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Planificações
Apresenta-se, aqui, o número de aulas previstas no Programa (178, no total) para cada domínio (isto é, para cada tema do Manual). Nestes tempos não se incluem as aulas dedicadas a testes, avaliações, visitas de estudo ou outros extras que possam surgir. Trigonometria e Funções Trigonométricas
38 aulas
Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos Ângulos orientados, ângulos generalizados e rotações. Razões trigonométricas de ângulos generalizados Funções trigonométricas Geometria Analítica
32 aulas
Declive e inclinação de uma reta. Produto escalar Sucessões
44 aulas
Generalidades sobre sucessões Princípio de indução matemática. Progressões aritméticas e progressões geométricas Limites de sucessões Funções Reais de Variável Real
56 aulas
Limites segundo Heine de funções reais de variável real Derivadas de funções reais de variável real e aplicações Estatística
18 aulas
Reta de mínimos quadrados, amostras bivariadas e coef iciente de correlação 178 aulas
Disponibiliza-se, em seguida, uma planificação semanal para o 1. o período. As planificações para os restantes períodos serão disponibilizadas aos professores adotantes do projeto M T 11 em setembro de 2016.
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l a t o ã i s g i n s o D e t s x u a t l E b u « o A e e 0 d s 2 s o o i t m í c e e c r r s » a o s i e l d x o é e u g l u s n m o â g i n t s a â l o a i u d i r t m o r t e T s e d o – m o s r o o ã ç u ã u c ç n l u o e l g o i R o r s s t e e a r R d e ) a s a c 3 e 1 a a l u 0 a 1 ( r s a a i d n g u á t s P E
o d o í r e p o . 1 o d s l a a n a n m a e m s 4 e 1 s o a 3 ã 1 ç | a o c i d f i o r n í e a l P P .
1
o l u g n . â ) s m o u d u e g d a e s t o n l e u g g n n . a â t ( 0 s e a 6 i o o r t e d n e ú e e m 5 s t s o 4 , n o n c o , o 0 C o g 3 i r n t e e s a d d e e s t d n i e a s t g o n n t i e a e c m t n a e o d o c n n s u e f o s s s d a o . l o c ã o u , s i d m o v u r n e g ó e R a F S
s a n a . m 1 e S ª
s o n e s s o d i e L : a r b e g o e G – r o d a l u m i S
s o n e s s o c s o d i e L : a r b e g o e G – r o d a l u m i S
) 2 2 a n i g á p ( 3 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R – o ã ç a m i n A
6 1 a 4 1 s a n i g á P
9 1 a 7 1 s a n i g á P
3 2 a 0 2 s a n i g á P
. o s u t b o o l u g n â m u e d o n e s e o t e r o l u g n . â s o n m u e s e s d o d o i n e e L S
. o s u t b o o l u g n â m u e d o n e s s o c e o t e r s o o i l c u í g c n r . â e s x o n m e e u e s e d s d o o c o ã s n ç u o e l o d s s i s e o e L C R
» s o d . s s a z i m o e l u l a u õ e ç r g a e d n t n o  o « r e g ã ç e e s a t d s o o l n s d u e o g s i a z n e c i â í l r c p r a e r e e d e x n s R : e e a a s g c r o s i b r t e o s l é g d o o o a z d u m i g o n o e l T â n G a r – , o – e s g n r o o i o e ã d r t ç a s d g a o u t e l l n õ u l o e s i z m u g e r a i n R o R S â
5 2 e 4 2 s a n i g á P
1 . n 5 + 5 e t s e T
2 4 e 1 4 s a n i g á P
6 3 a 2 3 s a n i g á P
0 4 a 6 3 s a n i g á P
5 4 a 3 4 s a n i g á P
. o d a z i . l o a d r e a t n n e g e i r l o o u o g l n u â g n m â u m o u d o n d u n g u e g s o e s ã o ç ã a ç t o a t R . o s R o . s d o a z i d l a t a n r e e n i r e o g s s o l o l u u g g n n  Â
o l u g n . â ) o l s u m o g u d n a e t â . d n o e . e m i d t u r o n a o d e z e i a l s d t g a o . l n n r ) o a u e e o n i t g r n d e s n o a e a s â d g z i o l ( l o o l c a a a l u i g n e u r r i t g e n S o e â n n . n â e m m o e g o u d S m l o a . n t u u a o e n c g e g d e i i i r d n r t t o r â e é a n o t ( s s m d e o n i s l s l o e a u t a a g o n c t c g n i n o r n n e a t g o â i e t m é r d t e a m m e m a a o d o i d o u c n n n e n n u o n . u d . e f e ê i o s s s g r o f s e e d l a o t d o l a r t f c a a n t , u s n t u d e a u n m l g n o m h c e r a n e n r n i i r n i r ó i a r e ó i C o F S T o S F L
. 3
. 2
ª
ª
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a d o l r t a e t i g m i o í D n r e a a i p l o u d A a r e 0 e o 2 d n a i m o d ã e ç a r a i o N d : O : é a a r r m b i t b e e l g u o g o m e e a G i G s o – c – n s r ê r r o o r u d e c a d a f e l l R u u n u m c m i r i i S S c
) a s a c 1 e 5 a a l u 6 a 4 ( r s a a i d n g u á t s P E
s o d ú e t n o C
. s o n a i d a r e s u a r G . e d u t i l p m a e d e d a d i n u o m o c o n a i d a r O
3 5 e 2 5 s a n i g á P s a s s e r p x e o ã s s e d u t i l p m a s a j u c s o l u g n â e d s a c i r t é m o . n s o o g n i r t a i s d e a õ r z a m R e
e e e e e d d d d d s s s s s a a a a a c c c c c i i i i i r r r r r t t t t t é é é é é m m m m m o o o o o n n n n n o o o o o g g g g g i i i i i r r r r r t t t t t s s s s s e e e e e õ õ õ õ õ z z z z z a a a a a R R R R R : : : : : a a a a a r r r r r b b b b b e e e e e g g g g g o o o o o e e e e e G – G G G G – – – – – – r r r r r o o o o o d d d d – d a l a l a l a l a l u u u u u m i m i m i m i m i S S S S S
) 3 7 a n i g á ) p e ( o p 0 9 i 0 0 t 1 1 o o o d i i c c s í í e c c r r õ ç e e x x a e e u q o o E d d : o o a r ã ã b ç ç e u u l l g o o o s s e e e G R R – – – r o ) o o = ã 2 7 d ) ç a ã a a n ç a l u ( i m i m g á i m i n p n S A ( A
6 5 a 4 5 s a n i g á P
5 6 a 7 5 s a n i g á P
. e t n a r d a u q o r i e m i r p o a o ã ç u d e R
7 6 e 6 6 s a n i g á P
. s a c i r t é m o n o g i r t s e õ ç a u q E
2 . n 5 + 5 e t s e T
s a n . a 4 m e S
. 5
ª
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e , o t o n n n e o e s g e s s n s o n e s a e s c t e õ o o o õ ç ã ã ã ç n ç ç ç n u u n n n f F u f u f u s « f e a a a a d d d d d s o o o s o i d d d o c c i o í o í o f í í c r r r á r e e e r e P P P G x : : : : e a s r a r a r a r o b b b b e e e e e s o » g g g g t o o o n d s o o a e e e e e T c G G G G g n i r – t – – – – a t r r r r o é o o o o e ã m d d d d ç o o a l a l a l a n u n l l u u u u e o s s o g m i m i m i m s e i i o r R t S S S S c
ª
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6 7 a 4 7 s a n i g á P
3 8 a 7 7 s a n i g á P
o n e s s o . c , o i o n n í m e s o s D e . õ e t ç n n u e f g s n a a t d l e a o t n n e e s s m a o d c n , u o f n o e s d o s í a r c e i P r t . é s m a c i o d n ó o i r . g i e r t p e t s s n e e e õ õ g ç ç n n n a u u t F F e
. . e t e n t e n g e n g n a t a t e e o o n n e s e s s o s c o , c , o o n n e s e s s e s õ e ç õ n ç u n f u s f a s d a s d o o c i d f u á r t s G E
o ã n e a t e e v r i l a c » e r m a l D u o « a e ã c e s d ç d e e a n i s o v l i t o l i u c c c d e n i í c a d r o u e r O s x P . : e a a a s t r d o e b e e t s r n o a g e d m o o u e g T e G n a – d – t r o o o a ã ã d é ç ç l a a u a l l c n o i u i t s l m r e c i e n R i S v
l a t i g i D 4 a 8 3 2 l 1 u 1 A o o i i c c 0 í í 2 c c r r e e m x x e e e a o i o d d d é o o ã ã m ç ç i t u u l l l u o o s m s e e s R ) R ) o – 2 – 4 s r o 1 o 1 u ã 1 ã 1 c ç a ç a a n e a i R m n m i g g i i á n p n á p A ( A (
s o i c í c r e x E + « e d s o i c í c r e x e s o 1 s a o d m o e T T – » o s ã o ç t u s l o o s p e o r R p
) a s a c 4 e 9 a a l u 4 a 8 ( r s a a i d n g u á t s P E
s a n 1 i 3 g á s 1 á r o p a i e ( c d í » ) 8 o c r s 5 2 p o e t 2 1 r o e x s 1 s a n l v E a n u o + o i p l 6 g a s « s o r 1 á e O r o p 1 P
s o d ú e t n o C . s o i c í c r e x e e d o ã ç u l o s e R
s a n . a 6 m e S ª
6 0 1 a 5 9 s a n i g á P
. s a s r e v n i s a c i r t é m o n o g i r t s e õ ç n u F
9 0 1 e 7 8 0 0 1 1 s a a n i n i g g á á P P
. s o r r e s o a a ç a C
3 . n 5 + 5 e t s e T
. 7
ª
. s o t i e c n o c e d o ã ç a d i l o s n o C
o ã ç a i l a v a e d a v o r P . 1 ª
. a t e r a m u e d o ã ç a n i l c n i e e v i l c e D
) 4 7 1 a n i g á p ( 3 5 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R – o ã ç a m i n A
a c i r t é m o e g o ã ç a t e r p r e t n I : a r b e r g l a o a e c G s – e r o o t u d d a o l u r p m o i S d
o n a l p o n s e r o t e v e d o l u g n  : a r b e g o e G – r o d a l u m i S
3 3 1 e 2 3 1 s a n i g á P
7 3 1 a 4 3 1 s a n i g á P
. ) o ã ç i n i f e d ( s e r o t e v e d r a l a c s e o t u d o r P
m e s e r o t e v e d r a l a c s e . s o t e u r d o t o r e p v s o o d d o l o ã u s s g . e n s r â p o e r x a E d l . e u c s i e r a d n o r e t m e o p v n r e a e d d p s o o e l r u ã o g ç t n n e u  f V
. 8
7 3 1 a n i g á P
9 3 1 e 8 3 1 s a n i g á P
1 4 1 e 0 4 1 s a n i g á P
. r a l a c s e o t u d o r p o d s e d a d e i r p o r P
. s a m e l b o r p e s o i c í c r e x e e d o ã ç u l o s e R
3 4 1 e 2 4 1 s a n i g á P
4 . n 5 + 5 e t s e T
. 9
ª
ª
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e d e v i l c e d o e r t n e o o ã n ç a a l l e p R o : n a r s b e e r a g l o u c e i G d – n r e o p r d e a p l u s a m t i r S e
l a t i g i D a l u A 0 2 m e a i d é m i t l u m s o s r u c e R ) a s 5 a c 4 e 1 a a l 4 u 4 a ( 1 r s a a i d n g u á t s P E
s o d ú e t n o C
l a i c n e r e f e r m e s a d a n e d r o o c s a d r i t r a p a s e r o t e v e d r a l a c s e o t u d . o . r n P o
s a n . a 0 m 1 e S ª
74
6 4 1 a n i g á P
. s e r a l u c i d n e p r e p s a t e r e d s e v i l c e d e r t n e o ã ç a l e R
) 8 5 1 a n i g á p ( 8 2 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R – o ã ç a m i n A
a n r a l a c s e o t u d o r p a i O c n : ê a r r e b f e n g u o c e r i G c – a r d o d o a ã ç i l u n i m f e i S d 9 4 1 a 7 4 1 s a n i g á P
. s o c i r t é m o e g s e r a g u L
1 5 1 e 0 5 1 s a n i g á P
3 5 1 e 2 5 1 s a n i g á P
. s a m e l b o r p e s o i c í c r e x e . e o d ã o ç a ã d ç l i u o l s o s n e o R C
. 1 1
ª
5 . n 5 + 5 e t s e T
0 6 1 a 4 5 1 s a n i g á P
) 4 6 1 a n i g á p ( 8 3 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R – o ã ç a m i n A 2 6 1 a 0 6 1 s a n i g á P
4 6 1 a 3 6 1 s a n i g á P
. s s o e n õ a ç l p a u e q d e s e a s n i a a i i s r o e t t r e a v c s s e e õ õ ç ç a a u u q q E E . . . o o n . s n l s a a a p o l n m p e a l l m m u p b u a e o r a o d p l l s e a l e a d c m a i r r r o o a t ã n p é ç u r r m l o o a t t r o s e e a e V V p R
s o i c í c r e x E 0 9 0 0 + 1 1 « o o e i i d c c í í s c c r r o i e e c x x í c e e r o o e x d d e o s 2 o ã ã o ç ç a u u s l o m l o o d e s s o T e e T – R R ) – » – 3 – ) 6 o s o 8 o 8 ã o ã 1 ã 1 ç t a ç a s ç u l o a i n a i n o p m g i m g s o i á á e r n p n p R p A ( A (
5 6 1 a n i g á P
7 6 1 e 6 6 1 s a n i g á P
s o r r e s o a a ç a C
. 2 1
6 . n 5 + 5 e t s e T
s a n i g á s á r o p i e c ( d í » ) o c r s 6 p e o 8 t o r x e E s 1 n l v + o a u o p 9 l a s « s o r 7 e O r o p 1
o ã ç a d i l o s n o C
o ã ç a i l a v a e d a v o r P . 2 ª
. 3 1
ª
ª
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e r b o s s e d a d i l a r e n e G . o t n u j n o c m u e d s e t n a r o n i m e s . e t s n e õ a r s s . o j e o a c d o M u s í r e p . 1 o d m i F
s e ) 2 d 2 a l d a i a l t a n i i r g g i e á n p D e ( a l G 0 u « 3 A e o i c 0 d í c 2 s r o i e c m í x e c e r a o i e d d x e é s o ã m o ç i u t s l o » l u d s o s e e m o T õ R s – s s – o s e o r o c ã u ã u ç c ç u s a e l e R o r m i s b e o n R s A
) a s a c 7 e 1 a a l u 9 a s ( r a i a n g d á u P t s E
o d o í r e p o . 2 o d l a n s a a m n a e m s e o s 2 ã 1 ç | a o c i d f i o r n í e a l P P .
