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Programación Aplicada PET – 23
CALCULO DEL FACTOR FACTOR “Z” DE LOS GASES POR EL METODO HALL – YARBOROUGH I. INT INTRO RODU DUCC CCIÓ IÓN. N. El !actor de compresi"ilidad #$ es %n !actor de corrección$ &%e se introd%ce en la ec%ación de estado de gas ideal para modelar el comportamiento de los gases reales$ los c%ales se p%eden comportar como gases ideales para condiciones de "a'a presión y alta temperat%ra$ tomando como re!erencia los valores del p%nto crítico$ es decir$ si la temperat%ra es m%c(o m)s alta &%e la del p%nto crítico$ el gas p%ede tomarse como ideal$ y si la presión es m%c(o m)s "a'a &%e la del p%nto crítico el gas tam"ién se p%ede tomar como ideal* +a desviación de %n gas respecto de s% comportamiento ideal se (ace mayor cerca del p%nto crítico* ,emitiéndonos a la sección de -ases Ideales tenemos.
Introd%ciendo el !actor de corrección #.
Por lo tanto.
El !actor # tam"ién se p%ede entender como.
/onde 0act%al. vol%men especí!ico &%e se tiene del gas* 0act%al. 0ideal. vol%men especí!ico del gas tomado de la ec* de gas ideal*
Signific!" !#$ %$"& !# Z. Si el valor de # es ig%al a 1 esto indica &%e el gas se comporta como ideal* Si el valor de # es mayor o menor &%e 1 el gas se comporta como %n gas real* Mientras mas grande sea la desviación del valor de # con respecto a 1$ mayor es la desviación del comportamiento respecto al comportamiento ideal del gas* Univ* enry Isaac r%4 +%cas
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+as relaciones de cartas dadas por Standing – 5at4 para sistemas de condensado de gas y gas$ p%eden ser descritas en %na n%eva ec%ación* Esta ec%ación solo necesita ingresar los valores de presión y temperat%ra$ acompa6adas con las !racciones molares del gas$ para poder encontrar al !actor de desviación 4* 7at%ralmente$ no se trata de %na sola ec%ación empírica$ sino &%e es el res%ltado de los an)lisis (ec(os por 8ar"oro%g( – all$ de las cartas anali4adas por Standing – 5at4* +o &%e se &%iere reali4ar es %n método iterativo$ para el c)lc%lo de 4$ para lo c%al se "asaron en la ec%ación de estado* +a !acilidad de este método se de"e a &%e los c)lc%los los reali4a el comp%tador$ con lo c%al$ adem)s de ser %n método r)pido$ es tam"ién %n método &%e determina el !actor de desviación del gas con gran apro9imación: de"ido a &%e reali4a correcciones por la presencia de imp%re4as en el gas ;)cido s%l!(ídrico$ an(ídrido car"ónico< como los m)s importantes en c%anto a imp%re4as*
II. 'USTIFICACIÓN. El !actor de compresi"ilidad$ 4$ de %n gas nat%ral es %na medida de s% desviación respecto al comportamiento del gas ideal* S% valor esta %s%almente entre $= y 1$2$ pero p%ede estar tan "a'o como $3 y tan alto como 2$* se %sa en el calc%lo de las se%do>presiones del gas$ y en conversiones de vol?menes a ca%dales de gas de condiciones est)ndar a condiciones de reservorio ; y viceversa<* Es a veces llamado !actor de desviación$ y tam"ién !actor de s%per>compresi"ilidad &%e no de"e con!%ndirse con la @compresi"ilidad ;cam"io de vol%men por %nidad de vol%men por cam"io %nitario en presión<* Se descri"e y aplica %n algoritmo "asado en el concepto de regiones de con!ian4a en la optimi4ación de sistemas de prod%cción de gas conociendo propiedades pse%do>críticas necesarias$ Sin em"argo estas propiedades pse%do>criticas$ Ppc y Tpc$ no representan las propiedades críticas act%ales de la me4cla de gas* Estas propiedades son %sadas como par)metros de correlación dentro de la generación de propiedades de gas En orden de e9presar %na relación mas e9acta entre las varia"les p$0$ y T$ %n !actor de corrección llamado !actor de compresi"ilidad del