Beton Precomprimat,Calcul Dupa Ec2

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCURETI

Radu Pascu

Andrei Zybaczinski

BETON PRECOMPRIMAT CALCULUL DUPĂ EUROCODE 2

Bucureşti 2012

CUVÂNT ÎNAINTE

Necesitatea publicării unui curs de BETON PRECOMPRIMAT este rezultatul actualizării, în ultimii ani, a normelor de proiectare a betonului structural (beton, beton armat, beton precomprimat) în vederea armonizării cu normele europene. Astfel, STAS 10107/0-90 a fost înlocuit în anul 2010 cu standardul SR EN 1992-1-1, versiunea naţională a EUROCODE 2. Întrucât nu există în prezent o lucrare care să trateze modul de proiectare a elementelor de beton precomprimat potrivit normei în vigoare la care ne-am referit mai sus, cursul BETON PRECOMPRIMAT. CALCULUL DUPĂ EUROCODE 2 autori: prof. dr. ing. Radu PASCU şi şef lucr. dr. ing. Andrei ZYBACZYNSKI vine să umple aceasta lacună. Lucrarea este organizată pe 8 capitole (text şi figuri) însoţite de o bibliografie adusă la zi şi de o anexă cu simboluri şi notaţii care înlesneşte considerabil urmărirea textului cărţii. Cartea depăşeşte cadrul strict al calculului betonului precomprimat prezentând în capitolul 1- Introducere, în capitolul 2 - Materiale şi metode de precomprimare şi în capitolul 3 - Comportarea elementelor de beton precomprimat sub încărcări noţiunile de bază necesare înţelegerii metodelor generale de calcul ale betonului precomprimat precum şi prevederilor normativului actual. Noţiunile teoretice sunt ilustrate prin exemple de calcul. Modul complet de rezolvare a proiectării unui element de beton precomprimat poate fi urmărit prin „studiul de caz” care face obiectul capitolului 8. Lucrarea se distinge printr-o prezentare clară şi riguroasă, care o face accesibilă atât studenţilor cât şi inginerilor care au de rezolvat proiectarea unor elemente de beton precomprimat conform noilor reglementari tehnice. Cartea este deosebit de necesară procesului de învăţământ şi este utilă inginerilor proiectanţi de specialitate în condiţiile în care în prezent nu exista o lucrare care sa trateze acest subiect potrivit standardului actual. Prof. dr. ing. Liviu CRAINIC

CUPRINS

1.

Introducere.........................................................................................1

1.1

Definiţia betonului precomprimat .................................................................... 1

1.2

Procedee de precomprimare ............................................................................ 2

1.3

Avantaje, inconveniente şi domeniu de utilizare ............................................ 3

1.4

Scurt istoric ........................................................................................................ 4

2.

Materiale şi metode de precomprimare ...........................................5

2.1

Betonul ............................................................................................................... 5

2.2

Armături pentru beton precomprimat .............................................................. 5

2.3 Alte materiale ..................................................................................................... 9 2.3.1 Tecile pentru armături postîntinse ................................................................. 9 2.3.2 Mortarul de injecţie ...................................................................................... 10 2.4 Mecanisme de ancorare .................................................................................. 10 2.4.1 Ancoraje active ............................................................................................ 11 2.4.2 Ancorajele fixe ............................................................................................. 12 2.5

3.

Pretensionarea armăturilor ............................................................................. 13

Comportarea elementelor de beton precomprimat sub încărcări 15

3.1 Evoluţia eforturilor unitare în armătură şi în beton în faza iniţială .............. 15 3.1.1 Armături preîntins ........................................................................................ 15 3.1.2 Armături postîntinse ..................................................................................... 16 3.1.3 Controlul pretensionării ............................................................................... 17 3.2

Tiranţi................................................................................................................ 18

3.3

Grinzi ................................................................................................................ 21

3.4

Exemplul 1: Tirant de beton precomprimat ................................................... 24

3.3

Exemplul 2: Grindă de beton precomprimat ................................................. 25

4.

Calcul forţei de precomprimare......................................................29

4.1

Forţa maximă de precomprimare ................................................................... 29

4.2

Forţa de precomprimare iniţială şi forţa de precomprimare la timpul t ...... 29

4.3

Efectul precomprimării la SLU ....................................................................... 29

4.4

Efectul precomprimării la SLS........................................................................ 30

4.5 Pierderi de tensiune ........................................................................................ 30 4.5.1 Introducere .................................................................................................. 30 4.5.2 Armături postîntinse în faza iniţială .............................................................. 31 4.5.3 Armături postîntinse în faza iniţială .............................................................. 38 4.5.4 Pierderi tensiune după transfer (armături pre sau postîntinse) .................... 45

5. 5.1

Verificări la stări limită ultime.........................................................51 Introducere ....................................................................................................... 51 I

5.2

Verificarea de rezistenţă în secţiuni normale : Întindere pură ..................... 51

5.3

Verificarea de rezistenţă în secţiuni normale : Încovoiere ........................... 51

5.4 Verificarea de rezistenţă la forţă tăietoare ..................................................... 54 5.4.1 Introducere .................................................................................................. 54 5.4.2 Determinarea forţei tăietoare de calcul VEd................................................. 54 5.4.3 Limitarea superioară a forţei tăietoare ........................................................ 54 5.4.4 Elemente fără armătură transversală.......................................................... 54 5.4.5 Elementele cu armătură transversală ......................................................... 56

6. 6.1

Verificarea la stări limită de serviciu ............................................. 60 Limitarea eforturilor unitare în beton şi armătură......................................... 60

6.2 Controlul fisurării ............................................................................................. 60 6.2.1 Cerinţe de performanţă ............................................................................... 60 6.2.2 Armarea minimă ......................................................................................... 61 6.2.3 Calculul deschiderii fisurilor ........................................................................ 64 6.3 Controlul deformaţiilor .................................................................................... 65 6.3.1 Verificarea la SLS de deformaţie ................................................................ 65 6.3.2 Calculul modulului de rigiditate al secţiunii ................................................. 66

7.

Calculul zonelor de transmitere ..................................................... 68

7.1 Aderenţa armăturilor preîntinse. Lungime de transfer şi lungime de ancorare..................................................................................................................... 68 7.2

Zona de difuzie ................................................................................................. 70

7.3 Verificarea zonelor de transmitere ................................................................. 73 7.3.1 Verificarea la compresiune locală ............................................................... 73 7.3.2 Verificarea la fisurare în planul armăturilor ................................................. 74 7.3.3 Verificarea la fisurare între armături............................................................ 76 7.3.4 Prevederi constructive pentru armarea zonelor de transmitere (STAS 10107/0-90) ............................................................................................................ 77

8. Exemplu de proiectare : grindă prefabricată de acoperiş cu armătură preîntinsă ................................................................................ 80 Anexa 1: Simboluri şi notaţii..................................................................94 Bibliografie............................................................................................95

II

1

Introducere

1 Introducere 1.1

Definiţia betonului precomprimat Betonul precomprimat este un beton cu eforturi iniţiale de compresiune.

Motivul introducerii eforturilor iniţiale de compresiune este rezistenţa slabă la întindere a betonului. Din această cauză elementele de beton armat sunt fisurate sub acţiunea solicitărilor (în special a momentelor încovoietoare) date de încărcările de serviciu (Mcr < ME). Consecinţele sunt : – slaba rigiditate (rigiditatea în stare fisurată este circa 30% din cea în stare nefisurată) ; – creşterea deformaţiilor (săgeţilor) ; – coroziunea armăturilor este favorizată de existenţa fisurilor deschise ; – creşterea permeabilităţii (importantă în cazul rezervoarelor). Trebuie deci evitată sau cel puţin limitată fisurarea şi soluţia este precomprimarea (vezi figura 1.1).

-

E

M

+ eop

=

-

-

sau

sau

+

P Precomprimare

Încovoiere

Precomprimare totală

Precomprimare parţială

Figura 1.1 – Starea de eforturi pe secţiune sub acţiunea unui moment încovoietor şi a precomprimării Eforturile de compresiune introduse în beton compensează eforturile de întindere produse de încărcările exterioare. Dacă eforturile de compresiune din precomprimare compensează complet eforturile de întindere produse de încărcările exterioare (toată secţiunea este comprimată) spunem că avem precomprimare totală. Dacă apar totuşi eforturi de întindere, precomprimarea se numeşte parţială. În ultimele decenii, concepţia privind betonul precomprimat a evoluat în sensul apropierii acestuia de betonul armat: betonul precomprimat este, ca şi betonul armat, o formă a betonului structural. Verificările la stări limită sunt similare şi tratate simultan pentru beton armat şi pentru beton precomprimat în codurile de proiectare recente (EN 1992-1-1, Model Code 1990). Separarea prezentării betonului precomprimat de betonul armat este însă utilă, după părerea noastră, din punct de vedere didactic. De aceea am prezentat comportarea şi calculul elementelor de beton armat într-o lucrare separată (Pascu 2008a).

2

Introducere

1.2

Procedee de precomprimare

Procedeele de precomprimare pot fi clasificate în două categorii principale : – precomprimarea prin preîntinderea armăturilor ; – precomprimarea prin postîntinderea armăturilor. 1.2.1 Precomprimarea prin preîntinderea armăturilor Prin preîntindere se înţelege tensionarea armăturilor înainte de turnarea betonului. Aceasta presupune că armăturile trebuie întinse rezemând fie pe cofraj, fie pe culee ancorate în teren (figura 1.2). Acest procedeu este adaptat în special pentru fabricarea în uzină a unor elemente de dimensiuni limitate : grinzi, grinzişoare, fâşii de planşeu, stâlpi pentru linii electrice. Evident, el are toate avantajele, dar şi dezavantajele, prefabricării. Prefabricarea în uzină permite să se obţină : – o rezistenţă mai ridicată a betonului, realizată deseori prin tratament termic (40 la 90 MPa la 28 zile); – o rezistenţă iniţială ridicată pentru a accelera rotaţia cofrajelor (un ciclu de fabricaţie pe zi); – o mai bună calitate a produselor : regularitatea rezistenţelor, aspect de suprafaţă de calitate ; – reducerea costului manoperei şi amortizarea mai rapidă a echipamentelor. Printre inconveniente amintim dificultatea de a realiza trasee curbe. elemente prefabricate

ancoraj mobil

50…100 m

cablu

ancoraj fix

Figura 1.2 – Stend de precomprimare Principalele etape de fabricare ale unui element de beton precomprimat cu armătură preîntinsă sunt următoarele : 1. Întinderea armăturilor (toroane sau sârme amprentate). 2. Montarea armăturilor pasive, urmată de turnarea betonului ; întărirea betonului şi decofrarea. Trebuie subliniat că odată cu înărirea betonului se realizează conlucrarea prin aderenţă a armăturilor pretensionate cu betonul. 3. Detensionarea sârmelor (toroanelor) la plăcile de ancoraj de la extremităţile stendului de îndată ce betonul a atins o rezistenţă suficientă; acestea au tendinţa de a reveni la lungimea iniţială, dar datorită aderenţei cu betonul nu pot reveni complet şi produc scurtarea şi comprimarea betonului. Fenomenul este numit transferul eforturilor către beton.

Introducere

3

1.2.2 Precomprimarea prin postîntinderea armăturilor Precomprimarea prin postîntinderea armăturilor presupune tensionarea armăturilor după turnarea şi întărirea betonului. Principalele etape de fabricare ale unui element de beton precomprimat cu armătură postîntinsă sunt următoarele : 1. Montarea armăturilor pasive, urmată de turnarea betonului ; în beton sunt prevăzute canale prin care trece armătura care va fi pretensionată. Întărirea betonului până când acesta atinge o anumită rezistenţă. 2. Întinderea armăturilor (toroane, fascicule de sârme sau bare). Aceasta se face cu prese hidraulice care reazemă pe elementul de beton, care preia reacţiunea. În acest fel transferul eforturilor către beton se face simultan cu tensionarea armăturilor. Procedeul prin postîntinderea armăturilor cel mai uzual utilizează cabluri introduse în teci (metalice sau din polimeri – PEHD sau PP). Avantajele procedeului sunt : – Posibilitatea de a realiza precomprimarea pe şantier, fără a construi culee sau cofraje autoportante costisitoare ; – Posibilitatea de a realiza elemente prin asamblarea cu ajutorul precomprimării a unor bolţari prefabricaţi ; – Posibilitatea de a realiza cu uşurinţă trasee curbe pentru armătură. Printre inconveniente aminitim consumul de piese metalice (ancoraje) şi necesitatea de a injecta un mortar de ciment în teacă pentru a proteja armăturile împotriva coroziunii. 1.3

Avantaje, inconveniente şi domeniu de utilizare

Ca principale avantaje ale betonului precomprimat putem cita : – – – – – – – –

O mai bună utilizare a materialului pentru că nu există beton întins inutil (fisurat), cel puţin în cazul precomprimării totale ; O mai bună rigiditate şi un raport mai bun între greutate şi rigiditate ; Betonul situat în jurul armăturilor pretensionate fiind permanent comprimat, riscul de coroziune al armăturilor este mai scăzut ; Materialele utilizate având caracteristici superioare, rezultă o creştere a rezistenţei pentru aceeaşi greutate ; Armăturile cu înaltă limită de elasticitate utilizate în betonul precomprimat sunt mai ieftine, la rezistenţă egală, decât armăturile de beton armat ; Rezistenţa la oboseală mai bună decât a betonului armat, pentru că betonul rămâne permanent comprimat ; Un foarte sever control de calitate este implicit realizat la transfer ; Posibilitatea de a asembla elemente prefabricate fără eşafodaje şi fără suprabetonare.

Ca inconveniente reţinem : –

Necesitatea de a realiza betoane de rezistenţă mai mare ;

4

Introducere

–

Necesitatea de a dispune de un personal calificat pentru verificarea dispunerii tecilor şi cablurilor şi pentru tensionarea cablurilor ; – Rupere neductilă a elementelor ; – Calcule în general mai complexe decât pentru structurile de beton armat (în special în cazul elementelor static nedeterminate). Domeniile de utilizare rezultă din avantajele enumerate mai sus : –

Structurile unde greutatea proprie reprezintă o fracţiune importantă din încărcare, deci elementele de mare deschidere : grinzi de poduri, grinzi de acoperişuri de hale industriale, planşee pentru clădiri de birouri sau parcaje etajate ; – Structurile unde etanşeitatea este o condiţie esenţială : rezervoare, silozuri, conducte, anvelope de reactoare nucleare ; – Structurile solicitate la oboseală : poduri, piste de aeroport, drumuri, fundaţii de maşini. 1.4

Scurt istoric

Precomprimarea există sub diverse forme de foarte mult timp, fie sub formă naturală (arce, bolţi) fie provocată (cercurile de butoi, roţile de bicicletă, fierăstrăul). Primele studii asupra precomprimării betonului datează de la sfârşitul secolului al XIX-lea şi începutul secolului XX : – CONSIDÈRE şi BACH încearcă să întârzie fisurarea precomprimând betonul prin pretensionarea armăturilor ; – JACKSON (în California) brevetează în 1886 prima aplicaţie a betonului precomprimat ; – DOEHRING depune în 1888 un brevet de plăci precomprimate cu sârme ; – KOENER şi LUNDT încearcă în 1907 să limiteze fisurarea din întindere a betonului, dar eforturile lor au înregistrat un eşec : efortul de compresiune introdus de armături era practic anulat de contracţia şi curgerea lentă abetonului. FREYSSINET este cel care reuşeşte primul să dezvolte precomprimarea betonului. În 1926 el descoperă curgerea lentă a betonului. În octombrie 1928 depune un prim brevet privind precomprimarea, intitulat „Procedeu de fabricare a elementelor de beton armat”. Tot el este cel care a inventat cuvântul précontrainte (imprimat pentru prima dată într-un articol publicat în ianuarie 1933). După război, asistăm la un progres general al betonului precomprimat, cu P. ABELES în Marea Britanie, G. MAGNEL în Belgia, E. FREYSSINET şi Y. GUYON în Franţa, F. LEONHARDT în Germania, T.Y. LIN în Statele Unite, etc. În România, primele elemente precomprimate au fost fabricate la începutul anilor ‘50 la Întreprinderea 5 Construcţii din Braşov (ing. M. HALMAGIU). Cercetările experimentale şi dezvoltarea de tehnologii şi materiale au continuat la INCERC. Proiectele de elemente prefabricate din beton precomprimat (pentru clădiri) erau elaborate la IPCT.

5

Materiale şi metode de precomprimare

2 Materiale şi metode de precomprimare 2.1

Betonul

Caracteristicile cerute unui beton pentru realizarea elementelor din beton precomprimat sunt următoarele : - Foarte bună rezistenţă iniţială (la 24 ore sau la trei zile) şi pe termen lung (28 de zile sau mai mult) ; - O bună rezistenţă la agenţi agresivi ; - Deformaţii instantanee şi de durată (curgere lentă) cât mai reduse ; - O lucrabilitate cât mai bună pentru punerea în operă corectă. Pentru a realiza aceste performanţe, trebuie utilizat un ciment cu rezistenţa de 45 sau 55 MPa, cu întărire rapidă şi un dozaj între 400 şi 500 kg/m3. Raportul apă/ciment trebuie să fie redus şi este recomandată utilizarea aditivilor reducători de apă. Betoanele rezultate sunt de clasă cel puţin C30/35. Pentru proprietăţile generale ale betonului, vezi, de exemplu, capitolul 2 din (Pascu, 2008a). 2.2

Armături pentru beton precomprimat

Armăturile pentru beton precomprimat trebuie să aibă rezistenţă înaltă şi relaxare redusă. Într-adevăr, pentru oţeluri la care limita elastică este de ordinul a 200…400 MPa, pierderile de tensiune pot reprezenta între 50% şi 80% din limita elastică, în timp ce pentru oţelurile cu limită elastică ridicată (1400 la 1600 MPa) ele nu reprezintă decât 15-20%. Relaxarea armăturilor reprezintă o sursă importantă de pierderi de tensiune. De aceea a fost pusă la punct fabricarea de armături cu relaxare redusă. Dacă la armăturile cu relaxare normală, relaxarea la 1000 de ore reprezintă 8-12% din efortul iniţial, la cele cu relaxare redusă aceasta este de numai 2-5%. După standardul românesc STAS 10107/0-90, se pot folosi mai multe tipuri de armături : sârme netede (SBP), sârme amprentate (SBPA), toroane (TBP) sau bare profilate (PC 90). Sârmele pot fi grupate în împletituri de 3 sârme, toroane (din 7 sârme) sau fascicule din sârme paralele (figurile 2.1 şi 2.2).

Figura 2.1 – Toroane pentru beton precomprimat (STAS 10107/0-90) : vedere laterală şi secţiune transversală

5

6


1 – sârme 2 – resort 3 – resort interior 4 – ligaturi

Figura 2.2 – Fascicule compuse din sârme paralele (STAS 10107/0-90) Vedere şi secţiune pentru un fascicul compus din 36 sârme dispuse pe 2 rânduri Armăturile pentru beton precomprimat nu au palier de curgere şi nici limită de elasticitate distinctă (figura 2.3 sau 2.4).

1600

SBP

efort unitar (MPA)

1400 1200 1000

PC 90

80 60

OB 37

40 20 5

10

20

30

40

deformaţie (‰)

Figura 2.3 – Curbe caracteristice tipice ale oţelurilor SBP, PC 90 et OB 37 Caracteristicile geometrice, chimice, mecanice şi tehnologice ale armăturilor sunt date în standardele STAS 6482/2-80 pentru SBP, STAS 6482/3-80 pentru SBPA şi STAS 6482/4-80 pentru TBP. Rezistenţele caracteristice şi de calcul ale acestor armături, utilizate în proiectare, sunt date în tabelul de mai jos (după STAS 10107/0-90) :

7


Tabelul 2.1 – Rezistenţe caracteristice şi de calcul ale armăturilor pentru beton precomprimat (după STAS 10107/0-90) Diametru Rezistenţă Rezistenţă de caracteristică fpk calcul fpd Tipuri de armături nominal (mm) (MPa) (MPa) 1,5 2110 1690 2 2010 1610 2,5 1910 1530 3 1860 1490 3,7 1770 1420 SBP I 4 1720 1380 SBP 5 1670 1340 6 1620 1300 7 1570 1260 1,5 1910 1530 2 1860 1490 SBP II 2,5 1770 1420 3 1670 1340 5 1670 1340 SBPA I 6 1620 1300 7 1570 1260 SBPA 5 1520 1220 SBPA II 6 1470 1180 7 1470 1180 9 1760 1410 TBP 12 1660 1330 PC 90 14...28 600 500 În majoritatea ţărilor europene se utilizează toroane constituite din sârme cu relaxare redusă. Cele mai utilizate sunt toaroanele T13S (Ap =100 mm2, fpk = 1860 MPa) şi T15S (Ap =150 mm2, fpk = 1770 MPa). În continuare sunt date caracteristicile unui toron T15S. Tabelul 2.2 – Caracteristicile toroaneleor T15S (Freyssinet) Diametru nominal mm Secţiune mm2 Rezistenţa caracteristică fpk MPa Limita de curgere fp0,1k MPa % Alungirea sub sarcină maximă εuk Modul de elasticitate Ep GPa Relaxare La 1000 ore, 20 ºC, 0,7fpk Coeficienţi de frecare Teci metalice: Teci PE sau PP:

7

15,7 150 1770 1520 ≥ 3,5 195 ≤ 2,5 % ϕ = 0,18 0,005/m ϕ = 0,14 0,007/m

∆ϕ = ∆ϕ =

8


Figura 2.4 – Curba caracteristică pentru toroane T15S (Freyssinet)

Figura 2.5 – Curba caracteristică pentru toroane (SR EN 1992-1-1:2004) Curba caracteristică a oţelurilor din care sunt făcute armăturile pentru precomprimare nu are limită distinctă de curgere. În locul acesteia se foloseşte o valoare convenţională, fp01,k, (figura 2.5) definită ca valoarea efortului unitar pentru care la descărcare deformaţia remanentă este 0,1%. Celălalt punct caracteristic este cel care corespunde valorii maxime a efortului unitar nominal şi are coordonatele (εuk, fpk). Valoarea de calcul a modulului de elasticitate Ep poate fi luată 205 GPa pentru sârme şi bare. Valoarea reală poate varia între 195 şi 210 GPa, după procedeul de fabricaţie. Pentru toroane, valoarea de calcul a modulului de elasticitate Ep poate fi luată 195 GPa. Valoarea reală poate varia între 185 et 205 GPa, după procedeul de fabricaţie. În certificatele care însoţesc livrarea armăturii trebuie să figureze valoarea corectă.

9


Pentru calcul, diagrama din figura 2.4 sau 2.5 se schematizează ca în figura 2.6, ramura A şi se transformă apoi în una din cele 2 variante ale diagramei de calcul B (SR EN 1992-1-1).