2
. s e s õ s o s d e ú c u e t s n e r o b C o s s e d a d i l a r e n e g s a d o ã s i v e R
s a n a . m 1 e S ª
e d e o i s p a c í c i t é n i r m P t « i r e a d s s e õ o i s c s í e c r r » e g s x o a e r P c s . i r o a t c é s i o t m d á o o m e T e g – t a s o m e ã õ ç o s s u ã e l r ç o u g s d e n o r R i p
9 1 e 8 1 s a n i g á P
1 . n 5 + 5 e t s e T
8 2 a 4 2 s a n i g á P
. a c i t á m e t a m o ã ç u d n i e d o i p í c n i r P
) 6 5 a n i g á p ( 7 1 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R – o ã ç a m i n A
) 8 5 a n i g á p ( 0 4 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R – o ã ç a m i n A
0 5 4 4 a a 7 1 3 4 s s a a n i i n g g á á P P
9 4 a 6 4 s a n i g á P
1 3 a 9 2 s a n i g á P
6 3 a 2 3 s a n i g á P
. a i c n ê r r o c e r r o p a d i n i f e d o ã s s e c u S
s i o . d a e r a c e i m r t t t u é n n e e e m o d t i o r ã ç s ã a ç a o l a i o e v l t ã e R u s R . s l c . e e l r a s a g r n r e o e o g r g p o c s o a m o r m m e m r u T r e T e . e t . d o t o i n t s i e o e e d v c c i n t o a n u C m o c . C o e . s s . s a S . a n c s a i o c c r i c t o i r t s é m t é . é r o s m m o t t m m o e i r m r e r o e e a r t g e s e s u g t e r o n e q s õ õ i ã e s s s e s u d s a u s e e e q r s a r q r g i g g s a m o i o o r u o r o r P q S P d p
. 2
ª
. s a m e l b o r p e s o i c í c r e x e e d o ã ç u l o s e R
. 3
) 1 6 a o e n ã d i s g s s á e e t p c ( i u s m 8 i 4 L a 1 « m o e u i d c e í s d c r o i e e c t x í i c e r m i o e L x d : e o a s r ã o b ç e l u s g o o o d s e o e G R T – – e t – o » s r o n e o ã e d ã ç õ g ç a r u s l a l e s u v m o e s c m n i e u i o n R s S c A
h c o K n o V e d a v r u C : a r b e g o e G – r o d a l u m i S
1 3 5 6 e a 0 9 5 5 s s a a n i n i g g á á P P
8 6 a 4 6 s a n i g á P
. e t n e g r e v i d o ã s s e c u S . e t n e g r e v n o c o ã s s e c 2 u s . e n d 5 o + t 5 i e e c t s n e o T C
. s o t i a n i m f u n r i s o p e t i a d m i a L t . i m o l ã i ç o a t i ã s m s i l e c e u s a a i c n m ê u . g e 0 r d a e v o r n t a o u p C d e t . o r n e e t p i g r o m i d e l v o a i n d c o e n c o d ê a g r ã s d s i e c v i n e n o c U C u s
. 4
ª
ª
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l a t i g i D a l u A 0 2 m e a i d é m i t l u m s o s r u c e R
h c o K n o V e d o c o l F : a r b e g o e G – r o d a l u m i S
) a s a 1 c 7 e a a 9 l u 6 a s ( r a i a n g d á u P t s E
b d
n n a c
s n o d u ú l e r t a n e o g C o
m r e t e d s e õ s s e c u s e d e t i m i L
s a n a m e S 76
7 7 e 6 7 s a n i g á P
5 7 a 1 7 s a n i g á P
) 0
d
n c ,
n
(
. o ) s m r e t e t n e e g d r s e e v n õ o s s c e s c e u s õ s e s d e c u e t s i ( m s i L e i . t e m t l i n a m t s o n c o s c e o õ ã ç a s s r e e c p u s O . a n m u e d u e t i l a r m i e L g q
n
. 5
ª
3 . n 5 + 5 e t s e T
2 0 8 9 a a 8 3 7 8 s s a a n i n i g g á á P P
3 9 e 1 9 s a n i g á P
. s o r r e s o a a ç . ) a s C o . t i s a n i f m n e i l e b o s i r a p e e r ( s s o i e c t í i c r m . i s l e x e e m õ o ç e c a d s n o e i ã õ m ç ç r u e a l t r e o e s p d e O n I R
. 6
ª
5 9 e 4 9 a n i g á P
4 . n 5 + 5 e t s e T
s o i c í c r e x E 9 4 7 6 7 7 + 2 2 2 « o o o e i i i d í c í c í c s c c c r r r o i e e e c x x x í c e e e r o o o e x d d d e o o o s ã ã o 3 ã ç ç ç u l u l u s a l o m o o o d e s s s o T e e e T - R R R ) ) – » – 8 – 9 – ) 9 o s o 0 o 0 o 0 1 1 ã o ã ã ã 1 ç t a ç a ç s ç u a a a a n n l o n i i i o m g m g m g i i i s p o á á á e r n p n p n p R p A ( A ( A (
» l a e r o s l ã ç e t i e v n u á f m i i L r a « a v m e e u d d e s s d o i i a c e e t í r i c r s m e e i x õ L : e ç a s n r o f u b e s o e g o d d o e e e G n T n i – i e – e r o H o H ã o d o ç d a d u n l l u n o u s g m u e e i g s R s S e
) 0 1 1 á s r a o i e 3 c d í 0 » o c s r o 1 p e s t o r e x s a n l n v E o u o + p i l g a s « o s r á e p O r o p (
0 1 a 8 s a n i g á P
. s o t i e c n o c e d o ã ç a d i l o s n o C
. s i a e r s o r e m ú n e d o t n u j n o c m u a s e t n e r e d a s o t n o P
o ã ç a i l a v a e d a v o r P . 3 ª
. 7
7 1 a 1 1 s a n i g á P
5 2 a 8 1 s a n i g á P
. e n i e H o d n u g e s e t i m i l e d o ã ç i n i f e D
. o t i n i f n i o n s e t i m i l e s i a r e t a l s e t i m i l , s o t i n i f n i s e t i m i L
. 8
ª
ª
Editável e fotocopiável © Texto | M T 11
7 2 e 6 2 s a n i g á P
1 . n 5 + 5 e t s e T
? o c a r u b u o a t o t n í s s A : a r b e g o e G – r o d a l u m i S
s i a c i t r ) e a v 2 o 5 ã 1 n o s i c a t í c r o t e n í x e s s o A d : a r o ã b ç e l u g o o s e e G R – – ) r o 1 o 0 1 d ã ç a a a l n i u m g i á m i n p S A (
9 5 a 6 5 s a n i g á P
7 6 a 0 6 s a n i g á P
. s a u n í t n o c s e õ ç n u . F s . i o a t c i n t r o . p s e v s m a u u n a t n í t o o n t n ã o í ç c s n s s u e A f . a õ ç a t m n o u t u f n e e í d r s s a e b o d s e a s d d i a o u m t i n e i t e r c n o n o e o C T C
. s i a c i t r e v o ã n s a t o t n í s s a e s i a t n o z i r o h s a t o t n i s s A
l a t i g i D a l u A 0 2 m e a i d é m i t l u m s o s r u c e R ) a s a 3 c 3 e a a 8 l u 2 a s ( r a i a n g d á u P t s E
5 3 e 4 3 s a n i g á P
7 0 3 4 e a 6 7 3 3 s s a a n i n i g g á á P P
. s e õ s ç a o r d f ú e e d t . n o ã o ç C a e c i f i l . . p s s e e m i õ t i ç S a . m r s i i f l s a e m õ m n o o ç o i c a c c s n s a r e e i s õ õ m ç ç r e e a a õ r r t ç e e e n p p d u O F O n I
s a n . a m 9 e S ª
. 0 1
ª
6 4 a 1 4 s a n i g á P
9 4 e 7 8 4 4 s a a n i n i g g á á P P
a d a t i m i l o ã ç n u f . a l e m v u á i . e r s d a v o r o e r t d e u d a s ç o o r n a P a a . d ç u M a C . . s 0 0 o t a i e r e a c p n 0 0 e o c d s n e e e d 2 õ t ç e o . a u ã n n ç i q a 5 m i + r a d l 5 e o t m e u s e n t s d r o o e n I p C T
. 1 1
ª
5 5 a 0 5 s a n i g á P
o ã ç a i l a v a e d a v o r P . 4 ª
. 2 1
ª
Editável e fotocopiável © Texto | M T 11
9 6 e 8 6 s a n i g á P
. s a m e l b o r p e s o i c í c r e x e e d o ã ç u l o . s o e d R o í r e p . 2 o d m i F 77
l a t i g i D a l u A 0 2 m e a i d é m i t l u m s o s r u c e R ) a s a c e a l u a ( r a d u t s E
o d o í r e p o . 3 o d l a n a s m a n a e s m o e s ã 7 ç | a o c i d f i o r n í e a l P P .
3
78
e a a d c c i i s r r t t a é é d e a » m d m v s o i o r e e a e e õ g e g n D ç o â o « a t ã c ã i ç ç e l n a d p a a t t t a s s e e r o e r n i l i p p c a r r í a c e e x e r r t o a t e l I n n T I x e : ã : : e v a ç a a a s á r i r r i r o r b a b b e o s a e v e g g ã o v g e o o ç o d e e d e e a i o d a G G r T s G i a i – a – d – – v é r r r e o r o o o e ã s d m o d d ç a d ã a a a a e u x l õ l x l ç l u a u a u a o ç t s n m t m i e u i a i r i a a m R f S d S v S d
o o p p i i t t o o d d ) s s i i c a a 2 n n 0 o o 1 i i c c o i a a r r c í s s c r e e e õ õ ç ç 0 x e n n u u o F F : : d o a a 0 r r ã ç b b m e e o u l g g c o o , o e e s e G m o G R – c – – r , r + o ) 2 o o ã 8 d d a = l a = ç a a l n i u ) u ) m g i á m m i ( i ( n p S S A (
1 7 e 0 7 s a n i g á P
s o d ú e t n o C
3 . n 5 + 5 e t s e T
. s e õ s i v e R
s a n a . m 1 e S ª
7 7 a 2 7 s a n i g á P
r o p s a d i n i f e d s e õ ç n u F . s i a n o i c a r s e õ ç n u f e r b . c o s k s x e d a d i b l a r ) e x n ( e G h
3 8 a 8 7 s a n i g á P
. s a i r á n o i c a r f s e õ ç a u q e n i e s e õ ç a u q e e d o ã ç u l o s e R
. 2
ª
9 8 a 4 8 s a n i g á P
2 1 1 1 9 a e 7 0 0 9 1 s s a a n i n i g g á á P P
. s a m e l b o r p e s o i c í c r e x e e d o ã ç u l o s e R
. o t n o p m u n o ã ç n u f a m u e d a d a v i r e D . o ã ç a i r a v 4 e d . n i a 5 d + é 5 m e a t s x e a T T
. 3
a d a v i r e d o ã ç n u F : a r b e g o e G – r o d a l u m i S
e 5 2 e 2 d a o i d i c l í i c b r a e v x i r e e o D d : o a r ã b ç e l u g o o s e e G e R – d – ) r a o 7 3 o d 1 ã i d u ç a a a l n n i u i t m g i n n á m i o p S c A (
1 2 1 a 3 1 1 s a n i g á P
3 7 2 3 1 1 e a 2 4 2 2 1 1 s s a a n i n i g g á á P P
. . o a t d n a o i v p r e m u d n o ã o ç ã n ç u n F u . f o a t n m o u p e o d d o a c i c i f t á r á g m o e a n i c e t à n e o g ã n ç u a t d o a t r e t R n I
. o ã ç a v i r e d e d s a r g e R . e d a d i u n i t n o c e e d a 5 d i l . i n b 5 a i + c 5 n e e r t e s f e i T D
. 4
ª
ª
Editável e fotocopiável © Texto | M T 11
9 3 1 e 8 3 1 s a n i g á P
6 . n 5 + 5 e t s e T
a a s i m o n u o m l t e e o a r d t n t i x o g e ã i o a ç m s D d a o a a i a r v l e e i r u r r a t t e v A n n d e e e 0 d a 2 o o a r o r ã a ã d i ç a e d m ç d v a a a e l a l i m r i u v e e r a i i R r R e P Q d d : e : : : é a a a r a r a r r d u m b a b s b b i u e e e t l g s g a g e u o a o d o g o d e s e e m e l o G G s G a G r – i – – o n – e z s r s r r s r r o o o o u d d o d d c a o a a l a o e e l l e l R u f u f u u ã ç m i e m i e m i m i n u S d S d S S f
) a s 5 a 4 c 1 e a a 0 4 l u 1 a ( s r a i a n g d á u P t s E
. e g n a r g a L e d a m s e o r d o ú e T e . t a n d o a C v i r e d e s o m e r t x e , . a i s n e õ o t ç o a c n l i o p M A
s a n . a m 5 e S ª
s o i c í c r e ) x c E 3 7 2 2 + 3 3 « o o e i i d í c í c s c c r r o i e e c x x í c e e r o o e x d d e o o s ã o 4 ã ç ç u l u s a l o m o o d e s s o T e e T - R R ) – » – 5 – ) 6 o s o 6 o 6 1 1 ã o ã ã ç t a ç a s ç u a a n l o n i i o m g m g i i s p o á á e r n p n p R p A ( A ( 9 4 1 a 6 4 1 s a n i g á P
! s o r r e s o a a ç a C . s a m e l b o r p e s o i c í c r e x e e d o ã ç u l o s e R
) ) ) o 4 5 6 d 9 9 9 e e 1 1 1 s s o o o a a a r ã ã d n e e i n i n i i s ç r a e l g g g d e a t l e d á á á d u a e p p ( p ( p s t s r ( a s r o a e d i t O . o d e s 3 5 8 d R a c r o 1 1 1 « i e r a o a d o o d d e a ã d i o i a i ç v d i c í c í c a í d n o o s b c c c u m s r r ã ã o f ç o e e r i s a ç e c a r a í d x x x r i i g m a c e e e t r r a r s » i a e a o ã o o o e o o D o V V ç x : ã : n d d d : e m ã ç a ç a o o a u o s a a r r l a r f ã ã ã , l o s b b ç ç ç b e e e e m e d u l u l u r s o e r l r r g g g o d o a o o o e o o o o d a c e d s s s i e c e r o r a e e e e T d e G v G G e R R R d – a n r – d – i – a u e r g r e r l – – – o q t o e o t o o o o o ã s n d d d n d ã ã ã ã ç o e ç ç ç i l i l a o l a e a s u s a a a l c c m r i i e i f u t u f u r m m m o s í n e m n m e m g i i i n n n e o i e i o i R m c S c S c S e r A A A
) 1 1 7 5 1 1 á s r a o e e i 1 c 0 d í 6 » c 5 o s 1 1 p r r o e s s o e x t s a n v E o a n n u l + p i i l g « g a o o s s r á á e p P O r o p (
6 7 1 a 4 7 1 s a n i g á P
9 8 1 a 7 7 1 s a n i g á P
. s o t i e c n o c e 7 d o . n ã ç 5 a + d i 5 l o e s t s n e o T C
. s a d a i r a v i b s a r t s o m A . a t s o p s e r l e v á i r a . v a e c i a f á v r i t g a o c ã i l p ç x a e t l n e e v s e á r i r p a e V R
. r a e n i l o ã ç a l e r r o c e d e t n e i c i f e o C . s o d a r d a u q s o m i n í m e d a t e R
. 6
ª
o ã ç a i l a v a e d a v o r P . 5 ª
. 7
ª
Editável e fotocopiável © Texto | M T 11
1 9 1 e 0 9 1 s a n i g á P
8 . n 5 + 5 e t s e T
) a c i t s í t a t s E ( o ã ç a i l a v a e d a v o r P ª . 6
. o d i v l o v n e s e d o h l a b a r t o d o ã ç a i l . a o v A d o í r e p . 3 o d m i F 79
Guia de exploração de recursos multimédia O
é uma ferramenta inovadora que possibilita, em sala de aula, a fácil exploração do projeto M T 11 através das novas tecnologias. Permite o acesso a um vasto conjunto de recursos multimédia associados ao Manual:
Animações (Resoluções passo a passo de exercícios) Simuladores (GeoGebra ®) Resoluções projetáveis de exercícios
Apresenta-se aqui uma listagem de todos os recursos multimédia que integram o projeto M T 11 em . Apresentam-se ainda algumas sugestões de exploração dos recursos multimédia.
Fotocopiável © Texto | M T 10
80
o ã ç a r o l p x e e d s e õ t s e g u S
m e , o n r e d a c o n o i c í c r e x e o . m o i a c v í l c o r s e e x r e e o u d q o s ã ç o u n l u o l a . s a r s l e o u a a a r r e a t o e 1 p d j a l o o o r a ã P s r P ç p O
1 1 T
M e d a i d é m i t l u o s m r u s c e r o e s r d u o p c i T e r s o d l a r e g m e g a t s i L
s o i c í c r e x e e d s i e v á t e j o r p s e õ ç u l o s e R
o m o c , o n r e d . a e c t n o i n u g o e i s c í c a l r u e a x e a n o i m o c a í v c l r o e s x e e r o e d u q . o ã s a ç o s u l n a c u a o l a r s e r s a o p a a o r a r h t o l a j e 2 p b o a o o r r ã P r t P ç p O
e o m u q o c a r , a o p n , r l i e a d a m c e o r n o p o i s c í o c n r u . e l x a m e e s b o o a m o m a i a v í c r l e c v o r l s e o e s x r e e r e o u q . d o s a o e s o s ã r ç n a u a u c c l l i f a a r o i s r s a e p o r e a o a v r h r m o l a a i a 3 p b s v s o o r a o n ã P r t E p ç p O
, s o i c í c r e x E e d o n r e d a C e l a u n a M o d s o i c í c r e x e s o s o d o t e d . s o i l e u v í t á t p e j a c o r r p o s p e s a õ d ç a u p l o s u r e g R a
o a h l l a i b a a m r t e o r . o m o t o p s c t o p i o n r o v r i p p t e o j v b m i u t o e o e j d d b o a o n i o i d v m r n o ã e t e ç e o u c d e x o m e u d n a t s a i e o t r c n l i r u l o o a s c a s , r o a a a s a v r c o r o 2 p a p r m o o a o ã r ç P p c p O
o . e r u o q s s e o f d o n r o p p l o o r e p p , o t s s o o n p u o l a r p s o o v i t e j m b o o c r m o u d e a t n l u a i d m i s e m o m e r l a r u i o p 1 l n p o x a ã E m ç p O
, r » e m i u o o l c c n n e s o c a o o s ã x e i s ç e i c , n b u o a f n 2 a o e d h d + o l o e t d n m a o r o s í r e p s i e v c P o b : o d t a a r n a e b o d d e p a G o n o e t o n . d e a o o v G o r o p d « a o i t r m o e d d b r d u a o o d a q l o l a d u o a v n a t m n o e l i u d u s l r e o a r o s e N o a a r : a p d o o r m d l r a p a t o o c c l m i r c i e e l u a v e x o c E s q o a
s o d ú e t n o c e d a c i m â n i d o ã ç a r o l p x e a m u
)
® a
r b e G o e G ( s e r o d a l u m i S
m e t i m . r s e a p m e e t u s q o s s o o d v i t o t a r m e t e n i s o s d a o h s r l a u b c a e r R t
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8 7 s a n i g á p s a n ,
m e s e t n e t s i x e s e r o d a l u m i s s o d m e g a t s i l a r . e 9 V 7 * e
81
1 o ã ç p O
) s o i c í c r e x e e d o s s a p a o s s a p s e õ ç u l o s e R ( s e õ ç a m i n A
82
s o d m . u o a n r d e a d c a o c d o n n a r o o i l c í p x c r e e , x i o . e c o o í c r ã ç m e a a x m e v i l o n o s d a e r o a s ã m o ç u e n l õ u o p l a s e s r m o a o c e r e a u t u q n q r e s o s o p e r s s o r p a P A p
2 o ã ç p O
. á o r v a o i r o a r n p e u a t l n a s s a o a o e p s s u ó a q s p o r o d o r n s s a o f e n p o i o m r r r p p e t , s O . a o a m s r s f a e u r t a . p t a s o o a d d v o i d a i n c m t a n u e p u a s u q n d e e a r e t o c a n r r o i u a t a t d g e n n n a t s e s e s u o e r e r c s s p p e x a A A e p
3 o ã ç p O
a r a r m e u e g s e s s r a a c o a r f a m . P e e . v t s o e n n d e u s l m l a e t a r s s o o e , o . s m o - o o n o s c u d s a s l n p a e o t s s a o s . o d o a d b e o d p o d a , ã i s ç ã o ç s c d u l o n a s o u m r t s n u n a s e e p r a e c s a o d o r r a n o d a a c t c t r n a a m n e e s r m u s o i e e l a x r p á r p x d a p A E m c A
o o o d d o s o d d n o i a a c i z í i c c l i r n b u e x n a t e e n s o e r n a , u t g n s o l i e a s í c c e e r d p r , a . e x e o a o s r ã s s i o a e ç d u p m l a r o a i s v i p e o r t a s A s . a r a s d e p e s t n i , õ ç a s p o e c a ã t õ e e ç ç s a s r u s l a e l s o t o p s r e n e e x r v i r e e a s d f a r i m o d u m p s a m a t s . s e a n o t e l t t i e s s o n m u a e r p a t r e p m s e p d a o e r l a e c s s a u o a o s r s q ã S e u m s l . o e i c o a í c e o s r u c r s u n r e p c a e t m e x s R M e E e t
m e s e t n e t s i x e s e õ ç a m i n a s a d a t s i l a m u 1 8 e 0 8 s a n i g á p s a . n e s a t n e s e r p A *
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M E S E T N E T S I X E S E R O D A L U M I S S O D M E G A T S I L
) 5 7 . g á p ( o n e s o ã ç n u f a d o d o í r e P : a r b e g o e G
1 e m u l o V
) 5 7 . g á p ( o n e s s o c o ã ç n u f a d o d o í r e P : a r b e g o e G
) 7 1 . g á p ( s o n e s s o c s o d i e L : a r b e g o e G
) 5 7 . g á p ( e t n e g n a t o ã ç n u f a d o d o í r e P : a r b e g o e G
o d a z i l a r e n e g o l u g n â m u e d o ã ç a t n e s e r p e R : a r ) b 4 e 3 . g g o á e p G (
) 6 7 . g á p ( e t n e g n a t e o n e s s o c , o n e s s e õ ç n u f s a d s o c i f á r G : a r b e g o e G
) 6 4 . g á p ( o n a i d a r e d o ã ç o N : a r b e g o e G
a u s a d e t n e g n a t a é l a c i t r e v o ã n a t e r a m u e d ) e 1 v i 3 l c 1 . e g d á p O ( : a r o ã b ç e a g i n o l e c G n i
a i c n ê r e f n u c r i c a d o r t e m í r e p o e o n a i d a r O : a r ) b 9 e 4 . g g o á e p G (
) 3 3 1 . g á p ( r a l a c s e o t u d o r p o d a c i r t é m o e g o ã ç a t e r p r e t n I : a r b e g o e G
-
e d s a c i r t é m o n o g i r t s e õ z a R : a r ) b 4 e 5 . g g o á e p G (
o n a l p o n s e r a l u c i d n e p r e p s a t e r e d e v i l c e d o e r t n e o ã ç a l e R : ) a r 6 b 4 e 1 . g g o á e p G (
) 4 3 1 . g á p ( o n a l p o n s e r o t e v e d o l u g n  : a r b e g o e G
