9- 35
Flujo Adiabático
A FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL Es el más elemental de los flujos compresibles; su simplicidad, de análisis lo convierte convierte en un instrumento sumamente sumamente útil. Un flujo se puede considerar unidimensional cuando la rapidez de cambio de las propiedades del fluido en una dirección perpendicular a la línea de corriente es despreciable, comparada con la rapidez de cambio de tales propiedades en la dirección de la corriente. Cuando la transferencia de calor puede ser considerado despreciable, el flujo se denomina adiabático. Si los efectos de fricción y arrastre son relativamente pequeños, el flujo puede ser considerado también como reversible, y se denomina flujo isentrópico. El flujo isentrópico define las condiciones ideales a utilizar en la computación de las eficiencias en los diferentes dispositivos de flujo, como son las toberas y los difusores.
9.3
FLUJO CON AREA VARIABLE
RESERVORIO
1
CONDUCTO FLUJO COMPRESIBLE
A mínima
AMBIENTE
2 A
As
Po
pB
To
x
m
o
TB
B
Vo = 0
DATOS
p, T,
m
DATOS
V, M, Fig. 9.13 Conducto de área variable A (x). Conociendo las propiedades del reservorio y las del medio ambiente a donde descarga, se desea determinar las condiciones del flujo en una sección cualquiera del conducto: presión, temperatura, densidad, velocidad, flujo másico, número de mach, así como la l a eficiencia del dispositivo utilizado.
9- 36
Flujo compresible
9.3.1 FLUJO ADIABÁTICO IRREVERSIBLE Considere una expansión adiabática o una compresión adiabática desde la sección 1 a la sección 2. El estado de estancamiento estancamiento y el estado crítico correspondiente correspondiente a la sección 1 se obtiene trazando una vertical, que representa un proceso isentrópico, de manera que po 1 sería su presión de estancamiento y el área crítica A*1, es el área en la cual se alcanzaría alcanzaría el estado crítico a partir del punto 1. Igual significado significado para po2 y A*2. po2 p 0 T p01 0 To
p1
1
p
A
2
A1*
p2
A2*
A*
T* p1*
p*
S1
p2*
S
Fig. 9.1.4 Proceso adiabático:
S S2 (a) Expansión adiabática.
En una sección A, cualquiera, del proceso de (1) a (2): k 1 T o T
1
k 1 2
M 2
p o k p
El flujo másico en dicha sección cualquiera: m
m
p R T
M
K R To
KRT A
po M A
po
T o
po
T o
p
T o
po
T
= V A m
[ ]
9- 36
Flujo compresible
9.3.1 FLUJO ADIABÁTICO IRREVERSIBLE Considere una expansión adiabática o una compresión adiabática desde la sección 1 a la sección 2. El estado de estancamiento estancamiento y el estado crítico correspondiente correspondiente a la sección 1 se obtiene trazando una vertical, que representa un proceso isentrópico, de manera que po 1 sería su presión de estancamiento y el área crítica A*1, es el área en la cual se alcanzaría alcanzaría el estado crítico a partir del punto 1. Igual significado significado para po2 y A*2. po2 p 0 T p01 0 To
p1
1
p
A
2
A1*
p2
A2*
A*
T* p1*
p*
S1
p2*
S
Fig. 9.1.4 Proceso adiabático:
S S2 (a) Expansión adiabática.
En una sección A, cualquiera, del proceso de (1) a (2): k 1 T o T
1
k 1 2
M 2
p o k p
El flujo másico en dicha sección cualquiera: m
m
p R T
M
K R To
KRT A
po M A
po
T o
po
T o
p
T o
po
T
= V A m
[ ]
9- 37
Flujo Adiabático
i)
Si se conoce el área A y la presión p:
M
M
M
M
p
To
po
T
p
To
po
T
p
To
po
T
p
To
po
T
k 1
2 K k 1
2 K k 1
2K p 1 k 1 po
po p
2K 1 k 1
k
po p
k 1
1
k
2
po p
k
po
2 k
po
k 1
p
po p
k
p
po p
po p
k 1 2 k
k 1 k
Luego:
2K p k 1 k 1 po 2
m
K
R To
po A
2K p k 1 k 1 po 2
m
R To A po
po p
k 1 k
po p
k
Para : A A críticas; M = 1.
p po
2 K k 1 k 1 k 1
m
To
A * po
K R
2 2 ( k 1) k 1
k 1 k
k 1 k
9- 38
Flujo compresible
ii)
Si se conoce el área A y el número de Mach: k
T To To k 1 T T T T 0
p
To
po
( k 1) 2 ( k 1)
( k 1)
K
Se obtiene: m
R To
k 1
po A M 1
2
M 2
2 ( k 1)
[ 9.32 ]
Esta ecuación muestra que para un número de mach dado, el flujo es proporcional a su presión de estancamiento e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura de estancamiento, por esta razón los datos de prueba de flujo sobre compresores, turbinas y realmente sobre cualquier paso de flujo el cual opera sobre un amplio rango de niveles de presión y To / po como variable de temperatura, son usualmente ploteadas con m flujo. De esta manera el resultado de una prueba dada, llega a ser aplicable para operación en niveles de temperatura y presión diferentes a las condiciones originales de prueba. m
To
A po
K
M
R
1 k 1 2
M 2
( k 1) 2 ( k 1)
0,10
0,001
M 0,10
1,0
10
Fig. 9.15 Flujo másico Considerando el peso molecular del gas w = R / R, de ( ) se obtiene: T o m 1 k k 1 M 1 M 2 = A
p
w
2
R
Aplicando la ecuación anterior ( 9.32 ) a las condiciones críticas: ( k 1) m
K R To
po A *
1
k 1 2
2 ( k 1)
[ 9.33 ]
9- 39
Flujo Adiabático
A
Igualando (9.32) y (9.33), se obtiene:
A A *
1
1 M
1 M
k 1
2 k 1 M 2 2
k 1
k 1 2 k 1 2
A *
1
( k 1) 2 ( k 1)
M
2 2 (k 1)
[ 9.34 ]
Esta ecuación está representada en la Figura 9.12, donde se observa que la selección de A, determina un valor único de M siempre que Mach en la garganta sea uno. Aplicando la ecuación (9.33) al estado 1 y 2 del proceso adiabático, e igualando, resulta: po1 A*1 = po2 A*2
[ 9.35 ]
Mediante esta ecuación, se puede determinar las propiedades en cualquier punto del flujo adiabático. Así: A2 po2 po1
*
A1 A*2
*
A2 A1
x
*
A1 A2
[ 9.36 ]
A1
Si se conocen po 2 / po1; A1 / A 2 y M1, se pueden determinar el resto de propiedades del flujo en el estado 2. Con M1, en la ecuación ( 9.34 ) se obtiene A1 / A*1. Con A1 / A*1 , en la ecuación ( 9.36 ) se obtiene A2 / A*2 . Nuevamente ( 9.34 ) para obtener M2 . Con M2 se puede determinar el resto de propiedades en el estado o sección 2. Para un punto cualquiera del flujo adiabático, se puede formar una relación que sea función del número de Mach local. Así:
9- 40
Flujo compresible
p
A
po A *
p
A
po A *
p
A
po A *
p
Finalmente:
1 k
1 k 1 M 2 k 1 2
1
M
1
k 1
k
1 k 1 M 2 k 1 2( k 1) 2 1 1
1 k 1 M 2 2 2
A
po A *
1 k 1 M 2 2 k 1 2 1 M
1 1 M k 1 2
1
k 1
1 k 1 2
2( k 1)
2( k 1)
k 1 2( k 1)
1
M
k 1
1 k 1 M 2 k 1 2 2
[ 9.37 ]
k 1 k 1
que normalmente se encuentra tabulada en las tablas de f lujo isentrópico. Volviendo la atención a la ecuación [9.33]: ( k 1) m
K
1
po A *
R To
k 1 2
2 ( k 1)
El flujo másico es el flujo másico máximo que el conducto de área variable descarga al medio ambiente.
m max To A * po T
1
K R
k 1 2
2 ( k 1)
po2
p0
p01
( k 1)
To
p2
2 p1
1 A1 *
A*
A2 * T*
p1*
p*
p2* S
9- 41
Flujo Adiabático
Fig. 9.1.4 Proceso adiabático: ( b) Compresión adiabática
EJEMPLO 9.11: Determinar una expresión para el cálculo del cambio de entropía en función de las presiones de estancamiento. SOLUCION De la 1ra. Y 2da. Ley de la termodinámica:
T ds = dh - dp /
So2 –So1 = S2 – S1 = ∆S
de la Figura 9.14 :
dSo = ds dho = 0; ho = constante To dso = - dpo / o Ecuación del gas ideal : y
o
. To = po / R
dso = - R ( dpo / po ) So2 –So1 = - R Ln ( po2 / po1 ) = ∆S po. e
También:
-S/R
= constante
EJEMPLO 9.12: Aire fluye isentrópicamente a través de un ducto circular de área variable. En el punto donde D1 = 34,4 cm, se tiene V1 = 184 m / s, p1 = 574,263 kPa y T 1 = 200º C. a. Calcular po, To, o, M, A*, correspondiente al estado 1. b. Calcular el número de Mach, la presión estática en un punto aguas abajo donde D2 = 29,8 cm, si V2 es subsónica y si V 2 es supersónica. SOLUCION a) En la sección 1 : 1
574263 Pa 287,13 J / kg K x473K
C1 20,045 473 M 1
V 1 C 1
184 436
436 m / s
0,422
4, 2303 kg / m3
9- 42
Flujo compresible
Usando la relación isentrópica:
To T
k 1 M 2 2
1
po p
k 1 k
o
k 1
se tiene: To 473
1
k 1 0, 422 2 2
po1 574, 263 KPa
k 1 k
o1 3 4, 2303 kg / m
k 1
To = 489,85 K Po1 = 649,094 KPa
1 = 4,6171 kg / m 3
A
Usando la ecuación:
A *
A1
4
(0,344) 2
M
A1
Con M1 = 0,422, se obtiene: Como
1
A1*
1
k 1
k 1 2 k 1
M
2 2 (k 1)
2
( )
= 1,52314
→
0, 09294 m 2
A1* 0,0610 m2
b)
1
2
1
m
2
m
x
A1 = 0,09294 m2
A1 = 0,09294 m2
A2 = 0,06975 m2
A2 = 0,06975 m2
V2
V2
subsónica
x
supersónica
Se observa que el valor del área A 2 = 0,06975 m2, se encuentra en la parte convergente del conducto así como en parte divergente: Caso de flujo subsónico:
9- 43
Flujo Adiabático
A 2 *
A
0,06975 0,0610
En ( ):
1,1434
M 2 = 0,0642
649,094 p 2
luego:
0,4 1,4
1 0, 2 0, 642
2
p2 = 491,931 KPa
Caso de flujo supersónico: A 2 *
A
0,06975 0,0610
En ( ): luego:
1,1434
M 2 = 1,449 649,094 p 2
0,4 1,4
1 0, 2 1, 449
2
p2 = 190,276 KPa
9.3.2 FLUJO ADIABATICO REVERSIBLE ( FLUJO ISENTROPICO UNIDIMENSIONAL ) Ecuaciones básicas p / = R T =
Ecuación de estado para un gas ideal: m 1 V1 A1
Ecuación de continuidad:
V12
Ecuación de energía:
ho h1
Ecuación de impulso:
p1 A1 mV1
Proceso isentrópico:
p k
2
2 V2 h2
p2
cons tan te
Segunda ley de la termodinámica:
A2
V22 2
V h
constante.
