Branislav Kuzmanović OSNOVE ELEKTROTEHNIKE I. - Zbirka Zadataka i Pitanja

8. Odredite potencijal

E

E

2a

a

a

-a X

X

-Em ------

- Em

Sl. 5.20.

Sl. 5.21.

9. Odredite potencijal

10. Poznataje raspodjela potencijala duž osi x . Odredite iznos i smjer električnog polja na tom dijelu prostora (slika 5.22);
( V ) 10

4 I I

- 10

5

x

(cm)

Sl. 5.22.

11. Poznata je raspodjela potencijala duž osi x (slika 5.23 ) . Odredite u kojem dij elu vlada najveće električno polje, koliko je to polje po iznosu i smjeru;

x

- 10 - 20 Sl. 5.23.

(cm)

34

5. ELEKTRIČNI POTENCIJAL

5.5. Potencijal karakterističnih modela

j 5.5. Pitanja J 1. Objasnite kako se mij enja potencijal naelektrizirane šuplje kugle. 2. Što su ekvipotencijalne plohe unutar, a što izvan šuplje naelektrizirane kugle? 3. Objasnite potencijal naelektriziranog pravca. 4. Što su ekvipotencij alne plohe oko naelektriziranog pravca i koliki je napon

između dviju ploha?

5. Objasnite kako se mij enja potencijal između dviju naelektriziranih ravnina. 6. Što su ekvipotencij alne plohe naelektriziranih paralelnih ravnina i kako se

računa napon između dviju ekvipotencijalnih ploha?

I 5.5. Zadaci J

1. Odredite napon između dviju ekvipotencijalnih ploha na udaljenosti r1 =

0.2 m i r1 = 0.4 m od linijskog naboja A = 5 1 0 -9 C/m . ·

300 V i polu­ mjer r1 = 2 cm te
2. Ako su poznati potencijali dviju ekvipotencijalnih ploha
=

3 . Između dviju cilindričnih ekvipotencijalnih ploha polumjera a1 = 2 mm i

a1 = I O mm vlada napon U12 =
4. Naelektrizirana šupljakuglapolumjera a = 2 cm ima ukupni naboj Q = 5 nC .

Odredite : a) potencijal usamljene naelektrizirane kugle; b) razliku potencijala između ekvipotencijalnih ploha ai = 3 cm i a2 = 5 cm .

5. Odredite funkciju potencijala usamljene naelektrizirane kugle u zraku s p =

konst. i

Er

= I.

6. Odredite električni potencijal trij u koncentričnih naelektriziranih šupljih kugli

u zadatku 1 5., točke 4.1 i 4.2.

5.5. POTENCIJAL KARAKTERISTIČNIH MODELA

35

7. Koliki bi trebao biti naboj Q1 u prethodnom zadatku da bi potencijal unutarnje

kugle bio nula? Zadano je: a1 Q3 = 2 nC .

=

1 cm , a2

=

2 cm , a3

=

3 cm , Q2

=

3 nC ,

8. Jakost polja između dvij u suprotno naelektriziranih paralelnih ploča, svaka

2 površine 1 000 cm , iznosi E = 103 V/m, a razmak između ploča d = 1 mm u vakuumu. Koliki je a) naboj na svakoj ploči; b) napon između ploča?

9. Odredite funkciju potencijala između dviju suprotno naelektriziranih ploča

čije je električno polje prikazano na slici 5 .24, ako je:

a) pozitivna ploča na referentnom potencijalu

E r-------,

0

d

X

Sl. 5.24.

10. Elektron ulazi u neko elektrostatsko polje brzinom v0 = 107 cm/s i tu brzinu ima u točki A . Ako mu se brzina u točki B utrostručila, koliki je napon UAB ? 31 eo = - l .6 · 10-1 9 As , me = 9. 1 1 · 1 0- kg .

1 1. Između dviju naelektriziranih ploča na razmaku d vlada napon U . Proton s pozitivne ploče kreće brzinom v1 = O i udara u negativnu ploču brzinom vz . a) Kolika je brzina v2 i odgovarajuća kinetička energija? b) Na kojoj udaljenosti od pozitivne točke proton postiže 50'/o brzine vz ?

12. Između točaka ( 1 ) i (2) iznad dvaju vrlo dugih paralelnih i suprotnih linijskih naboja prema slici 5.25 vlada napon U12 = 200 V . Odredite gustoću linij skog naboja ako je Er = 1 .

36

5. ELEKTRIČNI POTENCIJAL

y

&o

lm

A

B

I I

I I I I I

2m

X

2m d (2) (1) y- - - - - - - - 7 ld di 12 21 I 1 d + ').., � - - - - - - - � -'}.. Sl. 5.25.

Sl. 5.26.

13. U pravokutnom koordinatnom sustavu zadani su položaji jednog linijskog na­

boja }., = 7 10-8 C/m, koji je okomit na ravninu prema slici 5 .26. Odredite napon UAB . ·

+

+

+

+ +

+

+

+

+

I

+ + + + +

i dviju točaka, A i B

1 i;

� I

I

I I I

I I 1

I I

I I

+ + I Ti + + 1., +l em I l em I I I + + I I +

xy

2 cm

I I

I I I I

I

Sl. 5.27.

I

14. Kinetička energija elektrona pri prelasku iz točke T1 u točku T2 poveća se za 5 eV (slika 5. 27). Odredite linijske gustoće linijskog naboja pravca. 15. Odredite iznos i smjer električnog polja te potencijal u točkama T0, T1 i T2 dviju koncentričnih šupljih kugli ( sl 5. 2 8). Zadano je: 2Q1 = -Q2 = 6 nC , ar = 2 cm , a1 = 4cm , r1 = 3 cm, rz = 8cm. Q2

Sl. 5.28.

37

5.6. ENERGIJA ELEKTRIČNOG POLJA. SILA NA PLOŠNI NABOJ

5.6.

Energija električn og polja. Sila na plošni naboj

I 5.6. Pitanja I 1. Za koliko se poveća energija sustava ako se sustavu od dvaju točkastih naboja

dovede treći točkasti naboj?

2. Kolika je energija sustava trij u naboja? 3. Kako se energija sustava točkastih naboja može izraziti pomoću potencijala? 4. Kako se računa energija sustava kontinuirano neraspoređenih naboja? 5. Kolika je energija naelektrizirane šuplje kugle? 6. Posjeduje li električno polje energiju i čime se to može obrazložiti? 7.

Koja se relacija upotrebljava za gustoću energije električnog polja?

8. Kako se računa energija električnog polja? 9. Kolika je sila po jedinici naelektrizirane površine?

I 5.6. Zadaci I 1. Kolika je električna energija sustava triju naboja koji se nalazi na vrhovima

jednakostraničnog trokuta (sl. 5 .29)? Zadano je: Qi Q3 = 5 µC , a = 2 m . Q3

I

I

aI I I

I

I

;\

I \

Q4

\

\

\a \ \

\

t

_ - _

I I I aI I I I

\

_!

_ - _

, I I I I I I I

J,.... _ _ _ _ _ _ _ _.

Q1 L - - - - - - - - � Q2

Ql

a

a

4 µC , Q2

=

-3 µ C ,

Q3

•

Q3

I I

a

1 b

I I

Q2

Q 1 - - -; - - .Ja.l Q2 Sl. 5.31.

Sl. 5.30.

Sl. 5.29.

=

2. Koliki je rad potreban da se naboji iz prethodnog zadatka smjeste u trokut čije su stranice če\fl puta manje? Tko je izvršio taj rad? 3. Kolika je energija sustava četirij u naboja smještenih u vrhove kvadrata na

sl. 5 .30? Zadano je: Q1 40 cm .

a =

=

S nC , Q2

=

3 nC , QJ

=

-4nC , Q4

=

7 nC ,

38

5. ELEKTRIČNI POTENCIJAL

4. Koliki je rad potreban ako bi se stranice kvadrata u prethodnom zadatku dvaput

povećale uz nepromijenjene naboje? Tko je obavio taj rad?

5. Za koliko se promijeni energija sustava triju naboja ako naboji Q1 i Qz za­

mijene mjesta (sl. 5.31)? Zadanoje: Q1 = 3 nC, Qz a = 2b = 40 cm .

=

-5 nC, Q3 = 8nC,

6. Kolika je energija naelektrizirane šuplje kugle? Zadano je: polumjer a =

20 cm, Q = 6 nC.

7.

Koliki je rad potreban da se polumjer elastične kugle iz prethodnog zadatka smanji na polovicu? Tko j e obavio taj rad?

8. Izračunajte silu između dviju suprotno naelektriziranih ploča. Zadana je:

Q = 8nC, S = 100 cm2 , d = 1cm .

9. Kolika je energija sustava u prethodnom zadatku? 10. Kolika je električna energija naelektrizirane kugle polumjera a ako je pros­

torna gustoća naboja konstantna ( p = konst. ), a Er = 1?

11. Kako se mijenja gustoća električne energije oko naelektriziranog pravca lini­ j ske gustoće .A. ? 12. Za koliko će se promijeniti energije četiriju točkastih naboja Q smještenih u

vrhovima kvadrata stranica a ako se stranice kvadrata povećaju tri puta?

13. U točkama jednakostraničnog trokuta a = 9 cm smještena su tri naboja,

Q1 = Q3 = 5 µC i Qz = -5 µC, a Er = 1. Odredite iznos sile na naboj Q3

(sl. 5.32) . Kolika je energija sustava? Q3

a

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

/\ .

\

\

\

\

\

\ a \ \ \ \

\

\

'- - - - - - - - - - - - - -\.

QI

a

Sl. 5.32.

14. Između naboja Q1 i Q2 na razmaku

Q2

r = 1 m vlada sila F = 2 N . Odredite:

a) energiju sistema dvaju naboja; b) silu i energiju ako se razmak smanji na polovicu.

5.7. POISSONOVA I LAPLACEOVA JEDNADŽBA

39

5. 7. Poissonova i Laplaceova jednadžba

I 5.7. Zadaci I 1.

Prostor između dviju paralelnih beskonačnih ploča na razmaku d = 2 cm is­ punjen je nabojem tako da se jakost električnog polja između ploča mij enja po zakonu E(x) = - 1 05x + 2 103 V/m. ·

Odredite:

a) potencijal desne ploče ako je lijeva ploča na potencijalu nula; b) gustoću naboja uz desnu ploču;

c) prostornu gustoću naboja između ploča.

ep (d ) =?

cp(O)=O

x=d =2 cm

o

X

Sl. 5.33.

2. Ako se električno polje iz prethodnog zadatka mijenja po zakonu 2 E(x) = -4 107x + 12 · 1 05x + 2 1 03 V/m, ·

odredite: a) potencijal desne ploče; b) prostornu gustoću naboja između ploča.

·

40

6. ELEKTRIČNI DIPOL

6.

Električni di pol

6.1 .

Potencijal

6. 1 . Pitanja

polje električnog dipola

I

1. Što je električni dipol?

2.

Što je električni dipolni moment?

3. Kako se računa sila na dipol u vanj skom polju? 4. Koliki je moment sile na dipol? 5. Kolika je energija dipola u vanj skom električnom polju?

I 6.1 . Zadaci I

1. Električni dipol sastoji se od dviju kuglica jednakih masa, l

=

2 cm , koje nose naboje Q =

±5 nC . Izračunajte:

m =

0. 1 g , razmaka

a) minimalnu i maksimalnu potencijalnu energiju dipola; b) ovisnost kutne brzine rotacije dipola ako je obodna brzina dipola u položaju maksimalne potencij alne energije v1 = 3 cm/s .

7.2. VODIČ U ELEKTROSTATSKOM POLJU. ELEKTROSTATSKA INDUKCIJA

41

7.

Vodič u elektrostatskom polju

7.1 . N aelektrizirani vodič

j 7.1 . Pitanja I 1. 2.

Što posjeduju vodiči u odnosu na izolatore?

Postoji li u nenaelektriziranom vodiču u elektrostatskom stanju polje? Kakvo?

3. Postoj i li u naelektriziranom stanju u vodiču električno polje?

4. Postoji li tangencijalno polje na površinu naelektriziranog vodiča? 5. Kako je raspoređen naboj na naelektriziranom vodiču? 6. Koji se naboji u vodiču mogu gibati? 7. Kako stoji vektor električnog polja u odnosu na površinu vodiča?

8. O čemu ovisi smjer električnog polja na površini vodiča?

9. Što predstavlj a površina naelektriziranog vodiča?

10.

Postoji li razlika potencijala između točaka u vodiču?

11.

Djeluje li sila na naboj na površini vodiča i u kojem smjeru?

7.2. Vodič u elektrostatskom polju. Elektrostatska indukcija

I 7.2. Pitanja I· 1.

Kako nastaje inducirani naboj na vodiču?

2.

Što je elektrostatska indukcija?

7. VODIČ U ELEKTROSTATSKOM POLJU

42

3.

Kakav je raspored induciranog naboja kod punog, a kakav kod šupljeg vodiča?

4. Što je Faradayev kavez?

I 7 .2. Zadaci I 1. U središtu šuplje, usamljene i neutralne metalne kugle nalazi se naboj Q

(sl. 7 . 1 ) . Odredite raspored polja i potencijala u cijelom prostoru.

2. Koliki je potencijal i polje u točki T na udaljenosti d od površine kugle u prethodnom zadatku( sl. 7 . 1 )?

-o

T

T

Sl. 7.2.

Sl. 7. 1.

3.

d

L----�r- ------o

Koliki je potencijal kugle u 1. zadatku?

4. Koliko je polje i potencijal u točki T u slučaju da naboj Q nije u središtu

usamljene neutralne kugle (sl. 7.2)?

5. Koliki je potencijal i polje na površini kugle u prethodnom zadatku (sl. 7.2)

ako je kugla uzemljena?

6. Tri koncentrične metalne kugle nabijene su nabojima Q1 , Q1 i Q3 (sl. 7.3 ) .

Napišite izraze za jakosti polja i potencijala na unutarnjim i vanjskim površi­ nama kugli.

r

Sl. 7.3.

� 7.2. VOI;>IČ U ELEKTROSTATSKOM POLJU. ELEKTROSTATSKA INDUKCIJA

�

f

�

43

�������

7.

f f

Puna metalna kugla polumjera a1 nabijena je nabojem Q1 , a šuplja metalna kugla polumjera a2 i a3 nabijena je nabojem Q2 (sl. 7.4) . Odredite jakost električnog polja i potencijal u točkama A , B , C i D . +

�

+

+

+

Sl. 7.4.

8.

Sl. 7.5.

Odredite naboj Q1 unutarnje kugle na slici 7.5, tako da je njezin potencijal jednak nuli(
Sl. 7. 7.

9. U metalnoj kuglinoj ljusci koncentrično se nalazi metalna kugla, prema sli­

ci 7 .6. Odredite naboj Q1 tako da se metalna kugla nalazi na istom potencijalu kao i točka A . Zadano je: a 1 = 1 cm , a2 = 3 .5 cm , a3 = 4 cm , rA = 8 cm , Q2 = 1 nC i fr = 1 .

7.

44

10.

VODIČ U ELEKTROSTATSKOM POLJU

Unutarnj i cilindar uzemljenog koaksij alnog kabela (sl. 7. 7) naelektriziran je linijskim nabojem gustoće /t

= 8 nC/m . a) polje i b) potencijal na površini unutarnjeg cilindra ako je a 1 = 1 cm , a2 = 2 cm , a3 = 2.2 cm i C:r = 1 . Odredite:

11.

Dvije paralelne ravnine ravnomj erno su nabijene nabojem plošne gustoće

a =

1 0 nA/rn2

različitih predznaka.

dvoploče površine

S

=

5 cm2 ,

Između njih se nalaze Maxwellove

a njihova normala stoji pod kutom od

30°

u

odnosu na normalu ravnine. Odredite iznos influenciranog naboja na dvoplo­ čama.

12.

Četiri tanke metalne paralelne ploče na međusobnom su razmaku

d

(sl. 7 . 8 ) .

Vanj ske ploče spojene su vodičem i uzemljene, a n a unutarnjim pločama po­ stoj i naboj

Qo

suprotnih polariteta. Skicirajte raspodjelu potencijala između

ploča i odredite napon.

+Q

(1) (2)

+ Qo - Oo

B

A

-Q

A

B

: d/4 : : d/10 I I I

d : d

I I

d

I I I I

I I I

,

d Sl. 7.9.

Sl. 7. 8.

13.

Između dviju tankih metalnih paralelnih i suprotno naelektriziranih ploča na razmaku

d

ubačena je metalna ploča debljine

d/ 10

(sl.

7.9).

Za koliki se

postotak u tom slučaju promijeni napon UAB ? Ako se ista dodatna ploča stavi na sredinu, koliko se tada promijenio napon?

7.3. Električn o polje

7.3. Pitanja

sile na površini vodiča

I

1.

O čemu zavisi j akost električnog polj a na površini naelektriziranog vodiča?

2.

Kolika je sila na elementarnu površinu naelektriziranog vodiča?

7A. RASPODJELA NABOJA NA POVRŠINI VODIČA

45

7.4. Raspodjela naboja na površini vodiča

I 7.4. Pitanja I 1.

Kako j e naboj raspodijeljen po naelektriziranoj metalnoj kugli?

2.

Ako se dvije metalne kugle različitih polumjera nalaze na istom potencijalu, kako se odnose njihove plošne gustoće naboja?

· '

3. Gdje je najveća jakost električnog polja?

4. Što je korona? 5. Kako se skida elektrostatski naboj s plastičnih traka? 6. Zašto je gromobran šiljast? 7. Smij u li uređaji visokog napona imati šiljke?

'.I 7.4. Zadaci I

!

1.

Dvije metalne kugle polumjera a1 = 1 cm i a1 = velikoj udaljenosti i naelektrizirane nabojima

Q10

3 cm međusobno su na 4 nC i Q20 = 6 nC , a

=

zatim se spoje vrlo tankom metalnom žicom. Odredite:

a) gustoću naboja na svakoj kugli; b) jakost polja na površini svake kugle;

c) potencijal svake kugle. 2.

Ispred naelektrizirane metalne kugle polumjera a = nalazi se usidren elektron na udaljenosti

d = 3 cm

1 cm

i naboj a

Q = 1 O nC

od površine kugle. Ako

se elektron oslobodi, kojom će brzinom udariti u površinu kugle ako su sve ostale sile zanemarive, a okolni prostor je vakuum?

3. Dvije jednake električki nabijene metalne kuglice nalaze se u prostoru na udaljenosti

d= 1 m

i odbijaju se silom

F1

= 0.9 N . Kada se kuglice na tre­

nutak dodirnu i ponovo vrate u isti položaj , odbijaju se silom

F2

= 1 . 125 N .

Odredite naboje kuglica prij e i poslije dodira.

4. Koliko je električno polje i potencijal u točkama A , B i C oko usamljene naelektrizirane, šuplje metalne kugle (Slika 7. 1 0)? Zadano je: a1 ai = 20 cm , a1 = 2 1 cm , aA =

2·

Q

=

1 nC ,

7. VODIČ U ELEKTROSTATSKOM POLJU

46

+

+

c

+

+

Sl. 7.10.

5. Odredite jakost električnog polja i potencijal u točki T prema slici 7 . 1 1 . Za­

dano je: Q = 1 nC,

a1 =

2 cm ,

a2 =

2.5 cm, d = 7.5 cm ,

--------

�

E„

=

1.

1

--------

T

Sl. 7. 11.

7.5. Metoda zrcaljenja

I 75 .

.

Pitanja

I

1. Obj asnite princip metode zrcaljenja električnog naboja ispred vodljive ravnine. 2. Kako se zrcali električni dipol izi;iad vodljive ravnine?

3. Kako se zrcali naboj ispred pravokutne vodljive ravnine?

47

7.5. METODA ZRCALJENJA

I 7.5. Zadaci I 1. Odredite smjer i jakost polja te potencijal u točki T1 na slici 7 . 12. Zadano je: Q = 2 nC , h1 = l .2 m , h2 = 0.5 m , a = 1 m . --------

·Q I I I

Ti t-

:

h2 /

Sl. 7. 12.

2. Odredite smjer, iznos polja i potencijal u točki T2 na slici 7. 12 ako je

h

d

.

�o

I I

h/2

vodič

Sl. 7. 13.

3.

h1 .

� f-----------:A.

h

a =

-1 A :

: :

Sl. 7. 14.

a

B � :

Odredite silu na naboj Q2 na slici 7. 1 3 . Zadano je: Q1 = -Q2 = Q d = 50 cm , h = 2 m .

=

2 nC ,

4. Kolika j e energija sustava naboja na slici 7. 1 3 ?

5. Odredite jakost polja i potencijal u točkama A i B (slika 7 . 14). Zadano je: A.

= l O nC/m , h

=

2m, a = 1 m.

48

8. DIELEKTRICI U ELEKTROSTATSKOM POLJU

8.

Dielektrici u elektrostatskom polju

8. 1 . Polarizacija dielektrika

\ 8.1 . Pitanja I 1.

Kolika je brojnost slobodnih elektrona kod dielektrika?

2.

Kako nastaj e inducirani dipol?

3.

Koliki je dipolni moment induciranog dipola?

4. Što su izotropni, a što anizotropni dipolni momenti? 5. Što su polarne molekule? 6. Što je električna polarizacija?

8.2. Vektor električne polarizacije

\ 8.2. Pitanja I 1.

Što je vektor električne polarizacije?

2.

Kako se definira vektor električne polarizacije?

3.

Koliki je vektor električne polarizacije kod nepolariziranih molekula?

4. Kakva je zavisnost vektora polarizacije o polju kod većine dielektrika? 5. Što j e električna susceptibilnost?

6. Kakva su svoj stva homogenog dielektrika i koja relacij a za njih vrij edi? 7. Kakvi su odnosi vektora

dielektrika?

P

i

ff

kod izotropnih, a kakvi kod anizotropnih

8.4. POOPĆENI GAUSSOV ZAKON. VEKTOR POMAKA

49

8.3. Vezani i pomaknuti naboj

I 8.3. Pitanja I 1. Što je vezani naboj? 2. Čemu je jednaka količina pomaknutog naboja?

3. Kako se može izraziti intenzitet polarizacije pomoću pomaknutog naboja? 4. Kako se pomaknuti naboj može izraziti pomoću vektora polarizacije i površi-

ne?

5. Kako se računa pomaknuti naboj u nehomogenom električnom polju? 6. Kako se računa pomaknuti naboj kroz zatvorenu površinu? 7.

Čemu je jednak višak naboja u zatvorenoj površini?

8 .4. Poopćeni Gaussov zakon . Vektor pomaka

I 8.4. Pitanja I 1. Objasnite poopćeni Gaussov zakon. 2. Što je vektor pomaka? Koja je jedinica za vektor D ?

3 . Kakva je zavisnost vektora pomaka o električnom polju kod: a) linearnih; b) nelinearnih dielektrika? 4. Što je relativna permitivnost? 5.

Zašto je jakost polja u dielektriku manja nego u vakumu uz isti raspored naboja?

6. Što su linije toka?

I 8.4. Zadaci I

1. Odredite vektor pomaka, električno polje i potencijal naelektriziranog pravca okruženog homogenim dielektrikom Sr .

2. Odredite vektor pomaka, električno polje i potencijal naelektrizirane metalne kugle okružene dielektrikom Sr .

3. Odredite vektor pomaka, električno polje i potencijal naelektrizirane ravnine u dielektriku Sr .

8.

50

DIELEKTRICI U ELEKTROSTATSKOM POLJU

4. Odredite vektor pomaka, električno polje i potencijal između dviju paralelnih, suprotno naelektriziranih ravnina među kojima je dielektrik Er .

5. Odredite vektor polarizacije u zadacima 1, 2 i 3.

6.

Odredite polarizirani naboj koji nastaje između dviju suprotno naelektriziranih metalnih ploča (sl. 8 . 1 ) . Zadano je: Er

= 4.

Q=

8 nC ,

S=

200 cm2 , l

==

0.5 cm ,

u

�--<>

Sl. 8. 1.

7. Koliki je polarizirani naboj u prethodnom zadatku ako je zadano: l = O . 5 cm , S = 400 cm2 Er = 4 ?

,

8. Pločasti kondenzator ispunjen dielektrikom

d=

5 mm priključen je na napon

U

polariziranog naboja.

Er

= 1 00

V.

=

U=

50 V ,

8 ' s razmakom ploče

Odredite plošnu gustoću

Sl. 8.3.

Sl. 8.2.

9. Ako se na površini dielek:trika pločastog kondenzatora naelektriziranog nabo­ jem

Q

pojavi polarizirani naboj iznosa

rika.

