EC2-példatár

BUDAPESTI MŰ MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÉPÍTŐ ÉPÍTŐMÉRNÖKI KAR

HIDAK ÉS SZERKEZETEK TANSZÉKE

PÉLDATÁR a Vasbetonszerkezetek I. című tantárgyhoz

Budapest, 2007

1

Szerzők:

Friedman Noémi Huszár Zsolt Kiss Rita Klinka Katalin Kovács Tamás Völgyi István

Kézirat lezárva:

2007. december 15.

ISBN 978-963-420-903-4 Kiadja: BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke

2

Szerzők:

Friedman Noémi Huszár Zsolt Kiss Rita Klinka Katalin Kovács Tamás Völgyi István

Kézirat lezárva:

2007. december 15.

ISBN 978-963-420-903-4 Kiadja: BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke

2

Tartalomjegyzék

Oldalszám Gyakorlatok anyaga

1.

Repedésmentes és berepedt vasbetontartók

4

2.

Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése

10

3.

Hajlított vasbeton keresztmetszet tervezése

24

4.

Külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet

32

5.

Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata

43

6.

Gerendák komplex vizsgálata, határnyomaték és határ-

57

nyíróer ő számítása 7.

Használhatósági határállapotok

75

Kiegészítő anyagok

Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz

84

Kiegészítő anyag a II. gyakorlathoz

95

Kiegészítő anyag a VII. Gyakorlathoz

104

Vasbetonszerkezetek I.

I. gyakorlat I. GYAKORLAT

Repedésmentes és berepedt vasbeton tartók

Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István Némi elméleti összefoglaló :

A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére mer ő leges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére mer ő legesek maradnak és - a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik Az I. feszültségi állapotot a berepedetlen vasbeto n keresztmetszetre értelmezzük, a beton és a betonacél vi selkedését rugalmasnak feltételezzük, az I. feszültség állapot határát a beton megrepedése jelenti. A II. feszültségi állapoto t a berepedt vasbeton keresztmetszetre értelmezzük, a beton és a betonacélo k viselkedését rugalmasnak feltételezzük, a II. feszültség állapot határát vagy beton képlékeny állapotba kerülése vagy akár csak egy betonacél megfolyása jelenti. A III. feszültségi állapot szerinti vizsgálat feltevése az, ho gy - vagy a vasbeton keresztmetszet nyomott széls ő szálában a legnagyobb keresztmetszeti összenyomódás elérte a beton törési összenyomódásának a határértékét ( εcu-t) - vagy (akár csak egy) húzott acélbetét nyúlása elérte az acél szakadónyúlásának értékét ( εsu-t). Megj egyzés: Mivel majdnem mind ig az első szokott bekövet kezni, ezért a III. feszültségi álla pot szerinti haj lítás vizsgálatot (lásd a következ ő gyakorlatok anyagába n) azzal a feltételezéssel indítjuk, hogy a beton nyomott szélső szálá ban a törési összenyo módás értéke lép fel.

- A feladatok megoldása során a beton esetén a következ ő egyszerűsített anya gmodelleket használjuk :

- Az I. feszültségi állapotb an lév ő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell

σc f c.c εc.t

εc[% 0]

εc.c

f c.t

- Az II. feszültségi állap otban lév ő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell σc f c.c .

Εc

εc[% 0]

εc.c

- Az III. feszültségi állapotban lév ő beton anyagmodellje: lineárisan rugalmas, tökéletesen képlékeny anyagmodell:

téglap alakú σ(ε)-diagram: (még tovább egyszer ű sített modell)

σc

c

f c.c .

f c.c

Εc

εc.c

εc[% 0]

εcu

εc1=0,7 εcu=3,5

εc[% 0]

- A feladat megoldások során a betonacél esetén a következő anyagmo delleket használjuk :

- a betonacél rugalmassági modulusa:

Es := 200⋅

s

f y .

ε

s '

2

mm

Az acél σ(ε) diagramja az origóra szimmetrikus.

Es

f y Es -f y

kN

ε

=25

ε [%0] s

su

'

4


I. gyakorlat

A következő példákban a betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton, illetve betonacél szilárdsági jellemz ő i azonosak: A

A-A metszet

M

M

z

A hajlítónyomaték alul okoz húzást 0 5 4

0 0 5

4 ϕ20

300

A

A repedésmentes beton σ(ε) diagramja:

A berepedt beton σ(ε) diagramja:

c[MPa]

σ [MPa]

c[MPa]

10,7 0,104

A betonacél σ(ε) diagramja: s

10,7

0,585 1,9

Ec = 18.3⋅

3,5

εc[% ] 0,585

3,5

434

εc[% ] ε

'

kN

s

-25

-2,17

ε [% ] 0

s

25

2,17

2

mm

-434

Es = 200⋅

Geometria jellemz ő k definiálása:

h := 500mm b := 300mm d := 450mm

σ

d

kN 2

mm

s'

As b

- az alkalmazott húzott vasalás:

n := 4

db

2

ϕ := 20mm

Anyagjellemző k definiálása:

A beton anyagjellemzői: A beton nyomószilárdsága:

ϕ ⋅π

f c.c := 10.7⋅

A beton húzószilárdsága:

2

As := n⋅ 4

f c.t := 1.9⋅

As = 1256.6⋅ mm

N 2

mm N 2

mm

f c.c Ec ε c.E := ε 1

A nyomott széls ő szál rugalmas határához tartozó ny úlás:

ε 1 :=

= 0.585 ⋅ ‰

N 2

mm

f y A betonacél folyási határához tartozó nyúlás: ε s.E := Es Az acél határnyúlása: ε su := 25⋅ ‰ Es αE := Ec

5

ε c.E

ε 2 :=

f y := 434 ⋅

A betonacél és a beton rugalmassági modulusának aránya:

= 0.585⋅ ‰

f c.t ε 2 = 0.104⋅ ‰ Ec ε cu := 3.5⋅ ‰

A húzott széls ő szál határnyúlása:

A betonacél any agjellemz ői:A betonacél folyáshatára:

ε1

ε s.E

αE

= 10.93

= 2.17⋅ ‰


I. gyakorlat

I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ (REPEDÉSMENTES) VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.1.példa: Határozza meg az alábbi repedésmentes vasbeton

keresztmetszet repeszt ő nyomatékát!

h = 500 ⋅mm d

2

As = 1256.6⋅ mm

b = 300 ⋅ mm

As

d = 450 ⋅mm

b

A repedésmentes beton σ(ε) diagramja: c[MPa]

ε1

0,104

0,585 1,9

Ec = 18.3⋅

3,5

εc[% ]

kN

σ [MPa]

= 0.585 ⋅ ‰

ε c.E

10,7

A beton acél σ(ε) diagramja: s

= 0.585 ⋅ ‰

f c.c = 10.7⋅ f c.t = 1.9⋅

434

N 2

ε

mm N

'

s

-25

mm

2,17

2

25

2

mm ε s.E = 2.17⋅ ‰ kN εs[%0] Es = 200⋅ 2 mm

-434

mm ε 2 = 0.104 ⋅ ‰

2

-2,17

N

f y = 434 ⋅

σ

s'

Megj egyzés: beton és beton acél σ(ε ) diagramján ál is eleg end ő lenne lin eárisan ruga lmas szakaszt megadni, hisz a betonacél a II. feszültségi állapotban nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. A feladat megoldása a z ideális keresztmetszeti jellemz ő k felhasználásával :

A nyomott beto nzóna magasságának számítása az ideális keresztmetszeti jellemz őkkel: Az acél keresztmetszetét a beton keresztmetszetére redukáljuk: - Az ideális keresztmetszet területe: AiI := b ⋅ h + As⋅ αE − As vagyis AiI := b ⋅ h + ( αE − 1 ) ⋅ As

2

AiI = 1624.8⋅ cm

- Az ideális keresztmetszet statikai ny omatéka a fels ő szélső szálra: h Sx.I := b ⋅ h ⋅ + As⋅ ( αE − 1 ) ⋅ d 2 - A nyomott betonzóna magassága: Sx.I x I := AiI

3

Sx.I = 43115⋅ cm x I = 265 ⋅ mm

- Ideális keresztmetszet inerciája a semleges ten gelyre felírva:

⎛ b ⋅ x 3 ⎞

3

b ⋅ ( h − x I) ⎡ ( ϕ) 4⋅ π 2⎤ 4 + + + As⋅ ( d − x I) ⋅ ( αE − 1) II := II = 358701⋅ cm 3 ⎝ 3 ⎠ ⎣ 4 ⎦ - Ideális km. inerciája a semleges tengelyre felírva az acélok saját súly ponti tengelyre felírt inerciájának elhanyagolásával: I

3

II :=

b ⋅ x I 3

3

4

b ⋅ (h − x I) 2 + + As⋅ ( d − x I) ⋅ ( αE − 1) 3

II = 358701⋅ cm

Megj egyzés: mivel a z acélok saját súlyponti teng elyre felírt inerciájának elhanyag olása az eredmény ponto sságá t nem csorbítja, ezért a következ ő kben ezt mindig elhanyagoljuk

A beton megrepedéséhez tartozó nyomaték:

f c.t

=

Mcr ⋅ ( h − x I) II

6

M cr :=

f c.t⋅ II h − xI

M cr = 29.04 ⋅ kN⋅ m


I. gyakorlat

II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.2.példa: Határozza meg az alábbi berepedt vb. km. II. feszültségi állapot végét jelent ő görbületét és a hozzá tartozó nyomatékot!

d

h = 500 ⋅mm

2

As = 1256.6⋅ mm

b = 300 ⋅ mm

As

d = 450 ⋅mm

b

A betonacél σ(ε) diagramja:

A berepedt beton σ(ε) diagramja: c[MPa]

ε c.E

10,7 0,585

3,5

εc[% ]

σ [MPa]

= 0.585 ⋅ ‰

f c.c = 10.7⋅

N

434

kN

ε

'

-25

N 2

mm

ε s.E = 2.17⋅ ‰

2

mm

s

Ec = 18.3⋅

f y = 434 ⋅

s

-2,17

2

ε [% ] s

25

2,17

0

Es = 200⋅

-434

mm

σ

kN 2

mm

s'

Megj egyzés: beton és beton acél s(e) diagramjá nál i s elegen dõ lenne lineárisan rugalmas szaka szt megadni, hisz a betonacél a II. feszültségi állapotban nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. A feladat megoldása:

Az acél keresztmetszetét a beton keresztmetszetére redukáljuk: - Az ideális keresztmetszet területe: Ai.II b ⋅ x II + αE⋅ As =

- Az ideális keresztmetszet statikai ny omatéka a fels ő szélső szálra: x II + As⋅ αE⋅ d Sx.II b ⋅ x II⋅ 2 =

- A nyomott betonzóna magassága: b ⋅ x II ⋅ x II

=

xII 2

+ As⋅ αE⋅ d

b ⋅ x II + αE⋅ As

x II := Find(x II) x II = 162 ⋅ mm

2

Ai.II := b ⋅ x II + αE⋅ As = 624.2 ⋅ cm xII 3 Sx.II := b ⋅ x II ⋅ + As⋅ αE⋅ d = 10131.4 ⋅ cm 2

A II. feszültségi állapot h atárát adó κII görbület számítása:

ε1

A nyomott szélsõszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület: κ1 :=

κ1

x II

= 3.603 × 10

−6 1 ⋅ mm

f y −6 1 A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület: κs := κs = 7.543 × 10 ⋅ mm ( d − xII) ⋅Es A II. feszültségi állapot határát adó κII görbület: (a nyomott széls ő szál eléri a rugalmassági határát) A húzott acélbetét megfolyását ok ozó nyomaték nagysága: 3 1 2 III := x II ⋅ b ⋅ + As⋅ αE⋅ ( d − x II) 3

MII

=

(

)

κII := min κ1 , κs κII

= 3.603 × 10

−6 1 ⋅ mm

4

III = 156428⋅ cm

κII⋅ Ec⋅ III

MII = 103.13⋅ kN⋅ m 7


I. gyakorlat

AZ II. ÉS III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT KÖZÖTTI INTERMEDIER ÁLLAPOTBAN LEV Ő VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.4.példa: Határozza meg az azt a görbületet és hozzá tartozó nyomatékot, amikor a betonacélok épp a rugalmas és

képlékeny állapot határán van! h = 500 ⋅mm d

b = 300 ⋅ mm

As

2

As = 1256.6⋅ mm

d = 450 ⋅mm

b


A beton acél σ(ε) diagramja:

ε c.E

10,7 0,585

3,5

Ec = 18.3⋅

= 0.585 ⋅ ‰

f c.c = 10.7⋅

εc[% ]

ε cu

kN

σ [MPa]

N 434

2

ε s.E

mm

ε

'

= 3.5⋅ ‰

s

-25

-2,17

2,17

2

25

ε [% ] s

σ A feladat megoldása: T.f.h. a beton

σ

M

x .

x

h

d

kN 2

mm

s'

εc. a

Fc.c,1 Fc.c,2

E

.

κ

y

As A

= 25⋅ ‰

Belső er ők

f c {

A-A metszet

z

ε su

2

mm

képlékeny állapotban van

ε A

0

N

= 2.17⋅ ‰

Es = 200 ⋅

-434

mm

M

f y = 434 ⋅

s

εs.

σs

E

b

Fs

A semleges tengely helye a vetületi egyenletb ől meghatározható: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅ a⋅ f c.c − As⋅ f y 2 ε c.E ε s.E

⎡

=

b ⋅ x −

⎣

a d−x

ebb ő l

=

0

a

=

ε c.E ε s.E

⋅ ( d − x)

⎤ ⎤ 1 ⎡ ε c.E ⋅ ( d − x) ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅ ⋅ ( d − x ) ⋅ f c.c − As⋅ f y ε s.E 2 ⎣ ε s.E ⎦ ⎦ ε c.E

Az acélbetétek megfolyásához tartozó görbület értéke: Felsõ szélsõ szál összenyomódása: a :=

ε c.E ε s.E

⋅ ( d − x)

ε c := κεs.E⋅ x

=

0

κεs.E := εc

= 1.786 ⋅ ‰ >

x := Find(x ) x = 203.2 ⋅ mm

εs.E

−6 1 ⋅ d−x mm ε c.E = 0.585 ⋅ ‰a beton valóban képlékeny κεs.E

= 8.791 × 10

a = 66.5 ⋅ mm

M := b ⋅ ( x − a) ⋅ f c.c⋅ ⎛ d −

⎝

x − a ⎞ 1 2 + ⋅ b⋅ a⋅ f c.c⋅ ⎛ d − x + ⋅ a ⎞ 2 ⎠ 2 3 ⎠ ⎝

8

M = 198.5 ⋅ kN⋅ m


I. gyakorlat HATÁRÁLLAPOTHOZ TARTOZÓ NYOMATÉKSZÁMÍTÁS

1.5.példa: Határozza meg a vb. km.-nek azt a g örbületét és a ho zzátartozó nyomatékot, amikor a nyo mott, fels ő szélső

szálban az összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét! h = 500 ⋅mm d

b = 300 ⋅ mm

As

2

As = 1256.6⋅ mm

d = 450 ⋅mm

b


A betonacél σ(ε) diagramja:

= 0.585 ⋅ ‰

ε c.E

10,7

0,585

3,5

f c.c = 10.7⋅

εc[% ]

ε cu

kN

Ec = 18.3⋅

σ [MPa]

f y = 434 ⋅

s

N 434

2

ε

'

s

-25

2

mm

ε s.E = 2.17⋅ ‰

mm

= 3.5⋅ ‰

N

-2,17

2,17

2

25

ε [% ] s

σ

ε su

= 25⋅ ‰

Es = 200⋅

-434

mm

0

kN 2

mm

s'

Megj egyzés: A példánkba n szerepl ő a vb. keresztmetszet úgy kerül határállapotba, hogy nyomott széls ő szálban a z összenyomódás eléri a beton határösszenyomódásának értékét ( ε c,felső =ε c,u=3,5%o ).

ε

A feladat megoldása: A

z

x

εc.E

.

x

h

.

d

Fc.c,1 Fc.c,2

a

κ

y

As A

Belső er ők

f c {

εcu {

A-A metszet

M

M

σ

f y

b

Fs

A semleges tengely helye a vetületi egyenletb ől meghatározható, feltételezve, hogy a b etonacél képlékeny: 1 b ⋅ ( x III − a) ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅ a⋅ f c.c − As⋅ f y 2 ε c.E ε cu

=

a

ebb ő l

x III

a

=

0

=

ε c.E ε cu

⋅ x III

ε c.E ⎛ ⎞ ⎞ 1 ⎛ εc.E ⋅ x III ⋅ f c.c + ⋅ b⋅ ⋅ x III ⋅ f c.c − As⋅ f y b ⋅ x III − ε cu 2 ⎝ εcu ⎝ ⎠ ⎠

A görbület értéke III. feszültségi állap otban:

κIII :=

=

0

x III := Find(x III) x III = 185.4 ⋅ mm

ε cu

κIII

x III

= 1.888 × 10

−5 1 ⋅ mm

Az acélbetétek megnyúlása:

(

ε s := κIII⋅ d

a :=

ε c.E εcu

− x III)

εs

⋅ xIII

= 4.996 ⋅ ‰

>

ε c.E

= 0.585 ⋅ ‰az acélbetétek valóban képlékenyek

a = 31⋅ mm

⎛ ⎝

MIII := b ⋅ ( x III − a) ⋅ f c.c⋅ d −

x III − a ⎞ 2

⎠

+

1 2 ⋅ b ⋅ a⋅ f c.c⋅ ⎛ d − x III + ⋅ a ⎞ 2 3 ⎠ ⎝ 9

M III = 199 ⋅ kN⋅ m


II. gyakorlat

II. GYAKORLAT

Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd ten gelyére mer ő leges keresztmetszetek a deformációk után sík ok és rúd tengely ére mer ő legesek maradnak és - a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik Ezeken túl még azt is feltételezzük, hog y a beton III. feszültségi állapotb an van és nyo mott szélső szálában elérte a határösszenyomódását, azaz ε c=εcu, - ez a feltevés bizto s, hogy nem teljesül, ha a vasbeton k eresztmetszet gyeng én vasalt, mert az acél elszakad, mielő tt a beton szélső szálában létrejönne a határösszenyomódás - a feltevés teljesül n ormálisan vasalt keresztmetszet esetén, azaz az acél megfolyt és a betonb an létrejön a t örési összenyomódás - a feltevés teljesül t úlvasalt k eresztmetszet esetén is, azaz a betonb an létrejön a t örési összenyomódás, de az acél rugalmas állapotban van

- A feladat megoldások során a beton esetén a következ ő anyagmodellt használjuk : - anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell c

σ ( ε) α σ (ε )

-f -αf

ck

ck

cd

Az EC-ben javasolt bet on

cd

ε

c1

ε

=-0,7

- az ábra kitöltöttsége:

ε [% ]

c

=

0

c

cu

σ(ε) diagramok közül a legegyszer ű bb ε cu − εc1 3.5⋅ ‰ − 0.7⋅ ‰

=-3,5

ε cu

=

3.5⋅ ‰

=

0.8

1. ábra:A beton σ (ε ) diagra mja Természetesen lehe tő ség van, ennél pontosabb σ(ε)-diagram használatára is, de mivel a megkíván t számítási ponto sságnak ez is megfelel, és a biztonság javára tér el a töb bi σ(ε )-diagramtól, ezért az egyszer űség kedvéért a továb biakb an ezt használj uk. (Az EC2-ben javasolt t öbbi diagramot lásd a Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 163 ol d.) - beton biztonsági tényező je:

γc := 1.5

- mű ködési tényező (kedvez ő tlen hatásokat figyelembe vevő tényező):

α := 1

(Magyarországon)

ε cu := 3.5⋅ ‰

- beton határösszenyomodása:

- A feladat megoldások során az acél esetén a következő anyagmodellt használjuk : s

σ ( ε) σ ( ε)

f yk f yd

yk yd

ε

s '

f yd Es

σ (ε ) σ (ε) ' yd

ε

su

=2,5

ε [%] s

'

-f yd -f yk

yk '

'

σ

s'

2. ábra:Az acél σ (ε ) diagramja - acél biztonsági tényező je:

γs := 1.15

- acél határnyúlása:

ε su := 25⋅ ‰

- acél rugalmassági modu lusa:

Es := 200000⋅

(általában) N 2

mm 10


II. gyakorlat

Annak szemléltetésére, hog y a relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzetének képlet ének kényelmes, általun k használt v égleges formája, nem mértékegy ség konzek vens, mégis fizikai tartalommal bír, álljon itt a 560 képletének levezetése: ξ c0 f yd + 700 =

cu {

αf cd .

x

.

xc=cx

d

ε

As

σ

s

ε

b

s

σ

3. ábra: A va sbeton keresztmetszet ε − , σ − ábrája Az x és az x c viszony a az 1. és a 3. ábra alapján belátható (hasonló háromszögek): vagy x c 0.8x c⋅ x xc −3.5‰ − 0.7‰ xc x 1.25x x −3.5‰ c c =

=

=

=

=

Az acélban keletkező nyúl ás (arányp árból a 3. ábra alapján):ε

Az acél folyik , ha ε s

εs xc d

=

c⋅ d ε cu⋅ ⎛ xc

−

⎝

1 ⎞

⎠

>

(−εcu) ⋅ Es < f yd + ( −ε cu) ⋅ Es

< ξc0

=

f yd

+

d

−

x

x

Es

f yd átrendezve

Es

=

ξ c0

ahol

ξc

=

xc

és

ξ c0

N 2

c⋅ ε cu⋅ Es

=

d

ε su := 25⋅ ‰ ; Es := 200000⋅ 560

ε cu⋅

f yd

c⋅

beh elye ttesít ve

ξc

>

s

=

f yd

+ ε cu⋅ Es

; c := 0.8

megkapjuk

mm

700 és ha ez az egyenl őtlenség teljesül, akkor a h úzott acélbetétek megfolynak 2 Megjegyzés: a képletben a z f yd N/mm -ben van, de dimenzió nélkül kell beírni

Használt képletek: - relatív nyomott beton zónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétekhez:

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétekhez:

- a rugalmas, húzott acélbet étek esetén a redukált feszültség kép lete:

ξ c0

f yd

ξć0 σs

560

=

700

560

=

=

+

−

700 560 xc

−

fyd 700

d

- a rugalmas, nyomott acélbetétekben esetén a redukált feszültség képlete:

σ´s

=

700

−

560 xc d´

11


II. gyakorlat

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA NORMÁLISAN VASALT VB. KERESZTMETSZET 2.1.példa: Ellen őrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: MEd=190 kNm 0 5 4

0 0 5

Anyagok : Beton: C16/20 Betonacél: S500B

4 ϕ20

300

Feladat definiálása: Geometria jellemz ők definiálása: h := 500mm b := 300mm d := 450mm 2


n := 4

darab

ϕ := 20mm

As := n ⋅

ϕ ⋅π

=

As

4

Anyagjellemző k definiálása: beton: C16/20 N

- a beton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke: f := 16⋅ ck

γc

=

1.5

f cd

=

10.7⋅

2

mm - a beton nyomószilárdságának tervezési értéke:

- a beton húzószilárdságának várható értéke:

f ck

f cd := γc

N 2

mm N

f ctm := 1.9

2

mm

acél: S500B - az acél folyási határának karakterisztikus értéke:

N

f yk := 500⋅

2

mm - az acél folyási határának tervezési értéke:

- relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a húzott acélbetétekhez: - relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott acélbetétekhez:

f yd :=

ξ c0 :=

ξć0 :=

=

1.15

f yk f yd

γs 560

+

f yd

700

560 700

−

x c0 := d ⋅ ξ c0

12

γs

fyd

=

434.8 ⋅

N 2

mm

ξ c0 = 0.493

ξć0 = 2.111 x c0 = 222.1 ⋅ mm

2

1256.6⋅ mm


II. gyakorlat

ε ε {

Számítás:

σ

Belső er ők

αf cd

cu

.

x

.

Fc=xc* b*α*f cd

xc

d

h

.

ε

As

zc

f yd

s

4. ábra: A vasbeto n keresztmetszet , σ − ábrája és belső er ő i ε −

Fs=As*f yd

b Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak ( σ s =f yd ) (T.f.h a km normálisan vasalt)

A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd ahol

=

b

As⋅ f yd

=

xc

300 ⋅ mm

α = 1.0

f cd

=

10.7⋅

N 2

As

=

2

1256.6⋅ mm

f yd

=

434.8 ⋅

mm

=

170.7 ⋅ mm

N 2

mm

A feltevés ellen ő rzése (relatív nyomott betonzóna magasság határhelyzete alapján) : xc

ξ c :=

ξc

d

=

0.379 < ξ c0

=

A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak

0.493

vagy xc

=

170.7 ⋅ mm <

x c0

=

222.1 ⋅ mm

Továbbá az acélbetétek megnyúlása: d

ε s := εcu⋅

xc

−

c

xc

εs

=

3.88⋅ ‰

<

ε su

=

25⋅ ‰

acélbetétek nem szakadnak el

c

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalá ra:

⎛ xc ⎞ MRd := b ⋅ xc⋅ α⋅ f cd⋅ d − ⎝ 2 ⎠ ahol

b

=

300 ⋅ mm

xc

MRd

=

170.7 ⋅ mm

α = 1.0

f cd

=

10.7⋅

N 2

d

=

450⋅ mm

mm MRd

=

199.2 ⋅ kN⋅ m

>

MEd

=

190⋅ kN⋅ m

a keresztmetszet hajlításra megfelel

13

=

199.2 ⋅ kN⋅ m


II. gyakorlat

TÚLVASALT VB. KERESZTMETSZET 2.2. példa: Ellen őrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed := 230⋅ kN⋅ m 0 5 4

0 0 5


6 ϕ20

300

Feladat definiálása:

ε ε {

σ

Belső er ők

αf cd

cu

.

x

.

Fc=xc* b*α*f cd

xc

d

h

.

ε σ

As

5. ábra: A va sbeton keresztmetszet , σ − ábrája és belső er ő i ε −

s

zc

Fs=As*σs

s

b

Geometria jellemz ők definiálása: h := 500mm b := 300mm

d := 450mm n := 6


2

ϕ := 20mm

darab

As := n⋅

ϕ ⋅π 4

2

As

=

1885⋅ mm

xc

=

256.1 ⋅ mm

Anyagjellemző k: lásd 2.1. példa Számítás: Tegyük fel, hogy a hú zott acélb etétek folyn ak (T.f.h a km normálisan vasalt )

A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd ahol

=

b

As⋅ f yd

=

300 ⋅ mm

α = 1.0

f cd

=

N

10.7⋅

2

As

=

2

1885⋅ mm

f yd

=

434.8 ⋅

mm

N 2

mm

A feltevés ellen ő rzése :

ξ c :=

xc

ξc

d

=

0.569 > ξ c0

=

A feltételezés nem volt helyes, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak 0.493 ( keresztmeteszet túlvasal t)

A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása σs

x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd

ahol

=

b

As⋅ ⎛

⎜ ⎝

=

560 xc d

300 ⋅ mm

−

700 ⎞

⎟ ⎠ f cd

=

560⋅ d xc

−

700 képlettel:

(az egyenlet megoldása másodfo kú egyenle tre vezet, melybő l a fizik ai tartalommal bíró g yökét használjuk fel a felada t megoldása során)

=

10.7⋅

N 2

As

=

2

1885⋅ mm

mm

14

xc

=

230.8 ⋅ mm


II. gyakorlat

Acél rugalmasságának ellen ő rzése:

ξ c :=

xc

ξc

d

=

0.513 > ξ c0

=

Az acélban keletkező feszültség: σ := s

az acélbetétek rugalmas állapotban vannak

0.493

560

−

xc

700

σs

=

391.8 ⋅

N

< 2

f yd

=

434.8 ⋅

mm

d

N 2

mm

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalá ra:

⎛ xc ⎞ − ⎝ 2 ⎠

MRd := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd⋅ d ahol

b

=

300 ⋅ mm

xc

=

230.8 ⋅ mm

f cd

=

10.7⋅

MRd

N 2

d

=

=

247.1 ⋅ kN⋅ m

450⋅ mm

mm MRd

=

247.1 ⋅ kN⋅ m

>

MEd

=

230⋅ kN⋅ m


15


II. gyakorlat

GYENGÉN VASALT VB. KERESZTMETSZET 2.3 példa: Ellen őrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed := 105⋅ kN⋅ m

0 5 4

0 0 5

2 ϕ12


300

Megoldás:

ε ε {

σ

Belső er ők

αf cd

cu

.

x

.

d

h

.

ε

As

s

Geometria jellemz ők definiálása: h := 500mm b := 300mm d := 450mm

Fc=xc* b*α*f cd

xc zc

f yd

Fs=As*f yd

b 7. ábra: A va sbeton keresztmetszet ε − , σ − ábrája és belső er ő i 2

n := 2


ϕ := 12mm

darab

ϕ ⋅π

As := n⋅

As

4

Anyagjellemző k: lásd a 2.1. példában

=

2

226.2 ⋅ mm

Számítás: Tegyük fel, hogy a hú zott acélbet étek folyna k (T.f.h a km normálisan vasalt)

A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd As⋅ f yd =

ahol

b

=

300 ⋅ mm

xc

α = 1.0

f cd

=

N

10.7⋅

As

2

=

2

226.2 ⋅ mm

mm

A feltev és ellen ő rzése (aránypárral): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c := 0.8 Az acélban keletkező nyúlás: xc xc d− d− εs c c átrendezve ε s := ε cu⋅ ε cu xc xc =

c

f yd

=

434.8 ⋅

=

30.7⋅ mm

N 2

mm

ε s = 37.498⋅ ‰

c

ε E :=

rugalmássági határ:

f yd

εE

Es

εs

=

37.498⋅ ‰

>

εE

εs

=

37.498⋅ ‰

>

ε su

= =

2.174 ⋅ ‰ 25⋅ ‰

=

2.174 ⋅ ‰

ezért az acél tényleg folyik de el is szakadnak

A feltev és ellen ő rzése (relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete alapján) :

ξ c :=

xc d

ξc

=

0.068 < ξ c0

=

0.493

A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak

16


II. gyakorlat

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalá ra: x c ⎞

⎛ − ⎝ 2 ⎠

MRd := b ⋅ xc⋅ α⋅ f cd⋅ d ahol

b

=

300 ⋅ mm

xc

=

MRd

=

A feltevés hely telen, ezért elvileg el ő r ő l kell k ezdeni a feladatot de könnyen belátható, hogy a vetületi és a nyomatéki 42.7⋅ kN⋅ m egyenletben számszer űen semmi nem változi k.

30.7⋅ mm α = 1.0

f cd

=

10.7⋅

N 2

d

=

450⋅ mm

mm MRd

=

42.7⋅ kN⋅ m

<

MEd

=

a keresztmetszet hajlításra nem felel meg!!!!

