Ejercicios del libro de Probabilidades de Schaum Cap. 3 ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTES 3.37 Sean A, B, C, eventos. Encuentre la expresión y dibuje el diagrama de Venn para el evento donde:
A C
B
a) Ocurran A o C pero no ocurra B
b) Ocurran exactamente uno de los tres eventos
c) Ninguno de los eventos ocurra
d) Al menos dos de los eventos ocurran
3.39 Para el espacio S en el problema 3.38, exprese explícitamente los eventos siguientes: A=[aparecen dos caras y un número par],
{} B=[Que aparezca un 2]
{} C=[exactamente una cara y un número impar]
{}
ESPACIOS EQUIPROBABLES FINITOS 3.41 Determine la probabilidad de cada evento: a) Que al lanzar un dado equilibrado aparezca un número impar.
{} elementos 6 {} elementos 3 b) Que al lanzar 4 monedas equilibradas aparezcan 1 o más caras. 0= CARA 1=SELLO S={
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0 1
0 0
A={
c) Que al lanzar 2 dados equilibrados ambos números exceden 4. S={1,2,3,4,5,6} A={5,6}
d) Que aparezca exactamente un 6 al lanzar 2 dados equilibrados. S={1,2,3,4,5,6} A={6}
e) Que aparezcan una carta roja o una figura cuando una carta se selecciona aleatoriamente de un naipe de 52 caras. n(S)=52 hay 10 corazones y 10 diamantes =20/52 hay 4*3 =12 cartas de figura = 12/52
3.43 Una carta es seleccionada al azar de entre 25 cartas numeradas de 1 al 25. Halle la probabilidad de que el número en la cara sea:
{} a) par,
{} b) divisible por 3,
{} c) par y divisible por 3,
{} d) par o divisible por 3,
{}
e) termine en el digito 2.
{} 3.45 Una caja contiene dos medias blancas, 2 medias azules y dos medias rojas. Se sacan 2 medias al azar. Encuentre la probabilidad de que sean pareja (del mismo color).
3.47 De 10 niñas en una clase, 3 tienen ojos azules. Dos de las niñas se escogen al azar. Encuentre la probabilidad de que: a) ambas tengan ojos azules P(A) = 3/10 *2/9 P(A)= 1/15 b) ninguna tenga ojos azules P(A) = 7/10 *6/9 P(A)= 7/15 c) al menos una tenga ojos azules P(A) = 3/10 *7/9+7/10*3/9+3/10*2/9 P(A)= 1/15 d) exactamente una tenga ojos azules P(A) = 3/10 *7/9+7/10*3/9 P(A)= 8/15
ESPACIOS DE PROBABILIDAD FINITOS 3.49 ¿Bajo cuál de las siguientes funciones se convierte S={a 1, a2, a3} en un espacio de probabilidad?
a) P(a1)= 0.3, P(a2)= 0.4, P(a3)= 0.5,
La suma de los valores en los puntos en S excede en dos; de donde P no define que sea un espacio de probabilidad de S.
b) P(a1)= 0.7, P(a2)= - 0.2, P(a3)= 0.5, Puesto que P(a2) es negativo, P no define que S sea un espacio de probabilidad.
c) P(a1)= 0.3, P(a2)= 0.2, P(a3)= 0.5, Cada valor no es negativo y la suma de los valores es uno; de donde P define que S sea un espacio de probabilidad.
d) P(a1)= 0.3, P(a2)= 0, P(a3)= 0.7 Cada valor no es negativo y la suma de los valores es uno; de donde P define que S sea un espacio de probabilidad.
3.51 Suponga que A y B son eventos con P(A)= 0.7, P(B)= 0.5, P(A B)= 0.4. Encuentre la probabilidad de que:
a) no ocurra A Por la regla del complemento: C
P(no A)=P(A )=1-P(A)=0.3
b) ocurra A o B Por la regla de la adición:
P(A o B) = P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A B) P(A o B) =0.7+0.5-0.4 P(A o B) =0.8
c) ocurra A pero no ocurra B Por la regla del complemento: C
P(no B)=P(B )=0.7-0.5=0.5
d) no ocurra A ni B Que ni A ni B ocurran es el complemento de (AUB): C
P(ni A ni B) = P((A U B) )=1-P(AUB) P(ni A ni B) =1-0.8 P(ni A ni B) =0.2
3.53 Para los eventos A, B, C en el problema 3.52, halle:
Resultado Probabilidad
1 0.1
2 0.3
3 0.1
4 0.2
5 0.2
6 0.1
Considere los siguientes eventos: A={Número par} B={2,3,4,5} C={1,2}
a) P(A B),
P(AB) = 0.5 b) P(AC),
P(A B) = {2,4} entonces P(A B)= 0.3 + 0.2
C
P(AUC) = {1, 2, 4, 6}={3,5} entonces P(AUA) = 1-0.1-0.2 P(AUC) = 0.7
c) P(B C),
) = {2} entonces P(B )= 0.3 P(BC) = 0.3 d) , P(B
Por la regla del complemento:
=1 – P(A) = 1 - 0.3 – 0.2 – 0.1 =0.4 e) . P(B/C)=P(B) - P(BC) P(B/C)=0.8 – 0.3 P(B/C)= 0.5
3.55 Sea P una función de probabilidad en S={ a 1, a2, a3}. Encuentre P(a1) si a) P(a2)= 0.3, P(a3)= 0.5, P(a1)=1 - 0.3 – 0.5 P(a1)=0.2
b) P(a1)= 2P(a2) y P(a3)= 0.7, P(a1) + 0.5 P(a1)+0.7=1 P(a1)=0.2
c) P([a2, a3]) = 2P(a1), d) P(a3)=2 P(a2) y P(a2) =3 P(a1) P(a1) + P(a2) + P(a3)= 1
() POSIBILIDADES
3.57 Encuentre las posibilidades que ocurra un evento E si: a) P(E)=2/7, 1 - P(E) = 5/7
Por lo tanto las posibilidades son de 2 a 5
b) P(E) = 0.4. 1 - P(E) = 3/5
Por lo tanto las posibilidades son de 2 a 3
ESPACIOS UNIFORMES NO CONTABLES 3.59 Un punto se escoge al azar dentro de un circulo con radio r. Encuentre la probabilidad p de que el punto este como máximo 1r/3 del centro.
3.61 Una moneda de diámetro ½ se lanza al, azar sobre un plano . Establezca la probabilidad p de que la moneda no intersecte ni una línea de la forma: a) x = k o y = k donde k es un entero,
p= 1/4 b) x + y =k donde k es un entero. P=
√
PROBLEMAS MISCELÁNEOS 3.63 Un dado se lanza 50 veces. L a tabla siguiente da los 6 números y su frecuencia de ocurrencia: Número 1 2 Frecuencia 7 9 Encuentre la frecuencia relativa de cada evento:
3 8
4 7
5 9
6 10
a) aparezca 4,
b) aparezca un número impar,
c) aparezca un número mayor de 4.
3.65 Considere el espacio muestral contablemente infinito S= { a1, a2, a3, …. }. Suponga que P(a1)= ¼ y que P(ak +a1)= r P(ak) para k = 1, 2, 3, ….. Encuentre r y P(a3). r = 3/4 P (a3) = 9/64
