Teoria Calculo Variacional

INTRODUCCION AL CALCULO VARIACIONAL M. Santander Departam Depar tament ento o de F´ısica ısi ca Te´ orica, Universidad de Valladolid Versión on 3. Origin Original al 1 Marzo Marzo 1998, 1998, basado basado en notas de M. Gadell Gadella. a. Revisi Revisi´ ón y adición on de la secci´ on on sobre superficies sup erficies m´ınimas 22 Febrero 2000. Revisión on y adición on del m´ etodo eto do heur´ heur´ıstico ıstico siguiendo siguiendo a Feynmann eynmann 13 Febrero 2001. Correccion Correcciones es de detalle detalle y erratas erratas 20 Febrero 2002, 27 Febrero 2002, 14 Febrero 2003

Problemas Problem as Variacionales ariacio nales en F´ısica El principio princi pio de m´ınima acci´ on. on. En Mec´ anica anica cl´ asica, asica, cuando cuando una part part´ıcula ıcula se muev muevee bajo la acci´ accion ´ de un V (x), el movimiento real es el dado por las ecuaciones de Newton, que potencial V ( expresan la aceleraci´ on on de la part´ part´ıcula en t´ erminos erminos de las fuerzas. fuerzas. Cuando las V (x), el movimiento real t x(t) satisface la fuerzas derivan de un potencial V ( ecuaci´ on on diferencial: d2 x(t) ∂V ((x(t)) ∂V m . = dt2 ∂ x

→

−

cuya soluci´ on determina el movimiento real que sigue una part´ on part´ıcula que en un instante inicial t1 sale del punto x1 , se mueve bajo la acci´ on on del potencial, y llega en un instante final t2 al punto x2 . Una pregunta interesante interesante es: ¿Podemos ¿Podemos singularizar el mov movimien imiento to real dado por las soluciones de esta ecuaci´ on, on, entre todos to dos los movimientos que la part´ part´ıcula podr´ıa ıa segui seg uir r , para ir desde el punto inicial x1 en el instante t1 al punto final x2 en el instante t2 ? La respuesta a esta pregunta es un principio b´ asico asico en F´ısica, ısica , que en Mec´ anica anica se denomina principio de Hamilton, Ha milton, o principio de m´ınima ınima acci´ ac ci´ on. Este principio caracteriza a los movimientos reales entre todos los movimientos imaginables que llevar´ llevar´ıan a la part´ıcula ıcula del estado estad o inicial inici al (posici´ (po sici´ on x1 en el instante t1 ) al estado final (posici´ on on x2 en el instante t2 ), ambos dados. La caracterizaci´ caracterizaci´ o n dada por el principio de Hamilton asocia una cantidad, on on a cada movimiento imaginable. La acci´ denominada acci´ on on es una cantidad de naturaleza bastante diferente a las cantidades que usualmente describen el estado de la part´ part´ıcula, como posici´ on on y/o velocidad. velocidad. A diferencia diferencia de ellas, ellas, la acci´ on no se asocia al estado, sino a la historia completa de la particula entre dos instantes x(t) con las inicial inicial y final. final. Para Para cada movimi movimien ento to ima imagina ginable, ble, descrito descrito por t on de ese movimiento se define como: condiciones x(t1 ) = x1 , x(t2 ) = x2 , la acci´

→

    −  t2

S [x(t)] =

t1

1 m 2

dx(t) dt

2

V ( V (x(t)) dt Typeset by

1

AMS -T -TEX

´lculo Variacional Ca

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2

ın ima a acci´ acc i´ on dice: entre todos los movimientos imaginaEl principio de m´ınim bles, la propiedad que distingue al movimiento real es que el valor de la acci´ on on S [x(t)] es menor para el movimiento real que para cualquier otro . ¿Cu´ al al es la relaci´ on entre este principio y la forma newtoniana de plantear las on ecuaciones del movimiento? Resulta que ambas maneras de describir el movimiento usqueda de son equivalent equivalentes. es. Para Para verlo, verlo, necesitamos abordar el problema problema de la b´ la funci´ on on x(t) con las condiciones requeridas, que minimice el valor de la acci´ on. on. No se trata de un problema problema ordinario ordinario de m´ınimo, ya que la acci´ on depende del movimiento como un todo, esto es, depende de la funci´ on x(t). Principio de Fermat. ´ rayos. Entre todos Seg´ un un la Optica Geom´ Geo m´ etrica, etrica, la luz l uz se propaga a lo largo de rayos. los rayos posibles que unen dos puntos dados, ¿cu´ al al es el escogido realmente por la luz? En la antig¨ uedad uedad cl´ asica asica se observ´ o que en ciertas circunstancias la luz viaja a lo largo del camino camin o geom´ ge ométricamente etrica mente más as corto co rto entre e ntre dos d os puntos p untos extremos extrem os A, B .

• Ejercicio Ejercicio 1.

Derivar Derivar la ley de igualdad igualdad de ´ angulos angulos de incidencia incidencia y reflexi´ reflexión o n para la luz propag´ propag´ andose andose en un medio homog´ eneo, eneo, a partir partir de la exigencia exigencia de que la longitud longitud del camino recorrido por la luz entre dos puntos dados A, B pasando por un espejo, es la m´ımima ımima posible. posible. (Comenta (Comentario: rio: en realidad, realidad, este problema puede resolver resolverse se sin hacer uso siquiera del cálculo alculo ordinario de máximos aximos y m´ınimos, siempre que admitamos que el camino de longitud m´ m´ınima entre dos puntos (sin condiciones adicionales) es la linea recta que les une; la idea que tiene multitud de aplicaciones inesperadas se denomina principio de reflexi´ on) on)

Pero Pero basta observar observar la propagaci´ propagaci´ on de la luz en una interfase entre aire y agua on (en un r´ıo), para concluir que la luz no siempre sigue el camino m´ as a s corto; el ejemplo m´ as evidente es la refracci´ as on, pero hay otros, como los espejismos. on, Se atribuye a Fermat el primer enunciado enunciado del principio principio general que la trayectotrayectoreal seguida por un rayo de luz entre dos puntos dados en un medio posiblemente ria real seguida invertido. Se trata de un inhomog´ inhom ogéneo eneo es aquella aquel la que hace m´ınimo el tiempo total invertido. enunciado notable, ya que cuando Fermat lo formul´ o, o, se comprend compre nd´´ıan a´ un un muy mal los elementos implicados en el proceso de propagaci´ on. Por ejemplo, el que la velocidad de la luz en un medio material es siempre menor que la velocidad de la luz en el vac´ vac´ıo s´ olo olo se decidi´ o experimentalmente en el S. XIX. Con la perspectiva perspectiva actual podemos p odemos traducir a ecuaciones el principio principio de Fermat as´ as´ı: La velocidad de la luz en el vac´ vac´ıo es constante c. En un me medio dio mater materia ial, l, su velocidad v es menor que c, y el cociente c/v es igual al ´ındice de refracci´ on on n del medio; para medios me dios no n o homog´ homo géneos, eneos , este ´ındice ındic e es una un a funci´ func i´ on de la posici´ on on n(x). Supongamos una trayectoria posible para un rayo luminoso en un medio inhomogéneo, eneo, en el que el ´ındice ındic e de refracci´ refracc i´ on depender´ a de la posici´ on. on. Tomando la coordenada z como par´ ametro a lo largo del rayo (cuya direcci´ ametro on on supondremos cercana al eje z ), podemos describir tal trayectoria como z (x(z ), y (z ), z ). La longitud del rayo entre los puntos de par´ ametro ametro z y z + dz es:

→

ds =



x (z )2 + y  (z )2 + 1 dz


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El tiempo requerido para viajar entre estos dos puntos est´ a dado por: dτ =

ds = v

ds c n(z ;x,y) x,y)

=

n(z ; x, y ) n(z ; x, y ) ds = c c



x (z )2 + y  (z )2 + 1 dz

y el tiempo total invertido en viajar desde un punto inicial (x (x1 , y1 , z1 ) hasta otro final (x (x2 , y2 , z2 ), a lo largo del rayo descrito por z (x(z ), y(z ), z ) (que debe satisfacer las condiciones x(z1 ) = x1 , y (z1 ) = y1 ; x(z2 ) = x2 , y(z2 ) = y2 ) es

→

1 T = c



z2



n(z ; x, y ) x (z )2 + y (z )2 + 1 dz

z1

As´ As´ı pues, pu es, el principio de Fermat reduce el problema de encontrar e ncontrar la trayectoria seguida por un rayo luminoso al problema de encontrar, entre todas las curvas z (x(z ), y (z ), z ) que unan los puntos dados (x (x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ), aquella para la l a cual cu al el valor de esta e sta integral sea m´ınimo. En el vac´ vac´ıo, o en cualquier medio que sea homogéneo, eneo, el indice de refracci´ on es constante, y no depende de la posici´ on. o n. En este este caso, caso, el princi principio pio de tiempo m´ınimo se reduce al principio de longi lo ngitu tud d m´ınim ın ima a , y las trayectorias seguidas por los rayos son, en el espacio espac io eucl´ıdeo, ıdeo, l´ıneas rectas. rectas .

→

• Ejercicio 2. Derivar Derivar la ley de Snell para la refracción on a partir del principio de Fermat.

(Comentario: (Comentario: en realidad, re alidad, el c´ alculo alculo ordinario de máximos aximos y m´ınimos es suficiente para discutir este caso, en el que separadamente para cada tramo situado en un medio homogeneo (aire o agua, digamos) el camino más r´ apido apido es tambien el m´ as as corto)

El problema de la braquist´ ocrona. ocrona. Sean dos puntos P y Q situados en el mismo plano vertical, P m´ as as alto que Q y no directamente sobre Q. Un punto material se mueve sin fricci´ on on entre P y Q a lo largo de una curva determinada que une P con Q, bajo la acci´ on on de la fuerza de la gravedad, que supondremos uniforme, y partiendo de P con velocidad inicial nula. nula. De entre todas las curvas curvas posibles posibles que unen P con Q, ¿sobre cu´ al al de ellas el tiempo tie mpo que tarda t arda la part´ part´ıcula en ir desde P hasta Q es el menor posible? Esta curva tiene un nombre especial: braquist´ ocrona. ocrona. Denotemos por z la altura, y por x la coordenada horizontal sobre el plano. z (x), que Cualquier curva que una P con Q estará descrita por una funci´ on on x deber´ a satisfacer las dos condiciones z (xP ) = zP , z (xQ ) = zQ . En el punto inicial, la energ ene rg´´ıa de la part par t´ıcula ıcu la vale E = mgzP . Cuando la part´ıcula ıcula se encuentra encue ntra en el punto punt o genérico eri co (x, z (x)) sobre la curva, su velocidad v (x) est´ a determinada por el principio de conservaci´ on on de la energ ene rg´´ıa

→

1 E = mgz P = mgz( mgz (x) + mv( mv (x)2 , 2 de donde resulta v (x) =



2g(zP

− z(x))


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El tiempo invertido en llegar desde el punto de coordenada x al punto de coordenada x + dx es: ds dt = = v (x)



ds

− z(x)) =

2g(zP

 

1 + z  (x)2

2g(zP

− z(x)) dx,

y el tiempo total invertido en llegar desde el punto P al punto Q a lo largo de la curva dada vale: xQ 1 + z  (x)2 1 T = dx zP z (x) 2g xP

   

−

¿Para qué curva este tiempo tiemp o toma el valor m´ınimo? ınimo ?

• Ejercicio 3. Escribir la expresión on an´ aloga para el tiempo invertido e llegar de P a Q si aloga se supone que la part´ part´ıcula comienza su ca´ ca´ıda con velocidad inicial no nula.

La catenaria. ¿C´ omo cuelga un hilo inextensible y flexible, de longitud total L, suspendido omo entre dos torres con separaci´ on on horizontal d, y alturas dadas, A y B ? Claramente, erg´ ´ıa potenci pote ncial al el principio que determina determina la forma de equilibrio equilibrio del hilo es que suen su energ sea la menor posible. posible. Cada Cada forma forma posibl posiblee del hilo hilo est´ est´ a descrita por una funci´ on on x z (x) que debe satisfacer las condiciones z (a) = A, z (b) = B (donde a, b son las coordenadas horizontales de las torres, d = b a, y adem´ as as otra condici´ on on importante, a saber, la longitud total del hilo debe ser L; esta condici´ on on se traduce en:

→

−

  b

L=

1 + z  (x)2 dx

a

Veamos ahora c´ omo se expresa omo expresa la energ´ energ´ıa potencial del hilo cuando su forma es la funci´ on on z (x). Suponiend Suponiendo o el hilo hilo de densidad densidad lineal lineal ρ constante, la masa del dx, y la elemento entre las coordenadas x y x+dx es ρ 1 + z  (x)2 dx, l a energ´ en erg´ıa ıa pote p otenci ncial al dx. As´ de ese elemento es z (x)gρ 1 + z  (x)2 dx. As´ı pues, la energ´ıa ıa potencia pot enciall total es:

    b

z (x) 1 + z  (x)2 dx.

E = ρg

a

La forma real será aquella curva que, satisfaciendo la condici´ on on adicional de tener longitud total L, haga ha ga m´ınima ınima la energ e nerg´´ıa potenc p otencial. ial. Conviene notar nota r que este problema es más as complicado que los anteriores, ya que interviene en él el una ligadura, o condicion condicion auxiliar. auxiliar. Los problemas proble mas isoperim´ isop erim´ etricos etricos cl´ asicos asicos A los problemas variacionales con ligaduras se les suele denominar problemas isope is operi rim´ métri et ricos cos.. Su proptotipo son los problemas cl´ asicos asico s de d e Dido (“te conceder´ conce deré tanto terreno cuanto puedas encerrar con la piel de este buey”), que fueron planteados y resueltos en la antiguedad cl´ asica. asica. Consid Considere eremos mos una curv curva cerrad cerradaa en el


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plano, de longitud total L. ¿Qué figura fi gura de d e la curva hace m´ axima axima el area a´rea encerrada por la curva? curva? O, inversamen inversamente, te, consideremos consideremos una curva curva cerrada de area ´ dada S . ¿Cu´ ando ando la longitud de la curva es m´ınima? En ambos casos la respuesta respuesta es un c´ırculo. En tres dimensiones, la superficie sup erficie cerrada de area a´rea dada que encierra encierra mayor volumen es la esfera, y la forma de volumen dado que tiene menor area a´rea superficial es tambi´ t ambi´ en en la esfera; estos resultados subyacen a la explicaci´ on de que la forma de la esfera se encuentre por doquier en la Naturaleza.

• Ejercicio 4.

¿Cual es el principio f´ısico que explica que, en ausencia de gravedad, una gota de un l´ıquido adopte forma esférica? erica?

• Ejercicio 5. Con argumentos elementales y directos, ver que la curva cerrada de longitud

dada 2L 2L que encierre un ´ area area m´ axima debe ser convexa, y que toda recta que divida la axima curva en dos arcos de igual longitud debe tambi´ también en dividir el área encerrada en dos partes de igual área. area.

