UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA, ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
“
Análisis cinemático, diseño y construcción de una transmisión didáctica de engranes de tres velocidades
”
TESIS PROFESIONAL QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE
INGENIERO MECÁNICO
PRESENTA:
IVÁN ESTEBAN VILLALÓN TURRUBIATES
ASESOR:
DR. JOSÉ DE JESÚS CERVANTES SÁNCHEZ
SALAMANCA, SALAMANCA, GTO. GTO.
JULIO 2000 2000
Agradecimientos Agradecimientos , de quien he recibido el más hermoso tesoro que existe: la vida. Quien me ha enseñado el significado del amor, de la Fe y de la vida sobrenatural. A El, creador de todo cuanto existe, quien ha iluminado mi camino con su faro protector y me ha llenado de bendiciones, quien ha devuelto esperanza, paz, amor y alegría a mi vida, le entrego todo mi corazón y mi agradecimiento. , quienes han estado a mi lado en las buenas y en las malas, han creído en mí y han dado un valor especial a mi vida. De quienes he recibido todo el amor que he requerido y han depositado en mi la semilla que me ha forjado hasta lo que soy. A los seres universalmente más amados por mi, les agradezco por ser los mejores padres que pude haber tenido, y les dedico este esfuerzo esfue rzo que no solo ha sido mío, sino mucho de ello fue de ustedes. ¡Los amo, y gracias! , de quien he recibido todo el apoyo que he necesitado y quien me ha enseñado con su ejemplo de vida grandes lecciones que me han ayudado a forjar mi carácter. car ácter. A la más grande compañera y amiga que tengo, solamente me resta decirte que te amo, y gracias por ser mi hermana. , por forjar en mí los conocimientos que me han llevado a decidir el ramo por el que se guiará mi vida. De quien he recibido grandes consejos, y quien me proporcionó todo el apoyo, la tolerancia y la paciencia para lograr llegar al final de mi camino en esta Facultad. ¡Gracias!
, por sus acertados consejos y por todos los conocimientos que me transmitieron en el transcurso de mi estancia en la Facultad. Por su sinceridad y amabilidad, ¡Gracias! , por todo el apoyo que me proporcionó en la realización de mi tesis, sin el cual mi trabajo se hubiera dificultado. Además, por sus consejos y por el trato que siempre me ha brindado. ¡Gracias! , de quienes he recibido el hermoso e invaluable tesoro de la amistad, quienes me han brindado sus enseñanzas, su comprensión y cariño, y que a pesar de todo han creído en mí. A quienes siendo difícil mencionar aquí no quiero pasar por alto, pero saben que hablo de ustedes. Hermanos, por ser esas personas que han iluminado mi vida, los quiero y gracias por todo. , por ser el lugar donde he podido encontrar las armas que me han ayudado a seguir mi camino y a forjar lo que hoy día soy. Por toda la esencia que han sembrado en mí, y por el valioso don de la búsqueda de la verdad que han sembrado en mi espíritu. , quien ha sido mi motivación, mi fuente de inspiración y una de las tantas razones por las que cada día mi esfuerzo es al máximo. Por ser una persona que siempre me ha apoyado, me ha comprendido y aceptado como soy. Durante todo este tiempo mi corazón ha estado en ti, y te agradezco por la fuerza que me has transmitido, por estar siempre a mi lado y por ayudarme a volver a sentir lo que es amar.
Iván Esteban Villalón Turrubiates
Reconocimientos
A la Universidad de Guanajuato, por haberme dado la oportunidad de enfrentar el mayor reto de mi vida.
A la Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica, por ser el lugar donde pude forjar los conocimientos que me serán necesarios para desarrollar mi vida profesional.
A la Escuela de Bachilleres “18 de Marzo”, por los conocimientos esenciales que me brindó, los cuales son las bases de mis estudios profesionales, y por la oportunidad de desarrollarme en el área docente, práctica que ha dado grandes frutos en mi persona.
A Tecno Industria R.F. S.A. de C.V., por la oportunidad de conocer el ambiente real al que un ingeniero se enfrenta día a día, y por la experiencia adquirida al haber trabajado dentro de sus proyectos.
A Tekchem S.A. de C.V., por permitir que el desarrollo de mi Servicio Social Profesional sea llevado a cabo, por el apoyo incondicional y la experiencia que me han transmitido durante estos últimos meses.
Señor Jesús, tú que nos has llamado al honor de contribuir con nuestra humilde aportación a la obra del apostolado. Tú que has pedido al Padre Celestial, no quitarnos del mundo sino guardarnos del mal, concédenos con abundancia tu luz y tu gracia, para vencer en nosotros mismos el espíritu de las tinieblas y del pecado. A fin de que, concientes de nuestro deber, perseverando en el bien e inflamados en el celo por tu causa, con la fuerza del ejemplo, de la oración, de la acción y de la vida sobrenatural, nos hagamos cada día más dignos de nuestra Santa misión, más aptos para establecer y promover entre los hombres nuestros hermanos, tu reinado de justicia, de paz y de amor.
Índice 1.1 1.2 1.3 1.4
Planteamiento del problema .......................................................................... Justificación ..................................................................................................... Objetivos .......................................................................................................... Metodología de desarrollo ..............................................................................
1 2 2 3
2.1 2.2
Revisión histórica ............................................................................................ Trenes de mecanismos .................................................................................... 2.2.1 Trenes de engranajes ........................................................................... Cambio de velocidades ...................................................................................
4 5 5 6
Introducción .................................................................................................... Tipos de cajas de cambios 3.2.1 Cajas automáticas ................................................................................ 3.2.2 Cajas manuales .................................................................................... Principio de funcionamiento de la caja de cambios de tres velocidades sin sincronizadores .......................................................................................... Funcionamiento real de la caja de cambios de tres velocidades con sincronizadores ................................................................................................
7
2.3
3.1 3.2
3.3 3.4
4.1 4.2 4.3
7 8 10 15
4.4 4.5 4.6
Sistemas de referencia y vectores posición ................................................... Características de un vector posición ............................................................ Derivada de un vector respecto al tiempo .................................................... 4.3.1 Derivada de un vector referido a un sistema fijo ............................. 4.3.2 Derivada de un vector referido a un sistema móvil ......................... Velocidad de un punto específico .................................................................. La ley fundamental del engrane .................................................................... Descripción cinemática del movimiento de un engrane .............................
22 23 23 23 24 27 28 30
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
Descripción ...................................................................................................... Análisis de la transmisión del eje impulsor al eje auxiliar ......................... Análisis de la velocidad de salida en reversa ................................................ Análisis de la velocidad de salida en posición primera ............................... Análisis de la velocidad de salida en posición segunda ............................... Análisis de la velocidad de salida en posición tercera .................................
33 38 40 44 46 48 I
⁄ ndice
5.7 5.8
Análisis de la velocidad de salida en posición neutral ................................ 49 Análisis considerando número de dientes .................................................... 49
6.1 6.2 6.3
Objetivo del prototipo ..................................................................................... 51 Diseño del prototipo ....................................................................................... 51 Imágenes del prototipo ................................................................................... 54
7.1 7.2 7.3
Los conocimientos del ingeniero mecánico .................................................. 57 Análisis del proyecto de tesis ......................................................................... 58 Relaciones de transmisión obtenidas ............................................................ 59
II
Capítulo Uno Definición del Proyecto En nuestra convicción como seres humanos, debemos tener una apertura sin prejuicios para buscar y aceptar la verdad venga de donde venga, est é donde esté y nos lleve a donde nos lleve. - J. Jesús Hernández Chávez, S.J. -
Una descripción general del contenido de esta Tesis es presentada en este capítulo, con la finalidad de puntualizar los objetivos, justificaciones y la manera como se llevó a cabo su realización.
Uno de los grandes retos a los cuales el hombre se enfrenta día con día es el entendimiento de los fenómenos que existen en el universo. Ha llegado a su fin un siglo que la historia recordará por sus grandes avances tecnológicos y científicos, dentro de los cuales se encuentra el desarrollo que la industria automotriz ha logrado. Entre los inventos más importantes que el hombre ha realizado se encuentra la rueda, con la cual se desarrollaron los primeros medios de transporte impulsados por la fuerza de animales, hasta que la revolución industrial trajo al mundo nuevas fuentes de producción de energía con las cuales se pudieron crear los primeros automóviles de motor. Los automóviles son dispositivos complejos formados por muchos sistemas mecánicos, los cuales han realizado el trabajo para el que fueron concebidos de la manera más adecuada. Sin embargo, estas maravillas modernas han nacido gracias al estudio que la ingeniería ha realizado. Los elementos vitales en la estructura y conformación de un automóvil son principalmente mecánicos. La Ingeniería Mecánica ha sido la responsable de diseñar y mejorar estos mecanismos, para poder lograr que cada vez se realice un mejor trabajo con un menor esfuerzo. Debido a esta realidad, es indispensable que el ingeniero en esta rama comprenda la conformación y los principios de funcionamiento de los diversos elementos básicos existentes en un automóvil. La necesidad que este proyecto de tesis cubre es el entendimiento de las bases de funcionamiento de una transmisión de engranajes de un automóvil, debido a que este es uno de los elementos más vitales en la producción de movimiento. Además, servirá de Página Número 1
Definición del Proyecto
referencia a los futuros estudiantes de ingeniería mecánica y personas interesadas en este tema.
Al realizar los estudios en ingeniería mecánica, el estudiante se enfrenta frecuentemente al problema de comprender la manera en la que funcionan algunos dispositivos mecánicos, esto debido a la falta de experiencia o de medios para conocer físicamente tales aparatos. En este proyecto se plantea la meta de mostrar al estudiante de una manera sencilla el funcionamiento de una caja de velocidades, pero sin sacrificar el rigor matemático; para que pueda realizar un análisis cinemático de un sistema como éste y entenderlo a detalle.
Los objetivos principales que se pretenden alcanzar con este proyecto son: 1. Dar a conocer al estudiante un panorama global de las transmisiones automotrices. 2. Que el estudiante comprenda el principio de operación de una caja de velocidades, y conozca la manera como se conforma y funciona una caja real de tres velocidades. Para esto, se apoyará en un prototipo didáctico que ha sido diseñado específicamente para que se pueda visualizar dicho principio. 3. Realizar un análisis cinemático por el método de vectores de posición de una caja de engranajes de tres velocidades y reversa, comenzando por un repaso a los conceptos cinemáticos y posteriormente se analiza paso a paso las velocidades existentes en este tipo de mecanismos, para que el estudiante pueda comprender el porqué y como se generan las relaciones de transmisión usadas en el medio automotriz y los métodos para obtenerlas. 4. Esta tesis pretende ser un documento que el estudiante utilice como referencia bibliográfica de apoyo en su estudio, brindando los datos técnicos referentes a esta materia. 5. Que el estudiante obtenga un conocimiento global que le de una visión amplia como ingeniero mecánico.