) 9 4 1 . g á p ( a i c n ê r e f n u c r i c a d o ã ç i n i f e d a n r a l a c s e o t u d o r p O : a r b e g o e G
) 5 5 . g á p (
e d e
e d e
e d e
e d s a c i r t é m o n o g i r t s e õ z a R : a r ) b 4 e 5 . g g o á e ( p G
e d s a c i r t é m o n o g i r t s e õ z a R : a r ) b 4 e 5 . g g o á e p G (
Editável e fotocopiável © Texto | M T 11
2 e m u l o V
e d s a c i r t é m o n o g i r t s e õ z a R : a r b e g o e G
) 9 5 . g á p ( e t n e g r e v n o c o ã s s e c u s a m u e d e t i m i L : a r b e g o e G
-
s e õ z a R : a r ) b 5 e 5 . g g o á e p G (
) 7 5 . g á p ( k
=
x
n e s o p i t o d s e õ ç a u q E : a r b e g o e G
83
M E S E T N E T S I X E S E R O D A L U M I S S O D M E G A T S I L
) 9 1 1 . g á p ( a d a v i r e d o ã ç n u F : a r b e g o e G
) 6 6 . g á p ( h c o K n o V e d a v r u C : a r b e g o e G
84
) 4 2 1 . g á p ( e d a d i u n i t n o c e e d a d i l i b a v i r e D : a r b e g o e G
) 7 8 . g á p ( h c o K n o V e d o c o l F : a r b e g o e G
a d a v i r e d a u s a d l a n i s o e
a d a v i r e d a u s a d s o r e z s o e
e d a i n o t o n o m a e r t n e o ã ç a l e R : ) a r 1 b 4 e 1 . g g o á e p G (
3 e m u l o V
e d s o m e r t x e s o e r t n e o ã ç a l e R : ) a r 2 b 4 e 1 . g g o á e p G (
) 3 1 . g á p ( e n i e H o d n u g e s o ã ç n u f a m u e d e t i m i L : a r b e g o e G
) 4 4 1 . g á p ( a d a v i r e d a r i e m i r P : a r b e g o e G
) 4 4 1 . g á p ( o ã ç n u f a m u e d o ã ç a i r a v e d o r d a u Q : a r b e g o e G
) 9 7 1 . g á p ( e d a d i v a r g e d o r t n e c e o ã s r e p s i d e d a m a r g a i D : a r b e g o e G
m e o ã ç a l e r r o c e d e t n e i c i f e o c o d e o ã ç a l ) e r r 4 o 8 c 1 . a g d á p o ( ã s ç o a i r d a a d V : s a r o b d e o g ã o ç e n u G f
. s o d a d s o d o ã ç n u f m e r a e n i l o ã s s e r g e r e d a t e r a d o ) ã 7 ç 8 a i r 1 . a g V á : p a r ( b s e r e i g l o t e u G O
0
m o c ,
= ) (
= ) (
) 6 5 . g á p ( ? o c a r u b u o a t o t n í s s A : a r b e g o e G
) 0 6 . g á p ( s i a c i t r e v o ã n s a t o t n í s s A : a r b e g o e G
, +
o p i t o d s i a n o i c a r s e õ ç n u F : a r ) b 4 e 7 . g g o á e p G (
o p i t o d s i a n o i c a r ) s 5 e 7 . õ g ç á n p u ( F : 0 a r b e g o m e o G c
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e d a i d é m a x a t a d a c i r t é m o e g o ã ç a t ) e r 9 p r 0 1 e . t g n á I : ( p a r o b ã e ç g a o i e r a G v
) 2 1 1 . g á p ( a e n â t n a t s n i o ã ç a i r a v e d a x a T : a r b e g o e G
o ã ç a i r a v e d a x a t a d a c i r t é m o e g o ã ç a t e r p r e t n I : ) a r 2 b 1 e 1 . g g o á e p G (
2 e m u l o V
M E S E T N E T S I X E S E Õ Ç A M I N A S A D M E G A T S I L
1 e m u l o V
) 9 0 1 a n i g á p ( 4 7 2 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 9 0 1 a n i g á p ( 7 7 2 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
3 e m u l o V
) 2 8 a n i g á p ( ) c 2 0 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 1 0 1 a n i g á p ( ) a 2 5 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 2 2 a n i g á p ( 0 3 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 6 5 a n i g á p ( 7 1 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 8 5 a n i g á p ( 0 4 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 1 6 a n i g á p ( 8 4 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 8 0 1 a n i g á p ( 9 6 2 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 2 2 a n i g á p ( 3 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 2 7 a n i g á p ( ) e 0 0 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 3 7 a n i g á p ( 9 0 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 2 1 1 a n i g á p ( 8 2 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 4 1 1 a n i g á p ( 4 3 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 8 5 1 a n i g á p ( 8 2 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 4 6 1 a n i g á p ( 8 3 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 4 7 1 a n i g á p ( 3 5 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 3 8 1 a n i g á p ( 0 0 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 6 8 1 a n i g á p ( 9 0 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
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85
M E S E T N E T S I X E S E Õ Ç A M I N A S A D M E G A T S I L
86
) 7 3 1 a n i g á p ( 5 2 2 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 5 6 1 a n i g á p ( ) c 3 2 3 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 6 6 1 a n i g á p ( 7 2 3 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 4 9 1 a n i g á p ( 3 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 5 9 1 a n i g á p ( 5 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
) 6 9 1 a n i g á p ( 8 1 o i c í c r e x e o d o ã ç u l o s e R
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Teste de Avaliação 1 Nome ______________________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data / ____ /____ / _____ Avaliação ______________________________________________________ Professor _________________________________
Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles escolhe a única opção correta. 1. Considera o triângulo [ ABC ] . Sabe-se que :
AB 5 BC 3,5
ˆ 125º ACB Qual é o valor da amplitude do ângulo ABC , em graus, arredondada às unidades? (A) 18°
(B) 20°
(C) 22°
(D) 24°
2. De um certo ângulo agudo de amplitude x sabe-se que cos x sen x 5 . tg x Qual é o valor de tg x ? (A) 1 5
(C) 1 3
(B) 1 4
(D) 1 2
3. Em que quadrante está o lado extremidade do ângulo generalizado de amplitude 10 radianos, supondo que, como habitualmente, o lado origem coincide com o semieixo positivo Ox ? (A) 1.o
(B) 2.o
(C) 3.o
(D) 4.o
) > 0 e tg ( 4. Seja um número real. Sabe-se que sen ( A que quadrante pertence o ângulo de amplitude radianos? (A) 1.o (B) 2.o (C) 3.o
5. Qual das equações seguintes é equivalente, em (A)
= 2 ,
(B)
=
+ 2 ,
) > 0 .
(D) 4.o
, à equação sen x 0 ? (C)
=
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,
(D)
=
,
87
Grupo II Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões. 1. Na figura está representada a circunferência trigonométrica, o lado extremidade do ângulo generalizado de amplitude 395° e um ponto P tal que é o lado extremidade de um ângulo orientado de amplitude . OP
a) Determina, em graus, as amplitudes dos ângulos orientados que têm seno igual ao seno de 395°. b) Determina as amplitudes dos ângulos orientados cujo cosseno é menor do que o cosseno de 395°. c) Seja
Q
o ponto do eixo das abcissas com abcissa -2. Mostra que
= 5 + 4 c o s .
2. Mostra que, para qualquer amplitude , em radianos, se tem:
cos ( + )
2cos
+ sen (
) + cos (
) = sen
3. Considera a função real de variável real f definida por
( ) = 10
2cos
.
Resolve os itens seguintes sem recorrer à calculadora. a) Determina f ( .
b) Determina as soluções da equação f x que pertencem ao intervalo 2 . c) Mostra que 3 é período da função f . 4. Seja
a um número real. Considera a função real de variável real g definida por g x x a . 3
Resolve os itens seguintes sem recorrer à calculadora. a) Determina o domínio e o contradomínio da função g , sendo a 1 .
b) Determina g sen 7 a . 5 c) Determina o valor de a para o qual 2 é zero da função g .
88
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5. Na figura está representada, num referencial o.n. xOy , uma circunferência de centro na origem e raio 1 . O ponto A tem coordenadas 0,1 e o ponto B tem coordenadas
1, 0 .
O ponto P desloca-se no arco AB , nunca coincidindo com A nem com
B .
Para cada posição do ponto P , sabe-se que: o ponto Q pertence à reta de equação x 1 e a reta PQ é paralela ao eixo Ox ;
o ponto R é o ponto de interseção da reta OP com a reta de equação x 1 ;
é a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado 2 . origem é o semieixo positivo Ox e o lado extremidade é a semirreta OP
a) Mostra que a área do triângulo PQR é dada, em função de b) Identifica, justificando, o valor de de
Cotações 1. 2. 10 10
, por
para o qual o triângulo
.
PQR é
isósceles e, para esse valor
, determina o valor exato da área do triângulo PQR , sem recorrer à calculadora.
3. 10
4. 10
5. 10
1.a) 16
1.b) 10
1.c) 14
2. 15
3.a) 10
3.b) 15
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3.c) 10
4.a) 10
4.b) 10
4.c) 10
5.a) 15
5.b) 15
89
Teste de Avaliação 2 Nome ______________________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data / ____ /____ / _____ Avaliação ______________________________________________________ Professor _________________________________
Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles escolhe a única opção correta. 1. Num referencial o.n. xOy , considera os pontos
A(1,3) e B(4,0) .
Qual é o valor da inclinação da reta AB , em radianos, arredondado às centésimas? (A) – 0,64
(B) – 0,54
(C) 2,21
(D) 2,60
2. Num referencial o.n. xOy , considera a circunferência de equação ( x 1) 2 (y 2)2 5 . Qual das equações seguintes define a reta tangente à circunferência no ponto de coordenadas (2,0) ? (A) y 2 x 1 2
(C) y 1 x 2 2
(B) y 2 x 4
3. Considera dois vetores u e v tais que
(D) y 1 x 1 2
u v 3 e u (u v) 1 .
2
Qual é o valor de u v ? (A) 2
(B) 6
(C) 8
(D) 12 z
4. Na figura está representado, num referencial o.n. Oxyz , o 5
paralelepípedo retângulo OABCDEFG e um ponto P que
F
E P
D G
pertence à aresta FG do paralelepípedo. Sabe-se que: o vértice A pertence ao eixo Ox e tem abcissa 2; o vértice C pertence ao eixo Oy e tem ordenada 3; o vértice E pertence ao eixo Oz e tem cota 5;
os vetores
O 2
A
3
C
y
B
x
OP e AC são perpendiculares.
Qual é a ordenada do ponto P ? (A) 1
(B) 4 3
(C) 5 3
(D) 2
5. Considera, num referencial o.n. Oxyz, o plano de equação 2 x 4z 1 0 e o ponto A(1,0,2) . Qual das equações seguintes define um plano a que pertence o ponto A e é perpendicular ao plano (A) 4 x 2z 0
90
(B) 4 x 2z 0
(D) 2 x y z 4 0
(C) 2 x y z 0
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?
Grupo II Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões. 1. Considera, num referencial o.n.
xOy , o losango [PQRS] , que tem centro no ponto C .
Sabe-se que: o ponto Q tem coordenadas (1,6) ;
o ponto S tem coordenadas (3, 2) ;
a reta PQ é paralela ao eixo das ordenadas.
Determina:
a) PQ QC ; b) a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [QS] ; c) as coordenadas dos pontos P e R . 2. Considera, num referencial o.n.
xOy , um triângulo [ ABC ] , retângulo em A .
Seja L o lugar geométrico dos pontos P do plano que satisfazem a condição PC PB 0 . a) Justifica que o ponto A pertence a L. b) Identifica o lugar geométrico L . c) Admite, agora, que o ponto A tem coordenadas (0, 2) e o ponto B tem coordenadas (5, 0) . Determina as coordenadas do ponto C , sabendo que pertence ao primeiro quadrante e que o triângulo [ ABC ] tem área 29. 3. Num espaço em que está fixado um referencial o.n. Oxyz , considera uma pirâmide quadrangular regular de base [ ABCD] e vértice V . Seja I o centro da base da pirâmide. Sabe-se que:
o vetor AI tem coordenadas (2,1,1) ;
o vetor AV tem coordenadas (3,3,6) ;
o ponto I tem coordenadas (1, 2, 3) .
a) Determina VÂI . Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. b) Mostra que o plano que contém a base da pirâmide é definido pela equação
x 2y 5z 12 0 .
c) Determina o volume da pirâmide.
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91
4. O hexágono representado na figura é regular. Seja a a medida do comprimento do seu lado e seja M o ponto médio do lado [EF ] . Mostra que AB AM 1 a 2 . 4
5. Na figura está representada a circunferência trigonométrica num referencial o.n. xOy . O ponto A tem coordenadas (1, 0) e o ponto P pertence à circunferência e ao segundo quadrante. Para cada posição do ponto P , seja:
, 3 a amplitude do ângulo AOP ; 2 4
R o ponto da circunferência do primeiro quadrante tal que ROP é
um ângulo reto; Q o ponto que tem ordenada igual à do ponto P e abcissa igual à do ponto R ; f a função que faz corresponder a cada valor de o perímetro do quadrilátero [OPQR] . a) Mostra que
f ( ) 2 2sen .
b) Determina o valor de
para
o qual o perímetro do quadrilátero [OPQR] é igual a
1
2 3
, sem recorrer
à calculadora.
Cotações 1. 2. 10 10
92
3. 10
4. 10
5. 10
1.a) 10
1.b) 15
1.c) 10
2.a) 10
2.b) 10
2.c) 15
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3.a) 15
3.b) 15
3.c) 10
4. 15
5.a) 15
5.b) 10
Teste de Avaliação 3 Nome ______________________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data / ____ /____ / _____ Avaliação ______________________________________________________ Professor _________________________________
Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles escolhe a única opção correta. 1. Acerca de uma sucessão (an ) sabe-se que é decrescente e que o 3. o termo é igual a – 1. Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão ( an ) ? (A) n 5 2
(B)
2
3n 11
(C)
(1) n 3n 2
(D) 1 n 2
2. A sucessão (un ) é uma progressão aritmética de razão r . Sabe-se que un 1 8 un 5 . Qual é o valor de r ? (A) – 8
(B) – 2
(C) 2
(D) 8
3. De uma progressão geométrica (vn ) , monótona, sabe-se que v4 32 e que v8 8192 . Qual é o quinto termo da sucessão? (A) 64
(B) 128
(C) 256
(D) 512
4. Considera as sucessões ( an ) , (bn ) , (cn ) e (d n ) definidas por: an 1 6 n 3
se n 100 n 2 se n épar 2 bn 1 cn 2n (1) n d n 6n 1 3n 2 se n 100 2 n se n é ímpar n
Qual destas sucessões não é convergente para 2? (A) ( an )
(B) (bn )
(C) (cn )
(D) (d n )
5. Na figura está representada, num referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular
OABCV .
Sabe-se que: o vértice A pertence ao eixo Ox e tem abcissa 4; o vértice C pertence ao eixo Oy e tem ordenada 4; o vértice V tem cota positiva. Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto dos valores que a cota do ponto V pode tomar de modo que o ângulo AVC seja obtuso? (A) 0, 4
(B) 4,
(C) 0, 8
(D) 8,
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93
Grupo II Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões. 1. Considera a sucessão (un ) definida por un 1 3n . n 1 a) Mostra que a sucessão (un ) é decrescente. b) Prova, usando a definição, que lim un 3 . c) Determina o número de termos da sucessão (un ) que não pertencem ao intervalo 3, 001; 2,999 . d) Justifica que a sucessão é limitada e indica o conjunto dos seus minorantes e o conjunto dos seus majorantes. 2. Considera as sucessões (un ) e (vn ) definida por un 1 2n e vn 3
n
1 32i . i 1
a) Prova que a sucessão (un ) é uma progressão aritmética. 2
b) Mostra que n , vn n . 3 3. Seja (un ) a sucessão definida por un
n
ii 12 i i 1 . i 1
Prova, usando o método de indução matemática, que n , u n
n e determina lim u . n 2n 4
4. Sejam (un ) , (vn ) e ( wn ) as sucessões definidas por: un n 3
a) Determina lim
vn
(un n) 2
w 4 1 9 wn 1 2wn , n 3
vn ( n n)( n n)
e lim vn un .
b) Justifica que ( wn ) é uma progressão geométrica e mostra que wn 2 3 c) Define uma sucessão ( an ) tal que lim
94
wn an
.
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n 1
.
5. Considera, em IR , a equação sen 4 x cos 4 x 2(sen x 1) 2 1 . a) Mostra que x , sen 4 x cos 4 x sen 2 x cos 2 x . b) Determina as soluções da equação sen 4 x cos 4 x 2(sen x 1)2 1
que pertencem ao intervalo
2 , 3 , sem recorrer à calculadora. 2
Cotações 1. 2. 10 10
3. 10
4. 10
5. 10
1.a) 15
1.b) 10
1.c) 10
1.d) 10
2.a) 10
2.b) 15
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3. 15
4.a) 20
4.b) 10
4.c) 10
5.a) 10
5.b) 15
95
Teste de Avaliação 4 Nome ______________________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data / ____ /____ / _____ Avaliação ______________________________________________________ Professor _________________________________
Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles escolhe a única opção correta.
2n (1) n n : n . n 1
1. Considera, em , o conjunto S
Qual dos seguintes números não é ponto aderente a S ? (A) 3
(D) 3 4
(C) 2 3
(B) 1
2. Seja f a função polinomial de grau 2 representada graficamente e seja (un ) uma sucessão. Sabe-se que lim f (un ) 2 . Qual das expressões seguintes pode ser termo geral da sucessão (un ) ? (A) 1 2
n
(B) 1 2
(C)
n
(D) n 2 2
1
n2
3. Seja (vn ) uma progressão geométrica de razão
2 e primeiro termo diferente de zero e seja g a função
definida por g ( x ) 1 .
x
Qual é o limite da sucessão g (vn ) ? (A) 0
2 2
(B)
(D)
(C) 1
4. Seja ( xn ) a sucessão definida por xn
n 2 e seja f a função definida por f ( x ) tg x . 2n
Qual é o limite da sucessão f ( xn ) ? (A)
(B)
2
(D)
(C) 1
5. Na figura está representado um tabuleiro com 16 casas. Esse tabuleiro vai ser decorado do seguinte modo: na casa 1 é desenhado um círculo, na casa 2 são desenhados dois círculos, na casa 3 são desenhados quatro círculos, na casa 4 são desenhados oito círculos e assim sucessivamente, desenhando em cada casa o dobro dos círculos desenhados na casa anterior. Quantos círculos vão ser desenhados, ao todo, no tabuleiro? (A) 32768 96
(B) 32769
(C) 65535
(D) 65536
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13 14 15 16
Grupo II Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões. 1. Considera a sucessão (un ) definida por un 2n 3 . 5 a) Existem dois termos consecutivos de (un ) cuja soma é igual 48. Determina as ordens desses termos. b) Define a sucessão (un ) por recorrência.