En vista del resultado indicado en el ejercicio, podemos plantear formalmente el problema p roblema isoperim´ isop erim´ etrico etrico anterior buscando, entre las curvas que unan dos puntos p untos P , P , Q situados sobre el eje real (de coordenadas (a, (a, 0) y (b, (b, 0)), una curva y = y(x), tal que y (a) = y (b) = 0, que no corte en otros puntos intermedios al eje real (por ejemplo, imponiendo y(x) > 0 en todo el intervalo [a, [a, b]), y que tenga longitud total dada L. Esta ultima u ´ ltima condici´ on se expresa por la ecuaci´ on on on

   b

b

1 + (y ( y  )2 dx = L

ds =

a

a

y el problem problemaa a resolv resolver er es: entre entre todas las curvas curvas que satisf satisfagan agan esta condici´ condicion, ´ encuéntrese entrese aquella que maximiza el area a´rea comprendida entre ella y el eje real, es decir, la que proporcione un valor mayor para la integral



b

y(x) dx.

a

Recapitulaci´ on. on. En todos los casos, el problema propuesto se reduce a buscar, entre todas las f ( f (x) definidas en un intervalo [a, funciones f : x [a, b], y con condiciones del tipo f ( f (a) = A, f (b) = B (adem´ as as de otras condiciones condiciones de continuidad, continuidad, regularidad, etc. que se precisarán an a su tiempo), aquellas aquellas que minimizan minimizan o maximizan maximizan una expresion expresion del tipo

→



b

Φ(x, Φ(x, f (x), f  (x)) dx.

a

f ( f (x) debe satisfacer ciertas condiciones En algunos casos, la funci´ on on f : x adicionales, que pueden imaginarse como ligaduras; en todos los casos que hemos discutido las ligaduras est´ an an expresadas tambi´ en en por condiciones del tipo



→

b

a

Ξ(x, Ξ(x, f (x), f  (x)) dx = cte


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Derivaci´ on on ‘a la Feynm eynman ann’ n’ de las las ecua ecuaci cion ones es de Eule Eulerr-La La-grange para el principio de menor acci´ on on Imaginemos el caso más as sencill sencilloo de una part part´ıcula ıcula que se mueve ueve en una diV (x). Por ejemplo, un objeto mensi´ on on (coordenada posici´ on on x) bajo un potencial V ( que sube y baja verticalmente en el campo gravitatorio terrestre bajo la acci´ on on x(t) con las de la gravedad. gravedad. Para Para cada mov movimien imiento to imaginable, descrito descrito por p or t on de ese movimiento se define como: condiciones x(t1 ) = x1 , x(t2 ) = x2 , la acci´

→

    −  t2

S [x(t)] =

t1

1 m 2

dx( dx(t) dt

2

V ( V (x(t)) dt

ın ima a acci´ acc i´ on dice: entre El principio de m´ınim entre todos to dos los movimientos movimientos imaginables, imaginables, la propiedad que distingue al movimiento real es que el valor de la acci´ on on S [x(t)] es menor para el movimiento movimiento real que para cualquier otro. Antes mencionamos mencionamos que aunque no lo parezca, esta manera de singularizar el movimiento real entre todos los posibles es equivalente a las leyes le yes de Newton, que en e n este e ste caso ser´ ser´ıan d2 x(t) ∂V ((x(t)) ∂V m . = dt2 ∂x Vamos ahora a presentar presentar un argumento argumento heur´ heur´ıstico, siguiendo siguiendo a Feynmann, eynmann, para convencer al lector de que el movimiento que minimice la acci´ on debe satisfacer las ecuaciones ecuaciones de Newton. Newton. Comenza Comenzamos mos con una situaci´ situaci´ on familiar que debe ser bien conocida; la b´ usqueda usqueda de m´ınimos ınimos de funciones de varias variables. Sea una F ( F (x) de varias variables x = (x1 , x2 , . . . , xi , . . . ), supuesta continua función on x y con derivadas derivadas continuas. continuas. Queremos Queremos encontrar un punto x0 en el cual se verifique

−

→

F ( F (x) > F ( F (x0 ) para cualquier cualquier x cercano a x0 . Una condicion necesaria es que todas las derivadas parciales de F se anulen en x0 ; imaginemos que no lo supieramos y veamos cómo omo podr pod r´ıamos obtener tal condicion partiendo s´ olo del conocimiento m´ as as b´ asico asico de la df variable, a saber dx condición on de m´ınimo ıni mo para par a funciones de una variable, = 0. x ¿C´ omo omo podr p odr´´ıamos aprovecha aprovecharr tal conocimiento? conocimiento? La idea b´ asica, a sica, que en los apartados siguientes trasladaremos al caso de minimizar la acci´ on, on, es: Supongamos que realmente el punto x0 es un m´ınimo ıni mo de F cuando x var´ var´ıa en las la s cerc ce rcan´ an´ıas ıa s de 0 0 x . Entonce Ento ncess tambi´ t ambién en x es un m´ınimo ıni mo de F cuando x var´ var´ıa solo o´lo a lo largo de la 0 recta : xi = xi + hi , donde los hi son arbitrarios. La restricci´ on on de F a la recta  nos da una funci´ on on de una sola variable :



0

f h () := F ( F (x0 + h) que debe deb e tener t ener un m´ınimo en  = 0. La condici´ on para ello es que la derivada on se anule en  = 0. La derivada se calcula mediante la regla de la cadena: df h ∂ F ∂F h1 + h2 + . . . = d ∂x 1 ∂x 2

df h d


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de manera que la condici´ on on de m´ınimo ıni mo es: df h 0= d



=0

∂F = ∂x 1



x0

∂F h1 + ∂x 2



h2 + . . .

x0

arbitrario, basta con tomar sucesiComo esta condici´ on on debe satisfacerse para h arbitrario, vamente h = (0, (0, 0, . . . , hi = 1, 0, . . . , 0) con i = 1, 2, . . . para obtener ∂F xi x = 0. Naturalmente desde el momento en que todas las derivadas parciales se anulan en x0 , entonces es claro que la ecuaci´ on anterior se verifica para h arbitrario. on As´ As´ı lo que hemos (re)encontrado es una condici´ on necesaria para que una funci´ on on 0 de varias variables tenga un m´ınimo en x : todas las derivadas derivadas parciale parcialess deben anularse en ese punto. Repitamos el mismo proceso con la acci´ on. Para evitar complicaciones inesenon. ciales supondremos el movimiento en una dimensi´ on on (esto es la funci´ on on inc´ ognita ognita x(t) es una funci´ x0 (t) dado on de una variable) y buscamos un movimiento t on por una funci´ on continua, con derivada continua que lleve de xa en el instante ta on a xb en el instante tb y tal que para cualquier otro movimiento cercano se verifique



0

→

    −  tb

S [x(t)] > S [x0 (t)], )],

S [x(t)] =

dx( dx(t) dt

1 m 2

ta

2

V ( V (x(t)) dt

La idea es construir construir una familia uniparam´ etrica etrica de mov movimien imientos tos cercanos cercanos a x0 (t), en la cual cada mov movimien imiento to est´ e etiquetado etiquetado por un s´ olo par´ ametro ametro , imitando a la expresi´ on usada para funciones de varias variables; esto se consigue on definiendo: x(t) = x0 (t) + h( h(t) donde h(t) debe ser una funci´ on on fijada, fijada, suficien suficientem temen ente te regular regular (conti (continu nua, a, con derivada continua) satisfaciendo las condiciones h(ta ) = 0, h(tb ) = 0. Ahora Ahora resrestringimos la acci´ on a los movimientos de esta familia unidimensional, obteniendo on on que depende de una sola variable : una funci´ S h(t) () := S [x0 (t) + h( h(t)] y que debe tener un m´ınimo en  = 0, lo que implica: 0=

dsh(t) d



=0

=

d d

   tb

ta

1 m 2

d(x0 (t) + h( h(t)) dt

−



2

V ( V (x0 (t) + h( h(t)) dt

 

=0

Efectuando la derivaci´ on on con respecto a  y evaluando en  = 0 lo que se encuentra es tb dx0 (t) dh( dh(t) dV m h(t) dt 0= dt dt dx ta x (t)

 

−



0




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idea clave es realiza Ahora la idea realizarr una integ integrac raci´ i´ on por partes para transformar el on dh( dh(t) término ermino que involucra la derivada dt de h(t) en un término ermino que involucre directamente a h(t), y otro que desaparece por las condiciones de frontera. En efecto, efectuando el cambio estandar u = m dxdt(t) , v = h(t) en el primer término ermino de la integral, resulta: 0



tb

ta

 −

dx0 (t) dh( dh(t) dx0 (t) m dt = m h(t) dt dt dt

tb

ta

tb

d2 x0 (t) m h(t)dt = dt2

ta

 −

tb

ta

d2 x0 (t) m h(t)dt dt2

y en consecuencia la condici´ on on de que la funci´ on on sh(t) () teng t enga a un u n m´ınimo ıni mo en  = 0 es: tb d2 x0 (t) dV m h(t) = 0. + 2 dt dx ta x (t)

 

  0

Esta condici´ on on debe satisfacerse para todo h(t) con las condiciones de contorno adecuadas, lo que s´ olo puede ocurrir si la parte entre llaves del integrando se anula olo id´ enticamen enticamente. te. Demostrar Demostrar esto con rigor requiere cierto cuidado —lo haremos haremos después—, es—, pero podemos pod emos de todas maneras ver que si el término ermino entre llaves del integrando integrando fuera diferente diferente de 0 en un cierto instante, entonces entonces podr´ podr´ıamos tomar una funci´ on on h(t) que fuera diferente de 0 s´ o lo en un entorno muy peque˜ olo no n o de dicho dicho instan instante, te, lo que llev llevar´ ar´ıa a un valor no nulo nulo para para la integr integral; al; com comoo esto esto no debe ocurrir, parece claro que el t´ ermino ermino entre llaves llaves debe anularse anularse siempre. siempre. Aunque este argumento sea poco riguroso, la conclusi´ on a se llega es correcta: de la exigencia de anulaci´ on de la integral anterior para todo h(t) se concluye una on condición on necesaria de m´ınimo para el funcional de acci´ on, que es que se verifique on, on de Euler-Lagrange del problema variacional : la llamada ecuaci´ d2 x0 (t) dV m + dt2 dx



= 0,

x0 (t)

que por supuesto supuesto es simplemen simplemente te la ecuaci´ on de Newton que gobierna el mov movimienimienV (x). As´ to de la part´ part´ıcula en el campo de potencial V ( As´ı pues, p ues, matemáticamente aticamente la descripción on a través es del principio princ ipio de m´ınima acci´ on on y a trav´ es es de las ecuaciones de Newton son equivalentes.

Introducci´ on on a las Matem´ aticas atic as del C´ alculo alcu lo Variacio aria cional nal Ejemplos Ejemplo s como el princip pr incipio io de d e m´ m´ınima acci´ on, el principio de Fermat, y probleon, mas como la determinaci´ on de la forma de equilibrio de un hilo flexible e inextenon sible o la determinaci´ on de la curva que encierra un area on área m´ axima axi ma con per pe r´ımetro ıme tro dado, muestran la necesidad de considerar, junto con las funciones de varias varion de un determinado ables, un tipo m´ as general de aplicaciones, que a cada funci´ as conjunto de funciones le asocian un n´ umer umeroo real. real. Desd Desdee un punto punto de vist vistaa forformal, se trata simplemente de aplicaciones de ciertos conjuntos de funciones en


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la recta real R, y por tanto encajan dentro de la definici´ on on general de funci´ on, on, como aplicaci´ aplicacion oń entre conjuntos. Pero es tradicional y resulta conveniente usar en estos casos el nombre de funcional , para enfatizar aquellos aspectos en los que el c´ alculo con funciones de varias variables difiera del c´ alculo alculo con este nuevo tipo de alculo “funciones” definidas en espacios de funciones cuya dimensi´ on on es infinita. La idea de diferenciabilidad para funcionales puede desarrollarse de manera semejante a c´ omo se hace para funciones de varias variables en el caso de que el omo espacio de funciones en el que el funcional est´ a definido tenga estructura estructura de espacio de Banach (espacio vectorial, en general de dimensi´ on infinita, normado y comon pleto). Afortunadamente, en muchos de los casos de inter´ es es en F´ısica, incluyendo todos los ejemplos presentados m´ as arriba, se da tal circunstancia. Supondremos as en lo sucesivo que los funcionales que vamos a considerar est´ an a n definidos en un espacio de Banach. [Recordemos que un espacio de Banach es un espacio vectorial V , V , a cuyos elementos f V se les puede dotar de una norma f , que satisface ciertas condiciones que son familiares en el ejemplo de la norma natural del espacio Rn : Para todo elemento f , f , f es un n´ umero real positivo, nulo s´ umero olo olo cuando f = 0, con la propiedad de homogeneidad λf = λ f y satisfaciendo la desigualdad triangular. triangular. Con la topolog´ topolog´ıa asociada a esa norma el espacio es completo, es deV . Es import cir, toda sucesi´ on on de Cauchy Cauchy tiene l´ımite en el espacio V . importan ante te tener tener presente que en cuanto se consideran situaciones en donde intervienen espacios de dimensi´ on infinita, los problemas asociados con los dominios de definici´ on on o n no pueden dejarse de lado].

∈





  | | 

Definici´ on. on. Sea V un cierto conjunto de funciones, que supondremos con estructura de espacio de Banach de dimensi´ on infinita sobre los reales. on R, que a cada funci´ Un funcional real es una aplicaci´ on on : ( ) funci´ on on f del dominio ( ) le asocia un valor real. V , en el que (f ) f ) El dominio de , ( ) es un cierto subconjunto del espacio V , est´ a definido. lineal si para cada par de funciones f, g Diremos que es un funcional lineal si ( ), ), µg ) = λ (f ) f ) + µ (g); λ, µ R. se verifica (λf + µg)

F D F F D F F F F

F D F →

F

∀

F ∈ D F

∈

Un ejemplo importante de funcional Sea C 1 [a, b] el espacio de las funciones continuas de [a, [a, b] en R que admitan 1 derivada primera continua en todo el intervalo [a, [a, b]. C [a, b] admite la estructura de espacio de Banach cuando le dotamos de la norma definida por:

||f || =

f (x) + sup f  (x) . sup f ( x∈[a,b] a,b]

|

|

x∈[a,b] a,b]

|

|

(1)

oximas cuando En la topolog´ topolog´ıa inducida por p or esta norma, dos funciones funciones son pr´ en todo el intervalo [a, [a, b], tanto las funciones como sus derivadas toman valores próximos oximos;; la distancia entre entre dos funcione funcioness f, g se define como la norma de la diferencia f g .

−


2002/2003

10

Esta norma se encuadra dentro de una familia de normas no equivalentes que pueden definir definirse se en el espaci espacio o de funcio funciones nes contin continuas uas y con deriv derivada adass parcia parciales les contin continuas uas de cualquier orden, C ∞ [a, b]. Se define la norma de orden k, k = 0, 1, 2, . . . , mediante

f k = sup



sup

x∈[a,b]

|f ( f (x)|,

sup x∈[a,b]



|f (x)|, . . .

sup x∈[a,b]



dk f ( f (x) dxk



La norma f k est´ a definida en el espacio C k [a, b] de funciones continuas y con derivadas continuas hasta el orden k. La norma dada en (1) es equivalen equivalente te a la de esta familia familia con k = 1. La proxim proximida idad d entre entre dos funcio funciones nes f, g asociada a la norma f k se denomina proximi proximidad dad de orden orden k, y significa que en el intervalo [ a, b] tanto los valores de las dos funciones como los valores de todas sus derivadas hasta el orden k son pr´ oximos. oximos. Es claro que dos funciones próximas oximas de orden dado lo son tambien para todos los órdenes menores, pero no rec´ıprocamente. ıproc amente.





Vamos ahora a introducir un funcional de un tipo particular, que ha sido sugerido por los ejemplos presentados en la introducci´ on. A este tipo de funcionales on. se referir´ referir´ a la mayor parte de los resultados concretos expuestos m´ as as adelante. adelante. Comenzamos por definir su dominio, es decir, el conjunto sobre el que el funcional est´ a definido: f (a) = A; f ( f (b) = B ( ) = f C 1 [a, b] / f ( (2)

F

D F { ∈

}

donde A, B son constantes fijas. Consideremos a continuaci´ on on una funci´ on on de R3 a R que denotaremos como Φ(x,y,z Φ(x,y,z). ). Supondremos que esta funci´ on on es continua y admite derivadas derivadas parciales continuas continuas de primer orden. Es por lo tanto una funci´ on 3 1 3 C (R ). La de clase uno en R , propiedad que denotaremos como Φ(x,y,z Φ(x,y,z)) forma expl´ıcita ıcita del funcional funci onal est´ a dada por:

∈

F



b

f ) = F (f )

Φ(x, Φ(x, f (x), f  (x)) dx,

a

∀f ∈ D(F ),

(3)

f (x). La integr donde f  (x) indica la derivada de la funci´ on on f ( integral al est´ a bien definida f ( ), ), pues el integrando es una funci´ on on continua de x en el intervalo compacto [a, [a, b], y por lo tanto la correspondiente integral de Riemann siempre existe. N´ otese otese que pueden existir existir funcion funcionales ales de muchos uchos otros otros tipos. tipos. Por Por ejemplo, ejemplo, el funcional podr po dr´´ıa estar dado por una expresi´ on en donde la funci´ on on f no aparezca f ) = f ( f (c), donde c es un punto dado del bajo una integral (ejemplo, el funcional (f ) intervalo [a, [a, b]; tales funcionales aparecen en relaci´ on on con c on la l a teor te or´´ıa de d e distribu di stribucione cioness y la delta delta de Dirac) Dirac) o bien podr p odr´´ıa estar estar dado por una integr integral al cuyo cuyo integr integrando ando dependiera de la derivada segunda o incluso de derivadas de ordenes ´ superiores de f . A lo largo de estas notas, aunque daremos las definiciones la funci´ on on f . definiciones en la forma general, nos restringiremos a la consideraci´ on de funcionales como el definido en on (2)-(3) f (a) = 0 En general ( ) no es un subespacio vectorial de C 1 [a, b], salvo que f ( f (b) = 0. Sin embargo y f ( embargo,, el dominio dominio ( ) est´ a asociado muy directamente a un 1 cierto subespacio vectorial de C [a, b]: = h C 1 [a, b] / h(a) = h(b) = 0 .