Figura 2.6 – Diagrama efort-deformaţie simplificată şi diagrama de calcul pentru armături pretensionate (SR EN 1992-1-1:2004) Pentru dimensionarea secţiunilor, se poate face una dintre ipotezele următoare (vezi figura 2.6) : - ramură înclinată, cu o deformaţie limită εud (calculul poate, de asemenea, să fie bazat pe relaţia efort-deformaţie reală, dacă aceasta este cunoscută, eforturile de dincolo de limita de elasticitate fiind reduse ca în figura 2.6), sau - ramura superioară orizontală, fără limită pentru deformaţie. Valoarea εud poate fi furnizată în anexa naţională a standardului european. Valoarea recomandată în SR EN 1992-1-1 este εud = 0,9εuk. În lipsa unor valori mai exacte, valorile recomandate sunt εud = 0,02 (în mod acoperitor, deşi majoritatea producătorilor garantează εuk > 3,5%) şi fp0,1k /fpk = 0,9. Valoarea de calcul a efortului în armătură fpd, este fp0,1k/γS (vezi figura 2.6), iar coeficientul parţial de siguranţă are valoarea γS = 1,15. 2.3

Alte materiale

2.3.1 Tecile pentru armături postîntinse La elementele cu armătură postîntinsă, armăturile sunt dispuse în goluri (canale) realizate în beton cu ajutorul unor teci. Tecile sunt ţevi de oţel, foi de tablă de 0,4 ou 0,6 mm grosime înfăşurate în spirală sau ţevi din PVC sau alt material polimeric (polipropilenă, polietilenă de înaltă densitate). Aceste teci trebuiesă răspundă următoarelor exigenţe : - Să fie suficient de flexibile ca să poată fi dată forma dorită traseului armăturii ; - Să fie suficient de robuste pentru a-şi păstra forma în timpul instalării şi betonării ; 9

10


-

Să fie etanşe astfel încât să împiedice infiltrarea laptelui de ciment în timpul betonării.

2.3.2 Mortarul de injecţie Pentru a proteja armaturile, golul care rămâne între cablu şi teacă este injectat cu un mortar de ciment (sau eventual cu un produs : ceară, unsoare). Mortarul poate avea compoziţia următoare (Thonier, 1992) : - ciment portland de rezistenţă 55 MPa ; - apă dozată la 35% până la 45% din greutatea cimentului (a/c = 0,35...0,45) ; - plastifiant (eventual) ; - nisip fin eventual (până la 25% din greutatea cimentului). La extremităţile şi în punctele cele mai înalte ale canalului armăturii sunt prevăzute tuburi de injecţie şi aerisire pentru a permite mortarului de injecţie să elimine tot aerul conţinut în canal. Presiunea de injecţie a mortarului este de ordinula a 0,6…0,8 MPa la intrarea în canal. 2.4

Mecanisme de ancorare După funcţia lor distingem două catgorii de ancoraje : - ancorajele active (mobile) care permit blocarea cablului la extremitatea de la care se face întinderea sa. Orice unitate de pretensionare comportă cel puţin un ancoraj activ ; - ancorajele fixe, care impiedecă orice mişcare, faţă de beton, a extremităţii cablului opusă celei de la care se face întinderea. Ancorajele fixe pot fi exterioare, care rămân accesibile după betonare, sau ancoraje încorporate betonului structurii ( care funcţionează fie prin presiune, fie prin aderenţă).

Există de asemenea cuple (care permit realizarea continuităţii a două tronsoane de cable întinse in faze diferite – pentru structurile construite în mai multe etape) şi dispozitive de înnădire (care asigură racordarea a două tronsoane de armatură întinse simultan de la una sau/şi cealaltă din extremităţile libere). Există mai multe societăţi deţinătoare de procedee de pretensionare, care au dezvoltat propriile lor sisteme. În continuare vor fi prezentate doar câteva tipuri reprezentative de ancoraje. 2.4.1 Ancoraje active Sârmele şi toroanele pot fi blocate prin împănare (figurile 2.7 şi 2.8). Figura 2.5 prezintă ancorajul inel-con (INCERC) utilizat pentru fascicule de sârme paralele : după întindere, sârmele sunt blocate în inel prin introducerea conului.

11


Figura 2.7 – Ancoraj inel - con INCERC (cf. Tertea, 1981)

Figure 2.8 – Ancoraj cu pene (Freyssinet) Procedeul Freyssinet utilizează o placă cu una sau mai multe găuri tronconice. După întindere, toroanele sunt blocate cu două sau trei pene metalice (figura 2.8). Un alt procedeu este sistemul BBRV (figura 2.9) : ancorajele sunt prefabricate, fixate la extremitatea cablului înainte de întinderea sa. După întindere, ancorajul este blocat pe beton cu cale. Sârmele se sprijină, prin intermediul unor butoni forjaţi la rece, pe capul metalic al ancorajului, care este găurit. Acest cap de ancoraj este filetat la exterior, ceea ce permit însurubarea pe el a tijei presei hidraulice. Inconvenientul procedeului este că măreşte spaţiul necesar cu o lungime egală cu alungirea cablului la pretensionare (circa 7 mm/m). Acest inconvenient este evitat la ancorajul tip L, la care capetele ancorajului sunt situate într-o trompetă. În acest caz, cablurile sunt mai scurte la început decât elementul care trebuie precomprimat şi trebuie calculată cu precizie lungimea finală a cablului. În cazul barelor, se prevede un filetaj la extremitatea barei şi aceasta poate fi blocată cu ajutorul unei piuliţe (procedeu Dywidag, figura 2.10).

11

12


Figura 2.9 – Ancoraj BBRV tip L (BBR VT International)

Figura 2.10 – Ancoraj cu piuliţă (cf. Tertea, 1981) 2.4.2 Ancorajele fixe Dintre ancorajele fixe exterioare, cel mai cunoscut în România este cel cu dorn (figura 2.11) : armăturile fac o buclă în jurul unui dorn care se sprijină pe o placă metalică fixată pe beton.

Figura 2.11 – Ancoraj fix cu dorn INCERC (cf. Tertea, 1981)

13


Un sistem similar, înglobat în beton, este realizat făcând o buclă cu armăturile în jurul unei plăci curbe în contact direct cu betonul (figura 2.12). În cazul ancorajelor prin aderenţă, sârmele depăşesc teaca pe o lungime suficentă pentru a asigura ancorajul prin aderenţă (figura 2.13). Pentru a diminua eforturile în beton, sârmele sunt desfăcute în evantai. Aderenţa este ameliorată dacă sârmele sunt ondulate sau curbate pentru a forma ciocuri.

Figura 2.12 – Ancoraj prin presiune înglobat în beton (VSL tip U)

Figura 2.13 – Ancoraj prin aderenţă (Freyssinet) 2.5

Pretensionarea armăturilor

Pretensionarea cablurilor se face cu o presa hidraulică. Presa hidraulică este un mecanism constituit dintr-un cilindru şi un piston, delimitând o cameră la interior în care se poate injecta ulei, ceea ce face să se deplaseze cele două piese una faţă de cealaltă.

13

14


Cilindrul se sprijină pe beton, in timp ce cablul este fixat de piston, a cărui mişcare asigură tensionarea cablului. În continuare se exemplifică funcţionarea presei cu orificiu central (Freyssinet): 1. Montarea presei Ordinea de montare a presei şi accesoriilor sale : a) Capul de ancorare cu pene b) Resoarte c) Coroana de blocaj d) Corpul pompei e) Blocul posterior cu penele auxiliare. 2. Pregătirea prentru tensionare Se fixează toroanele pe blocul posterior cu penele auxiliare 3. Tensionarea toroanelor Se pune sub presiune camera presei (f), la presiunea corespunzătoare efortului dorit în cablu. De regulă, punerea sub presiune se face în trepte, la care se măsoară alungirea cablului. Resoartele asigură un blocaj uniform al penelor şi limitează pătrunderea lor. Când alungirea cablului depăşeşte cursa (g) a presei, trebuie procedat în mai multe etape. Se procedează astfel : - blocaj provizoriu al toroanelor pe capul de ancoraj (a) - închiderea presei prin golirea uleiului din camera principală (f) - prinderea din nou a toroanelor pe blocul posterior (e) - reluarea tensionării. 4. Golirea şi demontarea presei Se goleşte uleiul din camera presei şi se demontează accesoriile Figura 2.14 – Schema pretensionării unui cablu (Freyssinet)

15

Comportarea elementelor de beton precomprimat sub încărcări

3 Comportarea elementelor de beton precomprimat sub încărcări Pentru a simplifica expunerea, efectul pierderilor de tensiune din armătură (vezi cap. 4) este ignorat în acest capitol. El va fi introdus în capitolul următor. Prezentarea comportării elementelor de beton precomprimat este inspirată de prezentarea facută de profesorul Dan Constantinescu în cursul său (Constantinescu 1977). 3.1

Evoluţia eforturilor unitare în armătură şi în beton în faza iniţială

Trebuie definite mai întâi noţiunile de fază iniţială şi fază finală : - prin fază iniţială se înţelege intervalul de timp care începe odată cu fabricarea elementului şi se termină cu transferul eforturilor de la armătura pretensionată la beton; - prin fază finală se înţelege intervalul care începe la sfârşitul fazei iniţiale şi durează până se dezvoltă fenomenele reologice (curgerea lentă şi contracţia betonului şi relaxarea armăturii). 3.1.1 Armături preîntinse Armăturile sunt întinse şi fixate de culei (vezi şi cap. 1). Deformaţia (alungirea) cablului este εp0. În momentul transferului, are loc o scurtare a betonului şi, în acelaşi timp, o scurtare a armăturii, cu ∆lb, rezultând o scurtare specifică εcp. În consecinţă deformaţia armăturii scade la valoarea εpi = εp0 - εcp.

∆lb/2

∆l0/2

l0

∆l0/2

∆lb/2

σcp

Tp

Tp Tp

σ

tracţiune

∆lb/2

∆lb/2

TRANSFER

σp0 oţel

beton compresiune

ε

εcpEp = npσcp εpiEp εcpEb

Tp = Apσp

timp

alungire

εp0 oţel

beton

TRANSFER εcp εpi εcp

timp

scurtare

Figura 3.1 – Deformaţii şi eforturi unitare într-un element precomprimat prin preîntindere în faza iniţială

16

Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini

Relaţia între deformaţiile armăturii şi betonului este :

εp0 = εpi + εcp

(3.1)

Efortul unitar în armătură înainte de transfer este :

σp0 = εp0Ep

(3.2)

Efortul unitar în beton după transfer este :

σcp = εcpEcm(t0)

(3.3)

Efortul unitar în armătură după de transfer este :

σpi = εpiEp =(εp0 - εcp)Ep = σp0 - np σcp cu

(3.4)

αp = Ep/Ecm(t0)

Echilibrul forţelor interne (compresiunea din beton şi întinderea din armătură) după transfer se poate scrie : Acσcp = Apσpi

(3.5)

De unde rezultă : Acσcp = Ap(σp0 - αp σcp) ⇒

σ cp =

A pσ p 0 Ac + α p A p

=

P0 Aci

(3.6)

În care Aci = Ac + αpAp este secţiunea echivalentă omogeneizată de beton (vezi Pascu 2008a). Adică efortul unitar în beton este este dat de forţa de precomprimare P0 considerată ca o forţă exterioară aplicată pe secţiunea echivalentă omogeneizată de beton :

σ cp =

P0 Aci

Deci efortul unitar în beton se poate determina considerând precomprimarea ca o forţă exterioară. 3.1.2 Armături postîntinse Cazul armăturilor postîntinse este ilustrat în figura 3.2 (vezi şi cap. 1). Transferul este simultan cu tensionarea armăturilor şi în fiecare moment forţa de întindere în armătură este echilibrată de forţa de compresiune în beton: Acσcp = Apσpi

Cu :

σcp = εcpEcm(t0)

şi

σpi = εpiEp

17


Se remarcă similaritatea acestor relaţii cu cele obţinute mai înainte în cazul precomprimării prin preîntendere. Pentru a putea utiliza aceleaşi relaţii, se defineşte o valoare fictivă a efortului unitar în armătură σp0, care este efortul unitar în armătura pretensionată care ar corespunde unui efort unitar nul în beton.

∆lp/ 2 ∆lb/ 2

Tp

∆lp/ 2

l0

∆lb/

σcp

Tp Tp = Apσp

Tp σ întindere

ε

TRANSFER

întindere

oţel

TRANSFER

oţel σpi

beton compresiune

σcp

εpi timp

beton compresiune

εcp

timp

Figure 3.2 – Deformaţii şi eforturi unitare într-un element precomprimat prin postîntindere în faza iniţială

3.1.3 Controlul pretensionării Controlul pretensionării este realizat fie prin măsurarea presiunii în circuitul pompei (cu un manometru), fie prin măsurarea alungirii armăturii (cu un extensometru). În primul caz se obţine forţa din pompa hidraulică, care este egală cu forţa din armătură, iar efortul unitar din armătură este egal cu această forţă împărţită la secţiunea armăturii; în cel de-al doilea caz se obţine deformaţia armăturii şi, aplicând legea lui Hooke, efortul unitar. La procedeul prin preîntindere, valorile măsurate sunt σp0 şi εp0, în timp ce în cazul postîntinderii sunt σpi şi εpi. În concluzie, efortul unitar de control σp,max este asociat cu σp0 în cazul preîntinderii şi respectiv σpi în cazul postîntinderii . Efortul unitar de control σp,max este limitat la valorile următoare (SR EN 1992-1-1) : σp,max = min {0,8· fpk ; 0,9· fp0,1k}

(3.7)

Este permisă tensionarea mai puternică (până la 0,95· fp0,1k) în cazul în care forţa de tensionare se poate măsura cu o precizie de ±5% din valoarea finală a forţei de precomprimare.

18

3.2


Tiranţi σcp Pp

0

-

Pp Pp = Apσpi

Pp σc1 < σcp

1

-

T1

T 1 < Pp

σp1 > σpi σc2 = 0

2

T2 = P0 =Apσp0

T2 σp0 fct

3

+

Tcr

Tcr = P0 + Ap*20 MPa + Acfct

σp0 + 20 MPa σ

4

Tcr + dT

Tcr + dT

σp0 + 20 MPa + ∆σp,cr

5

Ts = Apσp

Ts σp

6

TR = Apfp

TR fp

Figura 3.3 – Comportarea unui tirant de beton precomprimat sub încărcări Situaţia 0 reprezintă momentul de după transfer : încărcarea exterioară este zero, forţa de întindere Apσpi din armătură şi forţa de compresiune Acσcp în beton sunt în echilibru. Dacă se aplică o forţă T1 < Apσpi (situaţia 1), compresiunea în beton scade şi întinderea din armătură creşte :

P0 − T1 T = σ cp − 1 Aci Aci T σp1 = σpi + α p 1 Aci

σ c1 =

(3.9) (3.10)

19


Dacă forţa aplicată este egală cu P0, efortul în beton este zero (decompresiune) : situaţia 2. Forţa de fisurare este (vezi situaţia 3) :

TcrBP = Ap (σ p 0 + 20MPa) + Ac f ct = P0 + TcrBA

(3.11)

În momentul fisurării (situaţia 4), efortul unitar în armătură creşte cu :

f ct

∆σ p ,cr = unde

ρp =

(3.12)

ρp

Ap Ac

În stare fisurată (situaţia 5), efortul unitar în armătură este :

σ p2 = De unde:

TS Ap

∆σ p =

(3.13)

sau

σ p0 + ∆σ p =

TS Ap

(3.14)

TS − P0 Ap

(3.16)

La starea ultimă, rezistenţa tirantului este : TR = Apfp

(3.17)

Evoluţia deformaţiilor şi eforturilor unitare în armătură şi beton este prezentată în figura 3.5. Relaţia forţă-deformaţie pentru un tirant de beton precomprimat este dată în fig. 3.4. T εp

TR TcrBP

εb

P0

BP

atan(EpAp)

BA TcrBA

εcp

atan(EcAc + EpAp)

εpi

ε

εp0

Figura 3.4 – Relaţia forţă-deformaţie pentru un tirant de beton precomprimat

20


T TR T2

Tcr

Sfârşitul transferului

T1

P0 timp

σ

armătură ∆σp,cr 20 MPa

fp σp2

σpi σcp

σp0

σp1

fct

σc1

timp

beton ε

10-4

εpi

εp0 10-4

timp

εcp

Figura 3.5 – Evoluţia eforturilor unitare şi a deformaţiilor într-un tirant de beton precomprimat

21


3.3

Grinzi Diagramele de deformaţii şi de eforturi unitare sunt date în figura 3.6.

Faza 0 :

după transfer

P0 P0 z cp − M gp + Aci Wcis P0 z cp − M gp P σ ci = − 0 − Aci Wcii P0 z cp − M gp P σ cp = − 0 − z cp Aci I ci σ pi = σ p 0 − α pσ cp

(3.17)

σ cs = −

Faza 1 :

(3.18) (3.19) (3.20)

momentul exterior echilibrează momentul datorat precomprimării

M1 = P0zcp

σ cs = σ ci = σ cp

(3.21)

P =− 0 Aci

(3.22)

Faza 2 : efortul unitar în fibra inferioară este nul (decompresie) Forţa axială este situată în acest caz la extremitatea superioară a sîmburelui central : M2 = z cp + ρ s (3.23) P0 Eforturile unitare în beton la fibra superioară, la fibra inferioară şi respectiv la nivelul armăturilor pretensionate sunt :

σ cs = −

P0 P0 z cp − M 2 P Pρ P + =− 0 − 0 s =− 0 Aci Wcis Aci Wcis Aci

 ρ  1 + s  ρi  

P0 P0 z cp − M 2 − =0 Aci Wcii P0 z cp − M 2 P P Pρ =− 0 − z cp = − 0 + 0 s z cp ≅ 0 Aci I ci Aci I ci

(3.24)

σ ci = −

(3.25)

σ cp

(3.26)

Mgp/P0

σcs

εcp

σci

P0

P0

Mg

0

εpp

εp0

σppA

ρi

ρs

P0

Stadiul I

zcp

M1 P0 Me/P0 = zcp

εc1 < εcp

εp0

M2

P0 M2/P0 = zcp + ρs

0

εp0

σp0Ap

σcs =-P0/Aci-P0ρs/Wcis

P0

2

P0

Mcr

P0

fct

3

εtu = 10-4

εp0

(σp0 +20)Ap

zcp + ρs

ME

εbp4 εp0

(σp +∆σp)Ap

Stadiul II

P0

4

Mr

fc

εcu2

Figura 3.6 – Evoluţia eforturilor unitare şi a deformaţiilor într-un element solicitat la încovoiere

σci

σp1Ap

σcs =-P0/Aci

1

sau

εc < εcu2

f pA p

Stadiul III

εp < εpu

εp0

sau

f pA p

P0

5

εp = εpu

εp0

22 Comportarea elementelor de beton precomprimat sub sarcini

23


Faza 3 : pragul de fisurare : efortul unitar în fibra de beton cea mai întinsă este fct şi deformaţia în aceeaşi fibră este εctu = 10-4.

M crBP ≅ P0 ( z cp + ρ s ) + M crBA −4

σ bp ≅ σ p 0 + 10 ⋅ E p = σ p 0 + 20MPa

(3.27) (3.28)

Observaţii : • Momentul de fisurare al elementului de beton precomprimat este mai mare decât momentul de fisurare al elementului de beton armat cu valoarea P0(zcp + ρs). Surplusul este deci proporţional cu : - Forţa de precomprimare P0 - Excentricitatea lui P0 faţă de extremitatea superioară a sâmburelui central. • Până aici secţiunea nu era fisurată şi se puteau utiliza relaţiile din Rezistenţa Materialelor pentru secţiunea echivalentă omogenă. Faza 4 :

beton întins fisurate (stadiul II)

După fisurare se produce o creştere a deformaţiei şi efortului din armătură :

σ p = σ p0 + ∆ε p ⋅ E p = σ p0 + ∆σ p

(3.29)

Soluţia problemei (eforturile în beton şi armătură) se obţin ca pentru beton armat în stadiul II, punând condiţiile de echilibru, de compatibilitate geometrică (ipoteza secţiunilor plane) şi scriind legile constitutive ale materialelor. Trebuie totuşi subliniate particularităţile următoare : - Forţa de precomprimare este considerată ca forţă exterioară - Coeficientul de echivalenţă trebuie să ţină cont de curegera lentă a betonului Ep Ep α pII = = (1 + ϕ (t , t 0 )) . E c ,eff E cm

Relaţiile de calcul sunt următoarele :

∫

x

0

b y σ c dy = A p (∆σ p + σ p 0 )

M E = z ⋅ A p ( ∆σ p + σ p0 )

(3.30) (3.31)

x

cu :

z=

∫ yb σ dy + d − x ∫ b σ dy

(3.32)

d−x ⋅ α pII x

(3.33)

y

0

x

0

şi : ∆σ p

σ

max c

c

=

y

c

24


Faza 5 :

Ruperea (stadiul III)

Ruperea este „fragilă” (fără deformaţii plastice importante în armătură). Pot apărea două situaţii : - Ruperea prin betonul comprimat (εc, max = εcu2), cu armătura de obicei la „curgere” σp = fpd ; - Ruperea prin armătură σp = fpd , fără ca betonul comprimat să atingă deformaţia ultimă. Calculul este similar cu cel pentru secţiunea de beton armat, cu particularitatea că trebuie ţinut cont de deformaţia iniţială datorată pretensionării (εp0). Se alege de obicei curba elastic-perfect plastică a armăturii, ceea ce nu mai implică verificarea deformaţiei ultime în armătură, şi ruperea se produce ca în primul caz descris mai sus. Concluzie : Precomprimarea ridică pragul de fisurare cu mărimea P0(zcp + ρs). Aceasta face ca elementul să lucreze fără fisuri sub încărcările de exploatare. Momentul capabil rămâne acelaşi ca pentru o secţiune de beton armat similară; totuşi, datorită folosirii unor armături cu rezistenţe mult mai mari decât la beton armat, se pot obţine momente capabile mai mari ca la beton armat pentru dimensiuni similare ale secţiunii de beton.