Qp =

0.6Q , odredite Er tog dielekt­

10. Ako naelektrizirani pločasti kondenzator naboja dielektrika polarizirani naboj

( )

dielektrika E„ .

Qp

Q=

20 nC stvori na površini

= 1 5 nC , odredite relativnu permitivnost

8.5. ODREĐIVANJE PERMITIVNOSTI. . .

8.6. KARAKTERISTIČNA SVOJSTVA.

•

.

51

11. Koliki je polarizirani naboj na unutarnjoj površini dielektrika koji razdvaja dvi­

je koncentrične metalne naelektrizirane kugle (sl. 8.2 )? Zadanoje: Q = 5 nC , a1 = l em , a2 = 2 cm , a3 = 2. l cm , Er = 5 .

12. Odredite polarizirani naboj na vanjskoj površini dielektrika koji razdvaja dvije

koncentrične metalne naelektrizirane kugle iz prethodnog zadatka.

13.

Odredite polarizirani naboj u dielektriku j ednoslojnog kuglastog kondenzatora koji je priključen na napon U = 200 V (slika 8.3). Zadano je: a1 = 5 mm , a2 = l O mm , a3 = 10.5 mm i = 4 .

Er

14. Koliki je polarizirani naboj na vanjskoj površini dielektrika koji se nalazi iz­

među dvaju koaksijalnih metalnih naelektriziranih cilindara (sl. 8.4) . Zadano je: A = 8 nC/m , a1 = 1 cm , a2 = 2 cm , a3 = 2.2 cm , Er = 5 .

Sl. 8.4. 15.

Sl. 8.5.

Odredite polarizirani naboj na unutarnjoj površini dielektrika iz prethodnog zadatka (sl. 8.4) ako je umjesto A, zadan napon U12 = 1 00 V .

1 6. Odredite gustoću polariziranog naboja na površinama dielektrika (na a 1 i a2 )

cilindričnog kondenzatora koji je priključen na napon U = 220 V , slika 8.5. Zadano je: a1 = 2 mm , a2 = 8 mm , a3 = 8.5 mm i = 5 .

Er

8.5. 8.6.

Određivanje permitivnosti dielektrika. Karakteristična svojstva dielektrika i izolatora

I 8.5. i 8.6. Pitanja I 1. Kako se određuje permitivmost dielektrika?

2 . Opišite svojstva linearnih dielektrika. 3.

Opišite svojstva nelinearnih dielektrika.

4. Što su feroelektrici?

52

5.

8. DIELEKTRICI U ELEKTROSTATSKOM POLJU

Što je zaostala polarizacija i gdje se javlja?

6. Što su elektreti? 7.

Što su izolatori i koja su njihova svojstva?

8. Zašto je za izolatore važna vremenska konstanta relaksacije? 9. Što je električna čvrstoća dielektrika?

10. Zašto nastaje električna korona? 11. Objasnite piezoelektrični efekt? 12. Gdje se primjenjuje piezoelektrični efekt?

I 8.5. i 8.6. Zadaci � 1. Dvije rnetalne paralelne ploče na razrnaku d = 0.5 crn priključene su na napon U = 120 V . Odredite plošne gustoće naboja u slučaju da se između ploča nalazi: a) vakuum i b) dielektrik dielektričnosti Er = 2.5 .

2. Ako probojna čvrstoća dielektrika iz prethodnog zadatka iznosi Epr = 1 00 kV/crn , koliki je probojni napon? 3.

Dva tanka metalna koaksijalna cilindra polumjera a 1 = 0.25 cm i a2 = 3 cm izolirani sujedan od drugoguljern čijaje probojna čvrstoća Epr = 140 kV/crn . Kod kojeg će napona doći do proboja? Koliki su pritom gradijenti potencijala na a 1 i a2 polumjerima?

4. Koliki polumjer mora imati unutarnja elektroda sistema dvaju tankih metalnih

cilindara da bi se mogao izdržati što veći napon, ako je polumjer vanj ske elektrode a2 = 3 .2 crn , a električna čvrstoća dielektrika Epr = 1 60 kV/ crn? Koliki je taj napon?

5.

Između dviju koncentričnih metalnih kugli (sl. 8.6) nalazi se dielektrik čija je dopuštena dielektrična čvrstoća Ed == 30 kV/crn . Kolikije polumjer a1 da bi se mogao priključiti maksimalni dopušteni napon ako je a2 = 10 cm ? Koliki je taj napon? Je li za to bitna debljina d šuplje kugle?

u Sl. 8.6.

8.8. ELEKTRIČNO POLJE NA GRANICI . . .

8.7. SILOCIJEVI.

6.

Zadanje koaksijalni kabel kao na slici 8.7, te veličine

a2

= 48

mm , Er = 2 .24 .

Odredite udalj enost

53

U=

1 20 V,

a1

=

4 mm ,

d od površine unutarnje elekt­

rode do ekvipotencijalne plohe koja se nalazi na potencij alu od 90 V .

+

-

u Sl. 8. 7.

7. Kolikim se maksimalnim nabojem Q može naelektrizirati metalna usamljena kugla polumj era

a = 2 cm

u zraku u kojem je probojna čvrstoća 30 kV/cm ?

8.7. Silocijevi. 8.8. Električno polje na granici dvaju dielektrika

I 8.7. i 8.8. Pitanja I 1. Što se prikazuj e pomoću linija vektora pomaka i zavise li one o dielektričnosti?

2.

Što je električna silocijev i koja su njezina svojstva?

3. Objasnite 1 . granični uvjet na granici dvaju dielektrika.

4. Objasnite 2 . granični uvjet na granici dvaju dielektrika. 5. Napišite zakon o lomu vektora

6.

DiE

Objasnite odnos električnog polj a

E

na granici dvaju dielektrika.

i gustoće toka D kod dvoslojnog dielek­

trika između naelektriziranih ploča ako su ploče poredane:

a) u seriju;

b) paralelno.

I 8.8. Zadaci I

1. Električno polje j akosti

kutem

a2

a1

=

E1

=

10

kV /cm u dielektrik

30° na granicu s dielektrikom

i jakost polja

E2 .

er2 = 1 .5 .

er1

=

4

upada pod

Odredite kut izlaska

54

8. DIELEKTRICI U ELEKTROSTATSKOM POLJU

2. Koliki su vektori pomaka i vektori polarizacije u oba dielektrika iz prethodnog zadatka?

Vektor električnog polja E1 = 1 00 V/ cm iz di elektrika Er1 = 1 .2 upada pod kutem a 1 = 30° na granicu s dielektrikom Er2 = 2.5 , a zatim ulazi u dielektrik Er3 = 5 (sl. 8.8). Odredite kutove a1 i a3 .

3.

Sl. 8.8.

4.

Odredite jakosti polja E2 i E3 u prethodnom zadatku.

5.

Odredite vektor polarizacije u svim trima dielektricima u 3. zadatku.

6.

Odredite predznak naboja polarizacije na ·granicama dielektrika u 3 . zad.

7.

Odredite odnos električnog polja E i vektora pomaka D u dielektricima na slici 8.9. Zadano je: E„1 = 3 E„2 •

/%

+ U o�---o -

�

�

a)

+ o-<> U-

-

-

-'

-

b)

Sl. 8.9.

8.

Na granici dvaju dielektrika E„1 = 3 i E„2 = 4 poznata je tangencijalna kom­ ponenta E11 = 200 V /m i upadni kut a 1 = 30° . Odredite električno polje E2 i vektor pomaka D2 .

9.

Na granici dvaju dielektrika e„1 = 2 i e„2 = S poznata je normalna kompo­ nenta D2n = 50 C/m2 i upadni kut a1 = 45° . Odredite električno polje E1 i D1 .

.

9.2. KAPACITET IZMEĐU DVAJU IZOLIRANIH TIJELA. KONDENZATOR

55

9.

Električni kapacitet

9.1 . Veza između naboja i potencijala vodiča. Definicija kapaciteta usamljenog tijela

j 9.1 . Pitanja I 1. Jesu li naboj naelektriziranog usamljenog tijela i njegov potencijal proporcio­ nalni? 2. Kako se definira električni kapacitet usamljenog tijela? 3.

Koja je jedinica za električni kapacitet?

I 9.1 . Zadaci I 1. Odredite polumjer metalne usamljene kugle koja ima kapacitet C = 0.7 nF , Er = 1 .

2. Ako je potencijal kugle iz prethodnog zadatka jednak
9.2. Kapacitet između dvaju izoliran ih tijela. Kon denzator

j 9.2. Pitanja I 1. Kako je definiran kapacitet između dvaju izoliranih vodljivih tijela? 2. Izvedite izraz za kapacitet dviju metalnih paralelnih ploča. 3.

Što je električni kondenzator?

9. ELEKTRIČNI KAPACITET

56

I 9.2. Zadaci J 1.

Dvije paralelne metalne ploče na razmaku d = 1 cm i površine S = 200 cm2 ispunjene su dielektrikom Er 2.5 . Odredite kapacitet između ploča. =

Er = 5 i električnu čvrstoću 1 00 kV/cm . Ako kapacitet treba iznositi C = 0.8 nF , a maksimalni dopušteni napon U = 200 kV , odredite dimenzije kondenzatora.

2. Pločasti kondenzator ima dielektrik permitivnosti

Ed

3.

4.

=

Koliki je dopušteni napon ako se ukloni dielektrik iz prethodnog zadatka, u zraku je tada Ed = 25 kV/cm? Koliki je kapacitet tog kondenzatora?

Tvrda guma ima dielektričnu konstantu Er = 2.8 i dielektričnu čvrstoću 18 1 06 V/m . Ako se ova guma upotrijebi kao dielektrično sredstvo za ploča­ sti kondenzator, koliku minimalnu površinu smiju imati ploče kondenzatora da bi kapacitet bio 7 1 0-2 µF , a pogonski napon 4 kV ? ·

·

5.

Izračunajte kapacitet pločastog kondenzatora (sl. 9 . 1 a) ako se relativna permi­ tivnost mijenja prema slici 9 . 1 b. Zadano je: S = 100 cm2 , d = 1 cm . d

a)

C.r ( x )

7

7

2

a)

s, (x ) I I I I I

2

I - - - - - - - -- - �

I I

o

b) Sl. 9. 1.

d

X

o

d/2 b)

d

X

Sl. 9.2.

6. Izračunajte kapacitet pločastog kondenzatora kod kojeg se dielektričnost iz­ među ploča mij enja po zakonitosti prema slici 9.2 . Zadano je: S = 1 O cm2 i d = 1 cm .

9.3.

KAPAClTET KAO ELEMENT STRUJNOG KRUGA

57

9.3. Kapacitet kao element strujnog kruga

j 9.3. Pitanja I 1. Defmirajte kapacitet kao element strujnog kruga.

2.

Kako kapaciteti mogu biti spojeni?

3. Izvedite izraz za paralelni spoj kapaciteta.

4. Kako se odnose naboji na p aralelnim kapacitetima? 5. Izvedite izraz za serij ski spoj kapaciteta.

6.

Izvedite izraz za napon na i -tom kapacitetu serij skog spoj a n kapaciteta.

7. Koja su dva slučaj a karakteristična za mješoviti spoj? 8. Koji su osnovni zakoni kapacitivnih mreža?

I 9.3. Zadaci l 1. Serijski spoj kapaciteta C1 i C2 priključen je na napon

je iz izvora izašao naboj Q

= 3 mC. Ako je

na svakom kapacitetu i iznos svakog kapaciteta.

2.

U = 160 V, pri čemu 5 , odredite napone

C1 : C2 = 3 :

= 2 µF , C2 = 5 µF i C3 = 10 µF spoj eni su serij ski i priklju­ čeni na napon U = 240 V . Koliki je napon na svakom kapacitetu?

Kapaciteti C1

3. Koliki je ukupni kapacitet spoja i naboj na svakom kapacitetu u prethodnom

zadatku?

4. Kapaciteti C1 , C2 i C3 spojeni su serijski i priključeni na napon

U = 600 V .

Koliki j e potreban kapacitet C3 da bi se na kapacitetu C 1 postigao napon

200 V , ako je zadano C1 = 5 µC i C2 = I O µ C ? 5 . Kondenzatori C 1 = 2 µ F , C2 = 5 µ F i C3 = 10 µ F imaj u dopušteni napon Ud = 600 V . Na koji se maksimalni napon smije priključiti serij ski spoj tih Uc1

=

triju kondenzatora?

6.

Kapacitet C1 =

50 µ F u nekom spoju treba dodavanjem jednog kapaciteta C2

smanj iti na ukupni kapacitet C =

njegov iznos?

Kako treba spojiti C2 i koliki j e

C1 = 5 µF i C2 = µF spojeni su serijski i priključeni na na­ 600V Ako se kondenzatoru C 1 paralelno doda kondenzator C3 = 15 µ F ,

7. Kondenzatori

pon

I O µF .

9. ELEKTRIČNI KAPACITET

58

dolazi do proboja kondenzatora C2 Koliki je napon proboja kondenzatora .

C2 ? 8.

9.

10.

Kondenzator C1 = 5 µF nabij en je na napon U10 = 400 V , a kondenzator C2 = 20 µF na napon U20 = 50 V . Odredite napon na paralelnom spoju tih kondenzatora u slučaju da su im spojeni polariteti: a) istoimeni; b) raznoimeni.

Na kondenzatoru C1 vlada napon U10 = lOO V . Ako se tom kondenzatoru paralelno spoji kondenzator C2 = 3 µF , zajednički napon iznosi U = 40 V . Koliki je kapacitet Ci ? Odredite ekvivalentni kapacitet kombinacije na slici 9.3. Zadano je: 1 O µF, C2 = 5 µF i C3 = 4 µF .

Sl. 9.4.

Sl. 9.3.

11.

C1

Odredite ekvivalentni kapacitet kombinacij e na slici 9.4: a) kadaje prekidač P otvoren i b) kadaje prekidač P zatvoren. Zadano je: C1 = 1 µF, C2 = 2 µF, C3 3 µF i C4 = 4 µF . =

12.

13.

14.

Ako nekom kondenzatoru C 1 koji je nabijen na napon U 100 V paralel­ no priključimo kondenzator C2 = 1 .5 µF , napon na kondenzatorima iznosi U1 = 40 V . Koliki je kapacitet kondenzatora C1 ? =

Ako raspolažemo s više kondenzatora kapaciteta C2 = 2 µF koji podnose napon 200 V bez proboja, kakva kombinacij a daje ekvivalentni kapacitet: a) 0.4 µF i b) l .2 µF , koja može izdržati napon 1000 V ?

Zadan je serijski spoj dvaju jednakih kapaciteta, C1 C2 C , od kojih je C1 prethodno nabijen na napon 2U, a C2 nenabijen. Koliki će biti naponi na Ci i C2 nakon priključenja na izvor napona U (sl. 9.5)? ==

=

59

9.3. KAPACITET KAO ELEMENT STRUJNOG KRUGA

p

r�I

u,

r

, c

c;T

Sl. 9.5.

2U u

t r

c,

C2

I

l

T

T

�� Sl. 9. 6.

c,

C4

Koliki će biti konačni napon na C1 i C2 iz prethodnog zadatka ako je C1 nabijen na napon 2U s obratnim polaritetom? 16. Neutralni kondenzatori na slici 9.6 priključeni su na izvor napona U = 200 V . Ako je pritom napon UAB = +1 lO V , C1 = 1 5 nF i C2 = C3 = 5 nF , odredite kapacitet C4 . 17. Prij e zatvaranja prekidača kondenzator C1 nabijen je na napon U0 = 100 V polariteta prema slici 9.7. Nakon zatvaranja prekidača kondenzatori se na­ biju tako da je na svim trima jednak napon. Pritom naboj na C1 iznosi Qi = 45 m As, a energij a na C2 je 9 puta veća nego na kondenzatoru C3 . Odredite iznose kapaciteta C1 , C2 i C3 . 15.

C2 Sl. 9. 7.

1 8.

1 9.

Cs

+

u

Sl. 9.8.

Spoj kondenzatora prema slici 9.8 priključenje na izvor napona U = 220 V , pri čemu se na kapacitetu C3 javlja naboj Q3 = 48µ As . Odredite kapacitet kondenzatora Cs i sve napone. Koliki je ukupni kapacitet spoja? Zadano je: C3 = 0.6 µF , C2 = 0.4 µF , C1 = 2 µF , C4 = 0.2 µF . Promjenjivi zračni kondenzator (sl. 9.9) ima 35 ploča razmaknutih za d = 0.5 mm . Kolika mora biti površina S svake ploče da bi maksimalni kapacitet kondenzatora bio C = 550pF ?

9. ELEKTRIČNI KAPACITET

60 stator I

rotor

I

I I I

I

i-----.

I

I I

--

I I

b)

a) Sl. 9.9.

20.

Kapacitet C1 = 4 µF ima početni napon Ur o = 40 V , a C2 = 8 µF je neu­ tralan. Koliki je napon na kapacitetu Cr i C2 nakon priključenja na napon U = l OO V (sl. 9.10)? U10

C2

C1

� 1-

p� u

Sl. 9. 1 0.

C2

C3

HH +

-

u

Sl. 9. 1 1 .

Kapaciteti Cr i C2 iz prethodnog zadatka (sl. 9.10) prethodno su nabij eni na napon Ur o = 40 V i U20 = -30 V . Odredite njihove napone nakon zatvaranja prekidača. 22. Tri neutralna serij ski spojena kapaciteta Cr = 2C2 = 3 C3 spojena su na na­ pon U (sl. 9. 1 1 ). Odredite na kojem će kapacitetu biti najveći napon i koliki je njegov iznos. 23. Odredite napon U inaponenasvimkapacitetimaakojepoznato: Ur I OO V , C1 = 4 nF , C2 = 4 nF , C3 = 2 nF i C4 = 1 nF (sl 9. 12).

21.

=

+

Sl. 9. 12.

u

Sl. 9.13.

9.3.

KAPACITET KAO ELEMENT STRUJNOG KRUGA

61

Na raspolaganju imamo dva kondenzatora, C1 = 3 µF dopuštenog napona U1d = 200 V i C2 = 5 µF dopuštenog napona U2d = 250 V . Odredite najveći dopušteni napon koji se može spojiti na serij ski spoj tih dvaju konden­ zatora. 25. U shemi na slici 9.13 zadano je: C1 = 4 µF, C2 = 2 µF , C3 = 6 µF i U = 900 V . Odredite naboj na kapacitetu C3 . 26. U shemi na slici 9.14 odredite kapacitet C1 . Zadano je: U = 240 V , C2 = 40 µF , C3 = 1 2 µ F i maksimalni dopušteni napon na kapacitetu U3d = 150 V . 24.

-

+

u Sl. 9.14.

Tri kondenzatora, C1 = 1 µF, C2 = 2 µF i C3 = 3 µF spojena su u seriju i priključena na napon U = 1 100 V . Koji će kondenzator preuzeti najmanji napon i koliko iznosi taj napon? 28. Ako svaki kondenzator iz prethodnog zadatka ima dopušteni napon Ud = 900 V, koliki se maksimalni napon smij e priklj učiti na serijsku kombinacij u tih kondenzatora? 29. Kondenzatorkapaciteta C1 = 5 µF ima dopušteninapon U1d = 280 V , akon­ denzator kapaciteta C2 = 1 O µF ima dopušteni napon U2d = 100 V . Ako se kondenzatori serij ski spoje, koliki je maksimalni dopušteni napon izvora? 30. Odredite napon izvora U i kapacitet C4 ako je poznato C 1 = 30 nF , C2 = 20 nF , C3 = 1 0 nF , Uc3 = lOO V , Uc4 = 50V (slika 9.15).

27.

C 2 r--1C,� � + u -

Sl. 9.15.

c4

.--,

62

31.

9.

Koliki je iznos integrala f DdS po zatvorenoj plohi na slici 9. 16? Zadano je: s U = 300 V , C = 5 µC . 3C

� -.....

3C

3C

C

I

:R-Ri t---� I I

r. - - °"

I 1------4--1 I I I L _

+

S

-

u Sl. 9. 1 6. 32.

ELEKTRIČNI KAPACITET

+

u

Sl. 9. 1 7.

Koliki je iznos integrala f DdS po zatvorenoj površini na slici 9.17? Zadano s je: U = lOO V , C1 = 2C2 = lO µF , C4 = 3C3 = 9µF.

9.4. Proračun kapaciteta. 9.5. Parcijalni i pogonski kapacitet

I 9.4. i 9.5. Pitanja I Analizirajte D , E ,

1.

I 9.4. i 9.5. Zadaci I 1.

Pločasti zračni kondenzator priključen je na napon 30 kV . Razmak među elektrodama je 3 cm . Između elektroda, paralelno sa pločama stavimo ploču od stakla debljine 2 cm ( Er = 7 ). Kako se raspoređuje napon na slojevima zraka i stakla i kako se promijenio kapacitet i naboj kondenzatora?

9.4. PRORAČUN KAPACITETA.

9.5. PARCUANI I POGONSKI KAPACITET

2. Između ploča pločastog troslojnog kondenzatora vlada napon U

63

6 kV . Prikažite grafički raspored polja i potencij ala ako je debljina dielektrika d1 = 0.25 cm , d2 = 0.45 cm i d3 = 0. 1 cm, a odgovarajuće dielektričnosti SU E:1 = 4 , E:2 = 5 , E:3 2.5 . 3. Dvoslojni pločasti kondenzator na sl. 9 . 1 8 ima dielektrik dopuštene čvrstoće E1d = 50 kV/cm i E2d = 80 kV/cm. Odredite maksimalni dopušteni napon U ako je d1 = 1 cm, d2 = 2 cm, Er1 = 5 i E„2 = 4 . =

=

d1

dz

Sl. 9. 18.

Naelektrizirani pločasti kondenzator nabijen je nabojem Q , a dielektričnost mu je Er1 1 . Ako se između ploča nalazi dielektrik Er2 , napon između ploča smanji se za 1 /3 u odnosu na početni. Koliki je Er2 ? 5. Dva pločasta kondenzatora imaju dielektrike Er1 = 2 i Er2 = 6 i priključeni su na stalni napon U . Kako se odnose naboji tih dvaju kondenzatora? 6. Kako se odnose padovi napona na dielektriku dvoslojnog pločastog konden­ zatora ako je E„1 = 3E„2 , a 2d1 = d2 ? 7. Za koliko će se promijeniti kapacitet ako se između ploča pločastog zračnog kondenzatora ubaci sloj debljine d/4 : a) metala; b) dielektrika dielektričnosti Er = 2 ? c) U kojem je slučaju kapacitet veći i zašto? 8. Ako se između suprotno naelektriziranih metalnih ploča ( Q = konst. ) unese metalna neutralna ploča debljine d1 = d/5 prema slici 9.19, za koliko se promij enila: a) električno polje; b) napon između ploča? 9. Ako se između ploča priključenih na stalni napon U unese neutralna metalna ploča debljine d1 = � (sl. 9.20), za koliko se promijeni: a) električno polje između ploča; b) naboj na pločama?

4.

==

64

9. ELEKTRIČNI KAPACITET

-Q

+Q

+ ---o u 0'---

_ _ -

d Sl. 9. 19.

__,

Sl. 9.20.

1 0. Između metalnih, paralelnih, kratkospojenih i usamljenih ploča ubačena j e

paralelna metalna ploča koja s e nalazi n a naponu

a) raspored potencij ala; b) odnos električnih polja E2 +

i

u

E1

E1

&o

&o

U

9

(slika .2 1 ) .od Odredite:

E1 . + u

+U d

d

d

2

4

2

&o E1

d

Sl. 9.21.

Sl. 9.22.

1 1 . Ako u prethodnom zadatku uzemljimo ubačenu ploču, a vanj ske se ploče na­

laze na istom naponu

U

( slika

a) raspored potencijala; b) odnos električnih polja E2

i

9 .22) , odredite: E1 •

( Q = konst. ) ubaci se 5 ( slika 9 .23 ) . Odredite

12. Između ploča naelektriziranog pločastog kondenzatora

dielektrik deblj ine

d/4 , relativne dielektričnosti Er =

omjer napona na kondenzatoru prije i poslij e ubacivanja dielektrika.

Sl. 9.23.

13. Odredite omjer kapaciteta kondenzatora iz prethodnog zadatka.

9.4. PRORAČUN KAPACITETA.

14.

9.5. PARCUANI I POGONSKI KAPACITET

65

Između ploča pločastog kondenzatora smještene su dvije metalne ploče zane­ marive debljine prema slici 9.24. Ako je kondenzator priključen na napon U, odredite polje u svim trima dij elovima: a) prij e uključenja prekidača; b) poslije uključenja prekidača. d I. Eo

II.

III.

EO

Eo

s

p +

u

Sl. 9.24.