∀ ∈ D F

F

D F

M

D F M { ∈

}


2002/2003

11

Es claro que s´ı que es es un subespacio sub espacio vectorial. Todo entorno de f en ( ) es de la forma h + U donde U es un entorno de 0 en . El subespacio lineal es denso en C 1 [a, b]; an´ alogamente, alogamente, el dominio ( ) es denso en C 1 [a, b].

M

D F

D F M

M

Diferenciabilidad de Funcionales Comencemos recordando la definici´ on de diferenciabilidad para funciones reales on R es diferenciable en el punto de varias varias variables variables.. Se dice que una funci´ on on f : Rn x = (x1 , x2 , . . . , xn ) si existe una funci´ R tal que en on on lineal denotada df x : Rn un cierto entorno de x se tenga

→

f ( f (x + h)

→

− f ( f (x) = df (h) + (x, h)h, donde (x, h) → 0 cuando h = h21 + h22 + · · · + h22 → 0. Geométricamente, etrica mente, supuest supuestoo el punto punto x fijo, fijo, la func funci´ i´ on on af´ af´ın dada en un cierto cierto entor entorno no de x por x + h → f ( f (x) + df (h) es la aplicaci´ f (x), on on tangente a la funci´ on on f en el punto f ( x



x

f (x)). En y su gráfica afica es el hiperplano tangente a la gr´ afica afica de f en el punto (x, f ( cualquier texto de An´ alisis alisis Matem´ atico pueden encontrarse las demostraciones de atico las siguientes siguientes propiedades propiedades importantes: importantes:

• Si f es diferenciable en x, entonces df es unica. u ´ nica. • Si la función on f tiene un m´ınimo en el punto x (o un m´ aximo, aximo, o en general x

•

un valor estacionario), entonces en el punto x la diferencial df x (h) se anula, df x (h) = 0. La expresi´ on on expl´ expl´ıcita de la diferencial difere ncial df x es: ∂f df x (h) = ∂x 1



∂f h1 + ∂ x2 x



x

h2 +

···

∂f + ∂x n



hn , x

es decir, df x es una funci´ on on lineal de h = (h1 , h2 , . . . , hn ) cuyos coeficientes son las derivadas derivadas parciales parciales de f en el punto x. En particular, esta relaci´ on on implica que si x es un m´ınimo de la funci´ on on f (o en general un punto estacionario de f ), f ), todas las derivadas parciales de f en el punto x se anulan. Los puntos en los que la diferencial de la funci´ on on diferenciable f se anula se pu ntos os cr´ıticos ıt icos de la funci´ f . Para funciones de una variable los pundenominan punt on on f . tos cr´ cr´ıticos aislados son, bien m´ aximos aximos relativos estrictos, bien m´ınimos relativos estrictos, bien puntos de inflexi´ on con tangente horizontal. Para funciones de dos on variables variables puede haber puntos cr´ cr´ıticos aislados (bien m´ aximos relativos estrictos, m´ınimos ınimo s relativos relati vos estrictos estric tos o puntos de ensilladur ensil ladura), a), o l´ıneas cr´ cr´ıticas, ıtica s, formadas formad as por puntos cr´ cr´ıticos no aislados (t´ (t´ıpicamente, cuando la funci´ on presenta un comportamiento tipo ba˜ nera, nera, con una l´ınea de m´ınimos ınimo s relativos relati vos no estrictos). estric tos). Pasemos ahora a dar las definiciones pertinentes para funcionales: Definici´ on. on. Diremos que un funcional en ( ) es continuo en f ( ) si  > 0, δ > 0 tal que si g ( ) con la condici´ on on que f g < δ , entonces

∀

∃

∈ D F

F D F

 − 

∈ D F


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|F (f ) f ) − F (g)| < .

Equiv Equivalen alentem temen ente te si limg→f (g ) = continuo si lo es en todos los elementos de ( ). ).

D F

F

12

F (f ). f ).

Un funci funciona onall es

La idea de continuidad de un funcional hace referencia a la norma f del espacio de funciones. funciones. En estas notas siempre siempre nos referiremos referiremos a la norma norma (1), pero conviene conviene tener este hecho presente, ya que un determinado funcional podr´ıa ıa ser continuo continuo para ciertas normas y no continuo para otras.



Definici´ on. on. Diremos que un funcional es diferenciable en la funci´ on on f R tal que en un cierto ( ) si existe un funcional lineal denotado δ f f : entorno de f en ( ) (asociado a un cierto entorno de 0 en ) se tenga:

F F M →

D F

∈

D F M f ) = δF f F (f + h) − F (f ) f (h) + E (f, h) h donde E (f, h) → 0 cuando h → 0.

Aqu´ Aqu´ı la l a norma de la funci´ funcion oń h hace referencia a la norma del espacio de Banach de funciones. Geométricamente, etricamente, podemos po demos imaginar el funcional lineal af´ af´ın dado f + h f ) + δ f en un cierto entorno de la funci´ on on f por f + (f ) f (h) como el funcional tangente al funcional f . El funci R se en la funci´ on on f . funcion onal al linea lineall δ f f : on primera del funcional f ; el uso de un término denomina variaci´ funcional en la funci´ on on f ; ermino espec´ espec´ıfico pretende preten de que el lengua je transmita que estamos discutiendo funcionales y no funciones de varias variables.

→ F

F

F

F

F M →

Extremales de funcionales Para funciones de varias variables, los puntos p untos cr´ cr´ıticos incluyen aquellos en los que la funci´ on on alcanza bien un m´ aximo aximo o bien un m´ m´ınimo relativo. rela tivo. La idea an´ aloga on extremal de extremal de un para funcionales es la de funci´ u n funcion fu ncional, al, que también en se denominan puntos cr c r´ıticos ıtico s o funcion fu nciones es cr´ıticas ıtica s del funcional. funci onal. Las extremal ex tremales es m´ as simples simples son los m´ aximos aximos y m´ınimos, cuyas definiciones son evidentes: Definici´ on. on. Diremo Diremoss que el funcion funcional al tiene un m´ınimo absoluto en la f ). Difunción on f ( ) si para cualquier funci´ on on g ( ) se verifica (g) > (f ). remos que el funcional tiene un m´ınimo relativo en e n la funci´ on on f ( ) si para f ). cualquier cualquier funci´ on on g ( ) en un cierto entorno de f se verifica (g ) > (f ).

∈ D F

F ∈ D F

F ∈ D F

F F ∈ D F F F

Las definiciones de m´ aximo absoluto y relativo son an´ aximo alogas. No vamos a entrar alogas. en las modificaciones modificaciones para distinguir distinguir entre entre m´ınimos estrictos estrictos (<) o no estrictos ( ) que son completamente an´ alogas a las pertinentes para funciones de varias alogas variables. Ahora podemos investigar los an´ alogos de los tres resultados b´ alogos asicos asicos enunciados antes antes para para funcione funcioness de varias arias variable ariables. s. Vamo amoss a enuncia enunciarle rless primero primero,, y luego luego pasaremos pasare mos a su demostraci´ demost ración. on. f , la variaci´ Si el funcional es diferenciable en la funci´ on on f , on on primera δ f f (h) es unica. u ´ nica. Si el funcional tiene un m´ınimo (o un m´ aximo) relativo estricto en la funci´ aximo) on on f , f , entonces la variaci´ on on primera δ f funcional en la funci´ on on f se anula f (h) del funcional idéntic ent icam ament ente, e, δ f f (h) = 0.

≤ • •

F F F

F

F

F


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13

• Para el funcional dado en (2-3), la expresión on expl´ıcita ıcita de la variaci´ on on primera δF f f (h) es el funcional lineal :

  b

δ

F f f (h) =

a

∂ Φ ∂ f

−



d ∂ Φ dx ∂f 

h(x) dx,

Conviene notar que el papel de las n derivadas parciales de la funci´ on on F evaluadas en el punto x que aparec apare c´ıan en la expresi´ expres i´ on de la diferencial de una funci´ on on on ∂ Φ d ∂ Φ F , lo juega para este funcional la funci´ de varias variables F , on on ∂f dx ∂f de la variable x. Esta analog´ an alog´ıa ıa motiva mot iva la introducci intro ducci´ on ´ de la idea de derivada variacional del funcional , que para el caso que nos ocupa se define mediante:

−



F

δ ∂ Φ := δf ∂f

F

∂ Φ − dxd ∂f



expresión on que permite escribir la variaci´ on on primera en la forma:

 F b

δ

F f f (h) =

a

δ h(x) dx. δf

En el resto de estas notas no usaremos usaremos expl´ expl´ıcitamente ıcitamente la idea de derivada derivada variaδF cional, pero conviene tener te ner presente que el s´ımbolo δf ( δf (t) , es en nuestro problema f ) el m´ variacional para el funcional (f ) as as cercano “an´ alogo” de la derivada parcial alogo” ∂f f (x). ordinaria ∂xn para una funci´ on on de varias variables f (

F

La expresi´ on on para la variaci´ on primera del funcional tipo (2)-(3) implica que on si en la función on f el funcional tiene un m´ınimo o un m´ aximo entonces debe satisfacerse la ecuaci´ on llamada de Euler-Lagrange: on ∂ Φ ∂f

∂ Φ − dxd ∂f =0 

Pasemos a indicar las demostraciones de estos resultados. Teorema. Si el funcional f , ento es diferenciable en la funci´ on on f , entonce ncess la variación on primera δ f u ´ nica. f (h) es unica.

F

F

La demostraci´ on on de este teorema resulta más as clara usando un lema previo. Lema. Sea ϕ un funciona funcionall linea lineall en un espaci espacio o de Banach Banach real. real. Si se verifi verifica ca la ϕ(h) 0, entonces ϕ(h) = 0, h. propiedad h 0 cuando h La idea en este lema es que cuando h 0, cualquier cualquier funcional funcional lineal tiende a 0 linealmente con la norma de h. Por tanto, la única unica posibilidad de que un funcional lineal tienda a 0 más a s r´ apidamente que la norma de h es que el funcional sea id´ apidamente enticamente enticamente nulo. nulo. La prueba prueba forma formall procede procede por reducci reducci´ ´ on on al absurdo. absurdo. Suponga Supongamo moss que ϕ es un funcional no id´ enticamente enticamente nulo que satisface la condición. on. Entonces existe una funci´ on on h0 no nula h0 = 0 tal que ϕ(h0 ) = 0. Consideremos ahora la sucesión on de funciones hn = n , h0 1 que tiende a la función on cero cero cuando cuando n , ya que n 0 = n h0 0. Por

→



→



→

→∞

∀

 − 

 →

´lculo Variacional Ca hip´ otesis, otesis, la sucesión on ϕ(hn ) hn 

1

=

n

ϕ(h0 )

1

hn  n

=

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ϕ(hn ) hn 

ϕ(h0 ) h0 

→ 0.

14

Pero Pero por otr otro o lado, lado, supues supuesta ta lineal linealida idad, d, se tiene tiene que

= 0. As´ As´ı pues, vemos que la sucesión on



y por tanto no puede tender a 0 cuando n que ϕ(h) = 0, h.

∀

→ ∞.

ϕ(hn ) hn 

no depende de n,

en contra contra de la hip´ hip´ otesis. otesis. Ello implica implica

Prueba Pru eba del Teorema eorema. Suponga Supongamos mos que es diferenciable en f y que la correspondiente variaci´ variaci´ on on primera no es ´ unica. unica. Si es as´ as´ı, habrá por lo menos dos variaciones primeras, que denotaremos como ϕ1 y ϕ2 . Se tendr´ a: a:

F

F (f + h) − F (f ) f ) = ϕ1 (h) + 1 (h, f ) f ) h = ϕ2 (h) + 2 (h, f ) f ) h En la primera de las fórmulas h ∈ U  , mientras que en la segunda h ∈ U  siendo U  y U  sendos entornos de 0 en M. Amba Ambass son son v´ alidas alidas en un entorno U = U  ∩ U  . De esta manera si h ∈ V , V , el funcional lineal ( ϕ1 − ϕ2 )(h )(h) vale ϕ1 (h) − ϕ2 (h) = (2 − 1 ) h, que verifica la condici´ on on del lema anterior y por tanto debe ser idénticamente enticamente nulo. Esto demuestra el teorema.

Teorema. Sea un funcion funcional al difere diferencia nciable. ble. Una condici´ condici´ on necesaria para que tenga un m´ aximo aximo o un m´ınimo relativo relati vo en e n f ( ) es que δ f f = 0, es decir, que la variaci´ on on primera de en f se anule.

F

∈ D F

F

F

Vamos a probar el teorema para el caso de que tenga ten ga un m´ınimo en f . f . Si f fuere un m´ aximo, aximo, la demostración on ser se r´ıa an´ an ´ aloga. aloga. Como es diferenciable, lo es en particular en f . f . De esta manera, existe existe un funcional funcional lineal ϕ en y un entorno de cero U en , tal que h U se tiene que:

F

F M

M

∀ ∈

F (f + h) − F (f ) f ) = ϕ(h) + (h, f ) f )h Escojamos h0 ∈ M arbitrario en M. Para Para λ suficientemente peque˜ no no en valor abso-

luto, h = λh0 est´ a en el entorno U , U , y a ´ el el se le puede aplicar la condici´ on on de diferenciabilidad (f + λh0 ) (f ) f ) = δ f f (λh0 ) + (f,λh0 ) λh0

F

− F

F

E   Dividamos ambos miembros por la norma de h, h = λh0  = |λ|h0 , y notemos que la variaci´ on on primera es lineal , y por tanto δ F f As´ı se obtiene que para λ f (λh0 ) = λ δ F f f (h0 ). As´ suficientemente peque˜ no, no,

λ δ f f (h0 ) + (f,λh0 ) = λ h0

F ||  

E

F (f + λh0 ) − F (f ) f ) |λ|h0 

Por otro lado, en la hipótesis otesis de que f es un m´ınimo ınimo del funcional, funcional, se tiene que para todo λ, (f + λh0 ) (f ) f ) > 0. As´ As´ı pues, para cualquier c ualquier λ = 0, el valor del segundo miembro es siempre positivo, independientemente del signo de λ. Distingam Distingamos os ahora las dos posibilidades en las que λ 0 manteniendos manteniendosee bien positivo positivo o bien negativo. negativo. En la primera, se tiene que

F

− F



→

δ

F f f (h0 ) + E (f,λh0 ) ≥ 0 cuando λ > 0, suficientemente pequeño no h0 

mientras que en la segunda lo que resulta es

− δF f fh (h0 ) + E (f,λh0 ) ≥ 0 cuando λ < 0, suficientemente pequeño no 0


2002/2003

15

Tomando ahora ahor a los l´ımites ımit es λ

→ 0+, λ → 0− y recordando que E (f,λh0 ) → 0 cuando λ → δ F (h ) δF (h ) 0, se encuentra respectivamente que h  ≥ 0 y h  ≤ 0. Estas dos dos condiciones condiciones 0

f

solamente ser´ an an compatibles si , como quer´ıamos ıamos demostrar. demostrar .

