9- 35
Flujo Adiabático
A FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONA UNIDIMENSIONAL L Es el más elemental de los flujos compresibles; su simplicidad, de análisis lo convierte en un instrumento sumamente útil. Un flujo se puede considerar unidimensional cuando la rapidez de cambio de las propiedades del fluido en una dirección perpendicular a la línea de corriente es despreciable, comparada con la rapidez de cambio de tales propiedades propiedades en la dirección de la corriente. Cuando la transferencia de calor puede ser considerado despreciable, el flujo se denomina adiabático. Si los efectos de fricción y arrastre son relativamente pequeños, el flujo puede ser considerado también como reversible, y se denomina flujo isentrópico. El flujo isentrópico define las condiciones ideales a utilizar en la computación de las eficiencias en los diferentes dispositivos de flujo, como son las toberas y los difusores.
9.3
FLUJO CON AREA VARIABLE
RESERVORIO
1
CONDUCTO FLUJO COMPRESIBLE
A mínima
AMBIENTE
2
A
As
Po
pB
To
TB x
m
o
B
Vo = 0
DATOS CONOCIDOS
p, T,
m
DATOS CONOCIDOS
V, M, Fig. 9.13
Conducto de área variable A (x).
Conociendo las propiedades del reservorio y las del medio ambiente a donde descarga, se desea determinar las condiciones del flujo en una sección cualquiera del conducto: presión, temperatura, densidad, velocidad, flujo másico, número de mach, así como la eficiencia del dispositivo utilizado.
9- 36
Flujo compresible
9.3.1 FLUJO ADIABÁTICO IRREVERSIBLE Considere una expansión adiabática o una compresión adiabática desde la sección 1 a la sección 2. El estado de estancamiento estancamiento y el estado crítico correspondiente a la sección 1 se obtiene trazando una vertical, que representa un proceso isentrópico, de manera que po1 sería su presión de estancamiento estancamie nto y el área crítica A*1, sería el área en la cual se alcanzaría el estado crítico a partir partir del punto 1. Igual significado para po2 y A*2. T
p01
0
po2
p0
To
p1
1
p
A
A1*
2
p2
A2*
A*
T* p*
p1*
p2* S
S1
S
Fig. 9.1.4 9.1.4 Proceso adiabático:
S2
(a) Expansión adiabática.
En una sección A, cualquiera, cualquiera, del proceso de (1) a (2):
To T
1
po M 2 p
k 1
k 1 k
2
o
El flujo másico en dicha sección cualquiera: m
m
p R T
M
K R To
KRT A
po M A
po
T o
po
T o
p
T o
po
T
k 1
[ ]
= V A m
[ ]
9- 37
Flujo Adiabático
i)
Si se conoce el área A y la presión p:
De la ecuación ():
En la ecuación ( ):
= 1 − =
− − 2 ̇ = 1 ( ) 1 ( ) − − + + 2 ̇ = 1 ( ) 1 ( ) − − + + 2 ̇ = 1 ( ) ( ) + + 2 ̇ = 1 ( ) ( ) − − 2 ̇ = 1 ( ) 1 ( ) Para M = 1 y A = A* = A G:
De (a):
O
= +
̇ =
∗ +
+
̇ = ∗
9- 38
Flujo compresible
ii)
Si se conoce el área A y el número de Mach: k
T To To To k 1 T T T T 0
p po
( k 1) 2 ( k 1)
( k 1)
K
m
Se obtiene:
R To
po A M 1
k 1 2
M 2
2 ( k 1)
[ 9.32 ]
