Campo eléctrico debido a una semicircunferencia semicircunferencia cargada Posted onmayo 18, 2016 by by moaramore moaramore
Distribución lineal de carga en coordenadas cilíndricas Vamos a calcular el campo eléctrico debido a una semicircunfe semicircunferencia rencia cargada partiendo del hecho de que la figura posee una simetría cilíndrica. Puesto que la aplicación del teorema de Gauss exige tener en consideración la forma de la distribución de carga. Este problema es muy sencillo, y de esta forma se pueden resolver todos los problemas que impliquen distribución LINEAL de carga y simetría cilíndrica.
Problema resuelto: campo eléctrico debido a una semicircunferencia cargada. Sobre una semicircunferencia se distribuye una densidad de carga lineal λ = = λ ocosφ a) Calcular la carga total distribuida sobre la figura. b) Calcular el campo eléctrico en el origen de coordenadas O. c) ¿En qué punto del eje X debe situarse la carga calculada en a) para que el campo en O sea el mismo que el obtenido en b)? a) Lo primero que debemos hacer es sumar las cargas elementales, es decir, sumamos ldl’ desde desde -π/2 hasta π/2:
La carga total Q equivale al doble del producto del radio por la densidad de carga lineal en el punto de referencia. b) Por la simetría de la figura se deduce que la componente vertical del campo Ey = 0. Así que solo tenemos que calcular la componente horizontal Ex. Vectores de posición:
Luego, el cálculo de la integral:
c) Si queremos calcular a qué distancia sobre el eje X debemos colocar una Q = 2λ oR que produzca el mismo E que en el origen O, lo que hay que hacer es igualar el campo que crea dicha carga Q en el punto de coordenada x con el campo obtenido en el apartado b. Esto sería tal que:
Movimiento de una partícula Movimiento cargada dentro de un campo eléctrico
Oir Lecc.
Consideraciones:
Vamos a analizar diversos casos: a) Una partícula se encuentra en reposo dentro del espacio comprendido entre dos placas (figura anterior). Sin tener en cuenta su masa, la única Fuerza que actúa sobre ella es la que se origina al activar el campo eléctrico. La Fuerza que se origina modifica su estado, hará que se mueva lo que produce una aceleración. A partir de aquí, puedes poner en práctica lo estudiado en Cinemática. La distancia o espacio lo representamos por s y las fórmulas que en Cinemática estudiamos son:
Ahora la partícula se mueve dentro de un campo eléctrico y que v i =
0 por partir del reposo, y que la aceleración vale podemos escribir las fórmulas siguientes basándonos en las anteriores:
Conviene recordar la equivalencia entre Trabajo y variación de la Energía Cinética. Una vez más, siempre que al aplicar un Fuerza sobre un objeto éste se mueve, sin tener en cuenta alguna excepción, y hay un incremento del espacio “s” (Δs),decimos que se produce un Trabajo en cuyo caso escribimos:
Ejercicio 1: En esta figura:
representamos una carga eléctrica negativa de 1,5 x 10-17C masa de………………………8,6 x10-28Kg intensidad del campo eléctrico.....7 x 104 N/C distancia entre las placas……… 5cm
¿Con qué velocidad llega a la placa negativa?
Respuesta: 10.741.723,11 m/s.
Solución:
Ejercicio 2: Una carga eléctrica negativa de 2 x 10-15C y una masa de 7,6 x 10 22 penetra en un campo eléctrico de 4000N/C a una velocidad de 4 x 106m/s de forma paralela y del mismo sentido al campo:
¿Cuánto tiempo necesita para que un momento dado, su velocidad sea 0 (se detenga)?
Respuesta: 3,8 x 10-13s
Solución: Conocemos la fórmula de la velocidad final pero cuando el móvil se detiene por causa de una aceleración negativa, esta fórmula se nos convierte en:
(I)
Hemos deducido la fórmula de la aceleración cuando el movimiento se produce dentro de un campo eléctrico uniforme:
Ejercicio 3: Estudiamos ahora el caso en que la partícula penetra perpendicularmente a la dirección del campo eléctrico:
Esta partícula cuya masa es m penetra en el campo de intensidad uniforme E y una carga q (negativa) a una velocidad inicial v i.