105⋅ kN⋅ m

Megj egyzés: az acélbetétek elszakadna k miel ő tt a beton szélső szálában kialakulna határösszenyomódás ( ε cu=3,5 ‰ )

c

αf

ασ

cd

0,7

3,5

εc

cd

0.7⋅ ‰

0.7⋅ ‰

< 0.8

ε [% ] c

0

Az ábra kitöltöttsége:

c

8. ábra: A beton

−

( ) diagramjának kit öltöttsége

c

=

xc x

≠

0.8

σ ε

A gyengén v asalt km. határnyomaték a tehát a normálisan vasalt km.-tel azono s összefügg ésekkel számítható, csak a tönkremenetel jellege és x c illetve x egy máshoz viszonyított aránya változik.

17


II. gyakorlat

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA 2.4. példa: Ellen őrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: MEd := 290⋅ kN⋅ m 2ϕ20

0 0 5

Anyagok :

6ϕ20

Beton: C16/20 Betonacél: S500B

300

Geometria jellemz ők definiálása: h := 500mm b := 300mm kengyel:

ϕk := 10mm

betonfed és: a vasak kedvező tlen elmozdulása:

bf := 20mm δ := 10mm 2

n := 6

ϕ ⋅π

darab

12. ábra:Acélbetétek súlyvonala

ζ

.

ϕ := 20mm

2

As := n⋅ As = 1885⋅ mm 4 Megj egyzés: Ha a keresztmetszetb en az acélbetéte k két vag y töb b sorba n helyezked nek el, akkor számításban a súlyp ontjukba n egyetlen acél keresztmetszett el helyettesítet t acélbetétek haszno s magasság át a kö vetkez ő képpen számítju k: alkalmazott húzott vasalás:

vasak közötti minimális távolság:

ζ := max( ϕ , 20mm)

alsó sorban lev ő vasak száma:

n alsó := 4

felső sorban lev ő vasak száma:

n felső

d := h

hasznos magasság:

:=

=

20⋅ mm

2

ϕ bf − ϕk − 2

−

ζ

nfelső

−

nfelső

+

n alsó

⋅ ⎛ + ζ + ϕ

ϕ ⎞

⎝ 2

2 ⎠

−δ

d

=

436.7 ⋅ mm

A´s

=

628.3 ⋅ mm

2

n´ := 2

alkalmazott nyomott vasalás:

ϕ´ d´ := bf + ϕk + 2 Anyagjellemző k: lásd a 2.1. példában hasznos magasság:

ε ε

Számítás:

ε'

cu {

s

A's

.

x

σ'

σ αf

ϕ´ := 20mm

darab

+δ

d´

A´s := n´⋅

=

Belső er ők

cd

s

.

4

2

50⋅ mm

13. áb ra:A vasbeton keresztmetszet , σ − ábrája és a belső er ő k ε −

F's=A's*σ' Fc=xc* b*α*f cd s

xc

ϕ´ ⋅ π

d

h

As

ε

σ

s

Fs=As*σ

s

s

b

Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek ( σ s =f yd ) is, és a nyomott acé lbet étek ( σ , s=f yd ) is folynak

A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd + A´s⋅ f yd − As⋅ f yd ahol b

=

300 ⋅ mm

α = 1.0

=

0

f cd

xc

=

10.7⋅

N 2

A´s

mm

=

2

628.3 ⋅ mm

As

=

2

1885⋅ mm

f yd

= =

170.7 ⋅ mm 434.8 ⋅

N 2

mm

18


II. gyakorlat


ξ c := ξć :=

xc d xc d´

ξc ξ ć

= =

0.391 3.415

< ξ c0

=

> ξ´ c0

A feltételezés helyes volt, a húzott acélbetétek folyási állapotban vannak

0.493

=

A feltételezése helyes volt, a nyomott acélbetétek folyási állapotban vannak

2.111

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára:

⎛ xc ⎞ − + A´s⋅ f yd⋅ ( d − d´) ⎝ 2 ⎠


b

=

300⋅ mm

xc

=

170.7 ⋅ mm f cd

=

M Rd N

10.7⋅

2

mm MRd

=

297.6 ⋅ kN⋅ m

>

MEd

=

290⋅ kN⋅ m

19

A´s

=

2

628.3 ⋅ mm

d d´

= =

436.7 ⋅ mm 50⋅ mm

=

f yd

297.6 ⋅ kN⋅ m

=

434.8 ⋅


N 2

mm


II. gyakorlat

2.5. példa: Ellen őrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: 2ϕ20

MEd := 200⋅ kN⋅ m 0 0 5


4ϕ20

300 Geometria jellemz ő k definiálása: kengyel: betonfedés: bf := 20mm ϕk := 10mm

a vasak kedvező tlen elmozdulása miatt: δ := 10mm 2

n := 4

alkalmazott húzott vasalás:

d := h

hasznos magasság:

−

ϕ := 20mm

darab

ϕ

bf − ϕk − 2

−δ

As := n⋅

=

d

ϕ ⋅π

As

4

2

=

1256.6⋅ mm

450⋅ mm 2

n´ := 2


ϕ´

d´ := bf + ϕk + 2

hasznos magasság:

ϕ´ := 20mm

darab

+δ

A´s := n´⋅ d´

=

ϕ´ ⋅ π

A´s

4

=

2

628.3 ⋅ mm

50⋅ mm

Anyagjellemző k: lásd a 2.1. példában Számítás: Tegyük fel, hogy a hú zott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is folynak

A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd + A´s⋅ f yd − As⋅ f yd ahol b

=

300 ⋅ mm α = 1.0

f cd

=

ξć :=

xc d xc d´

ξc ξ ć

= =

2

xc

A´s

=

2

628.3 ⋅ mm

mm


ξ c :=

N

10.7⋅

0

=

< ξ c0

0.19

1.707

=

< ξ´ c0

=

f yd

=

434.8 ⋅

N 2

As

=

=

85.4⋅ mm 2

1256.6⋅ mm

mm

A felt. helyes volt, a húzott acélbetétek folyási állapotban vannak

0.493

2.111 A felt.nem volt hely es, a nyo mott acélbetétek rug almas állapotúak

A feltevés módosítása mia tt a vetületi egyenlet újbóli felírása: (húzott acélbetétek folynak, nyomottak rugalmasak) x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd

+

A´s⋅ ⎛ 700

⎜ ⎝

−

560 ⎞ xc d´

−

⎟ ⎠

As⋅ f yd

=

0

(az egyenlet megoldása másodfo kú egyenle tre vezet, melybő l a fizik ai tartalommal bíró g yökét használjuk fel a felada t megoldása során) xc

=

92.6⋅ mm

Megjegyzés: használ ato s még a reduká lt feszültség a láb bi alakj a is: Ez a forma az el ő bb alkalmazott képlet ellentettjét adja és egyébként 560 ⎛ ⎞ formailag egyezi k a húzo tt oldali rugalmas acélbetét feszültségét számító σ´s := − 700 xc képlettel. Tekinthetjük ezt egy általánosan használható képletnek, ami ⎜ ⎟ mechanikai értelemben ad el ő jelh elyes ered ményt, tehát hú zott betonacél ⎝ d´ ⎠ esetén pozitív, nyomott esetén pedig negatív eredményt ad. Mindkét formula használható, de a zárójel el ő tti el ő jel úg y vála sztandó, ho gy a kifejezés el ő jele n yomott beto nacél esetén a nyomott beton ált al kép viselt er ő vel azonos (általában po zitív) el ő jelet adj on. A nyomat éki egyenl etbe n azonos megoldást kell választanunk. mivel ez az el ő bbi alakkal ellentétes el ő jel ű , ezért a vetületi eg yenl et a alakja a következ ő : 560 x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd + A´s⋅ ⎡−⎛ − 700 ⎞⎤ − As⋅ f yd 0 x x c = 92.6⋅ mm ⎢⎜ c ⎟⎥ =

⎣ ⎝

d

⎠⎦

20


II. gyakorlat

Feltétel ellen ő rzése:

ξ c := ξć :=

xc

ξc

d xc

ξ ć

d´

= =

0.206 1.853

< ξ c0

=

< ξ´ c0

nyomott acélban keletkező feszültség:

=

a húzott acél képlékeny

0.493

a nyomott acél rugalmas

2.111

σ´s :=

560

−

xc

700

σ´s

N

= −397.8 ⋅

2

mm

d

σ´s

=

397.8 ⋅

N 2

(< f yd

=

434.8 ⋅

mm

N mm

A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára:

⎛ xc ⎞ − + A´s⋅ ( −σ´s) ⋅ ( d − d´) ⎝ 2 ⎠


b

=

300 ⋅ mm

xc

=

92.6⋅ mm

f cd

=

M Rd N

10.7⋅

2

d

=

450⋅ mm

d´

=

=

219.6 ⋅ kN⋅ m

50⋅ mm A´s

=

=

219.6 ⋅ kN⋅ m

>

MEd

=

200⋅ kN⋅ m

21

2

628.3 ⋅ mm

mm MRd

) 2



II. gyakorlat

2.6. példa: Ellen őrizze az alábbi T keresztmetszetet (együttdolgozó lemez+gerenda) a megadott pozitív hajlítónyomatékra:

400

MEd := 250⋅ kN⋅ m

0 2 1 0 6 4

0 0 0 5 8 3

Anyagok :

4 ϕ25


240

Feladat definiálása: b

Geometria jellemz ő k definiálása: h := 500mm b := 400mm d := 460mm (a fejlemez vastasága) t := 120mm (borda szélessége) b w := 240mm

t

h

As bw

2

- az alkalmazott húzott vasalás: n := 4

ϕ := 25mm

darab

As := n⋅

ϕ ⋅π

Anyagjellemző k definiálása: beton: C16/20 f ck := 16⋅

f ck f cd := γc

N 2

mm

f cd

=

As

4

=

2

1963.5⋅ mm

N

10.7⋅

2

mm

acél: S400B f yk := 400⋅

f yk f yd := γs

N 2

mm

ξ c0 :=

f yd

347.8 ⋅

N 2

mm

560 f yd

=

+

ξ c0 = 0.534

700

Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acélbetétek folynak és Tegyük fel, hogy a nyomott zóna a fejlemezben van αf cd Fc xc x 17. ábra: A T-keresztmetszet ε − , σ − ábrája és a belső er ő k .

As

Fs

ε

σ

A vetületi egyenlet:

belső er ők

x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd ahol

b

=

=

As⋅ f yd

400 ⋅ mm α

xc

=

1.0

ξ c :=

d

=

10.7⋅

N 2

As

=

ξc

=

0.348

xc

=

160.1 ⋅ mm >

<

ξ c0 = 0.534 t

=

2

1963.5⋅ mm

mm

A feltevés ellen ő rzése : xc

f cd

f yd

= =

160.1 ⋅ mm 347.8 ⋅

N 2

mm

a feltevés helyes, az acélbetétek folyási állapotban vannak

120⋅ mm

a feltevés helytelen, a nyomott zóna a bo rdába nyúlik

Megj egyzés: ha xc

II. gyakorlat

A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása αf cd .

xc

x

As

Fs

ε

(

t⋅ b

−

σ

) + xc⋅ bw ⋅ α⋅ f cd

bw

ahol

b

18. ábra: T-keresztmetszet ε − , σ − ábrája és a belső er ő k

Fc

=

belső er ők

=

As⋅ f yd

400 ⋅ mm b w = 240⋅ mm t

=

120⋅ mm f cd

=

10.7⋅

N

As

2

xc

=

186.8 ⋅ mm

=

1963.5⋅ mm

2

>

t

f yd

=

=

120 ⋅ mm

347.8 ⋅

mm

N 2

mm


ξ c :=

xc

ξc

d

=

0.406 < ξ c0

=

0.534 A felt. helyes volt, az acélbetétek folyási állapotban vannak

A nyomatéki egyenlet a húzott vasak súlyvonalára :

⎡ ⎛ xc ⎞⎤ t ⎞ ⎛ MRd := t ⋅ ( b − bw) ⋅ d − + x ⋅ b ⋅ d − ⋅ α⋅ f ⎣ ⎝ 2 ⎠ c w ⎝ 2 ⎠⎦ cd ahol

b

=

400 ⋅ mm b w = 240⋅ mm

t

=

120 ⋅ mm

MRd f cd

=

10.7⋅

N 2

d

=

460⋅ mm

xc

=

=

257.2 ⋅ kN⋅ m

186.8 ⋅ mm

mm MRd

=

257.2 ⋅ kN⋅ m

>

MEd

=

250⋅ kN⋅ m


23


III. gyakorlat

III. GYAKORLAT

Hajlított vasbeton keresztmetszet tervezése Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin

A számításokban feltételezzük, hogy: - a rúd tengel yére mer ő leges keresztmetszetek a deformációk után sík ok és rúd tengely ére mer ő legesek maradnak és - a beton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik A tervezés lehet: - Kötött t ervezés: amikor a keresztmetszet beton kon túrja adott (azaz van egy ad ott méret, amekkora helyre egy gerendát meg kel l tervezni), és vasalást kell megtervezni - Szabad tervezés:amikor a keresztmetszet, szélessége vagy magassága adott és a másikat kell számolni, vagy semmilyen kötö ttség sincs a beto n keresztmetszettel szemben (azaz a szélesség és magasság is ismeretlen és ekko r, úgy tehet ő a feladat matematikailag határozott á, ha ezek arányát megadjuk) és a vasalás is megtervezend ő Tervezési irányelvei: - A vasbeton keresztmetszetet úgy célszer ű megtervezni, hogy az acélbetétek folyási állapotban legyenek (tehát normálisan vasalt legyen) - A vasbeton keresztetszetben csak akko r alkalmazzunk nyo mott vasalást, ha másképp n em kerülhető el, hogy a húzot acélbetét rugalmas állapotban legyen.

A KÖTÖTT TERVEZÉS (VASALÁS TERVEZÉSE) 3.1.példa: Tervezze meg az alábbi k eresztmetszet hajlítási vasalását a megadott n yomatékra: MEd := 80⋅ kN⋅ m A nyomaték alul okoz húzást.

0 6 3

MEd Anyagok : Beton: C20/25 Betonacél: S500B

250

Anyagjellemzők: beton: C20/25 -beton anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell c

σ ( ε) α σ (ε )

-f -αf

ck

ck

cd

c1

=-0,7

ε

cu

f ck

f cd :=

2

γc

mm

cd

ε

N

f ck := 20⋅

εc[%0] =-3,5

f cd

=

13.3⋅

N 2

mm

A beton σ ( ε ) diagramja

acél: S500B s

σ (ε ) σ (ε )

f yk f yd

yk

s '

σ (ε ) σ (ε) ' yd '

yk

f yd Es

ε

su

=2,5

ε [%]

560

ξ c0 :=

f yd

s

'

-f yd -f yk

ξć0 :=

s'

+

700

560 700

'

σ

2

mm

yd

ε

N

f yk := 500 ⋅

Az acél σ ( ε ) diagramja

24

−

fyd

f yd :=

f yk

γs

f yd

=

434.8 ⋅

N 2

mm

ξ c0 = 0.493 ξć0 = 2.111


III. gyakorlat

A feladat megoldása: Geometria jellemz ő k definiálása: h := 360mm b := 250mm kengyel: ϕk := 10mm betonfed és:

bf

:=

20mm

δ := 10mm

a vasak kedvező tlen elmozdulása:

ϕ := 20mm

1. lépés: az acélbetétek feltételezett átmér ő je :

d := h

feltélezett hasznos magasság:

−

bf − ϕk −

és feltételezzük egy sorban elfér a vasalás

ϕ

−δ

2

d

=

310⋅ mm

2. lépés: az M0

meghatározása M0 az a maximális nyomaték, amit keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy, hogy a hú zott acélbetétek folynak: - ha M 0>M Ed , akkor nem kell nyomott vasalá s (A´ s=0) - ha M 0
xc0

=

153⋅ mm

⎛ M0 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ f cd⋅ d − ⎝ M0

=

húzott acélok megfolynak

⎠

2

>

ε

MEd

80⋅ kN⋅ m

nem kell nyomott vasalás

cd

x

.

F =x b α f

xc

c

d .

ε σ

As

s

ε

b

=

αf .

h

0 , ekkor a számítás fel tevése: xc=xc0 )

xc0 ⎞

119.1 ⋅ kN⋅ m cu {

≠

c*

*

*

cd

zc

F =A f

s

s

σ

s*

yd

Belső er ők

3. lépés: a nyomatéki egyenletb ő l meghatározzuk az x c-t ⎛ xc ⎞ MEd x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd⋅ d − ⎝ 2 ⎠ =

ahol

MEd

=

80⋅ kN⋅ m b

=

250 ⋅ mm

α = 1.0

f cd

=

xc

N

13.3⋅

2

mm

d

=

=

90.7⋅ mm

310⋅ mm

4. lépés : Az acélbetétek állapotának ellenő rzése (elvileg ez felesleges, mert M 0>M Ed -bő l ez nyilvánvaló):

ξ c :=

xc

ξ c = 0.293

d

<

ξ c0 = 0.493

az acélok megfolytak

5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletb ő l:

x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd

−

As⋅ f yd

ahol

=

90.7⋅ mm

xc

=

0

=

As b

=

250⋅ mm

α = 1.0

f cd

=

13.3⋅

N 2

mm

25

f yd

=

434.8 ⋅

N 2

mm

2

695.2 ⋅ mm


III. gyakorlat

6. lépés: a szerkeztési szabály ok a ho sszvasalás mennyiségére [Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 208 old.]:

⎛ f ctm ⎞ - minimális vasmennyiség : A max 0.26⋅ := ⋅ b ⋅ d , 1.3⋅ ‰⋅ b ⋅ d s.min f yk ⎝ ⎠ 0.26⋅

ahol

f ctm f yk

2

⋅ b⋅ d =

1.3⋅ ‰⋅ b ⋅ d

=

2

As.min = 100.8 ⋅ mm

88.7⋅ mm 2

100.8 ⋅ mm

- maximális vasmennyiség: A s.max := 4% ⋅ b ⋅ d 2

As.min = 100.8 ⋅ mm < As

=

2

695.2 ⋅ mm

<

As.max As.max

=

2

3100⋅ mm

=

2

3100⋅ mm

megfelelő

7. lépés: az alkalmazott vasalás

A leggyakrabban használt vasátmér ő kkel a következő lehetősegeink vannak: 4 db φ16mm acélbetétek esetén As=804,2mm2 3db φ20mm acélbetétek esetén As=942,5mm2 2 db

φ25mm acélbetétek esetén As=981,7mm2 2

legyen

n := 4 db ϕ := 16mm As.alk := n ⋅

ϕ ⋅π

2

As.alk = 804.2 ⋅ mm >

4

As

=

2

695.2 ⋅ mm

8. lépés: a vasak elhelyezése:

ζ := max( ϕ , 20mm)


(

)

b req := bf + ϕk + n⋅ ϕ + ( n − 1 ) ⋅ ζ b req = 184⋅ mm < b = 250 ⋅ mm

+

ζ = 20⋅ mm

( bf + ϕk ) elfér egy sorban

9. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellen ő rzése: a feltételezett h elyett az alk almazott méretekkel!

d alk := h

a hasznos magasság:

−

bf − ϕk −

ϕ 2

−δ

dalk = 312⋅ mm

Tegyük fel, hogy a h úzott acélok folynak A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α⋅ f cd ahol

b

=

=

As.alk ⋅ f yd

xc

250 ⋅ mm α = 1.0

f cd

=

13.3⋅

ξ c :=

2

As.alk = 804.2 ⋅ mm

2

f yd

=

ξc = 0.293

< ξ c0

=

0.493

104.9 ⋅ mm

N

434.8 ⋅

mm

Feltevés ellen ő rzése : xc

N

=

2

mm

A felt. jó volt, az acél folyási állapotb an van

d

A nyomatéki egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd⋅ d alk − ⎝ ahol2 ⎠ b

=

250⋅ mm

xc

=

MRd

104.9 ⋅ mm α = 1.0

f cd

=

=

13.3⋅

90.8⋅ kN⋅ m

N 2

d alk =

⋅ mm

mm MRd

=

90.8⋅ kN⋅ m

>

MEd

=

80⋅ kN⋅ m

26



III. gyakorlat

3.2.példa: Tervezze meg az alábbi keresztmetszet hajlítási vasalását a megadot t nyomaték ra: M Ed := 150⋅ kN⋅ m 0 6 3


MEd

250

A feladat megoldása: Anyagjellemzők: lásd 3.1. példa Geometria jellemz ő k definiálása: lásd 3.1. példa ϕ := 20mm és feltételezzü k, hogy eg y sorban elfér a ϕ´ := 20mm vasalás

1. lépés: az acélbetétek feltételezett átmér ő je:

d := h

hasznos magasságok:

−

ϕ bf − ϕk − 2

ϕ´ d´ := bf + ϕk + 2 2. lépés: az M 0 meghatározása (el ő z ő v el azonos) x c0 := ξ c0⋅ d

=

d

+δ

=

d´

=

310⋅ mm 50⋅ mm

x c0 = 153⋅ mm

⎛ M 0 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ f cd⋅ d − ⎝ M0

−δ

x c0 ⎞ 2

⎠

119.1 ⋅ kN⋅ m

<

ε ε

ε'

A's

cu { s .

x

σ'

MEd

σ αf

=

150⋅ kN⋅ m

kell nyomott v asalás

Bels ő er ők

cd

s

.

F's=A's*f yd Fc=xc* b*α*f cd

xc

d

h

As

ε

σ

s

Fs=As*f yd

s

b

Ha nyomott acélbetét k ell a keresztmetszetbe, akkor:x

c := x c0

xc

=

153⋅ mm

3. lépés: A nyomott acélbetétek állapotának ellen ő rzése:

ξć :=

xc

ξć = 3.06

d´

ξć0 = 2.111

>

a nyomott acélok megfolynak

4. lépés: a nyomatéki egyenletbő l meghatározzuk az A´s-t

M Ed

=

M0

ahol

+

MEd

A´s⋅ f yd⋅ ( d

=

−

d´)

150⋅ kN⋅ m

M0

=

119.075 ⋅ kN⋅ m

f yd

=

434.8 ⋅

N 2

d

=

310⋅ mm

2

A´s

=

273.6 ⋅ mm

d´

=

50⋅ mm

mm

5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletb ő l:

x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd ahol x c

=

+

A´s⋅ f yd

−

153⋅ mm b

As⋅ f yd

=

=

0

250 ⋅ mm

As

α = 1.0

f cd = 13.3⋅

N 2

A´s

=

2

273.6 ⋅ mmf yd

=

=

434.8 ⋅

mm

2

+

A´s

=

2

1720⋅ mm

27

<

As.max

N 2

mm

6. lépés: a szerkeztési szabályo k a hosszvaslás mennyiségére (lásd 3.1. példa)

As.min = 100.8 ⋅ mm < As

2

1446.4⋅ mm

=

2

3100⋅ mm

megfelelő


III. gyakorlat

7. lépés: az alkalmazott vasalás

A leggyakrabban használt vasátmér őkkel a következő lehető segeink vannak: 7 db φ16mm acélbetétek esetén As= 1608.5 mm2 5 db

φ20mm acélbetétek esetén As= 1570.8 mm2

φ25mm acélbetétek esetén As= 1472.6 mm2 2 ϕ ⋅π n := 5 darab ϕ := 20mm As.alk := n ⋅

3 db

2

As.alk = 1570.8⋅ mm > As

4

2

=

1446.4⋅ mm

Megjegyzés: az alkalmazo tt acélbe téteknél h ason ló va sala kok esetén egy átmér ő maradjon ki, hogy a vasszerelésnél a kivitelez ő k nehogy összekeverjék ő ket n´ := 2

ϕ´ := 16mm

darab 2

A´s.alk := n´⋅

ϕ´ ⋅ π

2

A´s.alk = 402.1 ⋅ mm > A´s

4

=

2

273.6 ⋅ mm


ζ := max( ϕ , 20mm)


(

)

(

ζ = 20⋅ mm

)

b rec := bf + ϕk + n ⋅ ϕ + ( n − 1 ) ⋅ ζ + bf + ϕk elfér egy sorban a hú zott vasalás b rec = 240⋅ mm < b = 250⋅ mm nyomott vasakat a keresztmetszet két sarkában helyezzük el 9. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellen őrzés: a feltételezett h elyett az alkal mazott méretekkel!

d alk := h

hasznos magasság:

−

ϕ bf − ϕk − 2

ϕ´ dálk := bf + ϕk + 2

−δ

d alk = 310⋅ mm

+δ

dálk = 48⋅ mm

Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd

=

ahol b

+

A´s.alk ⋅ f yd

250⋅ mm f cd

−

=

As.alk ⋅ f yd

13.3⋅

N

=

0 xc 2

As.alk = 1570.8⋅ mm

2

=

152.4 ⋅ mm 2

A´s.alk = 402.1 ⋅ mm

f yd

=

N

434.8 ⋅

mm

2

mm

A feltevés ellen ő rzése : xc

ξc :=

d alk

ξć :=

xc dálk

ξc = 0.4917

< ξ c0

=

ξć = 3.176

> ξ´ c0

0.4935

=

2.111

A felt. jó volt, a húzott acél foly ási állapotb an van

A felt. jó volt, a nyomott acél foly ási állapotb an van

A nyomatéki egyenlet: xc ⎞ ⎛ M Rd := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd⋅ d alk − + A´s.alk ⋅ f yd⋅ ( d alk − dálk ) 2 ⎠ ⎝ ahol

b

=

xc

250 ⋅ mm

=

152.4 ⋅ mm

M Rd = 164.6 ⋅ kN⋅ m

f cd

=

13.3⋅

N

2

2

A´s.alk = 402.1 ⋅ mm f yd

mm >

M Rd = 164.6 ⋅ kN⋅ m

MEd

=

434.8 ⋅

d alk = 310⋅ mm

N 2

mm

=

150⋅ kN⋅ m

28

dálk = 48⋅ mm

a keresztmetszet hajlít ásra megfele


III. gyakorlat

A SZABAD TERVEZÉS (KERESZTMETSZET ÉS VASALÁS TERVEZÉSE) 3.3.példa: Tervezze meg a vasbeton keresztmetszetet a megado tt nyomaték ra:

M Ed := 1000⋅ kN⋅ m

A nyomaték alul okoz húzást.

h


MEd As b

Anyagjellemző k: beton: C25/30 N

f ck := 25⋅

f ck

f cd :=

2

f cd

γc

mm

=

N

16.7⋅

2

mm

acél: S500B N

f yk := 500 ⋅

f yk

f yd :=

2

γs

mm

ξc0 :=

560 f yd

+

f yd

434.8 ⋅

N 2

mm

ξc0 = 0.493

700

=

ξć0 :=

560 700

−

fyd

ξć0 = 2.111

A feladat kitűzése: Ismeretlenek: b, d, As, (A´s), xc Egyenletek: vetületi egyenlet és nyomatéki egyenlet Mivel négy (ill. 5) ismeretlent 2 egyenletb ő l nem lehet meghatározni, további feltételeket kell állítanunk: 1. Nem alkalmazunk ny omott vasalást: A´s=0 2. x c-t úgy érdemes felvenni, hogy a betonacél folyási állapotban legyen például legyen a feladat megoldása során:

ξc=0.4 < ξ c0=0.493 (S500B esetén), de ne legyen ξ c< < ξ c0 3. Felvehetjük szabadon

η

=

d b

=

- a keresztmetszet szélességét és számolhatjuk a magasságát vagy - a keresztmetsze magasságát (d hasznos magasságát) és számolhatju k szélességét, - a kett ő arányát, például leg yen ez az arány a feladat megoldása során:

1.5

Ezekkel a feltevéssekkel a feladat egyértelm ű en megoldható!

A feladat megoldása:

ε

cu {

αf cd .

x

.

Fc=xc* b*α*f cd

xc

d

h

.

