C URSOS DE GRADO
´ ´ CALCULO Y ANALISIS
Fasc´ Fasc´ıculo ıculo 3
f ≃
∑n an xn
Vol (Ω )
∑ f ( xi )∆i
≃ ax + b ≃
f
´ CALCULO INTEGRAL ´ CALCULO
F d
Ω
Ω
DIFERENCIAL
´ CALCULO Polinomio de Taylor
´ ANALISIS
´ ANALISIS COMPLEJO
´ ANALISIS REAL
´ ANALISIS ´ NUMERICO
´ D EPARTAMENTO DE M ATEM ATICA
FACULTAD DE C IENCIAS E XACTAS Y NATURALES
U NIVERSIDAD DE B UENOS A IRES 2010
Cursos de Grado Fasc´ Fas c´ıcul ıc ulo o3
Comit´e Editorial: FCEyN, Universidad de Buenos Aires. Carlos Cabrelli (Director). Departamento de Matematica, ´ E-mail:
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[email protected] FCEyN, Universidad de Buenos Aires. Guillermo Corti˜nas. nas. Departamento de Matematica, ´ E-mail:
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[email protected] FCEyN, Universidad de Buenos Aires. Claudia Lederman. Departamento de Matematica, ´ E-mail:
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Auxiliar editorial: FCEyN, Universidad de Buenos Aires. Leandro Vendramin. Departamento de Matematica, ´ E-mail:
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ISSN 1851-1317 (Versi´on on Electr´onica) onica) ISSN 1851-1295 (Versi´on on Impresa)
Derechos reservados © 2010 Departamento de Matem´atica, atica, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,
Universidad de Buenos Aires. Departamento de Matem´atica atica Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires Ciudad Universitaria - Pabell´on on I (1428) Ciudad de Buenos Aires Argentina. http://www.dm.uba.ar
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II I
Este libro naci´o como unas notas para un curso de An´alisis, alisis, y de a poco se fue convirtiendo en algo m´as as que unas notas. Trat´e de conservar un estilo coloquial, sumado al rigor de definiciones definiciones y teoremas, sin sin evitar ning´ ning ´un u n tema tema,, a´un un aquellos que suelen tener (inmerecida) fama de intratables. Pienso que todos los temas que aqu´ı se estudian son accesibles para un estudiante que haya hecho un curso de c´alculo en una variable real, y otro otro de algebra a´ lgebra lineal, lineal, si si se abordan abordan de la manera manera adecuada. adecuada. En lo lo posible posible intent´ intent´e evievitar el uso de coordenadas, y aunque en muchos casos es necesario volver a ellas para dar un sentido concreto a las ideas geom´etricas, etricas, puede decirse que en general, con modificaciones menores, las pruebas se adaptan a un contexto m´as as amplio. Esa fue mi intenci´on on al preparar las clases, y es la intenci´on on de este libro: hacer accesibles temas sutiles del an´alisis alisis y el c´alculo alculo en una y varias variables reales, y vincular estos temas de manera intr´ınseca ınseca con la geometr´ıa ıa del espacio, sin permitir que el uso de coordenadas oscurezca esta relaci´on. on. Si bien el libro contiene problemas que surgen naturalmente a lo largo de la presentaci´on on de los temas, temas, estos estos no suplen suplen una verdad verdadera era pr´actica actica donde donde los concep conceptos tos se trabatraba jen a partir de ejemplos progresivamente m´as as sofisticados. En este caso, las pr´acticas acticas de la materia An´alisis alisis I (dictada por el Departamento de Matem´atica atica de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires) son el complemento ideal para estas notas, que fueron pensadas con estas pr´acticas acticas en la mano. Se puede acceder a las mismas a trav´es e s de la p´agina agina del Departamento del Departamento de Matem´atica, atica, cms.dm.uba.ar .
Agradecimientos:
A Sam por su entusiasmo y apoyo constante, a mis hijos por darle color a los grises. A Cristian Conde por hacer de editor y corrector en las sombras, en forma totalmente desinteresada. A Pablo Groisman porque cuando s´olo olo hab´ıa ıa unas notas en borrador, me hizo notar que las notas pod´ıan ıan tener alg´un un valor para los alumnos.
IV
Es supersticiosa y vana la costumbre de buscar sentido en los libros, equiparable a buscarlo en los sue˜nos nos o en las l´ıneas ıneas caoticas ´ de las manos. manos. J. L. B ORGES
En este este libro libro querem queremos os estudi estudiar ar proble problemasque masque invol involucr ucren en varia variass varia variable bless o inc´ognita ognitas, s, todas todas ellas ellas n umeu´ meros reales. Como aprendimos en cursos de c´alculo alculo elementales, lo m´as as pr´actico actico es darle nombre a las variables y despu´es es pensar cu´ales ales son las funciones que modelan el problema; estas funciones van a depender de esas variables. Es la estrategia de “nombrar y conquistar”. Por ejemplo, si queremos saber qu´e forma debe que tener un terreno rectangular de area a´ rea 100m2, para gastar la menor cantidad de alambre alambr e en su borde, bo rde, al per´ pe r´ımetro ımetro lo llal lamamos P, el area a´ rea A, y llamamos b a la base del rect´angulo angulo y a a su altura.
a
A = 100m2
b
Se tiene A = b .a = 100 y por otro lado P = 2 a + 2b. Despejando de la ecuaci´on on del area a´ rea nos queda una 100 ecuaci´on on en una sola variable, P(a) = 2 a + 2. a . Entonces aparece una funci´on on P, de variable real a, a la cual le buscamos buscamos el m´ınimo. ınimo. Es important importantee entender entender el dominio dominio de la funci´on, on, que es a > 0. Por otro lado, para buscarle el m´ınimo, ınimo, ¿que hacemos? Simplemente le buscamos los extremos locales a P . ¡Y para eso hace falta calcular la derivada de P ! Hag´amoslo: amoslo: se tiene P ′ (a) = 2 2 100 . Igualando a cero se tiene a2 2
−
a = 100, y como a debe ser un n´umero umero positivo, positivo, a = 10, y en consecuencia b = 10. Es decir el terreno debe ser cuadrado.
Vemos como para resolver un problema muy simple, aparecen herramientas que no son “obvias”. En primer lugar la noci´on on de dominio, que requiere entender un poco el conjunto de los n´umeros umeros reales. En segundo lugar, la noci´on on de derivada, que si la pensamos un poquito era pensar en las rectas tangentes al gr´afico afico de P, que a su vez se obten´ıan ıan como l´ımite ımite de rectas secantes. S´ı, ı, apareci´o el l´ımite. ımite. Y todo para probar que el terrenito era cuadrado. En la pr´oxima oxima figura se representa el gr´afico afico de una funci´on on P, y una recta secante al gr´afico afico en el punto
VI
(a, P(a)). La pendiente de esta recta se calcular como
∆ y
m =
∆ x
=
P( x)
− P(a) , x − a
y en los casos en que esta cantidad tiene l´ımite ımite cuando x que nos n os da el l´ımite ımite lo llamamos P′ (a).
→ a, decimos que P es derivable en a y al n´umero umero
y
m =
∆ y ∆ x
y = P( x)
−→→ P′(a)
x
a
∆ y
P(a) ∆ x
a y = P′ (a)( x
x
− a) + P(a)
Tambi´en en sabemo sabemoss que los l´ımites ımites nos dicen dicen que pasa pasa con el gr´afico afico de la funci´ funci´on on en puntos “conflicti “conflictivos” vos”;; que tipo de discontinuidad tiene, si tiene o no as´ıntotas. ıntotas. Por otro lado, la noci ´on on de derivada es muy util u ´ til para entender el comportamiento de la funci´on, on, no necesariamente cerca de un m´aximo aximo o un u n m´ınimo. ınimo. Otras cosas que aprendimos fueron que una funci´on on muy complicada se puede aproximar con la recta tangente para calcularla “cerca”, y tambi´en en que usando el polinomio de Taylor, en muchos casos se la puede aproximar tanto como uno quiera, e incluso estimar el error que cometemos cuando usamos el polinomio en vez de la funci´on on original. En la siguiente figura se presenta el gr´afico afico de f y se observa que el polinomio Pn es una buena aproximaci´on on de f para los x que est´an an cerca de x = a . y f (a + h)
f (a + h)
≃ P (a + h) n
Rn (a + h) y = Pn ( x)
Pn (a + h) f (a)
y = f ( x)
a
h
a+h
x
Pues bien: todas estas herramientas se pueden generalizar a funciones de varias variables. As´ı, ı, por ejemplo, de aqu´ı a unos meses vamos a estar en condiciones de resolver el siguiente problema:
Notar que, en el problema que aqu´ı se presenta, hay demasiadas demasiadas variables variables (y pocas ecuaciones) ecuaciones) como para intentar el truco de despejar y llevar todo el problema a una sola variable. Volveremos a este problema en el Cap´ıtulo ıtulo 5, cuando dispongamos de otras herramientas. Mientras tanto, invitamos al lector a resolverlo usando argumentos de simetr´ sim etr´ıa ıa en las variables a, l , p que lo modelan.
Queremos armar una caja rectangular, tal que la suma del ancho, el largo y la profundidad de la caja no excedan los tres metros (a + l + p 300cm). ¿Cu´al al es el m´aximo aximo volumen que puede tener la caja, y cu´ales ales ser´an an sus dimensiones?
