Bodeov dijagram – Riješeni zadaci
Zadatak 1. Nacrtati Bodeov dijagram prijenosne funkcije 3
A ( jω ) = 10
( j
ω+
10 2 ) ( jω + 10 4 )
( jω + 10 ) ( jω + 103 )
.
Rješenje Prijenosnu funkciju treba svesti na standardni oblik (treba je prikazati kao umnožak osnovnih članova). U ovom slu čaju on izgleda kao
A ( jω ) =
ω ω + + j j 1 1 ω z1 ω z 2 A0 . ω ω 1 + j 1 + j ω p1 ω p 2
Funkcija sadržava pet članova i to konstantni član, dvije nule i dva pola; A0
=
105
→
A0
=
20 log (105 ) = 100 dB,
ω 1 = z
102 rad/ rad/s, s, ω z 2
ω p1 =
10 rad/s, rad/s, ω p 2
= =
10 4 rad rad/s, /s,
103 rad/s rad/s..
Zbrajanjem doprinosa pojedinih članova prijenosne funkcije dobije se aproksimirana (idealizirana) amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika prikazana na slici. 110 100 ) B d (
90
A , a d u t i l p m A
80 70 60 50 -1 10
10
0
10
1
2
10 Frekvencija,
3
10 ω (rad/s)
10
4
10
5
10
6
45
) ° ( φ , a z a F
0
-45
-90 -1 10
10
0
10
1
2
10 Frekvencija,
1
3
ω
10 (rad/s)
10
4
10
5
10
6
Bodeov dijagram – Riješeni zadaci
Zadatak 2. Nacrtati Bodeov dijagram prijenosne funkcije jω ( jω + 10 2 )
3
A ( jω ) = 10
( jω + 10 ) ( jω + 103 )( jω + 104 )
.
Rješenje Standardni oblik prijenosne funkcije u ovom slu čaju dan je izrazom
ω 1 + j ω z1 ω z 2 A0 . ω ω ω 1+ j 1+ j 1 + j ω p1 ω p 2 ω p 3 j
A ( jω ) =
ω
Kratkim računom dobije se A0
=
10
2
−
→
A0
=
20 log (10
ω 1 = z
10 rad/s, ω z2 =10 2 rad/s
ω 1 = p
10 rad/s, ω p 2
Iznosi konstante A0 i frekvencije
ω z1
=
2
−
) = −40 dB,
103 rad/s, ω p 3
=
104 rad/s.
su međusobno zavisni. Ako za
ω z1
odaberemo neki
drugi iznos, promijenit će se i A0. Neovisno o odabiru, uvijek će se dobiti ista frekvencijska karakteristika pa taj izbor možemo namjestiti za što jednostavnije crtanje Bodeovog dijagrama. U ovom primjeru vrijedi A ( jω = 0 ) = 0, odnosno A ( jω = 0 ) [ dB] → −∞, Zbrajanjem doprinosa pojedinih članova prijenosne funkcije dobije se aproksimirana (idealizirana) amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika prikazana na slici. -10 -20 ) -30 B d (
-40
A , a -50 d u t i l p -60 m A-70
-80 -90 -1 10
10
0
10
1
2
3
2
3
10 10 Frekvencija, ω (rad/s)
10
4
10
5
10
6
135 90
) ° ( φ , a z a F
45 0 -45 -90
-135 -1 10
10
0
10
1
10 10 Frekvencija, ω (rad/s)
2
10
4
10
5
10
6
Bodeov dijagram – Riješeni zadaci
Zadatak 3. Nacrtati Bodeov dijagram prijenosne funkcije
( jω + 10 ) ( jω + 2 ⋅103 )
5
A ( jω ) = 10
( j
ω+
5 ⋅10 2 )( jω + 10 4 )( jω + 105 )
.
Rješenje 10 0 ) B-10 d ( A-20 , a d u -30 t i l p m A-40
-50 -60 -1 10
10
0
10
1
10
2
3
10 Frekvencija,
10 ω
(rad/s)
ω
(rad/s)
4
10
5
10
6
10
7
135 90
) ° (
45
φ
, a z a F
0 -45 -90
-135 -1 10
10
0
10
1
10
2
3
10 Frekvencija,
10
4
10
5
10
6
10
7
Zadatak 4. Nacrtati Bodeov dijagram prijenosne funkcije A ( jω ) = 102
( jω + 10 )( jω + 300 )( jω + 4000 ) . ( jω + 2 )( jω + 20 )( jω + 2000 )
Rješenje 90 80 ) B d ( 70 A , a 60 d u t i l p m50 A
40 30 -1 10
10
0
10
1
2
10 Frekvencija, ω (rad/s)
10
3
10
4
10
5
0
) ° ( φ , a -45 z a F
-90 -1 10
10
0
10
1
2
10 Frekvencija, ω (rad/s)
3
10
3
10
4
10
5
Bodeov dijagram – Riješeni zadaci
Zadatak 5. Nacrtati Bodeov dijagram prijenosne funkcije A ( jω ) = −10
(1 + j
ω
3
(1 + j
ω
104 )
106 )(1 + jω 107 )
.
Rješenje 110 100 ) B d (
90
A , a d u t i l p m A
80 70 60 50 2 10
10
3
10
4
5
6
5
6
10 10 Frekvencija, ω (rad/s)
10
7
10
8
10
9
-45 -90 -135
) ° ( φ , a -180 z a F
-225 -270 -315 2 10
10
3
10
4
10 10 Frekvencija, ω (rad/s)
10
7
10
8
10
9
Zadatak 6. Nacrtati Bodeov dijagram prijenosne funkcije A ( jf ) = −10
jf (1 + jf 10 4 )
2
(1 + jf 10 2 )(1 + jf 106 )(1 + jf 107 )
.
Rješenje 140 120 ) B d100 ( A , a d u t i l p m A
80 60 40 20 0 10
10
1
10
2
10
3
4
5
4
5
10 10 (Hz) Frekvencija, ωf (rad/s)
10
6
10
7
10
8
10
9
-45 -90 -135
) ° ( φ , a-180 z a F
-225 -270 -315 0 10
10
1
10
2
10
3
10 10 (Hz) Frekvencija, ωf (rad/s)
4
10
6
10
7
10
8
10
9
Bodeov dijagram – Riješeni zadaci
Amplitudna i fazna frekvencijska karakteristika, odnosno Bodeov dijagram, može se crtati u ovisnosti o kružnoj frekvenciji ω (rad/s) ili o frekvenciji f (Hz). One su povezane relacijom ω =
2π f ,
pa se frekvencijske osi Bodeovog dijagrama mogu jednostavno transformirati.
5