δF f (h0 ) h0 

0

f

0

0

= 0. As´ As´ı pues la primera variación on se anula en

M

Variaci´ on on primera y ecuaci´ on de Euler-Lagrange on Vamos ahora a calcular la variaci´ on primera del funcional del tipo importante on que hemos presen presentado tado en (3). Se trata del funciona funcionall definido definido en C 1 [a, b], espacio de funciones continuas de [a, [a, b] en R que admitan derivada primera continua en todo el intervalo [a, [a, b], con dominio y definici´ on on siguientes: siguientes:



b

1

f (a) = A; f ( f (b) = B }, D(F ) = {f ∈ C [a, b] / f (

f ) = F (f )

donde A, B son constantes fijas y la funci´ on on Φ(x,y,z Φ(x,y,z)) : R3 parciales continuas de primer orden. Vamos a:

Φ(x, Φ(x, f (x), f  (x)) dx,

a

→ R admite derivadas

• Demostrar que este funcional siempre es diferenciable. • Calcular su variación on primera. Comencemos dando una expresi´ on on auxiliar importante. importante. Para Para ello tomaremos 3 x,y,z ) es continua y admite derivadas un punto (x,y,z (x,y,z)) de R . Pues Puesto to que que Φ( Φ(x,y,z) 3 parcial parciales es contin continuas uas en todo R , es difere diferenci nciabl ablee en todos los puntos puntos.. Exis Existi tir´ r´ a entonces un entorno de (x,y,z (x,y,z), ), tal que si (x (x1 , y1 , z1 ) pertenece a este entorno se verifica:







∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ Φ(x Φ(x1 , y1 , z1 ) Φ(x,y,z Φ(x,y,z)) = (x1 x)+ (y1 y )+ (z1 z )+ )+ (x1 x, y1 y, z1 z ) ∂x x ∂y x ∂z x (4) donde las derivadas parciales est´ an evaluadas en el punto (x,y,z an (x,y,z)) y  es una funci´ on on x,y,z ; x1 , y1 , z1 ) y que tiende a cero cuando (x x,y,z ). dependiente dependiente de (x,y,z; (x1 , y1 , z1 ) (x,y,z). La norma (x1 x, y1 y, z1 z ) se refiere a la norma canónica onica del espacio R3 , esto es (x1 x, y1 y, z1 z ) = (x1 x)2 + (y (y1 y )2 + (z (z1 z )2 . Vamos ahora a usar esta f´ ormula para evaluar la diferencia entre el valor del ormula funcional en la funci´ on on f y en otra funci´ on on f + h en un cierto entorno de f (o lo que es lo mismo, para h en un cierto entorno de cero en ):

−

−

−

−

 −

−

→

 − − −   − − − 

 −

−

−

M

 { b

f ) = F (f + h) − F (f )

Φ(x, Φ(x, f (x) + h(x), f  (x) + h (x))

a



− Φ(x, Φ(x, f (x), f (x))} dx.

Ahora llevamos (4) a esta f´ ormula, ormula, a condici´ condici´ on o n de que h(x) esté en un cierto entorno de 0 en . De esta manera, para h en dicho entorno:

M

  b

f +h)−F (f ) f ) = F (f +

a

∂ Φ ∂ Φ  h(x) + h (x) ∂f ∂f 

   b

(x) (h(x))2 + (h (h (x))2 dx,

dx+ dx+

a

− 


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16

en donde las derivadas de Φ est´ an evaluadas ambas en el punto (x, an (x, f (x), f  (x)), y (x, f (x) + h(x), f  (x) + h (x); x, f (x), f  (x)) en el término ermino de la derecha (x) tiende a cero cuando h 0. N´ otese otese que para f, h fijas, podemos po demos considerar considerar  como una funci´ on on de x. Denotemos ahora:

≡

→

  b

ϕf (h) =

a

∂ Φ ∂ Φ  h+ h ∂ f ∂f 



  b

C ( f, h) =

dx,

(h (x))2 dx. (x) (h(x))2 + (h

a

En cuanto a ϕf (h), se trata de un funcional lineal que est´ a bien definido en todo . En efecto, la integral que lo define existe ya que el integrando es una funci´ on on continua de x en el intervalo [a, [a, b]. Su linealidad es evidente. Si demostramos que cuando h 0 el término ermino restante C (f, h) tiende a 0 m´ as as r´ apidamente que la norma de h, entonc apidamente entonces, es, identific identificando ando con la descompos descomposici´ ici´ on en la definici´ on de funcional diferenciable, habremos demostrado que el funcional on es diferenciable, y de paso habremos obtenido una expresi´ on on para la variaci´ on on f . primera de en f .

M

→

F

F

Escribamos el t´ ermino ermino extra C (f, h) en la forma C (f, h) = E (f, h) h . Debe Debemo moss probar que E (f, h) tiende a 0 cuando h 0. Para ver que esto es cierto, escribamos:



→

C (f, h) 1 E (f, h) = = h h



  b

  b

(x) h2 + (h (h )2 dx =

h2 + (h (h )2 dx h

(x)

 a  a el ultimo u ´ ltimo paso dado que h es una constante. Observemos ahora que para todo valor de x en el intervalo [a, [ a, b]:



(h(x))2 + (h (h (x))2

≤ |h(x)| + |h (x)| ≤

sup x∈[a,b]

|h(x)| +

sup x∈[a,b]

|h (x)| = h

puesto que por ser h(x) una funci´ on on real, se tiene que h2 + (h (h )2 = h 2 + h 2 , y as´ı

||

| |

( h + h )2 = h 2 + h

|| | |

||

| |2 + 2|hh | ≥ |h|2 + |h |2 = h2 + (h (h )2 √h +(h ) 2



2

De aqu´ aqu´ı se deriva deriva que en todo el interv intervalo alo [ a, b], el cociente < 1. Como Como el h m´ odulo odulo de una integral es menor o igual que la integral del m´ odulo, odulo, se tiene que:

    b

|E (f, h)| =

(x)

a

h2

+ (h (h )2 h

 ≤  | |    b

dx

(x)

a

h2 + (h (h )2 dx h

 ≤ | b

a

(x) dx

|

Esta expresi´ on es la integral en un compacto de una función on on de x que tiende a cero cuando h 0, luego resulta que E (f, h) 0 cuando h 0, como quer´ıamos ıamos demostrar. demostra r.

→

→

→

As´ As´ı pues, queda probado probad o que es diferenciable y que su variaci´ on on primera en f viene dada por el término ermino ϕf (h), es decir

F

  b

δ

F f f (h) =

a

∂ Φ ∂ Φ  h+ h ∂f ∂f 



dx

donde, insistimos, las derivadas parciales se eval´ uan uan en el punto (x, (x, f (x), f  (x)).


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17

Vamos ahora a transformar esta expresi´ on, on, haciendo uso del recurso recurso de eliminar eliminar  la derivada h mediante mediante una integraci´ integraci´ on por partes:



b

a

 −   −   − 

∂ Φ  ∂ Φ h dx h = ∂f  ∂f 

b

b

a

a

d ∂ Φ h dx = dx ∂f 

b

a

d ∂ Φ hdx. dx ∂f 

Sustituyendo en la expresi´ on on para la variaci´ on primera del funcional on b

δ

F f f (h) =

a

∂ Φ ∂ f

d ∂ Φ dx ∂f 

F se obtiene

h(x) dx

(5)

Tenemos ya los ingredientes necesarios para determinar las funciones que hacen m´ aximo aximo o m´ınimo el funcional . En dichas dichas funciones funciones,, la primer primeraa variaci ariaci´ on oń del funcional funcional debe ser idénticamen enticamente te nula, lo que significa significa que si en la funci´ on f el funcional es m´ınimo ıni mo o máximo, aximo, debe satisfacerse la condici´ on on

F

F

  b

δ

F f f (h) =

a

∂ Φ ∂ f

−

d ∂ Φ dx ∂f 



h(x) dx = 0

para cualquier h , esto es, satisfaciendo las condiciones h(a) = h(b) = 0. Vamos a demostrar rigurosamente que esto implica que el término ermino entre corchetes en el integrando debe ser nulo. La demostraci´ on on se basa en dos lemas:

∈M

Lema I. I. Sea γ (x) una funci´ on continua en el intervalo [a, on [a, b] tal que para toda 1 función on h(x) C [a, b] con h(a) = h(b) = 0 se satisface la condici´ on on

∈



b

γ (x) h (x) dx = 0

a

Entonces γ (x) es una constante. Lema II. II. Sean α(x) y β (x) dos funciones continuas en el intervalo [a, [a, b] tales 1 toda función que para toda funci´ on h(x) C [a, b] con h(a) = h(b) = 0 se satisface la condici´ on: on:

∈

 { b

α(x) h(x) + β (x) h (x) dx = 0.

}

a

Entonces β (x) es diferenciable y β  (x) = α(x);

∀x ∈ [a, b].

Demostraci´ on on de los dos lemas. b 1 Lema Lema I. Definamos la constante C = γ (x) dx y la función on auxiliar H (x) = b−a a x [γ (τ ) τ ) C ] dτ . dτ . Por construcci´ on, on, la funci´ fun ción on H (x) tiene como derivada a H  (x) = γ (x) C , a luego es una función on continua, H (x) C 1 [a, b]. En x = a esta funcion vale H (a) = 0 b b b obviamente, y en x = b se tiene H (b) = a γ (τ ) τ ) dτ a C dτ = a γ (τ ) τ ) dτ C (b a) = 0 De esta manera, H (x) satisface las propiedades exigidas a h(x) en el enunciado del lema, de



−

 ∈  − 

−

−

−


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 b a

manera que H (x) ha de satisfacer s atisfacer la condici´ co ndición on del de l lema, ahora la integral

 { b

γ (x)

a



b



− C }H (x) dx =

γ (x) H  (x) dx

a

18

γ (x) H  (x) dx = 0. Calculemos

− C {H (b) − H (a)} = 0.

Pero la misma integral puede calcularse tambi´ tambi´ en en sustituyendo H  (x) = γ (x)

 { b

0=

γ (x)

a



b



− C } H (x) dx =

(γ (x)

a

− C :

− C )2 dx

ecuaci´ on on que implica que α(x) C = 0 (ya que (α (α(x) C )2 0), salvo quizá en un conjunto de medida nula en el intervalo [ a, b]. Como Como α(x) es continua por hipótesis, otesis, resulta que α(x) = C x [a, b]. De esta manera queda probado el lema. x Lema II. Definamos A(x) = α(τ ) τ ) dτ . dτ . Como en la demostraci´ on on del lema anterior, a

−

∀ ∈

−

≥

  |−

 b

b

tenemos a A(x) h (x) dx = A(x) h(x) ba dx. El primer pr imer término ermino del miembro a α(x) h(x) dx. de la derecha es nulo debido a las propiedades de h(x); de esta manera la condición on del Lema II puede reescribirse como

 {− b

A(x) + β (x) h (x) dx = 0.

}

a

Aplicando ahora el lema I, se tiene que β (x) A(x) = C , es decir, β (x) = A(x) + C , con lo que β (x) es diferenciable y β  (x) = A (x) = α(x), como quer´ıamos ıamos demostrar. demostrar .

−

Vamos ahora a usar estos dos lemas para demostrar la condici´ on on necesaria on de Euler-Lagrange para que un funcional del tipo (2-3) conocida como ecuaci´ f . En la expresión tenga un m´ aximo aximo o un m´ınimo en f . on obtenida antes,

  b

δ

F f f (h) =

a

∂ Φ ∂ Φ  h+ h ∂f ∂f 



dx = 0,

Φ aplicamos el Lema II, con α(x) en el papel de ∂ ∂f mientras que β (x) hace el papel ∂ Φ ∂ Φ de ∂f . Obtenemos Obtenemos as´ as´ı que que ∂f es diferenciable con respecto a x y que su Φ derivada con respecto a x debe ser igual a ∂ ∂f . Esto es, 

el funcional



d ∂ Φ ∂ Φ F del tipo (2)(3) tiene un máximo − =0 aximo o un m´ınimo en f ⇒ dx ∂f ∂f 

Esta es la llamada ecuaci´ on de Euler-Lagrange, ecuaci´ on diferencial para la funci´ on on on f ( f (x) en la cual el funcional alcanza alcan za m´ınimos ınimo s o m´ aximos aximos relativos. f (x), en un m´ En el caso de las funciones f ( aximo aximo o un m´ınimo la diferen d iferencial cial en el el punto x, df x se anula. Pero de la anulaci´ on on de la diferencial en x no se sigue que la funci´ on on tenga en x un m´ aximo aximo o un m´ınimo, ınimo , sino s´ olo olo que el punto x es un punto cr´ cr´ıtico. Para Para funcionales, funcionales, la situaci´ situacion oń es semejante, y mientras que la primera variación on del funcional se anula en e n un m´ınimo o un m´ aximo, aximo, de la anulaci´ on on de la primera variaci´ on on no se sigue que el funcional tenga un m´ aximo axi mo o un m´ınimo. ıni mo. Se definen en general las extremales del funcional diferenciable como aquellas

F

F

F

F


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funciones en las que la primera variaci´ on on δ f enticamente. enticamente. Adem´ as as f se anula id´ de las funciones funciones en las que el funcion funcional al tiene tiene un m´ınimo ınimo o un m´ aximo relativo, las extremales incluyen otras funciones en las que el funcional es estacionario, de manera an´ aloga aloga al caso de los puntos puntos cr´ cr´ıticos que adem´ as de los m´ınimos o m´ aximos incluyen puntos de inflexi´ aximos on con tangente horizontal, puntos de silla con on diferentes diferentes signaturas, signaturas, etc. Podemos formular el resultado importante obtenido en esta secci´ on on mediante:

F

el funcional

∂ Φ F tiene una extremal en f ⇔ dxd ∂f − ∂ ∂f Φ = 0 

• Ejercicio 6. En ocasiones, la función on Φ no depende de pende expl´ıcitamente ıcitamente de x. Demostrar Demostrar que ∂Φ en ese caso la ecuación on de Euler-Lagrange admite una integral primera dada por f  ∂f Φ. As´ As´ı, en dicho caso c aso las extremales del funcional deben satisfacer tambi´ también en la ecuación de Φ d ∂ primer orden dx f  ∂f Φ = 0 que suele resultar más as manejable que la propia ecuación de Euler-Lagrange. En el caso del principio de m´ınima acción, en el que el funcional accion es la integral del Lagrangiano L agrangiano a lo largo del intervalo intervalo de tiempo dado, ¿qu´ e significado tiene la constante de éste este tipo que aparece cuando el Lagrangiano no depende expl´ expl´ıcitamente de t? 





−

 −

• Ejercicio 7.

Escribir las ecuaciones de Euler-Lagrange para el problema de la braquistocrona tocrona.. Resolv Resolverl erlas. as. Demost Demostrar rar que la curva curva buscada buscada es siempre siempre una cicloi cicloide. de. Si la velocidad inicial es nula, la cúspide de la cicloide está en el punto inicial P . P .

• Ejercicio 8. Determinar las curvas de longitud extremal sobre una esfera, escribiendo el

funcional funcional de longitud longitud y resolviend resolviendo o las ecuaciones ecuaciones de Euler-Lagr Euler-Lagrange. ange. Deben obtenerse los c´ırcu ır culo loss máximos aximos sobre la esfera.

Extremales que no sean de clase C 1 La exigencia que hemos hecho a las funciones de ser continuas y con derivada continua continua es una exigencia exigencia t´ ecnica, ecnica, que permite dar una condici´ on necesaria muy simple —la ecuaci´ on on de Euler-L Euler-Lagr agrange ange–– para para la existenc existencia ia de extrema extremales les.. Pero Pero conviene mencionar que en muchos casos los problemas variacionales nos obligan a sali salirn rnos os de este este ma marc rco. o. Es decir, decir, hay hay caso casoss en los los que que no exis existe ten n extre extrema males les que sean suficientemente regulares, pero hay extremales que no son regulares. Un ejemplo muy sencillo se plantea en los siguientes ejercicios.

• Ejercicio 9. Demuéstrese estres e que si Φ(x, Φ(x, y (x), y (x)) = Φ(x, Φ(x, y (x)), el funcional F [y (x)] s´ olo olo 

puede tener funciones funciones y(x) extremales extremales que sean suficientemen suficientemente te regulares regulares (al menos de 1 clase C ) si la funci´ on on Φ es independiente indep endiente de la variable y(x); en este caso resulta que el funcional [y (x)] es realmente realmente constante. constante. Por tanto, tanto, para tener un problema problema variacio variacional nal que admita extremales suficientemente regulares, es esencial que el integrando Φ dependa de las derivadas de la funci´ fun ción on y(x).

F

• Ejercicio 10.



b

Pru´ ebese ebes e que el funcional

F [y(x)] =

a

y (x) dx con las condiciones de

contorno usuales no posee extremales, ni siquiera si se admiten en su dominio funciones


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

b

que no sean continua continuas. s. Sin embargo, embargo, el funcional funcional

F [y(x)] =

y2 (x) dx, dx, con las mismas

a

condiciones de contorno s´ s´ı que admite extremales; se trata de encontrar una función x y (x) que haga extremal este funcional y demostrar que realmente es extremal. N´ otese otese que esta esta funcio funcion n no es contin continua; ua; por ello ello es imposi imposible ble encontra encontrarr la extrem extremal al a partir partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange. N´ otese otese tambien que esta extremal es semejante a la solución de Goldschmidt para el problema de la superficie de jab´ on on sobre dos aros paralelos.

