Bab VI Ruang Hasilkali Dalam

Alja Aljaba barr Line Linear ar Elem Elemen ente terr MA1223 3 SKS Silabus : Bab I

Matriks dan Operasinya

Bab II

De Determinan Matri triks

Bab III

Sistem Persamaan Linear

Bab IV

Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V

Ruang Vektor

Bab VI

Ruang Hasil Kali Dalam

Bab VII VII Tra Transfo nsform rmas asii Line Linea ar Bab VIII Ru Ruang Eigen 07/03/2007 12:19

MA-1223 Aljabar Linear

1

Ruang Hasilkali Dalam (RHD) Sub Sub Poko Pokok k Bahas ahasan an – Definisi RHD – Himpunan Ortonormal – Proses Gramm amm Schmid midt Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi, seperti metode least square square dalam dalam peminimuman error dalam berbagai bidang rekayasa.

07/03/2007 12:19


2

Definisi RHD Misalnya V adalah V adalah suatu ruang vektor, dan u , v ∈ V maka notasi <

,

> dinamakan

hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1. =

< v, u >

(Simetris)

2. = + < v , w > 3.

(Aditivitas)

untuk suatu k ∈R, < k u , v > = = k (Sifat Homogenitas)

4.

< u,

u

> ≥

dan

0 , untuk setiap u < u,

u

> =

0

⇔

u

=

0

(Sifat Positifitas) 07/03/2007 12:19


3

Jika V merupakan V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor u dinyatakan oleh :

u

yang didefinisikan oleh :

u

= < u, u >

1

2

≥0

Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn ) Misalkan u

=

u , v ∈ Rn maka

< u, u >

1

2

= u1v1 + u 2 v 2 + ... + u n v n

≥0

= (u 12 + u 22 + …..+u …..+u n2)½

07/03/2007 12:19


4

Contoh 2 : Misalnya W ⊆ R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali = 2u1v1 + u 2 v2 + 3u3v3 , dimana u , v

∈ W

Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam Jawab : Misalkan u , v , w ∈ W <

u, v

> =

2u 1v 1 + u 2v 2 + 3u 3u 3v 3

= 2 v 1u 1 + v 2u 2+ 3v 3v 3u 3 = <

07/03/2007 12:19

v, u

>

(terbukti simetris)


5

<(u 1+v 1, u 2+v 2, u 3+v 3), (w 1, w 2, w 3)> (ii) = <(u = 2(u 2(u 1+ v 1)w 1 + (u (u 2+v 2)w 2 + 3(u 3(u 3+v 3)w 3 = 2u 2u 1w 1+2v +2v 1w 1+u 2w 2 +v 2w 2+3u +3u 3w 3+3v +3v 3w 3 = 2u 2u 1w 1+u 2w 2+3u +3u 3w 3+2v +2v 1w 1+v 2w 2+3v +3v 3w 3

= < u, w > + < v, w >

(bersifat aditivitas)

(iii) untuk suatu k ∈R,

< k u , v > = <(ku <(ku 1, ku 2, ku 3), (v 1, v 2, v 3)> = 2ku 1v 1 + ku 2v 2 + 3ku 3ku 3v 3 = k 2u 1v 1 + ku 2v 2 + k.3 k.3u 3v 3

= k = 

07/03/2007 12:19


(bersifat homogenitas)

6

(iv) = 2u1 + u2 + 3u3 2

Jelas las bahwa

2

2

1

 2 ≥ 0 untuk setiap u

dan = 0 hanya jika u = 0 Contoh 3 : Tunjukan bahwa = u1v1 + 2u 2 v2 − 3u1v1 bukan merupakan hasil kali dalam Jawab : Perhatikan

 = 2u12 + u2 2 − 3u3 2

Pada saat 3u 32 > u 12 + 2u 2u 22 maka

< u,

07/03/2007 12:19

u

> ≤

0

Tid Tida ak meme memenu nuhi hi Sifa Sifatt posi positi tivi vita tas s


7

Contoh 4 : <

Diketahui dimana u Apakah

<

=

u,v

>=

( a , b, c )

u, v

>

ad + cf

dan v

=

( d , e, f )

merupakan hasil kali dalam?

Jawab :

Jelas bahwa Misalkan Padahal

u

< u, =

u >= ( a 2 + c2 )

(0, 2, 0) diperoleh

ada u

≠

≥ <

0

u,u

>=

0

0

Aksioma terakhir tidak terpenuhi. Jadi <

u, v

> =

07/03/2007 12:19

ad + ad + cf

bukan

meru merupa pak kan hasi hasill kali kali dala dalam. m.