gas* B)sicamente$ representan la magnit%d de desviación de los gases reales &%e a%mentan con el incremento de la presión y temperat%ra a di!erencia de los gases ideales adem)s varían ampliamente con la composición de los gases$ es así &%e los gases reales tienen di!erente comportamiento &%e los gases ideales* El pro"lema de optimi4ación se esta"lece considerando &%e %n sistema de prod%cción de gas dado de"e prod%cir de manera óptima la cantidad s%!iciente para satis!acer %na demanda El sistema de prod%cción de gas se descri"e %tili4ando dos %nidades concept%ales. po4o y !actor de compresi"ilidad* Así$ el algoritmo prop%esto reali4a la sim%lación del proceso para determinar las propiedades pse%do>criticas$ peso molec%lar total o aparente$ densidad total del reservorio$ gravedad especi!ica así como el !actor de compresi"ilidad del gas para %na topología previamente !i'ada de po4o* +os po4os se modelan rig%rosamente a ciertos métodos (aciendo varias consideraciones del mismo lo &%e res%lta en %n sistema de ec%aciones* +as propiedades termodin)micas son calc%ladas Univ* enry Isaac r%4 +%cas
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con métodos de apro9imaciones de temperat%ra y presión pse%do>criticas de Standing –5at4 y BroCn* +a evidencia de los res%ltados o"tenidos m%estra la "ondad del algoritmo prop%esto*
III. OB'ETI(OS. 1* DBETI0D -E7E,A+ ♦ /eterminar
el !actor 4 de los gases$ mediante el método de all – 8ar"oro%g(
2* DBETI0DS ESPEFGIDS ♦ Aplicar los conceptos iteración de programación$ para resolver el método* ♦ Aplicar el método de 7eCton – ,aspón para resolver ec%aciones no lineales*
I(. MARCO TEORICO. +os primeros est%dios !isico&%ímicos reali4ados a partir del siglo 1H invol%craron el est%dio de los gases dentro de %n reservorio$ de"ido a &%e éstos responden en !orma m)s dram)tica a cam"ios en el am"iente &%e los lí&%idos y los sólidos* +a mayoría de estos primeros est%dios est%vieron !ocali4ados en las variaciones de presión$ temperat%ras y vol%men de %na determinada porción de gas ;relaciones p>0>T<* Es asi &%e se esta"le4ca en !orma "reve las di!erencias entre gas ideal y %n gas real • •
• •
Para %n gas ideal la varia"le 4 siempre vale %no$ en cam"io para %n gas real$ 4 tiene &%e valer di!erente &%e %no* +a ec%ación de estado para %n gas ideal$ prescinde de la varia"le 4 ya &%e esta para %n gas ideal$ vale %no* 8 para %n gas real$ ya &%e esta varia"le tiene &%e ser di!erente de %no$ así &%e la !orm%la &%eda de esta !orma. pV=znRT * +a ec%ación de van der Jaals se di!erencia de las de los gases ideales por la presencia de dos términos de corrección: %no corrige el vol%men$ el otro modi!ica la presión* +os gases reales$ a presiones y temperat%ras cercanas a las am"ientales$ act?an como gases ideales*
/e esta simple ley se ded%cen las isotermas de %n gas ideal.
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El modelo de @gas ideal permite de!inir %n marco de re!erencia para est%diar el comportamiento de los gases* En alg%nas ocasiones$ podremos modelar los gases %tili4ando +eyes Ideales: sin em"argo$ es de gran importancia tener %na noción de las desviaciones &%e s%!ren éstos "a'o determinadas condiciones de temperat%ra$ presión y vol%men* +os gases nat%rales o reales presentan las sig%ientes desviaciones del comportamiento ideal.
Esta desviaciones aparecen prod%cto de la di!erencia de vol%men$ por lo &%e de!iniremos el !actor de compresi"ilidad ;#<$ &%e corresponde a %na medida de la @no>idealidad en el comportamiento de %n gas.
Para %n -as Ideal$ el !actor de compresi"ilidad es %nitario$ mientras &%e para -ases ,eales es mayor o menor &%e 1* E'emplos para el 2D$ D2 y D2 gaseosos.
