1 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố Bài 1: Tính
I lim x 0
giớ i hạn của hàm sau:
tan x x x sin x
Gi ải bài 1: Thấy khi x 0 thì giớ i hạn đã cho có dạ ng bất định là
0 0
.
Áp dụng quy tắc L’Hospital: 1 1 2 tan x x 1 cos x 2 1 cos x 1 cos x cos x lim lim 2 lim l i m 2 x 0 x sin x x 0 1 cos x x 0 x 0 cos 2 x 1 c o s x c o s x 1 Bài 2: Tính
giớ i hạn sau đây:
1
I lim
ex
1
1
x
x
Gi ải bài 2:
Khi x thì giớ i hạn đã cho có dạ ng bất định là
0 0
Áp dụng quy tắc L’Hospital 1
1
1
ex 2 ex 1 lim x e0 1 I lim x x 1 1 x2
x Bài 3: Tính
giớ i hạn sau đây:
ln x x 0 1
I lim
x Gi ải bài 3:
Khi x 0 thì giớ i hạn đã cho có dạ ng bất định là Áp dụng quy tắc L’Hospital 1 ln x lim x 0 x 0 1 x 0 1
I lim
x Bài 4: Tính
I lim
x2
giớ i hạn khi n N , a 1
xn
ax Gi ải bài 4: x
Khi x thì giớ i hạn có dạng bất định là Áp dụng quy tắc L’Hospital
.
.
2 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố
I lim
xn
x
a x ln a
lim
n(n 1)x n 2
a x (ln a)2 Bài 5: Tính giớ i hạn sau đây khi 0 x
ax
lim
nx n 1
x
lim
x
n! a x (ln a)n
0 (vì n là một số)
I lim x ln x x 0
Gi ải bài 5:
Khi x0, giớ i hạn đã cho có dạ ng bất định là 0. , ta đưa về dạng bất định
0
0
ln x x 0 1
I lim x ln x lim x 0
x
Áp dụng quy tắc L’Hospital 1
ln x ln x x ( 1) xx x x lim lim lim lim lim 0 I lim x 0 1 x 0 x x 0 x ( 1) x 0 x x 0 x x 0 x Bài 6:
Tính giớ i hạn sau:
x 0
I lim cot 2 x
1 x2
Gi ải bài 6:
Khi x 0 thì giớ i hạn đã cho có dạ ng bất định là
Đưa về dạng
0 0
cos 2 x 1 x 2 cos 2 x sin 2 x 1 2 2 lim I lim cot x 2 lim x 0 x 0 sin 2 x x x x 0 x 2 sin 2 x x cos x sin x x cos x sin x lim 2 x 0 sin x x sin x
Tới đây tiến hành thay thế VCB tương đương Khi x 0 thì ta có: xcosx ~ x sinx ~ x x2sinx ~ x3 Vậy xcosx + sinx ~ x + x = 2x xcosx – sinx không thay được VCB tương đương vì x – x = 0x x cos x sin x x cos x sin x x cos x sin x x cos x sin x lim x 0 lim 2 2 x 0 sin x sin x x sin x x 0 x sin x x cos x sin x 2x x cos x sin x lim lim 2lim x 0 x 0 x 0 x3 x3 x I lim
Áp dụng quy tắc L’Hospital
3 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố
x cos x sin x cos x x sin x cos x x sin x 2lim 2lim 2 x 0 x 0 x 0 x3 3x 2 3x 2 1 sin x 1 2 lim 2 1 3 3 x 0 x 3 I 2lim
Bài 7: Tính
giớ i hạn sau đây:
sin 1 x 3 sin1
I lim 5
1 2x ln cos x 1 Gi ải bài 7: x 0
Nhận xét, vì:
lim sin 1 x 3 sin1 0 và lim x 0
x 0
5
1 2x ln cos x 1 0 ta mớ i tiến hành thay thế VCB
tương đương đượ c. sin 1 x 3 sin1
I lim 5 x 0
1 2x ln cos x 1
lim
1 x3 1
2cos
x 0
5
sin
1 x3 1
2 2 1 2x ln cos x 1
lim x 0
2cos1 sin 5
1 x3 1
2 1 2x ln cos x 1
Khi x 0, ta có: 1 x3 1
sin 5
2
~
1 x3 1 2 2
~
1 2
x3 2
x3 4
