J
P
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Métodos de Previsão de Comportamento
JOSP (PUC-2008)
•
Balanço de Materiais (Continuação)
•
Declínio de Produção
Engenharia de Reservatórios
1
Equação Geral de Balanço de Materiais
N p [Bo + (R p-R s) Bg] = NBoi
+
JOSP (PUC-2008)
⎡ (Bo − Boi ) + (R si − R s )Bg ⎢⎣ Boi
+
J
⎛ Bg ⎞ − 1⎟⎟ m⎜⎜ ⎝ Bgi ⎠
⎛ c w Swc + c f ⎞⎤ ΔP ⎟⎥ + We -W pBw (1+m) ⎜ ⎝ 1 − Swc ⎠⎦
Engenharia de Reservatórios
P
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2
+
Equação Geral de Balanço de Materiais
N p [Bo + (R p-R s) Bg] = NBoi
+
JOSP (PUC-2008)
⎡ (Bo − Boi ) + (R si − R s )Bg ⎢⎣ Boi
+
J
⎛ Bg ⎞ − 1⎟⎟ m⎜⎜ ⎝ Bgi ⎠
⎛ c w Swc + c f ⎞⎤ ΔP ⎟⎥ + We -W pBw (1+m) ⎜ ⎝ 1 − Swc ⎠⎦
Engenharia de Reservatórios
P
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2
+
Linearização da Equação de Balanço de Materiais
J
P
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Em 1963 1963/64 /64 Havl Havlena ena e Odeh Odeh int introd roduzi uziram ram a téc técnic nicaa de inter interpret pretar ar a equação de BM como uma linha reta. Para utilizar este procedimento é necessário definir os seguintes termos:
F = Np [(Bo + (Rp Rs) Bg] + WpBw (produção de fluidos) E o ( B o B oi ) ( R si R s )B g (exp. óleo e gás dissolvido)
Eg Ef , w
B oi
Bg B gi
1
(expansão da capa de gás)
cwS wc cf (expansão da água conata e (1 m )Boi P contração do volume poroso) 1 S wc F = N ( Eo+ E f,w+ m Eg ) + We JOSP (PUC-2008)
Engenharia de Reservatórios
3
Reservatório de Gás em Solução F
J
F = N (Eo + E f,w)
tg = N
Eo + E f,w JOSP (PUC-2008)
Engenharia de Reservatórios
P
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4
Reservatório com Capa de Gás F = N (Eo + E f,w + mEg)
F
m < mreal
m = mreal tg = N m > mreal Eo + E f,w + mEg
JOSP (PUC-2008)
Engenharia de Reservatórios
5
Reservatório com Influxo de Água (sem capa de gás) F = N(Eo+ E f,w) + We
F (E0 Ef ,w )
N
J
We (E0 Ef ,w )
We < real F (E0 + E f w )
= 45 We > real
N JOSP (PUC-2008)
Engenharia de Reservatórios
P
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We (E + E )
6
J
P
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Exemplo 1: Mostre que, caso o reservatório permaneça subsaturado e não possua aqüífero nem produção de água, a equação geral de balanço de materiais se reduz a: Produção ( V=NpBo) = Expansão dos fluidos e rocha (ct Vp p)
NpBo NpBo P
( B o B oi ) NB oi B oi
c w S w c f So
P
P
( B o B oi ) c w S w c f NB oi B oi P So NB oi c t P NpBo Vp c t P So
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1
Engenharia de Reservatórios
7
P Exemplo 2: Um reservatório com os dados abaixo será J produzido até uma pressão de abandono de 900 psia. Pressão (psia) Bo (bbl/stb) Rs (scf/stb) Bg (bbl/scf) 4.000 1,2417 510 3.330 (psat) 1,2511 510 2.700 1,2022 401 0,00107 1.800 1,1450 257 0,00161 900 1,0940 122 0,00339 Admitindo que ele produz por gás em solução (m = 0) e desprezando o efeito de aqüífero e o termo relativo às compressibilidades da água e da rocha face à compressibilidade do gás dissolvido, determine uma expressão para a recuperação (Np /N) no abandono em função da razão gás-óleo acumulada de produção (Rp). Calcule os valores do fator de recuperação (Np /N) para Rp = 1.000, 2.000 e 3.000 scf/stb e comente sobre os resultados obtidos.