8

Himp Himpun unan an Orto Ortono norm rmal al Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dina dinama maka kan n himp himpun unan an ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus).

Himpunan ortonormal



himpunan ortogonal yang

setiap vektor tornya memilik ilikii panjan jang (no (normnya) sa satu. tu.

07/03/2007 12:19


9

Seca Secara ra Oper Operas asio iona nall Misalkan, T = {c1 , c 2 ,..., c n } pada suatuRHD T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika jika

< ci , c j > = 0 untuk setiap i ≠ j Sedangkan, Sedangkan, T dikatak dikatakan an himpuna himpunan n vektor vektor ortonormal jika untuk setiap i berlaku

07/03/2007 12:19

ci


=1

10

Contoh 5 : 1.

⎧ ⎛ 1 ⎞ A = ⎨ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎩ ⎝ 0 ⎠ ,

⎛ - 1 ⎞ ⎫ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ ⎝ 0 ⎠ ⎭

Pada RHD Euclides, A bukan A bukan himpunan ortogonal.

⎧⎪ ⎛ 1 ⎞ 2. B = ⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝ 0 ⎠ ,

⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ ⎝ - 1 ⎠ ⎭

Pada RHD Euclides, B merupakan B merupakan himpunan ortonormal. 3.

⎧⎪⎛ 12 ⎞ ⎛ − 12 ⎞⎫⎪ C = ⎨⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎬ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎩⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎭ Pada RHD Euclides, C merupakan C merupakan himpunan ortonormal.

07/03/2007 12:19


11

Misalkan

= {v1 , v 2 ,..., v n }

S

adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika u

adalah sembarang vektor padaV padaV ,

maka u = k 1v1 + k 2 v 2 + ... + k n v n

Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :

 = < k 1v1 + k 2 v 2 + ... + k n v n , vi > = k 1 < v1, vi > +k 2 < v2 , vi > +...+ k i < vi , vi > +...+ k n < vn , vi > Karena S merupa merupakan kan himpun himpunan an ortono ortonorma rmall dan < vi , v j >= 0 untuk setiap i ≠ j 07/03/2007 12:19

dan

< vi , vi > = 1 untuk setiap i


12

Sehingga, untuk setiap i berlaku

= k i Kombinasi linear u = k 1v1 + k 2 v 2 + ... + k n v n Ditulis menjadi

u = v1 + v 2 + ...+ v n Contoh 6 : Tentukan kombinasi linear dari pada RHD dibangun

Euclides

berupa

⎛ 1 ⎞ a = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ bidang

yang

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎟ 2 v = u =⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎟ dan 1 ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:19


13

J awab : a

= k 1u + k 2 v

a

=< a , u > u + < a , v > v

⎛ 1 ⎞ a = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 2 ⎠ a

=

07/03/2007 12:19

1 2

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ 1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ u

+ −

2 ⎞ ⎟⎟ u + 2 ⎠

1 2

Perh Perhat atik ikan an ….. ….. u dan v mrp Basis ortonormal

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜⎜ 1 ⎟⎟ v ⎝ 2 ⎠ ⎝ − 2 ⎠

v


14

Proses

Gramm-Schmidt

S = { c1 , c 2 , K c n

B

}

= {w1 , w2 , ... , wn }

basis bagi suatu RHD V

basis ort ortonormal bagi V

Langkah yang dilakukan 1. w1 =

c1 c1

07/03/2007 12:19


15

c2

2. La Langk ngkah kedu kedua a

w2 c2

q1 w2

p1

w1 p1

w2

=

proy w1 c 2

=

=

<

c 2 , w1

c 2 − < c 2 , w1 c 2 , < c 2 , w1

07/03/2007 12:19

w1

>

>

w1

=<

c 2 , w1

>

q1

−

p1

Vektor satuan searah

q1

w1

=

c2

w1

> w2


16

3. Lang Langka kah h keti ketiga ga

c3

w3 c3

q2

w3

W

p 2 w1

w2

p 2 = proyW c3 =< c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2

w3 =

c3 − < c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2 c3 − < c3 , w1 > w1 + < c3 , w2 > w2

07/03/2007 12:19


q2

= c3 − p 2

Vekt Vektor or satu satuan an Yang Yang teg tegak ak luru lurus s Bidang W

17

Contoh 7 : Diketahui : ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ B = ⎨u1 = ⎜1⎟, u 2 = ⎜ 1 ⎟, u 3 = ⎜ 0 ⎟⎬ ⎜ 1⎟ ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎩

B merupakan basis pada RHD Euclides di R 3. Transformasikan basis tersebut menjadi Ortonormal

basis

Jawab : Langkah 1. v1 =

07/03/2007 12:19

u1 u1

=

(1, 1, 1) 3

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 ⎞

⎟ 3⎟ 1 ⎟ ⎟ 3⎟ 1 ⎟ ⎟ 3 ⎠


18

Langkah 2 v2 =

u 2 − proyv u 2 1 u 2 − proyv u 2 1

Seme ementa ntara itu, itu,

u2

− proyv1 u 2 = u 2 − u 2 , v1 v1 = (0, 1, 1) − ⎛ 2 1 = ⎜− , , ⎝ 3 3

Karena itu, u 2 − proy v1 u 2 =

sehingga :

07/03/2007 12:19

4 9

+ 19 + 19 =

2 ⎛ 1

⎜⎜ , 3 ⎝ 3 1 ⎞ ⎟ 3 ⎠

1 3

,

1 ⎞

⎟⎟ 3 ⎠

6 3

⎛ 2 ⎞ ⎜− ⎟ ⎜ 6⎟ ⎜ 1 ⎟ v2 = ⎜ ⎟ 6 ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ MA-1223 Aljabar Linear

19

Langkah 3 v3 =

u3 − proy

u W 3

u3 − proy

u W 3

Seme Sement ntar ara a itu itu, u3 − proy

u W 3

= u3 − u3 , v1 v1 − u3 , v2 v2 1 ⎛ 1

1 1 ⎞ 1 ⎛ 2 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ = (0, 0,1) − − − , , , , ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎝ 3 3 3 ⎠ 6 ⎝ 6 6 6 ⎠ 1 1 ⎞ ⎛ = ⎜ 0, − , ⎟ 2 2 ⎠ ⎝

sehingga :

07/03/2007 12:19

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ v3 = ⎜ − 12 ⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ MA-1223 Aljabar Linear

20

Jadi,

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪⎜ 13 ⎟ ⎜ 1 6 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ {v1, v2 , v3} = ⎨⎜ 3 ⎟, ⎜ 6 ⎟, ⎜ − 2 ⎟⎬ ⎪⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎪ ⎩⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎭

merupakan basis merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclides

07/03/2007 12:19


21

Contoh 8 :

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ Dike iketah tahui bida idang yang diba ibangun oleh ⎨⎜ 0 ⎟, ⎜ 1 ⎟⎬ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ meru merupa paka kan n subr subrua uang ng dari RHD Euclides di R3

Ten Tentu tuka kan n proy proyek eksi si orth orthog ogon ona al dar dari vekt vekto or

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ pada bidang tersebut.

07/03/2007 12:19


22

Jawab : Diketahui

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ v1 = ⎜ 0 ⎟ , v 2 ⎜1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠

merupakan basis ba bagi subruang pada RHD ts tsb. Karena

{v1 , v2 }

Selain membangun subruang pada RHD himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan). Langkah awal : Basis tersebut  basis ortonormal. 07/03/2007 12:19


23

w1 =

v1 v1

=

(1 , 0 ,1)

=

(1)2 + (0)2 + (1)2 (1 , 0 ,1) 2

1 ⎞ ⎛ 1 ,0 , = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

1 1 ⎞ Perhatikan bahwa : v2 , w1 = < (0 ,1 ,1) ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟ > ,0 , 2 ⎠ ⎝ 2

=0+0+ =

1 2

1 2

07/03/2007 12:19


24

Sehingga: v2 , w1 w1 =

1 ⎛ 1

1 ⎞

⎜⎜ ,0 , ⎟⎟ 2 ⎝ 2 2 ⎠ 1 ⎞ ⎛ 1 = ⎜ ,0 , ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

1 ⎞ ⎛ 1 v2 − v2 , w1 w1 = (0 ,1 ,1) − ⎜ , 0 , ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 1 ⎞ ⎛ 1 = ⎜ − ,1 , ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

Akibatnya : 2

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ v2 − v2 , w1 w1 = ⎜ − ⎟ + (1)2 + ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ =

1

=

6

= 07/03/2007 12:19

4

+1+

2

1 4

4 1 2

6


25

Akhirnya, diperoleh − v2 , w1 w1 w2 = v2 − v2 , w1 w1 v2

1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ − ,1 , ⎟ 2 2 ⎠ = ⎝ 1

2

6

⎛ 1 2 1 ⎞ ⎟⎟= = ⎜⎜ − , , ⎝ 6 6 6 ⎠

Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 07/03/2007 12:19

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ 6⎟ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ 0 ⎟,⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜ 6 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭


26

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ u = ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ pada bidang tersebut adalah

Proyeksi Orthogonal Vektor

Pr oy W u

= u , w1 w1 + u , w2 w2

Perhatikan bahwa : ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ > u , w1 = < (1 ,1 ,1) ⎜⎜ ,0 , 2 ⎠ ⎝ 2 = =

1 2 2

+0 +

1 2

2

= 2 07/03/2007 12:19


27

Sementara itu : 1 ⎞ − ⎛ 1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ 26⎟ = ⎜1⎟, ⎜ 6 ⎟ ⎜1⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 6 ⎠

1

=−

6

=

07/03/2007 12:19

+

2 6

+

1 6

2 6


28

Deng Dengan an demi demiki kian an,, Pr oy W u

= u , w1 w1 + u , w2 w2 ⎛ 1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ = ⎜0⎟ + ⎜ 2 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠

⎛ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

07/03/2007 12:19

2 ⎞ ⎟ 3 ⎟ 2 ⎟ 3 ⎟ 4 ⎟

⎟ 3 ⎠


29

Contoh 9 : Diketah tahui bida idang yang diba ibangun oleh

⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎨⎜ 0 ⎟, ⎜ 1 ⎟ ⎬ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

merupakan subruang dari RHD Euclide ides

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ Ten Tentu tuk kan proy proye eksi ksi orth ortho ogon gonal dar dari vekt vektor or u = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ pada bidang tersebut. Jawab

Jelas las bahwa {v1 , v 2 } mer merupa upakan kan basis asis bagi agi bida bidan ng ters terseb ebu ut, kar karena ena

v1 dan v 2

07/03/2007 12:19

saling bebas linear


30

Basis tersebut akan ditransformasikan dit ransformasikan menjadi basis ortonormal. w1 =

v1 v1

=

(1 , 0 ,1)

=

(1)2 + (0)2 + (1)2 (1 , 0 ,1) 2

1 ⎞ ⎛ 1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ,0 , 2 ⎠ ⎝ 2

07/03/2007 12:19


31

Perhatikan bahwa : v2 , w1

⎛ 1 1 ⎞ = < (0 ,1 ,1) ⎜⎜ ⎟⎟ > ,0 , 2 2 ⎝ ⎠ =0+0+ =

1 2

1 2

Sehingga: v 2 , w1 w1

=

1 ⎛ 1

1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ , 0 , ⎟ ,0 , 2 ⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2

akibatnya v2

1 ⎞ ⎛ 1 − v2 , w1 w1 = (0 ,1 ,1) − ⎜ , 0 , ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 1 ⎞ ⎛ 1 = ⎜ − ,1 , ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2

07/03/2007 12:19


32

Proyeksi Orthogonal Vektor

u

pada bidang W adalah: Pr oy W u = u , w1 w1 + u , w2 w2

=

⎛ 1 ⎞ ⎜− ⎟ 3 ⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ + 0 ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎛ 2 ⎞

⎜ ⎟ ⎜3⎟ 2⎟ ⎜ = ⎜ 3⎟ ⎜4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ 07/03/2007 12:19


33

w2 =

v2 − v2 , w1 w1 v2 − v2 , w1 w1

1 ⎞ ⎛ 1 , 1 , − ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ = ⎝ 1

2

6

⎛ 1 2 1 ⎞ ⎟⎟ , , = ⎜⎜ − ⎝ 6 6 6 ⎠ Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 1 ⎞ ⎟ 1 ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ 6⎟ 2⎟ ⎜ 2 ⎟ 0 ⎟,⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎜ 6 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 2 ⎠ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠

07/03/2007 12:19

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ MA-1223 Aljabar Linear

34

Latihan Bab VI 1. Periksa Periksa apakah apakah operasi operasi berikut berikut merup merupakan akan hasil kali dalam atau bukan a. = u 2v + u v 2 di R2 1

b.

< u, v >

1

2 2

= u 1v 1 + 2u 2u 2v 2 – u – u 3v 3 di R3

c. = u 1v 3 + u 2v 2 + u 3v 1 di R3 2. Tentu Tentuka kan n nilai nilai k sehingga vektor (k , k , 1) dan vektor (k (k , 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !

07/03/2007 12:19


35

3. W merupakan subruang RHD euclides di ℜ3 yang dibangun oleh vektor

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ dan ⎜ 0 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠

Ten Tentu tuka kan n proy proyek eksi si orth orthog ogon onal al vek vekto torr pada W

07/03/2007 12:19


⎛ − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

36

Bab VI Ruang Hasilkali Dalam

Recommend Documents