Cap. 1 Lógica Proposional

FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN

SEPARATA

Mg. Moisés Marca Inga

LÓGICA PROPOSICIONAL

Lógica Introducción.- En la actualidad, el estudio serio de cualquier tema tanto en el campo de las Humanidades como en el de las Ciencias y la Técnica requiere conocer los fundamentos y métodos del razonamiento Lógico preciso que permita al estudiante o al profesional extraer y depurar sus conclusiones evitando el riesgo de modificar en forma equivocada la información que posee. Siendo muy importante, en la matemática moderna el análisis del lenguaje criteriológico; la Lógica tiene como fin de conducirnos a un hábil manejo del lenguaje matemático y el empleo de métodos eficaces de razonamiento. Existen dos tipos importantes del razonamiento: El Inductivo y el Deductivo. El Razonamiento Inductivo es el razonamiento por el cual una persona en base a sus experiencias específicas, decide aceptar como válida un principio general. El Razonamiento Deductivo es, en cambio, el medio según el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a su vez habrá de determinar el curso de su acción. Dado que las proposiciones son preceptos válidos del Razonamiento Deductivo, en el desarrollo de nuestro estudio veremos lo esencial de la Lógica Proposicional, a través del uso y manejo de una simbología adecuada.

1) ELEMENTOS DE LA LÓGICA SIMBÓLICA A. ENUNCIADO.- Se denomina enunciado a toda frase u oración. Algunos enunciados son mandatos o interrogaciones o son expresiones de emoción; otros en cambio son afirmaciones o negaciones que tienen la característica de ser verdadera o falsa.

Ejemplos: 01. ¿Qué curso te has matriculado? 02. ¿Qué hora es? 03. ¡Viva el Perú! 04. París es capital de Alemania 05. Todas las palomas son aves. 06. 13 >17 07. 3+2=9 08. x + y ≤ 4 09. x2 + y2 < 16 10. x3 > 1


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LÓGICA PROPOSICIONAL B. ENUNCIADOS ABIERTOS.- Son expresiones que contienen variables y no tienen la propiedad de ser verdadero o falso.

Ejemplos: 1.

x + y ≤ 4

2.

x2 + y2 < 16

3.

x3 > 1

2) PROPOSICIONES LÓGICAS.- Llamamos proposición a todo enunciado que tiene la cualidad de ser VERDADERA ( V) o de ser FALSA ( F), pero nunca puede ser (V) o (F) a la vez. Notación : Las proposiciones lógicas serán denotadas generalmente con las letras minúsculas p, q, r, s, …, etc. A la VERACIDAD o FALSEDAD de una proposición se

le denomina VALOR DE VERDAD.

Ejemplos: capital de Alemania……..….…..( ) 1. p: Roma es la capital

2. q: Todas la palomas son aves……………………( ) 3. r: 12 >14………………………………………………( ) 4. s: 3+2=5……………………………………………….( )

3) CONECTIVOS LÓGICOS.- Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos tenemos: La Conjunción, Disyunción, Implicación, Implicación, Bicondicional, negación, contradicción, esto mostraremos el siguiente cuadro.

Nombre

Expresión

Conjunción

y

Disyunción

o

Implicación

Sí,……, entonces,…….

Bicondicional, equivalencia

…Sí y sólo sí,…

Negación

No

Contradicción

….no equivalente…


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Símbolo Lógico

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LÓGICA PROPOSICIONAL 4) CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS.A) PROPOSICIÓN SIMPLE (ATÓMICA O ELEMENTAL) .-Es una proposición que no contiene conectivo lógico.

Ejemplos: 1. p: 21 es impar………………………………….…( ) 2. q: Buenos Aires es capital de Brasil………...( )

B) PROPOSICIÓN COMPUESTA (MOLECULAR O COLIGATIVA).-Es una proposición que se obtiene de la combinación de dos ó más proposiciones simples, las cuales son enlazadas por conectivos lógicos.

Ejemplo : 1. “7 es impar y es un número primo” p: 7 es impar q: 7 es un número primo. Se simboliza: ……………………………

2. “Si obtengo dinero entonces viajaré a Brasil” p: obtengo dinero. r: viajaré a Brasil. Se simboliza: …………………………….

3. “Si 8 es múltiplo de 4 y 12 es múltiplo 4, entonces 8+12 es múltiplo de 4” p: 8 es múltiplo de 4. q: 12 es múltiplo de 4. r: 8+12 es múltiplo de 4. Se simboliza: …………………………….

4.

“No es el caso que Luis baile y no cante”

p: Luis baila. q: Luis canta. Se simboliza: …………………………….


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LÓGICA PROPOSICIONAL 5) CONECTIVOS LÓGICOS.A) LA CONJUNCIÓN: La conjunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “ y ” que se simboliza “ p q ” La notación: “ p q ” se lee “ p y q ” 

El principio lógico es “La conjunción p q es verdadero, sólo cuando p es

verdadero y q es verdadero, simultáneamente, en los demás casos es falso”.

Su tabla de verdad es:

p q p V V V F F V F F

Q

Nota.-Cuando un párrafo, se encuentran los términos: “pero, sin embargo, además, no obstante, a la vez, tanto como, al igual qu e, incluso, así mismo, etc.” Equivalen al conectivo “ ”.

Ejemplos : (1) Lima es la capital del Perú

y

≡

París es la capital de Francia q

p

(2) Cervantes escribió el Quijote, además fue un hábil guerrero ≡ p

q

(3) La Tierra es un planeta, pero, el Sol es una estrella p

≡

q

(4) El cielo está nublado, sin embargo hace calor p

≡

q

Ejemplo: Si p: 14<18 q: 9 es un número impar. Calcular el valor de verdad de p q. p

q

p

q

OBSERVACIÓN.- Existen también conjunciones implícitas. Ejemplo: “Jaime juega, Carlos estudia, Flor canta y Ma ry come”

Cada coma (,) señala una conjunción. También se considera conjunciones cuando exista punto y coma (;) o un punto seguido (.), siempre que no haya otra expresión que esté señalada por otro conectivo.


