UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA Facultad Ciencia Tecnología y Ambiente
Calculo IV
Yahoska Conrado Hernandez
INGENIERIA INDUSTRIAL
2013 Docente: RobertoRuiz
Ecuación diferencial ordinaria En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas:
una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus derivadas respecto de tal variable.
Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las lineales asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo). No obstante, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin requerirse su formulación exacta.
Definiciones Ecuación diferencial ordinaria
Si y es una función desconocida:
de x siendo
la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma
1. es llamada una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n. Para funciones vectoriales ,
la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m. Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma
es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma
es llamada una ecuación diferencial explícita. Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma. Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y
Siendo, tanto ai( x) como r ( x) funciones continuas de x. La función r ( x) es llamada el término fuente; si r ( x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea. Soluciones
Dada una ecuación diferencial
una función u: I ⊂ R derivable en I , y
→
R es llamada la solución o curva integral de F , si u es n veces
Dadas dos soluciones u: J ⊂ R I ⊂ J , y
→
R y v: I ⊂ R
→
R , u es llamada una extensión de v si
Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general Ecuación de variables separables
Son EDOs de la forma:
En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:
En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación
De donde es posible obtener la solución
Ecuación exacta
Una ecuación de la forma:
se dice exacta si existe una función F que cumpla:
y
Su solución es entonces:
Ejemplo:
Ecuación lineal con coeficientes constantes
La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes t iene la forma:
La resolución de esta ecuación depende de las raíces del polinomio característico:
En función de cómo sean las raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles y distintos:
Caso 1: dos raíces reales y distintas tiene la forma:
Caso 2: dos raíces reales e iguales la forma:
Caso 3: dos raíces complejas conjugadas caso la solución general tiene la forma:
, en este caso la solución general
, en este caso la solución general tiene
, en este
Ejemplo:
Es una ecuación lineal, la llevamos a la forma canónica y calculamos el factor integrante:
Multiplicando toda la ecuación por ese factor, queda:
Comprobación:
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes.
Solución a una ecuación diferencial homogénea lineal con coeficientes constantes. Se parte de la solución general que soluciona la ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes ecuación más simple, de primer orden, donde se muestra que la solución siempre es del tipo y=ce^(mx) y se asume que para ecuaciones de orden superior como la ecuación de segundo orden la solución es una exponencial con esta forma. Al hacer esto el problema se reduce a encontrar los valor de m que hacen que la ecuación se haga cero (ya que es homogénea), formándose una ecuación auxiliar que depende solo de los valores de m. En el caso de una ecuación de segundo orden se presentan 3 casos para los valore de m. El primero; que las raíces de la ecuación auxiliar sean distintas y reales, el segundo; las raíces son reales e iguales y el tercero; que ambas sean complejas conjugadas.
Método de solución: Una ecuación diferencial homogénea como ( )
( ) se puede resolver por sustitución algebraica. Específicamente, alguna de las dos sustituciones () o (), donde u y v son nuevas variables dependientes, reducen la ecuación a una ecuación diferencial separable, de primer orden:
() ()[ ] Aplicamos la propiedad de homogeneidad para poder escribir:
( ) ( )[ ] Que da:
( ) ( ) ( )
Ejemplo #1: Resolver: ( ) ( )
Bibliografía:
www.univalle.edu.co/ www.oocities.org/mx es.wikipedia.org/wiki