3.4

Exemplul 1 : Tirant de beton precomprimat

Să se dimensioneze un tirant de beton precomprimat realizat cu toroane T15S, cu caracteristicile din Tabelul 2.2. Betonul folosit este C40/50. Forţa maximă de intindere la SLU este de 750 kN. Să se determine forţa la care fisurează tirantul de beton precomprimat, ştiind că armăturile au fost tensionate la 0,9fp0,1k şi pierderile de tensiune totale reprezintă 20% din efortul de pretensionare. Rezistenţa de calcul a armăturii este: fpd = fp0,1k/γS = 1520/1,15 = 1322 MPa Secţiunea de armătură necesară rezultă din condiţia de rezistenţă la întindere centrică: NRd = Apfpd ≥ NEd = 750 kN sau: Ap ≥ NEd/fpd = 750/1,322 = 568 mm2 Alegem 4T15S, cu Ap = 4x150 = 600 mm2 şi NRd = 1,322x600 = 793 kN Secţiunea de beton necesară rezultă din condiţia de rezistenţă pentru betonul comprimat: Pmax ≤ Acfcd0 În care fcd0 = 0,6fcd = 0,6x40/1,5 = 16 MPa este rezistenţa betonului în momentul transferului, estimată la 60% din rezistenţa betonului la 28 de zile şi Pmax est forţa de precomprimare Pmax = Apσp,max cu :

25


σp,max = min{0,8fpk; 0,9fp0,1k} = min{0,8x1770;0,9x1520} = = min{1416; 1368} = 1368 MPa. Rezultă:

Ac ≥ Pmax/fcd0 = 600x1368/16 = 820000/16= 51300 mm2

Alegem o secţiune pătrată cu latura 250 mm. Forţa finală de precomprimare (după pierderile de tensiune) este estimată la circa 80% din forţa iniţială, adică P = 0,8x820 = 656 kN. Rezistenţa la întindere a betonului este: fctd = fctk,0,05/γC = 2,5/1,5 = 1,67 MPa Forţa de fisurare este (neglijând scăderea secţiunii canalelor pentru armătură): Nfis = P+Acfctd = 656 + 62500x1,67x10-3 = 656 + 104 = 760 kN Se observă că forţa de fisurare este doar cu puţin mai mică decât forţa capabilă, deci tirantul va lucra probabil în exploatare în stadiul I. Forţa de fisurare pentru un element similar neprecomprimat este de circa 100 kN, de 7 ori mai mică decât pentru elementul precomprimat. Elementul de beton armat va lucra probabil fisurat sub încărcările de serviciu, în stadiul II.

3.5

Exemplul 2 : Grindă de beton precomprimat

Grinda cu secţiunea din figură, este precomprimată cu armături din oţel de înaltă rezistenţă. Forţa de precomprimare la tensionare este de 1870 kN. Pierderile de tensiune în faza iniţială sunt de circa 10% din efortul iniţial, iar pierderile totale, în faza finală, de circa 25% din acesta. Să se determine starea de eforturi pe secţiune după transfer şi în exploatare, ştiind că momentul dat de greutatea proprie a grinzii este de 290 kNm, iar cel de exploatare este de 900 kNm. Să se determine şi momentul capabil al secţiunii. Materiale: beton C 50/60, toroane 13 T13S cu fpk = 1860 MPa şi fp0,1k = 1600 MPa. 500

-4,6

+

-

-0,8

431

+11,1

+

+

600

= -

569

200

415

120

154

1000

200

-7,3

300

-7,3 -14,6

+ +6,1

-15,8

Figura 3.7 – Caracteristici geometrice ale secţiunii grinzii şi tensiuni pe secţiune după transfer Caracteristici geometrice ale secţiunii

26


Se vor calcula caracteristicile geometrice ale secţiunii de beton nefisurate, neglijând efectul armăturilor, deoarece este acesta mic. Ac = 500x200 + 200x300 + 600x120 = 232x103 mm2 yc = (10x104x900 + 6x104x400 + 7,2x104x500)/232x103 = 76x103/232 = 569 mm Ic = (500x4313 – 380x2313 + 300x5693 – 180x3693)/3 = 27,19x109 mm4 Wcs = Ic/ys = 27,19x109/431 = 63,09x106 mm3 Wci = Ic/yi = 27,19x109/569 = 47,79x106 mm3 Eforturi după transfer Pierderile de tensiune în faza iniţială se evaluează forfetar la 10% din efortul iniţial. Rezultă că, după transfer, precomprimarea va fi: Pm,0 = 0,9xPmax = 0,9x1870 = 1685 kN Efectul precomprimării:

σ c,s = −

Pm, 0 Ac Pm ,0

+

Pm ,0 z cp Wcs Pm ,0 z cp

=−

1685 1,685 × 415 + = -7,3 + 11,1 = + 3,8 MPa 232 63,09

1685 1,685 × 415 − = -7,3 – 14,6 = -21,9 MPa Ac Wci 232 47,79 Nota: În calculele de mai sus ar trebui ţinut cont de faptul ca la transfer, datorită deformaţiei betonului, forţa de precomprimare scade. O relaţie de calcul mai exactă este dată în capitolul 4, la calculul pierderii de tensiune din deformaţia elastică a betonului.

σ c ,i = −

−

=−

Efectul greutăţii proprii:

σ g ,s = − σ g ,i = +

M gp Wcs M gp Wci

=−

290 = -4,6 MPa 63,09

=−

290 = +6,1 MPa 47,79

Tensiuni din efectul precomprimării şi al greutăţii proprii:

σ0,s = σp,s + σg,s = +3,8 – 4,6 = -0,8 MPa σ0,i = σp,i + σg,i = -21,9 + 6,1 = -15,8 MPa Deci întreaga secţiune este comprimată.


27

Eforturi în exploatare Pierderile de tensiune în faza finală se evaluează forfetar la 25% din efortul iniţial. Rezultă că în exploatare precomprimarea va fi: Pm,∞ = 0,75xPmax = 0,75x1870 = 1400 kN Efectul precomprimării:

σ p,s = − σ p ,i = −

Pm,∞ Ac Pm,∞ Ac

+ −

Pm ,∞ z cp Wcs Pm,∞ z cp Wci

=− =−

1400 1,4 × 415 + = -6,0 + 9,2 = + 3,2 MPa 232 63,09

1400 1,4 × 415 − = -6,0 – 12,2 = -18,2 MPa 232 47,79

Efectul încărcărilor din exploatare:

ME 900 =− = -14,3 MPa Wcs 63,09 M 900 σ E ,i = + E = − = +18,8 MPa Wci 47,79 Tensiuni din efectul precomprimării şi al greutăţii proprii:

σ E ,s = −

σ∞,s = σp,s + σE,s = +3,2 – 14,3 = -11,1 MPa σ∞,i = σp,i + σE,i = -18,2 + 18,8 = +0,6 MPa Deci pe secţiune apar întinderi, dar acestea sunt mai mici decât rezistenţa la întindere a betonului şi secţiunea rămâne nefisurată. 500

300

-4,6

+

-

-0,8

431

+11,1

+

+

600

= -

569

200

415

120

154

1000

200

-7,3

-7,3 -14,6

+ +6,1

-15,8

Figura 3.8 – Tensiuni pe secţiune în exploatare Momentul capabil Aria de armătură:

28


Ap = 13x100 = 1300 mm2 Valoarea de calcul a rezistenţei armăturii: fpd = fp0,1k/γs = 1600/1,15 = 1391 MPa Forţa de întindere în armătură la SLU: Td = As x fpd = 1300 x 1391 = 1808 kN Înălţimea zonei comprimate (se presupune ca este mai mică decât grosimea tăplii comprimate: x = Td/(0,8⋅fcd⋅b) = 1808x103/(0,8x(50/1,5)x500) = 136 mm Braţul de pârghie al eforturilor interne este: z = d - 0,4x = 846 – 0,4⋅136 = 792 mm Momentul capabil: MRd = Td⋅z = 1808⋅0,792 = 1432 kNm

29

Pierderi de tensiune

4 Calcul forţei de precomprimare 4.1

Forţa maximă de precomprimare Forţa aplicată la pretensionare Pmax nu trebuie să depăşească valoarea : Pmax = Ap ⋅ σp,max

în care: Ap σp,max

(4.1)

este aria secţiunii armăturilor pretensionate este efortul maxim aplicat armăturii = min {0,8·fpk ; 0,9·fp0,1k}

Este permisă tensionarea mai puternică (până la 0,95·fp0,1k) în cazul în care forţa de tensionare se poate măsura cu o precizie de ±5% din valoarea finală a forţei de precomprimare. 4.2

Forţa de precomprimare iniţială şi forţa de precomprimare la timpul t

Forţa de precomprimare iniţială la timpul t = t0, aplicată betonului imediat după pretensionare este: Pm0(x) = Pmax – ∆Pi(x) = Ap ⋅ σpm0(x)

(4.2)

În care ∆Pi(x) sunt pierderile de tensiune în faza iniţială (vezi §4.5.2 şi 4.5.3). Tensiunea în armătură trebuie să fie cel mult: σpm0(x) ≤ min { 0,75· fpk ; 0,85· fp0,1k }

(4.3)

Forţa de precomprimare medie la la un moment t > t0 este: Pm,t(x) = Pm0(x) - ∆Pc+s+r(x)

(4.4)

În care ∆Pc+s+r(x) sunt pierderile de tensiune dependente de timp (datorate relaxării armăturilor, contracţiei şi curgerii lente a betonului – vezi §4.5.4). 4.3

Efectul precomprimării la SLU Valoarea de calcul a forţei de precomprimare este: Pd,t(x) = γP· Pm,t(x)

(4.5)

în care γP,fav pentru situaţiile persistente şi tranzitorii de proiectare se consideră γP,fav = 1, iar γP,unfav pentru verificări locale se consideră γP,unfav = 1,2.

30

Calculul forţei de precomprimare

Cazul armăturilor de precomprimare fără aderenţă şi cel al armăturilor exterioare nu este tratat aici. 4.4

Efectul precomprimării la SLS

Pentru verificările la SLS trebuie luată în considerare posibila variaţie a eforturilor în armătură. În calcul se foloseşte cea mai defavorabilă din valorile caracteristice de mai jos: Pk,sup = rsup Pm,t(x) Pk,inf = rinf Pm,t(x)

(4.6) (4.7)

Pentru coeficienţii rsup şi rinf , SR EN 1992-1-1 recomandă valorile următoare: - pentru armături preîntinse şi armături neaderente: rsup = 1,05 şi rinf = 0,95 - pentru armături post-întinse cu armături aderente: rsup = 1,10 şi rinf = 0,90 - când se iau măsuri corespunzătoare (de exemplu măsurarea directă a forţei de pretensionare): rsup = rinf = 1,0. 4.5


4.5.1 Introducere Pentru a determina efortul în armăturile pretensionate trebuie ţinut seama de anumite fenomene, cum ar fi frecarea la întinderea armăturilor, lunecarea în ancoraj la blocare, nesimultaneitatea tensionării diferitelor armături, deformaţiile datorate tratamentului termic, relaxarea eforturilor în armătură, curgerea lentă a betonului. Toate aceste fenomene produc pierderi de efort (tensiune) în armăturile pretensionate. Primele patru fenomene enumerate mai sus sunt instantanee (şi au cauze legate de tehnologia de execuţie). Ultimele două sunt fenomene care se desfăşoară pe o perioadă lungă de timp, durând mai mulţi ani (fenomene reologice). Pierderile de tensiune se calculează diferit pentru procedeul cu armături preîntinse faţă de procedeul cu armături postîntinse. În SR EN 1992-1-1 sunt considerate următoare pierderi de tensiune : a) Armături preîntinse - Faza iniţială : ∆σsl = pierdere datorită lunecării (reculului) în ancoraj la blocare ; ∆σµ = pierdere datorită frecării pe traseu a armăturilor ; ∆σel = pierdere datorită scurtării elastice a betonului ; ∆σθ = pierdere datorită tratementului termic ; ∆σri = pierdere datorită relaxării armăturilor înainte de transfer. - Faza finală : ∆σc+s+r = pierdere datorită relaxării armăturilor după transfer, contracţiei şi

31


curgerii lente a betonului. b) Armături postîntinse - Faza iniţială : ∆σ sl = pierdere datorită lunecării (reculului) în ancoraj la blocare ; ∆σ µ = pierdere datorită frecării pe traseu a armăturilor ; ∆σel = pierdere datorită scurtării elastice a betonului ; - Faza finală : ∆σc+s+r = pierdere datorită relaxării armăturilor, contracţiei şi curgerii lente a betonului. 4.5.2 Armături preîntinse în faza iniţială 4.5.2.1 Pierderi de tensiune la ancoraj (∆σ ∆σsl) Aceste pierderi corespund lunecării toroanelor sau sârmelor în pene şi a penelor în plăcile de ancoraj la detensionarea presei şi blocarea penelor. Tendinţa de recul a armăturii blochează prin efect de pană penele în ancoraj. Această lunecare are valori de la 1 la 12 mm în funcţie de tipul de ancoraj şi procedeul de pretensionare folosit. Valoarea lunecării figurează în fişa de agrement tehnic a procedeului. Pentru ancorajele cu pene folosite la toroane, lunecarea este de 4-5 mm. Scurtarea armăturii este :

∆ε = unde :

λ

(4.8)

Lp

λ = lunecarea în ancoraj ;

Lp = lungimea cablului între ancoraje.

Această scurtare produce o pierdere de tensiune în armătură :

∆σsl = ∆ εE p =

λE p Lp

(4.9)

Dacă întinderea se face de la amblele capete, pierderea de tensiune este :

∆σsl =

( λ 1 + λ 2 )E p Lp

(4.10)

Conform standardului STAS 10107/0-90, anexa H, tabelul 44, lunecările în ancorajele cele mai utilizate în România sunt :

32


Tabelul 4.1 – Valori ale lunecărilor în ancoraj după STAS 10107/0-90 Tip de ancoraj Ancoraj cu piuliţă pentru bare Ancoraj cu pene pentru SBP A I sau TBP Ancoraj cu pene pentru bare Ancoraj inel-con simplu pentru fascicule 12Φ5 mm cu sârme paralele 12Φ7 mm, 24Φ7 mm Ancoraj inel-con dublu pentru fascicule 48Φ7 mm

λ (mm) 1 4 4 4 5 7

Exemplu: Să se calculeze pierderea de tensiune rezultată în urma blocării unei armături pretensionate la un efort unitar σp,max= 1500 MPa într-un ancoraj care are o lunecare de 5mm. Lungimea standului pe care se face întinderea armăturilor este de (i) 20m sau (ii) 100m. Se cunoaşte modulul de elasticitate al armăturilor Ep = 190 Gpa. (i) Pentru standul de lungime 20 m:

∆σ sl =

λ Lp

⋅ Ep =

5 ⋅ 190000 = 47.5Mpa 20 ⋅ 10 3

pierderea reprezintă 3.2% din efortul de pretensionare. (ii) Pentru standul de lungime 100 m:

∆σ sl =

λ Lp

⋅ Ep =

5 ⋅ 190000 = 9.5Mpa 100 ⋅ 10 3

pierderea reprezintă 0.6% din efortul de pretensionare. Se observă că valoarea pierderii de tensiune depinde de lungimea standului pe care este întinsă armătura, pierderea fiind cu atât mai mică cu cât lungimea standului este mai mare.

4.5.2.2 Pierderi de tensiune din frecare pe traseu (∆σµ) La armăturile preîntinse, pierderile din frecare pe traseu apar numai în cazul armăturilor deflectate (ceea ce este destul de rar în cazul precomprimării cu armături preîntinse). Aceste pierderi trebuie determinate experimental. 4.5.2.3 Pierderi de tensiune datorită scurtării elastice a betonului (∆σ ∆σel) La transferul precomprimării la beton, ca rezultat al acţiunii armăturilor pretensionate, are loc o deformare a elementului de beton. Solicitarea este de compresiune excentrică şi cum de obicei elementul este proiectat astfel încât să rămână în stadiul I, se poate determina efortul unitar în beton în dreptul armăturii cu formulele din Rezistenţa Materialelor: Într-o primă aproximaţie, efortul unitar în beton în dreptul armăturii este:

33


σ cp = − în care :

Pi Pi z cp − z cp Aci I ci

(4.11)

Pi

este forţa de precomprimare în momentul transferului (Pmax minus pierderile de tensiune la blocare în ancoraj, din tratament termic şi relaxare iniţială) ;

Mgp

este momentul dat de greutatea proprie a elementului de beton ;

zcp

este distanţa de la centrul de greutate al armăturilor la axa neutră ;

Aci şi Ici Rezultă :

aria şi respectiv momentul de inerţie al secţiunii omogene echivalente.

∆σel = αp⋅σcp

(4.12)

Relaţiile (4.11) şi 4.12) supraestimează pierderea de tensiune din scurtarea elastică a betonului. Datorită scurtării elastice, efortul în armătură scade şi (4.11) se modifică:

σ cp = −

Pi − Ap ∆σ el

−

( Pi − Ap ∆σ el ) z cp

Aci I ci Rezolvând (4.13) în raport cu ∆σel rezultă

z cp = ∆σ el / α p

(4.13)

α pσ pi

(4.14)     Ac   α p +  2  z cp      Ap 1 + 2   r     în care σpi = Pi/Ap De obicei transferul produce ridicarea grinzii din cofraj şi mobilizarea greutăţii proprii a acesteia, aşa încât în această fază se ia în calcul şi efectul momentului dat de greutatea proprie Mgp. ∆σ el =

Exemplu: Pentru grinda din figură să se calculeze pierderea de tensiune din scurtarea elastică ştiindu-se efortul în armătura înainte de transfer σ ci = 1070MPa şi coeficientul de echivalenţă αp = 5,7.

500 e=100mm 10 m

Se calculează:

250

34


Ac = 125000mm2 Ic = 2604166667mm4 r2 = 20833.3mm2 αp=5.7 Încărcarea din greutate proprie: g=0.5·0.25·25=3.125kN/ml Momentul încovoietor din greutate proprie: g ⋅ l 2 3.125 ⋅10 2 Mg = = = 39.06kNm 8 8 Efortul în beton în dreptul armăturii de precomprimare (inclusiv efectul greutăţii proprii a grinzii):

σ cp

Mg 1070 39.06 ⋅ 10 6 = − = − = 9.61MPa   Ic   2604166667   z   100 cp 125000 Ac   5.7 +  α p +   2  100 2     z cp  800 1 +    20833.3 2   A p 1 + 2            r   

σ pi

Pierderea de tensiune în armătură:

∆σel = np⋅σcp=5.7⋅9.61=54. 8 MPa 4.5.2.4 Pierderi datorită tratamentului termic (∆σθ) Tratamentul termic la care sunt supuse elementele de beton precomprimat pentru a accelera întărirea betonului este la originea unor pierderi de tensiune legate de dilatarea termică şi apoi contracţia la răcire a betonului şi a armăturii. După standardul SR EN 19921-1, aceste pierderi pot fi evaluate în felul următor :

∆σθ = 0,5 Ep αc (Tmax −T o) în care:

Ap

este aria secţiunii armăturii pretensionate ;

Ep

este modulul de elasticitate al armăturilor pretensionate;

αc

este coeficientul liniar de dilatare termică al betonului ;

Tmax −T0 este diferenţa între temperatura maximă şi temperatura iniţială a betonului în apropierea armăturilor pretensionate, în °C.

(4.15)

35


Exemplu: Să se calculeze pierderea de tensiune datorată tratamentului termic reprezentat în următoarea figură: Temp(°C) 70°C

20°C 0

3

13

16

Timp(h)

∆σθ=0,5 Ep αc (Tmax-To)=0.5⋅200000⋅10-5⋅(70-20)=50 MPa 4.5.2.5 Pierderea de tensiune datorită relaxării armăturilor în faza iniţială (∆σ ∆σri) Relaxarea de oţelului este o scădere a efortului unitar sub deformaţie constantă. Ea apare la oţelurile cu limită de elasticitate ridicată utilizate la beton precomprimat numai pentru eforturi unitare mai mari decât 30...40% din efortul unitar de rupere. Mărimea relaxării depinde de natura oţelului, de tratamentele la care este supus în procesul de fabricare şi de nivelul efortului unitar aplicat. σ σpi

∆σrt

t

∆σr∞

timp

Figura 4.1 – Relaxarea armăturii în timp SR EN 1992-1-1 defineşte trei clase de armături în funcţie de relaxare: - Clasa 1 : sârmă sau toron – relaxare normală - Clasa 2 : sârmă sau toron – relaxare scăzută - Clasa 3 : bare laminate la cald care au fost supuse la un tratament complementar. Calculul pierderilor de tensiune datorită relaxării se efectuează pe baza valorii ρ1000, care este pierderea prin relaxare (în %) la 1000 de ore după tensionare, la o temperatură medie de 20 °C. Valoarea ρ1000 este exprimată sub forma unui procent din tensiunea iniţială; ea este obţinută pentru un efort iniţial de 0,7fp, unde fp este rezistenţa efectivă la întindere a armăturii pretensionate, măsurată pe epruvete. Pentru calculele de dimensionare, se utilizează rezistenţa caracteristică la întindere (fpk). ρ1000 poate fi luat egal cu 8% pentru

36


clasa 1, cu 2,5% pentru clasa 2 şi 4% pentru clasa 3, sau se ia din certificatul de încercări ale fabricantului. Pierderea prin relaxare poate fi obţinută plecând de la certificatele de încercări ale fabricantului, sau poate fi calculată ca raport în procente din variaţia tensiunii împărţită la tensiunea iniţială, aplicând una din expresiile de mai jos. Expresiile (4.16) şi (4.17) se aplică la sârme şi la toroane cu relaxare normală respectiv cu relaxare scăzută, în timp ce expresia (4.18) se aplică barelor laminate la cald supuse la un tratament termic complementar. ∆σ pr

Clasa 1

σ pi ∆σ pr

Clasa 2

 t  = 5,39 ρ1000e6,7 µ    1000   t     1000 

10 − 5

0 , 75 (1− µ )

(4.17)

0 , 75 1− µ ∆σ pr t  8, 0µ  = 1,98ρ1000e  10 − 5  σ pi 1000  

(4.18)

σ pi

(

Clasa 3 în care:

(4.16)

10 − 5

= 0,66ρ1000e

9 ,1µ

0 , 75 (1− µ )

)

∆σpr este valoarea absolută a pierderilor prin relaxare; σpi

în cazul precomprimării prin postîntindere, σpi este valoarea absolută a efortului iniţial σpi = σpm0; în cazul precomprimării prin preîntindere, σpi este efortul de control mai puţin pierderile instantanee care se produc în cursul procesului de întindere;

t

este timpul după întindere (în ore);

µ

= σpi/fpk, cu fpk valoarea caracteristică a rezistenţei la întindere a oţelului.

Ţinând cont de diferenţa mică de preţ între cele două două tipuri de armături, economia realizată datorită folosirii armăturilor cu relaxare scăzută face preferabilă folosirea acestora. Exemplu: Să se calculeze pierderea de tensiune datorată relaxarii oţelului pentru un interval de timp de 50 de ore. Oţelul are clasa de relaxare 2 şi este întins până la un efort unitar de 0.8fpk. Rezistenţa caracteristică a oţelului este fpk=1500 MPa şi pierderea de tensiune din lunecarea în ancoraje este ∆σsl =50 MPa.

