Cálculo vectorial(1)

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Cá lc ulo ve c tor ia l(1) - slide pdf.c om

Cálculo vectorial

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Unidad 1. Vectores y geometría en el espacio


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Sistema de coordenadas tridimensionales •

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Para localizar un punto en el espacio, se utilizan tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares Los forman un sistema coordenado diestro o de manoejes derecha Las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) de un punto P en el espacio son los valores en los cuales los planos que pasan por P , perpendiculares a los ejes, cortan los ejes Las coordenadas cartesianas del espacio también se llaman coordenadas rectangulares, porque los ejes que las defines se cortan en ángulos rectos


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Los planos determinados por los ejes coordinados son: plano xy, cuya ecuación estándar es z = 0 • • •

plano xz , cuya ecuación estándar el y = 0 plano yz , cuya ecuación estándar el x = 0 Estos planos se cortan en el origen (0 ,0 ,0) O origen también se identifica simplemente con la letra El Los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0 dividen al espacio en ocho celdas llamadas octantes El octante en el cual todas las octante coordenadas de un punto son positivas se llama primer No hay numeración convencional para los otros siete octantes


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Para las ecuaciones utilizaescribir la coordenada comúnde estos planos, se El plano x = 2 es el plano perpendicular al eje •

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x en x = 2 El plano y = 3 es el plano perpendicular al eje y en y = 3 z = 5 El plano es el plano perpendicular al eje z en z = 5


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Observaciones


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Distancia y esferas en el espacio

La distancia entre P 1( x1 , y1 , z 1) y P 2( x2 , y2 , z 2) es

La ecuación en forma estándar de la esfera de radio a y centro en ( x0 , y0 , z 0) es


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Vectores •

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Para describir una fuerza, se necesita registrar la dirección en la cuál actúa, así como la magnitud El desplazamiento de un cuerpo, presenta la dirección y que tan lejos se mueve Con la velocidad de un cuerpo, se debe conocer hacia donde se dirige, así como la rapidez con que viaja


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Las cantidades antes mencionadas se representan por medio de un segmento de recta dirigido La flecha apunta en la dirección de la acción y su longitud representa la magnitud de la acción en su unidad apropiada


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Si varios vectores presentan la misma longitud, son paralelas y apuntan en la misma dirección, sin importar su punto inicial, son iguales Esto es: A B = CD = OP = E F


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Sea v = PQ Existe un segmento de recta dirigido igual a PQ cuyo punto inicial es el origen Ésta es la representación de v en posición estándar y es el vector que normalmente se usa para representar v


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Se puede especificar a v escribiendo las coordenadas de su punto final (v1 ,v2 ,v3) cuando v está en posición estándar Si v es un vector en el plano, su punto final (v1 ,v2) tiene dos coordenadas


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Definición

Dados los puntos P ( x1 , y1 , z 1) y Q( x2 , y2 , z 2), el vector en posición estándar v = (v1 ,v2 ,v3) igual a PQ es v = {

–

x2


x1 ,

–

y2

y1 ,

–

z 2

z 1}

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Dos vectores son iguales si y sólo si sus vectores de posición estándar son idénticos De manera que (u ,u ,u ) y (v ,v ,v ) son 1 2 3 1 2 3 iguales si y sólo si u1 = v , y u = v u3 = v3 1 2 2


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La magnitud o longitud del vector v = PQ es el número positivo

El único vector con longitud 0 es el vector cero 0 = (0,0) o 0 = (0,0,0) Este vector es el único sin dirección específica


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Operaciones algebraicas con vectores Dos operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores son la suma de vectores y la multiplicación por un escalar escalar es simplemente un número real y se Un llama así cuando se quiere resaltar su diferencia en relación con los vectores Los escalares pueden ser positivos, negativos o cero y se usan para “escalar ” un vector multiplicado


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Sean u = {u1 ,u2 ,u3} y v = {v1 ,v2 ,v3} vectores y k un escalar Suma: u + v = {u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3} Multiplicación por escalar: k u = {k u1, k u2,k u3}