≤
Por el camino, camino, van a surgir surgir ideas, herramientas herramientas y ejemplos ejemplos que tienen tienen valor valor por s´ı mismos, mismos, y que no solamente van a servir para resolver problemas de m´aximos y m´ınimos ınimos como el de arriba. Van a surgir problemas que en principio s´olo olo tienen que ver con la formulaci´on on de estas definiciones, es decir, problemas intr´ınsecos ınsecos de la l a matem ´atica. atica. ¡Comencemos!
VIII
´ Indice general
IX
1. Calculo a´ lculo en R n
1
1.1 .1.. N´umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1. 1.1. 1. Axi Axioma omass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.2. 1.1. 2. Suc Sucesi esione oness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. El espaci espacio o como como n-upla n-uplass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.1. 1.2. 1. Dis Distan tancia cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.2.2. Produc Producto to escal escalar ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.3. Entorn Entornos os y conjunt conjuntos os abier abiertos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.4.
n
L´ımites ımites en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. 1.2. 5. Pun Puntos tos de acu acumul mulaci´ aci´on on y conjuntos cerrados
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.6. Conjun Conjuntos tos acota acotados dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.3. Pro Proble blemas mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2. Fun Funcio ciones nes
31
2.1. Dom Domini inio, o, gr´afico, afico, imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. 2.1. 1. Fun Funcio ciones nes f : R n
→R
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.1.2. 2.1 .2. Cu Curv rvas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.1. 2. 1.3. 3. Gr´ afico, curvas y superficies de nivel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
L´ımite ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.1.4.
2.2. Fun Funcio ciones nes F : Rn
→R
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2.1. 2.2. 1. Com Compos posici´ ici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.2.2.
Curvas y el l´ımite ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.2.3.
L´ımite ımite y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.3. Con Contin tinuid uidad ad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.1. Propie Propiedades dades de las funci funciones ones conti continuas nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.2. 2.3. 2. Car Caract acteri erizac zaci´ i´on on de las funciones continuas
48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ INDICE GENERAL
X
2.3.3. Conti Continuida nuidad d unifor uniforme me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.4. Pro Proble blemas mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3. Deri Derivadas vadas y Diferen Diferencial cial
51
3.1. Der Deriv ivada adass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. 3.1. 1.
Curva Cur vass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Deri Derivada vadass direc direcciona cionales les
51 53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.1.3. Deri Derivada vadass parci parciales ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.2. Plano tange tangente nte y Diferenci Diferencial al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.2.1. Unicidad Unicidad de la difer diferencia enciall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ´ 3.2.2. Algebra de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2.3. Repas Repaso o de los los teoremas teoremas en una var variable iable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.2.4. Crit Criterio erio de difer diferencia enciabili bilidad dad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.2.5. 3.2. 5.
Funcio Fun ciones nes F : Rn
→R
m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.3. Teorem eoremas as de Lagrange Lagrange y Fermat Fermat en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.4. NO NOT TAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4. Fu Func nciion ´ inversa inve rsa e impl´ıcita ıcit a
85
4.1.. Fu 4.1 Func nci´ i´on on Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k
4.1.1. Funci Funciones ones de clas clasee C
85
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.1.2. Tra Transfor nsformaci maciones ones line lineales ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.2. Superficies de nivel nivel y funciones impl´ impl´ıcitas ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Func Fu nci´ i´on on impl´ıcita ıcit a en e n Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.2.1 4.2 .1..
4.3. NO NOT TAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 05
5. Taylor y extrem extremos os
107
5.1. Poli Polinomio nomio de Taylor Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 07 5.1.1. Varias vari variables ables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 08 5.1.2. 5.1. 2.
Demost Dem ostrac raci´ i´on on alternativa de la f´ormula ormula de Taylor de orden 2 en Rn . . . . . . . . . . 1 1 5
5.2. Ext Extrem remos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 117 5.2.1. 5.2. 1.
Formas For mas cua cuadr´ dr´aticas aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 18
5.2.2. El Hessi Hessiano ano y los los extre extremos mos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 122 5.3. Extremos con restricciones, restricciones, multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 127 5.3.1. 5.3. 1.
Extrem Ext remos os en una reg regi´ i´on on
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1 27
5.3.2. Extre Extremos mos en regione regioness con borde borde que se puede puede parametri parametrizar zar . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3.3. Mult Multiplic iplicadores adores de Lagran Lagrange ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1 29 5.3.4. Mult Multiplic iplicadores adores en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 31
´ INDICE GENERAL
XI
5.3.5. Un ejemp ejemplo lo elem elemental ental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 32 5.3.6. Varia ariass ligad ligaduras uras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 33
6. Int Integr egrale aless en R
135
6.1. Int Integr egrale aless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 35 6.1.1. 6.1. 1. Pro Propie piedad dades es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 41 6.2. Inte Integrale graless impro impropias pias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 46 6.2.1. Inter Intervalo valoss infini infinitos tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.2.2. Conv Converge ergencia ncia condic condicional ional y absoluta absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 49 6.2.3. Crite Criterios rios de compa comparaci´ raci´on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 50 6.3. NO NOT TAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7. Int Integr egrale aless m´ultiples ultiples
159
7.1. Inte Integrale graless en el el plano plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 59 7.1.1. 7.1 .1. Re Rect´ ct´angulos y particiones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 59
7.1.2. Integ Integral ral de Riem Riemann ann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.1.3. Integ Integrale raless iteradas iteradas y el Teorem Teoremaa de Fubini Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 66 7.2. Inte Integrale graless en R3 y Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 72 7.3. Pro Propie piedad dades es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.3.1. 7.3. 1. Med Medida ida de una reg regi´ i´on on y Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 78 7.4. NO NOT TAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8. Teore eorema ma de cambio cambio de variabl variables es
183
8.1. 8. 1. El m´etodo etodo de sustituci´on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 83 8.2. Part Particio iciones nes genera generales les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 83 8.3. Tra Transfor nsformacio maciones nes line lineales ales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.4. Cambi Cambio o de vari variable able . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 87 8.4.1. Cambi Cambio o de vari variable able en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 93
Bibliogr Bibl iograf´ af´ıa ıa
201
XI I
´ INDICE GENERAL
¡No soy un n´umero! umero! ¡Soy un hombre libre! El Prision Prisionero ero
1.1.
Numeros ´ reales
Lo primero que notamos en la charla del prefacio, es que es relevante entender c´omo es el dominio de una funci´on, on, que es un subconjunto de R ; y si vamos a hablar de l´ımites ımites y derivadas, es bueno entender un poco mejor los n´umeros umeros reales. ¿Que´ es un n umero real? Esta pregunta inocente es m as Observaci´ Observacion o´ n 1.1.1. ¿Qu´ ´ ´ dif ´ ´ıcil de contestar de lo que parece. Una primer aproximaci´ aproximacion ´ intuitiva (o que aprendimos en la escuela) nos dice que es el conjunto de los numeros que ocupan la recta num´ num erica, es decir, decir, hay una correspondencia entre los n umeros reales y los ´ ´ ´ elementos de la recta. R
0 Pero esto trae otras preguntas, como por ejemplo qu e´ es una recta y si todas las rectas son iguales o al menos equivalentes en algun es la tal correspondencia. Esto no quiere decir que la idea la ´ sentido, y como ´ tengamos que descartar, ¡por el contrario! esta idea es fundamental para poder imaginar mentalmente los numeros y los problemas que sobre ellos consideremos. ´ Si repasamos un poco lo aprendido, aprendido, veremos que lo mas que´ son, sino que propiedades ´ importante no es qu´ tienen. En realidad, desde un punto de vista mas ¿qu e´ son? se ´ formal, uno podr ´ ´ıa pensar que la pregunta ¿qu´ contesta haciendo una lista de las propiedades m as ´ importantes, y viendo que si un conjunto cumple estas propiedades entonces es R. Pero ¿qui´ ¿qui en ´ garantiza que hay alg un ´ conjunto que cumpla esas propiedades en abstracto? abstracto? Si alguien dice ”el conjunto conjunto que las verifica verifica es R”, pues yo le contestar ´ puede poner ´ıa ¡que no lo puede como ejemplo si todav´ todav´ ıa no nos pusimos de acuerdo en qu´ qu e´ es un n umero real! ´
Repasemos: los n´umeros umeros naturales N = 1, 2, 3, son todos n´umeros umeros reales. Los n´umeros umeros enteros (que se obtienen tomando los inversos de los naturales respecto de la suma y agregando el neutro 0 de la suma), Z = son todos reales. Si uno considera cocientes de n´umeros umeros enteros (algo , 2, 1, 0, 1, 2, 3, bastante natural al pensar en la divisi´on), on), obtiene los racionales Q = p/q : p , q Z, q 0 .