ε σ

As b

s

ε

zc

Fs=As*f yd

s

σ

Belső er ők

29


III. gyakorlat

1. lépés: a nyomatéki egyenlet felírása

M Ed

=

M Ed

=

⎛ xc ⎞ − ⎝ 2 ⎠ 3 ⎛ ξc ⎞ d ⋅ α⋅ f cd⋅ ξc⋅ 1 − η ⎝ 2 ⎠

x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd⋅ d

η = 1.5

ahol

α= 1

a feltevéseket behelyettesítve:

f cd

=

ξ c = 0.4

2

M Ed

=

1000⋅ kN⋅ m

mm

ebb ől d-t kifejezve: 3

N

16.7⋅

η⋅ M Ed

d :=

⎛ ⎝

α⋅ f cd⋅ ξ c⋅ 1 −

ξ c ⎞

d

=

655.2 ⋅ mm

b

=

436.8 ⋅ mm

2 ⎠

2. lépés: a keresztmetszet szélességének meghatározása: d b := 1.5

3. lépés: a húzott acélok keresztmetszeti területe a vetületi egyenletbõl:

xc := ξc⋅ d xc⋅ b ⋅ α⋅ f cd ahol

b

=

xc

−

As⋅ f yd

=

=

262.1 ⋅ mm

0

436.79⋅ mm

α = 1.0

f cd

=

N

16.7⋅

f yd

2

=

N

434.8 ⋅

As

2

mm

=

2

4388.1⋅ mm

mm

4. lépés: a szerkeztési szabály ok a vasmenny iségre [2., Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 208 old.]:

⎛ f ctm ⎞ - minimális vasmennyi ség: A max 0.26 b d 1.3 ‰ b d := ⋅ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ⋅ s.min f yk ⎝ ⎠ 0.26⋅

ahol

f ctm f yk

⋅ b⋅ d =

1.3⋅ ‰⋅ b ⋅ d

=

2

As.min = 372⋅ mm 2

327.4 ⋅ mm 2

372⋅ mm

- maximális vasmennyiség : A s.max := 4% ⋅ b ⋅ d 2

As.min = 372⋅ mm

< A s

=

2

4388.1⋅ mm

<

As.max As.max

=

=

2

11447.1 ⋅ mm

2

11447.1⋅ mm megfelelő

5. lépés : az alkalmazott vasalás

kengyel:

ϕk := 12mm

betonfed és: bf := 20mm a vasak kedvező tlen elmozdulása miatt:

δ := 10mm

A leggyakrabban használt vasátmér ő kkel a következő lehetősegeink vannak: 22 db φ16mm acélbetétek esetén As= 4423.4 mm2 14 db φ20mm acélbetétek esetén As= 4398.2 mm2 9 db

φ25mm acélbetétek esetén As= 4417.9 mm2

n := 14 darab ϕ := 20mm

2

As.alk := n ⋅

30

ϕ ⋅π 4

2

As.alk = 4398.2⋅ mm >

As

=

2

4388.1⋅ mm


III. gyakorlat


A vasak közötti minimális távolság: ζ := max( ϕ , 20mm) felső sorban lev ő vasak száma:

nf := 5

alsó sorban lev ő vasak száma:

na := n

(

)

(

−

)

ζ = 20⋅ mm

n f

na

(

=

9

)

b req := bf + ϕk + n a⋅ ϕ + n a − 1 ⋅ ζ + bf + ϕk b req = 404⋅ mm < b = 436.8 ⋅ mm tehát íg y elférnek két sorban, ezért b alk := 440mm 7. lépés: a tartó magassága hrec := bf + δ

+ ϕk +

ϕ 2

+

n f n f + n a

⋅ ⎛ + ζ + ϕ

ϕ ⎞

⎝ 2

2 ⎠

+

d

h rec

=

721.5 ⋅ mm

halk := 720mm

8. lépés: A vasbeton keresztmetszet ellen ő rzés: a feltételezett h elyett az alk almazott méretekkel!

hasznos magasság:

ϕ

d alk := h alk − bf − δ − ϕk −

2

−

n f n f + n a

⋅ ⎛ + ζ + ϕ

ϕ ⎞

⎝ 2

2 ⎠

dalk = 653.7 ⋅ mm

Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak

A vetületi egyenlet: x c⋅ b alk ⋅ α⋅ f cd

=

As.alk ⋅ f yd

xc

b alk = 440⋅ mm α = 1.0

ahol

f cd

=

N

16.7⋅

=

2

2

( )

x c := Find x c

260.8 ⋅ mm

As.alk = 4398.2⋅ mm

mm

f yd

=

434.8 ⋅

N 2

mm

Feltevés ellen ő rzése :

ξc :=

xc d alk

ξ c = 0.399

< ξ = 0.493 c0

A felt. jó volt, az acél folyási állapotb an van

A nyomatéki egyenlet: xc ⎞ ⎛ MRd := b alk ⋅ xc⋅ α⋅ f cd⋅ d alk − 2 ⎠ ⎝ b alk = 440⋅ mm

ahol

xc

=

MRd = 1000.8⋅ kN⋅ m

260.8 ⋅ mm α

=

1.0

f cd

=

16.7⋅

N 2

d alk = 653.714 ⋅ mm

mm MRd

=

1000.8⋅ kN⋅ m

>

MEd

=

1000⋅ kN⋅ m

31

a keresztmetszet hajlí tásra megfelel


IV. gyakorlat

IV. GYAKORLAT

Külpontosan nyomott vasbeton keresztmetszet (Négyszög keresztmetszet teherbírási vonala) Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István

NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE "PONTOS" MÓDSZERREL 4.1. példa: Határozza meg a keresztmetszet határkülpontosságát a geometriai középpo nttól, ha a normáler ő tervezési értéke: N Ed=600 kN! Beton: C20/25 Betonacél: S400B

NEd=600 kN 0 0 3

3 ϕ16

Anyagjellemzők: beton: C20/25 f ck := 20⋅

5ϕ20 f ck

N

f cd := γc

2

mm

f cd = 13.3⋅

N

f ctm := 2.2⋅

2

mm

N 2

mm

acél: S400B f yk := 400 ⋅

N 2

mm 560 ξc0 := f yd + 700 ξć0 :=

f yk f yd := γs

560 700 − fyd

f yd = 347.8 ⋅

ξ c0

N 2

mm

= 0.534

ξć0

= 1.59

Geometria jellemz ő k definiálása: h := 500mm b := 300mm A keresztmetszet úgy van külpontos ny omással igénybevéve, hogy az egyik oldali acélbetétek nyomottak,míg a másik oldalon pedig húzottak lesznek. - az alkalmazott húzott vasalás:

n := 5

2

2

As := n ⋅ 4 d := 450mm

A's

As = 1570.8⋅ mm

ϕ´ := 16mm

darab 2

A´s := n´⋅

NEd NEd

n´ := 3

d'

ϕ := 20mm

darab ϕ ⋅π


d

ϕ´ ⋅ π

2

As

b

eRd d

A´s = 603.2 ⋅ mm

4

d´ := 50mm Tegyük fel, hog y a húzott acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folyna k Számítás: A vetületi egyenlet: xc⋅ b ⋅ α⋅ f cd + A´s⋅ f yd − As⋅ f yd NEd xc = 234.1 ⋅ mm N 2 ahol b = 300 ⋅ mm α = 1.0 f cd = 13.3⋅ A´s = 603.2 ⋅ mm N 2 f yd = 347.8 ⋅ mm 2 2 mm As = 1570.8⋅ mm =

32


IV. gyakorlat


ξc :=

xc

ξc

d xc

< ξc0 = 0.534

= 0.52

A felt. helyes volt, a húzott acélbetétek folyási állapotban vannak

A felt. helyes volt, a nyomott acélbetétek folyási állapotban vannak ξć = 4.683 > ξć0 = 1.59 d´ A nyomatéki egyenlet a geometriai középpontra: ⎛ h xc ⎞ h h MRd := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd⋅ MRd = 275.7 ⋅ kN⋅ m − + A´s⋅ f yd⋅ ⎛ − d´ ⎞ + As⋅ f yd⋅ ⎛ d − ⎞ 2 2 2 2

ξć :=

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

N b = 300 ⋅mm x c = 234.1 ⋅ mm f cd = 13.3⋅ 2 h = 500 ⋅ mm mm

ahol

A határkülpontosság:

eRd :=

⎠

2

As = 1570.8⋅ mm d = 450⋅ mm 2

A´s = 603.2 ⋅ mm

f yd = 347.8 ⋅

d´ = 50⋅ mm

M Rd

N 2

mm

eRd = 459.6 ⋅ mm

NEd

(az er ő támadáspontja keresztmetszeten kívül esik)

4.2. példa: Határozza meg a km. határerejét, ha a mértékadó k ülpontosság a geometriai középpo nttól mérve: e Ed=700 (az ábra és az adatok u.a. mint 4.1.feladatnál!) Számítás: Tegyük fel, hogy a húzot t acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folyna k

1. lehet őség: a nyomatéki egyenletbe behelyettesítjük a vetületi egyenletb ő l kifejezett határer ő t (2 egyenlet, 2 ismeretlen) NRd := b ⋅ α⋅ xc⋅ f cd + A´s⋅ f yd − As⋅ f yd

⎛ h xc ⎞ h h ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + A´s⋅ f yd⋅ ⎛ − d´ ⎞ + As⋅ f yd⋅ ⎛ d − ⎞ α NRd eEd b x c f cd ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ =

(az egyenlet megoldása másodfo kú egyenl etre vezet, melybő l a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során)

x c = 179.2 ⋅ mm 2. lehet őség: a nyomatéki egyenletet a határer ő helyére írjuk fel ⎛ h x c ⎞ h h + A´s⋅ f yd⋅ ⎛ eEd − + d´ ⎞ − As⋅ f yd⋅ ⎛ eEd − + d ⎞ 0 b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd⋅ eEd − + 2 2 ⎠ 2 2 ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

(az egyenlet megoldása másodfo kú egyenl etre vezet, melybő l a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a feladat megoldása során)

xc = 179.2 ⋅ m

Feltevés ellen ő rzése:

ξ c :=

xc d xc

ξc

= 0.398

<

ξ c0

a feltevés helyes, húzott acélbetétek megfolynak

= 0.534

a feltevés helyes,nyomott acélbetétek megfolynak ξć = 3.584 > ξć0 = 1.59 d´ Így vetületi egyenletb ő l az e Ed-hez tartozó határer ő értékét megkapjuk: ξć :=

NRd := b ⋅ α⋅ xc⋅ f cd + A´s⋅ f yd − As⋅ f yd ahol

b = 300 ⋅ mm α = 1.0

NRd = 380.3 ⋅ kN f cd = 13.3⋅

N

2

A´s = 603.2 ⋅ mm

2

mm

33

2

As = 1570.8⋅ mm f yd = 347.8 ⋅

N 2

mm


IV. gyakorlat

NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE TEHERBÍRÁSI VONALLAL ÉS A KÖZELÍTŐ TEHERBÍRÁSI VONALLAL "KÖZELÍTŐ MÓDSZERREL" 4.3. Példa: Határozza meg a négyszög keresztmetszet teherbírási vonalán ak a 10 jellemz ő pontját úgy, hogy a nyomatékokat a geometriai középpontra írja fel! 500 0 0 3

3 ϕ16


5ϕ20

Anyagjellemzők definálása: (lásd 4.3. példa) Geometria jellemz ő k definiálása: (lásd 4.3. példa) - az alkalmazott húzott vasalás:

- az alkalmazott nyomott vasalás:

2

n 1 := 5 darab

ϕ1 := 20mm

d 1 := 450mm

a1 := 50mm

n 2 := 3 darab

ϕ2 := 16mm As2 := n2 ⋅

d 2 := 50mm

a2 := 50mm

As1 := n1 ⋅

ϕ1 ⋅ π

2

As1 = 1570.8⋅ mm

4 2

ϕ2 ⋅ π

2

As2 = 603.2 ⋅ mm

4

Megoldás: Megjegyzés: a feladatb an a n yomatéki egy enle teket a g eometria i közép pon tra írju k fel A teherbírási vonal és a közelít ő teherbírási vonal 1. pontja: a maximális nyomóer ő höz tartozó pont (központos nyomás )

ε σ 2%0 αf cd ε σ s2

As2

Bels ő er ők

Fs2=As2*σs2

s2

h

.

As1

ε

s1

σ

Központos nyomás esetén a beton összenyomódása nem lehet több 2 ‰-nél.

* *α*f cd Fc=xc b

xc

d

Fs1=As1*σs1

s1

b

A 2 ‰-es összenyomódáshoz tartozó N acélfeszültségek: σs := Es⋅ 2 ‰ σs = 400 ⋅ 2 mm

>

f yd = 347.8 ⋅

N 2

mm

az acélbetétek megfolynak, így σs1=σs2=f yd Megjegyzés: S500B esetén rug almas len ne!

NRd.1 := b ⋅ h ⋅ α⋅ f cd + As1⋅ f yd + As2⋅ f yd h h MRd.1 := As2⋅ f yd⋅ ⎛ − d2 ⎞ − As1⋅ f yd⋅ ⎛ d 1 − ⎞ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝

NRd.1 = 2756.2⋅ kN M Rd.1 = −67.3⋅ kN⋅ m

A teherbírási vonal 2. pontja : az A s1 jel ű húzott acélbetét nyúlása zérus (nyomott acélbetétek az A s2 )

ε

σ εsu=3.5%0 αf cd ε σ s2

As2

As1

s2

x

8 . 0 = c x

x = d

h

Belső er ők

.

ε

Fs2=As2*σs2 Fc=xc *b*α*f cd

x := d 1 x c := 0.8⋅ x

x = 450 ⋅mm x c = 360⋅ mm

=0

s1

b

A nyomott acélbetétek állapotának ellen őrzése: ξć :=

xc d2

NRd.2 := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd + As2⋅ f yd

ξ´ c

= 7.2

>

ξć0

= 1.59

megfolynak, így σs2=f yd NRd.2 = 1649.8⋅ kN

⎛ h xc ⎞ h − MRd.2 := As2⋅ f yd⋅ ⎛ − d2 ⎞ + b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd⋅ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 34

MRd.2 = 142.8 ⋅ kN⋅ m


IV. gyakorlat

A teherbírási vonal 3. pontja és a közelít ő teherbírási vonal 2 . pontja : A maximális nyo matékhoz tartozó po nt (az A s1 jel ű húzott acélbetétek és nyomottak az A s2 )

A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti er ő játékhoz, ahol ξc=ξc0, (azaz a húzott acél a képlékeny és a rugalmas állapot határán van)

ε


As2

Belső er ők

Fs2=As2*σs2 Fc=xc *b*α*f cd

0

s2

c

x .

= c

x

ε =f Eysd

As1

σ

s1

Fs1=As1*σs1

s1

ahol σs1=f yd

x c0 := ξc0⋅ d1 x c0 = 240.5 ⋅ mm x c := xc0 x c = 240.5 ⋅ mm

b A nyomott acélbetétek állapotának ellen ő rzése: xc > ξć0 = 1.59 nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=f yd ξć := ξć = 4.81 d2 NRd.3 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ f cd + As2⋅ f yd − As1⋅ f yd NRd.3 = 625.4 ⋅ kN ⎛ h xc0 ⎞ h h − + As2⋅ f yd⋅ ⎛ − d2 ⎞ + As1⋅ f yd⋅ ⎛ d 1 − ⎞ MRd.3 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ f cd⋅ MRd.3 = 276.1 ⋅ kN⋅ m 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ A teherbírá si vonal 4 .pontja és a közelít ő teherbírási vonal 3 . pontja :: Tiszta hajlítás (N=0) (az A s1 jel ű húzott acélbetétek és nyomottak az A s2 )

ε


As2

As1

ε

Belső er ők

σ

s1

Fs2=As2*σs2 * *α *f cd Fc=xc b

c s2 x .

Fs1=As1*σs1

s1

b Tegyük fel, hogy a húzot t acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folyn ak

A vetületi egyensúlyi egyenlet:

0

=

b ⋅ xc⋅ α⋅ f cd + As2 ⋅ f yd − As1⋅ f yd

xc = 84.1⋅ mm Az acélbetétek állapotának ellen ő rzése: xc < ξc0 = 0.534 ξc := ξc = 0.187 a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=f yd d1 xc > ξć0 = 1.59 a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=f yd ξć := ξć = 1.683 d2 (ellen ő rzés) NRd.4 := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd + As2 ⋅ f yd − As1⋅ f yd NRd.4 = 0⋅ kN ⎛ h xc ⎞ h h − + As2 ⋅ f yd⋅ ⎛ − d 2 ⎞ + As1 ⋅ f yd⋅ ⎛ d1 − ⎞ MRd.4 := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd⋅ MRd.4 = 221.2 ⋅ kN⋅ m 2 2 2 2

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

Egyszerűsített (közelíto) teherbírási vonal (a keresztmetszet geometriai középpontjára): N [kN] 1

3000 2000 1000 2 100

200

3

M [kNm]

35


IV. gyakorlat

A teherbírá si vonal 5 . pontja : .A húzott acélbetét eléri a határnyúlása értékét (az A s1 jel ű húzott acélbetétek és nyomottak az A s2 )

ε

As2

σ εsu=3.5%0 αf cd ε σ

As1

ε

s2

s2

σ

su=25%0

b

Belső er ők Fc=xc *b*α*f cd x Fs2=As2*σs2 c

.

Fs1=As1*σs1

s1

ahol σs1=f yd

Az ε-ábrából aránypár segítségével megkapjuk: 1.25 ⋅ x c d 1 − 1.25⋅ x c 3.5⋅ ‰

=

25⋅ ‰

x c = 44.2 ⋅ mm

Acélbetétek állapotának ellen őrzése: xc < ξc := ξc = 0.098 d1 xc < ξć := ξć = 0.884 d2 a nyomott acélban keletkez ő feszültség:

ξ c0

= 0.534

ξć0

= 1.59

σ´s := 700

−

560 ξ´ c

a húzott acélbetétek megfolynak, így σs=f yd a nyomott acélbetétek rugalmasak, így σs2=σ's

σ´s

= 66.67 ⋅

NRd.5 := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd + As2⋅ σ´s − As1⋅ f yd ⎛ h xc ⎞ h h − + As2 ⋅ σ´s ⋅ ⎛ − d 2 ⎞ + As1⋅ f yd⋅ ⎛ d1 − ⎞ MRd.5 := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd⋅ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝

N 2

mm

(< f yd = 347.8 ⋅

N mm

NRd.5 = −329.3 ⋅ kN (húzás) MRd.5 = 157.6 ⋅ kN⋅ m

A teherbírási vonal 6. pontja: Mind két oldali acélbetétek h úzottak és folyn ak

ε

σ

25% 0

As2

ε =ε

As1

ε

s2

su

Megjegyzés: a teljes beton km húzott, nem vesz fel er ő t

Belső er ők

σ

s2

Fs2=As2*σs2

ahol σs2=f yd

Fs1=As1*σs1

ahol σs1=f yd

h

su=25%0

σ

s1

b

NRd.6 := ( As2 + As1) ⋅ −f yd h h MRd.6 := −As2 ⋅ f yd⋅ ⎛ − d 2 ⎞ + As1⋅ f yd⋅ ⎛ d 1 − ⎞ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝

NRd.6 = −756.2 ⋅ kN MRd.6 = 67.3 ⋅ kN⋅ m

36

2

)


IV. gyakorlat

A teherbírási vonal 7. pontja: A s2 jel ű acélbetét ek nyúlása zérus, az alsó szélső szál összemorzsolódi k

(az A s1 jel ű nyomott a célbetétek)

ε ε

s2

As2

σ

Belső er ők

=0

2

h

As1

d h = x

x

8 . 0 = c x .

ε

σ

s1

s1

εsu=3.5% 0 αf cd

b

Fc=xc b * *α*f cd Fs1=As1*σs1

A nyomott (As1 jel ű ) acélbetétek állapotának ellen ő rzése: xc > ξć0 = 1.59 ξć := ξć = 7.2 a1

x := h − d 2

x c = 44.2 ⋅ mm

xc := 0.8⋅ x

x c = 360⋅ mm

a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=f yd

NRd.7 := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd + As1⋅ f yd

NRd.7 = 1986.4⋅ kN

⎛ h xc ⎞ h ⎛ ⎞ MRd.7 := −As1 ⋅ f yd⋅ − a − b ⋅ xc⋅ α⋅ f cd⋅ − ⎝ 2 1 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠

MRd.7 = −210.1 ⋅ kN⋅ m

A teherbírási vonal 8. pontja: A maximális negatív ny omatékhoz tartozó pont (az A s1 jel ű nyomott acélbetétek és húzottak lesznek az A s2 )

A maximális nyomaték h elye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti er ő játékhoz, ahol ξc=ξc0, azaz A s2 jel ű acélbetét a rugalmas és a képlékeny állapot határán van, (ugyanaz az eljárás, mint a teherbírási vonal 3. pontjánál)

ε As2

ε =f Eysd s2

σ

Bels ő er ők

σ

0

c

As1 b

x .

ε

s1

εsu=3.5%0 αf cd

σ

ahol σs2=f yd

Fs2=As2*σs2

s2

= c

s1 x

x c0 := ξc0⋅ ( h − d 2)

xc0 = 240.5 ⋅ mm

x c := x c0

xc = 240.5 ⋅ mm

* *α *f cd Fc=xc b Fs1=As1*σs1

A nyomott (As1 jel ű) acélbetétek állapotának ellen ő rzése: xc > ξć0 = 1.59 ξć := ξć = 4.81 a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs1=f yd a1 NRd.8 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ f cd − As2 ⋅ f yd + As1⋅ f yd NRd.8 = 1298.6⋅ kN ⎛ h xc0 ⎞ h h MRd.8 := − b ⋅ xc0⋅ α⋅ f cd⋅ MRd.8 = −276.1 ⋅ kN⋅ m − − As2⋅ f yd⋅ ⎡( h − d2 ) − ⎤ − As1⋅ f yd⋅ ⎛ d1 − ⎞ 2⎦ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎣ ⎝

37


IV. gyakorlat

A teherbírá si vonal 9 .pontja: Tiszta hajl ítás (N=0) (az A s1 jel ű nyomott acélbetétek és húzottak lesznek az A s2 )

Ebben az esetben a keresztmetszet úgy megy tönkre, hogy - nyomott acélbetétek rugalmasak maradnak, - húzott acélbetétek pedig elszakadnak és - betonban nem jön létre a törési összenyomódás

ε

σ ε

As2

s2

Belső er ők

σ

Fs2=As2*σs2

s2

h

As1

ε

s1

εsu=3.5%0 αf cd

b

σ

Fc=xc b * *α*f cd Fs1=As1*σs1

c

s1 x .

Tegyük fel, hogy a nyomott acélbetétek rugalmasak és a húzott acélbetétek megfolynak!

A vetületi egyensúlyi egyenlet: 0

=

(az egyenlet megoldása másodfo kú egyenl etre vezet, melybő l a 560 ⎞ − As2⋅ f yd fizikai ta rtalommal bíró g yökét haszn áljuk fel a f eladat x c⋅ b ⋅ α⋅ f cd + As1⋅ ⎛ 700 − xc

⎜ ⎝

⎟ d2 ⎠

megoldása során)

x c = 41.6 ⋅ mm

Az acélbetétek állapotának ellen ő rzése: xc < ξc := ξc = 0.093 h − a2 xc < ξć := ξć = 0.833 a1 nyomott acélban keletkez ő feszültség:

(ellen ő rzés)

ξ c0

= 0.534

a húzott acélbetétek megfolynak, így σs2=f yd

= 1.59

a nyomott acélbetétek rugalmasak, így σs1=σ's

ξć0

σ´s := 700

−

560 ξ´ c

σ´s

= 27.54 ⋅

NRd.9 := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd + As1 ⋅ σ´s − As2⋅ f yd

MRd.9 := − b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd⋅

N 2

mm

(< f yd = 347.8 ⋅

N [kN]

8

Megjegyzés: a keresztmetszet teherbírási von ala bizonyítottan konvex, így a biztonság javára közelítünk, ha a meghatározott pontokat egyenesekkel kötj ük össze, és mivel elég sok pontot határoztunk meg, így nem durva a közelítés

3000 2000

2

1000 3 300

200

9 100

100

200 5

)

mm

MRd.9 = −88.8⋅ kN⋅ m

Az adott keresztmetszet teherbírási vonala (a keresztmetszet geometriai középpontjára):

7

2

NRd.9 = −0 ⋅ kN

⎛ h xc ⎞ h h − − As2 ⋅ f yd⋅ ⎛ − d 2 ⎞ − As1⋅ σ´s⋅ ⎛ d 1 − ⎞ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝

1

N

4

1000 6

38

M [kNm]


IV. gyakorlat

4.4. Példa: Határozza meg a négyszög keresztmetszet közelít ő teherbírási vonalának pontjait úgy , hogy a nyomatékokat a nyomási teherbírási középpontra írja fel!

500 0 0 3


3ϕ16 5 ϕ20 Anyagjellemzők definálása: (lásd 4.3. példa) Geometria jellemz ő k definiálása: (lásd 4.3. példa) Megoldás: As2 T c

h

M

x = d

M=cN N

N

As1 b

Ekkor a normáler ő külpontosságát a nyomási teherbírási középpontbó l mérjük. Ha normáler ő a teherbírási középpon tban hat a keresztmetszetre, akkor a keresztmetszet minden pontjában a beto n törési összenyomódásával meg egyez ő érték ű lesz a megnyúlás. [Kollár, 104. old] A teherbírá si vonal 1 . pontja : a maximális nyomóer ő höz tartozó pon t (központos nyomás )

ε σ 2%0 αf cd ε σ s2

As2

Bels ő er ők

Fs2=As2*σs2

s2

d

h

.

As1

ε

σ

s1

Fc=xc b * *α *f cd

xc

Fs1=As1*σs1

s1

b

A 2 ‰-es összenyomódáshoz tartozó N acélfeszültségek: < σs := Es⋅ 2 ‰ σs = 400⋅ 2 mm NRd.1 := b ⋅ h ⋅ α⋅ f cd + As1 ⋅ f yd + As2⋅ f yd

f yd = 347.8 ⋅

N 2

az acélbetétek megfolynak, így σs1=σs2=f yd

mm

NRd.1 = 2756.2⋅ kN

A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontban: h h MRd.1 := As2⋅ f yd⋅ ⎛ − d 2 ⎞ − As1⋅ f yd⋅ ⎛ d 1 − ⎞ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝

MRd.1 = −67.3⋅ kN⋅ m

Teherbírási középpontnak a geometriai középponttól mért távolsága: A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban:

c :=

MRd.1

NRd.1 MRd.1 := M Rd.1 − NRd.1⋅ c

c = −24.4 ⋅ mm MRd.1 = 0 ⋅ kN⋅ m

A teherbírási vona l 2. pontja: A maximális nyo matékh oz tartozó po nt (az A s1 jel ű húzott acélbetétek és nyomottak az A s2 )

A maximális nyomaték helye közel esik, ahhoz a keresztmetszeti er ő játékhoz, ahol ξc=ξc0, (azaz a húzott acél a képlékeny és a rugalmas állapot határán van)

ε

As2


Belső er ők 0

s2

c

x .

= c

x

As1

ε =f Eyds s1

b

σ

s1

Fs2=As2*σs2 Fc=xc *b*α*f cd Fs1=As1*σs1

39

ahol σs1=f yd

xc0 := ξc0⋅ d 1 xc0 = 240.5 ⋅ m xc := x c0 xc = 240.5 ⋅ m


IV. gyakorlat

A nyomott acélbetétek állapotának ellen ő rzése: xc > ξć0 = 1.59 nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=f yd ξć := ξć = 4.81 d2 NRd.2 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ f cd + As2⋅ f yd − As1 ⋅ f yd NRd.2 = 625.4 ⋅ kN A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontra: ⎛ h xc0 ⎞ h h MRd.2 := b ⋅ x c0⋅ α⋅ f cd⋅ − + As2⋅ f yd⋅ ⎛ − d2 ⎞ + As1⋅ f yd⋅ ⎛ d 1 − ⎞ MRd.2 = 276.1 ⋅ kN⋅ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban: MRd.2 := MRd.2 − NRd.2⋅ c MRd.2 = 291.3 ⋅ kN⋅ A teherbírá si vonal 3 . pontja : Tiszta hajlítás (N=0) (az A s1 jel ű húzott acélbetétek és nyomottak az A s2 )

ε

As2


As1

ε

Belső er ők

σ

s1

b

Fs2=As2*σs2 * *α*f cd Fc=xc b

c s2 x .

Fs1=As1*σs1

s1

Tegyük fel, hogy a húzot t acélbetétek is és a nyomott acélbetétek is húzásra ill. nyomásra folyn ak

A vetületi egyensúlyi egyenlet:

0

=

b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd + As2 ⋅ f yd − As1⋅ f yd

xc = 84.1⋅ mm Az acélbetétek állapotának ellen ő rzése: xc < ξc0 = 0.534 ξc := ξc = 0.187 a húzott acélbetétek megfolynak, így σs1=f yd d1 xc > ξć0 = 1.59 a nyomott acélbetétek megfolynak, így σs2=f yd ξć := ξć = 1.683 d2 ellenő rzés: NRd.3 := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd + As2⋅ f yd − As1 ⋅ f yd NRd.3 = 0⋅ kN A nyomatéki teherbírás geometriai középpontra: ⎛ h xc ⎞ h h MRd.3 := b ⋅ x c⋅ α⋅ f cd⋅ MRd.3 = 221.2 ⋅ kN⋅ − + As2⋅ f yd⋅ ⎛ − d 2 ⎞ + As1⋅ f yd⋅ ⎛ d 1 − ⎞ 2 2 2 2

⎝

⎠

⎝

⎠

A nyomatéki teherbírás a teherbírási középpontban:

⎝

⎠

MRd.3 := MRd.3 − NRd.3⋅ c Egyszerűsített teherbírási vonal a keresztmetszet teherbírási középpontjára: N [kN] 1

1 3000 2000

geometriai kp.-ra teherbírási kp.-ra

1000

2 2 100

200 3

M [kNm]

40

MRd.3 = 221.2 ⋅ kN⋅


IV. gyakorlat

4.5. Példa:. Ellen őrizze az alábbi keresztmetszetet a megadott ferde külpontos nyomóer őre a közelít ő teherbírási vonallal! NEd := 750kN

x 0 6

y

eEd.x := 90mm

eEd.y

eEd.y := 60mm 90

Ed.x

Ha az egyszer ű sített teherbírási vonal az x-z síkban: Nx [kN] 2000 1 1000 NEd

2

NRd.x.1 := 1950kN NRd.x.2 := 760.3kN

MRd.x.1 := 0kN⋅ m

NRd.x.3 := 0kN

MRd.x.3 := 36.36kN⋅ m

MRd.x.2 := 117.2kN⋅ m

Mx [kNm] 3 MR.x100

Ha az egyszer űsített teherbírási vonal az y-z síkban:

Ny [kN] 2000 1 1000 N Ed

NRd.y.1 := 1950kN NRd.y.2 := 728.7kN

MRd.y.1 := 0kN⋅ m

NRd.y.3 := 0kN

MRd.y.3 := 27.18kN⋅ m

MRd.y.2 := 77.4kN⋅ m

2 MR.y100 My [k Nm]

Megoldás: MEd.x := NEd ⋅ eEd.x

MEd.x = 67.5⋅ kN⋅ m

MEd.y := NEd ⋅ eEd.y

MEd.y = 45⋅ kN⋅ m

A határnyomaték az x-z síkban: M Rd.x.2 − MR.x MRd.x.2 − MRd.x.3 NRd.x.2 − NEd NRd.x.2 − NRd.x.3 =

MR.x = 116.1 ⋅ kN⋅ m

>

megfelel, hiszen az igénybevételi pár a MEd.x = 67.5⋅ kN⋅ m teherbírási vonalon belül esik

A határnyomaték az y-z síkban: M Rd.y.2 − MR.y MRd.y.2 − MRd.y.1 NEd − NRd.y.2 NRd.y.1 − NRd.y.2 =

MR.y = 76.1 ⋅ kN⋅ m

>

MEd.y = 45⋅ kN⋅ m

41

megfelel, hiszen az igénybevételi pár a teherbírási vonalon belül esik


IV. gyakorlat

N Megj egyzés: Ha a vb. keresztmetszet ferde külp ont os nyo móer ő vel van terhelve, akkor M Ed.x. és M Ed.y kétirányú hajlítónyomatékkal van igényb evéve. Azt, hogy (N Ed , M Ed.x ). és (N Ed , M Ed.y ) az igénybevételp árokat képes-e viselni a közelít ő térbeli teherbírási felülettel dönthetjük el. Ha az igénybevételpárok a teherbírási felü leten belül esnek, akkor a vb. keresztmetszet ferde ha jlításra megfelel.

My

Mx

Ferde külpontos nyomásnál a két nyomatéki igénybevétel egyszerre hat, így a keresztmetszetnek ki kell elégítenie a következ ő feltételt is [Farkas-Huszár-Kovács-Szalai, 161 . oldal]: Tehát a teherbírási felület az N Ed=750kN síkkal való metszeténél kell vizsgálni, hogy a nyomaték pár a teherbírási vonalon belül esik-e:

⎛ Mx.Ed( N) ⎞

a

⎝ Mx.Rd( N) ⎠

+

⎛ My.Ed( N) ⎞

a

⎝ My.Rd( N) ⎠

ahol

≤ 1.0

Mx.Ed( N)

=

M Ed..x

Mx.Rd( N)

=

M R.x

My.Ed( N)

=

M Ed.y

My.Rd( N)

=

M R.y

négyszög keresztmetszet esetén: - a teljes betonkeresztmetszet:

2

Ac := b ⋅ h

Ac = 150000⋅ mm 2

- a hosszvasalás mennyisége:

As := As1 + As2 -az elméletileg központos normáler ő -teherbírás tervezési értéke: NRd := Ac⋅ f cd + As⋅ f yd

As = 2174⋅ mm

NRd = 2756.2⋅ kN

NEd = 750⋅ kN NEd = 0.272 NRd - az a meghatározásához a táblázat szerint interpolálni kell:

a=1,0 a=1,5 a=2,0

My NEd/NRd 0,1 0,7 1,0 a 1,0 1,5 2,0

Mx

⎛ M Ed.x ⎞ ⎝ MR.x ⎠

a

+

⎛ MEd.y ⎞ ⎝ MR.y ⎠

67,5 116,1

0.7 − így:

0.7 − 0.1 1.5 − 1.0 a = 1.143

=

NEd NRd

1.5 − a

a

= 1.087

>1

tehát a keresztmetszet a ferde hajlításra nem felel meg!