Esta ecuación muestra que para un número de mach dado, el flujo es proporcional a su presión de estancamiento e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura de estancamiento, por esta razón los datos de prueba de flujo sobre compresores, turbinas y realmente sobre cualquier paso de flujo el cual opera sobre un amplio rango de niveles de presión y temperatura, son usualmente ploteadas con m
To / po como variable de flujo. De esta
manera el resultado de una prueba prueba dada, llega a ser aplicable para para operación en niveles de temperatura y presión diferentes a las condiciones originales de prueba. m
To
A po
k 1 2 M 1 M 2
K R
( k 1) 2 ( k 1)
0,10
0,001
M 0,10
1,0
10
Fig. 9.15 Flujo másico Considerando el peso molecular del gas w = R / R, de ( m
A
T o
1
p
w
k
R
M
1
k 1 2
) se obtiene:
M 2 =
Aplicando la ecuación ecuación anterior (9.32) a las condiciones condiciones críticas: ( k 1) m
K R To
po A * 1
k 1 2
2 ( k 1)
[ 9.33 ]
9- 39
Flujo Adiabático
k 1
A 1 2 k 1 A * M M 2 1 2
Igualando (9.32) y (9.33), se obtiene:
( k 1) 2 ( k 1)
k 1
A
A *
k 1 M 2 2 (k 1) 1 2 k 1 2
1 M
[ 9.34 ]
Esta ecuación está representada en la Figura 9.12, donde se observa que la selección de A, determina un valor único de M siempre que Mach en la garganta sea uno. Aplicando la ecuación (9.33) al estado 1 y 2 del proceso adiabático, e igualando, resulta: po1
A*1 = po2 A*2
[ 9.35 ]
Mediante esta ecuación, se puede determinar las propiedades en cualquier punto del del flujo adiabático. adiabático. Así:
A2 po2 po1
A*1 A*2
A*2
A1 A1*
x
A1 [ 9.36 ]
A2
Si se conocen po 2 / po 1; A1 / A 2 y M1, se pueden determinar el resto de propiedades propiedades del flujo en el estado 2. Con M1, en la ecuación ( 9.34 ) se obtiene A1 / A*1. Con A1 / A*1 , en la ecuación ( 9.36 ) se obtiene A2 / A*2 . Nuevamente ( 9.34 ) para obtener M2 . Con M2 se puede determinar el resto de propiedades en el estado o sección 2. Para un punto cualquiera del flujo adiabático, se puede formar una relación que sea función del número de Mach local. Así:
p
A
po A *
1
k 1 2 1 M 2
k k 1
k 1 2 1 M 1 2 k 1 M 2
k 1 2 ( k 1)
9- 40
Flujo compresible
p
A
po A *
p
A
po A *
Finalmente:
p
1
k 1 M 2 1 2
k k 1 2 ( k 1) k 1
1 k 1 2 1 2 M
A
po A *
1 2
1 1 M k 1 2
1 1 M k 1 2
1
k 1 2 ( k 1)
k 1 2 ( k 1)
1 k 1
M
k 1 k 1 2 k 1 1 M 2 2
[ 9.37 ]
que normalmente se encuentra tabulada en las tablas de flujo isentrópico. Volviendo la atención a la ecuación [9.33]: (k 1)
m
K
po A * 1
R To
k 1 2
2 ( k 1)
El flujo másico es el flujo másico máximo que el conducto de área variable
̇ á ∗ √ √ ̇ = [ 1 12 ] − +−
descarga al medio ambiente.
T
po2
p0
p01
To
p2
2 p1
1 A1*
A2*
A*
T* p*
p1*
S1
p2* S S
S2
Compresión adiabática Fig. 9.1.4 Proceso adiabático: ( b) Compresión
9- 41
Flujo Adiabático
EJEMPLO 9.11: Determinar una expresión para el cálculo del cambio de entropía en función de las presiones de estancamiento. SOLUCION T ds = dh - dp /
De la 1ra. Y 2da. Ley de la termodinámica: de la Figura 9.14 :
So2 –So –So1 = S2 – S – S1 = ∆S dSo = ds dho = 0; ho = constante
To dso = - dpo / o
o .
