Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είναι η η επιστήμη που προσπαθεί να να ερμηνεύσει φαινόμενα ερμηνεύσει φαινόμενα του ματικού κόσμου που εμπεριέχουν μεταβλητότητα και αβεβαιότητα και αβεβαιότητα. Εφαρμόζει δους συλλογής και ανάλυσης και ανάλυσης αριθμητικών , κατά βάση , δεδομένων και χρησιμοπ και χρησιμοπ σε όλους τους κλάδους της επιστήμης. Η στατιστική ονομάζεται επαγωγική επιστήμη , γιατί μελετώντας γιατί μελετώντας ένα μέρος πληθυσμού μπορεί να να βγάλει συμπεράσματα βγάλει συμπεράσματα για για όλο τον πληθυσμό. Ορισμός: Στατιστική είναι ο είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που έχει ως έχει ως αντικείμενο: •
Το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων
•
Τη συνοπτική και αποτελεσματική και αποτελεσματική παρουσίασή τους
•
Την ανάλυση και εξαγωγή και εξαγωγή συμπερασμάτων
Περιγραφική Στατιστική είναι ο είναι ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται με ασχολείται με τη συγκέντρωση στοιχείων , την ταξινόμησή τους , την περιγραφή και την και την παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή , ώστε να μπορούν να αναλυθούν και να και να ερμηνευθούν ια τ ν ε υπ
έτ σ δια ό ων σκοπών.
Βασικές έννοιες και ορισμοί
είναι το σύνολο των μετρήσεων ή μετρήσεων ή παρατηρήσεων που αναφέρον Πληθυσμός είναι το κάποιο χαρακτηριστικό ή χαρακτηριστικό ή σε κάποια ιδιότητα των μονάδων του συνόλου που εξε με. Κάθε στοιχείο του πληθυσμού ονομάζεται άτομο ονομάζεται άτομο. Το πλήθος των ατόμων ενός πληθυσμού λέγεται μέγεθος λέγεται μέγεθος του πληθυσμού , και λίζεται με λίζεται με το γράμμα το γράμμα ν ν. Παράδειγμα (1)
Sign up to vote on this title
Useful NotΑθήνας useful Αν μας ενδιαφέρει να ενδιαφέρει να εξετάσουμε την επίδοση των μαθητών της στα Μα τικά , τότε ο πληθυσμός είναι όλοι είναι όλοι οι οι μαθητές μαθητές που πηγαίνουν σχολείο στην πόλη Αθήνας
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Παράδειγμα (2)
Στην περίπτωση που ελέγχουμε τη διάρκεια ζωής των τηλεοράσεων , δεν θα εξετ με όλες τις τηλεοράσεις της βιομηχανίας αλλά έναν μικρό αριθμό από αυτές , τις θα θέσουμε σε λειτουργία μέχρι να να χαλάσουν και θα και θα χρονομετρήσουμε το χρόνο τους.
Μεταβλητή (ή τυχαία μεταβλητή) είναι ένα είναι ένα χαρακτηριστικό του πληθυσμο προς το οποίο εξετάζεται ο πληθυσμός. Συνήθως συμβολίζονται με συμβολίζονται με κεφαλαία τα Χ , Υ , Ζ... Από τη μελέτη των ατόμων ενός πληθυσμού ως προς κάποιο χαρακτηριστικό του κύπτουν παρατηρήσεις που λέγονται στατιστικά λέγονται στατιστικά δεδομένα και είναι και είναι κατάλληλα κατάλληλα επικοινωνία , ερμηνεία και επεξεργασία και επεξεργασία Παράδειγμα (3) Το φύλο ενός ατόμου (με τιμές αγόρι ή ή κορίτσι ) Ο αριθμός των παιδιών σε μια οικογένεια (με τιμές 0, 1, 2, 3, 4...) Οι τιμές Οι τιμές της θερμοκρασίας στην Αθήνα (με τιμές -10....45)
Τιμές της μεταβλητής Χ λέγονται όλες λέγονται όλες οι τιμές οι τιμές που μπορεί να να πάρει μια πάρει μια μετα Χ , και συμβολίζονται και συμβολίζονται με με χ 1 , , χ 2 , , χ 3...χ κ. Οι τιμές Οι τιμές μιας μεταβλητής δεν είναι , αναγκαία , αριθμητικές τιμές. Έτσι , διακρίνον 1. Ποιοτικές μεταβλητές : είναι εκείνες είναι εκείνες των οποίων οι τιμές οι τιμές δεν μπορούν να μπορούν να θούν (δεν είναι αριθμοί είναι αριθμοί ) Παράδειγμα Η κατάσταση της υγείας των κατοίκων μιας πόλης με τιμές «πολύ καλή λή», «μέτρια» και «κακή») 2. Ποσοτικές μεταβλητές : είναι εκείνες είναι εκείνες , των οποίων οι τιμές οι τιμές μπορούν να μπορούν να θούν (είναι αριθμοί είναι αριθμοί ) Παράδειγμα Η βαθμολογία των μαθητών της Γ΄ τάξης στα Μαθηματικά Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Οι ποσοτικές Οι ποσοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακρίνονται σε: • Διακριτές μεταβλητές στις οποίες κάθε άτομο του πληθυσμού μπορεί να να
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Παράδειγμα (2)
Στην περίπτωση που ελέγχουμε τη διάρκεια ζωής των τηλεοράσεων , δεν θα εξετ με όλες τις τηλεοράσεις της βιομηχανίας αλλά έναν μικρό αριθμό από αυτές , τις θα θέσουμε σε λειτουργία μέχρι να να χαλάσουν και θα και θα χρονομετρήσουμε το χρόνο τους.
Μεταβλητή (ή τυχαία μεταβλητή) είναι ένα είναι ένα χαρακτηριστικό του πληθυσμο προς το οποίο εξετάζεται ο πληθυσμός. Συνήθως συμβολίζονται με συμβολίζονται με κεφαλαία τα Χ , Υ , Ζ... Από τη μελέτη των ατόμων ενός πληθυσμού ως προς κάποιο χαρακτηριστικό του κύπτουν παρατηρήσεις που λέγονται στατιστικά λέγονται στατιστικά δεδομένα και είναι και είναι κατάλληλα κατάλληλα επικοινωνία , ερμηνεία και επεξεργασία και επεξεργασία Παράδειγμα (3) Το φύλο ενός ατόμου (με τιμές αγόρι ή ή κορίτσι ) Ο αριθμός των παιδιών σε μια οικογένεια (με τιμές 0, 1, 2, 3, 4...) Οι τιμές Οι τιμές της θερμοκρασίας στην Αθήνα (με τιμές -10....45)
Τιμές της μεταβλητής Χ λέγονται όλες λέγονται όλες οι τιμές οι τιμές που μπορεί να να πάρει μια πάρει μια μετα Χ , και συμβολίζονται και συμβολίζονται με με χ 1 , , χ 2 , , χ 3...χ κ. Οι τιμές Οι τιμές μιας μεταβλητής δεν είναι , αναγκαία , αριθμητικές τιμές. Έτσι , διακρίνον 1. Ποιοτικές μεταβλητές : είναι εκείνες είναι εκείνες των οποίων οι τιμές οι τιμές δεν μπορούν να μπορούν να θούν (δεν είναι αριθμοί είναι αριθμοί ) Παράδειγμα Η κατάσταση της υγείας των κατοίκων μιας πόλης με τιμές «πολύ καλή λή», «μέτρια» και «κακή») 2. Ποσοτικές μεταβλητές : είναι εκείνες είναι εκείνες , των οποίων οι τιμές οι τιμές μπορούν να μπορούν να θούν (είναι αριθμοί είναι αριθμοί ) Παράδειγμα Η βαθμολογία των μαθητών της Γ΄ τάξης στα Μαθηματικά Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Οι ποσοτικές Οι ποσοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακρίνονται σε: • Διακριτές μεταβλητές στις οποίες κάθε άτομο του πληθυσμού μπορεί να να
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Παρουσίαση Στατιστικών Δεδομένων Ορισμός Στατιστικοί πίνακες είναι ο τρόπος με τον οποίο παρουσιάζουμε τα στατιστικά δεδομένα μετά τη συλλογή τους , ώστε να ώστε να είναι εύκολη η εύκολη η κατανόησ του και ε α ω
σωστών συ πε ασ άτων
Οι πίνακες Οι πίνακες διακρίνονται σε
1. Γενικούς πίνακες , οι οποίοι οι οποίοι περιέχουν περιέχουν κάθε πληροφορία που μας έχει δώσει έχει δώσει γάλη στατιστική έρευνα , είναι μεγάλου είναι μεγάλου μεγέθους , περιλαμβάνουν πολλά λεπ ρειακά στοιχεία και αποτελούν και αποτελούν πηγές στατιστικών πληροφοριών. 2. Ειδικούς πίνακες , οι οποίοι οι οποίοι είναι είναι συνοπτικοί συνοπτικοί και και σαφείς σαφείς. Τα στοιχεία τους πρ νται συνήθως νται συνήθως από τους γενικούς τους γενικούς πίνακες . Κάθε πίνακας που έχει κατασκευα έχει κατασκευα σωστά , πρέπει να να περιέχει που γράφεται στο στο πάνω μέρος του πίνακα και πρέπει και πρέπει με με σαφήνει • Τον τίτλο , που γράφεται δηλώνει το δηλώνει το περιεχόμενο του πίνακα και να να είναι περιληπτικός είναι περιληπτικός. • Τις επικεφαλίδες των στηλών και των και των γραμμών γραμμών , που δείχνουν συνοπτικά και τη και τη μονάδα μέτρησης των δεδομένων μας που γράφεται στο στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει και δείχνει την προέλε • Την πηγή , που γράφεται των στατιστικών δεδομένων μας. • Το κύριο σώμα (κορμό), που περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές στις γραμμές και στήλες τα στατιστικά δεδομένα.
Συχνότητα Παρατηρήσεων
Θεωρούμε τη μεταβλητή Χ με τιμές χ 1 , , χ 2 , , χ 3...χ κ που αφορούν τα άτομα (στοιχ ενός δείγματος μεγέθους ν μεγέθους ν , με κ ≤ ν. Ονομάζουμε : αριθμό νi, που δείχ • Συχνότητα (απόλυτη) της τιμής χ i της μεταβλητής Χ , τον αριθμό ν πόσες φορές εμφανίζεται η η τιμή χ i της μεταβλητής Sign upΧtoστο vote σύνολο on this titleτων παρατ σεων. Useful Not useful Ισχύει 0 ≤ νi ≤ ν και + + + ... +
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
• Σχετική συχνότητα επί τις 100 είναι το είναι το γινόμενο γινόμενο 100 fi . Συμβολίζεται με Συμβολίζεται με fi % = 100 ⋅ fi
• Όταν έχουμε ποσοτικές μεταβλητές , εκτός των συχνοτήτων , χρησιμοποιο τις αθροιστικές συχνότητες. Αθροιστική συχνότητα Νi μιας τιμής xi λέγ άθροισμα των συχνοτήτων νi των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με αυτή , δηλαδή
Νi = ν1 + ν2 + ν3 + ... + νλ
• Όταν έχουμε ποσοτικές μεταβλητές , εκτός των σχετικών συχνοτήτων , ποιούμε και τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες. Αθροιστική σχετική συχ Fi μιας τιμής xi λέγεται το λέγεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων fi των τιμ είναι μικρότερες είναι μικρότερες ή ή ίσες με την τιμή αυτή , δηλαδή
Fi = f1 + f2 + f3 + ... +fλ Παράδειγμα (4) Από τους μαθητές μιας τάξης πήραμε 30 και τους εξετάζουμε ως προς τον κτηρισμό του βαθμού τους : μέτριο (Μ) , καλά (Κ) , πολύ καλά(Π), άριστα ( Προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσματα : ΚΜΜΚΚΠΚΑΜΚ ΜΚΠΜΜΜΠΚΚΑ ΜΠΑΚΚΜΑΠΜΠ α) Να βρεθεί το μέγεθος ν μέγεθος ν του δείγματος . β) Να βρεθεί η συχνότητα εμφάνισης του κάθε χαρακτηρισμού . γ ) Να βρεθεί η σχετική συχνότητα εμφάνισης του κάθε χαρακτηρισμού .