¿Con qué aceleración se encuentra en cuanto penetra en el campo eléctrico uniforme?
Ya la calculamos: la carga es positiva.
en la misma dirección del campo cuando
La trayectoria que describe dentro del campo es parabólica. Un movimiento parabólico es el que resulta de otros dos, es decir, que el movimiento parabólico es la composición de otros. Probablemente lo has estudiado en Matemáticas y por si no lo recuerdas, observa esta figura:
El círculo rojo representa a la carga que ha entrado en el campo eléctrico perpendicularmente a éste. En blanco la trayectoria que describe la carga dentro del campo eléctrico. En cada punto señalado puedes observar una velocidad con respecto al eje x que se mantiene constante (no hay rozamientos) y siempre vale la velocidad con la que entró. Esto quiere decir que respecto al eje de abscisas el espacio (x) recorrido por la partícula vale:
(I)
Pero ¿qué sucede con la velocidad referida al eje de ordenadas? Es indudable que la placa positiva atrae a esta carga que la hemos supuesto negativa. Imagina una pelota de tenis que se siente atraída por la gravedad de la Tierra. A medida que va descendiendo va incrementando su velocidad.
Lo mismo sucede dentro del campo eléctrico. Dentro del campo eléctrico como en el gravitacional la velocidad referida al eje de ordenadas varía constantemente. El espacio (y) referido al eje de ordenadas también va variando y nos vendrá dada por la fórmula:
(II)
Las ecuaciones (I) y (II) son las que definen la trayectoria de la carga eléctrica dentro del campo eléctrico:
es un número, una magnitud escalar como 34, 25, etc. y=34x 2 , y=25x 2………se tratan de ecuaciones de una parábola y de este modo vemos que el movimiento de una partícula dentro de un campo eléctrico en las condiciones que hemos expuesto es parabólico.
Ejercicio 4: Tenemos el siguiente campo eléctrico entre dos placas metálicas cuya intensidad es de 104 N/C: Las líneas de Fuerza del campo eléctrico, como ves, tienen sentido hacia arriba. Una partícula cuya carga eléctrica negativa es de 8 x 10-17C y tiene una masa 6 x 10-28 Kg penetra perpendicularmente en el campo eléctrico a una velocidad de 2,7 x 106 m/s ¿podrías calcular la ecuación de su trayectoria?
Respuesta: y = - 91,4x2
Solución: La ecuación de la trayectoria la conocemos por haberla deducido anteriormente:
Sustituimos valores conocidos y hacemos operaciones:
Al ser q negativa el resultado lo ponemos negativo: y = - 91,4x 2
Ejercicio 5: En un campo eléctrico creado por dos placas metálicas de 1cm de longitud separadas por 0,7cm penetra una carga eléctrica negativa de 5 x 10-17C y una masa de 3 x 10-28Kg perpendicular al campo a una velocidad de 2 x 106 m/s:
Esta carga penetra a una distancia de 0,2cm de la placa inferior y sale a una distancia de 0,2cm de la placa superior. Calcula la intensidad del campo eléctrico.
Respuesta: 1440N/C
Solución: Hemos colocado, para que resulte más fácil la resolución del problema, tomar como referencia un eje de coordenadas cuyo centro coincide con el punto donde la carga penetra perpendicularmente en el campo eléctrico. Comprobamos que el punto por donde abandona el campo eléctrico corresponde en metros a 0'003, 0'01 y podemos aplicar la ecuación:
Ejercicio 6: Sabiendo que la masa de un electrón es de 9,1 x 10-31kg y su carga 1,6 x 10-19C penetra en un campo eléctrico uniforme a 10 7m/s y su velocidad final se reduce a 0 m/s después de haber realizado una distancia de 10cm, calcula el valor de E.