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LÓGICA PROPOSICIONAL B) LA DISYUNCIÓN. _ _ La disyunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q por el conectivo “o”. Como el sentido del conectivo “o” es excluyente, se puede interpretar de dos maneras: inclusiva o débil y exclusiva o fuerte.

B1. LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA O DEBIL ..- La disyunción inclusiva o débil de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “o” que se simboliza “ p q ”. La notación “p 

q” se lee “p O q”

El principio lógico es “La disyunción inclusiva o débil p

q es verdadero V, V, cuando por lo menos una de sus proposiciones proposiciones es verdadera. Es falso solo cuando las dos son falsas ”. P q P V V V F F V F F


q

Ejemplos: (1) El canciller peruano habla inglés

o

p

(2) Aprobaré el curso de lógica,

y/o

p

(3) El turista es alemán

Aprobaré el curso de lenguaje ≡ q

u holandés ≡

p

Ejemplo: Si p: 19>23

habla francés ≡ q

q y

q: 39 es un número primo. Calcular el valor de verdad de p p

q

p

q.

q

B2. LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA O FUERTE.- La disyunción exclusiva o fuerte de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “o” que se simboliza “ p ∆ q ”. “ O p, O q ” La notación “ p ∆ q” se lee de dos maneras : p ∆ q

“p O q, pero no ambos”


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LÓGICA PROPOSICIONAL El principio lógico es “La disyunción exclusiva o fuerte p ∆ q es verdadero



V sólo cuando uno de sus proposiciones es verdadero en los demás casos es falso”.


p q p V V V F F V F F

∆

q

Ejemplos:

(1)

O eres varón

o

p

(2)

≡

eres mujer q

eres de otra ciudad ≡

o

Nacistes en Huacho p

q

Ejemplo: Si p: 6>3 y q: 5 es un número primo. Calcular el valor de verdad de p ∆ q. p

q

p

∆

q

C) LA CONDICIONAL O IMPLICACIÓN._ La condicional o implicación de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “si,…, entonces,… ” que se simboliza “ p q ”. La notación “ “

p

q ” se lee de tres maneras:

si p, entonces q ”

;

“

p sólo si q ”

;

“

q, si p ”.

Donde la proposición p se llama ANTECEDENTE (Hipótesis o premisa) y la proposición q se llama CONSECUENTE (Tesis o conclusión)

p

q

Antecedente

Consecuente

En el buen lenguaje, para hacer condicionales p q, se pone especial cuidado que el antecedente “p” sea verdadero, porque se supone que sólo a partir de antecedentes verdaderos se deduce que el consecuente “q” sea verdadero. En matemáticas se puede hacer condicionales a partir de de antecedentes falsos.

Nota.-Cuando un párrafo, se encuentran los términos: “porque, puesto que, ya que, siempre que, cuando, sí, cada vez que, dado que”; son conectivos condicionales y se caracterizan porque después de cada uno de estos términos está el ANTECEDENTE. Las proposiciones condicionales pueden ser:


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LÓGICA PROPOSICIONAL 1.- Condicional Directa (  ⇒  ). Antecedente y consecuente van ese orden, sus formas gramaticales son:

E jemplos: Si p entonces q p implica q p por lo tanto q p en conclusión q

p luego q p por consiguiente q p de ahí que q p de modo que q

(1) Si la temperatura está bajo cero

implica el agua se congela ≡ ⇒

p: ANTECEDENTE

p deviene q dado p por eso q cuando p así pues q de p derivamos q

q: CONSECUENTE

(CAUSA)

(2) (3)

(EFECTO)

Obtuve mi visa por consiguiente viajaré al extranjero, ≡ p q ⇒ De la pereza deviene la pobreza ≡ p q ⇒

2.- Condicional Indirecta ( ⇒  ). Antecedente y consecuente van en orden inverso. Sus formas gramaticales son:

p, si q p siempre que q p ya que q p pues q

p cada vez que q p supone que q p porque q p dado que q

p a condición de que q p es condición necesaria para q p cuando q p puesto que q

Ejemplos: (1) Subirá el precio del pan p: CONSECUENTE

ya que ⟸

subió el precio de la gasolina ≡ q: ANTECEDENTE

(EFECTO)

(2)

Aprobaré dado que me esforcé ≡ p

(3)

⟸

q

Hace calor cuando sale el sol p



(CAUSA)

⟸

≡

q

q es falsa, sólo si el antecedente es verdadera y el consecuente es falsa, siendo en los demás casos verdadera”. p q p q V V Su tabla de verdad es: V F F V F F

El principio lógico es “La condicional p

Ejemplo: Si p: 15>46 y q: Perú se ubica en Sudamérica. Calcular el valor de verdad de p q. p q p q


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LÓGICA PROPOSICIONAL En matemáticas, es común aplicar la condicional lógica cada vez que se desea deducir nuevas proposiciones verdaderas. Igualmente, en investigaciónes de diversas disciplinas tales como en estadísticas y ciencias sociales (economía, sociología, psicología, etc.) se hacen inferencias a partir de algunas premisas (antecedentes) para llegar a una conclusión (consecuente). La proposición condicional esta asociada a tres proposiciones importantes, estos son: la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca.