σ pi = σ p 0 − ∆σ sl = 0.8 ⋅1500 − 50 = 1150MPa µ=

σ pi f pk

=

1150 = 0.77 1500

37

Pierderi de tensiune 0,75(1− µ )

9,1µ

∆σ pr = σ pi 0,66ρ1000e

 t     1000

0.75(1−0.77)

−5

9.1⋅0.77

10 = 1150⋅ 0.66⋅ 2.5 ⋅ e

 50     1000

⋅10−5 = 12.49MPa

Dacă elementul este supus unui tratament termic pentru accelerarea întăririi, relaxarea armăturilor va fi mai mare, pentru acelaşi interval de timp. Calculul relaxării se va face folosind în locul timpului real un timp echivalent, care se adaugă la timpul real t după tensionare: 1,14(Tmax − 20) n teq = ∑ T(∆ti ) − 20 ∆ti Tmax − 20 i =1

(

în care:

)

(4.19)

este timpul echivalent (în ore)

teq

T(∆ti) este temperatura (în °C) pe durata intervalului de timp ∆ti Tmax este temperatura maximă (în °C) pe durata tratamentului termic Exemplu: Pentru exemplul anterior să se calculele pierderea de tensiune din relaxare dacă se consideră un tratament termic conform diagramei:

Temp(°C) 70°C

20°C 0

t eq =

1,14 (Tmax −20 ) Tmax − 20

3

n

∑ (T i =1

( ∆ti )

13

)

− 20 ∆t i =

16

Timp(h)

1,14 ( 70−20) [(45 − 20) ⋅ 3 + (70 − 20) ⋅10 + (45 − 20) ⋅ 3] = 9100h 70 − 20

Obs: pentru intervalele cu temperatură variabilă s-a considerat valoarea medie a temperaturii. 0, 75(1− µ )

9,1µ

∆σ pr = σ pi 0,66ρ1000e

 t + teq     1000 

0.75(1−0.77)

−5

9.1⋅0.77

10 = 1150⋅ 0.66 ⋅ e

 50 + 9100    1000 

⋅10−5 = 30.7MPa

38


4.5.3 Armături postîntinse în faza iniţială

∆σµ) 4.5.3.1 Pierderi de tensiune datorită frecării pe traseu (∆σ Se admit următoarele ipoteze : − coeficientul de frecare µ este considerat constant pe toată lungimea cablului ; − valoarea coeficientului de frecare µ este independentă de valoarea presiunii u ; − frecarea parazită pe zonele drepte este modelată printr-o deviaţie cu unghi constant pe unitatea de lungime k (°/m). dθ dθ

r

r

u P

r

r P

P - dP f

ds = rdθ

dθ

P - dP dθ udx = Pdθ

Figura 4.2 – Forţe care acţionează pe un element de cablu curb (Tertea, 1981) Considerăm un element de cablu, de lungime ds şi rază de curbură r, supus la un efort de întindere P (figura 4.2). Variaţia unghiului între extremităţile acestui element de cablu este dθ. Rezultă : ds = rdθ. Echilibrul forţelor dă : − după direcţia tangentă la cablu dP +fds = 0

(4.20)

− după direcţia normală la cablu uds = P sin(dθ/2) + (P-dP) sin(dθ/2) sau

uds = Pdθ

(4.21)

dacă considerăm sin(dθ/2) ≅ dθ/2 şi neglijăm produs cantităţilor foarte mici dPsin(dθ/2).

39


Pe de altă parte, legea frecării este : f = µu

(4.22)

de unde : fds = µuds = µPdθ şi apoi : dP + µPdθ = 0

(4.23)

Integrând această ecuaţie diferenţială se obţine : P(θ) = Ce-µθ

(4.24)

Şi punând condiţiile la limită, adică :

θ = 0, P(0) = Pmax

(4.25)

rezultă constanta de integrare C = Pmax şi, în consecinţă : P(θ) = Pmax e-µθ

(4.26)

Frecarea parazită pe liniile drepte dă, pe o lungime x un unghi echivalent kx, şi formula precedentă devine : P(θ) = Pmax e-µθ + µkx

(4.27)

Li pentru arcul Li, se scrie relaţia generală pentru o secţiune ri situată la distanţă x de origine :

Notând

θi =

Ps = P max e

−µ (

L

∑ rii + kx )

(4.28)

Si pierderea de tensiune este : ∆Pµ ( x) = P max (1 − e

−µ (

L

∑ rii + kx )

)

(4.29)

sau, exprimat în eforturi unitare (împărţind cu Ap) : ∆σ µ ( x) =σ p , max(1 − e

−µ (

L

∑ rii + kx )

)

(4.30)

Pentru a simplifica calculul, unele norme admit să se dezvolte expresia 1-e-A în serie şi să se reţină numai primul termen, dacă A este mic, liniarizând expresia (4.30) :

40

Calculul forţei de precomprimare L

∑ rii + ks )

Li + kx) (4.31) ri Valorile lui µ şi k sunt date în Agrementul Tehnic corespunzător. Valoarea lui µ depinde de caracteristicile de suprafaţă ale armăturilor şi ale tecii, de prezenţa sau nu a ruginii, de alungirea armăturii şi de traseul său. În lipsa datelor din Agrementul Tehnic, se pot folosi coeficienţii µ şi k daţi în STAS 10107/0-90 (Tabelul 4.2) sau SR EN 1992-1-1 (Tabelul 4.3). 1− e

−µ (

≅ µ (∑

Tabelul 4.2 – Coeficienţi µ şi k pentru cabluri formate cu sârme sau toroane paralele (STAS 10107/0-90) Modul de realizare al canalului

µ

Teacă din tablă Teacă din PVC Canal de beton (teaca este extrasă înainte de întărirea betonului)

0,35 0,30

0,006 0,004

Pmax (kN) 650÷ ÷1300 k/metru 0,004 0,002

0,45

0,004

0,002

< 650

> 1300 0,003 0,0015 0,0015

Tabelul 4.3 – Coeficienţi de frecare µ pentru armături postîntinse interioare şi armături exterioare neaderente (SR EN 1992-1-1) Armături interioare1)

Teacă din oţel / neunsă

Armături exterioare (neaderente)

Teacă din PEHD / neunsă

Sârmă trefilată la rece 0.17 0.25 Toron 0.19 0.24 Bară nervurată 0.65 Bară lisă 0.33 1) în cazul armăturilor care umplu circa jumătate din teacă

Teacă din oţel / unsă

0.14 0.12 -

0.18 0.16 -

Teacă din PEHD / unsă

0.12 0.10 -

Variaţia efortului unitar într-un cablu cu părţi curbe şi drepte este reprezentată în figura 4.3 : Apσp,max

k

k µ, k L1

σp,max

k

µ, k L2

∆σµ

Figura 4.3 - Variaţia efortului unitar în cablu de-a lungul elementului Exemplu: Pentru grinda din figura 4.4 să se calculeze forţa din cablul de pretensionare în fiecare din punctele caracteristice, ţinând cont de efectul frecării. Tensionarea armăturilor se face la capătul A al grinzii şi forţa maximă de pretensionare este Pmax=800 kN. Coeficientul de frecare µ=0.2 şi deviaţia unghiulară accidentală este k=0.01.

41


800kN 30°

26°

E

A

F

B C

D

G 5m

6m

1m

10 m

0.5 m

7m

Figura 4.4 - Grindă precomprimata cu armatura postintinsă Unghiurile între extremităţile zonelor curbe exprimate în radiani sunt:

θ1 = 26 0 = 0.45rad θ 2 = 30 0 = 0.52rad PA=Pmax=800 kN PB=PAe- µ kx=800e-0.2⋅0.01⋅1=798.4 kN PC=PBe- µ (θ1+kx)=798.4e-0.2⋅(0.45+0.01⋅6)=721 kN PD=PCe- µ kx=721e-0.2⋅0.01⋅10=706.7 kN PE=PDe- µ (θ2+kx) =706.7e-0.2⋅(0.52+0.01⋅7)=637.7 kN PF=PEe- µ kx=637.7e-0.2⋅0.01⋅0.5=636.4 kN PG=PCe- µ kx=721e-0.2⋅0.01⋅5=713.8 kN Diagrama eforturi in armătura pretensionată este reprezentată in figura următoare:

800kN 30°

26°

E

A

F

B C

G

D

5m 1m

800kN

6m

10 m

7m

0.5 m

798.4kN 721kN 713.8kN 706.7kN 637.7kN 636.4kN

Figura 4.5 - Variaţia efortului de pretensionare

42


4.5.3.2 Pierderi de tensiune datorită lunecării in ancoraj (∆σ ∆σsl) Aceste pierderi corespund lunecării toroanelor sau sârmelor faţă de pene la detensionarea presei şi blocarea penelor (vezi § 4.6.1). Această mişcare, care are loc în sens invers celui dat de punerea în tensiune, provoacă o frecare de sens opus celei precedente. În diagrama tensiune-distanţă faţă de secţiunea de tensionare (figura 4.4), curba care reprezintă efortul are pantă opusă celei care reprezintă frecarea. Panta acestei curbe, în valoare absolută, reprezintă pierderea de tensiune pe unitatea de lungime. Frecarea la recul este considerată, după SR EN 1992-1-1, cu aceeaşi coeficienţi de frecare ca la tragerea (întinderea) armăturii :

µ’ = µ

(4.32a) (4.32b)

k’ = k

Lunecarea în ancoraj λ (în metri) se repercutază până la distanţa xC , iar efortul unitar în acest punct este σp,C. Un element de cablu de lungime dx este supus unei scurtări datorită lui ∆σλ egală cu dx∆σλ/Ep. Or, lunecarea λ reprezintă integrala acestor scurtări, adică : C ∆σ sl λ=∫ dx (4.32) A E p De unde

C

λE p = ∫ ∆σ sl dx

(4.33)

A

Se poate aproxima aria triunghiului curb (nehaşurat pe figură) cu aria unui triunghi cu laturi drepte având aceeaşi bază şi aceaşi înălţime : ∆σ slmax ⋅ xC ∫A ∆σ sl dx ≅ 2 C

(4.34)

Se obţine o ecuaţie unde singurele necunoscute sunt xC şi ∆σ slmax : ∆σ slmax ⋅ xC = λE p 2

(4.35)

xC

∆σslmax

∆σµ, B

σp,max

A

C

B

Figure 4.6 – Reprezentarea tensiunii în armătură după pierderile din frecare şi lunecare

43


Efortul unitar în punctul C, ţinând cont numai de frecarea la punerea în tensiune este (vezi § 4.7.1) :

σ p, C =σ p , maxe

−( µ

L

∑ rii + kx )

(4.36)

Efortul unitar în punctul A’, ţinând cont de frecarea de recul este :

σ p, A = σ p, C e

−( µ '

C

L

∑ rii + k ' xC ) A

=σ

p , max

e

−[( µ ' + µ )

C

L

∑ rii +( k ' + k ) xC ] A

=σ

p , max

e

− 2( µ

C

L

∑ rii + kxC ) A

(4.37)

Pierderea de tensiune în secţiunea A este : L  − 2 ( µ ∑ i + kxC )  r A i   = σ p , max 1 − e     C

∆σ slmax

(4.38)

Ecuaţia (4.38) este a doua ecuaţie cu necunoscute xC şi ∆σ slmax , ceea ce permite să se determine distanţa până la care este resimţit efectul reculului şi pierderea de tensiune datorată lunecării în ancoraj (ecuaţiile 4.35 şi 4.38). Observaţii privind pierderilor de tensiune din frecare pe traseu şi lunecare în ancoraj

Dacă elementul de beton precomprimat este lung şi întinderea se face la o singură extremitate, pierderea din frecare este importantă (figurile 4.3 şi 4.4). Pentru a reduce aceste pierderi, trebuie întins cablul de la ambele extremităţi (figura 4.7). σ

x

Figura 4.7 – Reprezentarea eforturilor unitare de-a lungul armăturii dacă întinderea se face de la ambele extremităţi Exemplu: Pentru grinda din exemplul precedent să se reprezinte diagrama eforturilor în armatură ţinind cont de reculul în ancoraj. Armătura pretensionată este formată din patru toroane T15S cu aria Ap=4x150mm2=600mm2 şi modul de elasticitate Ep=195GPa. Lunecarea în ancoraj se consideră 5mm. Pentru determinarea distanţei la care se anulează efectul reculului datorită frecării între armătură şi teacă se aproximează aria triunghiului curb cu aria unui triunghi cu laturi drepte:

44


AP ⋅ λ ⋅ E P =

∆P0 ⋅ xλ xλ = P0 1 − e −2 µ (θ +kxλ ) 2 2

(

(

)

)

Se face aproximaţia: P0 1 − e −2 µ (θ + kxλ ) = P0 ⋅ 2 µ (θ + kxλ ) şi ecuaţia de mai sus se scrie: AP ⋅ λ ⋅ E P =

xλ P0 ⋅ 2 µ (θ + kxλ ) 2

Rezultă o ecuaţie de gradul II in xλ

P0 µkxλ2 + P0 µθxλ − Ap λE p = 0 Rezolvând ecuaţia rezultă două soluţii: xλ1 = 6.24 şi xλ 2 = −46.24 Deoarece cea de-a doua soluţie este negativă, soluţia convenabilă şi deci distanţa la care se anulează efectul reculului este 6.24m. Efortul de precomprimare la distanţa de 6.24 m de la faţa elementului este: Pλ = PBe- µ (θ1+k(xλ-xAB) = 798.4e-0.2⋅(0.45+0.01⋅5.24)=722.1 kN Pierderea de tensiune în punctele B şi A se calculează pornind de la punctul de anulare a efectului reculului: P'B = Pλe- µ (θ1+k(xλ-xAB) = 722.1e-0.2⋅(0.45+0.01⋅5.24) = 653.1 kN P'A = P'Be- µkxAB) = 653.1e-0.2⋅0.01⋅1 = 651.7 kN Diagrama de eforturi în armătura pretensionată este reprezentată în figura următoare: 800kN 30°

26°

E

A

F

B C

G

D

5m 1m

6m

800kN

10 m

7m

0.5 m

798.4kN 722.1kN 721kN X=6.24m

651.7kN

713.8kN 706.7kN

653.1kN 637.7kN 636.4kN

Figura 4.8 - Variaţia efortului de pretensionare cu considerarea reculului in ancoraj

45


4.5.3.3 Pierderi de tensiune datorită scurtării elastice a betonului (∆σ ∆σel) Presupunem că un element de beton precomprimat este realizat cu mai multe cabluri pretensionate. Întinderea cablurilor neputându-se efectua decât cablu cu cablu, întinderea celui de-al doilea cablu va antrena o scurtare a elementului şi a primului cablu ; similar, întinderea celui de-al treilea cablu va antrena o scurtare a elementului şi a primelor două cabluri, şi aşa mai departe. Deci, dacă sunt n cabluri, întinderea cablului j > i produce o creştere a efortului unitar ∆σc,ij la nivelul cablului i şi o scurtare a elementului şi a cablului i egală cu ∆εij = ∆σc,ij/Ecm, şi în consecinţă o pierdere de tensiune în cablul i :

∆σel,ij = ∆εijEp = ∆σc,ij(Ep/Ecm)

(4.39)

Sub efectul întinderii tuturor cablurilor j, cu i < j ≤ n, pierderea de tensiune în cablul i este : ∆σel,i = Ep ∑ ∆σ c ,ij / Ecm (4.40) j >i

SR EN 1992-1-1 admite utilizarea unei valori medii a pierderii de tensiune :

 j ⋅ ∆σ c (t )  ∆σ el = E p ⋅ ∑    Ecm (t )  în care:

∆σc(t)

j

(4.41)

este variaţia efortului unitar în beton în dreptul armăturilor întinse la timpul t; este un coeficient egal cu: (n -1)/2n în care n, este numărul de armături identice întinse succesiv. Se poate aproxima j = ½; 1 pentru variaţii datorate acţiunilor permanente aplicate după precomprimare.

Observaţii: 1. Notaţia j din expresia (4.41) nu are legătură cu indicele de sumare j din expresiile (4.39) şi (4.40). În (4.41) j este un coeficient definit de expresia (n -1)/2n când se evaluează efectul întinderii succesive a armăturilor sau 1 când se evaluează efectul încărcărilor aplicate după precomprimare. 2. În expresia (4.41) apare timpul t la care se face precomprimarea unei armături sau aplicarea încărcărilor, pentru a ţine cont în calcul de variaţia în timp a unora din caracteristicile betonului (de exemplu Ecm).

4.5.4 Pierderi tensiune după transfer (armături pre sau postîntinse) Pierderile de tensiune care apar după transferul precomprimării sunt pierderi dependente de timp şi sunt produse de următoarele două cauze : (a) reducerea alungirii armăturilor cauzată de scurtarea betonului din curgere lentă şi contracţie, sub încărcări permanente; (b) reducerea efortului în armătură datorită relaxării.

46


Relaxarea oţelului a fost definită (şi măsurată) sub deformaţie constantă. În elementul de beton precomprimat, betonul se deformează în timp din cauza contracţiei şi curgerii lente, şi în consecinţă armătura nu se menţine la lungime constantă. De asemenea, deformaţia de curgere lentă a betonului a fost definită sub efort constant, ori în elementul de beton precomprimat efortul scade pentru că relaxarea armăturii reduce precomprimarea. Această interacţiune poate fi luată în calcul de manieră generală şi aproximativă prin intermediul unui coeficient de reducere de 0,8 aplicat pierderii din relaxarea armăturii. În SR EN 1992-1-1, calcul pierderii de tensiune din fenomene dependente de timp se poate face, în mod simplificat, cu expresia de mai jos:

ε cs E p + 0.8∆σ pr + ∆σ p ,c + s + r = 1+ în care: ∆σp,c+s+r

εcs Ep Ecm ∆σpr

φ(t,t0 ) σc,QP

Ap Ac Ic zcp

Ep Ecm

Ep Ecm

⋅ ϕ (t , t 0 ) ⋅ σ c ,QP

Ap   A 1 + c ⋅ z cp2  ⋅ [1 + 0,8ϕ (t , t 0 )] ⋅ Ac  Ic 

(4.42)

este valoarea absolută a pierderii de tensiune în armături la abscisa x, la momentul t, din fluaj, contracţie şi relaxare; este valoarea estimată a contracţiei, în valoare absolută (vezi §3.1.4(6) din SR EN 1992-1-1); este modulul de elasticitate al oţelului de precomprimare; este modulul de elasticitate al betonului; este valoarea absolută a pierderii de tensiune în armături la abscisa x şi timpul t, din relaxare. Se determină pentru un efort unitar în σp = σp(G+Pm0+ ψ2Q) în care σp = σp(G+Pm0+ ψ2Q) armătură este efortul iniţial în armături datorită forţei de precomprimare iniţiale şi încărcărilor cvasipermanente; este coeficientul de fluaj/curgere lentă la timpul t, pentru o încărcare aplicată la timpul t0; este efortul unitar în beton în vecinătatea armăturilor, sub acţiunea greutăţii proprii şi a forţei de precomprimare iniţiale ca şi a altor încărcări cvasipermanente, după caz. Valoarea lui σc,QP poate rezulta pe de-o parte din greutatea proprie şi din forţa de pretensionare iniţială sau din combinaţia cvasipermanentă de încărcări considerată în totalitatea ei, (σc(G+Pm0+ψ2Q)), în funcţie de faza de construcţie considerată. este aria secţiunii tuturor armăturilor pretensionate la abscisa x; este aria secţiunii beton; este momentul de inerţie ale secţiunii de beton; este distanţa dintre centrul de greutate al secţiunii de beton şi armăturile de precomprimare

Eforturile de compresiune şi deformaţiile relative corespunzătoare au în expresia (4.42) semn pozitiv. Notă: Expresia (4.42) se poate deduce aşa cum se arată în continuare. Pentru o grindă cu aria secţiunii Ac, momentul de inerţie Ic, cu armătură de pretensionare Ap situată la distanţa zcp de axa neutră a secţiunii, o modificare a

47


tensiunii în armătură ∆σp conduce la o modificare a efortului unitar în beton în dreptul armăturii ∆σc astfel: Ac zcp2  ∆σ p Ap    ∆σ c = + ⋅ zcp = (4.1N) 1+ Ac  I c  Ac Ic Pierderea din contracţie: Contracţia liberă este εcs. Dar, în timp ce betonul se contractă, armătura se scurtează cu aceeaşi cantitate, ceea ce produce o pierdere de tensiune în armătura ∆σp,s şi o modificare a efortului unitar în beton ∆σc. Deformaţia netă a betonului va fi εcs - ∆σc/Ece. Rezultă, din egalitatea deformaţiilor:

∆σ p Ap

∆σ p Ap zcp

εcs - ∆σc/Ec,eff = ∆σp,s/Ep

(4.2N)

Înlocuind ∆σc din (4.1N) în (4.2N) rezultă:

ε cs E p

∆σ p , s = 1+

Ep Ec ,eff

A   A ⋅ p 1 + c ⋅ zcp2  Ac  Ic 

(4.3N)

În expresiile de mai sus Ec,eff este modulul efectiv al betonului (vezi SR EN 1992-11 § 7.4.3(5)). Pierderea din curgere lentă: Curgerea lentă liberă este σcϕ(t,t0)/Ec, unde σc este efortul unitar în beton în dreptul armăturii, iar Ec este modulul tangent al betonului (vezi SR EN 1992-1-1 § 3.1.4(2)). Datorită deformaţiei de curgere lentă însă, tensiunea în armătură scade, deci scade şi efortul unitar în beton. Egalitatea variaţiilor deformaţiilor din beton şi armătură conduce la ecuaţia următoare:

σcϕ(t,t0)/Ec – ∆σc/Ec,eff = ∆σp,c/Ep

(4.4N)

Înlocuind ∆σc din (4.1N) în (4.2N) rezultă:

∆σ p , c

Ep ϕ (t , t0 )σ c Ec = E A   A 1 + p ⋅ p 1 + c ⋅ zcp2  Ec , eff Ac  Ic 

(4.5N)

Pierderea din relaxarea armăturii: Relaxarea pură sub deformaţie constantă dă o scădere a tensiunii în armătură ∆σpr. Cum însă scăderea de tensiune în armătură produce o variaţie ∆σc a efortului unitar în beton, deci o scurtare a betonului şi o scurtare a armăturii, cu o variaţie a tensiunii în aceasta. Egalitatea variaţiilor deformaţiilor din beton şi armătură conduce la ecuaţia următoare: (∆σpr– ∆σp,r)/Ep = ∆σ c/Ec,eff Înlocuind ∆σc din (4.1N) în (4.6N) rezultă:

(4.6N)

48


∆σ pr

∆σ p , r = 1+

Ep Ec , eff

(4.7N)

A   A ⋅ p 1 + c ⋅ zcp2  Ac  Ic 

Însumând pierderile de tensiune date de expresiile (4.3N), (4.5N) şi (4.7N), cu termenul care dă efectul relaxării multiplicat cu 0,8 şi considerând modulul tangent Ec aproximat cu Ecm, iar cel efectiv Ec,eff = Ecm/(1+0,8 ϕ(t,t0)), se obţine pentru pierderea de tensiune din contracţie, curgere lentă şi relaxare formula de la (4.42). Exemplu: Pentru grinda precomprimată din figură să se calculeze pierderile de tensiune de lunga durată. Se consideră umiditatea mediului RH% =60% şi σc,QP = 6,8 N/mm2. 500

Beton: C35/45 fck=35 N/mm2 Ecm= 34000 N/mm2 Oţel pretensionat St1549/1700 clasa care indică comportarea la relaxare 2 fpk=1549 N/mm2 Ep=195000 N/mm2

110

1550

Caracteristici geometrice: Ac=227848 mm2 Ic=55006881525 mm4 Ap = 796.5 mm2 zcp=566.2 mm

Ap

120

a. Efectul contracţiei betonului Contracţia totală este:

εcs = εcd + εca=0.0004+0.000063=0.000463 εcd este deformaţia datorită contracţiei la uscare şi se determină cu relaţia: εcd(t) = βds(t, ts)⋅ kh⋅ εcd,0 = 1⋅0.983⋅0.00041 = 0.00040 în care: εcd,0

= 0.041% prin interpolare în tabelul 3.2 din SR EN 1992-1-1, considerând RH% = 60%

kh = 0.983 prin interpolare în tabelul 3.3 din SR EN 1992-1-1 cu: h0 = 2Ac/u = 2⋅227848/4100 = 111 mm unde u = 4100 mm este perimetrul secţiunii supus la uscare.

