BAB II LANDASAN TEORI
2.1
Analisis Variansi
Analisis varians dipergunakan untuk menguji perbedaan rata-rata hitung jika kelompok sampel yang diuji lebih dari dua buah yang berasal dari populasi yang berbeda. Namun, jika dikehendaki ia dapat juga dipergunakan walau kelompok itu hanya dua buah. Dengan demikian, anova dapat dipandang sebagai teknik t-tes yang diper diperlu luas as.. Hasi Hasill perh perhit itun unga gan n uji uji anali analisi siss vari varian anss diny dinyat atak akan an deng dengan an nila nilaii F (Nurgiyantoro, 2002). Analis Analis ragam yaitu yaitu suatu metode metode untuk menguraikan menguraikan keragaman keragaman total data menj menjad adii
kompon komponen en-k -kom ompo ponen nen yang yang mengu menguku kurr
berb berbag agai ai sumb sumber er kerag keragam aman an..
Perc Percob obaa aan n anali analisi siss raga ragam m akan akan memp memper erol oleh eh dua dua kompon komponen en yait yaitu u kompon komponen en mengukur keragaman yang disebabkan oleh alat percobaan dan komponen mengukur keragaman yang disebabkan oleh pecobaan ditambah keragaman yang disebakan oleh perbedaan varitas (Walpole, 1995). Analisis ragam digunakan untuk menguji rata-rata dari tiga atau lebih suatu popul populasi asi.. Rata-r Rata-rata ata populas populasii itu itu sama sama atau atau tidak tidak sama. sama. Konsep Konsep dasar dasar ANOVA ANOVA dikemukakan oleh seorang bernama R.A. Fisher. Konsep tersebut yaitu (Subiyakto, 1994): 1.
Menghitung Menghitung rata-rata rata-rata masing-mas masing-masing ing grup sampel dan menjelaskan menjelaskan kesalahan baku rata-rata
yang hanya didasarkan pada beberapa rata-rata sampel.
2. Form Formul ulas asin inya ya adal adalah ah::
Didapat:
Kemudian kesalahan baku dari rata-rata yang dihitung diatas dapat digunakan untuk mengestimasi varian populasi darimana sampel tersebut didapat. Estimasi varian pululasi ini dapat disebut kuadrat rata-rata antara kelompok-kelompok (mean square between groups: MSB). 3.
Menghitung varian secara terpisah didalam masing-masing kelompok sampel dan berkaitan dengan masing-masing rata-rata kelompok. Kemudian menyatukan nilai-nilai varian yang terimbang (n-1) untuk masing-masing sampel. Prosedur tertimbang
untuk
varian
ini
adalah
perluasan
dari
prosedur
untuk
mengombinasikan dan menimbang dua varian sampel. Hasil stimasi varian populasi disebut kuadrat rata-rata didalam kelompok-kelompok (MSW). 4.
Jika hipotesis nol:
benar, kuadrat rata-rata MSB dan
MSW merupakan estimator yang tak bias dan independent dari varian populasi yang sama. Akan tetapi, jika hipotesis nol tidak diterima maka nilai harapan MSB lebih besar dari MSW. Sedikit saja ada perbedaan diantara rata-rata populasi akan membesarkan MSB walaupun tidak berpengaruh pada MSW. 5. Berdasarkan pada pengamatan konsep 4 distribusi F dapat digunakan untuk menguji perbedaan dua varian. Suatu pengujian satu sisi diperlukan distribusi F. Dalam menemukan nilai F, dapat menggunakan rumus:
Apabila nilai rasio F berada di daerah penolakan untuk tingkat signifikan tertentu maka hipotesis tentang kesamaan beberapa rata-rata sampel berasal dari populasi ditolak.
2.2
Asumsi-Asumsi Dasar Analisis Ragam
Analisis varians adalah suatu teknik yang dipakai untuk membandingkan dua atau lebih parameter populasi. Teknik ini sering dipakai untuk penelitian terutama
pada rancangan penelitian eksperimen, penelitian-penelitian yang memiliki implikasi pengambilan keputusan untuk menggunakan teknologi baru, prosedur-prosedur baru dan kebijakan baru. Asumsi-asumsi dasar yang dikemukakan sarwoko yaitu: 1.
Tiap-tiap dari k populasi memiliki independent random sampling.
2.
Tiap-tiap populasi memiliki distribusi normal dengan dan memiliki varians
yang sama atau berbeda
yang sama.
Hasil perhitungan analisis varians yang dipergunakan untuk menguji hipotesis tentang
signifikansi
perbedaan
rata-rata
hitung
dapat
dimanfaatkan
dan
digeneralisasikan jika ia memenuhi beberapa asumsi dasar. Ada tiga asumsi dasar yaitu (Nurgiantoro, 2002): 1.