Capítulo Uno
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Definición del Proyecto
En el desarrollo de este proyecto se realizaron las siguientes actividades: 1. Investigación bibliográfica. 2. Investigación de campo, visitando lugares como talleres o centros de servicio automotriz para recopilar información. 3. Investigación documental por medio de películas documentales, revistas o medios electrónicos como la Internet. 4. Entrevista con personas que conozcan estos temas como ingenieros, maestros, técnicos, etc. 5. Diseño conceptual de la caja de tres velocidades empleando dibujos en CAD. 6. Estudio de los conceptos cinemáticos aplicables al análisis de un mecanismo de este tipo. 7. Elaboración del análisis cinemático del tren de engranes de tres velocidades y reversa. 8. Diseño de un prototipo, basado en el diseño conceptual realizado por medio de gráficos CAD. 9. Elaboración de los dibujos de fabricación de dicho prototipo empleando dibujo en AutoCAD. 10. Fabricación del prototipo en taller. 11. Desarrollo de una práctica que ayude a reforzar los conocimientos adquiridos por la persona que utilice esta tesis como referencia bibliográfica.
Capítulo Uno
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Capítulo Dos Introducción La mejor manera de predecir el futuro es crearlo. - Peter Drucker -
Para comprender el funcionamiento de las cajas de velocidades es necesario conocer el elemento indispensable que las integra: los trenes de engranajes. En este capítulo se presenta una introducción a estos sistemas mecánicos.
El desarrollo de los engranes ha sido un proceso de evolución continua mediante el cual, las ruedas dentadas diseñadas por Leonardo Da Vinci, se han ido perfeccionando hasta obtener los eficientes y precisos sistemas de engranes empleados en las modernas cajas de transmisión de potencia. Existen numerosos trabajos que presentan la historia de los engranes. Los primeros intentos por concebir un engrane se remontan al siglo IV A.C. Sin embargo, la forma correcta del perfil del diente, requerida para engranes que giren suavemente y con relaciones de velocidad casi constantes, se obtuvo hasta el siglo XVII D.C. El ingenio del hombre y la búsqueda del conocimiento le llevaron a soñar con la idea de construir una máquina que pudiera viajar libremente con fuerza propia. El primer antecesor de los automóviles actuales se construyó en Francia en la segunda mitad del siglo XVIII: era un tractor de vapor. Al pasar de los años, los inventores decidieron que los motores nuevos deberían tener un vehículo especialmente diseñado. En 1892 se construyó el primer automóvil verdadero, el cual tenía un lugar especial para el motor, e inclusive tenía embrague y caja de velocidades, lo cual comenzó a ser imitado por otros fabricantes. De esta manera es como la transmisión de potencia por medio de engranajes comenzó a formar parte del medio automovilístico. Hoy día, estos elementos mecánicos brindan al automóvil un mejor aprovechamiento de la fuerza del motor, implementando sistemas de alta tecnología como microcomputadoras y sistemas hidráulicos para cambios automatizados de velocidades, pero su principio de funcionamiento básico sigue siendo el mismo que hace dos siglos.
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Introducción
Puesto que el objetivo primordial de las máquinas es transformar la energía, todas ellas deberán tener como constituyente un mecanismo o una serie de mecanismos entre el punto en el que se recibe la energía y aquel en que se suministra para su utilización. Del mismo modo, los mecanismos, tanto si forman parte integral de las máquinas, como si se emplean meramente con su función primaria de modificadores de movimiento, están formados por combinaciones de órganos dispuestos en cadena. Estas cadenas reciben el nombre de trenes de mecanismos. Estos trenes pueden estar constituidos por una gran variedad de componentes: mecanismos articulados, levas, engranajes, cadenas, cuerdas, correas, etc. Cuando la distancia entre los ejes que hay que conectar es relativamente grande, se pueden utilizar cuerdas, correas o cadenas. Si esa distancia es relativamente pequeña y se requiere una transmisión segura se usan los engranajes. Cuando este último requisito no es esencial, pero la distancia es demasiado pequeña para que resulte ventajoso el empleo de uniones flexibles, como correas, etc., se emplean algunas veces las ruedas de fricción. Con un tren de mecanismos es prácticamente posible conseguir cualquier resultado deseado, tales como el plano, dirección y tipo de movimiento final (giratorio, alternativo, continuo, intermitente, etc.). Los trenes de mecanismos se hallan en toda clase de máquinas y, al conectar la fuente de energía con el elemento que la va a utilizar, debe satisfacer, por separado o en combinación, las exigencias de ventaja mecánica, una determinada relación de velocidades, flexibilidad de empleo y tener medidas compactas.
Si el movimiento se transmite enteramente por medio de engranajes, la combinación de éstos es llamada un tren de engranajes. Dos arreglos comúnmente utilizados son: los simples y los compuestos. En un tren de engranajes simple, cada eje del mecanismo lleva una sola rueda, como se muestra en la figura 2.1.
Figura 2.1 – Tren de engranajes simple
Capítulo Dos
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Introducción
En un tren de engranajes compuesto cada eje, excepto el primero y el último, lleva dos ruedas solidarias entre sí, como se muestra en la figura 2.2.
Figura 2.2 – Tren de engranajes compuesto
Además de estos arreglos, existen trenes de engranajes Epicíclicos y Planetarios. Un tren epicíclico es aquel arreglo de engranes en el cual, el centro de un engrane (llamado engrane planeta) se mueve en un círculo alrededor del centro de otro engrane (llamado engrane sol ), mientras que las velocidades angulares de ambos engranes (respecto a un tercer cuerpo fijo) mantienen una relación constante. Un tren planetario es aquel en el cual, dos o mas engranes coaxiales independientes son engranados con varios ensambles de engranes similares (planetas) montados en ejes intermedios, los cuales están fijos en elementos conductores.
Para que un automóvil inicie su movimiento, se requiere que el motor proporcione una potencia que pueda empujar su peso; esto se logra con un incremento en el torque que entrega el motor a las ruedas, y por consiguiente una disminución en la velocidad angular. Pero una vez que dicho vehículo se encuentra en movimiento, ya no es necesario aumentar el torque, sino que el motor necesita proporcionar suficiente velocidad angular para incrementar la cantidad de movimiento del automóvil. Esta doble función que se requiere obtener del motor se logra por medio de una caja de velocidades. El objetivo primordial de una caja de velocidades es transformar las características mecánicas (torque y velocidad angular) de la potencia que se transmite del motor hacia las ruedas.
Capítulo Dos
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Capítulo Tres Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
En este capítulo se presenta un panorama general de las cajas de cambios empleadas más comúnmente en el mercado internacional, y se estudia el principio de funcionamiento de las cajas manuales de tres velocidades, finalizando con una revisión de la manera real como trabajan estos dispositivos mecánicos.
En la transmisión y caja de cambios del automóvil subsiste, en esencia, mucho de lo que existía en los años cincuenta. Es decir, existe una caja de cambios entre el elemento que proporciona la energía y el eje de transmisión, que se encarga de hacerla llegar a las ruedas del vehículo. La caja de cambios hace que el par y la velocidad angular del eje de transmisión se ajusten a los deseos del conductor y a las necesidades de maniobra. El eje de transmisión transmite la energía al diferencial, a través del cual llega hasta las ruedas. Sin embargo, recientemente se ha avanzado mucho en materia de cajas de cambios y trenes de transmisión, lo cual se hace evidente, especialmente en cajas de cambios automáticas, que hoy alcanzan un alto grado de complejidad. Los cambios de velocidades se realizan tan suavemente y con una respuesta tan rápida a las condiciones de funcionamiento requeridas que el conductor apenas los percibe. La obtención de tal suavidad es debida a un cuidadoso diseño de los controles de la caja de cambios automática del motor y del vehículo, así como a la adición de nuevos y más sutiles dispositivos de control.
En una caja de cambios automática no hay embrague; en su lugar, un convertidor hidráulico de par transmite la fuerza del motor a la caja de cambios y, de aquí, pasa a las ruedas. El conductor sólo tiene que seleccionar la posición en la palanca y, en función a una ley preestablecida, el cambio pasa a una marcha o velocidad superior al alcanzar un régimen determinado. Pero también se puede forzar una reducción pisando a fondo el acelerador o seleccionando manualmente una velocidad inferior en la palanca de cambios.
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Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Actualmente, las cajas de cambio automáticas cuentan con control electrónico y varios programas de funcionamiento: uno deportivo en donde el cambio ocurre a un alto nivel de revoluciones del motor para poder aprovechar su máxima potencia; otro económico en el que los cambios ocurren de manera muy rápida para consumir menos combustible; y otro denominado invierno que selecciona la segunda velocidad para arrancar y así evitar la pérdida de tracción de las llantas. La principal diferencia de una caja de cambios automática con una manual es que se utilizan unos engranajes especiales, comúnmente conocidos como trenes planetarios o epicicloidales. Están formados por tres elementos: un piñón central denominado planetario, una corona exterior y tres piñones denominados satélites, que giran entre los dos anteriores. Si estos tres elementos giran libremente, no transmiten movimiento, pero sí lo hacen cuando se bloquea uno de ellos. Cada elemento del engranaje epicicloidal puede recibir la fuerza del motor, y cualquiera de los otros dos transmitirla al diferencial. Una caja automática consta de dos, tres o incluso más trenes de engranajes epicicloidales, uno tras otro, sobre el eje de entrada y salida. La conexión entre ellos se realiza mediante discos circulares de fricción. En las cajas automáticas, la fuerza para cambiar de velocidad no proviene del movimiento de la palanca, sino de una bomba hidráulica. La segunda diferencia entre una caja automática y una manual, es que en la primera no hay embrague, sino que se recurre a un convertidor hidráulico de par. En este sistema no existe una unión mecánica entre motor y la caja automática de cambios, sino que se aprovecha la fuerza centrífuga que actúa sobre el aceite para transferir la fuerza giratoria del motor al eje impulsor de la caja de cambios. El convertidor consta de tres elementos que forman un anillo toroidal cerrado, en cuyo interior está el aceite. El impulsor o bomba tiene forma de disco, cuenta con aspas curvadas en su interior y está unido al ci al. La turbina es similar, pero está unida al eje seguidor de la caja de velocidades. Por último, el estator o reactor está entre los dos platillos anteriores, va acoplado al primario del cambio, pero sólo gira en una dirección. En la figura 3.1 se muestra esquemáticamente una caja automática con sus partes más representativas.
Básicamente, un cambio de velocidades consiste en lograr una combinación de varios trenes de engranajes con distinto número de dientes y, por lo tanto, diferente valor de reducción o aumento. El eje por el que llega el movimiento del motor a la caja de cambios a través del embrague se denomina eje primario, eje conductor o eje impulsor. El eje por el que sale el movimiento de la caja de velocidades hacia el diferencial se llama eje secundario, eje conducido o eje seguidor. De las combinaciones diferentes entre los piñones que hay en los ejes se obtienen las distintas velocidades: la primera es la de mayor reducción, es decir, la que proporciona menor velocidad en el eje de salida hacia las ruedas. Se llama directa a la marcha en la que el eje impulsor gira a la misma velocidad que el eje seguidor.