Respuesta: 2843,75 N/C
Solución:
Ejercicio 7:
Entre dos placas metálicas separadas por una distancia de 6cm existe un campo eléctrico uniforme:
En su interior colgamos un péndulo de 3gramos-masa y una carga de 2 x 10-9C y 7cm de longitud. Este péndulo hace un desplazamiento de 30º por causa de la Fuerza de la carga eléctrica Q sobre la carga eléctrica que posee el péndulo:
¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas?
Respuesta: 519615,2423V
Solución: Dibujamos las Fuerzas que actúan sobre el péndulo. Hay una Fuerza (F ) que hace Q. Hay otra Fuerza (P ) que hace la Tierra sobre su masa. Estas dos fuerzas crean la resultante E :
La masa la expresamos en kilos-peso: (Peso) El valor de g lo hemos redondeado. Tenemos en cuenta lo que encierra la circunferencia de la figura siguiente:
Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico y en un campo magnético En esta página se estudia el movimiento de una partícula cargada en:
En un campo eléctrico uniforme En un campo magnético uniforme Cuando ambos campos están presentes
Las direcciones de los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí
El caso particular más importante es el selector de v elocidades, se compensan las fuerzas que ejercen el campo eléctrico y el campo magnético sobre una partícula cargada que se mueve con velocidad v. La partícula sigue una trayectoria rectilínea
Movimiento en un campo eléctrico Una partícula cargada que está en una región donde hay un campo eléctrico, experimenta una fuerza igual al producto de su carga por la intensidad del campo eléctrico →f e=q→Efe→=qE→ .
Si la carga es positiva, experimenta una fuerza en el sentido del campo Si la carga es negativa, experimenta una fuerza en sentido contrario al campo
Si el campo es uniforme, la fuerza es constante y también lo es, la aceleración. Aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, obtenemos la velocidad de la partícula en cualquier instante o después de haberse desplazado una determinada distancia
a=qEmv=v0+atx=v0t+12at 2a=qEm
v=v0+at
x=v0t+12at2
Aplicamos el principio de conservación de la energía, ya que el campo eléctrico es conservativo. La energía potencial q(V'-V ) se transforma en energía cinética. Siendo V'-V la diferencia de potencial existente entre dos puntos distantes x . En un campo eléctrico uniforme V'-V=Ex .
q(V'−V)=12mv2−12mv20q(V'−V)=12mv2−12mv02
El generador de Van de Graaff se emplea para acelerar partículas. En el terminal esférico del generador se producen iones positivos que son acelerados a lo largo de un tubo en el que se ha hecho el vacío, por la diferencia de potencial existente entre la esfera cargada y tierra.
Movimiento en un campo magnético
Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza −→f m=q→v×→Bfm→=qv→×B→ . El resultado de un producto vectorial es un vector de
módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido qvB sinθ dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad →vv→ y campo →BB→. y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos. Si la carga es positiva el sentido es el del producto vectorial →v×→Bv→×B→ , como en la figura izquierda. Si la carga es negativa el sentido de la fu erza es contrario al del producto vectorial →v×→Bv→×B→ , figura de la derecha
Una partícula cargada describeuna trayectoria circular en un campo magnético uniforme. El radio, se obtiene a partir de la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal.
Fm=mv2rqvB=mv2rr=mvqBFm=mv2r
qvB=mv2r
r=mvqB
Estudiaremos en esta página y las que siguen, varias situaciones en las que una partícula cargada positiva o negativa se mueve en una r egión donde existe un campo eléctrico, un campo magnético, o un campo eléctrico y magnéticos cruzados (perpendiculares entre sí).
