Cálculo de la Corriente de Inrush
φ (t ) = N ⋅ S FE ⋅ B (t )
B RES ≈ 0.7 × B NOM BSAT ≈ 2.02 T
φ (t ) ≥ φ SAT
→ φ (t ) − φ SAT = L AIRE ⋅ i (t )
φ (t ) < φ SAT
→ i (t ) = 0
Este análisis vale tanto para núcleos apilados como para núcleos arrollados. Ley de Faraday:
e(t ) =
Peor caso para el transitorio: trans itorio:
e(t ) =
e(t ) =
d φ (t ) dt
→
d φ (t ) dt
d φ (t ) dt 2
⋅ E ⋅ sin(ω ⋅ t ) t
=
2
⋅ E ⋅ sin (ω ⋅ t )
→
φ (t ) − φ (0 ) =
2
0
t
φ (0 ) = φ RES
→
⋅ E ⋅ ∫ sin (ω ⋅ t ) ⋅ dt
1 φ (t ) = φ RES + 2 ⋅ E ⋅ − ⋅ cos(ω .t ) = φ RES + ω 0 π ω
φ MAX = φ
→
φ MAX = φ RES + 2 ⋅
2
2
⋅ E
ω
⋅ E
ω
Régimen permanente sinusoidal: e(t ) =
d φ dt
2
⋅ E = ω ⋅ φ NOM
φ NOM =
Resulta entonces: φ (t ) = φ RES + φ NOM ⋅ [1 − cos(ω .t )]
1
2
⋅ E
ω
⋅ [1 − cos(ω .t )]
φ MAX = φ RES + 2 ⋅ φ NOM φ (t ) − φ SAT = L AIRE ⋅ i (t ) i MAX =
φ MAX − φ SAT L AIRE
=
2 ⋅ φ NOM
φ MAX − φ SAT = L AIRE ⋅ i MAX
+ φ RES − φ SAT
L AIRE
i MAX ==
i MAX =
=
φ NOM 2 ⋅ φ NOM + φ RES − φ SAT
⋅ L AIRE
φ NOM
φ NOM 2 ⋅ B NOM + B RES − BSAT
⋅ L AIRE
B NOM
⋅ E 2 ⋅ B NOM + B RES − BSAT ⋅ ω ⋅ L AIRE B NOM
φ NOM =
2
2
⋅ E
φ NOM = N ⋅ S FE ⋅ B NOM
ω 2
⋅ E
ω 2 ⋅ E
ω ⋅ L AIRE ⋅ B NOM i MAX =
N ⋅ S FE L AIRE
= N ⋅ S FE ⋅ B NOM
=
N ⋅ S FE ⋅ B NOM L AIRE ⋅ B NOM
=
N ⋅ S FE L AIRE
⋅ (2 ⋅ B NOM + B RES − BSAT )
Incluyendo la resistencia de continua de la bobina: i MAX =
2 ⋅ B NOM + B RES − BSAT ⋅ B NOM (ω ⋅ L AIRE ) + R 2
⋅ E 2
2
Para calcular L AIRE aplicamos la fórmula de Bertagnolli [15]: L AIRE = 2 ⋅ π 2 ⋅ D M ⋅ N 2 ⋅ p ⋅ 10−10
p =
0.44
γ =
γ + 0.36
H W + a D M
N = Número de Espiras de la bobina H W = Altura Eléctrica de la bobina D M = Diámetro Medio de la bobina a = Espesor Radial de la bobina
2
( H )
En la siguiente gráfica se muestra como se genera el magnetismo remanente al desconectar el transformador de la red y luego como se produce la máxima corriente de inrush posible al conectar el transformador en el instante que la tensión de alimentación vale cero:
En la siguiente gráfica [3] se muestra como se modifica la corriente y el flujo cuando se considera el efecto de la resistencia. Vemos que por causa de la resistencia el nuevo ciclo comenzará con un flujo menor que φ RES . Este efecto luego de varios ciclos hace que la curva φ (t ) quede oscilando en forma simétrica alrededor del eje t (régimen permanente).