Capítulo Tres
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Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.1 – Caja de cambios automática [1]
Las parejas de piñones están siempre engranadas, y lo que se hace es escoger cuál es la que transmite la fuerza del motor a las ruedas mediante el movimiento de la palanca de cambios. También se puede seleccionar una posición en la que ningún par de piñones transmite la fuerza del motor –punto muerto o neutral– o invertir el sentido de giro en el caso de la reversa. Para la correcta conexión o desconexión de las parejas de piñones, al insertar las marchas se utilizan unos acoplamientos especiales denominados sincronizadores. Estos son dispositivos mecánicos que permiten que dos ruedas engranen a la misma velocidad de giro, pues engranar piñones que giran a velocidades diferentes provoca roces, desgaste y ruidos. Por este motivo se utilizan piñones con dientes helicoidales, pues engranan con mayor suavidad y más precisión que los de dientes rectos. Los sincronizadores son dispositivos en forma de anillos cónicos que hacen rozar al piñón contra el eje antes de que ambos queden solidarios, igualando las velocidades de giro por rozamiento de una pieza contra la otra. Aunque este proyecto de tesis se enfoca al estudio de una caja de cambios manual de tres velocidades, la figura 3.2 ilustra esquemáticamente una caja de cambios manual de cuatro velocidades para tracción delantera con sus principales partes indicadas.
Capítulo Tres
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Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Aunque hoy en día la mayoría de las cajas de velocidades vienen selladas y lubricadas de por vida, conviene tener en cuenta que los aceites utilizados deben cumplir con una serie de características fundamentales, diferentes de las del lubricante que se utiliza para el motor. Al igual que estos últimos, tienen funciones de refrigeración y antidesgaste, pero la presión a que se ven sometidas las moléculas del aceite entre los dientes de los engranajes hace necesaria una gran resistencia del lubricante a la compresión. Además, hay elementos en las juntas, retenes, sincronizadores, etc., que son más débiles que el metal, por lo que el aceite debe ser resistente a la corrosión pero sin atacar químicamente al resto de los materiales. A cada una de las distintas velocidades obtenidas de la caja de cambios les corresponde una combinación entre parejas de piñones. La relación de tamaño que existe entre el número de dientes de cada engranaje con su pareja determina la relación de cambio.
Existen muchos tipos de cajas de cambios manuales. Algunos de los más sencillos se encuentran en los automóviles de turismo. En autobuses y camiones se emplean otros tipos más complicados. Sin embargo, todas las cajas de cambios manuales tienen un funcionamiento similar, aunque su construcción sea diferente. El principio de funcionamiento para una caja de cambios de tres velocidades sin sincronizadores se basa en tres ejes y ruedas dentadas o piñones de varios diámetros. Para explicarlo, se consideran solamente las piezas móviles, es decir, sin tomar en cuenta el alojamiento, los rodamientos ni los sincronizadores. Cuatro de los piñones están rígidamente unidos al eje intermedio. Estos son el piñón impulsor, el de segunda, el de primera y el de marcha atrás. El eje impulsor gira independientemente al eje seguidor. Cuando se acopla el eje impulsor hace girar el piñón impulsor del eje auxiliar y con él, el propio eje y los demás engranajes acoplados a él. Este eje auxiliar gira en sentido contrario al del eje impulsor. Cuando los engranajes están en la posición de neutral o punto muerto, como se indica en la figura 3.3, y el automóvil está detenido, el eje seguidor de transmisión no gira. Este eje transmite el movimiento a las ruedas del coche a través del diferencial. Los piñones del eje seguidor de transmisión pueden desplazarse sobre el mismo, a lo largo de unas estrías, accionando la palanca de cambios desde la posición del conductor. Estas estrías tienen dientes interiores y exteriores, los cuales permiten un desplazamiento axial de los piñones y al mismo tiempo, que el eje gire solidariamente con ellos. Las figuras mostradas representan una palanca de cambios de consola, debido a que ilustran mejor la acción de la misma en el cambio de engranajes.
Capítulo Tres
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Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.2 –Caja de cambios manual de cuatro velocidades [1]
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Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Cuando se acciona la palanca de cambio para situar los engranajes en la posición de primera, se desplaza el piñón más grande del eje seguidor de transmisión a lo largo del mismo hasta que engrana con el piñón pequeño del eje auxiliar. Para efectuar esta operación, previamente se desacopla del motor el eje del impulsor, con lo que, tanto éste como el eje auxiliar dejan de girar. Cuando se vuelve a acoplar el motor, el piñón impulsor del eje impulsor hace girar el eje seguidor de transmisión, a través del eje auxiliar. Como éste gira más despacio que el eje impulsor, y su piñón más pequeño está engranado con el más grande del eje seguidor de transmisión, se consigue una relación de transmisión de aproximadamente 3:1; es decir, el eje impulsor da tres vueltas por cada una que da el eje seguidor de transmisión. La figura 3.4 muestra la combinación para primera velocidad.
Cuando se coloca la palanca de cambios en posición de segunda, como muestra la figura 3.5, el piñón grande del eje seguidor de transmisión se desengrana del piñón pequeño del eje auxiliar; y el piñón más pequeño del primero se desplaza hasta engranarlo con el piñón grande del segundo. Esto proporciona una relación de transmisión algo más reducida.
Figura 3.3 – Caja de cambios con los engranajes en posición neutral. El eje impulsor gira independiente al eje seguidor
Capítulo Tres
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Figura 3.4 – Caja de cambios con los engranajes en posición de primera. El eje impulsor gira independiente al eje seguidor
Cuando se cambia a directa, como se muestra en la figura 3.6, los dos piñones del eje seguidor de la transmisión se desengranan de los del eje auxiliar, y el piñón de segunda y tercera de aquél presiona axialmente contra el piñón impulsor. Los dientes situados a los lados de los dos piñones engranan, para que el eje seguidor de la transmisión pueda girar con el eje impulsor, obteniéndose una relación de 1:1.
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Figura 3.5 – Caja de cambios con los engranajes en posición de segunda. El eje impulsor gira independiente al eje seguidor
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Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
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Figura 3.6 – Caja de cambios con los engranajes en posición de tercera. El eje impulsor gira independiente al eje seguidor
Cuando los engranajes se colocan en la posición de reversa, como lo muestra la figura 3.7, el piñón grande del eje seguidor de transmisión engrana con el piñón intermedio de reversa, el cual se encuentra permanentemente engranado con el piñón pequeño que hay en el extremo del eje auxiliar. Interponiendo este piñón loco entre el de este eje y el del eje seguidor de transmisión, hace que éste gire en sentido contrario, es decir, en el mismo sentido que el eje auxiliar.
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Figura 3.7 – Caja de cambios con los engranajes en posición de marcha atrás. El eje impulsor gira independiente al eje seguidor
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En esta descripción se subrayan los principios básicos de toda caja de cambios sin considerar sincronizadores; sin embargo, en los automóviles modernos, los tipos utilizados son algo más complejos. En ellos se incluyen piñones helicoidales y cambios de engranajes con dispositivos de sincronización de la rotación de los piñones que van a engranar. Con ello se elimina el ruido de los piñones y se facilita la operación de cambio de velocidad.
La caja de cambios proporciona un medio para hacer variar la relación de engrane. De esta forma, el cigüeñal puede girar cuatro, ocho o doce veces por cada revolución de las ruedas (considerando también la reducción producida por el diferencial). Además, va provisto de un piñón inversor que permite la marcha atrás. La figura 3.8 muestra la localización de la caja de velocidades en el automóvil.
Figura 3.8 – Localización de la caja de velocidades en el eje de transmisión [1]
El cambio de velocidad tiene lugar cuando, mediante el accionamiento de la palanca de cambios, se acciona una de las palancas de cambios (28 o 29 de la figura 3.9). La figura 3.10 muestra la sección lateral de la caja de cambios. En cualquier cambio de velocidades, la palanca realiza tres funciones: 1. Selecciona el conjunto de engranajes a mover. 2. Desplaza dicho conjunto de engranajes en la dirección adecuada para que engranen los piñones apropiados. 3. Evita el posible engrane de dos velocidades diferentes a la vez.
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Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.9 – Vista superior en sección de una caja de c ambios de tres velocidades hacia delante [3] 1. Retén del cojinete del piñón del embrague. 2. Cojinete del piñón del embrague.
13. Cojinete posterior del eje principal. 14. Piñón de ataque del velocímetro.
26. Bola del retén.
3. Piñón del embrague.
15. Eje principal.
27. Sello de aceite.
4. Resorte activante.
16. Casquillo.
5. Eje loco de marcha atrás.
17. Sello de aceite.
6. Piñón loco de marcha atrás.
18. Rodillos del cojinete guía anterior.
28. Palanca de cambio de segunda y tercera. 29. Palanca de cambio de primera y marcha atrás. 30. Tapa lateral.
7. Manguito del embrague de segunda y tercera. 8. Piñón deslizante de primera y marcha atrás. 9. Clavija del eje loco de marcha atrás. 10. Piñón de segunda.
19. Arandela de empuje.
11. Arandela de empuje. 12. Prolongación de la caja.
20. Arandela de empuje. 21. Rodillos del cojinete guía posterior. 22. Anillo sincronizador. 23. Horquilla de cambio de segunda y tercera. 24. Eje de cambio de segunda y tercera.
25. Muelle del retén.
31. Horquilla de cambio de primera y marcha atrás. 32. Retén de enclavamiento. 33. Dedo de arrastre de la arandela de empuje. 34. Adaptador del eje del velocímetro. 35. Platina.
La caja de cambios de tres velocidades representada en las figuras 3.11 a 3.15 está dotada de sistema de sincronización para sus tres velocidades hacia delante. El sincronizador permite cambiar a primera con el vehículo en movimiento sin que se produzcan choques de los piñones. Están representadas las posiciones que ocupan los diversos engranajes, así como los embragues de tambor de sincronización (también llamados manguitos de sincronización) para las varias velocidades existentes. Por ejemplo, al cambiar a primera, se desplazan hacia delante el piñón y el manguito de primera y Capítulo Tres
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Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
marcha atrás (figura 3.12). Con este movimiento, se empuja la superficie cónica del anillo de bloqueo del sincronizador contra el cono que engrana con el piñón de primera. Con el vehículo en movimiento, los dientes internos del manguito no engranan con los existentes alrededor del cubo del piñón de primera, hasta que tanto éste como aquél, giren a la misma velocidad. Esta velocidad de engrane se consigue mediante el rozamiento de las superficies cónicas situadas en el manguito y en el piñón. Una vez que alcanzan ambos la misma velocidad, el manguito puede desplazarse longitudinalmente para hacer engranar los dientes de su superficie interior con los situados en el exterior del cubo del piñón de primera. El piñón de primera está engranado permanentemente con el piñón del eje auxiliar, así que, al volver a embragar, la energía del motor se transmitirá a través del eje impulsor y el engranaje (piñón del embrague), eje auxiliar, piñón de primera y eje seguidor.
Figura 3.10 – Vista lateral en sección de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante [3] 1. Retén del cojinete del piñón motriz principal del embrague. 2. Cojinete del piñón motriz principal del embrague. 3. Piñón motriz principal del embrague. 4. Resorte activante.
