Dimensi Tiga Kelas XII_MIPA Kompetensi Lulusan SMA. Lulusan SMA, memiliki Sikap, pengetahuan dan ketrampilan sebagai berikut : 1. Dimensi sikap:
Memiliki perilaku yang mencerminkan sikap orang ber-iman, berakhlak mulia, berilmu, percaya diri, dan bertang-gung jawab dalam berinteraksi secara efektif dengan ling-kungan social dan alam serta dalam menempatkan diri sebagi cermin bangsa dalam pergaulan dunia. 2.
Dimensi Pengetahuan :
Memiliki pengetahuan factual, konseptual, procedural, dan metakognitif dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradapan terkait penyebab serta dampak fenomena dan kejadian. 3.
Dimensi Ketrampilan :
Memiliki kemampuan fikir dan tindak yang efektif dan kreatif dalam ranah abstrak dan konkrit sebagai pengembangan dari yang dipelajari di sekolah secara mandiri.
Kompetensi Kompetensi Inti:
KI 1 : Menghayati dan mengamalkan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. KI 2 : Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI 3 : Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi pengetahuan
Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
1
faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu
pengetahuan,
teknologi,
seni,
budaya,
dan
humaniora
dengan
wawasan
kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. KI 4 : Mengolah, menalar, menyaji, dan mencipta dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri serta bertindak secara efektif dan kreatif, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
Kompetensi Dasar
3.4. Menganalisis konsep dan sifat diagonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal dalam bangun ruang dimensi tiga serta menerapkannya dalam memecahkan masalah. 4.3. Menggunakan berbagai prinsip konsep dan sifat dia gonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal dalam bangun ruang dimensi tiga serta menerapkannya dalam memecahkan masalah. Indikator :
-
Membuktikan garis tegak lurus bidang pada kubus.
-
Membuktikan bahwa diagonal ruang dan diagonal sis i yang tidak berpotongan pada kubus saling tegak lurus.
-
Menunjukkan bahwa jarak titik A ke bidang BDE pada kubus ABCDEFGH adalah satu pertiga panjang diagonal ruang kubus.
-
Menentukan jarak dua garis bersilangan (pengembangan dari materi kelas X_MIPA).
-
Menentukan jarak titik ke bidang (pengembangan dari materi kelas X_MIPA).
-
Menentukan jarak garis ke bidang (pengembangan dari materi kelas X_MIPA).
Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
2
Geometri Dimensi Tiga Materi Dimensi Tiga telah dibahas di kelas X_MIPA, diantaranya adalah memahami konsep jarak dan sudut antara titik, garis dan bidang melalui demonstrasi menggunakan alat peraga; Serta dengan menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang untuk menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik, garis dan bidang. Pada bahan ajar berikut ini akan dibahas mengenai pengembangan dari materi yang sudah dipelajari di kelas X_MIPA, yaitu menganalisis konsep dan sifat diagonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal dalam bangun ruang dimensi tiga serta menerapkannya dalam memecahkan masalah. Serta menggunakan berbagai prinsip konsep dan sifat diagonal ruang, diagonal bidang, dan bidang diagonal dalam bangun ruang dimensi tiga serta menerapkannya dalam memecahkan masalah. Sebelum masuk dalam pembahasan marilah kita mengingat kembali tentang teoremateorema berikut : 1.
Melalui dua buah titik hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
2.
Melalui tiga buah titik yang tidak segaris dapat dibuat sebuah bidang
3.
Jika garis g dan garis k sebidang dan tidak berpotongan, maka kedua garis tersebut berpotongan.
4.
Jika garis g tegak lurus bidang V, maka garis g tegak lurus pada semua garis yang ada di bidang V.
5.
Jika garis g tegak lurus pada dua buah garis yang berpotongan dan kedua garis tersebut terletak pada bidang V maka garis g tegak lurus pada bidang V.
6.
Jika garis g sejajar garis h, sedangkah garis g tegak lurus garis k , maka garis h juga tegak lurus garis k.
Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
3
A. Membuktikan garis tegak lurus bidang.
1. Diberikan kubus ABCDEFGH sebagai berikut Buktikan bahwa: BF
Bidang ABCD
Bukti : H
Dengan menggunakan konsep garis tegak lurus bidang : “Jika garis g tegak lurus pada dua buah garis yang ber-
E
G F
potongan dan kedua garis tersebut terletak pada bidang V maka garis g tegak lurus pada bidang V”,
D
C
Kita tunjukkan bahwa garis BF tegak lurus terhadap A
dua buah garis yang berpotongan yang terletak pa da
B
bidang ABCD. Sebagai berikut ; AB pada bidang ABC BC pada bidang ABC, dan AB dengan BC berpotongan BF AB BF BC
BF ABC
Jadi terbukti bahwa garis BF
Bidang ABCD.
Berikut apabila diberikan kubus ABCDEFGH buktikan bahwa CD
bidang ADHE.
Bukti : Carilah dua buah garis yang saling berpotongan yang terletak pada bidang ADHE dan t unjukkan bahwa kedua garis tersebut tegak lurus terhadap garis CD. ( silahkan dilanjutkan).
2. Diberikan kubus ABCDEFGH. Buktikan bahwa: AC
Bidang BDHF.
Bukti ; Akan ditunjukka bahwa AC tegak lurus pada dua buah garis yang saling berpotongan dan keduanya terletak pada bidang BDHF. AC pada bidang BDHF BF pada bidang BDHF, dan AC dan BF berpotongan Dan yang perlu untuk diingat, karena BF
bidang ABCD, maka BF tegak lurus pada
semua garis yang ada pada bidang ABCD.
AC BD ( diagonal sisis kubus)
AC BDF
AC BF ( BF bidang ABCD) Jadi terbukti bahwa garis AC
Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
Bidang BDHF.
4
Apabila diberikan kubus ABCDEFGH buktikan bahwa CF
bidang ABGH.
Petunjuk : Yang harus diingat jika AB
bidang BCGF, maka AB tegak lurus pada semua garis yang ada
di bidang BCGF. (lanjutkan).
3.
Diberikan kubus ABCDEFGH ; Buktikan bahwa: AG
BD.
H
Bukti ; Perhatikan kubus berikut. Untuk membuktikan AG
G F
E
BD , akan ditunjukka bahwa
garis BD tegak lurus pada bidang yang memuat garis AG,
D C
yaitu bidang ACGE. Apabila BD tegak lurus pada bidang ACGE, maka BD tegak
A
B
lurus pada semua garis yang ada pada bidang ACGE. AC pada bidang ACGE CG pada bidang ACGE, dan AC dan CG berpotongan
BD AC
( diagonal sisis kubus)
BD ACG
BD CG ( CG bidang ABCD ) Jadi terbukti bahwa garis BD Karena BD
Bidang ACGE.
bidang ACGE, maka BD tegak lurus pada
semua garis yang ada pada bidang ACGE. Sedangkan garis AG pada bidang ACGE; Sehingga terbukti bahwa AG Apabila diberikan kubus ABCDEFGH buktikan bahwa BH
BD.
AC.
Petunjuk : -
bidang yang memuat garis BH
-
Tunjukkan bahwa bahwa AC
Bidang yang memuat BH tersebut. (lanjutkan ) H
4.
Diberikan kubus ABCDEFGH ; Buktikan bahwa: CE
BG.
G F
E
Bukti ; Perhatikan kubus berikut. Untuk membuktikan BG
CE , akan ditunjukka bahwa
garis BG tegak lurus pada bidang yang memuat garis CE,
C
D A
B
yaitu bidang CDEF. Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
5
Apabila BG tegak lurus pada bidang CDEF, maka BG Tegak lurus pada semua garis yang ada pada bidang CDEF. CF pada bidang CDEF CD pada bidang CDEF, dan CD dan CD berpotongan
BG CF
( diagonal sisis kubus)
BG CDF
BG CD ( CD bidang BCGF ) Jadi terbukti bahwa garis BG
Karena BG
Bidang CDEF.
bidang CDEF, maka BG tegak lurus pada semua garis yang ada pada bidang
CDEF. Sedangkan garis CE pada bidang CDEF, sehingga terbukti bahwa CE Apabila diberikan kubus ABCDEFGH buktikan bahwa DF
BG.
AH.
Petunjuk : -
Carilah bidang yang memuat garis DF (BDHF).