Λύση α) Το μέγεθος του δείγματος εκφράζεται από τους 30 μαθητές , άρα άρα ν ν=30. Sign up to vote on this title β)Το χαρακτηρισμό (Μ) έχουν 10 μαθητές , άρα η συχνότητα εμφάνισης ν εμφάνισης νi του Useful Not useful κτηρισμού (Μ) είναι ίση είναι ίση με 10 , δηλαδή ν δηλαδή ν1 =10. Αντίστοιχα ο χαρακτηρισμός (Κ) έχει συχνότητα έχει συχνότητα ν2=10 , ο χαρακτηρισμός (Π) έχε
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
και του και του χαρακτηρισμού (Α) είναι :
f4=
v4 v
=
4 30
=0,133=13,3
/
ο ο
Οι πληροφορίες Οι πληροφορίες που αφορούν τις συχνότητες και τις και τις σχετικές συχνότητες μπορο
παρασταθούν σε ένα πίνακα που λέγεται πίνακας λέγεται πίνακας συχνοτήτων και αθροιστικών και αθροιστικών
χνοτήτων. Η απεικόνιση των πληροφοριών αυτών αποτελεί μια κατανομή συχν των ( σχετικών συχνοτήτων). Χαρακτηρισμός
Συχνότητες
Σχετικές συχνότητες fi
Σχετικές συχνότητες fi ο/ο
(Μ) μέτρια
10
0,333
33,3 ο/ο
(Κ) Καλά (Π) Πολύ καλά (Α) Άριστα Σύνολο
10 6 4 30
0,333 0,2 0,133 1
33,3 ο/ο 20 ο/ο 13,3 ο/ο 100 ο/ο
Παράδειγμα (5) Οι μηνιαίες αποδοχές ενός δείγματος μεγέθους 24, από τους εργάτες ενός στασίου, είναι 200 175 160 175 180 190 170 160 160 175 190 190 180 200 170 200 190 200 160 175 190 170 160 170 Σε έναν πίνακα να πίνακα να παρουσιαστούν οι συχνότητες, οι σχετικές συχνότητες, θροιστικές συχνότητες και οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες. Sign up to vote on this title
Λύση
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
200
4
16,66
Σύνολο
24
100
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
24
100.00
Σημείωση Για την κατασκευή του πίνακα που περιέχει τις αθροιστικές συχνότητες , είναι τητο οι τιμές της μεταβλητής να έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά: (160, 170, 175, 180,...)
Παράδειγμα (6) Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανομή συχνοτήτων 40 οικογενειών ως τον αριθμό των παιδιών τους
Αριθμός Παιδιών χi 0 1 2 3 4 5 6
Αριθμός οικογενειών vi 8 11 9 6 3 2 You're Reading a Preview 1 Unlock full access with a free trial.
Να βρείτε το ποσοστό και το πλήθος που έχουν Downloadτων Withοικογενειών Free Trial i) πάνω από τρία παιδιά ii) από 3 έως και 5 παιδιά iii) το πολύ 6 παιδιά iv) ακριβώς 2 παιδιά v) τουλάχιστον 1 παιδί Λύση i) ii)
6
Sign up to vote on this=title 0.15% = 15 , ποσοστό πάνω από 3 παιδιά έχουν 3+2+1=6 οικογένειες 40 Useful Not useful 11 = 0.275% = 27 από 3 έως και 5 παιδιά 6+3+2=11 οικογένειες , ποσοστό
40
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Τα στατιστικά δεδομένα παρουσιάζονται και με τη μορφή γραφικών παρασ ή διαγραμμάτων. Η χρησιμότητα των διαγραμμάτων είναι μεγάλη διότι παρέχ σαφή εικόνα ενός φαινομένου σε σχέση με τους πίνακες , προκαλούν την προσο διατηρούνται σχετικά εύκολα στη μνήμη μας. Σε ένα διάγραμμα κατανομής συχνοτήτων , στον οριζόντιο άξονα τοποθετούμ μές της μεταβλητής χ ι , ενώ στον κατακόρυφο άξονα τοποθετούμε τις αντίστοι χνότητες. Τα κυριότερα είδη στατιστικών διαγραμμάτων είναι : 1. Ραβδόγραμμα
Χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες ίσου πλάτους που οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα (οριζόντιο You're Reading a Preview (κατακόρυφο ραβδόγραμμα ) ή στον κατακόρυφο άξονα ραβδόγραμμα ). Unlock full access with a free trial. Το ύψος των ορθογώνιων στηλών είναι ίσο με τη Download With Free Trial συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της μεταβλητής στην οποία αντιστοιχεί η νια στήλη. Η απόσταση μεταξύ των ορθογώνιων στηλών καθορίζεται αυθόρμητ 2. Διάγραμμα συχνοτήτων
Χρησιμοποιείται αντί του ραβδογράμματος , όταν έχουμε ποσοτική μεταβλητή. Το διάγραμμα συχνοτήτων αποτελείται από κάθετες γραμμές που υψώνεται σε κάθε χ i . Τα χ i έχουν τοποθετηθεί Sign up to vote on this title από το μικρότερο στο μεγαλύτερο , δηλαδή Useful Not useful χ 1 < χ 2 < χ 3 <..... <χ κ έχουν ύψος ίσο αντίστοιχη συχνότητα
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς , που ο καθένας αντιστοιχεί σε της μεταβλητής. Το μήκος των τόξων των κυκλικών τομέων ( ή τα εμβαδά του ανάλογα με τις συχνότητες νi ή τις σχετικές συχνότητες fi των τιμών χ i της μετα Αν υποθέσουμε αi το μήκος του τόξου του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην , τότε: αi = νi ⋅
360 0 v
=
360 0 ⋅
vi v
= 360 0 ⋅ f i
4. Εικονόγραμμα Χρησιμοποιείται , συνήθως , στη μελέτη μεγάλων δειγμάτων 5. Σημειόγραμμα Εάν έχουμε λίγες παρατηρήσεις , η κατανομή τους μπορεί να περιγραφεί με το σημειόγραμμα , στο οποίο οι τιμές παριστάνονται γραφικά σαν σημεία πάνω από έναν οριζόντιο άξονα.
6. Χρονόγραμμα You're Reading a Preview Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα - trial. χρησιμοποιείται για την παρουσίαση τηςwithδια Unlock full access a free χρονικής εξέλιξης ενός μεγέθους (συνήθως οικονομικού). Download With Free Trial Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται ως άξονας χρόνου και ο κατακόρυφος ως άξονας των τιμών της εξεταζόμενης μεταβλητής.
Sign up to vote on this title
Παράδειγμα (7) Useful Not useful Στον παρακάτω πίνακα, δίνεται ο αριθμός των 400 υπαλλήλων ενός Υπουργ που έχουν συγκεκριμένο χρόνο υπηρεσίας:
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
β) Να παρασταθούν με όλους τους δυνατούς τρόπους , η κατανομή συχνοτήτ και σχετικών συχνοτήτων. Λύση α) Ο πίνακας με τις σχετικές συχνότητες , γίνεται : Έτη υπη- Αριθμός Σχετικές Σχετικές ρεσίας υπαλλή- συχνότητες Αθροιστικές f i Συχνότητες f i % λων i ν i
5
100
0,25
25
6
80
0,2
20
7
130
0,325
32,5
8
30
0,075
7,5
9
40
0,10
10
10
20
0,05
5
Σύνολο
400
1
100 You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Παράδειγμα (8) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας χ i
vi
f i
1 2 3 4 5 Σύνολο
8
0.4
5
0.25
Download With Free Trial N i F i
F
10 15 18 10 Sign up to vote on100 this title
Λύση N = v = 8
f i %
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
f5 =
v5 v
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
⇔ f 5 =
2 20
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
= 0.1
N 5 = v = 20 .
Η συμπλήρωση των στηλών F i , f i %, F i % γίνεται πλέον εύκολα. χ i
vi
f i
N i
F i
f i %
F
1 2 3 4 5 Σύνολο
8 2 5 3 2 20
0.4 0.1 0.25 0.15 0.1
8 10 15 18 20
0.4 0.5 0.75 0.90 1
40 10 25 15 10 100
40 50 75 90 100
β) Γραφική παράσταση κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων Γραφική παράσταση Γραφική παράσταση κατανομής συχνοτήτων κατανομής σχετικών συχνοτήτων
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Ραβδόγραμμα κατανομής συχνοτήτων (κατακόρυφο )
Ραβδόγραμμα κατανομής σχετικών συχνοτήτων (κατακό
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Κυκλικό διάγραμμα
Στην τιμή "5 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλι τομέας: f 2 ⋅ 3600 =25% .360° =90°.
Στην τιμή "6 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλι τομέας: f 2 ⋅ 3600 3=20% .360° =72°.
Στην τιμή "7 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλι τομέας: f 3 ⋅ 3600 =32, 5% .360° =117°.
Στην τιμή "8 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τομέας: You're Reading a Preview f 4 ⋅ 3600 = 7, 5% .360° =27°. Unlock full access with a free trial.
Στην τιμή "9 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τομέας: f 5 ⋅ 3600 = 10% .360° =36°. Download With Free Trial Στην τιμή "10 χρόνια υπηρεσίας " αντιστοιχεί κυκλικός τομέας: f 6 ⋅ 3600 = 5% .360° =18°.
Παράδειγμα (9) Σε κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζονται οι προτιμήσεις των ψηφοφόρων του μου Αγρινίου ως εξής : Η επικεντρη γωνία που αντιστοιχεί στον υποψήφιο Μαυρογιαλουρο είν Sign upκto. vote on this title 5χ+2 ψ για τον υποψήφιο κ. Φαφλατα είναι 2χ+2 και για τονuseful τρίτο υποψή ψUseful Not Καλοχαιρετα είναι χ. Αν ισχύει χ+4 ψ=108ο να υπολογίσετε τα ποσοστά των υποψηφίων
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Ο υποψήφιος κ. Φαφλατας έχει επικεντρη γωνία 2 ⋅ 360 + 2 ⋅ 180 = 1080 . Ο υποψήφιος κ.Καλοχαιρετας έχει επικεντρη γωνία 360 . Το ποσοστό του κ.Μαυρογιαλουρου είναι : 216 = f1 ⋅ 360 ⇔ f 1 = 0
0
2160 360
= 0.60 = 60 0
0
Το ποσοστό του κ. Φαφλατα είναι : 108 = f 2 ⋅ 360 ⇔ f 2 = 0
0
1080 360
0
= 0.30 = 30 0
Το ποσοστό του κ. Καλοχαιρετα είναι : 36 = f 3 ⋅ 360 ⇔ f 3 = 0
0
360 360
0
= 0.10 = 10 0
Παράδειγμα ( 10) Η βαθμολογία μιας ομάδας μαθητών σε ένα τεστ είναι 4,5,6,7,8.Το 80% έχει τουλάχιστον 5 , οι μαθητές που έχουν βαθμό 4 είναι διπλάσιοι αυτών που είκοσι ένας μαθητές έχουν βαθμό κάτω από 6 , το 55% έχει βαθμό 6 η 7 .Να τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων vi , N i , f i %, F i % .
Λύση Έχουμε το 80% των μαθητών έχει βαθμό τουλάχιστον 5 άρα το 20% των μαθη έχει βαθμό 4 οπότε F 1 % = 20 f 1 % = 20 ,οι μαθητές με βαθμό 4 είναι διπλάσιοι You're Reading a Preview 20 = = 10 f 5 % = 10 . f % που έχουν 8 άρα v1 = 2v5 οπότεUnlock άρα f1 %full f 5 %with = 2access 5 a free trial. 2 N 2 = 21 , f 5 % = 10 Download With Free Trial f3 % + f 4 % = 55 οπότε f1 % + f 2 % = 100 − 55 − 10 = 35 άρα F 2 % = 35
άρα F 2 % =
21
ν
⇔ 35% ⋅ν = 21 ⇔ ν =
Οπότε ν 1 = ν f 1 % = 60 ν 5 =
ν 1 2
=
12 2
20 100
21 0.35
⇔ ν = 60 .
= 12
= 6 και Ν1 = ν 1 = 12 , Ν 2 = 21 οπότε ν 2 = Ν 2 −ν 1 = 21 − 12 = 9 Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
ν 4 = 24 − 6 = 18 οπότε ν 3 = ν − (ν 1 + ν 2 +ν 4 +ν 5 ) = 60 − (12 + 9 + 18 + 6) =15 .