2. Seja
f a função, de domínio
, representada graficamente
( x 2)2 2 se x 2 2 e definida por f ( x ) . 1 se x 2 2 x Determina: a) lim f ( x)
lim
1 f ( x)
lim
x 2
x 2
b) lim x 2
x 2
f ( x)
x 1 f ( x)
lim
x
lim
x 2
f ( x)
x x f ( x )
x f ( x)
lim
3. Calcula os limites seguintes. 2 a) lim 2 x3 3 x 1 x 1 x x 2
2 3 b) lim x 2 x x2 1 x x 1 x x
c) lim
x 3 3
x 2 3x
3 2 x
4. Numa certa região implementou-se um programa de recuperação de uma espécie animal em vias de extinção. De acordo com as previsões, o número, em dezenas de indivíduos dessa espécie que existem na região, t meses depois de ser ter dado início ao programa de recuperação, é dado, aproximadamente, por f (t ) 4t k , em que k designa um número real positivo. 10 t a) Determina
f (0) e interpreta o valor de k no contexto descrito.
b) Calcula lim f (t ) e interpreta o valor obtido no contexto descrito. t
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97
5. Na figura está representada, num referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular OABCV . Sabe-se que:
o vértice A pertence ao eixo Ox e tem abcissa 4; o vértice C pertence ao eixo Oy e tem ordenada 4; o vértice V tem cota positiva.
a) Admite que o vértice V tem cota 6. a1) Determina a amplitude do ângulo VAB . Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. a2) Escreve uma equação cartesiana do plano definido pela reta AC e pelo ponto médio da aresta [VB] . b) Determina a cota do vértice V , sabendo que o plano perpendicular à aresta [VC ] que passa no ponto C é definido pela equação 8 x 8 y 11z 32 0 .
Cotações 1. 2. 10
98
10
3.
4.
5.
1.a)
1.b)
2.a)
2.b)
3.a)
3.b)
3.c)
4.a)
4.b) 5.a1) 5.a2) 5.b)
10
10
10
15
10
9
16
15
15
15
10
10
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10
15
10
Teste de Avaliação 5 Nome ______________________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data / ____ /____ / _____ Avaliação ______________________________________________________ Professor _________________________________
Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles escolhe a única opção correta.
x se x 2 3 1. Seja k um número real e seja f a função definida por f ( x ) 2 x (2 k ) x 2k se x 2 x 2 Sabe-se que a função
f é contínua. Qual é o valor de k ?
(A) 1
(B) 4 3
2. Acerca de uma função
lim f ( x ) x 1
(C) 5 3
(D) 2
f , de domínio D , sabe-se que: lim f ( x) 3 x 2
lim f ( x) 3
x
lim f ( x) 3 x 1 0
x
Qual das equações seguintes define uma reta que não pode ser assíntota ao gráfico de (A) x 1
(B) x 2
3. Acerca de uma função diferenciável (A) 0
(B) 1 3
(C)
y 3
(D)
f ?
y 3x 1 f ( x) f (0) ? x 0 2 x 2 6 x
f sabe-se que f (0) 2 . Qual é o valor de lim (C) 2 3
(D) 1
4. No referencial da figura está representada parte do gráfico da função f ' , função derivada de uma função
f . Os pontos A , B , C e D pertencem ao gráfico de f ' e
têm abcissas, respetivamente, a , b , c e d . Em qual dos intervalos seguintes é que se pode garantir que a taxa média de variação de (A) a, b
f é positiva? (B) b, c
(C) c, d
(D) a, d
f a função definida por f ( x) x3 1 e seja g uma função diferenciável, de domínio equação y 4 x 3 é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1. Qual é o valor de ( f g )(1) ?
5. Seja
(A) 9
(B) 10
(C) 11
. A reta de
(D) 12
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Grupo II Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões. 1. Considera a função
2 f definida por f ( x) 2 x .
x 2 Resolve os itens seguintes por processos analíticos, sem recorrer à calculadora.
a) Existem duas retas que são assíntotas ao gráfico de
f . Determina equações dessas retas.
b) Estuda a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos e indica o seu contradomínio. Na tua resposta deves apresentar:
f é crescente; o(s) intervalo(s) em que f é decrescente;
o(s) intervalo(s) em que
o(s) extremos que existam;
o contradomínio da função.
2. Seja f a função, de domínio 1, , definida por f ( x) 1 2 . x 1 Por processos analíticos, sem recorrer à calculadora, mostra que o ponto do gráfico de f cujo produto das coordenadas é o menor possível pertence à bissetriz do primeiro quadrante. 3. Seja f a função definida por
4 e seja g a função cujo f ( x) 12 x 2 x 4
gráfico é a hipérbole representada graficamente, que tem duas assíntotas paralelas aos eixos e interseta o eixo Oy no ponto de ordenada 1 . 2 a) Escreve uma expressão de g ( x) na forma b a e mostra, em x c seguida, que a expressão que obtiveste é equivalente a 3 x 1 . x 2 b) Identifica o número real k para o qual a equação g ( x) k é impossível. c) Seja h a função definida por h( x) g ( x s ) t , sendo s e t números reais. Determina s e t de modo que a função h seja uma função ímpar. d) Seja A x : f ( x ) g ( x ) . Representa o conjunto A recorrendo à notação de intervalos de números reais. 4. Seja f a função definida por f ( x) x 4 . x 2 Os pontos A e B são os pontos em que o gráfico da função f interseta, respetivamente, o eixo Ox e o eixo
Oy e a reta r é a reta
que passa em A e é perpendicular à reta AB . Seja C o ponto de abcissa positiva que pertence à reta r e ao gráfico da função f . Determina a área do triângulo ABC .
100
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5. Seja f a função definida por f ( x) x3 x 2 9 x 9 . Recorrendo à calculadora, obtém e reproduz na tua folha de teste uma representação gráfica da função que te permita identificar os seus três zeros. Seja M o ponto do gráfico cuja abcissa é a média aritmética dos dois zeros negativos. Traça, recorrendo à calculadora, a reta tangente ao gráfico de f no ponto M e verifica que essa reta interseta o eixo Ox no outro zero da função. Seja agora N o ponto do gráfico cuja abcissa é a média aritmética de outros dois zeros da função. Mostra, por processos analíticos, que a reta tangente ao gráfico de f no ponto N interseta o eixo Ox no zero não considerado.
Cotações 1. 2. 10 10
3. 10
4. 10
5. 10
1.a)
1.b)
2.
3.a)
3.b)
3.c)
20
20
20
15
5
10
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3.d) 20
4. 20
5. 20
101
Teste de Avaliação 6 Nome ______________________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data / ____ /____ / _____ Avaliação ______________________________________________________ Professor _________________________________
Na resposta a cada um dos itens seguintes, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões. 1. Na tabela seguinte estão registados dados relativos à idade (em meses) e à altura (em centímetros) de sete crianças de um infantário.
Idade Altura
18 74,9
19 76,3
20 77,0
21 78,4
22 78,1
23 79,3
24 79,9
Considera a variável «idade» como explicativa e a variável «altura» como resposta e responde aos itens seguintes recorrendo apenas à calculadora para fazer cálculos. a) Determina a média das idades e a média das alturas da amostra. b) Representa num referencial cartesiano a nuvem de pontos Pi ( xi , yi ) . c) Tendo em consideração a alínea anterior, será razoável admitir a existência de uma associação linear forte entre estas duas variáveis? Justifica. d) Determina o coeficiente de correlação linear (arredondamento às centésimas). Confirmas a resposta dada na alínea anterior? Justifica. e) Determina a equação reduzida da reta de mínimos quadrados. Apresenta os parâmetros da equação arredondados às décimas. f) Representa a reta de mínimos quadrados no referencial em que representaste a nuvem de pontos.
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2. O Dr. Valente aquece a sua casa com gás natural e tem registado as temperaturas exteriores médias e os consumos de gás em alguns meses, para tentar estabelecer uma previsão para os gastos em função da temperatura exterior. Na tabela seguinte, reproduzem-se os registos das temperaturas (em graus Celsius) e dos volumes de gás consumido (em metros cúbicos).
Meses Temperatura Volume de gás
Outubro 16,1 0,01
Novembro 12,4 0,10
Janeiro 8,9 0,26
Fevereiro 10,1 0,19
Março 12,8 0,09
Abril 13,2 0,05
a) De acordo com o objetivo do Dr. Valente, qual deve ser a variável explicativa? Justifica. b) Determina a média das temperaturas médias e a média dos volumes de gás consumidos. c) Recorrendo a uma calculadora, obtém a nuvem de pontos correspondente a estes dados e a equação reduzida da reta de mínimos quadrados. Apresenta os parâmetros da equação com quatro casas decimais. d) Seja C o ponto de coordenadas ( x , y ) . Qual é o desvio vertical de C em relação à reta de mínimos quadrados? e) Seja P o ponto de coordenadas (8,9; 0,26) . Determina o desvio vertical deste ponto em relação à reta de mínimos quadrados e determina a soma dos desvios dos restantes pontos da nuvem em relação a essa reta. Apresenta os resultados arredondados às centésimas. f) O Dr. Valente perdeu o registo do consumo em dezembro, mas sabe que a temperatura média exterior nesse mês foi 10,3 °C. Recorrendo à equação da reta de mínimos quadrados, determina qual deve ter sido o consumo nesse mês. Apresenta o valor em m3 arredondado às centésimas.
Cotações 1.a) 15
1.b) 20
1.c) 10
1.d) 20
1.e) 20
1.f) 15
2.a) 10
2.b) 15
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2.c) 20
2.d) 15
2.e) 20
2.f) 20
103
Respostas dos testes de avaliação Teste de Avaliação 1 Grupo I 1.
(B)
Tem-se:
sen
sen
sen sen ° ,
sen
, sen °
° , donde vem ° ° ° ° . Portanto,
2.
(D)
Tem-se:
cos tg
cos sen
sen Daqui vem:
sen
cos sen cos
sen
cos sen sen
Portanto, tg
3.
sen
cos , pelo que cos
sen cos
sen
.
.
(B) Como , , vem que , , pelo que , . Assim, radianos corresponde a uma volta e meia, em sentido negativo, acrescida de uma rotação de amplitude inferir a radianos, também em sentido negativo. Portanto, o lado extremidade do ângulo de amplitude radianos está no segundo quadrante.
4.
(B) Tem-se: sen sen
tg tg tg
Portanto, o ângulo de amplitude radianos pertence ao segundo quadrante.
5.
104
(C) Tem-se sen .
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Grupo II 1. a)
A amplitude, em graus, de um ângulo orientado é um valor diferente de zero e compreendido entre e . Portanto, um ângulo orientado que tem seno igual ao seno de ° é o ângulo de amplitude ° ° ° . Tem-se: ° ° ° , ° ° ° e ° ° °. Assim, os ângulos orientados que tem seno igual ao seno de ° são os ângulos de amplitudes ° ° ° e °.
b)
Os ângulos orientados cujo cosseno é menor do que o cosseno de 395º são os ângulos cuja amplitude está estritamente compreendida entre ° e ° e os os ângulos cuja amplitude está estritamente compreendida entre ° e °.
c)
Tem-se cos sen e . Portanto,
2.
cos
cos
sen
cos
sen
cos cos
sen
cos
sen
sen
3. a)
cos
cos cos sen
cos cos
cos
cos
sen
sen
cos
cos
cos
b)
cos cos
cos
cos
cos
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105
Não existem mais soluções em . Resposta:
,
e
c)
Tem-se, para qualquer número real :
cos
cos
cos
cos
cos
Portanto, é período da função .
4. a)
Para , vem arcsen
Tem-se:
.
arcsen
b)
pelo que
sen arcsen sen arcsen sen
arcsen sen
arcsen sen
arcsen sen
c)
106
arcsen arcsen
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5. a) A área do triângulo é dada por
PQ QR 2
.
( tg ) sen tg . PQ 1 ( cos ) 1 cos e QR sen
Portanto,
PQ QR
(1 cos ) (sen tg ) sen cos sen tg cos tg 2 2 2 sen cos sen tg sen 2sen tg cos sen 2 2
ˆ PRQ ˆ . Nesse caso, b) O triângulo é isósceles se e só se QPR 4
3 e a área é 4
2
2 2 igual a ou, recorrendo à expressão da alínea anterior, é igual a 2 2sen 3 tg 3 cos 3 sen 3 4 4 4 4 . 2 1
Portanto, o valor exato da área é
2 2 3 (u.a) 4
Cálculos:
1 2 2 2 ou
2
1 2 2 2 2 2
2 2
2
1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 2 4 4
2 2 2 2sen 3 tg 3 cos 3 sen 3 2 2 (1) 2 2 4 4 4 4 2 2
2 1 1 2 2
2 2 21 2 2 3 4
4
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107
Teste de Avaliação 2 Grupo I 1.
2.
(D)
Tem-se . Portanto, o declive da reta é . Seja a inclinação da reta . Tem-se e tg . Vem tan , .
(D) O centro da circunferência é o ponto . Designando por o ponto de coordenadas , tem-se:
A reta tangente é perpendicular ao raio , pelo que um seu vetor diretor é o vetor de coordenadas . Assim, o declive da reta é . A equação reduzida da reta é da forma . Como a reta passa no ponto , tem-se , donde = . A equação reduzida da reta é . 3.
(A)
Tem-se:
, vem , pelo que . Como
Vem, então:
4.
(B) Tem-se: , , .
Portanto, e . Vem, então:
5.
108
(D) Como o ponto pertence ao plano, as coordenadas de têm de satisfazer a equação do plano. Tal permite excluir a opção (B). Como os planos são perpendiculares, um vetor normal a um dos planos tem de ser perpendicular a um vetor normal ao outro. Um vetor normal ao plano é o vetor de coordenadas . Um vetor normal ao plano definido na opção (A) é o vetor de coordenadas . Tem-se . Um vetor normal ao plano definido na opção (C) é o vetor de coordenadas .
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Tem-se . Um vetor normal ao plano definido na opção (D) é o vetor de coordenadas . Tem-se . Portanto, só neste último caso é que os vetores são perpendiculares.
Grupo II 1. a)
Tem-se . Como as diagonais de um losango são perpendiculares, a projeção ortogonal do ponto sobre a reta é o ponto , pelo que se tem:
é o ponto médio de
, pelo que se tem
Portanto,
, ou seja, .
, pelo que
.
Vem, então:
b)
A mediatriz do segmento de reta passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor .
Como o vetor tem coordenadas , vem que o vetor de coordenadas é um vetor diretor da referida mediatriz, pelo que esta reta tem declive ou seja, . Assim, a equação reduzida desta reta é da forma Como a reta passa por , vem
.
, donde vem
Assim, a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta é
c)
.
.
Como a reta é paralela ao eixo das ordenadas, os pontos e têm a mesma abcissa. Portanto, a abcissa do ponto é Assim, o ponto é o ponto de abcissa que pertence à mediatriz do segmento de reta . Seja a ordenada do ponto . Tem-se . Portanto, o ponto tem coordenadas .
Tem-se: Dado que , tem-se . Portanto, o ponto tem coordenadas .
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109
2. a)
é o lugar geométrico dos pontos do plano que satisfazem a condição . Logo, o ponto pertence a se e só se , ou seja, o ponto pertence a se e só se . Tem-se, efetivamente, , pois o triângulo é retângulo em .
b)
é o lugar geométrico dos pontos do plano tais que . Portanto, é a circunferência de diâmetro .
c)
Tem-se . Tem-se
.
é um dos catetos do triângulo. O outro cateto é . Seja o seu comprimento. Tem-se
.
Portanto, o vetor :
Tem-se, assim, ou , ou seja, ou .
Se
, então .
Se
, então .
Como o ponto pertence ao primeiro quadrante, tem-se .
3. a)
Tem-se que o ângulo é o ângulo formado pelos vetores e .
Tem-se: cos
34° . Portanto,
b)
O plano que contém a base da pirâmide é perpendicular ao segmento de reta , correspondente à altura da pirâmide. Assim, o plano que contém a base da pirâmide é o plano que passa por e é
perpendicular ao vetor .
Tem-se:
Assim, o referido plano tem equação da forma . Como o plano passa no ponto , vem: . Assim, a equação do plano é .
110
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c)
A diagonal da base é igual à norma do vetor .
Tem-se . A norma deste vetor é . A base da pirâmide é um quadrado. Um quadrado é um caso particular de um losango.
Portanto, a área da base é
.
A altura da pirâmide é a norma do vetor . Portanto, a altura da pirâmide é Assim, o volume da pirâmide é
.
.
4.
Tem-se
Portanto,
.
cos
cos
cos ° cos °
5. a)
Tem-se cos sen , pelo que cos sen , donde sen cos , pelo que sen cos . Portanto, sen sen .
Tem-se: , sen cos , sen cos sen cos Assim, sen cos sen cos sen .
b)
sen sen
sen
sen
sen
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111
Teste de Avaliação 3 Grupo I 1.
(D) A sucessão de termo geral
é crescente. Tal exclui a opção (A).
não é monótona. De facto, tem-se , mas . Assim, a opção (B) também está excuída. O terceiro termo da sucessão de termo geral é . Portanto, a opção (C) também está excluída. A sucessão de termo geral é decrescente e o seu terceiro termo é . A sucessão de termo geral
2.
(B) Tem-se , donde vem que:
3.
(B) Tem-se , donde vem que (como é monótona, tem-se ).
Portanto,
4.
(A) Tem-se que , pelo que a sucessão não converge para 2.
5.
(C) Nas condições do enunciado, o ângulo é obtuso se e só se o produto
escalar for negativo. Tem-se , e , com .
Como
112
, vem
.
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Grupo II 1. a)
Tem-se:
Logo, pelo que .
Portanto, é decrescente.
b)
Tem-se que lim
se, para qualquer número real , existir uma ordem tal que
.
Ora, para qualquer número natural e para qualquer número real , tem-se:
Portanto,
c)
, pelo que
Seja um número natural maior que Está confirmado que lim
. Tem-se
.
.
.
Tem-se que pertence a , , se e só se , . . Vimos na alínea anterior que
Portanto,
, pertence a , , , .
Logo, não pertence a , , . Existem portanto 3999 termos da sucessão que não pertencem a , , .
d)
Como é convergente, podemos concluir que convergente é limitada. Como Como
é limitada, uma vez que toda a sucessão
.