Movimiento en un campo eléctrico y magnéticos cruzados En este apartado, vamos a practicar con las fuerzas que ejercen un campo magnético y un campo eléctrico sobre partículas cargadas en movimiento. El campo eléctrico está creado por las dos placas de un condensador planoparalelo que distan d y tienen una longitud L, su sentido es de la placa positiva (color rojo) a la negativa (color azul). El campo magnético es perpendicular al plano de la página, es positivo cuando apunta hacia dentro (color azul claro) y es negativo cuando apunta hacia fuera (color rosa). 1. Desviación nula de la partícula Una carga eléctrica se mueve con velocidad v 0 desconocida a lo largo del eje horizontal X. Buscaremos las intensidades y los sentidos de los campos eléctrico y magnético que hacen que la partícula se mueva a lo largo del eje X sin desviarse. o o
El campo eléctrico ejerce una fuerza →f e=q→Efe→=qE→ El campo magnético ejerce una fuerza −→f m=q→v×→Bfm→=qv→×B→
Las partículas no se desvían si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.
f e=f mqE=qvBv=EBfe=fm
qE=qvB
v=EB
Por tanto, no se desviarán aquellas partículas cuya velocidad sea igual cociente E/B. En la figura, se muestran algunas configuraciones del campo eléctrico y magnético sobre cargas positivas o negativas que producen fuerzas en sentido contrario.
2. Movimiento bajo la acción del campo eléctrico Cuando eliminamos el campo magnético, la partícula se mueve bajo la acción de la fuerza eléctrica en la región del condensador. Como la fuerza eléctrica constante tiene dirección del eje Y y la partícula se mueve inicialmente a lo largo del eje X, las ecuaciones del movimiento de la partícula serán las del tiro parabólico (movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad)
ax=0vx=v0x=v0tay=qEmvy=ayty=12ayt 2ax=0
x=v0tay=qEm
vy=ayt
vx=v0
y=12ayt2
Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical y de la partícula al salir de sus placas será
y=12qEm(Lv0)2y=12qEm(Lv0)2 Puede ocurrir que la partícula choque con las placas del condensador. La posición x de impacto se calcula poniendo y=d /2, siendo d la distancia entre las placas del condensador.
x=v0√ mdqE x=v0mdqE
3. Movimiento bajo la acción de un campo magnético En esta región, la partícula experimenta una fuerza debida al campo magnético, cuya dirección y sentido viene dada por el producto vectorial −→f m=q→v×→Bfm→=qv→×B→ y cuyo módulo es f m=q·vB. Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, calculamos el radio de la circunferencia que describe.
r=mv0qB r=mv0qB La partícula cargada describe un arco de una circunferencia hasta que choca con alguna de las placas del condensador.
Si d es la separación entre las placas. El punto de impacto x, tal como se aprecia en la figura, se calcula del siguiente modo
r−d2=rcosθx=rsinθr−d2=rcos θ
x=rsin θ
Si el radio r es suficientemente grande, la partícula saldría entre las placas del condensador. Su desviación y se calcularía del siguiente modo
L=rsinθy=r−rcosθL=rsin θ
y=r−rcos θ
Ejemplo: Datos de la partícula
carga q=1.6·10-19 C masa m=1.67·10-27 kg campo eléctrico E =2000 N/C velocidad de la partícula 2·105 m/s
1. Observamos que para B=-100 gauss=-100·10 -4 T, la partícula no se desvía. Su velocidad es
v0=2000100⋅10−4=2⋅105m/sv0=2000100·10−4=2·105 m/s
2. Suprimimos el campo magnético, la desviación que experimenta la partícula debido a la acción del campo eléctrico al final del condensador es
x=v0√ mdqE x=2⋅105√ 1.67⋅10−27⋅0.11.6⋅10−19⋅2000 =14.4cmx=v0mdq
E
x=2·1051.67·10−27·0.11.6·10−19·2000=14.4 cm
3. Suprimimos el campo eléctrico y restauramos el campo magnético B=-100 gauss El radio de la órbita circular que describe la partícula es