A constante V 2 2
constante
A2 m V2 p A mV constante
p1
1k
p2
2k
S1 = S2 = constante
p
k
constante
9- 44
Flujo compresible
Ahora, para un gas ideal: h Cp T
K
p
k 1
La ecuación de energía queda: K
p1
k 1 1
V12
2
2
V2
K
p2
k 1 2
V12 2
V 22
K k 1
2
(
de la ecuación de continuidad : V1
y
V 2
1 1 ( A2 / A1 ) 2 ( 2 / 1 )2
proceso isentrópico:
V2 fc
1 / 2
p1 1
p2 2
)
A2
2
A1
1
V 2
p2 1 2 K p1 1 k 1 1 p1 2
( p1 / p2 )1/ k
k 1 2 K p1 k 1 ( / ) p p 2 1 k 1 1
donde
fc
1 1 ( A2 / A1 ) ( 2 / 1 ) 2
2
es un factor de corrección por aproximación de velocidad. Considerando p/ =R T y condiciones de estancamiento para el punto 1: V = 0; A1
∞ y V 2 = Vs, velocidad en cualquier sección del conducto, se
tiene que fc = 1 y
9- 45
Flujo Adiabático
k 1 k p p 1 ( / ) o
2 K R To
V
k 1 V
2 K
po
k 1
o
[9.38]
k 1 k 1 ( p / po )
El flujo másico por unidad de área:
G
m A
1
V o ( p / po ) k V
2 k 1 k k ( p / po ) ( p / po )
2 K RTo
G o
k 1
Es decir G = G (K, R, To, po, , p)
[9.39]
G = G(p)
9.3.2.1 Flujo másico máximo Para condiciones de reservorio fijadas, G depende de la relación de presiones y tiene un valor máximo para: dG d ( p / po)
p p0
0
(
2 k
2
) k 1
2 k
( p / po)
k
k 1 k
1
( p / po) k
k k 1
Para:
[9.40] K
p/po
Aire
1,4
0,5283
Gases en turbina a gas
1,402
0,5279
Vapor sobrecalentado
1,30
0,5457
Vapor saturado
1,135
0,5774
* Vapor húmedo
1,035 + 0,1 x
* Ecuación de Zeuner, válido para pequeñas diferencias de presión entr e la entrada y la salida de la tobera. Reemplazando en [9.39]:
9- 46
Flujo compresible
Gmax
2 To ( ) k 1 k 1
2 K R
o
Gmax o
2 K R
Gmax o
2 K R
Gmax o
2
Como.
k 1
*
To (
k 1
Co (
k 1
C*
0
To (
2
(
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
2
2
2
)
)
k 1
(
2
k 1
k 1
)
k 1
2 1 ( ) k 1
k 1 k 1
1
)
k 1
Co
k 1 2
2
2
2
k 1
1
)
k 1
G max = * c* = G*
[9.41]
O sea que en una expansión isentrópica, el estado en que se alcanza G màx es el estado crítico. Aplicando la ecuación de conservación de masa: m Gmax A *
G A
es evidente que dentro del conducto de área variable, G tendrá su máximo valor en aquella sección donde el área tenga su mínimo, o sea en la garganta, donde reinan las condiciones críticas. Luego: A min = A* = A G
[9.42]
En conclusión, para que se esté produciendo la máxima descarga, se requiere que se alcance las condiciones críticas en la garganta
9- 47
Flujo Adiabático
Graficando la ecuación ( 9.39 ), la gráfica teórica sería una parábola, pero como para p / po < p* / po el flujo es sónico en la garganta, la onda (señal enviada) creada por una disminución de presión de descarga que viaja con velocidad sónica no puede alcanzar al reservorio y transmitir el mensaje de variar el flujo másico; y este último, permanece constante ( recta horizontal en el gráfico ), por lo que se dice que el flujo está chocado y alcanzó su máxima descarga. G Real G máx
Ecuación [9.39]
0
p*/po
1
p/po
Fig. 9.16 : Variación de flujo másico por unidad de área en un flujo isentrópico Volviendo la atención a la ecuación (9.39):
G
Con
o
k 1
0 = po / R To y G max
2 k 1 k k ( p / po ) ( p / po )
2 K RTo
mmax A *
p p0 k
(
2
2
k
) k 1 k 1 k 1
p0
) k 1 R k 1
(
T 0
se obtiene: Gmax
T0 p0
mmax
T 0
A*
p0
k
2
k 1
) k 1 R k 1 (
[9.43]
Para un gas dado, el máximo flujo másico depende solamente de la relación
9- 48
Flujo compresible
po / To . Si po se duplica, el flujo máximo se duplica, en cambio, si To se
duplica Gmàx se reduce en aproximadamente 29%.
Para aire : k = 1,4, R = 287 J / kg – K T0
Gmax
p0
0,0404
m
T 0
A*
p0
[9.44]
Esta ecuación permite establecer el valor del área de garganta ( A* ) para descargar flujo másico máximo cuando las condiciones de estancamiento po, To están dadas. Caso de tanques y reservorios.
P. 9.013: Se desea expansionar isentropicamente aire desde un reservorio que se encuentra a po = 200 kPa y To = 500 K, a través de un conducto convergente divergente circular hasta un número de Mach de salida Ms = 2,5. Si el gasto es de 3 kg / s, calcular: a. El diámetro del conducto en la garganta. b. Las propiedades del flujo en la sección de salida: p, T, V y A. po=200 KPa
a. Cálculo del diámetro en la garganta: DG T Como se trata de un conducto de sección transversal circular, en la garganta se tiene: AG
2 G
D
500 k=To
[f]
4
AG
p* ps
Como en la salida se tiene Ms = 2,5; en la garganta se han alcanzado las condiciones críticas, es decir M = 1,0 y AG = A*.
As
Ms = 2 5
S
EL flujo másico. m VA , está dado por: m
mmax
K R
M A K R
A*
1 k 1 2
po T o po T o
k 1 2
M 2 ( k 1) 2 ( k 1)
( k 1) 2( k 1)
( )
..........
( )
Para aire:
mmax
T o
A *
po
k R
2 k 1
k 1 k 1
0,040418
(9.44)
9- 49
Flujo Adiabático
Reemplazando valores: 3 kg / s A *
500 K 200 000 Pa
A* = 0,0082985 m
0,040418
2
DG = 10,28 cm
b. Como se conoce el numero de Mach en la salida, utilizando la ecuación ( ) , se determina As = 0,021880676 m 2 1, 4
3 kg / s
287,13
2,5 AS
J
200 000 Pa 500 K
1 1, 4 1 2
2,5
2
(1,41) 2(1,4 1)
kg / K
As = 0,021880676 m2 T o
y usando:
1
Ts
500 Ts
M
V C
2,5
k 1 2
Ms 2
p o ps
k 1 k
k 1 k
200 p s pS = 11,706 kPa. Ts = 222,22 K Cs = 298,812 m / s
1 0,2 (2,5) 2
Vs 298,8
Vs 747,03 m / s
P. 9.014: Aire a condiciones de p = 8 bar y T = 1100 K ingresa a una tobera y se expande adiabáticamente y politrópicamente con n = 1,3 hasta la presión de 3,5 bar. Calcular la temperatura, la velocidad y el número de Mach en la salida de la tobera.
Solución
1
n = 1,3
2
T
To 1
3 kg / s
p1 = 8 bar T1 = 1100 K
p2S = p2 p2 = 3,5 bar
2 2s
Proceso politrópico de (1) a (2); y la ecuación de estado:
S
( )
9- 50
Flujo compresible
p
constante
n p1 p 2
n
p T 1 1 2 2 p2 T 1
n
p 2 p1
T 2 T 1
n 1 n
2 1
n1 (b)
Reemplazando valores en (b): 3,5 1100 8 T 2
1,3 1 1,3n
T2 = 908,95 K
La ecuación de energía: ho h1 Gas ideal: T o
V 1 2
h = Cp T
T 1
V 1 2 Cp
T o 1100 K
T 2 V 1 2 Cp
V 2 2 Cp
h2
V 2 2
constante
constante (a)
908,95 K
V 2 2 Cp
No considerando la velocidad de ingreso a la turbina (V1): También
C2 = 20,045
y
M2 =
619,53 604,33
T 2
V2 = 619,53 m / s:
= 604,33 m / s
= 1,025
se trata de una tobera supersónica
9.3.2.2
9.3.2.1 9.3.4
EFECTO DE LA VARIACIÓN DE AREA EN LOS FLUJOS SUBSÒNICOS Y SUPERSONICOS
LA FUNCION IMPULSO FLUJO EN TOBERAS Y DIFUSORES Ya està màs adelante.
9- 51
Flujo Adiabático
9.3.3
LA FUNCIÓN IMPULSO
p1 T1 V1
x
p2 T2 V2
En problemas relacionados con propulsión de cohetes es conveniente el empleo de una cantidad denominada función impulso, definida por: I = p A + A V 2
[9.50]
Empleando la ecuación de momentum, se tiene: I = ( p A + A V 2 ) 2 - ( p A + A V 2 ) 1
[9.51]
Donde I es la fuerza externa que actúa sobre el conducto para equilibrar la fuerza o empuje producido por la corriente fluida entre las secciones (1) y (2). En este caso I actúa en dirección contraria al flujo.
9- 52
Flujo compresible
9- 53
Flujo Adiabático
9.3.4 FLUJO REAL EN TOBERAS Y DIFUSORES Se han determinado ecuaciones que permitan calcular la sección de garganta de un conducto de área variable que permita el paso de un flujo de masa especificado, desde unas condiciones de estancamiento a la presión ambiente de un modo isentrópico. Sin embargo en el caso real existe rozamiento que impedirá trabajar a la tobera en la forma descrita. Esta del comportamiento isentrópico requiere una corrección (que es pequeña), proveniente de la evidencia experimental desarrollada en varios tipos de toberas o difusores.
9.3.4.1. TOBERAS Se define como un conducto de área variable que, permite a un fluido expansionarse desde alta presión a baja presión; es decir, hay un incremento de velocidad en la dirección del flujo a costa de disminuir la presión. Desde el punto de vista de energía, aquí se convierte energía térmica en energía cinética.
h po1
po2 ho
ec1
1 h1
ec2
ec2S h2
2
h2s p2
2s S
Fig. 9.19 Eficiencia de una tobera Como medida de los efectos de rozamiento en una tobera se usa la eficiencia de la tobera, definida como la relación de la energía cinética real, que sale de la tobera por unidad de masa de flujo, a la energía cinética teórica por unidad de masa de flujo que podía ser alcanzada en una expansión isentrópica para iguales condiciones de entrada y presión de salida.
9- 54
Flujo compresible
De la figura 9.19, se tiene:
tob
ec 2 ec 1
2
V 2 / 2
2
V 2 s / 2
ho h2
h2 ec 1 h1 h2 s ec 1 h1
ho h2 s
0,90
á
0,99
Usualmente la energía cinética inicial es relativamente pequeña, de manera que puede no considerarse sin incurrir en error apreciable; es decir ec 1 = 0 y: hreal h h to b 1 2 [9.53] h1 h2 s h s Se define como coeficiente de velocidades a la relación: veloc
V 2 V 2 s
[9.54]
2
2
to b
V 2 / 2
Cp T 1
[9.55]
T 2 s
Como la diferencia entre el proceso real y el proceso ideal son los efectos disipativos (irreversibilidades por fricción, choque, etc.), una medida de estos efectos es la diferencia h2 - h2s, que se puede interpretar como la reconversión irreversible de energía mecánica en energía térmica; estos efectos se toman en cuenta definiendo el grado de recalentamiento “ y , dado por : ”
y
h2 S h1 h2 S h2
1 to b
[9.56]
Así mismo se define el coeficiente de descarga de la tobera: Cd
m real m
i sen t
r m s m
[9.57]
Los efectos de rozamiento están limitados, principalmente a la zona divergente de la tobera, y así se usará las formulas anteriores para corregir el área de salida. La geometría restante es fruto de la experiencia generalmente. La parte convergente es corrientemente arbitraria, mientras que la zona divergente tiene una forma que es un acuerdo entre los dos efectos. Una longitud corta implica que el flujo tendrá una componente de la velocidad apreciable en dirección normal a la línea central; esto tiene como consecuencia una pérdida de empuje y por consiguiente no es deseable. En el caso de una sección divergente larga existe menos divergencia, pero hay una desventaja, que tendrá una mayor cantidad de rozamiento en la pared.