M y [kNm]

45 76,1 M x [kNm] 42


V. gyakorlat anyaga

V. GYAKORLAT

Vasbeton gerendák nyírásvizsgálata

Készítették: Friedman Noémi , Dr. Huszár Zsolt, Völgyi István nyírási teherbírás megfelelő , ha a következő követelmények mindegyike egyidejűleg

•

teljesül:

a keresztmeszet nyírási teherbírására vonatkozóan: min(V Ed , V Ed,red ) ≤ V Rd,s

•

a beton (nyírásból származó) ferde nyomási teherbírására vonatkozóan: V Ed ≤ V Rd,max

A fenti összefüggésekben: V Ed a külső terhekből és terhelő hatásokból a statikai vázon meghatározott nyíróerő tervezési értéke a külső terhekből és terhelő hatásokból meghatározott nyíróerő tervezési értéke, V Ed,red mely tartalmazza: az axiális igénybevételek tangenciális összetevőinek nyíróerőt módosító hatását, a tartószerkezet ellentétes oldalán működő terhelés és megtámasztás közötti „ívhatást”. a méretezett nyírási vasalással ellátott keresztmetszet nyírási teherbírása V Rd,s a beton ferde nyomási teherbírása alapján számított nyírási teherbírás. V Rd,max 



A keresztmetszetben csak minimális (nem méretezett) nyírási vasalást kell elhelyezni ha: min(V Ed , V Ed,red ) ≤ V Rd,c

ahol: V Rd,c

-

a méretezett nyírási vasalás nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása.

megtámasztás környezetében kialakuló közvetlen teherátadás (redukció)

p

F

d 0,5d d 2d

VEd,max

F VEd,red VEd

1. ábra:

Az a < 2d szakaszon belül csak megoszló teher működik

43


V. gyakorlat anyaga

Amennyiben a teher a szerkezetnek az alátámasztással ellentétes oldalán működik, továbbá a támasz szélétől av ≤ 2d távolságon belül csak megoszló teher hat, akkor megengedett, hogy a támasz tengelyétől d távolságon belül a V Ed,red redukált nyíróerő diagrammját az 1. ábra szerint vegyük fel. Ez az eljárás csak akkor alkalmazható, ha a vizsgált keresztmetszetben lévő hosszvasalás a támasz mögött megfelelően le van horgonyozva. Ha a támasz közelében koncentrált erők is hatnak, akkor a redukció részleteit az MSZ EN 1992-1-1 taglalja. éretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása

A méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírását ( V Rd.c) a nyomott zóna nyírási teherbírása biztosítja. A keresztmeszet nyírási teherbírása – ha hajlítási repedések lépnek fel – a következőképpen számítható: V Rd,c =

ahol:

 0 ,18  1 / 3  γ k (100 ρ l f ck ) + 0 ,15 σ cp bw d ≥ (v min + 0 ,15 σ cp ) bw d  c 

f ck [N/mm2]-ben értendő

200

k = 1 +

ρ? =

d

A sl bw d

A sl

-

bw

N Ed

-

Ac vmin

-

σcp

≤ 2,0 melyben d mm-ben értendő

≤ 0,02 a vizsgált keresztmetszeten (lehorgonyzási hossz + d) távolsággal túlvezetett húzott oldali hosszvasalás keresztmetszeti területe, melybe a tapadásos feszítőbetét is beszámítható, a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában, σcp = N Ed / Ac ≤ 0,2 f cd , σcp értékét [N/mm2]-ben kell számítani (nyomás pozitív), a vizsgált keresztmetszetben a külső terhekből és a feszítésből származó normálerő tervezési értéke (nyomás esetén pozitív). A terhelő mozgásokból származó normálerő figyelmen kívül hagyható, a betonkeresztmetszet területe, értéke a következő: vmin = 0,035 k 3/2 f ck 1/2

éretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírása

A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszetek nyírási teherbírásának számítását a rácsostartó modellen alapuló, változó dőlésű rácsrúd módszere alapján kell végezni az alábbi ábrán látható modell alapján. a b V ( cot θ− cot α) F cd

d

α

θ V

d a – nyomott öv

z

½

z

z = 0,9d

F td

c s b – ferd e n yom ott betonrú d 2. ábra:

½

c – húzott öv

N

M

V d – n yírási vasalás

A változó dőlésű rácsrúd-módszer modellje

A ferde nyomott betonrudaknak a tartó hossztengelyével bezárt θ szögét a következő korlátok betartásával úgy célszerű felvenni, hogy a vasalás kialakítása optimális legyen.

44


V. gyakorlat anyaga

A készülő NAD a következő utasítást adja *: Alacsonyabb minőség-ellenőrzési szint esetén (monolit, feszítetlen szerkezetek) 1,0 ≤ cotθ ≤ 1,3 korlátok betartása szükséges. Általában, pontosabb számítás hiányában cot θ=1,3 alkalmazható. Ha húzás vagy számottevő csavarás működik, otθ=1,0! Magasabb minőség-ellenőrzés esetén (pl előregyártott vagy feszített tartók): σ cd

1,2 + 1,4

1,0 ≤

cot θ ≤ 1−

f cd ≤ 2,0 V c

V Ed , red

1   σ   V c =  β ct ⋅ η 1 ⋅ 0,1 ⋅ f ck 3 ⋅ 1 + 1,2 ⋅ cd   ⋅ bw ⋅ z , ahol βct = 2,4 ; η1 = 1 f cd    

normálbeton esetén

A beton ferde nyomási teherbírása a következő összefüggéssel számítható: V Rd,max = αcw b w z ν f cd

cot θ + cot α

1 + cot 2 θ

ahol: αcw értéke:

1,0 1+

feszítés nélküli szerkezetek esetén σ cp f cd

ha 0 < σcp ≤ 0,25 f cd

1,25 ha 0,25 f cd < σcp ≤ 0,5 f cd  σ cp   ha 0,5 f cd < σcp < f cd 2 ,51 −  f cd   - átlagos nyomófeszültség az ideális keresztmetszeten meghatározva. σcp A támasz szélétől 0,5 d cotθ távolságon belül értékét zérusnak lehet tekinteni. - a húzott és nyomott öv közötti legkisebb keresztmetszeti szélesség, bw - a belső kar, normálerő (feszítés) nélküli elemek esetén általános esetben z = 0,9d érték z alkalmazható.  f  - hatékonysági tényező, általában: ν = 0,6 1 − ck  ν  250  - a nyírási vasalás síkjának a tartó hossztengelyével bezárt szöge (kengyel esetén α = 90°, α felhajlítás esetén α = 45°. )**. A méretezett nyírási vasalást tartalmazó keresztmetszet nyírási teherbírása általános esetben a következő összefüggéssel határozható meg: A sw V Rd = V Rd,s = z f ywd (cotθ + cotα) sinα s ahol: A sw f ywd s

-a nyírási vasalás keresztmetszeti területe

- a nyírási vasalás szilárdságának tervezési értéke. - kengyeltávolság a tartó hossztengelye mentén mérve.

Fontos: Laposabb nyomott beton rácsrúd felvételével a számított nyírási vas mennyisége csökkenthető,de a ferde nyomott beton rácsrúd vízszintes komponense ezzel párhuzamosan gyorsan nő. E többlet húzóerő felvételéről megfelelő húzott hosszvasalás elhelyezésével és lehorgonyzásával gondoskodni kell. Ez főleg a tartóvégen jelenthet számottevő többletvasalást. *Feszítés illetve normálerő nélküli esetekben az V. és VI. gyakorlat példáiban, a felkészülést segítő példákban, valamint a tervezési segédletben az egyszerűség kedvéért cot θ = 1,3-mal számoltunk. Normálerő nélküli esetben is megfontolandó a fenti képlet alkalmazása. **Amennyiben függőleges kengyelek és felhajlított acélbetétek is részt vesznek a nyírási teherbírásban, javasolt a biztonság javára történő közelítésként V Rd,max fenti képletében α= 90 fokkal számolni. Vagy megengedett a Dulácska Endre és Kollár László (Deák György – Draskóczy András – Dulácska Endre – Koollár László – Visnovitz György: Vasbetonszerkezetek című könyve) által ajánlott (ctgθ + ctgα) / (1+ ctg2θ) = 0.75 (θ=45 fok esetén) pontosabb értékkel számolni.

45


V. gyakorlat anyaga

5.1. Koncentrált er ővel tehelt konzol ellenőrzése nyírásra

Anyagok : Beton: C25/30 Betonacél: S400B Betonfedés:20 mm Kedv.elm.: 10 mm Kengy.táv: s = 150mm

5.1.1. Kiindulási adatok a.) Geometriai jellemz ők: 2

2

A sl :=

4⋅ϕ ⋅π

Asl

4

⎛ ⎝

d := h − 20 + 10 +

20

= 1257 ⋅ mm

2

+ 10 ⎞ mm

⎠

2

d

A sw :=

2 ⋅ ϕk ⋅ π 4

γc := 1.5

N

f ck := 25

mm

γs := 1.15

Betonacél: S400B

= 157 ⋅ mm

2

= 300 ⋅ mm

b.) Anyagjellemz ők: Beton: C25/30

Asw

f cd :=

2

N

f yk := 400

mm

2

f yd :=

f ck

1.5

f yk

1.15

f cd

N

= 16.67 ⋅

mm

f yd

= 347.83 ⋅

2

N mm

2

5.1.2. Ellenőrzés nyírásra a.) Mértékadó nyíróer ő meghatározása -A nyíróer ő tervezési értéke: V := 120 kN Ed

( VEd = V)

-A redukált nyíróer ő: Mivel a befogás 2d = 600 mm hosszú környezetében nem hat a gerendára teher, a nyíróer ő redukciója nem okoz változást. VEd.red := V Ed

VEd.red

= 120 ⋅ kN

46


V. gyakorlat anyaga

b.) A beton által felvehet ő nyíróer ő ( VRd.c ) Ameghatározása (normáler ővel nem terhelt) méretezett nyírási vasalás nélküli kersztmetszet nyírási teherbírása ( VRd.c ):

⎡ ⎢ VRd.c := max ⎢ ⎢ ⎣

1⎤

0.18 γc

⋅ k ⋅ ( 100 ⋅ ρl ⋅ f ck )

⎥ ⋅ b ⋅ d ⎥ w ⎥ ⎦ ⎞ 200 , 2.0 d ⎠

ν min

⎛ ⎝

ahol k: k := min 1 +

ρl := min

:

ρl

ν min :

3

⎛ Asl ⎝ bw ⋅ d

⎞

, 0.02

3

0.035 ⋅ 1.816

250 ⋅ 300

= 0.017

ρl

= 0.017

1

⋅ 25

2

= 0.428

⎤

1

⎣ 1.5

2

1257

=

bw ⋅ d

1

2 2 ν min := 0.035 ⋅ k ⋅ f ck

0.18

A sl

⎠ 3

k = 1.816

300

ahol:

⎡ VRd.c := max

200

k := 1 +

3

⋅ 1.816 ⋅ ( 100 ⋅ 0.017 ⋅ 25) , 0.428 ⋅ 250 ⋅ 300 ⋅ N

⎦

1

0.18

ahol VRd.c

1.5

⋅ 1.816 ⋅ ( 100 ⋅ 0.017 ⋅ 25)

= 57.0 ⋅ kN <

VEd.red

3

= 0.760

= 120 ⋅ kN

szükség van nyírási vasalásra

c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehető legnagyobb nyíróer ő ( VRd.max ) meghatározása V Rd.max

cot( θ ) + cot( α )

:= αcw ⋅ bw ⋅ z ⋅ ν ⋅ f cd ⋅

1 + ( cot( θ) )

2

ahol: αcw := 1

feszítés illetve nyomóer ő nélküli keresztmetszet esetén;

z := 0.9 ⋅ d

⎛ ⎝

ν := 0.6 ⋅ 1 ν

−

f ck ⎞

ahol

250 ⎠

f ck := 25

= 0.540

α := 90 ⋅ fok θ

= 270 ⋅ mm

z

a ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hoss ztengelyével bezárt szöge

1.3 + 0

:= 1 ⋅ 250 ⋅ 0.9 ⋅ 300 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅

V Rd.max

2 mm

a nyírási vasalásnak (a kengyelnek) a tartó tengelyével bezárt s zöge

cot Θ=1.3 VRd.max

N

2

(az egyszer ű számítás kedvéért)

⋅N

1 + 1.3

= 293.6 ⋅ kN >

VEd

= 120 ⋅ kN

A beton kereszt metszet geometriai méretei megfelelőek, a gerenda nyírásra vasalható.

47


V. gyakorlat anyaga

d) A méretezett nyírási vasalással ellátott vb keresztmetszet nyírási teherbírásának( VRd ) meghatározása (A V értékét, azaz a beton által felvehet ő nyíróer őt, az MSZ EN 1992-1-2 nem veszi figyelembe a Rd.c

V Rd számításánál.)

A kengyelek által felvehető nyíróer ő ( VRd.s) meghatározása: 2 157 ⋅ mm ⋅ 348 ⋅ V Rd.s

:=

Asw ⋅ f yd s

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot( θ)

V Rd := VRd.s

V Rd

=

N 2 mm

150 ⋅ mm

⋅ 0.9 ⋅ 300 ⋅ mm ⋅ 1.3 = 127.8 ⋅ kN

= 127.8 ⋅ kN

e.) Teherbírás ellenőrzése V Ed.red

= 120 ⋅ kN < VRd = 127.8 ⋅ kN

A gerenda nyírási teherbírása megfelel.

f.) Szerkesztési szabályok ellenőrzése ρw :=

A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

ρw

= 0.419 ⋅ %

0.08 ⋅

= 0.419 ⋅ %

ρw

s ⋅ bw ⋅ sin( α)

ρw.min :=

[1] A fajlagos mennyiség minimális értéke:

ρw.min = 0.100 ⋅ % <

Asw

f ck

0.08 ⋅

=

25

400

f yk

= 0.100 ⋅ %

Megfelel

[2] A fajlagos mennyiség maximális értéke:

ρw.max :=

1 2

⋅

αc ⋅ ν ⋅ f cd

1 − cos( α )

1 ⋅ 0.540 ⋅ 16.67 ⋅

⋅

1

=

f yd

1 2

N mm

⋅

1

2

⋅

1 347.8 ⋅

mm

ρw.max = 1.294 ⋅ %>

ρw

= 0.419 ⋅ %

= 225 ⋅ mm

>

s

= 150 ⋅ mm

2

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s max

= 1.294 ⋅ %

N

smax := 0.75 ⋅ d = 0.75 ⋅ 300mm

Megfelel

[4] A gerendában felhajlított betét nincs, teljesül az a feltétel, hogy a nyíróer ő legalább 50% -át kengyelekkel kell f elvenni, ugyanis a nyíróer őt 100%-ban a kengyelek veszik fel.

48


V. gyakorlat anyaga

5.2. Határozza meg az adott keret A-B keresztmetszetek közötti szakaszán az alkalmazott kengyelek szükséges távolságát! P=200 kN

Anyagok :

q=8 kN/m g=4 kN/m


C Q=50kN Q=30 kN

2φ14

B

4φ20

φ10

Biztonsági tényezők:

A

γg := 1.35

γq := 1.5 γP := 1.5

Egyidejűségi tényezők egységesen:

ψ := 0.6

5.2.1. Kiindulási adatok a.) Geometriai jellemz ők: 2

A sl :=

4⋅ϕ ⋅π 4

A sl

= 1257 ⋅ mm

2

2

A'sl :=

2 ⋅ ϕ' ⋅ π

A'sl

4

= 308 ⋅ mm

2

2

A sw :=

2 ⋅ ϕk ⋅ π 4

A sw

= 157 ⋅ mm

2

d := 200 mm

d' := 50mm

b.) Anyagjellemz ők: Beton: C25/30

Betonacél: S500B

γc := 1.5

γs := 1.15

f ck := 25

N

f cd :=

2 mm

f yk := 500

N mm

f yd :=

2

f ck

1.5

f yk

1.15

f cd

N

= 16.67 ⋅

mm

f yd

= 434.78 ⋅

2

N mm

2

5.2.2.Szükséges kengyeltávolság m eghatározása a.) Mértékadó igénybevételek meghatározása A mértékadó nyíróer ő az A-B szakaszon a kiemelt vízszintes Q teherből keletkezik: V A := γP ⋅ Q Q

P

V Ed.red Ax

=

:= VA

1.5 ⋅ 50 ⋅ kN V Ed.red

= 75 ⋅ kN

VA

(

)

L

A mértékadó nyíróer ővel egyidejű normáler ő: N := γ ⋅ g + ψ ⋅ γ ⋅ q ⋅ − Ed g q 2 NEd

49

= 189 ⋅ kN

Q ⋅ γP ⋅ H

2⋅L

+ ψ ⋅ γP ⋅ P


V. gyakorlat anyaga

b.) A nyomott beton által felvehető nyíróer ő ( VRd.c ) meghatározása A méretezett nyírási vasalás nélküli kerszt metsz et nyírási teherbírása ( VRd.c ): 1⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 0.18 3 ⋅ k ⋅ ( 100 ⋅ ρl ⋅ f ck ) ⎥ ⎢ ⎢ := + 0.15 ⋅ σcp⎥ ⋅ bw ⋅ d VRd.c max γ c ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ νmin ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ ⎛ ⎞ 200 200 ahol k: , 2.0 k := min 1 + k := 1 + 200 d ⎝ ⎠ Asl ⎛ Asl ⎞ ρ : l

ρl := min

σcp :

σcp :=

bw ⋅ d

, 0.02

⎝

NEd

189 ⋅ kN

ν min :

⎡

1

⎡

VRd.c := max

⎣

3

2 2 ν min := 0.035 ⋅ k ⋅ f ck

1.5

2

= 0.025

250 ⋅ 200

= 0.020

N 2 mm

2

⋅ 25

= 0.495

⎤

ahol

3

⋅ 2 ⋅ ( 100 ⋅ 0.02 ⋅ 25) , 0.495 + 0.15 ⋅ 3.024 ⋅ 250 ⋅ 200 ⋅ N

⎦

⎦

1

0.18 1.5

VRd.c

ρl

1

⎤

1

0.18

⎣

0.035 ⋅ 2

1257

= 3.024 ⋅

250mm ⋅ 250 mm

3

=

bw ⋅ d

⎠ =

b ⋅ h

ahol:

k = 2

= 66.9 ⋅ kN <

VEd.red

= 75 ⋅ kN

⋅ 2 ⋅ ( 100 ⋅ 0.02 ⋅ 25)

3

= 0.884


c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehető legnagyobb nyíróer ő ( VRd.max ) meghatározása: Kengyel, azaz α := 90 ⋅ fok esetén a nyíróer ő fels ő korlátja: V Rd.max

:= αcw ⋅ bw ⋅ z ⋅ ν ⋅ f cd ⋅

ahol: αcw := 1

+

σ cp

⎛ ⎝

ν := 0.6 ⋅ 1 ν θ

z

−

cot( θ ) + cot ( α)

Mivel α := 90 ⋅ fok esetén:

tan( θ ) + cot ( θ)

N

mivel σ = 3.024 ⋅ cp

f cd

z := 0.9 ⋅ d

1

mm

1 + ( cot( θ) )

0.25 ⋅ f cd = 4.167 ⋅

< 2

N 2 mm

2

=

αcw

1 tan( θ ) + cot ( θ)

= 1.181

= 180 ⋅ mm f ck ⎞

f ck = 25 ⋅

ahol

250 ⎠

= 0.540

N 2 mm

A ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt sz öge 1

⎛ V c := 0.24 ⋅ f ck ⋅

⎝

mm

2 ⎞

N

⎠

3

σ cp ⎞ ⎛ 1.2 + 1.4 ⋅ f cd ⎟ ⎜ θ := acot⎜ ⎟ Vc ⎜ 1− ⎟

⎝

VEd.red

⎛

σ cp ⎞

⎝

f cd ⎠

⋅ 1 + 1.2 ⋅

⎠

N

bw ⋅ z ⋅

1.2 + 1.4 ⋅

ctg(θ)= 1−

2 mm

Vc

= 38.455 ⋅ kN

3.02 16.67

38.46 75

*

= 2.98

>2.0

θ := acot( 2.0) θ

= 26.6 ⋅ deg

* ctg(θ) értéke nem lehet 2,0-nél nagyobb. Ha a számításból ennél nagyobb érték adódik, ctg( θ)=2,0.

50


V Rd.max

V. gyakorlat anyaga

:= 1.177 ⋅ 250 ⋅ 0.9 ⋅ 200 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅

1 0.5 + 2.0

⋅N

VRd.max

= 190.7 ⋅ kN>

VEd := 75kN

A gerenda nyírásra bevasalható d.) A szükséges kengyeltávolság ( smax ) meghatározása: A megengedhető legnagyobb k engyeltávolság számításához a VEd.red ≤ VRd egyenlőtlenségre egyenlőséget feltételezve: V Rd := VEd.red V Rd.s

:=

Asw ⋅ f yd smin

VRd

= 75 ⋅ kN

V Rd.s

:= VRd

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot( θ)

Asw ⋅ f yd

s max :=

VRd.s

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ 2.0

s max

= 328 ⋅ mm

s alk := 320mm

Az alkalmazott kengyeltávolság legyen:

A sw ⋅ f yd

VRd.s :=

Ekk or a kengyelek által felvehető nyíróer ő:

s alk

e.) A szerkesztési szabályok ellenőrzése ρw :=

A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

Asw

0.08 ⋅

f ck

V Rd.s

ρw

salk ⋅ bw ⋅ sin( α )

ρw.min :=


⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ 2.0

25

500

f yk

ρw.min = 0.080 ⋅ % <

= 0.196 ⋅ %

0.08 ⋅

=

ρw

= 76.8 ⋅ kN

= 0.080 ⋅ %

= 0.196 ⋅ %

Megfelel


ρw.max :=

1 2

⋅

αc ⋅ ν ⋅ f cd

1 − cos( α )

1 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅

⋅

1

=

1 2

f yd

⋅

N 2 mm

1

1

⋅

434.78 ⋅

mm

ρw.max = 1.035 ⋅ %>

ρw

= 0.196 ⋅ %

= 150 ⋅ mm <

salk = 320 ⋅ mm

2

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s max.d

= 1.035 ⋅ %

N

s max.d

:= 0.75 ⋅ d = 0.75 ⋅ 200mm

Nem felel meg!!!!

[4] A mértékadó nyíróer őt 100% -ban a k engyelek ves zik fel > 50% s alk := 150mm

A szerkesztési szabályok miatt módosított kengyeltávolság: Ekk or a kengyelek által felvehető nyíróer ő:

V Rd.s

:=

A sw ⋅ f yd s alk

Megfelel

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ 2.0

V Rd.s

= 163.9 ⋅ kN

e'.) A szerkesztési szabályok ellenőrzése a módosított kengyeltávolság esetén ρw :=

[3] s

Asw salk ⋅ bw ⋅ sin( α )

max.d

= 150 ⋅ mm =

ρw

= 0.419 ⋅ %

salk = 150 ⋅ mm

[1] ρ < w.min = 0.080 ⋅ %

ρw

= 0.419 ⋅ %

[2] ρ > w.max = 1.035 ⋅ %

ρw

= 0.419 ⋅ %

Megfelel

[4]

100% > 50%

Megfelel Megfelel Megfelel

Az A-B szakaszon a szükséges kengyeltávolság a nyírási teherbírás szempontjából 320mm, azonban a szerkesztési szabályok miatt legalább 150mm sűr űségű kengyeleket kell alkalmazni. A javasolt kengyeltávolság 150mm. 51


V. gyakorlat anyaga

5.3. Határozza meg a szükséges kengyeltávolságot (felhajlított vasat nem alkalmazunk)! p = 125kN/m d

L=2.50

V [kN]

VEd.red VEd

Anyagok :

d


5.3.1. Kiindulási adatok a.) Geometriai jellemz ők: a := 60mm

h := 450 mm

d := ( h − a)

d

b := 250 mm

= 390 ⋅ mm

L := 2.5m

2

A sl :=

6⋅ϕ ⋅π

A sl

4

Betonfedés:20 mm Kedv.elm.: 10 mm

= 2945 ⋅ mm

2

2

A'sl :=

2 ⋅ ϕ' ⋅ π

A'sl

4

= 402 ⋅ mm

2

2

A sw :=

2 ⋅ ϕk ⋅ π 4

A sw

= 157 ⋅ mm

2

b.) Anyagjellemz ők: γc := 1.5

Beton: C25/30

Betonacél: S500B

γs := 1.15

f ck := 25

N

f cd :=

2 mm

f yk := 500

N mm

2

f yd :=

f ck

1.5 f yk

1.15

f cd

N

= 16.67 ⋅

mm

f yd

= 434.78 ⋅

2

N mm

2

5.3.2.A Szükséges kengyeltávolságok m eghatározása a.) Mértékadó igénybevételek meghatározása A mértékadó nyíróer ő és a redukált nyíróer ő a függőleges megoszló p teherből: pd := 125

kN m

VEd := pd ⋅ L

VEd

= 312.5 ⋅ kN VEd.red := VEd − pd ⋅ d

52

V Ed.red

= 263.8 ⋅ kN


V. gyakorlat anyaga

b.) A beton által felvehető nyíróer ő ( VRd.c ) meghatározása A (normáler ővel nem terhelt) méretezett nyírási vasalás Figyelem! Az egyes k eresztmetsz etekben cs ak nélküli keresztmetszet nyírási teherbírása ( VRd.c ): azt a hosszvasalást vehetjük számításba, amit a difinició szerint megfelel ően túlvezettünk. A 1⎤ ⎡ konzol szabad vége környezetében ilyen 0.18 3 hosszvas nincs, ezért ott ρl=0. A tartó további ⋅ k ⋅ 100 ⋅ ρ ⋅ f ⎢ ⎥ V Rd.c := max

⎢ ⎢ ⎣

(

γc

l

)

ck

⎥ ⎥ ⎦

ν min

⋅ bw ⋅ d

⎛ ⎞ 200 , 2.0 d ⎝ ⎠ ⎛ Asl ⎞

ahol k: k := min 1 +

ρl

k := 1

: ρ := min , 0.02 l bw ⋅ d

ν min :

⎝

k = 1.716

390

3

0.035 ⋅ 1.716

2

0

=

bw ⋅ d

1

2 2 ν min := 0.035 ⋅ k ⋅ f ck

250 ⋅ 390

ρl

= 0.020

1

⋅ 25

2

= 0.393

1

3

⋅ 1.716 ⋅ ( 100 ⋅ 0 ⋅ 25) , 0.393 ⋅ 250 ⋅ 390 ⋅ N

⎦

ahol 0.18 1.5

VRd.c

=0

⎤

1

⎣ 1.5

200

Asl

⎠

3

0.18

+

ahol:

⎡ V Rd.c := max

szakaszán már figyelembe vehető lenne, de ott a mértékadó nyíróer ő ezzel együtt is biztosan maghaladja VRd.c értékét.

= 38.3 ⋅ kN <

VEd.red

= 263.75 ⋅ kN

⋅ 1.716 ⋅ ( 100 ⋅ 0.02 ⋅ 25)

3

= 0.759


c.) A nyomott beton tönkremenetele nélkül felvehető legnagyobb nyíróer ő ( VRd.max ) meghatározása: 1 (α = 90° esetén) := α ⋅ b ⋅ z ⋅ ν ⋅ f ⋅ V Rd.max

cw

w

cd

tan( θ ) + cot ( θ)

ahol: αcw := 1

(mivel a tartót nem terheli nomáler ő)

z := 0.9 ⋅ d

⎛ ⎝

ν := 0.6 ⋅ 1 θ VRd.max

z

−

= 351 ⋅ mm f ck ⎞

250 ⎠

ahol

f ck = 25 ⋅

N 2 mm

ν

= 0.540

A ferde nyomott beton rácsrúdnak a tartó hossztengelyével bezárt szöge cot( θ) = 1.3

:= 1 ⋅ 250 ⋅ 0.9 ⋅ 390 ⋅ 0.54 ⋅ 16.67 ⋅

( 1.3 + 0 )N VRd.max

2

1 + 1.3

= 381.7 ⋅ kN VEd = 312.5 ⋅ kN > A gerenda nyírásra bevasalható

53


V. gyakorlat anyaga

d.) A szükséges kengyeltávolságok meghatározása: A nyírásra vasalandó szakasz hosszának meghatározása: Ott szükséges nyírási vasalás, ahol: VRd.c

< VEd.red

Az ábra alapján:

(

tn

L

)⋅ V

tn := VEd − VRd.c

Ed

= 2193 ⋅ mm

Nyírási vasalás számítása: "A-A' " szakaszon: sAA :=

Asw ⋅ f yd ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot( θ) s AA

VEd.red

= 118.2 ⋅ mm Az alkalmazott kengyeltávolság

sAA := 100 mm

ezen a szakaszon legyen:

A "C-D" sz akaszon VRd.c > VEd , tehát itt nem szükséges méretezett nyírási vasalás, a kengyelkiosztást a szerkesztési szabályok határozzák meg: [1] A fajlagos mennyiség minimális értéke:

ρw.min = 0.080 ⋅ %

ρw.min :=

s max1

:=

0.08 ⋅

f ck

=

0.08 ⋅

25

500

f yk Asw

= 0.080 ⋅ %

s max1

ρw.min ⋅ bw

= 785 ⋅ mm


ρw.max :=

1 2

⋅

αc ⋅ ν ⋅ f cd

1 − cos( α )

1 ⋅ 0.540 ⋅ 16.67 ⋅

⋅

1

=

f yd

1 2

N mm

⋅

1

2

1

⋅

434.78 ⋅

mm

ρw.max

= 1.035 ⋅ %

s min :=

Asw

ρw.max ⋅ bw

s min

= 1.035 ⋅ %

N 2

= 61 ⋅ mm

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s = 0.75 ⋅ 390mm s max2 := 0.75 ⋅ d max2 = 293 ⋅ mm Legyen ezen a szakaszon az alkalmazott kengyeltávolság:

sCD := 280mm

(

<

min smax1 , smax2

>

s min

Az AA' sz akaszra meghatározott kengyelezést az A'B sz akaszra is kit erjesztjük:

) = 293 ⋅ m

= 61 ⋅ mm s AB := 100 mm

Tehát legyen: A - B:

s AB

= 100 ⋅ mm

B - C:

s BC := 160 mm *

C - D:

s CD

*(Az s

= 280 ⋅ mm

BC kengyeltávolság az sAB és az sCD értékek között tetsz ő legesen felvehet ő . Javasolt ezt az értéket úgy felvenni, hogy a

határnyíróer ő ábra minnél szorosabban kövesse a mértékadó nyíróer ő ábrát.