11. Cojinete posterior del eje principal. 12. Prolongación de la caja.
21. Arandela de empuje.
13. Eje principal. 14. Rodillos del cojinete guía anterior.
23. Conjunto de la transmisión intermedia. 24. Deflector de aceite.
5. Anillo de sincronización.
15. Arandela de empuje.
25. Piñón loco de marcha atrás.
6. Acoplamiento de segunda y tercera. 7. Piñón deslizante de primera y marcha atrás. 8. Caja de cambios.
16. Anillo de retención.
26. Adaptador del eje del medidor de velocidad. 27. Eje del piñón conducido del medidor de velocidad. 28. Platina.
17. Arandela de empuje.
9. Piñón de segunda.
18. Rodillos del cojinete guía posterior. 19. Arandela de empuje.
10. Arandela de empuje.
20. Eje intermedio.
Capítulo Tres
22. Cojinete de rodillos.
Página Número 17
Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
El acoplamiento de los piñones de segunda y tercera es parecido, excepto por el cambio en la relación de transmisión. Las figuras 3.14 y 3.15 muestran las direcciones en que se mueve el segundo y tercer sincronizador cuando se cambia, respectivamente, a segunda o tercera velocidad. Cuando se pone la reversa, el piñón deslizante de primera y reversa se desplaza hacia la parte trasera, como se puede ver en la figura 3.13, para que de este modo el piñón de marcha atrás del eje principal engrane con el piñón loco de marcha atrás. Esto significa interponer un piñón suplementario en el tren de engranajes, para que la rotación del eje de salida se invierta y el coche retroceda. El sistema de sincronización asegura un engrane sin ruido. La figura 3.11 muestra la caja de tres velocidades en su posición neutral.
Cuando se coloca la primera velocidad, la palanca de cambios tiene dos acciones. Primero, se selecciona la palanca de cambio correspondiente a primera y marcha atrás. Entonces, la acción sobre esta palanca hace que la horquilla de primera y marcha atrás se desplace hacia la izquierda, con lo cual se consigue que el engranaje de primera y marcha atrás también se desplace hacia la izquierda (es decir, hacia la parte delantera del coche). Al moverse en esta dirección, engrana con el piñón intermedio correspondiente a la primera velocidad. Cuando el embrague se acopla, el piñón que va montado en el eje del mismo transmite el movimiento de rotación al engranaje de primera y marcha atrás a través del piñón intermedio conducido, el piñón motriz de primera, como muestra la figura 3.12. Esta energía de rotación pasa al eje principal a través del tambor (o manguito) del embrague de segunda y tercera, el cual se mantiene en posición mediante la horquilla de estas dos velocidades, para que así no pueda desplazarse hacia el eje principal. El piñón de primera y marcha atrás, el tambor del embrague y el eje principal giran como una unidad solidaria, puesto que no existe ningún movimiento relativo entre ellos.
La marcha atrás se consigue desplazando el piñón de primera y marcha atrás hacia la derecha y engranándolo con el piñón loco de marcha atrás, haciendo que el movimiento del eje intermedio se transmita a través de este engranaje. Esto implica que para que el eje principal gire en sentido contrario, debe introducirse un piñón suplementario en el tren de engranajes, como lo muestra la figura 3.13.
Ahora se va a cambiar a la segunda velocidad. El selector escoge la palanca de cambio y la horquilla correspondientes a la segunda y tercera velocidades. Los dos dedos de la horquilla se extienden a ambos lados del collar que rodea el extremo izquierdo del tambor del embrague de la segunda y tercera velocidades. El movimiento de la horquilla correspondiente a estas marchas hacia la derecha, hace que el tambor del embrague también se desplace en la misma dirección. Al mismo tiempo, se impide el movimiento longitudinal
Capítulo Tres
Página Número 18
Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
del engranaje de primera y marcha atrás, que se encuentra sobre la superficie externa del tambor del embrague, por la acción de la horquilla correspondiente a estas velocidades. Como ya se ha indicado, al desplazarse el tambor del embrague hacia la derecha, los conos de sincronización montados sobre el mismo se ponen en contacto con el engranaje de segunda. Esto hace que dicho engranaje, que estaba girando libremente, se sincronice con el tambor. Entonces, un desplazamiento adicional hace que las estrías o dientes interiores y exteriores engranen. El engranaje de segunda, el de la transmisión intermedia y el del embrague giran libremente antes de engranar, puesto que para cambiar de marcha hay que desembragar. Al mismo tiempo, el automóvil se mueve y, por tanto, el eje principal hace girar el tambor solidariamente con él. En cuanto las estrías o dientes del tambor entran en contacto y se vuelve a embragar, la energía desarrollada por el motor se transmite al eje principal a través de los engranajes del embrague, la transmisión intermedia, de la segunda velocidad y el tambor, tal como se indica en la figura 3.14.
Esencialmente, cuando se cambia a la tercera velocidad, la acción que tiene lugar es la misma. Cuando esto ocurre, el tambor del embrague se desplaza hacia la parte delantera del coche, mostrado del lado izquierdo en la figura 3.15. La fuerza de rozamiento entre la superficie interior del cono en el extremo izquierdo del tambor del embrague y el anillo sincronizador izquierdo pone en sincronismo a aquél con el tambor del embrague. Un desplazamiento adicional del tambor hacia la izquierda hace que los dientes de su superficie interna engranen con el piñón pequeño situado en el extremo del eje del embrague. Entonces, éste y el eje principal tienen que girar solidariamente, produciéndose así una transmisión directa a través de la caja de cambios.
Figura 3.11 – Conjunto de engranes de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante en posición neutral. La trayectoria del flujo de energía está representada mediante flechas [1]
Capítulo Tres
Página Número 19
Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.12 – Conjunto de engranes de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante en posición de primera. La trayectoria del del flujo de energía está representada mediante flechas [1]
Figura 3.13 – Conjunto de engranes de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante en posición de reversa. La trayectoria del flujo de energía está representada representada mediante flechas [1]
Capítulo Tres
Página Número 20 Número 20
Descripción de la caja de cambios de tres velocidades
Figura 3.14 – Conjunto de engranes de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante en posición de segunda. La trayectoria del flujo de energía está representada representada mediante flechas [1]
Figura 3.15 – Conjunto de engranes de una caja de cambios de tres velocidades hacia delante en posición de tercera. La trayectoria del flujo de energía está representada representada mediante flechas [1]
Capítulo Tres
Página Número 21 Número 21
Capítulo Cuatro Conceptos cinemáticos
El objetivo de este capítulo consiste en presentar los conceptos básicos que permitan analizar en forma sistemática y ordenada las diferentes relaciones cinemáticas que existen en los trenes de engranes.
Para facilitar el análisis cinemático de un mecanismo, resulta de utilidad establecer convenientemente algunos sistemas de referencia. Estos sistemas pueden ser tanto móviles como fijos. Los sistemas móviles generalmente se establecen en cada eslabón y se mueven junto con él. Por otro lado, los sistemas fijos o inerciales, se establecen en aquellos eslabones que no se mueven, o bien, en la base fija que soporta al mecanismo. Además, sobre los ejes de los sistemas de referencia, se establecen vectores unitarios, los cuales se utilizan para indicar el sentido y la dirección de dichos ejes. Un ejemplo de lo anteriormente mencionado se muestra en la figura 4.1. y0
y1
x1
jˆ 1
jˆ 0
ˆi1
r a
ˆi0
x0
Figura 4.1 – Sistemas de referencia y vectores unitarios
Se le llama vector posición a aquel vector que se utiliza para localizar un punto sobre el mecanismo, el cual resulta de interés para el analista. Una manera adecuada de definir un vector posición, consiste en utilizar coordenadas que son medidas a lo largo de los ejes de los sistemas de referencia que se establecieron en los eslabones. Para especificar una coordenada a lo largo de un determinado eje, se utiliza la magnitud de la coordenada, acompañada de un vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que el mencionado eje de referencia. Por ejemplo, en la figura 4.1, el origen del sistema Página Número 22
Conceptos cinemáticos coordenado móvil x1 y1 se localiza mediante el vector posición de r , el cual se puede definir mediante la relación: r = aˆi1
Como su nombre lo indica, los vectores posición son expresiones vectoriales. Por tal motivo, al transcurrir el tiempo, estas expresiones pueden cambiar tanto en su magnitud, así como su dirección y sentido. El hecho de que pueda existir cambios en la magnitud de un vector, significa que éste puede crecer o decrecer. Por otro lado, cuando se presentan cambios en la dirección y el sentido de un vector, quiere decir que éste tiene una orientación variable. Por lo expuesto anteriormente, al derivar un vector posición con respecto al tiempo, tienen que tomarse en cuenta todos los cambios que ello implica.
Al derivar un vector con respecto al tiempo, pueden presentarse dos casos particulares que se presentan a continuación.
Este caso se presenta cuando se tiene un vector posición r cuyas componentes r x, r y y r z están referidas a un sistema inercial fijo en el espacio XYZ , como se muestra en la figura 4.2.
Z
r
ˆ k
r z jˆ
ˆi
Y
r x X
r y
Figura 4.2 – Componentes de un vector referidas a un sistema fijo
Capítulo Cuatro
Página Número 23
Conceptos cinemáticos Respecto a la figura anterior, el vector posición r está dado por: ˆ r = r x ˆi + r y jˆ + r z k
(4.1)
Al derivar este vector con respecto al tiempo, se obtiene:
d r dt
+ r k ˆ + r xˆi + r y jˆ ˆ = r = r x ˆi + r y jˆ + r z k z
(4.2)
Sin embargo, ya que los vectores unitarios (fijos en el espacio) no cambian ni su magnitud ni su orientación al transcurrir el tiempo, entonces: =0 = 0 , k ˆ ˆi = 0 , jˆ (4.3) Así, la ecuación (4.2) queda como: ˆ ˆ + r = r r x ˆi + r y j z k
(4.4)
A partir del resultado anterior, se puede concluir que la derivada con respecto al tiempo de un vector referido a un sistema fijo, es igual a la derivada con respecto al tiempo de sus componentes.
En este caso, se tiene un vector posición ρ cuyas componentes ρr , ρθ y ρφ son ahora medidas respecto a un sistema móvil cuyos ejes son paralelos a los vectores unitarios eˆr , eˆθ y eˆφ , como lo muestra la figura 4.3.
Z
ρ
eˆ θ eˆ r
eˆ φ
r ˆ k φ jˆ
ˆi
Y
eˆ θ
θ
eˆ R
X Figura 4.3 – Vector posición referido a un sistema móvil
Capítulo Cuatro
Página Número 24
Conceptos cinemáticos
En la figura anterior, eˆr es una extensión del vector r . Además, eˆθ es perpendicular a la proyección del vector r sobre el plano X-Y y apunta en la dirección tangente en la que el ángulo θ crece. También, el vector unitario eˆφ es perpendicular al vector r y apunta en la dirección tangente en la que el ángulo φ crece. Por último, debe notarse que el vector unitario eˆ R es una extensión de la proyección del vector r sobre el plano X-Y y es diferente al vector unitario eˆr .
