imaginea L (sin 2 t ) t
2 s 4 2
. Un calcul imediat arată că
t
f ( ) d sin 2 d
0
cos 2 2
0
t
L ( f ( ) d ) L ( 0
Tema.
2
1
sin
2
t)
t
1 cos 2 t 2
0
2
s s 4 2
2
t
Fie f ( t ) sin 5 t . Cât este
L ( sin 5 d ) ? 0
L (sin
1
2
sin
2
t)
t . Aplicând (9), avem
2
2
s s 4 2
2
.
Teorema 8. (Teorema integrării imaginii) Dacă L ( f ( t )) F ( s ) atunci L(
f (t )
F ( w ) dw .
)
t
Exemple.
(10)
s
Exemple Determinăm imaginea funcţiei
sin t
.
t
Într-un exemplu anterior am găsit că L(
sin t
)
t
Tema.
Determinaţi
L(
sh 3 t
w s
)
2
2
L (sin t )
dw
1
s
arctg
2
w
2
s
. Aplicând (9), rezultă 2
arctg
s
.
.
t
Observaţia 1. În relaţiile (6), (7), (9), (10) se poate vedea că operaţiile de derivare şi integrare care se fac asupra funcţiilor original sau imagine conduc la operaţii algebrice. Imaginile unor funcţii uzuale
f(t) 1
F(s) 1 s
e
t
1 s
sin t
s 2
cos t
s s 2
s 2
ch t
s
2
n!
n
s t
2
s 2
e t
2
sh t
t
2
n
n 1
n!
s n 1
Observaţia 2. Aşa cum am văzut, imaginea pin transformata Laplace a funcţiei unitate (t ) este funcţia
1 s
. Este firesc să punem problema şi invers, există o funcţie care să aibă imaginea prin
transformata Laplace funcţia constantă 1? Răspunsul este afirmativ. Funcţia a cărei imagine este 1 se numeşte funcţia lui Dirac, se notează cu (t ) şi are proprietatea că nu se anulează în origine, adică ( 0 ) 0 . 3. Determinarea originalului când se cunoaşte imaginea Se pune acum problema inversă, adică cum se poate determina originalul f(t) când se cunoaşte imaginea F(s)? Răspunsul este dat de următoarea teoremă: Teorema 9. ( formula Mellin - Fourier) Dacă f este funcţie original cu indicele de creştere s0, iar F(s) este imaginea sa, atunci t punct f ( t ), F ( s ) e ds f ( c 0 ) f ( c 0 ) , 2 i a i 2 1
de
a i
continuita te
st
,
c
punct
de
discontinu itate
unde f ( c 0 ) lim f ( x ) , f ( c 0 ) lim f ( x ) şi a > s0. x c xc
x c xc
Formula Mellin-Fourier ne oferă o posibilitate de calcul a originalului când se cunoaşte imaginea. Însă, de multe ori aceasta poate duce la calcule dificile. De aceea vom prezenta în continuare şi alte câteva modalităţi de găsire a lui f(t) când F(s) este o funcţie raţională, adică F (s)
A(s)
,
B (s)
I.
unde A ( s ) şi B ( s ) sunt polinoame. A(s)
F (s)
B (s)
se decompune în fracţii simple şi apoi, folosind poprietăţile transformatei
Laplace, se scrie sub forma unei combinaţii liniare de imagini ale funcţiilor uzuale cunoscute. Exemple.
1. Fie
F (s)
2 s3
3s 5 s 9 2
. Determinăm originalul f(t).
Deoarece F ( s ) este descompusă în fracţii simple, formăm combinaţiile liniare de imagini ale funcţiilor uzuale. F (s)
2 s4
2. Fie
3s 5 s 9 2
F (s)
2
1
s4 3s 2
3
s s 9 2
5
3
3 s 9 2
f (t ) 2 e
1 s 1 2
3 cos 3 t
5
sin 3 t
.
3
. Se poate scrie:
s 4s 5 3s 2 3( s 2 ) 4 s2 1 F (s) 2 3 4 . 2 2 2 s 4s 5 (s 2) 1 (s 2) 1 (s 2) 1 2
4t
Ştiind că
s s 1 2
şi
sunt imaginile funcţiilor cost respectiv, sint şi aplicând teorema deplasării cu
=2
f (t ) 3e
2t
cos t 4 e
2t
sin t
3. Determinăm originalul lui
.
F (s)
s s 9 2
e
2s
.
s
Din tabelul imaginilor uzuale ştim că
s 9 2
este imaginea funcţiei cos3t. Dar în
exerciţiul dat acesta apare multiplicat cu exponenţiala e 2 s . Aplicând teorema întârzierii (relaţia (5)) obţinem f ( t ) cos 3 ( t 2 ). 4. Fie
. Descompunem în fracţii simple
s ( s 1)( s 4 ) 2
s4
F (s)
a
s ( s 1)( s 4 ) 2
b
s 1
s
cs d s 4 2
s 4 a ( s 1)( s 4 ) bs ( s 4 ) cs d s ( s 1)
s 0 s 1 s 2i
F (s)
2
1 s
Tema.
s4
F (s)
2
4 4a 5 5b 2 i 4 ( 2 ic d )( 2 i 4 )
1 s 1
1 s 4 2
1 s
1 s 1
Determinaţi funcţia original a imaginii
a 1 . b 1 c 0 , d 1
1
2
2 s 4 2
F (s)
f (t ) 1 e t
1
sin 2 t
.