é decrescente, o primeiro termo é majornte da sucessão. Tem-se
é decrescente e tende para , podemos concluir que é minorante da sucessão.
O conjunto dos majorantes é e o conjunto dos minorantes é .
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2. a)
Tem-se:
pelo que é constante.
Logo,
Portanto, é uma progressão aritmética.
b)
Tem-se:
3.
. Como é uma progressão aritmética, tem-se:
Pretende-se provar que
.
Comecemos por verificar que esta igualdade é verdadeira para .
Tem-se:
, o que é verdade.
Provemos agora a heriditariedade. Hipótese de indução:
Tese de indução:
Demonstração:
Tem-se lim lim
114
.
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4. a)
lim lim Tem-se: lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim
lim
lim
Como
Portanto,
lim
, conclui-se que é uma pogressão geométrica de razão
.
.
Tem-se:
b)
c)
Pretende-se que lim , ou seja, pretende-se que lim Uma possibilidade é , com
5. a)
b)
Tem-se, :
Tem-se:
, como, por exemplo,
.
.
sen cos sen cos sen cos sen cos
sen cos sen
sen cos sen sen
sen sen sen sen
sen sen sen sen sen
sen Tem-se: sen
Assim, as soluções da equação que pertencem a
são
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e
.
115
Teste de Avaliação 4 Grupo I 1.
(D)
Para par, tem-se , que tende para . Para ímpar, tem-se
, que tende para .
Logo, e são pontos aderentes ao conjunto .
Para além destes dois pontos, os únicos pontos aderentes a são os próprios elementos de .
Tem-se:
Portanto,
2.
.
(C) Para
, tem-se lim , pelo que lim .
Para
3.
, tem-se lim , pelo que lim .
Para
, tem-se lim , pelo que lim .
Para
, tem-se lim , pelo que lim .
(A) Sendo uma progressão geométrica de razão , tem-se lim se ou lim se . Em qualquer dos casos, tem-se lim lim .
4.
(A) , pelo que , por valores superiores a Logo, tende para .
Tem-se
5.
(C) Tem-se
116
.
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.
Grupo II 1. a)
As ordens são 61 e 62.
b)
é o termo geral de uma progressão aritmética de razão e primeiro termo Portanto, tem-se:
.
2. a)
b)
lim lim
lim lim
lim lim
lim
lim
lim
lim
3.
a) lim
b)
lim
lim
lim
lim
lim
lim lim lim lim
c) lim
lim
lim
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117
4.
a)
Portanto,
Logo, é o número de indivíduos, da espécie em causa, que existiam na região, quando se deu início ao programa de recuperação.
b)
lim
é o número, em dezenas de indivíduos, da espécie em causa, que existiam na região, quando se deu início ao programa de recuperação.
Isto significa que, com o passar do tempo, o número de indivíduos da espécie em causa que vão existir na região tende para 40.
5.
a1) O ângulo é o ângulo formado pelos vetores e . Tem-se , e .
cos
cos
^
° . Portanto,
a2) Seja o ponto médio de .
Tem-se e , pelo que se tem
, ou seja, .
Os veetores e são dois vetores do plano , não colineares. Tem-se
e
Um vetor é normal ao plano se e só se
e
.
Tem-se:
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Ora,
Portanto, um vetor normal ao plano tem coordenadas da forma . Fazendo , vem . Portanto, uma equação do plano é da forma . Como o ponto pertence ao plano, vem . Assim, uma equação do plano é .
b)
Tem-se e , com , pelo que . Este vetor terá de ser colinear com o vetor de coordenadas , pelo que , ou seja, .
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Teste de Avaliação 5 Grupo I 1.
(B) A função é contínua em todo o seu domínio. Portanto, é contínua, em particular, no ponto 2. Assim, tem-se lim lim .
Tem-se:
Vem, então:
2.
(D) Tem-se: lim gráfico de .
lim ode ser infinito.
Assim, a reta de equação pode ser assíntota ao gráfico de . lim
lim
e são assíntotas não verticais ao gráfico de . Como o gráfico de uma função nunca tem mais de duas assíntotas não verticais, a reta de equação não pode ser assíntota ao gráfico de .
3.
(B)
lim
lim lim
lim
lim
4.
(B) No intervalo a função é positiva, pelo que é estritamente crescente neste intervalo. Assim, tem-se , donde vem que .
5.
(C)
Como tem-se , pelo que e . Como a reta de equação é tangente ao gráfico de no ponto de abcissa 1, tem-se e (o ponto de tangência é comum ao gráfico de e à reta tangente). Portanto, . 120
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Grupo II 1. a)
O domínio da função é . Como a função é contínua em todo o seu domínio, apenas a reta de equação pode ser assíntota vertical ao gráfico de . Tem-se: lim lim e lim lim Portanto, a reta de equação é a única assíntota vertical ao gráfico de .
Procuremos assíntotas não verticais: Tem-se: lim lim
e
lim
lim
e
lim lim
lim
lim
Portanto, a reta de equação é a única assíntota não vertical ao gráfico de .
Assim, o gráfico de tem duas e só duas assíntotas, cujas equações são e .
b)
Tem-se
.
Em , tem-se:
máx
n.d. n.d.
mín
n.d. - não definida
Portanto, . Do estudo efetuado, podemos concluir que o contradomínio de é .
2.
Seja um ponto do gráfico de . O produto das suas coordenadas é . Tem-se: . Seja
Pretende-se determinar o valor de para o qual a função atinge um mínimo.
Tem-se
Em , tem-se:
.
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121
Vem, então:
mín
Portanto, sendo um ponto do gráfico de , o valor da abcissa para o qual o produto das coordenadas de é mínimo é . Determinemos a ordenada correspondente.
Tem-se
.
, pelo que, efetivamente, o ponto pertence à bissetriz do
Assim, tem-se
primeiro quadrante.
3.
. Como
, vem
, donde vem que .
a)
Tem-se
Portanto,
b)
Como 3 não pertence ao contradomínio de , conclui-se que a equação é impossível. Assim, .
c)
d)
.
O gráfico de é o resultado da translação do gráfico de associada ao vetor . Para a função ser ímpar, as assíntotas do seu gráfico têm de ser os eixos coordenados. Portanto, o ponto de interseção das assíntotas do gráfico de tem de ser a origem do referencial. Assim, na referida translação, a imagem do ponto tem de ser a origem do referencial. Logo, o vetor associado a essa translação é o vetor . Portanto, e . Tem-se:
Tem-se:
Portanto,
Tem-se:
Quociente
n.d.
Como não pode tomar o valor 2, tem-se
122
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.
4.
Tem-se
. Portanto, a ordenada do ponto é . . Portanto, a abcissa do ponto é .
Tem-se
Assim, tem-se e , pelo que .
Portanto, O declive da reta é
.
, pelo que o declive da reta é igual a .
Assim, a equação reduzida da reta é da forma . Como esta reta passa no ponto tem-se , donde vem .
é um dos pontos de interseção do gráfico de com esta reta.
Em
, tem-se:
Portanto, tem-se
Vem, então,
.
A área do triângulo é igual a
.
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.
123
5.
Tal como se pode observar, os zeros negativos de são e , pelo que o ponto tem abcissa . A reta tangente ao gráfico de no ponto interseta o eixo no ponto de abcisssa 3, que é o outro zero da função.
Seja agora o ponto do gráfico de cuja abcissa é (média aritmética de e ). Provemos analiticamente que a reta tangente ao gráfico de no ponto interseta o eixo no ponto de abcissa , que é o outro zero da função. Tem-se , pelo que . Como , tem-se . A equação reduzida da reta tangente ao gráfico de no ponto é da forma . Como a reta passa no ponto , tem-se , pelo que . A equação reduzida da reta é, assim, . Vejamos qual é a abcissa do ponto de intersção desta reta com o eixo . Tem-se . Confirma-se assim que a reta tangente ao gráfico de no ponto interseta o eixo no ponto de abcissa , tal como se pretendia demonstrar.
124
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Teste de Avaliação 6 1. a)
Seja a variável «idade» e seja a variável «altura». Tem-se:
e
,,,,,, ,
b)
c)
Uma vez que os pontos estão da nuvem estão aproximadamente alinhados, é de admitir uma associação linear forte entre as variáveis e .
d)
Tem-se
.
,
,
,
,
,
,
, 11421
Portanto,
, , ,
, , . ,
O facto de o valor de ser próximo de 1 confirma a existência de uma associação linear forte entre as variáveis e
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125
e)
Seja a equação reduzida da reta de mínimos quadrados. Tem-se:
, ,
,
Vem, então, que a equação reduzida da reta de mínimos quadrados é , 61, .
f)
2. a)
Uma vez que o Dr. Valente procura estabelecer uma previsão para os gastos em função da temperatura exterior, esta deve ser a variável explicativa.
b)
Seja a variável «temperatura exterior» e seja a variável «volume de gás consumido». . Tem-se , e
c)
A equação reduzida da reta de mínimos quadrados, obtida com a calculadora, é , , .
d)
A reta de mínimos quadrados passa no ponto ,pelo que o desvio vertical de reta de mínimos quadrados é igual a zero.
126
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C em
relação à
e)
Tem-se , , . O desvio vertical deste ponto em relação à reta de mínimos quadrados é igual a , , , , ,
Designando por a soma dos desvios dos restantes pontos da nuvem em relação a essa reta, tem-se , ,pois a soma dos desvios verticais de todos pontos da nuvem, em relação à reta de mínimos quadrados, é igual a zero. Tem-se , , . Portanto, a soma dos desvios verticais dos restantes pontos da nuvem, em relação à reta de mínimos quadrados, é igual a , .
f)
Substituindo, na equação reduzida da reta de mínimos quadrados , , , a variável por , , obtem-se , . Portanto, no mês de dezembro, o consumo de gás deve ter sido aproximadamente igual a 0,19 metros cúbicos.
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Questão de aula 1 30 minutos Conteúdos em avaliação Conceitos de seno, cosseno e tangente de um ângulo a gudo. Fórmulas fundamentais da trigonometria (ângulos agudos). Seno, cosseno e tangente de 30°, 45° e 60°. Lei dos senos. Seno de um ângulo reto e seno de um ângulo obtuso. Lei dos cossenos. Cosseno de um ângulo reto e cosseno de um ângulo obtuso.
1. Determina os comprimentos, em cm, dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm, sabendo que a amplitude de um dos ângulos internos do triângulo é 30°.
2. Os pontos A e B representam dois nadadores salvadores que observam um banhista que se encontra em C . O banhista é considerado em perigo se a distância a algum dos nadadores for superior a 200 metros.
Atendendo aos dados da figura, averigua se o banhista deve ser considerado em perigo.
3. Três localidades, Miar, Nomar e Proar, são representadas num mapa pelos pontos M , N e P . Sabe-se que MN 15 cm , NP 8 cm e PM 12 cm . Determina a amplitude, em graus, do ângulo MNP do triângulo [ MNP ] . Apresenta o valor arredondado às unidades.
4. Seja k um número real tal que sen 70º k . a) Determina uma amplitude 70º tal que sen k . b) Escreve cos 70º e cos110º em função de k . c) Escreve sen 20º em função de k .
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Questão de aula 2 35 minutos Conteúdos em avaliação
A circunferência trigonométrica. Seno, cosseno e tangente de ângulos generalizados. O radiano. Reduções ao primeiro quadrante. Equações trigonométricas.
1. Na figura estão representados a circunferência trigonométrica e o lado extremidade de um ângulo orientado . a) Recorrendo a régua e esquadro, representa: a1) em azul, o(s) lado(s) extremidade do(s) ângulo(s) cujo seno é igual a sen ; a2) em preto, o(s) lado(s) extremidade do(s) ângulo(s) cujo cosseno é igual a cos ; a3) em encarnado, o(s) lado(s) extremidade do(s) ângulo(s) cujo seno é simétrico de cos ; b) Admite que 155º . Determina, sem recorrer ao transferidor, as amplitudes dos ângulos generalizados cujos lados extremidade assinalaste em azul, preto e encarnado.
2. Para um certo número real 3390 a n 360 .
a,
0 a 360 , e para um certo número natural
n , tem-se
a) Determina a e n . b) Determina o seno, o cosseno e a tangente de 3390º .
3. Numa circunferência de centro no ponto O e raio 5 cm, o arco AB mede 6 cm e numa circunferência de centro O ' e raio 4 cm, o arco CD mede 5 cm. Qual dos ângulos, AOB e CO ' D , tem maior amplitude? Justifica.
4. Determina os números reais que são solução de cada uma das seguintes equações: a) 2cos x 1 0 b) sen (2 x ) cos(2x)
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Questão de aula 3 35 minutos Conteúdos em avaliação Funções trigonométricas. Funções circulares inversas.
1. Sejam a e b números reais e seja
f a função definida por f(x) a bsen (2x) .
a) Determina a e b sabendo que a e b são números positivos e que o contradomínio de
f é 2,4 .
b) Admite, agora, que a 1 e b 1 . b1) Mostra que os zeros da função f coincidem com os seus minimizantes e determina o maior zero negativo. b2) Mostra que
2. Seja
é período da função f .
g a restrição da função cosseno ao intervalo , , ou seja, g é a função, de domínio 3 6
, , definida por g(x) cos x . 3 6 Determina o contradomínio da função g .
3. Seja h a função definida por h(x) 2arccos (1 3 x) . a) Determina o domínio e o contradomínio de h . b) Resolve a inequação h(x) . Apresenta o conjunto-solução recorrendo à notação de intervalos de 3 números reais.
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Questão de aula 4 30 minutos Conteúdos em avaliação
Ângulo de vetores. Expressão do produto escalar de vetores em função da norma e do ângulo dos vetores. Vetores perpendiculares. Propriedades do produto escalar. Resolução de problemas.
1. Na figura está representado um hexágono regular [ABCDEF ] de centro no ponto O e lado 2. a) Determina, em graus:
a1) (OC ^ OD)
a2) ( AB ^ BC )
a3) ( BC ^ CF )
b) Determina:
b1) AD CB
b2) AD DE
2. Sejam u e v dois vetores tais que
b3) BF OD
u 4 , v 12 e u v 12 .
Determina:
a) (u ^ v )
b)
u (u 2v )
c) u v
2
3. Na figura está representado um pentágono regular [ABCDE ] . Sabe-se que AB 1 .
Mostra que
AB AD
AD
sen . 10
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Questão de aula 5 35 minutos Conteúdos em avaliação Produto escalar de vetores a partir das coordenadas. Relação entre declives de retas perpendiculares no plano. Resolução de problemas envolvendo o produto escalar.
1. Num referencial o.n. do plano, considera os vetores
u(3, 2) e v(4,1) . Determina u v .
2. Num referencial o.n. do espaço, considera os pontos A(1,0,1),
B(0,2, 1) e C (4,3,2) . Mostra que
os vetores AB e BC são perpendiculares.
3. Considera, num referencial o.n., os pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) e a reta r de equação 2 x Determina
b2 a2 , sabendo que as retas AB e b1 a1
r são perpendiculares.
4. Considera, num referencial o.n., os pontos A(2, 3) , a) Determina
y 0.
B(6, 3) e C (1,2) .
ˆ . Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. ABC
b) Determina as coordenadas de um ponto D , do terceiro quadrante, tal que o triângulo retângulo em B e tem área 75.
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ABD
é
Questão de aula 6 25 minutos Conteúdos em avaliação
Equações de retas e planos no espaço.
1. Considera, num referencial o.n. Oxyz , o plano
de equação
2 x 3y z 4 e o ponto A(0, 1,3) .
a) Escreve uma equação cartesiana do plano que é paralelo ao plano e passa no ponto A . b) Escreve uma equação vetorial da reta perpendicular ao plano , que passa no ponto A .
2. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular [ ABCDV ] . Sabe-se que:
o plano que contém a base da pirâmide é paralelo ao plano xOy ; o ponto B tem coordenadas (1,3,1) ; o ponto C tem coordenadas (3,3,1) ; a pirâmide tem 4 unidades cúbicas de volume. a) Justifica que o vértice V tem coordenadas (2, 2, 4) . b) Determina uma equação vetorial do plano BCV . c) Determina uma equação cartesiana do plano mediador da aresta [VC ] da pirâmide. d) Determina uma equação cartesiana do plano a que pertence o ponto A e contém a aresta [VC ] da pirâmide.
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Questão de aula 7 40 minutos Conteúdos em avaliação Generalidades sobre sucessões.
Considera as sucessões (un ) e (vn ) definidas por un (n 10) 2 2 e vn 4n 2(1)n .
1.
a) Determina os quatro primeiros termos de cada uma das sucessões. b) Investiga se 38 é termo de cada uma das sucessões (un ) e (vn ) . c) Mostra que a sucessão (un ) não é monótona. d) Mostra que n , vn 1 vn 4 4(1) n e classifica a sucessão (vn ) quanto à monotonia.
2. Seja (vn ) a sucessão de termo geral vn 2n 1 . 3n 4 a) Estuda a sucessão (vn ) quanto à monotonia. b) Indica, justificando, o valor lógico da proposição: n ,
2n
3n 4
2n . 3n
c) Mostra que a sucessão (vn ) é limitada.
3. Acerca de uma sucessão (un ) sabe-se que n , un 1 un
17 . (2n 13)(15 2n)
Mostra que a sucessão (un ) não é monótona.
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Questão de aula 8 20 minutos Conteúdos em avaliação
Método de indução matemática. Sucessões definidas por recorrência.
1. Mostra, recorrendo ao método de indução matemática, que para qualquer número natural n , é um número par.
n 2 3n
v1 a . v v n 2 1, n n 1
2. Seja a um número real e seja (vn ) a sucessão definida, por recorrência, por a) Determina, em função de a , v2 e v3 . b) Mostra que existe um valor de a para o qual a sucessão (vn ) é constante.
u 1 1 2 3. Seja (un ) a sucessão definida por: . 1 un 1 u , n n n
Prova, recorrendo ao método de indução matemática, que n , un 2( 1) .
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Questão de aula 9 40 minutos Conteúdos em avaliação
Progressões aritméticas. Progressões geométricas.
1. Sejam (un ) recorrência.
e (vn ) as sucessões que a seguir se definem, uma pelo termo geral e a outra por
un 4 n 3 2
v1 4 vn vn 1 2
a) Mostra que (un ) é uma progressão aritmética e que (vn ) é uma progressão geométrica. b) Uma destas sucessões não é monótona. Qual? Justifica. c) Mostra que a sucessão (vn ) é definida por vn (2)3 n . d) Determina a soma dos vinte termos consecutivos da sucessão (un ) a partir do terceiro, inclusive.
an
2. Seja (an ) uma progressão aritmética de razão 1 e seja (bn ) a sucessão definida por bn 2 2 . Prova que (bn ) é uma progressão geométrica e indica o valor da razão.