Ahora, el vector ρ está dado por la expresión:
ρ = ρ r eˆ r + ρ θ eˆ θ
+ ρ φ eˆ φ
(4.5)
Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo se obtiene:
= ρ ρ ˆ r + ρ ˆ θ r e θ e
+ ρ φ eˆ φ + ρ r eˆ r + ρ θ eˆ θ + ρ φ eˆ φ
(4.6)
En este caso, los vectores unitarios eˆr , eˆθ y eˆφ mantienen constante su magnitud , pero cambian su orientación al transcurrir el tiempo. Por tal motivo, su derivada con respecto al tiempo es diferente del vector cero. Para calcularla, conviene primeramente representar dichos vectores unitarios en función de los vectores unitarios fijos iˆ, jˆ, k ˆ . Para ello, analizando la geometría representada en la figura 4.3, se puede obtener que: ˆ = ( er cos φ cos θ )ˆi + ( er cos φ senθ ) jˆ + ( er sen φ )k ˆ = ( er cos φ )eˆ R + ( er sen φ )k eˆ θ = −( eθ senθ )ˆi + ( eθ cos θ ) jˆ (4.7) ˆ = −( eφ sen φ cos θ )ˆi − ( eφ sen φ senθ ) jˆ + ( eφ cos φ )k ˆ eˆ φ = −( eφ sen φ )eˆ R + ( eφ cos φ )k eˆ r
Siendo er , eθ y eφ las magnitudes de los vectores eˆr , eˆθ y eˆφ , respectivamente. Derivando con respecto al tiempo las expresiones anteriores, y tomando en cuenta que la magnitud de los vectores unitarios eˆr , eˆθ y eˆφ es igual a uno, se obtiene: ˆ eˆ r = ( −φ senφ cosθ − θ cos φ senθ )ˆi + ( −φ sen φ senθ + θ cos φ cosθ ) jˆ + ( φ cos φ )k eˆ θ = −( φ cos θ )ˆi − ( θ senθ ) jˆ eˆ φ
(4.8)
ˆ = ( −φ cos φ cosθ + θ senφ senθ )ˆi − ( φ cos φ senθ + θ sen φ cosθ ) jˆ − ( φ sen φ )k
Capítulo Cuatro
Página Número 25
Conceptos cinemáticos
Por otro lado, la velocidad angular absoluta del sistema móvil eˆr - eˆθ - eˆφ puede obtenerse a partir de la figura 4.4. Analizando esta figura, se puede observar que el movimiento de rotación del sistema móvil está animado de dos velocidades angulares parciales φ y θ . Proyectando estas velocidades angulares parciales sobre los ejes X , Y y Z , se obtiene que la velocidad angular absoluta del sistema móvil está dada por el vector:
⎧ φ senθ ⎫ ⎪ ⎪ Ω = ⎨− φ cosθ ⎬ ⎪ θ ⎪ ⎩ ⎭
(4.9)
Z
θ
ˆ k Y
jˆ
eˆθ
φ ˆi
eˆ R
θ X
Figura 4.4 – Velocidad angular del sistema móvil
Ahora, efectuando los siguientes productos vectoriales:
⎧− φ sen φ cosθ − θ cos φ senθ ⎫ ⎪ ⎪ Ω × eˆ r = ⎨ θ cos φ cos θ − φ sen φ senθ ⎬ ⎪ ⎪ φ cos φ ⎩ ⎭ ⎧− θ cosθ ⎫ ⎪ ⎪ Ω × eˆ θ = ⎨− θ senθ ⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ − φ cos φ + θ sen φ senθ ⎫ ⎪ ⎪ Ω × eˆ φ = ⎨− θ sen φ cos θ − φ cos φ senθ ⎬ ⎪ ⎪ − φ sen φ ⎩ ⎭ Capítulo Cuatro
(4.10)
Página Número 26
Conceptos cinemáticos
Comparando las expresiones (4.10) con (4.8), puede concluirse que: eˆ r = Ω × eˆ r eˆ θ = Ω × eˆ θ eˆ φ = Ω × eˆ φ
(4.11)
Aunque el resultado anterior se demostró solamente para un caso en particular, se puede demostrar que también es válido para cualquier caso. Su generalización puede expresarse de la siguiente manera: “ La derivada con respecto al tiempo de un vector unitario uˆ , el cual gira con una velocidad angular absoluta Ω , puede obtenerse directamente mediante el producto vectorial uˆ = Ω × uˆ ”. Ahora, volviendo a la expresión (4.6), puede concluirse que la derivada con respecto al tiempo de un vector de magnitud variable ρ que gira junto con un sistema móvil, está dada por: = ρ ρ ˆ r + ρ ˆ θ + ρ ˆ φ + Ω × ρ r e θ e φ e (4.12) Respecto a la expresión anterior, puede verse que ésta consta de dos partes distintas. La primera parte considera la variación en magnitud que experimenta el vector al transcurrir el tiempo. Por otro lado, la segunda parte toma en cuenta los cambios de orientación que sufre el vector al estar girando.
Considérese un punto P ubicado arbitrariamente en el espacio tridimensional, mostrado en la figura 4.5. Éste puede ser localizado, con respecto al sistema de referencia fijo XYZ , mediante un vector posición r P , el cual se dibuja desde el origen O hasta P . Z
P
ˆ k
r P jˆ
ˆi
O
Y
X Figura 4.5 – Vector posición que ubica a un punto P
Capítulo Cuatro
Página Número 27
Conceptos cinemáticos
La velocidad se define como la primera derivada con respecto al tiempo del vector posición. Matemáticamente, esto es:
v P ≡
P r
=
d ( r P )
(4.13)
dt
Antes de considerar la ley Fundamental del Engrane, conviene conocer el siguiente teorema de la cinemática de cuerpo rígido: “Todos los puntos a lo largo de una línea recta inscrita sobre un cuerpo rígido giratorio tienen la misma componente de velocidad a lo largo de dicha línea” Este teorema es ejemplificado en la figura 4.6, donde se puede apreciar un cuerpo rígido que gira en torno a un punto fijo O. Por ejemplo, cualquier punto sobre la línea L tiene la misma componente de velocidad. v2
v1 1
v4
v3
2
3
4
Figura 4.6 – Cuerpo rígido girando en torno a un punto fijo
Una vez revisado este principio, considérese ahora la figura 4.7. En ella se muestran dos levas haciendo contacto, las cuales son una representación general de los dientes de dos engranes acoplados. Las levas giran alrededor de dos ejes que pasan por los pivotes fijos C 1 y C2. Además, las levas tienen velocidades angulares ω1 y ω2, respectivamente. En el punto de contacto Q, t1-t2 es una línea tangente y n1-n2 es la línea normal. El contacto entre las superficies de las levas no debe perderse. Esto puede expresarse mediante el requerimiento de que las componentes de velocidad a lo largo de la línea de contacto (n 1-n2) sea la misma para los dos puntos en contacto. Capítulo Cuatro
Página Número 28
Conceptos cinemáticos
Por otro lado, debido al movimiento giratorio de las levas, los vectores velocidad vQ para el punto de contacto sobre la leva 1 y vQ para el punto de contacto sobre la leva 2 deben ser perpendiculares a su respectivo radio de giro, como lo muestra la figura.
1
2
n2
t 2
Q
t 1
vQ1 P 1
vQ2
2 1
P C 1
C 2
P 2
n1
Figura 4.7 – Representación mediante levas del contacto entre dos dientes
Sean C 1 P 1 y C 2 P 2 dos líneas perpendiculares a la normal n 1-n2, entonces, de acuerdo al teorema anterior: v P II = vQ II = 1 ρ P / C (4.14) v P II = vQ II = 2 ρ P / C (4.15) 1
1
1
1
2
2
2
2
El símbolo II indica que las velocidades son paralelas a la línea normal n 1-n2. Entonces, para mantener el contacto, debe satisfacerse que: vQ II = vQ II (4.16) 1
2
Sustituyendo (4.14) y (4.15) en (4.16), se obtiene: 1 ρ P / C = 2 ρ P / C 1
ω 2 ω 1
1
=
2
2
ρ P 1 / C 1 ρ P 2 / C 2
(4.17)
Por los triángulos semejantes C 2 P 2 P y C 1 P 1 P , se obtiene: ρ P / C 1 ρ P 1 / C 1
Capítulo Cuatro
=
ρ P / C 2 ρ P 2 / C 2
(4.18)
Página Número 29
Conceptos cinemáticos
Ahora, la relación (4.17) se transforma en: ω 2 ω 1
=
ρ P / C 1 ρ P / C 2
(4.19)
Entonces, para que la relación de velocidades (4.19) sea constante, el punto P llamado punto de paso debe siempre dividir la distancia entre centros C 1 /C 2 en la misma relación. De esta manera, la Ley Fundamental del engrane puede enunciarse como: “ Para una relación constante de velocidades angulares, la localización del punto de paso debe ser constante”. Además, puede demostrarse [5] que la velocidad de deslizamiento entre los puntos de contacto viene dada por: v desl = ( 1 + 2 )ρ P / Q (4.20) De donde se deduce que la velocidad de deslizamiento es proporcional a la distancia que existe entre el punto de contacto Q y el punto de paso P . Cuando P y Q coinciden, ρ P / Q vale cero, la velocidad de deslizamiento se hace cero y los dientes acoplados ruedan instantáneamente uno sobre otro. Este hecho ayuda a comprender el porque se puede considerar que dos engranes giran con rodadura pura en sus círculos primitivos.
Considérese el diagrama cinemático para un engrane arbitrario mostrado en la figura 4.8 y 4.9, donde la velocidad angular de entrada es definida por ω. Los vectores unitarios eˆr y eˆθ están fijos al engrane, y sirven para definir la posición del punto Q y el sentido de giro del engrane, respectivamente. La posición del punto Q con respecto al punto O puede obtenerse al sumar un vector que localice el punto P con otro que localice el punto Q respecto al punto P . Matemáticamente, esto es: r Q = r P + r Q / P (4.21) Debido a que los vectores unitarios eˆr y eˆθ giran con el engrane, el vector r Q / P puede determinarse por el radio del engrane en la dirección del vector unitario eˆr , esto es: r Q / P = Reˆ r (4.22)
Sustituyendo en la ecuación (4.21), se obtiene: r Q = r P + Reˆ r
Capítulo Cuatro
(4.23)
Página Número 30
Conceptos cinemáticos
eˆ r
eˆ θ
ω
eˆ l
Figura 4.8 – Diagrama cinemático para un engrane
Derivando esta expresión, se obtiene: Q = r P + Re vQ ≡ r ˆ r
(4.24)
Por otro lado, la velocidad angular del engrane es: Ω = eˆ l
(4.25)
eˆ r
eˆ r
θ eˆθ
Figura 4.9 – Vista en detalle del engrane
Capítulo Cuatro
Página Número 31
Conceptos cinemáticos
Obteniendo la derivada del vector unitario que aparece en la ecuación (4.24), se obtiene: eˆ r = Ω × eˆ r = ( eˆ l × eˆ r ) = eˆ θ (4.26) Sustituyendo el resultado de la expresión (4.26) en la ecuación (4.24), se obtiene: P + ( R )e vQ = r ˆ θ (4.27) P r
En el caso de que el punto P esté fijo en el espacio, su velocidad es igual a cero, = 0 . Entonces, la ecuación se reduce a: vQ = ( R )eˆ θ (4.28)
Capítulo Cuatro
Página Número 32
Capítulo Cinco Análisis cinemático de la caja de tres velocidades El principal objetivo de este capítulo es comprender el funcionamiento de la caja de cambios desde el punto de vista cinemático, por lo que se realiza el análisis cinemático del mismo.
En la sección 3.3 se describió el principio de funcionamiento de una caja de tres velocidades sin sincronizadores. Ahora, en la figura 5.1 se muestra el arreglo básico para este tren de engranajes en la posición neutral.
