Bab 6_Statistik Komparatif Dan Konsep Derivatif_Kelompok 5

STATISTIK KOMPARATIF DAN KONSEP DERIVATIF (disusun untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Matematika Ekonomi)

Oleh :

FAUZIAH

(1511040024)

NURHIDAYAH T

(1511041004)

RUFAIDAH AZISIFAH

(1511042006)

KELAS A2 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2017

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur kita panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, atas limpahan kenikmat-Nya yang tiada batas kepada kami, sehingga dapat menyusun makalah ini. Tak lupa pula kita kirimkan salam dan sawat atas junjungan kita Nabiullah Muhammad SAW sebagai teladan bagi kita semua yang ada di muka bumi ini. Belajar dari sebuah proses menuju ke titik keberhasilan merupakan hal terpenting yang patut di jadikan sebagai kesyukuran atas kebesaran Sang Pencipta, karena tidak ada keberhasilan yang sempurna selain keberhasilan yang ditetapkan oleh sang pencipta. Namun, hal terpenting adalah memetik hikmah dari proses. Karena dari proses itulah yang akan menjadi pijakankan kita menuju puncak keberhasilan yang telah digariskan. Kami mengucapkan terima kasih yang tiada henti kapada segenap pihak yang telah membantu kami dalam menyusun makalah kami. Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini. Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini. Makassar, 09 Oktober 2017

Penyusun

ii

DAFTAR ISI

Sampul ................................................................................................................................................ i KATA PENGANTAR ....................................................................................................................... ii DAFTAR ISI..................................................................................................................................... iii BAB I PENDAHULUAN .................................................................................................................. 1 Latar Belakang .............................................................................................................................. 1 BAB II ISI .......................................................................................................................................... 3 A.

SIFAT DARI STATISTIKA KOMPARATIF.................................................................... 3

B.

TINGKAT PERUBAHAN DAN DERIVATIF .................................................................. 4

C.

DERIVATIF DAN KEMIRINGAN .................................................................................... 8

D.

KONSEP LIMIT ................................................................................................................. 10

E. PENYIMPANGAN DALAM KETIDAKSAMAAN DAN NILAI-NILAI ABSOLUT ................................................................................................................................... 20 F.

DALIL-DALIL LIMIT ....................................................................................................... 25

G. KONTINUITAS DAN DIFERENSIAL FUNGSI ............................................................ 29 BAB III PENUTUP ......................................................................................................................... 37 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................................... 38

iii

BAB I PENDAHULUAN

Latar Belakang Statika Komparatif adalah menelaah perbandingan keadaan ekuilibrium yang berbeda yang dihubungkan dengan himpunan, nilai paremeter, dan variabel eksogen yang berbeda. Perlu dicatat bahwa dalam statika komparatif kita juga mengabaikan proses penyesuaian variabel-variabel; kita hanya membandingkan keadaan ekuilibrium awal (sebelum perubahan) dengan ekuilibrium terakhir (setelah perubahan). Juga, kita menghindari kemungkinan ekuilibrium yang tidak stabil karena kita menganggap ekuilibrium baru dapat dicapai, sama seperti kita lakukan untuk ekulibrium yang lama. Derivatif adalah suatu fungsi , bahkan penggunaan kata derivatif berarti suatu fungsi yang diturunkan. Adapun notasi dari fungsi derivatif yaitu 𝑑𝑦 Δ𝑦 ≡ 𝑓 ′ (𝑥) ≡ lim ∆𝑥→0 Δ𝑥 𝑑𝑥 konsep matematis dari derivatif mempunyai arti yang lebih luas dalam statika komparatif, karena konsep tersebut---yang merupakan salah satu yang paling pokok dalam cabang ilmu matematika. Dikenal sebagai kalkulus diferensial secara langsung berkenaan dengan pengertian tingkat perubahan. Selain itu, kita juga harus mengetahui konsep derivatif yang sangat penting untuk permasalahan optimisasi. Ketidaksamaan adalah transitif. Ini berarti bila a>b dan b>c, maka a>c. Karena kesamaan-kesamaan (persamaan-persamaan) juga transitif, maka sifat transitif harus diterapkan untuk ketidaksamaan yang “lemah” (≥atau≤) serta pada yang kuat (>atau<), Jadi kita peroleh 𝑎 > 𝑏, 𝑏 > 𝑐 ⟹ 𝑎 > 𝑐 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑏 ≥ 𝑐 ⟹ 𝑎 ≥ 𝑐 Seperti halnya persamaan, ketidaksaan yang berisi variabel (katakan, x) dapat mempunyai suatu penyelesaian; bila ada penyelesaian, maka himpunan nilai x akan membuat ketidaksamaan tadi menjadi pernyataan yang benar. Penyelesaian seperti itu biasanya akan menjadi bentuk ketidaksamaan. 1

Perhatian kita terhadap tingkat perubahan yang membawa kita untuk meninjau konsep yang derivatif, karena mempunyai sifat limit dari suatu hasil bagi perbedaan, akan mendorong kita untuk mempelajari pertanyaan-pertanyaan mengenai penilaian dan adanya suatu limit. Proses dasar penilaian limit, melibatkan variabel v yang mendekati suatu bilangan khusus (katakanalah, N) dan mengamati nilai yang didekati q. Untuk mempelajari lebih lengkap, kami menyusun makalah ini sebagai sebuah referensi untuk memudahkan dalam mempelajari konsep statika komparatif dan konsep derivatif.

2

BAB II ISI A. SIFAT DARI STATISTIKA KOMPARATIF Statistika komparatif, sebagaimana tercermin dari namanya, menelaah perbandingan keadaan ekuilibrium yang berbeda yang dihubungkan dengan himpunan, nilai parameter, dan variabel eksogen yang berbeda. Untuk tujuan perbandingan seperti itu, kita selalu mulai dengan mengasumsikan keadaan ekuilibrium awal tertentu. Dalam model pasar tertutup, mislanya ekuilibrium awal seperti itu akan ditunjukkan oleh harga 𝑃’ yang tetap dan kuantitas atau jumlah 𝑄’ yang bersesuaian. Demikian juga, untuk model pendapatan nasional yang sederhana dalam (3.23), ekuilibrium awal akan ditentukan oleh 𝑌’ yang tetap dan 𝐶’ yang bersesuaian. Sekarang jika kita misalkan perubahan ketidakekuilibriuman muncul dalam suatu model dalam bentuk perubahan nilai beberapa parameter atau variabel eksogen tentu saja ekuilibrium awal terganggu. Akibatnya, berbagai variabel endogen harus menjalani penyesuaian tertentu. Jika dianggap bahwa keadaan ekuilibrium baru yang relevan untuk nilai-nilai data baru dapat ditentukan dan dicapai, maka pertanyaan yang diajukan dalam analisis statis komporatif adalah bagaimana membandingkan ekuilibrium yang baru dan yang lama? Dalam statistika komporatif kita juga mengabaikan proses penyesuaian variabel-variabel kita hanya membandingkan keadaan ekuilibrium awal (sebelum perubahan) dengan ekuilibrium terakhir (sesudah perubahan). juga kita menghindari kemungkinan ekuilibrium yang tidak stabil karena kita menganggap ekuilibrium baru dapat dicapai sama seperti kita lakukan untuk ekuilibrium yang lama. Analisis statis komporatif dapat berwujud kualitatif atau kuantitatif. Jika kita hanya tertarik pada pertanyaan, misalnya apakah kenaikan investasi 𝐼0 akan menaikkan atau menurunkan ekuilibrium pendapatan 𝑌’, maka analisis akan menjadi kualitatif karena arah perubahan adalah satu-satunya yang akan ditinjau. Tetapi, jika ingin mengetahui besarnya magnitude perubahn dalam 𝑌′ yang disebabkan oleh perubahan 𝐼0 yang telah ditentukan (yakni besarnya multiplier

3

investasi) maka jelas analisisnya akan menjadi kuantitatif. dengan mendapatkan jawaban kuantitatif secara otomatis kita dapat mengetahui arah perubahan dari tanda aljabar, karena itu analisis kuantitatif selalu mencakup hal yang kualitatif. Hasil dipahami bahwa permasalahan yang sedang dipertimbangkan terutama adalah mencari tingkat perubahan (rate of change) tingkat perubahan nilai ekuilibrium variabel endogen terhadap perubahan parameter khusus atau variabel eksogen. Karena alasan ini, konsep dari derivatif mempunyai arti yang lebih luas dalam statistika komparatif, karena konsep tersebut yang merupakan salah satu yang paling pokok dalam cabang ilmu matematik yang dikenal sebagai kalkulus differensial secara langsung berkenaan dengan pengertian tingkat perubahan. selain itu kita juga harus mengetahui konsep derivatif yang sangat penting untuk permasalahan optimisasi.