1. PROPOSICIÓN RECÍPROCA.- La proposición recíproca que corresponde a la condicional:

 ⟹    ⇒  Ejemplo: (1) Si hoy es sábado, mañana es domingo ≡ p

q

Si mañana es domingo, domingo, hoy es sábado p

≡

, es el recíproco

q

2. PROPOSICIÓN INVERSA (o Contraria).- La proposición inversa que corresponde a la condicional:

 ⟹   ~ ~ ⇒ ~

Ejemplos:

(2) Si hoy es sábado, mañana es domingo p

≡

q

Si hoy no es sábado ,mañana no es domingo ≡ ~p ~q

(3) a es positivo, si a es mayor que cero p

, es la inversa.

≡

q

a no es positivo, si a no es mayor que cero ≡ ~p

, es la inversa.

~q

3. PROPOSICIÓN CONTRARRECÍPROCA.-

La

proposición

contrarrecíproca

corresponde a la condicional:

 ⟹   ~ ~ ⇒ ~ Ejemplo: 4) Si a es mayor que cero, entonces a es positivo ≡ p

q

Si a no es positivo entonces a no es mayor que cero ~q ~p

≡ es su contrarrecíproca.


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que

LÓGICA PROPOSICIONAL D) LA BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACIÓN ._ La Bicondicional o doble implicación de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “sí y sólo si” o expresiones equivalentes. Sus formas gramaticales son: “sí y solamente si”, “cuando y sólo cuando”, “entonces y sólo entonces”, “es idéntico”, “cada vez que y sólo si”, “es equivalente a” , … , etc. que se simboliza “ p q ”.

q es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) en otro caso es falso”. Su

El principio lógico es “La Bicondicional o doble implicación p


p V V F F

q p V F V F

q

Ejemplos: (1) Si obtengo dinero, sí y sólo si, viejare a Brasil ≡ p

⇔

q

(2)

Concursaré, sí solamente si, estaré preparado ≡ p q ⇔

(3)

Jugaré futbol,entonces y s ólo entonces, me contratan ≡ p q ⇔

Ejemplo: Si p: 18<11 y

q: 9 es un número par. q. Calcular el valor de verdad de p p

q

p

q

E) LA NEGACIÓN._ Dado una proposición “p”, llamaremos la negación de “ p”, a otra proposición que denotaremos por p, y que se le asigna el valor opuestos a “p” , y su tabla de verdad es: p V F

~p

Ejemplo: 1. “7 es un número primo” Su negación: ……………………………….……………. 2. “Lima no es capital de Perú” Su negación:………………………..………………. 3. “Dada la proposición. p: 89=72” Su negación:…………………………………...


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LÓGICA PROPOSICIONAL RESUMEN PROPOSICIONES

NEGACIÓN

CONJUNCIÓN

DISYUNCIÓN DÉBIL

DISYUNCIÓN FUERTE

CONDICIONAL

BICONDICIONAL





~

⋀

⋁

∆

 ⟹ 

 ⟺ 

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V

6) SIGNOS

DE PUNTUACIÓN, AGRUPACIÓN Y ORDEN DE LOS OPERADORES O CONECTIVOS LÓGICOS

Los signos de agrupación más conocidos tenemos: el paréntesis, corchete y llaves

( ); [ ] ; Estos signos reemplazan a los signos gramaticales: punto (.), la coma (,), el punto y como (;), y los dos puntos (:). Los signos de agrupación se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos con el fin de evitar la ambigüedad de las fórmulas: 1. Si las proposiciones tienen el mismo tipo de operador o conectivo lógico, se debe colocar los paréntesis de izquierda a derecha así: p  q  r = (p  q)  r p  q  r  s = [(p  q)  r ]  s p  q  r  s = [(p  q)  r]  s 2. Si no hay h ay signos de puntuación ni paréntesis se debe considerar el siguiente orden de menor a mayor jerarquía de los operadores y de izquierda a derecha, para ubicar los paréntesis. ,

,

,

,



Ejemplos: p  q  r = (p  q)  r p  q  r v s = (p  q)  (r v s ) p  q  r  s = (p  q)  (r  s)


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LÓGICA PROPOSICIONAL 3. Si la proposición proposición compuesta está escrita con con paréntesis, la ubicación de éstos nos indicará cual es el operador predominante: Ejemplo: p  q  r = (p  q) v r Es un esquema esquema disyuntivo p  q  r v s = (p  q)  ( r v s ) Es un esquema esquema condicional condicional p  q  r  s = (p  q)  (r  s ) Es un esquema bicondicional. 4. Si un esquema molecular molecular no lleva los signos de agrupación, agrupación, se puede indicar cual es el operador predominante así: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

Conjunción Condicional Condicional Condicional Conjunción Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción Condicional Negación Condicional Negación

p  r  s p  q  s p qr r  p  q r  p  q r  q  t q  p  s q  p  s q  r   s q  r   s  p  r  p  r  t  s

(p  r)  s --------------------------------------------- ------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------- ----------------

Ejemplos: 01. Si, me aumentan el sueldo y ahorro, viajaré a Cajamarca. La simbolización es:

p: me aumenta el sueldo. q: ahorro. r: viajaré a Cajamarca.

…………………………………………… En este caso “ ……” tiene mayor jerarquía.

02. O Fernández juega, si lo contrata el Alianza Lima, o habrá protesta, si no juega. La simbolización es:

p: Fernández juega. q: le contrata alianza Lima. r: habrá protesta.


…..……………………………………………. En este caso “… ..” tiene mayor jerarquía.

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LÓGICA PROPOSICIONAL 03. Las personas nadarán en el mar, si la municipalidad municipalidad da el permiso, sí y sólo si el clima no está frio. La simbolización es:

p: las personas nadarán en el mar. q: la municipalidad da el permiso. r: el clima esta frio

…………………………………………. En este caso “ ……” tiene mayor jerarquía.

04. Si James no trabaja podría estudiar; para ello le suceda, su hermano Ronald debe trabajar, por ende, dejaría de estudiar. La simbolización es:

p: James trabaja. q: James estudia.