49


β ds (t , t s ) =

(t − t s ) (t − t s ) + 0,04

3 0

h

=

(20805 − 2) (20805 − 2) + 0,04 111.14 3

= 0.998 ≅ 1.00

unde: t = 365x57=20805 zile - este vârsta betonului la momentul considerat; ts = 2 zile - este vârsta betonului (zile) la începutul contracţiei de uscare (sau umflare). În mod normal, aceasta corespunde sfârşitului tratamentului;

εca este deformaţia datorată contracţiei endogene şi se determină cu relaţia: εca (t) = βas(t) εca(∞) = 0.00075 εca(∞) = 2,5 (fck – 10) 10-6 =2,5 (35 – 10) 10-6= 0.000063 βas(t) =1 – exp (– 0,2⋅208050,5) ≅ 1 b. Efectul relaxării armăturii Pentru calculul ∆σpr se consideră că efortul unitar în armatură datorită forţei de precomprimare iniţiale şi încărcărilor cvasipermanente este 1160MPa. Valoarea variaţiei efortului în armatura datorită relaxării sub forţa de precomprimare se calculează în funcţie de clasa de relaxare a otelului şi intervalul de timp standard (57 ani) la care se adaugă efectul tratamentului termic (vezi paragraful 4.5.2.5). Calculul nu va fi detaliat aici.

∆σpr = 54 MPa c. Efectul curgerii lente Determinarea coeficientul de fluaj/curgere lentă la timpul t, pentru o încărcare aplicată la timpul t0, φ(t,t0 ), se face conform anexei B din SR EN 1992-1-1:

ϕ (t,t0) = ϕ 0 · βc(t,t0) = 3.755⋅0.98 = 3.680 ϕ0 = ϕRH · β(fcm) · β(t0) = 1.832⋅2.562⋅0.80 = 3.755 ϕ RH = 1 +

1 − RH / 100

1 − 0 .6

= 1.832 0.1 ⋅ 3 h0 0.1 ⋅ 3 111 RH=60% - umiditatea relativă a mediului

β ( f cm ) =

16.8 f cm

=

= 1+

16.8 35 + 8

=2.562

50


β (t 0 ) =

1 1 = =0.80 0 , 20 (0,1 + t 0 ) (0,1 + 2 0, 20 )

 (t − t 0 )  β c (t , t 0 ) =    (β H + t − t 0 )  unde

0, 3

  (20805 − 2) =   (416.95 + 20805 − 2) 

0,3

=0.98

t = 20805 zile este vârsta betonului la momentul considerat, în zile t0 =2 zile este vârsta betonului la momentul încărcării, în zile

βH = 1.5[1 + (0.012⋅ RH)18]h0 + 250 = 1.5[1 + (0.012⋅60)18] ⋅111 + 250 = 416.95 În concluzie:

ε cs E p + 0.8∆σ pr + ∆σ p ,c + s + r = 1+

Ep Ecm

Ep Ecm

⋅ ϕ (t , t 0 ) ⋅ σ c ,QP

Ap   A 1 + c ⋅ z cp2  ⋅ [1 + 0,8ϕ (t , t 0 )] ⋅ Ac  Ic 

=

195000 ⋅ 3.8 ⋅ 6.8 34000 = = 195000 796.5  227848 2 1+ ⋅ ⋅ 566.2  ⋅ [1 + 0,8 ⋅ 3.8] 1 + 34000 227848  55006881524  0.000463 ⋅ 195000 + 0.8 ⋅ 54 +

=

90.3 + 43.2 + 143.5 277 2 = = 233 N/mm 1 + 0.02 ⋅ (1 + 1.328) ⋅ 4.04 1.19

51

Verificări la stări limită ultime

5 Verificări la stări limită ultime 5.1

Introducere

Verificările la stări limită ultime cuprind verificările de rezistenţă, la transfer şi în faza finală, verificările de stabilitate de formă şi verificarea la oboseală. În acest capitol vor fi discutate numai verificările de rezistenţă pentru tiranţi şi grinzi. Vor fi considerate numai cazurile când armătura pasivă poate fi neglijată (adică, după STAS 10107/0-90, As < 0,25Ap). 5.2

Verificarea de rezistenţă în secţiuni normale : Întindere pură

Verificarea la întindere pură se face cu relaţia : TEd ≤ Apfpd

(5.1)

unde TEd este solicitarea de calcul, iar fpd este valoarea de calcul a rezistenţei armăturii, definită în capitolul 2. Un exemplu de calcul a capacităţii portante la întindere este dat în capitolul 3 (exemplul 1). 5.3

Verificarea de rezistenţă în secţiuni normale : Încovoiere

Ipotezele pentru calculul de rezistenţă la încovoiere sunt similare celor utilizate în calculul betonului armat, cu unele particularităţi privind curbele caracteristice şi valorile deformaţiilor limită ale materialelor : − ipoteza secţiunilor plane : secţiunile plane rămân plane şi normale la axa elementului până la rupere, dacă se consideră deformaţiile medii ; − efectul betonului întins nefisurat situat sub axa neutră est neglijat ; − nu există lunecare relativă între beton şi armătură ; − curba caracteristică a betonului este „parabola-dreptunghi” (vezi ASRO, 2004b). Pentru betoanele de clasă mai mare decât C50/60, valorile deformaţiilor εc2 şi εcu2 variază: εc2 creşte în timp ce εcu2 scade cu creşterea clasei de rezistenţă (vezi Tabelul 3.1 din ASRO, 2004b). − curba caracteristică a armăturilor este cea dată în capitolul 2. Se poate folosi una din cele 2 variante ale curbei de calcul B din fig. 2.6. Pentru simplitatea calculelor se recomandă varianta cu palier şi fără limitarea deformaţiei. Este admisă utilizarea unei diagrame dreptunghiulare pentru betonul comprimat, cu o înălţime echivalentă egală cu λx din valoarea reală x a zonei comprimate şi cu un efort unitar constant ηfcd în beton (vezi figura 5.1). Coeficienţii λ şi η sunt (SR EN 1992-1-1):

λ = 0,8 pentru fck ≤ 50 MPa λ = 0,8 - (fck -50)/400 pentru 50 < fck ≤ 90 MPa

(5.1a) (5.1b)

52


şi

η = 1,0 η = 1,0 - (fck -50)/200

pentru fck ≤ 50 MPa pentru 50 < fck ≤ 90 MPa A’pσ’pl

εcu2

(5.1c) (5.1d)

fcd

A’pσ’pl

ηfcd

z’p

λx

x

A’p

MRd

y zp

σcy

λx

x

∫b σ y

Apfpd

εcp

cy

dy Apfpd

0

ε p0

∆εp

Ap

0

ηf cd ∫ by dy

εp

Figura 5.1 – Starea de eforturi şi de deformaţii la SLU a secţiunii de beton precomprimat solicitată la încovoiere Ecuaţiile de echilibru sunt : x

∫b σ y

cy

dy = A p f pd − A' p σ ' pl

(5.2)

0

unde

şi

M Rd = Ap f pd z p + A' p σ ' pl z ' p

(5.3)

z p = h0 p − x + yc

(5.4)

z /p = h0 p − yc

(5.5)

cu

x

∫b σ y

yc =

cy

ydy (5.6)

0 x

∫b σ y

cy

dy

0

Ipoteza secţiunilor plane dă :

∆ε p =

h0 p − x x

⋅ ε cu 2

(5.7)

53


Deformaţia în armătura Ap este :

ε p = ∆ε p + ε p 0 = ∆ε p +

Pd ,t Ap E p

(5.8)

În care Pd,t este valoarea de calcul a precomprimării :

Pd,t = γp Pm,t

(5.9)

cu Pm,t definit în capitolul 3 (valoarea medie a precomprimării la timpul t) şi γp = 1. Efortul unitar în armătura A’p se determină pe baza ipotezei secţiunilor plane şi a efortului iniţial în armătură (după scăderea pierderilor de tensiune):

 

σ ′pl = E p  ε p 0 −

x − d′  ≥ E p (ε p 0 − 0,0015) x 

(5.10)

Limitarea de 0,0015 a scăderii deformaţiei se aplică numai în cazul armăturilor postîntinse în canale injectate. Calculul la SLU al unei grinzi de beton precomprimat este exemplificat în capitolul 3 (exemplul 2).

5.4

Verificarea de rezistenţă la forţă tăietoare

5.4.1 Introducere Verificarea la forţă tăietoare a elementelor din beton precomprimat se face similar cu verificarea elementelor din beton armat (vezi şi Pascu 2008a). Singura diferenţă notabilă apare în cazul grinzilor simplu rezemate şi nefisurate din încovoiere (în zona în care se face verificarea, adică înspre reazeme). În acest caz se admite că, la limită, efortul principal de întindere este egal cu rezistenţa la întindere a betonului fctd şi de aici rezultă capacitatea grinzii la forţă tăietoare. În continuare este prezentat calculul la forţă tăietoar după SR EN 1992-1-1 (ASRO 2004b).

5.4.2 Determinarea forţei tăietoare de calcul VEd Forţa tăietoare de calcul VEd rezultă din analiza structurală, considerând combinaţia de încărcări pentru SLU de rezistenţă. În anumite cazuri însă, valoarea rezultată din analiza structurală poate fi modificată pentru a ţine cont de anumite particularităţi ale comportării betonului armat. Astfel, pentru elemente încărcate la partea superioară, la o distanţă av de la faţa reazemului (sau de la axul aparatului de reazem, dacă acesta este flexibil) astfel ca 0,5d ≤ av < 2d, contribuţia acestei încărcări la forţa tăietoare VEd poate fi multiplicată cu coeficientul de reducere β = av / 2d. Pentru av ≤ 0,5d , în calcul se ia av =0,5d. Reducerea

54


se poate aplica la verificarea lui VRd,c cu expresia (5.11), dar numai dacă armăturile longitudinale sunt ancorate la capacitate în dreptul reazemului. În cazul elementelor cu armătură transversală, forţa tăietoare de calcul se modifică cu efectul (favorabil sau defavorabil) al componentelor înclinate ale compresiunii din beton şi/sau întinderii din armătură (vezi figura 5.2).

Figura 5.2 - Componentele pe direcţia forţei tăietoare în cazul elementelor cu înălţime variabilă (SR EN 1992-1-1) În cazul elementelor din beton precomprimat cu armături cu traseu curb, componenta verticală a forţei de precomprimare Pmt⋅cosβ se scade din forţa tăietoare de calcul. 5.4.3 Limitarea superioară a forţei tăietoare Forţa tăietoare trebuie să respecte în orice secţiune relaţia: VEd ≤ 0,5 bw d ν fcd

(5.11)

În care: 

ν = 0,61 − 

f ck  250 

(fck în MPa)

Aceasta reprezintă de fapt o limitare a efortului de compresiune în biela comprimată, considerând situaţia când forţa din biela comprimată este maximă, adică unghiul de înclinare a bielei este de 45° (vezi şi relaţia 5.19). 5.4.4 Elemente fără armătură transversală Dacă: VEd ≤ VRd,c

(5.12)

nu sunt necesare armături transversale rezultate din calcul. Chiar dacă nu sunt necesare din calcul armături pentru forţă tăietoare, se prevede o armătură transversală minimă. Pentru grinzi, coeficientul minim de armare transversală

55


este ρ w ,min = (0,08 fck ) / f yk (ASRO 2004b). Această armătură minimă se poate omite la elemente cum ar fi plăcile (pline, nervurate sau chesonate) atunci când este posibilă redistribuirea transversală a încărcărilor. Armătura minimă poate, de asemenea, lipsi la grinzi secundare, care nu contribuie de manieră semnificativă la rezistenţa şi stabilitatea ansamblului structurii. VEd este forţa tăietoare de calcul în secţiunea considerată, provenind din încărcările exterioare aplicate şi din precomprimare (armaturi aderente sau nu). Dacă elementul este supus preponderent la încărcări uniform distribuite, nu este necesar să se facă verificări la forţă tăietoare la o distanţă de faţa reazemului mai mică decât d. VRd,c este capacitatea la forţă tăietoare a secţiunii de beton, şi se calculează de regulă cu o relaţie semiempirică (Model Code 1990 şi EN 1992-1-1):

[

1/ 3

V Rd , c = C Rd ,c k (100 ρ l f ck )

]

+ k1σ cp b w d

(5.13)

cu o valoare minimă V Rd ,c ≥ (v min + k1σ cp )bw d

(5.14)

expresii în care : fck este în MPa

k = 1+

ρl =

200 ≤ 2,0 cu d în mm d

Asl ≤ 0,02 bw d

Asl este aria secţiunii armăturilor întinse, prelungite pe o lungime ≥ (lbd + d) dincolo de secţiunea considerată bw este cea mai mică lăţime a secţiunii în zona întinsă, în mm

σcp = NEd/Ac < 0,2 fcd în MPa NEd este forţa axială acţionând pe secţiune, datorită încărcărilor exterioare aplicate şi/sau precomprimării (NEd>0 pentru compresiune). Influenţa deformaţiilor impuse asupra NE poate fi neglijată AC este aria secţiunii transversale a betonului, în mm2 CRd,c = 0,18/γc = 0,18/1,5 = 0,12 k1 = 0,15 vmin =0,035 k3/2 ⋅ fck1/2

În cazul grinzilor simplu rezemate şi nefisurate din încovoiere (în zona în care se face verificarea, adică înspre reazeme) se poate folosi în locul expresiei (5.13) relaţia următoare (ASRO 2004b):

56


V Rd ,c =

în care: I

I ⋅ bw ⋅ S

( f ctd )2 + α l ⋅ σ cp ⋅ f ctd

(5.15)

este momentul de inerţie;

bw

este lăţimea netă a secţiunii la nivelul centrului de greutate (se ia în considerare prezenţa canalelor pentru armături postîntinse);

S

este momentul static al suprafeţei situate deasupra axei ce trece prin centrul de greutate, în raport cu această axă (sau în raport cu axa faţă de care efortul principal este maxim);

αl

= l x / l pt 2 ≤ 1,0 pentru armături preîntinse; = 1,0 pentru alte tipuri de armături pt. beton precomprimat;

lx

este distanţa de la secţiunea considerată la originea lungimii de transmitere;

lpt2

este limita superioară a lungimii de transmitere (pentru calculul lungimii de transmitere vezi cap. 7);

σcp

este efortul de compresiune în beton la nivelul centrului de greutate sub forţa axială datorită încărcărilor şi/sau precomprimării (σcp = NEd /Ac în MPa, NEd > 0 la compresiune).

Notă: Relaţia (5.15) rezultă din considerarea unei stări plane de tensiune în beton şi a unui efort principal de întindere egal cu rezistenţa la întindere a betonului.

σ c1 = −

α l σ cp 2

 α l σ cp +   2

2

  + τ c2 

(5.1N)

şi

τc =

VRd ,c S bw I

(5.2N)

Dacă în expresia (5.1N) punem σc1 = fctd şi înlocuim τc cu expresia sa din (5.2N) şi apoi rezolvăm în VRd,c obţinem expresia (5.15). Verificarea la forţă tăietoare cu expresia (5.15) nu este necesară în secţiuni situate între reazem şi punctul obţinut prin intersecţia dintre axa centrului de greutate şi o dreaptă care pleacă de la faţa interioară a reazemului sub un unghi de 45°. 5.4.5 Elementele cu armătură transversală În cazul elementelor cu armătură transversală este utilizat modelul grinzii cu zăbrele cu biele de înclinare variabilă: grinda este modelată ca o grindă cu zăbrele plană, cu talpa comprimată formată de zona comprimată (din încovoiere) de beton, talpa întinsă de către armătura longitudinală întinsă, montanţii întinşi sunt etrierii iar inima grinzii formează biele înclinate din beton, comprimate (Figura 5.3).

57


a) Grindă de beton armat lungă, cu armăturile principale⋅

b) Model de grindă cu zăbrele pentru o grindă de beton armat lungă Figura 5.3 – Modelul grinzii cu zăbrele plastice În cazul cel mai frecvent, în care armătura de forţă taietoare este dispusă pependicular pe axa elementului, determinarea eforturilor în etrieri şi în biela comprimată se face în modul următor pe baza ecuaţiilor de echilibru scrise într-o secţiune normală şi una înclinată (FIB 1999): - din condiţia de echilibru pe direcţie verticală în secţiunea A-A (Fig. 5.4) rezultă: V = Aswσsw(zctgθ)/s -

din condiţia de echilibru pe direcţie verticală în secţiunea B-B rezultă: V = σcwbwzsinθcosθ

-

(5.16)

(5.17)

din ecuaţia de moment faţă de punctul O rezultă: M = Ftd⋅z – (V⋅z⋅cosθ)/2

În care:

σsw σcw

Asw s

θ z Ftd⋅

(5.18)

este efortul unitar în armătura transversală; este efortul unitar în biela de beton comprimată, paralel cu axa bielei; aria armăturii transversale; distanţa între armăturile transversale; unghiul de înclinare al bielei; distanţa între axul tăplii comprimate şi axul tălpii întinse (≅0,9 d); forţa de întindere din armătura longitudinală.

58


B

A

O V

z

0.5z V cotθ

z

Ftd A

s

B

z cotθ

Figura 5.4 – Forţele din armături şi beton într-o secţiune înclinată A-A şi într-o secţiune normală B-B, pe baza modelului de grindă cu zăbrele (FIB 1999) Dacă notăm cu fcd2 rezistenţa la compresiune a betonului din bielele înclinate, cu fywd rezistenţa de calcul a etrierilor, cu Ftd = Asfyd capacitatea armăturilor longitudinale şi cu VEd şi MEd forţa tăietoare de calcul, respectiv momentul încovoietor de calcul, condiţiile la SLU sunt următoarele:

σ cw =

VEd ≤ f cd 2 bw z sin θ cos θ

(5.19)

σ sw =

VEd s ≤ f ywd Asw zctgθ

(5.20)

Ftd ≥

M Ed V Ed ctgθ + z 2

(5.21)

Relaţia (5.19) reprezintă condiţia de rezistenţă pentru biela comprimată. Din această condiţie rezultă unghiul minim de înclinare al bielei:

sin θ cos θ ≥

VEd bw zf cd 2

sau

1

 2V



Ed  θ ≥ arcsin b zf 2  w cd 2 

(5.22)

Unghiul de înclinare al bielei este însă limitat, inferior la o valoare care să permită transferul de forţă tăietoare prin fisură şi superior la o valoare care să permită curgerea etrierilor. În SR EN 1992-1-1 aceste valori sunt 21,8°, respectiv 45°, adică: 1 ≤ ctgθ ≤ 2,5

(5.23)

Dacă din relaţia (5.22) rezultă ctgθ < 1, atunci trebuie redimensionată secţiunea de beton. Dacă rezultă o valoare ctgθ > 2,5, înseamnă că rezistenţa bielei comprimate nu este critică şi proiectantul poate alege arbitrar o valoare ctgθ ≤ 2,5. Se observă însă că valoarea ctgθ = 2,5 minimizează cantitatea de etrieri necesară, în schimb maximizează lungimea de ancorare necesară pentru armătura longitudinală V ctgθ (termenul ∆Ftd = Ed din relaţia (5.21)). 2

59


Relaţia (5.20) foloseşte la dimensionarea etrierilor. O dată unghiul θ ales, etrierii necesari sunt: Asw V Ed = (5.24) s f ywd zctgθ Etrierii trebuie să respecte şi condiţia de „non-fragilitate”, adică să nu se rupă în momentul fisurării betonului, şi de aceea se prevede un procent minim de armare ( vezi §9.2.2(5), relaţia 9.5N din SR EN 1992-1-1):

ρ w, min = (0,08 f ck ) / f yk

(5.25)

Din condiţia ctgθ = 1 şi relaţia (5.24) rezultă şi cantitatea maximă de armătură transversală. Asw,max f ywd ≤ 0,5 f cd 2 (5.26) bw s În cazul în care armăturile transversale sunt înclinate cu un unghi α faţă de axa grinzii, relaţiile (5.19) şi (5.20) se pot scrie sub forma:

(

VRd ,max = bw zf cd 2 (ctgθ + ctgα ) / 1 + ctg 2θ

)

(5.27)

şi

V Rd , s =

A sw z ⋅ f ywd (ctgθ + ctgα )sin α s

(5.28)

Iar condiţia de rezistenţă la SLU este: VEd ≤ min(Vrd,max, VRd,s)

(5.29)

60

Verificarea la stări limită de serviciu

6 Verificarea la stări limită de serviciu 6.1

Limitarea eforturilor unitare în beton şi armătură

SR EN 1992-1-1 prevede limitări ale eforturilor unitare de compresiune în beton şi limitări ale eforturilor unitare de întindere în armături, care nu sunt specifice numai elementelor de beton precomprimat. Aplicabile elementelor de beton precomprimat sunt limitările eforturilor de compresiune în beton: la 0,6fck sub încărcări totale de exploatare (combinaţia caracteristică), în medii de expunere XD, XF sau XS, şi la 0,45fck sub încărcări de lungă durată (combinaţia cvasipermanentă). Prima condiţie urmăreşte evitarea fisurării longitudinale, în timp ce cea de-a doua urmăreşte limitarea deformaţiilor de curgere lentă. De asemenea, trebuie limitat efortul de compresiune în beton, datorat forţei de precomprimare precum şi altor încărcări ce acţionează în timpul tensionării şi transferului: σc ≤ 0,6 fck(t)

(6.1)

în care fck(t) este rezistenţa caracteristică la compresiune a betonului la timpul t la care se aplică forţa de precomprimare. În elementele de beton precomprimat cu armătură preîntinsă, efortul în momentul transferului poate fi mărit până la valoarea 0,7·fck(t), dacă se poate demonstra prin încercări sau prin experienţă că fisurarea longitudinală este evitată (SR EN 1992-1-1). În standardul românesc STAS 10107/0-90, era prevăzută o verificare „de rezistenţă” la transfer. În codul american ACI 318-08 este prevăzută o verificare prin limitarea eforturilor unitare în beton. Astfel, eforturile de compresiune nu trebuie să depăşească 0,6fck(t0) – cu excepţia zonelor de capăt ale elementelor simplu rezemate, unde limitarea este 0,7fck(t0). Eforturile de întindere nu trebuie să depăşească 0,5 f ck (t 0 ) (≅ fctm(t0)) în zonele de capăt ale elementelor simplu rezemate sau 0,25 f ck (t 0 ) în alte poziţii pe grindă. Dacă efortul unitar de întindere depăşeşte limitele de mai sus, se poate prevedea armătură pentru preluarea eforturilor de întindere, cu condiţia ca efortul unitar în armătură să nu depăşească 0,6fyk sau 210 MPa. 6.2