r=mv0qBr=1.67⋅10−27⋅2⋅1051.6⋅10−19⋅100⋅10−4=20.87cm r=mv0qB r=1.67·10−27·2·1051.6·10−19·100·10−4=20.87 cm La posición x de la partícula al chocar con la placa inferior es 20.87-5=20.87·cosθ, θ=40.5º x=20.87·sinθ=13.56 cm
Actividades Se introduce
La velocidad v 0 de la partícula cargada en unidades ·105 m/s, en el control titulado Velocidad La intensidad del campo eléctrico en N/C, en el control titulado C. eléctrico La intensidad del campo magnético en gauss (10-4 T) en el control titulado magnético La carga positiva o negativa del ión (una unidad de carga es 1.6·10-19 C) en el control titulado Carga La masa de la partícula (una u.m.a. es 1.67·10-27 kg) en el control titulado Masa
Se pulsa el botón titulado Nuevo C. eléctrico: magnético:
Carga : Masa:
Velocidad ×105m/s:
Trayectoria helicoidal
Hasta ahora, hemos considerado que el campo magnético →BB→ es paralelo al eje Z, y la partícula cargada se mueve en el plano XY. La partícula describe un movimiento circular de radio r . Si la partícula tiene además una componente v z de la velocidad (en color rojo, en la figura), describirá una hélice, cuyo paso es v , siendo P el tiempo que tarda la z P partícula en dar una vuelta completa. r=1; w=0.5; vz=0.2; t=0:0.01:30; x=r*cos(w*t); y=r*sin(w*t); z=vz*t; hold on plot3(x,y,z); tp=10; h1=quiver3(r*cos(w*tp),r*sin(w*tp),vz*tp, -sin(w*tp),cos(w*tp),0); set(h1,'Color',[0,0,0.7],'LineWidth',1.5) h1=quiver3(r*cos(w*tp),r*sin(w*tp),vz*tp, 0,0,1); set(h1,'Color',[0.7,0,0],'LineWidth',1.5) hold off view(60,46) grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Movimiento en un campo magnético')
Un cañón emite electrones acelerados por una diferencia de potencial U , en el vacío en la dirección horizontal. El blanco M está a una distancia d , del cañón y en una dirección que forma un ángulo α con la horizontal, tal como se muestra en la figura.
Calcular el campo magnético B, para que el haz de electrones impacte en el blanco M.
Datos: U =1000 V, q=1.60·10 -19 C, m=9.11·10 -31 kg, α=60°, d =5.0 cm.
Campo perpendicular al plano En primer lugar, consideramos que el campo magnético →BB→ es perpendicular a plano formado por el haz y el blanco M (el plano del dibujo)
Los electrones describirán una trayectoria circular de radio r , ya que la fuerza que ejerce el campo magnético es perpendicular a la velocidad y al campo, −→f m=q→v×→Bfm→=qv→×B→ La ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme se escribe
qvB=mv2rB=mvqrqvB=mv2r
B=mvqr
Como vemos en la figura, d=2r sinα Por otra parte, el cañón acelera los electrones, de modo que la energía potencial qU se convierte en energía cinética
qU=12mv2qU=12mv2 El módulo del campo magnético B vale
B=2√ 2mqU sinαdB=22mqUsinαd Con los datos del problema, B=0.0037 T
Campo paralelo al plano Consideremos que el campo →BB→ es paralelo a la dirección del blanco M, vamos a comprobar que el haz de electrones impacta en el blanco M siguiendo una trayectoria helicoidal
Descomponemos la velocidad horizontal v del haz de electrones en dos componentes v 1=v ·sinα y v 2=v ·cosα, tal como se muestra en la figura. El haz de electrones describirá una trayectoria circular de radio r en un plano perpendicular a la direccción del blanco
qv1B=mv21rqv1B=mv12r El periodo P , es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa
P=2πrv1=2πmqBP=2πrv1=2πmqB La componente v 2=v ·cosα hace que la partícula se desplace a lo largo de la dirección del blanco M, tardando un tiempo t=d/v 2 Cuando t=n·P el haz impactará en el blanco M dvcosα=n2πmqBB=n2πmvcosαqddvcosα=n2πmqBB=n2πmvcosαqd
Con los datos del problema, B=n·0.0067 T. Dando valores enteros a n=1,2,3... obtenemos los posibles valores de B que hacen que el haz de electrones impacte en el blanco M siguiendo una trayectoria helicoidal, como se ve en la f igura. El segmento de color rojo indica la dirección del campo magnético