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ
Όταν έχουμε διακριτή μεταβλητή και το πλήθος των παρατηρήσεων είναι αλλά πολύ περισσότερο αν έχουμε συνεχή μεταβλητή που μπορεί να πάρει οπο τε τιμή στο διάστημα ορισμού της , ταξινομούμε τα δεδομένα σε μικρό πλήθος που ονομάζονται κλάσεις , έτσι ώστε κάθε τιμή να ανήκει σε μια μόνο κλάση. Τα άκρα των κλάσεων ονομάζονται όρια των κλάσεων. Συνήθως χρησιμοποιού περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της αλλά όχι το άνω. Δηλαδ της μορφής [ , ). Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες , οπότε μπορούν να αντιπρο θούν από τις κεντρικές τιμές των κλάσεων (δηλαδή τα κέντρα κάθε κλάσης). Αν έχουμε την κλάση [ακ-1 , ακ), τότε η κεντρική της τιμή είναι : a k −1 + a k
χ κ =
2
You're Reading Αν έχουμε την κλάση [ακ-1 , ακ), τότε η διαφοράa:Preview Unlock fullόριο access) with a free trial. c = ακ – ακ-1 (ανώτερο όριο – κατώτερο
ονομάζεται πλάτος της κλάσης Download With Free Trial Μέθοδος ομαδοποίησης παρατηρήσεων Για την ομαδοποίηση των παρατηρήσεων ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα 1) Βρίσκουμε τον αριθμό κ των κλάσεων που θα χρησιμοποιήσουμε. Για την επι του κατάλληλου αριθμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο παρακάτω πίνακας . Μέγεθος δείγμα- Αριθμός κλάσεων τος ν κ <20
5
20-50
6
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
> 1000
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
12
2) Προσδιορίζουμε το πλάτος των κλάσεων χρησιμοποιώντας τον τύπο R
c = , όπου R είναι το εύρος του δείγματος , δηλαδή η διαφορά της k
μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη του συνολικού δείγματος. Σημειών ότι αν ο αριθμός c που προκύπτει από τη διαίρεση δεν είναι ακέραιος , τότε στρογ ποιούμε πάντα προς τα πάνω. 3) Κατασκευάζουμε τις κλάσεις. Ξεκινάμε από τη μικρότερη παρατήρηση ή για κούς λόγους λίγο πιο κάτω από τη μικρότερη παρατήρηση και προσθέτοντας κάθ ρά τον αριθμό c δημιουργούμε τις κ κλάσεις. 4) Κάνουμε τη διαλογή των παρατηρήσεων. Ονομάζουμε νi τη συχνότητα της Xi την κεντρική τιμή της κάθε κλάσης και νi το πλήθος των παρατηρήσεων που κύπτουν από τη διαλογή για την κλάση ί . Παράδειγμα (11) Ζυγίστηκαν 30 αθλητές και τα βάρη τους (σε kg) που προέκυψαν ήταν: Preview 55 70 69 73 72 59You're 54Reading 71 a 67 62 Unlock full access with a free trial.
60
54
63
52
80
73
74
70
63
64
Download With Free Trial
65
58
53
45
56
50
48
57
60
62
Να ομαδοποιηθούν οι παραπάνω παρατηρήσεις . i) Πόσες κλάσεις θα χρησιμοποιηθούν ; ii) Ποιο είναι το πλάτος κάθε κλάσης ; , τη iii) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων με στήλες συχνότητα Sign up toγια vote τη on this title , την αθροιστ θροιστική συχνότητα, τη σχετική συχνότηταεπί τοις εκατό Useful Not useful σχετική συχνότητα επί τοις εκατό και την κεντρική τιμή κάθε κλάσης. iv) Ποιο ποσοστό των αθλητών έχει βάρος μικρότερο από 57kg και ποιο μεγα
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Κλάσεις Κεντρικές Συχνότη- Αθροιστική Σχετική συχνότητα Αθροιστική [ ,) τιμές τα συχνότητα Xi νi Νi συχνότητ Fi% 45-51
48
3
3
10
10
51-57
54
6
9
20
30
57-63
60
8
17
26,67
56,67
63-69
66
5
22
16,67
73,34
69-75
72
7
29
23,33
96,67
75-81
78
1
Σύνολο
30
You're Reading a Preview
Unlock full 30 access with a free trial.3,33
100
Download With Free Trial
-
100
ίν) Παρατηρώντας τη στήλη των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων προκύπτει 30% των αθλητών έχει βάρος μικρότερο από 57 kg και το 70% μεγαλύτερο ή ίσο 57kg. ν) Παρατηρούμε ότι το 26,66% αντιστοιχεί στις δύο τελευταίες κλάσεις. Άρα το Sign up to vote on this title των υπέρβαρων αθλητών είναι ίσο με 7 + 1=8. Useful Not useful Παράδειγμα ( 12 )
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
1700-1800 Σύνολο
1 68
i) ii) iii) iv)
Ποια είναι τα όρια της τρίτης κλάσης ; Ποια είναι η κεντρική τιμή της έκτης κλάσης Ποια είναι η συχνότητα της πέμπτης κλάσης ; Ποια είναι η σχετική συχνότητα f 4 % της τέταρτης κλάσης ;
v) vi) vii)
Πόσοι υπάλληλοι παίρνουν τουλάχιστον 1400 ευρώ ; Πόσοι υπάλληλοι παίρνουν από 1150 ευρώ έως 1450 ευρώ ; πόσοι υπάλληλοι παίρνουν το πολύ 1600 ευρώ αλλά τουλάχιστον ρώ ;
Λύση i)Τα όρια της τρίτης κλάσης είναι : κάτω όριο 1200 ευρώ .Άνω όριο 1300 ευρώ 1500 + 1600 = 1550 ευρώ. ii) Η κεντρική τιμή της έκτης κλάσης είναι 2 iii) Η συχνότητα της πέμπτης κλάσης είναι v5 = 16 .
iv) Η σχετική συχνότητα f 4 % =
v4 v
⋅100 =
16 68
⋅100 = 21% .
vi) Τουλάχιστον 1400 ευρώ παίρνουν 16+6+3+1=26 υπάλληλοι You're Reading a Preview vii) Από 1150 ευρώ έως και 1450 ευρώ παίρνουν 5+11+14+8=38 υπάλληλοι viii) Τουλάχιστον 1200 ευρώ και το 1600 Unlockπολύ full access with ευρώ a free trial. παίρνουν 11+14+16+6=47. Σχόλια στη θεωρία Download Withαπό Freeτον Trialκάθε ερευνητή. Επειδή όμω 1. Το πλήθος των κλάσεων ορίζεται συνήθως πλήθος των κλάσεων είναι ανάλογο του μεγέθους του δείγματος , χρησιμοποιούμ οδηγό τον πίνακα που αναφέραμε . 2. Στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος (ισοπ κλάσεις), εκτός από τις περιπτώσεις που επιβάλλεται από τα δεδομένα να έχουν πλάτος. 3. Καμία παρατήρηση δεν μπορεί να μείνει έξω από κάποια κλάση. Η μεγαλύτερ Signτελευταία up to vote on this title . του δείγματος θα πρέπει να ανήκει οπωσδήποτε στην κλάση Not useful Usefulπου έχουν 4. Οι κεντρικές τιμές διαφέρουν μεταξύ τους στις κλάσεις το ίδιο πλάτ στο πλάτος των κλάσεων. Κάθε παρατήρηση συμπίπτει άνω άκρο κλάσης θα τοποθετηθεί
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Ιστόγραμμα συχνοτήτων
Η γραφική απεικόνιση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομέν ται με το ιστόγραμμα συχνοτήτων. Στον οριζόντιο άξονα ενός ορθογωνίου συστήματος σημειώνουμε , με κατάλληλη μακα , τα όρια των κλάσεων. Κατόπιν δημιουργούμε διαδοχικά ορθογώνια , τα οπ χουν βάση ίση με το πλάτος των κλάσεων c και ύψος τέτοιο ώστε το εμβαδόν του γωνίου να ισούται με τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Έτσι , το ύψος κάθε ορθογων πρέπει να είναι αντιστρόφως ανάλογο του πλάτους της κλάσης. Στην περίπτωση χουμε ισοπλατείς κλάσεις , το ύψος των ορθογωνίων είναι ίσο με την αντίστοιχη τητα της κάθε κλάσης. Με παρόμοιο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων επίσης , κατασκευάζεται το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγ θροιστικών σχετικών συχνοτήτων , ενώνοντας τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων θογωνίων. You're Reading a Preview 1. Κλάσεις ίσου πλάτους Στις κλάσεις ίσου πλάτους συνήθως θεωρούμε το πλάUnlock full access with a free trial. τος c ως μονάδα μέτρησης. Αποτέλεσμα αυτού , είναι το ύψος των ορθογωνίων στο ιστόγραμμα να είναι Download With Free Trialίδιο με τη συχνότητα της κλάσης και το εμβαδόν του ορθογω νίου. Αν θεωρήσουμε άλλη μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού που βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα , τότε το ύψος των ορθογωνίων είναι διαφορετικό από τη συχνότητα. Sign up to vote on this title
Useful Not useful Κλάσεις άνισου πλάτους Όταν οι κλάσεις δεν έχουν ίσο πλάτος , τότε για να
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Με παρόμοιο τρόπο κατασκευάζεται και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ντας στον κάθετο άξονα τις σχετικές συχνότητες.
Για το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ενώνουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων στα αντίστοιχα ιστογράμματα. To εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων , δηλαδή είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος ν. Ανάλογα , το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο των σχετικών τήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτω λαδή ίσο με 1 ( ή ίσο με 100 αν πρόκειται για σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό Το εμβαδόν του χωριού που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων ( ή σχετικών τήτων) είναι ίσο με το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το ιστόγραμμα των You're τήτων ( ή των σχετικών συχνοτήτων ). Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Παράδειγμα (13 ) Download With Free Trial Από τους μαθητές ενός ΕΠΑΛ πήραμε δείγμα μεγέθους 150 και τους μελετήσ ως προς το βάρος τους .Τα αποτελέσματα της μελέτης αυτής φαίνονται στο ρακάτω πίνακα: Βάρος σε kgr Αριθμός μαθητών
[50,55 )
[55,60 )
[ 60,65 )
[65,70 )
15
24
30
45
[ 70,75 )
[ 75,80 )
Sign up to 27 vote on this title9
Useful
Not useful
α)Να γίνει πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συ
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
α) Ο πίνακας συμπληρωμένος με τις σχετικές συχνότητες fi , τις αθροιστικές συ τες και τις σχετικές αθροιστικές συχνότητες γίνεται :
Βάρος σε kgr
Αριθμός μα- Σχετικές θητών συχνότητες νi fi
Αθροιστικές συχνότητες Ni
Αθροιστική σχετική Fi
[50,55 )
15
0.1
15
0.1
[55,60 )
24
0.16
39
0.26
[ 60,65 )
30
0.2
69
0.46
[ 65,70 )
45
0.3
114
0.76
[ 70,75 )
27
0.18
141
0.94
[75,80 )
9
Σύνολο
150
You're Reading a Preview
0.016Unlock full access with 150a free trial.
1
1 Download With Free Trial
β) Για να κατασκευάσουμε το πολύγωνο συχνοτήτων ( ή σχετικών συχνοτήτων σκευάζουμε πρώτα το αντίστοιχο ιστόγραμμα
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων
χνοτή-
Παράδειγμα ( 14 ) Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων της μεταβλητής Συχνότητα vi Κλάσης Κεντρικές τιΣχετική συΑθροιστ μές χ i χ νότητα f i σχετική χνότητα 1-5 5-9 9-13 13-17 17-21 Σύ νολο
20 50 85 95
You're Reading a Preview
2
Unlock full access with a free trial. 1
Να συμπληρωθεί ο πίνακαςDownload With Free Trial Λύση Κεντρικές τιμές 1+ 5 6 5 + 9 14 9 + 13 22 13 + 17 30 = = 3 , = = 7 , = = 11 , = = 15 , 17 + 21 38 2 2 2 2 2 2 2 2 = = 19 2
2
F1 % = F1 ⋅100 ⇔ F 1 =
20 100 50
F2 % = F2 ⋅100 ⇔ F 2 =
= 0.20 οπότε f1 = F 1
100
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
= 0.50 οπότε f1 + f 2 = 0.50 ⇔ f 2 = 0.50 − 0.20 ⇔ f 2 = 0.3
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
i) ii) iii) iv) v)
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγματος των φοιτητών με μεταβλ χρόνο λύσης της άσκησης έχει εμβαδό 40. Το ύψους του ορθογωνίου στο διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων αντιστοιχεί στην κλάση με κεντρική τιμή το 19 είναι 0.1 Η γωνία του κυκλικού τομές στο κυκλικό διάγραμμα που αντιστοι στην κλάση [14,16 ) είναι 72ο . Οι φοιτητές που έκαναν από 16 έως 18 sec είναι διπλάσιοι από φοιτητές που έκαναν χρόνο από 10 έως 12 sec Εικοσιτεσσερεις φοιτητές έκαναν χρόνο κάτω από 16 sec .