3. A Maria começou no dia 1 de junho a preparar-se para o verão e fez, nesse dia, 10 flexões. Tenciona treinar de três em três dias e, em cada treino, vai fazer mais duas flexões do que no treino anterior. a) Se treinar, de acordo com o seu plano, durante todo o mês de junho, quantas flexões vai fazer no último treino desse mês? b) No fim de um certo treino, a Maria concluiu que tinha feito, desde o dia 1 de junho, 360 flexões. Admitindo que cumpriu sempre o que tinha previsto, em que dia é que a Maria fez o referido treino?
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Questão de aula 10 20 minutos Conteúdos em avaliação
Conceito de limite de uma sucessão convergente. Produto de uma sucessão limitada por outra que é convergente para 0. Operações com limites reais.
1. Considera a sucessão (un ) definida por un 1 2n . 3n 2 Prova, recorrendo à definição, que 2 é limite da sucessão e determina quantos termos da sucessão 3 não pertencem a
3
V 0,001 2 .
2. Seja (vn ) a sucessão definida por
vn
cos n
n
.
Justifica que lim vn 0 .
3. Sejam
a , b , c e d números reais.
Considera a família de sucessões (un ) de termo geral un an b , tal que n , cn d 0 .
cn d
a) Dá um exemplo de uma sucessão (un ) desta família, tal que: a1) limun 1 3
a2) lim un 0
a3) limun
b2) lim 3 un
b3) lim(un)3
b) Seja un 2n 3 . n 1 Determina: b1) limun
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Questão de aula 11 15 minutos Conteúdos em avaliação
Limites de sucessões. Levantamento algébrico de indeterminações.
1. Determina o limite de cada uma das sucessões que se definem, em seguida, pelo seu termo geral . a) un 1 n 1 b) vn 2n 1 3 5n
n 1 se n 1000 c) wn 3 n 3 se n 1000
2. Determina o limite das sucessões cujo termo geral se indica, depois de identificares o tipo de indeterminação. a) un 10n 2 n3 1000 2 b) vn 2n 1 n(1 3n )
c) wn n n 2 2 1
3. Seja a um número real e seja (an) a sucessão definida por an (1 2a) n . Determina o conjunto dos valores de a para os quais a sucessão (an) é convergente.
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Questão de aula 12 25 minutos Conteúdos em avaliação
Limite segundo Heine. Operações com limites.
1. Seja
f a função definida por f(x) 2 x2 1 . x 2
a) Usa a definição de limite segundo Heine para provar que: a1) lim f (x) 1 x 1 3 a2) lim f(x) 0 x
b) Determina os limites seguintes.
f(x) 2 x 1 ( x 1)
b1) lim
x x f(x) 1
b2) lim
b3) lim 3 x 21 x f (x) 2
2. Seja
f a função, de domínio
\
2 x 1 se x 0 . 1 2 x se x 0
0 , definida por f(x)
Define duas sucessões, (un) e (vn) , que permitam concluir que não existe limite de
f(x) quando x
tende para 0. Explica o teu raciocínio.
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Questão de aula 13 25 minutos Conteúdos em avaliação
Domínio de funções racionais. Simplificação de frações. Operações com frações racionais.
1. Determina o domínio das funções definidas por cada uma das expressões. a) x x 1 b) 2 x2 1 x 1 c) x 2 3 x(x 1)
2. Simplifica cada uma das frações seguintes e indica o domínio em que a simplificação é válida. 2 a) x 22x 4 x
6x 9 b) x 3 x 3x 2 2
c)
x3 1 2 x 2 3x 1
3. Efetua as operações indicadas, simplifica, se possível, as frações obtidas e indica o domínio em que as simplificações são válidas. a)
x x 2 3 x 1 x 2 1
b) x 2 4x
x 1 x x 16 x 2 2
2 x 1 1 c) x 2 x 1
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Questão de aula 14 20 minutos Conteúdos em avaliação
Indeterminações.
Em todas as situações seguintes há indeterminações. Identifica, em cada caso, o tipo de indeterminação e calcula o valor do limite.
(2 x 1) 2 a) lim 2 x x x 3 2( x 1)2 8 b) lim 3 x 1 3 x x 4 c) lim x 2 2 2 x 2 2 x x
2 d) lim 2 x 1 2 x x x 1
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Questão de aula 15 35 minutos Conteúdos em avaliação
Assíntotas ao gráfico de uma função.
1. Sejam
f a função definida por f ( x) 2 x 2 x 1 . x 1 3
2
Estuda a existência de assíntotas ao gráfico da função
f e escreve equações das assíntotas que
identificares.
2. Acerca de uma função
f , sabe-se que:
tem domínio \ 1, 2 ; é contínua;
lim f ( x) lim f ( x) 3
x
x 2
lim ( f ( x) 2 x 3) 0
x
lim f ( x) lim f ( x)
x
x 1
Identifica as assíntotas ao gráfico de
f e define-as por equações.
3. Acerca de uma função g , de domínio seu gráfico. Seja h a função definida por
, sabe-se que a reta de equação y 3 x 1 é assíntota ao
h( x) x g ( x) .
Mostra que existe uma reta que é assíntota não vertical ao gráfico de h e escreve a sua equação reduzida.
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Questão de aula 16 35 minutos Conteúdos em avaliação
Funções definidas por expressões da forma
f ( x) b k . x c
Equações e inequações fracionárias.
f a função definida por f ( x ) 3 x 2 . 2 x 1 a) Escreve f ( x ) na forma f ( x ) b k e escreve equações das assíntotas ao gráfico de f . x c b) Sabe-se que a equação f(x) a é impossível. Qual é o valor de a ?
1. Seja
c) Resolve a condição
f(x) 2 . Apresenta o conjunto-solução usando a notação de intervalos de
números reais.
2. A função g , representada graficamente, pode ser definida por uma expressão da forma ax b ( a ,
x c
b e c são
números reais). As retas de equações x 3 e y 1 são assíntotas ao 2 gráfico de g , que passa no ponto de coordenadas (– 1, – 3) . a) Define a função g por uma expressão algébrica. b) Determina as coordenadas dos pontos em que o gráfico de g interseta os eixos coordenados.
f e g as funções definidas por f(x) x 1 e g(x) 2 3 . 3 x x 9 Resolve a inequação f(x) g(x) , sem recorrer à calculadora.
3. Sejam
Apresenta o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais.
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Questão de aula 17 35 minutos Conteúdos em avaliação
Taxa média de variação. Reta secante ao gráfico de uma função. Definição de derivada de uma função num ponto. Reta tangente ao gráfico de uma função num ponto.
1.
Seja
f a função definida por f ( x) 5 x x 2 .
a) Determina a taxa média de variação de b) Uma reta r interseta o gráfico de
f entre – 2 e 1.
f em dois pontos A e B . Sabe-se que o ponto A tem abcissa 1
e que a reta r tem declive 1 . Determina a abcissa do ponto B . 2 f ( x) f (1) e interpreta geometricamente o valor obtido. x 1 x 1
c) Calcula lim
2. Seja g a função, de domínio , definida por g ( x)
x 2 5 . Determina
g (2) , recorrendo à
definição de derivada de uma função num ponto.
3. Seja
f a função representada graficamente. A reta r é tangente ao gráfico de f no ponto A .
f (1 h) 2 . h0 h
Identifica, justificando, o valor de lim
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Questão de aula 18 35 minutos Conteúdos em avaliação
Regras de derivação e derivadas das funções de referência. Reta tangente ao gráfico de uma função num ponto.
1. Considera a função
f , de domínio
, definida por f ( x ) 1 x x
a) Caracteriza a função f (função derivada da função
g , de domínio
x3 .
f ).
b) Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de
2. Considera a função
2
f no ponto de abcissa – 1.
, definida por g ( x ) 1 x .
x
a) Caracteriza a função g (função derivada da função g ). b) Determina a abcissa do ponto do gráfico de
g em que a reta tangente ao gráfico é paralela ao eixo
das abcissas.
g a função, de domínio , representada graficamente, e seja f a função, de domínio \ 3 ,
3. Seja
f ( x ) 4 x 9 . A reta de equação x 3 y 2 x 3 é tangente ao gráfico de g no ponto A de
definida por
abcissa – 2. Determina: a) ( f g )( 2)
f b) (2) g
c) g 2 ( 2) d) ( f g )( 2)
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Questão de aula 19 35 minutos Conteúdos em avaliação
Aplicação do cálculo diferencial à determinação dos extremos relativos e intervalos de monotonia de uma função.
1. Sejam
2 f e g as funções definidas por f(x) x3 3x 1 e g(x) x .
x 1 Recorrendo a processos analíticos, determina, para cada uma das funções, os intervalos de monotonia e extremos relativos, caso existam.
2. No referencial xOy da figura está representado um arco de circunferência de centro no ponto de coordenadas C (1,0) e raio 1. Um ponto P move-se sobre esse arco, entre os pontos de abcissa 0 e 1. Para cada posição do ponto P , considera o trapézio retângulo [OPRC ] , de bases OC e Seja
PR .
f a função que à abcissa x do ponto P faz
corresponder a área do trapézio [OPRC ] . Mostra que f(x) 2 x 2x x 2 e determina, por 2 processos analíticos, as coordenadas do ponto P para as quais o trapézio tem maior área.
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Questão de aula 20 40 minutos Conteúdos em avaliação
Reta de mínimos quadrados.
Na tabela seguinte estão registados dados relativos ao número de incêndios florestais em cada ano, de 2010 a 2015, e as correspondentes áreas ardidas de povoamento florestal. Ano
2010
2011
2012
2013
2014
2015
N.o de incêndios
3349
2740
4071
3004
997
3067
Área ardida (ha)
45459
12257
46884
51095
8653
22260
Considera a variável «número de incêndios» como explicativa e a variável «área ardida» como r esposta. Considera, num referencial o.n., a nuvem de pontos que corresponde aos dados apresentados. Nas respostas aos itens seguintes, sempre que obtiveres valores não inteiros, efetua arredondamentos às unidades. a) Determina o centro de gravidade da nuvem. b) Seja y ax b a equação reduzida de uma reta que passa no centro de gravidade da nuvem. b1) Escreve b em função de a . b2) Calcula, em função de a , os desvios verticais dos pontos da nuvem em relação à reta r . b3) Determina, em função de a , a soma dos quadrados desses desvios. Apresenta a expressão na forma de um polinómio reduzido. b4) Determina o valor de a para o qual é mínima a soma dos quadrados dos desvios. Apresenta o valor arredondado às unidades. c) Determina a equação reduzida da reta de mínimos quadrados.
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Banco de questões Trigonometria e Funções Trigonométricas Pergunta 1 Pergunta:
Sendo (A) (B) (C) (D)
um ângulo agudo e sen
=
, o valor de cos é:
Resposta: (D) Pergunta 2 Pergunta: Observa a figura ao lado. A altura total da falésia do lado esquerdo, aproximada às unidades do metro, é:
25º 45º
(A) 147 m
m 0 0 1
(B) 100 m (C) 150 m (D) Não é possível calcular a altura da falésia. Resposta: (A) Pergunta 3 Pergunta:
Sendo um ângulo agudo e sabendo que sen (A) (B) (C) (D)
=
, o valor de cos + 3tg
Resposta: (C) 148
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é:
Pergunta 4 Pergunta: Na figura está representado um quarto de círculo de 2 cm de raio e um triângulo equilátero [ ABC ] . A área da parte colorida, aproximada às décimas, é: 60º (A) 1,4 cm2
(B) 1,5 cm2 (C) 1,6 cm2 (D) 1,7 cm2
Resposta: (A)
Pergunta 5 Pergunta: A Ana e o Bernardo foram a Londres visitar o Big Ben. Sabendo que a Ana se encontra no ponto A e o Bernardo no ponto B, separados 100 metros um do outro, a distância que separa a Ana do topo da torre, arredondada às décimas, é: (A) 81,5 m (B) 80,9 m (C) 92,6 m
50°
60°
(D) 91,6 m
A
B
Resposta: (A) Pergunta 6 Pergunta: Observa a figura ao lado. O comprimento da ponte, arredondado às décimas, é:
50°
(A) 257,1 m
30°
200 m
(B) 250,8 m (C) 157,1 m (D) 150,1 m Resposta: (A)
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149
Pergunta 7 Pergunta:
Sendo (A) (B) (C) (D)
um ângulo obtuso e sen (180°
)=
, o valor de 2sen + 3cos é:
8
+ 8
Resposta: (B)
Pergunta 8 Pergunta: Qual das seguintes opções corresponde à altura da árvore, aproximada às centésimas? (A) 4 m 4m
(B) 3,22 m (C) 3,47 m
110°
(D) 3,76 m Resposta: (D)
Pergunta 9 Pergunta:
Considerando a figura ao lado, o valor de (A) 80,58 m (B) 81,58 m
, arredondado às centésimas, é:
(C) 82,58 m (D) 83,58 m Resposta: (C)
150
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60 m
126°
Pergunta 10 Pergunta: Considerando a seguinte figura, podemos dizer que o valor , aproximado às centésimas, é:
(A) 3,46 m (B) 1,05 m
2m
(C) 11,46 m
85°
3m
(D) 11,95 m Resposta: (A)
Pergunta 11 Pergunta: Qual é a distância total que a Maria terá de percorrer para ir de casa ao supermercado, do supermercado à casa da avó e regressar a sua casa?
80 m 60° Casa da Maria
50 m Supermercado
Casa da avó
(A) 70 m (B) 210 m (C) 130 m (D) 200 m Resposta: (D)
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151
Pergunta 12 Pergunta: Considerando a seguinte figura, o valor de (A) 41,008 cm
, aproximado às milésimas, é:
(B) 6,404 cm (C) 184,681 cm
7 cm
(D) 13,590 cm 130°
Resposta: (B)
8 cm
Pergunta 13 Pergunta: Qual das seguintes opções corresponde aos valores de (A) (B)
= 10 e =6 e
(C)
=8
= 10 e
e
, aproximados às centésimas?
=9
= 5,77 e
(D)
45°
= 10
= 5,77
Resposta: (D)
60°
30°
60°
Pergunta 14 Pergunta: Considerando a seguinte figura, podemos afirmar que:
(A)
= 8 cm e
= 4 cm
(B)
= 8 cm e
= 3 cm
(C)
= 8 cm e
(D)
6,93 cm e
4 cm
6,93 cm
= 8 cm
Resposta: (C)
152
20
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30°
Pergunta 15 Pergunta: A figura representa a roda gigante num parque de diversões, que se desloca no sentido positivo.
A
Quantos graus terá a roda de se deslocar para que a Maria, que se encontra no ponto A , possa chegar ao ponto B ? (A) 240° (B)
240° B
(C) 120° (D)
120°
Resposta: (A) Pergunta 16 Pergunta: Se a roda da sorte rodar 800°, a seta indicará o número:
(A) 9 (B) 4 (C) 6
(D) Nenhuma das opções anteriores. Resposta: (A) Pergunta 17 Pergunta: A amplitude do ângulo orientado correspondente ao ângulo generalizado 680° é: (A)
680°
(B) 320° (C)
320°
(D) 140° Resposta: (B)
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153
Pergunta 18 Pergunta: O ângulo generalizado de amplitude 1340° é representado pelo par ordenado:
(A) ( 620, 2)
(B) (620,2)
(C) (260, 3) (D) ( 260, 3) Resposta: (D)
Pergunta 19 Pergunta: A amplitude, em graus, do ângulo generalizado (34, 4) , é: (A) 1474° (B) 34° (C)
34°
(D) 136° Resposta: (A) Pergunta 20 Pergunta: Considera o hexágono regular inscrito na circunferência de centro O . A imagem do ponto A pela rotação de centro O e ângulo generalizado ( 240°, 2), em graus, é o ponto: (A) D
B
(B) A
O D
F
(C) E (D) C
E
Resposta: (C)
154
C
A
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Pergunta 21 Pergunta: O relógio da figura marca 3 horas. Que horas marca o relógio, quando o ponteiro dos minutos rodar 570°?
(A) 4 horas e 25 minutos (B) 4 horas e 35 minutos (C) 3 horas e 35 minutos (D) 3 horas e 40 minutos Resposta: (B) Pergunta 22 Pergunta: A figura representa um triângulo equilátero inscrito numa circunferência. A imagem do ponto B , se o triângulo rodar 1560° sobre o ponto O , é:
C
B O
(A) O ponto A . (B) O ponto B . (C) O ponto C . A
(D) Não é possível saber. Resposta: (C)
Pergunta 23 Pergunta: A amplitude do ângulo orientado correspondente a um ângulo generalizado de amplitude 700° é: (A)
700°
(B) 340° (C) 160° (D) 300° Resposta: (B)
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155
Pergunta 24 Pergunta: A amplitude, em graus, do ângulo generalizado ( 62, 2) é: (A)
124°
(B) 124° (C) 782° (D)
782°
Resposta: (D) Pergunta 25 Pergunta: O ângulo de amplitude 460° pertence ao: (A) 1.o quadrante. (B) 2.o quadrante. (C) 3.o quadrante. (D) 4.o quadrante. Resposta: (B) Pergunta 26 Pergunta: O ângulo de amplitude 3020° pertence ao: (A) 1.o quadrante.
(B) 2.o quadrante. (C) 3.o quadrante. (D) 4.o quadrante. Resposta: (C)
156
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Pergunta 27 Pergunta: Considera a circunferência representada na figura. As coordenadas do ponto A são: (A) (B) (C) (D)
A 60º
,
1
,
,
,
Resposta: (A)
Pergunta 28 Pergunta:
De um ângulo sabe-se que sen (A) 1 (B) (C)
=
. O valor de cos
é:
(D) Nenhuma das opções anteriores. Resposta: (B) Pergunta 29 Pergunta: O valor máximo que a expressão 2 + 3 s e n (A) 5
pode tomar é:
(B) 1 (C) (D)
1
Resposta: (A)
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157
Pergunta 30 Pergunta: Seleciona a afirmação verdadeira. (A) No 1.o quadrante o seno é positivo e o cosseno é negativo. (B) Existe um ângulo (C) Existe um ângulo
no 4.o quadrante tal que cos = . no 3.o quadrante tal que sen =
pertence ao 3.o quadrante, então sen × cos
(D) Se
Resposta: (D) Pergunta 31 Pergunta: Para que a expressão 3sen (A) (B) (C) (D)
[ 1, 1]
=
.
> 0.