Controlul fisurării

6.2.1 Cerinţe de performanţă Pentru a asigura integritatea betonului, adică pentru a evita deschiderea fisurilor, care poate afecta armăturile pretensionate pentru motive de coroziune, primele structuri de beton precomprimat erau dimensionate astfel încât să evite orice efort de întindere în beton. Mai mult decât atât, efortul unitar minim trebuia să fie de compresiune. Elementele care respectă această condiţie sunt numite cu precomprimare totală. Această condiţie, rezonabilă pentru construcţiile situate în medii agresive sau a căror etanşeitate era indispensabilă, nu se justifica pentru elementele adăpostite sau chiar

61


pentru construcţiile curente. În consecinţă, reglementările ulterioare au permis în anumite cazuri apariţia de eforturi unitare de întindere în beton şi chiar fisurarea, introducând noţiunea de precomprimare parţială. SR EN 1992-1-1 clasifică condiţiile impuse elementelor de beton precomprimat în funcţie de agresivitatea mediului : Tabelul 6.1 Valori recomandate pentru wmax (mm), cf. SR EN 1992-1-1 Elemente de beton armat şi elemente Elemente de beton precomprimat de beton precomprimat cu armături cu armături aderente Clase de neaderente expunere Combinaţia cvasipermanentă de Combinaţia frecventă de încărcări încărcări X0, XC1 0,4 0,2 XC2, XC3, XC4 0,2* 0,3 XD1, XD2, Decompresiune XS1, XS2, XS3 * Pentru aceste clase de expunere, în plus, se verifică decompresiunea sub combinaţia cvasipermanentă de încărcări. Verificarea de decompresiune în accepţiunea SR EN 1992-1-1 implică ca orice parte dintr-o armătură de precomprimare să se afle înglobată în cel puţin 25 mm de beton comprimat. Determinarea eforturilor unitare pentru efectuarea acestei verificări se face cu formulele din Rezistenţa Materialelor (vezi şi cap. 3). Verificarea deschiderii fisurilor în cazul armăturilor aderente se face ca la beton armat, cu câteva particularităţi, care ţin seama de aderenţa mai scăzută a armăturilor de precomprimare faţă de cea a armăturilor profilate pentru beton armat. 6.2.2 Armarea minimă Pentru controlul fisurării este necesară o cantitate minimă de armături aderente în zonele unde se prevede existenţa eforturilor de întindere. Această cantitate poate fi estimată plecând de la echilibrul între eforturile de întindere în beton imediat înainte de fisurare şi eforturile de întindere în armături la limita de curgere, sau la un efort inferior necesar pentru a limita deschiderea fisurilor, ca în expresia (6.2). În secţiunile elementelor precomprimate în care, sub încărcările din combinaţia caracteristică şi considerând valoarea caracteristică a precomprimării, betonul este integral comprimat sau eforturile de întindere nu depăşesc fct,eff, nu este necesară prevederea acestei cantităţi minime de armătură. As,minσs + ξ1Ap'∆σp = kc k fct,eff Act în care: As,min

(6.2)

este aria minimă de armături aderente nepretensionate în zona întinsă;

Act

este aria secţiunii transversale de beton întins. Zona de beton întins este partea secţiunii care rezultă întinsă din calcul chiar înainte de formarea primei fisuri;

σs

este valoarea absolută a efortului maxim admis în armătură imediat după apariţia fisurii. Poate fi considerat egal cu limita de elasticitate, fyk, a

62


armăturii. Poate fi totuşi adoptată o valoare inferioară pentru a limita deschiderea fisurilor, în funcţie de diametrul maxim sau de distanţa maximă a barelor; fct,eff

este valoarea medie a rezistenţei la întindere a betonului în momentul când se presupune că apar primele fisuri: fct,eff = fctm însă se poate adopta o valoare inferioară, (fctm(t)), dacă se prevede că fisurarea se produce înainte de 28 de zile;

k

este un coeficient care ţine seama de efectul eforturilor interne neuniforme autoechilibrate care duc la o reducere a eforturilor datorate deformaţiilor împiedicate : = 1,0 pentru inimile cu h ≤ 300 mm sau tălpile cu lăţime ≤ 300 mm = 0,65 pentru inimile cu h ≥ 800 mm sau tălpile cu lăţime ≥ 800 mm Valorile intermediare pot fi obţinute prin interpolare;

kc

este un coeficient care ţine seama de repartiţia eforturilor pe secţiune imediat înainte de fisurare precum şi de modificarea braţului de pârghie : La întindere pură : kc = 1,0 La încovoiere sau încovoiere cu forţă axială : - secţiuni rectangulare şi inimi ale chesoanelor şi secţiunilor în T :   σc k c = 0,4 ⋅ 1 −  ≤1  k1 ( h / h*) f ct ,eff 

- tălpi ale chesoanelor şi secţiunilor în T : Fcr k c = 0,9 ≥ 0,5 Act f ct ,eff Cu:

σc NEd

h* k1

Fcr

(6.3)

(6.4)

efort unitar mediu în beton în partea de secţiune considerată : N σ c = Ed (6.5) bh efort normal acţionând la starea limită de serviciu în partea de secţiune considerată (pozitiv pentru compresiune). NEd trebuie determinat considerând valorile caracteristice ale precomprimării şi ale efortului normal sub combinaţia de acţiuni corespunzătoare h* = h pentru h < 1,0 m h* = 1,0 m pentru h ≥ 1,0 m este un coeficient care ţine seama de efectele efortului normal asupra repartiţiei eforturilor unitare : k1 = 1,5 dacă NEd este un efort de compresiune 2h * k1 = dacă NEd este un efort de întindere 3h este valoarea absolută a efortului de întindere în talpă imediat înainte de fisurare, datorită momentului de fisurare calculat cu fct,eff .

Termenul ξ1Ap'∆σp din expresia (6.2) reprezintă contribuţia armăturilor pretensionate aderente. Ele se consideră active pe o rază de 150 mm din centrul armăturii.

63


Ap' este aria armăturilor pretensionate din aria întinsă efectivă Ac,eff (care este definită în fig. 6.1). ∆σp este creşterea de tensiune în armătură de la starea de decompresiune (adică de la momentul când în betonul adiacent tensiunea este nulă). ξ1 este raportul între aderenţa armăturii de precomprimare şi a armăturii pasive, ajustat cu raportul diametrelor:

ξ1 = ξ În care:

ξ φs φp

φs φp

(6.6)

este raportul între capacitatea de aderenţa a armăturii de precomprimare şi a armăturii pasive (vezi tabelul 6.2); este diametrul celei mai mari armături pasive; este diametrul echivalent al armăturii pretensionate : φP =1,6 √AP pentru pachete φP =1,75 φwire pentru monotoroane din 7 sârme φP =1,20 φwire pentru monotoroane din 3 sârme în care φwire este diametrul sârmei A - nivelul centrului de greutate al armăturilor B - aria secţiunii efective de beton în jurul armăturilor întinse

a) Grindă B - aria secţiunii efective de beton în jurul armăturilor întinse

b) Placă B - aria secţiunii efective de beton în jurul armăturilor întinse în partea superioară C - aria secţiunii efective de beton în jurul armăturilor întinse la partea inferioară c) Element supus la întindere

Figura 6.1 - Arii efective de beton în jurul armăturilor întinse (SR EN 1992-1-1)

64


Tabelul 6.2 - Raportul ξ între capacitatea de aderenţă a armăturii de precomprimare şi capacitatea de aderenţă a armăturii pasive (SR EN 1992-1-1) Armături pretensionate

ξ

Preîntinse

Postîntinse, aderente ≤ C50/60 ≥ C70/85 0,3 0,15

Bare şi sârme lise

nu se aplică

Toroane

0,6

0,5

0,25

Sârme amprentate

0,7

0,6

0,3

Bare nervurate

0,8

0,7

0,35

NOTĂ - Pentru valori intermediare între C50/60 şi C70/85 se poate interpola liniar.

6.2.3 Calculul deschiderii fisurilor Deschiderea minimă a fisurilor (valoarea caracteristică) se determină cu relaţia: wk = sr,max (εsm - εcm) în care

sr,max

εsm εcm

(6.7)

este distanţa maximă dintre fisuri; este deformaţia medie a armăturii, ţinând cont de participarea betonului întins; este deformaţia medie a betonului între fisuri.

Diferenţa între alungirea medie a armăturii şi cea a betonului, εsm - εcm, se calculează cu expresia : f σ s - k t ct,eff (1 + α e ρ eff )

ε sm − ε cm = în care:

σs αe ρ p,eff Ac,eff kt

ρ p,eff

Es

≥ 0,6

σs

Es

(6.8)

este efortul în armăturile întinse în secţiunea fisurată; este raportul Es/Ecm As + ξ1 A' p = Ac ,eff este aria secţiunii efective de beton din jurul armăturilor întinse, de înălţime hc,ef, în care hc,ef este cea mai mică din valorile următoare : 2,5(h-d), (h-x)/3 sau h/2 (vezi figura 6.1) este un factor care ţine seama de distribuţia eforturilor în beton între fisuri şi de durata încărcării: kt = 0,6 în cazul unei încărcări de scurtă durată kt = 0,4 în cazul unei încărcări de lungă durată

La calculul distanţei dintre fisuri se deosebesc două situaţii: când armăturile sunt relativ apropiate (distanţa între armături ≤ 5(c+φ/2)), respectiv când distanţa este mai mare decât această valoare.

65


În cel de-al doile caz sr,max se determină cu expresia: sr,max = 1,3 (h - x)

(6.9)

În primul caz sr,max se determină cu expresia: sr,max = k3c + k1k2k4φ /ρp,eff în care:

φ

c k1

k2

k3 k4

(6.10)

este diametrul barelor. este acoperirea cu beton a armăturilor longitudinale un coeficient care ţine seama de proprietăţile de aderenţă ale armăturilor : = 0,8 pentru barele cu înaltă aderenţă = 1,6 pentru armăturile având o suprafaţă lisă (de ex. cabluri de precomprimare) ; este un coeficient care ţine seama de distribuţia deformaţiilor : = 0,5 la încovoiere = 1,0 la întindere pură = (ε1 + ε2)/2ε1 la întindere excentrică în care ε1 este cea mai mare şi ε2 cea mai mică alungire relativă în fibra extremă, secţiunea fiind presupusă fisurată = 3,4 = 0,425

Când sunt utilizate mai multe diametre de bare în aceeaşi secţiune, în relaţia (6.10) trebuie considerat un diametru echivalent φeq, care se determină cu expresia:

φ eq

∑n φ = ∑n φ

2 i i

(6.11)

i i

în care ni este numărul de bare de diametru φi.

6.3

Controlul deformaţiilor

6.3.1 Verificarea la SLS de deformaţie Deformaţiile (săgeţile) elementelor încovoiate trebuie limitate din următoarele motive: - săgeata vizibilă, care poate deranja ocupanţii clădirii; - deteriorarea sau funcţionarea defectuasă a unor utilaje; - deteriorarea unor elemente nestructurale sau finisaje. SR EN 1992-1-1 recomandă, pentru cazurile curente, limitarea săgeţii la 1/250 din deschidere, dacă este vorba de aspect şi funcţionalitate, şi la 1/500 pentru săgeata care apare după execuţia structurii, dacă este vorba de elemente nestructurale ataşate. Săgeţile de mai sus se calculează sub combinaţia cuasipermanentă de încărcări.

66


Condiţia de verificare este următoarea : f ≤ fadm

sau

∆f ≤ ∆fadm

(6.12)

Valorile fadm (∆fadm) sunt aceleaşi cu cele pentru elemente de beton armat (vezi şi [4], capitolul 14, tabelul 14.1). Valorile f sunt calculate după regulile mecanicii structurilor, dar cu valori ale modulilor de rigiditate care ţin cont de comportarea specifică a betonului precomprimat. 6.3.2 Calculul modulului de rigiditate al secţiunii Calculul modulului de rigiditate se face diferit în funcţie de gradul de precomprimare al elementului. Pentru elementele cu precomprimare totală sau parţială limitată, se consideră secţiunea nefisurată. Valorile modulului de rigiditate se calculează ţinând cont de efectul curgerii lente:

E c ,eff =

E cm 1 + ϕ (∞, t 0 )

(6.13)

Pentru elementele cu precomprimare parţială moderată, care sunt fisurate sub încărcările din combinaţia cuasipermanentă, se procedează la fel ca la beton armat. Deformaţiile (curburi, rotiri sau chiar săgeţi), se determină prin interpolare între valorile mărimii respective în stadiul I ,si respectiv în stadiul II:

α = ζα II + (1 - ζ )α I

(6.14)

În expresia de mai sus:

α α I, α II ζ

este parametrul de deformaţie considerat, care poate fi de exemplu o deformaţie specifică, o curbură, o rotaţie sau săgeata; sunt valorile parametrului calculate în starea nefisurată şi respectiv în starea complet fisurată; este un coeficient de interpolare, care ţine seama de participarea betonului întins în secţiune, dat de expresia : σ ζ = 1 − β  sr  σs

β

  

2

(6.15)

ζ = 0 pentru secţiunile nefisurate; este un coeficient care ţine seama de influenţa duratei încărcării sau de repetarea încărcării: = 1,0 în cazul unei încărcări unice de scurtă durată = 0,5 în cazul unei încărcări de lungă durată sau al unei încărcări ciclice;

67


σs σsr

este efortul unitar în armăturile întinse, calculat presupunând secţiunea fisurată sub solicitările de exploatare; este efortul unitar în armăturile întinse, calculat presupunând secţiunea fisurată, în condiţiile de încărcare care provoacă prima fisură.

Efectul curgerii lente în cazul încărcărilor de lungă durată va fi luat în calcul prin utilizarea modulului efectiv Ec,eff calculat cu expresia (6.13). În expresia (6.15) raportul σsr/σs poate fi înlocuit cu Mcr/M în cazul încovoierii. Pentru estimarea momentului de fisurare se recomandă utilizarea valorii fctm pentru rezistenţa la întindere a betonului. Metoda cea mai riguroasă pentru determinarea săgeţii când se utilizează relaţia (6.14) consistă în calcularea curburii într-un număr mare de secţiuni de-a lungul elementului, apoi calcularea săgeţii prin integrare numerică. În majoritatea cazurilor însă, sunt suficiente numai două calcule ale săgeţii, în primul caz presupunând elementul nefisurat, în al doilea caz presupunând elementul complet fisurat, apoi interpolând cu expresia (6.14) pentru a obţine săgeata reală. În calcule trebuie ţinut seama şi de efectul contracţiei, atât atunci când elementul este fisurat, cât şi atunci când este nefisurat. Curbura datorată contracţiei se poate determina cu relaţia: 1 S = ε csα e rcs Ι

(6.16)

în care: 1/rcs este curbura datorată contracţiei; εcs este deformaţia liberă de contracţie; S este momentul static al secţiunii de armătură faţă de axa trecând prin centrul de greutate al secţiunii; I este momentul de inerţie al secţiunii; αe este coeficientul de echivalenţă efectiv, αe = Es / Ec,eff. S şi I se calculează pentru starea nefisurată şi pentru starea complet fisurată, estimarea curburii finale fiind efectuată cu ajutorul expresiei (6.13). Trebuie subliniat totuşi că săgeţile reale pot diferi de valorile estimate, mai ales dacă valorile momentelor care acţionează sunt apropiate de momentul de fisurare. Diferenţele vor depinde de incertitudinile privind proprietăţilor materialelor, istoria de încărcare şi nivelul de încărcare, modelul structurii, geometria elementului (Beeby A.W., §4.3.3(7) în FIB, 1999).

68

Calculul zonelor de transmitere

7 Calculul zonelor de transmitere 7.1

Aderenţa armăturilor preîntinse. Lungime de transfer şi lungime de ancorare

Eficienţa armăturilor preîntinse depinde de aderenţa între armătură şi beton. Când armăturile pretensionate sunt eliberate din standul de precomprimare şi tăiate la extremităţile elementului, aceste armături tind să-şi reia lungimea iniţială. Armătura pretensionată este atunci blocată de beton care o reţine şi o împiedică să revină la o tensiune nulă pe toată lungimea sa. Precomprimarea este transmisă la beton prin aderenţă. Prin cumulul forţelor de aderenţă întinderea din armătură şi compresiunea din beton cresc pe măsură ce ne îndepărtăm de extremităţile elementului. Aderenţa în zona de transfer este diferită de cea pe care o întâlnim în elementele de beton armat. La beton armat este vorba de o aderenţă prin tracţiune, în timp ce la beton precomprimat este vorba de o aderenţă prin compresiune. Într-adevăr, tendinţa de destindere a efortului din toron provoacă o umflare a diametrului toronului (prin efect Poisson), care măreşte frecarea cu betonul. Altminteri, au loc aceleaşi fenomene ca la beton armat : aderenţa chimică („adeziune”), frecare şi aderenţă mecanică (întrepătrunderea betonului cu nervurile existente pe suprafaţa armăturilor). Apσpm

lpt

σpm

a)

σpm

b) 0,25lpt

lpt

Figura 7.1 – Zona de transmitere : a) variaţia efortului unitar în toron ; b) efectul transferului brusc. Zona de la fiecare extremitate a unui element de beton precomprimat prin preîntindere unde se produce transferul precomprimării la beton este numită zonă de transmitere. Lungimea de transmitere (lpt) este distanţa dintre extremitatea elementului şi punctul unde este atins efortul unitar σpm0. Lungimea de transmitere (valoarea de referinţă) se calculează, după SR EN 1992-11, cu relaţia următoare: lpt = α1 α2 φ σpm0 / fbpt

(7.1)

69


în care:

α1

= 1,0 în cazul unui transfer progresiv; = 1,25 în cazul unui transfer brusc;

α2

= 0,25 în cazul armăturilor cu secţiune circulară; = 0,19 în cazul toroanelor cu 3 sau 7 sârme;

φ

este diametrul nominal al armăturii;

σpm0 este efortul unitar în armătură imediat după transfer; fbpt

este efortul unitar de aderenţă, considerat constant pe lpt.

Valoarea de calcul a lungimii de transmitere are valoarea cea mai defavorabilă dintre cele două valori de mai jos, în funcţie de situaţia de proiectare considerată : sau

lpt1 = 0,8 lpt

(7.2)

lpt2 = 1,2 lpt

(7.3)

Efortul unitar de aderenţă este dat de relaţia: fbpt = ηp1 η1 fctd(t) în care:

(7.4)

ηp1

este un coeficient care ţine seama de tipul de armătură şi de condiţiile de aderenţă în momentul transferului: ηp1 = 2,7 în cazul sârmelor nervurate; ηp1 = 3,2 în cazul toroanelor cu 3 sau 7 sârme;

η1

= 1,0 condiţii bune de aderenţă (definite în SR EN 1992-1-1 §8.4.2); = 0,7 în celelalte cazuri, exceptând cazul când o valoare superioară poate fi justificată prin condiţiile specifice de execuţie;

fctd(t)

este rezistenţa de calcul la întindere a betonului în momentul transferului ; fctd(t) = αct⋅0,7⋅fctm(t) / γc

Lungimea de ancorare (lbpd) este lungimea minimă de înglobare necesară pentru ca armătura să nu fie smulsă din beton înainte ca să-şi atingă rezistenţa. Lungimea de ancorare se calculează, după SR EN 1992-1-1, cu relaţia următoare: lbpd = lpt2 + α2 φ (σpd - σpm∞) / fbpd în care

lpt2

este valoarea superioară de calcul a lungimii de transmitere;

α2

a fost definit la calculul lungimii de transmitere;

σpd

este efortul unitar în armătură la SLU;

(7.5)

σpm∞ este precomprimarea, după deducerea tuturor pierderilor de tensiune; fbpd

este capacitatea de aderenţă a armăturii preîntinse.

70


Eforturile unitare în armătura de precomprimare în zona de ancorare sunt ilustrate în figura 7.2.

A – Efort unitar în armătura de precomprimare B - Distanţa de la capătul elementului

Figura 7.2 - Eforturile unitare în zona de ancorare a elementelor precomprimate prin preîntindere: (1) la transfer; (2) la starea limită ultimă. Capacitatea de aderenţă a armăturii preîntinse la starea limită ultimă se determină cu relaţia: fbpd = ηp2 η1 fctd în care:

ηp2

η1 7.2

(7.6)

este un coeficient care ţine seama de tipul de armătură şi de condiţiile de aderenţă în momentul transferului: ηp2 = 1,4 în cazul sârmelor nervurate; ηp2 = 1,2 în cazul toroanelor cu 3 sau 7 sârme; este definit la calculul lngimii de transmitere.

Zona de difuzie

Efortul în ancoraj (elemente cu armătură postîntinsă) introduce în elementul de beton o compresiune puternică pe o mică suprafaţă de beton. Acest efort este difuzat pe o suprafaţă mai mare (întreaga secţiune) în interiorul elementului. La capătul unei anumite distanţe ldisp numită lungime a zonei de difuzie, se admite că principiul lui de Saint-Venant se aplică şi că repartiţia eforturilor unitare normale este liniară. În figura 7.3 este dat exemplu cazul unui cablu centrat rectiliniu, perpendicular pe capătul elementului. Difuzia liniilor de forţă (Figura 7.3a) cuprinde : − o parte convexă care dă o compresiune radială în beton ; − apoi o parte concavă cu întinderi transversale.