2 s
( s 1)( s 4 ) 2
2
.
II. Determinarea originalului prin intermediul produsului de convoluţie. Definiţia 3. Operaţia
f
t
g t
f ( ) g ( t ) d
(11)
0
se numeşte produsul de convoluţie al funcţiilor f şi g. Teorema 10. (Produsul a două imagini) Dacă L ( f ( t )) F ( s ) şi L ( g ( t )) G ( s ) atunci L ( f g ( t )) F ( s ) G ( s ) . Exemple.
Fie
F (s)
1
s 1 s 2
1
. Determinăm originalul f(t).
Deoarece F ( s ) este produsul imaginilor sin t
(12)
1 s 1
şi
1 s 1 2
a funcţiilor original e t şi
, putem aplica (12) şi avem
1
L e sin t t
s 1 s
2
1
f ( t ) e sin t t
t
Din (11)
f ( t ) e sin t t
e
sin( t ) d
, integrală pe care o calculăm prin
0
părţi. t
f (t )
e 0
cos( t ) ' d
e cos( t )
t 0
t
e 0
cos( t ) d
t
e cos t t
e
sin( t ) ' d
e cos t e sin( t ) t
t
t
e
0
0
sin( t ) d
0
e cos t sin t f ( t ) t
e
1
f (t )
2
Tema.
t
cos t sin t
.
Folosind produsul de convoluţie, determinaţi funcţia original a imaginii F (s)
3
.
s (s 9) 2
2
A(s)
F (s)
III. Formula Mellin-Fourier în cazul
se simplifică foarte mult prin aplicarea
B (s)
teoriei reziduurilor, şi anume avem Teorema 11. Dacă
F (s)
A(s)
satisface
B (s)
1. grad A grad B – 2 şi p
2. B(s) are rădăcinile sk multiple de ordinul mk, (
m k gradB
), atunci
k 1
p
rez F ( s ) e ( s ) .
f (t )
st
(13)
k
k 1
Exemple.
s 2s 4 2
F (s)
Fie
Avem
s 1 s 2
1
. Determinăm originalul f(t) cu formula (13).
şi B ( s ) s 1 s 2 i . Conform cu (III.2.12)
A(s) s 2s 4
1
2
s 1 1 şi s 2 , 3
f ( t ) rez F ( s ) e
rez F ( s ) e
st
( 1)
.
B(s) are rădăcinile simple
( 1) rez F ( s ) e ( i ) rez F ( s ) e ( i ) . s 2 s 4 e s 2 s 4 e 7 e . 2 s 1 s 1 2 s s 1 s 1 st
st
2
st
st
2
st
t
'
2
2
s 1
s 1
( i ) s 2 s 4 e s 1 s 1 2
rez F ( s ) e
st
3 2 i e
st
si
5 i e
i s 2 s 4 e s 1 s 1
f (t )
7 2
e
(3 2 i )e
2
5 i e it 4
si
it
.
'
it
2(1 i) t
st
s 1 s 1 2 s
st
2
2s 4 e
2
4
2
rez F ( s ) e
Deci,
it
2(1 i)
'
2
s
st
si
5 i e
s
2
2s 4 e
st
s 1 s 1 2 s 2
si
it
.
4
5 i e it 4
7 2
e
t
5 2
cos t
1 2
sin t
.
s 2s 7 2
Tema.
Cu reziduuri, găsiţi funcţia original a imaginii F ( s ) 4. Exerciţii 1. Determinaţi: a) L ( e 2 t cos 3 t 2 e 3 t c)
L(
sh t
);
d)
sin 5 t ) ; L (cos
2
b)
L ( t cos 2 t 4 t e
t 2t ) . 3
t
2. Găsiţi funcţiile original ale imaginilor a)
F (s)
b)
F (s)
c) d)
s2
2
s 9 s4 3s 7 2
;
;
s 6 s 10 1 s 2s 3s F (s) 2 (e e e ) s 4 1 F (s) . 2 ( s 2 )( s 2 )( s 4 ) 2
;
2
t
( s 1)( s 4 ) 2
t ); 3
.
II. Aplicatii ale transformatei Laplace 1. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi Considerăm problema Cauchy relativă la ecuaţia diferenţială de ordinul n, liniară cu coeficienţi constanţi a n y ( n ) ( t ) a n 1 y ( n 1 ) ( t ) ... a 1 y ' ( t ) a 0 y ( t ) f ( t ) y (t 0 ) y 0 y ' (t 0 ) y1 .......... .......... .. ( n 1 ) y ( t 0 ) y n 1
(1)
unde ai R, i=0,…,n, an 0 şi f : R R este funcţie continuă, iar t0, y1, …, yn-1 sunt numere date. Presupunem că funcţia necunoscută y(t), derivatele sale y’(t), y’’(t),..., y(n)(t) şi termenul liber f(t) sunt funcţii original şi notăm cu Y(s) şi F(s) imaginile prin transformata Laplace ale funcţiilor y(t) respectiv, f(t), adică L ( y ( t )) : Y ( s ) şi L ( f ( t )) : F ( s ) . Ţinând cont liniaritatea lui L, aplicăm transformata Laplace ecuaţiei diferenţiale din problema Cauchy (1) şi obţinem
anL y
(n)
( t ) a n 1 L y
( n 1 )
( t ) ... a 1 L y ' ( t ) a 0 Y ( s ) F ( s ) .