9- 55
Flujo Adiabático
9.3.4.2. DIFUSOR Se denomina así al conducto de área variable que comprime a un flujo, convirtiendo su energía cinética en energía de presión. Esto es preciso en los motores a chorro, en los que el aire que ingresa debe ser frenado para lograr una parte de la alta presión necesaria en el motor y permitir a un compresor trabajar adecuadamente para desarrollar un posterior incremento de presión. El difusor es menos efectivo en su comportamiento que una tobera, debido a que existen capas límites más gruesas como resultado del gradiente desfavorable de presión, que producen mayores efectos de rozamiento.
h po1
po2 ho, To
h2
h2s
ec2
ec2S
2
2s
ec1
p2s
h1
p1
1 S
Fig. 9.19 Eficiencia de un difusor
h S
Dif
2
V 1 / 2
h 2 S h 1 h 2 h1
[9.58]
0,75
Usado en túneles aerodinámicos y compresores. La relación de presiones de estancamiento: Di f
pO 2 pO 2 S
pO 2
[9.59]
p O 1
El porcentaje de recuperación estática:
C
p p
2 S
[9.60]
2 S
p
1
9- 56
Flujo compresible
Usado en difusores de entrada supersónica para motores a chorro o estatorreactores. : Gas (k= 1,4; R= 287 J/Kg-K) a condiciones de pabs= 2,5 bar y T= 720 °C ingresa a la tobera de una turbina a gas. La tobera a la salida tiene un área de 0,014 m² y una presión p abs = 1 bar. Si el 96% del salto isentrópico se convierte en energía cinética: a. Calcular: El flujo másico (kg/h). El número de Mach en la salida de la tobera. b. Calcular el salto de entropía que se produce en la tobera 9.015
Solución
T po1 O1
O2
To
ec1
1
T1
po2
993 K
ec2
p1 = 2,5 bar
ec2S 1,0 bar
T2
2
T2s p2
2s S
p1 = 2,5 bar
p2 = 1,0 bar
T1 = 993 K
A2 = 0,014 m2
tob = 0,96 a. El flujo másico:
m
1 V 1 A 1 2 V 2 A 2 ..................[a]
Cálculo de las propiedades del flujo en la sección 2: despreciando la energía cinética inicial tob
h2 h1 h2 s h1
gas ideal: h = Cp T , con Cp constante, se tiene:
hreal ; h s
9- 57
Flujo Adiabático
to b
T 2 T 1 T 2 s T 1
[b]
k 1
Proceso isentrópico:
T 1 T 2 s
p 1 p 2 s
k
[c]
1,4 1
993 T 2 s
En [b]:
0,96
2,5 1
T2 S = 764,28 K
1, 4
993 T 2 993 764, 28
T2 = 773.43 k C2 = 20,045 √ 773,43 = 557,46 m/ s = 100 000 Pa/ 287 x 773,43 = 0,04505 kg/m3 To T
Energía:
V 2 2 Cp 2
993 773, 43
V
2 1004,5
V2 = 664,17 m /s Reemplazando [a]: m
0, 04505 kg / m3 664,17 m / s 0,014 m2 4,188 kg / s m
15 080 kg / h
b . el salto de entropía: S = - R Ln ( po 2 / po 1 ) k
Proceso isentrópico:
To2 T2
p o2 p2 1, 4
993 773, 43
po2 1
1
[c]
k
1
1, 4
po2 = 2,398 bar
S = - 287 x Ln (2,398 / 2,50 ) = 11,95 J / kg - K
P. 9.016: Para un difusor de eficiencia constante determinar una expresión para determinar: a. La presión de salida del difusor en función de la eficiencia, presión y número de Mach en la entrada.
9- 58
Flujo compresible
b. La eficiencia del difusor en función de la presión de estancamiento en la entrada y salida del difusor.
Flujo Adiabático
9- 59
9- 60
Flujo compresible
SEMINARIO: TOBERAS Y DIFUSORES James A. Fay
P1. [12.3] En una planta generadora de energía de ciclo cerrado con turbina de gas, el helio ingresa en la turbina adiabática con una presión p 1 = 8 bar y temperatura T1 = 1100 K y sale con una presión p 2 = 1 bar y temperatura T2 = 620 K. calcule: a. La eficiencia (t ) de la turbina adiabática y b. El trabajo entregado por la turbina por kilogramo de helio que fluye a través de ella. P2. [12.4] en un túnel aerodinámico supersónico, el aire almacenado a una presión p0 = 10 bar y temperatura T0 = 290 K se hace pasar adiabáticamente a través de una boquilla convergente-divergente, de donde sale corriente de aire como vapor supersónico a una presión de p 1 = 1 bar. Si se supone una constante k = 1,4, calcule: a. b. c. d.
El número de Mach del flujo en la salida de la boquilla. La temperatura del flujo en la salida La razón del área de salida al área de garganta, A S / A G. y El gasto másico de aire si el área de la garganta es de 10 cm 2.
P3. [12.5] Se propone diseñar un túnel aerodinámico hipersónico utilizando helio ( k = 5/3), como fluido de trabajo en el que la sección de prueba funcionará con un número de Mach = 20. Calcule: a. La temperatura To de estancamiento si la temperatura de la sección de prueba es de T p = 10 K,es b. La presión de estancamiento que se necesita si la presión en la sección de prueba p p = 0,0001 bar = 10 Pa y c. La razón del área de la sección de pruebas al área de la garganta, A p / A G.
P4. [12.8] A través de una tubería fluye gas natural (metano), comprimido a una presión de p 1 = 60 bar y temperatura T1 = 300 K. la longitud de la tubería es L = 7 km y su diámetro D. el gas sale en el otro extremo de la tubería con una presión p 2 = 10 bar. La velocidad del flujo de entrada es V1 = 45 m / s. si se supone que el flujo es adiabático, calcule:
9- 61
Flujo Adiabático
a. La temperatura T2 del flujo de salida, b. Los números de Mach M 1 y M 2 del flujo que entra y del que sale y c. El valor valor de fricción de de Darcy f para este flujo.
P5. [12.10] Se conecta un tanque grande que contiene gas perfecto con una velocidad de propagación del sonido c y y constante k a a una tubería muy larga (x ≥ 0 ) mediante una válvula de apertura rápida localizada en la entrada de la tubería. Inicialmente, la tubería ha sido completamente evacuada ( p = 0 cuando t = 0; x ≥ 0). De pronto, al tiempo t = 0, se abre la válvula y el gas fluye hacia la tubería. El flujo del tanque hacia la entrada de la tubería es un flujo estrangulado estacionario; el flujo en la tubería es un flujo no estacionario. a. Obtenga una expresión para la velocidad máxima u máx del del gas en la tubería y calcule la razón u máx / V max para k = 1,4, donde donde V max es es la velocidad máxima del flujo estacionario para un flujo isentrópico, desde el tanque a una región de presión cero. b. Exprese la velocidad u { x, t } en la tubería en función de x y t. FRANK M. WHITE
P6. [9.76] Un gran depósito a 20 ºC y 800 kPa se usa para llenar un pequeño tanque aislado a través de una tobera convergente-divergente de 1 cm 2 de área de garganta y de 1,66 cm 2 de área de salida. El pequeño tanque tiene un volumen de 1 m 3 y está inicialmente a 20 ºC y 100 kPa. Calcule el tiempo transcurrido cuando: a. la onda de choque choque empieza a aparecer aparecer dentro dentro de la tobera, tobera, y b. el gasto másico empieza a caer caer por debajo de de su valor máximo. máximo. P7. [9.77] Un gas perfecto (no aire) se expande isentropicamente a través de una tobera supersónica con un área de salida que es cinco veces el área de garganta. El número de Mach a la salida es 3,8. a. ¿Cuál es la relación de calores específicos específicos del gas?. b. ¿De qué gas puede tratarse. c. Si po = 300 kPa, ¿Cuál será la presión de salida del del gas?. P8. [9.78] La orientación de un agujero puede ser determinante. Considere los agujeros A y B de la figura, que son idénticos, pero están contrapuestos. Para unas propiedades del gas dadas, calcule el gasto másico a t ravés de de cada uno de los agujeros y explique porque son difer entes. 0,2 cm 2
p1 = 150 kPa
T1 = 20 ºC
9- 62
Flujo compresible
0,3 cm 2 p2 = 100 kPa m A m B P9. [9.79] Un gran depósito a 600 K suministra aire a través de una tobera convergente-divergente con un área de garganta de 2 cm 2. En la sección de área 6,2 cm 2 se forma una onda de choque normal. La presión justo aguas abajo de la onda de choque es de 150 kPa. Calcule: a. La presión en la garganta, p G b. El gasto másico en kg/h, y c. La presión presión en el el depósito, depósito, po. po.
6,2 cm 2
AG i
po To = 600 K
2 cm
2
A x y 150 kPa
Aire
S
pB
P10. [9.80] El neumático de un coche a nivel del mar se encuentra inicialmente a 32 lbf/pulg 2 de presión manométrica y 75 ºF. Cuando es perforado con un agujero de forma de tobera, su presión manométrica desciende a 15 lbf / pulg 2 en 12 minutos. El volumen del neumático es de 2,5 ft 3. Calcule el tamaño del agujero en milésimas de pulgadas. P11. [9.81] El helio contenido contenido en un depósito depósito grande a 100 ºC y 400 kPa descarga en un depósito receptor a través de una tobera convergentedivergente diseñada para para descargar a M = 2,5 con un área de salida de 1,0 1,0 cm 2 . Calcule: a. La presión en el depósito receptor y b. El gasto másico en las condiciones condiciones de de diseño. diseño. c. Calcule el rango rango de presiones presiones del recipiente recipiente para el cual el gasto gasto másico es máximo. P12. [9.82] Una corriente de aire a 500 K alimenta a una tobera convergentedivergente, con un área de garganta garganta de 1,0 cm 2 y un área de salida salida de 2,7 2 cm . Un tubo de Pito colocado en el plano de salida mide po = 250,6 kPa y p = 240,1 kPa cuando el gasto másico es de 182,2 kg/h. a. Calcule la velocidad velocidad de salida.
9- 63
Flujo Adiabático
b. ¿Existe una onda de choque en el conducto?. Si es así calcule el número de Mach justo aguas debajo de dicha onda.
P13. [9.83] Un motor cohete proporciona un empuje de 1 millón de lbf cuando opera bajo condiciones de diseño (descarga sin onda de choque ni onda de expansión a la presión de 101,325 kPa). La presión y temperatura en la cámara son 600 lbf / pulg 2 y 4000 ºR, respectivamente. Los gases de salida se asemejan a un gas con k = 1,38 y un peso molecular de 26. Calcule: a. El número de mach mach a la salida y b. El diámetro de la garganta P14. [9.84] Un flujo de aire atraviesa el conducto de la figura, donde A 1 = 24 cm 2 , A2 = 18 cm 2 y A3 = 32 cm 2. En la sección 2 existe una onda de choque normal. Calcule: a. El gasto másico, b. El Número de Mach y c. La presión de remanso en la sección 3.
2
1
3
x y
Aire
m Onda de choque M 1 = 2,5 p 1 = 40 kPa T 1 = 30 ºC
P15. [9.85] Un gran tanque a 300 kPa suministra aire a través de una tobera con un área de garganta de 1,0 cm 2 y un área de salida igual a 2,2 cm 2. En el plano de salida se forma una onda de choque normal. La temperatura justo aguas abajo de esta onda de choque es de 473 K. calcule: a. La temperatura temperatura en el gran tanque, b. La presión presión en el receptáculo receptáculo receptor receptor y c. El gasto másico.
9- 64
Flujo compresible
9- 65
Flujo Adiabático
9.4 LA ONDA DE CHOQUE NORMAL Una pequeña perturbación se propaga en un fluido a la velocidad del sonido, cuando se encuentran ondas más fuertes, que ocasionan cambios rápidos y severos de las propiedades del flujo de una pequeña región del flujo, se dice que se ha formado una onda de choque. En la práctica se puede crear grandes perturbaciones de presión, utilizando un diafragma de acero dentro de un tubo. Cuando la presión es lo suficientemente alta, el diafragma estalla y el choque se propaga a través del tubo. La velocidad de propagación de esta onda de presión es superior a la velocidad del sonido.
Onda de choque generada en un tubo de choque mediante el movimiento de un pistón que se desplaza con una velocidad Vp, en el interior de un gas inicialmente estacionario. En la región sombreada se representa el fluido que está entre la onda de choque y el pistón y que se desplaza con la misma velocidad del pistón Figura
La onda de choque es de un espesor muy pequeño, lo cual hace difícil su estudio, requiriendo entre otras cosas la utilización de la termodinámica de los no equilibrios. En este capitulo se hará un estudio para relacionar las propiedades del flujo antes y después de la onda de choque. Onda de Choque px Tx
Vx
Vy
x
py Ty
y
Fig. 9.21 Onda de choque normal estacionaria Considere un flujo permanente y uniforme, las variables del flujo antes de la onda de choque se designan por el subíndice “ x ” y con el subíndice “ y ” las variables del flujo después del choque. El proceso de flujo que se produce a través de la onda de choque es no isentrópico debido a los efectos de fricción y conducción de calor dentro del choque mismo.
9- 66
Flujo compresible
Ecuaciones aplicables: m
Continuidad :
A
Impulso :
ho
V X 2
h X
p
Gas ideal :
X
X
p X
Energía :
G
T
R
V X 2 2
pY
Y
V Y
Y
V Y 2
hY
V Y 2 2
= constante
= constante
h Cp T
Sy – Sx 0
Entropía :
V X
Sy Sx Cv Ln [
p2 p1
2 1
k 1
]
Considerando que son conocidas las condiciones del flujo antes del choque, las condiciones del flujo después del choque: Ty, py, y, Vy, Sy pueden ser determinadas de estas cinco ecuaciones.