Subjek yang menjadi anggota kelompok-kelompok harus dipilih secara acak. Dengan cara ini semua objek anggota sebuah populasi berpeluang sama untuk terpilih menjadi sampel. Sampel yang diambil secara acak dapat menghindari bias hasil analisis statistik. Sebaliknya, sampel yang ditentukan dengan cara memihak, misalnya sengaja memilih siswa yang tergolong pintar agar rata-rata hitung yang diperoleh dalam suatu kelompok tinggi sehingga nilai F yang diperoleh signifikan, hasilnya akan bias dan tidak mencerminkan keadaan populasi yang akan menjadi tempat penggeneralisasinya.
2.
Skor-skor hasil pengukuran memiliki distribusi normal. Dalam menentukan kenormalan suatu distribusi skor hasil pengukuran perlu dilakukan uji normalitas. Uji normalitas dapat dilakukan lewat beberapa cara dan salah satunya yang ditunjukan dalam bab ini adalah lewat teknik chi kuadrat.
3.
Varians populasi tiap kelompok bersifat homogen atau tidak berbeda secara signifikan. Untuk menguji homogenitas varians-varians tersebut perlu dilakukan uji statistic (test of variance) pada distribusi skor kelompok-kelompok yang bersangkutan.
2.2
Analisis Ragam Satu Arah
Analisis varians satu arah dipergunakan untuk menguji signifikansi perbedaan rata-rata hitung yang hanya mencakup satu klasifikasi atau satu variabel independen. Analisis varians berangkat dari adanya sejumlah variabilitas yang terdapat dalam data kelompok sampel yang akan diuji (Nurgiyantoro, 2002) Menurut Subiyakto analisis varians satu arah atau one way analysis of variance dapat digunakan untuk pengujian perbedaan antara (k) rata-rata sampel apabila subjek-subjek ditentukan secara acak pada setiap beberapa kelompok atau kelompok perlakuan. Persamaan linear yang menggambarkan model uji satu arah yaitu:
Keterangan : μ
= Rata-rata keseluruhan dari semua k populasi klasifikasi. = Efek klasifikasi dalam k kelompok.
eikk
= Kesalahan acak yang bergabung dalam proses sampling. Hipotesis nol dan hipotesis alternative untuk ANOVA satu arah yaitu: H 0
=
α k
=
H a
≠
0
Jika hipotesis nol diterima, berarti: 2.3
Analisis Ragam Dua Arah
Jika dalam anova satu arah hanya dimaksudkan sebagai menguji signifikansi perbedaan rata-rata hitung satu klasifikasi saja, dalam anova dua arah atau klasifikasi ganda, yang diuji itu lebih dari satu macam. Anova dua arah dapat terdiri 1,2,3, atau lebih klasifikasi tergantung dari desain yang direncanakan. Pengujian banyak
kelompok yang melibatkan klasifikasi gandan akan menjanjikan perolehan informasi yang lebih banyak dan lebih teliti. Dalam analisis varians
dua arah, baik perhitungan berdasarkan kolom
maupun baris, keduanya sama-sama dilakukan, karena ada lebih dari satu efek yang dihitung. Keduanya merupakan variabel independen atau faktor-faktor yang masingmasing mempunyai efek. X , ∑ X perhitungan ∑
2
Dengan demikian, akan
, X
didapatkan perhitungan-
untuk kolom (faktor A) dan untuk baris (faktor B).
Bahkan masih ada sumber variasi baru sebagai akibat adanya interaksi dari faktor A dan faktor B yang disebut sebagai efek interaksi (faktor A vs B). Berikut adalah diagram perbandingan analisis varians satu arah dan varians dua arah (nurgiyanto, 2002): Varians Total (JKT)
Varians dalam Kelompok (JKD)
Varians antar kelompok (JKA) A.
Anova satu arah
Varians Totak (JKT)
Varians Dalam Kelompok (JKD)
Varians Faktor A
Varians Faktor B
Varians antarkelompok (JKA)
Varians Faktor A vs B
(JKAMet)
(JKASek)
(JKAInter)
Gambar 2.1
2.4
Pengujian Hipotesis
Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan satu faktor yang berpengaruh. Langkah-langkah pengujian klasifikasi satu arah adalah sebagai berikut (Hasan, 2002): 1.