(2)
Formula de derivare a originalului, aplicată ecuaţiei (2) cu condiţiile iniţiale din problema Cauchy (1), conduce la o ecuaţie algebrică în necunpscuta Y(s):
an s Y (s) s n
n 1
y0 s
n2
y 1 ... sy n 2 y n 1
+ a n 1 s n 1Y ( s ) s n 2 y 0 ... sy n 3 +…+ a 1 sY ( s ) y 0 + a 0 Y ( s ) echivalentă cu
a n s
n 1
a
y0 s
n2
s a n 1 s n
n
n 1
y n2
F (s)
... a 1 s a 0 Y ( s )
y 1 ... sy n 2 y n 1 a n 1 s
n2
.
y 0 ... sy n 3 y n 2 ... a 1 y 0 F ( s ) .
(3) Cu notaţiile
n 1
( s ) : a n s
n 1
y0 s
Pn ( s ) : a n s a n 1 s n
n2
n 1
y 1 ... sy n 2 y n 1 a n 1 s
n2
y 0 ... sy n 3 y n 2 ... a 1 y 0
... a 1 s a 0 ,
(3) devine Pn ( s ) Y ( s ) F ( s )
şi de aici,
n 1
(s)
Y (s)
F (s)
n 1
(s)
.
Pn ( s )
Deoarece Y(s) este o funcţie raţională, originalul său y(t) se determină prin descompunere în fracţii simple sau prin intermediul produsului de convoluţie sau prin teorema 10. Exemple.
y ' ' 4 y ' 4 y cos 2 t sin 2 t
Rezolvăm problema Cauchy
y (0) 0, y ' (0) 0
.
Aplicând transformata Laplace ecuaţiei L ( y ' ' ( t )) 4 L ( y ' ( t )) 4 L ( y ( t )) L (cos 2 t ) L (sin 2 t ) .
Dar, L ( y ( t )) : Y ( s ) L ( y ' ' ( t )) s Y ( s ) sy ( 0 ) y ' ( 0 ) s Y ( s ) 2
2
L ( y ' ( t )) sY ( s ) y ( 0 ) sY ( s ) L (cos 2 t )
s s 4 2
2
L (sin 2 t )
s 4 2
s Y ( s ) 4 sY ( s ) 4 Y ( s )
s
2
s 4 2
2 s 4 2
Y (s)
s
1 2
4 s 2
.
Determinăm originalul y(t) decompunându-l pe Y(s) în fracţii simple, Y (s)
s 2 s 2i
s
1 2
Y (s)
Tema.
4 s 2
as b s 4 2
c s2
1 as
1 8 c 1 4 a 2 b i 4 a 2 b
b s 2 c s 4 . 2
1 c 8 a 1 , 8
b
1 4
1 s 2 1 1 2t 2 2 y ( t ) cos 2 t sin 2 t e 8s 4 8 s 4 s2
Rezolvaţi problema Cauchy
.
y ' ' y sin t e t . y ( 0 ) 0 , y ' ( 0 ) 1
În continuare vom rezolva cu transformata Laplace şi o ecuaţie liniară cu coeficienţi variabili. Exemple.
Rezolvăm problema Cauchy
ty ' ' 2 y ' t 2 . y ( 0 ) 0 , y ' ( 0 ) 1
Aplicând transformata Laplace ecuaţiei L ( ty ' ' ( t )) 2 L ( y ' ( t )) L ( t ) 2
.
Notam L ( y ( t )) : Y ( s ) . Pentru L ( ty ' ' ( t )) aplicăm teorema de derivare a imaginii
(relaţia (7)): L ( y ' ' ( t )) s 2 Y ( s ) sy ( 0 ) y ' ( 0 ) s 2 Y ( s ) 1 n L ( t f ( t )) F ( n ) ( s )
L ( ty ' ' ( t )) L ( ty ' ' ( t )) L ( y ' ' ( t )) s 2 Y ( s ) 1 2 sY ( s ) s 2 Y ' ( s ) . '
'
L ( y ' ( t )) sY ( s ) y ( 0 ) sY ( s ) L (t ) 2
2 s
3
Înlocuite în ecuaţie, conduc la 2
2 sY ( s ) s Y ' ( s ) 2 sY ( s ) 2
s
integrare, y (t )
1
Y (s)
2 s
t c (t ) . 3
5
ds c
3
s Y '(s) 2
2 s
1
Y (s)
2s
4
c
3
Y '(s)
2 s
5
. Prin
şi de aici, orginalul său este
Din condiţia y ( 0 ) 0 y ( 0 ) c ( 0 ) .
12
Dar ( 0 ) 0 c = 0. Deci,
y (t )
1
t
3
.
12
Tema.
ty ' ' 2 y ' t 1
Rezolvaţi problema Cauchy
y (0) y ' (0) 0
.
2. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi Considerăm problema Cauchy relativă la sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, liniare cu coeficienţi constanţi y '1 ( t ) a 11 y 1 ( t ) a 12 y 2 ( t ) ... a 1 n y n ( t ) g 1 ( t ) y ' 2 ( t ) a 21 y 1 ( t ) a 22 y 2 ( t ) ... a 2 n y n ( t ) g 2 ( t ) .......... ...... y ' n ( t ) a n 1 y 1 ( t ) a n 2 y 2 ( t ) ... a nn y n ( t ) g n ( t ) 0 0 0 y 1 ( t 0 ) y 1 , y 2 ( t 0 ) y 2 ,...., y n ( t 0 ) y n
,
unde aij R,( i = 1,…,n, j = 1,…,n,), gi(t), i = 1,…,n, sunt funcţii continue, iar
(4)
0
0
0
t 0 , y 1 , y 2 ,..., y n
sunt numere date. Presupunem că funcţiile necunoscute y1(t), y2(t),…, yn(t) şi derivatele de ordinal întâi ale acestora sunt funcţii original. Procedeul de rezolvare a problemei Cauchy (4) prin intermediul transformatei Laplace este acelaşi ca la problema Cauchy (1), cu menţiunea că la problema (4) se aplică transformata Laplace fiecărei ecuaţii a sistemului. Se obţine astfel, un sistem algebric liniar.
Exemple. 1. Rezolvăm problema Cauchy
x ' y e 3 t t y ' x e x (0) 0, y (0) 0
.
Aplicăm transformata Laplace fiecărei ecuaţii a sistemului
.
L x ' ( t ) L y ( t ) L e 3 t L y ' ( t ) L x ( t ) L e t
Cu notaţiile L ( x ( t )) : X ( s ) şi L ( y ( t )) : Y ( s ) şi cu formula de derivare a originalului avem L ( x ' ( t )) sX ( s ) x ( 0 ) sX ( s ) L ( y ' ( t )) sY ( s ) y ( 0 ) sY ( s )
.
Deci, obţinem sistemul algebric liniar în necunoscutele X(s) şi Y(s) 1 sX ( s ) Y ( s ) s3 1 X ( s ) sY ( s ) s 1
s 1 X (s) s 3 s 1 2 s3 Y (s) s 3 s 1 2
.
Determinăm originalele funcţiilor X(s) şi Y(s) cu teorema 10. prin care calculul originalelor x(t) şi y(t) se reduce la calculul unor reziduuri în s 1 3 (rădăcină simplă) şi s 2 , 3 1 (rădăcină multiplă de ordinul 2). Avem
x ( t ) rez X ( s ) e st ( 3 ) rez X ( s ) e st (1) st st y ( t ) rez Y ( s ) e ( 3 ) rez Y ( s ) e (1)
s 3 e st 1 2 x (t ) | s 3 lim s 1 2 s1 1 ! s 1 2 s 3 s 1 s st s 1 e 1 2 y (t ) | s 3 lim s 1 2 s 1 1! s 1 2 s 3 s 1 s
s3 3 s 1 s 1 3 s 1
3t 1 s 3 t s 3 s 3 st 6e x ( t ) lim e s1 16 s 3 2 3t 1 s 1 t s 3 s 1 st ' 2e y (t ) lim e s1 16 s 3 2
3 3t 3 t 1 t x (t ) e e te 8 8 2 1 3t 1 t 1 t y (t ) e e te 8 8 2
.
2
2
e
st
e
st
'
'
2. Rezolvăm sistemul omogen
x' x y z y' x y z z' x y z
cu condiţiile iniţiale
x (0) 0
, y (0 ) 1 , z (0) 1 . Notând L ( x ( t )) : X ( s ) , L ( y ( t )) : Y ( s ) , L ( z ( t )) : Z ( s )
L ( x ' ( t )) sX ( s ) x ( 0 ) sX ( s ) L ( y ' ( t )) sY ( s ) y ( 0 ) sY ( s ) 1 . L ( z ' ( t )) sZ ( s ) z ( 0 ) sZ ( s ) 1
Aplicăm transformata Laplace fiecărei ecuaţii a sistemului: sX ( s ) X ( s ) Y ( s ) Z ( s ) sY ( s ) 1 X ( s ) Y ( s ) Z ( s ) sZ ( s ) 1 X ( s ) Y ( s ) Z ( s )
2 X (s) s 2 s 1 s 1 Y ( s ) Z ( s ) s 2 s 1
s 1 X ( s ) Y ( s ) Z ( s ) 0 X ( s ) s 1 Y ( s ) Z ( s ) 1 X ( s ) Y ( s ) s 1 Z ( s ) 1
cu soluţia
sau descompuse în fracţii simple
2 1 2 1 X (s) 3 s 2 3 s 1 Y ( s ) Z ( s ) 1 1 2 1 3 s 2 3 s 1
cu originalele
2 2t 2 t x (t ) e e 3 3 1 2t 2 t y (t ) z (t ) e e 3 3
,
adică soluţia sistemului cu condiţiile iniţiale date. Tema. Rezolvaţi problema Cauchy
x' y t t y' x e x (0) y (0) 1
.