B. TINGKAT PERUBAHAN DAN DERIVATIF Meskipun komeks kita sekarang hanya menyangkut tingkat perubahan nilai ekuilibrium dari variabel-variabel dalam suatu model, namun kita dapat melanjutkan

pembahasan

dalam

cara

yang

lebih

umum

dengan

mempertimbangkan tingkat perubahan dari setiap variabel 𝑦 sebagai tanggapan terhadap suatu perubahan dalam variabel 𝑥 yang lain, di mana kedua variabel tersebut saling berhubungan satu sama lain melalui fungsi. 𝑦 = 𝑓(𝑥) Jika dipakai dalam konteks statis komparatif, variabel y akan menunjukkan nilai ekuilibrium variabel endogen, dan x menjadi parameter. Perhatikan bahwa untuk tahap pertama kita membatasi diri pada kasus sederhana dimana hanya ada satu parameter atau variabel eksogen dalam model. Akan tetapi setelah kita mengetahui kasus yang sederhana ini perluasan ke kasus dengan parameter-parameter

yang

lebih

banyak

membuktikannya

4

secara

relative

akan

mudah

Hasil Bagi Perbedaaan (Difference Quotient) Karena pengertian perubahan merupakan hal yang pokok dalam konteks ini, maka untuk menunjukkannya diperlukan symbol khusus. Bila variabel 𝑥 berubah dari nilai 𝑥𝑜 ke nilai varu 𝑥1 , maka perubahan diukur dengan perbedaan 𝑥1 − 𝑥𝑜 . Karena itu penggunaan symbol ∆ (dalam bahasa yunani huruf besar delta berarti perbedaan ) untuk menunjukkan perubahan kita tulis ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥𝑜 . Juga diperlukan cara untuk menunjukkan nilai fungsi 𝑓(𝑥𝑖 ) untuk menyatakan nilai 𝑓(𝑥) bila 𝑥 = 𝑥𝑖 . Jadi , untuk fungsi 𝑓(𝑥) = 5 + 𝑥 2 . Kita perokeh 𝑓(0) = 5 + 𝑥 2 ; dan dengan cara yang sama, 𝑓(2) = 5 + 22 = 9, dan seterusnya. Jika 𝑥 berubah dari nilai awal 𝑥0 ke nilai baru (𝑥0 + ∆𝑥), maka nilai fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) berubah dari 𝑓(𝑥0 ) ke 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥). Perubahan dalam 𝑥 per unit perubahan 𝑥 dapat ditunjukkan oleh hasil-bagi perbedaan (difference quotient). ∆𝑦 ∆𝑥

=

𝑓(𝑥0 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0 ) ∆𝑥

…(6.1) Hasil bagi ini yang mengukur rata-rata tingkat perubahan 𝑦, hanya dapat dihitung bila kita mengetahui nilai awal 𝑥 atau 𝑥0 besarnya perubahan 𝑥 atau ∆𝑥. Yakni, ∆y⁄∆x adalah fungsi dari 𝑥0 dan ∆𝑥. Jika diketahui 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 4. Kita dapat menulis: 𝑓(𝑥0 ) = 3𝑥0 2 − 4 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) = 3(𝑥0 + ∆𝑥)2 − 4 Oleh karena itu, hasil bagi perbedaan adalah ∆𝑦 ∆𝑥

=

3(𝑥0 +∆𝑥)2 −4−(3𝑥0 2 −4) ∆𝑥

=

6𝑥0 ∆𝑥+3(∆𝑥)2 ∆𝑥

= 6𝑥0 + 3∆𝑥

…(6.2) Yang dapat dihitung bila 𝑥0 dan ∆𝑥 diketahui, misalkan 𝑥0 = 3 dan ∆𝑥 = 4; rata-rata tingkat perubahan 𝑦 akan menjadi 6(3) + 3(4) = 30. Ini berarti

5

bahwa, secara rata-rata, bila 𝑥 berubah dari 3 ke 7, perubahan 𝑦 adalah 30 unit per unit perubahan dalam 𝑥.

DERIVATIF Sering kali, kita tertarik dalam tingkat perubahan 𝑦 bila ∆𝑥 sangat kecil. Dalam kasus seperti itu, adalah mungkin untuk memperoleh pendekatan dari ∆𝑦/∆𝑥 dengan menghilangkan seluruh suku dalam hasil bagi perbedaan yang melibatkan ekspresi matematis ∆𝑥. Dalam (6.2), misalnya bila ∆𝑥 sangat kecil, kita dapat memperoleh 6𝑥0 pada sisi kanan sebagai suatu pendekatan dan ∆∆𝑦/∆𝑥. Tentu saja, semakin kecil nilai ∆𝑥, semakin mendekati pendekatan terhadap kebenaran nilai ∆𝑦/∆𝑥. Begitu ∆𝑥 mendekati nol (berarti semakin terus mendekati, tetapi sebenarnya tidak pernah mencapai nol), (6𝑥0 + 3∆𝑥) akan mendekati nilai 6𝑥0 dan begitu pula, ∆𝑦/∆𝑥 juga akan mendekati 6𝑥0 . Secara simbolis, fakta ini dinyatakan oleh pernyataan ∆𝑦/∆𝑥 → 6𝑥0 jika ∆𝑥 → 0, atau dengan persamaan: ∆𝑦 = lim (6𝑥0 + 3∆𝑥) = 6𝑥0 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 lim

Di mana simbol lim dibaca: “limit dari ... jika ∆𝑥 mendekati 0”. Jika, selama ∆𝑥→0

∆𝑥 → 0, limit dari hasil bagi perbedaan ∆𝑦/∆𝑥 ada, limit tersebut dikenal sebagai derivatif dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥). Beberapa sifat dari derivatif harus diperhatikan: Pertama, derivatif adalah suatu fungsi; bahkan, penggunaan kata derivatif berarti suatu fungsi yang diturunkan. Fungsi asal 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah fungsi sederhana (primitive function), dan derivatif adalah fungsi lainnya yang diturunkan darinya. Sementara hasil bagi perbedaan adalah fungsi 𝑥0 dan ∆𝑥. Perhatikan dari (6.3), misalnya bahwa derivatif hanya menurunkan funsi 𝑥0 . Ini karena ∆𝑥 sudah dipaksa mendekati nol, dan karena itu tidak boleh dipandang sebagai variabel lain dalam fungsi. Mari kita juga tambahkan bahwa sejauh ini

6

telah menggunakan tanda dibawah huruf (subscript) simbol 𝑥0 hanya akan menekankan bahwa perubahan dalam 𝑥 harus dimulai dari nilai 𝑥 tertentu. Setelah dipahami, kita dapat menghilangkan tanda dibawah huruf dan secar mudah menyatakan derivatif, seperti halnya fungsi yang sederhana, itu sendiri adalah suatu fungsi dari variabel bebas 𝑥. Ini berarti, untuk setiap nilai 𝑥, terdapat suatu nilai yang bersesuaian untuk fungsi derivatif. Kadua, karena derivatif hanya merupakan limit dari hasil bagi perbedaan, yang mengukur tingkat perubahan, maka derivatif juga harus merupakan suatu pebgukuran dari beberapa tingkat perubahan. tetapi, melihat kenyataan bahwa perubahan 𝑥 yang digambarkan dalam konsep derivatif adalah sangat kecil (yakni ∆𝑥 → 0), tingkat yang diukur oleh derivatif merupakan tingkat perubahan yang segera (instantaneous). Ketiga, ada hal notasi. Fungsi-fungsi derivatif umumnya ditulis dalam dua cara. Jika diketahui fungsi sederhana 𝑦 = 𝑓(𝑥), satu cara penulisan derivatifnya (bila ada) adalah menggunakan simbol 𝑓′(𝑥) atau f”; notasi ini diciptakan oleh ahli matematik Lagrange. Notasi umum yang lain adalah 𝑑𝑦/𝑑𝑥, yang ditemukan oleh ahli matematika Leibniz. (Sebenarnya ada notasi ketiga, 𝐷𝑦 atau 𝐷𝑓(𝑥), tetapi kita tidak akan menggunakannya dalam pembahasan berikut). Notasi 𝑓′(𝑥) yang hampir menyerupai notasi fungsi sederhana 𝑓(𝑥), mempunyai keuntungan dalam penyampaian gagasan bahwa derivatif itu sendiri adalah suatu fungsi 𝑥. Alasan untuk menyatakannya sebagai 𝑓′(𝑥) ketimbang ∅(𝑥) misalnya adalah untuk menekankan bahwa fungsi 𝑓′ diperoleh dari fungsi sederhana 𝑓. Notasi lainnya, 𝑑𝑦/𝑑𝑥, dipergunakan untuk menekankan bahwa nilai derivatif mengukur tingkat perubahan. Huruf 𝑑 adalah huruf latin dari huruf Yunani ∆, dan 𝑑𝑦/𝑑𝑥 berbeda dengan ∆𝑦/∆𝑥 terutama yang pertama adalah limit dari yang terakhir selama ∆𝑥 mendekati nol. Dalam pembahasan berikut, kita akan menggunakan kedua notasi tersebut, tergantung mana yang nampaknya lebih sesuai konteks tertentu.

7

Dengan menggunakan kedua notasi tersebut, kita dapat menentukan derivatif dari fungsi tertentu 𝑦 = 𝑓(𝑥) sebagai berikut: 𝑑𝑦 ∆𝑦 ≡ 𝑓′(𝑥) ≡ lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑑𝑥 Contoh: Berdasarkan pada fungsi 𝑦 = 3𝑥 2 − 4 kita telah menunjukkan hasil bagi perbedaan menjadi (6.2) dan limit hasil bagi tersebut menjadi (6.3). atas dasar yang terakhir, sekarang kita dapat menulis (mengganti 𝑥0 dengan 𝑥). 𝑑𝑦 = 6𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥

Perhatikan bahwa nilai 𝑥 yang berbeda akan memberikan nilai derivatif yang bersesuaian yang juga berbeda. Misalnya, bila 𝑥 = 3, kita peroleh, dengan mensubtitusi 𝑥 = 3 dalam ekspresi 𝑓′(𝑥), bahwa 𝑓 ′ (3) = 6(3) = 18; demikian juga, apabila 𝑥 = 4, kita peroleh 𝑓 ′ (4) = 6(4) = 24. Jadi, jika 𝑓′(𝑥) melambangkan fungsi derivatif. Ekspresi 𝑓 ′ (3)𝑑𝑎𝑛 𝑓′(4) masing-masing menyatakan nilai derivatif spesifik.