La suma de vectores se realiza sumando los componentes correspondientes de los vectores Se multiplica por un escalar haciendo el producto de cada componente por el escalar Se aplican exactamente en el plano {u1 ,u2} y {v1 ,v2}


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Ley del paralelogramo

Resultante Resultante

Interpretación geométrica


Ley del paralelogramo

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Múltiplos escalares de u

Si k > 0, entonces k u tiene la misma dirección que u Si k < 0, entonces la dirección de k u es opuesta a u


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Si se comparan las longitudes de u y k u, se observa que

La longitud de k u es igual al producto del valor absoluto del escalar k por la longitud de u


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La diferencia u – v de dos vectores está definida por u – v = u + (-v) Cá lc ulo ve c tor ia l(1) - slide pdf.c om

Si u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3}, entonces u – v = {u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3}


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Propiedades de las operaciones con vectores

Cuando tres o más vectores en el espacio se encuentran en el mismo plano, se le conoce como coplanares Por ejemplo, los vectores u,v y u + v siempre son coplanares


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Vectores unitarios Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario Los vectores unitarios estándar son i = {1,0,0}, j = {0,1,0} y k = {0,0,1} Cualquier vector v = {v1 ,v2 ,v3} se puede escribir como una combinación lineal de los vectores unitarios estándar de la siguiente manera v = {v1 ,v2 ,v3} = {v1,0,0} + {0,v2 ,0} + {0,0,v3} = v1{1,0,0} + v2{0,1,0} + v3{0,0,1} = v1i + v2 j + v3k


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Se le llama escalar (o número) v1 el componente en i del vector v, a v2 el componente en j y a v3 el componente en k La expresión en componentes del vector de P 1( x1 , y1 , z 1) a P 2( x2 , y2 , z 2) es P P = ( x2 – x1)i + ( y2 – y1) j + ( z 2 – z 1)k 1 2


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Punto medio de un segmento de recta


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Producto punto •

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Si se aplica una fuerza F a una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria, es importante conocer la magnitud de la fuerza en la dirección del movimiento Si v es paralelo a la recta tangente a la trayectoria en el punto donde se aplica F, se busca la magnitud de F en la dirección de v


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F en la dirección del vector v es la La magnitud de θla de fuerza longitud |F| cos la proyección de F sobre v


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Ángulo entre vectores u y v se colocan de manera que sus puntos Cuando vectoresforman no nulos Inicialesdos coincidan, un ángulo θ con medida 0 ≤ θ ≤ π

El ángulo entre dos vectores no nulos u = {u1 ,u2 ,u3} y v = {v1 ,v2 ,v3} está dado por


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Producto punto


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Producto cruz •

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Cuando se necesitaba describir cuánto se inclinaba una recta se utilizaba la pendiente y el ángulo de inclinación En el espacio se quiere describir la forma en que se inclina un plano Se consigue multiplicando dos vectores que se encuentran en el plano para obtener un tercer vector perpendicular a éste


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La inclinación plano de ”este vector indica la “inclinación del El producto que se usa para multiplicar los vectores es el producto vectorial o producto cruz Es el segundo método de multiplicación vectorial que se usa en cálculo


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El producto cruz de dos vectores

Sean u y v dos vectores en el espacio Si u y v no son paralelos, entonces determinan un plano Se selecciona un vector n perpendicular al plano mediante la regla de la mano derecha Entonces el producto cruz u × v es el vector que se define a continuación: u × v = (|u| |v| sen θ) n


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Producto u × v


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Obtención de componentes del producto cruz


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|u v | como área de un paralelogramo ×


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Triple producto escalar o producto caja

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El producto (u v) · w se llama triple producto escalar de u, v y w (en ese orden) Como se puede ver en la ecuación siguiente: |(u v) · w| = |u v| |w| |cos θ|, el valor absoluto del triple producto es el volumen de un paralelepípedo ×

