CUARTA CLASE Ingo. Oscar Jordan
FENOMENOS DE TRANSPORTE I Facultad de Ingeniería Pesquera y de Alimentos BALANCE DE ENERGÍA
Introducción En complemento al balance de masa, otro aspecto importante que se debe considerar en el análisis de flujo de fluidos, es el balance de energía. Con referencia a la figura 1, consideraremos los cambios en la energía total por unidad de masa del fluido, un Kilogramo, entre la sección 1 y la sección 2. Primeramente, existen cambios en la energía intrínseca del fluido mismo, lo cual incluye cambios en: (1) Energía potencial (2) Energía cinética (3) Energía debido a la presión En segundo lugar, podría existir intercambio de energía con el entorno, lo que incluye: (4) Perdida de energía al exterior debido a la fricción (5) Energía mecánica agregada por bombas (6) Energía calorífica en el calentamiento o enfriamiento del fluido. En el análisis del balance de energía, se debe recordar que las energías son normalmente medidas a partir de un punto o nivel de referencia. Lo niveles de referencias pueden ser elegidos arbitrariamente, pero en la mayoría de casos la elección de un nivel conveniente puede ser hecha fácilmente dependiendo las circunstancias.
Figura 1. Balance 1. Balance de materia y energía en un flujo de fluido Energía potencial
La energía potencial de una unidad de masa de fluido, es la energía presente debido a la posición de la masa en un campo gravitacional g, donde z es la altura relativa en metros desde un plano de referencia. El fluido mantenido sobre el nivel de referencia puede realizar trabajo al volver al nivel inicial. La cantidad de trabajo que puede realizar se calcula a partir del producto de la distancia recorrida y la fuerza que se resiste al movimiento; en éste caso, la gravedad. Esta cantidad de trabajo se conoce como la energía potencial del fluido. Entonces, la energía potencial de un kilogramo de fluido a una altura Z (m) sobre su nivel de referencia está dada por Ep, en donde: E p Zg
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Energía cinética
La energía cinética de una unidad de masa de fluido es la energía presente debida al movimiento de traslación o rotación de la masa, donde v es la velocidad en m/s con respecto al límite del sistema en cierto punto. El fluido que está en movimiento puede realizar un trabajo cuando vuelve a su estado de reposo. Esto es igual al trabajo requerido para llevar a un cuerpo desde el reposo a la misma velocidad, la cual puede ser calculada a partir de la ecuación básica: v 2 2as , además s v 2 2a Donde v (ms -1) es la velocidad final del cuerpo, a (ms -2) es la aceleración y s (m) es la distancia que el cuerpo ha recorrido. También el trabajo realizado = W = F x s, y a partir de la segunda ley de Newton, para m kg de fluido F ma , y entonces E k W mas mav2 2a mv 2 2 La energía de movimiento o energía cinética, para 1kg de fluido es además dada por E k, donde: 2 E k v 2 Energía debido a la presión
El fluido ejerce una presión en su entorno. Si el volumen de un fluido se reduce, la presión ejerce una fuerza que debe ser vencida y entonces se debe realizar un trabajo en la compresión del fluido. Por el contrario, los fluidos bajo presión pueden realizar trabajo cuando se relaja la presión. Si el fluido se considera como si estuviera en un cilindro de área transversal A (m2) y se mueve un pistón una distancia L (m) por el fluido en co ntra de la presión P (Pa) el trabajo realizado es PAL joules. La cantidad de fluido que realiza este trabajo es AL ρ (kg). Además la energía de la presión que puede ser obtenida de un kg de fluido (que es el trabajo que puede ser hecho por este kg de fluido) está dada por E r, donde: E r PAL AL E r P
En términos ingenieriles, la presión es a menudo expresada como carga de fluido H f y la caída de presión como pérdida de carga de fluido. La carga de fluido es la altura de una columna de fluido que ejerce sobre su base una presión igual a la presión en cuestión. La conversión de la presión a carga de fluido se muestra a continuación: P H f g Pérdida por fricción
Cuando un fluido se mueve a través de una tubería o a través de accesorios (codos, válvulas, etc.), éste encuentra resistencia por fricción y la energía puede venir solamente de energía contenida en el fluido, por lo tanto las pérdidas por fricción generan un escape de los recursos energéticos del fluido. La magnitud actual de las pérdidas depende de la naturaleza del flujo y del sistema a través del cual el fluido recorre. En la figura 1, la energía perdida por 1kg de fluido entre la sección 1 y la sección 2 debido a la fricción será igual a E f .
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Energía mecánica
Si hay una maquina que añade energía a la corriente de fluido, como una bomba (Figura 1), se debe tomar en cuenta la energía agregada por la bomba por cada kg de fluido; la energía añadida por la bomba a 1kg de fluido será E c. En algunos casos se podría extraer energía del fluido, como en el caso de una turbina de agua. Otros efectos
Se podría añadir o agregar calor en procesos de calentamiento o enfriamiento, en tal caso el equivalente mecánico de ese calor se tendría que incluir en el balance. También podría darse situaciones de compresibilidad, particularmente en el caso de gases, pero cuando se trabaja con bajas presiones por lo general se desprecian. Para éste caso, asumiremos que los términos de energía a ser considerados son: E p,Ek, Er, Ef , Ec.
Ecuación de Bernoulli La ecuación de Bernoulli o ley de Bernoulli, fue enunciada en 1738 por el fisicomatemático suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), es esencialmente, la ley de la conservación de la energía aplicada al flujo de fluidos. La primera ley de la termodinámica es a menudo definida como: Q W E Donde: Q: calor transferido al sistema desde el entorno W: trabajo transferido desde el sistema hacia el exterior ΔE: incremento de la energía total interna del sistema.