54


V. gyakorlat anyaga

e.) A szerkesztési szabályok ellenőrzése, határnyíróer ő ábra meghatározása: A - B s zakasz: A határnyíróer ő értéke:

VRd.AB :=

Asw ⋅ f yd s AB

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot( θ) VRd.AB = 311.6 ⋅ kN

Szerkesztési szabályok ellenőrzése: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

ρw :=

Asw

ρw

s AB ⋅ bw

> V Ed.red = 263.8 ⋅ kN

= 0.628 ⋅ %


ρw.min = 0.080 ⋅ % <

ρw

= 0.628 ⋅ %

Megfelel


ρw.max = 1.035 ⋅ %>

ρw

= 0.628 ⋅ %

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s max := 0.75 ⋅ d s max

= 292.5 ⋅ mm >

B-C szakasz: s BC

= 160 ⋅ mm

A határnyíróer ő értéke:

V Rd.BC :=

Asw ⋅ f yd sBC

sAB

= 100 ⋅ mm

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot( θ)

Megfelel

V Rd.BC

= 194.8 ⋅ kN

B -C szakasz (és a C -D szakasz) hosszának számítása: tCD := L − tn

tBD :=

L VEd

⋅ VRd.BC

tBC := tBD − tCD

tCD

= 307 ⋅ mm

tBD

= 1558 ⋅ mm

tBC

= 1252 ⋅ mm

A B-C szakaszon a szerkesztési szabályok ellenőrzése: A nyírási vasalás fajlagos mennyisége:

ρw :=

Asw sBC ⋅ bw

ρw

= 0.393 ⋅ %


ρw.min = 0.080 ⋅ % <

ρw

= 0.393 ⋅ %

Megfelel


ρw.max

= 1.035 ⋅ %>

ρw

= 0.393 ⋅ %

Megfelel

[3] A nyírási acélbetétek maximális távolsága: s > max = 292.5 ⋅ mm

s BC

= 160 ⋅ mm

Megfelel

C-D szakasz: A C-D szakaszon elméletileg nem kell méretezett nyírási vasalás. A sz akasz rövidsége miatt azonban ezen a szakaszon is kiszámoljuk a határnyíróer ő értékét a szerkesztési szabályok alapján felvett kengyelkiosztásból, és ez alapján a CD szakaszt kitoljuk, amennyire lehet, C' pontig. s C'D := sCD

= 280 ⋅ mm

A határnyíróer ő értéke:

VRd.C'D :=

A sw ⋅ f yd sC'D

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cot( θ)

VRd.C'D

= 111.3 ⋅ kN

Mivel a C-D szakaszon a szerkesztési szabályok alapján vettük fel a kengyelkiosztást, ezek mind teljesülnek.

55


V. gyakorlat anyaga

Kengyelkiosz tási vázlat és a határnyíróer ő ábra

56

Vasbetonszerkezetek I

VI. gyakorlat VI. GYAKORLAT

Gerendák komplex vizsgálata; határnyomaték, határnyíróerõ számítása, vaselhagyás tervezése

készítette: Friedman Noémi, Dr. Huszár Zsolt, Dr. Kiss Rita, Völgyi István A hosszvasalásban a ferde nyírási repedések miatti többleterő számítása

A nyírás miatt a hosszvasalásban keletkező többlet-húzóerő felvételéről gondoskodni kell. Általános esetben ehhez az M Ed nyomatéki ábrát a kedvezőtlenebb irányba al távolsággal el kell „csúsztatni”, ahol az elcsúszatás mértéke: - Méretezett nyírási vasalást nem tartalmazó elemek esetén: al = d z - Méretezett nyírási vasalást tartalmazó elemek esetén: (cotθ - cotα) (1) al =

2

Méretezett nyírási vasalást tartalmazó szerkezetek esetén a nyírás miatti többlet-húzóerő figyelembevétele a fenti „elcsúsztatási” szabály helyett történhet a hosszvasalásban keletkező többlethúzóerő (∆ F td ) közvetlen meghatározásával, és a hosszvasalásban keletkező teljes erőre vonatkozó feltétel egyidejű kielégítésével is, az alábbiak szerint:

∆ F td = 0,5 V Ed (cotθ - cotα)

M Ed

és

z

+ ∆ F td ≤

M Ed ,max z

ahol: V Ed , M Ed M Ed,max -

a nyíróerő és a hajlítónyomaték tervezési értéke a vizsgált helyen a hajlítónyomaték tervezési értéke a nyomatéki maximum helyén.

(Kengyelezés és felhajlítás együttes alkalmazásánál is használható α = 90 fok, mivel a kengyelezés tekinthető az elsődleges jelentőségű nyírási vasalásnak.) A fenti módszerek a tartó közbenső szakasza mentén alkalmazandók. A tartó feltámaszkodásának környezete külön vizsgálandó a következő eljárásnak megfelelően. A rácsos tartó modell szélső ferde nyomott rácsrúderejének vízszintes komponensét fel kell venni. A szabályzat szerint ez R*cot θ nagyságú erő. A tartó z*cot θ távolságon belüli tartórészéről az erők θnál meredekebb szögben érkeznek a támaszra, tehát a rácsrudak vízszintes komponense kisebb. Ennek megfelelően a lehorgonyzandó húzóerőt egyenletesen megoszló teher esetén VEdred*cotθ értékkel közelíthetjük. A felhajlított betétek hatástávolsága

Manapság felhajlított vasalást új szerkezet tervezésénél ritkán alkalmaznak, mert szerelése nehézkesebb és nagyobb az (egyre drágább) élőmunka igénye. A mérnöki gyakorlatban azonban gyakrabban találkozhatunk felhajlított vasalással meglévő szerkezetek ellenőrző statikai számításánál (felülvizsgálatánál). A felhajlított betétek hatástávolsága az alábbi ábrák segítségével értelmezhető. 45°

A felhajlított acélbetéteket α=45 fokos szögben szokás elhelyezni. Hatástávolságának meghatározásakor elsõ lépésként a felsõ és alsó szegletébõl 45 fokos vetítést végzünk a tartótengelyig.

45°

α

α 45°

l a n i o t v e l z é s a m m l á E t

Ha két egymás mögötti felhajlított betét hatástávolsága átfed, akkor a tényleges hatástávolságokat a tartó középvonalának magasságában kijelölhető felezőpont (C pont) határolja (2.ábra).

1. ábra

cα l a n o i t v e z l é s a m m l á E t

57

45°

α

2. ábra


VI. gyakorlat

A támasz melletti elsõ felhajlított betétet úgy kell elhelyezni, hogy az 1. ábra szerinti (bal oldali) segédvonal a tartó tengelyét az elméleti támasz mögött messe (3. ábra). Ez szintén csökkenti a tényleges hatástávolságot.

α

α

l a n o i t v e l z é s a m m l á E t

A felhajlított vasak egymástól mért távolsága a tartótengely mentén 45 fok esetén nem haladhatja meg az smax=1,2d értéket*. Ez a szabályozás azt hivatott megakadályozni, hogy a ferde nyírási repedés a két felhajlított vas között átszaladhasson. Tehát az 1. ábrán vázolt kialakítás nem felel meg a szerkesztési szabálynak, a felhajlított vasak túl távol vannak egymástól. Ugyanilyen megfontolás miatt az elsõ felhajlított vasat minél közelebb kell elhelyezni a támasz széléhez. Ennek általában a vasvezetés szabályai és a lehorgonyzás szükségessége szabnak határt. A vas továbbvezetésével, kampózásával gondoskodni kell arról, hogy a felhajlított vas lehorgonyzása biztosított legyen.

3. ábra

α

l a n o i t v e l z é s a m m l á E t

4. ábra

A betonacélok csak akkor vehetõk számításba, ha lehorgonyzásuk biztosított. Elõször ki kell számolni a lehorgonyzási hossz alapértékét. A betonacél tényleges lehorgonyzási hossza az alapérték különbözõ körülményeket (betonacél végének kialakítása, egyéb vasakkal való kapcsolat, acélbetétre merõleges normálerõ) figyelembe vevõ tényezõkkel történõ módosítása után kapható. Esetünkben α1és α5 értéke fontos. α1 a betonacél végének kialakítását veszi figyelembe. Értéke 1, ha egyes végû az acélbetét, 0,7, ha kampózott. α5=1-0,04p, de nem kisebb, mint 0,7. Az összefüggésben p[MPa] a betonacélra merõleges nyomófeszültség értéke. Fontos, hogy a nyomóerõ kedvezõ hatása csak akkor és azon a szakaszon vehetõ számításba, ahol az minden esetben biztosított. A betonacélt a tényleges lehorgonyzási hosszt követõen vehetjük figyelembe 100%-ig. Nyilvánvaló azonban, hogy a betonacél ezt megelõzõen is képes egy csökkentett nagyságú erõ felvételére. A feszültség növekedését 0 és fyd között lineárisnak feltételezhetjük, tehát a lehorgonyzási hossz felénél a folyáshatár felének megfelelõ nyomófeszültség feltételezhetõ. Fontos azonban, hogy semmiféle feszültség nem vehetõ számításba a minimális lehorgonyzási hosszon belül. A minimális lehorgonyzási hossz nagyobb, mint a lehorgonyzási hossz alapértékének 30%-a, de legalább a betonacél átmérõjének tízszerese illetve 100mm. *A szerkesztési szabály általános esetben 0,6d(1+cot α ) értéket ír elő ** Deák György-Draskóczy András-Dulácska Endre-Kollár László-Visnovitz György: Vasbeton szerkezetek című könyvben javasolt érték.

58


VI. gyakorlat

6.1. Határnyomatéki ábra előállítása, vaselhagyás tervezése. A határnyíróer ő ábra előállítása.

K - K

pd=125 kN/m

6φ25

φ10

K

Anyagok : 6φ16

Beton: C25/30 Betonacél: S500B V [kN]

Betonfedés: 20 mm Kedv.elm.: 10 mm

VEd.red VEd

6.1.1. Kiindulási adatok 6.1.1.1. Geometriai jellemzők a := 60mm

h := 450mm

d := ( h

d

−

a)

d ny := ( 20

+

10 2

6⋅ϕ

Asl.6 :=

+

8

390 mm

10)mm

4⋅ϕ

Asl.4 :=

⋅π

2

Asl.2 :=

⋅π Asl.ny

2 ⋅ ϕny

Asl.ny.2

⋅π

: 1. szakasz

: 2. szakasz

: 3. szakasz (a tartó teljes hosszán végig kell vezetni a teljes hosszvasalás legalább negyedét!)

2

1206 mm

=

⎛ Asl.6 ⎞ , Asl.2 Asl.min := max ⎝ 4 ⎠

2

402 mm

2

Asw = 157 mm

4

6.1.1.2. Anyagjellemzők Beton:C25/30

=

⋅π

4 2

48mm

2

4

2 ⋅ ϕk

=

Asl.2 = 982 mm

2

Asl.ny.2 :=

ϕ := 25mm

2

⋅π

6 ⋅ ϕny

ϕny := 16mm

Asl.4 = 1963mm

4

Asl.ny :=

L := 2.5m

2

⋅π

2

ϕk := 10mm

Asl.6 = 2945mm

4 2⋅ϕ

b w := b

d ny

4 2

Asw :=

+

=

b := 250mm

f ck := 25 ⋅

Asl.min := Asl.2

α := 1 N

γc := 1.5

2

f cd :=

mm

Betonacél: S500B

f yk := 500 ⋅

N 2

γs := 1.15

mm

59

f yd :=

f ck

γc f yk

γs

f cd

=

N

16.667

2

mm f yd

=

434.783

N 2

mm


VI. gyakorlat

6.1.2. A határnyomatéki-ábra előállítása 6.1.2.1. Az eltolt mértékadó ny omatéki ábra meghatározása A megoszló p teherből származó nyomaték: MEd.k :=

p d ⋅ L

2

2

MEd.k = 390.6 kNm

A hajlításvizsgálat során feltételezzük, hogy a gerenda a rúdtengelyre mer őlegesen reped be. Ha a nyírás jelent ős, akkor a tartó - a bevezet őben ismertetett módon - ferdén reped be. Ezt a nyomatéki méretezés során akként k ell figyelembe venni, hogy a fenti nyomatéki ábra helyett egy - a k edvezőtlen irányban al távolsággal - eltolt nyomatéki ábrát veszünk mértékadónak, ahol al: 1

al =

2

⋅ z ⋅ cotθ

ahol : z := 0.9 ⋅ d

z

=

cotθ := 1.3

351 mm

al :=

1 2

⋅ z ⋅ cotθ

al

=

228.2 mm

A mértékadó nyomatéki ábra:

390.625

(eltolt) mértékadó nyomatéki ábra

M [kNm]

6.1.2.2. Vaselhagyás tervezése, az alkalmazott hosszvasalással felvehető határnyomatékok számítása Tegyük fel, hogy 2 helyen sz eretnénk vaselhagyást végezni; a befogásnál alkalmazot t 6φ16-os nyomott valamint 6φ25-ös húzott vasból először 4φ16-os nyomott és 2φ25-ös húzott vasat, majd még két φ25-ös húzott vasat hagyunk el). A nyomatéki határteherbírás az 1. sz akaszon: ( 6 db φ16-os nyomott, 6 db φ25-ös húzott vas) Asl.6

=

2

2945 mm

Asl.ny

=

2

1206 mm

Tegyük fel, hogy az acélbetétek megfolynak. A vetületi egyensúlyi egyenlet ekkor:

( α ⋅ f cd ⋅ xc ⋅ b + Asl.ny.6 ⋅ f yd − Asl.6 ⋅ f yd) = 0 60


Ebből: x c :=

VI. gyakorlat

x c - t kifejezve:

(Asl.ny − Asl.6) (α ⋅ f cd ⋅ b)

−f yd ⋅

xc

=

181.4 mm

A nyomott zóna relatív magassága: xc

ξ c :=

=

ξc

d

xc

ξ c.ny :=

0.465

ξ c.ny

dny

=

3.78

A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete: ξ co :=

560 f yd N mm

ξc

ξ co = 0.493

+

560

ξ co.ny :=

700

700

−

=

2.111

N

2

mm

< ξco ξc.ny > ξco.ny

ξ co.ny

f yd 2

mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak

A nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

⎛ xc ⎞ − +A ⋅ f ⋅ ( d − dny) ⎝ 2 ⎠ sl.ny yd

M Rd.1 := x c ⋅ b ⋅ α ⋅ f cd ⋅ d M Ed := 390.6kNm

MR.d.1

> MEd

MRd.1

=

405.6 kNm


A nyomatéki határteherbírás a 2. s zakaszon: ( 2 db φ16-os nyomott vas, 4 db φ 25-ös húzott vas) 2

Asl.4 :=

4⋅ϕ

⋅π

2

Asl.4 = 1963 mm

4 2

Asl.ny.2 :=

2 ⋅ ϕny

⋅π Asl.ny.2

4

=

2

402 mm


( α ⋅ f cd ⋅ xc ⋅ b + Asl.ny.2 ⋅ f yd − Asl.4 ⋅ f yd) = 0

( Asl.ny.2 − Asl.4) x c := −f yd ⋅ (α ⋅ f cd ⋅ b)

xc

=

162.9 mm

A nyomott zóna relatív magassága: ξ c :=

xc d

ξc

=

0.418 <

ξ co =

ξ c.ny :=

0.493

xc d ny

ξ c.ny = 3.394 >

ξ co.ny

mind a húzott, mind a nyomott acélbetétek megfolynak A nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

⎛ xc ⎞ − +A ⋅ f ⋅ ( d − d ny) ⎝ 2 ⎠ sl.ny.2 yd

MRd.2 := x c ⋅ b ⋅ α ⋅ f cd ⋅ d

61

MRd.2

=

269.2 kNm

=

2.111


VI. gyakorlat

A nyomatéki határteherbírás a 3. sz akaszon: (2 φ 25-ös húzott vas,) Megj: ugyan végig visszük a 2 db φ16-os nyomott vasat, de csak szerelési vasként vesszük figyelemb 2

2⋅ϕ

Asl.2 :=

⋅π

Asl.2

4

=

2

982 mm


(

α ⋅ f cd ⋅ xc ⋅ b

−

)

Asl.2 ⋅ f yd = 0

x c := f yd ⋅

Asl.2

(α ⋅ f cd ⋅ b)

xc

=

102.4 mm

A nyomott zóna relatív magassága: ξ c :=

xc

ξc

d

=

0.263 <

ξ co = 0.493

a húzott acélbetétek megfolynak


⎛ xc ⎞ − ⎝ 2 ⎠

MRd.3 := x c ⋅ b ⋅ α ⋅ f cd ⋅ d

M Rd.3

=

144.6 kNm

M Rd.2

=

269.2 kNm

A határnyomatékok össz efoglalása: MRd.1

=

405.6 kNm

MRd.3

=

144.6 kNm

6.1.2.3. A lehor gonyzási hosszak meghatározása 6.1.2.3.1.A húzott vas (φ25) lehorgonyzási hosszának meghatározása N

f bd := 2.8

: bordás acélbetét, C25/30-as betonszilárdság. 2

mm

A teljes lehorgonyzási hossz: ϕ ⋅ f yd

l b.h := 4 ⋅ f bd

l b.h

=

970.5 mm

A nettó lehorgonyzási hoss z s zámítása l b.h.net := αa ⋅ l b.h

ahol : αa = 1.0

ha egyenes végû acélbetéteket alkalmazunk

αa = 0.7

ha a húzott acélbetéteket kampózott végûnek alakítjuk ki

A nettó lehorgonyzási hossz:

l b.h.net

=

679.3 mm

(

)

A minimális lehorgonyzási hossz: l b.h.min := max 0.3 ⋅ l b.h , 10 ⋅ ϕ , 100mm l b.h.min

=

291.1 mm

6.1.2.3.1.A nyomott vas (φ16) lehorgonyzási hosszának meghatározása f bd := 2.8

N

: bordás acélbetét, C25/30-as betonszilárdság 2

mm

A teljes lehorgonyzási hossz:

l b.ny :=

ϕny ⋅ f yd 4 ⋅ f bd

62

l b.ny

=

621.1 mm


VI. gyakorlat

(

)

l b.ny.min := max 0.6 ⋅ l b.ny , 100mm

A minimális lehorgonyzási hossz:

l b.ny.min = 372.7 mm

6.1.2.4. A határnyomatéki ábra

3

2

1 MRd0=405.6kNm

Határnyomaték ábra figyelembe véve a lehorgonyzási hosszon felvehető acélfeszültséget

MRd2=269.2kNm Határnyomaték ábra Ezt a nyomatékot a betonnak kell felvennie illetve ha szükséges hajtűvasa(ka)t alkalmazunk.

MRd3=144.6kNm

(eltolt) mértékadó nyomatéki ábra

Megjegyzés: a konzol-befogásnál a hosszirányú vasak lehorgonyzásáról a falban gondoskodunk, így itt nem jelenik meg határnyomaték-csökkenés.

A határnyomatéki ábra szerkesztés énél figyelembe vehetjük, hogy a hosszanti betétek a lehorgonyzási hosszon belül is fel tudnak venni feszülltséget. Ezt a fenti ábrán a megfelel ő szakaszokon lineárisan csökkenő pontozott vonal jeleníti meg. A bizt onság javára történő egyszerûsítésként az első két vaselhagyás tervezésénél ezeket feszültségeket elhanyagoltuk (sz aggatott vonal), bár így lényegesen gazdaságtalanabb szerkezetet kapunk.

6.1.3.1. A mértékadó nyíróer őábra brát és a mértékadó nyíróer ő értékek sz ámítását az el őz ő gyakorlaton (5.3.2.a. A mértékadó nyíróer őá pontban) már elvégeztük. VEd := 312.5kN VEd.red := 263.7kN

6.1.3.2. A nyomott beton ellenő rzése ő gyakorlaton (5.3.2.c. pontban) már elvégeztük. El őz

6.1.3.3. A beton által felvehető nyíróer ő meghatározása A vaselhagyások miatt VRd.c értéke szakaszonként (6.1.2.4. pontban a határnyomatéki ábrán 1, 2, illetve 3 jelû szakaszok on) változik. Ebben a feladatban csak a 3. jelû szakasz VRd.c értékét van értelme meghatározni (mivel a mértékadó nyíróer ő még ezen a 3. jelû szakaszon belül éri el ezt a VRd.c értéket). A nyírásra nem vasalt k eresztmetszet határereje az alkalmazott 2φ25 húzott vasalás esetén: 1 3

⎛ +

200

⎝

mm

k := min 1

⎛ Asl.2

d

⎞

, 2.0

k

=

1.716

⎠ ⎞

, 0.02 ρl := min b w ⋅ d ⎝ ⎠

ρl

=

0.010

63

f 2 ⎛ ck ⎞ νmin := 0.035 ⋅ k ⋅ ⎜ N ⎟ 2 ⎝ mm ⎠

2

νmin = 0.393


⎡⎡ ⎢⎢ 0.18 ⎛ k 100 ⋅ ρl ⋅ ⋅ ⋅ VRd.c.CD := max⎢⎢ γc ⎜ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎝ νmin ⎣⎣

VI. gyakorlat

⎤⎤ 3 f ck ⎞ ⎥⎥ ⎥⎥ ⋅ bw ⋅ N ⎟ ⎥⎥ mm 2 mm ⎠ ⎥⎥ ⎦⎦ 1

64

d mm

⋅N

VRd.c.CD

=

58.8 kN


VI. gyakorlat

6.1.3.4. A határnyíróer ők meghatározása valamint a h atárnyíróer ő-ábra előállítása Az előző gyakorlaton megterveztük a tartó kengyelkiosztást AB, BC, CD szakaszokon: sAB.alk := 100mm

sBC.alk := 160mm

sCD.alk := 280mm

Tekintettel arra, hogy az MSZ EN szerint a méretezett nyírási vasalással ellátott szakaszok határnyíróereje nem függ a VRd.c -től, a határnyíróer ők értéke az A-B és a B-C szak aszokon: A - B szak asz: A határnyíróer ő értéke: B-C` szakasz: A határnyíróer ő értéke:

Asw ⋅ f yd VRd.AB := ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cotΘ sAB.alk

VRd.AB

=

311.6 kN

Asw ⋅ f yd VRd.BC := ⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cotΘ sBC.alk

VRd.BC

=

194.8 kN

C`-D szakasz: A C-D szakasz on a szerkesztési sz abályok szerinti kengyelezést alkalmaz tuk. Ennek határereje: VRd.s.CD :=

Asw ⋅ f yd sCD.alk

⋅ 0.9 ⋅ d ⋅ cotΘ

VRd.s.CD

=

111.3 kN

A nyírási határer ő a CD szakaszon (az MSZ EN ellen őrzésre vonatkozó előírásainak megfelelően a beton által felvehet ő nyíróer ő és a nyírási vasalás által felvehető nyíróer ő közül a nagyobbik):

(

)

VRd.CD := max VRd.s.CD , VRd.c.CD

VRd.CD

A határnyíróer ő-ábrát már az előz ő feladatban is megszerkesztettük:

6.1.3.5. A szerkesztési szabályok ellenő rzése ő gyakorlaton (5.3.2.e. pontban) már elvégeztük. El őz

65

=

111.3 kN


VI. gyakorlat

6.2. Határnyomatéki és határnyíróerõ ábra elõállítása felhajlított vas esetén

A-A metszet

Anyagok :

A nyomott vasalást nem vesszük számításba.

Terhek:

Beton: C20/25 Betonacél: S500B Kengyel: S500B

Betonfedés: 20 mm Kedv.elm.: 10 mm

γG=1.35 γQ=1.5

g=80 kN q=100 kN

A felhajlított vas 45 fokos szögben hajlítva.

6.2.1. Kiindulási adatok 6.2.1.1. Geometriai alapadatok

b := 450mm

φ := 20mm

lnet := 3.80m

h := 600mm

φ k := 10mm

c := 320mm 2

2

9⋅φ ⋅π Asl := 4

Asl = 2827mm

A hasznos magasság:

2

Asw :=

d := h −  20 + 10 +



A felsõ és az alsó vasak közötti távolság: Az elméleti támaszköz:

b w := b

2 ⋅ φ k ⋅ π

Asw = 157mm

4

20 + 10  mm 2 

d = 550 mm

zs := h − 2 ⋅  20 + 10 +



l eff := min( l net + h , l net + c)

2

ahol:

l eff = 4.12m

20  mm 2 

zs = 520 mm

lnet + h = 4.4m lnet + c = 4.12m

6.2.1.2. Anyagjellemzõk

Beton: C20/25 Betonacél: S500B Kengyelacél: S500B

f ck := 20

N 2

mm N f yk := 500 2 mm N f yk.w := 500 2 mm

f ck f cd := 1.5 f yk f yd := 1.15 f yk.w f yd.w := 1.15 66

f cd = 13.33

N 2

mm N f yd = 434.78 2 mm N f yd.w = 434.78 2 mm


VI. gyakorlat

6.2.2. A határnyomatéki ábra elõállítása 6.2.2.1. Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra elõállítása

A nyomatéki ábra eltolása: al =

1 ⋅ z ⋅ cotΘ 2

( cotΘ=1.3 értéket feltételezve, 90°-os kengyelvasalással)

1 ⋅ z ⋅ cotΘ 2 A tartó totális terhelésébõl keletkezõ nyomaték a tartó közepén:

ahol : z := 0.9 ⋅ d

MEd.max :=

z = 495 mm

( γG ⋅ g + γ Q ⋅ q) ⋅ leff 2

al :=

al = 321.8mm

MEd.max = 547.4kNm

8

Az eltolt mértékadó nyomatéki ábra:

6.2.2.2. Az alkalmazott hosszvasalásokkal felve hetõ határnyomatékok számítása

(A felhajlítás miatt a nyomott övben +1 db A s.ny jelenik meg, de ennek hatását elhanyagoljuk) A nyomatéki határteherbírás az 1. szakaszon 2

7⋅φ ⋅π Asl.7 := 4

Asl.7 = 2199mm

(α ⋅ f cd ⋅ xc ⋅ b − Asl.7 ⋅ f yd) = 0 Ebbõl: xc - t kifejezve: f yd xc := Asl.7 ⋅ (α ⋅ f cd ⋅ b)

2

(feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak)

xc = 159.4mm

67


VI. gyakorlat

A nyomott zóna relatív magassága: xc ξ c := ξ c = 0.29 d A nyomott zóna relatív magasságának határhelyzete:

ξ co :=

560 f yd + 700

ξ co = 0.493 a húzott acélbetétek valóban megfolynak

ξ c < ξ co


 xc  MRd.1 := xc ⋅ b ⋅ α ⋅ f cd ⋅ d −  2 

MRd.1 = 449.7kNm

A nyomatéki határteherbírás az 2. szakaszon 2

8⋅φ ⋅π Asl.8 := 4

2

Asl.8 = 2513mm

A vetületi egyenlet (feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak): f yd xc := Asl.8 ⋅ (α ⋅ f cd ⋅ xc ⋅ b − Asl.8 ⋅ f yd) = 0 (α ⋅ f cd ⋅ b)

xc = 182.1mm

A nyomott zóna relatív magassága:

ξ c :=

xc d

ξ c = 0.331 <

ξ co = 0.493

a húzott acélbetétek valóban megfolynak


 xc  MRd.2 := xc ⋅ b ⋅ α ⋅ f cd ⋅ d −  2 

MRd.2 = 501.5kNm

A nyomatéki határteherbírás az 3. szakaszon 2

9⋅φ ⋅π Asl.9 := 4

Asl.9 = 2827mm

2

A vetületi egyenlet (feltéve, hogy a húzott acélbetétek folynak): f yd f x b A f 0 x A α ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ := ⋅ = ( cd c sl.9 yd) c sl.9 α ⋅ f ⋅ b ( cd ) A nyomott zóna relatív magassága:

ξ c :=

xc d

ξ c = 0.373 <

ξ co = 0.493

a húzott acélbetétek valóban megfolynak


 xc  MRd.3 := xc ⋅ b ⋅ α ⋅ f cd ⋅ d −  2 

xc = 204.9mm

MRd.3 = 550.2kNm

68


VI. gyakorlat

Tehát a határnyomatékok az egyes s zakaszokon:

MRd.1 = 449.7kNm

MRd.2 = 501.5kNm

MRd.3 = 550.2kNm

6.2.2.3. Lehorgonyzási hosszak számítása

Húzott vas (φ20):

f bd := 2.4

A teljes lehorgonyzási hossz:

φ ⋅ f yd

l b.h := 4 ⋅ f bd

N 2

(bordás acélbetét, C20/25-as betonszilárdság esetén)

mm

l b.h = 905.8mm A tartó belsõ szakaszán, ahol az elhagyott acélbetétek vége egyenes, ez maga a nettó lehorgonyzási hossz.

A nettó lehorgonyzási hossz számítása a tartó végén:

l b.h.net := α 1 ⋅ α 5 ⋅ l b.h ahol : α 1 = 1.0 egyenes végû α 1 = 0.7 kampózott végû acélbetét esetén A tartóvégen: α 1 := 0.7

A támasznál leadódó reakció a betonacélra merõleges nyomerõt eredményez. Ezt a lehorgonyzást segítõ hatást is figyelembe vehetjük. Ezt a kedvezõ hatást mintapéldánkban elhanyagoljuk. VEd 320mm ⋅ b Így a tartóvégi kampózott vasak lehorgonyzási hossza:

p értéke a következõ lenne:

α 5 := 1

p :=

A húzott acélbetétek minimális lehorgonyzási hossza:

6.2.2.4 A határnyomatéki ábra

l b.h.net = 578.9mm

l b.h.min := max( 0.3 ⋅ l b.h , 10 ⋅ φ , 100mm) l b.h.min = 271.7mm Feltámaszkodás környezete: tartótengely irányú húzóerõk burkolóábrája

VEd.red ⋅ cotΘ = 342.81 kN z ⋅ cotΘ = 643.5mm

A betonacél végének és a feltámaszkodás szélének távolsága t := 320mm − 30mm t = 290 mm Merev megtámasztás esetén ebben a vonalban kell biztosítania húzóerõt. tehát a támasz külsõ élének vonalában már figyelembe vehetjük a hosszvasalás t> l b.h.min teherbírásának egy részét. Mekkora ez az erõ? A betonacélok kampózott kialakítása munkaigényes. t H := Asl.7 ⋅ f yd ⋅ H = 478.981 kN Egyenes kialakítás is lehetséges. Ekkor azonban a l b.h.net vizsgált km.-ben nem elegendõ a lehorgonyzott húzóerõ. Ilyen esetben hajtûvasak elhelyezésévelk kell kiegészíteni. 69


VI. gyakorlat

6.2.3. A határnyíróerõ ábra elõállítása 6.2.3.1. A mértékadó nyíróerõ ábra meghatározása

A támasznál akkor kapunk maximális nyíróerõt, ha az állandó és a hasznos terhek a tartó teljes hosszán hatnak.