71


P/2 a

P

h

a

h/4

α

P

P/2

h/4

kh σ = P/A

h

h

a)

b)

Figura 7.3 – Difuzia precomprimării : a) linii de forţă b) schema simplificată Difuzia liniilor de forţă (Figura 7.3a) cuprinde : − o parte convexă care dă o compresiune radială în beton ; − apoi o parte concavă cu întinderi transversale. Încercările au arătat că la lungimea zonei de regularizare a eforturilor (difuzie) este de ordinul de mărime a dimensiunii transversale a elementului, adică h în plan vertical : ldisp = h

(7.7)

Pentru a avea ordinul de mărime al efortului transversal întindere, se pot schematiza liniile de forţă prin două biele înclinate cu unghiul α şi un tirant (Figura 7.3b). Componenta verticală a efortului în bielă, care dă forţa de întindere Z este : P tgα 2 h/4−a/4 1  a tgα = = 1 −  kh 4k  h Z=

cu : de unde :

Z=

P  a 1 −  8k  h

(7.8)

Dacă se consideră k = 0,5, se obţine relaţia (6.58) din SR EN 1992-1-1, care dă forţa de întindere transversală în cazul unei discontinuităţi parţiale. În cazul precomprimării prin preîntinderea armăturilor transferul forţei de precomprimare către beton se face pe o anumită lungime. Se admite că zona de difuzie are o lungime mai mare decât lungimea de transmitere, şi anume : ldisp = l pt2 + d 2

(7.9)

72


A

- Repartiţie liniară a eforturilor unitare în secţiunea elementului

Figura 7.4 – Definirea lungimii de difuzie în cazul elementelor cu armătură preîntinsă (SR EN 1992-1-1)

b/2

b/2 b0

b/2

A0

b0

b/2

A0 A

A0 a0 a/2

A

a0

A a/2

a/2

a0 a/2

a/2

a/2

Figura 7.5 – Zona activă de calcul în cazul precomprimării excentrice sau a mai multor armături ancorate la capăt

Dacă forţa de precomprimare nu este centrică, sau dacă sunt mai multe ancoraje, zona activă este definită ca în Figura 7.5 (regula prismului simetric) şi relaţiile (7.7) şi (7.9) iau forma următoare : ldisp,i = a

cu

a>b

(7.10)

ldisp ,i = a 2 + l pt2

cu

a>b

(7.11)

În cazul unei precomprimări centrice creată de forţe normale repartizate neuniform, sau a unei precomprimări excentrice creată de forţe normale nerepartizate după o lege liniară, apare, pe lângă întinderile de despicare corespunzând fiecărui cablu, o forţă transversală de întindere “de echilibru general”, care corespunde eforturilor unitare transversale neechilibrate între cabluri (figura 7.6).

73


P

P h/4

h

P

P

P

h

3h/4

P

h

P

P h

Figura 7.6 – Difuzia precomprimării în cazul forţelor normale repartizate neuniform.

Calculul forţei de întindere se poate face fie plecând de la un studiu elastic al stării de eforturi, fie utilizând un model “bielă-tirant” potrivit. 7.3

Verificarea zonelor de transmitere

7.3.1 Verificarea la compresiune locală Betonul de sub ancoraje trebuie să fie verificat la forţa de compresiune exercitată de precomprimare pe suprafaţa Ac0 a ancorajului. Adică:

γunfavσp,maxAp ≤ FRdu

(7.12)

În cazul unei încărcări uniform distribuite pe o suprafaţă Ac0 (vezi figura 7.7), capacitatea la compresiune locală poate fi determinată conform SR EN 1992-1-1 cu relaţia: FRdu = Aco f cd Ac1 / Aco ≤ 3,0 f cd Aco în care:

Ac0 Ac1

(7.13)

este aria încărcată, este aria maximă de difuzie utilizată pentru calcul, şi are aceeaşi formă cu aria Ac0.

Aria de difuzie Ac1 utilizată pentru calculul capacităţii la compresiune locală FRdu trebuie sa satisfacă condiţiile următoare: - înălţimea de difuzie a încărcării în direcţia acesteia este aşa cum se indică în figura 7.7; - centrul ariei de difuzie Ac1 este situat pe linia de acţiune ce trece prin centrul ariei încărcate Ac0; - dacă secţiunea beton este supusă la mai multe forţe de compresiune, ariile de difuzie respective nu trebuie să se suprapună. Valoarea FRdu trebuie redusă dacă încărcarea nu este uniform distribuită pe suprafaţa Ac0 sau dacă există forţe tăietoare mari.

74


A linia de acţiune h ≥ (b2 - b1) şi ≥ (d2 - d1)

Figura 7.7 - Ipoteze de difuzie pentru calcul, în cazul presiunilor locale (SR EN 1992-1-1) Rezistenţa la compresiune poate fi mărită şi prin confinarea cu armătură transversală şi metoda de calcul din STAS 10107/0-90 recunoştea acest lucru, calculând capacitatea la compresiune sub ancoraj prin sumarea unui termen care ţine seama de efectul aplicării locale a forţei (asemămător cu relaţia 7.13 de mai sus) cu unul care ţinea cont de efectul de confinare dat de armătura tarnsversală. Chiar dacă nu se ţine seama prin calcul de efectul armăturii transversale, recomandăm dispunerea unor armături transversale imediat sub ancoraj după regulile de la §7.3.4 de mai jos. 7.3.2 Verificarea la fisurare în planul armăturilor Verificările de la acest subcapitol, ca şi cele de la subcapitolul următor, sunt cele din STAS 10107/0-90, cu adaptarea notaţiilor la cele din SR EN 1992-1-1. A fost adoptată această metodă pentru că, pe de o parte, SR EN 1992-1-1 nu detaliază subiectul, limitânduse la enunţarea unor principii generale şi, pe de altă parte, metoda din STAS 10107 a fost verificată în practica din România pe parcursul mai multor decenii. În zona de difuzie a eforturilor există în beton eforturi de întindere perpendiculare pe direcţia precomprimării, după cum s-a arătat la paragraful 7.2. Aceste eforturi pot fi calculate cu relaţia :

σ cy = K

1,1Z aldisp ,i

(7.14)

unde Z este forţa de întindere transversală, egală cu : − armături preîntinse :

 a  Z = 0,3 Apσ p , max 1 − 0  a 

(7.15a)

− armături postîntinse :

 a  Z = 0,3 Apσ pi 1 − 0  a 

(7.15b)

75


Coeficientul K depinde de procedeul de precomprimare şi poate fi luat, după STAS 10107 : − armături preîntinse : − armături postîntinse :

K = 1,5 K = 1,0

(7.16a) (7.16b)

Dacă efortul unitar nu respectă condiţia : − armături preîntinse :

σcy ≤ 1,5fctk

(7.17a)


σcy ≤ 2 fctk

(7.17b)

trebuie fie mărită secţiunea de beton, fie modificată dispunerea armăturilor active în zona de capăt. Dacă efortul unitar de întindere este situat între valorile : − armături preîntinse :

0,65 fctk ≤ σcy ≤ 1,5 fctk

(7.18a)

− armături postîntinse:

fctk ≤ σcy ≤ 2 fctk

(7.18b)

trebuie prevăzute armături transversale, a căror cantitate se calculează după cum urmează : − dacă armătura transversală este realizată cu plase sudate : n1⋅As1(0,8fyd) ≥ 1,1Z1

(7.19a)

n2⋅As2(0,8 fyd) ≥ 1,1Z2

(7.19b)

unde nj este numărul de plase dispuse pe lungimea ldisp,i şi j = 1 sau 2 semnifică direcţia în care este determinată forţa Z şi sunt dispuse armăturile Asj. − dacă armătura transversală este realizată o fretă circulară : Ass(0,8fyd) ≥ 1,1Z

sf a

(7.20)

Dacă efortul unitar de întindere este mai mic decât valorile: − armături preîntinse :

σcy ≤ 0,65 fctk

(7.21a)


σcy ≤ fctk

(7.21b)

este suficient să se prevadă armăturile minime (vezi § 7.3.4).

76


7.3.3 Verificarea la fisurare între armături Forţa de despicare este calculată conform STAS 10107/0-90 plecând de la forţa longitudinală neechilibrată într-o secţiune orizontală situată la distanţă y de marginea grinzii (vezi Figura 7.8). Relaţia de calcul ţine cont de efectul favorabil al componentei verticale a forţei de precomprimare : y  y 1 y Z 3 =  ∫ bσ c dy − ∑ Pi cos α i  − ∑ Pi sin α i 3 0 0  0

(7.22)

Armătura necesară este dată de relaţia : n2⋅As1(0,8fyd) ≥ 1,1Z3

(7.23a)

dar trebuie prevăzut cel puţin : n2⋅As1fyd ≥ 0,03ΣPι

(7.23b)

Notaţiile din relaţiile precedente sunt (vezi şi figura 7.8) : n2⋅As1 aria armăturilor dispuse în direcţia considerată (perpendiculr pe direcţia de fisurare probabilă), conţinute în primele 2-3 plase n2 situate la extremitatea elementului ; fyd

rezistenţa de calcul a armăturilor transversale, considerată ca pentru armături din OB 37 (adică 210 MPa), oricare ar fi oţelul utilizat. α y h Pi = Ap,iσpi,k

σb

Figura 7.5 – Secţiunea de calcul pentru despicarea între armături sau grupuri de armături pretensionate

77


7.3.4 Prevederi constructive pentru armarea zonelor de transmitere (STAS 10107/0-90) Elemente cu ancoraje la capăt (armături en postîntinse) Sub ancoraj trebuie prevăzute 2 sau 3 plase cu cel puţin 4 bare în fiecare direcţie, prima situată la 30 mm sub ancoraj, şi celelalte distanţate la 50 - 70 mm (figura 7.9a). Diametrul armăturilor trebuie să fie cuprins între 6 şi 14 mm şi distanţa dintre bare între 60 şi 100 mm. Plasele vor fi realizate fie din armături continue (figura 7.9b), fie prin sudare (figura 7.9c). Este interzis să se utilizeze plasele din bare independente legate cu sârmă. Trebuie prevăzute plase similare aşezate la distanţe de 100...150 mm pe toată lungimea de difuzie a cablului considerat. În locul plaselor, este posibil să se utilizeze o armătură armature elicoidală continuă de fretare (figura 7.9d), cu diametrul între 6 şi 10 mm şi cu un pas cuprins între 50 şi 80 mm. Dacă armătura de fretare nu acoperă toată secţiunea elementului, trebuie prevăzuţi etrieri închişi, cel puţin Φ8/150 mm. Aceşti etrieri vor fi prevăzuţi pe toată lungimea de difuzie ldisp.

Φ 6 ÷ 12 mm

a0 s = 60 ÷ 100 mm b0

30 mm

50 ÷ 70 mm b)

a)

ds

d)

c)

a0

s = 50 ÷ 80 mm

Figura 7.9 – Armarea zonelor de capăt : a) Armare cu plase ; b) Armături continue ; c) Plase sudate ; d) Armare cu fretă circulară.

78


Elemente cu armături preîntinse Pe primul sfert (începând de la extremitatea elementului) a lungimii de transmisie lpt trebuie prevăzute 3 până la 5 armături transversale suplimentare (etrieri închişi, plase sudate, fretă circulară). Dacă aceste armături nu acoperă toată secţiunea elementului, este necesar să se dispună etrieri închişi pe toată secţiunea elementului, cel puţin Φ6/ 150 mm. Pe toată zona de difuzie ldisp este obligatorie prevederea de etrieri închişi, cel puţin Φ6/ 150 mm.

Exemplu: Să se verifice zona de capăt a grinzii din figură care are patru ancoraje individuale cu diametrul plăcii de distribuţie de 100mm. Forţa de pretensionare din fiecare ancoraj este de 250kN. 400

200

Ø100

500 P=250kN

200

P=250kN

100

125

150

125

A. Verificarea zdrobirii betonului sub ancoraj Aplicând regulile ilustrate în figura 7.5, zona de difuzie a fiecărui ancoraj rezultă de dimensiuni 200x150 mm2. Rezultă:

Ac0 = π⋅1002/4 = 7854 mm2 Ac1 = π⋅1502/4 = 17671 mm2

Efortul unitar de compresiune sub ancoraj este:

γ p ,unfav P Ac 0

=

1.2 ⋅ 250 ⋅ 10 3 = 38.2 N / mm 2 2 π ⋅ 100 4

79


Rezistenţa la compresiune locală este:

f Rdu

f A  = ck  c1  γ c  Aco 

0.5

π  40  = ⋅ 1 .5  π  

⋅ 150 2 4 ⋅ 100 2 4

     

0.5

= 40.2 N / mm 2

B. Verificarea eforturilor de compresiune în biela comprimată Considerând un model bielă –tirant ca cel din figura 7.3(b), cu un unghi de difuzie 2β, cu arctgβ = 2/3 (vezi SR EN 1992-1-1 §8.10.3(5)), rezultă un efort unitar de compresiune în biela comprimată:

σc =

f  f 0.6 ⋅ 1.2 ⋅ 250 ⋅ 10 3 40    2 = 7.21 ≤ 0.61 − ck  ck = 0.61 − 40 = 13.44 N / mm o 250 γ 250 200 ⋅ 150 ⋅ cos 33.7     c

C. Determinarea armăturilor transversale.

As =

T 0.33 ⋅ 1.2 ⋅ 250 ⋅ 103 = = 330mm 2 fy 300

Se aleg trei etrieri Φ10 dispuşi la 50, 125 şi 200 de mm faţă de capătul grinzii.

80


8 Exemplu de proiectare Se cere să se verifice grinda precomprimată cu armătură preîntinsă din figura de mai jos. Grinda este realizată pe stand, din beton C40/50, cu tratament termic având ca armături preîntinse 13 toroane T13 cu aria de 98.7 mm2 din oţel 1570/1770 cu relaxare redusă, armături pasive longitudinale din BSt 500 şi transversale din OB 37. Deschiderea de calcul este de 21.70 m, iar traveea de 6 m. Cinci toroane au aderenţa împiedicată pe o lungime de 1.50m de la capetele grinzii.

2

2

1

1800 2200

SECTIUNE 2-2

SECTIUNE 1-1

7

4.5

21.5

60 21.5

60

15

30

22.5

6.5

7.5 15 7.5

30

I. PROPRIETĂŢI MATERIALE Beton

- În faza finală: fck = 40 N/mm2 fctm = 3.5 N/mm2 fcd = 26.67 N/mm2 fctk = 2.45 N/mm2 fctd = 1.63 N/mm2 Ecm = 35000 N/mm2 αc = 1.00E-05

15

119

145

87.5

22.5 15 22.5

30

145

200

1

81

Exemplu de proiectare

-

La transfer:

Timpul echivalent, ţinând seama de tratamentul termic (cu diagrama timptemperatura de la exemplul din capitolul 4): n

t T = ∑ e −( 4000 /[ 273+T ( ∆ti )]−13, 65) ⋅ ∆t i = e − ( 4000 /[ 273+ 45)]−13, 65) ⋅ 3 ⋅ 2 + e −( 4000 /[ 273+ 70 )]−13, 65) ⋅ 10 = i =1

= 2.92⋅6 + 7.3⋅10 = 90.5 ore = 3.77 zile

βcc(t)= e

1/ 2     28     s 1−        t   

=e

   28 1 / 2      0.20 1−    3.77   

= e −0.345 = 0.708

fcm(t) = βcc(t) fcm = 0.708⋅(40+8) = 34 MPa fctm(t) = (βcc(t))α⋅ fctm = 0.7081 ⋅3.5 = 2.48 MPa Ecm(t) = (fcm(t) / fcm)0,3 Ecm = (βcc(t))0,3 Ecm = (0.708)0.3⋅35000 = 31550 MPa αp = 195000/31550 = 6.18

Armaturi active St 1570/1770 Clasa care indică comportarea la relaxare:

2 (relaxare scăzută)

fpk = 1770 N/mm2 fp0.1k = 1570 N/mm2 fpd = 1570/1.15 = 1365 N/mm2 Ep = 195000 N/mm2 εuk ≥ 35 ‰

Armături pasive BSt 500S

fyk = 500 N/mm2 fyd = 435 N/mm2 Es = 200000 N/mm2

OB 37

fyk = 240 N/mm2 fyd = 210 N/mm2 Es = 210000 N/mm2 II. CARACTERISTICI GEOMETRICE

Secţiune 1 câmp -

ȋnălţime ȋnălţime medie talpă inferioară lăţime talpă inferioară ȋnălţime medie talpă superioară lăţime talpă superioară

h = 1450 mm hi = 257.5 mm bi = 300 mm hs = 250 mm bs = 600 mm

82


-

lăţime inimă Aria secţiunii Perimetrul sectiunii Distanţa de la CG la partea superioară a secţiunii Momentul de inerţie Raza de inerţie: Modulele de rezistenţă

b = 150 mm Ac = 368763 mm2 utot = 4200mm2 xc = 605 mm Ic = 8.771 ⋅ 1010 mm4 r2 = Ic/Ac = 237843 mm2 Wcs = 1.45 ⋅ 108 mm3 Wci = 1.038 ⋅ 108 mm3

Coeficienţi de echivalenţă în faza finală:

αp = Ep/Ec = 5.57 αs = Es/Ec = 5.71

Coeficienţi de echivalenţă în faza iniţială:

αp = Ep/Ec(t) = 6.18 αs = Es/Ec(t) = 6.34

Aria de armătură pretensionată: Ap =13 toroane x 98.7 mm2 = 1283 mm2 Distanţa de la latura inferioară a secţiunii la C.G. al armăturii pretensionate

ap = 140 mm

Aria de oţel nepretensionat de la partea superioară

4ø12 As=452mm2

Distanţa de la latura superioară a secţiunii la C.G. al armaturii

a'=35mm

Aria de beton ideală

Aci= 378493 mm2

Momentul de inerţie al secţiunii ideale

Ici=9.21·1010mm2

Raza de inerţie

r2 = Ici/Aci = 243363 mm2

Modulele de rezistenţă

Wcsi = 1.500 ⋅ 108 mm3 Wcii = 1.102 ⋅ 108 mm3

Excentricitatea forţei de precomprimare

zcp = 696 mm

Secţiune 2 - se consideră la capătul zonei de transmitere lpt1 = 630mm -

ȋ nălţime ȋnălţime medie talpă superioară lăţime talpă superioară lăţime inimă Aria secţiunii Distanţa de la CG la partea superioară a secţiunii Momentul de inerţie Raza de inerţie Modulele de rezistenţă

h = 1450 mm hs = 238 mm bs = 600 mm b = 300 mm Ac = 506552 mm2 xc = 640 mm Ic = 9.908 ⋅ 1010mm4 r2 = Ic/Ac = 195595 mm2 Wcs = 15.48 ⋅ 107mm3 Wci = 12.232⋅ 107mm3

83


Coeficienţi de echivalenţă: Coeficienţi de echivalenţă în faza iniţială:

αp = Ep/Ec = 5.57 αs = Es/Ec = 5.71 αp = Ep/Ec(t) = 6.18 αs = Es/Ec(t) = 6.34

-

Aria de armătură pretensionată: Ap =8 toroane x 98.7 mm2 = 789.6 mm2

-

Distanţa de la latura inferioară a secţiunii la C.G. al armăturii pretensionate

ap = 140 mm 4ø12 As=452mm2

Aria de oţel nepretensionat de la partea superioară

Distanţa de la latura superioară a secţiunii la C.G. al armaturii

a'=35mm

Aria de beton ideală

Aci= 516282 mm2

Momentul de inerţie al secţiunii ideale

Ici=10.325·1010mm2 r2 = Ici/Aci = 199988mm2

Raza de inerţie

Wcsi = 15.983 ⋅ 107 mm3 Wcii = 12.842 ⋅ 107 mm3

Modulele de rezistenţă Excentricitatea forţei de precomprimare

zcp = 664 mm

III ȊNCĂRCĂRI ŞI EFORTURI DE CALCUL INCARCARE

Valoare caracteristică

Învelitoare [kN/m2] spaţiu tehnic [kN/m2] Zapadă [kN/m2] Total [kN/m2] Greutate proprie grindă [kN/ml] Încărcare pe grindă (inclusiv gr. proprie)

ψ1

Valoare frecventă

Valoare de calcul

γF

0.6 0.5 1.5 2.6

1 1 0.4

0.6 0.5 0.6 1.7

1.35 1.35 1.5

0.81 0.675 2.25 3.735

9.22

1

9.22

1.35

12.45

24.82

19.42

34.86

Momente de calcul Moment (kNm) din: - greutate proprie - ȋncărcări frecvente - ȋncărcări caracteristice - ȋncărcări de calcul

Secţiunea 1 543 1143 1461 2052

Secţiunea 2 46.2 128.9 164.7 231.3

84


Forţa tăietoare de calcul: - la reazem: V = 378 kN - la distanţă d de reazem:

VE,d = 378 – 34.86⋅(1.45-0.14) = 332.5 kN

IV TENSIONAREA ARMĂTURILOR Tensiunea iniţială σp,max = min {0.8·fpk ; 0.9·fp0,1k} = min {0.8·1770 ; 0.9·1570} = min {1416 ; 1413} = 1413 MPa se alege σp,eff = 1350 MPa Pmax = Ap ⋅ σp,eff = 1283 ⋅ 1350 = 1732 kN Lunecarea armăturilor: se considera armaturile intinse doar de la un capăt - lunecare ∆l = 5 mm - lungime banc l = 100 m - pierdere de tensiune: ∆σsl = (∆l/l)⋅Ep = (5⋅/ 100000)195000 = 9.75 MPa ∆Psl = 1283⋅9.75 = 12.5 kN Tensiunea după blocare σp1 = 1350 – 9.75 = 1340.25 MPa P1 = 1732 – 12.5 = 1719.5 kN

µ

= σp1 /fpk = 1340.25/1770 = 0.76

Pierderi de tensiune între tensionare şi transfer (vezi exemplele de la capitolul 4) Tratament termic: - T0 = 20° - Tmax = 70° teq =

1,14(Tmax − 20 ) Tmax − 20

n

∑ (T i =1

)

( ∆t i ) − 20 ∆ti =

1,14( 70 − 20 ) [(45 − 20) ⋅ 3 + (70 − 20) ⋅10 + (45 − 20) ⋅ 3] 70 − 20

teq = 9103ore Pierdere datorită tratamentului termic: ∆σθ=0,5 Ep αc (Tmax-To)=0.5⋅195000⋅10-5⋅(70-20)=49 MPa ∆Pθ = Ap ∆σθ = 1283⋅49 = 62.55 kN Pierdere din relaxare în faza iniţială: ∆σ pr = σ pi 0,66ρ1000e

9,1µ

 t + t eq     1000   

0,75(1− µ )

10−5 =

85


= 1340.25 ⋅ 0.66 ⋅ 2.5 ⋅ e

9.1⋅0.76

 16 + 9103    1000 

0.75(1−0.76)

⋅10−5 = 32.5MPa

∆Ppr = 1283⋅32.5 = 41.7 kN Tensiunea înainte de transfer: σp2 = 1340.25 – 49 – 32.5 = 1258.75 MPa P2 = 1719.15 – 62.55 – 41.7 = 1615 kN ∆P2 = 1732 – 1615 = 117 kN (6.75%)

Pierderi

Pierderi de tensiune la transfer Pierderi din scurtarea elastică datorită acţiunii precomprimării şi mobilizării greutăţii proprii (secţiunea 1):

σ cp =

σ p2   Aci  α p +  z cp2   Ap 1 + 2   r  

       

−

Mg 1258.75 543 ⋅10 6 − = 8.1 MPa = I ci   9.21 ⋅1010  z cp  696 378493 6.18 +    696 2      12831 +  243363    

∆σel = αp⋅σcp=6.18⋅8.1=50 MPa ∆Pel = ∆σel ⋅ Ap = 50 ⋅1283 = 64 kN Deci:

σp3 = 1258.75 – 50 = 1208.75 MPa P3 = 1657 – 64 = 1551.4 kN

în secţiunea 2: P3,sect2 = σp3 ·Ap2= 1208.78·789.6 = 954.4 kN Pierderea în procente cumulată de la tensionarea armăturii: 10.44 % V. EFORTURI ÎN BETON IN FAZA INIŢIALA Secţiunea 1 Eforturi unitare în beton în fibra superioară:

σ cs = −

P3 P3 z cp − M gp 1551.4 ⋅10 3 1551.4 ⋅ 10 3 ⋅ 696 − 543 ⋅10 6 + =− + = −0.52 MPa Aci Wcsi 378493 1.5 ⋅ 10 8

Eforturi unitare în beton în fibra inferioară:

86


P3 P3 z cp − M gp 1551.4 ⋅ 10 3 1551.4 ⋅ 10 3 ⋅ 696 − 543 ⋅10 6 − =− − = −8.97 MPa Aci Wcii 378493 1.102 ⋅ 10 8

σ ci = −

Secţiunea 2 Calculul lungimii de transmitere: fbpt = ηp1 η1 fctd(t) = 3.2⋅1⋅1.16 = 3.7 MPa lpt = α1 α2 φ σpm0 / fbpt = 1⋅0.19⋅12.7⋅1208.75/3.7= 788 mm lpt1 = 0.8 lpt =0.8⋅788 = 630 mm lpt2 = 1.2 lpt =1.2⋅788 = 945 mm Eforturi unitare în beton în fibra superioară:

σ cs = −

P3,sec t 2 Aci

+

P3,sec t 2 z cp − M gp Wcsi

954.4 ⋅ 10 3 954.4 ⋅10 3 ⋅ 664 − 46.2 ⋅10 6 =− + = 1.83MPa 516282 15.983 ⋅10 7

Se observă că în fibra superioară apar eforturi de întindere dar acestea sunt mai mici decât fctm(t) Eforturi unitare în beton în fibra inferioară: P z − M gp P 954.4 ⋅10 3 954.4 ⋅10 3 ⋅ 664 − 46.2 ⋅ 10 6 σ ci = − 3,sec t 2 − 3,sec t 2 cp =− − = −6.42 MPa Aci Wcii 516282 12.842 ⋅10 7 Se observă că în fibra inferioară apar eforturi de compresiune datorită forţei de precomprimare VI. EFORTURI ÎN ARMĂTURĂ ÎN FAZA FINALĂ a. Efectul contracţiei betonului Contracţia totală este: εcs = εcd + εca=0.000335+0.000075=0.00041 εcd este deformaţia datorită contracţiei la uscare şi se determină cu relaţia: εcd(t) = βds(t, ts)⋅ kh⋅ εcd,0 = 0.996⋅0.886⋅0.00038 = 0.000335 în care: εcd,0

= 0.038% prin interpolare în tabelul 3.2 din SR EN 1992-1-1, considerând RH% = 60%

kh = 0.886 prin interpolare în tabelul 3.3 din SR EN 1992-1-1 cu: h0 = 2Ac/u = 2⋅368763/4200 = 176 mm

87


unde u = utot deoarece se considera tot perimetrul expus la uscare.