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8
Exemplo 2: Solução
F = N (Eo + E f,w)
J
Np [(Bo + (Rp Rs) Bg]= N(Bo Boi)+(Rsi Rs)Bg Np = ( 1,094 1,2417 ) + ( 510 122) 0,00339 N [1,094 + (Rp – 122) 0,00339] [Np / N] @ 900 psi = 344,4/(Rp + 200,7) Rp = 1.000 Rp = 2.000
FR= 28,7 % FR = 15,6 %
Rp = 3.000
FR = 10,8%
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Engenharia de Reservatórios
P
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9
J
Exemplo 2: Respostas
Rp = 1.000
FR= 28,7 %
Rp = 2.000
FR = 15,6 %
Rp = 3.000
FR = 10,8%
JOSP (PUC-2008)
P
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10
J
P
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Declínio de Produção
JOSP (PUC-2008)
Engenharia de Reservatórios
11
Previsão do Comportamento de Reservatórios
JOSP (PUC-2008)
Simulação Numérica
Método Volumétrico
Correlações Empíricas
Balanço de Materiais
Declínio de Produção
Métodos Analíticos
Modelos de Linhas de Fluxo Engenharia de Reservatórios
J
P
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12
Declínio de Produção
J
P
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• Método clássico de previsão de comportamento. • Utiliza o histórico de produção (passado) para
prever o
desempenho futuro. • Métodos de análise são fundamentalmente empíricos. • Podem ser aplicados a poços individuais ou
a um conjunto de poços que produzam de um mesmo reservatório.
Equação Geral de Declínio: JOSP (PUC-2008)
D
Engenharia de Reservatórios
dq dt q
aq n 13
J
P
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Para utilização correta destas técnicas, certas condições devem ser obedecidas: 1) O histórico de produção deve ser capaz de ser extrapolado. 2) Uma condição de fluxo pseudo-permanente deve existir. 3) Poços devem estar produzindo com potencial pleno. 4) Deve haver manutenção do mesmo mecanismo de produção. A importância dos itens acima recai no fato de que qualquer mudança relativa à existência de dano, estimulação ou mudança no método de elevação ou de recuperação terá reflexos na curva de declínio. JOSP (PUC-2008)
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J
P
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Log qo Estimulação
Mudança do método de elevação
Limite econômico tempo JOSP (PUC-2008)
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Declínio Exponencial
J
P
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É o método mais popular por sua simplicidade. É expresso por:
q
1 dq a dt
(E-1)
onde a representa a taxa de declínio. Integrando essa expressão do tempo zero, correspondente a uma vazão q ,i até o tempo t, quando a vazão é q, obtém-se:
q q i e at
(E-2)
ln q = ln qi - a t
t = [ln(q /q)] /a i
Logo, a equação do declínio exponencial fornecerá uma linha reta com coeficiente angular igual a -a em uma escala semi-log. JOSP (PUC-2008)
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16
P
As unidades utilizadas devem ser coerentes. Por exemplo, se a vazão (q) estiver em m3 / d e o tempo ( t) em dias, a taxa de declíneo ( a) deve estar em 1/ d . Caso a taxa de declínio seja expressa em termos anuais ela deve ser convertida através da expressão abaixo: a1t1 = a2t2 J
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Exemplo: Converta a taxa de declínio a 1 = 0,0002 /dia para uma taxa anualizada. 0,0002 365 = a2 1 a2 = 0,073 / ano Pode-se também integrar a expressão da vazão (q) para obter a produção acumulada em um tempo t : t
N p
t
= ∫ qdt = ∫ q ie − at dt 0
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0
N p
= (q i − q ) / a
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(E-3)
Portanto, um gráfico de q versus N p em uma escala cartesiana deverá resultar em uma linha reta quando um declínio exponencial estiver ocorrendo. J
P
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A característica do declínio exponencial é possuir uma taxa de declínio da produção constante, isto é, se a taxa for de 10 % ao ano ( a = 0,10) e a produção inicial igual a 1.000, as produções dos anos seguintes serão 904,8; 818,7; 740,6 e assim por diante. Estes valores equivalem a um fator de redução constante e igual a e 0,1 (0,9048). JOSP (PUC-2008)
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Exemplo: Um poço com expectativa de produzir 700.000 m 3J P está em declínio exponencial. A vazão inicial foi de 1.000 m3 /d e a vazão de abandono é de 50 m3 /d. Calcule o tempo de vida produtiva do poço e a sua produção anual.
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Cálculo da taxa de declínio:
a = (qi q)/Np a = 0,001357/dia
Conversão da taxa a para anual: a2 = a1t1 /t2 = 0,001357 365 /1 = 0,4954/ano. Cálculo do tempo de produção: t = [ln(q/qi)]/a = = [ ln (50/1.000)]/0,4954 = 6,05 ano
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J
P
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Exemplo - Respostas: Cálculo da taxa de declínio: a = 0,001357/dia Conversão da taxa a para anual: a2 = 0,4954/ano. Cálculo do tempo de produção: t = 6,05 ano
JOSP (PUC-2008)
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J
P
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Declíneo Exponencial Declínio Exponencial 10000
1000 ) d / 3 m ( o ã z a V
100
Limite Econ.