VEd.A :=

(γG ⋅ g + γ Q ⋅ q) ⋅ leff 2

VEd.A = 531.5kN

A középsõ keresztmetszetben akkor kapjuk a maximális nyíróerõt, ha a megoszló teher csak a tartó felét terheli. Feltéve, hogy az állandó teher egyenletesen oszlik meg a tartó teljes hosszán, a tartó közepén csak a hasznos teherbõl keletkezik nyíróerõ. Ennek értéke: l eff VE.d.K := γ Q ⋅ q ⋅ 8

VE.d.K = 77.3 kN

A két számított pont között a nyíróerõábra másodfokú parabola. Ezt jelen feladatban lineáris szakasszal közelítjük. A redukciós hossz a támaszreakcó hatásvonalától mérendõ. Az egyszerûség kedvéért tekintsük ezt az elméleti megtámasztás helyének. A megtámasztástól d távolságra ható megoszló teherrõl feltesszük, hogy az közvetlenül a támaszra adódik át. A redukált nyíróerõábra maximuma: VEd.red := VEd.A − ( γ G ⋅ g + γ Q ⋅ q) ⋅ d VEd.red = 389.6kN

A mértékadó redukált nyíróerõ ábra:

70


VI. gyakorlat

6.2.3.2. A nyomott beton ellenõrzése

VRd.max := α cw ⋅ b w ⋅ z ⋅ ν ⋅ f cd ⋅

cot( θ ) + cot( α )

ahol:

2 1 + ( cot( θ ) )

α cw := 1 feszítés illetve nyomóerõ nélküli keresztmetszet esetén;  f ck 1  ν := 0.6 ⋅ 1 − ⋅ ν = 0.552 z := 0.9 ⋅ d z = 0.495 m  250 N  2 cotΘ = 1.3 mm   α k := 90 ⋅ fok a kengyelnek a tartó tengelyével bezárt szöge α felh := 45 ⋅ fok a felhajlítás tartó tengelyével bezárt szöge cotΘ + cot( α k )

- α = α k esetén:

cot( α k ) = 0

- α = α felh esetén:

cot( α felh) = 1

1 + ( cotΘ)

2

= 0.483

cotΘ + cot( α felh) 1 + ( cotΘ)

2

= 0.855

A biztonság javára történõ közelítéssel: VRd.max = 791.8kN >

VRd.max := α cw ⋅ b w ⋅ z ⋅ ν ⋅ f cd ⋅ 0.483

VEd.A = 531.5kN

a beton keresztmetszet geometriai méretei megfelelõk. Dulácska - Kollár által javasolt, pontosabb számítással: V'Rd.max = 1229.6 kN > VRd.max = 791.8kN

V'Rd.max := α cw ⋅ bw ⋅ z ⋅ ν ⋅ f cd ⋅ 0.75

6.2.3.3. A beton által felvehetõ nyíróerõ meghatározása

VRd.c értékekre azért van szükség, mert amennyiben a beton által felvehetõ nyíróerõ ( VRd.c ) nagyobb a nyírási vasalás által felvehetõ nyíróerõnél ( VRd.s -nél), akkor az MSZ EN ellenõrzésre vonatkozó elõírásainak

A

megfelelõen ez a nagyobb érték lesz a határnyíróerõ. Jelen esetben az 1 illetve 2 jelû szakaszokon jelentõs a nyírási vasalás, így ezeken a szakaszokon várhatóan a VRd.c nem játszik szerepet. Az áttekinthetõség kedvéért azonban ezeket is feltüntetjük.

1 3

 k := min 1 + 

200 d mm

 , 2.0

k = 1.603

2

ν min := 0.035 ⋅ k



 f ck  ⋅  N   mm2 

2

ν min = 0.318

A vashányad értéke a határnyomatéki ábrán 1, 2 illetve 3-mal jelölt szakaszokon: 1. szakasz:

2. szakasz:

3. szakasz:

 Asl.7

ρ l.1 := min

 bw ⋅ d  Asl.8

ρ l.2 := min

 bw ⋅ d  Asl.9

ρ l.3 := min

 bw ⋅ d



, 0.02

 

ρ l.1 = 0.0089

, 0.02

ρ l.2 = 0.0102

, 0.02

ρ l.3 = 0.0114

  

71

Példánkban minden szakaszon kiszámítjuk a nyírási ellenállás alsó korlátját. Ha egy szakaszon már kiszámítottuk és kisebb értéket kaptunk, mint a nyírási vasalás által képviselt nyíróerõ ellenállás, akkor olyan szakaszokon felesleges kiszámítani az értéket, ahol az nyilvánvalan kisebb a nyírási vasalás teherbírásánál.


VI. gyakorlat

A beton által felvehetõ nyíróerõ az 1, 2 és 3-mal jelölt szakaszokon:



1 

  0.18  ⋅ k ⋅ 100 ⋅ ρ l.1 ⋅   VRd.c.1 := max γ   c    



d ⋅ N mm

VRd.c.1 = 124.2kN

d ⋅ N mm

VRd.c.2 = 129.9kN

d ⋅ N mm

VRd.c.3 = 135.1kN

 1  f ck 

3

  b w N    ⋅ ⋅   mm 2 mm   

ν min

  0.18  k 100 ⋅ ρ l.3 ⋅ ⋅ ⋅ VRd.c.3 := max  γ c    

3

  b w ⋅ N    ⋅   mm 2 mm   

ν min

  0.18  k 100 ⋅ ρ l.2 ⋅ ⋅ ⋅ VRd.c.2 := max  γ c      

f ck 

 1  f ck 

3

  b w ⋅ N    ⋅   mm 2 mm   

ν min



6.2.3.4. A határnyíróerõk meghatározása és a határnyíróerõ-ábra

6.2.3.4.1. A felhajlított vasak hatástávolságának határai

- 3. jelû felhajlított hosszacél hatástávolságának ( s3) számítása: Az s3 szakasz kezdõpontja az elméleti támaszvonal (mivel a tartóvégnél a hatástávolságot kijelõlõ 45° -os egyenes belemetsz az elméleti támaszvonalba), a végpontja pedig a 2. és 3. jelû felhajlított acélbetétek tengelye valamint a tartó tengely metszéspontjai által meghatározott szakasz felezõpontja. 72


VI. gyakorlat

zs 500mm l net + 2c − l eff s3 := 320mm + + − 2 2 2

s3 = 670 mm

l net + 2c − l eff = 160 mm az elméleti támaszvonal és a gerenda vége közötti távolság 2 - 2. jelû felhajlított hosszacél hatástávolságának ( s2) számítása:

ahol

Az s2 szakasz kezdõpontja s3 szakasz végpontja, végpontja pedig

a felhajlítási pontnál indított 45° -os

egyenes (az ábrán szaggatott vonallal jelölve) és a tartótengely metszéspontja.

s2 :=

500mm + zs 2

s2 = 770 mm

6.2.3.4.2. A különbözõ határnyíróerõ értékkel bíró szakaszok hosszának meghatározása Az s3, s2 szakaszok, valamint a két különbözõ kengyelkiosztású (730mm illetve 1330mm hosszú) szakasz a féltartót négy (különbözõ nyírási határteherbírással bíró) részre bontja. E szakaszok hossza a fenti ábra alapján a következõk: "a" szakasz

l a = 670 mm

"b" szakasz

l b = 190 mm

"c" szakasz

l c = 580 mm

"d" szakasz

l d = 620 mm

6.2.3.4.3. A kengyelek és a felhajlított vasak által felvehetõ nyíróerõk meghatározása Az "a" és "b" jelû szakaszokon a függõleges kengyelek távolsága:

sk.sz := 180mm

A "c" és "d" jelû szakaszokon a függõleges kengyelek távolsága:

sk.b := 200mm

A nyírási vasalás által felvehetõ nyíróerõ: Kengyelezés (sksz = 180mm és s kb = 200 mm osztásokkal): sk.sz = 180 mm

Vwd.sz := 0.9 ⋅ d ⋅ cotΘ ⋅

Asw ⋅ f yd.w sk.sz

Vwd.sz = 244.2kN

"a" és "b" jelû szakaszokon

sk.b = 200 mm

Vwd.b := 0.9 ⋅ d ⋅ cotΘ ⋅

Asw ⋅ f yd.w sk.b

Vwd.b = 219.7kN

"c" és "d" jelû szakaszokon

Felhajlítás (s3 = 615 mm és s2 = 715 mm hatástávolságokkal): s3 = 670 mm Vwd.felh.3 := 0.9 ⋅ d ⋅

Asl.1 ⋅ f yd ⋅ ( cotΘ + 1 ) ⋅ sin( α felh) s3

Vwd.felh.3 = 164.1kN"a" jelû szakaszon

Asl.1 ⋅ f yd "b" és "c" ⋅ ( cotΘ + 1 ) ⋅ sin( α felh) Vwd.felh.2 = 142.8kN jelû szakaszon s2 A határnyíróerõ tervezési értékeit az alábbi táblázatban adjuk meg: szakasz Vw d.kengyel V. w d.felh. VRd Vw d.kengyel V.w d.felh s s a 180 244,2 670 164,1 408,3 b 180 244,2 387,0 770 142,8 c 200 219,7 362,5 d 200 219,7 219,7 s2 = 770 mm Vwd.felh.2 := 0.9 ⋅ d ⋅

73


VI. gyakorlat

6.2.3.4.4. A határnyíróerõ ábra

Tájékoztatás képpen az ábrába VRd.c értékeket is megjelenítettük a határnyíróerõ ábrában. Látható, hogy sehol sem lesz a beton nyírási teherbírása a mértékadó, vagyis VRd.c mindenhol kisebb VRd.s-nél. Az ábrából az is leolvasható, hogy a gerenda nyírási teherbírása (csak a teherbírási követelményeket figyelembe véve) megfelel, mivel a határnyíróerõ ábra sehol sem metsz bele a mértékadó nyíróerõ ábrába.

74


VII. gyakorlat

VII. GYAKORLAT: Használhatósági határállapotok - Betonszerkezetek alakváltozása és repedéstágassága Készítették: Völgyi István, Kovács Tamás A vasbeton szerkezetek használhatóságát a vonatkozó hatáskombinációk alapján, az alábbi követelmények kielégítésével kell igazolni: a normálfeszültségek korlátozása a repedezettség ellenőrzése az alakváltozások korlátozása. A használhatósági határállapotok ellenőrzése során a szerkezet feszültségeit és alakváltozásait akkor szaba repedésmentes állapot feltételezésével számítani, ha a figyelembe veendő hatáskombinációból számított igénybevétel hatására repedésmentes állapot feltételezésével meghatározott beton-húzófeszültség nem haladja meg az f ctm értéket. Használhatósági határállapotok vizsgálatához a következő igénybevétel-kombinációkat használjuk: Karakterisztikus (ritka) kombináció: Eser(a)=Σ Gki,j + Qk1+Σ Ψ0,i Qki Gyakori kombináció: Eser(b)=Σ Gki,j + Ψ1,1 Qk1+Σ Ψ2,i Qki Kvázi állandó kombináció: Eser(c)=Σ Gki,j + Σ Ψ2,i Qki   

normálfeszültségek korlátozása

ltalános esetben igazolni kell, hogy: a túlzott mértékű beton-nyomófeszültségek miatt hosszirányú repedések nem keletkeznek: σc≤0,6 f ck az acélokban képlékeny alakváltozások nem ala kulnak ki: σs≤0,6 f yk és σ p≤0,75 f pk . ahol σc ill. σs és σ p a karakterisztikus kombináció alapján számított maximális beton- ill. acélfeszültségek.  

repedezettség vizsgálata

A vasbeton szerkezetek repedezettségének mértékét a funkció, a megfelelő tartósság és a kedvezőtlen megjelenés elkerülése érdekében kell korlátozni. Általános környezeti feltételeknek kitett épületek vasbetonszerkezetei esetén általában azt kell igazolni, hogy a hatások kvázi-állandó kombinációjára a maximális repedéstágasság ér téke nem haladja meg a 0,3 mm-t. A repedéstágasságot a következő összefüggéssel lehet me ghatározni: wk = sr,max (ε sm - εcm)

ahol: -

a legnagyobb repedéstávolság az acélbetét átlagos nyúlása a vonatkozó kombinációból származó igénybevétel hatására, a húzott betonzóna merevítő hatásának figyelembevételével. Feszített szerkezete k esetén csak az ac élbetétet körülvevő beton feszültségmentes állapotában meglévő acélbetét-feszültséghez képesti acélfeszültség-növekményt (∆σ p) kell figyelembe venni. εcm - átlagos nyúlás a betonban a repedések közötti repedésmentes szakaszokon. Az (ε sm - εcm) nyúláskülönbség a következőképpen számítható: sr,max

ε sm

σ s − k t ε sm - εcm =

f ct ,eff

ρ p,eff

(1 + α e ρ p,eff )

E s

≥ 0,6 σ s E s

ahol:

σ s

-

a húzott acélbetétben lévő feszültség berepedt keresztmetszet feltételezésével a vonatkozó kombináció alapján számított igénybevételből. Feszített szerkezetek esetén σs értékét az ε sm fenti értelmezésében szereplő ∆σ p értékkel kell helyettesíteni. αe = E s/ E c, - a rugalmassági modulusok σs meghatározásánál alkalmazott aránya 2 ρ = A s + ξ1 A p p,eff

Ac,eff

As és A p

-

k t

-

Ac,eff

-

az Ac,eff hatékony, húzott betonzónában elhelyezkedő lágyacélbetétek, ill. tapadásos feszítőbetétek keresztmetszeti területe a teher tartósságától függő tényező, értéke: k t = 0,6 rövididejű terhelés esetén k t = 0,4 tartós terhelés esetén. hatékony, húzott betonzóna, azaz a húzott vasalás körüli, hc,ef magasságú betonterület ahol: 2,5(h − d )

 h − x min   3 h / 2 , ahol ξ a tapadási szilárdság módosító tényezője. Értéke táblázat alapján határozható meg. hc,ef =

ξ 1

=

φ

ξ φ s p

az alsó sorban alkalmazott legnagyobb betonacél átmérő φ p a feszítőbetét egyenértékű átmérője (Részletek: Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: Betonszerkezetek méretezése az Eurocode alapján, 203. oldal) φ s

75


VII. gyakorlat

Ha a tapadásos acélbetétek egymáshoz közel helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk ≤ 5(c + φ/2): sr,max = 3,4 c + 0,425 k 1 k 2

φ ρ p,eff

ahol:

φ

az acélbetét átmérője. Különböző átmérőjű acélbetétek esetén a φeq egyenértékű átmérőt kell alkalmazni az alábbiak szerint: 2 2 φeq = n1φ1 + n2 φ 2 n1φ1 + n2 φ 2 ahol: a φ1 átmérőjű acélbetétek (lágyacél vagy feszítőbetét) darabszáma n1 a φ2 átmérőjű acélbetétek (lágyacél vagy feszítőbetét) darabszáma. n2 - betonfedés c k 1 - az acélbetét és a beton közti tapadási tulajdonságokat figyelembe vevő tényező bordás acélbetét esetén k 1 = 0,8 sima felületű acélbetét esetén (pl. feszítőbetétnél) k 1 = 1,6 k 2 - a keresztmetszeten belüli feszültség(nyúlás)eloszlást figyelembe vevő tényező hajlítás esetén k 2 = 0,5 tiszta húzás esetén k 2 = 1,0 Ha a tapadásos acélbetétek egymástól távol helyezkednek el, azaz egymástól való távolságuk > 5(c + φ/2): sr,max = 1,3 (h-x) -

z alakváltozások vizsgálata

Az alakváltozások mértékét a) a vasbeton szerkezetek funkciója, a szerkezeti elemek megfelelő működése, a kedvezőtlen megjelenés elkerülése és b) a csatlakozó elemek károsodásának megelőzése érdekében kell korlátozni. A megengedett lehajlás értékei a terhek kvázi-állandó kombinációjának megfelelő teherre az a) esetben a támaszköz 1/250-ed része b) esetben a támaszköz 1/500-ed része. Az alakváltozások számítása során, a szerkezet repedésmentességének megítélésekor a bevezetőben leírtak szerint kell eljárni. A nem repedésmentes szerkezetek alakváltozásainak számításakor a szerkezet viselkedését a repedésmentes és a teljes hosszban berepedt állapotok közti átmenettel kell figyelembe venni, ahol az átmenet leírására az alábbi összefüggés alkalmazható: α = ζ αII + (1 - ζ) αI ahol: - alakváltozási paraméter, mely lehet pl. nyúlás, görbület, elfordulás, lehajlás, stb. α αI, αII - az α paraméter I. (repedésmentes), ill. II. (teljes hosszban berepedt) feszültségi állapot alapján számított értéke ζ - a húzott betonzóna merevítő hatását figyelembe vevő tényező, a következő összefüggés szerint:

 σ  ζ = 1 - β  sr   σ s  ahol: β

-

2

a teher tartósságát és ciklikusságát figyelembe vevő tényező az alábbiak szerint: β = 1,0 egyszeri, rövididejű terhelés esetén β = 0,5 tartós, vagy ismétlődő terhelés esetén σ s - a húzott acélbetétben keletkező feszültség, berepedt keresztmetszet feltételezésével számítva σ sr - a húzott acélbetétben keletkező feszültség a repesztőnyomaték hatására, berepedt keresztmetszet feltételezésével számítva A σ sr /σ s hányados tiszta hajlítás esetén az M cr / M , tiszta húzás esetén az N cr / N hányadosokkal helyettesíthető, ahol M cr a repesztőnyomaték, és N cr a repesztő húzóerő. Pontosabb vizsgálat esetén az alakváltozásokat az α alakváltozási paraméter alkalmazása helyett numerikus integrálással kell meghatározni a görbületnek a szerkezeti elem szükséges számú pontjában való számítása után. E módszer közelítő változata lehet az, ha a görbületeket a tartó repedésmentes szakaszán repedésmentes keresztmetszet feltételezésével, a berepedt szakaszon a fenti α alakváltozási paraméter alkalmazásával számítjuk (ld. a gyakorlati anyag kiegészítő részét). 76


VII. gyakorlat

7.1. példa Határozza meg egy kéttámaszú tartó középsõ keresztmetszetének görbületét és lehajlását!

Az alakváltozás értékét a repedésmentes állapot (I. feszültség állapot) és a tartó teljes hossza mentén berepedt állapot (II. feszültség állapot) feltételezésével kapott érték közti interpoláció segítségével számíthatjuk. Az alakváltozás értékét általában kvázi állandó (quasi permanent, jele:qp) teherkombinációban kell meghatározni. .Elméleti támaszköz:

L := 5m

Betonfedés: c := 20mm φ k := 10mm A tartó kéttámaszú. A középsõ keresztmetszetet vizsgáljuk. h

A keresztmetszet geometriai méretei, vasalása: b := 200mm h := 400mm φ 1 := 20mm n1 := 4db 2

b

As := n 1

(⋅ φ 1) ⋅ π 4

2

As = 1256.637 mm

Anyagjellemzõk: Az acél rugalmassági modulusa:

Es := 200

A beton rugalmassági modulusának várható értéke:

Ecm := 30

A beton húzószilárdságának várható értéke 28 napos korban:

kN 2

mm kN

2

(S500B)

C20/25

mm

f ctm := 2.2

N 2

mm

A beton rugalmassági modulusából számítható alakváltozási tényezõ értéke: 1.05⋅ Ecm N φ t := 2 Ec.eff := Ec.eff = 10500 2 1 + φt mm φ t a beton kúszását figyelembe vevõ tényezõ. Függ a környezet páratartalmától, az alkalmazott cement fajtájától, a beton szilárdsági osztályától, az elsõ terhelés idõpontjától. Most a végtelen idõponthoz tartozó, végértéket vesszük számításba. A beton húzószilárdságának számítási értéke:

f ct.eff := f ctm

A beton húzószilárdságának számításba vett értéke attól függ, hogy a szerkezeten várhatóan mikor jelenik meg az elsõ repedés. Ez függhet attól, hogy hány napos korban zsaluzzák ki, hogy elõregyártott, vagy monolit, esetleg, hogy lágyvasalású vagy feszített a tartó. Ha az elsõ repedés várhatóan 28 napos kor után következik be, a beton húzószilárdságának várható értékével vehetõ azonosnak. Ha a repedés várhatóan korábban jelenik meg, akkor a várható értéket a a szilárdság aktuális szintjének megfelelõen csökkenteni kell. Most feltételezzük, hogy az elsõ repedés 28 napos kor után jön létre. Es α s.eff := α s.eff = 19.048 Ec.eff Terhek, igénybevételek: A gerenda önsúlya és egyéb állandó jellegû terhek kN gk := 16 karakterisztikus értéke összesen: m

77


VII. gyakorlat

A gerendát terhelõ esetleges jellegû terhek karakterisztikus értéke:

A kvázi állandó teherkombinációban számítható teher:

qk := 10

kN m

ψ 2 := 0.6

pqp := gk + ψ 2 ⋅ q k

2

L Mqp := pqp⋅ 8

d := h − c − φ k −

Mqp = 68.75kNm

φ1

Használhatósági határállapotok vizsgálatakor alakhibával nem d = 360 mm számolunk, így kedvezõtlen vaselmozdulást nem kell számításba venni.

2 Keresztmetszeti jellemzõk, alakváltozások, repesztõnyomaték:

A keresztmetszet jellemzõi I. feszültségi állapotban: x h−x b⋅ x⋅ Ec.eff ⋅ = As⋅ ( Es − Ec.eff )⋅ ( d − x) + b ⋅ ( h − x) ⋅ Ec.eff ⋅ 2 2 3

xI = 235.34 mm

3

xI ( h − xI) 2 9 4 II := b ⋅ II = 1.519 × 10 mm + b ⋅ + As⋅ ( α s.eff − 1 )⋅ (d − xI) 3 3 f ct.eff ⋅ II Mcr := M cr = 20.295 kNm < Mqp megreped! h − xI A középsõ keresztmetszetben számítható görbület I. feszültségi állapot feltételezésével: Mqp κ I := −6 1 κ I = 4.31 × 10 Ec.eff ⋅ II mm

A keresztmetszet jellemzõi II. feszültségi állapotban (berepedt keresztmetszet): b⋅ x⋅ Ec.eff ⋅

x = As⋅ Es⋅ ( d − x) 2

xII = 197.326 mm

3

xII 2 9 4 + As⋅ α s.eff ⋅ (d − xII) III := b⋅ III = 1.146 × 10 mm 3 A középsõ keresztmetszetben számítható görbület II. feszültségi állapot feltételezésével:

κ II :=

Mqp Ec.eff ⋅ III

−6 1 mm

κ II = 5.715 × 10

Megjegyzés: A számítási módszer csak akkor alkalmazható, ha a betonacél rugalmas állapotban marad.

Az alakváltozás Eurocode szerinti számítása: A következõkben a ζ kiszámításához szükséges mennyiségeket határozzuk meg:

σs

Az acélbetétben számítható feszültség berepedt állapotot feltételezve. Kiszámításának részletes szabályait lásd az elméleti összefoglalóban.

Mqp⋅ ( d − xII)⋅ α s.eff σ s := III

σ s = 185.945

N 2

rugalmas

mm

β a teher tartósságát és ciklikusságát veszi figyelembe. Értéke: 1,0 , ha egyszeri, rövididejû a terhelés. 0,5 , ha tartós vagy ismétlõdõ a teher. A szabályzat azért ad több értéket, mert a repedéstágasság értékét elvileg bármilyen teherre meghatározhatjuk. A vb szerkezetek repedéstágasságát kvázi állandó teherszinten korlátozzuk. Így β értéke 0,5-re veendõ fel.

β := 0.5

σsr Az acélbetét feszültsége a repesztõnyomaték hatására a berepedés után (második feszültségállapot)

78


σ sr :=

VII. gyakorlat

Mcr ⋅ ( d − xII)⋅ α s.eff III

ζ := 1 − β ⋅

 σ sr 

σ sr = 54.892

N 2

mm

2

ζ = 0.956

 σ s 

A km görbülete a maximális igénybvétel helyén EC2 szerint: (A görbület értéke önmagában −6 1 ritkán érdekes egy tartó κ EC = 5.654 × 10 mm esetében.) A tartó maximális lehajlásának meghatározása (egyszerûsített módszer):

κ EC := ζ ⋅ κ II + ( 1 − ζ ) ⋅ κ I

Az elõbb vázolt módszer a tartó minden alakváltozásának meghatározására alkalmas. Így nem csak a görbületet, hanem az adott km. elfordulását vagy lehajlását is számíthatjuk a megismert módszerrel. Az egyszerûsített módszer esetén azzal, a mechanikában gyakran alkalmazott, közelítéssel élünk, hogy a keresztmetszet merevsége a tartó teljes hossza mentén állandó. (Nyilvánvaló, hogy ez egy a középsõ tartományában berepedt, a támasz közelében repedésmentes vasbeton gerenda esetén nem így van.) A tartó teljes hossza mentén a maximális nyomaték helyén számított merevséggel számolunk. Az így kapott érték a valódinál nagyobb, tehát a módszer a biztonság javára közelít. Kéttámaszú tartó esetében egyenletesen megoszló teher esetén a lehajlást az ismert, zárt összefüggéssel számíthatjuk: 4

5 L ⋅ ( p qp) ⋅ eI := 384 Ec.eff ⋅ II

eI = 11.225 mm

4

5 L ⋅ ( p qp) ⋅ eII := 384 Ec.eff ⋅ III

eII = 14.883 mm

L = 10mm 500 A tartó a csatlakozó szerkezetek károsodását megelõzõ lehajláskorlátozást nem teljesíti. L eEC = 14.724mm < = 20mm 250 A tartó a szerkezetek megfelelõ mûködését biztosító lehajláskorlátozást teljesíti. eEC := ζ ⋅ eII + ( 1 − ζ ) ⋅ eI

eEC = 14.724mm >

Megjegyzés: A lehajlás általánosságban a görbületnek a tartó hossza mentén történõ kétszeri integrálásával kapható. Az integráláson alapuló módszer megismerése azért is hasznos, mert összetettebb tartószerkezetek esetén a lehajlás zárt képlete általában nem ismert, annak levezetése körülményes.

79


VII. gyakorlat

7.2. példa Határozza meg a tartó maximális repedéstágasságát!

A repedéstágasság értékét a legnagyobb repedéstávolság és a repedések közötti tartományban az acélbetétben valamint a betonban számítható megnyúlás különbségének szorzataként kaphatjuk. A repedéstágasság megfelelõségét a tapadásos feszítõbetétet tartalmazó szerkezet esetén gyakori kombinációban, minden más betonszerkezet esetében kvázi állandó teherkombinációkban kell igazolni. A repedéstágasság értékét természetesen bármely más teherkombinációból származó igénybevételre meghatározhatjuk. (A keresztmetszet az elõzõvel azonos) A keresztmetszet geometriai méretei és vasalása:

h

b := 200mm

h := 400mm

φ 1 := 20mm

n1 := 4db

A keresztmetszetben nincs feszítõbetét. 2

A p := 0mm b

2

As := n 1

(φ 1) ⋅ π ⋅ 4

2

As = 1256.637 mm

Betonfedés: c := 20mm

φ k := 10mm

φ1 d := h − c − φ k − 2

d = 360 mm

A tartón számítható (mértékadó) hajlítónyomaték kvázi állandó teherkombinációban:

M qp := 120kNm

Anyagjellemzõk: Az acél rugalmassági modulusa: A beton rugalmassági modulusának várható értéke:

A beton alakváltozási tényezõje:

kN

Es := 200

φ t := 2

2

Ecm := 30

Ec.eff :=

mm kN

2

S500B

C20/25

mm

1.05⋅ Ecm 1 + φt

Ec.eff = 10500

Értéke az alakváltozás számításakor leírtak szerint határozható meg. f ct.eff := 2.2

N

α s.eff :=

2

mm

Es Ec.eff

α s.eff = 19.048

Használhatósági határállapotok esetén az anyagok szilárdságának és a geometriai adatoknak a várható értékét vesszük számításba. Ezért nincs szükség kedvezõtlen vaselmozdulás figyelembe vételére, amellyel a geometriai adatok szélsõ értékét lehet elõállítani. Az 1. példában meghatároztuk a km. repesztõnyomatékát. Az km.-et terhelõ nyomaték ezt meghaladja, így a tartó bereped.

80

N 2

mm


VII. gyakorlat

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban: x b⋅ x⋅ Ec.eff ⋅ = As⋅ Es⋅ ( d − x) xII := Find( x) xII = 197.326 mm 2 3

xII Es 2 III := b⋅ + As⋅ ⋅ ( d − xII) 3 Ec.eff

9

4

III = 1.146 × 10 mm

A nyúláskülönbségek meghatározása: A következõkben a repedések között az acélban és a betonban fellépõ átlagos nyúlás közti különbség ( ∆ε) meghatásrozásához szükséges mennyiségeket számítjuk ki.

σs

σ s :=

Az acélbetétben számítható feszültség II. feszültségi állapotot feltételezve. Kiszámításának részletes szabályait lásd az elméleti összefoglalóban. Mqp⋅ ( d − xII)⋅ α s.eff III

σ s = 324.558

Aceff a hatékony húzott betonzóna területe h − xII h   , hcef := min 2.5⋅ ( h − d) , 3 2 

N

Az acélbetét rugalmas marad, alkalmazhatók az összefüggések.

2

mm

hcef = 67.6 mm 2

Aceff := b ⋅ h cef

Aceff = 13511.599 mm 2

As + ξ 1 ⋅ A p ρ peff := Aceff k t

ρ peff = 0.093

A p = 0 mm

A teher tartósságától függõ tényezõ. Értéke 0,6, ha a teher rövididejû. 0,4, ha a teher tartós. f ct.eff  σ s − k t⋅ ⋅ ( 1 + α s.eff ⋅ ρ peff ) ρ  peff

∆ε := max

Es



, 0.6⋅

 σ s Es 

2

ξ 1 definíciója a zh-ra felkészítõ példák között.

k t := 0.4

∆ε = 0.149%

Repedések maximális távolságának meghatározása: A repedések egymástól mért távolságát attól függõen kell meghatározni, hogy az acélbetétek tengelyei egymáshoz képest közel, vagy távol helyezkednek el. A két eset között az alábbi összefüggés alapján teszünk különbséget:  φ 1  t h := 5 ⋅ c + th = 150 mm 2





φ1 b − 2 ⋅ ( c + φ k ) − 2 ⋅ 2 Az acélbetétek távolsága: t := n1 − 1 Az acélbetétek tehát egymáshoz közel helyezkednek el.

t = 40 mm

t < th

Különbözõ átmérõk esetén egyenértékû átmérõt kell számítani. 2

n 1⋅ φ 1 + n 2 ⋅ φ 2 φ eq := n1⋅ φ 1 + n2⋅φ 2

2

Ahol n1 és n2 a különbözõ átmérõjû acélbetétek darabszáma az alsó sorban. (ti. az alsó sor betéteinek átmérõje befolyásolja a repedéstágasságot)

A repedések maximális távolságának meghatározása: k 1 a beton és az acélbetét közti tapadás milyenségét figyelembe vevõ tényezõ. Értéke 0,8 bordás acélbetét esetén. 1,6 sima acélbetét esetén. 81

φ eq = 20mm


VII. gyakorlat

k 2 a keresztmetszeten belüli nyúlás alakulását figyelembe vevõ tényezõ. 0,5 hajlítás esetén 1,0 tiszta húzás esetén (alapeset) Külpontos húzás esetén közbensõ értéket kell alkalmazni. ε1 + ε2 Ahol ε1 és ε2 a szélsõ szálakban számítható nyúlás berepedt k 2 := 2⋅ ε 1 km. feltételezésével. A húzás pozitív. ε 1>ε 2 Külpontos nyomás esetén 0,5 érték alkalmazandó.

φ eq srmax := 3.4⋅ c + 0.425⋅ k 1⋅ k 2 ⋅ ρ peff

k 1 := 0.8 k 2 := 0.5

srmax = 104.557 mm

A repedéstágasság értéke: wk := srmax⋅ ( ∆ε )

wk = 0.156mm

<

0,3mm

(A határérték a szerkezet kitéti osztályától és megfelel jellegétõl függ)

Megjegyzés: Ha az acélbetétek távolsága a határértéknél nagyobb, a repedések legnagyobb távolsága: srmax. := 1.3⋅ ( h − xII ) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 7.3. példa Határozza meg a tartó maximális repedéstágasságát!