{
{··· −
···}
···}
{
∈
}
Calculo a´ lculo en Rn
2
Sabemos que con esto NO alcanza. Por ejemplo en un tri´angulo angulo de catetos catetos unitarios, unitarios, la hipotenusa hipotenusa es u n n´umero umero h = 2, que no es ning´un racional.
h2 = 12 + 12 = 2
1
√
1
√
Esta ultima u´ ltima afirmaci´on on requiere una prueba: supongamos que 2 es racional. Entonces existen p , q n umeros u´ meros naturales tales que 2 = p/q. Vamos a suponer que cancelamos todos los factores posibles de p y q de manera manera que no tengan ning´un un factor com´un. un. Elevando al cuadrado,
√
2 =
p2 q2
,
o equivalentemente equivalentemente 2q2 = p 2 . Ahora pensemos cu´antas antas veces aparece el factor 2 en la factorizaci´on on de p2 . Como p2 = p p, el factor 2 aparece un n´umero umero par de veces en la factorizaci´on on de p2 , pues aparece el doble de veces que en la factorizaci´on on de p . En el caso en el que no aparece (o sea si p es impar) esta afirmaci´on on sigue siendo cierta pues vamos a adoptar la convenci´on o n de que 0 es un n´umero umero par (pues se puede escribir como 0 = 2 0). Entonces Entonces a la derecha derecha de la igualdad, igualdad, tenemos tenemos un n umero u ´ mero par de factores factores 2. El mismo razonamiento aplicado 2 a q nos dice que a la izquierda el factor 2 aparece un n´umero umero impar de veces. Esto es imposible, lo que prueba que 2 no es racional.
·
·
√
Todo n´umero umero real que no es racional se denomina irracional, y al conjunto de n´umeros umeros irracionales se lo suele denotar con la letra I. Se tienen las obvias inclusiones estrictas N
⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
tambien Observaci´ Observacion o´ n 1.1.2. Como curiosidad, los irracionales tambi´ ´ se pueden clasificar como algebraicos o trascendentes. Los primeros son los que son ceros de polinomios con coeficientes enteros, por ejemplo 2 es algebraico puesto que es ra´ ra ´ ız del polinomio p( x) = x 2 2. Ejemplos de n´ numeros trascendentes son e y ´ π. Por supuesto, ¡probar que estos n umeros NO son algebraicos tampoco es elemental! Para una prueba a ´ 1 solo ingles). ´ un clic puede verse la Wikipedia (en ingl´ ´
√
−
1.1.1 1.1.1..
Axiom Axiomas as
Volvamos al asunto de las cosas que hacen que R sea R. Veamos primero los axiomas que hacen de R un cuerpo ordenado. Esto es, propiedades que no se demuestran sino que se suponen v´alidas. alidas. 1
http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number
1.1 1.1 Nu´ meros reales
3
Entre triviales y excesivamente abstractos para nuestra intuici´on, intuici´on, son la base sobre la que se construyen todos los resultados del an´alisis. alisis.
Axiomas de la suma: S1) Conmutatividad: Conmutatividad: si a , b
∈ R, a + b = b + a. S2) Asociatividad: Asociatividad: si a , b, c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c. S3) Elemento Neutro: existe y lo llamamos llamamos ”0”. Si a ∈ R , a + 0 = a . S1) Inverso Aditivo: si a ∈ R , existe un inverso aditivo, lo llamamos ” −a”, verifica a + (−a) = 0. En general escribimos a
− b en vez de a + (−b). Axiomas del producto:
P1) Conmutatividad: Conmutatividad: si a , b
∈ R, a.b = b.a. P2) Asociatividad: Asociatividad: si a , b, c ∈ R, a .(b.c) = (a.b).c. P3) Elemento Neutro: existe y lo llamamos llamamos ”1”. Si a P4) Inverso Multiplicati Multiplicativo: vo: si a a.a−1 = 1.
∈ R, a
0,
∈ R, 1 .a = a.
existe un inverso multiplicativo, lo llamamos ” a−1 ”, verifica
En general omitimos el punto, es decir escribimos a .b = ab. Tambi´en en es usual escribir 1a = a−1 . Propiedad distributiva: distributiva: D) Distributividad: Distributividad: si a , b, c
∈ R, a(b + c) = ab + ac.
Axiomas del orden: O1) Tricotom´ıa: ıa: si a , b
∈ R, hay s´olo tres posibilidades (excluyentes), que son a < b, a = b, a > b. O2) Transitividad: Transitividad: si a , b, c ∈ R son tales que a < b y b < c, entonces a < c.
Calculo a´ lculo en Rn
4
O3) Monoton´ıa ıa de la suma: Si a , b, c
∈ R son tales que a < b, entonces a + c < b + c. O4) Monoton´ıa ıa del producto: si a , b, c ∈ R, son tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc . En particular dados dos n´umeros umeros reales distintos siempre hay un tercero en el medio, y siguiendo este razonamiento se ve que hay infinitos. Si a, b Q, el promedio est´a en Q y entonces se ve que hay infinitos racionales. Estos hechos los usaremos sin otra aclaraci´on. on.
Se tiene 0 < 1 ¡justificarlo con los axiomas! Se deduce f´acilmente acilmente que si a < b, entonces el promedio b p = a+ umero umero real tal que 2 es un n´ a < p < b .
∈
Algo m´as as sutiles, son las pruebas de que entre dos reales siempre hay un racional, y de que entre dos racionales siempre hay un irracional, pruebas que dejaremos para el Corolario 1.1.12 1.1.12.. Hasta aqu´ı las propiedades que hacen de R un cuerpo ordenado. El problema es que no es el ´unico. unico. Es decir, Q cumple todos estos axiomas. Lo que falta es el axioma de completitud, es decir, ver que no hay agujeros en R , cuando por ejemplo si los hay en Q.
⊂
Intent Intentamo amoss formal formaliza izarr un poco. poco. ¿Est´ ¿Est´a claro claro que que si A R es no vac´ vac´ıo, ıo, y tiene tiene un tope tope por encima encima,, entonc entonces es podemos buscar el tope m´as as chiquito? Pensarlo en la recta: indicamos al conjunto A con l´ıneas ıneas mas gruesas g ruesas A
R
c ´optima optima
c
Un tope por encima es una cota superior . Es decir, real M tal que para todo a Definici´ Definicion o´ n 1.1.3. Una cota superior es un n umero ´
∈ A, se tiene a ≤ M.
Si hay una cota superior, hay infinitas (cualquiera m´as as grande sirve). El asunto es encontrar la ´optima optima (la m´as as peque˜na). na). Esta se denomina supremo del conjunto A, y se anota sup A. Es decir,
Definici´ Definicion o´ n 1.1.4. s ′ s s.
≤
ademas ∈ R es el supremo de A si para todo a ∈ A, a ≤ M y adem´ ´ si s′ es otra cota superior,
Lo relevante, que hay que tener en cuenta en esta discusi´on on es el axioma de completitud de los n´umeros umeros reales, que dice que
Axioma. Si A
vac´ ıo, y est ´ est a´ acotado superiormente, entonces A tiene supremo s. ⊂ R es no vac´
Se dice que ”R es completo en el orden”. Algo obvio: unico. Proposici´ Proposicion o´ n 1.1.5. El supremo de un conjunto es ´
1.1 1.1 Nu´ meros reales
5
Demostraci´ Demostracion. ´ Si hay otro, s′ , se tiene por un lado s′ s (pues s es cota superior y s′ es la menor cota superior), y por otro lado s s′ (pues s tambi´en en es la menor cota superior).
≤
≤
ınfimo, An´alogamente alogamente se define cota inferior e e ´
∈
≥
real m tal que para todo a A, se tiene a m. El n´ numero Definici´ Definicion o´ n 1.1.6. Una cota inferior es un numero ´ ´ ′ ′ i R es el ´ el ´ ınfimo de A si para todo a A, a i y ademas el ´ ınfimo ´ si i es otra cota inferior, i i . Es decir el ´ es la mas tambien es ´ unico. ´ grande de las cotas inferiores, y tambi´ ´ si existe es ´
∈
∈
Definici´ Definicion o´ n 1.1.7. Un conjunto A mente.
≥
≥
est a´ acotado tanto superiormente como inferior⊂ R se dice acotado si est ´
El supremo (o el ´ınfimo) ınfimo) puede pertenecer o no al conjunto. Hagamos algunos ejemplos con cuidado, por m´as as que parezcan obvios. Queda como ejercicio para el lector el siguiente problema, cuyo resultado resu ltado usaremos usar emos de aqu´ a qu´ı en m ´as: as:
Problema 1.1.8. Probar que si r R , r > > 0 y r 2 = 3 , entonces r Q. Es decir, probar que 3 es irracional. Se sugiere ver la prueba de que 2 no es racional.
∈
√
√
Con este resultado a mano, podemos hallar el supremo del siguiente conjunto.
Ejemplo 1.1.9. Hallar el supremo s del conjunto A = x
{ ∈ R : x
2
< 3 .
} √ 3. Notemos que s es cota superior pues si x ∈ A, entonces x < 3 implica | x x| < √ 3, s = El candidato es √ omo probamos que es la menor? Por el absurdo: supongamos que hay otra cota x| < 3. ¿C´omo luego x ≤ | x ′ < √ 3. Ahora entre s ′ y s hay al menos un n´umero superior superior m as a´ s peque˜ na, n a, digamos umero real a (hay infinitos). s √ ′ Se tiene a < s = 3, luego a < 3, es decir a ∈ A. Por otro lado s < a, con lo cual s ′ no ser´ıa ıa cota co ta superior. superio r. 2
2
El absurdo proviene de suponer que hay otra cota superior m´as peque˜na na que s.
conjunto A = x Q : x 2 < 3 , el supremo va Observaci´ Observacion o´ n 1.1.10. Notar que si uno busca el supremo del conjunto a ser nuevamente s = 3 , ¡que no es un numero umer o racional! racional! Esto nos dice que la propieda propiedad d de completitud ´ es inherente a los numeros reales. Es decir, hay subconjuntos de Q que est ´ est an ´ ´ acotados superiormente en Q , pero que NO tienen supremo en Q.