9.4.1. LÍNEA DE FANNO Y LÍNEA DE RAYLEIGH Si se considera un valor de Vy, de la ecuación de continuidad se obtiene y; de la ecuación de energía se obtiene hy; de la ecuación del gas ideal se obtiene Ty, py; finalmente de la ecuación de entropía se obtiene Sy. Repitiendo los cálculos para otros valores de Vy se obtiene, en un diagrama h-s, una curva denominada línea de Fanno. Tomando un valor particular de Vy, de la ecuación de continuidad se obtiene y; de la ecuación de impulso se obtiene py; de la ecuación del gas ideal se obtiene Sy. Repitiendo estos cálculos para otros valores de Vy, se obtiene, en un diagrama h – S, una curva denominada línea de Rayleigh. h h0
Y
ONDA DE CHOQUE
X
FANNO
RAYLEIGH
S
9- 67
Flujo Adiabático
Fig. Línea de Fanno y línea de Rayleigh. La parte inferior de las dos curvas corresponde a una condición en la que M > 1 y la porción superior señala las condiciones en que M < 1. Se demuestra que los puntos de máxima entropía de estas líneas son A y B donde M = 1. Los puntos de intersección de la línea Fanno y la línea Rayleigh constituyen una solución para el conjunto de las ecuaciones dadas. Se observa que el estado inicial “X” es un estado supersónico y el estado final “y” es un estado de flujo subsónico.
9.4.2. RELACIÓN DE PROPIEDADES Como el flujo es adiabático: To x
T y T x
k 1
Tx ( 1 1
1
2
k 1 2 k 1 2
Toy = Tox, de manera que
M X 2 )
To y
T y
(1
M X 2
k 1 2
M Y 2 )
[9.61]
2
M Y
Es conveniente establecer relaciones para las características de flujo a través de la onda de choque sólo en función del número de Mach inicial. De la ecuación de estado y de continuidad: T y T x T y T x
p y
x
p x
y
p y
M y C y
p x
M x C x
p y
V y
p x
V x
p y
M y
T y
p x
M x
T x
De donde: p y
M x
p x
M y
1 1
k 1 2
k 1 2
M X 2 2
M Y
Examinando la ecuación de cantidad de movimiento: p X
Gas ideal:
X
V 2
V X 2
p
M 2 K R T k p M 2
R T
pY
Y
V Y 2
[9.62]
9- 68
Flujo compresible
p x ( 1 k M x2 ) p y
1 k M x2
p x
p y ( 1 k M y2 ) [9.63]
1 k M y2
Igualando las ecuaciones (9.62) y (9.63) : k 1 M X2 2 k 1 M X2 2
1
M x 1
M y2
M x2
1 2
2 k
k 1
M x2
k 1
k 1 M Y 2 2 k 1 M Y 2 2
1
MY
[9.64]
1
Sustituyendo el valor de My en (9.63), y en (9.61), se obtienen: p y p x
Ty Tx
2k k 1
M 12
1[
k 1
[9.65]
k 1
k 1 2
] M 12 [
[ 2k ] M 2 1 1 k 1
(k 1) 2 2 (k 1)
[9.66]
2 1
] M
La relación de densidades, en términos del número de Mach inicial, se puede encontrar a partir de la ecuación de estado: y x
p y / R Ty p x / R Tx
py T x
Vy Vx
px Ty
x y
x y
1
1 k 1 2
1 M x2
[9.67]
La relación de presiones de estancamiento es una medida de la irreversibilidad del proceso de choque. poy pox
poy / py
py
pox / px
px
9- 69
Flujo Adiabático
poy pox
py px
1 k 1 M 2 y 2 k 1 1 M x2 2
k k 1
Introduciendo la ecuación (9.65) y (9.64), se obtiene;
poy pox
oy ox
k 1 M 2 x 2 k 1 2 1 M x 2
k k 1
2k 2 k 1 M x
k 1
1 k 1
k 1
[9.68]
El cambio de entropía:
S So 0 Sy Sx S0 y S0 x 0 S R Ln ( poy / pox) Sy Sx R
k
k 1
Ln
1 k 1 M 2 x 2 k 1 M x2 2
1 k 1
Ln
2k k 1
2
M x
k 1
k 1
[9.69]
La gráfica de esta ecuación se encuentra en la figura 9.23, donde: Para M > 1
Sy – Sx > 0
M < 1
Sy – Sx < 0, contra la segunda ley de la Termodinámica.
Conclusión : El estado inicial de un choque normal será siempre supersónico. Por otro lado, de la ecuación (9.64):
M y2
M x2
2 k 1
2k
M x2 1 k 1
Como Mx > 1 siempre, resulta que M 2y < 1 Conclusión: El estado final de un choque normal será siempre subsónico.
9- 70
Flujo compresible
oo (+) Zona posible de choque
k / ) x S y S (
(0) 1
2
Mx
(-)
Fig. 9.23 Ecuación (9.69) En esta gráfica puede verse que el número de Mach inicial Mx es mayor, mayores son los cambios de las propiedades y características del flujo a través de la onda de choque. En estas curvas puede verse que después de la onda de choque existe una temperatura mayor, una presión no perturbada mayor y una presión de estancamiento menor. RELACION RANKINE -HUGONIOT
Una interesante relación de la presión y la densidad se obtiene sustituyendo el valor de My de la ecuación (9.64) en la ecuación obtenida de (9.62) y (9.61), se obtiene:
Usando la ecuación
Resolviendo para
9- 71
Flujo Adiabático
Conocida como ecuación de Rankine-Hugoniet, la cual sólo será posible cuando esté encierra de la isentrópica y o sea para el choque.
llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
EJEMPLO 9.18:
Un tubo de pitot en una corriente supersónica produce una onda de choque, como se muestra en el esquema. Considerando que la prueba es a 0° el ángulo de ataque, y que la onda de choque producida es normal al flujo, y que la prueba está diseñada para medir la presión estática después del choque py. a. Encuentre una expresión para evaluar el número de Mach de la corriente supersónica Mx, en términos de poy, py. b. Conocida Toy, determine la velocidad del flujo antes y después del choque. My < 1
Mx > 1
poy
Considerando flujo isentropico antes y después del choque:
py
9- 72
Flujo compresible
k 1
poy / py Mx My
2
2
2 k k 1
k
1
k 1 2 My 2
[1]
2 k 1
Mx
2
1 [
2]
9- 73
Flujo Adiabático
Una explosión en aire, k = 1.4 produce una onda de choque EJEMPLO 9.19 : esférica que se propaga radialmente en aire en calma y en condiciones normales. En el instante mostrado en la figura, la presión detrás de la onda es 1380 KPa. a. Calcule la velocidad C de la onda de choque. b. Calcule la velocidad V del aire justo detrás de la onda de choque.
C
v 1380 Kpa PUM
9- 74
Flujo compresible
9.4.3. INTENSIDAD DE UNA ONDA DE CHOQUE Se define así a la relación del incremento de presión a la presión inicial.
Usando la ecuación (9.65), se obtiene:
Un choque débil implicaría : De (9.72):
Considerando el cambio de entropía, en la forma:
Usando (9.74) y (9.75), :
Usando la serie de expansión:
Esto indica que la producción de entropía es una función del cubo de la intensidad del choque. Para el caso de choques débiles, el proceso isentrópico constituye una buena aproximación. AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
Flujo Adiabático
9- 75
9- 76
Flujo compresible
PROBLEMAS
9- 77
Flujo Adiabático
9.05.-FUNCIONAMIENTO DE LAS TOBERAS Una nota sobre chorros libres Se considera chorro libre a un fluido que fluye desde un conducto hacia una zona relativamente grande que contiene fluido, el cual tiene una velocidad respecto al chorro que es paralela a la dirección del flujo en el chorro. En el caso de un fluido que sale de una tobera a la atmósfera con flujo subsónico; se demuestra que la presión de salida p s, para tales flujos, debe de ser la atmósfera que lo rodea.
Vch pa ps Figura Nº 9.26 : Descarga de chorro subsónico
Si ps > pa :
Tendría lugar a una expansión lateral del chorro. Este hecho disminuiría la velocidad del chorro, de acuerdo con la teoría del flujo isentrópico, y, por consiguiente caería necesariamente la presión en el chorro, agravando más la situación. Una continuación de éste efecto seria catastrófico.
Si ps < pa :
Tendría lugar una contracción del chorro de acuerdo con la teoría del flujo isentrópico, y un incremento de velocidad. Esto produciría una disminución posterior en la presión del chorro, agravando de nuevo la situación.
Está claro de que cualquiera de las dos suposiciones nos lleva a esperar una INESTABILIDAD en el flujo del chorro. Puesto que se observa que el chorro subsónico es estable, se puede concluir que la presión del chorro debe ser igual a la presión que lo rodea: ps = pa. Sin embargo, si el chorro emerge supersónicamente, la presión d e salida no necesita ser igual a la presión de los alrededores. La presión de salida se ajusta a la presión exterior, mediante una sucesión de ondas de choque y ondas de expansión oblicuas , para el caso bidimensional o de ondas cónicas similares en el caso simétrico tridimensional.
9.5.1.-TOBERA CONVERGENTE Considere que el conducto convergente tiene una área de ingreso bastante grande, sección “o”, y descarga a través de la Sección “s” a un ambiente que se encuentra a la presión p B (denominada contrapresión).
9- 78
Flujo compresible
0
S
B
Vo = 0
p0 =Const.
m
m
pS
To = Const pB
p/po 1,0
O 1
p*/po
I
22 3
II
O
x Figura Nº 9.27 : Tobera subsónica REGIMEN I
REGIMEN II p*/po
o T
3
2
o p / S p
m
3
1 2
1 0 1
p*/po
pB / po
1
0
Figura Nº 9.28 : Funcionamiento de la tobera subsónica
pB
/
po
9- 79
Flujo Adiabático
Los valores de presión y temperatura en la sección “o”, serán constantes, mientras que la presión de contrapresión PB será variable mediante una válvula. Analizaremos el efecto de la variación de pB sobre la distribución de presión a lo largo de la tobera.
O: La presión pB es igual a po. La presión a lo largo del conducto es igual a po . M=o
pB = po
=0 m
ps=pB
1: Al disminuir ligeramente PB con respecto a Po., se tiene un flujo a lo largo del conducto, con características subsónicas. MS < 1
< m máx p*/ po< PB / Po <1 0< m
Ps/po=PB/po
2: Cuando la presión posterior P B disminuye hasta alcanzar en la garganta de la tobera el estado sónico, y representa el funcionamiento de una tobera en las condiciones de diseño. MS = 1
pB / po = p*/ po
= m máx m
ps / po = pB / po = p* / po
3: Un descenso posterior de P B, no tiene efecto alguno sobre el flujo dentro de la tobera, y se dice que la tobera está funcionando en condiciones de estrangulamiento. (a veces se denomina flujo “chocado”). MS = 1
pB / po < p*/ po
= m máx m
ps / po = p* / > pB/po
Una explicación:
Cuando se establecen condiciones sónicas en la garganta, el fluido en ésta región se está moviendo corriente abajo, tan veloz como la propagación de la presión puede moverse corriente arriba. De aquí que, las variaciones de presión resultantes de adicionales descensos de la presión posterior (pB) no puedan “comunicarse” hacia arriba a través de la garganta, la cual está actuando como una barrera. Por ello en éstas condiciones no pueden producirse cambios delante de la garganta . Cuando p B se reduce de nuevo, la presión del chorro continua permaneciendo en la presión critica en la salida de la tobera; existe ahora una diferencia de presión entre el chorro y los alrededores, condición solamente posible en un chorro libre cuando el flujo tiene un Mach igual o mayor que la unidad. Tiene lugar en el chorro un ajuste a la presión ambiente por medio de una serie de ondas de expansión. Los descensos posteriores de presión, producen solamente un aumento de la intensidad de las ondas de expansión Se observa de este modo, que una tobera convergente puede actuar como una válvula de corte, permitiendo solamente un cierto flujo másico máximo, para un conjunto dado de condiciones de estancamiento (po, To); como se vió al analizar la ecuación (9.44)
9- 80
Flujo compresible
RESUMEN:
Régimen I
Régimen II
pB / po > p* /po
pB / po < p*/ po
ps / po = pB / po
ps / po = p*/ po
= f (po, To) < m máx m
= m máx m
EJEMPLO 9.020: El aire de un tanque a 120 kPa y 300 K se descarga a la atmosfera (p atm) a través de una tobera convergente que tiene un área de salida igual a 5 cm 2. a. Determine la descarga del aire en kg/h, cuando la presión atmosférica: p atm es igual a 101,325 kPa. b. Determine el flujo másico de aire que se descarga si la presión atmosférica es de 100 kPa, 90 kPa, 80 kPa y 70 kPa. c. Determine el flujo másico máximo que puede descargar la tobera, y cuál es la presión atmosférica que hace posible esta descarga máxima. d. Determine la presión p atm, si se quiere una descarga de aire igual a 0,125 kg / s. e. Demuestre que el empuje de un motor cohete en el vacío viene dado por: 2
E
po As (1 k Ms )
k
(1
k 1 2
Ms 2 )
k 1
Donde, As es el área de salida; Ms es el número de Mach en la salida; po es la presión de remanso (estancamiento) en la cámara de combustión NOTE: que la temperatura de estancamiento no afecta al empuje.