A tartó egyirányban teherviselõ lemez. Legyen a kvázi állandó kombinációban kNm m 40 := qp számítható hajlítónyomaték értéke: m A keresztmetszet geometriai méretei és vasalása:

h

100 cm

h := 200mm

φ 1 := 12mm

n1 := 6

db m

Az egyirányban teherviselõ lemezek számítása egy 1m széles gerenda számításával azonosan végezhetõ. Anyagjellemzõk: Es := 200

f ctm := 2.2

kN 2

S500B

mm N

2

mm

Ecm := 30

kN 2

C20/25

mm

Es

f ct.eff := f ctm α s.eff := Ec.eff

φ t := 2

Ec.eff :=

1.05⋅ Ecm

2

α s.eff = 19.048

as := n 1

(⋅ φ 1) ⋅ π 4

φ1 Vonal mentén megtámasztott := − − d h c födémek nem tartalmaznak kengyelt. 2 A keresztmetszet viselkedése I. és II. feszültségi állapotban: A betonfedés értéke:

c := 20mm

A repesztõnyomaték számítása: x⋅ Ec.eff ⋅

x h−x = as⋅ ( Es − Ec.eff ) ⋅ ( d − x) + ( h − x) ⋅ Ec.eff ⋅ 2 2

82

1 + φt

xI = 104.27 mm

d = 174 mm

Vasbetonszerkezetek I. 3

VII. gyakorlat 3

xI (h − xI) 2 II := + + as⋅ ( α s.eff − 1) ⋅ (d − xI) 3 3 f ct.eff ⋅ II mcr := h − xI

81 4 II = 7.299 × 10 mm m 1 mcr = 16.773 kNm < mqp m

megreped!

A keresztmetszet jellemzõi II. feszültségi állapotban: x⋅ Ec.eff ⋅

x = as⋅ Es⋅ ( d − x) 2

xII := Find( x)

xII = 55.376 mm

3

xII Es 2 + a s⋅ ⋅ ( d − xII) III := 3 Ec.eff

81 4 III = 2.385 × 10 mm m

∆ε meghatározása: σ s :=

mqp⋅ ( d − xII) ⋅ α s.eff III

σ s = 378.975

A betonacél rugalmas marad, alkalmazhatók a képletek.

N 2

mm

Aceff a hatékony húzott betonzóna területe

 

hcef := min 2.5⋅ ( h − d) ,

h − xII h  , 3 2

hcef = 48.2 mm 1 2 Aceff = 48207.936 mm m

Aceff := h cef 2

as + ξ 1 ⋅ a p ρ peff := Aceff

ρ peff = 0.014

f ct.eff  σ s − k t⋅ ⋅ ( 1 + α s.eff ⋅ ρ peff ) ρ  peff

∆ε := max

  φ 1  t h := 5 ⋅ c +  2 

Es

, 0.6⋅

 σ s Es 

∆ε = 0.15%

t h = 130 mm

1 n1 Az acélbetétek tehát egymástól távol helyezkednek el.

Az acélbetétek távolsága:

k t := 0.4

t :=

t = 166.667 mm

t > th

Ha az acélbetétek távolsága a határértéknél nagyobb, a repedések legnagyobb távolsága: srmax. := 1.3⋅ ( h − xII )

srmax. = 0.188m

A repedéstágasság értéke: wk := srmax.⋅ ( ∆ε )

wk = 0.282mm

<

0,3 mm megfelel

83


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz KIEGÉSZÍTŐ ANYAG AZ I. GYAKORLATHOZ

Gyengén -, normálisan - és túlvasalt vas beton keresztmetszetek monoton növekvő hajlítónyomatékkal szembeni viselkedésének vizsgálata Készítették: Klinka Katalin és Völgyi István

A vizsgálat során alkalmazott geometria jellemzők: h := 500mm b := 300mm

0 5 4

0 0 5

d := 450mm

(A hajlítónyomaték alul okoz húzást)

As 300

A vizsgálat során alkalmazott anyagjellemz ők definiálása: A repedésmentes beton σ(ε) diagramja:

A berepedt beton σ(ε) diagramja:

c[MPa]

σ [MPa]

c[MPa]

10,7 0,104

A betonacél σ(ε) diagramja: s

10,7

0,585 1,9

εc[% ]

3,5

0,585

3,5

434

εc[% ] ε

s '

kN

Ec = 18.3

-25

2,17

2

mm

N 2

mm

25

σ

f c.t := 1.9⋅

N 2

mm

f c.c ε1 := Ec

ε1 = 0.585‰

f c.t Ec

ε2 = 0.104‰

ε2 :=

s'

εc.E := ε1

Es = 200

N 2

mm

0

s

εs.E :=

f y Es

εs.E = 2.17‰

α E :=

Es Ec

α E = 10.93

Megjegyzés: A következ ő vizsgálatokban a betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton illetve betonacél merevségi, szilárdsági jellemz ő i azonosak. Csak az alkalmazott betonacél mennyisége változik. Feltételezzük továbbá, hogy a keresztmetszetek hasznos maga ssága változatlan marad . A vizsgálat során csak az els ő terhelést veszük figyelembe, a visszaterheléssel, a reverzíbilitással, a marad ó alakváltozásokkal és az újra terhelés esetével nem foglalkozunk. Meg kell még azt is állapítanunk, hogy a vizsgálatot a gerenda egyetlen keresztmetszetében végezzük el.

84

2

mm

εcu := 3.5 ⋅ ‰

εsu := 25⋅ ‰


kN

εc.E = 0.585‰

A betonacél anyagjellemzői: f y := 434⋅

ε [% ]

-434

A beton anyagjellemzői: f c.c := 10.7⋅

-2,17


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz GYENGÉN VASALT VASBETON K ERESZTMETSZET

A

M

A-A metszet


M z

n := 2

darab

0 5 4

0 0 5

φ := 12mm

2

φ ⋅π

2 φ12 300

A

2

As := n⋅ 4

As = 226.2mm

Az I. feszültségi állapotban lev ő (repedésmentes) vb. km. nyomatékfüggvénye: A vetületi egyenletből megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét: A

M

ε1 { =κ x *

A-A metszet

M z

.

x

h

x

.

d

κ

y

.

Fc.c

2x 3 2(h-x) 3

Fc.t σ εs Fs Ε { ε2=κ (h-x) { ε2 Ec

As

s

c

b

A

Belső er ők

{ ε1*Ec

*

*

1 1 ⋅ κ ⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI −  ⋅ κ ⋅ (h − xI)⋅ Ec⋅ (h − xI)⋅ b − κ ⋅ ( d − xI)⋅ Ec⋅ As − κ ⋅ (d − xI)⋅ Es⋅ As 2 2  1 1 ⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI − ⋅( h − xI)⋅ Ec⋅ ( h − xI)⋅ b − (d − xI) ⋅ Ec⋅ As − (d − xI)⋅ Es⋅ As 0 2 2 Az I. feszültségi állapothoz tartozó ideális keresztmetszet inerciája:

=

0

=

3

3

b ⋅ xI

b ⋅ (h − xI) + + As⋅ ( d − xI)2⋅ (α E − 1 ) II := 3 3 Az I. feszültségi állapotban nyomaték a κ görbület függvényében:

xI = 254mm 4

II = 321356.2cm MI(κ ) := Ec⋅ II⋅ κ

Az I. feszültségi állapot határát jelent ő görbület értéke: A húzott beton szélsőszál határnyúlásához tartozó görbü let:

κ I :=

ε2 h − xI

κ I = 4.213 × 10− 7

1 mm

A II. feszültségi állapotban lev ő vb. km. nyomatékfüggvénye: A vetületi egyenletből megkapjuk a II. fesz. állapotban a vasbeton keresztmetszet súlypontjának helyét:

A

M

ε σ ε1 E ε1 { =κ x {

M z

.

x

h

x

c

.

2x 3

Fc.c=12 κ x Ec b x-κ (d'-x) Ec A's *

*

*

*

*

*

*

*

d

κ

y

As A

*

*

A-A metszet

Bels ő er ők

b

εs

{

ε2=κ (h-x)

σ Ε s

c

Fs=κ (d-x) Es As *

*

*

*

1 ⋅ x ⋅ E ⋅ b ⋅ x − ( d − xII)⋅ Es⋅ As 2 II c II

=

0

xII = 78.3mm

A II. feszültségi állapothoz tartozó ideális k eresztmetszet inerciája: 3 1 2 III := xII ⋅ b ⋅ + As⋅ α E⋅ ( d − xII) 3 Az II. feszültségi állapotban nyomaték a κ görbület függvényében:

85

4

III = 38955 cm

MII( κ ) := Ec⋅ III⋅ κ



A II. feszültségi állapot határát j elent ő görbület értéke:

ε1 A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület: κ 1 := xII A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület:

κ s :=

εs.E d − xII

 κ 1 

A II. feszültségi állapot határát adó κ II görbület: (a húzott acél eléri a rugalmassági határát)

κ II := min

 κ s 

κ 1 = 7.47 × 10− 6

1 mm

κ s = 5.838 × 10− 6

1 mm

κ II = 5.838 × 10− 6

1 mm

A II. és a III. feszültségi állapot közötti intermedier állapotban lev ő vasbeton km. nyomatékfüggvényei: Ha a beton rugalmas állapotban van, az acélbetétek folynak, ekkor a nyomatékfüggvény: f y⋅ As 1 2 1 xfy(κ ) := Mfy( κ ) := ⋅ κ ⋅ Ec⋅ b ⋅ xfy( κ ) ⋅  d − ⋅ xfy( κ ) 1 2 ⋅ κ ⋅Ec⋅ b  3  2 Ha a beton rugalmas és képlékeny állapot határán van, az acélbetétek folynak, ekkor a görbület: 1  ε1  ⋅ ⋅ Ec⋅ b ⋅ x2 − f y⋅ As 2  x 

=

0

x = 61.2 mm

ε1 κ εc.E := x

1

κ εc.E = 9.56 × 10− 6 mm

A beton képlékeny állapotban van, az acélbetétek folynak:

ε

A

M

M

x

Fc.c,1 Fc.c,2

.

x

h

a

.

d

κ

y

As A

Belső er ők

f c {

εc.1 {

A-A metszet

z

σ

εs

b

Vetületi egyenlet: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅ a⋅f c.c − As⋅ f y 2

=

0

 

ahol

εc.E  1  εc.E  ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅ ⋅ f − As⋅ f y 0 2  κ  c.c κ  εc.E 1 εc.E ⋅ f + ⋅ b ⋅ ⋅ f − As⋅ f y 0 b ⋅ x⋅ f c.c − b ⋅ κ c.c 2 κ c.c b ⋅ x −

σs

=

=

a

Fs

=

εc.E κ

átalakítva ebből a semleges tengely helyének a függvénye:

εc.E 1 εc.E   − −f c.c⋅ b ⋅ + ⋅ f c.c⋅ b ⋅ − As⋅ f y 2 κ κ  xfc.c( κ ) :=  f c.c⋅ b

Ekkor nyomaték a κ függvényében:



εc.E  ( ) κ − x fc.c εc.E    1 εc.E 2 εc.E  κ  ⋅ f c.c⋅ d − + ⋅ b ⋅ ⋅ f c.c⋅ d − xfc.c( κ ) + ⋅ Mfc.c(κ ) := b ⋅ xfc.c (κ ) − 2 3 κ  κ    2 κ  

86



III. feszültségi állapotban lev ő vasbeton keresztmetszet számítása: A betonacél eléri a határnyúlását.

εc.E εsu



=

a d−x

ebből

a

=

εc.E εsu

1

⋅ ( d − x) b ⋅ ( x − a) ⋅f c + ⋅ b⋅ a⋅ f c − As⋅ f y 0 2

  1  εc.E ⋅( d − x) ⋅ f c.c + ⋅ b⋅ ⋅ ( d − x) ⋅f c.c − As⋅ f y 0 2  εsu   εsu  εsu A görbület értéke III. feszültségi állapotban: κ III := d− x

b ⋅ x −

εc.E

=

=

A beton szélső szálának ö sszenyomódása:

x = 35.4 mm

κ III = 6.03 × 10− 5

1 mm

ε = 2.1‰ Tényleg nem éri el a határösszenyomódás

ε := κ III⋅ x

értékét.

Megjegyzés: diagramokon az értékek Nm-ban és 1/m-ben értend ő k.

A szemléltetés kedvéért ábrázoljuk egy diagramon a különböző állapotokhoz tartozó nyomaték függvényeket:

M I( κ )

5 .10

4

3.75 .10

4

2.5 .10

4

1.25 .10

4

M II( κ ) M fy( κ ) M fc.c( κ )

0

0

0.005

0.01

0.015

0.02

κ A gyengén vasalt vasbeton keresztmetszet M(κ ) görbéje: A viselkedést az el ő bbi nyomaték-függvények metszéspontjai alapján kapjuk: 5 .10

4

3.75 .10

4

M gy( κ , hgy) 2.5 .10 4

1.25 .10

4

0

0

0.016

0.031

κ

87

0.047

0.062


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz NORMÁLISAN VASALT VASBETON KERESZTMETSZET

A

M

A-A metszet

- az alkalmazott alkalmazott húzott húz ott vas vas alás:

n := 4

M z

0 5 4

0 0 5

φ := 20mm

2

φ ⋅π

As := n⋅ 4

300

A

darab

2

As = 1256.6 1256.6 mm

Az I. feszültségi állapotban lev ő (repedésmentes) (repedésmentes) vb. km. nyomatékfüggvénye: 1 1 ⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI −  ⋅ (h − xI)⋅ Ec⋅ (h − xI) b − ( d − xI)⋅ Ec⋅ As − (d − xI)Es⋅ As 2 2  3

=

0

xI = 265mm

3

4

b ⋅ (h − xI) II := + + As⋅ ( d − xI)2⋅ (α E − 1 ) 3 3 MI(κ ) := Ec⋅ II⋅ κ Az I. feszültségi állapot határát j elent ő görbület értéke: b ⋅ xI

κ I :=

II = 321356.2cm

ε2

κ I = 4.425 × 10− 7

h − xI

1 mm

A II. feszültségi állapotban lev ő vb. vb . km. nyomatékfüggvénye: nyomatékfüggvénye: 1 ⋅ x ⋅ E ⋅ b ⋅ x − ( d − xII)⋅ Es⋅ As 2 II c II

=

0

xII = 162.3mm

3 1 2 III := xII ⋅ b ⋅ + As⋅ α E⋅ ( d − xII) 3

III = 156428cm

II hn := III


4

A II. feszültségi állapot határát jelent j elent ő görbület értéke:

ε1 A nyomott szélsőszál rugalmassági rugalmassági határához tartozó ny n yúlásához a görbület: κ 1 := xII A húzott acél rugalmassági határához határához tartozó nyúlásából nyúlásából kapott kap ott görbület:

κ s :=

εs.E d − xII

 κ 1 

A II. feszültségi állapot határát adó κ II görbület: (a nyomott szélsőszál eléri a r ugalmassági ugalmassági határát) határát)

κ II := min

 κ s 

88

κ 1 = 3.603 × 10− 6

1 mm

κ s = 7.543 × 10− 6

1 mm

κ II = 3.603 × 10− 6

1 mm



A II. és a III. feszültségi állapot közötti intermedier intermedier állapotban lev ő vasbeton km. nyomatékfüggvényei: nyomatékfüggvényei: Ha beton képlékeny állapotban van, az acélbetétek rugalmasak, rugalmasak, ekkor a nyomatékfüggvény: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅a⋅ f c.c − As⋅ Es⋅ ε s 2 a

=

εc.E

=

εs κ ⋅ (d − x)

0

=

ehhez tartozó betonacél be tonacél feszültség:

σ s Es⋅ εs =

behelyettesítve behelyettesítve a vetületi vetületi egyenletbe: egyenletbe:

κ

 

εc.E  1  εc.E  ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅ ⋅ f − As⋅ Es⋅ κ ⋅ (d − x) 0 2  κ  c.c κ  εc.E 1 εc.E x⋅ ( f c.c⋅ b + As⋅ Es⋅ κ ) − f c.c⋅ b ⋅ + ⋅ f c.c⋅ b ⋅ − As⋅ Es⋅ κ ⋅ d 0 2 κ κ

b ⋅ x −

=

átrendezve

=

εc.E 1 εc.E   − −f c.c⋅ b ⋅ + ⋅ f c.c⋅ b ⋅ − As⋅ Es⋅ κ ⋅ d 2 κ κ  xfc.c( κ ) := 

A semleges tengely helye a κ függvényében:

f c.c⋅ b + As⋅ Es⋅ κ

A nyomaték a κ függvényében:



εc.E  ( ) x κ − fc.c εc.E    2 εc.E  κ  1 εc.E Mfc.c( κ ) := b ⋅ xfc.c(κ ) − ⋅ f c.c⋅  d − + ⋅ b ⋅ ⋅ f c.c⋅ d − xfc.c( κ ) + ⋅ 2 3 κ  κ    2 κ   Ennek az állapotnak a határát az acélbetétek megfolyása megfolyása jelenti, az ehhez tartozó görbület értéke: εc.E εs.E

=

a

ebbő l

d−x

a

=

εc.E εs.E

⋅ ( d − x)

A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható:



εc.E



εs.E

b ⋅ x −



1 2

⋅ ( d − x) ⋅f c.c + ⋅ b⋅



 εc.E  εs.E



⋅ ( d − x) ⋅ f c.c − As⋅ f y 0 =



x = 203.2 mm mm

εs.E

Az acélbetétek megfolyásához tartozó görbület értéke:

κ εs.E := d− x

A beton képlékeny állapotban van, az acélbetétek folynak, folynak, ekkor a nyomatékfüggvény: nyomatékfüggvény: Vetületi egyenlet: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅a⋅ f c.c − As⋅ f y 2

=

0

A semleges tengely helye a κ függvényében: A nyomaték a κ függvényében:

  

Mfy(κ ) := b ⋅ xfy( κ ) −

εc.E  ⋅ f ⋅  d − κ  c.c 

εc.E 1 εc.E   − −f c.c⋅ b ⋅ + ⋅ f c.c⋅ b ⋅ − As⋅ f y 2 κ κ  xfy(κ ) :=  f c.c⋅ b

xfy( κ ) − 2

εc.E  κ

ε ε  + 1 ⋅ b⋅ c.E ⋅f c.c⋅  d − xfy(κ ) + 2 ⋅ c.E  3 κ   2 κ 

89

1

κ εs.E = 8.791 × 10− 6 mm



III. feszültségi állapotban lev ő vasbeton keresztmetszet számítása: A vasbeton nyomott, felső szélső szálban az ös szenyomó szenyomódás dás eléri a beto be tonn határösszenyo határö sszenyomódásának módásának értékét, ezért a vb . keresztmetszet a III. feszültség állapotba kerül ( εc,felső=εc,u=3,5%o)! A semleges tengely helye a vetületi egyenletből meghatározható: 1 b ⋅ ( x − a) ⋅f c + ⋅ b⋅ a⋅f c − As⋅ f y 2



b ⋅ x −



=

0

 1  εc.E  ⋅ x ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅ ⋅ x ⋅ f c.c − As⋅ f y 0 2 εcu  ε  cu 

εc.E

=

A görbület gö rbület értéke III. I II. feszültségi feszültségi állapotban:

x = 185.4 mm mm

εcu

1

κ εcu = 1.888 × 10− 5 mm

κ εcu := x

A szemléltetés kedvéért ábrázoljuk egy diagramon a különböző állapotokhoz tartozó nyomaték függvényeket: Megjegyzés: diag diag ramon az a z értékek értékek Nm- ben b en és 1/m-ben értend ő ő k.

2.5 .10

5

1.88 .10

5

. M fy( κ ) 1.25 10

5

M I( κ ) M II( κ )

M fc.c( κ ) 6.25 .10

4

0

0

0.005

0.01

0 . 01 5

0.02

κ A normálisan vasalt v as beton keresztmetszet keresztmetszet M(κ ) görbéje: A viselkedést az el ő bbi bb i nyomatéknyomaték-függvény függvények ek metszéspontjai metszéspontjai alapján alapján kapjuk: 2.2 .10

5

1.65 .10

5

M n( κ , hn) 1.1 .105

5.5 .10

4

0

0

0.005

0.01

κ 90

0 . 0 15

0.02


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz TÚLVASALT KERESZTMETSZET VISELKEDÉSE

A

A-A metszet

az alkalmazott húzott vasalás:

M

M

z

6 φ20

0 0 5

A

n := 6

0 5 4

φ := 20mm

darab 2

φ ⋅π

2

As := n⋅ 4

As = 1885mm

300

Az I. feszültségi állapotban lev ő (repedésmentes) vasbeton keresztmetszet nyomatékfüggvénye: 1 1 ⋅ xI⋅ Ec⋅ b ⋅ xI −  ⋅ (h − xI)⋅ Ec⋅ (h − xI) b − ( d − xI)⋅ Ec⋅ As − (d − xI)Es⋅ As 2 2  3

II :=

b ⋅ xI 3

=

0 xI = 272mm

3

+

b ⋅ (h − xI) + As⋅ ( d − xI)2⋅ (α E − 1 ) 3

4

II = 379058.1cm

MI(κ ) := Ec⋅ II⋅ κ

Az I. feszültségi állapot határát j elent ő görbület értéke:

κ I :=

ε2

1 mm

κ I = 4.557 × 10− 7

h − xI

A II. feszültségi állapotban lev ő vb. km. nyomatékfüggvénye: 1 ⋅ x ⋅ E ⋅ b ⋅ x − ( d − xII)⋅ Es⋅ As 2 II c II

=

0 xII = 189.2mm

3 1 2 III := xII ⋅ b ⋅ + As⋅ α E⋅ ( d − xII) 3

4

III = 207846cm


A II. feszültségi állapot határát j elent ő görbület értéke: ε1 A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbület: κ 1 := xII A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbület:

κ s :=

εs.E d − xII

 κ 1 

A II. feszültségi állapot határát adó κ II görbület: (a nyomott szélsőszál eléri a rugalmassági határát)

κ II := min

 κ s 

κ 1 = 3.09 × 10− 6

κ s = 8.322 × 10− 6

1 mm

κ II = 3.09 × 10− 6

1 mm

A II. és a III. feszültségi állapot közötti intermedier állapotban lev ő vasbeton km. nyomatékfüggvényei: A beton képlékenyedik, az acélbetétek rugalmas állapotban vannak, ekkor a nyomatékfüggvény: 1 σ s Es⋅ εs b ⋅ ( x − a) ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅a⋅ f c.c − As⋅ Es⋅ ε s 0 2 =

 

b ⋅ x −

=

εc.E  1  εc.E  ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅ ⋅ f − As⋅ Es⋅ κ ⋅ (d − x) 2  κ  c.c κ 

A semleges tengely helye a κ függvényében: A nyomaték a κ függvényében:

 εc.E   ( ) ( ) ⋅ f c.c⋅  d − Mfc.c κ := b ⋅ xfc.c κ − κ   

=

0

εc.E 1 εc.E   − −f c.c⋅ b ⋅ + ⋅ f c.c⋅ b ⋅ − As⋅ Es⋅ κ ⋅ d 2 κ κ  xfc.c( κ ) :=  f c.c⋅ b + As⋅ Es⋅ κ εc.E 

xfc.c (κ ) − κ 2

91

1 mm

ε ε  + 1 ⋅ b⋅ c.E ⋅f c.c⋅ d − xfc.c( κ ) + 2 ⋅ c.E  3 κ   2 κ 



III. feszültségi állapotban lev ő vasbeton keresztmetszet számítása: A vasbeton km. nyomott, felső szélső szálában az összenyomódás eléri a b eton határösszenyomódásának értékét:

εcu=3,5%o, így III. fesz. állapotba kerül, miel őtt az acél megfolyna A semleges tengely helye a vetületi egyenletb ő l meghatározható:

εc.E εcu κ

=

a

=

d

ebbő l

−x

εcu

εs κ ⋅ ( d − x) =

x



εc.E



εcu

b ⋅ x −

a

εcu

=

x



1

 εc.E 



2

 εcu

⋅ x ⋅ f c.c + ⋅ b ⋅

=

εcu

⋅x

⋅ ( d − x)

⋅ x ⋅ f c.c −



A görbü let értéke III. feszültségi állapotban: Ekkor az acélban keletkező megnyúlás: εs := κ εcu⋅ ( d − x)

εc.E

As⋅ Es⋅

b ⋅ ( x − a) ⋅ f c

 εcu  ⋅ ( d − x) x 

κ εcu :=

=

1

+ ⋅ b⋅ a⋅ f c − As⋅ Es⋅ εs 2

0

0 x = 277.9 mm

εcu

κ εcu =

x

εs = 2.168 ‰

=

<

εs.E =

−5 1

1.26 × 10

2.17‰

A szemléltetés kedvéért ábrázoljuk egy diagramon a különböz ő állapotokhoz tartozó nyomaték függvényeket: 4 .10

5

3 .10

5

2 .10

5

1 .10

5

M fc.c( κ ) M I( κ ) M II( κ )

0

0

0.013

0.025

0.038

0.05

0.0113

0.015

κ A túlvasalt vasbeton keresztmetszet M(κ ) görbéje: 3 .10

5

5

2.25 .10

Mt

( κ , ht )

5

1.5 .10

7.5 .10

4

0

0

0.0038

0.0075

κ 92

mm


Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz A gyengén -, a normálisan - és túlvasalt vasbeton keresztmetszet M(κ ) görbéi

3 .10

5

2.25 .10

5

1.5 .10

5

7.5 .10

4

M gy( κ , hgy) M n( κ , hn) M t ( κ , ht )

0

0

0.016

0.031

0.047

0.062

κ MEGÁLLAPÍTÁSOK (összegezve): A VB. KM. NYOMATÉK-GÖRBÜLET ÖSSZEFÜGGÉSE Ábrázoljuk a példákban szereplő vb. keresztmetszet a nyomatékainak alakulását a görbületváltozásának függvényéban, ha azt monoton növekvő nyomaték terheli, (és csak az első terhelést veszük figyelembe, a visszaterheléssel, a reverzíbilitással, a maradó alakváltozásokkal és az újra terhelés esetével nem foglalkozunk)! (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészít ő anyag az I. gyakorlathoz c. részben a normálisan vasalt keresztmetszetnél) M [kNm]

MIII=198,962 198,488

III. fesz. áll.

r állapot i e d e m r t e n i

MII=103,13

l . l á . z s e f . I I

(első képlékeny jelenség)

M cr =29,04 I. fesz. áll. κ

c r

= 0 , 0 4 2 3

κ I I

= 0 , 3 6 0 3

0 , 8 7 9 1

κ

1 κ [ 10-5 mm ]

I I I

= 1 , 8 8 8

A vizsgált, monoton növekvő nyomatékkal terhelt vb. keresztmetszet M(κ ) görbéjének I. fesz. állapothoz tartozó szakasza egy adott meredekségű egyenessel jellemzhető, amelynek a határát a repesztőnyomaték értéke adja. Ekkor a vb. M keresztmetszet bereped, így az inerciája lecsökken ( III < II ), mivel κ = , ezért nyomaték állandó nagysága mellett κ EI szükségszer űen növekedni fog. A II. feszültségi állapot is egy egyenessel jellemezhető, a meredeksége nyilvánvalóan kisebb lesz, mint az I. feszültségi állapoté, hisz a berepedt km. inerciája is kisebb. A II. fesz. állapotot egy nemlineáris intermedier állapot követ, ebben az intermedier állapotban először vagy a beton, vagy a betonacél/ok kezdenek el képlékenyen viselkedni, majd nyomaték növekedésével mind a beton és a betonacélok is képlékeny állapotba kerülnek. Az M(κ ) görbének a végpontja - és valóban csak egyetlen pontja - a III. feszültségi állapot. 93



EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HAJLíTÓNYOMATÉKKAL SZEMBENI VISELKEDÉSÉNEK ELEMZÉSE NYOMATÉK-GÖRBÜLET ÖSSZEFÜGGÉS A gyengén -, a normálisan - és túlvasalt vasbeton keresztmetszet M(κ ) görbéi a következő diagramon láthatóak: Megjegyzés: a vizsgálat sorá n a beton bilineáris anyagmode lljét használ tuk.

M [kNm] 6φ20 túlvasalt

263,263

4φ20 normálisan vasalt

198,962

117,53 103,13 2φ20 gyengén vasalt

42,662 31,663 0 , 3 0 9

0 , 5 8 4

0 , 8 7 9

1 ,2 6 0

6 , 0 3

1 , 8 8 8

1 ] κ [10-5mm

A diagramon követhető, hogy a repesztőnyomaték nagysága alig függ a vasmennyiségtől. Az is megfigyelhető, hogy ha kevés a betonacél a vb. keresztmetszetben (II>>III) az I. feszültségi állapothoz tartozó egyenes meredekségéhez képest jelentősen lecsökken a II. feszültségi állapothoz tartozó egyenes meredeksége, míg sok vas esetén ez alig csökken. A gyengén vasalt keresztmetszetnél a felvehető MRd hajlítónyomaték értéke nem sokkal nagyobb, mint a repesztőnyomaték, és már egy igen alacsony nyomatékértéknél nagy alakváltozások játszódnak le. A túlvasalt keresztmetszetnél pedig az látható, hogy a III. feszültségi állapot elérése előtt csak k orlátozottan képes alakváltozásokra. A normálisan vasalt vb. keresztmetszetek viselkedése mindezekkel szemben kedvező, hisz megfelelően nagy nyomatékot képes felvenni a repesztőnyomaték felett és a keresztmetszet tönkremenetele előtt jelentősen nagy képlékeny alakváltozásokra képes. A "megfelelően" nagy nyomatéki teherbírás és a "jelentősen nagy" képlékeny alakváltozások tisztázása a vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészít ő anyag az II. gyakorlathoz c. részben.

94


II. gyakorlat KIEGÉSZÍTŐ ANYAG AZ II. GYAKORLATHOZ

Egyszeresen vasalt négyszög keresztmetszet hajlítónyomatékkal szembeni viselkedésének elemezése Készítették: Klinka Katalin és Völgyi István

Az elemzés során az alábbi vasbeton keresztmetszet viselkedését kísérjük végig egyre növekvő húzott vasmennyiségek mellett: A vizsgálat során alkalmazott geometria jellemzők: h := 500mm b := 300mm

0 5 4

0 0 5

d := 450mm

As

A hajlítónyomaték alul okoz húzást

300

A vizsgálat során alkalmazott anyagjellemz ők definiálása: A beton σ(ε) diagramja: A betonacél σ(ε) diagramja:

σ

σ

C16/20

c

f αf

σ ασ

ck cd

ε

c1

=0,7

ε

σ σ

cd

ε

'

ε [% ] c

cu

-f yk -f yd

S500B

ck

s

=3,5

0

s

f yd Es

σ σ

'

yk yd

ε =-25 su

ε [%o] s

f yd f yk '

yd yk '

'

σ

s'

A beton anyagjellemzői: C16/20 f ck := 16⋅

N 2

f ck f cd := γ c

mm A betonacél anyagjellemzői: S500B f yk N f yk := 500 ⋅ f yd := 2 γ s mm 560 ξ c0 := ξ c0 = 0.5 f yd + 700

f cd = 10.7

N

f ctm := 1.9

2

mm

f yd = 434.8

N 2

mm

xc0 := d⋅ ξ c0

N 2

mm

εsu := 25⋅ ‰

εcu := 3.5 ⋅ ‰

Es = 200

xc0 = 222.1mm

Megjegyzés: A vizsgálat a keresztmetszet tönkremenetelét okozó görbületre ill. nyomatékra korlátozódik.