√
{∈
}
Demostremos mejor esta ultima u ´ ltima observaci´on. on. Para ello necesitamos algunas herramientas t´ecnicas. Arqu´ ımedes: Si x es un numero real, entonces existe Proposici´ Proposicion o´ n 1.1.11. Arquimedianeidad o principio de Arqu ´ ´ n N tal que n > x . Permite comparar cualquier n umero ´ con un natural. Se puede deducir del axioma de completitud.
∈
Calculo a´ lculo en Rn
6
Demostraci´ Demostracion. = k N : k x . Si X = = /0, en parti consideremos os X = particul cular ar 1 > x, luego luego se puede puede ´ Sea x R , y considerem tomar n = 1. Si X no es vac´ıo, ıo, como co mo est a´ acotado superiormente (por x ), tiene un supremo s = sup X R . Como s 1 no puede ser cota superior de X (pues s es la m´as as chica), debe existir k 0 X tal que s 1 < k 0 . Tomando n = k 0 + 1 se tiene n N y adem´as as n > s. Por esto ultimo u´ ltimo n X , lo que nos dice que n > x.
∈
{∈
−
≤}
∈
∈
−
∈ ∈
Con esta esta herra herramie mienta nta podemos podemos probar probar algo algo que todos todos sabemo sabemoss que es cier cierto. to. En nuest nuestra ra formac formaci´ i´on on inicial inicial y media, aprendimos algunos hechos supuestamente ´utiles utiles sin ninguna pista del por qu´e de su validez (¡o el por qu´e de su relevancia!). reales distintos siempre hay un n umero racional. Entre dos n umeros Corolario 1.1.12. Entre dos n umeros ´ ´ ´ reales distintos siempre hay un n umero irracional. ´
u´ meros reales (elegimos (elegimos los nombres nombres para que queden en ese orden, es decir, decir, Demostraci´ Demostracion. ´ Sean a < b n umeros 1 llamamos a al m´as as chico y b al m´as as grande). Entonces b a > 0, y en consecuencia b−a > 0. Existe por el
−
principio princip io de Arqu´ Ar qu´ımedes ımedes un n umero u ´ mero natural n tal que n > nb = na + n(b
1 . b a
−
Observemos que
− a) > na + 1.
1 R
na + 1
na
nb
∈ ∈ Z tal que
En consecuencia, tiene que existir un n´umero umero entero entero k entre nb y na. Es decir, existe k k na < k < < nb. Dividendo por n se obtiene a < n < b, que nos dice que nk Q est´a entre a y b .
∈
Ahora veamos que entre dos n´umeros umeros reales siempre hay un irracional. Vamos a volver a suponer que 1 1 1 √ a < b. Multiplicando por a < √ b. Por lo anterior existe un n´umero obtenemos √ umero racional nk entre ellos, 2
2
2
√ 2 se obtiene a < √ 2 < b. Afirmamos que este n´umero es decir umero del √ √ medio es irracional: si fuera racional, existir´ıan ıan j , m enteros tales que 2 = . Pero entonces 2 = √ 12 a < nk < √ 12 b. Multiplicando por
k n
k n
ser´ıa ıa racional, lo cual es falso, como ya probamos.
Sea A = x Q : x2 < 2 y x > 0 . Ento Entonc nces es A Ejemplo Ejemplo 1.1.13. Sea en Q , pero no tiene supremo en Q.
{∈
}
j m
jn mk
vac´ ıoy est est a´ acotado superiormen superiormente te ⊂ Q es no vac´ ´ acotado
Demostraci´ Demostracion. ıo es evidente pues 1 A. Por otro lado, C = ´ Que es no vac´ıo = 2 Q es una cota superior de A pues si x A entonces x 2 < 2 < 4, con lo cual x x < 2, y como x es positivo, se tiene x < 2. Por ultimo, u´ ltimo, supongamos supongamos que existe s Q tal que s = sup A. Es decir, s es una cota superior, y es la m´as as peque˜na na de ellas. Hay tres posibilidades: la primera s = 2 es imposible pues 2 no es racional. La segunda es que s < 2 ( < 2, llegamos a y podemos suponer s 1 pues 1 A). Pero si tomamos r un un n´umero umero racional tal que s < r < 2 un absurdo absurdo pues eleva elevando ndo al cuadrado cuadrado obtenemos obtenemos r < 2, y como r es es positivo positivo (por ser ser mayor que s), se tiene r A. Esto contradice que s es cota superior de A. La ultima ´ posibilidad es s > s. Pero entonces volvemos a elegir t Q tal que s < t < umero es una cota superior de A en Q m´as as peque˜na na que s, lo cual < s, y este n´umero es imposible.
∈
∈
≥
∈
∈ ∈
√
√
∈
∈ | |
∈
√
√
√
√
1.1 1.1 Nu´ meros reales
7
Corolario 1.1.14. El cuerpo Q no es completo en el orden (no verifica el axioma de completitud).
Ejemplo 1.1.15. Hallar el supremo s del conjunto A = 1
{−
1 n
: n
∈ N}. ¿s ∈ A?
Aqu´ı el candidato candidato natural natural es s = 1 (que (que NO es un elem elemen ento to de A). Es unacota supe superi rior or pues pues 1 1n 1 para para ′ todo n natural. Falta ver que es la menor. De nuevo: si hubiera otra cota superior, digamos s < 1, tomemos n0 N tal que n 0 > 1−1 s′ que qu e siempre se puede por el principio de Arqu´ımedes. ımedes. Entonces despejando se
− ≤
∈
obtiene s′ < 1
−
1 n0
lo que contradice que s ′ sea cota superior.
Observaci´ Observacion o´ n 1.1.16. Puede probarse que si A es conjunto que es un cuerpo ordenado (cumple los axiomas de arriba S,P,D,O), y A es completo en el orden, entonces A ES R (o mas ´ bien se lo puede identificar con R 2 respetando las operaciones y el orden) . Algo que qued´o en el tintero y que no vamos a tratar aqu´ı, ı, es como se pueden construir (si, construir a partir partir de los n umeros u´ meros racionales) los n´umeros umeros reales, para de esa forma estar seguros de que hay un conjunto que verifica verifica todo lo que queremos queremos.. ¡Recordemo ¡Recordemoss que nunca dijimos dijimos qui´enes e nes R! Hay varias varias maneras de hacer esta construcci´on, on, por ejemplo usando cortaduras de Dedekind o sucesiones de Cauchy; el lector insaciable con acceso a Internet puede leer sobre estas construcciones en la Wikipedia 3 , aunque hay otras fuentes en ´ papel mejor escritas de donde leerlo, como por ejemplo, el libro de Birkhoff-McLane de Algebra [1 [1]. Volvamos al supremo de un conjunto A (algo habitual hab itual en las definiciones defin iciones de d e l´ımite) ımite)
⊂ R. Una caracterizaci´ caracterizaci´on on util ´ es la siguiente, en t´erminos erminos de ε
Proposici´ Proposicion o´ n 1.1.17. s es el supremo de A si y solo ´ si
≥ a para todo a ∈ A 2. dado dado ε > 0 , existe a ∈ A tal que s − ε < a. 1. s
ε = s
− s′ R
s′ = s
a
−ε
∈ A
s
Demostraci´ Demostracion. on vieja, entonces obviamente se cumple 1). Por otro lado, dado ´ Empecemos con la definici´on ε > 0, se tienen s ε < s y esto nos dice que s ε no es cota superior de A (recordemos que s era la m´as as chica). O sea, existe alg´un un a A tal que s ε < a, lo cual prueba 2).
−
∈
−
−
Si partim partimos os de esta esta definic definici´ i´on, o n, tene tenemo moss queprobar queprobar que que un s que verific verificaa 1) y 2) es el suprem supremo. o. Claram Clarament entee s es cota superior, falta probar que es la m´as as chica. Si hubiera una cota superior m´as as chica, digamos s′ , entonces tomamos ε = s s′ > 0 y llegamos a un absurdo pues 2) nos dice que existe a A tal que s (s s′ ) < a, es decir, s ′ < a lo que contradice que s′ es cota superior.
−
2 3
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=5607 http://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_real_numbers
∈
− −
Calculo a´ lculo en Rn
8
An´alogamente, alogamente, se tiene el siguiente resultado que dejamos como ejercicio al lector.
Problema 1.1.18. i es el ınfimo de A si y s olo ´ ´ si
⊂ R tal que
¿Qu´e se pued puedee deci decirr de un conj conjunt unto o A ´ınf ( A) = sup( A)?
≤ a para todo a ∈ A 2. dado ε > 0 , existe a ∈ A 1. i
⊂ R es tal que ´ınf ınf ( A) ≤ ´ınf ( B) y sup( B) ≤
¿Y si B sup( B)?
1.1.2. 1.1.2.
tal que i + ε > a.