3
Cálculo considerando la Resistencia
Mientras el transformador no satura la corriente es nula y por lo tanto el flujo lo podemos calcular como: e(t ) =
d φ (t ) dt
→
e (t ) =
2
→
⋅ E ⋅ sin (ω ⋅ t )
φ (t ) = φ RES + φ NOM ⋅ [1 − cos(ω .t )]
Determinamos entonces el instante en el cual el transformador satura: φ (t SAT ) = φ RES + φ NOM ⋅ [1 − cos(ω .t SAT )] = φ SAT
(ω .t SAT ) = φ SAT
1 − cos
β =
φ SAT − φ RES φ NOM
→
− φ RES
φ NOM
(ω .t SAT ) = 1 − β
cos
→
ω .t SAT = Arc cos(1 − β )
O sea que para 0 ≤ t ≤ t SAT será: e (t ) =
2
⋅ E ⋅ sin (ω ⋅ t )
φ (t ) = φ RES + φ NOM ⋅ [1 − cos(ω .t )]
i(t ) = 0
Para t ≥ t SAT el circuito eléctrico que representa al transformador, tomando nuevo origen de tiempo en t = t SAT , será:
L = L RED + L AIRE L ⋅
di (t ) dt
R = R RED + R BOBINA
+ R ⋅ i (t ) = e (t ) e (t ) =
i (0) = 0
2 E sin
ψ = ω ⋅ t SAT
(ω t + ψ )
La solución de esta ecuación diferencial es: i (t ) =
ω ⋅ t − ⋅ E ⋅ sin (ω ⋅t − ϕ + ψ ) + sin (ϕ − ψ )e ϕ Z
2
tan
4
Siendo:
cos ϕ =
R
sin ϕ =
Z
Lω
tan ϕ =
Z
Lω
Z = R 2 + L2ω 2
R
Podemos calcular el valor máximo de la corriente en forma aproximada suponiendo que el mismo se produce cuando el seno vale uno: →
sen (ω ⋅ t MAX − ϕ + ψ ) = 1
i MAX =
ω ⋅ t MAX =
− ⋅ E ⋅ 1 + sen (ϕ −ψ )e Z
2
1
π 2
+ ϕ − ψ
π + ϕ −ψ
tan ϕ 2
También es posible determinar en forma exacta el instante en el cual se produce el máximo de la corriente igualando a cero la derivada de la corriente con respecto al tiempo: di (t ) dt
=
ω ⋅t sen (ϕ − ψ ) − ϕ ⋅ E e ⋅ ω ⋅ cos (ω ⋅t − ϕ + ψ ) − ω ⋅ =0 Z tan ϕ
2
tan
cos
(ω ⋅ t MAX − ϕ + ψ ) =
sen (ϕ − ψ ) tan ϕ
−
e
ω ⋅t MAX tan ϕ
Resolviendo esta ecuación trascendente determinamos t MAX O sea que para t ≥ t SAT será, haciendo t → t − t SAT en las ecuaciones anteriores: t → t − t SAT
ω ⋅ t → ω ⋅ (t − t SAT ) = ω ⋅ t − ω ⋅ t SAT = ω ⋅ t − ψ ω ⋅ t → e (t ) =
i (t ) =
⋅ t − ψ
2 E sin
(ω t )
ω ⋅t −ψ − ⋅ E ⋅ sin (ω ⋅ t − ϕ ) + sin (ϕ − ψ )e ϕ Z
2
tan
φ (t ) = φ SAT + L AIRE ⋅ i(t )
Esta solución será válida hasta que sea nuevamente i(t ) = 0 . En ese instante vuelve a ser φ (t ) = φ SAT y la corriente será nula hasta que el transformador satura nuevamente en el siguiente ciclo. Estas ecuaciones coinciden con las obtenidas por Holcomb de la General Eléctric en 1961 y por Specht de la Westingouse en 1969. 5
Siguiendo un desarrollo similar Schmidt en 1958 llegó a la siguiente expresión: i MAX =
⋅ E R 2 ⋅ t SAT ⋅ 2 − β − ⋅ β ⋅ (2 − β ) + π ⋅ 1 − ⋅ (1 − β ) Z L ⋅ ω T
2
T =
Siendo:
1
ω = 2 ⋅ π ⋅ f
f
El efecto de la resistencia es importante en el caso de transformadores de distribución donde la relación Lω / R es mucho menor que en el caso de los transformadores de potencia donde resulta ϕ ≈ π / 2 ( R → 0 ). Veremos que haciendo R = 0 obtenemos la fórmula deducida cuando despreciamos la resistencia: ω ⋅t −ψ − ⋅ E ⋅ sin (ω ⋅ t − ϕ ) + sin (ϕ − ψ ) e ϕ Z
2
i (t ) =
tan
R = 0
∞
→
ϕ =
π 2
π π ⋅ E ⋅ sin ω ⋅ t − − sin ψ − Z 2 2
2
i (t ) =
sin ω ⋅ t −
tan ϕ =
→
π
= − cos (ω ⋅ t ) 2 2
i (t ) =
⋅ E
Z 2
i (t ) =
2
⋅ E
Z
φ SAT − φ RES
i MAX =
= − cos (ψ )
2
⋅ [1 − β − cos (ω ⋅ t ) ]
i MAX =
β =
π
⋅ [cos (ψ ) − cos (ω ⋅t ) ]
⋅ E
Z
sin ψ −
φ NOM
=
⋅ (2 − β ) BSAT − B RES B NOM
⋅ E BSAT − B RES ⋅ 2 − Z B NOM
2
6
Corriente de Inrush en Transformadores Trifásicos