Menentukan Formulasi Hipotesis: H 0 : µ 1
=
µ 2
=
µ 3
= .... =
µ k
H 0 : µ 1
=
µ 2
=
µ 3
= .... ≠
µ k
2. Menentukan taraf nyata (α) beserta F table. Taraf nyata (α) ditentukan dengan derajat pembilang ( v1 ) dan derajat penyebut ( v2 ) . v1 = k-1 dan
v2
= k(n-1).
F α ( v
3. Menentukan kriteria pengujian H 0
diterima apabila F 0 ≤ F .( v1 .v2 )
H 0
ditolak apabila F
α
0
〉 F . (v1 .v2 ) α
1 .v 2
)
=…
4.
Membuat analisis varians dalam bentuk table ANOVA Sumber
Jumlah
Derajat Bebas
Varians Rata-rata
Kuadrat JKK
Rata-Rata kuadrat
k-1
2
s1 =
kolom Eror
JKE
Total
k(n-1)
JKT
2
s1
JKK
JKT
=
n
i =1
j =1
∑ ∑ x
ij
k
JKK
=
∑T
k (n
2 T ..
nk
2
i
i = j
−
n
JKE
−
T 2 .. nk
= JKT-JKK.
k
= Kolom.
n
= Baris.
Untuk ukuran sampel yang tidak sama banyak digunakan: JKT
=
k
n
i =1
j =1
∑ ∑ x
ij
k
JKK
=
∑T
−
i = j
−
N
Derajat bebas eror = N-k = Kolom.
n
= Baris.
N
T 2 ..
= JKT-JKK
k
T 2 ..
2
i
ni
JKE
2
5. Membuat Kesimpulan
s2
JKE =
nk-1 Tabel 2.1
2
s 21
k −1
Untuk ukuran sampel yang sama banyak digunakan: k
F 0
1)
−
2
Menyimpulkan bahwa
H 0
diterima atau ditolak dengan membandingkan antara
langkah ke-4 dengan criteria pengujian pada langkah ke-3. Langkah-langkah pengujian klasifikasi dua arah adalah sebagai berikut (Hasan, 2002): 1. Menentukan formula hipotesis a. H o : α 1 H 1
2.
0
(pengaruh kolom nol)
: Sekurang-kurangnya satu
b. H 0 : H 1
= α 2 = α 3 = ... =
β 1
=
β 2
=
β 3
=0
α 1
tidak sama dengan nol
(pengaruh kolom nol)
: Sekurang-kurangnya satu β 1 tidak sama dengan nol
Menentukan taraf nyata (α) dan F tabelnya Taraf nyata (α) dan F table ditentukan dengan derajat pembilang dan penyebut masing-masing:
3.
a.
Untuk baris: v1 = b −1 dan v2 = (k −1)( b −1)
b.
Untuk kolom: v1 = k −1 dan v2 = (k −1)(b −1)
Menentukan criteria pengujian a.
b.
H 0
diterima apabila F 0 ≤ F .( v1 .v 2 )
H 0
ditolak apabila F
H 0
diterima apabila F 0 ≤ F .( v1 .v 2 )
H 0
ditolak apabila F
α
0
〉 F . (v1 .v2 ) α
α
0
〉 F . (v1 .v2 ) α
4. Membuat analisis varians dalam bentuk table ANOVA Sumber
Jumlah
Varians
Kuadrat
Rata-Rata
JKB
Derajat Bebas
Rata-Rata
F 0
Kuadrat b-1
2
s1 =
JKB db
f 1
=
s12 s32
2
s1 =
Baris JKK
k-1
Rata-Rata
2
s1 =
kolom
JKE
(k-1)(b-1)
JKT
kb-1
JKK db
f 1
=
s22 s32
JKE db
Eror Total
Tabel 2.2
JKT
=
k
n
i =1
j =1
∑ ∑ x
ij
k
JKK
=
∑T
∑T i j =1
b JKE
−
kb
2
i = j
k
=
T 2 ..
2
i
−
ni
JKK
2
2
T .. kb
. j −
T 2 .. kb
= JKT-JKB-JKK
5. Membuat kesimpulan Menyimpulkan bahwa
H 0
diterima atau ditolak dengan membandingkan
antara langkah ke-4 dengan criteria pengujian pada langkah ke-3.
DAFTAR PUSTAKA
Walpole, Ronald E. 1995. Pengantar Statistika. Edisi ketiga. Jakarta: Gramedia Pustaka utama. Nurgiyantoro, Burhan, dkk. 2002. Statistika Terapan. Yogakarta: Gajah Mada. Hasan, M.Iqbal. 2002. Statistika 1 dan 2. Edisi kedua. Jakarta Bumi Aksara. Subiyakto, Haryono. 1994. Statistika 2. Jakarta: Gunadarma.