→

Variaci´ on segunda de un funcional on La anulaci´ on on de la variaci´ on primera de un funcional en la funci´ on on on f es una necesaria para que el funcional sea extremal en f . f . Pero esa anulaci´ condición on necesaria para on on f . Se trata de la misma no garantiza ga rantiza que el funcional func ional tenga un m´ınimo ınimo relativo rela tivo en f . situaci´ on on que ocurre para las funciones, funciones, donde un m´ınimo relativo en el punto x suficiente, pero tal requiere la anulaci´ on on de la diferencial df x en x como co mo cond co ndic ici´ ión on suficiente, condición on se da tambi´ en en en un m´ aximo y en un punto estacionario; si deseamos aximo que la funci´ on on tenga un m´ınimo debemos exigir la condici´ on on de que la diferencial 2 segunda df x (h) sea una forma cuadr´ atica atica definida positiva . Aunq Aunque ue en la ma may yor parte de las aplicaciones lo que resulta ser realmente importante es la condici´ on de extremalidad (y no la de ser precisamente m´ınimo), ınimo ), resulta result a conveniente c onveniente conocer cono cer el an´ alogo de la diferencial segunda de una funci´ alogo on de varias variables, que para on on segunda . funcionales se denomina variaci´

F

Comenzamos recordando la situaci´ on on para funciones de varias varias variables. En primer lugar recordamos qu´ e es una forma cuadrática atica de varias varias variables. variables. Una forma bilineal bilineal n n R R es una aplicac B:R apli caci´ i´ on on ( x, y ) B (x, y ) que es lineal en las dos variables; n su expresi´ on on genérica eri ca es B (x, y ) = i,j =1 Bij xi yj . Toda forma bilineal bilineal tiene asociada n una forma cuadrática, atica, dada por C (x) := B (x, x) = i,j =1 Bij xi xj . (Recordemos que la forma bilineal está completamente determinada por su forma cuadrática atica asociada, mediante la llamada identidad de p olarizaci´ on). on). Se dice que la forma cuadrática C es definida positiva si para todo x = (x1 , x2 , . . . , x n ) diferente del vector 0 se tiene C (x) > 0. diferenciable dos veces veces en el punto x = R es diferenciable Se dice que una función on f : Rn R y una (x1 , x2 , . . . , x n ) si exis existe ten n una una func funci´ i´ on on lineal denotada df x : Rn una form forma a 2 n cuadr´ atica denotada df x : R R tal que en un cierto entorno de x se tenga

×

→

→





→

→

→

2 − f ( f (x) = df x (h) + df x (h) + (x, h)h2 , donde (x, h) → 0 cuando h → 0. Esta definici definici´ ´ on on lleva un paso más as adelante la idea 2 atico en h, en vez de función on diferenciable, diferen ciable, siendo el t´ ermino ermino extra (x, h)h cuadr´ de lineal. Geom´ etricamente, etricamente, en un cierto entorno de x supuesto fijado, la función on dada 2 por x + h → f ( f (x) + df x (h) + df x (h) es la funcion cuadrática atica en h osculatriz a la función on

f ( f (x + h)

f en el punto f ( f (x). En cualqu cualquier ier texto texto de an´ alisis alisis matem´ atico atico pueden encontrarse las demostraciones de las siguientes propiedades importantes: 2 es unica. Si f es diferenciable dos veces en x, entonces df x u ´ nica. Si la función on f tiene un m´ınimo en el punto x, entonces en el punto x la diferencial 2 segunda df x (h) es una forma cuadrática atica definida positiva. 2 es: La expresi´ on on expl e xpl´ ´ıcita de la diferenci dif erencial al segunda se gunda df x

• • •

1 df x (h) = 2! 2

n



i,j =1

∂ 2 f ∂x j ∂x i



x

hi hj ,


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es decir, se expresa como la forma cuadrática atica en h cuyos coeficientes son las derivadas parciales parciales segundas segundas de f en el punto x (con un factor 1/ 1 /2!). En particular, esta relaci´ on on implica que si x es un u n m´ınimo ınim o de la func f unci´ ión on f la matriz formada por las derivadas segundas (matriz hessiana de f en el punto x) es una matrix definida positiva. Pasamos ahora a discutir la situación con funcionales: veces diferenciable diferenciable en la funci´ Definici´ on. on. Diremos que un funcional es dos veces on on atico, f ( ) si existen un funcional lineal denotado δ f R y un funcional cuadr´ f : 2 R tales que en un cierto entorno de f en ( ) (asociado a un denotado δ f f : cierto entorno de 0 en ) se tenga:

F

∈ D F

F M →

F M → D F M 2 2 F (f + h) − F (f ) f ) = δ F f f (h) + δ F f f (h) + E (f, h)h donde E (f, h) → 0 cuando h → 0. Geom´ Geom´ etricamen etricamente, te, podemos imaginar imaginar el funcional funcional dado en un cierto entorno de la 2 funci´ on on f , f , supuesta fija, por f + f + h → F (f ) f ) + δ F f f (h) + δ F f f (h) como el funcional osculador al funcional F en la funci´ on on f . f . Vamos a presentar a continuaci´ continuaci´ on on los enunciados que corresponden a los tres teoremas discutidos al hablar de la variación primera.

es diferenciable dos veces en la función on f , f , entonces la Teorema. Si el funcional variaci´ on on segunda δ 2 f ( h ) es unica. ´ u nica. f Este resultado se demuestra de manera paralela al correspondiente corresp ondiente para la variaci´ on on primera.

F

F

Para formular formu lar una condici con dici´ ´ on on de d e m´ınimo ınim o (y ( y no n o sólo de extremal) necesitamos enunciar la condici´ on on que reemplaza reemplaza para nuestro nuestro caso de funcionale funcionaless a la condici´ condici´ on on de que una forma cuadr´ atica atica sea definida de finida positiva. positi va. Tal condición on es: Definici´ on. on. Un funcional cuadr´ atico atico C en se dice fuertemente positivo si existe 2 K > 0 tal que C (h) K h para cualquier h .

M ∈M

≥ 

Una condici´ on suficiente para que un funcional on dos veces diferenciable tenga ten ga un m´ınimo en f ( ) (supuesto que se anula la variación primera de en f ) f ) es 2 que la variación on segunda δ f en f sea fuertemente positiva. f de Teorema.

∈ D F F

∀ ∈

F

≥ 

F f f (h) = 0, existe un entorno

2 F (f + h) − F (f ) f ) = δ 2 F f f (h) + (f, h) ||h|| . variaci´ ariaci´ on on segund segunda a de F en f es fuertemen fuertemente te

Supongamos Supongamos que la δ2 f K h 2 , de manera que podemos escribir: f (h)

F

F

F

variaci´ i´ on on de en f se anula, δ Prueba. Si la primera variac de cero W en tal que h W se tiene que:

M

F

positiv positiva.

Entonces Entonces

F (f + h) − F (f ) f ) ≥ {K + K + (f, h)} ||h||2 , con (f, h) → 0 para h → 0. En particular, si h es suficientemente cercano al cero en M, el valor absoluto de (f, h) llegar´ a a ser menor que la constante positiv p ositiva a K , y por tanto {K + K + (y, h)} > 0, de donde F (f + h) − F (y ) > 0 y el funcional tiene un m´ınimo en f . f . aximo es evidente: El cambio necesario para obtener una condición suficiente de m´ evidente: 2 −δ F f f debe ser fuertemente positivo. Para acabar esta secci´ on, vamos a obtener una f´ on, ormula ormula para la variaci´ on on segunda del funcional funcional (2-3). Ya que en el contexto contexto que nos interesa aqu´ aqu´ı la segunda variación o n s´ olo se necesita para discriminar entre los diversos tipos de extremales olo


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(máximos, aximos, m´ınimos o tipo silla), basta con calcular la segunda variaci´ on en funciones f para las que la primera variaci´ on on es ya idénticamente enticame nte nula. El procedi procedimi mien ento to es una extens extensi´ i´ on on del usado usado para para encon encontra trarr una expres expresi´ i´ on o n de la variaci´ on o n primera primera.. Supon Suponga gamo moss ahor ahora a que que Φ(x,y,z Φ(x,y,z)) C 2 (R3 ), es deci decirr que que pose poseee derivadas derivadas parciales parciales continuas continuas hasta orden 2. Entonces Entonces Φ es dos veces veces diferenciable, diferenciable, lo que equivale a decir que si h pertenece a un cierto entorno W de cero en , tenemos:

∈

M

  b

F (f + h) − F (y) =

  b

=

a

Φ(x, Φ(x, f + h, f  + h )

a

∂ Φ ∂ Φ  h+ h ∂f ∂f 



1 dx + 2

  b

a



− Φ(x,f,f Φ(x,f,f  )

dx =

∂ 2 Φ 2 ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ  h + 2 h h + (h )2 ∂f 2 ∂f ∂f  ∂ (f  )2



b

+



dx

(x) (0, (0, h(x), h (x))

||2 dx.

||

a

La primera y segunda integrales están an definidas para todo h , y puede probarse f´ acilmente que son respectivamente un funcional lineal en acilmente y una forma cuadrática atica en . Ellas son, respectivamente respectivamente la variación on primera y la segunda de en f . f . Ello es debido 2 a que la última ultima integral puede ponerse como (f, h) h donde (f, h) 0 cuando h 0, lo que se comprueba de manera completamente semejante al caso de la variaci´ on on primera. Se obtiene o btiene as´ as´ı la siguiente expresión para la variación on segunda:

M

E

δ

2

1 f f (h) = 2

F

  b

a

∈M M F E →

|| ||

∂ 2 Φ 2 ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ  h +2 hh + (h )2 2   2 ∂f ∂f∂f ∂ (f )



→

dx.

El segundo segundo t´ ermino ermino en la integral integral puede transform transformarse arse mediante mediante una integrac integraci´ ión o n por partes, de la siguiente manera:

  b

2

a

∂ 2 Φ h h ∂f∂f 

   b

dx =

a

d dx

∂ 2 Φ 2 h ∂f∂f 

 −     b

dx

a

d dx

∂ 2 Φ ∂f∂f 

y la primera integral en el segundo miembro de esta ecuaci´ on on resulta ser igual a

h2 dx, ∂2Φ ∂f∂f 

h2

que se anula debido a las condiciones h(a) = h(b) = 0.



b a

De esta manera nos queda la siguiente expresi´ on on para la variaci´ on on segunda de un funcional del tipo usual en una funci´ on f que anule la variaci´ on on primera, en esto es toss términ erm inos os:: δ2

1 f f (h) = 2

F

  b

a

∂ 2 Φ ∂f 2

−

d ∂ 2 Φ dx ∂f∂f 



∂ 2 Φ 2 h + (h )2  2 ∂ (f )



dx, cuando δ

F f f = 0

Problemas variacionales con ligaduras (Problemas isoperim´ etricos) etricos) Se presenta con frecuencia el problema de encontrar los puntos cr´ cr´ıticos (m´ (m´ınimos, máximos, aximos, etc) de una funci´ on de varias variables que no son independientes on independientes sino que est´ an an sujeta sujetass a una o varias arias condicio condiciones nes adiciona adicionales les,, conocidas conocidas como ligaduras. ligaduras. El ejem ejempl ploo m´ as a s sencillo y fácil a cil de visualizar es el de la b´ usqueda usqueda del f (x, y ) sobre una determinada m´ aximo aximo (o m´ınimo) ınimo) de una funci´ funcion oń de dos variables f ( curva Γ en el plano x, y; tales máximo ax imoss y m´ınim ın imos os condicionados ocurren en puntos puntos


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en los que la funci´ on considerada como funci´ on on on de dos variables independientes no tiene m´ aximos ni m´ınimos. ınimos. Un ejemp ejemplo lo de comp compre rens nsi´ i´ on o n inmedi inmediata ata:: cuand cuandoo se sigue un camino en la ladera de una monta˜ na, la altura puede tener m´ aximos aximos o camino, que en general no corresponden a m´ m´ınim ın imos os rel r elat ativo ivoss a lo largo del camino, aximos aximos o m´ınimos de la funci´ o n que da la altura de la superficie en cada punto de la on monta˜ na. na. La condici´ on on de anulaci´ on de la diferencial (o la equivalente de anulaci´ on on o n de todas las deriv de rivadas adas parciales) no resulta result a aplicable apl icable en tales ta les casos; geométricamente etricamente esto es claro, ya que un m´ aximo aximo o m´ m´ınimo a lo largo de la l a curva cu rva s´ olo olo debe traducirse traducirse en la anulaci´ on on de la derivada direccional de la funci´ on a lo largo de la direcci´ on on on de la curva. Procedim Procedimien iento to de fuerza fuerza bruta: bruta: usemos usemos la condici´ condici´ on adicional para eliminar una de las dos variables, y consideremos la funci´ on, ya restringida a la curva, on, como una funci´ on de una variable independiente, a la que se le puedan aplicar on las condiciones usuales de m´ aximo aximo o m´ınimo. Este método etodo de fuerza bruta dista de ser pr´ actico. actico. Aunque Aunque se pueda eliminar eliminar la variable ariable (o variabl ariables) es) que debido debido a las ligaduras ligaduras resultan resultan dependientes, dependientes, las expresiones expresiones que se obtienen obtienen en t´ erminos erminos de variables independientes pueden ser poco manejables. Y adem´ as as puede ocurrir que las ligaduras ligaduras est´ en en dadas en forma impl´ impl´ıcita, que no admita la eliminaci´ eliminaci´ on expl´ ex pl´ıcit ıc ita. a. Se debe a Lagrange Lagrange un m´ etodo etodo de determinaci´ determinaci´ on de m´ aximos aximos y m´ınimos de funciones sometidas a ciertas condiciones adicionales que se conoce cono ce como método etodo Lagrange, y consiste esencialmente en que si un punto de los multiplicadores de Lagrange, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) es un m´ f (x1 , x2 , . . . , xn ) soaximo aximo o m´ınimo de la funci´ on on f ( bre la subvariedad determinada por las condici´ on on adicional g (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, entonc entonces es el punto punto x = (x1 , x2 , . . . , xn ) es un máximo aximo o m´ınimo de la funci´ on f ( f (x1 , x2 , . . . , xn ) + λg( λg(x1 , x2 , . . . , xn ), considerada como funci´ on on de n variables independientes. dependientes. La const constan ante te λ, conocida como multiplicador de Lagrange, queda determinada junto con la posici´ on de los posibles puntos estacionarios, al resolver on las ecuaciones que establecen que en tales puntos todas las derivadas parciales de f (x1 , x2 , . . . , xn ) + λg( λg(x1 , x2 , . . . , xn ) deben anulars la funci´ on on f ( anularse. e. Los detalle detalless de este método etodo pueden consultarse en cualquier texto de An´ alisis Matem´ atico. atico. En el c´ alculo alculo variacional aparecen tambi´ en en naturalmente problemas con condiciones ciones adicionale adicionales. s. Hem Hemos os visto dos. En el problem problemaa de la catenari catenaria, a, es evidente evidente por razones f´ısicas que sin ninguna condici´ on on adicional, el funcional “energ´ “energ´ıa potencial” de un hilo en e n un campo gravitatorio uniforme no presenta m´ınimos (entre dos puntos dados, d ados, para p ara cualquier hilo con energ´ energ´ıa potencial p otencial dada, siempre podemos p odemos tender un hilo m´ as as largo, cuya energ´ energ´ıa potencial p otencial sea menor). Pero si consideramos hilos de longitu lo ngitud d prefijada pre fijada,, entonces enton ces s´ s´ı que debemos deb emos espe e sperar rar un m´ınimo para cierta c ierta f (x), que deber´ forma del hilo, especificada por cierta funci´ on on z = f ( a satisfacer la condici´ on on adicional adicional de tener tener la longitud longitud dada. En el problem problemaa de determina determinarr la curva que encierre un área area m´ axima, es de nuevo claro que sin ninguna condici´ axima, on on adicional, adicional, podemos encerrar areas a´reas cada vez mayores y mayores. S´ olo olo si imponemos


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una condici´ on extra (longitud prefijada) debemos esperar que cierta forma de la on curva encierre un área area m´ axima. En ambos casos, la condici´ axima. on on adicional est´ a dada por otro funcional. Vamos a discutir este problema en el caso m´ as as sencillo de que tanto el funcional a minimizar como la ligadura sean del tipo (2-3). Consideremos pues un funcional en el espacio C 1 [a, b], del tipo



b

F (f ) f ) =

D(F ) = {f ∈ C 1[a, b] / f ( f (a) = A; f ( f (b) = B }.