Rij ešite prethodni zadatak tako da je konstantan naboj Q , a ne napon U. 16. Između ploča pločastog dvoslojnog kondenzatora vlada napon U = 5 kV . Izračunajte i prikažite grafički raspored vektora E te potencijala q> ako je di = 0.4 cm, dz 0.6 cm, Er1 = 3 i Er2 = 6 (sl. 9.25). 15.

=

Er i I I I I I I 1 I I

6+

Er 2

dz

d1 u

Sl. 9.25.

17.

I I I I I I 1 I 1

-b

Pločasti kondenzator prema slici 9.26, s razmakom ploča d = 0.5 cm, uronjen je do polovine visine u ulje relativne dielektrične konstante er = 3 . Ako je na kondenzator priključen napon U = 400 V, koliki je njegov naboj?

9.

66

ELEKTRIČNI KAPACITET

Sl. 9.27.

Sl. 9.26.

Za koliko se promijeni potencijal i kapacitet metalne naelektrizirane kugle polumjera a u vakuumu ako se ta kugla obloži dielektrikom Er = 4 debljine d = 0.4a? 19. Koliki treba biti odnos Eri /Er2 u dvoslojnom kuglastom kondenzatoru kojem su maksimalna polja jednaka, a polumjeri se odnose a2 : a1 = 2 : 1 , i a1 : a3 4 : 5 (sl. 9.27)? 20. a) Kakav je odnos padova napona na dielektricima u prethodnom zadatku? b) Kakav treba biti odnos Eri i Er2 da bi naponi na dielektricima bili jednaki? 21. U kuglastom kondenzatoru koji treba biti priključen na napon od 100 kV unutarnja kugla ima polumjer a1 = 24 cm . Koji maksimalni kapacitet kon­ denzatora možemo postići prikladnim izborom polumjera a2 šuplje kugle (sl. 9.28), a da uz priključen napon polje u zračnom izolatoru ne prekorači probojnu čvrstoću od 30 kV/cm? Koliki je u tom slučaju polumjer a2 šuplje kugle? Je li za to bitna debljina šuplje kugle? 18.

=

d

Sl. 9.28.

22.

Odredite: a) probojni potencijal na usamljenoj naelektriziranoj kugli polumjera a = 1 cm u zraku ( Q = konst. ) ako je probojna čvrstoća zraka Ep = 30 kV/cm; b) debljinu ( d ) dielektrika dielektričnosti Er = 3 koji treba staviti oko kugle

9.4. PRORAČUN KAPACITETA.

9.5. PARCIJANI I POGONSKI KAPACITET

67

da bi se potencijal kugle smanjio za 10% ; c) dopuštenu čvrstoću dielektrika da ne dođe do proboja u dielektriku izabrane debljine d . 23. Odredite kapacitet usamljenog kuglastog kondenzatora polumjera a 1 = 1 cm, a2 = 2 cm i a3 = 2.1 cm ako je: a) uzemljena vanjska elektroda (sl. 9.29a); b) uzemljena unutarnja elektroda (sl. 9 .29b).

b)

a) Sl. 9.29.

Dvoslojni kuglasti kondenzator treba imati jednake maksimalne jakosti polja u dielektriku. Zadano je : a 1 = 1 cm, a3 = 3 cm, f„ 1 = 8 i f„2 = 2 . Izračunajte: a) polumjer a2 ; b) padove napona na oba dielektrika ako je U = 1000 V ; c) kapacitet kondenzatora. 25. Odredite polumjer a2 kuglastog kondenzatora tako da na oba dielektrika vlada isti napon. Zadanoje: s„1 = 4 , s„2 = 2 , a1 = 1 cm, a3 = 6 cm . 26. Zadan je cilindrični kondenzator prema slici 9.30, te veličine U = 120 V , R1 = 24 mm , R2 = 48 mm , f„ = 2.24 . Odredite udaljenost d od površine unutarnje elektrode do ekvipotencijalne plohe koja se nalazi na potencijalu od 90 V .

24.

68

9. ELEKTRIČNI KAPACITET

Sl. 9.30.

27. Zadan je koaksijalni kabel s dvama slojevima izolacije: = 4 (sli­ =3i ka 9 .27). Dozvoljena jakost električnog polja za prvu izolaciju je 100 kV /cm , a za drugu 60 kV /cm. Dimenzije kabela su: a 1 = 1 cm, a2 = 2 cm, a3 = 3 cm i a4 = 3.1 cm. Odredite maksimalni napon koji se smije prikl ju­ čiti na kabel, a da ne dođe do proboja izolacije.

er1

er2

28. Dielektričnost između elektroda a1 i a2 koaksijalnog kabela mijenja se po 10 a 2 . . = . kabe1a ako lZilleđu zakorutost1 -- . Odred1te D , E ,

·

e eo

29. Vrlo tanka okrugla žica polumjera a = 3 mm treba biti naelektrizirana na­ bojem A. = 5µC/m i izolirana cilindrično dielektrikom er = 8.9 . Treba odrediti debljinu dielektrika d tako da maksimalno polje u zraku ne prijeđe vrijednost 25 kV/cm . 30. U koaksijalnom dvoslojnom kabelu treba izračunati polumjer a2 na granici dvaju dielektrika tako da su padovi napona na oba dielektrika jednaki. Zadano je: a 1 = 2 cm , a3 = 3.5 cm, = 2 i = 4.

e„1

Er2

31. Koliki je kapacitet dvoslojnog kabela iz prethodnog zadatka?

32. Koliki je omjer / cilindričnog kondenzatora ako su iznosi maksimalnog polja u oba sloja jednaki? Zadano je: a2 = 2a1 , a3 = 3 a 1 .

e„1 Er2

Er1 e„2

33. Koliki je omjer / dielektrika jednaki?

u prethodnom zadatku ako su padovi napona na oba

Er1

34. Pločasti kondenzator ispunjen je dielektrikom relativne dielektričnosti = 6, razmak između ploča je d = 2 .1 mm , a Ep1 = 300 kV /cm. Greškom u proizvodnji nastao je sloj zraka između jedne ploče i dielektrika debljine do = 0. 1 mm , čija je probojna čvrstoća EP2 = 30 kV /cm. Odredite: a) gdje će prvo doći do proboja i kod kojeg napona; b) probojni napon ispravnog kondenzatora.

l),6. ENERGUA NAELEKTRIZIRANOG KAPACITETA.

35.

9.7. SILA

•

•

•

69

Odredite pogonski kapacitet između priključnica 1 i 2, a sustav čine 4 metalne paralelne ploče sl. 9.3 1. (2) -Q

( 1) +Q

A

B

d

d

d

Sl. 9.31.

36.

9.6. 9.7.

Odredite parcijalne i pogonski kapacitet dvožičnog voda iznad zemlje. Zadano je: polumjer vodiča R = 0.2 cm, visina žica h = 5 m , razmak između žica D = 0.5 m , a duljina voda I = lOO m i Er = 1 . Energija naelektriziranog kapaciteta. Sila na naelektriziran o tijelo

J 9.6. i 9.7. Pitanja I Za koliko poraste energija naelektriziranog kapaciteta ako se naboj Q s nega­ tivne elektrode premjesti na pozitivnu? 2. Kako se računa energija naelektriziranog: a) linearnog; b) nelineamog kapaciteta? 3. Kakve sile djeluju između elektroda naelektriziranog kondenzatora? 4. Za koliko se promijeni energija elektroda naelektriziranog pločastog konden­ zatora (poveća ili smanji) ako se razmak između ploča smanji za polovicu pri konstantnom naboju Q (izolirani sistem)? Objasnite nastalu pojavu. 5. Za koliko se promij eni energij a naelektriziranog pločastog kondenzatora (po­ veća ili smanji) ako se razmak između ploča smanji za polovicu pri konstantom naponu U? Objasnite nastalu pojavu. 6. Pločasti kondenzator Er = 1 naelektriziranje nabojem Q . a) Za koliko se promijeni energija kondenzatora ako se razmak između ploča 1.

9. ELEKTRIČNI KAPACITET

70

poveća dva puta i zašto? b) Za koliko se promijeni gustoća elektrostatskog polja ako se razmak između ploča smanji na polovicu?

7. Koliki rad izvrši električna sila ako se ploče naelektriziranog kondenzatora pomaknu za dx pri konstantnom naponu U? 8. Što se dogodi s električnom energijom sustava u uvjetima iz predhodnog pita­ nja? 9. Koliku energiju daje izvor u uvjetima opisanim pitanjima 6 i 7? 10. Što se događa s energijom sustava naelektriziranog kondenzatora ako se ods­ trani dielektrik ( Sr ) između ploča pri: a) Q = const. ; b) U = const. ? Objasnite nastalu pojavu. 11. Je li pri izvlačenju dielektrika u prethodnom primjeru potrebna vanjska sila? 12. Kako se računa sila i zakretni moment pri promjeni električne energije sustava naelektriziranog kondenzatora uz konstantni naboj Q ? 13. Kako se računa sila i zakretni moment pri promjeni električne energije pri konstantnom naponu ( U = konst. ) ?

14. Djeluju li elekrične sile i u kojem smjeru na dielektrik u kondenzatou? Nave­ dite primjer.

I 9.6. i 9.7. Zadaci I

1. U dvoslojnom pločastom kondenzatoru prema slici 9.32 kao izolatori se ko­ riste dielektrici debljina d1 i d2 , relativnih dielektričnih konstanti Er1 = 3 i Er2 = 4 , razmaka među pločama d = d1 + d2 = 0.96 mm . Ako je u dielektricima uskladištena jednaka energija, uz napon U = 1 50 V narinut na kondenzator, odredite d1 i d2 , te ukupnu energiju uskladištenu u kondenzatoru ako je površina ploča S = 100 cm2 .

/,?:.:!jxf:f'/% F': � > �' <�-\ //,/ '�

,,...,. .,..,. ..,. ,..,. ..,... _,.,..., ..,,.., �""'"" �

s

-----v.',-/

�

��";;'· ' '"' ,s,-2 ' � ''"---- �

'*

,>'.f,��/; ' ���

;;:-;:; /,:?,� "- �� ///� /. / , ' '� '� /

d1

.·

,

d

u

Sl. 932.

9.6. ENERGIJA NAELEKTRIZIRANOG KAPACITETA.

2.

9.7. SILA . . .

71

Koliku maksimalnu elektrostatsku energiju može primiti dvoslojni pločasti kondenzator ako je S = 1 00 cm2 , d1 = 2 mm , d2 = 3 mm , cr1 = 5 , Er2 = 3 , E1p = 50 kV/cm , E2p = -:_o k_Y'�m ? ( slika 9.33.) __ _ Er I S Er,2 I I

d1

I I I I

d1

Sl. 9.33.

3. Kakav je odnos energija u slojevima pločastog dvoslojnog kondenzatora ako je

Er1

=

3 cr2 , a 2d1 = d2 ?

4. Naelektrizirani pločasti kondenzator Q = konst. prema slici 9.34 odspojen je od izvora. Za koliko se promijeni energija sustava ako se izvadi dielektrik tri ?

d

Sl. 9.34.

Sl. 9.35.

5. Kapacitet C1 = C naelektriziranje nabojem Qo sl. 9 .35. Ako se kapacitetu C1 priključi kapacitet C2 = C , kolika je energija sustava? Gdje se izgubila početna energija?

6.

Ako se ploče izoliranog i naelektriziranog pločastog kondenzatora nabojem Qo razmaknu na dvostuku udaljenost ( d 1 = 2d ) , za koliko se promij eni gustoća električne energije?

7.

Dva paralelna pločasta kondenzatora C 1 = C2 = C naelektrizirana su napo­ nom U0 i odspojena od izvora napona. Ako se pomak ploča kondenzatora C2 poveća dva pua, za koliko se promijeni energij a sustava i zašto?

8.

Zračni pločasti kondenzator priključen je na stalni napon U . Ako se razmak ploča smanji na polovicu, koliko se promijenila gustoća energije?

9.

Za koliko se promijeni energija naelektriziranog pločastog kondenzatora ( Q = konst. ) ako se razmak između ploča smanji za polovicu?

a) Što se dogodilo s energijom sustava? b) Je li se promijenila gustoća električne energije?

72

9. ELEKTRIČNI KAPACITET

10. Za koliko se promijeni energija naelektriziranog pločastog kondenzatora ( Q = konst. ) ako se prostor između ploča popuni dielektrikom relativne dielektričnosti s,. ?

11. Dva jednaka paralelno spojena pločasta kondenzatora naelektrizirana su ukup­ nim nabojem Q . Ako se jednom kondenzatoru razmak smanji na polovicu; a) za koliko se promijeni energija sustava? b) Kako objašnjavate nastalu promjenu energije sustava? c) Da li se energija promijenila u oba kondenzatora i kolika je?

Er = 1 naelektrizirana su ukupnim nabojem Q . Ako se u jedan kondenzator ubaci dielektrik Er = 5 ; a) za koliko se promij eni energija sustava; b) kolika je novonastala gustoća energija u sustavu kondenzatora?

12. Dva jednaka paralelno spojena pločasta kondenzatora

13. U pločasti naelektrizirani kondenzator s nabojem Q ubaci se dielektrik u pola prostora prema slici 9.36. Odredite promjenu gustoće energij e u oba dijela u odnosu na gustoću energije prij e ubacivanja dielektrika.

-<0 ' /.�);% " /Sfiiš4�/

·;/·>///� '� //;�' � /// :\:

'·-,''"-:',

'-\,\' ·'' · " ' '0. �!'ri�l"'

':�:_s�� -+-

Sl. 9.36.

_s_ 2

s 2

[;

Sl. 9.3 7.

14. Ako se naelektriziranom kapacitetu C priključi identični kapacitet

C

s nabo­ jem Q , odredite odnos električne energij e prij e i poslije priključenja kapaci­ teta.

15. Dvoslojni pločasti kondenzatori jednake debljine imaju dielektričnost s„1 i Er2 = 1 i priključeni su na stalni napon U . Odredite odnos: a) padova napona na dielektricima; b) gustoća energija u dielektricima.

=

5

16. Dvoslojni kondenzator na slici 9.37 priključenje na stalni napon U . Odredite odnos gustoće energije u tim dvama dijelovima.

17. Kapacitet

Wc1

C1 = l O nF sadrži akumuliranu energiju = 50 µ 1 . Ako se tom usamljenom kapacitetu paralelno spoji drugi kapacitet C2 = 20 nF ; a) koliki je tada napon između priključnica; b) koliki naboj ima svaki kapacitet; c) kolika je ukupna energij a?

18. Pri otvorenoj sklopki S kapacitet

W1

C1 ima energij u = 0.4 µ J . Koliki je napon na kondenzatorima nakon zatvaranja prekidača P (sl. 9.38)? Zadano je: U = 70 V , Ci = 2 nF , C2 = 3 nF .

9.6. ENERGIJA NAELEKTRIZIRANOG KAPACITETA.

p

19.

Sl. 9.38.

73

9.7. SILA . . .

u

Dvoslojni kuglasti kondenzator presjeka prema slici 9.39 ( E„1 = 2 , E„2 = 1 ) priključenje na izvor istosmjemog napona U = 1200 V . Ako je u dielektrici­ ma 1 i 2 uskladištenajednaka količina energije, uz zadane polumjere unutarnje i vanjske elektrode kondenzatora a 1 = 1 cm i a3 = 3 cm, koliki je polumjer a2 (granica dielektrika 1 i 2), te kapacitet kuglastog kondenzatora i energija uskladištena u njemu?

Sl. 9.39.

Odredite energiju jednoslojnog kuglastog kondenzatora ako je a I = 1 cm, a2 = 2 cm , a3 = 2.2 cm , E„ = 5 i napon U = 220 V (sl 9.29). 21. Odredite energiju po metru dužine smještene u koaksijalnom kabelu ako je E„ = 2 , ai = 1 cm, a2 = 2 cm, a3 = 2 .1 cm i U = 220 V . 22. Odredite a2 u dvoslojnom koaksij alnom kabelu tako da je energija u sloju (2) dva puta veća od energije u sloju (1). Zadano je: E„1 = 3 , E„2 = 2 , a 1 = 3 cm, a3 = 3 cm, a4 = 3 . 1 cm (sl. 9.27). 23. U dvoslojnom koaksijalnom kabelu poznato je: a 1 = 1 cm, a2 = 2 cm, a3 = 3 cm, i a4 = 3.1 cm, E„1 = 3 , E„2 = 4 , E id lOOkV/cm, E2d = 60 kV /cm (dopušteno polje). Odredite maksimalnu energij u koju smij e primiti kabel. 24. Pločasti zračni kondenzator S = 100 cm2 i d = 0.5 cm priključenje na napon U = IOOO V . Odredite: 20.

=

74

9. ELEKTRIČNI KAPACITET a) akumuliranu energiju u kondenzatoru i b) privlačnu silu između ploča.

25. Kondenzator se sastoji od fiksnih polukružnih ploča polumjera R između kojih je umetnut polukružni dielektrik ( c,. ) debljine d, koji može rotirati oko osi O . Ako je kondenzator priključen na napon U, odredite zakretni moment na dielektrik (sl. 9.40) .

26. Odredite električno polje i visinu do koje će se dići destilirana voda ( €,. = 80 ) između naelektriziranih pravokutnih ploča površine S = ab (sl. 9 .41 ) ako je napon između elektroda U = 1 O kV , a razmak d = 0.5 m . + u -

- -

- -· - -- =-=-:-=-:-_ d -:--:-::-::-=-

Sl. 9.40.

Sl. 9.41.

27. Metalna ploča površine S = 200 cm2 visi na opruzi iznad druge fiksne metal­ ne ploče na razmaku d = 2.2 mm (sl. 9.42a) . Kada se ploče spoje na napon U, tada se razmak između ploča smanji za d1 = 0.2 mm (sl. 9.42b) . Odredite

napon U ako je konstanta elastičnosti opruge k = 1 000 N/m , a između ploča je zrak. izolator

_ _ _ _ _ _

d

__j_ d

+ --�----.- l

u

a)

b) Sl. 9.42.

STRUJ NI KRUG

10.1.

ELEKTRJČNA STRUJA I STRUJNI KRUG

77

1 0.

Gibanje naboja u vodiču

1 0. 1 . Električna struja i strujni krug

j 1 0.1 . Pitanja I 1. Što je električna struja? 2. Koju vrstu struje nazivamo provodnom? 3. Zašto žarulja kratko svijetli kada se spoji na naelektrizirani kondenzator? 4. Što je potrebno da struja neprestano teče? 5. Što je strujni krug? 6. Postoji li električno polje u žicama strujnog kruga?

7. Troši li se energija za održavanje stacionamog električnog polja u strujnom krugu?

8. Što se događa u izvorima električne energije? 9. Opišite neke izvore električne energije.

10. Što je zajedničko svim izvorima? 11. Kakvi mogu biti izvori napona? 12. Kakav se energetski proces odvija u trošilima?

10. GIBANJE NABOJA U VODIČU

78

1 0.2. J akost i smjer struje

j 1 0.2. Pitanja I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Zašto se vodič zagrijava pri prolasku struje? Zašto u vodičima postoji električni otpor? Postoji li električni otpor u elektrolitima? Što su strojnice? Kako se definira jakost struje u: a) vodiču;

b) elektrolitima?

Koja je jedinica za struju? Kako je definiran smjer struje? Zašto je potrebno uvesti referentne smjerove napona i struje? Kako su usklađeni referentni smjerovi napona i struje u vodiču?

10. Kako je definirana vremenski promjenjiva struja? 11. Kako se računa prostrujali naboj ako je poznat vremenski oblik struje? 12. Kakva je veličina električna struja? 1 0.3. Gustoća struje

j 1 0.3. Pitanja I . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Što je strujno polje? Što je strujna cijev? Na čemu se zasniva prikaz strujnog polja pomoću strujnica i strujne cijevi? Objasnite princip kontinuiteta električne struje. Kako je definirana gustoća struje? Koja je jedinica za gustoću struje? Kakva je veličina gustoće struje? Koje smo vektore gustoće do sada upoznali? Kako se računa ukupna struja u nekom vodiču ako je pomat vektor gustoće struje?

10. Kada je struja pozitivna, a kada negativna?

10.3.

I

GUSTOĆA STRUJE

1 0.3. Zadaci

1.

79

I

Kroz presjek nekog vodiča mijenja se naboj po zakonu q Odredite struju u trenutku t1

=

O i t = 2

= 5 . 10- 3 sin( l OOOt) C .

2 ms .

1 mm2 ako je prosječna 0. 1 mm/s . 3. Koja količina naboj a u 2. zadatku prođe kroz vodič u vremenu t = 0.2sec ? 2.

Odredite jakost struje u bakrenom vodiču presjeka S = brzina elektrona v =

4.

Kolika je j akost struje ako kroz vodič presjeka S = l mm2 u svakoj sekundi prođe

6.24 10 18 ·

elektrona?

4? 6. U vodiču nejednolikog presjeka (sl. 10. 1 ) gustoća struje je 11 = 3 A/mm2 presjeku S1 = 2 mm2 . Kolika je gustoća struje na presjeku S = 4 mm2 ? 2

5.

Kolika je gustoća struje u zadatku

Sl. 1 0. 1 .

7.

Kolika je gustoća struje na polovici razmaka između S1 i S u zadatku 2

6?

na

80

11.

ELEKTRIČNI OTPOR

11.

Električni otpor

1 1 . 1 . Ohmov zakon

j 1 1 .1 . Pitanja I

I

1.

Kojom se brzinom širi električno polje?

2.

Kakva je brzina elektrona u strujnom vodiču?

3.

Što se javlja pri usmjerenom gibanju elektrona u vodiču?

4.

Kako je Ohm definirao električni otpor?

5.

Koja je jedinica za električni otpor?

6.

Što je električna vodlj ivost i koja je njezina jedinica?

7.

Napišite Ohmov zakon u dvama ravnopravnim oblicima.

1 1 . 1 . Zadaci

1.

I

Na nekoj vrlo dugoj žici izmjeren je napon Odredite struju

h

U1 = 20 V i struja U2 = 40 V .

ako se žica priključi na napon

2.

Koliki je otpor R i vodlj ivost

3.

Koliki j e napon na otporu R = 1 O .Q kroz koji teče struja

G

/1 =

u zadatku 1 ?

I = 2.5 A ?

5A.

81

1 1 .2. OTPOR VODLJIVE HOMOGENE ŽICE

1 1 .2. Otpor vodljive h omog ene žice

j 1 1 .2. Pitanja I O čemu zavisi otpor žice? 2. Što je specifični električni otpor i u kojim se jedinicama mjeri? 3. Što je specifična električna vodljivost i u kojim se jedinicama mjeri? 4. Kako se računa vodljivost homogene žice? 1.

I

1 1 .2. Zadaci

I

Izračunajte vodljivost žice duljine l 100 m, presjeka S = 2.5 mm2 i speci­ fične vodljivosti K = 57x106 S/m . 2. Izračunajte otpor bakrene žice čiji je presjek dan na sl. 1 1 . 1 , a poznati su duljina žice l = l OOOm i p = 0.0175 Q mm2 /m , a1 = 5 mm , a2 = 7 mm . 1.

=

Cu

Sl. 1 1 . 1.

Sl. 11.2.

Odredite vodljivost bakrene žice duljine I = 70 m čij i je presjek dan na sli­ ci 1 1 .2. Zadano je: a = 2 cm, b = 1 cm, K = 57 Sm/mm2 . 4. Dimenzionirajte otpornik za napon 220 V i struju 2.2 A od cekasa ( K = 0.95 Sm/mm2 ) za dozvoljenu gustoću struje J = 1 1 A/mm2 . 5. Kroz dvožilni bakreni vod rc = 56 Sm/mm2 , S = 1 .5 mrn.2 i l = 10.5 m teče struja I = 15 A . Koliki je pad napona? 6. Pomoću voda duljine l = 50 m vodljivosti rc=57 Sm/mm2 treba napajati trošilo nominalne snage Pn = 2000 W i nominalnog napona Un = 220 V iz

3.

11.

82

ELEKTRIČNI OTPOR

izvora U = 230 V .

a) Koliki je potreban presjek voda?

b) Koliki j e napon na kraju voda ako se priključi trošilo P2 = 1 000 W pri nominalnom naponu U = 220 V ?

nominalne snage

1 1 .3. Ohmov zakon u elementarnom obliku

! 1 1.3. Pitanja I j

1.

Izvedite Ohmov zakon u elementarnom obliku.

2.

Pomoću Ohmovog zakona u elementarnom obliku objasnite Ohmov zakon.

1 1 .3. Zadaci

1.

J

·

Na sobnoj temperaturi srebro ima specifični otpor

p

=

1.-629

x

10-8 Q m .