Sucesio Sucesiones nes
Una sucesi´on on se puede pensar como un cierto conjunto de n´umeros umeros reales, ordenado de alguna manera. R, que en general M´as as precisamente, es una funci´on on s : N general se anota sn en vez de s(n). Es decir, decir, si ponemos ponemos 1 1 1 sn = 1/n, lo que queremos nombrar es la sucesi´on on cuyos primeros t´erminos erminos son 1 , 2 , 3 , 4 , y as´ı sucesi su cesi- 1 1 1 1 vamente. Es importante observar que no es lo mismo que la sucesi´on on 1, 3 , 2 , 5 , 4 , (en otro orden). Estas sucesiones tienen todos sus t´erminos erminos distintos. Pero esto no tiene por qu´e ser as´ı. ı. Por ejemplo
→
···
···
1, 2 , 1, 2, 1, 2,
···
toma s´olo olo dos valores distintos, y como caso extremo 3, 3 , 3, 3, 3, 3,
···
constante. Las sucesiones son utiles es una sucesi´on on que se denomina sucesion u´ tiles para describir problemas ´ constante de aproximaci´ aproximaci´on. on. As´ı, ı, si quiero descubrir que pasa con 1 / x cuando x tiende a infinito, basta mirar algunos 1 1 = 0,1; 100 = 0,01 para descubrir que tiende a cero. t´erminos erminos como 1; 10 numero l cuando n Definici´ Definicion o´ n 1.1.19. Se dice que una sucesi on ´ an tiende al n´ ´ n0 N tal que si n n0 , entonces an l < ε. En ese caso escribimos
∈
≥
| −|
bien an l´ım an = l o bien
→∞
n
→ ∞ , si dado ε > 0 existe
−→→∞ l.
n
Es decir que a n tiende a l si todos los t´erminos erminos de an est´an an tan cerca de l como uno quiera a partir de un t´ermino ermino dado. Recordemos que an l < ε quiere decir
| −|
l
− ε < a < l + ε, n
como se indica en la figura:
ε
ε R
l
−ε
an
l
an+ p
an+1
l+ε
1.1 1.1 Nu´ meros reales
9
≤
Problema 1.1.20. Si an l para todo n N , para probar que l´ l´ım an = l basta probar que
La condici´on on de que todos los t´erminos erminos de la sucesi´on on est´en en suficientemente cerca del l´ımite ımite a partir de un n0 se simplifica cuando sabemos a priori que todos los t´erminos erminos est´an an a un lado de una constante dada. Dejamos el siguiente problema que pone de manifiesto esta simplificaci´on. on.
∈
→∞
n
l an < ε. An´ Analogamente, si ´ an l, basta probar que an l < ε.
− ≥ −
Para una exposici´on o n m´as as detallada (pero todav´ıa ıa elemental) sobre sucesiones, puede verse el libro de Noriega [5 [5], o la gu´ıa ıa de An´alisis alisis del CBC de la UBA. Nosotros vamos a ir directamente a lo que nos interesa, que para empezar es una caracterizaci´on del supremo.
Definici´ Definicion o´ n 1.1.21. Recordemos que una sucesi on ´ es creciente si
≤ a ≤ a ≤ ··· ·· · ,
a1
2
3
y estrictamente creciente si a1 < a 2 < a 3 <
··· .
An´ Analogamente alogam ente se define sucesi´ sucesion si ´ ´ decreciente y estrictamente decreciente. Una sucesi on ´ se dice mon otona ´ es creciente o decreciente, y estrictamente mon otona ´ si es estrictamente creciente o decreciente.
⊂
Como vimos, todo conjunto no vac´ıo ıo A R, si est´a acotado superiormente, tiene supremo. Se tiene el siguiente resultado util u ´ til que relaciona el supremo con las sucesiones: sucesion Proposici´ Proposicion o´ n 1.1.22. Si s = sup A, entonces existe una sucesi´ ´ creciente an de elementos de A tal que n→∞ an s. Si s A, se puede elegir an estrictamente creciente.
{ }
−→
Demostraci´ Demostracion. on constante (que es creciente). Si no, tomamos alg´un un ´ Si s A, basta tomar a n = s la sucesi´on elemento a1 A, y ponemos a1 : = a1 . Ahora consideramos a2 = a12+s el promedio, promedio, que es un n´umero umero menor estrictamente menor que s . Existe entonces alg´un un elemento a 2 A tal que a 2 < a 2 < s (sino a2 ser´ıa cota co ta superior de A, lo cual es imposible pues a 2 < s).
∈
∈
∈
As´ı vamos definiendo definien do a n como el promedio
an−1 +s , 2
y tomam tomamos os como como a n cualquier elemento de A que
−
s a
n−1 est´a entre an y s. Ciertamente a n es creciente pues an > a n > a n−1, y por otro lado 0 < s an < . 2 Luego, repitiendo esta acotaci´on on se consigue bajar hasta a1 , y por cada vez que bajamos, aparece un n´umero umero 2 dividiendo, con lo cual obtenemos.
−
0 < s
− a < s − 2a − n
n 1
<
· · · < s2−−a . 1 n 1
Esto ultimo u´ ltimo prueba p rueba que qu e l´ım ım an = s, usando la definici´on on de l´ımite, ımite, pues s
→∞
n
− a est´a fijo. 1
Calculo a´ lculo en Rn
10
A, Problema 1.1.23. Si i = ´ınf A, entonces existe una sucesi on ´ decreciente an de elementos de A tal que a n i. Si i A, se puede elegir a n estrictamente decreciente.
Dejamos como ejercicio para el lector, un resultado an´alogo alogo para el ´ınfimo ınfimo de un conjunto. Recordar que es clave verificar que todos los t erminos ´ ´ an de la sucesi on ´ deben ser elementos del conjunto A .
{ } →
Subsucesiones Una herramient herramientaa extremadam extremadamente ente util u ´ til son las subsucesiones. Recordemos que son simplemente una elecci´on on de un subconjunto subconjunto de la sucesi´on on original, provisto del mismo orden que ten´ıa ıa la sucesi´on on original. As´ı por ejemplo, si a n = 1n , una subsucesi´ subsucesi´on on es b k = 21k , es decir, tomamos 1 1 1 , , , 4 6 8
···
que son algunos de los t´erminos erminos de la sucesi´on on original. Para dar mas precisi´on on a esta idea, recordemos que R. una sucesi´on on es simplemente una funci´on on s : N
→
→ ∈
→
R una sucesi Sea a : N sucesi´ on. subsucesi esi´ on una nuev nueva a suce sucesi si´ on Definici´ Definicion o´ n 1.1.24. Sea ´ Una subsuc ´ de a es una ´ b : N R que se puede construir a partir de la original de la siguiente manera: existe una funci on ´ estrictamente creciente N tal que para todo k N , b (k ) = a j (k ). M ´ j : N M as ´ coloquialmente: si
→
◦
a1 , a2 ,
··· ,a ,··· es una sucesi on, ´ entonces una subsucesi on ´ {a } de {a } es una sucesi on ´ de la forma a ,a ,··· ,a ,··· donde n < n < · · · < n < · · · . nk
n1
1
2
n
n
n2
nk
k
Observaci´ Observacion o´ n 1.1.25. Se puede seguir esta idea un paso m as: ´ una subsucesion ´ de una subsucesi on ´ se define en forma analoga. ´ Pero si lo pensamos un poco, nos hemos quedado con un conjunto a un ´ mas ´ reducido de la sucesi on los ´ ındices deben seguir siendo estrictamente crecientes. Luego una subsucesi on ´ original, y los ´ ´ de una subsucesi on subsucesi´ on original an (y si todav´ todav´ ıa no ´ de an no es mas ´ que otra subsucesi ´ de la sucesi on ´ original consegu´ consegu´ ı marearlos es porque lo dije muy despacito).
{ }
{ }
Una consecuencia de la Proposici´on 1.1.22 on 1.1.22,, es que toda sucesi´on on creciente crecien te y acotada acota da tiene l´ımite, ımite, el cual c ual coincide con el supremo:
{ } { }
Proposici´ Proposicion o´ n 1.1.26. Si an es una sucesi on ´ creciente (a n+1 entonces si s = sup an , se tiene ll´´ım an = s.
→∞
n
≥ a ≥ ··· ·· · ≥ a ) y acotada superiormente, n
1
1.1 1.1 Nu´ meros reales
11
Demostraci´ Demostracion. on, es decir A = an Por la Pro´ Consideremos el conjunto de puntos que forma la sucesi´on, posici´on 1.1.22 on 1.1.22,, existe una sucesi´on on dentro de A que es creciente y tiende a s = sup A. Pero esto es lo que llamamos una subsucesi´on, on, es decir la nueva sucesi´on on consta de algunos de los elementos de an , y la anotamos ank . En consecuencia, dado ε > 0, existe k 0 tal que k k 0 implica s ank < ε. Tomando n 0 = n k 0 se observa que si n n0 , entonces por ser a n creciente se tiene
{ }
≥
≥
s
−a ≤ s−a n
n0 = s
−a
nk 0
{ } { }
−
< ε,
que es lo que quer´ıamos ıamos probar. pro bar.
{ }
Proposici´ Proposicion o´ n 1.1.27. Si an es una sucesion ´ decreciente (an+1 an a1 ) y acotada inferiormente, entonces si i = ´ınf an , se tiene l´ım an = i.
Se tiene un resultado an´alogo alogo con el ´ınfimo ınfimo de una sucesi´on on decreciente y acotada inferiormente, cuya prueba una vez m´as as queda como ejercicio.