Φ(x, Φ(x, f (x), f  (x)) dx,

a

y consideremos otro funcional , cuyo dominio supondremos el mismo que el de y dado por

G

F



b

G (f ) f ) =

Γ(x, Γ(x, f (x), f  (x)) dx

a

donde Γ es una funci´ on continua y con derivadas continuas que juega, para el on funcional , un papel an´ alogo al que Φ juega para . alogo

G

F

Proble Pro blema ma isope iso perim´ rim´ etrico etri co.. Entre todas las funciones que satisfagan la condf ) = G donde G es una constante real, encontrar las extremales del funici´ on on (f ) cional . En estas condiciones puede demostrarse el siguiente:

G F

Teorema. Sea f ( ) una funci´ on extremal del funcional satisfaciendo on f ) = G. Supongamos adem´ la condici´ on on (f ) as que la primera variación as on del funcional funcional en f no es idénticamente enticamente nula. Entonces existe un n´ umero real λ de manera que f es un extremal del nuevo funcional

∈ D F

G

G

F

 F F { b

Φ(x, Φ(x, f (x), f  (x)) + λΓ(x, Γ(x, f (x), f  (x)) dx,

f ) = (f )

}

a

en el que ya no se considera ninguna condici´ on on subsidiaria. subsidiaria. La demostraci´ on on de este teorema, as´ as´ı como su extensión on para el caso de que existan varias condiciones de ligadura puede consultarse en el libro de Troutman.

• Ejercicio 11. Encontrar la curva entre dos puntos ( −a, 0), 0), (a, 0) del eje x, que no corta al eje, tiene longitud dada L > 2a y que encierra entre ella y el eje x el ´ area area m´ axima. axima.

• Ejercicio 12. Un hilo flexible e inextensible, de densidad lineal constante y longitud dada

L, se suspende entre dos torres de alturas A y B , separadas por una distancia horizontal d en el campo gravitator gravitatorio io (supuesto uniforme) uniforme) de la tierra. Determinar Determinar la forma que adopta el hilo.

• Ejercicio 13.

Principio de reciprocidad en los problemas isoperimétricos. etricos. Supongamos dados dos funcionales, y , y nos limitamos a funciones que no sean extremales ni de ni de . En estas condiciones las extremales del funcional (f ) f ) con la condición on subsidiaria (f ) f ) = G son las mismas que las extremales del funcional (f ) f ) con la condición on subsidiaria (f ) f ) = F . F . ¿Porqu´ e? e? Como aplicaci´ ap licación, demostrar que entre las curvas que encierra un área dada, la circunferencia es la que tiene longitud estacionaria (de hecho m´ m´ınima).

G F

G

F G

F G

F


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Problemas Variacionales con varios grados de libertad Hasta ahora nos hemos limitado a considerar funcionales definidos en espacios R. Pero pueden darse funcionales de de funciones reales de una variable, f : R tipos m´ as generales, por ejemplo funcionales del tipo (2-3) en las que Φ dependa as de funciones con varias componentes (vectoriales) pero de una sola variable, o bien funcionales definidos sobre espacios de funciones de m´ as as de una variable. En tanto intervengan funciones de una sola variable, posiblemente con varias Rn , la mayor parte de las t´ componentes, esto es, funciones de f : R ecnicas ecnicas y resultados descritos en estas notas se extienden directamente y de manera casi inmediata. Por ejemplo, el principio prin cipio de d e m´ m´ınima acci´ a cci´ on determina determina el mov movimien imiento to real V (x, t); este movimiento es una que sigue una part´ part´ıcula en un potencial externo externo V ( 3 R , que puede describirse mediante tres funciones función on x : R funciones componentes, componentes, x(t), y (t), z (t). En este caso el funci funciona onall que que se pret pretend endee mi minim nimiza izarr es siempr siempree del tipo (2-3), donde ahora la funci´ on o n Φ depende de t y de las tres componentes dx(t) dy( dy(t) dz( dz (t) x(t), y (t), z (t), as´ as´ı como de las tres derivadas dx( dt , dt , dt . En el principio de Fermat, la trayectoria seguida por un rayo de luz est´ a descrita tambien por una función on que podemos describir dando las dos funciones y (x), z (x), y el funcional a dy(x) dz( dz (x) minimizar involucra las dos funciones y (x), z (x) y sus derivadas dy( dx , dx . Estos ejemplos sugieren extender el tipo usual de funcionales (2-3) de la siguiente manera: manera: Denotem Denotemos os C 1 ([a, ([a, b], Rn ) el espacio de las funciones definidas en un intervalo [a, [a, b] y con valores en Rn que sean continuas y todas cuyas funciones componentes admitan derivada primera continua en todo el intervalo [a, [a, b]. Este Este espacio admite la estructura de espacio de Banach cuando le dotamos de la norma definida por: f = sup( f 1 , f 2 , . . . f n ),

→

→

→



  

 

donde para cada funci´ on o n compone component ntee la norma norma es la usada usada en (1). Es f´ acil demostrar que se trata de una norma, y menos f´ acil acil de demostrar aunque tambi´ en en n 1 cierto, que dotado de esta norma, el espacio C ([a, ([a, b], R ) es un espacio de Banach. En la topolog´ topolog´ıa inducida por esta norma, n orma, dos funciones f , g son pr´ oximas oximas cuando en todo el intervalo [a, [a, b], tanto cada una de las componentes de f , g como sus derivadas toman valores pr´ oximos. oximos. Vamos ahora a definir un funcional que es la extensi´ on on del tipo descrito en (2-3). (2-3). Comenza Comenzamos mos por definir su dominio, dominio, es decir, decir, el conjunto conjunto sobre el que el funcional est´ a definido:

F

D(F ) = {f (x) ∈ C 1 ([a, ([a, b], Rn )/ f i (a) = Ai ; f i (b) = Bi ; i = 1, 2, . . . , n}. Notemos que este dominio no es un subespacio vectorial salvo en el caso Ai = Bi = 0, i = 1, 2, . . . , n. n. Sea ahora:

M = {h(x) ∈ C 1 ([a, ([a, b], Rn )/ hi (a) = hi (b) = 0, i = 1, 2, . . . , n}. Obviamente D(F ) = f + M para todo f ∈ D(F )


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Sea ahora Φ(x Φ(x1 , x2 , . . . , x2n+1 ) una funci´ on o n de admita derivadas derivadas parciales parciales continuas continuas.. Escribamos Escribamos



n R2 +1

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a

R

que sea continua y

b

F (f ) = F (f 1 , f 2 , . . . , fn ) =

a

Φ(x, Φ(x, f 1 (x), . . . , fn (x), f 1 (x), . . . , fn (x)) dx.

F está bien definido ∀f ∈ D (F ),), puesto que la función on bajo el signo integral es

continua en todo el intervalo [a, [a, b]. Repitiendo lo hecho en el caso de una funci´ on de una componente, se demuestra demuestra que este funcional es diferenciable en todos los puntos de su dominio. Sea entonces f = (f 1 , f 2 , . . . , fn ) ( ) y h = (h1 , h2 , . . . , hn ) . Como Φ es una funci´ on on continua continua con derivadas derivadas parciales continuas, continuas, es diferenciable. diferenciable. Razonando Razonando como en la derivaci´ on on de (5) existir´ a un entorno de cero en tal que

∈ D F

∈M M

F (f 1 + h1, . . . , fn + hn) − F (f 1, . . . , fn ) = b {Φ(x, Φ(x, f 1 + h1 , . . . , fn + hn , f 1 + h1 , . . . , fn + hn ) − Φ(x, Φ(x, f 1 , . . . , fn , f 1 , . . . , fn )} dx =

 a



   b n

a i=1

∂ Φ ∂ Φ  hi + h ∂f i ∂f i i









  



b

dx +

a

 (0, (0, h1 , . . . , hn , h1 , . . . , hn ) dx,



para todo h en dicho entorno entorno.. La primera primera integr integral al est´ a bien definida para todo h = (h1 , . . . , hn ) y es una aplicaci´ on on lineal de en R. La segund segunda a puede ponerse en la forma (f , h) h , con (f , h) 0 si h 0. De esta manera, para h en un entorno de 0 en ,

∈M E

M

|| ||

E

M →

→

F (f 1 + h1, . . . , fn + hn ) − F (f 1 , . . . , fn ) = ϕ con

   b n

ϕf (h) =

a i=1

Esta expresi´ on on muestra que por:

F (h) = f f

∂ Φ ∂ Φ  hi + h ∂f i ∂ f i i



+ (f , h) h ,

E



dx

F es diferenciable, y su diferencial primera viene dada

   b n

δ

f (h)

a i=1

∂ Φ ∂ Φ  hi + h ∂ f i ∂f i i



dx.

Supongamos que admite un extremal en f = (f 1 , . . . , fn ) ( ). ). Entonces, la variaci´ on on primera de en f se ha de anular. Esto significa significa que para todo h , tenemos: b n ∂ Φ ∂ Φ  hi + hi dx = 0  ∂f ∂ f i a i=1 i

F F

  

∈ D F



∈M


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Las derivadas parciales se eval´ uan u an en (x, (x, f 1 (x), . . . , fn (x), f 1 (x), . . . , fn (n)). )). EsEscogiendo hi (x) = 0 para todo i salvo para i = j , queda

  b

a

∂ Φ ∂ Φ  hj + h ∂f j ∂f j j



dx = 0.

Esto implica, tras el Lema II visto antes que d ∂ Φ dx ∂f j

∂ Φ − ∂f = 0. j

Realizando la misma operaci´ on on para todos los j = 1, 2, . . . , n resulta un sistema de n ecuaciones en las n funciones funciones inc´ ognitas ognitas f 1 , f 2 , . . . , fn entre cuyas soluciones est´ an an los extremales f = (f 1 , f 2 , . . . , fn ) del funcional . A dicho dicho sist sistem emaa de ecuaciones se le conoce como sistema de Euler-Lagrange, o simplemente, ecuaciones de Euler-Lagrange:

F

f es un extremal del funcional

∂ Φ d ∂ Φ F ⇔ ∂f − = 0, dx ∂f i 

i = 1, 2, . . . , n .

i

Problemas Variacionales con varias variables: superficies m´ınimas Otros problemas variacionales involucran funciones de dos o m´ as as variables como los objetos primitivos de los cuales depende alg´ un funcional que se trata de minias complicada que complicada que el caso de funciones de mizar. Tal situaci´ on on resulta ser mucho m´ super ficiess m´ınimas ınim as:: De entre una varia variable. ble. El prototipo prototipo es el problem problemaa de las superficie 3 todas todas las las super superfici ficies es en el espa espaci cio o R con con un borde borde dado dado,, encon encontr trar ar aquell aquellas as que tengan tengan ´ area ar ea m´ınim ın ima a. En este este caso caso,, el funcio funcional nal a mi minim nimiz izar ar depende de una funci´ on on de dos variables. Hist´ oric o ricam amen ente te,, es notab notable le que que las ideas ideas b´ asicas del c´ alculo alculo variacional, variacional, en la forma que las hemos expuesto, aparecieran por primera vez en un trabajo de Lagrange (1760) dedicado precisamente al estudio del problema nada trivial de las superficies m´ınimas. Este traba jo despert´ desp ert´ o el inter´ interés es de Euler, dando lugar a un desarrollo por parte de ambos autores, que culmin´ o en la sistematizaci´ on o n de las condiciones hoy llamadas de Euler-Lagrange. Vamos a limitarnos a derivar, de manera directa , la ecuaci´ on on diferencial que debe satisfacer cualquier cualquie r superficie sup erficie m´ m´ınima, y lo vamos a hacer poniendo solamente el énfasis enfasis en las ideas relevante relevantess desde el punto de vista del c´ alculo variacional, eludiendo discutir detalles adicionales. Localmen Localmente te cualquie cualquierr superficie superficie puede puede describ describirs irsee en la forma forma denomin denominada ada de Monge, como la gr´ afica afica de una funci´ on on (x, y) (x,y,f (x, y)), pero posiblemente mente tal repres represen entaci tacion on puede puede no cubrir cubrir la superficie superficie “completa “completa”. ”. Por Por ejemplo ejemplo un plano puede puede repres represent entars arsee de manera manera completa completa en forma forma de Monge: Monge: (x, y )

→

→


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(x,y,f (x, y) = z0 ), pero para una esfera la regi´ on o n m´ axima representable de esta axima manera manera es un hemisferi hemisferio, o, excluid excluidoo su borde ecuator ecuatorial: ial: (x, y ) (x,y,f (x, y ) = R2 x2 y 2 ). Para simplicidad, nos limitaremos a estudiar porciones de superficie que sean representables de dicha forma, lo que no constituye ninguna limitaci´ on importante, ya que como veremos la condici´ on on de d e superficie sup erficie m´ınima ınima se traduce en una ecuaci´ e cuaci´ on diferencial que determina f localmente.

 −

→

−

• Ejercicio Ejercicio 14.

Encontrar Encontrar la expresi´ expresi´ on on del funcional funcional que da el ´ area area de una superficie superficie 3 descrita en el espacio ordinario R por la función on (u, v ) (x(u, v ), y (u, v ), z (u, v )), como una integral integral extendida a cierto dominio del espacio espacio de par´ ametros ametros ( u, v ). Particul Particulariza arizarr para el caso de que la superficie se describa en forma de Monge: ( x, y ) (x,y,f (x, y )).

→

→

Como deber´ a haberse concluido en el ejercicio anterior, el area de la porci´ on de superficie que corresponde a un dominio D del plano de par´ ametros ametros x, y es:

A=

 

1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2

dxdy

D

con la integral doble extendida al dominio D y en donde para abreviar la escritura ∂f denotamos f x etc. Notese o´tese la analog´ analog´ıa de esta expresi´ expresi´ on o n con la que da ∂x , et f (x)), dada por la longitud de una curva plana descrita en la forma x (x, f ( = dx 1 + (f ( f x )2 . Consideremos una curva Γ dada en espacio R3 . Esta curva curva se supondr´ a cerrada, sin autointersecciones y suficientemente regular, y es quien va a jugar el papel que los dos extremos ta , xa ; tb , xb jugaban para problemas variacionales del tipo implicado implicado en el principio principio de m´ınima acci´ on. La proy proyecc ecci´ i´ on o n de Γ sobre el plano x, y es una curva plana, que llamaremos γ , que también en supon su pondremos dremos cerrada, cerrad a, sin si n autointersecciones y suficientemente regular. La propia curva Γ puede describirse como el conjunto de puntos (x,y,z (x,y,zγ (x, y)) en donde se supone que (x, (x, y) γ y donde z (x, y) es la funci´ on fija, definida solamente en γ y que describe la altura on de la curv curva Γ. Denotem Denotemos os D el dominio del plano cuyo borde es γ : este este dominio dominio es homeomorfo a un disco ya que la curva γ no tiene autointersec autointersecciones. ciones. La forma general de la descripci´ on de Monge de una superficie que tenga a Γ on como borde est´ a dada por una funci´ on de dos variables, suficientemente regular, on en la forma:

L

 

≡

→

∈

(x, y )

x,y,z (x, y )), ∈ D → (x,y,z( )),

donde

z (x, y ) = zγ (x, y ) para (x, (x, y )

∈ γ

La idea esencial de la derivaci´ on de Lagrange es la siguiente. Supongamos que on la funci´ on on f ( un desconocida) corresponde a una superficie Σf con borde un f (x, y) (a´ Γ y de área area m´ m´ınima entre todas to das las que satisfagan las condiciones condicione s anteriores. Sea h(x, y) una funci´ on fija, suficientemente regular, definida en el dominio D, y a la on que exigimos satisfacer la condici´ on on h(x, y ) = 0

para

(x, y )

∈ γ


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En estas condiciones, tenemos una familia de superficies, que podemos denotar mediante Σf (h, ) cuya descripci´ on on de Monge es: (x, y)

∈ D → (x,y,f (x, y) + h( h(x, y)), )),

que se construyen a partir de la superficie Σf (aún un desconocida), tomando como dato de deformaci´ on o n la funci´ on on h(x, y ); aqu´ı  juega el papel de un par´ ametro, ametro, un iparam ram´ étri et rica ca de superficies, todas las de manera que esta familia es una familia unipa cuales tienen a la curva Γ como borde, ya que para cualquier valor del par´ ametro ametro  se verifica la condici´ on on f ( f (x, y ) + h( h(x, y )) = z (x, y ) para

(x, y )

∈ γ

El area a´rea de la superficie Σf (h, ) est´ a dada por:

Ah, =

  dxdy

1 + (f ( f x + hx )2 + (f (f y + hy )2

f (x, y )) tiene realmente area m´ınima entre Si la superficie Σf (descrita por f ( todas las superficies con el mismo borde, tambi´ tambi´ en en debe tener area a´re a m´ınima ıni ma entre entr e las de la familia uniparamétrica etrica anterior Σf (h, ). Esto Esto signifi significa ca que la funci funci´ on oń deb e tener un m´ınimo en  = 0, es decir h, debe

A

0= Derivando con respecto a  en se transforma en: dxdy

d

Ah, d



.