C. DERIVATIF DAN KEMIRINGAN Ilmu ekonomi dasar mengatakan kepada kita bahwa jika diketahui suatu fungsi biaya total 𝐶 = 𝑓(𝑄), dimana 𝐶 menunjukkan biaya total dan 𝑄 output, biaya marjinal (𝑀𝐶) didefinisikan sebagai perubahan dalam biaya total yang dihasilkan dari satu unit tambahan output; yaitu 𝑀𝐶 =

∆𝐶 ∆𝑄

. Pahami bahwa ∆𝑄

berubah sangat kecil. Untuk produk yang mempunyai unit yang diskrit (hanya bilangan bulat), perubahan satu unit adalah perubahan terkecil yang mungkin; tetapi untuk produk yang jumlahnya adalah variabel yang kontinu, ∆𝑄 akan menunjukkan perubahan yang sangat kecil untuk kasus yang terkahir ini, telah dikenal bahwa biaya marginal dapat diukur oleh kemiringan kurva biaya total. Kemiringan kurva biaya total tak lain adalah limit dari rasio

8

∆𝐶 ∆𝑄

, bila ∆𝑄

mendekati nol. Jadi, konsep kemiringan kurva tak lain adalah konsep geometris ke konsep derivatif. Keduanya berhubungan dengan gagasan mengenai “marginal” yang begitu luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi. Dalam gambar 6.1, ditunjukkan kurva biaya total 𝐶, yang merupakan grafik fungsi sederhana 𝐶 = 𝑓(𝑄). Misalkan bahwa kita menganggap 𝑄0 sebagai tingkat output awal untuk mengukur kenaikan output: jadi titik yang relevan dalam kurva biaya berada pada 𝐴. Bila output dinaikkan menjadi 𝑄0 + ∆𝑄 = 𝑄2 , biaya total akan naik dari 𝐶0 ke 𝐶0 + ∆𝐶 = 𝐶2 ; jadi geometris, ini adalah rasio dari dua segmen garis,

𝐸𝐵 𝐴𝐸

∆𝐶 ∆𝑄

=

(𝐶2 −𝐶0 )

. Secara

(𝑄2 −𝑄0 )

, atau kemiringan dari garis

𝐴𝐵. Perbandingan atau rasio khusus ini mengukur tingkat perubahan rata-rata (biaya marginal rata-rata untuk ∆𝑄 tertentu yang terlihat pada gambar) dan menunjukkan hasi bagi perbedaan. Dengan demikian, ini adalah fungsi nilai awal 𝑄0 dan jumlah perubahan ∆𝑄.

Gambar 6.1 Apa yang terjadi bila kita mengubah besarnya ∆𝑄? Bila diberikan suatu kenaikan output yang kecil (katakan, hanya dari 𝑄0 ke 𝑄1), maka biaya marginal rata-rata akan diukur oleh kemiringan garis 𝐴𝐷. Selanjutnya, bila kita mengurangi

9

kenaikan output secara terus menerus akan diperoleh garis yang makin lama makin mendatar sampai akhirnya, dalam limit (untuk ∆𝑄 → 0) kita peroleh garis 𝐾𝐺 (yang merupakan garis tangen) kurva biaya pada titik sebagai garis yang 𝐻𝐺

relevan.kemiringan 𝐾𝐺 = (𝐾𝐻) mengukur kemiringan kurva biaya total pada titik ∆𝐶

A dan menunjukkan limit dan ∆𝑄, untuk ∆𝑄 → 0, bila output awal adalah 𝑄 = 𝑄0 , oleh karena itu, dalam hubungannya dengan derivatif, kemiringan kurva 𝐶 = 𝑓(𝑄) pada titik A dapat disamakan dengan nilai derivatif khusus 𝑓′(𝑄0 ). Bagaimana bila tingkat output awal berubah dan 𝑄0 ke, katakan, 𝑄2 ? Dalam kasus tersebut titik 𝐵 pada kurva akan menggantikan titik A sebagai titik yang relevan, dalam kemiringan kurva pada titik B yang abru akan memberikan nilai derivatif 𝑓′(𝑄2 ). Hasil-hasil yang sejalan dapat diperoleh untuk pilahan tingkat output awal. Secara umum, derivatif 𝑓′(𝑄) suatu fungsi Q akan bervariasi bila Q berubah.

D. KONSEP LIMIT Derivatif 𝑑𝑦/𝑑𝑥 telah didefinisikan sebagai limit dari hasil bagi perbedaan ∆𝑦/∆𝑥 untuk ∆𝑥 → 0. Bila kita menggunakan cara penulisan yang singkat dengan simbol 𝑞 = ∆𝑦/∆𝑥 (𝑞 untuk hasil bagi) dan 𝑣 = ∆𝑥 (𝑣 untuk variasi dalam nilai 𝑥), kita peroleh 𝑑𝑦 ∆𝑦 = lim = lim 𝑞 𝑑𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑣→0 Mengingat bahwa konsep derivatif sangat mengandalkan pada gagasan limit, maka penting sekali bagi kita untuk mendapatkan ide yang jelas mengenai gagasan tersebut. Limit sisi-kiri dan limit sisi-kanan Konsep limit berhubungan dengan pertanyaan “berapa nilai pendekatan satu variabel (katakan 𝑞) bila variabel lain (katakan, 𝑣) mendekati nilai tertentu (katakan, nol).” agar pertanyaan ada artinya, tentu saja 𝑞 harus merupakan fungsi

10

𝑣, katakan, 𝑞 = 𝑔 (𝑣). Hal yang sangat menjadi perhatian kita adalah mencari limit 𝑞 untuk 𝑣 → 0, tetapi secara mudah kita dapat menunjukkan kasus yang lebih umum. 𝑣 → 𝑁, dimana 𝑁 adalah bilangan nyata terbatas (𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒) manapun jadi, lim 𝑞 hanya akan menjadi kasus khusus lim 𝑞 dimana 𝑁 = 0. Dalam 𝑣→0

𝑣→𝑁

pembahasan sebelumnya kita juga harus mempertimbangkan limit dari 𝑞 untuk 𝑣 → +∞ (positif tak terhingga) atau untuk 𝑣 = −∞ (negatif tak terhingga). Bila kita mengatakan 𝑣 → 𝑁, variabel 𝑣 dapat mendekati bilangan 𝑁 dengan nilai yang lebih besar daripada 𝑁, atau dengan nilai yang lebih kecil daripada 𝑁. Bila, untuk 𝑣 → 𝑁 dan sisi kiri (dan nilai yang lebih kecil daripada 𝑁), 𝑞 mendekati suatu bilangan terbatas (𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒) 𝐿, yang kita sebut 𝐿 limit sisi kiri dari 𝑞. Sebaliknya, bila 𝐿 adalah bilangan dimana 𝑞 setuju pada 𝑣 = 𝑁 dan sisi kanan (dan nilai yang lebih besar daripada 𝑁), kita menyebut 𝐿 limit sisi kanan dari 𝑞. Limit sisi kanan dari sisi kiri mungkin atau tidak mungkin sama. Limit sisi kiri dari 𝑞 diberi simbol dengan lim− 𝑞 (tanda negatif untuk 𝑣→𝑁

menunjukkan nilai yang lebih kecil daripada 𝑁), dan limit sisi kanan ditulis sebagai lim+ 𝑞. Jika dan hanya jika kedua limit mempunyai nilai terbatas yang 𝑣→𝑁

umum (katakan, 𝐿) kita menganggap limit 𝑞 terbatas. Bila kita mempunyai suatu keadaan dimana lim 𝑞 = ∞ (atau −∞), kita harus menganggap 𝑞 tidak 𝑣→𝑁

mempunyai limit, karena lim 𝑞 = ∞ berarti bahwa 𝑞 → ∞ untuk 𝑞 → 𝑁, dan bila 𝑣→𝑁

nilai 𝑞 dianggap tetap naik untuk 𝑣 mendekati 𝑁, maka akan bertentangan untuk mengatakan 𝑞 mempunyai limit. Namun sebagai cara yang lebih baik untuk mengatakan bahwa 𝑞 → ∞ untuk 𝑣 → 𝑁, orang menulis lim 𝑞 = ∞ dan 𝑣→𝑁

mengatakan 𝑞 mempunyai “limit tak terbatas” (infinite limit). Dalam

kasus

tertentu,

hanya

limit

dari

satu

sisi

yang perlu

dipertimbangkan. Untuk memperoleh limit dari 𝑞 untuk 𝑣 → +∞, misalnya, hanya limit sisi kiri dari 𝑞 yang relevan, karena 𝑣 dapat mendekati +∞ hanya dari kiri. Demikian juga, untuk kasus 𝑣 → −∞, hanya limit sisi kanan yang relevan. Apakah limit dari 𝑞 ada dalam kasus-kasus ini, semuanya tergantung pada apakah 𝑞 mendekati nilai terbatas untuk 𝑣 → +∞, atau untuk 𝑣 → −∞.

11

Adalah penting untuk menyadari bahwa simbol ∞ (tak terhingga) bukan suatu bilangan, dan oleh karena itu, tidak dapat dipakai dalam operasi aljabar biasa. Kita tidak dapat mempunyai 3 + ∞ atau 1/∞; kita tidak dapat menulis 𝑞 = ∞, yang tidak sam dengan 𝑞 → ∞. Akan tetapi, dapat diterima untuk menyatakan limit dari 𝑞 sebagi " = " (berlawanan dengan →) ∞, karena ini hanya menunjukkan bahwa 𝑞 → ∞. Penjelasan secara grafik Dalam Gambar 6.2, mari kita bahas beberapa situasi yang mungkin berkenaan dengan limit dari suatu fungsi 𝑞 = 𝑔(𝑣). Gambar 6.2a, menunjukkan suatu kurva yang rata atau halus. Sementara variabel 𝑣 tertuju kenilai 𝑁 dan sisi sumbu horizontal, variabel 𝑞 tertuju kenilai 𝐿. Dalam hal ini, limit sisi-kiri sama dengan limit sisi-kanan; oleh karena itu, kita dapat menulis lim 𝑞 = 𝐿. 𝑣→𝑁

Kurva yang digambar dalam Gambar 6.2b tidak rata; kurva tersebut mempunyai titik belok yang tajam di atas titik 𝑁. Meskipun demikian, bila 𝑣 tertuju ke 𝑁 dari salah sati sisi, 𝑞 kembali tertuju ke nilai 𝐿 yang sama. Limit dari 𝑞 kembali ada dan sama dengan 𝐿.