Flujo Adiabático
9- 81
9- 82
Flujo compresible
PROBLEMA:
TOBERA CONVERGENTE
OBJETIVO:
Determinar las propiedades del flujo en la sec ción de salida Determinar el flujo másico que descarga la tobera Determinar la fuerza del chorro subsónico
DATOS: Fluido:
R=
287,13 J / kg K
k=
1,4
2
A = po =
120 KPa
To =
300 k
Vo =
0
o =
1,3931 kg/m
5 cm
m
pB =
101,325 KPa
3
ps = Ts = s=
Flujo Adiabático Reversible 273 = 1 +
Ts ANÁLISIS
k-1
Ms
2
=
2
120 p s
=
1,3931 s
CÁLCULOS
ps /po = pB /po = 0,84438 p*/po = (ps > p* =>)
0,528282 Descarga subsónica
Ms =
0,4976
ps =
101,33 KPa
Ts =
285,85 K
Ts =
12,845 °C
Cs =
338,98 m/s
Vs =
168,67 m/s
rs =
1,2345 kg / m 3
El flujo másico. 0,1041 kg/s La fuerza del chorro: F=
0 +
17,5609
17,561 N
RESPUESTA El flujo másico que descarga la tobera es de: La fuerza del chorro:
0,1041 kg/s 17,5609 N
Flujo másico máximo
9- 83
Flujo Adiabático
p atm [kPa]
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
m [kg/s]
0,1070 0,1163 0,1237 0,1295 0,1339 0,1371 0,1390 0,1399
0,14
0,14
0,14
I [N]
18,052 19,788 21,323 22,641 23,728 24,654 25,127 25,392
25,41
25,41
25,41
para p atm <
61 kPa,
para p atm =
89 [kPa], la descarga es de
DEMOSTRACIÓN
hace posible de scargar el flujo másico máximo = 0,125 kg/s
0,14 kg/s
9- 84 9.5.2 TOBERA CONVERGENTE DIVERGENTE
Flujo compresible
Flujo Adiabático
9- 85
Se mantienen fijas las condiciones de estancamiento, la presión posterior se varía mediante la válvula
La válvula se encuentra cerrada, y a lo largo de la tobera la presión es po, no existe flujo. Curva 0 La presión pB es elevada, permitiendo un flujo subsónico a lo largo de la tobera , y el flujo emerge como un chorro libre con una presión igual a la presión de los alrededores. Curva 1. Una disminución ulterior de la presión posterior p B se logra un estado con flujo sónico en al garganta y un retorno al flujo subsónico en la sección divergente de la tobera; curva 2, que es la curva límite para un flujo completamente subsónico a lo largo de la tobera, se señala como región II. Una disminución mayor de p B no afecta al flujo en la parte convergente de la tobera. El caudal, en consecuencia, no puede incrementarse después que se ha pasado la región I, y la tobera se considera que está operando en una condición de estrangulamiento; sin embargo, mas allá de la garganta existe de nuevo una expansión isentrópica supersónica. Curva 3, que está súbitamente interrumpida por una onda de choque plana. Después de la onda de choque se produce una expansión subsónica a la presión posterior. pB. Esta parte subsónica del flujo puede considerarse isentrópica si no ha tenido lugar un excesivo crecimiento de la capa límite, como resultado del desfavorable gradiente de presión de la onda de choque. Cuando se disminuye más la presión posterior (p B), la onda de choque se moverá corriente abajo, resultando más enérgica, puesto que la onda de choque tiene lugar a un número de Mach más elevado .Finalmente, aparecerá exactamente a la salida de la tobera , curva 4. Las curva 2 y la curva 4 forman las zonas límites donde las ondas de choque se encontraran en el interior de la tobera. Región II. Mayores descensos en p B, a partir de la presión más baja de región II, sacan la onda de choque fuera de la tobera, con el resultado que tenemos un flujo supersónico exactamente fuera de la tobera. La presión del chorro es ahora menor que la presión ambiente y la onda de choque antes mencionada se transforma en parte de un tipo oblicuo complejo durante el cual se produce un ajuste de la presión del chorro a las condiciones del medio ambiente. Curva 5. Cuando la presión posterior (pB) decrece de nuevo, las ondas de choque disminuyen en intensidad, hasta que se alcanza una presión en la que no aparecen ondas de choque apreciables; curva 6, que corresponde a las condiciones para las que fue diseñada la tobera. La ventaja de una tobera en condiciones de diseño es que se logra el mejor aprovechamiento energético. Así se forma otra región , señalada como región III, donde los tipos de onda se hallan fuera de la tobera , con un ajuste de presión en el chorro que tiene lugar desde un valor más bajo a uno más elevado, que es el de la presión ambiente. Se dice que en ésta región la tobera está trabajando s obreexpansionada.
Del descenso de p B por debajo de las condiciones de diseño, resulta la necesidad de un ajuste desde la más alta presión del chorro a la más baja
9- 86
Flujo compresible
presión ambiente, a través de una serie de ondas de expansión y ondas de choque oblicua que crecen en intensidad al disminuir la presión posterior. Así se forma la sección IV, donde la tobera se dice que trabaja s ubexpansionada. RE SUMEN :
0 :
Válvula cerrada. No hay flujo
I :
p2 / po < pB / po < 1 Flujo subsónico : En toda la tobera. pS / po = pB / po < m máx ; m es sensible a las variaciones de pB m
2 : La curva 2 es límite del comportamiento subsónico de la tobera II :
p4 / po < pB / po < p2 / po Parte convergente : Flujo subsónico Parte divergente : Flujo supersónico con onda de choque normal pS/po = pB/po pG/po = p*/po = m máx ; insensible a las variaciones de p B. m
4 :
pB / po = p4 / po
Localiza la onda de choque justamente en la sección de salida de la tobera. III : p6 / po < pB / po < p4 / po Parte convergente : Flujo subsónico Parte divergente : Flujo supersónico con onda de choque 0blicuo fuera de la tobera pS/po < pB/po pG/po = p*/po = Constante = m máx ;= Constante. m
6 :
pB / po = p6 / po
Condición de diseño de la tobera. El flujo es isentrópico dentro y fuera de la tobera. Se logra el mejor aprovechamiento energético. IV : p7 / po < pB / po < p6 / po Parte convergente : Flujo subsónico Parte divergente : Flujo supersónico con onda de expansión 0blicuo fuera de la tobera Ejemplo : Analice el funcionamiento de una tobera de motor a chorro; cuando trabaje sobre-expansionada y sub-expansionada. En un avión de motor a chorro, el objeto de la tobera es doble : 1. Funcionando en su condición de estrangulamiento, limita el caudal a un valor que es el propiamente adecuado para las exigencias de los otros
9- 87
Flujo Adiabático
componentes del sistema del motor a chorro. El tamaño de la sección de garganta es la variable de control. 2. Buscar un flujo que produzca el empuje más grande compatible con la resistencia al avance exterior y con las condiciones estructurales. p
p p amb
p amb B B
A
A
Vuelo a.1 Sobre-expansionada
Vuelo a.2 Sub -expansionada
Considerando solamente el flujo interno :
Tobera sobre-expansionada : Nótese que entre las secciones A y B la presión interior de la tobera es menor que la ambiente, aportando un empuje negativo en la dirección del vuelo. Suprimiendo ésta sección de la tobera, se incrementaría el empuje a su máximo valor. Tobera sub-expansionada : La presión de salida supera a la presión ambiente; ahora, si la tobera fuese alargada, de modo que la expansión llegase a la presión ambiente, se produciría un empuje adicional. Posición de la onda de choque Cuando se produce un choque en el interior de la tobera supersónica, su posición se puede determinar de la siguiente manera : Partiendo de las condiciones conocidas en la garganta y en salida, considérese unas condiciones de flujo isentrópicas hacia el interior desde ambos extremos de la sección divergente de la tobera. En alguna sección a lo largo de la parte divergente de la tobera, existirá una posición donde el flujo subsónico, calculado a partir de las condiciones en la salida, y el flujo supersónico calculado a partir de las condiciones en la garganta: tendrán relaciones correspondientes a aquéllas que existen a ambos lados de una onda de choque normal.
9- 88
Flujo compresible
P. 9.021 :
Una boquilla convergente-divergente con un área de garganta de 0,0013 m 2 y un área de salida de 0,0019 m 2, se conecta a un tanque ( D = 3 m. H = 15 m) que contiene aire a una presión absoluta de 552 kPa y una temperatura de 15 ºC.
po = 552 kPa
pB
To = 288 k
481,88 kPa
p* = 291,6216 kPa 344,649 kPa
p* / po = 0,5283
93,156 kPa
a. Determine las presiones p 2 y p6. b. Determine la presión p4. c. Si la boquilla opera en condiciones de diseño, determine la presión en la garganta. d. Demuestre que para el cálculo del flujo másico en la zona I, puede utilizarse la siguiente ecuación:
m
R To A po
2 K k 1
p / po
2 / k
k 1 1 p / po k
[a]
9- 89
Flujo Adiabático
Válida para flujo no bloqueado en la boquilla e. Demuestre que para el cálculo del flujo másico en la zona II, puede utilizarse la siguiente ecuación
k 1
m
To
A * po
K R
2 2( k 1) k 1
[b]
Válida para flujo bloqueado en la boquilla f. Para el cálculo del flujo másico máximo, ¿recomendaría la ecuación [a]?, ¿Por qué? g. Para el cálculo del flujo másico máximo, ¿recomendaría la ecuación [b]?, ¿Por qué? h. Si se considera la ecuación [a], se observa que el flujo másico descargado es sensible a la relación p / po.es decir el valor del flujo másico depende del valor de p/po. Mientras que el miembro derecho de la ecuación [b], es constante Para el valor de la contrapresión p B = 100 kPa, haga uso de las ecuaciones [a] y [b] para hallar el flujo másico en kg/s. Opine respecto a los valores hallados.
9- 90
Flujo compresible
P. 9.022 : Un pequeño cohete está equipado con una tobera convergente que, para ciertas condiciones de funcionamiento despide una mezcla de combustible y oxidante a razón de 5 kg / s. Las propiedades del gas, producto de la combustión se estiman en k = 1,3 y R = 83,14 J/kg-K. La temperatura de combustión es de 2500°C y la presión absoluta interior es de 35 bar; y descarga hacia la atmósfera donde p amb = 1 bar. Considerando que los acoplamientos flexibles y los rodamientos de soporte presentan una fuerza horizontal insignificante calcule el empuje neto de propulsión de la tobera
GASES
· pa = 1 bar
Po = 35 bar To = 2 500ºC ps
Solución E pS AS
De la ecuación de cantidad de movimiento: pS
po p
pa po
2 k 1
*
p0
1
35 k k 1
0,02857 descarga subsónica
2 1 , 3 1
m Vs
como:
p S
[a]
p0
p * p0
;
1, 3 1, 3
1
0,5457
el flujo está chocado
Las propiedades del flujo en la salida son las condiciones críticas. De:
T 0 T
p M 0 2 p
k 1
1
T 0 T *
2
k 1
1
2
k 1 k
0 p
2773 T *
k 1
1
1,3 1 2
1,15
TS = T* = 2 411 K ps = p*= 0,5457 x 35 bar = 19,099 5 bar * = 19 099 50 Pa / (83,14 J/kg-K x 2 411K) = 9,5283 kg / m3 Vs V * C * 1,3 x 83,14 x 2411 510,476 m / s
La descarga es el flujo másico máximo: 5
kg s
9,5283
kg m
3
510,48
m s
m
AS
V A
As = 0,001028 m 2
Reemplazando valores en [a]: E = (19,1 - 1) x 10 5 Pa x 0,01028 m2 + 5 kg/s x 510,48 m/s E = 1861 N + 2552 N = 4413 N.