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@Estili4ando %n poco el diagrama anterior$ podemos generali4ar las isotermas P0 para %n gas real ;nótese &%e a altas$ T e9tremo s%perior derec(o$ el gas real se apro9ima al comportamiento ideal<.
Importante. - Los gases reales pueden considerarse como ideales a bajas presiones y altas temperaturas - El volumen de las moléculas sí importa, no es despreciable - Las uerzas de interacci!n entre moléculas de los gases inluye
Por !ort%na$ las ec%aciones termodin)micas de estado para gases reales tam"ién p%eden %tili4arse para los !l%idos s%percríticos* ada especie de gas p%ro ;ag%a$ dió9ido de car"ono$ o9ígeno$ metano $ etano $propano $etc*< tiene %n ?nico p%nto crítico$ so"re el c%al desaparecen los límites entre el lí&%ido y el vapor* Para el p%nto crítico se tiene &%e.
+a manera o"via de cam"iar a %n gas en %n lí&%ido es en!riarlo a %na temperat%ra por de"a'o de s% p%nto de e"%llición* ay otra manera de condensar %n gas para !ormar %n lí&%ido$ sin em"argo$ implica a%mentar la presión en el gas* +os lí&%idos (ierven a la temperat%ra a la c%al la presión del Univ* enry Isaac r%4 +%cas
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vapor es ig%al a la presión del lí&%ido con s%s alrededores* Elevar la presión en %n gas por lo tanto a%menta con e!icacia el p%nto de e"%llición del lí&%ido* S%ponga &%e tenemos vapor de ag%a ;o vapor< en %n envase cerrado a 12 y 1 atmós!era de presión* P%esto &%e la temperat%ra del sistema est) so"re el p%nto de e"%llición del ag%a$ no (ay ra4ón para &%e el vapor condense para !ormar %n lí&%ido* 7ada s%cede (asta &%e comprimimos lentamente el envase de tal modo &%e se eleva la presión del gas (asta &%e la presión alcan4a 2 atmós!eras* En este p%nto$ el sistema est) en el p%nto de e"%llición en el &%e (ierve el ag%a y algo del gas se condensar) para !ormar %n lí&%ido* Tan pronto como la presión en el gas e9ceda 2 atmós!eras$ la presión del vapor del ag%a a 12 no es lo "astante grande para &%e el lí&%ido (ierva* El gas por lo tanto condensa para !ormar %n lí&%ido$ como se indica en la !ig%ra
* En teoría$ de"eríamos poder predecir la presión a la c%al %n gas condensa a %na temperat%ra dada cons%ltando %n diagrama de presión del vapor contra temperat%ra * En la pr)ctica$ cada comp%esto tiene %na temperat%ra crítica ;Tc<* Si la temperat%ra del gas est) so"re la temperat%ra crítica$ el gas no se p%ede condensar$ sin importar la presión aplicada* +a e9istencia de %na temperat%ra crítica !%e desc%"ierta por T(omas AndreCs en 1=N mientras &%e est%dia"a el e!ecto de la temperat%ra y de la presión en el comportamiento del dió9ido de car"ono* AndreCs encontró &%e él podría condensar el gas del D2 en %n lí&%ido elevando la presión en el gas$ mientras él mant%vo la temperat%ra por de"a'o de 31* A esta temperat%ra se re&%iere de %na presión de H2*=L atmós!eras para lic%e!arce el gas de D2* AndreCs encontró &%e era imposi"le convertir gas de D en lí&%ido por encima de esta temperat%ra$ no importa"a &%e tanta presión se aplicara* +os gases no se p%eden lic%e!arce a temperat%ras por encima de la temperat%ra crítica por&%e en este p%nto las características de los gases y de los lí&%idos son las mismas$ y no (ay "ase so"re la c%al disting%ir entre los gases y los lí&%idos* +a presión del vapor de %n lí&%ido a la temperat%ra crítica