Gambar 6.2

12

Gambar 6.2c menunjukkan apa yang dikenal sebgai fungsi tangga (𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛)+ . Dalam hal ini, bila 𝑣 menuju ke 𝑁, limit sisi kiri dari 𝑞 adalah 𝐿1 , tetapi limit sisi kanan adalah 𝐿2 , yaitu bilangan yang berbeda. Karena itu, 𝑞 tidak mempunyai limit untuk 𝑣 → 𝑁. Terakhir, dalam Gambar 6.2d, bila 𝑣 tertuju ke 𝑁, limit sisi kiri dari 𝑞 adalah −∞ sedangkan limit sisi kanan adalah +∞, karena kedua bagian kurva (hyperbolic) akan turun dan naik untuk jangka waktu yang tak terhingga (indefinitely) sewaktu mendekati garis vertikal yang terputus putus sebagai suatu asimtotnya. Sekali lagi lim 𝑞 juga tidak ada. Di lain pihak, bila kita menetapkan 𝑣→𝑁

suatu jenis limit yang berbeda dalam diagram 𝑑, yakni lim 𝑞, maka hanya limit 𝑣→+∞

sisi kiri yang berhubungan, dan kita peroleh limit tersebut: lim 𝑞 = 𝑀. Dengan 𝑣→+∞

cara yang sama anda dapat membuktikan juga bahwa lim 𝑞 = 𝑀. 𝑣→−∞

Juga mungkin untuk menggunakan konsep limit sisi kiri dan kanan untuk pembahasan biaya marjinal dalam gambar 6.1. dalam konteks tersebut, variabel 𝑞 ∆𝐶

dan 𝑣 masing-masing akan berhubungan dengan hasil bagi ∆𝑄 dan dengan besaran dari 𝐴𝑄, dengan seluruh perubahan diukur dari titik A pada kurva. Dengan kata lain, 𝑞 akan berhubungan dengan kemiringan dari garis seperti AB, AD, dan KG, sedangkan 𝑣 akan berhubungan dengan panjang garis seperti 𝑄0 𝑄2 (= 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐸) dan 𝑄𝑛 𝑄1 (= 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐹). Kita telah melihat bahwa, bila mendekati nol dari suatu nilai positif, 𝑞 dan mendekati nilai yang sama dengan kemiringan garis KG. Demikian pula, kita dapat menentukan bahwa, bila ∆𝑄 mendekati nol dan suatu nilai negatif (yakni, bila penurunan output menjadi semakin kecil), hasil bagi ∆𝐶/∆𝑄, bila diukur dengan kemiringan dari garis RA (tidak digambar), juga akan mendekati nilai yang sama dengan kemiringan garis KG. Memang, keadaan ini sangat mirip dengan yang ditunjukkan dalam gambar 6.2a. Jadi, kemiringan KG dalam gambar 6.1 (bentuk lain dari L dalam gambar 6.2) sesungguhnya adalah limit dari hasil dari q untuk v mendekati nol, dan hal seperti itu akan memberikan biaya marjinal pada tingkat output 𝑄 = 𝑄0.

13

Penilaian dari suatu Limit Sekarang mari kita ilustrasi aljabar dari limit fungsi 𝑞 = 𝑔(𝑣). Contoh 1 Jika diketahui 𝑞 = 2 + 𝑣 2 , carilah lim 𝑞 untuk mendapatkan limit sisi kiri, kita 𝑣→0

1

1

mensubtitusikan serangkaian nilai negatif -1, − 10 , − 100 , … (dalam urutan seperti itu) dengan v dan mendapatkan bahwa (2 + 𝑣 2 ) akan menurun secara teratur dan mendekati 2 (karena 𝑣 2 akan secara bertahap mendekati nol). Selanjutnya, untuk 1

1

limit sisi kanan , kita subtitusi serangkaian nilai positif 1, 10 , 100 , … (dalam urutan seperti itu) dengan v dan hitunglah limit yang sama seperti sebelumnya. Karena kedua limit adalah sama, kita menganggap limit dari q ada dan menulis lim 𝑞 = 2. 𝑣→0

Cukup menggoda untuk menganggap jawaban yang baru saja diperoleh dari contoh 1 sebagai hasil dari penetapan v=0 dalam persamaan 𝑞 = 2 + 𝑣 2 , tetapi gidaan ini harus ditolak. Dalam menilai lim 𝑞. Kita hanya memisalkan vcondong 𝑣→𝑁

ke N, tetapi tidak embiarkan 𝑣 = 𝑁. Dan memamng secara sah kita dapat membahas limit dari q untuk 𝑣 → 𝑁, meskipun N tidak dalam domain fungsi 𝑞 = 𝑔(𝑣). Dalam kasus yang terakhir ini, bila kita mencoba menetapkan 𝑣 = 𝑁, q jelas tidak dapat ditentukan. Contoh 2 Jika diketahui 𝑞 =

1−𝑣 2 1−𝑣

, hitunglah lim 𝑞. Di sini N=1 tidak dalam domain suatu 𝑣→1

fungsi, dan tidak dapat menetapan v=1 karena akan berakibat pembagian dengan nol. Selanjutnya, prosedur penilaian limit pun menganggap 𝑣 → 1, seperti yang dipergunakan dalam contoh 1, akan menimbulkan kesulitan , karena penyebyt (1 − 𝑣) akan mendekati nol bila 𝑣 → 1, dan kita tetap tidak akan dapat melakukan pembagian dalam limit. Salah satu jalan keluar dari kesulitan ini adalah mencoba mengubah rasio yang telah diketahui menjadi suatu bentuk dimana v tidak akan muncul dalam penyebut . karena 𝑣 → 1 secara tidak langsung berarti bahwa 𝑣 ≠ 1, sehingga (1 − 𝑣)

14

tidak nol, maka adalah sah untuk membagi ekspresi (1 − 𝑣 2 ) dengan (1 − 𝑣), dan menulis 𝑞=

1 − 𝑣2 = 1 + 𝑣 (𝑣 ≠ 1) 1−𝑣

Dalam ekspresi yang baru untuk q ini, tidak ada lagi penyebut dengan v di dalamnya. Karena (1 − 𝑣) → 2 untuk 𝑣 → 1 dari sisi yang lain, kita dapat menyimpulkan bahwa lim 𝑞 = 2. 𝑣→1

Contoh 3 Jika diketahui 𝑞 =

2𝑣+5 𝑣+1

, hitunglah lim 𝑞. Variable v muncul kembali baik dalam 𝑣→+∞

pembilang maupun penyebut. Bila kita misalkan 𝑣 → +∞ untuk keduanya, hasilnya kan menjadi rasio antara dua bilangan tak terhingga yang tidak mempunyai arti yang jelas. Untuk memecahkan kesulitan ini, kita kali ini mencoba untuk mengubah rasio yang telah diketahui menjadi bentuk dimana variable v tidak akan muncul dalam pembilang. Ini dapat diselesaikan dengan membagi rasio atau perbandingan yang diketahui. Namun karena (2𝑣 + 5) tidak dapat dibagi rata oleh (𝑣 + 1) , maka hasilnya akan berisi suku yang tersisa sebagai berikut: 𝑞=

2𝑣 + 5 3 = 2+ 𝑣+1 𝑣+1

Tetapi biar bagaimanapun, ekspresi yang baru dari q ini tidak lagi berisi v dalam pembilangnya. Bila diperhatikan suku sisanya

3 𝑣+1

→ 0 untuk 𝑣 → +∞ kita dapat

menyimpulkan bahwa lim 𝑞 = 2. Ada juga beberapa dalil-dalil yang berguna 𝑣→+∞

untuk penilaian limit. Ini akan di bahas dalam Bagian 6.6 Pandangan Resmi dari Konsep Limit Pembahasan di atas seharusnya telah menyajikan beberapa pemikiran umum mengenai konsep limit. Sekarang mari kita memberikan pemikiran umum mengenai konsep limit. Sekarang mari kita memberi tahu defenisi yang tepat. Karena defenisi seperti itu akan mengakibatkan penggunaan konsep “di sekitar”

15

(neighborhood) titik pada suatu garis (terutama, bilangan tertentu sebagai titik pada garis bilangan nyata), kita terlebih dahulu menjelaskan istilah yang terakhir. Untuk bilangan L tertentu, selalu dapat dicari bilangan (𝐿 − 𝑎1 ) < 𝐿 dan bilangan lainnya (𝐿 + 𝑎2 ) > 𝐿, dimana 𝑎1 dan 𝑎2 adalah bilangan positif yang arbitrer. Himpunan seluruh bilangan yang terletak di antara (𝐿 − 𝑎1 ) dan (𝐿 + 𝑎2 ) dimasukkan dalam himpunan, maka himpunan itu disebut interval tertutup, bila dikeluarkan maka himpunan tersebut adalah interval terbuka. Interval tertutup antara (𝐿 − 𝑎1 ) dan (𝐿 + 𝑎2 ) dinyatakan dengan tanda [ ] [𝐿 − 𝑎1 , 𝐿 + 𝑎2 ] ≡ [𝑞|𝐿 − 𝑎1 ≤ 𝑞 ≤ 𝐿 + 𝑎2 ] Dan interval terbuka dinyatakan dengan tanda kurung: (𝐿 − 𝑎1 , 𝐿 + 𝑎2 ) ≡ {𝑞| 𝐿 − 𝑎1 ≤ 𝑞 ≤ 𝐿 + 𝑎2 } (6.4) Jadi, [ ] berhubungan dengan tanda ketidak samaan yang lemah ≤, sedangkan ( ) berhubungan dengan tanda ketidaksamaan <. Tetapi dalam kedua jenis interval itu bilangan yang lebih kecil (𝐿 − 𝑎1) selalu ditulis lebih dahulu. Nanti, kita juga mempunyai kesempatan untuk mempergunakan interval setengah terbuka (halfopen) dan setengah tertutup (half-closed) seperti (3,5] dan [6,∞) yang mempunyai arti sebagai berikut : (3,5] ≡ {𝑥|3 < 𝑥 ≤ 5}

[6, ∞) ≡ {𝑥|6 ≤ 𝑥 < ∞)

Sekarang kita dapat mendefinisikan titik di sekitar L untuk menjadi interval terbuka seperti ditentukan dalam (6,4), yang menentukan interval yang “mencakup” bilangan L. tergantung pada besarnya bilangan-bilangan 𝑎1 dan 𝑎2 yang beruba-ubah, adalah mungkin untuk membentuk berbagai bilangan disekitar bilangan L tertentu; dengan menggunakan konsep bilangan di sekitar, limit dari suatu fungsi dapat didefenisikan sebagai berikut: Bila v mendekati bilangan N, limit 𝑔 = 𝑔(𝑣) adalah bilangan L, namun bila, untuk setiap bilangan disekitar L yang dapat dipilih, sekecil apapun, dapat dicari bilangan disekitarnya yang bersesuaian dengan N(kecuali titik v=N) dalam