Cuando se conecta a la red un transformador trifásico la corriente de inrush se produce en sólo en una de las fases ya que con alimentación alterna trifásica existe una alta probabilidad que una de las tres tensiones esté en las cercanías de cero y las otras dos estarán por lo tanto con valores cercanos a la mitad de la tensión nominal. Las corrientes de línea que aparecen en la conexión no es necesariamente igual a la calculada para el caso del transformador monofásico. Su valor dependerá de la conexión (D, Y, YN) del bobinado que se conecta a la red, de la conexión de los otros bobinados del transformador y del tipo de núcleo (banco trifásico, núcleo de tres columnas, núcleo de cinco columnas). Analizaremos los siguientes casos: 1. El bobinado que se conecta a la red está conectado en triángulo El fenómeno es independiente en las tres fases y la corriente de inrush es igual a la i MAX obtenida en el caso monofásico, siendo E la tensión entre fases. i3 PH = i MAX
E = V FF
No importa la conexión de los restantes arrollamientos. 2. El bobinado que se conecta a la red está conectado en estrella y la alimentación es con cuatro hilos El fenómeno es independiente en las tres fases y la corriente de inrush es igual a la i MAX obtenida en el caso monofásico, siendo E la tensión entre fase y neutro. i3 PH = i MAX
E = V FN
No importa la conexión de los restantes arrollamientos. 3. El bobinado que se conecta a la red está conectado en estrella (sin neutro) y existe otro bobinado conectado en triángulo Las tres fases interactúan y circula corriente por el arrollamiento conectado en triángulo lo cual permite circular corriente por las fases. Las fases b y c no son magnetizadas ya que se compensan los ampere-espiras primarios y secundarios.
7
2
En este caso la corriente máxima de inrush en la fase a será ⋅ i MAX y E es 3
la tensión entre fase y neutro. i3 PH =
2 3
⋅ i MAX
E = V FN
4. El bobinado que se conecta a la red está conectado en estrella (sin neutro) y no existe otro bobinado conectado en triángulo •
Banco Trifásico (tres núcleos independientes) o Núcleo Trifásico de 5 Columnas: i3 PH =
•
3 2
⋅ i MAX
E = V FN
Núcleo Trifásico de 3 Columnas: La relación entre los flujos magnéticos de las tres fases es equivalente a la presencia de un bobinado en triángulo de alta reactancia. i3 PH =
2 3
⋅ i MAX
8
E = V FN
Inductancia de un Solenoide en Aire
Se realiza un cálculo aproximado suponiendo que el campo magnético: está confinado al interior del solenoide o está dirigido según el eje del solenoide o es uniforme o
Basados en estas suposiciones podemos calcular dicho campo magnético aplicando la Ley de Ampere según una curva C según el eje del solenoide:
∫
→
→
H × dP = N ⋅ I
→
H ⋅ h = N ⋅ I
C
B = µ O ⋅ H
→
B
µ O
⋅ h = N ⋅ I
→
B = µ O ⋅
N ⋅ I h
N = Número de Espiras del solenoide I = Corriente que circula por el solenoide h = Altura del solenoide
Calcularemos ahora la Inductancia del Solenoide: 1. Aplicando la definición de Inductancia φ = L ⋅ I φ = N ⋅ S ⋅ B
→
L ⋅ I = N ⋅ S ⋅ B L = µ O ⋅ N 2 ⋅
9
→ S h
L ⋅ I = N ⋅ S ⋅ µ O
N ⋅ I h
S =
π ⋅ D M
2
4
S = Sección transversal del solenoide D M = Diámetro Medio del solenoide
2. A partir de la Energía almacenada en el campo magnético 1 2
1 2
⋅ L ⋅ I = 2
⋅ L ⋅ I = 2
1 2
⋅
1 2
→
→
⋅ ∫∫∫ H × B dV
B
1
→
2
V
⋅ S ⋅ h
1 2
⋅ ∫∫∫ V
B
2
µ O
dV
2
N ⋅ I ⋅ L ⋅ I = ⋅ ⋅ µ O ⋅ S ⋅ h 2 2 µ O h
2
µ O
⋅ L ⋅ I = 2
1
→
2
L = µ O ⋅ N ⋅ 2
1
1
S h
Fuerzas debidas a la Corriente de Inrush
Las fuerzas se calculan aplicando la Ley de Ampere-Laplace: Un elemento infinitesimal de corriente