Considere una masa de fluido en movimiento desde el punto 1 hacia el punto 2 (figura 2). En ausencia de intercambio de calor (Q = 0), un balance de energía puede ser escrito de la siguiente manera: E 1 E 2
2
W 1
La energía mecánica total del fluido consiste de su energía cinética (debido a la velocidad) y la energía potencial (resultado de su posición en el campo de gravedad, por ejemplo: su altura relativa a un plano de referencia). El trabajo transferido a lo largo del trecho 1-2 consiste de trabajo mecánico hecho “en el fluido” por una bomba, trabajo hecho “por el fluido” por expansión en virtud de su presión y el trabajo hecho “por el fluido” durante su movimiento en
contraposición a la fricción. Se acostumbra traer todos estos elementos de energía a una dimensión de longitud en común expresada en metros, “de carga” o “de columna”, la cual es esencialmente la energía dividida por su peso, m.g. En términos de cabeza, la energía potencial se convierte en altura z, y la energía cinética mv 2/2 se convierte en v 2/2g. En el caso de un fluido incompresible (volumen constante), el trabajo de expansión se convierte V (P 2-P1). El trabajo de fricción por unidad de peso es la “fricción de carga”, definida en: Hf P g Recordando que el trabajo realizado por el sistema se le asigna un signo negativo, la ecuación 2
E 1 E 2 W puede ser expresada de la siguiente manera: 1
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P P 1 V 22 V 12 Z 2 Z 1 2 H bomba H fricción ó 2 2 g g g V 22 V 12 P 2 P 1 H fricción H bomba Z 2 Z 1 2 g g Donde: Z: altura relativa V: velocidad ΔHbomba=Wbomba/m.g=carga de bomba=trabajo de la bomba por unidad de peso del fluido Δfricción=caída de presión debido a la fricción, dividida por ρg=carga de fricción. La primera ecuación es una de las formas de expresar la ecuación de Bernoulli. Es ampliamente usada para el cálculo del trabajo necesario de una bomba para transportar un fluido desde un punto hacia otro punto del proceso.
Figura 2. Esquema de aplicación de la ley de Bernoulli E p1 E k 1 E r 1 E p 2 E k 2 E r 2 E f E c z 1 g
v12 2
P 1 1
z 2 g
v22 2
P 2 2
E f E c
En casos donde no se agrega energía mecánica y la fricción es nula: E c E f 0 La ecuación quedaría de la siguiente manera: z 1 g
v12 2
P 1 1
z 2 g
v 22 2
P 2 2
Figura 3. Esquema de aplicación de la ley de Bernoulli Tómese como referencia el centro de la boquilla. La velocidad del fluido que entra a la boquilla es aproximadamente cero, ya que el tanque es grande comparado con la boquilla. La presión del fluido entrando en la boquilla es P 1 y la densidad del fluido ρ1. La velocidad del fluido que
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fluye desde la boquilla es v 2 y la presión a la salida de la boquilla es cero ya que está descargando al ambiente. No existe cambio de energía potencial ya que el fluido entra y sale de la boquilla al mismo nivel. Escribiendo la ecuación de Bernoulli para un fluido que pasa a través de una boquilla: 00
P 1
2
0
1
v22 2 P 1 Entonces v2 (2 P 1
1 ) ; sin embargo,
P 1
1
v2 2
0
1
gZ
Donde Z es la carga del fluido sobre la boquilla, por lo tanto: v2 (2 gZ ) Aplicación
El nivel del agua en un tanque es 4.7m por encima de la tubería de salida. El tanque se encuentra a presión atmosférica y la salida de la tubería descarga al aire. Si el diámetro de la salida de la tubería es 1.2 cm, ¿cuál es la velocidad de flujo másico a través de esta tubería? v2 (2 gZ )
v2 (2 9.81 4.7 ) 9.6ms 1 El área de la tubería: 3.142 0.0122 1.13 104 m 2 A D 2 4 4 El flujo volumétrico: Q Av 1.13 104 m 2 9.6ms 1 Q 1.08 103 m 3 s 1 El flujo másico: o
m Q o
m 1000kgm3 1.08 103 m 3 s 1 o
m 1.08kgs 1
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Aplicación
Una solución de 20% de sacarosa fluye desde un tanque de mezclado a 50kPa a través de una tubería horizontal de 5cm de diámetro a 25m 3h-1. Si el diámetro de la tubería se reduce a 3cm, calcule la nueva presión en la tubería. (La densidad de la solución de sacarosa es 1070kgm -3). Solución: Flujo Q
25 3600
m 3 s 1 6.94 10 3 m 3 s 1
Área de la tubería de 5 cm de diámetro: A Velocidad: v
Q A
4
6.94 10 3 m 3 s 1 3
1.96 10 m
2
Área de la tubería de 3 cm de diámetro: A Velocidad: v
Q A
3
6.94 10 m s 3
4
7.07 10 m
4 1
2
D 2
3.142 4
0.052 1.96 103 m 2
3.54ms 1 D 2
3.142 4
0.032 7.07 104 m 2
9.81ms 1
Empleando la ecuación: P 1
v12
1
50 103 1070
2
z 1 g
3.54 2 2
P 2
2
0
v22 2
P 2 1070
z 2 g
9.812 2
0
Entonces: P 2 56656 Pa 56.7kPa Bibliografía Berk, Z. 2009. Food process engineering and technology. Elsevier Inc. EUA. Earle, R.; Earle, M. 2004. Unit operations in food processing. NZIFST New Zealand Institute of Food Science and Technology (Inc.) Disponible en: http://www.nzifst.org.nz/unitoperations/index.htm Fellows, J. 2000. Food processing technology: Principal and practices (Segunda Edicion). Whoodhead Publishing Limited and CRC Press LLC. Cambridge, Inglaterra.
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