se llama la presión crítica ;Pc<* +a presión del vapor de %n lí&%ido n%nca es m)s grande &%e esta presión crítica* El gas se de!ine como %n !l%ido (omogéneo de "a'a viscosidad y densidad &%e no tiene %n vol%men de!inido sino &%e se e9pande para llenar completamente el recipiente &%e lo contiene* -eneralmente el gas nat%ral es %na me4cla de gases de (idrocar"%ros y no (idrocar"%ros* +os (idrocar"%ros gaseosos &%e normalmente se enc%entran en el gas nat%ral son metano$ etano$ propano$ "%tano$ Univ* enry Isaac r%4 +%cas
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pentano y pe&%e6as porciones de (e9ano y s%periores* +os gases no (idrocar"%ros ;o imp%re4as< incl%yen el dió9ido de car"ono$ s%l!%ro de (idrógeno y nitrógeno* El conocimiento de las relaciones presión>vol%men>temperat%ra ;P0T< y las dem)s propiedades !ísicas y &%ímicas de los gases es esencial para resolver pro"lemas en ingeniería de reservorios del gas nat%ral* Estas propiedades incl%yen. • Peso molec%lar aparente$ Ma • -ravedad especí!ica$ Og • Gactor de compresi"ilidad$ 4 • /ensidad$ g • 0ol%men especí!ico$ 0 • oe!iciente de compresi"ilidad isotérmica del gas$ cg • Gactor vol%métrico de !ormación del gas$ Bg • Gactor de e9pansión del gas$ Eg • 0iscosidad$ Qg Estas propiedades del gas p%eden o"tenerse de medidas directas en la"oratorio o por predicción de e9presiones matem)ticas generali4adas* ,evisaremos las leyes &%e descri"en el comportamiento vol%métrico de los gases en términos de presión y temperat%ra y correlaciones matem)ticas &%e son ampliamente %sadas en la determinación de las propiedades !ísicas de los gases nat%rales*
C")*"&+)i#n+" !# $", G,#, I!#$#,. +a teoría cinética de los gases post%la &%e los gases son comp%estos de %n gran n?mero de partíc%las llamadas moléc%las* Para %n gas ideal$ se as%me &%e el vol%men de estas moléc%las es insigni!icante comparado con el vol%men total oc%pado por el gas* Tam"ién se as%me &%e estas moléc%las no tienen !%er4as atractivas o rep%lsivas entre ellas$ y &%e todas las colisiones de las moléc%las son per!ectamente el)sticas* Basado en la teoría cinética de los gases anterior$ la ec%ación matem)tica denominada ec%ación de estado p%ede derivarse para e9presar la relación e9istente entre la presión p$ el vol%men 0 y la temperat%ra T para %na determinada cantidad de moles de gas n* Esta relación para gases per!ectos se llama la ley de los gases ideales y se e9presa matem)ticamente por la sig%iente ec%ación. p0 R n ,T /onde p R presión a"sol%ta$ psia 0 R vol%men$ !t3 T R temperat%ra a"sol%ta$ , n R n%mero de moles de gas$ l">mole , R la constante %niversal de los gases &%e$ par alas %nidades anteriores$ tiene el valor de 1*H3 psia !t3l">mole ,
C")*"&+)i#n+" !# $", G,#, R#$#,. Al tratar los gases a m%y "a'a presión$ la relación de gases ideales es %na (erramienta conveniente y generalmente satis!actoria* A presiones m)s elevadas$ el %so de la ec%ación de estado de los gases Univ* enry Isaac r%4 +%cas