În aplicaţii, mai ales în cazul modelelor din mecanică, se întâlnesc sisteme care nu sunt de ordinul întâi. Pentru a vedea cum se procedează în astfel de situaţii, considerăm exemplul unui sistem de ordinul doi, cu funcţiile necunoscute x(t) şi y(t). Exemple. Rezolvăm problema Cauchy
x ' ' x ' y ' e t x ' y ' ' 2 y 0 . x (0) 0, x ' (0) 1 y (0) 2, y ' (0) 3
Aplicăm transformata Laplace fiecărei ecuaţii a sistemului
L x ' ' (t ) L x ' (t ) L y ' (t ) L e t L x ' (t ) L y ' ' (t ) 2 L y (t ) 0
L ( x ( t )) : X ( s )
.
şi L ( y ( t )) : Y ( s ) şi din formula de derivare a originalului L ( x ' ( t )) sX ( s ) x ( 0 ) sX ( s ) 2 2 L ( x ' ' ( t )) s X ( s ) sx ( 0 ) x ' ( 0 ) s X ( s ) 1 . L ( y ' ( t )) sY ( s ) y ( 0 ) sY ( s ) 2 L ( y ' ' ( t )) s 2 Y ( s ) sy ( 0 ) y ' ( 0 ) s 2 Y ( s ) 2 s 3
Obţinem tot un sistem algebric, liniar în necunoscutele X(s) şi Y(s) 1 s 1 X ( s ) Y ( s ) s 1 sX ( s ) s 2 2 Y ( s ) 2 s 3
1 X (s) s 1 s 2 2s 3 Y (s) s 1 s 2
.
Determinăm originalul x(t) al funcţiei X(s) prin intermediul produsului de convoluţie (11) şi a formulei (12): X (s)
1
L (e * e t
s 1 s 2 t
2t
)
x (t ) e * e t
t
x (t ) e e
2 ( t )
d e
0
2 t
d e
2 t
t
e e t
2t
2t
.
0
0
Pentru a-l găsi pe y(t), descompunem pe Y(s) în fracţii simple: Y (s)
s 1 s 2
2s 3
s 1 s 2 a 1
b 1
a s 1
Y (s)
b
s2
1 s 1
2 s 3 a s 2 b s 1
1 s2
y (t ) e e t
2t
.
Deci, soluţia problemei Cauchy este
Tema. Rezolvaţi problema Cauchy
x ( t ) e t e 2 t y ( t ) e t e 2 t
.
x ' y ' x y e 2 t 2t x ' ' y ' 3 e x (0) 0, x ' (0) 2 y (0) 1
.
3. Rezolvarea ecuaţiilor integrale de tip Volterra În limbaj general, o ecuaţie se numeşte ecuaţie integrală dacă funcţia necunoscută apare sub semnul integral. Spre exemplu, o ecuaţie de forma
t
y (t )
y ( ) g ( t ) d
f (t )
, t > 0,
(5)
0
unde , , R, f, g sunt funcţii reale date, iar y(t) este funcţia necunoscută, este o ecuaţie integrală de tip Volterra. Ne propunem să rezolvăm ecuaţia (5) folosind transformata Laplace. De aceea, presupunem că funcţiile f, g şi y sunt funcţii original cu imaginile L ( f ( t )) : F ( s ) , L ( g ( t )) : G ( s ) şi L ( y ( t )) : Y ( s ) . Ecuaţia (5) se poate scrie sub forma y ( t ) y g ( t ) f ( t ) , t > 0.
(6)
Aplicând acum transformata Laplace ecuaţiei (III.3.6) rezultă
Y (s)
Originalul lui Y(s) este soluţia ecuaţiei (5). Exemple.
Rezolvăm ecuaţia de tip Volterra t
y (t )
( t )
2
( t ) 2 y ( ) d t t 1, t 0 . . 2
0
Aplicăm ecuaţiei transformata Laplace 2 L y (t ) L y (t ) * ( t t 2 ) L ( t t 1) 2
2! s
3
L (t t 2) 2
Înlocuind în ecuaţie
s 2s s 2
2!
s
Deci,
Tema.
Y (s)
s s2 2
s
1
3
2
1
;
s 1! s
2
2
.
s
3
Y (s)
( s 1)( s 2 ) ( s 1)( s 2 )( s 1)
y (t ) e . t
s 1
t
Rezolvaţi ecuaţia
y (t )
y ( ) sin 3 ( t ) d
t cos 3 t , t 0 .
0
Vom rezolva în continuare şi un sistem de ecuaţii integrale: Exemple.
1
1! 1 2! 1! 1 2! Y ( s ) Y ( s ) 3 2 2 3 2 s s s s s s
2
3
1! s
s
3
2
şi din tabelul imaginilor funcţiilor uzuale avem
L ( y ( t )) : Y ( s )
Y (s)
L t t 1 .
Rezolvăm sistemul integral
.
F ( s ) G (s)
.
t t 2 ( t ) y ( t ) 1 2 y ( ) e d 1 1 y 2 ( ) d 0 0 ,t 0 t t y ( t ) 4 t y 1 ( ) d 4 y 2 ( )( t ) d 2 0 0
Aplicăm fiecărei ecuaţii transformata Laplace
.
L y 1 ( t ) L (1) 2 L y 1 ( t ) * e 2 t L y 2 ( t ) * 1 . L y 2 (t ) 4 L (t ) L y1 ( t ) * 1 4 L y 2 ( t ) * t
Notăm
L ( y 1 ( t )) : Y1 ( s )
Y (s) 1 Y ( s ) 2
Tema.