16

domain fungsi itu sedemikian rupa sehingga untuk setiap nilai v dalam bilangan di sekitar N, gambarannya terletak dalam bilangan disekitar L yang dipilih. Pernyataan ini dapat dijelaskan dengan bantuan Gambar 6.3 yang menyerupai Gambar 6.2a. seperti yang dipelajari pada gambar 6.2a, kita ketahui bahwa lim 𝑞 = 𝐿 dalam gambar 6.3. Mari kita tunjukkan bahwa L memang 𝑣→𝑁

memenuhi defenisi baru dari suatu limit. Sebagai langkah pertama, pilihlah bilangan sebarang disekitar L yang kecil, katakanlah (𝐿 − 𝑎1 , 𝐿 + 𝑎2 ).(ini harus dibuat sekecil mungkin, tetapi harus cukup besar untuk dapat dipertunjukkan). Sekarang bentuklah bilangan disekitar N,

katakanlah

(𝑁 − 𝑏1 , 𝑁 + 𝑏2 ),

sedemikian rupa sehingga kedua bilangan disekitar tersebut(bila diperluas menjadi kuadran I) secara bersama-sama akan membentuk persegi-empat (daerah gelap dalam gambar) dengan kedua sudutnya terletak pada kurva yang ditentukan. Jadi, dapat dibuktikan bahwa, untuk setiap nilai v di sekitar N (tidak termasuk v=N), nilai yang bersesuaian dengan 𝑞 = 𝑔(𝑣) terletak dalam bilangan disekitar L yang dipilih. Dalam kenyataanya, berapa pun kecilnya bilangan di sekitar L yang kita pilih, bilangan disekitar N(yang bersesuaian kecilnya)dapat dicari dengan

sifat yang baru saja disebut. Jadi L memenuhi defenisi limit seperti yang yang telah ditunjukkan. Gambar 6.3

17

Kita dapat juga menerapkan defenisi di atas pada fungsi tangga dan gambar 6.2c untuk menunjukkan bahwa baik 𝐿1 maupun 𝐿2 tidak memenuhi lim 𝑞. Bila kita memilih bilangan disekitar 𝐿1 yang sangat kecil- katakanlah

𝑣→𝑁

selebar rambut untuk setiap sisi 𝐿1 - maka, apapun bilangan disekitar N yang kita pilih, persegi-empat yang berhubungan dengan kedua tetangga tidak mungkin menutup tangga terbawah dari fungsi. Akibatnya, untuk setiap nilai 𝑣 > 𝑁, nilai q yang bersesuaian (terletak pada tangga terbawah) tidak akan menjadi bilangan di sekitar 𝐿1 , sehingga 𝐿1 gagal dalam pengujian limit. Dengan alas an serupa 𝐿2 juga ditolak sebagai calon untuk lim 𝑞. Sebenarnya, dalam hal ini tidak ada limit q 𝑣→𝑁

untuk 𝑣 → 𝑁. Pemenuhan defenisi dapat juga diperiksa secara aljabar selain dari grafik. Misalnya, perhatikan kembali fungsi

𝑞=

1 − 𝑣2 = 1 + 𝑣 (𝑣 ≠ 1) 1−𝑣 (6.5)

Telah ditemukan dalam contoh 2 bahwa lim 𝑞 = 2. Jadi disini kita peroleh 𝑁 = 1 𝑣→1

dan 𝐿 = 2. Untuk membuktikan 𝐿 = 2 memang limit q, kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap bilangan disekitar L yang dipilih, (2 − 𝑎1 , 2 + 𝑎2 ), terdapat juga bilangan disekitar N, (1 − 𝑏1 , 1 + 𝑏2 ), sehingga kapan saja v adalah bilangan disekitar N, q pasti dalam bilangan disekitar L yang dipilih. Ini terutama berarti bahwa untuk nilai 𝑎1 dan 𝑎2 tertentu, bagaimanapun kecilnya, dua bilangan 𝑏1 dan 𝑏2 pasti ditemukan, sehingga bilamana ketidaksamaan 1 − 𝑏1 < 𝑣 < 1 + 𝑏2

(𝑣 ≠ 1) (6.6)

Dipenuhi ketidaksamaan lain dengan bentuk 2 − 𝑎1 < 1 + 𝑣 < 2 + 𝑎2 (6.7’)

18

Ini dapat diubah kedalam ketidaksamaan (dengan mengurangi 1 dari setiap sisi) 1 − 𝑎1 < 𝑣 < 1 + 𝑎2 (6.7’’) Perbandingan (6.7’’)- yang merupakan varians dari (6.7)- dengan (6.6) akan menyatakan bahwa bila kita pilih kedua bilangan 𝑏1 dan 𝑏2 menjadi 𝑏1 = 𝑎1 dan 𝑏2 = 𝑎2 , kedua ketidaksamaan (6.6) dan (6.7) selalu dipenuhi secara serempak. Jadi, bilangan disekitar 𝑁, (1 − 𝑏1 , 1 + 𝑏2 ), sebagaimana di syaratkan dalam definisi limit, dapat dicari untuk kasus 𝐿 = 2 sebagai limit. Sekarang mari kita menggunakan definisi limit dalam cara yang berlawanan, untuk menunjukkan bahwa nilai lainnya(katakana, 3) tidak dapat memenuhi syarat untuk lim 𝑞 untuk fungsi dalam (6.5). bila 3 adalah limitnya, 𝑣→1

maka harus benar bahwa untuk setiap “bilangan di sekitar” titik 3 yang dipilih, (3 − 𝑎1 , 3 + 𝑎2 ), terdapat bilangan disekitar 1,(1 − 𝑏1 , 1 + 𝑏2 ), sehingga kapan saja v terdapat dalam bilangan disekitar yang terakhir, q harus dalam bilangan disekitar sebelumnya. Jadi, kapan saja ketidaksamaan 1 − 𝑏1 < 𝑣 < 1 + 𝑏2 Dipenuhi, ketidaksamaan yang lain dengan bentuk 3 − 𝑎1 < 1 + 𝑣 < 3 + 𝑎2 Atau 2 − 𝑎1 < 𝑣 < 2 + 𝑎2 Juga harus dipenuhi. Satu-satunya cara untuk mendapatkan hasil ini adalah memilih 𝑏1 = 𝑎1 − 1 dan 𝑏2 = 𝑎2 + 1. Ini secara tidak langsung berarti bahwa bilangan disekitar 1 menjadi interval terbuka (2 − 𝑎1 , 2 + 𝑎2 ). Namun memenuhi definisi limit, 𝑎1 dan 𝑎2 dapat secara sebarang dibuat kecil, katakanlah 𝑎1 = 𝑎2 = 0,1. Dalam hal ini, interval yang disebut terakhir akan berubah menjadi (1,9:2,9) yang seluruhnya terletak disebelah kanan titik 𝑣 = 1 pada sumbu horizontal, sehingga tidak berlaku sebagai bilangan disekitar 1. Jadi, definisi limit tidak dapat dipenuhi oleh bilangan 3. Prosedur yang sama dapat dapat dilakukan untuk

19

menunjukkan bahwa setiap bilangan selain daripada 2akan bertentangan dengan definisi limit dalam kasus ini. Secara umum, bila suatu bilangan memenuhi definisi limit q untuk 𝑣 → 𝑁, maka tidak ada bilangan lain yang dapat memenuhinya. Bila suatu limit ada, maka itu merupakan satu-satunya. E. PENYIMPANGAN DALAM KETIDAKSAMAAN DAN NILAI-NILAI ABSOLUT

Kita telah beberapa kali menemui tanda ketidaksamaan. Dalam pembahasan pada Bagian 6.4, kita juga menerapkan operasi matematis terhadap ketidaksamaan. Dalam mengubah (6.7’)menjadi (6.7’’), misalnya, kita kurangi 1 dari setiap sisi ketidaksamaan. Apa aturan operasi yang diterapkan pada ketidaksamaan (sebagai lawan dari kesamaan)? Aturan Ketidaksamaan Untuk memulainya, mari kita nyatakan sifat penting dari ketidaksamaan : ketidaksamaan adalah transitif. Ini berarti, bila 𝑎 > 𝑏 dan bila 𝑏 > 𝑐. Karena kesamaan-kesamaan (persamaan-persamaan) juga transitif, maka sifat transitif harus ditetapkan untuk ketidaksamaan yang “lemah” (≥ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≤) serta pada yang kuat (> atau <) . Jadi kita peroleh 𝑎 > 𝑏, 𝑏 > 𝑐 → 𝑎 > 𝑐 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑏 ≥ 𝑐 → 𝑎 ≥ 𝑐 Sifat ini mungkin penuisan ketidaksamaan kontinu (continued inequality), seperti 3 < 𝑎 < 𝑏 < 8 atau 7 ≤ 𝑥 ≤ 24. (Dalam penelitian ketidaksamaan kontinu, tanda ketidaksamaan sebagai aturan harus disusun dalam arah yang sama, biasanya bilangan yang terkecuali di sebelah kiri). Aturan ketidaksamaan yang paling penting adalah yang menyangkut pertambahan (pengurangan) suatu bilangan ke(dari) ketidaksamaan, perkalian atau pembagian ketidaksamaan oleh suatu bilangan, dan perkalian ketidaksamaan. Secara khusus, aturan ini adalah sebagi berikut :

20

Aturan I (pertambahan dan pengurangan ) 𝑎 > 𝑏 → 𝑎 ± 𝑘 > 𝑏 ± 𝑘 Ketidaksamaan akan terus berlaku bila besaran yang sama ditambahkan kea tau dikurangkan dari sisi setiap sisi. Aturan ini secara umum adalah : Bila 𝑎 > 𝑏 > 𝑐, maka 𝑎 ± 𝑘 > 𝑏 ± 𝑘 > 𝑐 ± 𝑘 Aturan II (perkalian dan pembagian) 𝑎>𝑏→{ Perkalian kedua sisi dengan