Figura 5.1 – Esquema de la caja de cambios de tres velocidades
Este arreglo consta de 8 engranes (numerados del 1 al 8) y cuatro ejes, los cuales son: - El eje impulsor, al cual se fija el engrane 1. - El eje auxiliar, al cual se fijan los engranes 2, 3, 4 y 5. - El eje de reversa, donde se encuentra el engrane 8. - El eje del seguidor, el cual contiene a los engranes 6 y 7.
Página Número 33
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
El eje impulsor gira independiente al eje seguidor, por lo tanto, cuando no están acoplados los engranes 1 y 6, su velocidad angular es distinta. Tanto el eje del impulsor como el eje auxiliar se mantienen rotando, ya que los engranes 1 y 2 están siempre acoplados. Existen cinco posibles etapas de movimiento para el eje del seguidor, dependiendo de la posición ocupada por los engranes 6, 7 y 8, las cuales son: -
Marcha Atrás.- Se muestra en la figura 5.2. Se consigue desplazando en engrane 7 hacia la derecha hasta acoplarlo con el engrane 8, el cual se encuentra a su vez acoplado al engrane 5. Debido a que el engrane 8 se encuentra sobre el Eje de Reversa, transmite la potencia desde el Eje Auxiliar hasta el Eje Seguidor en sentido inverso, lo cual produce la reversa.
-
Primera Posición.- Se muestra en la figura 5.3. Ahora se desplaza el engrane 7 hacia la izquierda hasta acoplarlo con el engrane 4, de esta manera que la potencia fluye del Eje Impulsor hacia el Eje Auxiliar a través del acoplamiento de los engranes 1 y 2, y del Eje Auxiliar al Eje Seguidor por medio del acoplamiento de 7 con 4.
-
Segunda Posición.- Se muestra en la figura 5.4. Es el caso en el que el engrane 6 se desplaza hacia la derecha hasta acoplarse con el engrane 3.
-
Tercera Posición.- Se muestra en la figura 5.5. También llamada directa, se logra desplazando el engrane 6 hacia la izquierda y acoplándose con el engrane 1.
-
Posición Neutral.- Se muestra en la figura 5.6. En ella, el Eje Seguidor está desacoplado y en consecuencia no hay transmisión de movimiento.
Figura 5.2 – Esquema de la caja de cambios en marcha atrás
Capítulo Cinco
Página Número 34
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Figura 5.3 – Esquema de la caja de cambios en primera posición
Figura 5.4 – Esquema de la caja de cambios en segunda posición
Capítulo Cinco
Página Número 35
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Figura 5.5 – Esquema de la caja de cambios en tercera posición
Figura 5.6 – Esquema de la caja de cambios en posición neutral
A continuación se realiza el análisis cinemático para cada uno de los casos anteriores, con la finalidad de obtener la relación de transmisión entre el Eje Impulsor y el Eje Seguidor, o en otras palabras, entre la entrada y la salida del sistema. Debido a que este análisis se basa en el principio de funcionamiento descrito en la sección 3.3, no considera la existencia de sincronizadores. Capítulo Cinco
Página Número 36
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Considérese el arreglo de engranajes mostrado en la figura 5.1. Este arreglo es la base para realizar los diagramas cinemáticos que sirven para determinar la relación de transmisión entre el Eje Impulsor y el Eje Seguidor. Considérese también la geometría mostrada en las figuras 5.7 y 5.8. El punto O mostrado en la figura 5.7 es el punto de referencia para todos los cálculos que se realizan en este capítulo.
Figura 5.7 – Esquema de la caja de velocidades en el plano XY
1
8
2
Figura 5.8 – Esquema de la caja de velocidades en el plano ZY
Capítulo Cinco
Página Número 37
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Considérese los engranes 1 y 2 mostrados en la figura 5.9, y el diagrama cinemático mostrado en la figura 5.10. La velocidad angular de entrada A es la del Eje Impulsor. Los vectores unitarios eˆl y eˆl 2 son considerados fijos en el espacio, y sirven para definir los ejes alrededor de los cuales giran los engranes 1 y 2, respectivamente. Por su parte, los vectores unitarios eˆr 1 y eˆθ1 están fijos al engrane 1, y sirven para definir la posición del punto P 1 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. De manera similar, los vectores unitarios eˆr 2 y eˆθ2 están fijos al engrane 2, y sirven para definir la posición del punto P 2 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. Existe un punto de contacto entre ambos engranes, el cual es llamado Q.
A
B
Figura 5.9 – Engranajes 1 y 2
eˆ H
P 1
eˆ r 1
eˆ r 1
θ 1
P 1
eˆ θ 1
eˆ l
R1
O Q
Q
R2
eˆ l 2 eˆ θ 2
P 2 θ 2
P 2 eˆ r 2
eˆ r 2
Figura 5.10 – Diagrama cinemático para la transmisión del eje impulsor al eje auxiliar
Capítulo Cinco
Página Número 38
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Tomando como origen el punto O, el vector posición para el punto P 1 está definido por:
r P 1
= l e ˆ l + R1 eˆ r 1
Derivando este vector con respecto al tiempo, se obtiene: P = R1 e v P 1 ≡ r ˆ r 1 1 La velocidad angular absoluta del Eje Impulsor es igual a: Ω 1 = − A e ˆ l Analizando la derivada del vector unitario, se obtiene: eˆ r 1 = Ω 1 × eˆ r 1 = − A ( eˆ l × eˆ r 1 ) = A eˆ θ 1 Donde finalmente se obtiene: v P 1
= R1
A
eˆ θ 1
(5.1)
Por otro lado, tomando también como origen el punto O, el vector posición para el punto P 2 está definido por: r P 2 = − H eˆ H + l eˆ l 2 + R2 eˆ r 2 Derivando este vector con respecto al tiempo para determinar la velocidad de dicho punto, se obtiene: P = R2 e v P 2 ≡ r ˆ r 2 2 Como la velocidad angular en el Eje Auxiliar es igual a: Ω 2 = B e ˆ l 2 Entonces, la derivada del vector unitario: eˆ r 2 = Ω 2 × eˆ r 2 = B ( eˆ l 2 Sustituyendo:
v P 2
= R2
B
eˆ θ 2
×e ˆ r ) = 2
B
eˆ θ 2
(5.2)
Las ecuaciones (5.1) y (5.2) indican que la magnitud de la velocidad es igual al producto escalar de la velocidad angular del eje y el radio del engrane, girando en dirección de los respectivos vectores unitarios eˆ θ i . Al pasar por el punto Q, las velocidades de P 1 y P 2 son iguales, y sus vectores unitarios eˆ θ i respectivos apuntan en la misma dirección. Por lo tanto:
Capítulo Cinco
v P 1
=
v P 2
eˆ θ 1
=
eˆ θ 2
Página Número 39
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
De donde se obtiene finalmente que: R1 A = R2
(5.3)
B
Considérese los engranes 5 y 8 mostrados en la figura 5.11, y el diagrama cinemático mostrado en la figura 5.12. La velocidad angular en el Eje Auxiliar ( ω B ) es igual a lo largo de toda su longitud, por lo tanto, la velocidad angular de entrada para el engrane 5 es también ω B . Los vectores unitarios eˆl 2 y eˆl 3 son considerados fijos en el espacio, y sirve para definir los ejes alrededor de los cuales giran los engranes 5 y 8, respectivamente. Los vectores unitarios eˆr 5 y eˆθ5 están fijos al engrane 5, y sirven para definir la posición del punto P 5 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. De manera similar, los vectores unitarios eˆr 8 y eˆθ8 están fijos al engrane 8, y sirven para definir la posición del punto P 8 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. Existe un punto de contacto entre ambos engranes, el cual es llamado Q. El vector unitario eˆd está fijo en el espacio, y siempre va dirigido del centro del engrane 5 hacia el centro del engrane 8.
C
B
Figura 5.11 – Engranajes 5 y 8
Tomando como origen el punto O, el vector posición para el punto P 5 está definido por:
r P 5
= l e ˆ l − H eˆ H + l ' eˆ l + R5 eˆ r 2
5
Derivando este vector con respecto al tiempo, se obtiene: P = R5 e v P 5 ≡ r ˆ r 5 5
Capítulo Cinco
Página Número 40
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
eˆ r 8 θ 8
eˆ θ 8
R8
P 8
eˆ l 3
R5 Q eˆ d θ 5
eˆ l 2
eˆ θ 5
P 5
eˆ r 5
Figura 5.12 – Diagrama cinemático para la transmisión del eje auxiliar al eje de reversa
La velocidad angular absoluta del Eje Auxiliar es igual a: Ω 5 = B e ˆ l 2 Analizando la derivada del vector unitario, se obtiene: eˆ r 5 = Ω 5 × eˆ r 5 = B ( eˆ l 2 × eˆ r 5 ) = B eˆ θ 5 Donde finalmente se obtiene: v P 5
= R5
B
eˆ θ 5
(5.4)
Por otro lado, tomando también como origen el punto O, el vector posición para el punto P 8 está definido por: r P 8 = − H eˆ H + d eˆ d + ( l + l ' )eˆ l 3 + R8 eˆ r 8 Derivando este vector respecto al tiempo para determinar la velocidad de dicho punto, se obtiene: P = R8 e v P 8 ≡ r ˆ r 8 8 Como la velocidad angular en el Eje de Reversa es igual a: Ω 8 = − C e ˆ l 3 Entonces, la derivada del vector unitario: eˆ r 8 = Ω 8 × eˆ r 8 = − C ( eˆ l 3
Capítulo Cinco
×e ˆ r ) = 8
eˆ θ 8
C
Página Número 41
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Sustituyendo:
v P 8
= R8
eˆ θ 8
(5.5)
C
Al pasar por el punto Q, las velocidades de P 5 y P 8 son iguales, y sus vectores unitarios eˆ θ i respectivos apuntan en la misma dirección. Por lo tanto:
v P 5
=
eˆ θ 5
=e ˆ θ
De donde se obtiene finalmente que: R5 B = R8
v P 8 8
(5.6)
C
Considérese los engranes 8 y 7 mostrados en la figura 5.13, y el diagrama cinemático mostrado en la figura 5.14. Los vectores unitarios eˆl 3 y eˆl son considerados fijos en el espacio, y sirve para definir los ejes alrededor de los cuales giran los engranes 8 y 7, respectivamente. Los vectores unitarios eˆr 7 y eˆθ7 están fijos al engrane 7, y sirven para definir la posición del punto P 7 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. De manera similar, los vectores unitarios eˆr 8 y eˆθ8 están fijos al engrane 8, y sirven para definir la posición del punto P 8 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. Existe un punto de contacto entre ambos engranes, el cual es llamado Q. El vector unitario eˆ f está fijo en el espacio, y siempre va dirigido del centro del engrane 8 hacia el centro del engrane 7.