1 s
2 Y1 ( s )
4 s
2
Y1 ( s )
şi
1 s2 1 s
şi obţinem
L ( y 2 ( t )) : Y 2 ( s )
Y2 (s)
4Y 2 ( s )
1 s
1 s
2
1 1 Y (s) 2 1 s 1 s 1 1 8 1 8 1 Y ( s ) 1 2 2 3 s 1 9 s 2 9 s 1
s 1 1 Y (s) Y2 (s) 1 s2 s s 2 Y ( s ) 1 Y ( s ) s 4 4 2 2 2 1 s s s
y 1 ( t ) e t te t 1 t 8 2t 8 t y 2 ( t ) te e e 3 9 9
.
Rezolvaţi sistemul integral t t t t y ( t ) e 2 y ( ) d 1 1 y 2 ( ) e d 0 0 ,t 0 . t t ( t ) y ( t ) 1 y 1 ( ) e d 4 y 2 ( ) d 2 0 0
O ecuaţie integro-diferenţială este o ecuaţie integrală în care apar şi derivatele până la un anumit ordin ale funcţiei necunoscute. O metodă de rezolvare a unei astfel de ecuaţii este calculul operaţional cu transformata Laplace. Exemple.
Rezolvăm ecuaţia integro-diferenţială t
y ' ' (t )
y ' ( ) e
2 ( t )
d e , t 0 2t
0
cu condiţiile iniţiale y ( 0 ) y ' ( 0 ) 0 . Fie L ( y ( t )) : Y ( s ) şi aplicând ecuaţiei transformata Laplace 2t 2t 2t L y ' ' ( t ) L y ' ( t ) * e L e L y ' ' ( t ) L y ' ( t ) L e Deoarece L ( y ' ' ( t )) s Y ( s ) sy ( 0 ) y ' ( 0 ) s Y ( s ) ; 2
2
L e
2t
.
L ( y ' ( t )) sY ( s ) y ( 0 ) sY ( s ) s Y ( s ) sY ( s )
1
2
y (t ) 1 e t
s2
1 s2
şi
L e
1
2t
Y (s)
s2 1
s ( s 1)
2
, ecuaţia devine
1
s
1 s 1
1
( s 1)
2
te . t
Rezolvaţi ecuaţia
Tema.
t
y ' ' (t ) y (t )
t
y ( ) sh ( t ) d y ' ( ) ch ( t ) d 0
cht , t 0
0
cu condiţiile iniţiale y ( 0 ) y ' ( 0 ) 0 . 4. Rezolvarea unor ecuaţii cu derivate parţiale Fie u(x,t) o funcţie de două variabile independente x şi t. u ( x,t) 2
t
2
u ( x, t )
u ( x, t ) x
,
u ( x, t ) t
u ( x, t ) 2
,
x
2
,
2
,
xt
sunt derivatele de ordinul întâi şi al doilea ale funcţiei u(x,t) în raport cu x
şi t pe care, le presupunem continue pe R2. Definiţia 1. O relaţie de forma 2 2 2 u ( x, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 0 F x , t , u , , , , , 2 2 x t xt x t
,
(7)
unde F : D R7 R, se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea. Consideram ecuatia (x)
u
2
x
2
(x)
u x
u 2
(x)
t
2
(x)
u t
( x )u f ( x , t )
,
(8)
care este o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea liniară. Ecuaţiile de forma (8) modelează diverse fenomene, spre exemplu dacă 0 şi , constante reale (8) este ecuaţia coardei vibrante. Insă aceste fenomene au loc în anumite condiţii. Se poate vorbi de trei categorii de condiţii şi anume: 1. condiţii iniţiale care se referă la variabila temporală t. dacă 0 şi 0 , adică este de ordinul întâi în raport cu t, atunci avem doar o condiţie iniţială u ( x , t 0 ) ( x ) . dacă 0 , adică este de ordinul al doilea în raport cu t, atunci vor fi două condiţii iniţiale
u ( x, t0 ) ( x)
şi
u t
( x, t0 ) ( x) .
2. condiţii la limită care se referă la variabila spaţială x. Acestea se exprimă prin funcţii de variabile x şi t şi au loc la orice moment t 0 în anumite puncte de pe frontiera domeniului unde se produce fenomenul.
3. condiţii mixte care sunt condiţii iniţale şi la limită. Observaţia 3. Ecuaţia (8) cu condiţii iniţiale formează o problemă Cauchy. Prin intermediul transformatei Laplace, vom determina soluţia ecuaţiei (8) în domeniul D : ( x , t ) 0 x l , t 0 cu condiţiile mixte: u ( x ,0 ) ( x ) , x 0 , l u ( x , 0 ) ( x ) t u
A 1 A 2
unde
A1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 , C 2
x
(0 , t ) B1
u x
(l , t ) B 2
u t u t
şi
(9)
( 0 , t ) C 1u ( 0 , t ) g (t ) ,t 0
,
(10)
(l , t ) C 2 u (l , t ) h (t )
sunt constante reale.