2 x2 1 2x ln cos x 1 ~ x ln cos x x ln(1 cos x 1) ~ x(cos x 1) ~ x 5 5 5 5 2 2
2
x3 5
Vậy: x3 I lim 2 x 0
cos1 x3
5
cos1 2
5 Bài 8: Tính
giớ i hạn sau đây:
x 2 4 2x 3 x
I lim
x2 4 x
x
Gi ải bài 8:
Vì lim
x
x 2 4 2x 3 x lim
x
x 2 4 x nên ta tiến hành thay VCL
tương đương đượ c. Khi x ta tiến hành lượ t bỏ các VCL có b ậc thấp hơn, chỉ chọn những VCL có b ậc cao nhất của cả tử và mẫu. x 2 4 ~ x và x 2 4 ~ x Như vậy, ta có:
4 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố
3x
I lim
x
Bài 9:
I lim
2x
3
2
Tính giớ i hạn sau đây: ln 1 x tan x
x 2 sin 3 x Gi ải bài 9: x 0
Vì, limln 1 x tan x 0 lim x 2 sin 3 x 0 nên ta thay được các VCB tương đương. x 0 x 0 Khi x 0, ta tiến hành thay các VCB tương đương: ln 1 x tan x ~ x tan x ~ x 2
sin 3 x ~ x 3
Dướ i mẫu đượ c x 2 x 3 , lượ t bỏ VCB có b ậc cao hơn, như vậy dướ i mẫu ta đượ c x2 Như vậy: I lim x 0
x2 x2
1
Bài 10: Tính
I lim x 0
giớ i hạn sau đây:
ln cosx ln(1 x 2 )
Gi ải bài 10:
Vì lim ln cos x 0 lim ln(1 x 2 ) 0 nên thay VCB tương đương đượ c. x 0 x 0 Khi x 0, ta đượ c: ln(cos x) ln(1 cos x 1) ~ cos x 1 ~
ln(1 x ) ~ x 2
x2 2
2
Như vậy:
x2
I lim
2 1 x2 2
Bài 11:
Tính giớ i hạn sau đây:
x 0
I lim
sin e x 1 1
x 1
ln x Gi ải bài 11:
Vì limsin ex1 1 0 limln x 0 nên thay VCB tương đương đượ c. x 1
I lim x 1
x 1
sin e x 1 1 ln x
lim x 1
sin e x 1 1 ln(1 x 1)
Khi x 1, ta có: sin e x 1 1 ~ ex 1 1 ~ x 1
5 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố
ln(1 x 1) ~ x 1
Vậy, x 1
I lim
x 1
x 1
1
Bài 12: Tính
e I lim
x
giớ i hạn sau đây:
1 cos x 1
sin 3 x 2x 4 Gi ải bài 12: x 0
Vì lim ex 1 cos x 1 0 lim sin3 x 2x 4 0 nên ta thay VCB tương đương đượ c. x 0 x 0 Khi x0, ta có: e 1 ~ x và cos x 1 ~ x
x2 2
và sin3 x ~ x 3
Như vậy,
x3
2 1 x3 2
I lim x 0
Bài 13: Tính
I lim
giớ i hạn sau:
sin 2x 2arctan3x 3x 2 ln 1 3x sin 2 x xe x
x 0
Gi ải bài 13:
Vì lim sin 2x 2arctan 3x 3x 2 0 lim ln 1 3x sin 2 x xe x 0 nên thay VCB x 0
x 0
tương đương đượ c. Khi x0, ta có: sin 2x ~ 2x ; 2arctan 3x ~ 6x ; ln 1 3x sin 2 x ~ 3x sin 2 x ~ 3x x 2 xe x ~ x.1 x
Như vậy, ta đượ c: I lim
8x
x 0
4x
2
Bài 14: Tính
giớ i hạn sau đây:
x 2 4 2x 3 x
I lim
x2 4 x
x
Gi ải bài 14:
Vì lim
x
x 2 4 2x 3 x lim
đượ c. Khi x , ta có: x2 4 ~ x ; x2 4 ~ x
x
x 2 4 x nên thay VCL tương đương
6 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố
Nhận thấy VCL bậc cao nhất của tử và mẫu là bậc 1, nên các VCL có b ậc < 1 s ẽ bị giản lượ c đi bớ t. Như vậy, ta có: 3x
I lim
x
2x
Bài 15: Tính
3 2
giớ i hạn sau đây:
x 2 14 x
I lim
x2 2 x Gi ải bài 15: x
Vì lim
x
x 2 14 x lim
x
x 2 2 x nên ta thay VCL tương đương đượ c.