…..……………………………………………..

r: Ronald trabaja.

En este caso “ …….” tiene mayor jerarquía.

s: Ronald estudia 05. No aprendí Lógica dado que no aprendí Matemática; ya que aprendo Matemática o Lógica. La simbolización es:

p: ………………………….

…..……………………………………………….

q: ………………………….

En este caso “ ……..” tiene mayor jerarquía.

06. Si Juan es músico, entonces Juan es cantante; pero Juan no es músico, por lo tanto es cantante. Igualmente Juan es compositor, además, si Juan no hubiera sido compositor, entonces seria cantante. La simbolización es:

p: ………………………... q: ……………………….... r: ………………………...


.………………………………………………….. En este caso “…….” tiene mayor jerarquía.

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LÓGICA PROPOSICIONAL FORMALIZACIÓN DEFINICIÓN: Es el procedimiento mediante el cual se identifican proposiciones simples y conectores lógicos quienes se enlazan formando fórmulas organizadas con signos de agrupación.

PROCEDIMIENTO DE FORMALIZACIÓN:  Paso

1: Identificar proposiciones simples y asignarles variables en orden

alfabético.  Paso

2: Identificar los conectores lógicos e insertar variables

proposicionales.  Paso

3: Escribir la fórmula lógica. HOJA DE TRABAJO N° 01

I. Indicar cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

Albert Einstein escribió sobre “La dualidad onda-partícula de la luz” El presidente del Congreso peruano es Fredy Otárola. El ingeniero es una persona preparada para encontrar soluciones a muchos de los problemas problemas que surgen en la sociedad actual. actual. ¡Cuánto lo siento! La minería es la obtención selectiva de los minerales los minerales . San Juan de Lurigancho es el distrito más poblado del Perú. Hecho en el Perú. El petróleo bajó, pero se mantiene por encima de los 120 dólares. La universidad es un establecimiento establecimiento o conjunto de unidades educativas de enseñanza de enseñanza superior e investigación. ¿Cuál es el precio al contado de un Nissan Sentra? Al que madruga Dios lo ayuda.

II. Indicar cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones simples o atómicas. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Andrea y Martín son padres de Joaquín. Si un triángulo tiene tres ángulos entonces un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos. La gerencia de la empresa Claro determina costos costos fijos de S/. 22 000 y costos variables de de S/. 230 de cierto producto. producto. El Ministerio de Comercio Exterior y Turismo es un organismo del Poder Ejecutivo. La ciencia es el conocimiento obtenido mediante la observación de patrones regulares. Las tasas hipotecarias hipotecarias locales locales se incrementan incrementan hasta 10%, por tanto tanto el rango de precios de bienes e inmuebles se verá afectado.


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LÓGICA PROPOSICIONAL 7) La lógica y la matemática son ciencias formales. 8) El Taj Mahal es una de las siete maravillas del mundo moderno. 9) Andrea y Martín son padres de Joaquín. 10) Juan y Ana son hermanos.

III. Indicar cuál de los siguientes enunciados son proposiciones compuestas o moleculares. 1) El Ministerio de Trabajo y Promoción del Empleo acaba de lanzar la

convocatoria para la segunda edición del Premio Presidencia de la República al Emprendimiento de la Mype. 2) El canal de venta tradicional de bodegas, casas habilitadas y puestos de mercado concentra el 42% de las ventas de bebidas en Lima para el 2007. 3) El objetivo de la empresa Jugos Andinos es conseguir el 5% del mercado de “Néctares y jugos”. 4) Si el aumento de la inflación implica la disminución de la balanza de

pagos, entonces, si no disminuye la balanza de pagos no aumenta la inflación. 5) Las nuevas estrategias para reducir el impacto ambiental derivado de l a actividad industrial, porque se basan en un enfoque integral preventivo. 6) El método de aprendizaje de la arquitectura no puede dejar de bascular entre lo particular y lo general. 7) Es mentira que el ministro de justicia Francisco Praeli haya detallado el informe remitido por el CIDH en el caso Chavín de Huantar. 8) El comportamiento implica aquellas acciones que se pueden observar con facilidad como la actividad física. 9) El Gobierno busca soluciones para la mejora del precio de productos agrícolas porque los dirigentes campesinos aseguran protestas a nivel nacional. 10) Los Nolasco planean viajar a Europa dentro de cuatro años.


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LÓGICA PROPOSICIONAL IV.

Formalizar las siguientes proposiciones aplicando los 3 pasos:

1. El lenguaje computacional emplea la lógica digital en realizar sus operaciones a menos que la lógica digital no permita tomar decisiones de forma simple. PROPOSICIONES SIMPLES

CONECTORES E INSERCIÓN DE VARIABLES PROPOSICIONALES FORMALIZACIÓN

2. Las leyes penales son justas si las víctimas del delito son iguales ante la ley si y sólo si la ley penal penal es igual para todos. PROPOSICIONES SIMPLES


desarrolla nuevas estrategias estrategias de administración ni crea 3. Si el contador no desarrolla nuevas herramientas herramientas de finanzas, finanzas, entonces no podrá realizar con éxito el balance general de una empresa. PROPOSICIONES SIMPLES



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LÓGICA PROPOSICIONAL 4. Si el Ingeniero Industrial no desarrolla nuevas técnicas ni crea nuevas herramientas automatizadas, automatizadas, no podrá afrontar con éxito los desafíos del siglo XXI. PROPOSICIONES SIMPLES


inspira en postulados de justicia justicia y constituye el 5. Puesto que el derecho se inspira orden normativo e institucional que regula la conducta humana, así pues es un conjunto de normas que permiten resolver los conflictos en el seno de una sociedad. PROPOSICIONES SIMPLES