τότε να κάνετε τον πίνακα συχνοτήτων vi , N i , f i , , f i %, F i % , το ιστόγραμμα χνοτήτων, το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων . Λύση Το εύρος του δείγματος είναι R = 20 − 10 = 10 Το πλάτος κάθε κλάσης είναι
10 5
= 2.
Επειδή το πολύγωνο συχνοτήτων έχει εμβαδό 40 τότε το μέγεθος του δείγματ ναι ν=40. Οι κλάσης είναι [10,12 ) , [12,14 ) , [14,16 ), [16,18 ), [18, 20 ) έχουμε: f 5 = 0.1 ⇔
ν 5 ν
You're Reading a Preview = 0.1 ⇔ ν 5 = ν ⋅ 0.1 ⇔ ν 5 = 40 ⋅ 0.1 ⇔ ν 5 = 4 Unlock full access with a free trial.
40 ⋅ 72ο = 72 ⇔ = Trial α 3 = 72 ⇔ 360 = 72 ⇔ 360 ν 3 Free Download With ν 40 3600 ⇔ ν 3 = 8 ο
ν3
0
ν 3
ο
0
ο
έχουμε : ν 4 = 2ν 1 Ν 3 = 24 ⇔ ν 1 + ν 2 + ν 3 = 24 . Ακόμη ν 1 +ν 2 + ν 3 + ν 4 + ν 5 = 40 ⇔ 24 + ν 4 + ν 5 = 40 ⇔ ν 4 = 40 − 24 − ν 5 ⇔ ν 4 = 40 − 24 − 4 ⇔ ν 4 = 12 Sign up to vote on this title οπότε ν1 = Ακόμη
ν 4
=
12
2 2 24
⇔ ν 1 = 6 24 6 8 10
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
[18,20 ) 100
Algebra b Oefe 18
1
Download
19
of 58
4 40
40
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
0.10
10
1
100
Ιστόγραμμα συχνοτήτων , πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτητων
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Παράδειγμα ( 16 ) Δίνεται το ιστόγραμμα συχνοτήτων και το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικ συχνοτήτων της ιδίας μεταβλητής που αναφέρεται στους βαθμούς 50 φοι στο μάθημα της Ανάλυσης και από το οποίο λείπουν κάποια ορθογώνια.
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
iii)
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
πόσοι φοιτητές πέρασαν το μάθημα (βάση το 5);
Λύση i)Από τα ιστογράμματα έχουμε : v1 = 5, v3 = 20, v4 = 5 F 1 % = 10% , F 2 % = 30% , F 5 % = 100% , f1 = F 1 =
F 2 = f1 =
f 2 = f3 =
F 1 % 100
F 2 % 100 v1 v
v2 v v3
=
10
=
100
30 100 v1
⇔v =
f 1
= 0.10
= 0.30 ⇔v=
5 0.10
= 50
f1 + f 2 = F2 ⇔ f 2 = F2 − f1 ⇔ f 2 = 0.30 − 0.10 = 0.2
⇔ v2 = v ⋅ f 2 ⇔ v2 = 50( F2 − F1 ) ⇔ v2 = 50(0.30 − 0.10) ⇔ v2 = 10 20
= 0.40 50 οπότε F3 = f1 + f 2 + f 2 = 0.10 + 0.20 + 0.40 = 070 f 4 =
v
v4
⇔ f 3 =
⇔ f 4 =
άρα F 3 % = 0.70 ⋅100 = 70%
5
= 0.10 v 50 a Preview F4 = F3 + f 4 = 0.70 + 0.10 = 0.80 F4 %You're 100 = 0.80 = F 4 ⋅Reading ⋅100 = 80% v5 = v − ( v1 + v2 + v3 + v4 ) = 50 − (5 + 10 Unlock 5)access + 20 +full = 10 with a free trial.
f 5 =
v5
⇔ f 5 =
10
v 50 άρα F 5 % = 100%
= 0.20 οπότε F5 Download 0.80Free = F4 + f 5 =With + 0.20 =1 Trial
ii)
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
iv)
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Το μάθημα το πέρασαν 10 +5+10=25 φοιτητές
Παράδειγμα (17) Δίνεται το παρακάτω ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Να υπολογισθεί i) H σχετική συχνότητα της κλάσης [162,168 ) όταν το 25% των παρατ σεων έχει τιμή μικρότερη από 168. ii) Η σχετική συχνότητα της κλάσης [168,174 ) όταν το 35% των παρατ σεων έχει τιμή μέχρι και 170, Λύση f1 = F 1 = 0.05
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Γενικά , για την καλύτερη κατανόηση των στατιστικών δεδομένων , χρησιμοποιού • Για ποιοτικές μεταβλ ητές 1. Ραβδογράμματα απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας
•
2. Κυκλικά διαγράμμ ατα 3. Σημειογράμματα Για ποσοτικές μεταβλητές 1. Διαγράμματα απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας 2. Πολύγωνα απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας 3. Κυκλικά διαγράμ ματα 4. Χρονογράμματα 5. Σημειογράμματα You're Reading a Preview 6. Ιστογράμματα και πολύγω να συχνοτήτων απόλυτης συχνότητας Unlock ή full access with a free trial. σχετικής συχνότητας ή Download With Free Trial αθροιστικής συχνότητας ή αθροιστικής σχετικής συχνότητας
Στατιστικά περιγραφικά μέσα
Στη Στατιστική , εκτός από τους στατιστικούς πίνακες και τα διαγράμματα χουν και τα στατιστικά περιγραφικά μέσα , με τα οποία μπορούμε να περιγράψο συντομία μια κατανομή συχνοτήτων Sign up toαριθμό vote on this titleσυνοψίζει Με τον όρο στατιστικό περιγραφικό μέτρο εννοούμε τον που Useful Not useful χαρακτηριστικά των παρατηρήσεων του συνόλου των δεδομένων που εξετάζουμ Σκοπός των στατιστικών μέτρων είναι η αντικατάσταση μιας μεγάλης μάζας τικών δεδομένων από ένα ή δυο αριθμούς από κοινού μεταφέρουν μεγα
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Επικρατούσα τιμή Μ0 μιας μεταβλητής ονομάζεται η τιμή με τη μεγαλύτερη τητα. Αν δυο ή περισσότερες τιμές έχουν τη μέγιστη συχνότητα , τότε υπάρχ ρισσότερες από μια επικρατούσες τιμές.
Είναι προφανές ότι η επικρατούσα τιμή μπορεί να οριστεί τόσο σε ποσοτικές σε ποιοτικές μεταβλητές Παράδειγμα (18) Για να προσδιορίσουμε την επικρατούσα τιμή των παρακάτω δειγμάτων: 1, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 4, 1, 2, 2 κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων Μεταβλητή 1 2 3 4 Σύνολο
χ i
Συχνότητα vi 5 8 3 3 19
Η επικρατούσα τιμή είναι Μ0 = 2, γιατί είναι η παρατήρηση με τη μεγαλύτερη συ You're Reading a Preview τα Unlock full access with a free trial.
Επικρατούσα τιμή σε ομαδοποιημένα δεδομένα
Download With Free Trial
Αν έχουμε ομαδοποιημένα (ποσοτικά) δεδομένα , αρχικά βρίσκουμε την επικρ σα κλάση i, δηλαδή την κλάση με τη μεγαλύτερη συχνότητα. Ο προσδιορισμός κρατούσας τιμής γίνεται από το ιστόγραμμα συχνοτήτων
Βρίσκουμε την επικρατούσα κλάση. Φέρνου ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΒΔ , και έστω σημείο τομής τους. Από το Ε φέρνουμε κάθ Sign up to vote on this title στον άξονα Οχ . Useful Not useful Στο σημείο που η κάθετη αυτή τέμνει τον προσδιορίζεται η επικρατούσα τιμή Μ0.
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
c : το πλάτος της κλάσης
D1 = vi – vi-1 η διαφορά των συχνοτήτων της επικρατούσας κλάσης από την προ μενή της
D2 = vi – vi+1 η διαφορά των συχνοτήτων της επικρατούσας κλάσης από την επό της −
2. Μέση τιμή
x
Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων αποτελεί το πιο σημαντικό και χρησιμοποιούμενο στην πράξη στατιστικό μέτρο.
Ορίζεται ως το άθροισμα των τιμών χ 1 , χ 2 , ....χ ν που παίρνει μια μεταβλητή χ , προ πλήθος των τιμών της ν
x =
t 1 + t 2 + ... + t ν
∑ t i
=
i =1
=
1
ν
t ∑ ν i
ν ν i =1 Η μέση τιμή ορίζεται μόνο σε ποσοτικές μεταβλητές. Αν όμως , η μεταβλητή παρουσιάζει τιμές χ 1 , χ 2 , ....χ ν με αντίστοιχες συχνότητες .... ν ν τότε , για να υπολογίσουμε εύκολα την μέση τιμή , δημιουργούμε μια νέα στην οποία υπολογίζουμε τα χ iνi και κατόπιν το άθροισμα τους . Έτσι , η μέση You're Reading a Preview μεταβλητής δίνεται από τον τύπο: Unlock full access with a free trial. κ
∑
xiν i With Free 1 κ Trial x1ν 1 + x2ν 2 + ... + xκ ν Download i =1 κ = κ = x = xiν i ν 1 + ν 2 + ... + ν κ ν i =1 ν i
∑
∑
i =1
Η παραπάνω σχέση ισοδύναμα γράφεται :
x =
κ
∑x
i
i =1
όπου f i οι σχετικές συχνότητες.
ν i ν
κ
= ∑ xi f i i =1
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Παράδειγμα (20)
ii)Να βρεθεί η μέση τιμή των παρατηρήσεων που αντιστοιχούν στον παρακ πίνακα:
Παρατηρήσεις χi 1 2 3 4 5 Σύνολο
Συχνότητες νi 6 7 2 8 13 36
Λύση Στον υπάρχον πίνακα δημιουργούμε την στήλη των χ iνi και ο πίνακας γίνεται Παρατηρήσεις χi 1 2 3 4 5 Σύνολο
You're Reading a Preview
Συχνότητες χ iνi Unlock full access with a free trial. νi 6 6 Download With Free Trial 7 14 2 6 8 32 13 65 36 123 ν 1 χ1 + ν 2 χ 2 + ....... + ν κ χκ 123 = = 3,41 Η μέση τιμή είναι : X = ν 1 + ν 2 + ν 3 +ν 4 + ν 5 36 Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Παράδειγμα ( 21) Ένας ιδιοκτήτης ενοικιάζει 4 διαμερίσματα με μέσο ενοίκιο 500 ευρώ τον μην
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
4 ⋅ 500 + 1⋅ ω 4 +1
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
= 480 ⇔ ... ⇔ ω = 400 ευρώ .
Παράδειγμα ( 22 ) Ένας αγρότης απασχολεί αλλοδαπούς εργάτες για τρεις διαφορετικές εργα Συγκεκριμένα απασχολεί 10 εργάτες για το μάζεμα της ελιάς 15 εργάτες σκάψιμο και κλάδεμα και 30 εργάτες για φόρτωμα καρπού. Πληρώνει κατά ορό 30 ευρώ την ημέρα τον κάθε εργάτη. Να βρεθεί ποσό πληρώνει για την εργασία ημερησίως αν από το μάζεμα της ελιάς κοστολογείται το ίδιο με ψιμο αλλά ακριβότερο κατά 6 ευρώ από το φόρτωμα Λύση Έστω χ : το ημερομίσθιο για το μάζεμα της ελιάς y: το ημερομίσθιο για το σκάψιμο z : το ημερομίσθιο για το φόρτωμα οπότε χ = y και χ = z+6 30 =
10 χ + 15 y + 30( x − 6) x = y 10 + 15 + 30
⇔ 30 =
10 χ + 15 x + 30( x − 6)
... ⇔ χ = 33.27 + 30 a Preview 10 + 15 You're Reading
άρα χ = y = 33.27 και z = 33.27-6 = 27.27
Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Σταθμικός Μέσος
Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα (έμφαση) στις τιμές x1 , x2 ,..., συνόλου δεδομένων , τότε αντί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε τον σταθ
νο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο (weighted mean). Εάν σε κάθε τιμή x1 , x δώσουμε διαφορετική βαρύτητα , που εκφράζεται με τους λεγόμενους συντελεστ στάθμισης (βαρύτητας) w1 , w2 ,..., w , τότε ο σταθμικός μέσος βρίσκεται από τον ν
ν
x =
x1 w1 + x 2 w2 + ... + x w ν
w1 + w2 + ... + w
ν
ν
=
∑ xi wi i =1
ν
∑ wi i =1
. Για παράδειγμα , με το νέο σύστημα , για την εισαγωγή ενός μαθητή στην τριτοβ
x1 aτου You're Reading Preview εκπαίδευση θα συνυπολογίζονται ο βαθμός απολυτηρίου του Ενιαίου Λυκ x στο τεστ δεξιοτήτων με συντελεστή w συντελεστή (βάρος) w1 = 7 ,5, ο βαθμός Unlock full2access with a free trial.