Relativna atomska masa srebra iznosi M = 1 07.88 g/mol „ a specifična gu­ stoća PAg = 1 0 . 5 g/cm3 .

Uz pretpostavku da na jedan atom dolazi jedan

slobodni elektron, odredite:

a) prosj ečnu brzinu naboja ako je gustoća struje J = b) gustoću snage električne struje;

5 A/mm.2 ;

c) prosj ečno vrijeme između dvaju sudara.

2.

Beskonačan bakreni vodič promjera d = 3 mm nosi električni naboj koji na njegovoj površini proizvodi električno polje E = 1 06 V/m usmjereno u vodič.

U primjeru 1 .2 OE 1 . je izračunato da je broj slobodnih elektrona u kubnom metru bakra n =

8.44

x

1 028 . Odredite:

a) linijsku gustoću naboja na površini vodiča;

b) omjer linijske gustoće površinskih naboja i linijske gustoće slobodnih elek­

trona u vodiču;

c) razliku potencijala na površini vodiča i na udaljenosti

3.

r =

1 0 cm od vodiča.

Treba dimenzionirati otpornik od destilirane vode u staklenoj okrugloj cijevi za napon U = l O kV i struju I = 0.2 mA . Vodljivost destilirane vode je K =

4.

1 0-4 S/m , dozvoljena jakost polj a Ea = l O kV/m .

Kroz bakrenu žicu presj eka

S = 4 mm2

teče konstantna struj a 1 O

A.

Koliki

broj elektrona prođe kroz poprečni presjek žice za 1 O s ? Kolika je prosječna · brzina gibanja elektrona u žici?

5.

Kroz bakreni vodič promjera 0.25 cm s gumenom izolacijom dozvoljena j e maksimalna struja 1 5

A.

Kolika j e pritom jakost električnog polj a u vodiču

po metru dužine? Specifična vodljivost bakra j e K = 58M S/m .

1 1 .4. 0rPOR UZEMLJENJA

83

6. Izračunajte otpor bakrenog vodiča vodljivosti K = 57 Sm/mm2 i dužine l = 20 cm , koji ima oblik krnjeg stošca (sl. 1 1 .3 ) . Zadano je: r1 = 0.5 cm , r1 = 1 cm . r1

1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - -

�

[ Sl. 1 1 . 3.

7. U bakrenom vodu promjera d = 4 mm i specifične vodljivosti K = 56 Sm/mm2 vlada električno polje E = 0. 142 1 V /m . a) Kolika struja teče tim vodom i b) koliki je otpor voda po metru dužine? 8. U bakrenom vodu promjera d = 4 mm i specifične vodljivosti K = 56 Sm/mm2 vlada polje E = 0. 142 1 V/m . Kolika je gustoća snage toplinske energije?

1 1 .4.

Otpor uzemljenja

\ 1 1 .4. Pitanja I 1 . Izvedite izraz za otpor uzemljene polukugle.

2. Koliki je otpor pune kugle duboko zakopane u zemlji? 3. Što je napon koraka?

I

1 1 .4. Zadaci

I

1. Izračunajte otpor uzemljene polukugle polumjera a = 2 cm , ako je vodljivost zemlje je K = 0.01 S/m .

2. Ako preko uzemljene polukugle iz 1 . zadatka teče struja I = 75 A , odredite do koje se udaljenosti može približiti čovjek normalnim korakom ako je opasan napon U > 60 V , a duljina koraka d = 0.75 m .

11 . ELEKTRIČNI OTPOR

- 84

1 1 .5.

Zavisnost otpora o temperaturi

I 1 1 .5. Pitanja I 1. Kako se mijenja specifična vodljivost za manje temperaturne razlike? 2. Kako se mijenja specifični otpor za veće temperaturne razlike? 3. Kakav može biti linearni temperaturni koeficijent

a?

4. Što je supravodljivost?

J

1 1 .5. Zadaci

I

1. Koliki je otpor bakrenog cjevastog vodiča po metru duljine kod temperature ti = 20 °C i kod temperature t2 = O °C , ako je unutarnji promjer vodiča 3 cm , a vanjski 3 .5 cm ? Specifična vodljivost bakra je K = 58MS/m , a temperaturni koeficijent = 0.00393 1 /°C .

a

2. Otpor bakrenog vodiča kod temperature -&0 = 20 ° C iznosi 1 O Q . Odredite kod koje će temperature taj isti vodič imati otpor 15 .Q . 3. Otpor nekog otpornika kod O °C iznosi R0 = 1 0 .Q . Koliki je otpor tog otpornika na temperaturi fJ = 1 00 °C ako je temperaturni koeficijent 0.003 l /°C utvrđen kod 1 0 °C ?

a=

4. Dva različita otpornika kod 20°C imaju isti otpor R20 , a kod neke temperatu­ re fJ prvi otpornik naraste na vrij ednost R1 = l .5R2o , a drugi na vrijednost R1 = 3R20 . Odredite kakav je odnos njihovih temperaturnih koeficij enata

a1/ a1 .

5. Otpor nekog žičanog otpornika kod 0°C iznosi Ro = 10 .Q . Koliki je ot­ por tog otpornika na temperaturi fJ = l00°C ako je temperaturni koeficijent 0.003 l /°C utvrđen kod 20°C ?

a=

1 1 .6. JOULEOV ZAKON

85

1 1 .6. Jouleov zakon

I 1 1 .6. Pitanja I 1. Objasnite Jouleov zakon. 2. Kako se računa snaga na strujnom otporu? 3. Koja je jedinica za energiju, a koja za snagu? 4. Što je volumna gustoća snage? 5. Kako se definira trenutna snaga?

6. Navedite definiciju efektivne vrijednosti struje električnog napona. 7. Što je srednja snaga i što ona predstavlja? 8. Kako se računa energija i snaga promjenjivih struja?

I 1 1 .6. Zadaci J

1. U nekom vodiču nastaju gubici od 50 W ako kroz njega teče struja od 5 A . Koliki će gubici nastati u tom vodiču ako kroz njega bude tekla struja od 1 O A ? Koliki je otpor tog vodiča? 2. Električna peć je predviđena za napon od 220 V i ima snagu 200 W . Koliki je otpor peći i koju struju ona vuče iz izvora? Kolika se količina topline razvije u peći za 1 sat? Ako bismo tu peć priključili na izvor od 1 1 O V , koliku bi snagu ona crpila? Napomena: treba zanemariti promjenu otpora uslijed zagrijavanja. 3. Iz izvora 1 25 V treba napajati na udaljenosti I = 80m dvije električne peći napona 120 V i snage svake peći 1 kW . a) Koliki mora biti presjek bakrene žice vodljivosti k = 58 MS /m ? b) Za koliko se promijeni napon na kraju voda ako se isključi jedna peć?

4. Plašt bakrene žice presjeka S = 1 .5 mm2 i vodljivosti k = 56 Sm/mm2 može odvesti toplinu 100 W/m2 • Izračunajte kolika je dopuštena struja, zatim za tu struju odredite jakost polja u žici, akceleraciju elektrona, srednju brzinu i vrijeme između dvaju sudara. 5. Koliko će snage i struje trošiti radionica kod istosmjernog napona 220 V i punog opterećenja, ako ima 1 0 žarulja po 1 00 W i tri elektromotora koji rade sa stupnjem korisnosti T/ = 0.90 , a svaki daje snagu l O kW ?

6. Izračunajte efektivnu vrij ednost struje čija j e promjena u jednoj periodi prika­ zana na slici 1 1 .4.

86

1 1 . ELEKTRIČNI OTPOR

21

o -I

T/8

T/4 3 T/8

T/2 ST/8 3T/4

7T/8

T

t

Sl. ll.4.

7. Kroz otpor R = 1 O .Q teče struja pilastog oblika (sl. 1 1 .5). Odredite oblik napona u (t) na otporu, trenutnu snagu p(t) , prosječnu snagu koja se troši u otporu i efektivnu struju.

Sl. 11.5. = 1 00 Q priključen je na sinusni napon u = 3 1 1 sin 3 1 4t( V) . Odredite: a) snagu; b) energiju koja se potroši na otporu kroz 10 sati.

8. Otpor R

·

9. Ako snaga na nekom trošilu poraste za 25%, koliko je % porastao napon?

10.

Ako se napon na nekom trošilu smanji za 1 0%, koliko izvora?

1 1 .7.

Otpornik

! 1 1 .7. Pitanja I 1. 2.

Što je otpornik i kakve su njegove karakteristike? Što se označava na nepromjenjivim otpornicima?

3. Što su standardni otpornici i kako su klasificirani? 4. Što su promjenjivi otpornici i kako se dijele?

se

%

smanjila

snaga

1 1 .9.

j

lzVORI ELEKTRIČNE ENERGIJE

1 1 .1. Zadaci

87

�

1. Kolika je dopuštena maksimalna efektivna struja kroz otpornik na kojem piše R = l Q i P = 2W?

1 1 .8.

Otpor kao element strujnog kruga

j 1 1 .8. Pitanja I 1. Definirajte otpor kao element strujnog kruga. 2. Što su linearni, a što nelinearni otpori? 3. Kako se računa statički, a kako dinamički otpor? 4. Kakva je U-I karakteristika poluvodičke diode i koji je njezin simbol?

I

1 1 .8. Zadaci

�

1. Nacrtajte U-I karakteristiku nelinearnog otpora zadanog izrazom: I( A) = 1 .2 i o- 3 u + 5 1 0- 3 u2 ( V) . Koliko izn�se Rsr i �d kod U = 4 V ? 2. Nacrtajte karakteristike linearnog otpora R = 1 0 Q i nelinearnog I( A ) = 1 .2 io- 3 U2 ( V) analitički i grafički odredite njihov statički i dinamički otpor kod U = 50 V . ·

·

·

3. Nelinearni element ima U-I karakteristiku opisanu jednadžbom I = a U + bU3 . Odredite statički i dinamički otpor pri U = O V .

1 1 .9.

Izvori električne energije

j 1 1 .9. Pitanja I 1. Koji su najčešći izvori električne energije? 2. Što je zajedničko svim izvorima električne energije? 3. Kakav rad obavlja izvor i što se pritom događa? 4. Što je unutarnje električno polje? 5. Kako se definira EMS?

6. Koje relacije koje koristi električno polje vrijede i za strujni krug? 7. Koliki je ukupni rad izvora?

88

1 1 . ELEKTRIČNI OTPOR

8. De:finirajte trenutnu snagu izvora. . 9. Kada je snaga izvora pozitivna, a kada negativna? 10. Objasnite idealni i realni naponski izvor i nacrtajte njihove sheme i karakteri­ stike.

1 1. Objasnite idealni i realni stujni izvor i nacrtajte njihove sheme i karakteristike.

1 1 .1 O.

Jednostavni strujni krug

j 1 1 .1 0. Pitanja I 1. Nacrtajte shemu jednostavnog strujnog kruga. 2. Napišite bilancu snage jednostavnog strujnog kruga. 3.

Napišite naponsku jednadžbu jednostavnog strujnog kruga.

4. Kako se računa jakost struje jednostavnog strujnog kruga? 5. Izvedite naponsku jednadžbu pomoću bilance snage za dio jednostavnog strujnog kruga koji se sastoji od više EMS-a i otpora.

6. Nacrtaj U-I karakteristiku realnog naponskog izvora. 7. Kako se određuje radna točka jednostavnog strujnog kruga? 8. Objasnite točke praznog hoda i kratkog spoja na U I karakteristici realnog naponskog izvora. -

9. Dokažite teorem maksimalne snage. 10. Što je korisnost i kako se računa kod jednostavnog strujnog kruga?

11. Izvedite i nacrtajte normiranu karakteristiku struje, napona i snage na trošilu jednostavnog strujnog kruga.

j

1 1 . 1 0. Zadaci

I

1 . Na realnom naponskom izvoru izmjerenje u praznom hodu napon U = 1 2 V , a pri uključenom trošilu R = 1 O .Q izmjerena j e struja I = 1 A Koliki je .

EMS i unutarnji otpor izvora Ro ?

2. Ako na realni naponski izvor uključimo trošilo R1 , izmjeri se struja 11 = 2 A i napon U1 = 23 V , a ako je priključen otpor R1 , struja h = 1 A , a U2 = 23 .5 V . Odredite parametre naponskog izvora i nacrtajte U- I ka­ rakteristiku tog izvora.

89

1 1 . 1 0. JEDNOSTAVNI STRUJNI KRUG

3. U shemi na slici 1 1 .6 poznato je: I = 1 A , E1 R1 = 9 Q . Odredite EMS E2 po iznosu i smjeru.

48 V , Ri

15Q

l

Sl. 11.6.

4. Odredite napon U14 u shemi na slici 1 1 .7. Zadana je: I = 1 A , Ri Ei = lO V , R1 = 3 Q , E2 = 1 5 V , R3 = 1 Q i E3 = 8 V . RI

+

E I_

Rz

E2 +

-

R3

=

2Q,

E3

-

+

���� Sl. 11. 7.

5. Kolika bi trebala biti EMS E3 u 4. zadatku da napon bude U1 4 = O V ?

6. Odredite struju I na slici 1 1 .8. Zadana je: E 1 = 1 2 V , E2 = 1 2 V , E3 = 1 8 V , E4 = 6 V , Es = 1 2 V , R 1 = l Q , R1 = 2 Q , R3 = 4 Q , R4 = 2 Q , Rs = 3 Q .

7. Odredite napone U14 i U35 u 6. zadatku, sl. 1 1 .8. 8. Na realni naponski izvor E = 12 V i Ro = 2 Q treba priključiti trošilo koje će iz izvora crpiti maksimalnu snagu. Odredite: a) otpor R ; b) iznos maksimalne snage; c) korisnost. 9. Kod kojeg će se otpora trošila R priključenog na realni naponski izvor (E, Ro) trošiti polovica maksimalne snage na trošilu? Kolika je ta snaga i korisnost?

·

1 1 . ELEKTRIČNI OTPOR

90

10. Idealni instrumenti pokazuju Uv je R0 = 0.5 Q (slika 1 1 .9).

=

1 4 V , JA

=

4 A . Odredite EMS = E ako

Uv

Uv Ro

Ro

E

Sl. 11.10.

Sl. 11.9.

11. Idealni instrumenti pokazuju Uv = 30 V , JA EMS E . (slika 1 1 . 10).

=

6 A , a Ro

E

=

1 Q , odredite

12. Realni naponski izvor ima E = 24 V . Ako se optereti trošilom R, tada je na njemu napon U = 22 V , a struja J = 1 A . Odredite otpor trošila R i unutarnji otpor izvora Ro . 13. Odredite struju izvora i snagu na nelinearnom otporu u spoju na slici 1 1 . 1 1 a) ako je nelinearna karakteristika otpora dana na slici 1 1 . 1 1 b). U(V)

------ +

+

Ro = l Q

6 1-----

E =lOV a)

b)

Sl. 11.11.

/(A)

14. Kolika je struja J u shemi na slici 1 1 . 12 ako idealni voltmetar pokazuje Uv = 30 V, a E = 20 V i R = 5 Q . I ------l V J-----,

R

+

4

3 2

J(A) 6

1

I

E

R

Sl. 11. 12.

Sl. 11. 13.

12

U (V)

15. Na naponski izvor E = 16 V i Ro = 1 Q spojen je nelinearni otpor čija je U­ I karakteristika dana na slici 1 1 . 1 3. Odredite: a) struju izvora;

91

1 1 . 1 0. JEDNOSTAVNI STRUJNI KRUG

b) bilancu snage kruga;

c) energiju koju je EMS predala za t = 30 min.

16. Odredite otpor R i snagu na njemu ako ta snaga treba iznositi polovicu moguće maksimalne snage. Zadana je: e = 1 1 O V , Ro = 1 O .Q (sl. 1 1 . 14).

R=?

R

Sl. 1 1 . 15.

Sl. 1 1. 1 4.

17. U shemi na slici 1 1 . 1 5 vatmetar mjeri snagu na trošilu izvora P = 1500 W , ampermetar mjeri struju I = 8 A , a EMS izvora j e E = 220 V . Odredite otpore Ro i R . 18. Zadana je U-I karakteristika realnog izvora (slika 1 1 . 1 6). Odredite parame­ tre ek:vivalentnog: a) naponskog i b) strujnog izvora, te nacrtajte njihove sheme. U (V) 10

5 Sl. 1 1 . 1 6.

I

(A)

19. Ako se na izvor iz prethodnog zadatka priključi trošilo, kroz strujni krug pro­ tječe struja I = 1 A , odredite: a) napon tog izvora; b) otpor trošila; c) snagu na tom trošilu.

12. SLOŽENI STRUJNI KRUGOVI

92

12.

Složeni strujni krugovi

Shema složenog strujnog kruga i njezine karakteristike. 1 2.2. Prvi Kirchhoffov zakon

1 2. 1 .

1 2.1 . i 1 2.2. Pitanja

I

1. Što je električna mreža? 2. Što su grana, čvor i kontura? 3.

Što je linearna, a što nelinearna mreža?

4. Kako se definira princip neprekinutosti struje? 5. Objasnite I. Kirchhoffov zakon.

6. Kako glasi jednadžba kontinuiteta? 7. Što je pomačna struja? 8. Kolika je gustoća pomačne struje? 9. Što je struja električne konvekcije?

!

1 2.2. Zadaci

I

1. Napišite jednadžbu čvorova na slici 12. 1 . 2 . Odredite gustoću pomačne struje kroz pločasti kondenzator na slici 12.2. Za­ dano je: u = 3 sin 1 OOt , Er = 2 , l = 1 mm , S = 1 O cm2 .

1 2.2. DRUGI KlRCHHOFFOV ZAKON

93 l 1--1

iz

+

u

-

Sl. 12.2.

Sl. 12.1.

3. Odredite struju i u 2. zadatku (slika 12.2) .

4. Pločasti kondenzator na slici 12.2 iz 2. zadatka nije savršen, jer ima specifičnu vodljivost K = 0 . 1 S /m . Odredite gustoću pomačne i provodne struje ako je u = 1 O sin lOOOt , Er = 2 , I = 1 mm . 5. Kolika je provodna, pomačna i ukupna struja u 4. zadatku?

1 2.3.

Drugi Kirchhoffov zakon

I 1 2.3. Pitanja I 1. Napišite II. Kirchhoffov zakon i objasnite ga. 2. Kako se zbrajaju padovi napona u II. Kirchhoffovom zakonu?

I

1 2.3. Zadaci

I

1. Napišite konturne jednadžbe za nacrtane konture na slici 12.3.

1,

E1

�

/3 E5

-

+

Ri

16 Sl. 12.3.

12 R2

12. SLOŽENI STRUJNI KRUGOVI

94

1 2.4.

Primjena Kirchhoffovih zakona

I 1 2.4. Pitanja I 1. Izvedite izraz za ukupni otpor serijskog spoja od

n

otpora.

2. Izvedite izraz za napon na Rk u 1 . pitanju.

3. Kolika je radna snaga serijskog spoja otpora? 4. Izvedite izraz za ukupni otpor paralelnog spoja od 5. Izvedite izraz za struju h u 4. pitanju.

n

otpora.

6. Kolika je radna snaga paralelnog spoja otpora? 7. Objasnite što je mješoviti spoj otpora i kako se takav spoj rješava. 8. Objasnite pretvorbu realnog naponskog u realni strujni otpor i obratno.

j

1 2.4. Zadaci

I

1. Odredite otpor R1 na slici 1 2.4 ako ampermetri pokazuju IA2 = S A , a otpor R i = 20 Q .

JA

15 A,

R

E

Sl. 12.4.

Sl. 12.5.

2. Idealni instrumenti pri zatvorenom prekidaču P pokazuju IA1 = 2.5 A , 1A 3 = l .5 A , Uv = 1 5 V , a Ro = 0.4 Q i R 1 = 8 Q . Odredite EMS E i otpor R2 i R3 (slika 12.5).

3. Ako se u prethodnom zadatku otvori prekidač P , a otpor je R = 7.6 Q , odredite sve struje. 4. Odredite otpor R1 (sl. 12.6) ako kroz njega teče struja IA 1 = 4 A , a voltmetar pokazuje Uv = 50 V . Zadano je: R2 = 6 Q , R = 5 Q . 1

95

12.3. PRIMJENA KlRCHHOFFOVIH ZAKONA .

2

R Sl. 12. 7.

Sl. 12.6.

5. U shemi na slici 1 2.7 idealni ampermetri pokazuju IA1 = 6 A , lA5 = 2 A . Odredite otpor Ri i struju I , te napon U12 ako je R1 = 1 5 .Q , R3 = 1 5 .Q ,

R4

=

12 .Q .

6. Odredite vrijednost otpora R 1 na slici 12.8 ako idealni voltmetri pokazuju UVi = 20 V , Uv = 50 V , a otpor R1 = 10 .Q . v 1----� ion

ion

Sl. 12.9.

7. Koje vrij ednosti pokazuju idealni voltmetri (slika 12.9): a) prije i b) poslij e uključenja prekidača? 8. Iz izvora U = 220 V napaja se trošilo nominalne snage Pn = l OOO W kod nominalnog napona Un = 220 V , pomoću voda duljine l = 50 m i vodljivosti 2 K = 57 Sm/mm . a) Koliki je presjek voda potreban da bi na trošilu napon bio manji za 5%? b) Ako se prethodno trošilo zamij eni trošilom otpora R1 = 25 .Q , za koliko se promij eni napon na kraju voda? 9. Lemilica ima snagu P1 = 40 W kod U = 220 V . a) Koliki j e predotpor potrebno priključiti da bi lemilica imala snagu P2 =

25 W ? b) Kolika se snaga gubi na predotporu? c) Kolika je korisnost u slučaju b)?

1 0. Odredite sve struje i EMS E u zadanoj shemi na sl. 1 2. 10 ako je R1 = 2 .Q , R1 = 4 .Q , R3 = 2R2 , R4 = 8R1 , h == 4 A i Rs = 14 .Q .

12. SLOŽENI STRUJNI KRUGOVI

96

E Sl. 12. 1 0.

11.

12.

Iz izvora U1 = 230 V napaja se trošilo nominalne snage P 1 2000 W kod nominalnog napona Un = 220 V pomoću voda duljine l = 1 1 O m i vodljivo­ sti K = 57 Sm/mm2 , tako da je napon na trošilu U = 220 V . a) Koliki je presjek voda? b) Koliki je napon na kraju tog voda ako se trošilo zamijeni trošilom snage P2 = 3000 W kod nominalnog napona Un = 220 V ? =

Odredite sve struje grana i snagu izvora u mreži na slici 1 2. 1 1 ako je poznata snaga na otporu R3 , koja iznosi P3 = 250 W , a Ri = 4 Q , R2 = 22 Q , RJ = l O Q , R4 = 20 Q , Rs = 30 Q .

Rs

Sl. 12. 11.

13.

Koje se moguće vrijednosti otpora mogu postići s trima otporima:

Ri

Odredite preostale struje u shemi na slici 12.12 ako je zadano: !4 = 3 A , R i = 2 Q , R2 = 5 Q , R3 = 4 Q .

Is = 5 A ,

=

2 Q,

R2 = 3 Q , R3 = 5 Q ?

14.

1 2.3 . PRIMJENA KlRCHHOFFOVIH ZAKONA

97

(3)

13 1

13 15

11

li Sl. 12.12.

(1)

123

Ri

12 112

Sl. 12. 1 3.

15. Odredite sve struje u shemi na slici 12. 13 ako je poznato: !1 = 4 A , fi3

R 1 = 1 0 .Q , R1 = 5 .Q , R3 = 1 5 .Q , E = 40 V .

+

(2)

=

1 A,

-

E Sl. 12.14.

16. Odredite sve struje grana i EMS E u zadanoj shemi 12. 14 ako je R1 = 2 .Q ,

R1 = 3 .Q , RJ = 2R2 , R4 = 9R1 , ]z = 6 A i Rs = 1 0 .Q .

17. Nađite ekvivalentni otpor gledan s priključnica AB (sl. 12.15): a) pri otvorenom prekidaču P; b) pri zatvorenom prekidaču P .

18. Nađite otpor između priključnica AB pri otvorenom i zatvorenom prekidaču P (sl. 12. 1 6). Zadanoje: R1 = R1 = RJ = R4 = Rs = R6 = R1 = 1 0 .Q .

12. SLOŽENI STRUJNI KRUGOVI

98 A

B

Sl. 12. 1 6.

Sl. 12.15.

19. Nađite otpor RAB u zadanoj shemi (sl. 12. 1 7) . A

B

Sl. 12. 1 8.

Sl. 12. 1 7.