6. La publicidad es una técnica técnica de promociones promociones surtidas surtidas porque informa al público sobre la existencia de bienes y/o servicios. PROPOSICIONES SIMPLES



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LÓGICA PROPOSICIONAL 7. No es cierto que, el administrador no trabaje en base a la visión ni misión de la empresa, por lo tanto hará uso inadecuado de los recursos así como cumplirá con los objetivos planteados por la empresa. PROPOSICIONES SIMPLES


8. Si una persona es acusada de un delito, tiene derecho a un abogado defensor. Si tiene derecho a un abogado defensor, entonces podrá demostrar su inocencia. PROPOSICIONES SIMPLES


9. Ya que la conducta es el conjunto de acciones que desarrolla un sujeto frente a los estímulos que que recibe así como a los vínculos que establece con con su entorno entonces, es falso que la conducta no es e s la modalidad que tiene una persona para comportarse. PROPOSICIONES SIMPLES



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LÓGICA PROPOSICIONAL 10. Si el administrador de turismo y hotelería está en la capacidad de crear, planear, dirigir y controlar las actividades empresariales entonces genera conciencia de la importancia del mundo del turismo en nuestro país y a nivel mundial. PROPOSICIONES SIMPLES


11. La contabilidad enseña las normas para registrar las operaciones económicas constituidas constituidas por un solo individuo y por sociedades mercantiles. Por lo tanto su finalidad es ordenar, ordenar, organizar y ejecutar operaciones operaciones para lograr sus objetivos. PROPOSICIONES SIMPLES


analiza las dimensiones cognitiva y 12. La psicología es la disciplina que analiza afectiva de las personas, por lo tanto, es la disciplina que investiga los procesos mentales. PROPOSICIONES SIMPLES



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LÓGICA PROPOSICIONAL 13. La enfermería nace como un oficio para prestar servicios a la humanidad pero fue a mediados Siglo XIX que Florence Florence Nightingale inicio la búsqueda de la fundamentación teórica del cuidado de enfermería, luego en 1861 público el primer documento escrito en el mundo sobre sus bases teóricas. PROPOSICIONES SIMPLES


14. La nutrición es de particular importancia a lo largo de vida del ser humano ,siempre y cuando determine determine el desempeño físico-mental de la persona además de su salud. Por lo tanto es inaceptable que no determine la productividad de la persona. PROPOSICIONES SIMPLES


15. El creativo estudia los segmentos sociales, las tendencias por niveles de edad o incluso planea la forma de publicidad a quien va dirigido el producto. Consecuentemente, Consecuentemente, el creativo no improvisa. PROPOSICIONES SIMPLES



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LÓGICA PROPOSICIONAL 16. No es cierto que la desnutrición durante la gestación y los primeros 2 a 3 años de vida aumenta el riesgo de mortalidad por enfermedades infecciosas, infecciosas, dado que afecta el crecimiento y/o desarrollo mental durante dicho periodo. En consecuencia es responsabilidad de los padres velar por la nutrición adecuada de sus hijos. PROPOSICIONES SIMPLES


17. Los medios de comunicación divulgan la cultura al igual que los aportes científico- tecnológicos, tecnológicos, o únicamente sirve para para difundir los esnobismos inservibles que degradan la mentalidad de nuestros jóvenes. PROPOSICIONES SIMPLES


18. La arquitectura verde es un modo de concebir el diseño arquitectónico de manera sostenible; manera sostenible; porque porque busca tanto optimizar recursos optimizar recursos naturales como los sistemas de la edificación, de modo que minimicen el impacto ambiental . PROPOSICIONES SIMPLES



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LÓGICA PROPOSICIONAL 19. Es falso que el Administrador en turismo y hotelería no está capacitado para analizar ni identificar las necesidades de los consumidores, puesto que no puede diseñar diseñar estrategias ni políticas comerciales en las empresas turísticas. PROPOSICIONES SIMPLES


20. El consumo de anchoveta provee gran cantidad de proteínas o incluso proporciona mucha energía. Así mismo posee alto contenido de Omega 3. Por lo tanto, todo aquel que la consuma mejora su sistema de defensa del cuerpo humano. PROPOSICIONES SIMPLES


21. Un arquitecto tiene la capacidad de crear diseños arquitectónicos que contemplen las necesidades estéticas de los usuarios, a no ser que únicamente no tenga adecuado conocimiento de su profesión ni de las ciencias humanas conexas. PROPOSICIONES SIMPLES



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LÓGICA PROPOSICIONAL 22. El Concepto de sistema comenzó a concretarse con Ludwing Von Bertalanfly, porque se interesó en el organismo visto como un todo más que en las partes que lo constituyen además se resume en su frase el todo es más importante que la suma de sus partes. PROPOSICIONES SIMPLES


23. Si la actividad productiva es uno de los pilares fundamentales del desarrollo desarrollo económico entonces los residuos generados se convierten agentes de deterioro del medio ambiente, además no es cierto que el excesivo consumo de recursos naturales no contamine el medio ambiente. PROPOSICIONES SIMPLES


24. O el ingeniero industrial supervisó personalmente la labor de los operarios o delegó la supervisión a un subalterno. Pero es falso que el ingeniero industrial supervisó supervisó personalmente la labor labor de los operarios. Por lo tanto, el ingeniero industrial delegó la supervisión a un subalterno. PROPOSICIONES SIMPLES

CONE CONECT CTOR ORES ES E INS INSER ERCI CI N DE VARIABLES PROPOSICIONALES FORMALIZACIÓN


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Ciclo 2017-I

LÓGICA PROPOSICIONAL concesión. Si la minera 25. Si la minera no trata sus residuos químicos, perderá la concesión. trata sus residuos químicos, aumentan sus gastos operativos; pero la minera trata o no sus residuos químicos. Por lo tanto, es imposible que pierda la concesión y no aumenten sus gastos operativos. PROPOSICIONES SIMPLES