𝑘𝑎 > 𝑘𝑏 (𝑘 > 0) 𝑘𝑎 < 𝑘𝑏 (𝑘 < 0) bilangan positif

akan mempertahankan

ketidaksamaan, tetapi perkalian bilangan negatif akan mengakibatkan arti (atau arah) ketidaksamaan menjadi berlawanan. Contoh 1 Karena 6 > 5 , perkalian dengan 3 akan menghasilkan (3)6 < (3)5, atau 18 < 15; tetapi perkelian dengan -3 akan menghasilkan (−3)6 < (−3)5, atau −18 < −15; Pembagian suatu ketidaksamaan dengan bilangan n adalah sama dengan perkalian dengan bilangan 1/n; karena itu aturan dalam pembagian digolongkan dalam aturan perkalian. Aturan III (perkuadratan) 𝑎 > 𝑏, (𝑏 ≥ 0) → 𝑎2 > 𝑏 2 Bila kedua sisi nonnegatif, ketidaksamaan akan terus berlaku bila kedua sisi dikuadratkan Contoh 2 Karena 4>3 dan karena kedua sisi positif, maka diperoleh, 42 > 32 ,atau 16 > 9. Demikian juga dengan 2 > 0 maka 22 > 02 atau 4 > 0. Ketiga aturan diatas telah dinyatakan dalam suku-suku ketidaksamaan yang kuat tetapi kebenarannya tidak berubah bila tanda > diganti dengan tanda ≥

21

Nilai Absolut dan Ketidaksamaan Jika domain variable x adalah interval terbuka (a,b), maka domain itu dapat ditunjukkan dengan himpunan {𝑥|𝑎 < 𝑥 < 𝑏} atau lebih sederhana, dengan ketidaksamaan 𝑎 < 𝑥 < 𝑏. Demikian juga bila merupakan interval tertutup [𝑎, 𝑏] maka dapat dinyatakan dengan ketidaksamaan lemah 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Dalam kasus khusus interval berbentuk (−𝑎, 𝑎) – katakana(-10,10)- dapat dinyatakan baik dengan ketidaksamaan −10 < 𝑥 < 10 atau dengan cara lain oleh ketidaksamaan |𝑥| < 10 Dimana symbol |x| menunjukkan nilai absolut (nilai numerik) dan x. Untuk setiap bilangan nyata n, nilai absolut n ditentukan sebagai berikut: (𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑛 > 0) 𝑛 |𝑛| ≡ { −𝑛 (𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑛 < 0) (𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑛 = 0) 0 (6.8) Perhatikan bahwa, bila n=15, maka |15|=15; tetapi bila n=-15, kita juga memperoleh |−15| = −(−15) = 15 Oleh karena itu, sebenarnya nilai absolut dari setiap bilangan nyata jelas adalah nilai angkanya setelah tandanya dihilangkan. Karena alas an ini, kita selalu memperoleh |n|=|-n|. Nilai absolut n juga disebut modulus n. Bila diketahui ekspresi |x|=10, kita dapat mengambil kesimpulan dari (6.8) bahwa x harus 10 atau -10. Dengan pembuktian yang sama, ekspresi |x|<10 berarti bahwa (1) bila x>0, maka 𝑥 ≡ |𝑥| < 10, sehingga x harus lebih kecil dari 10; tetapi juga(2) bila x < 0, maka berdasarkan (6.8). Kita peroleh −𝑥 ≡ |𝑥| < 10, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > −10, sehingga x harus lebih besar dari pada -10. Karena itu, dengan

22

menggabungkan kedua bagian hasil ini, kita ketahui bahwa x harus terletak dalam interval terbuka (-10,10). Secara umum, kita dapat menulis |𝑥| < 𝑛 ↔ −𝑛 < 𝑥 < 𝑛 (𝑛 > 0) (6.9) Yang juga dapat diperluas menjadi ketidaksamaan lemah sebagai berikut: |𝑥| ≤ 𝑛 ↔ −𝑛 ≤ 𝑥 ≤ 𝑛 (𝑛 ≥ 0) (6.10) Karena merupakan bilangan, maka nilai absolut kedua bilangan m dan n dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi. Berikut ini adalah sifat-sifat nilai yang mencirikan nilai absolut : |𝑚| + |𝑛| ≥ |𝑚 + 𝑛| |𝑚|. |𝑛| = |𝑚. 𝑛| |𝑚| 𝑚 =| | |𝑛| 𝑛 Cukup menarik bahwa yang pertama ini, melibatkan ketidaksamaan dan bukan persamaan. Alasanya dapat dengan mudah dilihat: mengingat ekspresi sebelah kiri |𝑚| + |𝑛| pasti adalah jumlah dua nilai numerik (keduanya positif), maka ekspresi |𝑚 + 𝑛| adalah nilai numerik dari jumlah manapun(bil m dan n keduanya positif) atau perbedaan(bila m dan n mempunyai tanda yang berlawanan). Jadi, sisi kiri dapat melebihi sisi kanan. Contoh 3 Bila m = 5 dan n = 3 maka |𝑚| + |𝑛| = |𝑚 + 𝑛|=8. Tetapi bila m = 5 dan n = -3, maka |𝑚| + |𝑛| = 5 + 3 = 8, sedangkan |𝑚 + 𝑛| = |5 − 3| = 2 Adalah bilangan yang lebih kecil.

23

Dilain pihak, dua sifat lainnya tidak akan ada bedanya apakah m dan n mempunyai tanda yang sama atau berlawanan, karena nilai absolut hasil perkalian atau hasil bagi tanda suku terakhir akan berubah dalam setiap kasus.

Contoh 4 Bila m =7 dan n = 8 maka |𝑚|. |𝑛| = |𝑚. 𝑛| = 7(8) = 56. Tetapi walaupun m = 7 dan n = 8 (tanda berlawanan), kita tetap memperoleh hasil yang sama dari |𝑚|. |𝑛| = |−7|. |8| = 7(8) = 56. Dan |𝑚. 𝑛| = | − 7(8) = 7(8) = 56

Penyelesaian Ketidaksamaan Seperti halnya persamaan, ketidaksamaan yang berisi variabel (katakana, x) dapat mempunyai suatu penyelesaian; bila ada penyelesaian, maka himpunan nilai x akan membuat ketidaksamaan tadi menjadi pernyataan yang benar. Penyelesaian seperti itu biasanyaakan menjadi bentuk ketidaksamaan. Contoh 5: Carilah penyelesaian ketidaksamaan 3𝑥 − 3 > 𝑥 + 1 Seperti dalam penyelesaian suatu persamaan,pertama-tama suku-suku variabel harus dikumpulkan dalam satu sisi ketidaksamaan. Dengan menambahkan (3 − 𝑥) pada kedua sisi, kita peroleh 3𝑥 − 3 + 3 − 𝑥 > 𝑥 + 1 + 3 − 𝑥 2𝑥 > 4

Atau Dengan mengalikan kedua sisi dengan 1

1

( yang

2

tidak mengubah arti

ketidaksamaan, karena 2 > 0) akan dihasilkan penyelesaian

24

𝑥>2 Yang dengan sendirinya merupakan ketidaksamaan. Penyelesaian ini bukan merupakan bilangan tunggal, tetapi himpunan bilangan-bilangan. Oleh karena itu, kita dapat menyatakan penyelesaiannya, sebagai himpunan {𝑥|𝑥 > 2} atau sebagai interval terbuka (2,∞).

Contoh 6: Selesaikan ketidaksamaan |1 − 𝑥| ≤ 3. Pertama, mari kita mengabaikan tanda nilai absolut dengan menggunakan (6,10). Ketidaksamaan tersebut sesuai dengan pernyataan. −3 ≤ 1 − 𝑥 ≤ 3 Atau, setelah dikurangi 1 dari setiap sisi. −4 ≤ −𝑥 ≤ 2 Kalikan setiap sisi dengan (-1), maka kita peroleh 4 ≥ 𝑥 ≥ −2 Dimana arti ketidaksamaan menjadi berlawanan. Dengan menulis bilangan yang terkecil terlebih dahulu, kita dapat menyatakan penyelesaiannya dalam bentuk ketidaksamaan −2 ≤ 𝑥 ≤ 4 Atau dalam bentuk himpunan {𝑥|−2 ≤ 𝑥 ≤ 4} atau interval tertutup [-2,4] Kadang-kadang suatu permasalahan dapat timbul pada beberapa ketidaksamaan dalam beberapa variabel secara simultan. Jadi kita harus menyelesaikan suatu sistem ketidaksamaan simultan (simultaneous enequalities). Permasalahan ini timbul, misalnya, dalam pemrograman nonlinear. F. DALIL-DALIL LIMIT

25

Perhatian kita terhadap tingkat perubahan membawa kita untuk meninjau konsep derivative yang, karena mempunyai sifat limit dari suatu hasil bagi perbedaan, akan mendorong kita untuk mempelajari pernyataan-pernyataan mengenai penilaian dan adanya suatu limit. Proses dasar penilaian limit seperti digambarkan dalam bagian 6.4, melibatkan variabel v yang mendekati suatu bilangan khusus (katakana, N) dan mengamati nilai yang didekati q. Namun dalam menilai limit suatu fungsi, kita mungkin mendapatkan dalil-dalil limit tertentu, yang secara material mempermudah penyelesaian, terutama untuk fungsi yang rumit. Dalil-Dalil yang Melibatkan Fungsi Tunggal Jika fungsi tunggal 𝑞 = 𝑔(𝑣) dilibatkan, maka dalil-dalil berikut dapat dipakai. Dalil I Bila 𝑞 = 𝑎𝑣 + 𝑏, maka lim 𝑞 = 𝑎𝑁 + 𝑏(𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑏 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎). 𝑣→𝑁

Contoh 1 : Jika diketaui 𝑞 = 5𝑣 + 7, kita peroleh lim 𝑞 = 5(2) + 7 = 17. Dengan cara yang 𝑣→2

sama , 𝑞 = 5(0) + 7 = 7 Dalil II Bila 𝑞 = 𝑔(𝑣) = 𝑏, maka lim 𝑞 = 𝑏 𝑣→𝑁

Dalil ini, yang menyatakan bahwa suatu dfungsi konstan adalah konstanta, dalam fungsi tersebut, hanyalah kasus-kasus dari dalil I, dengan 𝑎() (Anda telah menemui contoh pada kasus ini dalam latihan6.2-3). Dalil III Bila 𝑞 = 𝑣, maka lim 𝑞 = 𝑁 𝑣→𝑁

Bila 𝑞 = 𝑣 3 , maka lim 𝑞 = 𝑁 𝑘 𝑣→𝑁

Contoh 2 : JIka diketahui 𝑞 = 𝑣 3 , kuta peroleh lim 𝑞 = (2)3 = 8 𝑣→2

Anda dapat memperhatikan bahwa, dalam dalil-dalil di atas , apa yangdikerjakan dalam mencari limit q untuk 𝑣 → 𝑁 adalah perlu menganggap 26

𝑣 = 𝑁. Tetapi merupakan dalil khusus, dan hal itu tidak meniadakan aturan umum bahwa “𝑣 → 𝑁” bukan berarti “𝑣 = 𝑁”.