20. Odredite otpor R2 ako je R1 = 3 Q , a pokazivanje instrumenata je dano na

slici 12. 1 8. 21. Odredite iznos priključenog napona i struje u svim granama ako je poznata stru­ ja kroz otpor R5 , kojaiznosi J5 = 8 A (sl. 12. 1 9) . Zadanoje: R1 R3 = 8 Q , R2 = R4 = 4 Q i Rs = R6 = 2 Q . =

+

c

R2 (:) u

Ro

+ -

R4

Rs d

Sl. 12.19.

R1

a

b

Sl. 12.20.

12.3. PRIMJENA KlRCHHOFFOVIH ZAKONA

99

22. Odredite struje i napone u mreži (sl. 12.20) ako je zadano: E Ro = 0.5 Q , R1 = 3.5 Q , R1 = 5 Q , R3 = 400 Q i R4 = 25 Q .

=

2V,

23. U zadanoj mreži na sl. 12.21 odredite otpor Rx ako je 11 = 2.6 A , h = 0.6 A , R4 = 2.5 Q . Nađite EMS E ako je otpor R i = 0.5 Q , R3 = 3 Q Ri = 0.1 Q , R1 = l .4 Q .

l

Sl. 12.21.

Io

Sl. 12.22.

24. Odredite sve struje u zadanoj mreži (sl. 12.22). Zadano je: R 1 = l .8 kQ , R1 = 3 kQ , R3 = l .5 kQ , R4 = 2 kQ .

J0

=

30 mA ,

25. Otpor R2 ( a

= 0.1 l j°C) uronjen je u kadu (sl. 12.23) u kojoj raste tempe­ ratura od 20°C do 100°C . Odredite funkcijsku ovisnost snage na otporu R 1 u ovisnosti o temperaturi u kadi. Za temperaturu od 1 00°C odredite snagu koju daje izvor E . Zadano je: E = l OO V , R 1 = lO Q , R2(20°C) = 5 Q , R3 = 40 Q .

+

Sl. 12.23.

26. Uz zatvorenu sklopku S (sl. 12.24) instrumenti mjere IA 1 = 4 A , IA2 = 2 A i Uv = 80 V . Odredite R1 , R2 i R3 . Koje vrij ednosti pokazuju instrumenti uz

otvorenu sklopku? Koliko iznosi snaga koja se troši na otporniku R = 100 Q uz otvorenu sklopku? (Instrumenti su idealni.)

1 2. SLOŽENI STRUJNI KRUGOVI

100

R Sl. 12.24.

27. U shemi prema slici 1 2.25 na otporu R3 = 1 O .Q troši se snaga P3 = 250 W .

Odredite iznos struja u svim otporima, snage na otporima i snagu izvora.

Sl. 12.25.

28. Za mrežu prema slici 12.26 zadano je E

= 200 V, R 1 = R2 = 20 .Q , a instrumenti pokazuju sljedeće vrijednosti: voltmetar Vi napon U1 = 120 V , voltmetar Vi napon U2 � 100 V , a vatmetar W snagu P = 320 W . Odredite vrij ednosti otpora R3 , R4 , Rs .

I=?

R(I)

Sl. 12.26.

Sl. 12.27.

29. Bridovi kocke imaju jednake otpore iznosa R , a čvorišta su vrhovi kocke (sli­ ·

ka 12.28). Odredite otpor: a) između točaka A i C ; b) između točaka A i G .

1 2.3. PRIMJENA KlRCHHOFFOVIH ZAKONA

101

HR----- G

D

A

c

I I I I I I

F

//';,•------ ----B Sl. 12.28.

30. Odredite otpor R2 na slici 1 2.29 ako su poznati potencijali:
-

3 V,


cp 1

=

5 Q , R3

=

10 V, 1 O Q i R4 = 4 Q , =

Ri

� - 1--4----L_J--o

E1

+

Sl. 12.29. 31.

zadanom strujnom krugu prema slici 1 2.27 odredite pad napona na ne­ linearnom otporu R(I) . Zadana je VA karakteristika nelineamog otpora 3 I( A) = 2 1 0- U2 ( V) , E = 60 V i Ro = 50 Q .

U

·

32. Nelinearni otpor R 1 (li ) s karakteristikom I1 ( A)

= 0.02 U/ ( V) i linearni R1 = 25 Q spojeni su paralelno (sl. 1 2.30). Grafički i analitički odredite napon izvora ako iz njega teče struja I = 225 mA . +

I

U= ?

N

Rz

Sl. 12.31.

Sl. 12.30.

33. Voltamperska karakteristika nelineamog elementa sa slike 1 2.3 1 može se ap­

roksimirati funkcijom I

= aU

+ b U3 , gdje konstante

a

i b imaju vrij ednost

102

12. SLOŽENI STRUJNI KRUGOVI

= 0.5 rnA/V , b = 5 10-4 rnA/V3 Koliki je napon izvora E a.ko je na izmjerena snaga PN = 8.28 W , uz R1 = 300 Q i Rz = 4 kQ ? a

·

.

N

34. Analitički i grafički odredite struju I i napon U na nelinearnom elementu na

slici 12.32. Kolika je snaga na otporu Ro = 1 2 Q i nelinearnom elementu čija je karakteristika I( A) = 0.02 U2 ( V) , ako je E = 4 V ? Odredite statički i dinamički otpor nelinearnog elementa u radnoj točki. Ro

R(l)

I +

-

E Sl. 12. 32.

35. Spoj na slici 1 2.33 trebalo je složiti tako prema vrijednostima otpora, ali ni­

je bilo izbora drugih snaga. Odredite na koji se maksimalni napon smije priključiti taj spoj. Zadano je: R1 = 1 00 Q(9 W) , R1 200 Q(8 W) i R3 = 50Q(2 W) . =

+ U= ?

Sl. 12.33.

13.3. PRIMJENA KlRCHHOFFOVIH ZAKONA

103

13.

Osnovna električna mjerenja

1 3. Pitanja 1.

I

Što su električna mjerenja?

2. Kako i čime se mjeri jakost struje?

3. Kako se proširuje mjerni opseg ampermetra? 4. Kako i čime se mjeri napon? 5. Kako se proširuje mjerno područje voltmetra?

6. Što se može mjeriti univerzalnim instrumentom? 7. Opiši U-I metodu za mjerenje otpora. 8. Kako se omometrom mjeri otpor? 9. Objasnite Wheatsonov most. 1 0.

I

Kako se i čime mjeri radna snaga?

1 3. Zadaci 1.

I

Voltmetar unutarnjeg otpora R v = 1 kQ i dopuštene struje punog otklo­ 1 O V i U2 = 100 V na Io = 1 mA treba proširiti da mjeri napone U1 (sl. 1 3 . 1 ). Izračunajte: a) koji maksimalni napon U0 može mjeriti voltmetar bez dodatnog otpora; b) otpor R1 tako da se može mjeriti napon U1 = 10 V ; c) otpor R2 tako da se može mjeriti napon U2 = l OO V . =

1 3 . OSNOVNA ELEKTRIČNA MJERENJA

104

(I ) (2)

U1

(O)

Sl. 13. 1.

2. Ampermetar ima baždarenu skalu do 1 A i unutarnji otpor od 0.5 Q . Odredite

otpor shunta da bi se tim instrumentom mogla mjeriti struja od 5 A .

ELEKTROMAGNETIZA M

14.2. SILE IZMEĐU DVAJU NABOJA U GIBANJU. MAGNETSKA INDUKCIJA

107

1 4.

Magnetsko polje

1 4. 1 .

Magnetsko polje

1 4.1 . Pitanja

njegove manifestacije

I

1. Što su magnetski polovi? 2. Koja su osnovna svojstva magnetskih polova?

3. Uslijed čega nastaje magnetsko polje? 4. Na čemu se temelji objašnjenje pojave magnetskog polja?

1 4.2.

Sile između dvaju naboja u gibanju. Magnetska indukcija

j 1 4.2. Pitanja I 1. Kakve se dodatne sile javljaju između dvaju naboja koji se paralelno gibaju? Kakve su te sile? 2. Kojom se veličinom karakterizira magnetsko polje?

3. Kolika je apsolutna permeabilnost vakuuma? 4. Koja je jedinica za magnetsku indukciju? 5. Kako se može napisati magnetska sila na gibajući naboj u magnetskom polju?

6. Kako se odnose magnetska i električna sila dvaju gibajućih naboja? 7. Zašto magnetske sile pokreću snažne magnetske motore, a ne električne? 8. Kakve su sile između dvaju paralelnih vodiča kroz koje teku struje u istom smjeru?

108

I

14. MAGNETSKO POLJE

1 4.2. Zadaci

I

= 3 nC i Q2 = 8 nC gibaju se paralelno brzinom v = 7 2 10 m/s na razmaku d = 0.5 cm . Odredite odnos električne i magnetske sile između naboja. 2. Odredite iznos magnetske indukcije i jakost električnog polja naboja Q1 na mjestu naboja Q 1 u 1 . zadatku.

1. Dva naboja, Q1 ·

1 4.3.

Biot-Savartov zakon

I 1 4.3. Pitanja I 1. Kakvo polje stvara oko sebe gibajući naboj? 2. Kojom se veličinom opisuje novonastalo polje oko gibajućeg nabija?

Čemu je jednak vektor magnetske indukcije gibajućeg naboja? Kakve su silnice magnetske indukcije gibajućeg naboja? Napišite i obrazložite Biot-Savartov zakon za element dl protjecan strujom. Kako se računa vektor magnetske indukcije konturne struje? Kako se pojednostavnjeno računa magnetska indukcija u točki u ravnini u kojoj leži stmjni vodič? 8. Kako se računa magnetska indukcija ravnog strujnog vodiča? 9. Kako se računa magnetska indukcija ravnog vrlo dugog linijskog vodiča prot­ jecanog strujom? 10. Kakve su silnice ravnog dugog strujnog vodiča? 1 1. Kako se računa magnetska indukcija na osi kmžnog zavoja protjecanog stru­ jom? 12. Izvedite izraz za magnetsku indukcij u solenoide. 3. 4. 5. 6. 7.

I

1 4.3. Zadaci

I

1. Elektron se giba u vakuumu brzinom v = 3 106 m/ s u homogenom magnet­ ·

skom polju indukcije B . Odredite smjer i iznos nastale magnetske indukcije na udaljenosti r = 1 cm i pod kutom a prema smjeru gibanja (sl. 14.la) ako je: a) a = 45° ; b) a = 90° i c) a = 1 35° .

109

14.3. BIOT-SAVARTOV ZAKON

B s

a)

b)

Sl. 14. 1.

2. Kroz element dl = O . 1 mm teče struja I = 5 A (sl. 14. 1 b). Odredite magnet­ sku indukciju dB na udaljenosti r = 1 cm i pod kutom: a) a = 0° ;

b) c)

a =

a

45° ; = 90° ;

d) a = 1 35° .

3. Odredite indukciju magnetskog polja B u središtu žičane petlje oblika pravil­ nog šesterokuta (sl. 14.2), ako njome teče struja I = l O A . a= lO m

"

I "

" , 2 a.0 / /a

/

"

'u

/

/

o

Sl.

Sl. 14.3.

14.2.

4. Prema Bohrovom modelu vodikov se atom sastoji od protona i elektrona koji

se giba po kružnoj putanji polumjera a = 0.53 10- 1 0 m . Odredite: ·

110

14. MAGNETSKO POLJE

a) brzinu elektrona; b) struju elektrona;

c) magnetsko polje koje gibajući elektron stvara na mjestu protona. 5. Struja I teče po zatvorenom vodiču prema slici 14.3. Odredite indukciju B u

točki O. 6. Kroz vrlo dugi polukružni metalni žlijeb tankih zidova, dimenzija prema sli­ ci 14 .4, teče struja / . Odredite veličinu i smjer magnetskog polja iJ na osi

žlijeba

O.

b

�-----��� r�:;

I'°'

.-1 I I I I I I I I I I I I I

d

Sl. 14.4.

1

0

Sl. 14.5.

7. Koliki je iznos i smjer magnetske indukcije u točki M koja se nalazi u blizini drugog voda protjecanog strujom I = 2000 A , kao na slici 14.5? Zadano je: b = 20 cm , d = 80 cm .

8. U točki P izračunajte magnetsku indukciju koja nastaje od struje I = 8 A što

teče kroz tri kružna zavoja raspoređena prema slici 14.6. Polumjer najvećeg zavoja iznosi 3 cm .

�-----o

T

I

a

Sl. 14. 6.

a

Sl. 14. 7.

14.3. BIOT-SAVARTOV ZAKON

9.

111

Kakva je magnetska indukcija u sredini solenoida polumjera a = 1 cm i dulji­ ne I = 20 crn , koji je narnotan jednoslojno gusto žicom promjera d = 1 mm , i kroz koji teče struja I = 0.5 A ?

10. Izračunajte magnetsku indukciju u točki T koja je iznad sjecišta dijagonale ži­ čanog kvadrata kroz koji teče struja I = 5 A (sl. 14. 7). Zadano je: a = 6 cm , h = 4 cm .

11. Odredite magnetsku indukciju u točki T koju stvara strujna petlja na slici 14.8. I I

a f3

2

T2

a

T

Sl. 14.9.

Sl. 14.8.

12. Odredite magnetsku indukciju u točkama T1 i T2 koju stvara struja kvadratne petlje na slici 1 4.9. 13. Odredite iznos i smjer magnetske indukcije u točkama T1 , T2 i T3 koju stvaraju dva vrlo duga paralelna vodiča protjecana strujom I (sl. 14. 1 O ) . Tz

B. II \ I I

a I

I/

I

0- -

I I I I I I

\ \

\

I

I I

\

T1- - - - - fi-I - - - -

I - - - - �-

a

a \

\

··

-

- - - - - - 1J--0

a

Sl. 14. 1 0.

14. Odredite iznos i smjer magnetske indukcije u težištu trokuta (T) što ga čine tri paralelna strujna vodiča na slici 14. 1 1 .

112

14. MAGNETSKO POLJE I

a 1 I

I

I

I

I

I

® 1 :\

\

\

\

\

\

/\

\

a

\ \ : \ I / \ : 0:-':_ - - - - _; - - - - - - -0 a l/2 112 I

I

I

,

,,'

: ,/

/

Sl.

,-?'r I

14.11.

15. Kroz dva paralelna duga vodiča teče struja I = 10 A kao na slici 14. 12. Od­ redite iznos i smjer magnetske indukcije u točkama T1 , T2 i T3 . Zadano je

a = 20 cm .

ft. Ti

1

1

a1 I I

1 ,\ I \ I I \ I I \, a I I I 1

� - - - -.1 7J_ :

a

\

\

\

I

--

�

Sl.

14.12.

:

-

-------� a

16. Dva okomita duga vodiča spojena su lukom polumjera a = 50 cm . Ako

kroz vodič teče struja I = 1 O A , odredite magnetsku indukciju u točki (slika 14. 13 ) .

I

a

----------

\i{I

A

r- ,

I

:a I 1

Sl.

14.13.

....

....

....

b

I

I I I

1

I

/

/

/

/

' , s/ / /

/

):X.

....

....

I

Sl.

/ ....

/

/

/

A

„ 1

....

....

....

a

14.14.

17. Odredite iznos i smjer magnetske indukcije u sjecištu dijagonala pravokutne

konture (sl. 14. 14) kroz koju teče struja / . Zadano je: l = 2 A , a = I O cm , b = 5 cm .

1 13

14.3. BIOT-SAVARTOV ZAKON

18. Odredite iznos i smjer magnetske indukcije u točki S (slika 14 . 1 5 ) ako je I = 5 A, a = 1 O cm . 1

'

1

'-.,

'

'

a /

/

/

' S

/

';(

/

/

"

/

"

/

/

/

I

/

I I

I

I I

'-

'- ,

I I

a

'-

21

I

f

21

a

Sl. 14.15.

I I I

I

I

I

�- - - - - - - - - -�-ds> /

_ _ _

,,, 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I TI \

l �� - - - - - - - - - - -;<( a

1?,__

'r I I I I

5m

I I I

I

I I

2m

t1��t 1; f-1I

I

S/. 14. 1 6.

19. Odredite iznos i smjer magnetske indukcije u točki T koju stvaraju tri vrlo duga vodiča protjecana strujama prema slici 14.1 6, I = 10 A . 20. Odredite odnos magnetskih indukcija u središtu kvadratne konture i središtu

upisane kružnice u taj kvadrat.

1

a

Sl. 14. 1 7.

21.

Odredite magnetsku indukciju u točki T

na slici 14. 1 7. Zadano j e : I = 1 O A ,

20 cm . 22. Koliki j e iznos magnetske indukcije u točki T koju stvaraju dva duga strujna vodiča (sl. 14. 18)? Zadano je: 11 = 2 A , h = 2 A , a = 2 cm , b = 5 cm . a=

- --� Ii

a

·-

a

I

--

I I

-r-

b

I - - - - - - - - - -0

I I

- - - -0 12 I

Sl. 14. 18.

T

14.

114

MAGNETSKO POLJE

1 4.4. Ampereov kružni zakon ili zakon protjecanja

I 1 4.4. Pitanja J 1. Čemu je jednak produkt magnetske indukcije i duljine silnice? 2. Napišite i objasnite Ampereov kružni zakon.

3. Primjenom Ampereovog kružnog zakona izvedite izraz za magnetsku indukci­ ju unutar cjevastog okruglog vodiča protjecanog strujom konstantne gustoće.

4. Izvedite izraz za magnetsku indukciju torusnog svitka.

I

1 4.4. Zadaci

I

1. Kroz centar toroidne zavojnice okomito na njezinu ravninu prolazi dug ravan vodič protjecan strujom h prema slici Torus ima zavoja i kroz njih teče struja 11 . Odredite magnetsku indukciju u točkama T4 i

14.19.

Ts .

1 !2

1 12 Q

-- 14

!1

Sl. 14. 19.

Nr N2

N To , T1 , T2 , T3 ,

Ni +

E1

Sl. 14. 20.

14.20, Nr 60, N1

zavoja, uređaja prema slici izrađene su od iste 2. Zavojnice s i vrste žice i imaju otpor od 1 Q po zavoju. Ako je = = 15 i E r = 1 5 V , koliki mora biti napon E2 da bi magnetska indukcija u jezgri bila nula ( B = O )?

3. Izračunajte i nacrtajte raspored magnetske indukcije koaksijalnog kabela. Smjerovi struja u unutarnjem i vanj skom vodiču su suprotni (sl.

µr

=

1.

14.21), a

E1

14.4.

AMPEREOV KRUŽNI ZAKON ILI ZAKON PROTJECANJA

115

B

d

Sl. 14.21.

d/2

Sl. 14.22.

Kroz dva paralelna vodiča polumjera 4 cm teče struja iznosa I = 200 A u istom smjeru. Odredite magnetsku indukciju: a) u točki A ( rA = 2 cm ) i b) u točki B , ako je razmak između osi vodiča d = 20 cm (sl. 14.22). 5. Čemu je jednak integral f Bdlpo krivulji C na slici 14.23? 4.

c

c

& J�ll

& l�U

6. Koliko iznosi integral J Bdl po krivulji C1 (sl. 1 4.24 )?

& l�H

C1

7. Odredite iznos i smjer magnetske indukcije u torusnom svitku prema sli­ ci 14.25. Zadano je: Ii = 2 A , h = l A , h = l O A , ai = 20 cm , a1 =

22 cm ,

N1

=

100 zavoja, N2 = 1 20 zavoja.

8. Odredite vrijednost integrala f Bdl po (sl. 14.26): a) krivulji C1 ; b) krivulji C2 i c) krivulji C3 .

1 16

14.

MAGNETSKO POLJE

l

I ®

0 l

®

Sl.

14.26.

9. Kroz koaksijalni kabel teče struja 1 = lO A (slika 14.27). Odredite iznos magnetske indukcije u točkama A i B . Zadano je: a 1 = 0.5 cm , a2 = 1 cm , a3 = cm , rA = 0.25 cm i rs = 0.75 cm .

1.1

Sl.

14.27.

10. Odredite krivuljni integral

Sl.

14.28.

f Bdl po krivulji C na slici 14.28 .

11. Odredite iznos magnetske indukcije u torusnoj jezgri s

N

navoja kroz koju teče struja 11 , a kroz središte svitka prolazi drugi vodič protjecan strujom h . Zadano je: Rs = lO cm , 11 = 1 A , N1 = 200 , h = lOO A .

ZAKON O KONZERVACIJI MAGNETSKOG POLJA

1 4.5.

Sl.

1 4.5.

14.29.

Zakon o konzervaciji magnetskog polja

1 4.5. Pitanja

I

1 17

I

1.

Kako se računa tok homogenog magnetskog polja kroz ravnu površinu?

2.

Koja je j edinica za magnetski tok?

3.

Kako se računa tok nehomogenog magnetskog polj a kroz neku površinu?

4.

U čemu se sastoji princip neprekinutosti silnica magnetske indukcije?

5.

Čemu je jednak magnetski tok kroz zatvorenu površinu?

6.

Što je ulančani magnetski tok?

7.

Kako se računa ulančani magnetski tok?

1 4.5. Zadaci

1.

�

Izračunajte magnetski tok



kroz konturu

C koja leži u istoj ravnini blizu be­

skonačno dugog vodiča protjecanog strujom smj er toka

2.



I

( sl.

14.30).

Ucrtajte referentni

u odnosu na smjer struje.

14 .31 koja j e paralel­ I . Ucrtajte referentni

Odredite magnetski tok kroz pravokutnu konturu na slici na s beskonačno dugim vodičem protjecanim strujom smjer toka u odnosu na referentni smjer struje.

14. MAGNETSKO POLJE

118

/

I

/

a /

Sl. 14.31.

Sl. 14.30. 3.

Naneferomagnetsku tankujezgru namotana su dva svitka, Ni i N1 i priključe­ nana izvore Ei i E1 , pri čemuje otpor svakogkruga Ri i R1 (sl. 14.32) . Odre­ dite magnetski tok u torusu ako se zanemari rasipanje. Zadano je: E i = 50 V , E2 = 40 V , R 1 = 25 .Q , R1 = 1 0 .Q , Ni = 200 zavoja, N2 = 500 zavoja, l = 50 cm , S = 4 cm2 .

Sl.

14.32.

4. Odredite magnetski tok homogenog magnetskog polja indukcije B kroz slo­ ženu površinu na slici 14.33.

IB

b b

)B

a

a

Sl. 14.33.

Sl. 14.34.

5. Odredite magnetski tok homogenog magnetskog polja indukcije B kroz slo­

ženu površinu sastavljenu od pravokutnika i zaokrenute poluk:ružnice prema slici 14.34.

119

14.5. ZAKON O KONZERVACIJI MAGNETSKOG POLJA

6.

Odredite ulančani magnetski tok kroz torusnu neferomagnetsku jezgru s N1 200 zavoja kroz koje teče struja !1 = 1 A, a kroz središte svitka prolazi dugački vodič protj ecan strujom h lOOA (sl. 14.35). Zadano je: R1 = 10 cm, R2 1 1 cm i µr = 1 . =

=

=

,...-.

l

f.--'

a

d i--

-

b

l

I I

c

Sl. 14.36.

Sl. 14. 35.

7.

Odredite magnetski tok kroz pravokutnu konturu na slici 14 .36 koja prekriva vrlo dugi strujni vodič protj ecan strujom I . 8. Odredite iznos i 13mjer magnetskog toka u torusnom svitku prema slici 14.37. Zadanoje: ls ="IOOcm, S = 10cm2 , !1 = 2A, N1 = 100 zavoja, h 1 A, N2 = 30 zavoja, h = 3 A, N3 = 40 zavoja, µ„ 1 . =

=

Sl. 14.37.

9.

Solenoid protjecan strujom smješten je unutar elipsoida. Ako se struja sole­ noida poveća tri puta, za koliko se promijeni tok magnetske indukcij e kroz solenoid? 10. Odredite magnetski tok kroz pravokutnu konturu koja leži u ravnini s dvama paralelnim i vrlo dugim strujnim vodičima (slika 14.38).

14. MAGNETSKO POLJE

120

I

I b

Sl. 14.38.

11. Odredite iznos i smjer magnetskog toka u torusu prema slici 14.39. Zadano je: ls lOO cm , 1 0 cm2 , Ii = 2 A , N1 = 100 zavoja, Iz = 1 A , Nz = 300 zavoja, h = 3 A , N3 = 40 zavoja, /4 = 2 A, N4 10 zavoja, µr = 1 .

=

S=

=

121

1 5 . 1 . SILA NA NABOJ U GIBANJU U MAGNETSKOM POLJU

15.

Sile u magnetskom polju

1 5. 1 .