Az EC szerkesztési szabályok ad meg vasbeton keresztmetszetekben előírt minimális és maximális vasmennyiségre, ahhoz hogy egyátalán vasbetonként számolhatóak legyenek:

 0.26⋅ f ctm⋅ b⋅ d  f yk Asmin := max   1.3 ⋅ ‰⋅ b⋅ d 

Asmin = 175.5mm

Asmax := 4%⋅ b⋅ d

Asmax = 5400mm

2

2

95

kN 2

mm


II. gyakorlat

A vasbeton keresztmetszet tönkremeneteli módját tekintve három f ő csoportot különböztetünk meg: - a gyengén vasalt keresztmetszetek, - a normálisan vasalt keresztmetszetek és - a túlvasalt keresztmetszetek

σ [MPa] c

f cd=10,7

ε

0,7

C16/20 =3,5

cu

ε [%0] c

xa_b xc.b_c

m m 0 5 4 = d

m m 0 0 5 = h

x b_c

As

. M K T L A S A V N É G N E Y G " a " εsu=-25 εsu=-25

ε

s

ε σ [MPa]

b=300 mm

'

s

S500B

. M K T L A S A V L Ú T " c "

"b" NORMÁLISAN VASALT KM.

f =2,17 E

ε =25 ε [%0] s '

f =2,17 E

yd

su

yd

s

s

f =434,8 yd

σ

s

Határozzuk meg először, mekkora vasmennyiségek esetén van a v b. keresztmetszet éppen a viselkedésmódok határán! Gyengén vasalt (a) és normálisan vasalt (b) keresztmetszet határa: Ilyen esetben a modellünk szerint a nyomott beton szélső szál összenyomdása éppen akkor merül ki (3.5 ‰), amikor az acélbetét elszakad (25‰). Számszer űen: =3,5%0

cu

xa_b

.

3.5⋅ ‰ 25⋅ ‰

d

h

ε

As

su

=

xa_b d − xa_b

és

xc.a_b

=

1.25⋅ xa_b

=25%0

b

3.5⋅ ‰⋅ d xc.a_b := 1.25⋅ ( 25⋅ ‰ + 3.5 ⋅ ‰) A fenti ös szefüggéseket felhasználva, a vetületi egyenletből megkapjuk a vasmennyiséget: b ⋅ xc.a_b⋅ α ⋅ f cd As.a_b⋅ f yd

xc.a_b = 44.2mm

=

As.a_b :=

b ⋅ xc.a_b⋅α ⋅ f cd

2

As.a_b = 325.4mm

f yd

96


II. gyakorlat

Normálisan vasalt (b) és túlvasalt (c) keresztmetszet határa: Ekkor a nyomott zóna relatív magasság éppen a határhelyzettel egyenlő:xc.b_c := ξ c0⋅ d A vetületi egyenletből megkapjuk a vasmennyiséget: b ⋅ xc.b_c⋅ α ⋅ f cd As.b_c⋅ f yd

xc.b_c = 222.1mm

=

As.b_c :=

b ⋅ xc.b_c⋅α ⋅ f cd

2

As.b_c = 1634.4 mm

f yd A következőkben meghatározzuk, hogyan alakul a három szakaszon a kmetszet határnyomatéka és a keresztmetszet relatív elfordulása a vasmennyiség függvényében: Gyengén vasalt keresztmetszet: As⋅ f yd A nyomott betonzóna magassága vasmennyiség függvényében: xc.a( As) := b ⋅α ⋅ f cd A keresztmetszet határnyomatéka a vasmennyiség függvényében

1 MRd.a( As) := As⋅ f yd⋅  d − ⋅ xc.a(As)  2 

Mekkora ekkor a keresztmetszet görbülete? Az acélbetét megnyúlása 25‰, ekkor a nyomott szélső száltól xc távolságra a beton összenyomódása 0,7 ‰ :

κ Rda⋅ ( d − xc.a)

=

0.7‰ + 25‰

κ Rd.a(As) :=

A keresztmetszet görbülete a vasmennyiség függvényében:

A normálisan vasalt keresztmetszet:

As⋅ f yd xc.b(As) := b ⋅ α ⋅ f cd

A nyomott betonzóna magassága:

A normálisan vasalt km. határnyomatéka a vasmennyiség függvényében A normálisan vasalt km. görbülete a vasmennyiség függvényében:

25.7‰ d − xc.a( As)

1 MRd.b( As) := As⋅ f yd⋅  d − xc.b( As)  2  3.5‰ κ Rd.b( As) := 1.25⋅ xc.b(As)

A túlvasalt keresztmetszet: Most az acélbetét rugalmas állapotban van, így az fügvények meghatározása kicsit bonyolultabb feladat. 560⋅ d 560⋅ d N b ⋅ xc.c⋅ α ⋅ f cd As⋅  σs − 700 és − 700 ⋅ xc.c  xc.c  mm2 560⋅ d N N b ⋅ xc.c⋅ α ⋅ f cd As⋅ ⋅ − 700As⋅ xc.c 2 2 mm mm 560⋅ d N N ⋅ + 700As⋅ b ⋅ xc.c⋅ α ⋅ f cd − As⋅ 0 xc.c 2 2 mm mm N N 2 ⋅ xc.c − As⋅ 560⋅ d⋅ b ⋅ α ⋅ f cd⋅ xc.c + 700As⋅ 0 2 2 mm mm A valós fizikai jelentéssel bíró x függvénye: =

=

=

=

=

c.c

−700⋅ As⋅ xc.c( As) :=

N 2

mm

+ 700

2  N

2

 + 4⋅ 560⋅A ⋅ d⋅ b⋅f ⋅  N  ⋅ As ⋅ s cd 2 2 mm    mm 

2

2 ⋅ b⋅ f cd

A túlvasalt km. határnyomatéka a vasmennyiség függvényében:

 MRd.c( As) := b ⋅ xc.c(As) ⋅ α ⋅ f cd⋅ d − 

A túlvasalt km. görbülete a vasmennyiség függvényében:

κ Rd.c(As) :=

97

3.5‰ 1.25⋅ xc.c( As)

xc.c(As)  2 


II. gyakorlat

Az egyszeresen vasalt vasbeton négyszög keresztmetszetek viselkedése a vasmennyiség függvényében: A szemléltetés érdekében ábrázoljuk külön-külön a görbületfüggvényeket: Megjegyzés: a grafikonokon az értékek Nm-ban, mm2-ben és 1 /m-ben va nnak megadva.

0.2

κ Rd.a( As)

0.13

κ Rd.b( As) κ Rd.c( As) 0.067

0

5 .10

5

0.0014

0.0027

0.004

As

A függvények metszéspontjai megadják a gyengén, a normálisan és a túlvasalt keresztmetszetek viselkedésének a határát. Nyilvánvaló, hogy ezen határokon belül a görbületet jellemző függvény más és más, tehát növekvő vasmennyiség mellett a valós viselkedést leíró görbületfüggvény a következő grafikonon látható: MRd( As) := MRd.b( As) κ Rd(As) := κ Rd.b( As) MRd.a( As) if As < As.a_b

κ Rd.a( As) if As < As.a_b κ Rd.c( As) if As.b_c < As < Asmax

MRd.c( As) if As.b_c < As < Asmax

0.05

κ Rd( As)

0

0.001

0.002

0.003

0.004

As

2 .10

5

M Rd( As )

0

0

0.001

0.002

0.003 As

98

0.004


II. gyakorlat

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HAJLíTÓNYOMATÉKKAL SZEMBENI VISELKEDÉSÉNEK ELEMZÉSE NYOMATÉK-GÖRBÜLET ÖSSZEFÜGGÉS A gyengén -, a normálisan - és túlvasalt vasbeton keresztmetszet M(κ ) görbéi a következő diagramon láthatóak: (A vizsgálatot részletesen lásd a K iegészít ő anyag az I. gyakorlathoz c. részben) Megjegyzés: a vizsgálat sorá n a beton bilineáris anyagmode lljét használ tuk.

M [kNm] 6φ20 túlvasalt

263,263

4φ20 normálisan vasalt

198,962

117,53 103,13 2φ20 gyengén vasalt

42,662 31,663 0 , 3 0 9

0 , 5 8 4

0 , 8 7 9

1 , 2 6 0

6 , 0 3

1 , 8 8 8

99

1 ] κ [10-5mm


II. gyakorlat

NYOMATÉK - VASMENNYISÉG ÉS GÖRBÜLET- VASMENNYISÉG ÖSSZEFÜGGÉSEK Az elemzés során az alábbi vasbeton keresztmetszet viselkedését - hajlítónyomatékainak és gör böletváltozásának alakulását - kísérjük végig egyre növekvő húzott vasmennyiségek mellett: A vizsgálat során a vb. keresztmetszetek III. feszültségi állaptban vannak, és beton merev-képlékeny anyagmodelljét használtuk. (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészít ő anyag az II. gyakorlathoz c. részben)

MRd [kNm] 282,628

t d R M z a i l e v ö n n a i s d r á 8 , * e n i 0 l *

240,876

R d- t nö ve l i az M ig l a se lé e az As nö v

b . f y d k e s * é s A l e d ö v R = n s M 60,536 z A a

325,39 GYENGÉN VASALT

1634,43

5400

As[mm2]

TÚLVASALT

NORMÁLISAN VASALT

Az MRd (As) diagramon látható, hogy amíg a keresztmetszet normálisan vasalt vasmennyiség növekedése jelentős mértékben növeli a vasbeton keresztmetszet hajlítónyomatéki ellenállását, addig a túlvasalt keresztmetszetnél a vasmennyiség növelése alig növeli meg a határnyomaték értékét. Jól látszik az is, hogy ha nem túlvasalt a km. akkor az MRd kb. lineárisan függ a As vasmennyiségtől, ezért kielégítően pontos közelítést ad (lásd a kék egyenest a 10. diagramon), ha a határnyomatékot a következő egyszer ű képlettel becsüljük: --MRd As⋅ f yd⋅ 0.8⋅ d Tanulságként levontató, hogy nem érdemes a vasbeton keresztmetszetben vasmennyiséget úgy növelni, hogy a túlvasalt keresztmetszetet kapjunk, mert az gazdaságtalan lenne. -5 1 Rd [ 10 mm ] =

6,333

A κ Rd(As) diagramon látható, hogy a vasmennyiség növekedésével egyre kisebb alakváltozásra lesz képes a tartó. Túlvasalt esetben pedig egészen kis alakváltozásra képes, aminek az a következménye, hogy a képlékeny nyomatékátrendeződés nem tud lejátszódni.

1,261 0,9682

325,39

GYENGÉN VASALT

1634,43

NORMÁLISAN VASALT

5400 TÚLVASALT

100

As[mm2]



A következõ példákban a betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton, illetve betonacél szilárdsági jellemzõi azonosak: A

M

A-A metszet

M z

A hajlítónyomaték alul okoz húzást 0 5 4

0 0 5

4 f20 A

300

A repedésmentes beton s(e) diagramja:

A berepedt beton s(e) diagramja:

c[MPa]

s [MPa]

c[MPa]

10,7

s

10,7

0,104 0,585 1,9

Ec

A betonacél s(e) diagram

=

18.3

3,5

ec[% ] 0,585

434

ec[% ]

3,5

e

s '

kN

-25

-2,17

e [% ] 0

s

25

2,17

2

mm

-434

Geometria jellemzõk definiálása : h := 500mm b := 300mm d := 450mm

Es

= 200

kN 2

mm

s

d

s'

As b

- az alkalmazott húz ott vasalás:

n := 4

db

2

f :=

As := n×

20mm

f ×p 4

Anyagjellemzõk definiálása :

A beton anyagjellemzõi: A beton nyomószilárdsága:

As

f c.c := 10.7×

=

2

1256.6 mm

N 2

mm

A beton húzószilárdsága:

N

f c.t := 1.9 ×

2

mm

f c.c

A nyomott szélsõszál rugalmas határához tartozó nyúlás: e1 := Ec ec.E := e1 A húzott szélsõszál határnyúlása:

e2 := ecu :=

A betonacél anyagjellemzõi: A betonacél folyáshatára:

f c.t Ec

e1 =

0.585 ‰

ec.E = e2 =

0.585 ‰

0.104 ‰

3.5 × ‰

N

f y := 434 ×

2

mm

A betonacél folyási határához tartozó nyúlás: es.E :=

esu :=

Az acél határnyúlása:

a E :=


101

Es Ec

f y

es.E =

Es 25× ‰

aE =

10.93

2.17‰



II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN L EVÕ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.2.példa: Határozza meg az alábbi berepedt vb. km. II. feszültségi állapot végét jelentõ gör bületét és a hozzá tartozó nyomatékot! h = 500 mm

d

=

b

As

As

300 mm

=

d = 450 mm

b

A betonacél s(e) diagramja:

A repedésmentes beton s(e) diagramja:

ec.E =

c[MPa]

10,7

0,585

f c.c

ec[% ]

3,5

s [MPa]

0.585 ‰ 434

es.E =

2

e

s '

=

-25

kN

18.3

= 434

N 2

mm

N

= 10.7

f y

s

mm Ec

2

1256.6 mm

-2,17

2

e [% ] s

25

2,17

2.17‰

0

Es

=

200

s

2

mm

-434

mm

kN

s'

Megjegyzés: beton és betonacél s(e) diagramjánál is elegendõ lenne lineárisa n rugalmas szakaszt megad ni, hisz a betonacél a II. feszültségi állapotban nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. A

M

e s { e 1 E e1 { =k x *

*

A-A metszet

M

x

.

z

x

h

.

2x 3

* *x Fc.c=2*k*x*Ec b

1

d

k

y

es

As A

Belső er ők

c

s E

s c

{

b

e2=k (h-x)

Fs=k*(d-x)*Es*As

*

A feladat megoldása: A vetületi eg yenletbõl megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súl ypontjának helyét: N ( x , k ) = Fc.c + Fs = 0 1 × k × xII× Ec× b × xII - k × d - xII × Es× As = 0 mivel 2

(

1 2

× xII× Ec× b × xII - ( d -

)

k¹

0 ezért végig oszthatunk vele

xII × Es× As = 0

)

xII = 162.3mm

A II. feszültségi állapot határát adó

kII görbület számítása:

A nyomott szélsõszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görbü let:

k 1 :=

A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásából kapott görbü let:

k s :=

kII görbület: (a nyomott szélsõszál eléri a rugalmassági határát)

k II :=

A II. feszültségi állapot határát adó

e1 xII

es.E d - xII

æ k 1 ö

min

è k s ø

-6 1

k1 =

3.603 ´ 10

ks =

7.543 ´ 10

k II =

3.603 ´ 10

mm

-6 1 mm

-6 1 mm

A húzott acélbetét megfolyását okozó nyomaték nagysága: MII = ahol

k II× Ec× é xII × b × 3

ë

3

1 3 1

III := xII × b × 3

+

(

2 ) ùû

As× a E× d - xII

+ As× a E× ( d -

)

xII

2

4

III = 156428 cm

102

MII = 103.13 kN× m



1.3.példa: Határozza m eg az alábbi vasbeton keresztmetszet felsõ-szélsõ szálának összenyom ódását abban az esetben, ha a keresztmetszetre M=100 kNm nagyságú hajlítónyomaték hat!

A betonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált beton, illetve betonacél szilárdsági jellemzõi, mint az elõzõ példákban. A feladat megoldása: Tegyük fel, hogy a beton és acél rugalmas állapotban vannak! xII = 162.3mm

A vetületi eg yenletbõl megkapjuk a repedesmentes vasbeton keresztmetszet súl ypontjának helyét: A nyomatéki egyenlet: M=

æ 1 × k × x × E × b× x ö × 2 × x + k × ( d - x ) × E × A × (d - x ) II s s II è 2 II c II ø 3 II

ebbõl a görbületet m egkapjuk

k=

Feltevés ellenõzése:

es := k × ( d -

)

xII

es =

1.005‰

-6 1

3.493 ´ 10

mm

<

es.E =

2.170 ‰ jó volt a feltevés, az acél rugalmas

<

e1 =

0.585 ‰ jó volt a feltevés, a beton rugalmas

Felsõ szélsõ szál összenyomódása:

ec := k × xII

ec = 0.567 ‰

103


Kiegészítés-alakváltozás, repedéstágasság

KIEGÉSZÍTÕ INFORMÁCIÓK Használhatósági határállapotok betonszerkezetek alakváltozása és repedéstágassága témakörhöz Készítette: Völgyi István A következõkben a VII. gyakorlat anyagának 1. mintapéldájához kívánunk kiegészítõ információkat közölni.

A lehajlás értékének pontosított meghatározása. Most a gyakorlaton tett közelítés nélkül végezzük el a számítást, azaz a nyomaték értéke a tartó hossza mentén folyamatosan változik, ζ értéke nem konstans. Így a lehajlást csak a görbület függvényének tényleges integrálása segítségével határozhatjuk meg. 2  L y  M( y) := (p qp) ⋅ ⋅ y − ( p qp) ⋅ 2 2  

κ I( y) :=

σ s( y) :=

M( y)

κ II( y) :=

Ec.eff ⋅ II

M ( y) ⋅ d

(

− xII) ⋅ α s.eff III

M( y) Ec.eff ⋅ III

Hol éri el a külsõ terhekbõl számítható nyomaték a repesztõnyomaték értékét? z := 1m Given M ( z) = M cr xrep := Find( z ) xrep = 0.401m

 ζ( y) :=

1

− β⋅



2  σ sr  

 σ s(y) 

if M( y)



> M cr

0 otherwise 1 0.5

ζ ( y) 0

0

1

2

3

4

5

y

Jól látható, hogy ζ értéke a repesztõnyomatékkal megegyezõ nyomaték mûködése esetén (vagyis közvetlenül a repedést követõen) 0,5. A támasz felett számítható véglapelfordulás, és lehajlás értéke I., II. feszültségállapotban, majd EC2 szerint: L

⌠ 2  α I :=  κ I( y) dy ⌡0

L

α I = 0.007

eI :=

α I⋅

L 2

⌠ 2 L  −  κ I( y) ⋅  − y  dy  2  ⌡0

L

⌠ 2  α II :=  κ II( y) dy ⌡0

eI

= 11.225 mm

L

α II = 0.01

eII :=

L

⌠ 2  α EC :=  ζ ( y) ⋅ κ II( y) + (1 − ζ( y) ) ⋅ κ I( y) dy ⌡0

α II⋅

L 2

⌠ 2 L  −  κ II( y) ⋅  − y  dy  2  ⌡0

α EC = 0.009

κ EC( y) := ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) )⋅ κ I( y)

104

eII

= 14.883 mm


κI( y)


0.004

κEC( y) κII( y)

0.002

0

0

1

2

3

4

5

y

A kiselmozdulások gondolatmenetét felhasználva:

⌠ u e( u ) := α EC⋅ u −  κ EC( y) ⋅ (u − y) dy ⌡0

 L  = 14.629 mm  2 

e

A matematikai gondolatmenetet felhasználva is számíthatjuk a lehajlás értékét. A görbület integrálja a szögelfordulás. A tartóvégen számítható elfordulással módosítva teljesíthetjük a peremfeltételt.

⌠ u φ ( u) := α EC −  κ EC( y) dy ⌡0 0.01

φ ( u)

0

0

1

2

3

4

5

u

Az így kapott elfordulásfüggvényt integrálva kapjuk a lehajlás függvényét. A támasz felett a lehajlás zérus, így a peremfeltétel itt automatikusan teljesül.

⌠ v e2 ( v) :=  φ ( u ) du ⌡0

e2

 L  = 11.883 mm  2 

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

105



A következõkben az 1. gyakorló példát egészítjük ki. A lehajlás értékének pontosított meghatározása. 2  ( L − y)  M( y) := (p qp) ⋅ 2  

ζ( y) :=

− β⋅

1

 σ sr 

σ s( y) :=

M( y) ⋅ d

(

− xII) ⋅ α s.eff III

2

if M( y)

 σ s(y) 

≥ M cr

κ I( y) :=

M( y) Ec.eff ⋅ II

κ II( y) :=

M( y) Ec.eff ⋅ III

0 otherwise

Hol éri el a külsõ terhekbõl számítható nyomaték a repesztõnyomaték értékét? M( z) = M cr xrep := Find( z) xrep = 1.506m

κ EC( y) := ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ( y) ) ⋅ κ I( y) κ I( y)

if y < xrep

otherwise

⌠ u eEC( u ) :=  κ EC( y) ⋅ ( u − y) dy ⌡0 eEC( L)

= 19.559 mm

A két mintapélda eredményeit elemezve megállapíthatjuk, hogy a közelítõ számítás igen jó eredményt ad. A pontosított eljárás akkor eredményezhet számottevõen kedvezõbb eredményt, ha olyan speciálisak a megtámasztási és a terhelési viszonyok, hogy nagy csúcsigénybevétel alakul ki olyan kis kiterjedésû helyen, aminek a maximális lehajlásra nincs nagy hatása, vagy, ha a repedésmentes és a berepedt keresztmetszet merevsége jelentõsen eltér, esetleg keresztmetszet merevsége a hossz mentén jelentõsen változik (keresztmetszet méretének vagy vasalásának változása). 1

ζ ( y)

0.5 0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

κI( y) κEC( y)0.005 κII( y)

0

0

0.5

1

1.5 y

106

2

2.5

3



Nézzük a változó vasalású vasbeton gerenda gerenda lehajlásának pontos meghatározását.

Határozza meg egy az ábrán látható kéttámaszú, egyoldali, változó lágyvasalású tartó maximális lehajlását MSZ EN 1992 (EC2) alapján. Betonfedés: c := 20mm φ k := 10mm

L := 8.5m

2

b := 250mm

h := 400mm

φ 1 :=

16mm n1

:=

3db As1 := n1

(φ 1) ⋅ π ⋅

4db As2 := n2

(φ 1) ⋅ π ⋅

5db As3 := n3

(φ 1) ⋅ π ⋅

4

n2

:=

4

2. vasmennyiség: 4φ16 n3

S500B

:=

mm

2

4

φ t :=

2

mm

N

f ct.eff := f ctm

2

α s.eff :=

mm kN gk := 8 m d := h

kN

Ecm := 25.35

2

f ctm := 1.9

qk := 8

− c − φ k −

φ1 2

d

2

l 2 := 2m

As2

= 804.248 mm

As3

= 1005.31 mm

2

3. vasmennyiség: 5φ16 kN

l 1 := 1m

= 603.186 mm

2

1. vasmennyiség: 3φ16

Es := 200

2

As1

kN

ψ 2 :=

m

Es

1.05⋅ Ecm 1

Ec.eff = 8.873

+ φt

pqp := gk +

ψ 2 ⋅ qk

2

L

Mqp := pqp⋅ 8

M qp

= 130.05 kNm

= 362 mm

1. vasmennyiséggel A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: x 2

= As1⋅ ( Es − Ec.eff ) ⋅ ( d − x) + b ⋅ ( h − x) ⋅ Ec.eff ⋅ xI1

3

(h − xI1)

II1 := b ⋅ + b⋅ 3 f ct.eff ⋅ II1 Mcr1 := h − xI1

3

h

−x 2

xI1 := Find( x)

xI1

3

+

As1⋅

(α s.eff − 1)⋅ (d − xI1)2

II1

= 1.635 ×

M cr1

107

2

mm

Keresztmetszeti jellemzõk meghatározása:

b ⋅ x⋅ Ec.eff ⋅

kN

α s.eff = 22.542

Ec.eff

0.8

Ec.eff :=

2

9

4

10 mm

= 17.129 kNm

= 218.629 mm



A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban (berepedt keresztmetszet): b ⋅ x⋅ Ec.eff ⋅

x 2

= As1⋅ Es⋅ ( d − x)

xII1 := Find( x)

xII1

= 151.366 mm

3

III1 := b ⋅

xII1

+

3

As1⋅ α s.eff ⋅ d

(

− xII1)

2

8

4

III1 = 8.922 × 10 mm

2. vasmennyiséggel A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban:

= 223.922 mm

xI2

II2

= 1.721 ×

9

4

10 mm

Mcr2

Az összefüggések az elõzõvel azonosak.

= 18.569 kNm

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban (berepedt keresztmetszet): xII2

9

= 167.817 mm

4

III2 = 1.077 × 10 mm

3. vasmennyiséggel A keresztmetszet jellemzõi elsõ feszültségállapotban: xI3

= 228.838 mm

II3

= 1.801 ×

9

4

10 mm

Mcr3

= 19.987 kNm

A keresztmetszet jellemzõi második feszültségállapotban (berepedt keresztmetszet): xII3

= 181.097 mm

III3

= 1.237 ×

9

4

10 mm

A lehajlás közelítõ meghatározása a tartóközépi vasmennyiséget felhasználva: Ez a módszer azt feltételezi, hogy a tartó teljes hosszamentén a teljes vasmennyiség számításba vehetõ. Ez a biztonság kárára tett közelítés, hiszen a nagyobb merevség a valóságnál kedvezõbb, kisebb lehajlást eredményez.

σ s3 := σ sr3 := ζ3 :=

1

5

Mqp⋅ d

(

− xII3) ⋅ α s.eff III3

Mcr3 III3

− β⋅

β :=

2

0.5

N

σ sr3 = 65.911

2

mm

 σ sr3 

2

ζ 3 = 0.988

 σ s3  4

(

N mm

⋅ ( d − xII3) ⋅ α s.eff

L

eI3 := ⋅ p qp ⋅ 384 Ec.eff ⋅ II3 eEC3 :=

σ s3 = 428.874

)

ζ3 ⋅ eII3 +

eI3

= 61.269 mm

5

4

L

eII3 := ⋅ p qp ⋅ 384 Ec.eff ⋅ III3

(1 − ζ3)⋅ eI3

eEC3

(

)

eII3

= 89.211 mm

= 88.881 mm

A lehajlás közelítõ meghatározása a tartóvégi vasmennyiséget felhasználva: Ez a módszer azt feltételezi, hogy a tartó teljes hossza mentén csak a tartóvégi vasmennyiség vehetõ számításba . Ez a biztonság javára tett közelítés. Ilyen vasmennyiséggel számítva a középsõ Mqp⋅ ( d − xII1) ⋅ α s.eff keresztmetszetben az acélbetét messze N σ s1 := σ s1 = 692.052 β := 0.5 túllépné a folyáshatárát. Ez kérdésessé teszi III1 2 mm a számítási eljárás alkalmazhatóságát is.

σ sr1 :=

Mcr1 III1

⋅ ( d − xII1) ⋅ α s.eff

σ sr1 = 91.152

N 2

mm

108


ζ1 :=

− β⋅

1


 σ sr1 

2

ζ 1 = 0.991

 σ s1  4

5

L

eI1 := ⋅ p qp ⋅ 384 Ec.eff ⋅ II1

(

eEC1 :=

)

ζ1 ⋅ eII1 +

eI1

4

5

= 67.465 mm

L

eII1 := ⋅ p qp ⋅ 384 Ec.eff ⋅ III1

(1 − ζ3)⋅ eI1

eEC1

(

)

eII1

= 123.636 mm

= 123.361 mm

A két kézenfekvõ közelítéssel kapott eredmény óriási eltérést mutat. Ilyen esetben mindenképpen érdemes a pontosított értéket meghatározni. A lehajlás értékének pontosított meghatározása. xII( y)

II( y)

:=

:=

xII2

Mcr ( y)

:=

σ sr ( y) :=

M cr2

xII3 if y > l2

Mcr3 if y > l 2

xII1 if y < l1

Mcr1 if y < l 1

II2

III( y)

:=

III3 Mcr1

III3 if y > l 2

II1 if y < l 1

III1 if y < l 1

σ s( y) :=

III2 Mcr3

III2

II3 if y > l 2

2  L y  M( y) := (p qp) ⋅ ⋅ y − ( p qp) ⋅ 2 2  

Mcr2

III1

M( y) ⋅ d

(

− xII( y) ) ⋅ α s.eff III ( y)

⋅ ( d − xII2) ⋅ α s.eff ⋅ ( d − xII3) ⋅ α s.eff

if y

> l2

⋅ ( d − xII1) ⋅ α s.eff

if y

< l1

κ I( y) :=

M( y) Ec.eff ⋅ II( y)

κ II( y) :=

Hol éri el a külsõ terhekbõl számítható nyomaték a repesztõnyomaték értékét? z := 1m Given M ( z) = M cr ( z) xrep := Find( z ) xrep = 0.29 m

 ζ( y) :=

1



− β⋅

2  σ sr (y)  

 σ s(y) 

if M( y)



> M cr ( y)

0 otherwise 1 0.5

ζ ( y)

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 y

A támasz felett számítható véglapelfordulás, és a lehajlás értéke:

109

3

3.5

4

M( y) Ec.eff ⋅ III ( y)



L

L

⌠ 2  α I :=  κ I( y) dy ⌡0

α I = 0.023

eI :=

α I⋅

L 2

L

⌠ 2  α II :=  κ II( y) dy ⌡0

⌠ 2 L  −  κ I( y) ⋅  − y  dy  2  ⌡0

eI

= 61.733 mm

L

α II = 0.036

eII :=

α II⋅

L 2

⌠ 2 L  −  κ II( y) ⋅  − y  dy  2  ⌡0

eII

= 91.377 mm

L

⌠ 2  α EC :=  ζ ( y) ⋅ κ II( y) + (1 − ζ( y) ) ⋅ κ I( y) dy ⌡0

κ EC( y) := ζ ( y) ⋅ κ II( y) + ( 1 − ζ ( y) )⋅ κ I( y)

α EC = 0.035

0.01

κI( y) κEC( y) κII( y)

0.005

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

y u

v

⌠ φ ( u) := α EC −  κ EC( y) dy ⌡0

e2EC( v)

⌠ :=  φ ( u) du ⌡0

  = 90.748 mm  

L e2EC 2

Változó vasalású gerenda esetén nagyon hasznos a pontosított eljárás. Elkerülhetjük a biztonság kárára tett közelítést, viszont nem kell a másik kézenfekvõ közelítésbõl származó jelentõs többletlehajlást, mint mértékadót elfogadnunk. Változó hosszvasalású tartó esetén tehát jelentõs megtakarítást érhetünk el a pontosított módszerrel. Érdekes lehet az elõbb részletezett három számítási mód görbületfüggvényének egy ábrán történõ ábrázolása:

κ 1( y) :=

(1 − ζ 1 ) ⋅ E

M ( y) c.eff ⋅ II1

+ ζ1⋅

M ( y) Ec.eff ⋅ III1

κ 3( y) :=

110

(1 − ζ 3 ) ⋅ E

M( y)

c.eff ⋅ II3

+ ζ3⋅

M( y) Ec.eff ⋅ III3

EC2-példatár

Recommend Documents