9- 91
Flujo Adiabático
P. 9.023 : El cohete del ejemplo anterior es equipado con una sección divergente adicional de tal manera que la presión de salida resulta reducida exactamente a la presión ambiente (expansión completa). a. Determine el empuje neto bajo estas condiciones y el área de salida. b. Si el área de salida de la tobera es disminuida en un 15% con respecto al
área necesaria para la expansión completa, ¿Aumentará o disminuirá el empuje neto?. ¿En cuánto varia?. AG
GASES
po = 35 bar To = 2 500ºC
pa
ps
SOLUCIÓN E p s A s
De la ecuación de cantidad de movimiento:
m Vs
(a) Como la expansión es completa, la tobera funciona en la curva seis Luego:
T 0 T S
1
k 1 2
M S
2
p 0 pS
k 1 k
0 pS
k 1
0 = 3 500 000 Pa / (83,14 J/kg-K x 2773 K) = 15,1813 kg / m3 2773 T S
Así:
1
k 1 2
M S
2
35 1
1,3 1 1,3
15,1813 S
0 ,3
Ms = 2,91 Ts = 1221 K S = 0,985 3 kg / m3 Cs 1,3 x 83,14 x 1221 363,27 m / s
Vs = Ms Cs = 2,91 x 363,27 m/s = 1057 m/s De:
V A m kg kg 5 0,9853 3 s m
Reemplazando valores en [a]:
1057
m s
AS
As = 0,0048 m2
E = 0+ 5 kg/s x 1057 m/s = 5 285 N
% de incremento de E = 100 (5285 – 4413) / 4413 = 19,76 %
[a]
9- 92
Flujo compresible
(b) Disminución del área de salida en 15%, nueva área de salida de la tobera A’s A’s / A* = 0,85 (As / A*)
[b]
A partir de las ecuaciones del ejemplo anterior: K
m
R
max m
M A K
T o
k 1 2
p o
A *
R
1 k 1 M 2 2
po
T o
( k 1) 2( k 1)
( )
( k 1) 2( k 1)
Se obtiene: k 1 2 M 1 A 1 2 k 1 A * M 2
k 1 2 ( k 1)
[c]
Para Ms = 2,91: 1,31
AS
1
A *
1 1,3 1 (2,91) 2 2 (1,31) 2 1,3 1 2
2,91
4,65967
A’s / A* = 0,85 (4,65967) = 3,9607
En [b]:
1, 31
En ( c):
3,9607
1 M S
1 1,3 1 M 2 2 (1,31) S 2 1,3 1 2
Ms = 2,766 1, 3 1
1,3 1
Luego :
2773
Así:
Ts = 1291,20 K. ps = 1,2752 bar. S = 1,18792 kg / m3
T S
1
2
(2,766)
Cs 1,3 x 83,14 x 1291,20
2
1,3 1
35 1,3 15,1813 p S S
373,57 m / s
Vs = Ms Cs = 2,766 x 373,57 m/s = 1033 m/s El flujo másico:
1,18792 m
Reemplazando valores en [a]:
kg m3
1033
m s
0,85 0,0048 m 2
E = (1,2752 - 1) x 10 5 Pa x 0,00408 m2 + 5 kg/s x 1033 m/s E = 112 N + 5165 N = 5277 N.
5,006655
kg s
9- 93
Flujo Adiabático
P. 9.024 : De un depósito que se encuentra a una presión absoluta de poy = 4,5 bar y To = 444 K, fluye aire a través de una tobera supersónica cuya área de garganta es 6,45 cm2 y área de salida 19,5 cm 2. a. Calcular p, T y V del flujo en la salida de la tobera; cuando se produce una onda de choque en una sección de área igual a 12,9 cm 2 b. ¿Qué valor de contrapresión (p B) localizara la onda de choque normal justamente en la sección de salida de la tobera?. c. ¿Qué valor de contrapresión (p B), producirá un flujo totalmente isentrópico tanto interior como exterior a la tobera? AG = 6,45 cm2
A = 12,9 cm2 x y
AS = 19,5 cm2
po = 4,5 bar
m
pB
To = 444 k
pS T, h
Ox
pox
O Y
po Y
S
pS
Y
pY
To, ho
A*x p*X
X
p*Y
px
A*Y S SX
SY
i) Con la relación : A x AG
A x A *
12,9 6,45
TABLAS S 0 K 1, 4
2,0 . Mx
=
2,20
px / poX =
0,09352
Tx / To
0,50813
=
9- 94
Flujo compresible
ii) Onda de choque, con
TABLAS
CHOQUE
1, 4 K
M x 2,20
0,547 py / px 5,48 T y / T x 1,8569 poy / pox 0,62812 poy / px 6,7163
M y
Con :
TABLAS
M y
S K 1, 4
0,55 A y / A y* 1,2550 p y / po y 0,81416 T y / T o 0,94295
iii) Sección de salida de la tobera : As
A y As · A y* A y* Ay
1 ,2550
19,5 12,9
TABLAS
1,8971
S K 1, 4
M s
0,33
ps / poy
0,92736
Ts / To 097868
Ahora : ps
ps poy
·
poy pox
· pox
ps 0,92736 x 0,62812 x 4,5 bar Ts
Ts To
To 0,97868 x 444 k
Cs 1,4 x 287 x 434,5
2,61 bar 434,5 k
417,98 m / s
Vs 0,33 x 418 m / s 137,94 m / s
b. El flujo presenta onda de choque justamente en la salida : curva 4 AG = 6,45 cm2
po = 4,5 bar
AS = 19,5 cm2 x y
m
pB
To = 444 k
pB = p4 = p y
pS
9- 95
Flujo Adiabático
A x A G
A s A *
19,5 6,45
TABLAS
S
K 1, 4
3,023 M x 2,64, px / pox 0,04711 Tx / To 0,41772
M x 2,64
Con
choque K 1, 4
TABLAS
My 0,50048 py / px 7,9645 poy / pox 0,44529
Luego : p B
p4 p S py
p B
py px
·
px pox
· pox
7,9645 x 0,04711 x 4,5 bar 1,688 bar
c. De la figura 9.29 : - El flujo totalmente subsónico en la tobera y fuera de la tobera, está dado por p2 pB < po . la condición de
- Flujo subsónico en la parte convergente y flujo supersónico en la parte divergente de la tobera. Sin onda de expansión ni onda de compresión fuera de la tobera : pB = p6.
A s AG
19,5 6,45
TABLAS
1,4 3,023 k
SUBSÓNICO
Ms = 0,20 ps / po = 0,92750 p2 = 0,97250 x 4,5 bar = 4,376 bar
S
SUPERSÓNICO
Ms = 2,64 ps / po = 0,04711 pB = p6 = 0,04711x 4,5 = 0,211995 bar.
9- 96
Flujo compresible
P. 9.025 : De un depósito que se encuentra a condiciones absolutas de poy = 4,5 bar y To = 444 K, fluye aire a través de una tobera supersónica cuya área de garganta es 6,45 cm 2 y área de salida 19,5 cm2.
AG = 6,45 cm2
po = 4,5 bar
AS = 19,5 cm2
m
pB
To = 444 k
pS
a. Determinar el rango de contrapresión p B , en que la tobera trabaja sobre-
expansionada y sub-expansionada. b. Si pB abs. = 2,1 bar. ¿Se produce onda de choque dentro de la tobera?. Determinar el valor del área donde estaría ocurriendo.
solución Considerando los resultados del ejemplo anterior :
p2 = 4,376 bar p4 = 1,688 bar p6 = 0,212 bar A. Según la figura 9.29 : a.1. Sobre-expansión :
p6 < pB < p4 0,212 bar < pB < 1,688 bar.
Ondas de choque fuera de la tobera a.2. Sub-expansion :
pB < p6 pB < 0,212 bar
Ondas de expansión fuera de la tobera
9- 97
Flujo Adiabático
p
p p amb
p amb B B
A
A
Vuelo
Vuelo
a.1 Sobre-expansionada
a.2 Sub -expansionada
a. Funcionamiento de una tobera B. Onda de choque dentro de la tobera : P4 < pB < p2 1,688 bar < pB = 2,1 < 4,376 bar
Se está produciendo onda de choque dentro de la tobera AG = 6,45 cm2
A x
po = 4,5 bar
AS = 19,5 cm2 y
m
pB = 2,1 bar
To = 444 k ps
T, h
Ox
pox
O Y
po Y
S
pS
Y
pY
To, ho
A*x p*X
X
p*Y
px
A*Y S SX
SY
9- 98
Flujo compresible
i)
En la sección de salida de la tobera : po x · A x* poy · A y*
p s
pox
·
A s
A x*
p s poy
·
A s A y*
La onda de choque normal se produce en la sección A, para que en la salida se tenga ps = pB = 2,1 bar Como :
ps = p B
2,1
·
4,5
A*x = A G
19,5 6,45
p s poy
pox = po
As
·
* A y S
1,4109
ps poy
·
As
TABLAS K 1, 4
A y*
M s 0,40 p
S
poy AS
0,89562
1,5901
A y* Ts To
ii)
0,96899
En la seccion después del choque normal : Seccion A
CHOQUE
poy pox
poy
p S
·
p S pox
1
2,1
0,89562
4,5
TABLAS
1, 4 0,52105 K
Mx = 2,45 My = 0,52 iii)
En kla seccion antes del choque normal : Seccion A
Con
TABLAS
M x
S K 1,4
2,45 Ax / A*x = 2,5168 = A / AG
Luego :
A = (A x / A*x ) A*x
=
2,5168 x 6,45 cm2 = 16,233 cm2
9- 99
Flujo Adiabático
P. 9.026:
Una tobera supersónica se diseña para una relación de presiones igual a pB / po = 0,12. Si el fluido es aire (k = 1,4; R= 287 J / kg-K). a. Calcular el valor de la contrapresión
la sección de salida de la tobera.
pB, que localizará la onda de choque en
pB / po = 0,60:
b. Para
b1. ¿Se producirá onda de choque dentro de la tobera?. b2. Si la divergencia de la tobera es uniforme y L la longitud de la parte divergente, determinar la posición de la onda de choque respecto a la garganta.
SOLUCIÓN Condiciones de diseño, son tales que en la parte convergente de la tobera se tiene flujo isentrópico subsónico, y en la parte divergente flujo isentrópico supersónico; y no se presenta ondas de choque ni ondas de expansión fuera de la tobera. El flujo supersónico es descargado con ps = pB . La curva correspondiente es la curva 6 En la sección de salida de la tobera :
p
S
po
p B
TABLA
0,12
p o
S 0 K 1,4
M x 2.04 AS *
1,7452
A
a. Onda de choque normal, justo en la salida de la tobera : curva 4. T AG
pox
AS x
po Y To
y
pS p Y
po
m To
pB
Y
p*X
L
S p*Y
X px
A*S SX
SY
S
Para que una onda de choque se localice en La salida de la tobera, se requiere que :
p
B
p y
p 4
p
6
9- 100
Flujo compresible
Luego, TABLA
Con
O. de choque K 1, 4
M x 2,04
M y 0,57068
p y
4,6886
p x A y
1,7452
A y* po y po x po y
0,70218 5,8473
po X ahora :
p y
p x
p x
po
py
p y
0,5625 po p B p4
po
4,6886 x 0,12 x po
B. Para pB / po = 0,60 b1. La onda de choque se produce dentro de la tobera, para la siguiente condición : p 4 po
i) De la parte (a)
p 4 po
p
B po
p
S
po
p 2
( )
po
0,5625
ii) De la condición de diseño : ps / po = 0,12
Con
AS A* S
TABLA
S K 1, 4
1,7452
M S p 2 po
luego, en ( ) :
0,5625 < 0,60 <
0,36 0,914 33
0,91433
Se produce onda de choque dentro de la tobera
9- 101
Flujo Adiabático
T A
AG
x
y
po
poS To
AS
pS
S
po To
pB
ps
A* p*X
Y
X
p*y
p Y
L
px
A*s SX
SY
S
b.2 La posición de la Onda de choque: Divergencia de la tobera: A
AG
A
AS
–
r *
r
m
r s
X L
Caso a Si es el caso ´(b):
caso b
Por semejanza de triángulos
r - r* r s - r X L
9- 102
Flujo compresible
r s r * x
r r * x
L
L
r 1 * r
x
r s r *
L
r s 1 * r
i) De las condiciones de diseño :
r r *
( )
As /A* = 1,7452
ps / po = 0,12
½
r S / r* = (1,7452)
= 1,321
II) determinación del área en la sección de choque :
* po x · A x* poy · A y* poS · AS
0,60 1,7452 1,047
p s pox
·
A s
A x*
p s po
S 0 TABLAS K 1,4
M S 0,537 A
s 1,2703 A* p s po s
0,8218
poy p s s Ahora pox po pox p s p s poy
poy pox
1 0,8218
poy
p
TABLA
O, Choque
K 1, 4 0,60 0,73 M x 1,98
M y S 0 TABLA K 1,4
Con M x 1,98
AS
1,6597
*
A
r x / r x* =
(A /A*) 1/ 2 = (1,6597) 1/2 = 1,288
Reemplazando en ( ) :
0,58
S
·
A s * AS
9- 103
Flujo Adiabático
x
1,288 1,321
x = 0,8972 L
1 1
L
9- 104 9.4
Flujo compresible
FLUJO FANNO
Considere el caso de un ducto de sección constante y sin conducción de calor, pero donde hay fricción interna, entre las partículas fluidas, y entre el fluido y la pared interiores del conducto.