Presupunem că: - funcţiile , , , , sunt continue pe 0 , l ; - g(t) şi h(t) sunt funcţii original; u ( x, t ) u ( x, t ) , 2 x x 2
- f ( x, t ) ,
u ( x , t ),
sunt de asemenea funcţii original în raport cu t, x 0 , l .
G ( s ) : L g ( t ) , H ( s ) : L h ( t ) , F ( x , s ) : L f ( x , t )
Fie
şi U ( x , s ) : L u ( x , t ) .
Aplicăm transformata Laplace ecuaţiei (8) şi condiţiilor la limită (10). Din proprietatea de liniaritate şi din faptul că , , , , nu depind de t, iar A1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 , C 2 sunt constante reale, avem L(
u
2
x
2
( x , t )) L (
u x
u 2
( x , t )) L (
t
2
( x , t )) L (
u t
( x , t )) L ( u ( x , t )) L f ( x , t ) ;
u u A L( ( 0 , t )) B 1 L ( ( 0 , t )) C 1 L ( u ( 0 , t )) L g ( t ) 1 x t . A L ( u ( l , t )) B L ( u ( l , t )) C L ( u ( l , t )) L h ( t ) 2 2 2 x t
(11) În baza teoremei de derivare a originalului şi a condiţiilor iniţiale (III.3.9), rezultă L(
u
( x , t )) sU ( x , s ) u ( x , 0 ) sU ( x , s ) ( x ) ;
t
u 2
L(
L( L(
t u
t u t
2
( x , t )) s U ( x , s ) su ( x , 0 ) 2
u t
( x ,0 ) s U ( x , s ) s ( x ) ( x ) . 2
( 0 , t )) sU ( 0 , s ) u ( 0 , 0 ) sU ( 0 , s ) ( 0 ) ; ( l , t )) sU ( l , s ) u ( l , 0 ) sU ( l , s ) ( l )
.
Pe de altă parte, din teorema de derivare în raport cu parametrul rezultă
L(
u
U
( x , t ))
x
u
U
2
L(
L(
x u
2
x
( x, s)
x
;
2
( x , t ))
( 0 , t ))
x U
( x, s) ;
2
(0, s )
x
,
L(
u x
( l , t ))
U x
(l , s ) .
Cu aceste relaţii, (III.3.11) devine U 2
x
2
( x, s)
U x
( x, s ) s U ( x, s ) s ( x ) ( x ) 2
sU ( x , s ) ( x ) U ( x , s ) F ( x , s ) U
A 1 A 2
,
( 0 , s ) B 1 sU ( 0 , s ) ( 0 ) C 1U ( 0 , s ) G ( s )
x U
( l , s ) B 2 sU ( l , s ) ( l ) C 2 U ( l , s ) H ( s )
x
echivalent cu U 2
x
A 1 A 2
2
U x U x
U x
s s U s ( x ) ( x ) ( x ) F ( x , s ) 2
( 0 , s ) B 1 s C 1 U ( 0 , s ) G ( s ) B 1 ( 0 )
.
( l , s ) B 2 s C 2 U ( l , s ) H ( s ) B 2 ( l )
Variabila funcţiei U este doar x, iar pe s îl privim ca pe un parametru, fapt care ne permite să scriem 2
d U dx
2
dU dx
s s U s ( x ) ( x ) ( x ) F ( x , s ) , 2
care este o ecuaţie diferenţială ordinară liniară cu coeficienţi variabili (funcţii de x) cu condiţiile A 1 A 2
dU dx dU dx
( 0 , s ) B 1 s C 1 U ( 0 , s ) G ( s ) B 1 ( 0 )
. ( l , s ) B 2 s C 2 U ( l , s ) H ( s ) B 2 ( l )
Rezolvând această problemă se obţine soluţia U(x,s) în mulţimea imaginilor. Originalul funcţiei U(x,s) este u(x,t), adică soluţia ecuaţiei (8) cu condiţiile mixte (9), (10). 1. Rezolvăm ecuaţia Exemple. u x
2
u t
u ( x ,0 ) e
Fie
U ( x , s ) : L u ( x , t )
cos 2 t , t 0
.
x
în care s este variabilă, iar x parametru. Aplicând
transformata Laplace ecuaţiei rezultă
u
L(
x
( x , t )) 2 L (
u
( x , t )) L cos 2 t .
t
Dar, L(
L(
u t u
x
( x , t )) sU ( x , s ) u ( x , 0 ) sU ( x , s ) e
U
( x , t ))
L (cos 2 t )
x s 2
;
;
( x, s)
s 4
x
conduc la U
( x , s ) 2 sU ( x , s ) e
x U
x
s
s 4 s x ( x , s ) 2 sU ( x , s ) 2 e 2 x s 4 2
,
ecuaţie în care x este variabilă iar s este parametru. Deci putem scrie dU
2 sU 2 e
s
x
dx
s 4 2
,
(12)
care este o ecuaţie liniară de de ordinul întâi în funcţia necunoscută U de variabilă x, s fiind parametru. I. Rezolvăm ecuaţia liniară omogenă ataşată: dU
dU
2 sU 0
dx
2 sdx
U
dU
U
2 sdx U
ce
care este soluţia
2 sx
generala a ecuaţiei omogene ataşate. II. Aplicăm metoda variaţiei constantei, adică căutăm soluţii ale ecuaţiei (12) de forma U ( x , s ) c ( x ) e 2 sx .
dU
c ' ( x )e
2 sx
2 sc ( x ) e
2 sx
c ' ( x )e
2e
2 sx
dx
c'( x) 2e
c'( x)
x (1 2 s )
2 e
c ( x ) e x (1 2 s )
e
x (1 2 s )
1 s
1
s
x
s 4 2
s
2 sx
s 4 2
e
1
2 sx
dx K ( s ) s 4 s
2
e
1
2 sx
s 4 2
2
K (s)
.