=0

Ah, y evaluando en  = 0 la condición on anterior

   D

f x hx + f y hy =0 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2

(6)

As´ As´ı pues, si la superficie sup erficie Σf es m´ınima, ınima , la condici´ cond ici´ on (6) debe satisfacerse para on cualquier elección on de la funci´ on on auxiliar h que satisfaga la condici´ on on de anulaci´ on on sobre γ . Por analog´ analog´ıa con lo estudiado estu diado anteriormente, el paso siguiente siguie nte debe deb e ser transformar la integral en (6) en otra integral que sea lineal en h, pero en donde no aparezcan las derivadas de h. La manera manera m´ mas a´s clara de hacerlo es la siguiente. Consideremos la integral en (6) (que debe anularse) como una suma de dos sumandos:

  dxdy

D

f x hx + 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2

  dxdy

D

f y hy 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2

Vamos a realizar la transformaci´ on de manera ligeramente diferente, aunque peron fectamente análoga, aloga, sobre cada uno de estos dos sumandos. Comenzemos con

   dxdy

D

f x hx 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2


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que escribiremos como (h´ agase agase un diagrama diagrama que aclare el uso de los l´ımites de integraci´ on): on): y xb (y ) f x dy hx dx. 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2 y xa (y )

   max

min

donde ymin , ymax son los valores m´ınimo y m´ aximo aximo de la coordenada y sobre la curva γ , mientras que xa (y ), xb (y) son los valores m´ınimo y m´ aximo aximo de x sobre el segmento de recta paralela al eje x y que tiene ordenada y. (Nota: para simplificar la discusi´ on estamos suponiendo que el dominio es convexo, y que la intersecci´ on on con las rectas paralelas a los ejes tiene s´ olo dos puntos; esta restricci´ olo on on simplifica la discusi´ on pero no es esencial al resultado). on f x Hacemos ahora la integraci´ on o n en x por partes, tomando u = ,

√1+(f 1+(f ) +(f +(f ) x

2

y

2

v = h. As´ As´ı obtenemos para la integral en x lo siguiente: siguiente:

 −    

f x h 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2



xb (y )

xb (y )

xa (y )

xa (y )

∂ ∂x

f x 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2



hdx.

El t´ ermino ermino de borde no contri contribuy buyee debido debido a que los dos puntos puntos (xa (y ), y), (xb (y ), y) est´ an an por construcci´ on o n sobre el borde γ y la funci´ on on h(x, y) se anula sobre γ . Integr Integrando ando ahora ahora con respecto respecto a y lo que obtenemos es que el término ermino que implicaba a la derivada con respecto a x de h puede reescribirse como una integral en la que es la propia funci´ on on h (y no su derivada) quien aparece como factor:

   dxdy

f x hx = 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2

−    ∂ ∂x

dxdy

f x 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2



h

La derivada parcial que aparece ahora en el integrando se calcula f´ acilmente: acilmente: conviene recordar que tanto f x como f y son funciones de x, y. El resultado es: ∂ ∂x

2 f xx f x f y f xy f x xx (1 + f y ) xy = 3 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2



 

 −  

 

−  

−



de manera que finalmente, lo que encontramos es: dxdy

f x hx = 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2

dxdy

2 f xx xx (1 + f y )

1 + (f ( f x

− f xf y f xy xy

)2

+ (f (f y

)2



3

h(x, y )

Para el otro sumando que involucra hy se procede de manera an´ aloga, aloga, pero intercambiando y por x. Es bastante evidente que tal procedimiento conduce a: dxdy

f y hy = 1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2

dxdy

2 f yy yy (1 + f x )

− f y f xf xy xy

1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2



3

h(x, y )


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As´ As´ı pues p ues,, la l a cond c ondici ici´ on oń de que la superficie sea m´ m´ınima, contenida en la ecuaci´ on (6), se convierte en:

 

dxdy

2 f xx xx (1 + f y )

2 − 2f xf y f xy xy + f yy yy (1 + f x ) h(x, y ) = 0



1 + (f ( f x

)2

+ (f (f y

)2



3

y como esta ecuación on debe satisfacerse para cualquier función on h(x, y) (con la sola exigencia de anularse sobre el borde γ ), ) , parece claro que la unica uńica posibilidad de f (x, y) que tal cosa ocurra es que el integrando se anule, esto es, que la funci´ on f ( satisfaga la ecuaci´ on: on: 2 f xx xx (1 + f y )

2 − 2f xf y f xy xy + f yy yy (1 + f x ) = 0

que se conoce como ecuaci´ on on de Lagrange Lagrange para las superficies superficies m´ınimas. A pesar de su aspecto superficialment superficialmentee inocente, inocente, como ecuaci´ on on diferencial diferencial es bastante bastante complicada: complicada: es muy no lineal y se conocen muy pocas soluciones soluciones expl´ expl´ıcitas. La b´ usqueda usqueda efectiva de superficies m´ınimas requiere el uso de técnicas ecnicas mucho m´ as avanzadas avanzadas y elaboradas. elaboradas. Un dominio cualquiera de un plano es evidentemen evidentemente te una superficie m´ınima, cuyo borde es una curva plana. Escogiendo adecuadamente las coordenadas, esta f (x, y ) = z0 , que satisface trivialmente la porci´ on on de superficie est´ a descrita por f ( ecuaci´ on o n de Lagran Lagrange. ge. Es decir, decir, si la curv curva Γ es una curv curva plana plana,, la superfici superficiee m´ınima con borde Γ es una porci´ on o n de plano. plano. Este Este ejem ejemplo plo es absolu absolutam tamen ente te trivial. A finales del S. XVIII se obtuvieron otras dos superficies m´ınimas relativamente sencillas. Una es el catenoide, que es la unica ´ superfici sup erficiee m´ınima ınima de revoluci r evoluci´ on. oń.

• Ejercicio 15.

La b´ usqueda usqueda de superficies superficies m´ınimas ınimas con un borde dado tiene como caso revoluci´ on (En ´ especialmente sencillo el de las superficies m´ınimas de revoluci´ este este caso el borde son dos c´ırculos paralelos y coaxiales). En este caso no es conveniente utilizar la ecuaci´ e cuación de Lagrange, Lagrange, ya que la descripci´ descripci´ on on de Monge de la superficie superficie no es posible posible (y adem´ adem´ as as el borde borde consta consta de dos curvas curvas desconec desconectad tadas) as).. Es más as f´ acil escribir directamente el ´ acil area area de la superfic superficie ie de revolu revoluci´ ci´ on on obteni obtenida da rot rotand ando o alreded alrededor or del eje y la curva curva y = y (x), entre los puntos x1 , y1 y x2 , y2 , como un funcional de la función y (x). Se pide pide escrib escribir ir este funcional, comprobar que formalmente coincide con el del problema de la catenaria y encontrar las soluciones en el caso particular “sim´ etrico” etrico” entre los puntos ( R, A) y (R, A). Este problema es interesante ya que dependiendo de los valores de R, A, puede ocurrir que el m´ınimo absoluto del funcional área area se alcance sobre una superficie de revoluci´ on on cuya generatriz no sea una curva con derivada continua (solución de Goldschmidt).

−

El otro ejemplo ejemplo de superficie m´ m´ınima es el helicode recto, que es la superficie engendrada por una recta “horizontal” que se desliza a velocidad constante a lo largo de un “eje” vertical al tiempo que gira alrededor de dicho eje, en un plano “horizontal” y a velocidad angular constante. Durante m´ as a s de 200 a˜ n os el catenoide y el helicoide han sido las unicas nos uńicas superficies m´ m´ınimas conocidas que satisfacen satisfacen las condiciones condiciones de ser embebidas embebidas en


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R3 ,

completas y sin autointersec autointersecciones. ciones. Por ello ha resultado una agradable noticia para la comunidad matem´ atica el descubrimiento a principios de los 80 del atica siglo pasado de una nueva nueva superficie m´ m´ınima que satisface satisface la exigencias exigencias anterianteriores: la superficie de Costa. Las técnicas, ecnicas, apoyadas apoyadas en el an´ alisis de funciones de variable compleja, que han llevado a este descubrimiento han abierto la puerta a una auténtica entica eclosi´ eclos i´ on de un mundo fascinante y mucho m´ on as as rico de superficies atico de I. Pem´ınimas. ınima s. Una descripci descri pci´ oń puede verse en el libro El turista matem´ on tersen, tersen, y sobre la superficie de Costa hay un art´ art´ıculo de C. J. Costa en La Gaceta Matem´ atica , 4 (1999)). Actualmente se conocen multitud de nuevos ejemplos. La portada del Notices of the American Mathematical Society de Diciembre de 2000 se dedi dedica ca a una una de ella ellas. s. En http://www.susqu.edu/brakke hay cantidad de informaci´ on on sobre superficies m´ınimas triplemente peri´ odicas. odicas. En particular, merece la pena indicar que para una porci´ on on de superficie arbitraria Σf pero con borde fijo Γ, la variaci´ on primera del funcional area est´ on a dada por:

A(Σf ) =

   dxdy

1 + (f ( f x )2 + (f (f y )2

D

δ

AΣ (h) = f



dΣf H Σf h

Σf

donde la funci´ on on H Σf es la llamada curvatura media de la superficie, Σf , definida como la semisuma de las dos curvaturas principales, que a su vez son las curvaturas m´ axima axima y m´ınima de las curvas planas que se obtienen como secciones seccione s normales de la superficie. La interpretaci´ on on geométrica etric a de la condici´ condi ci´ on de Lagrange, dada por on vez primera por Meusnier, es e s que las superficies sup erficies m´ m´ımimas tienen curvatura media igual a cero en todos sus puntos, lo que evidentemente garantiza la anulaci´ on del funcional variaci´ on on primera. Para acabar, conviene mencionar que las ideas b´ asicas (diferenciabilidad de asicas funcionales, funcionales, funcional funcional lineal variaci´ ariacion ´ primera, anulaci´ on de dicho funcional como on condici´ on on de extremalidad, extremalidad, etc,) se extienden a estos problemas. problemas. Aunque no hemos escrito de manera general el problema, puede comprobarse que para un funcional del tipo

F (f ) f ) =

 

dxdy Φ(x, f (x, y ), f x (x, y), f y (x, y )) dx, Φ(x, y ; f (

D

sobre un dominio D del plano y con condiciones de frontera sobre el borde γ de D del tipo (x, y )

∈ D → (x,y,z( x,y,z(x, y )), )),

donde

f ( f (x, y ) = f γ (x, y ) para (x, (x, y )

∈ γ

las ecuaciones de Euler-Lagrange que se obtienen son: ∂ Φ ∂f

∂ Φ ∂ ∂ Φ − ∂x∂ ∂f − = 0. ∂ y ∂f y x

forma de la que la extensi´ on o n a m´ as variables independientes, o a funciones vectoas riales de varias variables resulta ya evidente.


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Bibl Bi blio iogr graf´ af´ ıa ıa La f´ısica que contienen los problemas variacionales est´ a expuesta de manera insu insuper perabl ablee en las las “L “Lec ectur tures es”” de Feynm eynmann ann.. Resu Result ltan an de lectu lectura ra obliga obligada da en relaci´ on on con este tipo de problemas problemas los Cap´ Cap´ıtulos “Optica, el principio principio del tiempo m´ınimo” Cap. 26 del Vol I y “El principio de m´ınima acci´ on”, Cap. 16, Vol II. Physics, Fondo Ed1. R.P. R.P. Feynmann, eynmann, R. B. Leighton Leighton y M. Sands, Lectures on Physics, ucativo Interamericano, 1971. La mayor parte de los textos de Mec´ anica anica Cl´ asica dedican cierto tiempo a la asica exposición on de las técnicas ecnicas del c´ alculo variacional. Por ejemplo: alculo Mechanics, Addison Wesley, 1980. 2. H. Goldste Goldstein, in, Classical Mechanics, Un resumen excelente, incluyendo con detalle aplicaciones a la Fisica y con una lista de referencias de los textos cl´ asicos asicos del C´ alculo de Variaciones en Fisica alculo Matematica Matematica (Lanczos, (Lanczos, Yourgrau ourgrau y Mandelstam): Mandelstam): Physicists, Academic Press, New York, 3. G. Arfken, Arfken, Mathematical Methods for Physicists, 1985. Sobre la matem´ aticas aticas del c´ alculo variacional, los tres textos siguientes contienen alculo el material fundamental. Variations, Prentice Hall, New York. 4. I. M. Gelfand, S.V. Fomin, Fomin, Calculus of Variations, 5. J.L. Troutma Troutman, n, Variational Calculus with Elementary Convexity , Springer Verlag, Berlin. alculo Variacional., Variacional., MIR, Mosc´ 6. L. Elsgolt Elsgoltz, z, Ecuaciones Diferenciales y C´ u. u. El librito siguiente tiene una gran colecci´ on on de problemas: alculo Variacional (Ejemplos 7. M.L. Krasnov, Krasnov, G.I. Mak Makarenk arenkoo y A.I. Kiseliov, Kiseliov, C´ y Problemas)., Problemas)., MIR, Mosc´ u, u, 1976. Finalmente, Final mente, mencionemo menci onemoss el e l art a rt´´ıculo mundos?., Mundo 8. S. Hildebran Hildebrandt, dt, ¿Es minimalista el mejor de los mundos?., Mun do Cient Cie nt´´ıfico ıfic o 188, Marzo, 1998.


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Problemas Recopilaci´ on on de L. M. Nieto 1 Dado el funcio funcional nal



b

F [y(x)] =

Φ(x, Φ(x, y (x), y  (x)) dx,

a

demu´ demuéstrese estrese la equivalencia equivalencia de las dos formas siguientes de las ecuaciones ecuaciones de Euler-Lagrange ∂ Φ d ∂ Φ ∂ Φ d  ∂ Φ a) b y = 0 ) Φ = 0. ∂y dx ∂y  ∂x dx ∂y 

−

−

2 Si la funci´ on on Φ(x, Φ(x, y(x), y (x)) en el funcional

− 

F [y(x)] es del tipo

Φ(x, Φ(x, y (x), y  (x)) = Φ1 (x, y (x)) + Φ2 (x, y (x)) y (x), ∂ Φ1 ∂ Φ2 demuéstrese estrese que la ecuaci´ ecuac i´ on de Euler-Lagrange conduce a on = ¿Qué ∂y ∂x implica este hecho sobre la dependencia de la integral respecto a la elecci´ on del camino? 4 Obténgase engase la forma que adopta la ecuaci´ on de Euler-Lagrange en los siguientes on casos particulares: a) Φ sólo olo depende de y . b) Φ no depende de y . c) Φ no depende expl´ expl´ıcitamente de x. d) Φ = G(x, y) 1 + y  2 .

   −       − −

5 Apl´ Apl´ıquense los l os resultados anteriores a los ejemplos siguientes: π/ 2) = π/2. π/2. a) [y (x)] = y (2x (2x y )dx, y(0) = 0, 0, y (π/2)  b) [y (x)] = (y2 + 2xyy 2xyy )dx, y(a) = A, y(b) = B . c) [y (x)] = (1 + y 2 )1/2 dx, y(a) = A, y(b) = B. d) [y (x)] = y  (1 + x2 y  )dx, y(1) = 3, 3, y (2) = 5. 5.

F F F F

6 Encuéntrense entrense los extremales de los siguientes sigui entes funcionales: b 2 2 dx. a) [y (x)] = a [y + y  2y sin x]dx. b 2 2 y dx. b) [y (x)] = a [y 2y cosh x]dx.

F F c) F [y (x)] = d) F [y (x)] =

b 2 a [y b 2 [y a

− −

2 dx. + y  + 2ye 2ye x ]dx. 2 y dx. 2y sin x]dx.