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ideales p%ede cond%cirnos a errores tan grandes como del orden de LV$ comparados a errores de 2 a 3V a presión atmos!érica* B)sicamente la desviación de los gases reales de las condiciones de la ley de gas ideal se incrementa a medida &%e crece la presión y temperat%ra y varía ampliamente con la composición del gas* +os gases reales se comportan de modo di!erente a los gases ideales* +a ra4ón para esto es &%e la ley de los gases per!ectos !%e derivada "a'o la s%posición de &%e el vol%men de las moléc%las es insigni!icante y &%e no (ay atracción o rep%lsión molec%lar entre ellas* Este no es el caso para los gases reales* Se (an desarrollado n%merosas ec%aciones de estado con el intento de correlacionar las varia"les de presión>vol%men>temperat%ra para gases reales con datos e9perimentales* on el !in de e9presar %na relación m)s e9acta entre las varia"les p$ 0 y T$ %n !actor de corrección llamado !actor de compresi"ilidad de los gases$ !actor de desviación de los gases$ o simplemente !actor # de"e introd%cirse en la ec%ación de estado de los gases ideales para tomar en c%enta el ale'amiento de los gases de la idealidad* +a ec%ación tiene la sig%iente !orma. p0R 4n,T /onde el !actor de compresi"ilidad del gas 4 es %na cantidad adimensional y se de!ine como la relación del vol%men act%al de n>moles de gas a T y p al vol%men ideal del mismo n?mero de moles a la misma T y p. z =
V actual V ideal
=
V
;nRT < p
E$ Fc+"& Est%dios de los !actores de compresi"ilidad del gas nat%ral de varias composiciones (an mostrado &%e los !actores de compresi"ilidad p%eden generali4arse con s%!iciente e9actit%d para la mayoría de los propósitos de ingeniería c%ando son e9presados en términos de las dos sig%ientes propiedades adimensionales. • •
Presión se%do red%cida Temperat%ra se%do red%cida
Estos términos adimensionales se de!inen por las sig%ientes e9presiones. p pr = T pr =
p p pc T T pc
/onde p R presión del sistema$ psia p pr R presión se%do>red%cida$ adimensional T R Temperat%ra del sistema$ , T pr R Temperat%ra se%do>red%cida$ adimensional p pc$ T pc R Presión y Temperat%ra se%do>críticas$ respectivamente$ y de!inidas por las sig%ientes relaciones.
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=
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Programación Aplicada PET – 23 p pc = ∑ y i pci i =1
T pc = ∑ yi T ci i =1
/e"e destacarse &%e estas propiedades se%do críticas$ como$ p pc y T pc$ no representan las propiedades críticas act%ales de la me4cla de gas* Estas se%do propiedades se %san como par)metros de correlación en la generación de propiedades del gas* Basado en el concepto de propiedades se%do red%cidas$ Standing y 5at4 ;1NK2< presentaron %n gr)!ico generali4ado del !actor de compresi"ilidad del gas como se m%estra en la Gig%ra 1* El gr)!ico representa !actores de compresi"ilidad de gas nat%ral d%lce como !%nción de p pr y T pr* Este gr)!ico es generalmente con!ia"le para gas nat%ral con menor cantidad de no (idrocar"%ros* Es %na de las correlaciones m)s ampliamente aceptadas en la ind%stria de petróleo y gas*
C$c$" Di&#c+" !# $", Fc+"&#, !# C")*&#,i/i$i!! /esp%és de K décadas de e9istencia$ el gr)!ico del !actor 4 de Standing>5at4 es a?n ampliamente %sado como %na !%ente pr)ctica de los !actores de compresi"ilidad del gas nat%ral* omo res%ltado$ (%"o %na necesidad aparente para %na descripción matem)tica simple de la gr)!ica* 0arias correlaciones empíricas para el c)lc%lo del !actor 4 se (an desarrollado a través de los a6os* +as sig%ientes tres correlaciones empíricas se descri"en a contin%ación. W all>8ar"oro%g( W /ranc(%X>A"%>5assem W /ranc(%X>P%rvis>,o"inson