Sila na naboj u gibanju u magnetskom polju

j 1 s.1 . Pitanja I 1.

Napišite opći izraz za silu na naboj u gibanju u magnetskom polj u i objasnite ga.

2.

Kakvu putanju opisuj e naboj koji brzinom v okomito upadne u homogeno magnetsko polje?

3.

I

Objasnite Hallov efekt.

1 5. 1 . Zadaci

1.

�

Jezgra vodika kreće se brzinom magnetskom polju indukcije v =

2.

7

· 1 06 m/s ,

a =

6.2 cm , e0 = 1 .6

Ioni neona naboja e0 = m2 =

3 .65

·

v po kružnoj putanji radijusa a u homogenom B . Odredite magnetsku indukciju i silu ako j e 1 .

1 .6

·

10

-

9 c , mp == 1 .7 . 1 0-27 kg .

1 0- 19 c , masa

m1

1 0-26 kg , ulete kinetičkom energijom

=

Wk

3 .32 . 1 0-26 kg =

6.2

·

i

10-16 J u

homogeno magnetsko polje, naprave polukrug i iz polja izađu u dvama sno­ povima. Odredite razmak između snopova ako se magnetsko polj e nalazi u vakuumu i ima magnetsku indukciju

3.

B

=

0.24 T .

Između paralelnih naelektriziranih ploča nalazi se homogeno magnetsko polj e indukcije

B

(sl. 1 5 . 1 ) . Koliki treba biti napon između ploča i kojeg pola­

Q koji uleti brzinom v gibao pravocrtno? T, v = 1 000 m/s i Q = 2 . 2 nC .

riteta da bi se naboj

d = 2 cm , B =

1 .2

Zadano je:

122

15.

Q

B ©

V

-------

Sl. 15. 1.

SILE U MAGNETSKOM POLJU

l

___

j

4. Proton vodika ubačen okomito u homogeno magnetsko polje B = T brzinom v =

1 107 m/s u vakuum. Odredite polumjer putanje i vrijeme jednog obilaska.

Sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju. 1 5.3. Magnetska sila između dvaju ravnih paralelnih i dugih strujnih vodiča. Definicija jedinice amper

1 5.2.

1 5.2. i 1 5.3. Pitanja

I

1. Kolika je sila na element strujnog vodiča u magnetskom polju? 2. Kako se računa rezultirajuća sila na:

a) dio

strujnog vodiča; b) zatvorenu

strujnu konturu u magnetskom polju? 3.

Kako se računa sila na dio ravnog vodiča u homogenom magnetskom polju? Kada je ta sila maksimalna, a kada minimalna?

4. U kojem slučaju magnetske sile razvlače (šire) strujnu konturu? 5. Kako se računaju sile između dvaju paralelnih vrlo dugih ravnih strujnih vo­

diča? 6. Kako se definira jedinica

I

1 5.2. i 1 5.3. Zadaci

1 A?

l

I= cm i mase m = g obješena je na dva elastična vodiča u magnetskom polju indukcije B = T (sl. 1 5.2). Kolika je potrebna struja i kojeg smjera da bi ta žica lebdjela i da ne napreže opruge?

1. Žica dužine

100

20 0.4

2. Dugačkom ravnom žicom teče struja Ii

20

= A . Pravokutni zavoj čije su duže stranice paralelne sa žicom protjecan je strujom h = A . Nađite iznos i smjer rezultirajuće sile na zavoj. Dimenzije su dane na slici

10

16.1.

15.2. SILA NA VODIČ PROTJECAN STRUJOM . . . 15.3. MAGNETSKA SILA . . .

123

a=lO cm

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

I

I

l Sl. 15.3.

Sl. 15.2.

3. Odredite silu po metru dužine na struju !1 na slici 1 5 .4. Zadano je: I1 Iz = h = 5 A, a = 40 cm .

a

I

I

I

I

I

I1

I

I

I

I

li ®

I \

\

\

\

\

\

\

\

a

\

\

\

Sl. 15.4.

4.

10 A ,

12 b

\

0- - - - - - - - - - - - - � a

=

d

c

Sl. 15.5.

Odredite silu na pravokutnu strujnu konturu na slici 1 5.5. Zadano je: 11 = lO A , ]z = 2 A , a = 20 cm , b = 1 50 cm , c = d = 50 cm .

5. Odredite silu na stranice pravokutne strujne konture koja se nalazi u homoge­ nom magnetskom polju (sl. 15.6). Zadanoje: B = 1 T , I = 1 A , a = 0.3 m , b = 0.2 m , a = 60° .

6. Odredite silu na pravokutnu konturu na slici 1 5 . 7. Zadano je: Ii = 10 A , h = 2 A , a = 20 cm, b = 1 50 cm , d = 1 m, c = 30 cm .

124

SILE U MAGNETSKOM POLJU

15.

b

l2

11

X

Sl.

Sl.

15.6.

15. 7.

7. Odredite po iznosu i smjeru silu na strujni vodič 1 (sl . 15.8). Zadano je: !1 = 2 A , h = l A , /3 = 3 A , a = 4 cm , b = 4v'3cm . I

h

/

/

I I

l b I

a

Sl.

15.8.

'

, '

I

/ 0- - - --L·�0

li

'

a l I I

I

a

-

I

/ff / I

//

I

I I

/

/

/

/

'

/

X /A '

/

'

/

'

/

\.

/

I I I

I la I '

I I

I

� - - - - - - - - - .:ib I I

Iz

/

a

Sl.

'

15.9.

8. Odredite iznos i smjer sile na strujni vodič 2 u prethodnom zadatku (sl. 1 5.8). Zadano je: Ii == 2 A , h == 1 A, h = 3 A , a = 4 cm , b = 4./3 cm . 9. Odredite magnetsku silu po iznosu i smjeru na donji desni vodič (slika 1 5.9). 10.

Odredite rezultirajuću silu na pravokutnu konturu u shemi na slici 15 .1 O. Zada­ no je: !1 = l O A, h = 20 A , h 1 A , a = 50 cm , b 60 cm , c = l O cm i d = 20 cm .

=

=

h

I1

b

h d

a

Sl. 11.

Kroz štap mase m'

=

12

c

15. 1 0.

20 g/m protječe struja I

= 2 A u homogenom magnet-

1 5.3. MOMENT MAGNETSKIH SILA

125

skom polju indukcije B = 1 .5 T (slika 1 5. 1 1 ) . Odredite kut otklona a štapa iz ravnotežnog položaja. I

-- - - - -

\ a.\

I 1

1 5.4.

j

\

\

\

\

- --

- -

\

I \

\

\

\

\

\

--

-'

mg

1 I I 1 1 1 l lB Sl. 15. 1 1.

Moment magnetskih sila

1 s.4. Pitanja

I

1. Napišite izraz za moment sile na strujni element u magnetskom polju. 2. Napišite izraz za moment sile na strujnu konturu u magnetskom polju. 3. Što je magnetski dipolni moment? 4. Kako se računa moment sile na konturu u homogenom magnetskom polju?

j

1 5.4. Zadaci

I

1 . Kruta pravokutna kontura leži u homogenom magnetskom polju indukcije iJ, čiji vektor s vektorom normale n0 zatvara na konturu kut a = 3 0° (sl. 1 5 . 12). Ako kroz konturu teče struja I == 0.1 na konturu djeluje zakretni moment 5 M = 0.314 1 0- Nm , odredite iznos magnetske indukcije B . Zadano je: a = 2 cm , b = 1 cm .

A,

·

2. Odredite moment na pravokutni kruti okvir protjecan strujom I , koji se na­ lazi u homogenom magnetskom polju indukcije B (sl. 1 5 . 12). Zadano je: a = 0.3 m, b == 0.2 m , a = 60° . B = 1 T, I = 1

A,

15. SILE U MAGNETSKOM POLJU

126

a

b Sl.

I

I

15. 12.

3. Kruta kontura protjecana strujom 11 leži u ravnini koju okomito probada bes­

konačno dugi vodič protjecan strujom I (sl. 1 5 . 13). Odredite zakretni moment na konturu.

4. Odredite moment na strujnu petlju protjecanu strujom I koja leži u homo­ genom magnetskom polju indukcije B (sl. 15. 14). Kako se kontura želi

zakrenuti?

z

I I

B

b l

c

a

•

1111llll1l Sl. 15.14.

/

B

/

/

/

/

/

a

/

/

/

/

/

/

/

/

/

I

/

/

/

/

/

/

y

X

Sl. 15.15.

5. Odredite iznos i smjer zakretnog momenta na složenu konturu prema sli­ ci 1 5 . 1 5 . Zadano je: I = 1 A , B = 0.8 T homog„ a = l O cm , b = 20 cm , c = 1 2 cm .

6. Pravokutna kontura dimenzija a = 5 cm , b = 1 O cm , protjecana strujom I = 2 A , leži u magnetskom polju indukcije B = 1 T., tako da silnice ne probadaju konturu. Odredite zakretni moment na konturu (sl. 1 5 . 1 6) .

15.3.

MOMENT MAGNETSKIH SILA

127

O' I o / ,,. ,,,..

xi 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1

y

Sl. 15. 1 7.

Sl. 15. 1 6.

7. Složena kontura u obliku slova L protjecana strujom I = 1 A nalazi se u homogenom magnetskom polju indukcije B = 1 T (sl. 1 5 . 17). Odredite za­ kretni moment na konturu ako je zadano a == 5 cm, b = 1 O cm , c = 7 cm , i kut a = 30° . 8.

Pri kojem će kutu

a

složena kontura iz prethodnog zadatka biti u ravnoteži?

9. Složena kontura u obliku slova L sastoji se od dviju okomitih polukružnica protjecanih strujom I = 1 A i nalazi se u homogenom magnetskom polju indukcije B = 1 T (sl. 1 5 . 1 8 ) . Odredite zakretni moment na konturu ako je zadano a = S cm , b = 1 O cm, c = 7 cm, i kut a = 30° . /

-

I

B

y

Sl. 15.18.

128

1 6. RAD MAGNETSKIH SILA

16.

Rad magnetski h sila

1 6. 1 . Pitanja

I

1. Kako se računa rad potreban da se strujna kontura konstantne struje premjesti

u magnetskom polju? 2. Kako se može odrediti tko je izvršio rad u 1 . pitanju? 3. Kako se računa sila koja je izvršila rad u magnetskom polju? 4. Kako se računa zakretni moment strujne konture u magnetskom polju?

I

1 6. 1 . Zadaci

I

1. Odredite rad potreban da se kontura iz 7. zadatka, točka 1 5 .4. (sl. 15. 17)

. za kut zarotrra

a =

n

2.

2. Konturu u 2. zadatku, točka 1 5.2. i 1 5.3. (sl. 1 6. 1 ) treba pomaknuti za d = 3 cm udesno. Koliki je rad za to potreban i tko će ga obaviti? a=lO cm

b-=l.91L I2

I2

Sl. 1 6. 1 .

§

fl

-

li

129

1 6.3. MOMENT MAGNETSKIH SILA

3. Koliki je rad potreban da se kontura iz položaja ( 1 ) zarotira u položaj (2) (sl. 16 .2)? Tko će obaviti taj rad? Zadano je: a = 9 cm , b = 20 cm , c = 1 cm , /1 = 20 A , h = IO A .

b

CD

12 c

a

b

12

c

@

-

Sl. 4.

a

16.2.

Pomoću relacije ( 1 6.6) OEl odredite sile između konture i beskonačno dugog vodiča na slici 16.2, pozicija ( 1 ) .

5. Koliki j e rad potreban da se kruta pravokutna kontura prebaci iz položaja 1 u položaj 2 (sl. 1 6.3)? Zadano je: a = I O cm , b = 2a , c = a , d = 3a , l = a , /1 = 1A , 12 = 2 A . Tko je izvršio rad? b

L - �- ,

J I

• 12


d

a

I I I I

„_

12

i/

Sl.

(/

/ I I I I I I I

--

c

1 6.3.

6. Odredite potreban rad da se kruti strujni okvir iz položaja ( 1 ) zarotira u položaj (2) crtkano (sl. 1 6.4) . Tko ga je izvršio? Zadano je: /1 = lO A , h = l A , d = 80 cm , b = 40 cm i a = l O cm .

16. RAD MAGNETSKIH SILA

130

d I

W

I

bi

I I

�/

/

Sl.

//

/

/

/

11

/

h

a

b

Sl.

1 6.4.

a

1 6.5.

7. Ako se strujna kontura na slici 1 6.5 pomakne udesno za 1 m, koliki je izvr­ šeni rad i tko ga je obavio? Zadano je: 11 = 1 kA , h = 4 A , a = 0.5 m , b = O. l m . 8. Koliki j e rad potreban da se strujna kontura prema slici 1 6.6. premjesti iz položaja 1 ) u 2 )?

� I, I ; I I

I

a

:

I

- - -

I

b

:

I

Sl.

1 6. 6.

b

0 a

- - -

li

I

l1

- - -

a

- - -

c

c

Sl.

I

1 6. 7.

9. Koliki je rad potreban da se kontura iz položaja 1 dovede u položaj 2? Zadana je: l = 5 A , 11 = 2 A , a = 30 cm , b = 50 cm , c = 20 cm , µ„ = 1 .

17.3. POOPĆENI AMPEREOV KRUŽNI ZAKON. . .

17.4. ODREĐIVANJE MAGNETSKIH . . .131

1 7.

Magnetska svojstva materijala

Ampereove elementarne struje. Dijamagnetski i paramagnetski materijali. 1 7 .2. Vektor gustoće magnetiziranja 1 7. 1 .

1 11.1. i 1 7.2. Pitanja I 1. Što je elementarna struja koju stvara elementarni Ampereov magnet? 2. Što je orbitalni magnetski moment?

3. Što je magnetski moment spina? 4. Koje su vrste magnetskih materij ala? Objasni njihova svojstva.

5. Kako nastaje magnetiziranje materij ala? 6. Što je vektor gustoće magnetiziranja?

1 7 .3. Poopćeni Ampereov kružni zakon. Vektor jakosti magnetskog polja 1 7.4. Određivanje magnetskih svojstava materijala

1 17.3. i 1 7.4. Pitanja I 1. Objasnite poopćeni Ampereov kružni zakon. 2. Kako se definira veličina jakosti magnetskog polja?

3. Koja je veza između veličine jakosti magnetskog polja i magnetske indukcije? 4. Što je magnetska susceptibilnost?

17. MAGNETSKA SVOJSTVA MATERIJALA

132

5. Što je relativna permeabilnost magnetskog materijala i kakve su njezine vrij ednosti kod različitih materijala?

6. Jesu li ii i ii kod svih materij ala kolinearni?

7. Opišite kako se ispituju svoj stva ma�etskih materijala.

8. Kako se dobiva statička, a kako dinamička krivulja B = f(H) ?

j 1 1.3. i 1 7.4. Zadaci I

1. Koliki je krivuljni integral

§ Hdl po krivulji

C na slici 1 7 . 1 ?

c

µ, = 1

c

©21

I

I

I

, ,

0 1

I

I

0

µ, = 5

I

©

I

I

Sl. 1 7.I .

Sl. 1 7.2.

2. Kroz torusni svitak čija je jezgra od nepoznazog materijala teče struja I . Od­ redite jakost magnetskog polja H ako je I = 1 A , N = 200 zavoja, a duljina srednje silnice iznosi l = 60 cm . 3. Odredite

f Hdl po krivulji

C , slika 17 .2.

c

4. U točki T odredite po iznosu i smjeru jakost magnetskog polja koji stvaraju dva vrlo duga paralelna strujna vodiča (slika 17 .3).

hd 1r-d- -i- -l-r1 I

Sl. 1 7.3.

133

1 7.3. FEROMAGNETSKI MATERIJALI

17 5 .

.

Feromagnetski materijali

1 17.5. Pitanja I 1.

Što je krivulja prvog magnetiziranja?

2.

Što je remanentna indukcija?

3.

Što je koercitivno polje?

4.

Objasnite petlju histereze.

5.

Što je normalna krivulja magnetiziranja?

6.

Što je i kako se određuje normalna permeabilnost?

7.

Kako se određuje diferencijalna permeabilnost?

8. Što je inkrementalna permeabilnost?

9. 10.

Što je Curieova temperatura i što se događa na toj temperaturi? Što su Weissove domene i kakvo je njihovo svojstvo i uloga u feromagnetskom materij alu?

11.

Koje su promjene granica domena pri procesu prvog magnetiziranja?

12.

Što je magnetostrikcija i gdje se primjenjuj e?

13. U koliko se skupina dijele feromagnetski materijali? 14.

Koji se materij ali koriste u izgradnji električnih strojeva, a koji stalnih magne­ ta? i µrmax ?

15.

Koja je definicija

16.

Koja su svoj stva ferita i gdje se on primjenjuje?

µpocc

J 17 .5. Zadaci � 1.

Tanka torusnaj ezgra od materij ala krivulje zavoja kroz koje teče struja Odredite

2.

B , µr .

I

=

3A.

1 , (sl. 1 8. 1 ) , namotana je s N = 300 l = 30 cm i S = 1 cm2 .

Zadano je

Kroz tanku torusnu željeznu jezgru izmjeren je magnetski tok struja

I = 0.032 A . Ako j e N = 300 S = 1 cm2 , odredite:

presjek jezgre

a) magnetsku indukciju B ;



zavoja, srednj a dužina

l

2µ Wb = 0 .3 m

=

i i

134

1 7. MAGNETSKA SVOJSTVA MATERIJALA

jakost magnetskog polja i relativnu permeabilnost µ,,. . 3. Odrec:lite iznos i smjer magnetskog toka u torusnoj jezgri prema slici 17.4 . Zadano je: ls = 100 cm, 11 = 2 A, 1000 zavoja, fz 1 A, 300 zavoja, h = 3 A, = 40 zavoja, µr = 40 i S = 10cm2 . b) c)

N1 =

N3

=

Sl. 1 7.4.

N1 =

Sl. 1 7. 5.

torusnoj jezgri na slici 17 .5 treba uspostaviti magnetsko polje jakosti 200A/m. Zadano je: h 2A, 50, = 80, N3 30, 25 i 15 zavoja, ls = 1 m, µr 500, S = 100cm2 . Odredite: a) struju li ; b) tok cI> .

4. U

H

=

N4 =

1 7.6.

N5 =

=

N1 =

N2

=

=

Uvjeti na granici dvaju magnetskih materijala

1 17.6. Pitanja I

Izvedite I. granični uvjet dvaju magnetskih materij ala za magnetsku indukciju. 2. Izvedite II. granični uvjet dvaju magnetskih materijala za jakost magnetskog polja. Kako se odnose tangens ulaznog i tangens izlaznog kuta na granici dvaju magnetskih materij ala? 3. Kakve su silnice na granici neferomagnetskog i feromagnetskog materij ala velike permeabilnosti? Jesu li linije veličine ii neprekinute linije? 5. Jesu li silnice indukcij e iJ neprekinute linij e? 1.

4.

17.4. UVJETI NA GRANICI DVAJU MAGNETSKIH MATERIJALA

I

.

.

1 7 6 Zadaci

1.

135

�

Na ravnoj granici zrak-magnetski materijal relativne permeabilnosti Jlv leži dugi ravni vodič protj ecan strujom (sl.

17.6).

Odredite magnetsku indukciju i

polje u zraku i materij alu i oblik silnica.

µo

I

������% �� Sl. 1 7. 6.

2. 3.

Magnetsko polj e iz zraka ulazi pod kutem kog materijala µr

a1 = 30°

na granicu feromagnets­

= 1000 . Koliki je izlazni kut a2 ?

N = 100 zavoja i namotana je na željezni valjak = 20 mm . Nalazi se u radijalnom mag­ netskom polju konstantne indukcije B = 0.05 T po obodu valjka (sl. 17.7 ) . Koliki j e moment okretanja pri struj i od 1 mA ?

Zavojnica galvanometra ima dužine

b = 30 mm

i promjera a

F

U0E

N

F

Sl. 1 7. 7. 4. Voltmetar sa stalnim magnetom i zakretnim svitkom mjeri pri punom otk­

lonu 300 mV . Zakretni svitak ima N = 20 zavoja bakrene žice promj era d = 0.28 mm , srednja dužina zavoja iznosi ls = 1 3 cm , a dužina zavojnice je 4 cm . Indukcija u rasporu iznosi B = 0 . 1 5 T . Koliki je zakretni moment punog otklona od 300 mV ako j e u seriju sa svitkom spojen Rd = 4.24 Q ?

5.

Između polova permanentnog magneta nekog mj ernog instrumenta smj ešten je željezni va­

48 zavoja, duži­ 39 mm i širine b = 26 mm , prema slici 17.8. U zračnom rasporu vlada magnets­ ko polje indukcij e B = 1 T , koje okomito ulazi

ljak s namotanim svitkom od ne

I

=

na površinu želj eznog valjka. Ako kroz zavo­ j e svitka teče struj a

I = 7.S mA ,

nađite iznos

zakretnog momenta koj i djeluj e na valjak.

Sl. 1 7. 8.

1 8. MAGNETSKI KRUG

136

1·8 .

Magnetski krug

1 8 . 1 . Jednostavan magnetski krug. Magnetski · otpor

I

1 a. 1 . Pitanja

I

1. Što je magnetski krug? 2. Što su linearni, a što nelinearni magnetski krugovi?

j

3.

Što je magnetska uzbuda?

4.

Kako se računa magnetski otpor jezgre?

5. Kako glasi Ohmov zakon za magnetski krug? 6. Što je rasipni tok? 1 a. 1 . Zadaci

f

1. Torusni svitak s = 200 zavoja i strujom I = 5 A stvara magnetsku induk­ 1 0 crn2 , a srednja duljina l = 1 rn . ciju B = 1 T u jezgri čiji je presjek Odredite: a) magnetski otpor; b) jakost polja H ;

N

S=

1 8.2. Osnovni zakoni magnetskih krugova

I

1 8.2. Pitanja

I

1. Kako izgleda složeni magnetski krug? 2. Kako se računa magnetski napon? 3.

Objasnite I. Kirchhoffov zakon za magnetski krug.

1 8.3. PRORAČUN JEDNOSTAVNOG MAGNETSKOG KRUGA S ISTOSMJERNOM MMS

1 8.3.

137

Proračun jednostavnog magnetskog kruga s istosmjernom MMS

I 1 8.3. Pitanja I Kako se računa MMS jednostavnog magnetskog kruga? 2. Kako se crta krivulja tl> f(Fm) ? 3. Kako se računa magnetska indukcija B jednostranog magnetskog kruga s zračnim rasporom ako je poznata krivulja B = f(H) , NI, S, l , lo ? 4. Kako zračni raspor utječe na magnetski otpor kruga i krivulju tl> = f(Fm) ? 1.

=

I 1 8.3. Zadaci I 1.

Kroz svitak od N = 800 zavoja magnetskog kruga na slici 1 8.2 teče struja I = 5 A . Krivulja magnetiziranja je krivulja 1 na slici 18.1. Dimenzije jezgre su l = 1 m i S = So = 1 O cm2 . Odredite magnetski tok i otpor kruga. B(T)

1, 2, 3, 4, 5, 6

-------}--++-�------+O.I, 0.2, 0.3

-i--

--+---!-+---!

1 .5

2000 100

200

3000 300

Sl. 18.1 .

1

4000 400

-+---1- H A!m) - H (A/cm)

1 8 . MAGNETSKI KRUG

138

2. Ako se u prethodnom zadatku stavi zračni raspor iznosa lo magnetski tok i otpor kruga.

= n mm ,

odredite

Magnetski krug prema slici 1 8.2 ima poznate sljedeće vrij ednosti: S = 150 cm2 , !0 = 1 mm , I = 60 cm , N = 250 . Krivulja magnetiziranja za­ dana je jednadžbom B( T) = 25 10- 3 · VH( A/m) , gdje je H u (A/m). Odredite uzbudnu struju I koja će stvoriti tok = 1 O Wb .

3.

·

I

,- - - - - - - - - - 1

I I I I

I

I I I I I I L _ _ _ _ _ _ _ _ _ _I Sl. 18.2.

4.

l, s

I

A

()

o

-

.,,.

() o

�

N

lo

B 40

110

o ...

40

Sl. 18.3.

40

Pri uzbudi NI feromagnetske jezgre na slici 1 8.3, bez zračnog raspora, mag­ netska indukcija B = 1 .4 T , a jakost magetskog polja H = 12 A/ cm . Kad kotva A odmakne, nastanu dva zračna raspora 10 = I mm . Ako se uzbuda NI ne promijeni, jakost magnetskog polja u jezgri se smanjuje sedam puta. Dimenzije jezgre su dane u milimetrima, a So = 1 . 1 S . Odredite ma�ets­ ku indukciju u materijalu i u zračnom rasporu, te jakost magnetskog polja u zračnom rasporu.