26. La Educación Inicial es la que recibe al niño en sus primeros años de vida de ahí que es una etapa muy importante en el desarrollo del niño, además debe despertar habilidades físicas y/o psicológicas. Puesto que se le puede enseñar al niño a ser autónomo para para abrirse por sí solo al al mundo. PROPOSICIONES SIMPLES


Lambayeque se dio inicio al uso de equipos de última generación 27. En la región Lambayeque llamados drones. Los drones son equipos aéreos comandados inalámbricamente que serán usados para la investigación y protección de monumentos arqueológicos prehispánicos. En consecuencia, los drones protegerán las zonas arqueológicas de Lambayeque a no ser que presenten fallas en su funcionamiento. PROPOSICIONES SIMPLES



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Ciclo 2017-I

LÓGICA PROPOSICIONAL HOJA DE TRABAJO N° 02 01. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: - (3 + 8 = 11) ∧ (7 - 4 = 1) - (8 - 3 = 11) ∨ (5 - 15 15 = 10) - (4 + 7 = 12) ⇒ (19 - 12 = 4) - (2 + 9 = 10) ⇔ (3 - 4 = 1) 02. De las siguientes proposiciones compuestas, indicar el valor de verdad correspondientes : -

Si 5+3 = 7 entonces 4 < 2 13 es mayor que 8 ó 9 es menor que 5 36=6 y -72=49 √ 36 8 < 15 si y solo si 17 17 + 9 < 12 + 7

03. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados: (1) No es verdad que 5+5=10 ó 8+6 8+6 =12 (2) No es verdad que si 6+6=12,entonces 7+7=13 ó 4+10=14 (3) Si 6+8=14, 6+8=14, entonces no es verdad que 6+5=11 y 8+8=16 (4) Si 7+3<10, entonces no es verdad que 3+3=8 si 6+6=12 6+6=12 feliz”: cuál es la representación representación simbólica del 04. Sea p:“Ella es bonita” y sea q:“Ella es feliz”: enunciado. “Ella es bonita o no es cierto que ella sea bonita y feliz, ya que ella es feliz”

05. Siendo la proposición (∼  ⋀ ∼ ) verdadera; entonces indicar el valor de:

[( ∨ ∼ ) ) ⇒ (∼  ∨ ) )] ⇔ ( ∧ ∼ ) ) 06. Considerando que la proposición ( ⇒ ) es falsa; indicar el valor de cada caso. [( ⇒ ∼ ) ) ∧  ] ∧ ( ∨ ) I. II. II. ( ∧ ∼ ) ) ⇔ [(∼  ∨ ) ) ⇒ ] III. III. [(  ∧ ) ⇒  ] ⇔ ( ∨ ∼ ) ) 07. Si ∼ [( ∼  ∨  ) ∨ ( ⇒ )] ∧ [(∼  ∨ ) ) ⇒ ( ∧ ∼ ) )] , es verdadera. Hallar los valores de verdad de p, q y r. 08. Si ( ⇒ ∼ ) ) ∨ (∼  ⇒ ∼ ) ) es falso; indicar el valor de cada caso. I. [(∼  ⇒ ) )∆ ] ∧ ( ⇒ ) )∆[( ∆[( ∧ ) ⇒∼ ] II. ( ∨ ~ ) III. [( ∧ )∆] ⇔ ( ∨ ∼ ) ) 09. Si ( ∧ )  ( ⇒ ) son falsas; indicar el valor de cada cada caso. I. [( ⇒ ) ∧ ] II. ( ∨ )∆[( ∆[(∼  ∧ ) ) ⇒∼ ] III. [( ∨ )∆] ⇔ ( ∨ ∼ ) ) 10. Si la proposicion ( ⇒ ∼ ) ) ⇒ ( ⇒ ∼ ) ) es falsa. Hallar los valores de verdad de p, q,r y s.


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Ciclo 2017-I


HOJA DE TRABAJO N° 03 01.-Si la proposición compuesta: ( ∧ ) ⇒ ( ∨ ) es falsa. Indicar los valores de verdad de las proposiciones “p”, “q”, “r” y “t”.

02.-Sabiendo que la proposición compuesta:  ⇒ (∼  ∨ ) los valores ) es falsa. Indicar los de verdad las siguientes proposiciones. I.  ⇒ (  ∨  ) II.  ⇔  III. ∼  ⇔ (  ∧ ∼  ) IV. ( ∧ ) ⇒ ( ∨ ∼ ) )

) ∨ (∼  ⇒ ) ) es falsa. Deducir los valores de: 03.-Si la proposición: ( ⇒ ∼ ) I. (∼  ∧ ∼ ) ) ∨∼  ) ∧ ] ⇔ [(∼  ∨ )  ) ∧ ] II. [(∼  ∨ ) III. ( ⇒ ) ⇒ [( ∨ ) ∧∼ ] IV. ( ∧ ) ⇒ ( ∨ )

) ∨ ( ⇒ )] 04.-Si el siguiente esquema molecular es falso: [(∼ ∆) ⇒ ] ⇒ [( ∨ ∼ ) Hallar los valores de verdad de: I. [∼ ( ∧ ) ⇒∼ ] ∆  II. (∼  ∧ ) ) ⇔ ( ⇒ ∼ ) ) III. [( ∨ ) ⇒ ] ∨∼  05.-Si se sabe que la expresión: ∼ { ( ∆ ) ) ⇒ [( ⇒ ) ∨ (∼  ∨ ) )] } es verdadera. Hallar el valor de: I. ∼ { ∼ [∼ ( ⇒ ) ⇒ ( ∧ )] } ) ⇒ ∼ ( ⇒ ) II. (∼  ∧ ) III. (∼  ∆ ) ⇒ ( ⇒ ∼ )

{[(  ⇒ ) ∧ ∼ ( ⇔ )] ∆ ( ∨ ∼ ) 06.-Si: “s” es verdadera y la proposición {[( )} ∨  es falsa. Halle los valores de verdad de “p”, “q” y “r”.