Ecuación del gas ideal : y
To = po / R
dso = - R ( dpo / po ) So2 –So –So1 = - R Ln ( po2 / po1 ) = ∆S
po. e
También:
-S/R
= constante
EJEMPLO 9.12: Aire fluye isentrópicamente a través de un ducto circular de área variable. En el punto donde donde D1 = 34,4 34,4 cm, cm, se tiene V1 = 184 m / s, p1 = 574,263 kPa y T 1 = 200º C. a. Calcular po, To, o, M, A*, correspondiente al estado 1. b. Calcular el número número de Mach, la presión estática en un punto aguas abajo donde D2 = 29,8 29,8 cm, cm, si V2 es subsónica y si V2 es supersónica. SOLUCION a) En la la sección sección 1 :
1
574263 Pa 287,13 J / kg K x 473K
2303 kg / m3 4, 23
C1 20 20,04 ,045 47 473 436 m / s M 1
V 1 C 1
184 436
0,422
Usando la relación isentrópica:
To T
1
k 1 2
po M p 2
k 1 k
o
k 1
9- 42
Flujo compresible
se tiene:
To k 1 po1 1 0, 422 2 KPa KP a 473 2 5 7 4 , 2 6 3
k 1 k
o1 3 kg m 4 , 2 3 0 3 /
k 1
To = 489,85 K Po1 = 649,094 KPa
1 = 4,6171 kg / m 3 k 1
A
Usando la ecuación:
A *
Con M1 = 0,422, se obtiene: A1
Como
4
1
(0, 344) 2
M
A1 *
A1
k 1 2 2 (k 1) M 1 2 k 1 2
( )
= 1,52314 ,52314 *
A1 0,0610 m
→
0, 09294 m 2
2
b)
1
2
1
m
2
m
x
A1 = 0,09294 m2
A1 = 0,09294 m2
A2 = 0,06975 m2
A2 = 0,06975 m2
V2 subsónica
V2
x
supersónica
Se observa que el valor del área A2 = 0,06975 m2, se encuentra en la parte convergente convergente del conducto así como en parte divergente:
Caso de flujo subsónico: subsónico:
A 2 *
A En ( ):
0,06975 0,0610
1,1434
M 2 = 0,0642
9- 43
Flujo Adiabático
649,094 p 2
luego:
0,4 1,4
0, 64 642 1 0, 2 0,
2
p2 = 491,931 KPa
Caso de flujo supersónico: A 2 *
A
0,06975 0,0610
En ( ):
1,1434
M 2 = 1,449
649,094 p 2
luego:
0,4 1,4
,449 1 0,2 1,44
2
p2 = 190,276 KPa
9.3.2 FLUJO ADIABA ADIABATICO TICO REVERSIBLE ( FLUJO ISENTROPICO UNIDIMENSIONAL ) Ecuaciones Ecuacione s básicas p / = R T =
Ecuación de estado para un gas ideal:
m
Ecuación de continuidad:
1 V1
constante.
A1 2 V2 A2 V A constante
V12
ho h1
Ecuación de impulso:
p1 A1 m V1 p2 A2 m V2 p A m V constante
Proceso isentrópico:
p k
cons tan te
2
h
V 2
Ecuación de energía:
2
h2
V 22
p1
1k
2
constante
p2
2k
constante Segunda ley de la termodinámica:
S1 = S2 = constante
Ahora, para un gas gas ideal: h Cp T
K
p
k 1
p
k
9- 44
Flujo compresible
La ecuación de energía queda: K
p1
k 1
1
V12
2
K
p2
k 1
2
V22 V12
2
V 22
K k 1
2
(
p1 1
de la ecuación ecuación de continuidad : V1
y
V 2
1 1 ( A2 / A1 ) ( 2 / 1 ) 2
proceso isentrópico:
1 / 2
2
p2 2
)
A2
2
A1
1
V 2
2 K p1 p2 1 1 k 1 1 p1 2
( p1 / p2 )1/ k
k 1 2 K p1 k 1 ( / ) p p 2 1 k 1 1
V2 fc
donde
fc
1 1 ( A2 / A1 ) ( 2 / 1 ) 2
2
es un factor de corrección por aproximación de v elocidad. Considerando p/ =R T y condiciones condiciones de estancamiento estancamiento para para el punto 1: 1: V = 0; A1
∞
y V 2 = Vs, velocidad velocidad en en cualquier cualquier sección del conducto, conducto, se
tiene que fc = 1 y
V
2 K R To
k 1
k 1 k 1 ( p / po )
[9.38]
9- 45
Flujo Adiabático
V
2 K
po
k 1
o
k 1 k 1 ( p / po )
El flujo másico por unidad de área:
G
m A
1
V
G
( p / po ) k V
o
2 k 1 k k ( p / po ) ( p / po )
2 K RTo R To
o
k 1
Es decir G = G (K, R, To, po, po, , p)
[9.39]
G = G(p)
9.3.2.1 Flujo másico máximo Para condiciones de reservorio fijadas, G depende de la relación de presiones y tiene un valor máximo para: dG
0
d ( p / po)
p p0
(
2 k
2
( p / po)
k
k
k 1 k
1
( p / po) k
k
2
) k 1
k 1
Para:
[9.40] K
p/po
Aire
1,4
0,5283
Gases en turbina a gas
1,402
0,5279
Vapor sobrecalentado
1,30
0,5457
Vapor saturado
1,135
0,5774
* Vapor húmedo
1,035 + 0,1 x
* Ecuación de Zeuner, válido para pequeñas diferencias de presión entre la entrada y la salida de la tobera. Reemplazando Reemplazando en [9.39]: [ 9.39]:
Gmax o
2 ) To ( 1 k 1 k
2 K R
2
k 1
(
2
k 1
k 1
)
k 1
9- 46
Flujo compresible
Gmax o
2 K R
Gmax o
2 K R
Gmax
2
Como.