−

7 Demu´ estrese estrese que dados dos puntos cualesquiera del plano de abscisas diferentes, en general no hay extremal del funcional

  b

F [y(x)] = que pase por dichos puntos.

a

(y 2 +

1 + y  2 )dx


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8 Demu´ estrese estrese que la soluci´ on de un problema variacional de extremos fijos no on depende de la forma en que se exprese la relaci´ on on entre las variables x e y, es decir, se obtiene la misma soluci´ on on cuando se expresa y como funci´ on on de x que cuando se utiliza una representaci´ on on param´ par amétrica etr ica para par a x e y. 9 Demu´ estrese estrese la invariancia invariancia de la ecuaci´ on de Euler frente a cambios de cooron denadas. 10 H´ allense las ecuaciones de Euler-Lagrange para el funcional “de orden superior” allense



b

F [y(x)] =

Ψ(x, Ψ(x, y(x), y (x), y  (x)) dx.

a

con las condiciones de frontera y(a) = A, y(b) = B ; y  (a) = A , y  (b) = B  . 11 Pruébese ebe se que qu e la l´ınea recta es el e l camino ca mino m´ as corto entre dos puntos en el plano euc eu cl´ıde ıd eo. 12 Haciend Haciendo o pompas de jab´ on. Considérese erese una superficie de revoluci´ on generada al girar alrededor del eje x una curva y(x) que pasa por dos puntos dados (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ). Determ´ Determ´ınese la curva curva y (x) de manera que la superficie lateral de la figura engendrada engendrada sea m´ınima. Particular Particular´´ıcese a los siguientes siguientes casos: a) (x1 , y1 ) = ( 1, 1) y (x (x2 , y2 ) = (1, (1, 1) ; b) (x1 , y1 ) = ( 1/2, 1) y (x (x2 , y2 ) = (1/ (1/2, 1). Usando los resultados anteriores para el caso particular “simétrico” etrico” ( p, 1) y ( p, 1), h´ allese allese la ecuaci´ on on transcendent transcendentee en p que resulta al imponer que el area a´rea de la superficie de revoluci´ on on coincida con el area a´rea de los dos discos cuyos bordes son los dos c´ırculos ırculo s lateral l aterales. es.

− −

−

14 Consideremos Consideremos otra configuraci´ configuraci´ on de una pel pe l´ıcula de jab´ on on (que es una superficie m´ınima) montada sobre dos aros de radio unidad uni dad colocados colo cados perpendicularmente p erpendicularmente al eje x con sus centros sobre él, el, en x = p (como en ejercicios precedentes) y un tercer aro de radio a, paralelo a los aros anteriores y centrado en el origen. La configuraci´ on consiste en tres superficies: el disco central y dos catenoides on que unen el aro central a cada uno de los laterales; cada uno de ellos est´ a descrito por sus secciones en el plano x–y mediante ecuaciones del tipo x y = c cosh +k . c

±

 

a) Imp´ onganse las condiciones de contorno en x = 0 y x = p para que los onganse catenoides se apoyen en los aros correspondientes. b) Aunque no es imprescindibl imprescindiblee (ya que es consecuencia consecuencia de suponer que la superficie perfi cie que as´ as´ı se obtiene obtie ne es m´ınima), ınima) , simplifica simpli fica mucho los l os c´ calculos ´ suponer que los catenoides catenoides forman forman entre entre s´ı y con el disco central angulos ańgulos de 120o . Exprésese esese esta condici´ condi ci´ on on en forma algebraica.

±


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c) Demu´ estrese estrese que el area a´rea total de la configuraci´ on (los dos catenoides m´ on as as el del disco central) es 2 p 2 p A = c2 sinh + 2k 2k + c c

   

d) Encuéntrese entrese de forma num´ erica erica el valor m´ aximo aximo de p que permite esta configuraci´ on on Nota: Nota: la configurac configuraci´ i´ o n de las pompas de jab´ on on que acabamos de describir es on f´ısicamente ısica mente realizable realiz able y es estable. estab le. ´ 15 Una manera de enunciar enunciar el principio de Fermat Fermat en Optica es decir que para ir de un punto P a otro Q los rayos de luz seguir´ an an el camino γ para el cual



Q

T [γ ] =

n(x,y,z) x,y,z ) ds

P

x,y,z ) el ´ındice de refracci´ es un m´ınimo, ıni mo, siendo sie ndo n(x,y,z) on on del medio y s la longitud de arco medido a lo largo de la trayectoria de la luz γ . Para el caso de propagaci´ on de la luz en un plano y tomando los puntos inicial y final P ( 1, 1), on Q (1, ay, c) n = a/y, a/y , (1, 1), encuéntrese entrese el camino cuando a) n = ey , b) n = ay, d) n = a y , e) n = a/ y .

≡

≡ −

√

√

16 Una part´ part´ıcula se mueve sin rozamiento desde d esde un punto A a un punto B , ambos en la superficie superficie de la Tierra Tierra,, a trav´ trav´ es es de un t´ unel en el interior de la tierra, bajo la acci´ on on exclusiv exclusiva de la gravedad. gravedad. Determ´ Determ´ınese la ecuaci´ on diferencial que determina la forma del t´ unel si se desea que el tiempo del viaje entre A unel y B sea m´ınimo ıni mo (sup´ (su póngase ongase que la Tierra es una esfera de densidad uniforme y despr´ de spréciese eciese su movimiento movi miento de rotaci´ rotac i´ on). on). Demuéstrese estres e que la soluci s oluci´ on oń es una hipocicloi hipocicloide de y h´ allese el tiempo que dura el viaje entre A y B . allese 17 Pruébese ebe se que el principio princ ipio de m´ınima acci´ on asociado al lagrangiano on

 −  −  −    −

L = mc2 1

1

v2 c2

V ( V (r )

conduce a una versi´ on relativista de la segunda ley de Newton que es on d dt

mvk

1

− v2 /c2

= F k =

∂ V ∂x k

18 Sabiendo que el lagrangiano lagrangiano de una part´ part´ıcula de carga q que se encuentra en un campo ca mpo electromagnético etico descrito por p or un potencial escalar ϕ y un potencial  vector A es 1  v, L = mv2 q ϕ + q A v, 2 h´ allense allen se las ecuaciones ecuac iones de movimiento movimi ento de la part pa rt´´ıcula cargada. carga da. Recuérdese erdese que   =  ϕ ∂ A ,  =  A.  E B ∂t

−

−∇ −

·

∇×


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20 Al estudia estudiarr las peque˜ peque˜ nas vibraciones de una cuerda, el lagrangiano que aparece nas es 2 2 ∂u ∂u 1 1 L=  τ dx, 2 2 ∂t ∂x

    −   

siendo  la densidad lineal de masa y τ la tensi´ on (supuestas ambas constantes a on lo largo de la cuerda). La integraci´ integraci´ on se extiende a toda la longitud de la cuerda. Pru´ ebese ebese que aplicando aplican do el principio de Hamilton a la densidad lagrangiana (el integrando en la anterior expresi´ on) on) se llega a la ecuaci´ on on cl´ asica asica para la cuerda vibrante ∂ 2 u  ∂ 2 u . = ∂x 2 τ ∂t 2 21 La densidad lagrangiana lagran giana por p or unidad de volumen de un campo camp o electromagnético etico en el vac´ vac´ıo con densidad de carga  es B2 1  L= 0 E 2  ϕ +  v A, µ0 2 siendo 0 la permitivid perm itividad ad del vac´ vac´ıo y µ0 la permea pe rmeabil bilida idad d del d el vac´ vac´ıo. Pruébese eb ese que las ecuaciones de Lagrange conducen a dos de las ecuaciones de Maxwell  y B  (las otras dos son precisamente una consecuencia de las definiciones de E  ). en términos erminos del potencial escalar ϕ y del potencial vector A



−

−

·

22 Encuéntrese entrese la ecuac e cuaci´ i´ on de Euler-Lagrange para el problema mecano-cu´ on antico antico consistente en imponer que el valor esperado de la energ´ energ´ıa para un hamiltoniano hamilton iano 2 V (x,y,z) x,y,z ) en un estado arbitrario arbitrario independiente del tiempo H = (/2m) + V ( x,y,z ), estacionario descrito por una funci´ on on de onda ψ(x,y,z),

−

  |

∇

ψ ∗ (x,y,z) x,y,z )H ψ (x,y,z) x,y,z ) dx dy dz,

R3

x,y,z ) a la condici´ sea un m´ınimo, estando sujeta la funci´ on de onda ψ (x,y,z) on on habitual de normalizaci´ on on ψ(x,y,z) x,y,z ) 2 dx dy dz = 1.

|

3

R

∗

Nota: las funciones ψ y ψ deben tratarse como independientes. Las derivadas segundas segundas del funcional que hay que considerar pueden convertir convertirse se en derivadas derivadas primeras integrando por partes. 23 Un volumen volumen dado de agua se encuentra encuentra dentro de un cilindro situado verticalverticalmente en el campo gravitatorio, que rota con velocidad angular constante ω . Calc´ ulese la forma que adopta la superficie del agua de manera que se minimice ulese la energ e nerg´´ıa potencial total de la l a masa de agua. 24 Demu´ estrese estrese que dado el funcional



b

F [y(x)] =

a

p(x) y  (x) [ p(

− q(x) y2 (x)] dx,


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con p(x), q (x) funcion funciones es dadas, dadas, al determi determinar nar las funcion funciones es y(x) que hacen [y (x)] estacionario con las condiciones adicionales

F



b

y2 (x) w (x) dx = 1,

p(a) y (a) y (a) = p(b) y  (b) y(b),

a

se llega a una ecuaci´ on del tipo Sturm-Liouville. on 25 Determ´ Determ´ınese la ecuaci´ on que resulta al buscar la funci´ on on on ϕ(x) que hace estacionario el funcional

  b

F [ϕ(x)] =

b

a

K (x, y ) ϕ(x) ϕ(y ) dxdy,

a

siendo el n´ ucleo ucleo integral integral K (x, y ) = K (y, x) una funci´ on conocida y estando la on función on inc´ ognita ognita ϕ(x) sujeta a la condici´ on on de normalizaci´ on on



b

ϕ2 (x) dx = 1.

a

26 Supongamos que una onda s´ısmica viaja a trav´ es es de d e la Tierra (supuesta plana) con una velocidad que es directamente directamente proporcional proporcional a la profundidad. profundidad. Calc´ ulese la trayectoria que seguir´ a la perturbaci´ on para ir desde un punto A a otro B , on ambos arbitrarios y en el interior de la Tierra, con la exigencia de que el tiempo de propagaci´ on on sea se a m´ınim ın imo. o. 27 Bajo determinadas determinadas aproxim aproximaciones aciones (peque˜ (peque˜ nas desviaciones respecto a la posici´ on on horizontal), se puede demostrar que las energ´ energ´ıas cinética etica y potencial de una viga de longitud L, m´ odulo odulo de elasticidad K y densidad lineal  son

  

2

 



2

∂y( ∂y (t, x) ∂ 2 y (t, x) 1 L 1 L T = (x) dx, V = = K dx. ∂t ∂x 2 2 0 2 0 Usando el principio de m´ınima acci´ on, on, determ´ınese ınese la ecuaci´ ecuac i´ on on diferencial en derivadas parciales que rige el movimiento de la viga. 28 H´ allense las curvas que en el campo de fuerzas definido por allense  (r ) = (X (r ), Y ( F ( F Y (r ), Z (r )) con r = (x,y,z) x,y,z ), hacen extremal el trabajo entre dos puntos cualesquiera r0 y r1 . ¿Pueden ¿Pueden ser ser arbitrarios estos dos puntos? ¿Qu´ e ocurre ocu rre si el campo admite a dmite funci´ on on potencial p otencial?? 29 Querem Queremos os determina determinarr la forma del morro morro de un avi´ on, supuesto dado por una superficie de revoluci´ o n que minimice la resistencia al avance en el seno de on un gas de densidad peque˜ na, n a, a velocid elocidad ad v . Si toma tomamo moss la direc direcci ci´ on oń del movimiento como eje x (en sentido negativo) y el morro como la superficie de revoluci´ on on alrededor del eje x con generatriz y = y (x) con y (0) = 0, 0, y(l) = R, encontrar el funcional la fuerza de resistencia, dependiendo de la forma y = y(x) de la generatri generatriz. z. Resolv Resolver er la ecuaci´ ecuacion oń de Euler-Lagrange haciendo la apro 2 ximaci´ on on 1 + (y ( y (x)) 1. (Not (Nota: a: sup´ sup´ o ngase que el gas es ideal y que los ongase



≈


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choques choques de las mol mol´éculas eculas del mismo mismo con el cuerpo cuerpo son el´ asticos; asticos; asimismo, asimismo, sup´ ongase que el cuerpo es “afilado”) ongase 30 Entre Entre todas las curvas que unen dos puntos puntos dados A y B , encu´ enc uéntrese entr ese aquell aqu ellaa que genera la superficie de revoluci´ on on de area a´rea m´ınima cuando cuan do se gira en torno to rno a una recta r. Sup´ ongase que esta recta no pasa por A ni B , y que las curvas no ongase cortan a r en ning´ un un punto. punto. Nota: sin pérdida erdida de generalidad generalidad se puede elegir r coincidente con el eje OX . OX . 31 Consideremos una part´ part´ıcula material en una dimensi´ on y de masa m. Encu En cu´énen trense las ecuaciones de Lagrange en los siguientes casos: F (x) = kx. kx. a) La part´ part´ıcula est´ a sometida a una fuerza F ( b) Adem´ as as de la fuerza anterior sometemos la part´ part´ıcula a una fuerza proporcional a la velocidad. c) Adem´ as de las dos fuerzas anteriores, tenemos una fuerza peri´ as odica odica del tipo F ( F (t) = cos αt, αt, con α constante. d) Supongamos ahora ahora que habita en un espacio tridimensio tridimensional nal y que est´ a some = kx. H´ tida a una fuerza F allense las ecuaciones de Lagrange. allense e) Resuélvanse elvanse las ecuaciones de Lagrange en los cuatro casos anteriores.

−

−

32 H´ allense allense las geodésicas esicas del cono circular circular z 2 = a2 (y 2 + x2 ). Pruébese ebese que cualquier geod´ geo désica esica sobre una rama del cono tiene la siguiente propiedad: si la rama se corta co rta desde el vértice ertice a lo largo de un generador y la superficie sup erficie del cono se desarrolla hasta que constituya una superficie plana, la geod´ geo désica esica se convierte en una recta. (Nota: si [r,ψ,z [r,ψ,z]] son las coordenadas con que describimos el cono y [, ϕ] son coordenadas polares en la superficie plana, antes de demostrar la ψ/(1 propiedad propie dad pedida ped ida mu´ estrese estrese que  = r (1 + a2 )1/2 y ϕ = ψ/ (1 + a2 )1/2 ). 33 Problem Problema a de Kelvin: Kelvin: supongam supongamos os que en el plano X OY está distri dis tribu bu´´ıda una masa de densidad continua µ(x, y) y supongamos que se tiene en el plano una curva Γ suave a trozos y dos puntos P 1 y P 2 sobre sobre la misma. misma. Entre Entre todas las C de longitud fija L que unen estos puntos, h´ curvas C de allese la que, conjuntamente allese con el arco P 1 P 2 de la curva Γ, forme un recinto D de masa m´ axima. axima. Los puntos P 1 y P 2 pueden coincidir. Nota: util´ util´ıcese el hecho hecho de que la curvatura curvatura de una curva plana pl ana descrita descri ta paramétricamente etrica mente es: x˙ y¨ x ÿ˙ k= 2 . (x˙ + y˙ 2 )3/2

| − |

34 En uno de los numerosos numerosos viajes que el doctor Zarkov Zarkov efectu´ o con Flash Gordon m´ as as all´ a de los l´ımites del universo conocido, cono cido, detect´ o la existencia de un universo bidimensional asentado sobre una superficie elipsoidal que quedaba bien descrita por la ecuaci´ on: on: x2 + y 2 z2 + = 1, R2 aR)2 (aR)

(R = cte. > 0), 0),

(a = cte.

≈ 1), 1),


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donde a era una constante de valor muy pr´ oxim o ximoo a 1. El doctor doctor Zark Zarkov se sent´ sent´ıa intrigado intriga do por conocer cono cer qué forma adoptar adop tar´´ıan en este universo los rayos P . luminosos que, partiendo de un sol S , alcanzan un planeta P .

z S

y

x

P

Encontr´ o evidencias de que en dicho universo se verificaba el principio de Fermat y de que el ´ındice ındice de refracci´ on era constante en toda su extensi´ on on on (igual a un valor n0 ), pero no supo hallar las trayectorias de la luz pues no dominaba las técnica ecn icass del de l cálculo alc ulo variacion variac ional. al. Ay Ay´ udele ´ a calcular e interpretar las trayectorias de los rayos luminosos en dicho universo.

Teoria Calculo Variacional

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