≤ ≤ · · · ≤ { }
n
→∞
Volvamos a pensar en sucesiones que no son mon´otonas. otonas. Hay algo bastante evidente: si una sucesi´on on no est´a acotada (por ejemplo, no est´a acotada superiormente), entonces podemos extraer de ella una subsucesi´on on creciente. De la misma manera, si no est´a acotada inferiormente, podemos extraer una sucesi´on on decreciente.
Lo que sigue es un resultado clave que nos va a ser muy ´util m´as as adelante, que generaliza esta idea a cualquier sucesion umeros reales. Su demostraci´on on es un tanto t´ecnica ecnica (paciencia). ´ de n´umeros
{ }
{ }
reales. Entonces existe una subsucesi on Proposici´ Proposicion o´ n 1.1.28. Sea an una sucesion ´ de numeros ´ ´ ank de an que es mon otona. ´
{ }
Demostraci´ Demostracion. on, nos interesan los t´erminos erminos de la sucesi´on on que son m´as as grandes ´ Para armar la subsucesi´on, que todos los t´erminos erminos que les siguen, es decir, los an tales que an ak para todo k n. Los vamos a llamar t´erminos erminos dominantes. Hay dos casos: hay infinitos t´erminos erminos dominantes o hay finitos. Pensemos primero el caso en el que la sucesi´on on tiene infinitos infinitos t erminos e´ rminos dominantes
≥
an1 , an2 , an3 ,
≥
· · · con n < n < n < · · · ≥ a ≥ a ≥··· . Hemos construido una subsucesi´on on decreciente.
Por ser todos dominantes, a n1
n2
1
2
3
n3
Veamos ahora el caso en el que hay finitos t´erminos erminos dominantes (incluyendo la posibilidad de que no haya ninguno). Por ser finitos, hay uno que es el ultimo u ´ ltimo (es decir, de all´ı en adelante ning´ ning un ´un t´ermino ermino de la
Calculo a´ lculo en Rn
12
sucesi´on on es dominante). Tomemos a n1 el primer t´ermino ermino de la sucesi´on on que viene despu´es es de este ultimo u´ ltimo dominante (si no hay ning´un u n t´ermino ermino dominante en la sucesi´on on tomamos n1 = 1). Existe entonces m´as as adelante alg´un un n 2 > n1 tal que a n2 > a n1 (¡existe sino a n1 ser´ıa ıa dominante d ominante!). !). As´ı siguiendo si guiendo,, vamos vamo s hallando hal lando este caso hemos hemos constr construid uido o una subsuc subsucesi´ esi´on on nk > > n3 > n2 > n1 tales que ank > > an3 > an2 > an1 . En este creciente.
···
···
Se obtiene as´ı un corolario fundamental, que luego generalizaremos a R n .
{ }
sucesi´ on acotada da de n umeros reales. Entonces existe Corolario Corolario 1.1.29 (Bolzano-Weierstrass) . Sea an una sucesi ´ acota ´ una subsucesi on ´ ank de an que es convergente.
{ } { }
{ }
Por la propos proposici´ ici´on on previa previa,, podemo podemoss extrae extraerr de an una subsucesi´ subsucesi´onmon´ o nmon´otona otona (queest´a acoaco Demostraci´ Demostracion. ´ Por tada por estar estar acotada la original). original). Por la Proposici´ Proposici´on on 1.1.26 1.1.26,, esta subsucesi´on on tiene a su vez una subsucesi´on on converge convergente, nte, que seg´un un lo observado observado antes, no es m as a´ s que una subsucesi´on on de la sucesi´on on original. Por ultimo u´ ltimo recordemos qu´e quiere decir que una sucesi´on on “tiende a infinito”. d e numeros reales tiende a m as Definici´ Definicion o´ n 1.1.30. Una sucesi on ´ an de ´ ´ infinito si para todo M > > 0 existe n0 N tal que n n0 implica an > M. Lo anotamos
∈
{ }
≥
l´ım an = + ∞ o bien a n
→∞
n
Analogamente, decimos que ll´´ım an = ´ n
→∞
−→→∞ +∞.
n
−∞ si para todo M < < 0 existe n ∈ N tal que n ≥ n implica a < M. 0
0
n
Es decir decir que para para cualqu cualquier ier cota cota que a mi mi se se me me ocurra ocurra,, todos todos los t´ermino erminoss de la sucesi´ sucesi´onson o nson m´as as grandes que esa cota a partir de un n 0 (en el caso +∞).
1.2. 1.2.
El espaci espacio o como como n-upl n-uplas as
En esta secci´on on vamos a establecer las herramientas b´asicas asicas para p ara poder pod er hablar habla r de l´ımites ımites en Rn . Necesitamos recordar nociones de vectores, norma, producto interno y tambi´en tambi´en extender la idea de entorno de un n punto de R . Muchas de las primeras definiciones (las que involucran norma, distancia y producto interno) les van a resultar familiares, aunque algunas demostraciones demostraciones de propiedades tal vez no las hayan visto antes. Dado n
∈ N, una n-upla es una tira ordenada ordenada de n umeros, u ´ meros, ( x , x , x , · · · , x ), 1
no necesariamente distintos.
2
3
n
1.2 El espacio como n-uplas
13
El plano en el cual estamos acostumbrados a pensar lo podemos describir con 2uplas (que en general llamamos pares ordenados):
P = ( p1 , p2 )
p2
R 2 = ( x1 , x2 ) : xi
∈ R}.
{
y
La primer coordenada la llamamos abcisa y la segunda ordenada. En un gr´afico afico las representamos en el eje horizontal y vertical respectivamente. respectivamente.
x
p1
Lo mismo ocurre con el espacio R 3 , al cual representamos usando tres ejes: z c
P = ( a, b, c)
b a x
1.2. 1.2.1. 1.
Distan Distancia cia
y p2
y
(a, b, 0)
¿Cu´al al es la distancia de un punto P = ( p1 , p2 ) al origen? origen? Si observamos observamos nuevamente nuevamente la figura del plano xy, se ha formado un tri´anguangulo rect´angulo, angulo, con v´ertices ertices en ( 0, 0), ( p1 , 0) y ( p1 , p2 ).
P = ( p1 , p2 )
x
p1
= Por lo tanto d =
p21 + p 22 . En el caso general, la distancia de P = ( p1 , p2 ,
escribimos con un cero gordo, O
n
∈ R ) est´a dada por d = =
p21 + p22 +
2 n
· · · + p ,
como puede observarse por ejemplo en el dibujo en R 3 de arriba.
· · · , p ) ∈ R n
n
al origen (que
Calculo a´ lculo en Rn
14
¿C´omo omo se calcula la distancia entre dos puntos? Es sencillo, en la figura se ve que si P = ( p1 , p2 ) y angulo rect´angulo, angulo, de lados p1 q1 y p Q = (q1 , q2 ), entonces queda determinado un nuevo tri´angulo p2 q2
| − | | − |
y P = ( p1 , p2 ) p2
d 2 = ( p1
2
−q ) 1
q2
+ ( p2
2
−q ) 2
Q = (q1 , q2 )
x
q1
p1
Luego d (P, Q) =
2
2
− q ) + ( p − q ) , y en general, si P = ( p , p , · · · , p ) y Q = ( q , q , · · · , q ) son puntos de R , su distancia est´a dada por d (P, Q) = ( p − q ) + ( p − q ) + · · · + ( p − q ) . Si a los puntos del plano los pensamos como vectores, entonces la distancia de P = ( p , p , · · · , p ) ∈ R 1
2
( p1
1
n
1
1
2
1
2
2
2
n
n
2
2
2
n
n
2
1
2
n
n
al
origen es la longitud del vector P, y la llamamos norma de P . La anotamos
P =
p21 + p 22 +
2 n
· · · + p .
En el caso de dos vectores P, Q, su distancia es la longitud del vector que los une, que es Q dependiendo dependiendo de d onde o´ nde lo hacemos empezar). Luego
− P (o P − Q
d (P, Q) = P
− Q.
1.2.2. 1.2.2.
Produ Producto cto escalar escalar
De las propiedades propiedades geom´etricas etricas b´asicas, asicas, tenemos tambi´en en la noci´on on de angulo a´ ngulo entre dos vectores, para lo cu´al al es util u´ til pensar primero en el producto escalar
P, Q = p q + p q + · · · + p q . 1 1
2 2
n n
Tiene las siguientes propiedades (que dejo para verificar al lector, salvo la ´ultima). Sean P, Q, R, S vectores vectores de R n , entonces 1. P, Q = Q, P
2. P, P = P ≥ 0 para todo P ∈ R , y es cero si y s´olo olo si P = O. 2
n
1.2 El espacio como n-uplas
15
3. αP, βQ = αβ P, Q para todo par de n´umeros umeros α, β
∈ R. 4. P + R, Q = P, Q + R, Q. 5. |P, Q|≤PQ (desigualdad de Cauchy-Schwarz). 2
∈ ∈ R, consideremos la funci´on on real g(t ) = P − tQ . Por
Demostraci´ Demostracion. ´ (de la desigualdad de C-S). Dado t las propiedades anteriores se tiene 2
2
P − t Q = P − t Q, P − t Q = P, P − 2t P, Q + t Q, Q. Como P, Q est´an an fijos, g es un polinomio de grado 2, g (t ) = at 2 + bt + + c donde a = Q 2 , b = 2 P, Q y c = P 2. Por otro lado, como g (t ) = P tQ 2 0, este polinomio tiene a lo sumo una ra´ız ız real. Como 2 4ac 0. Pero esto es a 0, debe tener discriminante no positivo, es decir, se debe cumplir b
≥
− ≥
(2 P, Q )2
2
2
−
−
≤
− 4Q P ≤ 0,
una expres expresi´ i´onde o nde la que que se dedu deducef´ cef´acilme acilmente nte la desigu desiguald aldad ad desead deseadaa pasand pasando o el termin termino o negati negativo vo a la derech derechaa y tomando tomand o ra´ız ız cuadrada cuadr ada a ambos amb os miembros. miembro s.