To (
k 1
To (
k 1
o
k 1
C*
2 k 1
Co (
2
2 k 1
k 1
k 1
k 1
2
2
2
)
)
k 1
2 1 ( ) k 1
k 1 k 1
1
)
k 1
Co 1
0 2 ) k 1 ( * k 1
G max =
* c* = G*
[9.41]
O sea que en una expansión expansión isentrópica, el el estado en que se alcanza Gmàx es el estado crítico.
Aplicando la ecuación de conservación conservación de masa:
m Gmax A * G A es evidente que dentro del conducto de área variable, G tendrá su máximo valor en aquella sección donde el área tenga su mínimo, o sea en la garganta, donde reinan las condiciones críticas. Luego:
A min = A* = A G
[9.42]
En conclusión, para que se esté esté produciendo produciendo la máxima máxima descarga, descarga, se requiere que se alcance las condiciones críticas en la garganta
Graficando la ecuación ( 9.39 9.39 ), la gráfica teórica teórica sería una una parábola, pero pero como para p / po < p* / po el flujo es sónico en la garganta, la onda (señal enviada) creada por por una disminución de presión de descarga descarga que viaja con velocidad sónica no puede puede alcanzar alcanzar al reservorio y transmitir el mensaje mensaje de variar el flujo
9- 47
Flujo Adiabático
másico; y este último, último, permanece permanece constante ( recta horizontal en el gráfico ), por lo que se dice que el el flujo está chocado y alcanzó su máxima descarga.
G Real G máx
Ecuación [9.39]
0
p*/po
1
p/po
Fig. 9.16 : Variación de flujo másico por por unidad de área área en un flujo isentrópico
Volviendo la atención a la ecuación ecuación (9.39):
G o
Con
k 1
0 = po / R To G max
2 ( p / po ) k
2 K RTo R To
mmax A *
y
p p0 k
( 2
2
) k 1
(
( p / po )
k
k k 1
k 1
p0
) k 1 R k 1
k 1
T 0
se obtiene:
Gmax
T0 p0
mmax
T 0
A*
p0
k
2
k 1
) k 1 R k 1 (
[9.43]
Para un gas dado, el máximo flujo másico depende solamente solamente de la relación re lación
po / To . Si po se duplica, el flujo máximo se duplica, en cambio, si To se duplica Gmàx se reduce reduce en aproximadamente aproximadamente 29%.
9- 48
Flujo compresible
Para aire : k = 1,4, R = 287 J / kg – kg – K K T0
Gmax
0,0404
p0
m
T 0
A*
p0
[9.44]
Esta ecuación permite establecer el valor del área de garganta ( A* ) para descargar flujo flujo másico máximo cuando cuando las condiciones condiciones de estancamiento estancamiento po, To están dadas. Caso de tanques tanques y reservorios.
P. 9.013: Se desea expansionar isentropicamente aire desde un reservorio que se encuentra a po = 200 kPa y To T o = 500 K, a través de un conducto convergente convergente divergente circular circular hasta un número número de Mach de salida Ms = 2,5. Si el gasto gasto es de 3 kg / s, calcular: a. El diámetro del conducto en la garganta. b. Las propiedades propiedades del flujo en la sección de de salida: salida: p, T, V y A. po=200 KPa
T a. Cálculo del diámetro en la garganta: DG Como se trata de un conducto de sección transversal circular, en la garganta se tiene:
AG
D
2 G
[f]
4
Como en la salida se tiene Ms = 2,5; en la garganta se han alcanzado las condiciones críticas, es decir M = 1,0 y AG = A*. EL flujo másico. m
m
K R
mmax
500 k=To
VA ,
R
ps As
Ms = 2 5
S
está dado por:
M A K
p*
AG
A*
( k 1)
k 1 2 2 (k 1) M 1 2 T o
po
k 1 T o 2
po
( k 1) 2 ( k 1)
( )
( )
..........