r=1; w=0.5; vz=0.2; t=0:0.01:30; zp=r*sin(w*t); y=r*cos(w*t); x=vz*t; xp=x*cos(pi/3)-y*sin(pi/3); yp=x*sin(pi/3)+y*cos(pi/3); hold on plot3(xp,yp,zp); h1=quiver3(0,0,0, 2*cos(pi/3),2*sin(pi/3),0); set(h1,'Color',[0.7,0,0],'LineWidth',1.5) hold off %axis equal view(25,20) grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Movimiento en un campo magnético')
Referencias Problema propuesto en la X Olimpiada Internacional de Física. Hradec Králové, Checoslovaquia, 1977
Movimiento en un campo eléctrico y/o magnético Movimiento en un campo eléctrico Una partícula cargada que está en una región donde hay un campo eléctrico, experimenta una fuerza igual al producto de su carga por la intensidad del campo eléctrico Fe=q·E.
Si la carga es positiva, experimenta una fuerza en el sentido del campo
Si la carga es negativa, experimenta una fuerza en sentido contrario al campo
Si el campo es uniforme, la fuerza es constante y también lo es, la aceleración. Aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, obtenemos la velocidad de la partícula en cualquier instante o después de haberse desplazado una determinada distancia a=qEm
v=v0+at
x=v0t+12at 2a=qEm
v=v0+at
x=v0t+12at2
De forma alternativa, podemos aplicar el principio de conservación de la energía, ya que el campo eléctrico es conservativo La energía potencial q(V'-V ) se transforma en energía cinética. Siendo V'-V la diferencia de potencial existente entre dos puntos distantes x. En un campo eléctrico uniforme V'-V=Ex. q(V'−V)=12mv2−12mv20q(V'−V)=12mv2−12mv02
El generador de Van de Graaff se emplea para acelerar partículas. En el terminal esférico del generador se producen iones positivos que son acelerados a lo largo de un tubo en el que se ha hecho el vacío, por la diferencia de potencial existente entre la esfera cargada y tierra.
Movimiento en un campo magnético Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza Fm=q·v×B. El resultado de un producto vectorial es un vector de
módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido qvB sinθ dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad v y campo B. y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos. Si la carga es positiva el sentido es el del producto vectorial v×B, como en la figura izquierda. Si la carga es negativa el sentido de la fuerza es contrario al del producto vectorial v×B, figura de la derecha
Una partícula cargada describe órbita circular en un campo magnético uniforme. El radio de dicha órbita, se obtiene a partir de la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa por aceleración normal. Fm=mv2r
qvB=mv2r
r=mvqBFm=mv2r
qvB=mv2r
r=mvqB
Estudiaremos en esta página y las que siguen, varias situaciones en las que una partícula cargada positiva o negativa se mueve en una región donde existe un campo eléctrico, un campo magnético, o un campo eléctrico y magnéticos cruzados (perpendiculares entre sí).
Movimiento en un campo eléctrico y magnéticos cruzados En este apartado, vamos a practicar con las fuerzas que ejercen un campo magnético y un campo eléctrico sobre partículas cargadas en movimiento. El campo eléctrico está creado por las dos placas de un condensador plano paralelo que distan d y tienen una longitud L, su sentido es de la placa positiva (color rojo) a la negativa (color azul). El campo magnético es perpendicular al plano de la página, es positivo cuando apunta hacia dentro (color azul claro) y es negativo cuando apunta hacia fuera (color rosa). 1. Desviación nula de la partícula Una carga eléctrica se mueve con velocidad v0 desconocida a lo largo del eje horizontal X. Buscaremos las intensidades y los
sentidos de los campos eléctrico y magnético que hacen que la partícula se mueva a lo largo del eje X sin desviarse.