Observaci´ Observacion o´ n 1.2.1. La igualdad en la desigualdad de C-S vale si y s olo ´ si P, Q est an ´ ´ alineados, es decir si existe α R tal que P = α Q. En efecto, de la demostraci on ´ anterior se deduce que para que valga la igualdad el discriminante del polinomio g debe ser igual a cero. Pero en ese caso, el polinomio g tiene una ra´ ra´ ız (doble), es decir existe existe α R tal que g(α) = P αQ 2 = 0 . En consecuencia debe ser P αQ = O , puesto que la norma se anula ´ unicamente en el origen.
∈
∈
−
−
Volviendo al angulo a´ ngulo entre dos vectores, como
−1 ≤ PP, QQ ≤ 1, podemos pensar que la cantidad del medio define el coseno del ´angulo ´angulo α(P, Q) entre los vectores, es decir
P, Q = PQ cos(α). Ciertamente en los casos que podemos dibujar ( R 2 y R 3) ustedes saben que el ´angulo angulo as´ı definido defi nido es el a´ ngulo que los vectores P, Q sustentan cuando uno los dibuja. En el caso n 4, siempre se puede pensar que angulo dos vectores generan un plano P, Q de Rn , y la figura que corresponde corresponde es es el angulo a´ ngulo formado en este plano (independientemente de que no nos podamos imaginar el espacio en el cual este plano est´a metido).
{ }
≥
Propiedades de la norma La norma tiene tambi´en en una serie de propiedades bastante ´utiles, utiles, que enunciamos a continuaci´on. on. Sean n P, Q R .
∈
Calculo a´ lculo en Rn
16
P ≥ 0, y P = 0 si y s´olo olo si P = O. 2. λP = |λ|P para todo λ ∈ R . 3. P + Q ≤ P + Q (desigualdad triangular). 1.
Las dos ultimas u´ ltimas requieren alguna demostraci´on. on. Pensemos primero qu´e quieren decir. La propiedad de sacar esca escala lare ress simp simple leme ment ntee refle refleja ja el hech hecho o de quesi uno uno mult multip ipli lica ca un vect vector or por por un n´um n´umer ero, o, lo que que est´ est´a hacien haciendo do (si el n´umero umero es positivo) es estirar o achicar el vector sin modificar su direcci´on. Si el n´umero umero es negativo, el vector simplemente se da vuelta y la magnitud relevante es entonces el m´odulo m´odulo del n´umero. umero. Por otro lado, la ultima u´ ltima propiedad se conoce como desigualdad triangular , y es un simple reflejo del hecho de que en la figura de abajo, es m´as as corto el camino yendo por la diagonal que primero recorriendo un lado y despu´es es el otro. P+Q Q P
Demostremos la desigualdad triangular. Tenemos Tenemos 2
2
P + Q = P + Q, P + Q = P + Q
2
+ 2 P, Q .
Por la desigualdad de C-S,
P, Q≤|P, Q|≤PQ. Es decir, decir, nos qued o´ 2
2
P + Q ≤ P + Q
2
+ 2 P Q = ( P + Q )2 .
Tomando ra´ız ız cuadrada cu adrada a ambos t erminos e´ rminos se obtiene la desigualdad triangular. La desigualdad triangular en este este punto parece un tanto t´ecnica, ecnica, pero si recordamos que queremos hablar de l´ımites, ımites, nos dice algo fundamental fundamental:: si dos puntos est´an an cerca del origen, entonces ¡su suma tambi´en en est´a cerca del origen! Asimismo, si X est´a cerca del origen e Y est´ est´a cerca de X , entonces la desigualdad triangular nos dice que Y est´a cerca del origen pues
Y ≤ Y − X + X . 1.2.3.
Entornos Entornos y conjuntos conjuntos abiertos abiertos
1.2 El espacio como n-uplas
17
Pensando en la norma como distancia, podemos definir un cierto entorno de un punto P R n de la siguiente manera: nos quedamos con el conjunto de puntos que est´an an a distancia menor que un n´umero umero positivo r de de un punto P dado. Es decir, si pensamos en el plano, plano, con un disco disco alrededor alrededor del punto, como en la figura de la derecha.
Br (P)
∈
Lo deno d enotamo tamoss as´ı: ı: B r (P) = Q
{ ∈R
n
r P
: d (Q, P) = Q
− P < r }
Observemos que los puntos del borde del disco NO pertenecen a este conjunto. El conjunto se denomina bola bola abiert abierta a de radio radio r con centr centro o en P. En el caso caso de la recta recta real real (n = 1) se obtiene obtiene un interv intervalo alo:: si tomamos tomamos x x0 < r , lo que obtenemos es el intervalo abierto un n´umero umero x 0 R y consideramos Br ( x0 ) = x R : x de largo 2r (el (el “di´ametro”) ametro”) centrado en x 0 .
∈
{∈ |− | }
R
( x0
− r
) x0
x0 + r
Las siguiente definici´on on generaliza esta idea.
Definici´ Definicion o´ n 1.2.2. Un conjunto U Rn es abierto si para cada punto P centrada en P tal que Br (P) U (el radio puede depender depender del punto P).
⊂ ⊂
⊂
∈ U existe una bola abierta B (P) r
La idea intuitiva es que en un conjunto abierto, no hay puntos que est´en en en el borde, sino que est´an an todos propiamente adentro. Porque los puntos del borde no tienen tienen esta propiedad, ya cualquier bola centrada en ellos, tiene puntos tanto de fuera del conjunto como de adentro. Insisto con una parte importante de la definici´on: el radio r , para cada punto P del conjunto abierto U , va variando variando para adecuarse adecuarse a la forma del conjunto y permitir que Br (P) U .
⊂
Un ejemplo ilustrativo se obtiene tomando algunos puntos en una figura en el plano como la siguiente:
Calculo a´ lculo en Rn
18
U r 4
B4
P4
P5
r 1
P1 B1
r5
B5
r 3
B3
P3
r 6
P6
B6
r 5 r 2P
2
B2
P7
B7
Se imaginan que una bola abierta deber´ıa ıa cumplir la definici´on on de abierto (¡si no, estamos mal!). Veamos su demostraci´on, on, que se deduce del dibujo
t Q
t = = r
− Q − P > 0
t
Br (P)
Bt (Q)
P
Q−P
Lema 1.2.3. Sea Br (P) una bola abierta en R n . Para cada Q En particular pa rticular una bola abierta es un conjunto abierto. abi erto.
∈ B (P) existe t > > 0 tal que B (Q) ⊂ B (P). r
t
r
Demostraci´ Demostracion. = Q P < r . Si d = = 0, es porque Q = P y tomamos t = = r . El ´ Como Q Br (P), se tiene d = caso interesante es 0 < d < emoslo. < r . En el dibujo se ve que Bt (Q) Br (P), donde t = = r d > > 0. Demostr´emoslo. Tomemos X Br −d (Q), entonces X Q < r d . En consecuencia
∈
− ⊂ − ∈ ∈ − − X − P = X − Q + Q − P ≤ X − Q + Q − P < (r − d ) + d = = r ∈ B (P), como afirm´abamos. donde hemos usado la desigualdad triangular. Esto nos dice que X ∈ abamos. r
Tenemos Tenemos la siguiente equivalencia:
⊂ ⊂ R
Proposici´ Proposicion o´ n 1.2.4. Un conjunto U abiertas.
n
es abierto si y s´ solo ´ si U se puede escribir como uni on ´ de bolas
1.2 El espacio como n-uplas
19
Demostraci´ Demostracion. ´ Veamos ), supongamos que U es abierto. Entonces para cada punto P U existe r > 0 tal que B r (P) U . En consecuencia P∈U Br (P) U pues todas las bolas est´an an en U . Y por otro lado es evidente que U P∈U Br (P). Es decir hemos probado que
⊂ ⊂ ⊂ ∪
⇒
∪
∈
⊂
⊂ ⊂ ∪ ∈ B (P) ⊂ U ,
U
= lo que nos asegura la igualdad U =
P U r
∪ ∈ B (P), o sea U es una uni´on on de bolas abiertas. Veamos ahora ⇐), supongamos que U = ∪ B (P ) es una uni´on on de bolas abiertas, donde los P son > 0 tal que B (Q) ⊂ U . algunos algunos de los los puntos puntos de U (pueden (pueden ser todos). todos). Si Q ∈ U , tene tenemo moss que que ver ver que que exis existe te t > Como U es uni´on on de bolas abiertas, el punto Q debe estar en alguna de ellas, digamos Q ∈ B (P ). Pero por el Lema 1.2.3 Lema 1.2.3,, existe t > 0 tal que B (Q) ⊂ B (P ). Por propiedad transit transitiv ivaa de la inclusi´on, on, se tienen tienen B (Q) ⊂ U . P U r
Pi
r
i
i
t
0
r 0
t
r 0
0
t
Y una propiedad fundamental:
{ }∈
Proposici´ Proposicion o´ n 1.2.5. Si U i un conjunto abierto.
i I
es una familia de conjuntos abiertos abiertos de R n , entonces la uni´ union = ´ U =
∪ ∈ U es i I i
Demostraci´ Demostracion. on de bolas abiertas por la proposici´on on an´ Cada abierto U i se puede escribir como una uni´on terior. Entonces U es la uni´on on de todas las bolas de todos los abiertos, y resulta ser abierto de nuevo por la proposici´on on anterior.