βαθμός x3 στο 1ο βασικό μάθημα με συντελεστή w3 = 1 και ο βαθμός x 4 στο 2ο Download With Free Trial μάθημα με συντελεστή w4 = 0,5 . Εάν ένας μαθητής πάρει τους βαθμούς x1 = 16, x3 = 17 και x 4 = 16,6 , τότε ο σταθμικός μέσος της επίδοσης του θα είναι : 16,5 × 7,5 + 18 × 1 + 17 × 1 + 16,6 × 0,5 167 = = 16,7 x = 7,5 + 1 + 1 + 0,5 10 .
Μέση τιμή σε ομαδοποιημένα δεδομένα
, βρίσκουμε Αν έχουμε ομαδοποιημένες κατά κλάσεις παρατηρήσεις Sign up to vote on this title την κεντρ τιμή κάθε κλάσης , δηλαδή το μέσο κάθε διαστήματος και την Not useful ,Useful πολλαπλασιάζουμ τη συχνότητα της κλάσης. Στη συνέχεια , υπολογίζουμε το άθροισμά τους και το ρούμε με το μέγεθος του δείγματος ν
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
88 86 85 94 95 95 96 93 92 95 100 107 106 109 105 112 113 113 112 119 Θέλουμε να υπολογίσουμε το μέσο κέρδος των καταστημάτων
Δημιουργούμε 7 κλάσεις , όπου το πλάτος κάθε κλάσης είναι c = 10. Ο πίνακας συχνοτήτων είναι : x i ⋅ v i Διάστημα Κεντρική τιμή xi Συχνότητα κερδών vi 50-60 55 10 550 60-70 65 10 650 70-80 75 7 525 80-90 85 6 510 90-100 95 7 665 100-110 105 5 525 110-120 115 5 575 50 4000 Σύνολο You're Reading a Preview
Unlock full access with a free trial.
Άρα η μέση τιμή είναι : − Download With Free Trial v1 ⋅ x1 + v 2 ⋅ x 2 + ...... + v v ⋅ x v = = x v 550 + 650 + 525 + 510 + 665 + 525 + 575
50
=
4000 50
= 80
Παρατήρηση
• Αν δεν κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων , τότε βρίσκουμε μέση . Φυσι λαφρώς διαφορετική από αυτή που προσδιορίσαμε την Signμε up to voteομαδοποίηση on this title δεύτερη είναι πιο ακριβής αλλά αρκετά δύσκολη στον υπολογ Useful Not useful και χρονοβόρα της. Αυτή είναι η αιτία που προτιμούμε την ομαδοποίηση. Χάνουμε λίγο ως ακρίβεια αλλά κερδίζουμε χρόνο
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων , οι οποίες έχουν διαταχθεί ξουσα σειρά, ορίζεται ως:
• Η μεσαία παρατήρηση , όταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι περιτ ριθμός • Το ημιάθροισμα των δυο μεσαίων παρατηρήσεων , όταν το πλήθος ν των τηρήσεων είναι άρτιος αριθμός
Παράδειγμα (24)
Αν θέλουμε να βρούμε τη διάμεσο των αριθμών (οι οποίοι έχουν ήδη διαταχθ αύξουσα σειρά) 1 1 3 5 7 8 8 9 9 τότε αυτή θα ισούται με τη μεσαία παρατήρηση (δηλαδή την 5η), γιατί το των δεδομένων είναι περιττός αριθμός ( ν=9). Άρα δ = 7 Αν θέλουμε να βρούμε τη διάμεσο των παρατηρήσεων : 200 300 500 500 500 700 1.000 1.000 1.000 40.000 τότε αυτή θα ισούται με το ημιάθροισμα των δυο μεσαίων παρατηρήσεων (δηλα 5 ης και της 6 ης παρατήρησης), γιατί το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος 500 + 700 = 600 . ( ν=10). Άρα δ = You're Reading a Preview
2
Παράδειγμα (25 ) Unlock full access with a free trial. Οκτώ διαδοχικοί περιττοί αριθμοί έχουν μέση τιμή 20. Να βρεθούν οι αριθμοί και η διάμεσος Downloadτους With Free Trial Λύση Έστω 2κ + 1, 2κ + 3, 2κ + 5, 2κ + 7, 2κ + 9, 2κ + 11, 2κ + 13, 2κ + 15 οι ζητούμενοι αριθμοί τότε : 2κ + 1 + 2κ + 3 + 2κ + 5 + 2κ + 7 + 2κ + 9 + 2κ + 11+ 2κ + 13+ 2κ + 15 8 16κ + 64 = 160 ⇔ κ = 6
Άρα οι αριθμοί είναι : 13,15,17,19, 21, 23, 25, 27 19 + 21 40 = = 20 Η διάμεσος δ είναι δ = 2
2
= 20 ⇔
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
προηγούμενη παρατήρηση , η διάμεσος θα είναι η τιμή δ της μεταβλητής Χ στον ντιο άξονα έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να έχουν τιμές μικρότερες ή ίσε Η διάμεσος δ έχει αθροιστική συχνότητα 0,5 και σχετική αθροιστική συχνότητα Από το σημείο Α (50%) φέρνουμε την ΑΒ//Οχ και από το σημείο Β τη ΒΓ//Οψ. Ο που αντιστοιχεί στο Γ είναι η διάμεσος δ. Παρατήρηση Αποδεικνύεται ότι η διάμεσος δ σε ομαδοποιημένα δεδομένα είναι : v
δ = Li + 2
− N i −1 vi
⋅c
όπου: Li : το κατώτερο όριο της κλάσης που περιέχει τη διάμεσο
vi : η συχνότητα της κλάσης που περιέχει τη διάμεσο c : το πλάτος της κλάσης (αναφερόμαστε σε κλάσεις ίσου πλάτους) Ni-1 : Η αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης κλάσης V : το πλήθος των παρατηρήσεων
Παράδειγμα (26) Να βρεθεί η διάμεσος των παρατηρήσεων για τις ομαδοποιημένες τιμές You're Reading a Preview ταβλητής χ, που φαίνονται στον πίνακα: Unlock full access with a free trial.
Ομάδες
[10,20 ) [ 20,30 ) [30,40 ) [ 40,50 ) [50,60 )
Συχνότητες νi 2
Download With Free Trial
8 10 12 8
Sign up to vote on this title
40 Σύνολο Useful Not useful Λύση Συμπληρώνουμε τον πίνακα με τις σχετικές συχνότητες και τις σχετικές αθροι
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Σύνολο
40
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
1
Η διάμεσος είναι: δ=40
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Σύγκριση παραμέτρων θέσης
•
• • •
• • • • •
Επικρατούσα τιμή Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Ο υπολογισμός της είναι εύκο• Σε ομαδοποιημένα δεδομένα , λος , όταν δεν έχουμε ομαδοχρειάζεται γραφικό προσδιοποιημένες τιμές ρισμό Υπολογίζεται και από ελλιπή • Δεν χρησιμοποιούνται όλες οι στοιχεία τιμές Δεν επηρεάζεται από ακραίες • Είναι ακατάλληλη για περαι τιμές τέρω μαθηματική ανάλυση Εφαρμόζεται και σε ποιοτικές • Μπορεί να μην ορίζεται μονομεταβλητές σήμαντα (πολυκόρυφη κατα νομή) Μέση τιμή Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Ο υπολογισμός της είναι εύκο• Επηρεάζεται από ακραίες τι You're Reading μές a Preview , μεγάλες ή μικρές λα κατανοητός Ο υπολογισμός της δεν είναι Μπορεί να μην αντιστοιχεί σε • with Unlock full access a free trial. δύσκολος συγκεκριμένη τιμή της μεταDownload Withβλητής Free Trial(πχ 2,76 παιδιά ) Χρησιμοποιούνται τα μεγέθη όλων των τιμών Δεν χρειάζεται γραφικό προσδιορισμό Είναι πολύ χρήσιμη σε περαι τέρω ανάλυση Sign up to vote on this title
Πλεονεκτήματα
Useful
Διάμεσος Μειονεκτήματα
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Μέτρα διασποράς
Τα μέτρα διασποράς εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητής από τα μέτρα θέσης , και συνήθως γύρω από τη μέση τιμή. Τα σπουδαιότερα μέτρ σποράς είναι : • Το εύρος • Η μέση απόλυτη απόκλιση • Η διακύμανση • Η τυπική απόκλιση
1. Εύρος
Εύρος ή κύμανση ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης απ μέγιστη. Εάν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα , το εύρος ισούται με τη διαφο του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το ανώτερο όριο της τελευταί κλάσης Παράδειγμα (27) Για τις τιμές : 2,7,4,8,3,0,2,7,6,9,5 να βρεθεί το εύρος τους .
You're Reading a Preview Λύση 0 και Η μικρότερη από τις τιμές είναι το η μεγαλύτερη Unlock full access with a free trial. το 9 , άρα το εύρος είναι 9-0=9
Παρατήρηση
Download With Free Trial
• Το εύρος σε ομαδοποιημένα δεδομένα μπορεί να διαφέρει λίγο από το εύρ δεδομένων πριν αυτά ομαδοποιηθούν. • Το εύρος είναι απλό μέτρο και δεν θεωρείται αξιόπιστο , γιατί βασίζεται δυο ακραίες παρατηρήσεις 2.Μέση απόλυτη απόκλιση
Αν μια μεταβλητή παίρνει τις ν τιμές t1 , t2 ,
Sign up to vote on this title Useful Not useful μέση t3…tv που έχουν τιμή
απόλυτη απόκλιση της μεταβλητής ονομάζεται το πηλίκο:
−
x , τότε
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
3. Διακύμανση
Η χρήση των απολύτων τιμών στον τύπο της μέσης απόλυτης απόκλισης δυσ ει τον υπολογισμό της. Για το λόγο αυτό , για τη διασπορά των τιμών της μεταβλη −
γύρω από τη μέση τιμή χρησιμοποιούμε την ποσότητα ( x − x ) 2 . i
−
Αν μια μεταβλητή παίρνει τις ν τιμές χ 1 , χ 2 , χ 3…χ v που έχουν μέση τιμή x , τότε μανση της μεταβλητής ονομάζεται το πηλίκο: 2
s 2 =
2
− − ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ x − x1 ⎟ + ⎜ x − x 2 ⎟ + ... + ⎜ x − xv ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
v
Αν οι τιμές x1 , x2 , x3…xv έχουν αντίστοιχες συχνότητες ν1 , ν2 , ν3... ν ν τότε η μέση τη απόκλιση της μεταβλητής , γίνεται : 2
2
2
2
− − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ v1 ⋅ ⎜ x − x1 ⎟ + v2 ⋅ ⎜ x− x2 ⎟ + ... + vv ⋅ ⎜ x− xv ⎟ 1 ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = ∑ (ti − x )2
v ν i =1 Για τον υπολογισμό της διακύμανσης ενός δείγματος , προσθέτουμε στον πίνακα 2
⎛ − ⎞ χνοτήτων μια στήλη με τα στοιχεία vi ⋅ ⎜ x − xi ⎟ , υπολογίζουμε το άθροισμά τους You're Reading ⎝ ⎠ a Preview διαιρούμε με το πλήθος ν των παρατηρήσεων . Unlock full access with a free trial. Ο παραπανω τύπος αποδεικνύεται ότι μπορεί να πάρει την ισοδύναμη μορφή Download With Free Trial 2 ⎧ ⎛ ⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ∑ t i ⎟ ⎪ 1 ⎪ ⎝ i =1 ⎠ ⎪ s 2 = ⎨∑ t i2 − ⎬ ν ν ⎪i=1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ν
ν
Sign up to vote on this title
η οποία διευκολύνει σημαντικά τους υπολογισμούς όταν μέση τιμή Useful Not η useful κυρίως ναι ακέραιος αριθμός.