9.4.1 -
CONDICIONES Y LIMITACIONES Flujo estable y uniforme, estado estable Adiabático Con fricción Compresible y unidimensional Área constante A No hay trabajo mecánico Adicionalmente: gas ideal
Ff FA
X
Ff V1 p1 T1
V2 p2 T2
L
X1
X2
Fig. 9.22 . Flujo Fanno
9.4.2 ECUACIONES DE PARTIDA Considerando el volumen de control de la figura 9.22, donde aparecen la fuerza de fricción Ff y la fuerza de arrastre F A:
m 1 V1 - Continuidad: A - Momentum:
2
V2 G const , siendo G el gasto másico.
p1 A G AV1 F f FA p2 A G AV 2
( p1 p2 )
F f A
F A A
G (V2
V 1 )
[ 9.61 ]
9- 105
Flujo Adiabático
en forma diferencial: dp
dF f
dF A G dV A
A
[ 9.62 ]
En este caso en particular no existen objetos dentro del flujo y F A = 0 - Ecuación de D’Arcy – Weisbach, para pérdidas por fricción:
dF f A
dx dp f f Dh
V
2
[ 9.63 ]
2
donde: dp f =
caída de presión por fricción
f
=
coeficiente de fricción, f =
f (Re, e / D, M).
Dh
=
Diámetro hidráulico = 4 A / θ es el perímetro del ducto. p
- Ecuación de estado: F( p, ρ, T) = 0;
T
R const
para gases
ideales. - 2da ley de la termodinámica :
S2 > S1
- Ecuación de energía (1 era ley): h1
V12 2
h2
V 22 2
h0 cte
V 2 cte Para gas ideal: C pT 2 9.4.3 RELACION ENTRE PROPIEDADES 9.4.3.1
Variación del número de Mach con la longitud
Combinando las ecuaciones (9.62) y (9.63), con las condiciones G = ρ V y F A = 0 :
9- 106
Flujo compresible
[ 9.64 ]
d p fricc
d p acele
Interpretada como que la caída total de presión se debe a los efectos de aceleración (dp acel) y fricción (dpf ) Considerando la velocidad del sonido y la ecuación del gas perfecto, y la definición del número de Mach: C2 = KRT p
R const
T
M = V / C
Dividiendo (9.64) entre la expresión anterior, resulta:
de donde:
[ 9.65 ]
Relación que incluye el efecto de fricción.
kp
C 2
V 2 M
dp KM 2 f 2 Dh p
, resulta:
dx K M 2
dV V
relación que incluye el efecto de fricción. Gas perfecto:
p =
pV
G
RT
ρ R T
y Continuidad:
pV= GRT
diferenciando logarítmicamente:
ρV = G
= cte
9- 107
Flujo Adiabático
dp p
dT T
dV V
[ 9.66]
relación válida para cualquier gas ideal que fluya por un ducto de sección recta constante. Considerando la ecuación de energía, para un flujo adiabático:
h1
V12 2
h2
V 22 2
h0 cte
.- dh - V dV = 0 Gas ideal:
h = Cp . T Cp . dT + V dV = 0
Considerado la definición del número de Mach y la velocidad del sonido; M = V / C, M2 KRT i)
C = [KRT]½: =
V 2 =
Dividiendo por ésta expresión, se tiene:
ii)
2
Diferenciando: M K R T = V
2
[ ]
Introduciendo (9.67):
[ 9.67 ]
9- 108
Flujo compresible
De donde:
dV 2dM / M V ( K 1) M 2 2
[9.68]
que incluye la condición de flujo adiabático. Reemplazando (9.66) en (9.65):
Introduciendo (9.67):
Utilizando la ecuación (9.68):
Finalmente:
( )
[ 9.69 ]
donde se establece el cambio dM que sufre el número de mach cuando el flujo recorre un trecho de tubería de longitud dx. La ecuación anterior será integrable únicamente conociendo la dependencia funcional de f. Suponiendo que f sea constante al igual que Dh , y considerando las 2 secciones de la figura 9.22, se llega a:
9- 109
Flujo Adiabático
* + [ 9.70 ]
x2 x1 f L 1 1 1 ( k 1) M 12 2 ( K 1) M 22 f ) Ln ( 2 Dh Dh k M1 M 22 2K M 12 2 ( K 1) M 12
De la ecuación anterior se puede establecer que:
* +
9.4.3.2
[ 9.71 ]
Otras relaciones y estado referencial
Integrando la relación (9.68) entre los dos estados de la fig.9.22 y procediendo de manera similar a la deducción de (9.71), se llega a:
cte . M V 1/ 2 ( K 1) 2 1 M 2
[ 9.72 ]
Reemplazando (9.68) y (9.69) en la ec. (9.65), e integrando en forma similar:
p cte. M
1 1/ 2 ( K 1) 2 1 M 2
De la relación (9.18), condición de estancamiento, y para un flujo adiabático:
[ 9.73 ]
9- 110
Flujo compresible
1 T cte. ( K 1) M 2 1 2
[ 9.74 ]
Para hallar la relación entre dos estados, basta usar las tres ecuaciones anteriores despejando la constante. Como estado referencial conviene escoger aquel en el que M=1 , y al que se llega mediante un proceso Fanno; este estado se llama ESTADO CRITICO FANNO, y aunque se denota también con un asterisco, en esencia es diferente al estado crítico isentrópico. Usando este concepto se puede establecer las siguientes relaciones:
a) Relación de presiones: K 1 1 p 2 p * M 1 ( K 1) M 2 2
1/ 2
1
M
K 1 2 2 ( K 1) M
1/ 2
[ 9.75 ]
b) Relación de temperaturas: K 1 T 2 ( K 1) T* 2 M 1 2
K 1 K M 2 1) 2 (
[ 9.76]
c) Relación de velocidades: 1/ 2
K 1 M 2 V* 2 ( K 1) M V
[ 9.77 ]
d) Relación de densidades: *
(
V V*
) 1
1/ 2
1 2 ( K 1) M 2
M
( K 1)
[ 9.78 ]
9- 111
Flujo Adiabático
e) Presiones de estancamiento:
[ ]
⌈ ⌉
La gráfica de éstas relaciones se muestran en la figura 9.23
Figra 9.23
[ 9.79 ]
9- 112
Flujo compresible
f) Cambio de Entropía:
Usando h = p/ρ + u en la ecuación [9.02] despejando dp de la ecuación [9.64] resolviendo para ds, se llega a:
* +
[ 9.80 ]
e integrando la relación anterior, se puede llegar a :
S S* K 1 2 R 2 ( K 1) M
K 1 2
1/ 2 2 ( K 1) M 2 ) M [ 9.81 ] ( K 1)
Según la segunda ley de la termodinámica, en un proceso adiabático ds ≥ 0; el estado de equilibrio final se hallará cuando la entropía sea máxima y ya no pueda crecer, o sea ds =0. Según la ecuación (9.81) ese estado se alcanza al llegar a M = 1, o sea que el estado final de un Flujo Fanno tenderá siempre a ser el estado sónico, aunque el estado inicial sea subsónico o supersónico. Como el flujo progresa en la dirección positiva de x (fig. 9.22), S aumenta con x, y habrá un x máximo, que corresponde a Smaximo , donde se alcance M = 1 ; si Lmax = xmax – x1 , M1 = y M2 = 1 en la ecuación [9.69], se tiene :
relación que se ilustra en la fig. 9.23
9.4.4 Graficos h-s y h-v
*
+
[ 9.82]
9- 113
Flujo Adiabático
Fig 9.24 Como h0
Resulta
h
V 2 2
cte
h0 h
V
G
,
G 2 2
ecuación que sirve para graficar el proceso en el plano h vs 1/ fig 9.25
[ 9.83 ]
9- 114
Flujo compresible
Fig 9.25 Observando la misma curva en el plano h-s, figura 9.24, se nota que el punto de máxima entropía, en el cual M = 1, confluyen dos ramas: una supersónica y otra subsónica. Esto se pude interpretar como que el Flujo Fanno es inestable, y que el Estado Crítico Fanno es su estado de estabilidad. Yendo al grafico 9.23, se nota que la tendencia de las curvas en la zona subsónica es de izquierda a derecha ya que deben dirigirse hacia M = 1. Este hecho permite confeccionar la tabla 9-1
Tabla 9.1 FLUJO FANNO
Propiedad subsónico supersónico M
crece
Decrece
V
crece
Decrece
P
decrece
crece
T
decrece
crece
9- 115
Flujo Adiabático ρ
decrece
crece
To
constante
Constante
h ho S
La figura muestra una tobera subsónica que alimenta a un tubo, el cual en su extremo final alcanzó M = 1 M=1
M≤1
L máx.
L
M=1
Si al tubo existente con Flujo Fanno y Lmax se agregara otro tramo según lo muestra la ecuación (9.64) cada dx adicional tendería a aumentar la caída total de presión, y como esta está ya fijada por las presiones de entrada y descarga, la misma ecuación (9.64) indica que será necesario un reajuste del parámetro G para el nuevo valor de Lmax . Si el tramo del tubo, que es L máximo, se recorta, entonces en la salida del tubo con Flujo Fanno se tiene un número de Mach menor que 1. M<1 G
Si se tiene un flujo supersónico:
L máx.
M=1
9- 116
Flujo compresible
G
Si al tubo existente con Flujo Fanno y L max se agregara otro tramo X
G
y
M=1
G
Se produce una onda de choque en una sección tal que la distancia después de la onda de choque es la necesaria para alcanzar M = 1 en la salida. Un tramo más, la onda se hace cada vez más severa; si se continúa, la onda de choque desaparece en la garganta, y a partir de ese momento el flujo másico empieza a disminuir. po h
Y FANNO
p* ONDA DE CHOQUE
X S
S
S máx.
P. 9.027 : Una tobera convergente está conectada por una tubería larga a un tanque grande que contiene GLP, 60[%] de Propano y 40 [%] de Butano. El caudal másico a través de la tobera, que está bloqueada, es de 4,5 kg/s. El diámetro interior de la tobera es de 6,5 mm. Tubería: L = 7,62 m. Di =7,62 cm. Tobera Po = To = 38 [°C]
f = 0 0062
x
9- 117
Flujo Adiabático
Plano 1
Plano 2
OBJETIVOS a. Trace un diagrama T-s. b. Calcule las presiones estática y de estancamiento en los planos 1 y 2.
P. 9.029 : A través de una tubería fluye gas natural (metano), comprimido a una presión de p 1 = 60 [bar] y temperatura T1 = [300 K]. la longitud de la tubería es L = 7 [km] y su diámetro D. el gas sale en el otro extremo de la tubería con una presión p 2 = 10 bar. La velocidad del flujo de entrada es V 1 = 45 m / s. Si se supone que el flujo es adiabático, calcule: OBJETIVOS a. La temperatura T2 del flujo de salida, b. Los números de Mach M 1 y M 2 del flujo que entra y del que sale y c. El valor de fricción de de Darcy f para este flujo.
9- 118
Flujo compresible
DATOS
ANÁLISIS ECUACIONES
RESULTADOS
CÁLCULOS
9- 119
Flujo Adiabático
EVALUAR EL RESULTADO
P. 9.028 : La figura muestra una tobera subsónica que alimenta a un tubo, el cual en su extremo final alcanzó M = 1 M=1
M≤1
L máx.
9- 120
Flujo compresible
Flujo Adiabático
9- 121
P. 9.029 : A través de una tubería fluye gas natural (metano), comprimido a una presión de p 1 = 60 [bar] y temperatura T1 = [300 K]. la longitud de la tubería es L = 7 [km] y su diámetro D. el gas sale en el otro extremo de la tubería con una presión p 2 = 10 bar. La velocidad del flujo de entrada es V 1 = 45 m / s. Si se supone que el flujo es adiabático, calcule: OBJETIVOS d. La temperatura T2 del flujo de salida, e. Los números de Mach M 1 y M 2 del flujo que entra y del que sale y f. El valor de fricción de de Darcy f para este flujo.
DATOS
9- 122
Flujo compresible
ANÁLISIS ECUACIONES
RESULTADOS
CÁLCULOS
Flujo Adiabático
9- 123
9- 124
Flujo compresible
P. 9.030 :
Con un equipo experimental que comprende una tobera
convergente-divergente unida a un tubo, fueron obtenidos los siguientes datos con el propósito de medir el coeficiente de fricción para el flujo supersónico de aire. VER FIGURA. Se desea calcular el coeficiente de fricción promedio entre las secciones [1] y [2]. Para ello se asumirá que el flujo hasta la garganta de la tobera es isentrópico y que el flujo en todo el sistema es adiabático. p 2 abs = 37,1 cm Hg
p 1 abs = 18,25 cm Hg
D G = 0,2416 m
2
1 SECCI N DE PRUEBA
F
G
Ms =1
M>1
po To
D= 0,5009 m
f = ¿? S
D
S = 0
D FANNO ADIAB TICO
po = 516 cm Hg abs To = 107,3 °F
SOLUCIÓN Flujo adiabático, ecuación (9.35): po1 A*1 =
po2 A*2 =
po x A* = po x AG
Sección 1:
[] Con este valor de 0,152, se ingresa a las Tablas de Flujo Adiabático ( esta función está en Tablas de Flujo Isentrópico) y se obtiene M 1 = 2,534
9- 125
Flujo Adiabático
Con M1 = 2,524: se ingresa a las Tablas de Flujo Fanno
Fanno k = 1,4
Sección 2: se utiliza el siguiente algoritmo
⁄ ⁄
⁄ Fano
K = 1,4
M 2 = 1,542
El valor promedio del coeficiente de fricción entre las secciones (1) y (2):
̅ [ ] [ ] ̅ Este valor promedio se usará siempre, ya que la misma incertidumbre sobre su tamaño, no justifica afinar más el cálculo. Para flujo subsónico: f = f del Diagrama de Moody. Para flujo supersónico: f = ½ f del Diagrama de Moody.