Algo similar ocurre con la intersecci´on, on, pero teniendo cuidado porque s´olo olo es cierto el resultado si son finitos conjuntos. Basta verlo para dos, ese es el contenido del siguiente lema. conjuntos abiertos abiertos de R n , entonces su intersecci´ interseccion ´ U V es un conjunto abierto. Lema 1.2.6. Si U , V son conjuntos
∩
Demostraci´ Demostracion. (por ser U abierto) abierto) y Br 2 (P) ´ Dado P U V , existen r 1 > 0 y r 2 > 0 tales que Br 1 (P) U (por m´ın r 1 , r 2 , entonces Br (P) U V lo que prueba que ´este este ultimo u´ ltimo es abierto. V (por ser V abierto). Si r = = m´
∈ ∩
{
}
Se extiende extiende el resultado resultado anterior anterior a finitos conjuntos conjuntos abierabiertos. Sin embargo, embargo, el resultado resultado es falso si consideramos infinitos abiertos.
⊂ ∩
⊂
⊂
Problema 1.2.7. Comprobar 1 R , que si U n = ( 0, n + n ) entonces nU n = ( 0, 1] , , que no es abierto.
∩
Antes de seguir, quisiera que discutamos brevemente qu´e estamos haciendo.
⊂
Calculo a´ lculo en Rn
20
Si recordamos la definici´on on de l´ımite ımite en R , la idea central es establecer con claridad qu´e quiere decir “estar cerca” de un punto x 0 . Para eso usamos el orden de R, y alrededor de x 0 establecemos un intervalo ( x0 ε, x0 + ε) para un ε > 0 dado,
−
x0
(
−ε
)
R
x0 + ε
x0
Observ Observemo emoss que hay s´olo olo dos direcc direccion iones es desde desde donde donde acerca acercarno rnoss a x0 (por (por la izquie izquierda rda o por la derech derecha), a), que se corresponden con los l´ımites ımites laterales. Esto es as´ı porque los n ´umeros umeros reales est´an an ordenados, y por lo tanto s´olo olo se puede ser mayor o menor que x0 (o igual). Sin embargo, en el plano (o el espacio) no hay un orden entre puntos. Por lo tanto hay infinitas direcciones desde donde acercarse a un punto P R n .
∈
P
De hecho, acercarnos acercarnos por rectas no agota todas las posibilida posibilidades des porque uno podr´ıa ıa acercarse acercarse con una espiral u otra curva. Sin embargo, con las nociones de bola y abierto queda claro qu´e qu´e quiere decir estar cerca del punto P.
Otra noci´on on util u´ til que necesitamos es la de interior de un conjunto.
Definici´ Definicion o´ n 1.2.8. Si C Rn , un punto P C es interior si existe una bola abierta centrada en P tal que Br (P) C. El conjunto conjunto de todos los puntos interiore interioress de C se denomina denomina interior de C y lo denotam denotamos os C o .
⊂
⊂ ⊂
∈
Un conjunto puede no tener ning´un un punto interior, es decir C o = 0/ . Por ejemplo si C es una recta en el plano. Aunque es evidente, esta afirmaci´on on requiere demostraci´on. on. Seamos entonces concretos.
Ejemplo 1.2.9. Si C = = ( x, y) : y = x , entonces C o = 0/ .
{
}
as simple de probar lo enunciado es por el absurdo. Es decir, suponemos que Demostraci´ Demostracion. ´ La manera m´as hay un punto interior y llegamos a una contradicci´on. Supongamos entonces que P C es es interior. Debe ser u n n´umero real a . Si P es interior, existe r > P = (a, a) para alg´un > 0 tal que B r (P) C . Nos guiamos por el dibujo siguiente
∈ ⊂
1.2 El espacio como n-uplas
21
y y = x
a
Q = (a + r 2 , a
−
r Q C . ) 2 , evidentemente
Q − P = se tiene Q
r 2
4
r ) 2
x
a
Si tomamos el punto Q = (a + r 2 , a
−
+
r 2
4
=
Sin embargo, como
√ r 2 < r
∈ B (P), y como supusimos que B (P) ⊂ C , se tiene Q ∈ C , una contradicci´on. on. r
r
En el otro extremo est´an an los abiertos, donde todos los puntos son interiores. Primero una aclaraci´on: el = /0, es abierto pues no hay puntos para verificar la condici´on. conjunt con junto o vac´ıo, C = on. Se tiene
Proposici´ Proposicion o´ n 1.2.10.
1. C o es un conjunto abierto de R n .
2. C o = C si y s´ solo ´ si C es abierto.
Demostraci´ Demostracion. = /0, C o = /0 con lo cual es abierto. Si es no vac´ıo, ıo, y tomamos ´ Veamos 1. Como dijimos, si C = o on de interior se tiene que existe r > P C , por definici´on > 0 tal que B r (P) C . Afirmo que todos los puntos de B r (P) son interiores, con lo cual en realidad B r (P) C o , lo l o que qu e probar´ pro bar´ıa ıa que C o es abierto. Para verlo tomemos Q B r (P); por el Lema 1.2.3 existe 1.2.3 existe una bola Bt (Q) B r (P). Como Br (P) C , tenemos Q Bt (Q) C , o sea Q es interior, como quer´ıamos ıamos ver.
∈
⊂
⊂
∈
⊂
⊂
⊂
∈
Ahora Ahora veamos veamos 2. Supong Supongamo amoss primer primero o que C o = C . Entonces Entonces por por 1. C es abierto. abierto. Supongamos Supongamos ahora que o C es C . Veamos que vale la otra inclusi´on. es abierto. Tenemos por definici´on on C on. Para ello tomamos P C , por ser C abierto abierto existe r > exactamente (releamos la definici´on) que > 0 tal que Br (P) C . Pero esto nos dice exactamente P es un punto interior, o sea P C o .
⊂
∈
⊂
∈
Calculo a´ lculo en Rn
22
Problema 1.2.11. Probar que C o se puede escribir como la uni´ union ´ de todos los conjuntos abiertos de C, es decir C o = U i , donde U i C es abierto en R n .
El interior interior C o de un conjunto es, en alg´un un sentido, el abierto m´as as grande contenido en C , seg´un nos ense˜na na el ejercio que dejamos para el lector.
1.2 1.2.4.
∪
⊂
L´ımites ımites en Rn
Vamos a generalizar la noci´on on de sucesi´on on de n´umeros reales a sucesiones de vectores.
{ }∈
Definici´ Definicion o´ n 1.2.12. Una sucesi on ´ Pk
k N de
puntos de Rn es una tira ordenada de vectores
P1 , P2 , P3 , Equivalentemente, es una funci´ funcion ´ P : N
··· ,P ,··· k
n
→R .
1. Tomemos Tomemos Pk = ( 1k , cos 1k ). Entonces Pk
{ }∈
Ejemplo 1.2.13.
2. Si ponemo ponemoss Qk = ( e−k , k 2 , 1k ) , entonces Qk
{ }∈
3. Si X j = e− j , 1 j sen (2 j), j12 , (1 + 1 j ) j
k N es
k N es
una sucesion ´ de R3 .
{ }∈
entonces X j j
una sucesi on ´ de R 2 .
j N es
una sucesion ´ de R 4 .
Observemos que como un vector P R n est´a determinado por sus n coordenadas (que son n´umeros umeros reales), entonces una sucesi´on on de Rn se puede pensar como una tira ordenada de n sucesiones de n´umeros umeros n reales, y al k -´ -´esimo esimo t ermino e´ rmino de la sucesi´on on (que es un vector de R ) lo anotamo ano tamoss as´ı
∈
Pk = (( Pk )1 , (Pk )2 ,
· · · , (P ) ) . k n
Es decir, usamos un par´entesis entesis y un sub´ındice ındice para pa ra se nalar n ˜ alar qu´e coordenada nos interesa. As´ı por ejemplo, si Pk es la sucesi´on on de R2 dada por Pk = ( 1 1/k , 2k ), se tiene (Pk )1 = 1
k
−
− 1/k y y (P ) = 2 . k 2
Ahora que sabemos qu´e es una sucesi´on, on, podemos dar la definici´on on de l´ımite ımite de sucesiones usando la norma (que nos provee de los entornos). ´ de R n , y P R n , decimos que Pk tiende a P si para todo Definici´ Definicion o´ n 1.2.14. Si Pk k ∈N es una sucesi on ε > 0 existe k 0 N tal que Pk P < ε para todo k k 0 ,
∈
{ }
y lo escribimos ll´´ım Pk = P o bien Pk k ∞
→
∈
− −→→∞ P. k
≥