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
2 ⎧ ⎛ ⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ∑ xi vi ⎟ ⎪ 1⎪ ⎝ i =1 ⎠ ⎪. 2 2 s = ⎨∑ xi vi − ⎬ v ⎪i =1 v ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ κ
κ
όπου x1 , x2 ,..., x οι τιμές της μεταβλητής ( ή τα κέντρα των κλάσεων) με αντίστο χνότητες ν1 , ν 2 ,..., ν . κ
κ
4. Τυπική απόκλιση
Ως τυπική απόκλιση ορίζουμε το τετράγωνο της διακύμανσης s =
s = 2
( X − χ1 )2 + ( X − χ 2 ) 2 + ... + ( X − χ ν )2 ν
Ενώ στην περίπτωση που οι τιμές x1 , x2 , x3…xv έχουν συχνότητες ν1 , ν2 , ν3... ν ν , s = 2
ν 1 ( X − χ1 )2 + ν 2 ( X − χ 2 ) 2 + ... +ν κ ( X − χ κ ) 2 ν
Αξίζει να σημειωθεί ότι αν η καμπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που Reading a Preview , τότε η ζουμε είναι κανονική ή περίπουYou're τυπική απόκλιση s έχει κανονική κάτω ιδιότητες: Unlock full access with a free trial. i)
το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάDownload With Free Trial στημα ( x − s, x + s )
ii)
το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα
s
( x − 2 s, x + 2 s ) iii)
το 99,7% περίπου των παρατη-ρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( x − 3 s, x + 3s )
x −3s x − 2s x − s
Sign up to vote on this title
x 68% 95% 99,7%
Useful Not useful iv) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις , δηλαδή R ≈ 6 s .(Βλεπε πα
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Παράδειγμα (28) Για τους βαθμούς στο μάθημα Β: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 έχουμε −
xb = 10 , οπότε s
2
b
=
(10 − 7)2 + (10 − 8)2 + (10 − 9)2 + (10 − 10)2 + (10 − 11)2 + (10 − 12)2 + (10 − 13) 2 7
9 + 4 +1+ 0 +1+ 4 + 9 s b =
7 4 =2
=
28 7
=
Οπότε
=4
Για τους βαθμούς στο μάθημα C : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 έχουμε −
xc = 10 , οπότε s
2
c
=
(10 − 4)2 + (10 − 6)2 + (10 − 8)2 + (10 − 10)2 + (10 − 12)2 + (10 − 14)2 + (10 − 16) 2 7
36 + 16 + 4 + 0 + 4 + 16 + 36 7
=
112 7
=
Οπότ
= 16
s c = 16 = 4
Παρατηρούμε ότι οι βαθμοί στο μάθημα C παρουσιάζουν μεγαλύτερη τυπική ση , πράγμα που αντικατοπτρίζει το μεγαλύτερο άπλωμα των τιμών γύρω από τιμή. Πρέπει να τονίσουμε ότι σημαντικότερο μέγεθος είναι η τυπική απόκλιση κύμανση χρησιμοποιείται βοηθητικά . Reading a Preview You're Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Παράδειγμα (29 )
Δίνεται ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων των ομαδοποιημένων τιμών μιας μεταβλητής : Κλάσεις
[10,20 )
[ 20,30 )
[30,40 )
[ 40,50 )
[50,60 )
[ 60,70 )
Συχνότητες νi
8
2
1
9
6
4
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
α)Να βρεθεί η μέση τιμή X των τιμών. β)Να βρεθεί η διακύμανση και η τυπική απόκλιση των τιμών.
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Κλάσεις
[10,20 ) [ 20,30 ) [30,40 ) [ 40,50 ) [50,60 ) [ 60,70 ) Σύνολο
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
Κέντρα Συχνότητες Xi νi 8 15
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
xi ⋅ν i
X − x
( X − x ) 2
ν i ( X − x) 2
120
25
625
5000
2
25
50
15
225
450
1
35
35
5
25
25
9
45
405
5
25
225
6
55
330
15
225
1350
4
65
260
25
625
2500
30
1200
α)Η μέση τιμή είναι : X =
9550
x1ν 1 + x2ν 2 + ....... + x6ν 6 ν
=
1200 30
= 40
β)Η διακύμανση s2 είναι ίση με: ν 1 ( X − χ1 )2 + ν 2 ( X − χ 2 )2 + ... + ν 6 ( X − χ 6 )2 9550 2 s = = = 318,33 30
ν
και η τυπική απόκλιση s είναι ίση με : s = s 2 = 318, 33 17, 84
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial. CV ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ
Όταν γνωρίζουμε μόνο τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση δυο διαφορετικών Download With Free Trial μάτων , τότε χρειαζόμαστε ένα μέτρο μεταβλητότητας για να μπορούμε να συγκ με τα δυο δείγματα. Ορίζουμε συντελεστή μεταβλητότητας το πηλίκο CV= (τυπική απόκλιση) / (μέση τιμή) =
s −
x
ή CV =
s −
100%
x
Ο CV χρησιμοποιείται , επομένως , σαν ένα μέτρο σύγκρισης της διασποράς των ενός δείγματος γύρω από τις μέσες τιμές τους , στην περίπτωση που είτε οι μέσ διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους είτε οι τιμές τουSign δείγματος έχουν up to vote on this titleδιαφορετικ νάδες μέτρησης (ο CV είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες Useful μετρήσεις Not useful). Γενικά : όταν ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι κάτω από 10%, τότε ο πληθυσ του δείγματος θεωρείται ομοιογενής δηλαδή παρουσιάζει μικρή διασπορά τιμών
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
2. Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές , όταν ο συντελεστή ταβολής CV δεν ξεπερνά το 10%. 3. Ο συντελεστής μεταβολής CV δεν ενδείκνυται στην περίπτωση που η μέση ναι κοντά στο μηδέν. Παρατηρήσεις 1. Οι τρεις δείκτες κεντρικής τάσης , μέση τιμή , διάμεσος και επικρατούσα τιμή είναι τελείως άσχετες μεταξύ τους αλλά βρίσκονται σε στενή αλληλεξάρτηση. αυτή καθορίζεται αναλόγως με τη μορφή της κατανομής.
Αν η κατανομή είναι συμμετρική (σχήμα α) οι τρεις δείκτες συμπίπτουν. Αν η κα Reading a Preview έχει τη μορφή του διαγράμματος You're (β) παρουσιάζει ουρά προς τα δεξιά , ή είναι ασύ τρη αριστερά , τότε η μέση τιμή απομακρύνεται από το κέντρο της κατανομής με Unlock full access with a free trial. τεύθυνση την ουρά της κατανομής. Τέλος , αν η καμπύλη έχει τη μορφή του δια γράμματος ( γ) παρουσιάζει ουρά Download προς τα αριστερά ή είναι ασύμμετρη δεξιά , τότ With Free Trial ση τιμή απομακρύνεται από το κέντρο της κατανομής με κατεύθυνση την ουρά τανομής. Συμπερασματικά, η κατανομή είναι ασύμμετρη προς τα δεξιά, αν η μέση τιμ ναι μικρότερη από τη διάμεσο, ενώ είναι ασύμμετρη αριστερά , αν η μέση τιμ ναι μεγαλύτερη από τη διάμεσο. 2. Από τους δείκτες , επικρατούσα τιμή Μο , διάμεσος δ και μέση τιμή x που περιγρ παραπάνω ο καθένας τους δίνει διαφορετικές πληροφορίες . on this title Sign up to vote
Useful Not useful Έτσι αν ο ερευνητής επιθυμεί να καταδείξει την πιθανότερη τιμή της κατανομής προτιμήσει την επικρατούσα τιμή Μο αν θέλει να αναφέρει την κεντρικότερη
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
of 58
Μάθημα
Μαθητής Α
Μαθητής Β
Μέση τιμή χ
15
15
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
15 Διάμεσος δ 13 11 Επικρατούσα τιμή 15 Μο Επειδή οι μαθητές Α και Β έχουν τον ίδιο μέσο όρο βαθμολογίας δεν σημαίνει ότι και την ίδια μαθησιακή απόδοση. Για το μαθητή Β , όπως φαίνεται η κατανομή ασύμμετρη και η μέση επίδοση του εκφράζεται καλύτερα από τη διάμεσο δ = 13.
Παράδειγμα (30)
Δυο δείγματα παρουσιάζουν μέση τιμή X = 5 και X ′ = 8 και τυπικές αποκλί s = 120 και s ′ = 120 . Ποιο δείγμα παρουσιάζει την μεγαλύτερη ομοιογένεια ; Λύση Για το 1ο δείγμα , ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι ίσος με: CV =
s X
=
120 5
⋅100% = 24%
ενώ για το 2ο δείγμα , είναι ίσος με : s′ 150 = ⋅100% = 18.75% CV΄ = You're Reading a Preview X ′ 8 Unlock full access with a free trial. Επειδή CV΄
Download With Free Trial
Σε μια ερεύνα που έγινε στους μαθητές μιας πόλης για το χρόνο που χρειάζ να πάνε από το σπίτι στο σχολείο διαπιστώθηκε ότι το 16% περίπου των μα χρειάζεται λιγότερο από 6 λεπτά , ενώ το 2,5% περίπου χρειάζεται περισσότ από 12 λεπτά .Υποθέτουμε άτι η κατανομή του χρόνου είναι κατά προσέγγι κανονική. α. Να βρεθεί ο μέσος χρόνος διαδρομής των μαθητών και Sign up toκαθώς vote on this titleη τυπική
κλιση του χρόνου . Useful Not useful β. Να εξετάσει αν το δείγμα είναι ομοιογενές . γ Αν οι μαθητές της πόλης είναι 3500 , πόσοι μαθητές χρειάζονται χρόνο
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Λύση α. Είναι γνωστό ότι το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρί σκεται στο διάστημα : ( x − s, x + s )
Επειδή το 16% των μαθητών χρειάζεται χρόνο λιγότερο από 6 λεπτά είναι : x − s = 6(1)
s
x −3s x − 2s x − s
Επίσης το 95 % των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( x − 2 s, x + 2s) αφού το 2.5% χρειάζε ται χρόνο περισσότερο από 12 λεπτά θα ισχύει : x + 2s = 12(2) Λύνοντας το σύστημα των (1) , (2) x + 2 s = 12 βρίσκουμε ότι s=2 και x = 8 x − s = 6 β. Είναι : CV =
s X
100 =
2 8
⋅100 = 25%
Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές . γ. Επειδή : x − s = 8 − 2 = 6 και x + s = 8 + 2 = 10 You're Reading a Preview 6 έως οι μαθητές που χρειάζονται χρόνο από λεπτά είναι περίπου το 68% Unlock full access with10 a free trial. νόλου των μαθητών Δηλαδή: 3500
δ. Αν y1 , y2 ,....., yν
68 100
Download With Free Trial = 2380 μαθητές .
είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουμε
μια από τις χ1 , χ 2 ,....., χ ν την σταθερά 3 τότε : y = x + 3 = 8 + 3 = 11 και S x = S y = 2
Άρα ο νέος συντελεστής μεταβολής είναι : CV΄ =
s′ X ′
=
2 11
⋅100 18.18%
Sign up to vote on this title
δηλαδή ο συντελεστής μειώθηκε κατά 25 – 18,18=6,82% περίπου . Useful Not useful Παράδειγμα (32)
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
β) την μέση τιμή της βενζίνης γ ) την διάμεσο τιμή δ.Το ποσοστό των καταναλωτών που πληρώνουν την βενζίνη πάνω από 0.76 ρώ
Λύση Από τον παραπάνω πίνακα , προκύπτει ο πίνακας συχνοτήτων Κλάσης
Κέντρο κλάσης
ν i
[0.68,0.70 ) [0.70,0.72 ) [0.72,0.74 ) [0.74,0.76 ) [0.76,0.78]
0.69
41
16
16
0.71
65
25
41
0.73
72
28
69
0.75
51
20
89
0.77
28
11
100
Σύνολο
i
%
F i %
257
α. Από τον πίνακα συχνοτήτων και συγκεκριμένα από την σχετική αθροιστική τητα , έχουμε ότι το ποσοστό των καταναλωτών με τιμή μικρότερη των 0.74 ευρ 69%. You're Reading a Preview β. Η μέση τιμή είναι : Unlock full access with a free trial. 41 ⋅ 0.69 + 65 ⋅ 0.71 + 72 ⋅ 0.73 + 51⋅ 0.75 + 28 ⋅ 0.77 186.81 = x = 0.73 257
257 Download With Free Trial
γ. Κατασκευάζουμε το διπλανό ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων .Από τα να ΑΔΕ και ΑΒΓ , αν ΔΕ=χ , έχουμε: χ 9 ΔΕ ΑΔ = ⇔ = ⇔ 28 χ = 0.18 ⇔ χ 0.006 ΒΓ ΑΒ 0.02 28 Άρα η διάμεσος είναι : δ=0.72 + 0.006 = 0.726 Sign up to vote on this title δ. Πάνω από 0.762 ευρώ , το ποσοστό των Useful Not useful καταναλωτών είναι :
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Παράδειγμα (33) Σε ένα δείγμα μεγέθους 20 μιας μεταβλητής Χ έχουμε :
∑ t = 100 και ∑ t i
2
i
= 1000
Έστω δείγμα του ιδίου μεγέθους μιας μεταβλητής Y , που συνδέεσαι με την σχέση Y = 2 X + 5 .Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση μεταβλητής . Λύση
∑ t Έχουμε : x =
i
20
=
100 20
Αν
=5
Y = aX + β , τότε :
y = α x + β και S y = α S x
Είναι :
2 ⎧ ⎛ ν ⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ∑ t i ⎟ ⎪ 1 ⎪ ν 2 ⎝ i =1 ⎠ ⎪ 1 ⎧ 10000 ⎫ 2 S x = ⎨∑ t i − ⎬ = ⎨1000 − ⎬= 20 ⎪ i =1 20 20 ν ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ You're Reading a Preview ⎩ ⎭
1 20
{1000 − 500} =
500 20
= 25
Οπότε S x = 5
Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
Επειδή Y = 2 X + 5 . έχουμε : y = 2 x + 5 = 10 + 5 = 15 Για την τυπική απόκλιση S y = 2S x = 2 ⋅ 5 = 10
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Sign up to vote on this title
Useful Not useful 1. Στο παρακάτω κυκλικό διάγραμμα φαίνεταιτο ποσοστό των μαθητών χεται στο σχολείο με το συγκεκριμένο μεταφορικό μέσο. Αν το δείγμα
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Με αυτοκίνητο μετακινούνται ν1 μαθητές , για τους οποίους ισχύει f1 =
v1 v
⋅100% ⇔ v1 =
f 1 100
⋅v =
25
⋅ 720 = 180 μαθητές.
100
Με μοτοσικλέτα μετακινούνται ν2 μαθητές , για τους οποίους ισχύει f 2 =
v2 v
⋅100% ⇔ v2 =
f 2 100
⋅v =
15 100
⋅ 720 = 108 μαθητές.
Με ποδήλατο μετακινούνται ν3 μαθητές , για τους οποίους ισχύει f3 =
v3 v
⋅100% ⇔ v3 =
f 3 100
⋅v =
30 100
⋅ 720 = 216 μαθητές.
Πεζοί μετακινούνται ν4 μαθητές , για τους οποίους ισχύει : v4 = v − v1 − v2 180-108-216=216 μαθητές 2. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας τιμών της μεταβλητής Χ. xi ⋅ vi i xi vi 1 210 2 20 60 3 4 4 40 6 100 20 Σύνολο Να συμπληρώσετε τον πίνακα και να βρείτε τη μέση τιμή των xi You're Reading a Preview
Unlock full access with a free trial. Λύση Είναι x2 ⋅ v2 = 60 ⇔ 20 ⋅ v2 = 60 ⇔ v2 = 3 Free Trial 3 + 4 + 6 =With 20 ⇔ Επίσης v1 + v2 + v3 + v4 = 20 ⇔ v1 +Download v1 + 13 = 60 ⇔ v1 = 20 −13
Όμως x1 ⋅ v1 = 210 ⇔ x1 ⋅ 7 = 210 ⇔ x1 =
210 7
⇔ x1 = 30
Δίνεται ακόμα ότι x1 + x2 + x3 + x4 = 100 ⇔ 30 + 20 + x3 + 40 = 100 ⇔ 90 + x3 = 100 ⇔ x3 = 100 − 90 ⇔ x3 = 10 Επομένως , ο πίνακας γίνεται : xi ⋅ vi i xi vi 1 2 3
30 20 10
7 3 4
210 60 40
⇔
Sign up to vote on this title
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
3. Οι επιδόσεις 50 υποψηφίων για την εγγραφή τους σε μια ιδιωτική σχολή 6, 7, 8, 9, 5, 1, 4, 7, 3, 9, 2, 5, 3, 8, 6, 7, 7, 6, 8, 1 3, 0, 1, 4, 9, 0, 9, 7, 8, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 6, 6, 4, 3 2, 8, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 9, 2 I.Κατασκευάστε τον πίνακα με vi, Ni, fi%, Fi% II.Πόσοι μαθητές έγραψαν α) το πολύ 5; β) κάτω από 5; γ ) τουλάχιστον5; III.Υπολογίστε τις παραμέτρους θέσης IV.Η σχολή αποφάσισε να πάρει το 36% των υποψηφίων. Τι βαθμό πρέπε έχει γράψει κάποιος για να περάσει ;
Λύση I. Ο πίνακας κατασκευάζεται κατά τα γνωστά Βαθμός xi
Συχνότητα Αθροιστική Σχετική Συ- Σχετ. Αθροιστ. You're Reading a Preview vi Συχνότητα χνότητα fi% Συχνότητα Fi% Ni Unlock full access with a free trial. 0 2 2 4 4 1 4 6 Download With8Free Trial 12 2 4 10 8 20 3 5 15 10 30 4 5 20 10 40 5 5 25 10 50 6 7 32 14 64 7 7 39 14 78 Sign up to vote on 8 6 45 12 90this title Not useful 9 5 50 10 Useful 100 Άθροισμα 50 100
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Από τον πίνακα προκύπτει ότι υπάρχουν 2 επικρατούσες τιμές , το 6 και το τη μεγαλύτερη συχνότητα) 25 + 26 2 5+6 = 5,5 Για τη διάμεσο έχουμε δ = η παρατήρηση , δηλαδή δ = 2
2
IV. Προφανώς , η σχολή θα δεχθεί τους μαθητές με τις καλύτερες επιδόσεις έγραψε 9, το 12% έγραψε 8 και το 14% έγραψε 7. V. Έτσι , το 10+12+14=36% έγραψε 7 και περισσότερο , οπότε για να εγγραφεί στη σχολή πρέπει να έχει βαθμό τουλάχιστον 7.
4. Να αποδειχθεί ότι η μέση τιμή των τιμών χ1, χ2, …χκ μιας μεταβλητής χνότητες ν1, ν2,… νκ και σχετικές συχνότητες f1, f2,… f κ αντίστοιχα, είναι το άθροισμα των γινομένων των τιμών της μεταβλητής επί τις αντίστοιχ τικές συχνότητες Ο παρακάτω πίνακας δίνει τη σχετική συχνότητα fi% των τιμών xi μια βλητής Χ με μέση τιμή 5,06. xi 2 4 6 8 f i% 15 22 a) Να συμπληρωθεί ο πίνακας b) Να βρεθεί η επικρατούσα τιμή και το εύρος των τιμών χι You're Reading a Preview
Λύση Unlock full access with a free trial. Αν χ 1, χ 2 , …χ κ οι τιμές της μεταβλητής χ , ν1 , ν2 ,… νκ οι συχνότητες και f1 , f2 ,… f Download With Free ν 1 χTrial 1 + ν 2 χ 2 + ....... + ν κ χκ Οι σχετικές συχνότητές τους , τότε είναι : X = = ν 1 + ν 2 +ν 3 +ν 4 + ν 5 ν 1 χ1 + ν 2 χ 2 + ....... + ν κ χ κ ν
= x1
v1 v
+ x2
v2 v
+ ... + xk
vk v
=
f + x2 f 2 + ... + xk f k
1 1
Επομένως , η μέση τιμή είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων των τιμών ταβλητής επί τις αντίστοιχες σχετικές συχνότητες. a) Έστω χ ,y οι ζητούμενες σχετικές συχνότητες. Τότε ισχύει Sign up to vote on this title 0,15 + x + 0, 22 + y = 1 ⇔ x + y = 1 − 0,15 − 0, 22 ⇔ x + y = 0,63 (1) Useful Not useful x1 f1 + x2 f2 + ... + xk f k Επιπλέον , για τη μέση τιμή θα ισχύει X = ⇔ X = 2 ⋅ 0,15 + 4 x + 6 ⋅ 0, 22 + 8 y ⇔ 5, 06 = 0,3 + 4 x +1,32 + 8 y
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
Join
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
b) Όπως φαίνεται από τον πίνακα , επικρατούσα τιμή είναι το χ =4 γιατί σιάζει τη μεγαλύτερη σχετική συχνότητα fi%, άρα θα παρουσιάζει και γαλύτερη απόκλιση Το εύρος των τιμών είναι R = 8 − 2 = 6
5. Μια ομάδα μπάσκετ διαθέτει 9 παίκτες με μέσο ύψος 1,90m. i. Για να « ψηλώσει» την ομάδα ο προπονητής πήρε έναν ακόμα παίκτη 2,10m. Ποιο είναι τώρα το μέσο ύψος της ομάδας ; ii. Αν ήθελε να ψηλώσει την ομάδα στα 1,93m, πόσο ύψος έπρεπε να είχε κτης που πήρε ; iii. Αν ο προπονητής διατηρούσε σε 9 τον αριθμό των παικτών και έδιωχ παίκτες με ύψος 1,85m ενώ έπαιρνε δυο παίκτες με ύψη 2m και 2,08m χα, ποιο θα γινόταν τότε το μέσο ύψος της ομάδας ;
Λύση i. Επειδή με τους 9 παίκτες η ομάδα έχει μέσο ύψος 1,90m, θα είναι x + x + .... + x9 ⇔ 1 2 = 1,90 ⇔ x1 + x2 + ... + x9 = 17,1 (1) 9
ii.
iii.