9- 126
Flujo compresible
Fuente: J. H. Kenenan, E.P. Neuman. “ Measurements off Friction in Piper for
Subsonic and Supersonic Flow of Air”.
PROBLEMAS
Flujo Adiabático
9- 127
9- 128
Flujo compresible
9- 129
Flujo Adiabático
9.4.5 Calculo de un flujo Fanno Datos: G, To, L o M1
-
se halla Lmax, usando la ec.(9.82) y luego se asume
Fig9.26 Esa longitud hipotética igual a Lmax - se asume f inicial - Para un x dado, x [0, L], se halla M - con M se halla p y T - con p se halla v para la capa limite - se calcula Reynolds, Re = GDh/u - en el diagrama de Moody se calcula f - si f f inicial se realiza una iteración - si f = f inicial , se calcula además para el y dado los valores de , V , o , etc Nota: en general, por análisis dimensional resulta f = función ( Є/Dh , Re , M ); sin embargo se simplifica suponiendo f = f (Є/Dh , M); si además se considera f = cte = dato , se procede al cálculo sin necesidad de la iteración .
9.4.6 Solución mediante Tablas En forma análoga al flujo isentrópica, se pueden formar tablas del f lujo Fanno basadas en el estado crítico Fanno, que se apoya en la relaciones (9.74) a (9.78) y (9.82) correspondientes a la gráfica 9.23
9- 1
Flujo Adiabático
Ejemplo 9.46: Determinar la máxima longitud sin la presencia de onda de choque, para el flujo adiabático de aire, en un ducto de 10 cm de diámetro y factor de fricción igual a 0,025. Las condiciones aguas arriba son de p = 2 bar, T = 50ºC, V = 200 m/s. Determine las condiciones de presión y temperatura en la sección de salida.
Solución 1
2 Lmáx
D = 10 cm
f = 0,025
T1 = 50ºC V1 = 200 m/s p1 = 2 bar En la sección [1]:
M 1
M 1
V1 C 1
V1
V 1
k R T 1 20,045 T 1
200 20,045
T2 = ¿? p1 = ¿?
(273 50)
0,555
Usando la ecuación:
donde Lmáx es la longitud añadida ala sección 1 para tener en la salida M 2 = 1,0. Esto debido a que el flujo Fanno es un flujo inestable y la fricción lo lleva hacia su estado estable, que es el ESTADO CRITICO FANNO.
Si la longitud del ducto fuese incrementado; el valor de M1 decrecería hasta un valor tal que en la salida se continúe teniendo M 2 = 1,0. el resultado es la reducción del flujo másico, y se denomina flujo chocado por fricción. En la sección [2] se tienen condiciones críticas:
9- 1
Flujo Adiabático
Ejemplo 9.47: Dada la configuración de flujo que se muestra, encontrar los valores de presión, temperatura y velocidad en la sección [2]. p1 = 1,4 bar 2 A1 = 30,5 cm M1 = 0,5
1
M2 = 1
2
To = 333 K aire
CON FRICCIÓN
ISENTROPICO ADIABATICO
Solución
T2 = ¿? p2 = ¿? V2 = ¿?
9- 2
Flujo compresible
Ejemplo 9.48: Con un equipo experimental que comprende una tobera convergentedivergente unida a un tubo liso, fueron obtenidos los siguientes datos con el propósito de medir el coeficiente de fricción para el flujo supersónico de aire. VER FIGURA. Se desea calcular el coeficiente de fricción promedio entre las secciones [1] y [2]. Para ello se asumirá que el flujo hasta la garganta de la tobera es isentrópico y que el flujo en todo el sistema es adiabático. DG = 0,2416 m
p1 abs = 18,25 cm Hg p2 abs = 37,1 cm Hg
1
2
To = 107.3 ºF
M>1
aire
D= 0,5009 m
Po abs = 516 cm Hg 1,75 D
S == 00 S
29,6 D
FANNO ADIABATI CO
Desde que el flujo es isentrópico hasta la garganta y el flujo entero es adiabático, la relación: ( p/po) (A/A*) puede usarse para encontrar el número de Mach en cualquier sección. Considerando p1 = ps = po1 = po A1* = A * A1 A1 * p1 po1
Luego:
(
p1 po1
) (
A1
A A* p1 po
A AG
2
0,5009 0, 2416
18,25 516
) 0, 03537 A1 *
4,2986
0,3537
4, 2986
0,15203
9- 3
Flujo Adiabático
Ejemplo 9.49:
Por un conducto de sección transversal rectangular de 0,25 m x 0,40 m circula un flujo másico de aire igual a 23 kg/s, que proviene de un depósito que se encuentra a una temperatura de 95ºC. Si el conducto tiene una rugosidad de 0,00061 m, se considera aislado térmicamente y trabajando en una condición de estrangulamiento; determine la presión, temperatura y velocidad del flujo en una sección situada a 5,2 m de la salida.
1
2 5,2 m
0,25 m 0,40 m
aire = 23 kg/s To = 95ºC
e = 0,00061 m
M2 = 1,0
9- 4
9.5
Flujo compresible
FLUJO RAYLEIGH
Es un flujo diabético sin friccion, por un ducto de area constante.
9.5.1 CONDICIONES Y LIMITACIONES - Flujo estable y uniforme de estado estable - Diabético, q = Q/m = dQ/dm - Compresible - Sin fricción - Unidimensional - Área constante A - Eventual: gases perfectos Fig 9.27
9.5.2 ECUACIONES DE PARTIDA Según el volumen de control de la fig. 9.27 V12 V 22 h1 q h2 2 2
era
- Ec. de energia (1 ley) :
h01 q
h02 : la entalpia de estancamiento es variable
gas perfecto : C pT01 q C pT02 - Continuidad:
1V1
- Momentum: p
V2
- Ec. de estado: gas ideal : p = ρRT - 2da ley: ds = dq/T
2V2
G
cte
p GV
h = h (p,s) ρ = ρ (p,s)
cte
T01
T02
9- 5
Flujo Adiabático
Fig 9.28
9.5.3 VARIACION DE PROPIEDADES Los parámetros fundamentales fundamentales del flujo f lujo Rayleigh son G y q. Es quien va ha determinar la relacion entre T 01/ T02 ; desarrollando T 02/ T01 como funcion del Nº de mach, esta ecuación nos dira en forma implicita implicita como varia M con q; hallando después la relacion de propiedades propiedades como funcion de M, se puede hallar su variación con q.
9.5.3.1
Razon de presiones
Usando la ecuación de continuidad y la definición de M: 1 KM 12 p2 2 p1 1 KM 2
1 K p …………..(9.84) 2 p * 1 KM
por condiciones de estancamiento: k / k 1
K 1 M 2 1 p 2
p0
k / k 1
K 1 2 (1 k ) 1 M p0 2 K p*0 K 1 K 1 2 (1 kM )( )
……….(9.85)
2
es de notar que en ningum¡na de las relaciones interviene directamente directament e q , si no que su influencia se hace atraves de la variación de M a lo largo del tubo. El estado referencial es el ESTADO CRITICO REYLEIGH, denotado por un asterisco, y que se alcanza cuando se va del estado dado hacia la condicion M = 1 en un proceso hipotetico Rayleigh
9.5.3.2
Razon de Temperaturas
Usando la definición de To, la ley de los gases perfectos, la ecuación de continuidad, la definición de M y la razon de presiones: T2 V 2 T1 V1
1 kM 12 M 2 2 1 kM 12 1 kM 2 ( M ) 1 kM 2 2 1 2
2
2
(1 k ) M T ………………(9.86) 2 T* (1 ( 1 kM )
9- 6
Flujo compresible
K 1 2 1 M 2 T 02 T 2 2 K 1 T01 T 1 1 ( ) M 12
K 1 2 1 2 M T 0 (1 K ) M K 1 T0 * (1 KM 2 ) 2 ( ) 2
2
2
2
(1 K ) M 2 2 ( K 1) M 2 …………..(9.87) 2 2 T0 * (1 KM ) T 0
1 T / T * : la temperatura estatica alcanza un maximo maximo para 0 M M R M = K-1/2
ent: la temperatura de estancamiento estancamiento es maxima para M = 1
9.5.3.3 Como: V V*
*
9.5.3.4
Razon de densidades y velocidades V V*
*
(1 K ) M 2 1 KM 2
1 KM 2 (1 (1 K ) M 2
T
p*
T* p
, resulta
…………..(9.88)
…………..(9.89)
Relacion de entropías
En general: k 1 KR T2 p1 K S 2 S 1 ( ) ln K 1 T1 P 2
k 1 KR K 1 K 2 luego: S S * ln M ……………(9.90) 2 K 1 1 KM
9- 7
Flujo Adiabático
9.5.3.5
Variaciones con M
Graficando Graficand o las relaciones anteriores en un plano semilogaritmico semilogaritm ico se obtienen las curvas de la fig. 9.29 Se nota que T/T* tiene un maximo para K -1/2 ; To/To* tiene su maximo para M= 1 y Po/po* tiene su minimo para M = 1 Fig 9.29
9.5.4 Curva Rayleigh en el plano h-s (o T-s) La figura 9.30 muestra los casos casos de calentamiento calentamiento y enfriamiento en el el plano h-s, con el calentamiento crecen la entalpia de estancamiento ho y la entropía, y el proceso se realiza de derecha a izquierda; con el enfriamiento sucede lo inverso. Hallando dh dM
ds dM
cte
Cp
dT dM
1
dh
Cp dM
de 9.86 y ds de (9.90) se tiene: dM
1 KM 2 3
1 KM 2
2(1 M 2 ) M 1 KM 2
Fig 9.30 de las 2 ultimas ecuaciones se deduce que: dh ds
cte
M (1 KM 2 ) (1 M ) 1 KM 2
2
2
……………….(9.91)
la ecuación anterior permite deducir:
-
h es maxima para M = K -1/2 S es maxima para M = 1 Un ingreso de calor para K -1/20, que hace, cualquiera que sea la condicion inicial (subsonica o supersonica), el flujo tienda a M= 1, que corresponde a la maxima cantidad de calor que podria agregarse Un enfriamiento, que en un proceso reversible implica ds<0, hace que el proceso tienda a alejarse de M=1. Si luego de que se alcanza qmax y M=1, se continua agregando calor, el flujo se reacomodara a qmax, variando G.
9- 8
Flujo compresible
9.5.5 Calculo de qmax q = Cp (To2 – To1)
2 k 1 M 2 M 2 (1 kM12 ) 2 1 2 q T01 T 02 K 1 2 2 ………….(9.93) ( 1) (1 M 1 ) C pT1 T1 T01 2 M12 (1 kM 22 )2 1 k 1 M 12 2 que se grafica en la fig. 9.31:
Fig. 9.31 Lo expuesto en las 2 secciones anterirores permite ver que en la fig 9.29 los procesos se deben interpretar como: tendiendo a M = 1 , para calentamiento partiendo de M = 1 para enfriamiento, con lo que se puede preparar la tabla 9.2
( p1 p2 )
F f A
F A A
G(V2 V 1 ).....(9.61)
tabla 9.2 Flujo Rayleigh calentamiento enfriamiento M>1 M<1 M>1 M<1 To aumenta aumenta disminuye disminuye P aumenta disminuye disminuye aumenta Po disminuye disminuye aumenta aumenta V disminuye aumenta aumenta disminuye -1/2 T aumenta Si M < K aumenta disminuye Si M < K-1/2 disminuye Si M> K-1/2 disminuye Si M> K-1/2 aumenta
9- 9
Flujo Adiabático
Se ha restringido el análisis al flujo permanente unidimensional en condiciones de cambio de área simple, fricción y calentamiento simple; cada uno de los cuales se consideró por separado. En muchos problemas prácticos uno de estos efectos dominará sobre todos los demás y, por consiguiente, las ecuaciones dadas tienen un gran valor. Algunas veces pueden modificarse los resultados, para tener en cuenta un efecto secundario que no debe ignorarse.
h
po
To
Y
p* ONDA DE CHOQUE
X
RAYLEIGH
S
S
S máx.