→
dl por
el cual circula una intensidad
→
en un campo magnético B será sometido a una fuerza
→
→
→
dF = I dl ∧ B
→
∫
→
∫
I
→
dF
→
→
F = dF = I dl ∧ B C
C
Se generan Fuerzas únicamente en la bobinas con corriente o sea en aquellas por las cuales se conecta el transformador al sistema eléctrico de potencia
10
Se concluye que: •
Las Fuerzas Radiales generan esfuerzos de Tracción o Hoop-Stress →
∫
→
→
F = I dl ∧ B
F RAD = i MAX ⋅ π ⋅ D M ⋅ B AX
B AX ≈
C
F RAD =
•
1 2
⋅ µ O ⋅ N ⋅ i MAX ⋅ 2
1 2
⋅ µ O ⋅
N ⋅ iMAX h
π ⋅ DM h
Las Fuerzas Axiales generan esfuerzos de Compresión en el centro de la bobina
Referencias:
1. L.F.Blume, G.Camilli, S.B.Farnham, H.A.Peterson: “Tansformer Magnetizing Inrush Currents and Influence on System Operation”, AIEE Transactions, Power Apparatus and Systems, Vol.63, 1944, pp 366-375 2. L.F.Blume, A.Boyajian, G.Camilli, T.C.Lenox, S.Minneci, V.M.Montsinger : “Transformer Engineering – A Treatise on the Theory, Operation and Application of Transformers”, Jonh Wiley & Sons, 1951, pp 24-38 3. T.R.Specht: “Transformer Magnetizing Inrush Current”, AIEE Transactions, Power Apparatus and Systems, Vol.70, Pt.1, 1951, pp 323-328 4. W.K.Sonnemann, C.L.Wagner, G.D.Rockefeller: “Magnetizing Inrush Phenomena in Transformer Banks”, , AIEE Transactions, Power Apparatus and Systems, Vol.77, October 1958, pp 884-892
11
5. W.Schmidt: “Vergleich der Grosstwerte des Kurzschluss und Einschaltstromes von Einphasentransformatoren”, Elektrotechnische Zeitschrift, ETZ-A, Vol.79, Nº21, 1958, pp 801-806 6. W.Schmidt: “Über den Einschaltstrom bei Drehstromtransformatoren”, Elektrotechnische Zeitschrift, ETZ-A, Vol.82, Nº15, 1961, pp 471-474 7. J.E.Holcomb: “Distribution Transformer Magnetising Inrush Current” , AIEE Transactions, Vol.80, 1961, pp 697-702 8. F.Huber: “Inrush current of distribution transformers”, Brown Boveri Review, Vol.52, Nº11/12, 1965, pp 908-916 9. Filippo Coppadoro: “La corriente di inserzione nei transformatori di potenza”, Rivista Elettrificaciones, Nº12, Dicembre 1968 10. T.R.Specht: “Transformer Inrush and Rectifier Transient Currents”, AIEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol.PAS-88, Nº4, 1969, pp 269-276 11. R.Yacamini, A. Abu-Nasser: “Numerical calculation of inrush current in single-phase transformers”, IEE Proc., Vol.128, Pt.B, Nº6, November 1981, pp 327-334 12. S.Akpinar, M.Coulson, R.R.S.Simpson, R.D.Slater: “Calculation of transient current in transformers” , IEE Proc., Vol.129, Pt.C, Nº1, January 1982, pp 30-34 13. R.Yacamini, A. Abu-Nasser: “The calculation of inrush current in threephase transformers”, IEE Proc., Vol.133, Pt.B, Nº1, January 1986, pp 31-40 14. R.Yacamini, H.Bronzeado: “Transformer inrush calculation using a coupled electromagnetic model”, IEE Proc., Sci.Meas.Technol., Vol.141, Nº6, Novemeber 1994, pp 491-498 15. Giorgio Bertagnolli: “The ABB approach of short-circuit duty of power transformers”, Third revised edition, June 2006, Appendix 14 – Inrush current 16. R.S.Girgis, Ed G. teNyenhuis: “Characteristics of Inrush Current of Present Designs of Power Transformers”, IEEE Power Engineering Society General Meeting, 2007 17. Yunfei Wang, S.G.Abdulsalam, Wilsun Xu: “Analytical Formula to Estimate the Maximum Inrush Current”, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol.23, Nº2, April 2008, pp 1266-1268
12