D
C
Figura 5.13 – Engranajes 8 y 7
Tomando como origen el punto O, el vector posición para el punto P 7 está definido por:
r P 7
Capítulo Cinco
= ( l + l ' )e ˆ l + R7 eˆ r
7
Página Número 42
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Derivando este vector con respecto al tiempo, se obtiene: P = R7 e v P 7 ≡ r ˆ r 7 7 La velocidad angular absoluta del Eje Seguidor es igual a: Ω 7 = D e ˆ l Analizando la derivada del vector unitario, se obtiene: eˆ r 7 = Ω 7 × eˆ r 7 = D ( eˆ l × eˆ r 7 ) = D eˆ θ 7 Donde finalmente se obtiene: v P 7 = R7
D
eˆ θ 7
(5.7)
Al pasar por el punto Q, las velocidades de P 8 y P 7 son iguales, y sus vectores unitarios eˆ θ i respectivos apuntan en la misma dirección. Por lo tanto:
v P 7
=
v P 8
eˆ θ 7
=
eˆ θ 8
de donde se obtiene finalmente que: R7 D = R8
(5.8)
C
eˆ r 7
R7 θ 7
P 7
eˆ l
eˆ θ 7
Q
R8
eˆ f eˆ l 3
P 8
eˆ r 8
θ 8
eˆ θ 8
Figura 5.14 – Diagrama cinemático para la transmisión del eje de reversa al eje seguidor
Capítulo Cinco
Página Número 43
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Sustituyendo (5.3) y (5.6): ω D =
R1 R5 R2 R7
ω A
(5.9)
La ecuación (5.9) representa la velocidad de salida del Eje Seguidor con la velocidad de entrada del Eje Impulsor para la posición de marcha atrás. Además, como puede notarse en los diagramas cinemáticos, el sentido de giro entre estos ejes es distinto, generando un movimiento en reversa.
Considérese los engranes 4 y 7 mostrados en la figura 5.15, y el diagrama cinemático mostrado en la figura 5.16. Los vectores unitarios eˆl 2 y eˆl son considerados fijos en el espacio, y sirve para definir los ejes alrededor de los cuales giran los engranes 4 y 7, respectivamente. Por su parte, los vectores unitarios eˆr 4 y eˆθ 4 están fijos al engrane 4, y sirven para definir la posición del punto P 4 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. De manera similar, los vectores unitarios eˆr 7 y eˆθ 7 están fijos al engrane 7, y sirven para definir la posición del punto P 7 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. Existe un punto de contacto entre ambos engranes, el cual es llamado Q.
D
B
Figura 5.15 – Engranajes 4 y 7
Tomando como origen el punto O, el vector posición para el punto P 4 está definido por:
r P 4
Capítulo Cinco
= l e ˆ l − H eˆ H + meˆ l + R4 eˆ r 2
4
Página Número 44
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Derivando este vector con respecto al tiempo, se obtiene: P = R4 e v P 4 ≡ r ˆ r 4 4 La velocidad angular absoluta en el Eje Auxiliar es igual a: Ω 4 = B e ˆ l 2 Analizando la derivada del vector unitario, se obtiene: eˆ r 4 = Ω 4 × eˆ r 4 = B ( eˆ l 2 × eˆ r 4 ) = B eˆ θ 4 Donde finalmente se obtiene: v P 4
= R4
B
eˆ θ 4
(5.10)
eˆ r 7
eˆ r 7
P 7
R7
eˆ θ 7
P 7
θ 4
eˆ l
Q
Q R4
eˆ l 2
eˆ θ 4 P 4
P 4 θ 7
eˆ r 4
eˆ r 4
Figura 5.16 – Diagrama cinemático para la transmisión en primera velocidad
Por otro lado, tomando también como origen el punto O, el vector posición para el punto P 7 está definido por: r P 7 = ( l + m )eˆ l + R7 eˆ r 7 Derivando este vector respecto al tiempo para determinar la velocidad de dicho punto, se obtiene: P = R7 e v P 7 ≡ r ˆ r 7 7 Como la velocidad angular en el Eje Seguidor es igual a: Ω 7 = − D e ˆ l
Capítulo Cinco
Página Número 45
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Entonces, la derivada del vector unitario: eˆ r 7 = Ω 7 × eˆ r 7 = − D ( eˆ l × eˆ r 7 ) = Sustituyendo:
v P 7
= R7
D
D
eˆ θ 7
eˆ θ 7
(5.11)
Al pasar por el punto Q, las velocidades de P 4 y P 7 son iguales, y sus vectores unitarios eˆ θ i respectivos apuntan en la misma dirección. Por lo tanto:
=
eˆ θ 4
=e ˆ θ
ω B de
v P 7 7
De donde se obtiene finalmente que: R4 B = R7 Sustituyendo
v P 4
D
(5.12)
ω A
(5.13)
la ecuación (5.3): R1 R4 ω D =
R2 R7
La ecuación (5.13) representa la velocidad de salida del Eje Seguidor con la velocidad de entrada del Eje Impulsor para la posición de primera.
Considérese los engranes 3 y 6 mostrados en la figura 5.17, y el diagrama cinemático mostrado en la figura 5.18. Los vectores unitarios eˆl 2 y eˆl son considerados fijos en el espacio, y sirve para definir los ejes alrededor de los cuales giran los engranes 3 y 6, respectivamente. Por su parte, los vectores unitarios eˆr 3 y eˆθ 3 están fijos al engrane 3, y sirven para definir la posición del punto P 3 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. De manera similar, los vectores unitarios eˆr 6 y eˆθ 6 están fijos al engrane 6, y sirven para definir la posición del punto P 6 y el sentido de giro del engrane, respectivamente. Existe un punto de contacto entre ambos engranes, el cual es llamado Q. Tomando como origen el punto O, el vector posición para el punto P 3 está definido por:
r P 3
= l e ˆ l − H eˆ H + m' eˆ l + R3 eˆ r 2
3
Derivando este vector con respecto al tiempo, se obtiene: P = R3 e v P 3 ≡ r ˆ r 3 3
Capítulo Cinco
Página Número 46
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
D
B
Figura 5.17 – Engranajes 3 y 6
La velocidad angular absoluta del Eje Auxiliar es igual a: Ω 3 = B e ˆ l 2 Analizando la derivada del vector unitario, se obtiene: eˆ r 3 = Ω 3 × eˆ r 3 = B ( eˆ l 2 × eˆ r 3 ) = B eˆ θ 3 Donde finalmente se obtiene: v P 3 = R3
B
eˆ θ 3
(5.14)
eˆ r 6
eˆ r 6
P 6
eˆ θ 6
R6 P 6
eˆ l
θ 6
Q Q
eˆ θ 3
eˆ l 2
R3
P 3 θ 3
P 3
eˆ r 3
eˆ r 3
Figura 5.18 – Diagrama cinemático para la transmisión en segunda velocidad
Capítulo Cinco
Página Número 47
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Por otro lado, tomando también como origen el punto O, el vector posición para el punto P 6 está definido por: r P 6 = ( l + m' )eˆ l + R6 eˆ r 6 Derivando este vector respecto al tiempo para determinar la velocidad de dicho punto, se obtiene: P = R6 e v P 6 ≡ r ˆ r 6 6 Como la velocidad angular en el Eje Seguidor es igual a: Ω 6 = − D e ˆ l Entonces, la derivada del vector unitario: eˆ r 6 = Ω 6 × eˆ r 6 = − D ( eˆ l × eˆ r 6 ) = Sustituyendo:
v P 6
= R6
D
eˆ θ 6
D
eˆ θ 6
(5.15)
Al pasar por el punto Q, las velocidades de P 3 y P 6 son iguales, y sus vectores unitarios eˆ θ i respectivos apuntan en la misma dirección. Por lo tanto:
v P 3
=
v P 6
eˆ θ 3
=e ˆ θ
6
Así: R3 Sustituyendo
ω B de
B
=
R6
D
(5.16)
ω A
(5.17)
la ecuación (5.3): R1 R3 ω D =
R2 R6
La ecuación (5.17) representa la velocidad de salida del Eje Seguidor con la velocidad de entrada del Eje Impulsor para la posición de segunda.
Considérese los engranes 1 y 6 mostrados en la figura 5.19. Debido a que el engrane 6 se acopla con el engrane 1, la velocidad angular del Eje Impulsor se transmite completamente al Eje Seguidor, por lo tanto: A
Capítulo Cinco
=
D
(5.18)
Página Número 48
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
A
Figura 5.19 – Diagrama cinemático para la transmisión en directa
Considérese el arreglo de la figura 5.1, donde se presenta una caja de velocidades en la posición neutral. Dado que el Eje Seguidor no acopla ningún otro engrane con otros ejes, la velocidad angular del eje Impulsor no llega a éste, y por lo tanto: D
=0
(5.19)
El Paso Diametral de dos engranes adyacentes debe ser igual para que puedan acoplarse. Por otro lado, existe una relación entre el Paso Diametral P D, el Radio Primitivo R y el Número de Dientes N del engrane [4]: P D
=
N
(5.20)
2 R
Por lo tanto, las ecuaciones de salida obtenidas para cada una de las velocidades pueden ser representadas en función del número de dientes de los engranes.
De la ecuación (5.9): ω D =
Capítulo Cinco
R1 R5 R2 R7
ω A
Página Número 49
Análisis cinemático de la caja de tres velocidades
Sustituyendo la ecuación (5.20): N 1 ω D =
⋅
N 5
2 P 2 P D D N 2 N 7
ω A
⋅
2 P 2 P D D Como el Paso Diametral es igual, se obtiene: N 1 N 5 ω D =
ω A
N 2 N 7
(5.21)
De la ecuación (5.13): ω D =
R1 R4 R2 R7
Sustituyendo la ecuación (5.20): N 1 ω D =
⋅
ω A
N 4
2 P 2 P D D N 2 N 7
ω A
⋅
2 P 2 P D D Como el Paso Diametral es igual, se obtiene: N 1 N 4 ω D =
N 2 N 7
ω A
(5.22)
De la ecuación (5.17): ω D =
R1 R3 R2 R6
Sustituyendo la ecuación (5.20): N 1 ω D =
⋅
ω A
N 3
2 P 2 P D D N 2 N 6
ω A
⋅
2 P 2 P D D Como el Paso Diametral es igual, se obtiene: N 1 N 3 ω D =
Capítulo Cinco
N 2 N 6
ω A
(5.23)
Página Número 50
Capítulo Seis Descripción del prototipo
En este capítulo se presenta una descripción general del prototipo. Toda la información aquí mostrada es de utilidad para la mejor comprensión de los cambios de velocidades, así como para la correcta elaboración de la Práctica que se incluye en esta T esis.
Una vez comprendido el principio de funcionamiento de una caja de velocidades y las relaciones de transmisión existentes en cada una de ellas, calculadas mediante un análisis cinemático, es conveniente observar el funcionamiento de estos elementos mecánicos de una manera real, para poder lograr un mejor entendimiento. El prototipo ha sido diseñado para trabajar con el principio de funcionamiento de una caja de tres velocidades (sección 3.3), mostrando las velocidades neutral, reversa, primera, segunda y tercera. No se ha considerado en el diseño los sincronizadores, debido a que el prototipo pretende mostrar de la manera más sencilla dicho principio. Los engranes empleados son rectos, debido a la simplicidad que requiere el prototipo, aunque cabe señalar que es más conveniente utilizar engranes helicoidales debido a que reducen ruido, tienen un mayor área de contacto y son capaces de transmitir grandes cargas a altas velocidades [4]. El objetivo que se pretende alcanzar es que el prototipo sirva al alumno para reforzar visualmente el principio de funcionamiento de una caja de tres velocidades y pueda aplicarlo en su análisis cinemático.