10
1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tempo (anos) JOSP (PUC-2008)
Engenharia de Reservatórios
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Declínio Hiperbólico
J
P
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Neste tipo de declínio, a vazão de produção é definida por q = qi (1 + b ai t) 1/b (H-1) na qual b é o exponente hiperbólico e ai é a taxa de declínio nominal inicial (1/tempo).
O declínio hiperbólico é na verdade um modelo bem geral, já que se reduz ao modelo exponencial para b = 0 e no modelo harmônico, que será visto posteriormente, para b = 1. Da equação H-1 pode-se deduzir tanto a taxa nominal de declínio inicial: ai = [(qi / q)b 1] / (b t) (H-2) JOSP (PUC-2008)
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P
quanto o tempo em que uma determinada produção irá ocorrer: J
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b 1] / (a b) t = [(q /q) i i
(H-3)
A equação H-1 pode ser integrada para o cálculo da produção acumulada: Np = {qib / [(1 b) ai ]} [qi(1 b) q(1 b)] (H-4) Essa equação pode ser expressa em termos de ai: ai = {qib / [(1 b) Np ]} [qi(1
b)
– q(1
b)]
(H-5)
É importante ressaltar que em todas as equações apresentadas, tanto ai quanto qi devem ter unidades de tempo consistentes. JOSP (PUC-2008)
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P
Exemplo: Usando os mesmos dados do exemplo anterior, determine o tempo de vida do poço e a produção anual sabendo que o declínio será hiperbólico com b= 0,5. J
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Use a equação H-5 para calcular ai: ai = {qib / [(1 b) Np ]} [qi(1 b) – q(1 b)] ai = {1.000 0,5 / [(1 0,5) 700.000 ]} [1.000(1 ai = 0,8097 / ano
0,5)
– 50(1
0,5)]
O tempo de vida do poço pode ser calculado pela equação H-3: b 1] / (a b) t = [(q /q) i i t = [( 1.000 / 50) 0,5 1 ] / (0,8097) (0,5)] = 8,576 anos As vazões e as produções acumuladas podem ser obtidas com as equações H-1 e H-4. JOSP (PUC-2008)
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J
Exemplo - Respostas:
Taxa de declínio inicial: ai = 0,8097 / ano Tempo de vida do poço: t = 8,576 anos Vazões: vide gráfico da página seguinte. Produções acumuladas: equação H-4. JOSP (PUC-2008)
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P
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J
Declíneo Hiperbólico Declínio Hiperbólico 10000
1000 ) d / 3 m ( o ã z a V
100
Limite Econ. 10
1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tempo (anos)
JOSP (PUC-2008)
Engenharia de Reservatórios
P
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Declínio Harmônico
J
P
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Como foi mencionado anteriormente, o declínio harmônico é um caso especial do hiperbólico quando o expoente b = 1. Esse declínio fornece uma vida útil produtiva do campo maior que a prevista pelos dois outros tipos de declínio. A vazão pode ser prevista por: q = qi (1 + ai t)
1
enquanto a produção acumulada é dada por: Np = (qi / ai ) l n ( qi / q) JOSP (PUC-2008)
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J
P
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Exemplo: Calcule a produção e o tempo de vida do poço com os dados anteriores, admitindo declínio harmônico. Pela equação anterior calcula-se ai = 0,004280/dia = 1,56 / ano e pode-se calcular t por: t = [(qi / q) 1 ] / ai = 12,16 anos e os valores de vazão calculados estão mostrados no gráfico a seguir:
JOSP (PUC-2008)
Engenharia de Reservatórios
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J
Declínio Declíneo Harmônico Harmônico 10000
1000 ) d / 3 m ( o ã z a V
100
Limite Econ. 10
1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tempo (anos)
JOSP (PUC-2008)
Engenharia de Reservatórios
P
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J
Comparação entreosos 3 Tipos de Declínio Comparação entre 3 tipos de Declíneo 1000
Harmônico Exponencial ) d / 3 m ( o ã z a V
Hiperbólico
100
Limite Econ.
10 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tempo (anos) JOSP (PUC-2008)
Engenharia de Reservatórios
P
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Outros tipos de declínio ou de tendência também são utilizados JnaP prática. O principal deles é a extrapolação da curva de RAO vs t ou de RAO vs N p. Nestes dois casos, o parâmetro de corte é o limite econômico para a RAO. 100
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log RAO
o e l Ó a u g Á o ã z a R
10
1
0.1 0.0
2000.0
4000.0
6000.0
8000.0
10000.0
12000.0
Np (mil m3)
JOSP (PUC-2008)
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Exercício: Um reservatório está sendo explotado através deP J uma malha regular com espaçamento de 400 m entre poços. A vazão inicial é de cerca de 100 m3 / d por poço e a taxa de declínio, exponencial, é de 0,10/ ano. Sabendo que o limite econômico de produção é de 10 m3 / d , calcule o tempo de vida do projeto e a produção acumulada para um elemento unitário da malha.