Khi x , ta có: Ta thấy: lim
x
x 2 14 x và lim
x 2 2 x . Nên ta mớ i tiến hành thay VCL tương
x 2 2 x 0 nên ta không thể thay thế VCL tương
x
đương đượ c. x 2 14 ~ x x2 2 ~ x
Như vậy, I lim
x
2x 2x
1
Bài 16: Tính
giớ i hạn sau đây:
x 2 14 x
I lim
x2 2 x Gi ải bài 16: x
Vì lim
x
x 2 14 x 0 lim
x
đương đượ c mà chỉ có thể tính bằng các giớ i hạn cơ bản hoặc thay bằng VCB tương đương bằng cách biến đổi biểu thức. #CÁCH 1: x 1
14
I lim
x
x2
x
1
Khi x , ta có: 1
14 x2
14
1 2 x lim lim 2 x x x 2 x 2 2 2 x x 2 x 1 2 1 x x
x 14 x 2
1 14
1 ~
Như vậy,
2
x2
1 1 ~ 2 ; 2 2 2 x 2 x x x 7
2
1
2
1
7 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố
7 2 x I lim 7 x 1
x2
# CÁCH 2: Đặt t x Như vậy, giớ i hạn đã cho trở thành: t 2 14 t t 2 2 t t 2 14 t lim I lim 2 2 2 2 t t t 2t t 2 t t 2 t t 14 t 14 t 2 2 t lim 2 t 2 t 14 t Khi t , ta đượ c: t 2 14 t
t 2 2 ~ t và
t 2 14 ~ t
Như vậy, 14 14 2t 7 2 2 2t
I lim t Bài 17:
VCL nào sau đây có bậc cao nhất khi x : 3x ln 3 x , xlnx , 3x , x(2 sin4 x)
Gi ải bài 17:
(Phương pháp: Giống như thuật toán tìm giá tr ị Max, thì đầ u tiên ta gán một phần t ử bất kì xem như là nó max ban đầu, sau đó so sánh tiế p vớ i các phần tử khác. Nếu có phần tử nào mà lớn hơn phần tử đã gán ban đầ u thì giá tr ị Max sẽ gán cho phần tử mới đó. Tương tự, so sánh dần dần và ta đượ c giá tr ị Max nhất trong dãy) Chọn 3x ln 3 x Khi x thì 3x ln 3 x ~ 3x So sánh vớ i hàm k ế tiế p là xlnx: lim
x
x ln x 3x
lim
x
ln x 3
Như vậy: xlnx có bậc cao hơn 3x + ln 3x 1
Có 3x 3x 2 . Như vậy 3x + ln3x có bậc cao nhất là 1 bé hơn bậc của xlnx đã bị loại. Trong khi 3x có bậc là 1/2 < 1 nên cũng bị loại. Ta đem hàm xlnx so sánh vớ i x(2 + sin4x): x(2 sin 4 x) ~ 2x (do hàm sinx là hàm b ị chặn) lim
x
2x x ln x
lim
x
2 ln x
0
xlnx
có bậc cao hơn x(2 + sin 4x)
Vậy: VCL có bậc cao nhất là xlnx x 2 2 4 Bài 18: VCL nào sau đây có bậ c cao nhất khi x : 2 , x , x + sin x, xlnx Gi ải bài 18:
Tương tự bài 17.