07.-Dadas las proposiciones: I. ∼ (  ∧  ) ⇔ (  ∨∼  ) II. ∼ (  ⇒  ) ⇔ (  ∨∼  ) III. ∼ (  ⇔  ) ⇔ ( ∼  ⇔∼  ) Indicar si es tautológica, tautológica, contradictorio o contingencia por medio de la tabla de verdad. 08.-Hallar cuales de las siguientes proposiciones moleculares son equivalentes: I.- ∼ [(∼  ∨ ∼ ) ) ⇒ ( ∨ ∼ ) )] II.- (∼  ∧ ∼ ) ) ∨ [∼  ∧ ( ∨ )] III.- (∼  ⇒ ) ) ⇒ (∼  ⇒ ) ) 09.-Utilizando tablas de verdad determinar si la siguiente proposición es una tautología, una contradicción o una contingencia:

{[( {[(∼  ∧ ) ) ⇒ ] ⇔ [∼  ⇔ ( ∨ )]} ∆ [( ⇔ ) ∆ ( ∨ ∼ ) )]


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LÓGICA PROPOSICIONAL 10.-Hallar la negación de los siguientes enunciados. a) Ni eres artista de cine ni estrella del fútbol. b) Hoy no veo televisión ni estudio porque no hay luz. c) Es falso que las clases se suspenden o la universidad cierra, si se inician las vacaciones. Nos han comunicado falsamente que ni las clases se suspenden ni la universidad cierra. d) Si Pamela regresa de Moscú, Ángel será feliz. El avión llegará al amanecer si no hay niebla en la ciudad. Pero, si hay niebla en la ciudad entonces Pamela no regresa de Moscú. e) No río a menos que reniegue. No reniego excepto que esté tranquilo. f) Tony está melancólico porque vive alejado de su familia. 11.-Simboliza el siguiente párrafo. Si trabajas para mantenerte y estudias, luego serás digno y estudiarás con ahínco. Pero, si te mantienen y además no estudias entonces eres desvergonzado y mediocre. Sin embargo es falso que seas digno así como estudias con ahínco, a menos que no sea verdad que eres desvergonzado y mediocre. 12.- Simboliza el siguiente párrafo. Si te portas bien tal como estudias es obvio que te doy un regalo salvo que te lleve al cine. Aunque me dices que te portarás bien así como estudiarás. 13.- Simboliza el siguiente párrafo. Ese lapso, corto quizá si se le mide por el calendario, e s indeterminablemente largo cuando, como yo, se ha galopado a través de él. Sin embargo, ese lapso de tiempo es corto si toda proposición es falsa. Por tanto, se obtiene una contradicción.


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Ciclo 2017-I

LÓGICA PROPOSICIONAL 7) EVALUACION DE ESQUEMAS MOLECULARES POR LA TABLA DE VALORES .Sean los esquemas moleculares:

a) [ p

(p

q)]

b) [ ( p q ) c) ( q 





r)

p r]

[r

(p

q) ]

( p r )

La evaluación de esquemas moleculares consiste en hallar los valores del operador principal a partir de la validez de cada cada una de las proposiciones proposiciones simples (variables proposicionales). El número de valores que se asignan a cada variable proposicional depende de la formula “2n” , donde “n” indica el número de proposiciones simples que existe en el esquema molecular y “2” es una constante que indica los dos valores ( V ) o ( F ) que tiene una proposición simple. Luego, en una tabla rectangular, que la llamaremos TABLA DE VERDAD, se escriben horizontalmente todas las variables proposicionales, se escriben en columna todas las combinaciones posibles de verdad y falsedad. A continuación se aplica la regla a cada uno de los operadores (conectivos), empez ando por el de menor alcance y terminando con el de mayor jerarquía.

Ejemplo. Realice la tabla de verdad de la siguiente proposición molecular. [ p p

q

r

( q

[p

r)]

[( p

(q

r )

r )]

q ] r)

[( p

q]

8) TAUTOLOGIAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS.A) TAUTOLOGIA.-Un esquema molecular es TAUTOLOGICO cuando los valores de su operador son todos VERDADEROS. Ejemplo. Realice la tabla de verdad de la siguiente proposición molecular. [ p (p q)] p p


q

[p

(p

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q )]

p

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LÓGICA PROPOSICIONAL B) CONTRADICCIÓN.-Un esquema molecular es CONTRADICTORIO cuando los valores de su operador son todos FALSOS. Ejemplo. Realice la tabla de verdad de la siguiente proposición molecular. [ ( p q ) p

q

r

[( p

r]

q)

[r r]

(p

q) ]

[ r

(p

q)]

C) CONSISTENTE (contingente).-Un esquema molecular es CONSISTENTE cuando los valores de su operador hay por lo menos una verdad y una falsedad.

Ejemplo. Realice la tabla de verdad de la siguiente proposición molecular. (q p

q

r

r)

(q

( p r ) r)

r )

( p

9) IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA.A) IMPLICACIÓN LÓGICA.-Se llama implicación lógica a toda proposición “p q” sea tautológica le llamaremos implicación lógica (o simplemente implicación) en éste caso a la condicional denotaremos por “p

q”.

Ejemplo. De implicación lógica se tiene: [ ( p q ) p

q

[ p

q)

q ]

q]

p ,

puesto que

p

Es una tautología. Por lo tanto es una implicación lógica.