-
Tunjukkan bahwa AH
Bidang CDEF (lanjutkan). H
Diberikan kubus ABCDEFGH, tunjukkan bahwa CE
bidang BDG
F
E
Bukti : Untuk membuktikan bahwa CE
G
bidang BDG, maka cukup D
ditunjukkan CE tegak lurus pada dua buah garis yang berpotongan yang terletak pada bidang BDG.
C
A
B
CE BD ( diagonal ruang dan diagonal sisi kubus)
CE BDG
CE BG ( diagonal ruang dan diagonal sisi kubus) Terbukti bahwa CE
bidang BDG. H
Dengan memperhatikan uraian di atas maka dapat di simpulkan bahwa setiap diagonal ruang kubus dan diagonal sisi kubus yang
G F
E
tidak berpotongan, maka menyilang tegak lurus. C
D A
Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
B
6
Latihan 1
D 1. Bidang empat DABC beraturan seperti pada gambar buktikan bahwa garis CD
AB
C
A
T
B 2.
Limas tegak beraturan, seperti pada gambar, buktikan bahwa CT
D
BD
C A
R
H M
E
B
G
' F
P
3. Kubus ABCDEFGH seperti pada gambar. R dan P D
Merupakan titik tengah GH dan FG, buktikan bahwa NE
PR.
C N
A
B
B. Jarak Titik Garis dan Bidang .
Diberikan kubus ABCDEFGH, dengan M adalah titi k tengah BD, tunjukkan bahwa jarak titik A ke ruas garis ME adalah sepertiga diagonal ruang. Bukti : H
G
H
G
F
E
E
N
G
F
E
P D M
A
T
C B
Gb.1
Perhatikan Gb.2, garis AG
D A
M Gb.2
T
C
M B
A
C
Gb. 3
bidang BDE (telah dibuktikan diatas), maka garis ME
AG;
Sehingga jarak antara titik E ke garis AG adalah ruas garis AT Garis AG dan ME terletak pada bidang ACGE. Selanjutnya perhatikan pada Gb.3, dari titik C ditarik garis sejajar ME memotong EG di N Titik M dan N masing-masing merupakan titik tengah garis AC dan EG. Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
7
Lihat : ΔAMT sebangun dengan ΔTGE AT
Sehingga didapat :
TG
AM
AT
EG
TG
Dengan demikian :
1
, jadi TG = 2 × AT
2
AT AG
1
3
, jadi :
AT
1
3
AG
.
Jadi terbukti bahwa jarak antara titik A ke garis ME= sepertiga kali panjang diagonal ruang AG.
Diberikan kubus ABCDEFHG, tunjukanlah bahwa jarak antara titik E ke bidang AFH sama dengan dua pertiga diagonal ruang. H
Bukti :
F
E
Perhatikan gambar. Garis CE
G
bidang BDG, dan memotong MG di titik T
Jadi jarak titik E ke bidang BDG adalah ET.
T
D
C
CE dan MG terletak pada bidang ACGE.
M
A
B Perhatikan segi empat ABCD berikut. E N G Dari titik A ditarik garis sejajar MG memotong CE di N ΔMTG sebangun dengan ΔTGE, sehingga didapat : P
CT
T
MC
TE
EG
CT
A
C
M
TE
1
Dengan demikian :
2
ET TC
2
3
, jadi TE = 2 × CT
, jadi :
ET
2
3
CE
.
Jadi terbukti bahwa jarak antara titik E ke bidang AFH sama dengan dua pertiga diagonal ruang.
Diberikan kubus ABCDEFGH, dengan rusuk = 6 cm, tentukan jarak antara garis FH dan BG Jawab :
H
G
N
E
F
BG dibuat bidang BDG; Sehingga jarak antara FH dan BG,
P
A
sama dengan jarak antara Bidang AFH dengan BDG = PT
T
D
C M
Perhatikan gambar, melalui FH dibuat bidang AFH, dan melalui
B
PT
1
CE
1
6 3
Jadi jarak antara BG an FH =
2 3
3
Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
PT
2 3
3
8
Kubus ABCDEFGH dengan rusuk = 8 cm.