2
Deci, U ( x, s ) c ( x )e
2 sx
=e x
1 s
1
1
1
2 s 4 2
e
2 sx
K (s)
2
adică soluţia ecuaţiei date în mulţimea imagine. Originalul este
,
1
u ( x, t) e 2
t x
1
sin 2 t k ( t 2 x )
.
4
Mai trebuie să determinăm funcţia k ( t 2 x ) . Din condiţia x x e e k ( 2 x ) k ( 2 x ) 0, x k (t 2 x ) 0 .
u ( x ,0 ) e
x
Deci, soluţia ecuaţiei date este 1
u ( x, t) e 2
t x
1
sin 2 t
.
x 0 ,
,
4
2. Rezolvăm ecuaţia u 2
t
2
u 2
x
2
2 sin 3 x
u ( x , 0 ) sin x u ( x , 0 ) 3 sin 2 x t u ( 0 , t ) u ( , t ) 0
În problema dată
u ( x , 0 ) sin x u ( x , 0 ) 3 sin 2 x t
,
t 0.
sunt condiţii iniţiale, iar u ( 0 , t ) u ( , t ) 0
sunt condiţii la limită. Fie U ( x , s ) : L u ( x , t ) de variabilă s şi parametru x. Aplicând transformata Laplace ecuaţiei şi condiţiilor la limită rezultă u 2
L(
t
2
u 2
( x , t )) L (
x
( x , t )) 2 sin 3 xL 1
2
L u ( 0 , t ) L u ( , t ) 0
Dar, L u ( 0 , t ) L u ( , t ) 0
u
U ( 0 , s ) U ( , s ) 0 .
2
L(
t
2
u
( x , t )) s U ( x , s ) su ( x , 0 ) 2
2
L(
x
2
U
u t
( x , 0 ) s U ( x , s ) s sin x 3 sin 2 x 2
;
2
( x , t ))
x
2
( x, s) ;
Aşadar, avem de rezolvat în mulţimea imagine, problema d 2U 2 2 s U s sin x 3 sin 2 x sin 3 x 2 s dx U ( 0 , s ) U ( , s ) 0
.
(13)
2
I. Ecuaţiei omogene ataşate
d U dx
r s 2
2
0
cu soluţiile
r1 , 2 s
2
s U 0 2
îi asociem ecuaţia caracteristică
soluţia generală
U ( x , s ) c1 e
sx
c2e
sx
.
II. Căutând o soluţie prticulară de forma:
U p ( x , s ) 1 cos x 1 sin x 2 cos 2 x 2 sin 2 x 3 cos 3 x 3 sin 3 x
1 2 3 0
Deci
, 1
U p ( x, s)
s
s 1 2
s s 1 2
, 2
sin x
3
3 s 4 2
s 4 2
sin 2 x
, 3
21 s 2 9s s 9
21 s 2 9s s 9
sin 3 x
. şi atunci
soluţia generală a ecuaţiei din problema (13) este U ( x , s ) c1 e
sx
c2e
sx
s s 1 2
sin x
3 s 4 2
21 s 2 sin 3 x 9s s 9
sin 2 x
c1 c 2 0
Impunând condiţiile U ( 0 , s ) U ( , s ) 0
c1 e
s
c2e
s
0
c1 c 2 0
soluţia problemei date în mulţimea imagine este U ( x, s)
s s 1 2
sin x
3 s 4 2
sin 2 x
21 s 2 sin 3 x 9s s 9
cu originalul 2
u ( x , t ) sin x cos t 3 sin 2 x sin 2 t
9
Rezolvaţi ecuaţia
Tema.
u x
2
u t
sin 3 t , t 0
u ( x ,0 ) x 1
2
5. Exercitii 1. Rezolvaţi problemele Cauchy a)
y ' ' 2 y ' y sin t 4 e t 2 e t y (0) 0, y ' (0) 2
b)
y ' 2 x y 0 2 x ' y ' ' 2 t cos 2 t 1 x (0) , y (0) 0, y ' (0) 1 2
2. Rezolvaţi t
a)
y (t )
y ( ) sin 0
2 ( t ) d 2 cos 2 t t sin 3 t , t 0 .
.
sin 3 x 1 cos 3 t .
.
b)
t t t t y ( t ) e y ( ) d 1 1 y 2 ( ) e d 0 0 ,t 0 t t y ( t ) t y 1 ( )( t ) d y 2 ( ) d 2 0 0 t
c)
y ' ' (t ) y (t )
y ( ) sh ( t ) d y ' ( ) ch ( t ) d 0
y (0) y ' (0) 0
d)
t
.
u u t 1 e ,t 0 . t x u ( x ,0 ) x
0
cht , t 0
,