×


×

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Rectas y planos en el espacio

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En el espacio, una recta está determinada por un punto y un vector que indica la dirección de la recta L es una recta que pasa por P 0( x0 , y0 , z 0) y que es paralela a un vector v = v1i + v2 j + v3k L es el conjunto de todos los puntos P ( x , y , z ) tales que P 0 P es paralelo v


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Por lo tanto, P 0 P = t v para algún parámetro escalar t El valor de t depende de la localización del punto P a lo largo de la recta, el dominio de t es (- ∞, ∞)


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La forma desarrollada de la ecuación P 0 P = t v es ( x – x0)i + ( y – y0) j + ( z – z 0)k = t (v1i + v2 j + v3k ) ó xi + y j + z k = x0i + y0 j + z 0k + t (v1i + v2 j + v3k )


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Distancia de un punto a una recta


Para obtener la distancia de un punto S a una recta que pasa por un punto P , paralela a un vector v, se determina el valor absoluto del componente escalar de PS en la dirección de un vector normal a la recta


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Ecuación para un plano en el espacio


Un plano en el espacio esta determinado por un punto en el plano y su “inclinación” u orientación Esta inclinación se define especificando un vector que es perpendicular o normal al plano Suponiendo que el plano M pasa por un punto P 0( x0 , y0 , z 0) y es normal al vector n = Ai + B j + C k Entonces M es el conjunto de todos los puntos P ( x , y , z ) para los cuales es ortogonal a n P P 0


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Por lo tanto, el producto punto n· P 0 P = 0 Esta ecuación es equivalente a ( Ai + B j + C k) · [( x – x0)i + ( y – y0) j + ( z – z 0)k ] = 0 O bien, A( x – x0) + B( y – y0) + C ( z – z 0) = 0


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Cilindros y superficies cuadráticas

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Un cilindro es un superficie que se genera por el movimiento de una recta paralela a una recta fija dada a lo largo de una curva plana dada


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Superficies cuadráticas


Una superficie cuadrática es a gráfica en el espacio de una ecuación de segundo grado en x, y y z Tiene por fórmula general Ax2 + By2 + C z2 + Dz = E Donde A, B, C , D y E son constantes


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Gráficas de superficies cuadráticas



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Problemas resueltos Cá lc ulo ve c tor ia l(1) - slide pdf.c om

Problema 1.


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Problema 2.

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Problema 3.

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Problema 4.

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Problema 5.

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Problema 6.

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Dos botes remolcadores están empujando un barco, como se muestra en la figura. Cada bote remolcador está ejerciendo una fuerza de 400 libras. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre el barco?


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Problema 7.

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Problema 8.


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Problema 9.

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Ó


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Problema 10.

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Problema 11.

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Problema 12

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Problema 13. Una cámara de televisión de 120 libras está colocada en un trípode, como se muestra en la figura. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trípode como un vector.

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Solución Sean los vectores F1, F2, y F3 las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de la figura, se puede determinar que las direcciones de F1, F2 y F3 son las siguientes:


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Problema 14.

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Problema 15.

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Problema 16. 5/28/2018



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Problema 17. 5/28/2018



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Problema 18. 5/28/2018



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Problema 19. Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30°, como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo por la rampa?

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Problema 20.


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Problema 21. 5/28/2018


Negativo de a)


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Problema 22. 5/28/2018



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Problema 23. 5/28/2018



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Problema 24. Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud unida a un eje en el punto P , como se muestra en la figura. Calcular el momento de esta fuerza respecto al punto P cuando θ = 60°

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Problema 25. 5/28/2018



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Problema 26. 5/28/2018



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Problema 27. 5/28/2018



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Problema 28. 5/28/2018



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Problema 29. 5/28/2018



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Problema 30. 5/28/2018



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Problema 31. 5/28/2018



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Problema 32.

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Problema 33.

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Problema 34.

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Problema 35.

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Problema 36.


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