β ds (t , t s ) =

(t − t s ) (t − t s ) + 0,04

3 0

h

=

(20805 − 2) (20805 − 2) + 0,04

176 3

= 0.996

unde: t = 365x57=20805 zile - este vârsta betonului la momentul considerat; ts = 2 zile - este vârsta betonului (zile) la începutul contracţiei de uscare (sau umflare). În mod normal, aceasta corespunde sfârşitului tratamentului;

εca este deformaţia datorată contracţiei endogene şi se determină cu relaţia: εca (t) = βas(t) εca(∞) = 0.000075 εca(∞) = 2,5 (fck – 10) 10-6 =2,5 (40 – 10) 10-6= 0.000075 βas(t) =1 – exp (– 0,2⋅208050,5) ≅ 1 b. Efectul relaxării armăturii Pentru calculul ∆σpr se consideră că efortul unitar în armatură datorită forţei de precomprimare iniţiale şi încărcărilor frecvente este 1230 MPa. Valoarea variaţiei efortului în armatura datorită relaxării sub forţa de precomprimare se calculează în funcţie de clasa de relaxare a oţelului şi intervalul de timp standard (57 ani) la care se adaugă efectul tratamentului termic (vezi paragraful 4.5.2.5). ∆σpr = 62 MPa

c. Efectul curgerii lente Determinarea coeficientul de fluaj/curgere lentă la timpul t, pentru o încărcare aplicată la timpul t0, φ(t,t0 ), se face conform anexei B din SR EN 1992-1-1. Intervalul de timp la care se calculeaza - 500000h (aprox 57 ani) cf 3.3.2.(8) la care se adauga efectul tratamentului termic. t=5000+9103=509103h ϕ(t,t0) = ϕ0 · βc(t,t0) = 2.867⋅0.993 = 2.85 ϕ0 = ϕRH · β(fcm) · β(t0) = 1.476⋅2.425⋅0.80 = 2.867



ϕ RH = 1 + 

 1 − RH / 100  1 − 0.6  ⋅ α 1  ⋅ α 2 = 1 + ⋅ 0.802 ⋅ 0.939 = 1.476 3 0.1 ⋅ 3 h0  0.1 ⋅ 176  

88


RH=60% - umiditatea relativă a mediului

 35  α1 =    f cm 

0,7

 35  α2 =    f cm   35  α3 =    f cm 

β ( f cm ) = β (t 0 ) =

0, 2

0, 5

 35  =  40 + 8 

0.7

= 0.802

 35  =  40 + 8 

0.2

 35  =  40 + 8 

0.5

16.8 f cm

=

= 0.939

= 0.854

16.8 40 + 8

=2.425

1 1 = =0.80 0 , 20 (0,1 + t 0 ) (0,1 + 2 0, 20 )

 (t − t 0 )  β c (t , t 0 ) =    (β H + t − t0 )  unde

0,3

  (20805 − 2) =   (477.6 + 20805 − 2) 

0,3

= 0.993

t = 20805 zile este vârsta betonului la momentul considerat, în zile t0 =2 zile este vârsta betonului la momentul încărcării, în zile βH = 1.5[1 + (0.012⋅ RH)18]h0 + 250⋅α3 = 1.5[1 + (0.012⋅60)18]⋅176 + 250⋅0.854 = 477.6

σ c,QP - efortul in beton în vecinătatea armăturilor sub acţiunea greutăţii proprii şi a forţei de precomprimare iniţiale

σ cs

2 P3 P3 z cp − M gp z cp 1551.4 ⋅10 3 1551.4 ⋅10 3 ⋅ 696 2 − 543 ⋅10 6 ⋅ 696 =− + =− − = 8.16 MPa Aci I ci 378493 9.21 ⋅1010

Deci

ε cs E p + 0.8∆σ pr + ∆σ p , c + s + r = 1+

Ep E cm

Ep E cm

⋅ ϕ (t , t 0 ) ⋅ σ c ,QP

Ap   A 1 + c ⋅ z cp2  ⋅ [1 + 0,8ϕ (t , t 0 )] ⋅ Ac  Ic 

=

195000 ⋅ 2.85 ⋅ 8.16 35000 = = 218.57 MPa 195000 1283  378493 2 1+ ⋅ ⋅ 696  ⋅ [1 + 0,8 ⋅ 2.85] 1 + 35000 378493  9.21 ⋅1010  0.00041 ⋅ 195000 + 0.8 ⋅ 62 +

∆Pc + s + r = ∆σ c + s + r ⋅ A p = 218.57 ⋅1283 = 280.42kN

89


Efortul în armătura precomprimată în faza finală: Pm ,∞ = P3 − ∆Pc + s + r = 1551.4 − 280.42 = 1270.9kN σpm,∞ = 1270.9⋅103/1283 = 990.6 MPa Pierderile totale sunt de 25.7% . Eforturi de calcul în armătură în faza finală pentru verificari la SLU fav Pd fav ,∞ = γ p ⋅ Pm ,∞ = 1 ⋅ 1270 .9 = 1270 .9 kN

Pdunfav = γ unfav ⋅ Pm ,∞ = 1.2 ⋅1270 .9 = 1525 .13kN ,∞ p

Eforturi de calcul în armătură în faza finală pentru verificari la SLS Pk,sup = rsup Pm,∞ = 1.05·1270.9 = 1334.5 kN Pk,inf = rinf Pm,∞ = 0.95·1270.9 = 1207.4 kN VII. VERIFICAREA LA SLS PT. LIMITAREA EFORTURILOR UNITARE Verificarea eforturilor de compresiune la transfer: Secţiunea 1

σ ci = −

P3 P3 z cp − M gp 1551.4 ⋅ 10 3 1551.4 ⋅ 10 3 ⋅ 696 − 543 ⋅ 10 6 − =− − = Aci Wcii 378493 1.102 ⋅ 10 8 = - 8.97 MPa ≤ 0.6fck(t) = 0.6⋅(34-8) = 15.6 MPa

Secţiunea 2

σ ci = −

P3,sec t 2

P3,sec t 2 z cp − M gp

954.4 ⋅ 10 3 954.4 ⋅ 10 3 ⋅ 664 − 46.2 ⋅10 6 − = Aci Wcii 516282 12.842 ⋅ 10 7 = -6.42 MPa ≤ 0.6fck = 0.6⋅(34-8) = 15.6 MPa −

=−

Verificarea eforturilor unitare de compresiune sub încărcări caracteristice:

Secţiunea 1 Eforturi la partea inferioară: σ ci = −

Pk ,sup Aci

−

Pk ,sup z cp − M car Wcii

=−

1334.5 ⋅ 10 3 1334.5 ⋅ 10 3 ⋅ 696 − 1461 ⋅ 10 6 − = 378493 1.102 ⋅ 10 8

= 1.3 MPa ≤ 0.6fck = 0.6⋅40 = 24 MPa

90


Eforturi la partea superioară: σ cs = −

Pk ,sup Aci

+

Pk ,sup z cp − M car Wcsi

=−

1334.5 ⋅ 10 3 1334.5 ⋅ 10 3 ⋅ 696 − 1461 ⋅ 10 6 + = 378493 1.5 ⋅ 10 8

=- 7.07 MPa ≤ 0.6fck = 0.6⋅40 = 24 MPa Secţiunea 2 Eforturi la partea inferioară: σ ci = −

Pk ,sup,sec t 2 Aci

−

Pk ,sup,sec t 2 z cp − M car Wcii

=−

821.2 ⋅ 10 3 821.2 ⋅ 10 3 ⋅ 664 − 164.7 ⋅ 10 6 − = 516282 1.284 ⋅ 10 8

= -4.55 MPa ≤ 0.6fck = 0.6⋅40 = 24 MPa Eforturi la partea superioară: σ cs = −

Pk ,sup,sec t 2 Aci

+

Pk ,sup,sec t 2 z cp − M car Wcsi

=−

821.2 ⋅ 10 3 821.2 ⋅ 10 3 ⋅ 664 − 164.7 ⋅ 10 6 + = 516282 1.598 ⋅ 10 8

= 0.79 MPa ≤ 0.6fck = 0.6⋅40 = 24 MPa Verificarea condiţiei de liniaritate a fenomenului de curgere lentă Secţiunea 1 σ cs = −

Pk ,sup Aci

+

Pk ,sup z cp − M frecv Wcsi

=−

1334.5 ⋅ 10 3 1334.5 ⋅ 10 3 ⋅ 696 − 1143 ⋅ 10 6 + = 378493 1.5 ⋅ 10 8

= -4.95 MPa ≤ 0.45fck = 0.45⋅40 = 18 MPa Secţiunea 2 P P z − M frecv 821.2 ⋅103 821.2 ⋅103 ⋅ 664 − 128.9 ⋅10 6 σ ci = − k ,sup,sec t 2 − k ,sup,sect 2 cp =− − = Aci Wcii 516282 1.284 ⋅ 108 = -4.83 MPa ≤ 0.45fck = 0.45⋅40 = 18 MPa Limitarea efortului în armăturile pretensionate: Cf. pct. 5.10.3 efortul unitar în armatură după transfer trebuie să fie:

σpm0 = 1208.75 ≤ min{k 7 f pk ; k8 f p 0.1k } = min{0.75 ⋅1770;0.8 ⋅1570} = 1256 MPa cf. pct. 7.2.(5) sub încarcari caracteristice efortul in armatura trebuie sa fie

σ pm (∞) = 1147.6 ≤ 0.75 f pk = 0.75 ⋅1770 = 1327.5 MPa


91

VIII. VERIFICAREA LA SLS DE FISURARE Verificarea se face conform punctului 7.3 din SR EN 1992-1 Conform tabelului 4.1, clasa de expunere este XC1. Pentru această clasă de expunere, din tabelului 7.1N, deschiderea admisibilă a fisurilor sub încărcări frecvente este 0.2 mm. Pentru secţiunea centrală se verifică starea de eforturi din beton sub încărcările frecvente: σ

ci

=−

P P z −M 1334.5 ⋅ 10 3 1334.5 ⋅ 10 3 ⋅ 696 − 1143 ⋅ 10 6 k , sup k , sup cp frecv − =− − = 8 378493 A W 1.102 ⋅ 10 ci cii

= - 1.58 MPa

Se observă că sub gruparea de încărcări frecvente secţiunea de beton este integral comprimată, elementul nefiind fisurat. IX. VERIFICAREA LA SLS DE DEFORMATII Verificarea se face conform punctului 7.4 din SR EN 1992-1 Săgeata admisibilă:

y adm =

L 21700 = = 86.8mm 250 250

După cum s-a aratat la pct VIII, sub încărcări frecvente elementul nu este fisurat. Se corectează modulul de elasticitate al betonului in funcţie de curgerea lentă:

E c ,eff =

E cm 35000 = = 9096.8MPa 1 + ϕ (∞, t 0 ) 1 + 2.85

Valoarea contrasăgeţii datorate precomprimării:

yp =

Pk ,inf ⋅ zcp ⋅ L2 8 Ec ,eff I i

=

1207.4 ⋅ 696 ⋅ (21.7 ⋅103 ) 2 = 59.03mm 8 ⋅ 9096.8 ⋅ 9.21⋅1010

Valoarea săgeţii din încărcări: yext

4 5 p frecv ⋅ L 5 ⋅ 19.42 ⋅ (21.7 ⋅ 10 3 ) 4 = = = 66.9mm 384 E I i 384 ⋅ 9096.8 ⋅ 9.21 ⋅ 1010 c , eff

Valoarea totală a săgeţii: ytot = y ext − y p = 66.9 − 59.03 = 7.87 mm ≤ y adm = 86.8mm

92


X. VERIFICAREA LA SLU DE ÎNCOVOIERE Valoarea de calcul a rezistenţei armăturii: fpd = fp0,1k/γs =1570/1.15=1365MPa Forţa de întindere în armătura pretensionată Tp = Ap ⋅ fpd =1283·1365=1751.3 kN Forţa de compresiune din armătura nepretensionată de la partea superioară: Cs = A's ⋅ fyd =452·435=196.62 kN Înălţimea zonei comprimate: x = (Tp-Cs )/(0,8⋅fcd⋅b) =(1751.3-196.52)·103/(0.8·26.67·600) = 121.5 mm Momentul capabil este: MRd

= Tp·(d-0.8x/2) – Cs (0.8x/2-a’) = 1751.3·103·(1310-0.4⋅121.5) – 196.52⋅1010(0.4⋅121.5-35) = = 2206.9 kNm > MEd=2052 kNm

XI. VERIFICAREA LA SLU LA FORŢĂ TĂIETOARE Verificarea la forţă tăietoare se face la o distanţă d de reazem Se verifică dacă elementul este fisurat în secţiunea de calcul

σ ci = −

Pdfav ,∞ Aci

−

Pdfav ,∞ z cp − M calc Wcii

=−

1270.9 ⋅10 3 1270.9 ⋅ 10 3 ⋅ 664 − 479 ⋅ 10 6 − = −5.30 MPa 516282 12.842 ⋅ 10 7

Elementul nu este fisurat. Conform paragrafului 6.2.2.(2) din SR EN 1992-1-1 capacitatea la forţă tăietoare se calculează cu relaţia de mai jos: VRD ,C =

I ⋅ bw S

( f ctd )2 + α1 ⋅ σ cp ⋅ f ctd

=

10.32 ⋅1010 ⋅ 300 1.67 2 + 0.97 ⋅ 2.46 ⋅1.67 = 804.79kN 98639400

VRD ,C = 804.79kN > VE ,d = 332.5kN unde:

α1 = l x / l pt 2 = 1310 / 1350 = 0.9

σ cp = N d ,∞ / Ac = 1207.9 ⋅103 / 516282 = 2.46MPa

93


S - momentul static al suprafeţei situate deasupra axei ce trece prin centrul de greutate, în raport cu acea axa. sup S = btalpa sup htalpa sup ytalpa sup + binima hinima ysup inima = 600 ⋅ 238 ⋅ 521 + 300 ⋅ 402 ⋅ 201 = 3 = 98639400 mm

SECT 1

SECT 2

XII. DIAGRAMA DE EFORTURI DE CALCUL SI EFORTURI CAPABILE

46.2 kNm 128.9 kNm 164.9 kNm 231.3 kNm

MGR. PROP. 543 kNm

MFRECV. lpt2

MCAP 8 TOROANE 1358.1 kNm

1.50m

lpt2

MCAR.

1143 kNm 1461 kNm

MCALCUL MCAP 13 TOROANE

2052 kNm 2206.9 kNm

94

ANEXA 1: Simboluri şi notaţii

Principalele simboluri şi notaţii preluate din EN 1992-1-1 şi folosite în această lucrare sunt date în lista următoare: Ac

Aria secţiunii transversale de beton

Ap

Aria secţiunii armăturii sau armăturilor pretensionate

Ec,eff

Modul de elasticitate efectiv al betonului

Ecd

Valoarea de calcul a modulului de elasticitate al betonului

Ecm

Modul de elasticitate secant al betonului

Ep

Valoarea de calcul a modulului de elasticitate al armăturilor pretensionate

Es

Valoarea de calcul a modulului de elasticitate al armăturilor pentru beton armat

P

Forţa de precomprimare

Pmax = Ap⋅σp,max

Valoarea maximă a forţei de precomprimare aplicată armăturii

Pm0(x) = Pmax - ∆Pi(x)

Valoarea forţei de precomprimare iniţiale la timpul t = t0, imediat după întindere sau transfer

Pm,t(x) = Pm0(x) - ∆Pc+s+r(x) Valoarea medie a forţei de precomprimare la momentul t > t0 Pd,t(x) = γP· Pm,t(x)

Valoarea de calcul a forţei de precomprimare

Pk,sup = rsup Pm,t (x)

Valoarea caracteristică superioară a precomprimării

Pk,inf = rinf Pm,t(x)

Valoarea caracteristică inferioară a precomprimării

∆Pel

Pierderi datorate deformării elastice a betonului

∆Pr

Pierderi de precomprimare datorate relaxării pe termen scurt

∆Pµ(x)

Pierderi de precomprimare datorate au frecării

∆Psl

Pierderi de precomprimare datorate lunecării în ancoraje

∆Pc+s+r(x)

Pierderi de precomprimare dependente de timp (din fluaj, contracţie şi relaxare)

fpk

Rezistenţa caracteristică la întindere a armăturilor pretensionate

fp0,1k

Valoarea caracteristică a limitei de elasticitate convenţionale la 0,1% a armăturilor pretensionate

zcp

distanţa dintre centrul de greutate al secţiunii de beton şi armăturile de precomprimare

γP

Coeficient parţial pentru acţiunile asociate precomprimării

σcp

Efort unitar de compresiune în beton datorită unei forţe axiale sau precomprimării

µ

coeficientul de frecare între armătură şi canal (teacă)

k

deviaţia unghiulară accidentală pentru armături interioare (pe unitate de lungime)

BIBLIOGRAFIE

95

ACI (2008), Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318M-08) and Commentary, American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, 473 p. ASRO (1990), STAS 10107/0-90: Calculul şi alcătuirea elementelor structurale din beton, beton armat şi beton precomprimat, Bucureşti. ASRO (2004a), SR EN 1990, Bazele proiectarii structurilor, Bucureşti. ASRO (2004b), SR EN 1992-1-1:2004 Eurocod 2: Proiectarea structurilor de beton. Partea 1-1: Reguli generale şi reguli pentru clădiri, Bucureşti. Calgaro, J.-A., Cortade, J. eds., (2008), Applications de l’Eurocode 2 Calcul des bâtiments en béton. Presses de l’École Nationale des Ponts et Chaussées, Paris, 309 p. Chaussin, R. (1990), Béton précontraint. Techniques de l’ingénieur, Paris, 78 p. Constantinescu, D. (1977), Curs de beton precomprimat. I.C.B., Bucureşti, 78 p. Crainic, L., Enache, E. (2007), Prestressed Concrete. Ed. Matrixrom, Bucureşti, 122p. FIB (1999), Structural Concrete – Textbook on Behaviour, Design and Performance, Vol 1,2&3, FIB, Lausanne, Elveţia. Guyon, Y. (1953), Béton précontraint. Étude théorique et expérimentale. Ed. Eyrolles, Paris, 703 p. Le Delliou, P. (2003), Béton précontraint aux eurocodes. ENTPE – Presses universitaires de Lyon, Lyon, 255 p. Martin, L.H., Purkiss, J.A. (2006), Concrete Design to EN 1992, 2nd edition, Elsevier, Amsterdam, 375 p. Mosley, B., Bungey, J., Hulse, R. (2007), Reinforced Conrete Design to Eurocode 2, 6th ed., Palgrave MacMillan, New York, 408 p. Nawy, E.G. (2000), Prestressed Concrete : a Fundamental Approach. 3rd ed., Prentice Hall International, London, 938 p. Nilson, A.H. (1987), Design of prestressed concrete. 2nd ed. John Wiley & sons, New York, 592 p. Pascu, R. (2008a), Comportarea şi calculul elementelor din beton armat. Ed. Conspress, Bucureşti, 281 p. Pascu, R. (2008b), Beton precomprimat – bazele calcului. Ed. Conspress, Bucureşti, 65 p. Picard, A. (1983) Béton précontraint. Tome I – Principes fondamentaux et dimensionnement. Tome II – Analyse. Ed. Gaëtan Morin, Chicotimi, Quebec, Canada. Postelnicu, T., Gabor, M. (1997), Beton armat si precomprimat. Note de curs. Partea a III-a. UTCB, Bucureşti, 99 p. Tertea, I. (1981), Betonul precomprimat. Ed. Tehnica, Bucureşti, 418 p. Thonier, H. (1992), Le béton précontraint aux états-limites, 2e édition. Presses de l’École Nationale des Ponts et Chaussées, Paris, 573 p.

96

Situri internet: Freyssinet Elveţia: www.freyssinet.ch BBR VT International : www.bbrnetwork.com Dywidag-Systems International: www.dywidag-systems.com VSL International: www.vsl.com

ANEXA 1: Simboluri şi notaţii

Beton Precomprimat,Calcul Dupa Ec2

Recommend Documents