1 tenha sentido, temos que:
[ 2, 4] [ 3, 3] [ 4, 2]
Resposta: (B)
Pergunta 32 Pergunta: Os valores que a expressão 1 + 5 tg
(A) [1, + [
pode tomar pertencem ao intervalo:
(B) [0, + [ (C) [5, + [ (D) [6, + [ Resposta: (A)
158
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Pergunta 33 Pergunta: Sendo um ângulo agudo, o valor de
é: (A) sen (B) cos
cos (360° + ) + sen (180°
)
2sen (720°
) + tg (270° + )
+ tg
(C) sen + cos + tg (D) 3sen + cos
tg
Resposta: (D)
Pergunta 34 Pergunta:
Sendo um ângulo do 2.o ou 3.o quadrantes e tg (540° + ) = , o valor de cos (270° + ) é: (A) (B) (C) (D)
Resposta: (D)
Pergunta 35 Pergunta: A amplitude (A) 140°
radianos, em graus, é:
(B) 141° (C) 143° (D) 144° Resposta: (D)
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159
Pergunta 36 Pergunta: A amplitude 260°, em radianos, é: (A) (B) (C) (D)
Resposta: (A) Pergunta 37 Pergunta: A amplitude do ângulo com aproximadamente: (A) (B) (C) (D)
radianos, apresentada em graus, minutos e segundos é,
Resposta: (A)
Pergunta 38 Pergunta: O ângulo de amplitude (A) 1.o quadrante.
radianos pertence ao:
(B) 2.o quadrante. (C) 3.o quadrante. (D) 4.o quadrante. Resposta: (C)
160
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Pergunta 39 Pergunta: As hélices de um helicóptero medem 6,5 metros. A distância que percorre a ponta de cada hélice ao dar 5 voltas completas é:
(A) 10 m (B) 13 m (C) 60 m (D) 65 m Resposta: (D) Pergunta 40 Pergunta: A área, arredondada às unidades, de um setor circular de amplitude 1,2 radianos, numa circunferência de 8 metros de raio é: (A) 121 m2 (B) 64 m2 (C) 650 m2 (D) 48 m2 Resposta: (A) Pergunta 41 Pergunta: A expressão 2 sen (A) (B) (C) (D)
3cos
sen
+ tg
tem o valor:
Resposta: (C)
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161
Pergunta 42 Pergunta: A expressão sen (
(A) 3 sen (B)
)
2 sen (
) é equivalente a:
3 sen
(C) 2 sen (D)
2 sen
Resposta: (A)
Pergunta 43 Pergunta: A expressão cos (A) sen
tg
+
+ 3 sen
tg
é equivalente a:
(B) 3 sen (C) sen
cos
(D) sen + 3cos Resposta: (D)
Pergunta 44 Pergunta:
Sendo (A) (B) (C) (D)
0,
e sen
= , o valor da expressão tg ( + )
+ 2 2
2 2
+2 2
Resposta: (D)
162
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cos (
3 ) é:
Pergunta 45 Pergunta:
O contradomínio da função definida por ( ) = + 3sen
(A) [ 1, 1] (B) (C)
é:
, ,
(D) [ 3, 3] Resposta: (C)
Pergunta 46 Pergunta: Os zeros da função definida por ( ) = sen (A) (B) (C) (D)
+
,
+
,
+2
,
+2
,
1 são:
Resposta: (A)
Pergunta 47 Pergunta: Seleciona a opção verdadeira.
(A) A expressão geral dos maximizantes da função definida por ( ) = sen
.
(B) A expressão geral dos minimizantes da função definida por ( ) = sen .
(C) A expressão geral dos maximizantes da função definida por ( ) = cos .
(D) A expressão geral dos minimizantes da função definida por ( ) = cos .
+
é
=
+
é
=
é
=
é
=
+2
,
+2
,
+2
,
+2
,
Resposta: (C)
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163
Pergunta 48 Pergunta:
Os zeros da função definida por ( ) = (A) (B) (C) (D)
+2 +
,
,
+2 +
são:
3 cos
,
,
Resposta: (A)
Pergunta 49 Pergunta: O período fundamental da função (A) (B) (C) (D)
definida por ( ) = 1 + cos (3 ) é:
Resposta: (D) Pergunta 50 Pergunta: Considerando a função
definida por ( ) = tg (3 ) , temos que:
(A) O contradomínio da função é
.
(B) A função é uma função ímpar. (C) Os zeros da função são
=
,
.
(D) Nenhuma das opções anteriores é correta. Resposta: (C)
164
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Pergunta 51 Pergunta:
O valor exato da expressão cos arcsen (A) (B)
+ sen arccos
arctg (1) é:
1
(C) 1 + (D)
+
Resposta: (A)
Pergunta 52 Pergunta: A solução da equação trigonométrica 2 cos (3 ) = 1 é: (A) (B) (C) (D)
= = = =
+2
=
+2
,
+2
=
+2
,
+
=
+
,
+
=
+
,
Resposta: (C)
Pergunta 53 Pergunta: A solução da equação trigonométrica 1 (A) (B) (C) (D)
=
,
=2 = =
cos
= 2 sen é:
,
+
+2
,
,
Resposta: (A)
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165
Pergunta 54 Pergunta: Qual o conjunto-solução da seguinte condição, no intervalo [0, 2 [ ? sen
(A) (B) (C) (D)
>
1 2
3
cos
2
0,
,2
0,
, 2
, ,
Resposta: (D)
166
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Geometria Analítica Pergunta 55 Pergunta: Considera o referencial ortonormado representado na figura.
r 130°
O declive da reta r tem o valor aproximado de: (A) 1,192 (B) 1,192 (C) 130° (D) 130°
Resposta: (A) Pergunta 56 Pergunta: O valor da inclinação da reta de equação (A) 45° (B) 45° (C) 135° (D) 135°
=
é:
Resposta: (C) Pergunta 57 Pergunta:
A reta que passa no ponto (2, 2) e tem de inclinação rad pode ser definida por: (A) (B) (C) (D)
=
3
2 3
=
3
2
= 3
2 3
= 3
2
2 3
Resposta: (D)
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167
Pergunta 58 Pergunta: Seleciona a opção que corresponde à afirmação verdadeira. (A) A reta de equação ( , ) = (2, 1) + (1, 3), tem 60° de inclinação. (B) A reta = 6 tem inclinação nula. (C) Se uma reta tem 55° de inclinação, então o seu declive é 5. 3 tem 40° de inclinação. (D) A reta de equação = 2
Resposta: (B) Pergunta 59 Pergunta: O produto escalar de
(A) 18 2 (B) 9 2 (C) 2
e
, sendo
=6,
=3 e
= 45° tem o valor:
(D) 810
Resposta: (B) Pergunta 60 Pergunta:
O valor de sabendo que o ponteiro maior tem 8 cm de comprimento e o menor tem 6 cm é: (A) 48 (B) 48 3 (C) 24 (D) 24
O
Resposta: (C) Pergunta 61 Pergunta: Sendo =2, (A) Os vetores e (B) Os vetores e (C) = 30° (D)
=8 e
= 8 , então:
são perpendiculares. são paralelos.
= 60°
Resposta: (D)
168
B
A
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Pergunta 62 Pergunta:
O valor de ( 3 ) (2 ) , sendo (A) 90 3 (B) 90 3 (C) 15 3 (D) 15 3
=3 ,
= 10 e
= 150° é:
Resposta: (A)
Pergunta 63 Pergunta: O produto escalar dos vetores (A) (B) (C) (D)
e , sendo
( 3, 2) e
1,
, tem o valor:
Resposta: (A) Pergunta 64 Pergunta:
O valor de
+
, sendo
(1, 2) ,
(3, 4) e
( 5, 2) , é:
(A) 6 + 29 (B) 14 + 29 (C) 23 (D) 43 Resposta: (C)
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169
Pergunta 65 Pergunta: Seleciona a opção que corresponde ao par de vetores perpendiculares. (A) (B) (C) (D)
,0 e ,0 e ,3 e ,3 e
(0, 3) (3, 0) (2, 1) (1, 2)
Resposta: (A) Pergunta 66 Pergunta: A equação reduzida da reta que passa no ponto expressão: (A) (B) (C) (D)
= = = =
( 1, 4) e é perpendicular à reta 2
+
+
Resposta: (C) Pergunta 67 Pergunta: Seleciona a afirmação verdadeira. (A) O produto escalar dos vetores ( 1, 2, 3) e (2,10,5) é 40. (B) O ângulo formado pelos vetores (1,2,3) e (0, 1, 5) é um ângulo agudo.
(C) Os vetores (0,1,6) e (D) Os vetores (2,4,6) e Resposta: (B)
170
( 2,0,7) são perpendiculares.
(0,2,4) são colineares.
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= 0 tem a
Pergunta 68 Pergunta: Considera os pontos (0, 1) e (2, 3) . Seleciona a afirmação verdadeira. (A) A equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [
(B) A equação reduzida da circunferência de diâmetro [
] é
] é
+3.
=
+ ( + 2) = .
+
(C) A equação reduzida da circunferência de diâmetro [ ] é ( 1) + ( (D) A equação da reta tangente à circunferência de centro , no ponto , é Resposta: (C) Pergunta 69 Pergunta: O plano que contém o ponto equação: 2 +3 7=0 (A) (B) +2 +3 7=0 (C) 2 3 7=0 (D) + 2 + 3 + 7 = 0
(1,0,2) e é perpendicular ao vetor
2) = 2 . = 5.
(1,2,3) pode ser definido pela
Resposta: (B)
Pergunta 70 Pergunta: 2 +3 10 = 0 . Considera o plano Seleciona a opção que corresponde a um vetor normal ao plano (2, 1, 3) (A) ( 2,1,3) (B) (0, 1, 3) (C) (2, 1, 10) (D)
.
Resposta: (A)
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171
Pergunta 71 Pergunta: Considera os pontos (0,1,2) , ( 1,0,3) e (1,2,3) . O plano pode ser definido pela equação cartesiana: (A) 2 + 3 + + 5 = 0 +1=0 (B) 3 + 5=0 (C) 2 +1=0 (D)
Resposta: (B)
Pergunta 72 Pergunta: Considera as retas concorrentes : ( , , ) = (2,3,4) + (1,0,1), contidas no plano . : ( , , ) = (2, 1, 3) + (2,4,3), O plano pode ser definido pela equação vetorial: (A) ( , , ) = (2,3,4) + (1,0,1) + (2,4,3), , (B) ( , , ) = (2,3,4) + (1,0,1) + (2, 1, 3), , (C) ( , , ) = (2, 1, 3) + (2,3,4) + (2,4,3), , (D) Nenhuma das opções anteriores.
Resposta: (A) Pergunta 73 Pergunta: Considera as retas paralelas : ( , , ) = (1,2,3) + (1,0,2), e , contidas no plano . : ( , , ) = (0,3,1) + (2,0,4), O plano pode ser definido pelo sistema de equações paramétricas:
(A) (B)
(C)
(D)
=1+ +2 =2+ + =3+2 +4 =1+ +2 =2 =3+2 +4 =1+ =2+ =3+2 2 =1+ +2 =2 =3+2 +4
,
,
,
,
Resposta: (C)
172
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e
Pergunta 74 Pergunta:
Considera a reta :
=2+ =1 5 = 3+2
O plano que contém o ponto (A) 3 = 10 + + 3 = 10 (B) 3 = 10 (C) 3 10=0 (D) +
,
e a reta
e o ponto
(4, 3, 1) exterior à reta.
pode ser definido pela equação cartesiana:
Resposta: (C)
Pergunta 75 Pergunta: Seleciona a opção que corresponde à equação de um plano paralelo ao plano : + 4 2 +8 = 0. (A) 3 + 10 + 6 = 26 3 12 + 6 + 1 8 = 0 (B) 2 +5 +6 16=0 (C) (D) 2 + 8 + = 17
Resposta: (B)
Pergunta 76 Pergunta: O plano mediador do segmento de reta [ equação cartesiana: (A) 6 + 4 4 24=0 4 = 24 (B) 6 + 4 4 =0 (C) 6 + 4 (D) 6 + 4 + 4 = 0
Resposta: (C)
] , sendo
(1, 4, 6) e
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(7,0,2) pode ser definido pela
173
Pergunta 77 Pergunta: Considera a superfície esférica de diâmetro [ Seleciona a afirmação verdadeira.
] , sendo
(A) A equação reduzida da superfície esférica é
(B) A equação reduzida da superfície esférica é (
(1,0,1) e
+
+
3) + (
Pergunta 78 Pergunta: Considera a reta : ( , , ) = (2,2,3) + (0,4,1), Seleciona a opção que corresponde à interseção da reta (A) A interseção é o ponto (2,2,3) . (B) A interseção é o ponto (2,14,6) . (C) A reta não se interseta com o plano. (D) A reta está contida no plano.
é é
1) =
.
= 27 .
+5
=0.
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2.
+5
e o plano : + com o plano .
Resposta: (B)
174
=
5) + (
(C) A equação do plano tangente à superfície esférica no ponto (D) A equação do plano tangente à superfície esférica no ponto Resposta: (C)
(2,5,0) .
= 10 .
Sucessões Pergunta 79 Pergunta: Considerando que o padrão se repete indefinidamente, pode-se induzir que o termo geral da sucessão
, , , , , … é:
(A) (B)
=
(C)
=
(D)
=
=
Resposta: (C) Pergunta 80 Pergunta: Os cinco primeiros termos da sucessão definida por (A) (B) (C) (D)
2, 2,6, 4,10 2,2, 3,3, 4 2, 2,6, 6,10
=
se se
2
é par são: é ímpar
Nenhuma das opções anteriores.
Resposta: (A) Pergunta 81 Pergunta:
Considera (
) a sucessão definida por
Podemos afirmar que:
=
.
(A) o terceiro termo da sucessão é . (B) o décimo termo da sucessão é
.
(C) os quatro primeiros termos da sucessão são , , , 4 . (D)
é termo da sucessão (
).
Resposta: (D)
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175
Pergunta 82 Pergunta: Considera a representação gráfica dos cinco primeiros termos de uma sucessão. Considerando que o padrão se repete indefinidamente, pode-se induzir que o termo geral da sucessão representada no gráfico é: (A) 3 (B) (C) 3 (D) ( + 1)
Resposta: (A) Pergunta 83 Pergunta: Seleciona a opção verdadeira.
(A) A sucessão (
) definida por
(B) A sucessão (
) definida por
(C) A sucessão (
) definida por
(D) A sucessão (
) definida por
Resposta: (C)
=
=
(
)
(
é crescente.
)
é decrescente.
=
2 é decrescente.
=
2 não é monótona.
Pergunta 84 Pergunta: Qual dos seguintes termos gerais define uma sucessão monótona crescente? (A) (B) (C) (D)
=
=
2
=
=
Resposta: (C)
176
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Pergunta 85 Pergunta: Relativamente ao conjunto = ] 1, 3] [4,10[ , podemos afirmar que: (A) O conjunto dos majorantes é [9, + [ . (B) Não tem minorantes. (C) O ínfimo do conjunto A é 1. (D) O máximo de A é 10.
Resposta: (C) Pergunta 86 Pergunta: Qual dos seguintes conjuntos é limitado? (A) ] , 3] (B) ]5, + [ (C) ] 10,20[ , 1] {3} (D) ] Resposta: (C)
Pergunta 87 Pergunta: Qual das seguintes sucessões não é limitada? (A) (B) (C) (D)
=
+1 , par 2, ímpar
=1 =
=
Resposta: (A)
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177
Pergunta 88 Pergunta: Sejam ( ) e (
) duas sucessões de números reais de termo geral
2 , respetivamente. Podemos afirmar que: o conjunto dos majorantes de ( ) é [3, + [ . a sucessão ( ) não tem minorantes. a sucessão ( ) não tem majorantes. a sucessão ( ) não tem minorantes.
=3
(A) (B) (C) (D)
=1+2
e
Resposta: (C)
Pergunta 89 Pergunta:
Considera (
) a sucessão de termo geral
considerar a seguinte hipótese de indução: =1 (A) (B) (C) (D)
=
. Para provarmos por indução que
=
=
(
)
=
=
(
)
Resposta: (B) Pergunta 90 Pergunta: Qual das seguintes expressões define uma sucessão por recorrência? (A) =2 +9 (B) (C) (D)
= = =
Resposta: (D)
178
(
)
=2 = +6, =4 =
>1
,
1
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=
devemos
Pergunta 91 Pergunta:
Os cinco primeiros termos da sucessão ( (A) (B) (C) (D)
2, 1, 4, 7, 10 5,5,2, 1, 4 5,2, 1, 4, 7
) definida por
=
=5 =
3,
1
são:
Nenhuma das opções anteriores.
Resposta: (C) Pergunta 92 Pergunta: Os cinco primeiros termos da sucessão ( ) são 5, 10, 20, 40, 80. Considerando que o padrão se repete indefinidamente, pode-se induzir que a sucessão pode ser definida por recorrência pela expressão:
(A) (B) (C) (D)
= = = =
Resposta: (A)
=5 = 2 × , =5 = 2 + , =5 = 5 × , =5 = 5 × ,
Pergunta 93 Pergunta: Sejam ( ) e (
=
) duas sucessões de números reais definidas pelas expressões = 9 = 9 e , respetivamente. = = 3, = +6,
Podemos afirmar que: (A) a sucessão ( ) é monótona decrescente. (B) a sucessão ( ) é monótona crescente. (C) a sucessão ( ) é monótona decrescente. (D) a sucessão ( ) não é monótona. Resposta: (A)
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179
Pergunta 94 Pergunta:
Considera a sucessão (
) definida por
=
=2
=
,
1
.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) A sucessão ( ) é monótona crescente. (B) A sucessão ( ) não é monótona.
(C) O terceiro termo da sucessão (
) é
.
(D) O segundo termo da sucessão (
) é .
Resposta: (C) Pergunta 95 Pergunta:
Considera a sucessão (
) definida por
=
=1 =1
,
.
1
Podemos afirmar que: (A) os cinco primeiros termos da sucessão são 1,0, 1, 2, 3. (B) o décimo termo da sucessão é 10. (C) a sucessão é monótona crescente. (D) a sucessão não é monótona. Resposta: (D) Pergunta 96 Pergunta:
Os quatro primeiros termos da sucessão ( (A) (B) (C) (D)
1,4,36,576 1,1,4,36 1,2,6,24
) definida por
=
Nenhuma das opções anteriores.
Resposta: (B)
180
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=1 =
×
,
são:
Pergunta 97 Pergunta:
O quinto termo da sucessão ( ) definida por (A) 2 (B) 4 (C) 11 (D) 10
=
=1, =2
=2 3
,
é:
Resposta: (C) Pergunta 98 Pergunta: O termo geral da sucessão ( (A)
(B) 2 (C) (D)
) definida por
=
=
=
,
>1
pode ser dado por:
1
Resposta: (D) Pergunta 99 Pergunta: Qual dos seguintes termos gerais define uma progressão aritmética? = 4 +7 (A) (B) = (C) (D)
=3 =
100
Resposta: (A)
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181
Pergunta 100 Pergunta: A razão da progressão aritmética ( (A) 3 (B) 9 (C) 2 (D) 7
) de termo geral
= 2 + 9 é:
Resposta: (C) Pergunta 101 Pergunta: Qual dos seguintes termos gerais define uma progressão ar itmética monótona crescente? = 10 3 (A) (B) (C) (D)
=
=
=
+5
Resposta: (C)
Pergunta 102 Pergunta: A expressão algébrica para o termo geral da progressão aritmética ( é 4 pode ser: = 4 +6 (A) = 4 + 18 (B) (C) = 4 (D) =6
Resposta: (B)
Pergunta 103 Pergunta: Considera a progressão aritmética ( O termo de ordem 120 é: (A) 210 120 (B) (C) 210 (D) 120 Resposta: (A)
182
) tal que
= 20 e
=
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2.