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P
Está em estudo um projeto de redução do espaçamento para 250 m com a perfuração de um poço no centro de cada malha. Após este novo poço, cuja vazão esperada será de 80 m3 / d , a taxa de declínio de todos os poços aumentará para 0,15 /ano devido à interferência entre os poços. Sabendo que o novo poço entrará em operação dois anos após os demais, calcule os novos valores de N p e do tempo de vida do projeto. J
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q
tempo Se hnet = 30 m, = 0,30, Bo = 1,0 e Swc = 0,20, calcule o FR nas duas situações. JOSP (PUC-2008)
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Solução: Situação 1) a1t1 = a2t2
q = qi e −at 10 = 100 exp( Np = (100
Situação 2)
0,10 t)
J
P
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Np = (qi − q ) / a
t = 23 anos
10) / [(0,10 / 365)] = 328.500 m3
Vazões dos poços após 2 anos: q 2 = 100 exp( 0,1 2) = 81,9 m3 /d Tempo restante de vida dos poços antigos: t2 = 14 anos 10 = 81,9 exp( 0,15 t2) Tempo total de vida dos poços antigos: t antigos = t1 + t2 = 2 + 14 = 16 anos Np1=Np(a = 0,10) = (100
81,9) / [(0,10 / 365)] = 66.065 m3
Np2=Np(a = 0,15) = (81,9
10) / [(0,15 / 365)] = 174.957 m3
(Np)projeto anterior = Np1 + Np2 = 66.065 + 174.957 = 241.022 m 3 Tempo do poço novo: 10 = 80 exp( 0,15 tnovo) (Np)novo = (80 JOSP (PUC-2008)
tnovo = 13,86 anos
10) / [(0,15 / 365)] = 170.333 m3
(Np)total = 411.355 m3
N = 400 400 30 0,30 0,80/1,0 = 1.152.000 m3
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Respostas: Situação 1)
J
P
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t = 23 anos Np = 328.500 m3
Situação 2)
tnovo = 13,86 anos (Np)total novo = 411.355 m3 N = 400 400 30 0,30 0,80/1,0 = 1.152.000 m3 FR1 = 328.500/1.152.000 = 0,29 (29%) FR2 = 0,36 (36 %)
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J
Vazões de Produ ção
10000.0 qo
1000.0
o ã z a V
100.0
10.0
1.0 0
50
JOSP (PUC-2008)
100
150
200
250
Tempo (meses) Engenharia de Reservatórios
P
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300
350
400 36
Problemas na Produção
J
• Cone de água ou de gás • Canalizações (contraste entre permeabilidades) • “Fingering”
(contraste entre viscosidades)
• Problemas de poço (cimentação e revestimento)
Referência: paper SPE 30775. Water Control Diagnostics Plots, K.S.Chan, October 1995. JOSP (PUC-2008)
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P
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Cone de Água e/ou Gás
J
Denomina-se de cone de água (ou gás) à subida do contato entre o óleo e a água (ou, analogamente, à descida do contato gás/óleo) na vizinhança de um poço produtor. Esse fenômeno é causado pelo diferencial de pressão existente entre o óleo e a interface com o outro fluido. Ele é bastante estudado na literatura, já que acarreta perda de produção e fechamento prematuro dos poços.
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P
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Cone de Água
Pwf
ho
J
Pe
hp y
r w
r e JOSP (PUC-2008)
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P
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J
A vazão crítica para não formar cone, obtida admitindo-se equilíbrio estático (pe + o g y = pwf + w g y) é dada por:
P
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m3 qcrítica d
0,0526 k o (md )h(m )
re ( cp ) B ln o o rw
kgf / cm 2 [(grad w grado ) (ho hp )(m )] m
Admite-se que no contato óleo/água há equilíbrio entre o gradiente hidrostático e o diferencial de pressão: pe +
og
y = pwf +
p = pe – pwf = (
wg w
y o)
g y = (grad w –grad o ) (ho – hp)
Logo, a subida da água será função da diferença entre as densidades e do diferencial de pressão exercido. JOSP (PUC-2008)
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40
J
P
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A vazão crítica para não formar cone, obtida admitindo-se um tratamento mais apurado (equilíbrio dinâmico), é dada por (em unidades métricas, como na equação anterior): 2 2 ⎞ ⎛ h h − k o h (grad w − grad o ) ⎜ o p ⎟ 3 q crítica (m / d ) = 0,0526 ⎛ r e ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎠ μ o Bo ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ r w ⎠
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Canalizações (“channeling”)
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