R
H
R di tengah-tengah GH
M
E
Tentukan : a. Jarak titik C ke bidang BDE
G
' F
b. Jarak titik R ke bidang BDE D
Jawab : a. jarak C ke BDE sama dengan jarak M ke NE =
1
N
A
AG
3
C B
b. Buat garis RP // FH sehingga memotong EG di T. Jarak R ke BDE sama dengan jarak RP ke BDE, sama dengan pula jarak T ke BDE, sama dengan jarak T ke garis NE =
1 2
AG
Bidang empat beraturan DABC dengan rusuk = 6 cm. Jika AP : PD = 1: 2, tentukan jarak antara P ke bidang BCD D
Jawab : M titik tengah BC, AM DM
P•
N
A
Buat PT // AN ( PT
T P
N
A
M
2 3
2
PT
3
PT
6
2
3
2
=
27
2 6
PT
2
2 6
3
DM
2
3
3
3
=
6 2 ( 2 3 ) 2 =
AN =
AN
MD)
3 3
DN : NM = 2 : 1 ( N titik berat Δ BCD ). DN =
DA
MD.
D AM = MD =
Jarak P ke BCD adalah PT
B
DP
BC, dan
BC.
Perhatikan Δ AMD, buat AN
C
4
2 3.
24
2 6
6
3
T 1. Limas tegak beraturan TABCD dengan AB = 4
2
cm
dan AT = 10 cm. Jika AE : ET = 2 : 3, tentukanlah E•
jarak titik E ke Bidang TCD.
D
Jawab : AC = 8 cm, dan TH =
•Q •P
10
2
4
2
N
C
H =
Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
84
A
M
B 9
Buat bidang TMN ( M dan N titik tengah AB dan CD).
T
Buat EP // AB , memotong TM di Q S
TE : TA = TQ : TM = 3 : 5 TM = TN = TQ =
3 5
2
Q
2
10 ( 2 2 ) =
T M
3
5
92
K
92
M
Perhatikan : Δ TMN Buat MK
TN, dan QS // MK ( QS
TH × MN = MK × TN
TN ) 84
TH MN
MK =
N
H
4
2
TN
92
Jarak E ke Bidang TCD = Jarak EP ke Bidang TCD = Jarak titik Q ke garis TN = QS. 3
TQ
QS
T M
MK
QS
TQ MK
92
84
4
2
3
5
92
T M
92
Latihan 2
1.
=
5
84
4
2
92
Kubus ABCDEFGH dengan rusuk = 8 cm Tentukan : a. Jarak titik C ke bidang BDE b. Jarak titik R ke bidang BDE R
H M
E
Bidang empat beraturan DABC dengan
3.
C N
A
B
P•
rusuk = 6 cm. Jika AP : PD = 1: 2, tentukan jarak antara P ke bidang BCD
F
D
D
2.
G
'
C
T
A
Limas tegak beraturan TABCD dengan AB = 4
2
cm
B E•
dan AT = 10 cm. Jika AE : ET = 2 : 3, tentukanlah jarak
D
C
titik E ke Bidang TCD A Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
B 10
4.
Kubus ABCDEFGH, AB = 6 cm; Maka jarak FH
H
ke bidang BDE adalah : ….. cm.
G M
E
F
D H
G M
E
N
A
B
F
5.
Kubus ABCDEFGH , AB = 6 cm . Jarak antara bidang BDE dengan MC = …. cm.
D
C N
A
6.
C
T
B
Limas Beraturan TABCD, dengan AB = 5
2
cm dan
AT = 10 cm; Jarak antara BC ke bidang ADT=…… cm.
D
C
A 7.
Kubus ABCDEFGH , AB = 6 cm . Jarak antara bidang BDE dengan PR = …. cm. R
H M
E
G
' F
D A
8.
B
P
H
C N
B
Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
M
E
F
D
Kubus ABCDEFGH , AB = 6 cm . Jarak antara titik P ke bidang ACH= …. cm.
G
A
P
C N
B
11
Daftar Pustaka
Clamens, S.R., O’Daffer, P.G., and Cooney, T.J. Geometry with Aplications and problem Solving. Menlo Park: Addison-Wesley Publishing Company Travers, K,J., Dalton, L.C.,and a Layton, K.P. (1987). Geometry. River Forest, Illions; Laidlaw Brothers Publisher. Wilson, JW (2003). The Departemen of Mathematics Education EMAT 4600/6600 Htt://jwilson.coe.uga.edu/ CTL/intro/ctl_is.htm1#other
Dimensi Tiga / XII_MIPA/ H.Sunyoto,SPd,MSi
12