Όταν προστεθεί ένας ακόμα παίκτης με ύψος 2,10m το μέσο ύψος της ομά x + x + .... + x9 + 2,10 17,1 + 2,10 19, 2 = = = 1,92 γίνει X = 1 2 You're Reading 9 +1 10 a Preview 10 1,93m, θα έπρεπε ο νέος παίκτης να έχει ύψ Για να ψηλώσει η ομάδα στα Unlock full access with a free trial. τοιο ώστε η νέα μέση τιμή να γίνει X = 1,93m . Έτσι , έχουμε x + x2 + .... + x9 + x 17,1 + xWith Free Trial Download ⇔ 1,93 = ⇔ 19,3 = 17,1 + x ⇔ x = 19,3 − 17,1 ⇔ X = 1 9 +1 10 Δηλαδή , ο νέος παίκτης θα έπρεπε να είχε ύψος 2,20m Όταν φύγουν 2 παίκτες με ύψος 1,85m και έρθουν δυο νέοι παίκτες με και 2,08m αντίστοιχα , τότε οι παίκτες θα παραμείνουν 9 και το άθροισ υψών τους θα είναι ίσο με x1 + x2 + .... + x9 − 2 ⋅1,85 + 2 + 2, 08 = 17,1 − 3, 7 + 4, 08 Τότε , το μέσο ύψος της ομάδας , γίνεται X =
17,48
= 1,94m
9 up to vote on this title Sign
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
6. Ποια παράμετρος θέσης περιγράφει πιο αξιόπιστα τις τιμές της μεταβλη με ιστόγραμμα συχνοτήτων καθένα από τα παρακάτω ιστογράμματα ;
Λύση α) Στο ιστόγραμμα (I), η διάμεσος περιγράφει πιο αξιόπιστα τις τιμές της μεταβ , αφού η κατανομή παρουσιάζει ακραίες τιμές , χωρίς να υπάρχει επιπλέον μια τιμή που να επικρατεί απόλυτα . β) Στο ιστόγραμμα (I I), η μέση τιμή περιγράφει πιο αξιόπιστα τις τιμές της μετα You're Reading aτων Preview τής , μιας και παρουσιάζεται μια συγκέντρωση τιμών γύρω από την μεσαία γ)Στο ιστόγραμμα (I I I), η επικρατούσα τιμή περιγράφει πιο αξιόπιστα τις τιμές Unlock full access with a free trial. μεταβλητής , εφόσον η επικρατούσα τιμή χ 7 επικρατεί με διάφορα όλων των άλλ μών. Download With Free Trial 7. Οι εργάτες του εργοστασίου μιας εταιρίας, έχουν τις παρακάτω ηλικίες 30 21 32 18 35 46 25 58 25 34 30 32 33 32 38 35 36 40 42 41 50 37 51 34 51 i. Να ομαδοποιηθούν ii. Να κατασκευαστεί
43 47 48 22 28 43 52 56 55 48 28 27 27 35 34 35 31 40 41 39 Sign up to vote on this title 29 54 37 20 43 Useful Not useful οι ηλικίες των εργατών σε 5 ομάδες ιστόγραμμα συχνοτήτων
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Λύση i. Η μικρότερη ηλικία είναι 18 και η μεγαλύτερη 58. Επειδή θέλουμε να δημ 58 − 18 40 = = 8 . Επομέ σουμε 5 ομάδες , το πλάτος της κάθε μιας θα είναι : 5
5
ομάδες είναι οι : [18,26), [26,34), [34,42), [42,50), [50,58]. ii. Ο πίνακας συχνοτήτων είναι ο παρακάτω : Ηλικία [18,26) [26,34) [34,42) [42,50) [50,58] Σύνολο
Συχνότητα vi 6 12 16 8 8 50
Το ιστόγραμμα συχνοτήτων είναι :
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Download With Free Trial
iii. Για να βρούμε τη μέση τιμή , χρειαζόμαστε την κεντρική τιμή της κάθε κλάση τα γινόμενα i ⋅ vi
Ηλικία [18,26) [26,34)
Κεντρική τιμή Συχνότητα vi κλάσης xi 22 6 30 12
i
⋅ vi
Sign up to vote on this title Useful 132 360
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Upload
Sign In
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Algebra b Oefe 18
1
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
a. Η νέα κατανομή συχνοτήτων φαίνεται στον πίνακα: v Ηλικία Κεντρική τιμή Συχνότητα i ⋅ i κλάσης xi vi [18,26) 22 6 132 [26,34) 30 13 390 [34,42) 38 18 684 [42,50) 46 6 276 [50,58] 54 4 216 47 1698 Σύνολο b. Η νέα μέση τιμή είναι : X ' =
1698 47
= 36,12
Επειδή ισχύει : X < X , συμπεραίνουμε ότι η μέση ηλικία των εργατών ωθεί '
8. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτω μισθών σε € των 80 υπαλλήλων μιας εταιρίας i. Να συμπληρωθεί ένας πίνακας συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων You're Reading ii. Να σχεδιαστεί το ιστόγραμμα και τοa Preview πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Unlock full access with a free trial. iii. Να βρεθεί η διάμεσος των παρατηρήσεων και να Download With Free Trial συγκριθεί με τη μέση τιμή τους
Λύση i. Σύμφωνα με το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων έχουμε: • Από 1500 μέχρι 1700€ παίρνουν 10 υπάλληλοι • Από 1700 μέχρι 1900€ παίρνουν 30-10=20 υπάλληλοι • Από 1900 μέχρι 2100€ παίρνουν 40-30=10 υπάλληλοι Sign up to vote on this title • Από 2100 μέχρι 2300€ παίρνουν 60-40=20 υπάλληλοι Useful Not useful • Από 2300 μέχρι 2500€ παίρνουν 70-60=10 υπάλληλοι Από 2500 μέχρι 2700€ παίρνουν 80-70=10 υπάλληλοι
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
Join
Σύνολο
of 58
80
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
1
ii. Το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων είναι :
iii.
Όπως φαίνεται και από το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτ διάμεσος των παρατηρήσεων είναι δ=2100. Για να βρούμε τη μέση τιμή των παρατηρήσεων , πρέπει να υπολογίσου κεντρική τιμή xi της κάθε κλάσης και το γινόμενο xi ⋅ vi . Τότε ο πίνακας γίν Reading v Μισθοί € Κεντρική You're Συχνότητα via Preview i ⋅ i τιμή χ i Unlock full access with a free trial. [1500,1700) 1600 10 16000 Download Trial [1700,1900) 1800 20 With Free 36000 [1900,2100) 2000 10 20000 [2100,2300) 2200 20 44000 [2300,2500) 2400 10 24000 [2500,2700) 2600 10 26000 80 166000 Σύνολο Η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι X = Επομένως , έχουμε δ > X
166000
= 2075 .
Sign up to vote on this title 80
Useful
Not useful
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
9.
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Οι βαθμοί 11 μαθητών μιας τάξης ενός ΤΕΕ στα Μαθηματικά είναι: 12, 12, 09, 15, 12, 16, 17, 07, 19, 18, 17 i. Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων ii. Να βρείτε τη μέση τιμή iii. Να βρείτε την επικρατούσα τιμή iv. Να βρείτε τη διάμεσο v. Να βρείτε την τυπική απόκλιση
Λύση i. xi
vi
7 9 12 15 16 17 18 19 Σύνολο
1 1 3 1 1 2 1 1 11
i
⋅ vi
7 9 36 15 16 34 18 19 154
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
ii. Είναι X =
x1 ⋅ v1 + x2 ⋅ v2 + ......xk ⋅ vk 154 = With = 14Free Trial Download v 11
iii. Η επικρατούσα τιμή είναι Μ0=12 iv. Η διάμεσος είναι η 6 η παρατήρηση . Από τον πίνακα των αθροιστικών των Νi φαίνεται ότι η 6 η παρατήρηση αντιστοιχεί στην τιμή 15. Άρα η είναι δ=15 v. Είναι s= s = 2
ν 1 ( X − χ1 )2 + ν 2 ( X − χ 2 ) 2 + ... +ν κ ( X − χ κ ) 2
Sign = up to vote on this title
ν
2
2
Useful
1 ⋅ (14 − 7) 2 + 1 ⋅ (14 − 9) 2 + 3 ⋅ (14 − 12 ) + 1 ⋅ (14 − 15 ) +
Not useful 2
+1 ⋅ (14 −18 ) +1 ⋅ (14 −19
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
10. Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει την κατανομή των ηλικιών των 100 κων μιας μικρής κοινότητας [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) Ηλικία 14 18 …. ….. 10 8 4 7 Συχνότητα Αν η μέση ηλικία των κατοίκων είναι 33 χρόνια, να βρείτε: i. Τις συχνότητες που έχουν σβηστεί ii. Την τυπική απόκλιση των ηλικιών
Λύση i. Έστω α , β οι συχνότητες που δεν ξέρουμε. Τότε 5 15 25 35 45 55 65 75 Ηλικία (κέντρο κλάσης) 14 18 10 8 4 7 Συχνότητα α β • Το άθροισμα των συχνοτήτων είναι : 14+18+α+β+10+8+4+7=100, οπότε α+ x ⋅ v + x2 ⋅ v2 X = 1 1 • Η μέση τιμή των ηλικιών είναι
⇔ 33 =
v
β ⋅ 35Reading 14 ⋅ 5 + 18 ⋅15 + α ⋅ 25 +You're 8 ⋅ 55 + 4 ⋅ 65 + 7 ⋅ 75 + 10 ⋅ 45 a+ Preview 100 Unlock full access with a free trial.
⇔ 3300 = 2015 + 25a + 35 β ⇔ 25a + 35β = 1285 ⇔ 5α + 7β = 257 (2) Download With Free Trial (2), βρίσκουμέ =8 και β=31 Από το σύστημα των (1) και ότια ii. Έχουμε , τώρα , τον πίνακα: Ηλικία 5 15 25 35 45 55 65 75 xi Συχνότητα
14
18
8
31
10
2
8
4
2
⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ v1 ⋅ ⎜ x − x1 ⎟ + v 2 ⋅ ⎜ x − x 2 ⎟ + ... + v v ⋅ ⎜ x − x v ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Η διακύμανση είναι s2 = v
2
2
2
100
Sign up to vote on this title
Useful Not useful 14 ⋅ ( 33 − 5 ) + 18 ⋅ ( 33 −15 ) + 13 ⋅ (33 − 25 ) + .... + 4 ⋅ (33 − 65 ) + 7 ⋅ (33 − 75 ) 2
s 2 =
7
2
2
=
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
Algebra b Oefe 18
1
Download
News
Documents
Sheet Music
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ Παρατηρήσεις : t1 , t2 ,...., t ν
:
x =
x =
t1 + t 2 + .... + t ν
:
x1ν 1 + x2ν 2 + .... + xκν κ
ν
∑ t
x =
i
i =1
1
, f 2 ,...., f k
ν k
ν
x =
Σχετικές συχνότη
Τιμές : x1 , x2 ,...., xk :
∑
x =
ν
i i
k
∑ x f i
i
i =1
i =1
ν
ν
Σταθμικός μέσος : t1 , t2 ,...., t ν :
x =
x1w1 + x2 w2 + .... + xν wν w1 + w2 + .... + wν ν
x =
∑
i
wi
You're Reading a Preview
i =1 ν
x1 , x2 ,...., xν : ΤιμέςUnlock full access with a free trial.
∑w
i
i =1
Download With Free Trial Στάθμισης
w1 , w2 ,...., wν : Συντελεστές
Όταν έχουμε πίνακα ομαδοποιημένα δεδομ s 2 =
1 ν
s = s 2 =
v 1 ν
ν
i =1
⎧
⎛
i
i =1
v
Sign up to vote on this title
∑ (t i − x ) 2 ν
2 ⎞ ⎫
i
κ
∑ (t − =
ν
κ
v
(t1 − x )2 + (t2 − x ) 2 + ... + (t v − x ) 2
i =1
⎧ ⎛ ⎪ ⎜∑ 1⎪ ⎝ i = 2 2 s = ⎨∑ xi vi − v ⎪i =1 ⎪ ⎩
Παρατηρήσεις : t1 , t 2 ,...., t ν τότε η δι ακύμανση s 2 είναι : 2
κ
∑ ( xi − x ) 2
Useful
Τυπική απόκ
Not useful
s = s 2
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
Search
Home
Saved
0
92 views
Sign In
Upload
Join
RELATED TITLES
0
c Lyk Math Gen Statistikh Drougas Uploaded by Argyro Rooms Crete
Books
Audiobooks
Magazines
Save
Embed
Share
Print
News
Documents
Sheet Music
Algebra b Oefe 18
1
Download
of 58
_ss__
antistrofes-lyseis
Search document
Αξίζει να σημειωθεί ότι αν η καμπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είναι περίπου κανονική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες: i)
το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( x − s, x + s ) s
ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα
s
( x − 2 s, x + 2 s ) iii) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα ( x − 3 s, x + 3s )
x −3s x −2s x − s
iv) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R ≈ 6 s .
x 68% 95% 99,7%
ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΤΡΩΝ
Έστω χ1 , χ 2 ,......χ ν οι παρατηρήσεις ενός δείγματος με μέση τιμή x , διάμεσο
δ χ , επικρ
Μ χ ,τυπική απόκλιση S χ και συντελεστή μεταβολής CV x .Αν πολλαπλασιάσουμε
καθ
παραπάνω παρατηρήσεις με τον μη μηδενικό αριθμό α και στην συνεχεία προσθέσουμε You're yReading a Preview ρό αριθμό β , προκύπτουν οι παρατηρήσεις i = a χ i + β , i = 1, 2, 3,....ν .Ο παρακάτω πίνακα ροφορεί για την μέση τιμή
Unlock full access with a free trial. Μ δ y , επικρατούσα τιμή y , διάμεσο y ,τυπική απόκλιση
With Free Trial , i = 1, 2, 3,.... ν ως λεστή μεταβολής CV y . των τιμών yi Download συνάρτηση των x ,
δ χ , Μ χ ,
ΜΕΤΡΑ
χ i
yi = a χ i + β
ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ
x
y = a χ + β
ΔΙΑΜΕΣΟΣ
δ χ
δ y = aδ x + β
ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ
Μ χ
ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ
S χ
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟ
CV
M y = aM x + β
Sign up to vote on this title
S y = aNotS useful x
Useful
S
Home
Saved
Books
Audiobooks
Magazines
News
Documents
Sheet Music
Upload
Sign In
Join