) cujo terceiro termo é 6 e a razão
Pergunta 104 Pergunta: Considera a progressão aritmética ( ) tal que A soma dos 15 primeiros termos de ( ) é: (A) 500 (B) 120 (C) 330 (D) 270
= 50 e
=
4.
Resposta: (C) Pergunta 105 Pergunta: Qual dos seguintes termos gerais define uma progressão g eométrica? (A) (B) (C) (D)
=
=5 = = 10 + 2 =3×2 =
3
Resposta: (D) Pergunta 106 Pergunta:
O termo geral da progressão geométrica ( (A) (B) (C) (D)
= ×2 = ×2
) tal que
e
=
= 12 pode ser:
=3×2 = ×4
Resposta: (B)
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183
Pergunta 107 Pergunta: Qual dos seguintes termos gerais define uma progressão g eométrica monótona crescente? (A) (B) (C) (D)
= 0,2 ×
= ( 2) = 2 =2
Resposta: (D)
Pergunta 108 Pergunta: Considera a progressão geométrica cujos dois primeiros termos são 3 e 2, respetivamente. A soma dos 10 primeiros termos da sucessão, arredondada às centésimas, é: (A) 8,84 (B) 10,84 (C) 10 (D) 8
Resposta: (A) Pergunta 109 Pergunta: Qual dos seguintes termos gerais corresponde a uma sucessão que tem limite 1? (A) (B) (C) (D)
=
=
= 3 +1 =
Resposta: (D)
184
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Pergunta 110 Pergunta: Considera as sucessões cujos termos gerais são (A) (B) (C) (D)
a sucessão ( a sucessão ( a sucessão ( a sucessão (
Resposta: (B)
) é divergente. ) tende para 5. ) é convergente. ) tende para 5.
e
=
=5
7
. Podemos afirmar que:
Pergunta 111 Pergunta: Qual dos seguintes termos gerais corresponde a uma sucessão que tem limite + ? (A) = 10 3 (B) (C) (D)
=
=3
+2
=
Resposta: (C) Pergunta 112 Pergunta:
Considera as sucessões (
) e (
) de termos gerais definidos por
Os três primeiros termos da sucessão de termo geral
(A) 1, , 5 (B) (C)
são:
=
+1 e
=
.
, ,6 , ,
(D) Nenhuma das opções anteriores. Resposta: (B)
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185
Pergunta 113 Pergunta: Considera as sucessões (
= .
) e (
) de termos gerais definidos por
=3
+ 2 e
Podemos afirmar que: (A) lim
(B) lim( (C) lim( (D) lim
=+
+ ×
)=0 )=
=
Resposta: (A) Pergunta 114 Pergunta: Considera as sucessões ( O valor de lim (A) (B) (C)
(
)
é:
) e (
) tais que lim (
) = 1 e lim(
)=2.
(D) 2
Resposta: (B) Pergunta 115 Pergunta: Qual dos seguintes termos gerais corresponde a uma sucessão com limite igual a 0? (A) (B) (C) (D)
=
=
=
=
Resposta: (D)
186
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Pergunta 116 Pergunta: Qual dos seguintes termos gerais corresponde a uma sucessão com limite igual a 1? (A) (B) (C) (D)
=
=
=
=
+1
+
3
Resposta: (D) Pergunta 117 Pergunta:
A soma de todos os termos da progressão geométrica ( respetivamente, é: (A) (B) (C)
), cujos primeiros dois termos são 1 e ,
(D) 3 Resposta: (B) Pergunta 118 Pergunta: A soma de todos os termos da progressão geométrica ( 2, respetivamente, é: (A) 1
(B)
), cujos primeiros dois termos são 4 e
(C) 4 (D) 8 Resposta: (D)
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187
Funções Reais de Variável Real Pergunta 119 Pergunta:
O domínio da função definida por (A) (B) (C) (D)
\{ 1, 1} \{ 1} \{1}
( )=
é:
Resposta: (A)
Pergunta 120 Pergunta: Qual a expressão que corresponde a uma simplificação da fração racional (A) (B) (C) (D)
Resposta: (C) Pergunta 121 Pergunta: A fração racional resultante da adição (A) (B) (C) (D)
+
pode ter a expressão:
Resposta: (D)
188
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?
Pergunta 122 Pergunta:
Considera as funções racionais definidas por
O domínio da função (A) (B) \{ 1} (C) \{ 4, 1} (D) \{ 2, 1, 2}
é:
( )=
e
( )=
.
Resposta: (B)
Pergunta 123 Pergunta: Seleciona a opção que corresponde a uma simplificação da expressão (A) (B) (C)
×
.
(D) Nenhuma das opções anteriores. Resposta: (A) Pergunta 124 Pergunta: Considera as funções racionais definidas por O domínio da função (A) (B) (C) (D)
é:
( )=
(
)
e ( )=
(
)
.
\{0, 1} \{1} \{0}
Resposta: (B)
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189
Pergunta 125 Pergunta: O conjunto-solução da equação (A) (B) (C) (D)
0,
+
=
é:
, , ,
Resposta: (D) Pergunta 126 Pergunta: O conjunto-solução da inequação (A) (B) (C) (D)
,+
,
0 é:
{4}
, ,
{4}
Resposta: (D) Pergunta 127 Pergunta:
Os zeros da função racional (A) 1 e 2 1 e 1 (B) (C) 1 (D) 1 e 2
( )=
são:
Resposta: (C)
190
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Pergunta 128 Pergunta:
A função (A) (B) (C) (D)
definida por
,
( )=
é negativa no intervalo:
,
,+ ,+
Resposta: (A) Pergunta 129 Pergunta: Considera a função
Qual é o valor de lim (A) 2 (B) 0 (C) 3 (D) Não existe.
representada graficamente por:
( ) ?
Resposta: (C)
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191
Pergunta 130 Pergunta: Considera a função
representada graficamente por:
Qual é o valor de lim ( ) ? (A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) Não existe.
Resposta: (D) Pergunta 131 Pergunta:
Qual é o valor de lim
(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) Não existe.
( ) , sendo
( )=
se + 3 se
> 1? < 1
Resposta: (D) Pergunta 132 Pergunta: Considera a função definida por ( ) = O valor de lim ( ) é: (A) + (B) (C) 0 (D) 1
.
Resposta: (B)
192
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Pergunta 133 Pergunta: 3 +1 Qual é o valor de lim ? 5 +9 (A) (B) 3
(C)
(D) Não existe. Resposta: (C) Pergunta 134 Pergunta:
Considera as funções definidas por
( )=
Qual é o valor de lim ( + )( ) ? (A) (B) + (C) 0 (D)
e
( )=
.
Resposta: (A) Pergunta 135 Pergunta:
Qual é o valor de lim (A) 0 (B) (C) + (D) Não existe.
sen 2
?
Resposta: (D)
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193
Pergunta 136 Pergunta: Considera a função
representada graficamente graficamente por: por:
Qual é o valor de lim ( (A) 1 (B) 2 (C) 0 (D) +
+ 2) ?
Resposta: (B) Pergunta 137 Pergunta:
Considera a função definida por ( ) =
O valor de lim (A) + (B) (C)
( ) é:
.
(D) 0 Resposta: (D) Pergunta 138 Pergunta: | + 1| Qual o valor de lim ? 4 +4 (A) Não existe. (B) 0 (C) (D)
Resposta: (A)
194
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Pergunta 139 Pergunta: Considera as seguintes representações gráficas de funções:
A função contínua em (A) (B) (C) (D)
= 2 é:
Resposta: (C) Pergunta 140 Pergunta: Considera a função
definida por:
9
( )=
3
2
se
3
se
=3
Podemos afirmar que: (A) é contínua em = 3 . (B) não é contínua em em = 1 . (C) é contínua contínua em = 5 . (D) nenhuma das opções anteriores está correta.
Resposta: (C)
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195
Pergunta 141 Pergunta: Considera as funções
( )=
,
2
e
definidas por:
se se
0 , >0
( )=
3
se
<2
se
2
e
( )=
Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) A função é contínua contínua em em = 0 . (B) As funções e são contínuas em = 2 . (C) A função é contínua em = 2 . (D) A função é contínua em = 2 . Resposta: (D) Pergunta 142 Pergunta:
Considera a função definida por Para que a função (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
2+ ( )= 1+
se se se
<2 =2 . >2
seja contínua em todo o seu domínio,
terá de ser igual a:
Resposta: (A) Pergunta 143 Pergunta: Considera as funções definidas em seguida.
( )=
+2 +1 ,
( )=
e
Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) A função é descontínua descontínua em = 0 . (B) A função é contínua em porque é uma função racional. (C) A função é contínua. (D) A função é descontínua em = 0 . Resposta: (C)
196
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( )=
.
Pergunta 144 Pergunta: Considera o gráfico da função
:
Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) A função é descontínua em = 2 e = 4 . (B) A função é contínua em = 2 e descontínua em (C) A função é contínua em = 2 e = 4 . (D) A função é descontínua em = 2 e contínua em Resposta: (A)
= 4. =4.
Pergunta 145 Pergunta: Considera as funções definidas por:
( )=
,
( ) = 3 c os os + 2 e
( )= 2 +1
Qual das afirmações é verdadeira? (A) A função contínua em é a função . (B) A função contínua em é a função . (C) A função contínua em é a função . (D) Nenhuma das funções é contínua em . Resposta: (B)
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197
Pergunta 146 Pergunta: Sejam e duas funções contínuas num ponto necessariamente contínua em . + (A) (B) (C) (D)
. Das seguintes funções, seleciona aquela que não é
×
Resposta: (B)
Pergunta 147 Pergunta: Considera as funções definidas por ( ) = 4 A função é contínua em: (A) (B) [0, + [ (C) ] , 2] [2, + [ (D) [ 2, 2]
e ( )=
.
Resposta: (D)
Pergunta 148 Pergunta: Considera as funções definidas por
A função é contínua em: (A) (B) [0, + [ (C) \{0} (D) \{ 1, 1}
( )=
e
( )=| |.
Resposta: (A)
198
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Pergunta 149 Pergunta: Qual das seguintes expressões define uma função cujo gráfico admite como assíntota vertical a reta de equação = 1 ?
(A)
( )=
(B)
( )=
(C)
(D)
( )=
( )=
Resposta: (D) Pergunta 150 Pergunta:
As assíntotas verticais ao gráfico da função definida por ( ) = (A) (B) (C) (D)
=0 e =2 =1 e =2 = 2 e =0 = 2 e =2
são:
Resposta: (D)
Pergunta 151 Pergunta: Sabendo que o gráfico da função = 2 + 3 , podemos afirmar que:
(A) lim
=0
(B) lim
=3
(C) lim ( ( )
2 )=2
(D) lim ( ( )
2 )=3
definida em
admite como assíntota a reta de equação
Resposta: (D)
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199
Pergunta 152 Pergunta: Considera a função de domínio = 5 .
( )
O valor de lim
, cujo gráfico admite como assíntota oblíqua a reta de equação
+ ( ( ) + 5 ) é:
(A) 5 (B) 5 1 (C) (D) 1
Resposta: (A) Pergunta 153 Pergunta: Acerca da função , contínua no seu domínio, sabe-se que:
=] , 3[ lim ( ) = + lim
( )
lim ( ( )
=2
2 + 3) = 0
As equações das assíntotas ao gráfico de são: (A) = 3 (B) = 3 e =2 3 = 3 e =2 (C) (D) O gráfico da função não admite assíntotas. Resposta: (B)
Pergunta 154 Pergunta: Considera a função
definida por
( )=
.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) O gráfico da função não admite assíntotas verticais. (B) A reta de equação = 3 é assíntota vertical ao gráfico de . (C) O gráfico da função tem uma assíntota oblíqua de equação = 3 . (D) O gráfico da função tem uma assíntota oblíqua de equação = 3 . Resposta: (C)
200
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Pergunta 155 Pergunta: Considera a função
definida por ( ) =
se se
0
.
<0
Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) O gráfico de não admite assíntotas verticais. (B) A reta de equação = 0 é assíntota vertical ao gráfico de . (C) O gráfico da função tem uma assíntota oblíqua de equação (D) O gráfico da função não admite assíntotas oblíquas.
Resposta: (A) Pergunta 156 Pergunta:
As assíntotas ao gráfico da função =0 e =1 (A) (B) =0 e = (C) (D)
=1 e
= 3
=
e
3
definida por
( )= 3
=
+2.
+ 2 têm as equações:
= 3
Resposta: (D)
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201
Pergunta 157 Pergunta:
Considera a representação gráfica da função racional equações
=
1 e
=3.
do tipo ( ) =
A função pode ser definida pela expressão: (A)
( )=3+
(B)
( )=3+
(C)
(D)
( )=3 ( )=3
Resposta: (C) Pergunta 158 Pergunta:
Considera a função racional
definida por
A assíntota horizontal que o gráfico de (A) (B) (C) (D)
=
( )=
.
admite tem a equação:
= = =
Resposta: (A)
202
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+
e das suas assíntotas de
Pergunta 159 Pergunta: Considera a função definida por ( ) = +3 . A taxa média de variação de no intervalo [2, 5] é: (A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 35
Resposta: (A) Pergunta 160 Pergunta: Considera a função (A) (B) (C) (D)
, definida por ( ) =
. A derivada de no ponto 3 é:
Resposta: (B) Pergunta 161 Pergunta: Considera a representação gráfica da função e a reta , tangente ao gráfico de 0.
O valor de (A) 2 (B) 0 (C)
no ponto de abcissa
(0) pode ser igual a:
(D) 5
Resposta: (C)
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203
Pergunta 162 Pergunta: Considera a função definida por ( ) = 6 +4. A equação reduzida da reta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa 2 é: (A) = 2 (B) =2 = 2 +4 (C) =2 4 (D)
Resposta: (A)
Pergunta 163 Pergunta:
Considera a função
definida por
( )= 3+ +
+
se se
<1 . 1
Os valores que e podem tomar de modo que a função seja contínua e diferenciável em (A) = 1 e =5 (B) =3 e =1 =3 e =5 (C) (D) = 3 e =5
são:
Resposta: (D)
Pergunta 164 Pergunta: Foi lançada uma bola de baixo para cima e a distância, sido lançada, é dada pela expressão:
( ) =1+10
, em metros, da bola ao solo, segundos após ter 2
A velocidade da bola dois segundos após o seu lançamento é: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 13 Resposta: (C)
204
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Pergunta 165 Pergunta: Considera as funções definidas por O valor de (A) (B)
(1) é:
( )=
+1 e
( )=
5.
(C) 2 (D) 1
Resposta: (A) Pergunta 166 Pergunta: Considera as funções definidas por ) (2) é: O valor de (
(A) 13 (B) 6 13 (C) (D)
( )=
+1 e
( )=3
.
Resposta: (C) Pergunta 167 Pergunta: Considera a função real de variável real definida por ( ) = 2 + 5 + 3 e o intervalo [1, 3] . ]1, 3[ cuja tangente é paralela à reta secante nos pontos de abcissas 1 e 3 é: O valor de (A) = 1,2 (B) =2 (C) = 2 (D)
=
Resposta: (B)
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205
Pergunta 168 Pergunta: Considera a função definida por ( ) = 3 . Podemos afirmar que: (A) é crescente em ] , 1] e em [1, + [ . (B) é crescente em [ 1, 1] . (C) A função tem um máximo relativo quando = 1 . (D) A função não tem mínimos relativos.
Resposta: (A)
206
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Estatística Pergunta 169 Pergunta: Fez-se uma experiência para estudar a relação entre a velocidade de propagação do som no ar e a temperatura. Seleciona a opção correta. (A) A variável explicativa é a velocidade de propagação do som. (B) A variável explicativa é a temperatura do ar. (C) A variável resposta é a temperatura do ar. (D) Não é possível saber qual é a variável explicativa e a variável resposta. Resposta: (B) Pergunta 170 Pergunta: Para se estudar a associação entre a idade das mulheres e o valor da sua tensão arterial selecionaram-se 20 mulheres com idades compreendidas entre os 30 e os 70 anos de idade e registaram-se os valores. Nesta situação: (A) A variável explicativa é a tensão arterial. (B) A variável resposta é a idade. (C) A variável explicativa é a idade. (D) Não é possível saber qual é a variável explicativa e a variável resposta. Resposta: (C) Pergunta 171 Pergunta: Considera o ponto (2,5; 5) e a reta de equação O desvio vertical do ponto em relação à reta é: (A) 1 (B) 1 6,5 (C) (D) 6,5
=3 +4.
Resposta: (C)
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207
Pergunta 172 Pergunta: Considera a amostra bivariada de dados ( , ) = (5,12), (7,14), (8,20), (9,22), (10, 30) e a reta ~ : = + . Para que seja a reta dos mínimos quadrados, os valores de e de , arredondados às centésimas são: (A) 3,49 e 7,59 (B) 3,49 e 7,62 (C) 3,29 e 7,82 (D) 3,29 e 7,82
Resposta: (A)
Pergunta 173 Pergunta: Considera os pontos (1, 3) , (1, 8) , (2, 7) e a reta de equação Seleciona a afirmação verdadeira. (A) O ponto situa-se acima da reta . (B) O desvio do ponto em relação à reta é negativo. (C) O ponto situa-se acima da reta . (D) O ponto pertence à reta . Resposta: (D)
208
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=2 +3.
Pergunta 174 Pergunta: Os dados da tabela dizem respeito aos valores da altura e da massa de onze mulheres portuguesas. Altura (em cm) Massa (em kg)
157
160
165
168
172
169
171
168
168
170
166
52
61
62
67
70
72
72
68
66
69
65
A massa, arredondada às unidades, que se prevê, através da reta dos mínimos quadrados, para uma mulher com 175 cm de altura é: (A) 71 kg (B) 70 kg (C) 73 kg (D) 76 kg Resposta: (D) Pergunta 175 Pergunta: Na tabela estão registadas temperaturas, em graus centígrados, a diversos níveis de profundidade, em metros, captadas numa zona sísmica. Profundidade (em metros) Temperatura (em °C)
0
50
80
100
150
15
38
60
78
130
Relativamente a esta situação, o coeficiente de correlação linear, arredondado às centésimas, é: (A) = 0,98 = 0,21 (B) = 0,89 (C) (D) = 0,82
Resposta: (A)
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209
Pergunta 176 Pergunta: =3, = 2 e a equação reduzida da reta dos mínimos De uma amostra bivariada ( , ) sabe-se que ~ quadrados é = 0,3 + 1. O valor do coeficiente de correlação linear, arredondado às centésimas, é: (A) 0,33 (B) 0,45 0,21 (C) (D) 0,31
Resposta: (B) Pergunta 177 Pergunta: No gráfico está representada uma nuvem de pontos.
O valor que pode representar o coeficiente de correlação linear do gráfico é: (A) 2 0,8 (B) (C) 0,2 (D) 1
Resposta: (B)
210
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