5. Izračunajte jakost magnetskog polja H0 u zračnom rasporu i u feromagnets­ koj jezgri magnetskog kruga prema slici 1 8.2 ako je zadano: IN = 500 A , l = 1 40 cm , lo = 1 mm , S = 4 x 4 cm2 i µr = 600 .

6. Polovica torusne jezgre (sl. 1 8.4) izvedena je od materijala µr1 = 1 000 , a druga polovica od µr2 = 500 . Odredite magnetski tok kroz jezgm ako je I = S A , N = 200 , S1 = S2 = 1 0 cm2 , 11 = 12 = 3 0 cm .

18.3. PRORAČUN JEDNOSTAVNOG MAGNETSKOG KRUGA S ISTOSMJERNOM

MMS

139

Sl. 18. 4.

7. Torusna jezgra sastoji se od dvaju materijala permeabilnosti µr1 = 900 i µr2 = 1000 (sl. 1 8.5). Izračunajte magnetski tok ako je: I = 5 A , N = 200 zavoja, ai = l O cm , a2 = 1 1 cm , a3 = 1 2 cm i b = 2 cm . Napomena. Radite sa srednjom silnicom.

�;-·�·--/��­

II �: I �---1--�-_t I

a

I

I

'----.-'----'

Sl. 18.5.

8.

�

I

a) ai

I

I

Sl. 1 8. 6.

Torusna jezgra sastoji se od dvaju materijala permeabilnosti µr1 = 500 , µr2 = 600 (sl. 18.6). Izračunajte magnetski tok ako je: I = 5 A , N = 200 zavoja, a1 = l O cm , a2 = 12 cm , b1 = b2 = 1 cm .

Sl. 18. 7.

9.

��I��l�f

V(A)

Poznata je karakteristika magnetskog kruga = f(Hl) krivulja 1 (sl. 1 8. 7). Ako se u magnetskom krugu napravi zračni raspon čija je karakteristika pravac

140

1 8. MAGNETSKI KRUG

(krivulja 2), nacrtajte novonastalu magnetsku karakteristiku magnetskog kru­ ga ' = f( V) , gdje je V -ukupni magnetski pad napona kruga. Obrazložite svojstva te krivulje. 20 cm

20 cm

N N

a)

b) Sl. 18.8.

feromagnetskojjezgri treba stvoriti magnetski tok = 3 . 1 0- 3 Wb . Odredi­ te broj zavoja ako je struja I = 5 A , a dimenzije jezgre dane su u centimetrima na slici l 8.8a. 1 1. Koliko je zavoja potrebno dodati u prethodnom zadatku da bi se ostvario isti tok ako na donjoj kotvi postoji zračni raspor /0 = O . 1 , sl. 18.8b.

10.

U

1 8.4.

Proračun složenog magnetskog kruga

j 1 8.4. Pitanja I Koji se zakoni primjenjuju kod proračuna složenih magnetskih krugova? 2. Kakav je postupak najpogodniji kod proračuna složenih magnetskih krugova? 3. Koja su dva osnovna problema kod proračuna složenih magnetskih krugova i kako se oni rješavaju? 1.

I

1 8.4. Zadaci

1.

�

magnetskom krugu prema slici 1 8.9 kroz 400 zavoja teče struja I 5 A . Odredite indukciju u srednjem stupu ( l 1 = /3 = 65 cm, li = 3 5 cm ). Krivu­ lja magnetiziranja zadana je tablično: 1 .5 1.4 1 .6 30 20 35

U

=

1 8.4. PRORAČUN SLOŽENOG MAGNETSKOG KRUGA

141

\ I

- - - - - - -,- - - - - - - -,

I I

S

l

I I l1 1 I I I I I [ _ _ _ _ .:::_

I

ll3

N

l

__ _ ___ _

2S

Sl. 18.9.

2.

I I I I

I I I I I

_J

S

Izračunajte magnetsku indukciju u zračnom rasporu između pola i rotora elek­ tričnog stroja prema slici 1 8 . 1 0. Zadano je: I = 2 A , N1 = N2 = 200 , srednji promjer d = 20 cm , lo = 1 mm , µr = 104 .

d

Sl. 18. 1 0.

3.

Odredite duljinu srednjeg stupa !2 i magnetsku indukciju Bo u zračnom rasporu magnetskog kruga prema slici 1 8. 1 1 . Zadano je: 11 = 400 mm, /3 = 400 mm , 8 = l .25 mm , S = 200 cm2 , IN = 400 zavoja i B3 = 0.79 T . Krivulja magnetiziranja:

o 25 50 75 1 00 1 50 200 300 400 500 600 o 0.09 0.1 8 0.26 0.32 0.43 0.52 0.66 0.79 0.88 0.94

18. MAGNETSKI KRUG

142

:- - - - - -T- - - - - i I

:1- - - - - - -�I (----I I

I

I�

12 N

I I

I,

s

_ _

!J

z

_

I

l[z S iz

eoi _1

I I

I

Ni

I I I

-,

l1

I

I I

!_ s

- - -L - - -r3- - �'

%

_ _ _ _ _

�

I I I

I

l I I I

[i

I

l3 I I

�- - - - - -'

�

�

S3

S1= S 2

I

<--i--�

S2= S1

Sl. 18. 12.

Sl. 18. 1 1.

4.

Zadan je složeni magnetski krug s dvjema uzbudama, Ii N1 i hN2 prema slici 1 8. 12. Poznata je uzbudna MMS IiN1 = 250 Az, zatim dimenzije mag­ netskog kruga koji je izveden od transformatorskog lima (sl. 1 8. 1 ) . Odredite uzbudnu MMS /zN2 ako je izmjeren tok u srednjem stupu 3 = 0.5 mVs uz poznati smjer prema slici. Zadana je: 11 = /2 = 2 1 cm , /3 = 8 cm , S1 = 8 cm2 , S2 = 1 2 cm2 , S3 = 5 cm2 .

5.

U

zračnom rasporu složenog magnetskog kruga (sl. 18.13) izmjerena je mag­ netska indukcija Bo = 0.5 T , a krivulja magnetiziranja materijala može se opisati sljedećom relacijom: B = 0.04.;H (gdje je H u (A/m)). Odredite struju I ako je N 200 , lo = 0.1 cm , 11 1 5 cm , /2 /3 = 30 cm, a S1 = 2S2 = 2S3 . =

=

=

Sl. 18.13.

6. Magnetski krug prema slici 18.14 izveden je od nelegiranog željeza, krivu­

lja ( 1 ) , slika 18.1. Odredite magnetsku indukciju u srednjem stupu ako je IN = 2000 A zavoja, 1 1 = h = 75 cm , 12 = 35 cm , S2 = 2S1 = 2S3 .

143

1 8.4. PRORAČUN SLOŽENOG MAGNETSKOG KRUGA

Sl. 18.14.

7.

zračnom rasporu magnetskog kruga na slici 18.15 treba biti magnetska in­ dukcija Bo = 0.4 T . Odredite struju I ako je magnetski krug izveden od lje­ vanog željeza, krivulja (3) sl. 1 8 . 1 . Zadanoje: Bo = 0.4 T , 11 /2 = 60 cm , /3 = 30 cm , lo 0.1 cm, S1 = S2 , S3 = l .2S1 , i N = 198 zavoja.

U

=

=

r-

1 I I I I I I I I I I

- - - --r -

---

I N

, I I I I

_1 -r

Io . So=S2

Sl. 1 8. 1 5.

8.

magnetskom krugu na sl. 18. 1 6, koji je izveden od transformatorskog li­ ma (krivulja (2), sl. 1 8. 1 ) moraju biti B1 = B2 = l .21 T . Zadano je: I1N1 = 700 A zavoja, /1 = 20 cm, 12 = l O cm , /3 = 20.7 cm , lo = 0.5 mm, S1 = S2 = 10 cm2 , S3 = So = 2.42S1 . Odredite a) hN2 ; b) Bo i Ho .

U

, - - - - - -i- - - - - - - - 1

I I I �......,..

I I I I

/1, S1

12, S 2

Sl. 1 8. 1 6.

144

1 8.5.

1 8. MAGNETSKI KRUG

Permanentni materijali

I 1 8.5. Pitanja I 1. Koji se feromagnetski materijal upotrebljava za stalne magnete? 2. Kako se određuje radna točka stalnog magneta?

3. Kako se određuje minimalni volumen magneta?

I

1 8.5. Zadaci

I

1. Magnetski krug s permanenetnim magnetom (osjenčano) (sl. 1 8. 17), čija je magnetska karakteristika pravac prolazi kroz vrijednosti Br = 0.55 T i Hc = -6.5 1 04 A/m . Ako se zanemari otpor polnih nastavaka i rasipanje, odredite jakost magnetskog polja u zračnom rasporu. Zadano je: l = 3 cm , lo = 2 mm i presjeci Sm = SFe = S) . ·

Sl. 18. 1 7.

19.1. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA U METALNOM ŠTAPU KOJI SE GIBA . . .

145

19.

Elektromagnetska indukcija

Elektromagnetska indukcija u metalnom štapu koji se giba u vremenski konstantnom magnetskom polju 1 9. 1 .

1 19.1. Pitanja l 1.

Što je elektromagnetska indukcija?

Kako se računa sila na gibajući naboj u magnetskom polju? 3. Što se događa kada se vodljivi štap giba u magnetskom polju? 2.

4.

Što stvara nagomilani naboj na krajevima gibajućeg štapa u magnetskom polju?

5. Što je vektor induciranog električnog polja? 6.

Koliki je rad potreban da se gibajući naboj u homogenom magnetskom polju prenese iz točke( 1 ) u točku (2 )?

7. Kako se definira inducirana elektromotorna sila 8.

(EMS) gibanja?

Kako se računa EMS vodljivog neravnog štapa u nehomogenom magnetskom polju?

19.1. Zadaci � 1.

Vodljivi ravni štap duljine l = 0.5 m giba se brzinom v = 20 m/s okomito sjekući silnice uhomogenompolju indukcije B = 0.8 T (slika 19. 1 ) . Odredite inducirani napon u12 između krajeva štapa.

1 9. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

146 X

X

X

X

X (l) X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

2.

X

X

Sl. 19.1.

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X v

(I) X

X

X

x b

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

jj X

X

X

X

_ __

X

X

�:

X

-X

X

b

x _

2

------

--

�

�

X

X (2)_*

X

X

X

v

X

X

X

V

X

Sl. 1 9.2.

X

X

X

X X X X

X

Kruta vodljiva kontura giba se u homogenom magnetskom polju prema sli­ ci 19 . 2. Odredite inducirani napon u12 ako je a = 10 cm i b 80 cm, v = 8 m/ s i B 1 T . =

=

3. Vodič u obliku slova Z giba se brzinom v okomito na magnetsko polje (sli­ X

X

ka

19 .3). Koliki napon pokazuje voltmetar spojen prema slici?

X

X

X

X

X

X

X

X l X 1I f 2 I

v

X

X

-------- --

X

X

X

X

I l�k= X

X

;fn

O.

X

X X

X

X X

X

X

X

-

X

X

v

X

X

a = l OO cm

l= 120

cm

-------

'

Sl. 19.3.

4.

-------

-----------

Sl. 19.4.

Štap duljine l = 120 cm klizi po bakrenim tračnicama brzinom v = 2 m/s u magnetskom polju indukcije B = 1 .2 T . Odredite inducirani napon e , silu kojom magnetsko polje djeluje na štap, snagu gibanja štapa i snagu na otporu R = 0. 1 kQ (slika 19.4). Zanemarite otpor štapa i bakrenih tračnica, kao i trenje klizanja.

5. Vodljivi štap duljine l = 12 cm rotira u homogenom magnetskom polju in­ dukcije B = 1 T s n = 30 okr/min i pritom jednim krajem klizi po tankom

metalnom prstenu polumjera R = 1 O cm . Koliki je napon na priključnicama ab (slika 19.5)?

19. 1 . ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA U METALNOM ŠTAPU KOJI SE GIBA . . . X

X

X

X

X

X

147

X

X X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X X Sl. 19.5.

X

b

X

6. U trenutku t = O s vodljivi štap duljine l = 1 m počinje se jednoliko gibati br­ zinom v = 2 m/s (slika 1 9.6) . Odredite induciranu EMS u trenutku t = 0 . 1 s ako je I = 2 A , d = 10 cm , a = 15 cm .

r r

I I vi �-- ---1

z

I

t I

II I

I I

I

I

I

d

I

a

d

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

R

X

X

X

X

X

X

X X Sl. 19. 7.

X

X

a

X Sl. 19. 6.

X

X

v

B

X

X

7. Supravodljivi štap klizi po supravodljivim tračnicama brzinom v = 2 m/s . Odredite induciranu struju, silu na štap i snagu na otporu R na slici 19. 7. Zadano je: B = 0.8 T , v = 2 rn/s , l = l .2 m , d = 1 m, a ukupan otpor krugaje R = lO Q . 8. Odredite induciranu struju, silu na štap i snagu na otporu R na slici 1 9.8. Supravodljivi štap klizi po supravodljivim tračnicama brzinom v = 2 m/s . Zadanoje: B = 0.8 T , v = 2 m/ s , l = 1 . 8 m , d = 1 m i a = 60° , a ukupan otpor krugaje R = IO Q .

148

19. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

R

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

d

B

Sl. 19.8.

9. Odredite induciranu struju, rezultantnu silu na izlomljeni štap i snagu na ot­ por R u shemi na slici 1 9.9 ako metalni štap klizi brzinom v = 2 m/s po supravodljivim tračnicama. Zadano je: B = 1 T , v = 2 m/s , li = 0.6 m , h = 0.2 rn , /3 = 0 . 8 rn , d = 1 rn , a = 60° , R = 10 .Q - ukupni otpor. X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X X

X

-

a

-

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X R

X

X

X

X

X

X

X

B -homogeni

V

metalni štap

Sl. 19.9.

10. Štap dužine I = 1 m u trenutku t = O počne se gibati brzinom v = 2 m/ s prema slici 19.10. Odredite funkciju EMS i ucrtajte smjer EMS. Zadano je: I = 2 A, d = 10 cm , a = 15 cm .

2!

I d

a

V

2

_ _ __

Sl. 1 9. 1 0.

J

Sl. 1 9. 11.

11. Dva Faradayeva diska vrte se u suprotnim smjerovima u homogenom magnet­ skom polju koje upada okomito na diskove (slika 19. 1 1). Odredite napon u1 2 ako je B = 0.8 T , w1 = 40 rad/s, w2 = 20 rad/s, R 1 = 3 cm i R2 = 5 cm .

1 9.2.

149

GIBANJE METALNE KRUTE KONTURE U NEHOMOGENOM . . .

1 9.2. Gibanje metalne krute konture u nehomogenom vremenski konstantnom magnetskom polju

1 9.2. Pitanja

I

I

1.

Kako se računa inducirana EMS u vodljivoj krutoj konturi koja se giba u nehomogenom magnetskom polju? Objasnite tu pojavu.

2.

Može li se relacija iz 1 . pitanja izraziti pomoću promjene toka i kako?

3.

Opišite sve uzroke koji mogu dovesti do promjene toka u konturi.

1 9.2. Zadaci

1.

�

Odredite iznos i smjer inducirane EMS u zavisnosti o vremenu u krutoj konturi koja se počne gibati u trenutku t = O brzinom v (slika 19.12). Zadano je: I = lO A , a = lO cm , b = 40 cm , c = SO cm , v = 3 m/s . X

·I I I

I

c

a

V

-

b

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

x:

X

r:

;x:

X

X

a

X

X

X

X

I

I

I

I

X

a

I I

b

:x

I

I

o

Sl. 19. 1 2.

b

x: I

I

X

Sl. 19. 13.

2.

Pravokutna kruta vodljiva kontura giba se brzinom v = 4 m/ s okomito sjekući magnetske silnice indukcije B = 1 T (slika 19 . 13). Odredite oblik inducirane EMS u zavisnosti o vremenu ako je a = 40 cm , b = 20 cm .

3.

Pravokutni metalni okvir okomito probadaju silnice homogenog magnetskog polja indukcije B = 0.8 T . Koliko se inducira EMS ako se okvir izvuče iz polja u vremenu t = 0. 1 s (slika 19.14 )? Zadano je: a = 20 cm , b = 10 cm .

1 9. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

150 B X

b

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

� - - - - - - -, I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I L - - - - - - -I

a

Sl. 19.14.

1 9.3.

Faraday-Lenzov zakon

J 1 9.3. Pitanja I Do kakvih su opažanja došli Faraday i Lenz? 2. Kako glasi Lenzovo pravilo? 3. Može li se inducirana EMS razdvojiti na komponentu gibanja i komponentu promjene toka? Kako se računa inducirana EMS u složenoj konturi? 1.

4.

j

1 9.3. Zadaci

1.

I

Kroz svitak od N 100 zavoja mijenja se magnetski tok (t) prema da­ nom zakonu (slika 19.15). Nacrtajte grafikon induciranog napona i nađite efektivnu vrij ednost induciranog napona u svitku. =

(Wb)

0.002

Sl. 19.15.

19.3. FARADAY-LENZOV ZAKON

151 i = 10 sin( l OOOt) (slika 19. 16). Odredite 20 cm , b = c = 0.6 m .

2. Ravnim dugim vodičem teče struja

napon u1 2 (t) . Zadano je:

a =

i =5s.in3 14t (A) I I I I I I I a 2 =20cm : a 1= 10cm I I I d lrnm = - J i---I

a Sl. 19. 1 6. 3.

b = lOcm I I

I

Sl. 1 9. 1 7.

Žičani okvir prema slici 19 . 17 leži u istoj ravnini s linij skom strujom koja se vremenski mijenja. Odredite: a) induciranu EMS te ucrtajte njezin referentni smjer; b) maksimalnu i efektivnu vrij ednost EMS.

4. Odredite inducirani napon u12 na slici 19. 1 8 koji nastaje kada se stru­ ja I = lO A linearno smanji na nulu u vremenu t = 0 . 1 s . Zadano je: a = l O cm , b = l O cm , c = 50 cm .

2

I

a I

c

b Sl. 19.18.

5.

Odredite induciranu EMS u složenoj konuri koja se nalazi u promjenjivom magnetskom polju indukcije B = .J2 sin(3 14t) T (slika 19.19). Zadano je: S1 = 10 cm2 , S2 = 4 cm2 .

19. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

152 B

6. Odredite induciranu struja i = Im sin wt .

EMS na slici 1 9 .20 ako kroz ravni vodič teče sinusna

I

o-;•

a1

Sl. 19. 20.

7. Odredite inducirani napon u12 u složenoj konturi na slici 1 9.21 ako je i = IO J2 sin(3 14t) A, a = l O cm , b = 30 cm , c = l O cm , d = 50 cm i g = l O cm . b

a

I

g d

i

d

�

I

1 2

12

Sl. 19.21.

I I �

]�

Sl. 19.22.

8. Odredite inducirani napon u 12 u složenoj konturi na slici 1 9.22 ako je

i = 1 0 v'2 sin(3 14t) A, a = l O cm , b i g = l O cm .

=

30 cm , c

==

l O cm , d = 50 cm

19.3. FARADAY-LENZOV ZAKON

153

9. Odredite inducirani napon

složenoj konturi na slici 1 9.23. Zadano je: i = 1 o.J2 sin 1 OOOt , a = 20 cm , b = 40 cm , c = 60 cm . u

b b

a

2

�

c

c

2 c

1 2 Sl. 19.23.

10. Odredite inducirani napon u složenoj konturi na slici 19.24. Zadano je: i = s.J2 sin 5000t ' a = 20 cm , b = SO cm , c = 60 cm . I• I

]2

2

I I

a

1l 2

•I

I

a

b

c

d

a

-

a c

I 2

Sl. 19.25.

Sl. 1 9.24.

11. Odredite induciranu EMS u pravokutnoj konturi na slici 1 9.25 ako je i 1 2 sin 1000t , iz = 5 sin 1000t , a = 50 cm , b = 60 cm , c = l O cm i d = 20 cm . 12. Izračunajte iznos i polaritet napona U12 u konturi na slici 19 .26 ako je poznato

da se struja ravnog vodiča smanjuje brzinom 2000 A/s, a = 20 cm . Za

3a

-1

12

Sl. 19.26.

�

154

1 9. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

13. Odredite inducirani napon u12 u trenutku ako je struja i = 5 sin( l OOOt + 60° ) .

t

= 2 ms u prethodnom zadatku

14. Odredite smjer i iznos inducirane EMS u trenutku t = 1 s u konturi C koja obuhvaća tok = 2t2 - 3t (slika 1 9.27). X c

X

X

X X 2a X X

X X

X

X

X

X

X

X

jj

X

X

X

X X Sl. 19.28.

X

X

X

X

X

X

X

X

X 3a X

X

Sl. 19.27.

15. Složena žičana kontura prema slici 19.28 nalazi se u okomitom homogenom magnetskom polju indukcije koja se vremenski mij enja B = 0.2 + 2t . Ako otpor žice duljine a = 10 cm iznosi R = 0. 1 Q , odredite iznos i smjer struje u konturi. 16. Kroz svaki zavoj svitka od N = 1 00 zavoja prolazi promjenjivi magnetski tok = -3t2 + 2t (Vs). Odredite inducirani napon na priključnom svitku ( Uab =? ) u trenutku t = 2 s (slika 19.29) . N

�----�-�--�--�--�--�--�--�-�---� a

b

Sl. 19.29.

17. Na stalni magnet zamotano je N zavoja (slika 1 9.30). Ako po zavojima klizi

priključnica napon Uab ?

c

brzinom v pri čemu ostvaruje električnu vodljivost, koliki je N

a c

b s

Sl. 19.30.

155

19.3. FARADAY-LENZOV ZAKON

18. Kroz svitak od N = 800 zavoja mij enja se magnetski tok kao na slici 19.3 1 .

Odredite inducirani napon na svitku i prikažite ga grafički.

�:[

__

.______

2

t(s)

Sl. 19.31.

19. Kružna bakrena kontura spojena je na otpor R = 5 kQ i nalazi se u polju indukcije B = v'2 sin(3 14t) T (slika 1 9.32). Odredite induciranu EMS i struju kruga. Zadano je: polumjer kružne konture a = 5 cm , presjek žice S = l mm2 . ...----� - - - - - - - - - - - , R1

Rz

_,,�lih..

V

R

Sl. 19.32.

a)

I I I I I

:

:

I I I

0R

v

b)

Sl. 19.33.

20. Oko željezne jezgre transformatora kroz koju prolazi vremenski promjenjiv tok (t) postavljenje metalni prsten (kratko spojeni zavoj) koji je izveden od dvaju različitih materijala. Jedna polovica prstena ima velik otpor R1 , a druga velik otpor R2 . Koliki će napon pokazivati voltmetar otpora Rv ako mjerenje vršimo u položaju a), a drugi put u položaju b) (slika 19.33)? Ako mjerenje izvršimo pomoću dvaju potpuno istih voltmetara na objema stranama, hoće li voltmetri pokazivati istu vrij ednost?

1 9. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

156

Poopćenje Faraday-Lenzovovog zakona. Maxwellove jednadžbe 1 9.4.

J 1 9.4. Pitanja I 1. Kako je Maxwell poopćio Faraday-Lenzov zakon? 2. Š to je elektromagnetsko polje?

3. Iz kojih zakona proizlaze Maxwellove jednadžbe? 4. Izrazite električno polje pomoću električnog i magnetskog potencijala. 5. Kako se može računati magnetski tok pomoću magnetskog vektora potencija­ la? 6. Kako se računa magnetski vektor potencijala?

7. Kako se računa inducirano električno polj e i struja konture?

1 9.5.

Princip generiranja sinusne i istosmjerne EMS

J 1 9.5. Pitanja I 1.

Na kojem principu rade današnji najveći izvori električne energij e?

2. Opišite princip generiranja sinusne EMS.

3. Što je perioda sinusne vremenske funkcije? 4. Što je frekvencija? 5. Objasnite princip generiranja sustava trofaznih EMS.

I

1 9.5. Zadaci

�

1. Dugi vod i pravokutni svitak s N = 30 zavoja tanke žice leže u istoj ravnini prema slici 1 9 .34. Odredite inducirani napon u svitku ako kroz vod teče struja i = 14. 1 sin(3 14t) A. Zadanoje: a = 6 cm , b = 6 cm , c = 6 cm , l = l O cm .