Para aire:
mmax
T o
A *
po
k 1
k 2 R k 1
k 1
0,040418
Reemplazando Reemplazando valores: 3 kg / s A *
500 K 200 000 Pa
A* = 0,0082985 m
2
0,040418
DG = 10,28 cm
(9.44)
9- 49
Flujo Adiabático
b. Como se conoce conoce el número de Mach en la salida, utilizando la ecuación ecuación () , 2 se determina As = 0,021880676 m
3 kg / s
y
(1,41) (1,4 2(1,4 2(1,41)
200 000 Pa 1, 4 1 2 1 2 , 5 2 500 K
1, 4
2, 5 AS J 287,13 kg / K As = 0,021880676 0,021880676 m2 T o
usando:
Ts
1
k 1
2
Ms
2
p o ps
( )
k 1 k
k 1 k
200 1 0,2 (2,5) 2 Ts p s 11,706 kPa. pS = Ts = 222,22 K Cs = 298,812 m / s V Vs Vs 747, 03 m / s M 2, 5 298,8 C 500
P. 9.014:
Aire a condiciones de p = 8 bar y T = 1100 K ingresa a un conducto y se expande adiabáticamente y politrópicamente con n = 1,3 hasta la presión de 3,5 bar. Calcular Calcular la temperatura, la velocidad y el número de Mach en la sección de salida.
Solución
1
n = 1,3
T
2
To 1
3 kg / s
p2S = p2
p1 = 8 bar T1 = 1100 K
p2 = 3,5 bar
2 2s
S
Proceso politrópico politrópico de (1) a (2); y la ecuación de estado:
p n
constante
n 1
n
p T 1 1 2 p 2 2 p 2 T 1 p1
n
p 2 T 1 p1
T 2
n
2 1
Reemplazando Reemplazando valores en (b): 1,3 1
3,5 1100 8 T 2
1,3n
T2 = 908,95 K
n1
(b)
9- 50
Flujo compresible
La ecuación de energía: ho h1 Gas ideal:
V 1 2
h2
V 2 2
constante
h = Cp T
T o T 1
V 1 2 Cp
T o 1100 K
T 2 V 1 2 Cp
V 2 2 Cp
constante(a)
908,95 K
V 2 2 Cp
No considerando la velocidad de ingreso a la turbina (V1): También
C2 = 20,045
y
M2 =
619,53 604,33
T 2
V2 = 619,53 m / s:
= 604,33 m / s
= 1,025
se trata de un flujo supersónico en la salida del conducto.
9.3.2.2
9.3.2.1 9.3.4
EFECTO DE LA VARIACIÓN DE ÁREA EN LOS FLUJOS SUBSÓNICOS Y SUPERSÓNICOS
LA FUNCION IMPULSO FLUJO EN TOBERAS Y DIFUSORES Ya està màs adelante.
Los conductos en los cuales la velocidad se incrementa, se denominan toberas; y cuando es la presión la que se incrementa, se denominan difusores.
9- 51
Flujo Adiabático
9.3.3
LA FUNCIÓN IMPULSO 2 1
p1 T1 V1
x
p2 T2 V2
En problemas relacionados con propulsión de cohetes es conveniente el empleo de una cantidad denominada función impulso, definida por: I = p A + A V
2
[9.50]
Empleando la ecuación de momentum, se tiene: I = ( p A + A V 2 )
2
- ( p A + A V 2 ) 1
[9.51]
Donde I es la fuerza externa que actúa sobre el conducto para equilibrar la fuerza o empuje producido por la corriente fluida entre las secciones (1) y (2). En este caso I actúa en dirección contraria al flujo.
9- 52
Flujo compresible
Flujo Adiabático
9.3.4
9- 53
