Modelo Cadena de Correos Ahora, te proponemos lo siguiente para reafirmar tus conocimientos sobre la modelación matemática de la transmisión de un rumor, una enfermedad o el reenvío de mensajes de correo electrónico. Actualmente Actualmente hay en el mundo un total de 7 323 557 942 millones de personas, y una cantidad equivalente son usuarios de Internet; para conocer la cifra exacta te invitamos a revisar la siguiente dirección dirección,, ya que con estos datos trabajaremos el modelo de expansión de un correo electrónico. electrónico.
Para llevar a cabo esta actividad, desarrolla los siguientes puntos:
1. Asumiendo los siguientes valores: r
5
a1
6
¿En qué reenvío se conseguirá que todos los usuarios de la red reciban la cadena? Solución:
=
( 1) 1
732355794 7942 2= Sustituyendo los datos en el modelo anterior a nterior tenemos: 732355 Despejando a n tenemos:
()()
( −) −
= (5 1)
4882 488237 3719 1961 61 = 5 1 4882371961 + 1 = 5 4882 488237 3719 1962 62 = 5 Aplicamos logaritmo base 5 en ambos lados de la igualdad obtenemos:
log 5 (4882371962) = 5 Por una de las propiedades de los logaritmos en el lado derecho de la igualdad:
log 5 (4882371962) 4882371962) =
= 13.86 .8612 Conclusión: Con 13 reenvíos no se cubrirían los 7323557942 correos, por lo que tienen que qu e ser n = 14 reenvíos aunque rebase las 7323557942 personas.
2. Muchas cadenas te dicen que debes reenviar el mensaje dentro de un periodo de tiempo; por ejemplo, una hora. Asumiendo que quienes reciben la cadena hacen caso a dicha petición, ¿en cuánto tiempo, como máximo, todos los usuarios habrán recibido el mensaje?
f(t) = P 0art Donde, f(t) = 7 323 557 942 personas con con correo recibido recibido en en un tiempo tiempo t , en horas. P 0 = 6 (la (la cadena se inició con 6 personas) a = 6 (cada persona va a reproducir o reenviar los correos 10 veces) r = 5 (número de reproducciones o reenvíos por hora) dato obtenido anteriormente como n La incógnita incógnita a encontrar encontrar es: t = ? = ? = tiempo en que todos los usuarios recibirán el correo, en horas.
Sustituyendo en el modelo f(t) = P 0art tenemos: 7 323 557 942 = 6(6)
7 323 557 942
6
5t
= 6
Log6(1220592990) = 6 11.6771 = 5 t = 2.33542 hr. Conclusión: La cadena se transmitiría a las 7 323 557 942 personas en 140 horas con 12 minutos
3. ¿En cuánto tiempo, como máximo, si la cadena exige que el reenvío se haga en no más de quince minutos?
Solución:
Tenemos que r = 6 reenvíos reenvíos / hora pero para que ésos reenvíos se hagan en 15 minutos, la tasa r cambia, cambia, veámoslo: 15 minutos = 1/4 de hora = 0.25 hr 6 reenvíos/0.25 hr = 24 reenvíos/hora Nueva tasa de reenvíos: r = = 24 reenvíos / hora Aplicamos nuevamente el modelo exponencial 7 323 557 942 = 6(6)10t
7 323 557 942
6
f(t)=P 0art
donde r = 24
= 6
Log6(1220592990) = 6
11.6771 = 24 t = 0.4865 hrs. Conclusión: En 29.19 minutos, exactamente, a las 7 323 557 942 personas habrán recibido el mensaje si todas lo hacen en menos de media hora.
4. Ya que hayas resuelto la primera propuesta, resuélvela de nuevo para los siguientes valores establecidos: r a1
12 13
Lo anterior se debe a que muchas de las cadenas piden que el reenvío se realice a ese número de contactos.
5. Determina qué cantidad de usuarios recibirán el mensaje solamente en este reenvío. 12