2. Odredite pokazivanje voltmetra u shemi na slici 1 9.35. Zadano j e: rad/s, a = l O cm , B = 1 .2 T .

ro =

1 000

157

1 9.5. PRINCIP GENERIRANJA SINUSNE I ISTOSMJERNE EMS

a

I I

b

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

--><

X

X

X

a

X

X

X

X

X

X

X

2š1<

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

><

><,

I I

I c I I r---r--I

I

X Sl. 19.34.

i)(

><

2a

V

�e

O) X _x

Sl. 19. 35.

I

! X

3. Koliki napon pokazuje voltmetar spojen kao na slici 19 .36 ako se žica zadanog oblika vrti s n = 600 okr/min u homogenom magnetskom polju B = 0.8 T , r = 1 O cm , l = 5 cm ? X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

©n

X X

2.51 X X

4.

Pločasta zavojnica prema slici 1 9.37 ima r1 = 2.5 mm , r2 = l O mm i b = l . 8 mm ,a namotana je bakrenom žicom promjera 0.3 mm . Ima ukup­ no 1 50 zavoja, vrti se konstantnom brzinom n = 600 okr/min. Koliki je najveći ulančani tok? Kakav se napon inducira u zavojnici? Zadano je: Bo = 0.45 10-4 T (indukcija Zemljinog polja). ·

19. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

158

)

smjer rotacije

: b : �

Sl. 19.37.

Sl. 19.38.

centru velike kružne petlje polumjera Ri = 1 m , protjecane izmjeničnom strujom I = 0.1 sin(lOOt) A, nalazi se vrlo mala petlja polumjera R2 = 1 cm od tanke žice (slika 19.38). Izračunajte nastalu induciranu EMS u maloj petlji uz pretpostavku da se polje kroz malu petlju može smatrati homogenim.

5. U

a

Sl. 19. 39.

6. Svitak od N gusto i jednoliko spiralno namotanih zavoja okomito probada magnetsko polje indukcije B = Bm sin wt T . Ako je vanjski polumjer namota jednak a , odredite maksimalnu induciranu EMS u svitku na slici 1 9.39.

19.7. SAMOINDUKCIJA

1 9.6.

159

Vrtložne struje

I

1 9.6. Pitanja

1. Kako nastaju vrtložne struje? 2. Kakve su posljedice vrtložnih struja?

3. Kako se računaju gubici u transformatorskom limu? 4.

I

Što se podrazumijeva pod imenom skin-efekt?

I

1 9.6. Zadaci

1. Odredite ukupne gubitke vrtložnih struja u transformatorskom limu mase m = 320 kg ako je debljina lima d = 0.35 mm , Bm = 1 .2 T , f = 50 Hz i
1 9. 7.

- 0 6 10-4 -

·

·

W

I

Hz2 T2 kg ·

Samoindukcija

/ 1 9.7. Pitanja I 1. Kako nastaje inducirana EMS samoindukcije? 2. Što je koeficijent samoindukcije?

3. Kako se računa koeficijent samoindukcije torusnog svitka? 4.

Koja je jedinica za koeficijent samoindukcije?

5. Kako se računa EMS samoindukcije i kako se određuje njezin smjer? 6. Kako se računa i određuje referentni polaritet induciranog napona?

7. Kako se definira induktivitet kao element strujnog kruga? 8. Opišite:

a) linearni i

b) nelinearni induktivitet.

19. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA

160

I 1 9.7. Zadaci I t.

Izračunajte induktivitet solenoida. Zadano je: promjer solenoida d = 2 cm , duljina solenoida l = 1 O cm i broj zavoja N = 100 .

2. a) Odredite induktivitete solenoida dužine l = 20 cm , polumjera broja zavoja N = 200 i µr = 1 .

a =

1 cm ,

b) Ako se struja solenoida I = S A linearno smanji na nulu za t1 = 2 ms ,

koliki j e inducirani napon? 3. Izračunajte induktivitet torusnog svitka akoje ls = 30 cm , S = 4 cm2 , µr = 1 i N = 200 zavoja. 4.

Tanki torusni svitak, N = 1 57 zavoja, presjeka S = 1 cm2 , srednjeg polum­ jera rsr = 4.5 cm ima krivulju magnetiziranja kao na slici 19.40, napaja se strujom koja raste brzinom 2 A/ s od I = O A do konačnog iznosa I 6 A . Odredite inducirani napon na priključnicama svitka u trenutku t1 = 0.5 s i t2 = 2 s . =

5.

Torusni svitak ima induktivitet L = 0.5 mH , µr =konst. i N = 1 000 zavo­ ja. Ako kroz svitak teče struja I = 20 A , odredite magnetski tok , kao i ulančani tok 'I' . lO cm

-----

_

I _.

B (T) /=15 cm

N= 4000 1000

H (A/m)

Sl. 19. 40.

Sl. 19.41.

6. Izračunajte induktivitet voda ako je polumjer vodiča d = 1 m i duljina l = 500 m .

a

= 0.5 cm, razmak

7. Izračunajte induktivitet svitka sa željezom prema slici 1 9.41 : a) bez zračnog raspora; b) sa zračnim rasporom lo = I mm . c) Koliko zavoja treba dodati da se induktivitet poveća za 2%? 8.

Izračunajte statički induktivitet L svitka od N = 1 000 zavoja omotanih oko srednjeg stupa željezne jezgre sa zračnim rasporom lo0.5 cm ako je tok na

19.8. MEĐUSOBNA INDUKCIJA

161

desnom stupu cJ>2 = 4.8 - 10-4 Vs (slika 1 9.42). Zadana je magnetska karak­ teristika magnetske jezgre: 0.5

1

1 .75

2.2

3

4

4.5

6.5

, - - -- - - - - - -. I I I I I I I I I

I I

�!

01 .,.., , N' I I I I I I I I I I

:

20 ____ ______

_J Sl.

1 9.8.

30

I

1 9. 42.

Međusobna indukcija

1 19.8. Pitanja I 1. Kada se javlja međuinduktivno djelovanje? 2. Što je tok međusobne indukcije?

3. Što je koeficijent međusobne indukcije? 4.

Kako se računa inducirana EMS međuindukcije pomoću induciranog polja?

5.

Objasnite da je

M12 = M21 .

6. Kako se definira koeficijent međuindukcije dvaju svitaka? 7.

Kako se određuje referentni smjer inducirane EMS?

8.

O čemu sve zavisi smjer EMS međuindukcije?

9. Kako se određuju i obilježavaju istoimene priključnice? 10. Objasnite slučaj kada se tokovi pomažu. 11. Objasnite slučaj kada se tokovi odmažu.

162

I

1 9. ELEKTROMAGNETSKAINDUKCIJA

1 9.8. Zadaci

1.

I

Kroz toroid pravokutnog presjeka prolazi žica kroz koju teče struja i2 100(1 - e-21)( A) . Odredite vrij ednost induciranog napona u svitku od N1 = 1000 zavoja namotanom jednoliko na toroidnu jezgru (slika 19.43). Zadanoje: R1 = 4 cm, Rz = 6 cm, h = 2 cm , N1 = 1000, µr = 80 . ai

az

bi o

I

c

a)

l I

ai o

bi

a2 o

bi

o

o

140!!!!I!! ioo mm l4o mml b) Sl. 19.44.

Sl. 19.43.

Dva svitka, N1 = 400 zavoja, L1 = 0.032 mH i Nz = 700 zavoja 1 L2 = 0.098 mH vezana su induktivno, a koeficijent induktivne veze je k = 0.8 . Ako kroz svitak 1 teče struja /1 i stvara magnetski tok Cl>11 = 8µ Wb , odredite tok međuindukcije Cl>2 1 , kao i ulančani tok '1'2 1 . 3. Nađite međuinduktivitet po 1 km dužine između dvaju paralelnih vodova a1 - a2 i b1 - b2 prema slici 19.44 a) i b ). 4. Odredite inducirani napon Uab u trenutku t = 1 s ako se struja mijenja po zakonu i = 2 · ( l - e- 21) A . Zadanoje: k = 0.5 , L1 = 0.2 H, L2 = 0.05 H , L3 = O.I H (slika 19.45). 2.

L3 I

y \k -!___ a

,p s s=zzzt, L1

L2

Sl. 19. 45.

b

a

M

b

L2

c

Sl. 19.46.

Struja u dijelu kruga prema slici 19.46 raste brzinom 100 A/s. Odredite napone Uab i Uac ako je L1 = 0.2 H , L2 = 0.4H i M = 0.3 H . 6. Odredite napon Ucd ako je struja i1 = �t + 2 A , a L 1 = L2 = M = 20 InH (slika 19.47). 5.

19.8. MEĐUSOBNA INDUKCIJA 7.

163

Raste li struja i1 ili pada kada je napon na priključnicama µcd < O (slika 1 9.47). Kakav je pritom napon µab

?

a

b

4 Sl. 19.47.

8.

Sl. 19.48.

Dva su svitka induktivno vezana. Ako kroz svitak 1 teče struja /1 i stvara mag­ netski tok <1>1 1 = 8µWb , odredite <1>2 1 i '1'2 1 ako je zadano: L1 = 0.04 H , N1 = 500 zavoja, L2 = 0.08 H , N2 = 800 zavoja i k = 0.8 .

9. Odredite napone u12 , u34 (slika 1 9.48). Zadano je: i1 = 1 i2 = - 4e-2t + 1 A , L 1 = L2 = M1 2 = M2 1 = M = 20 mH .

1 t 2 e- + 2 A ,

20. ENERGIJA I SILE U MAGNETSKOM POLJU

164

20.

Energija i sile u magnetskom polju

20.1 .

Energija induktivnog svitka u strujnom krugu

20.1 . Pitanja

I

1. Što je induktivna energija? 2. Kako se računa energija linearnog induktiviteta? 3. Kako se računa energija nelineamog induktiviteta?

I 20. 1 . Zadaci I

1. Kroz induktivitet Li

0. 1 H teče struja i V2 sin(3 14t + energiju u induktivitetu u trenutku t = 1 ms . =

=

A.

�)A. Izračunajte

2. Izračunajte induktivnu energiju induktiviteta zadanog '11 -i krivuljom na sli­

ci 20. 1 ako kroz njega teče struja I = 4 'Y (m Wb) 4

3

2 Sl. 20. 1.

4

J (A)

20.2. RASPODJELA ENERGIJE U MAGNETSKOM POLJU

165

3. Za koliko se promij eni magnetska energija torusnog svitka ako se broj zavoja poveća dva puta, a struja ostane nepromij enjena?

4. Tanki torusni svitak s N == 100 zavoja protjecan strujom I = 12 A ima jez­ gru čija je krivulja magnetiziranja B( T) = O.OJ/Ii (A/m), a presjek jezgre S = 1 cm2 i srednja dužina l = 1 m . Odredite energiju magnetskog polja u svitku.

Odredite magnetsku energiju u svitku u 4. zadatku, točka 19.7., kadaje struj a dosegla konačnu vrijednost.

5.

20.2.

Raspodjela energije u magnetskom polju

I 20.2. Pitanja I Gdje je smještena magnetska energija?

1.

2. Definirajte prostornu gustoću magnetske energije. 3. Kako se računa gustoća magnetske energije linearnih materijala?

4. Kako se računa ukupna energija u nekom volumenu ako je poznata njezina gustoća?

Može li se pomoću magnetske energije izračunati induktivitet i kako?

5.

I 20.2. Zadaci �

Izračunajte gustoću energije iz B-H dijagrama (slika 20.2) ako je H 200 A/cm .

1.

B(T) \ 1

I

---- - ----------------

=

. ---- - - - - --- --- --- - - - - -- - - ' I !

0.8 N

10 Sl. 20.2.

20

H (A/cm) Sl. 20.3.

2. Kolika je gustoća magnetske energije ako je H = lO A/cm , a B-H krivulja je dana na slici 20.2?

20. ENERGIJA I SILE U MAGNETSKOM POLJU

166 µr

u zadatku 2?

3.

Koliki je

4.

Tanka torusna jezgra (slika 20.4) čija je B-H krivulja zadana na slici 20.4 c) ima N = 600 gusto motanih zavoja, te dimenzije a1 = 200 mm, a1 = 240 mm, h = 40 mm i 8 = 1 .5 mm . Ako je presjek zračnog raspora So = S i u njemu vlada indukcija Bo = 1 .2 T , odredite struju I i energiju magnetskog kruga. h

a)

b)

Sl. 20.4.

B (T)

2400

c)

H (A/m)

zračnom rasporu (slika 20.3) magnetska energija iznosi W0 = 0.04 J . Odredite struju I ako j e N = 100 zavoja, lo = 0.5 mm , lsr = 20 cm , S1 = So = 1 cm2 , B = 0.03VH, gdj e je (B) = T , a (H) = A/m .

5. U

6. Koliko je energije po jedinici volumena potrebno utrošiti na jedan ciklus mag­ netiziranja magnetskog materijala čija je petlja histereze dana na slici 20.5?

1B (T) 0.8

Sl. 20.5.

7. Magnetski krug izveden je prema slici 20.6 od materijala čija je krivulja mag­ netiziranja aproksimirana funkcijom B(T) = 0.05VH. Odre.dite struju I tako da u zračnom rasponu lo = 1 mm bude energija Wo = 1 .2 J . Zadano je: l = 20 cm , 10 = 1 mm , S = 8n cm2 , N = 500 zavoja, W0 = 1 .2 J, ! 1 = 21 , 12 = 4! , h = I , S1 = l .2S, S2 = S i S3 = 2S .

20.3. GUBICI U ŽELJEZU ZBOG HISTEREZE

167

- -, - - - - - - , - -r-� � l

L----

I I

I I I

I I I I I I

/3 , S 3 I I I _,_ _ _ _ _ _ _ J

Sl. 20.6.

20.3.

I

20.3.

Gubici u željezu zbog histereze Pitanja

I

1. Objasnite kako se mijenja gustoća energije magnetskog polja kod feromagnet­ skog materij ala. 2.

Nastaju li gubici u feromagnetskim materij alima zbog petlje histereze?

3. Kako se računaju gubici zbog petlje histereze?

I 20.3. Zadaci � 1. Odredite gubitke petlje histereze željeznog transformatora s jezgrom od 320 kg debljine d = 0.35 mm kod Bm = 1 .2 T i f = 50 Hz ako je crh = 0.025 . 2.

Kolika se energija troši po jedinici volumena u jednom ciklusu magnetiziranja ako je idealizirana krivulja magnetiziranja dana slikom 20.7?

168

20. ENERGIJA I SILE U MAGNETSKOM POLJU B (T) 0 .8

-25

25

H(AJcm)

- 0 .8

Sl. 20. 7.

3. U jezgri od limova mase m = 1 O kg pri Bm = 1 .5 T određeni su ukupni gubici kod /1 = 42 Hz , P1 = 69 W , a kod h = 60 Hz, P2 = 1 16 W . Odredite

konstante limova ah i

4.

av

tog materijala.

Koliki su gubici u materij alu u prethodnom zadatku kod frekvencije f = 50 Hz i Bm = l .S T ?

20.4.

Energija induktivno vezanih svitaka

I 20.4. Pitanja I 1. Kako se računa magnetska energija dvaju međuinduktivno vezanih svitaka? 2. Ovisi li ukupna magnetska energija dvaju međuinduktivnih svitaka o među­

sobnom položaju i o smjerovima struje? 3. Kako se računa magnetska energija više induktivno vezanih svitaka? 4.

I

Kako se može izračunati međuinduktivitet pomoću energije magnetskog polja?

20.4. Zadaci

I

1. Izračunajte ukupnu magnetsku energij u na:

a) slici 20.Sa; b) slici 20.Sb. Zadanoje: L1 = O.S H , L2

= 0.2 H , M = 0.6 H .

20.5. RAČUNANJE SILA U MAGNETSKOM POLJU POMOĆU PROMJENE ENERGIJE

I

/

*

L1

_,--

M

l==2A

L2

a)

/=2A

*

,,.

Li

M

b)

-.....

L2

169

*

I

Sl. 20.8.

2.

Ako kroz spoj na slici 20.8a teče struja i = 2 sin(314t + �)A, izračunajte energiju u trenutku t1 = 1 ms.

Računanje sila u magnetskom polju pomoću promjene energ ije

20.5.

I 20.5. Pitanja I Napišite bilancu energij e dvaju međuinduktivno vezanih svitaka. 2. Na što se troši dio energij e izvora ako magnetska sila izvrši rad? 3. Kako se računa magnetska sila pomoću promjene magnetske energij e ako je: a) 'I' =konstanta; b) I =konstanta? Može li se moment rotacije odrediti pomoću magnetske energije? [ 20.5. Zadaci I 1 . U dugom solenoidu s N/ l zavoja po metru dužinskom i presjeka S nalazi se željezna jezgra ( µr 1 ) dužine (sl. 20.9). Ako kroz solenoid teče struja I, odredite silu i njezin smjer na željeznu jezgru, uz zanemarivanje rubnih uvjeta. 1.

4.

n =

x

>

® ® ® ® ® ® ® ® ® ®

-

1 01 I - -

X X

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sl. 20.9.

2.

Odredite prosječnu snagu potrebnu za rotiranje konture u primjeru 19.20 (sl.19.26, OEl) ako se zanemari trenje. Zadano je: = b = lOcm, w = 80 s- 1 , B = 0.5 T, a ukupan otpor konture iznosi R = 0.6 Q . a

= c

REZULTATI RJEŠENJA ZA DATA KA

173

3. ELEKTRIČNO POLJE

1. Osnovni pojmovi o elektricitetu

1.

3.

., b) 14.98 · 10 16 C. 2. a) NAg 5.86 · 1028 elektrona 3 m Qpr = 418.66 · 109 C. _ -

Vi

_

-

0.0307m3 .

2. Coulombov zakon

[EJ t.

4.

Q = 2 - 10-10 c . 2. Q = 5.024 . 10-10 c. Q = 0.01 nC. Q = 4n . 10-15 C. 5.

3.

Q = 16.741 - 10- 12 c.

= 4 N. 2. f = -0.4866 . 10-6rn. 3. F1 = -0.525 . 1 o-6rn. F3 = -0.95625iN. 6. f2 = o.165625iN. F2 = i.012 . 10-6rn. F = (-2.58751:'- 1.3375.7) . 10-6N' IFI = 2 . 9127 . 10-6N. 9. F3 = o.l15JN. s. F3 = o.288JN. 10. Fe = 82.24nN; T 1.523 · 10-16 s, = 4.124 · 10 1 6 (r/s). 11. Q = 202.26nC. 12. F3 = O ; = 4.124cm. 13. F = 86.4µN. . 14. f = 3.6 10-6JN. 15. Q2 o i Ql = - Q2 . 16. a) f1 o , b) F2 = 0.1449.fN , c) f3 = -0.36JN, d) F4 = 0.45?:N, av'2 e) Fs = -0.45iN. 17. T(O, ±--) . 1 8. F = 0.541:' + 2.12625j, 2 22 IFI = 2.19375 . 19. a) nAg = 0.5581 · 10 atoma, b) 0.8336 · 10-9%. 20. F = 4N.

1 . F2 4. 7.

5.

==

>

==

3 . Električno polje

[EJ 1. E

= 3 · 103 V/m.

x

w

RJEŠENJA ZADATAKA IZ ELEKTROSTATIKE

174

1. Q = 5.55 1 0- 6 C . 2. a) E1 = O ; b) E2 = 90f V m; c) E3 = 28.98f V m; = -90i V m; e) Es = -28.98J V m. 3. a) E1 = 1 8f V m; b) E2 = -72f V m; c) E3 = 14.49f V m; d) E4 = -72f V m; e) E5 = 14.49f V m. 4. E = 27002 + 3600) V /m, IEI = 4500 V/m. 5. E = -68.47f+ 334.59) V/m, IEI = 341 . 526 V/m. 6. E = 3 l . 82f + 32.2f V /m, IEI = 45.27 V/m. 8. E = 6.3 1 k V/m. 7. E = - 15.91f - 63.64) V/m, IEI = 65.6 V /m. 9. ff = - 3 . 1 555 k . 10. X = 0.0366 m , ·

-+

-+

-t

d) E4

-+

E

X

11. x = - 13 .66 cm . 12. E = 1 .018.23f V/m. 13. a) EA = 0.391 5f + 0.4212) + 0.5366 k , b) EA = - 0.8055f + 1 .5888f 1 .5777k . 14. a) EA (Q2 ) = - 1 .8 106 f V/m, b) E = -0.42 · I 06f V/m. 16. EA = 1 600 V/m. 15. E1 = - 12882 V/m, E2 = O , E3 = 1288f V/m. I 17. E' ·

!U! \( X �i i

+Q

\ I

I I

1 -Q

d

I

I

18. E1 = 0.5 · 106 f V/m, E2 0.2 106f V /m. 19. x = 20 cm . . 20. Q2 = 0.36356 10- 6 C . 21. E = - 104.436f - 63 .64) V/m, IEI = 122.3 V/m. 22. E = - 13 127.21 f-5 927.21fV/m, IEI = 14403.3i V/m. 23. IEI = 1 190.59 V m. =

·

·

4.

175

GAUSSOV ZAKON

[EJ

Vm. 2. E = 120 Vm. 3. Ex = 6000 V/m, Ey 2000 V/m. 4. f EdS EQQ . E = 44 Vm. 6. = 1 8n Vm. 7. E 1 88.747 kV/m. 8. a1 = 49. 107° . 1. E

=

240

S

=

A 1. E (x = O ) = 4ne0y 3.

Q2

4.

� ) 2 l

V \2J 1

2

3 . 17. .

=

[

=

v

11.

2 y = . 2 neoa +

).

(z+ fJ 4ne a ' E = 4ne a v 2 . o o A

µ;

y OE l na +gornjoj polovici prstena je Qi , a na donjoj . koQ ko (2 Q1 - Q) .

= Q Q1 , pa Je trazeno po1Je

E

-+

2· E =

·

-E - EyE ;� c� y - v'if,l+ y,)

Prema slici

6. E = 8.

·

5.

=

=

5.

a)

=

cos a;Ez = r2

r =

11.

1

2 nEo 7.

2

E

Jn2 =

:

+1;

20

(j

(1

4Eo .

sma .

r2

b) Er = O .

:+ y'

Ja

).

4. Gaussov zakon

I 4.1 . i 4.2. I

s1

2.

r � a.

( ) E-+ -- -

Eu = 3pEoa3r2 ; r � a . a3 Eu = _!!_ r- 2 ; r 3 Eo 7.

=

).

2ndeo

i

-+

4.

�

. Q1 + Q2 Q1

Q . f EdS = 8 Eo 1

5.

3.

8

).

E1 = O;

2rcd../3eo

E2 = 0.21 57 . 106 r v/m.

J, -+

·

pr ...L ; E1 = ...:. 3 EQ

-s

6.

pr E1 = ; 2 Eo

O � r < a1 ,

O � r � a,

O � r � a,

RJEŠENJA ZADATAKA IZ ELEKTROSTATIKE

176

9.

10.

E

E

(J

I

"Eo o o

X I

X2

-(J &o

i::o

2cr

Sl. 1.

11.

12. 60 (J

eo

o

X

X

Sl. 2.

:.t o

X

X:l

�

I

X

x

X

i

- cr "Eo

Sl. 3.

Sl. 4.

13. E 2cr

o

X

Q1 , 0 < r < a1 , a = 0.157m . 15. E1 = 4ne0r 2 1 + Qz , a2 � r � a3 , Em = Q1 + Q2 + Q3 ETI = Q4ne 4neor2 or2 16. E 1 = 45 V m, E2 = 22.5 V m, E3 = O . A M A (_, ;;'I i + J1 , E = 17. E = neod neod v 2 . 14.

_,

-

-

,

r

?

a3 .

5. ELEKTRIČNI POTENCIJAL

177

5. Električni potencijal

1. a) W 1 J,b) d1 = 0. 1 25 m . 2. A = 0.3375 µJ, rad izvršio sustav nabo­ ja. 3. A = - 1 J, rad izvršila vanjska sila. A = -0. 1 2 µJ, rad izvršile vanjske sile. 5. A = 0.27 µJ, rad izvršio sustav naboja. 6. W = 0 .2 J . 2 mJ, rad izvršio sustav naboja. 8. A 3 . 528 µJ . 7. A =

4.

=

=

d ( Q1 - Q2 ) · x(d + x ) 3. <{JA = 90 V,
1.
72 V, UAB = 48 V.

2.
rad izvršila rad izvršio sustav naboja. rad izvršila vanjska sila. rad izvršilo električno polje.

vanjska sila.

15. UAB = ko

=

;.

16. a)

:��:

= 5,

Q1 i Q2 su različitih predznaka,

4kodl Q1 I 17. a) W1 = -0. 1 J, b) F2 = 0.667 N , c) d3 = 1 .25 cm 3a 18.
b) rnT -r

_ _

_

3.