8 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố
Nhận định đầu tiên là giữa 2x và x2 thì ta thấy 2x là VCL có b ậc cao hơn vì 2 x tiến ra vô cùng nhanh hơn x2. Xét x 2 sin 4x ~ x 2 (do hàm sinx là hàm b ị chặn) Nên 2x là VCL có b ậc cao hơn x2 + sin4x Tương tự, ta thấy xlnx tiến ra vô cùng ch ậm hơn 2x, như vậy: 2 x là VCL có b ậc cao nhất khi x Bài 19: Tính giớ i hạn sau đây: I lim xe
x
1 x
x
Gi ải bài 19:
Đặt t = -x, ta đượ c giớ i hạn sau: #CÁCH 1: I lim te
1 t t
t
Dạng
lim
t
t e
t
1 t
. Tiến hành dùng L’Hospital
I lim
t
1
1
1
1 t t 1 2 e t
1 t 0 . Do lim 1 2 e t t t
#CÁCH 2: I lim te
1 t t
lim
t
t
t e
t
1
e t 0 (Do 0.1 = 0 vì hàm t ch ạy ra vô cùng chậm hơn so vớ i hàm et
nên – t/et = 0) Vậy I lim xe
x
1 x
x
Bài 20:
0
Tính giớ i hạn sau đây: x 4 2 x 4
I lim x
2
x
2
Gi ải bài 20:
Dạng bất định 1
8x 2
x 4 x x 4 1 8 8 I lim 2 lim 2 x x 4 x x 4 x
2
Vì lim
x
Bài 21:
8x 2 x2 4
8
Tính giớ i hạn sau đây:
I lim 1 2x x 0
2
1 4 sin 2 x
2
2
4 lim
8x
e x x
2
2
4
e8
9 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố
Gi ải bài 21:
Dạng bất định 1
2x
1
I lim 1 2x 4 sin
2
x
x 0
Vì lim x 0
2x 4 sin 2 x
Bài 22:
lim
1 sin 4 2x lim 1 2x x 0 4
2x 4
x 0
x2
0
4
2
x
lim
2x
e sin x
0
4
2
1
x
Tính giớ i hạn sau đây: cot x
I lim ln e x x 0
Gi ải bài 22:
Dạng bất định 1
I lim ln e x
cot x
x 0
x lim ln e 1 x 0 e
cot x
x lim 1 ln 1 x 0 e
x ln 1 cot x e
x lim ln 1 c ot x x x ln 1 lim 1 ln 1 e e e eI x 0 e x cos x 1 Tính I2 lim ln 1 x 0 e sin x e x x Vì khi x 0 thì ln 1 ~ ; cosx ~ 1; sinx ~ x e e 1
x
0
2
Như vậy: I lim ln e x
cot x
x 0
Bài 23:
1
ee
Tính giớ i hạn sau;
I lim 1 tan x 2
1 sin 2 2x
x 0
Gi ải bài 23:
Dạng bất định 1
I lim 1 tan x sin 2
1 2
2x
x 0
1 2 lim 1 tan x tan x x 0 2
tan 2 x
sin2 x
tan 2 x 2
sin 2x
eI
2
2 1 sin 2 x cos x lim lim Tính I2 lim x 0 sin2 2x x 0 4sin 2 x cos 2 x x 0 4sin 2 x cos 4 x 4
Như vậy, I lim 1 tan x sin 2
x 0
Bài 24:
1 2
2x
e
1 4
Tính giớ i hạn sau đây:
cot x
10 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố 1
I lim cosx x 2 x 0
Gi ải bài 24:
Dạng bất định 1
I lim cos x x I lim 1 cos x 1 cosx1 x 0 x 0 1
1
2
cosx1 x
2
lim
e x
cosx1
0
Tính: I 2 lim
cos x 1 x2
x 0
Khi x 0, cosx – 1 ~ -x2/2 I 2 lim
cos x 1 x2
x 0
x 2 1 lim 22 x 0
1
I lim cos x x e 2
1 2
x 0
Bài 25:
x
2
Tính giớ i hạn sau đây: 2x 3 2 2x 1 2
I lim x
x2
Gi ải bài 25:
Dạng bất định 1
4x 2
2x 1 2x 2x 3 4 4 I lim xlim 1 2 x 2x 2 1 2x 1 x
2
Vì lim
x
4x 2 2x 1 2
Bài 26: Tính
2
2
2
giớ i hạn sau đây:
1x 1 I lim e x x
x
Gi ải bài 26:
Dạng bất định 1 Đặt t = 1/x, ta đượ c giớ i hạn sau
1 t
I lim e t e t
t 0
Tính I2
1 lim ln( et t )
t 0 t
eI
2
2
1
e2
x
2
eI
2
11 | B À I T Ậ P G I Ớ I H Ạ N H À M S Ố
1 1 1 t I2 lim ln e t t lim ln e t t lim ln e t 1 t t 0 t t 0 t t 0 t e 1 t 1 t lim ln e t ln 1 t lim t t t 0 t e t 0 t e
Như vậy, x
1x 1 I lim e e2 x x
1 lim 1 t 0 t e
2