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LÓGICA PROPOSICIONAL B) EQUIVALENCIA LÓGICA.-Se llama a equivalencia lógica a toda proposición “p q ” sea tautológica le llamaremos equivalencia lógica (o simplemente equivalencia) en éste caso a la equivalencia denotaremos por “p q”. Ejemplo de equivalencia lógica se tiene: [ p ( p

p

q

[p

(p

q)]

p

q]

p

10) PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES.- cuando sus tablas de dos proposiciones p y q son idénticos se denominan equivalentes( o lógicamente equivalentes) en este caso se simboliza en la forma p ≡ q . Ejemplo: Las proposiciones ( p q ) y ( q p ) son lógicamente equivalentes, puesto que sus tablas de verdad son idénticas. En efecto.

p

q

p

q

q

p

OBSERVACIÓN.- La equivalencia de este ejemplo es muy importante, porque viene a ser la base del llamado método de demostración por Reducción al absurdo, en forma indirecta de un proceso de demostración que se va utilizar en el desarrollo del curso. Un par de proposiciones equivalentes “p≡q” resulta siempre una equivalencia lógica “p q” y viceversa, por esta razón cuando se tiene una equivalencia lógica entre p y q , también se dice “p≡q”.

11) PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS.- Llamadas leyes lógicas o principios lógicos viene a ser formas proposicionales tautológicas de carácter general y que a partir de estas leyes lógicas se puede pue de generar otras tautológicas y también cualquier tautología se puede reducir a una de las leyes lógicas, entre las principales leyes lógicas mencionaremos.

LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLASICOS 01. Ley de identidad. p p p p 02. Ley de no contradicción. ( p

p ) “una proposición no puede ser verdadero y falso a la vez”

03. Ley del tercio excluido. p

p “una proposición es verdadero o falso no hay una tercera posibilidad”


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Ciclo 2017-I


EQUIVALENCIAS NOTABLES

07. Leyes de la Condicional . 01. Ley de la doble negación.

a) p ⇒ q ≡ ∼ p ⋁ q

∼ ( ∼ p) ≡ p “la negación de la negación es una afirmación ”

b) ∼ ( p ⇒ q ) ≡ p ⋀ ∼ q

08. Leyes de la Bicondicional. 02. Ley de la Idempotencia.

a) p ⇔ q ≡ ( p ⇒ q ) ⋀ ( q ⇒ p )

a) p ∧ p ≡ p

b) p ⇔ q ≡ ( p ⋀ q ) ⋁ ( ∼p ⋀ ∼q )

b) p ⋁p ≡ p

c) p ⇔ q ≡ ∼ ( p ∆ q )

03. Leyes Conmutativas.

09. Leyes de la Absorción.

a) p ∧ q ≡ q ∧ p

a) p ⋀ ( p ⋁ q ) ≡ p

b) p ⋁ q ≡ q ⋁ p

b) p ⋁ ( p ⋀ q ) ≡ p

c) p ⇔ q ≡ q ⇔ p

c) p ⋀ ( ∼ p ⋁ q ) ≡ p ⋀ q

d) p ∆ q ≡ q ∆ p

d) p ⋁ ( ∼ p ⋀ q ) ≡ p ⋁ q

04. Leyes Asociativas. 10. Leyes de Transposición.

a) p ⋀ ( q ⋀ r ) ≡ ( p ⋀ q ) ⋀ r b) p ⋁ ( q ⋁ r ) ≡ ( p ⋁ q ) ⋁ r

a) p ⇒ q ≡ ∼ q ⇒ ∼ p

c) p ⇔ ( q ⇔ r ) ≡ ( p ⇔ q ) ⇔ r

b) p ⇔ q ≡ ∼q ⇔∼p

d) p ∆ ( q ∆ r ) ≡ ( p ∆ q ) ∆ r

05. Leyes Distributivas. a) p ⋀ ( q ⋁ r ) ≡ ( p ⋀ q ) ⋁ ( p ⋀ r ) b) p ⋁ ( q ⋀ r ) ≡ ( p ⋁ q ) ⋀ ( p ⋁ r ) c) p ⇒ ( q ⋀ r ) ≡ ( p ⇒ q ) ⋀ ( p ⇒ r ) d) p ⇒ ( q ⋁ r ) ≡ ( p ⇒ q ) ⋁ ( p ⇒ r )

06. Leyes de Morgan.

11. Elementos Neutros para la Conjunción y Disyunción. a) T ⋀ p ≡ p

e) T

⋀ T ≡ T

b) T ⋁ p ≡ T

f) T V F ≡ T

c) F ⋀ p ≡ F

g) T

⋀F ≡ F

d) F ⋁ p ≡ p

h) F

⋀F ≡ F

12. Leyes de Exportación.

a) ∼ ( p ⋀ q ) ≡ ∼ p ⋁ ∼ q

a) ( p ⋀ q ) ⇒ r ≡ p ⇒ ( q ⇒ r )

b) ∼ ( p ⋁ q ) ≡ ∼ p ⋀ ∼ q

b) ( p1 ⋀ p2 ⋀ p3 ⋀ . . . ⋀ pn ) ⇒ q ≡ ( p1


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⋀ p2 ⋀ p3 ⋀ . . . ⋀ pn-1 ) ⇒(pn ⇒q )

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LÓGICA PROPOSICIONAL Ejemplos. Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas. 01.

[(p

q )

02.

[ ( p q)

03. [ ( p q) ( p

04. { [p

05.

(q

q]

p

q ] q

q) ] ( p

r) ] [ p

(q

{ { [ ( q p) ( p q ) ]


q)

r)] } { [p q (p q)] [ r ( r q ) p ] }

(p

r) }

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(p

q) }

∆

{q

[ ( t

s)

q]}

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Cap. 1 Lógica Proposional

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