(. DESARROLLO. E$ M0+"!" !# H$$1Y&/"&"g2 all y 8ar"oro%g( ;1NH3< presentaron %na ec%ación de estado &%e representa e9actamente la gr)!ica del !actor 4 de Standing y 5at4* +a e9presión prop%esta se "asa en las ec%aciones de estado de Starling>arna(an* +os coe!icientes de la correlación !%eron determinados a'%st)ndolos a los datos tomados de la gr)!ica del !actor 4 de Standing y 5at4* all y 8ar"oro%g( prop%sieron la sig%iente !orm%la matem)tica. *M12L p pr t [ −1*2 ;1−t < ] YYYYY*;1< e Υ 2
z =
/onde p pr R presión se%do red%cida t R reciproca de la temperat%ra se%do red%cida$ T pcT 8 R densidad red%cida &%e p%ede o"tenerse como sol%ción de la sig%iente ec%ación. 2
# ; Υ < = " 1 +
3
K
Υ + Υ + Υ + Υ
;1 − Υ <
3
−
; " 2< Υ 2
+
; " 3< Υ " K
=
YYYYY;2<
/onde. Univ* enry Isaac r%4 +%cas
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" 1
= −*M12L Z $sr + T Z e9p;;= − 1*2< Z ;1 − T <
" 2
= 1K*HM Z T − N*HM Z T +
K*L= Z T
" 3
=
N*H Z T − 2K2 *2 Z T 2
K2*K Z T 3
" K
=
2*1= + 2*=2 Z T
2
+
2
<
3
+a ec%ación anterior es %na ec%ación no lineal y p%ede ser convenientemente res%elta para la densidad red%cida 8 %sando la técnica de iteración de 7eCton>,ap(son* El procedimiento comp%tacional de resolver la ec%ación principal a c%al&%ier presión se%do red%cida especi!icada p pr y temperat%ra T pr se res%me en los sig%ientes pasos. acer %na estimación inicial del par)metro desconocido$ 8X$ donde X es %n contador de iteración* Un intento inicial apropiado de 8 se da por la sig%iente relación.
Paso 1%
Υ & = *12L p pr te [ −1*2;1−t < ] YYY;3< 2
S%stit%ir este valor inicial en la ec%ación ;2< y eval%ar la !%nción no lineal* A no ser &%e el valor correcto de 8 se (aya seleccionado inicialmente$ la ec%ación ;2< tendr) %n valor %n valor di!erente de cero para G;8<.
Paso 2.
Paso 3%
Una n%eva estimación me'orada de 8$ como 8X[1$ se calc%la de la sig%iente e9presión. & +1
Υ
&
= Υ −
; Υ & < \ ; Υ & <
/onde !];8X < se o"tiene eval%ando la derivada de la ec%ación L*3= a 8X $ o. \ ; Υ < =
1 + K Υ + K Υ 2 + K Υ 3 ;1 − Υ < K
+ Υ
K
−
2; " 2 < Υ + ; " 3<; " K< Υ ; " K −1<
+os pasos 2–3 se repiten n veces$ (asta &%e el error$ a"s;8X – 8X[1<$ lleg%e a ser m)s pe&%e6o &%e %na tolerancia esta"lecida$ como 1>12.
Paso 4%
El valor correcto de 8 entonces se %sa para eval%ar la ec%ación ;1< para el !actor de compresi"ilidad*
Paso 5.
all y 8ar"oro%g( resaltaron &%e el método no se recomienda para s% aplicación si la temperat%ra se%do red%cida es menor a 1*
(I. ALGORITMO. Diagrama de Flujo para Encontrar Z por Correlacion de Yarborough - Hall
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(II. EL PROGRAMA EN CODIGO (ISUAL BASIC. Univ* enry Isaac r%4 +%cas
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Dption E9plicit /im !V$ 7cV /im s^ /im Ma^ /im y;2< As /o%"le /im pm;3< As /o%"le /im tc;2< As /o%"le /im pc;2<$ i As /o%"le /im pcr As /o%"le /im tcr As /o%"le /im P$ T As /o%"le /im # As /o%"le$ SC As Boolean /im Tsr As /o%"le$ Psr As /o%"le /im _1 As /o%"le /im _2 As /o%"le /im _3 As /o%"le /im _K As /o%"le /im ite As /o%"le /im / As /o%"le /im G/ As /o%"le /im /G/ As /o%"le /im /1 As /o%"le /im 8ar"oro%g( As /o%"le Private S%" om"o1`licX;< 7c R 0al;Te9t3*Te9t< Adodc1*,e!res( Adodc1*,ecordset*MoveGirst Gor i R 1 To 2 I! 7ot ;Adodc1*,ecordset*Gields;DMPD7E7TES< R om"o1*Te9t< T(en I! Adodc1*,ecordset*EDG T(en Adodc1*,ecordset*MoveGirst Else Adodc1*,ecordset*Move7e9t End I! Else !R