El campo eléctrico ejerce una fuerza Fe=q·E
El campo magnético ejerce una fuerza Fm=q·v×B.
Las partículas no se desvían si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. Fe=Fm
qE=qvB
v=EBFe=Fm
qE=qvB
v=EB
Por tanto, no se desviarán aquellas partículas cuya velocidad sea igual cociente E/B. En la figura, se muestran algunas configuraciones del campo eléctrico y magnético sobre cargas positivas o negativas que producen fuerzas en sentido contrario.
2. Movimiento bajo la acción del campo eléctrico Cuando eliminamos el campo magnético, la partícula está bajo la acción de la fuerza eléctrica en la región del condensador. Como la fuerza eléctrica constante tiene dirección del eje Y, y la partícula se mueve inicialmente a lo largo del eje X, las ecuaciones del movimiento de la partícula serán semejantes a las del tiro parabólico (movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad) ax=0 vx=v0
vx=v0 x=v0tay=qEm vy=ayt y=12ayt 2ax=0 x=v0tay=qEm vy=ayt y=12ayt2
Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical y de la partícula al salir de sus placas será y=12qEm(Lv0)2y=12qEm(Lv0)2
Puede ocurrir que la partícula choque con las placas del condensador. La posición x de impacto se calcula poniendo y=d /2, siendo d la distancia entre las placas del condensador. x=v0mdqE−−−−√ x=v0mdqE
3. Movimiento bajo la acción de un campo magnético En esta región, la partícula experimenta una fuerza debida al campo magnético, cuya dirección y sentido viene dada por el producto vectorial Fm=q·v×B, y cuyo módulo es F m=q·vB. Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, calculamos el radio de la circunferencia que describe. r=mv0qB r=mv0qB
La partícula cargada describe un arco de una circunferencia hasta que choca con alguna de las placas del condensador.
Si d es la separación entre las placas. El punto de impacto x, tal como se aprecia en la figura, se calcula del siguiente modo
r−d2=rcosθ
x=rsinθr−d2=rcosθ
x=rsinθ
Si el radio r es suficientemente grande, la partícula saldría entre las placas del condensador. Su desviación y se calcularía del siguiente modo L=rsinθ
y=r−rcosθL=rsinθ
y=r−rcosθ
Ejemplo:
Datos de la partícula
carga q=1.6·10-19 C
masa m=1.67·10-27 kg
campo eléctrico E =2000 N/C
velocidad de la partícula 2·10 5 m/s Observamos que para B=-100 gauss=-100·10-4 T, la partícula no se desvía. Su velocidad es v0=2000100⋅10−4=2⋅105 m/sv0=2000100·10−4=2·105 m/s
2. Suprimimos el campo magnético, la desviación que experimenta la partícula debido a la acción del campo eléctrico al final del condensador es x=v0mdqE−−−−√ x=2⋅1051.67⋅10−27⋅0.11.6⋅10−19⋅2000−−−−−−−−−−−−−−√=14.4 cm x=2·1051.67·10−27·0.11.6·10−19·2000=14.4 cm x=v0mdqE
3. Suprimimos el campo eléctrico y restauramos el campo magnético B=-100 gauss El radio de la órbita circular que describe la partícula es r=mv0qB r=1.67⋅10−27⋅2⋅1051.6⋅10−19⋅100⋅10−4=20.87 cm r=mv0qB
r=1.67·10−27·2·1051.6·10−19·100·10−4=20.87 cm
La posición x de la partícula al chocar con la placa inferior es 20.87-5=20.87·cosθ , θ =40.5º x=20.87·sinθ =13.56 cm
Actividades Se introduce