Dalil-dalil yang Melibatkan Dua Fungsi Bila kita mempunyai dua fungsi dari variable bebas v yang sama, 𝑞1 = 𝑔(𝑣) dan 𝑞2 = ℎ(𝑣). bila kedua fungsi itu memiliki limit sebagai berikut : lim 𝑞1 = 𝐿1

lim 𝑞2 = 𝐿2

𝑣→𝑁

𝑣→𝑁

Dimana 𝐿1 dan 𝐿2 keduanga adalah bilangan hingga (finite), makadalil berikut dipakai. Dalil IV (dalil limit jumlah-selisih) lim (𝑞1 ± 𝑞2 ) = 𝐿1 ± 𝐿2

𝑣→𝑁

Limit suatu jumlah (selisih) dari duafungsi adalah jumlah (selisih) dari limit masing-masing. Secara khusus, kita perhatikan bahwa lim 2𝑞1 = lim (𝑞1 +𝑞1 ) = 𝐿1 + 𝐿1 = 2𝐿1

𝑣→𝑁

𝑣→𝑁

Yang sejalan dengan Dalil I Dalil V (dalil hasil perkalian) lim (𝑞1 𝑞1 ) = 𝐿1 𝐿1

𝑣→𝑁

Limit hasil perklaian dua fungsi adalah hasil perkalian limit-limit lainnya. Pemakaian pada fugsi kuadrat, akan memberikan lim (𝑞1 𝑞1 ) = 𝐿1 𝐿1 = 𝐿1 2

𝑣→𝑁

Yang sejalan dengan Dalil III

Dalil VI (Dalil limit hasil-bagi) 27

𝑞1 𝐿1 = (𝐿 ≠ 0) 𝑣→𝑁 𝑞2 𝐿2 2 lim

Limit hasil bagi (quotient) dan dua fungsi adalah hasil bagi limit-limitnya. Tentu saja limit L2 tidak diperkenankan menjadi nol; kalu tidak hasil baginya tidak dapat ditentukan.

Contoh 3: Carilah lim(1 + 𝑣)/(2 + 𝑣). Karena di sini kita peroleh lim(1 + 𝑣) = 𝑣→0

𝑣→0

1

1 𝑑𝑎𝑛 lim( 2 + 𝑣) = 2, maka limit yang dicari adalah 2. 𝑣→0

Ingat bahwa 𝐿1 dan 𝐿2 merupakan bilangan hingga; Kalau tidak dalil-dalil ini tidak dapat dipakai. Selanjutnya, dalam kasus dalil VI, 𝐿2 juga harus tidak nol. Bila pembatasan ini tidak dipenuhi, kita harus kembali pada metode penilaian limit yang ditunjukkan dalam contoh 2 dan 3 pada bagian 6.4 , yang masingmasing berhubungan dengan kasus-kasus, untuk 𝐿2 menjadi nol dan 𝐿2 menjadi tak terhingga.

Limit Fungsi Polinom Dengan dalil di atas, kita dapat dengan mudah menilai Iimit dari setiap fungsi polinom. 𝑞 = 𝑔(𝑣) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑣 + 𝑎2 𝑣 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑣 𝑛

(6.11)

Untuk v mendekati bilangan N . karena limit-limit untuk suku-suku yang terpisah masing-masing adalah. lim 𝑎0 = 𝑎0

𝑣→𝑁

Limit

funsi

lim 𝑎1 𝑣 = 𝑎1 𝑁

𝑣→𝑁

polinom

adalah

lim 𝑎2 𝑣 2 = 𝑎2 𝑁 2

𝑣→𝑁

(dengan

dalil

lim 𝑞 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑁 + 𝑎2 𝑁 2 + ⋯ = 𝑎𝑛 𝑁 𝑛

𝑣→𝑁

28

(𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠𝑛𝑦𝑎) limit

penjumlahan)

(6.12)

Limit ini sebenarnya juga sama dengan 𝑔(𝑁), yakni sama dengan nilai fungsi dalam (6.11) bila v=N. hasil khusus ini akan terbukti penting dalam pembahasan kontinuitas fungsi polinom. G. KONTINUITAS DAN DIFERENSIAL FUNGSI Pembahasan terdahulu mengenai konsep limit dan penilaian sekarang dapat digunakan untuk menentukankontinuitas (continuity) dan diferensiabilitas (differentiability) suatu fungsi. Gagasan ini secara lansung memuat fungsi derivative yang menariik perhatian kita. Kontinuitas Fungsi Jika fungsi q=g(v) memiliki ,limit untuk v condong ke titik N dalam domain, dan jika limit ini juga sama dengan g(N) yaitu, sama dengan nilai fungsi pada v=N, maka fungsi itu dikatakan kontinu (continous) pada N. Seperti telah dinyatakan di atas, istilah kontinuitas (continuity)melibatkan tidak lebih dari kebutuhan : (1)titik N harus berada dalam domain fungsi ; yakni, g(N) ditentukan ; (2) fungsi itu harus mempunyai limit untuk v-> N, yakni, lim 𝑔(𝑣) memang ada, dan(3) fungsi itu 𝑣→𝑁

harus sama dengan nilai g(N) ; yakni, lim 𝑔(𝑣) = 𝑔(𝑁). 𝑣→𝑁

Jadi, penting untuk dicacat bahwa membahas kurva pada gambar 6.3. meskipun (𝑁, 𝐿) tidak dimasukkan dalam pertimbangan, dalam konteks sekarang kita memasukkannya. Sebaliknya, seperti dinyatakan secara khusus dalam persyaratan ketiga, titik (𝑁, 𝐿) harus berada pada grafik fungsi sebelum fungsi tersebut dapat dianggap kontinu pada titik 𝑁. Mari kita teliti apakah fungsi yang ditunjukkan dalam gambar 6.2 adalah kontinu. Dalam diagram a, ketiga persyaratan itu dipenuhi pada titik 𝑁. Titik 𝑁 berada pada domain ; q mempunyai limit L untuk 𝑣 → 𝑁; dan limit L kebetulan juga merupakan nilai fungsi pada 𝑁. Jadi, fungsi yang ditunjukkan oleh kurva adalah kontinu pada 𝑁. Hal yang sama juga berlaku untuk fungsi yang digambarkan dalam gambar 6.2b, karena L adalah limit fungsi untuk v mendekati nilai N dalam domain, dan karena L juga merupakan nilai fungsi pada N . Contoh grafik yang terakhir ini cukup menetapkan bahwa kontinuitas fungsi pada titik N

29

tidak perlu secara langsung menyatakan bahwa grafik suatu fungsi adalah “halus” (smooth) pada v=N, karena titik (N,L) dalam gambar 6.2b sebenarnya merupakan titik yang “tajam” dan fungsinya tak tetap kontinu pada nilai v tersebut. Jika fungsi q=g(v) kontnu pada semua nilai v dalam interval (a,b), maka fungsi itu dikatakan kontinu dalam interval tersebut. Bila fungsi kontinu pada semua titik dalam suatu sub-himpunan S dari domain (di mana sub-himpunan S dapat merupakan gabungan dari beberapa interval disjoint ) , maka fungsi tersebut dikatakan kontinu dalam S. Dan, terakhir bila fungsi kontinu pada semua titik dalam domainnya, kita katakan bahwa fungsi tersebut dalam domainnya. Akan tetapi, dalam kasus yang terakhir ini, grafik fungsi tidak pernah menunjukkan suatu keadaan yang terputus (discontinuity), atau suatu celah pada beberapa nilai v, katakanlah pada v=5, bila nilai v tersebut tidak dalam domainnya. Dengan memperhatikan kembali gambar 6.2, kita lihat bahwa dalam diagram c fungsi berada dalam keadaan terputus pada N karena limit tidak terdapat pada titik tersebut, yang melanggar persyaratan kedua untuk kontinuitas. Namun demikian, fungsi itu tidak memenuhi persyaratan untuk kontinuitas dalam interval (0,N ) dari domainnya, serta dalam interval [N,∞ ]. Diagram d jelas juga kontinu pada v=N. Kali ini diskontinuitas berasal dari kenyataan bahwa N dikeluarkan dari domainnya, yang jelas melanggar persyaratan pertama untuk kontinuitas. Berdasarkan grafik dalam Gambar 6.2, tampak bahwa titik yang tajam konsistenn dengan kontinuitas, seperti yang telihat dalam doagram b, tetapi celah tersebut tidak diperkenankan, seperti yang terlihat dalam diagram c dan d. Hal ini memang merupakan kasusnya. Karena itu, secara kasar dikatakan bahwa fungsi yang dapat digambar dalam interval tertentu merupkana fungsi yang dapa digambar untuk interval tersebut, tanpa mengangkat pensi atau pena dan kertas— suatu pekerjaan yang mungkin walaupun di sana terdapt kurva yang tajam, tetapi tidak mungkin bila timbul celah. Fungsi polinom dan rasional