La información de los engranes mostrada a continuación es de utilidad para la realización de la práctica de esta tesis. El número de cada engrane se especifica en base a la distribución indicada en la figura 5.1.
Página Número 51
Descripción del prototipo
Capítulo Seis
Número de Dientes
26
Diámetro de Paso
1.857”
Paso Diametral
14
Diámetro de Adendo
2”
Diámetro de Dedendo
1.692”
Angulo de Presión
14.5º
Número de Dientes
40
Diámetro de Paso
2.857”
Paso Diametral
14
Diámetro de Adendo
3”
Diámetro de Dedendo
2.692”
Angulo de Presión
14.5º
Número de Dientes
33
Diámetro de Paso
2.357”
Paso Diametral
14
Diámetro de Adendo
2.5”
Diámetro de Dedendo
2.192”
Angulo de Presión
14.5º
Número de Dientes
26
Diámetro de Paso
1.857”
Paso Diametral
14
Diámetro de Adendo
2”
Diámetro de Dedendo
1.692”
Angulo de Presión
14.5º
Página Número 52
Descripción del prototipo
Capítulo Seis
Número de Dientes
19
Diámetro de Paso
1.357”
Paso Diametral
14
Diámetro de Adendo
1.5”
Diámetro de Dedendo
1.192”
Angulo de Presión
14.5º
Número de Dientes
33
Diámetro de Paso
2.357”
Paso Diametral
14
Diámetro de Adendo
2.5”
Diámetro de Dedendo
2.192”
Angulo de Presión
14.5º
Número de Dientes
40
Diámetro de Paso
2.857”
Paso Diametral
14
Diámetro de Adendo
3”
Diámetro de Dedendo
2.692”
Angulo de Presión
14.5º
Número de Dientes
33
Diámetro de Paso
2.357”
Paso Diametral
14
Diámetro de Adendo
2.5”
Diámetro de Dedendo
2.192”
Angulo de Presión
14.5º
Página Número 53
Descripción del prototipo
Se muestran a continuación las fotografías del prototipo para cada una de las velocidades.
Figura 6.1 – Fotografía del prototipo en posición neutral
Figura 6.2 – Fotografía del prototipo en primera velocidad
Capítulo Seis
Página Número 54
Descripción del prototipo
Figura 6.3 – Fotografía del prototipo en segunda velocidad
Figura 6.4 – Fotografía del prototipo en tercera velocidad o directa
Capítulo Seis
Página Número 55
Descripción del prototipo
Figura 6.5 – Fotografía del prototipo en reversa o marcha atrás
Capítulo Seis
Página Número 56
Capítulo Siete Conclusiones El más hermoso fenómeno que podemos experimentar es el misterio. Es la fuente del verdadero arte y de la ciencia. - Albert Einstein -
En este capítulo se presentan las conclusiones generales de esta Tesis, describiendo los motivos principales de su realización y el fruto que se espera obtener.
El mundo en el que vivimos avanza cada día a pasos agigantados hacia una era de ciencia y tecnología altamente avanzada. Recientemente la economía mundial entra en la etapa histórica de la Globalización y el libre comercio, donde la competencia por los mercados hace que cada empresa crezca para poder ofrecer servicios de alta calidad.
Los estándares Internacionales de Calidad como las normas ISO abren las puertas de una empresa hacia un mundo de alta competitividad. Pero el obtener certificaciones por parte de estos Organismos Internacionales no es sencillo, porque requiere un alto compromiso y una verdadera formación de los profesionales que laboran en las empresas. Es por ello que el ingeniero que egresa de cualquier universidad debe llevar consigo una educación amplia y que sea capaz de crearle un alto criterio y convicciones sin prejuicios.
La necesidad es que la educación no sea solamente teórica, sino que el alumno pueda tener cada vez mayor contacto con lo real. Hablando de la ingeniería mecánica, generalmente el estudiante que comienza a laborar en su servicio social profesional descubre que los conocimientos necesarios para realizar su trabajo distan mucho de lo teórico aprendido en el aula de su universidad, debido a esa inexperiencia en el conocimiento y práctica en campo.
Página Número 57
Conclusiones
Desafortunadamente, la crisis económica por la que ha atravesado el país durante estos años, aunada a la falta de apoyo en cuanto a becas y oportunidades de trabajo por parte de las universidades van disminuyendo las posibilidades de que el estudiante fortalezca sus conocimientos teóricos con aprendizajes prácticos.
Consciente de la necesidad imperante de que el estudiante aprenda algo práctico y real que vaya de la mano con su aprendizaje teórico, se plantea este proyecto de tesis con un tema altamente importante en la vida de todo ingeniero mecánico: el análisis cinemático de sistemas mecánicos.
Una metodología de aprendizaje para el estudiante de Ingeniería Mecánica se muestra en este proyecto de tesis, donde el tema es el análisis cinemático. Se comienza por mostrar el funcionamiento de un sistema mecánico, en este caso una caja de tres velocidades; posteriormente se hace un estudio de los principales conceptos cinemáticos con los cuales se comienza a analizar dicho sistema mecánico, hasta determinar las relaciones de transmisión de cada una de las velocidades. Posteriormente, una práctica empleando un prototipo didáctico fortalece el aprendizaje al mostrar de una manera real el principio de funcionamiento que ya ha sido estudiado teóricamente.
Debido a que el estudiante puede ver y palpar dicho prototipo, su entendimiento se agudiza. Además, es capaz de entender el principio de funcionamiento que gobierna no solamente a transmisiones de tres velocidades, sino a una amplia gama de transmisiones por engranes.
Además, los conocimientos de cinemática son mostrados de una manera clara, explicando paso a paso y detalladamente el proceso de análisis, con lo cual el estudiante o el profesor no tendrán problemas al comprender este método.
Capítulo Siete
Página Número 58
Conclusiones
Se considera que este proyecto de tesis puede aportar un nuevo panorama a muchos estudiantes acerca de la importancia de llevar lo teórico y lo práctico de la mano. Además, da las armas para realizar análisis cinemáticos para cualquier sistema mecánico similar a una caja de velocidades.
Por medio del análisis cinemático realizado en el capítulo cinco, se obtuvieron las ecuaciones (5.21), (5.22) y (5.23), las cuales demuestran la validez de la ecuación generalmente empleada por los ingenieros en el análisis de trenes de engranes [9]:
ω salida
Capítulo Siete
producto del número de dientes impulsores =
producto del número de dientes impulsados
ω entrada
Página Número 59
Apéndice A Práctica sobre el prototipo
Universidad de Guanajuato Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica
PRÁCTICA “Relaciones de transmisión de una caja de tres velocidades”
Al finalizar esta práctica, el alumno deberá ser capaz de explicar el principio de funcionamiento de una caja manual de tres velocidades, así como su análisis cinemático y la determinación de la relación de transmisión para cada velocidad.
1. Empleando como referencia bibliográfica esta tesis, leer la sección 3.3 para comprender a fondo el principio de funcionamiento de la caja de cambios de tres velocidades. 2. Revisar el Capítulo Quinto para comprender el análisis cinemático que se realiza a esta caja de velocidades. En caso de existir alguna duda, leer el Capítulo Cuarto que trata sobre los conceptos cinemáticos. 3. Empleando el prototipo didáctico, comprender la manera como cada una de las velocidades deben engranarse. Para esto, auxiliarse de la descripción presentada en la sección 6.3. 4. Calcular la relación de transmisión en función de los radios primitivos y del número de dientes para cada una de las velocidades, empleando las ecuaciones determinadas en el Capítulo Quinto y los datos de la geometría de los engranes proporcionados en el Capítulo Sexto. 5. Reportar los resultados, comparando ambos procedimientos (radios primitivos y número de dientes).
1. Explique brevemente el funcionamiento del prototipo didáctico. ¿Cree que el principio de funcionamiento se aplica en él? 2. Explique el significado de los valores obtenidos en la relación de transmisión. 3. Explique porqué el paso diametral de los engranes debe ser el mismo para que exista rodamiento puro. 4. ¿Podría una relación de transmisión ser mayor a 1? Explique. 5. ¿Cree que se podrían agregar más velocidades para que la relación de transmisión aumentara en menor cantidad conforme se embragara una nueva velocidad? Explique.
Para presentar el reporte de la práctica, seguir el formato presentado a continuación. - Revisar el objetivo de esta práctica y anotarlo en su reporte. - Anotar las operaciones empleadas para calcular la relación de transmisión para cada velocidad, tanto en función del radio primitivo como del número de dientes. - Contestar las preguntas de una manera clara y concisa. - Indicar sus conclusiones y las observaciones que crea pertinentes.
Apéndice B Dibujo de ensamble del prototipo
Apéndice B
La identificación de las partes mostradas en el dibujo de ensamble se muestra en la siguiente tabla.
No.
Identificación
1
Palanca para giros de entrada
2
Tuercas sujetadoras de bujes
3
Placas de soporte
4
Barras de soporte
5
Eje de reversa
6
Eje auxiliar
7
Eje impulsor
8
Eje seguidor
9
Bujes
10
Anillos de retención de los ejes
11
Cubos de retención de las palancas
12
Palancas
13
Engrane del eje impulsor
14
Engrane transmisor al eje auxiliar
15
Engrane de 2ª y 3ª del eje seguidor
16
Engrane de 2ª del eje auxiliar
17
Engrane de 1ª y reversa del eje seguidor
18
Engrane de 1ª del eje auxiliar
19
Engrane intermedio de reversa
20
Engrane de reversa del eje auxiliar
21
Placa de salida
22
Tornillos Allen para sujeción
Dibujo de ensamble
Bibliografía
[1]
William H. Crouse, 1980, “Automotive Mechanics”, McGraw-Hill, pp. 468-484.
[2]
J. Jesús Cervantes Sánchez, 1995, “Apuntes de Análisis y Síntesis de Mecanismos”, Universidad de Guanajuato, pp. 6-29, 59-74.
[3]
William H. Crouse, 1995, “Transmisión y caja de cambios del automóvil”, Alfaomega-Marcombo, pp. 48-71.
[4]
Joseph Edward Shigley, 1990, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw-Hill, pp. 595-659.
[5]
Samuel Doughty, 1988, “Mechanics of machines”, John Wiley & Sons.
[6]
J. L. Oliver, 1996, “Teoría de Máquinas Tema 13.- Conceptos básicos sobre Engranes”, Universidad Politécnica de Valencia, pp. 2-4.
[7]
J. L. Oliver, 1996, “Teoría de Máquinas Tema 14.- Trenes de Engranajes”, Universidad Politécnica de Valencia, pp. 2-4.
[8]
Geoffrey Boothroyd, 1975, “Fundamentals of Metal Machining and Machine Tools”, McGraw-Hill, pp. 262-300.
[9]
Guillet, 1967, “Cinemática de Máquinas”, CECSA, pp. 249-272.
[ 10 ]
C. W. Ham, 1964, “Mecánica de Máquinas”, McGraw-Hill, pp. 167-190.
[ 11 ]
Ministerio del Ejército y la Fuerza Aérea de Estados Unidos, 1970, “Manual de Automóviles”, Compañía Editorial Continental, pp. 317-332.