30

Sekarang mari kita bahas kontinuitas fungsi-fungsi khusus yang sering ditemukan. Untuk setiap fungsi polinom, seperti q=g(v) dalam (6.11), kita telah temukan dari (6.12) bahwa lim 𝑞 ada dan sama dengan nilai fungsi pada N. 𝑣→𝑁

Karena N adalah suati titik (titik manapun) dalam domain fungsi tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap fungsi polinom adalah kontinu dalam domainnya. Hal ini merupakan keterangan yang angat berguna, karena fungsi polinom akan sering kita temukan. Bagaimana dengan fungsi rasional? Berkenaan dengan kontinuitas, terdapat dalil yang menarik (dalil kontinuitas) yang menyatakan bahwa jumlah, selisih, hasil-kali, dan hasil-bagi untuk setiap fungsi-fungsi bilangan terhingga (finite) yang kontinu dalam suatu domain, masing-masing juga kontinu dalam domainnya. Akibatnya, setiap fungsi rasional (hasil-bagi dari dua fungsi polinom) juga harus kontinu dalam domainnya. Contoh 1: Fungsi rasional 4𝑣 2 𝑞 = 𝑔(𝑣) = 2 𝑣 +1 ditentukan untuk semua bilangan hingga; jadi domainnya terdiri dari interval (−∞, ∞). Untuk setiap bilangan N dalam domain, limit q (dari dalil limit hasil bagi ) adalah lim (4𝑣 2 )

lim 𝑞 =

𝑣→𝑁

𝑣→𝑁

lim (𝑣 2 + 1)

𝑣→𝑁

=

4𝑁 2 𝑁2 + 1

yang sama dengan g(N). Jadi, ketiga persyaratan untuk kontinuitas seluruhnya dipenuhi pada N. Selanjnutnya, kita perhatikan bahwa N dapat menunjukkan setiap titik dalam domain fungsi ini; akibatnya, fungsi ini adalah kontnu dalam domainnya.

Contoh 2 :

31

Fungsi rasional 𝑞=

𝑣 3 + 𝑣 2 − 4𝑣 − 4 𝑣2 − 4

tidak ditentukan pada v=2 dan v=-2. Karena kedua nilai v tidak berada dalam domain, maka fungsi tersebut berada dalam keadaan terputus pada v=-2 dan v=2, meskipun sebenarnya limit q ada unttuk 𝑣 → −2 atau 2. Secara grafik, fungsi ini akan menggambarkan suatu celah (gap) untuk kedua nilai v ini. Tetapi untuk nilai v yang lain (yang berada dalam domain), fungsi ini adalah kontinu. Diferensiabilitas Fungsi Pembahasan sebelumnya telah memberikan saran pada kita untuk mengetahui dengan pasti apakah setiap fungsi mempunyai limit bila variabel bebasnya mendekati beberapa nilai tertentu. Jadi kita dapat mencoba untuk mendapatkan limit dari setiap fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) bila x mendekati beberapa nilai yang dipilih, katakanlah𝑥0 . Akan tetapi, kita juga dapat menggunakan konsep “limit” pada tingkat yang berbed dan mendapatkan limit hasil bagi perbedaan dari fugnsi tersebut,

∆𝑦 ∆𝑥

, untuk ∆𝑥 mendekati nol. Hasil limit yang diperoleh pada dua tingkat

yang berbeda itu berkaitan dengan dua sifat yang berbeda dari fungsi f. Dengan menggunakan limit fungsi y=f(x) sendiri, kita dapat, swejalan dengan pembahasaan subbagian sebelumnya, memerikas apakah f adalah kontinu pada 𝑥 = 𝑥0 . Kondisi untuk kontinuitas adalah 1)

𝑥 = 𝑥0 dalam domain fungsi f,

2)

y harus mempunyai limit untuk 𝑥 → 𝑥0 , dan

3)

limit tersebut harus sama dengan 𝑓(𝑥0 ).

Bila ini dipenuhi, kita dapat menulis lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) [kondisi kontinuitas] 𝑥→∞

Jika konsep “limit” digunakan untuk hasil-bagi perbedaan ∆𝑦/∆𝑥 untuk ∆𝑥 → 0, kita akan menghadapi pertanyaan apakah fungsi f bisa terdiferensiasi pada 𝑥 = 𝑥0 , yakni, apakah terdapat derivatif dy/dx pada 𝑥 = 𝑥0 , atau apakah 𝑓′(𝑥0 ) ada. Istilah “terdiferensiasi” digunakan di sini karena proses untuk memperoleh derivatif dy/dx dikenal sebagai diferensiasi yang juga disebut 32

derivasi . Karena 𝑓′(𝑥0 ) ada jika dan hanya jika limit ∆𝑦/∆𝑥 pada 𝑥 = 𝑥0 untuk ∆𝑥 → 0, ekspresi simbolis dan diferensiabilitas f adalah 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim

∆𝑦

∆𝑥→0 ∆𝑥

Gambar 6.4 = lim

𝑓(𝑥0 +∆𝑥)−𝑓(𝑥0 )

∆→0

∆𝑥

[kondisi diferensiabilitas]

(6.14)

Kedua sifat ini, kontinuitas dan keterdiffernsialan, satu terhadap lainnya sangat berhubungan erat—kontinuitas dari f adalah suatu syarat perlu untuk diferensiabilitas—meskipun; seperti akan kita lihat nanti, syarat ini tidak cukup, ini berarti agar dapat terdiferensiasi pada 𝑥 = 𝑥0 , pertama fungsinya harus diunji apakah kontinu pada

𝑥 = 𝑥0 . Untuk membuktikan hal ini, kita harus

menunjukkan bahwa, jika diketahui fungsi y=f(x) kontinu pada 𝑥 = 𝑥0 mengikuti diferensiabilitasnya pada 𝑥 = 𝑥0 , yakni kondisi (6.13) mengikuti kondisi (6.14). akan tetapi, sebelum melakukan ini mari kita sederhanakan cara penulisan dengan (1) menukar 𝑥0 dengan simbol N dan (2) menukar (𝑥 + ∆𝑥) dengan simbol x. Cara yang terakhir ini dapat dibenarkan karena nilai x setelah perubahan dapat merupakan bilangan manapun (tergantung pada besarnya perubahan) dan karenanya merupakan variabel yang ditunjukkan oleh x. Kesamaan kedua notasi ini ditunjukkan gambar 6.4, di mana notasi yang lama muncul dalam tanda [ ] di samping yang baru. Perthatikan bahwa, dengan adanya perubahan notasi, ∆𝑥 sekarang menjadi (x-N), sehingga pernyataan “∆𝑥 → 0” menjadi “𝑥 → 𝑁”, yang sesuai

dengan

pernyataan

𝑣→𝑁

yang 33

digunakan

sebelumnya

dalam

hubungannya dengan fungsi q=g(v). Oleh karenanya, (6.13) dan (6.14) sekarang dapat dituli kembali menjadi lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑁)

𝑥→0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑁) 𝑥→𝑁 𝑥−𝑁

𝑓 ′ (𝑁) = lim

Oleh karena itu, apa yang kita tunjukkan adalah bahwa kondisi kontinuitas (6.13’) mengikuti kondisi diferensiabilitas (6.14’). pertama, karena notasi 𝑥 → 𝑁 menyiratkan bahwa 𝑥 ≠ 𝑁, maka 𝑥 − 𝑁 adalah bilangan bukan-nol, sehingga diperkenankan untuk menulis identitas berikut ini: 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑁) =

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑁) (𝑥 − 𝑁) 𝑥−𝑁

Pengambilan limit dari setiap sisi (6.15) untuk 𝑥 → 𝑁 memberikan hasil berikut. Sisi –Kiri = lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑓(𝑁) 𝑥→𝑁

𝑥→𝑁

=lim 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑁) 𝑥→𝑁

= lim

Sisi kanan

𝑥→𝑁

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑁) 𝑥−𝑁

lim (𝑥 − 𝑁)

𝑥→𝑁

=𝑓 ′ (𝑁)( lim 𝑥 − lim 𝑁) 𝑥→𝑁

𝑥→𝑁

=𝑓 ′ (𝑁)(𝑁 − 𝑁) = 0 Perhatikan bahwa kita tidak dapat menulis hasil ini jika kondisi (6.14’) tidak diakui, karena kalau 𝑓 ′ (𝑁) tidak ada, maka pernyataan sisi kanan (dan juga pernyataan sisi kiri) dalam (6.15) tidak akan mempunyai limit. Akan tetapi, bila 𝑓 ′ (𝑁) ada, maka kedua sisi akan mempunyai limit seperti ditunjukkan dalam persamaan sebelumnya. Selanjutnya, jika hasil sisi kanan dan hasil sisi kiri disamakan, kita peroleh lim 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑁) = 0, yang identik dengan (6.13’). Jadi, 𝑥→𝑁

kita telah membuktikan bahwa kontinuitas, seperti yang ditunjukkan dalam (6.13’) mengikuti diferensiabilitas seperti ditunjukkan dalam (6.14’). Secara umu,

34

bila suatu fungsi terdifferensial pada setiap titik dalam domainnya, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi tersebut harus kontinu dalam domainnya. Meskiipun diferensiabilitas menyiratkan kontinuitas, hal yang sebaliknya tidaklah benar. Yaitu, kontinuitas adalah suatu syarat perlu, tetapi bukan syarat cukup untuk differensiabilitas. Untuk menunjukkan hal ini, kita hanya mempunyai contoh tandingan. Mari kita perhatikan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| + 1 yang digambarkan dalam Gambar 6.5. Seperti telah ditunjukkan, fungsi ini tidak terdifferensiasi, meskipun kontinu, jika x=2. Fakta bahwa fungsi tersebut kontinu pada x=2 mudah dibuktikan. Untuk menunjukkan bahwa fungsi f tidak terdiferensiasi pad x = 2, kita harus menunjukkan bahwa limit hasil-bagi perbedaan |𝑥 − 2| + 1 − 1) |𝑥 − 2| 𝑓(𝑥) − 𝑓(2) = lim = lim 𝑥→2 𝑥→𝑁 𝑥→𝑁 𝑥 − 2 𝑥−2 𝑥−2 lim

Gambar 6.5 tidak ada. Hal ini memerlukan adanya disparitas antara limit sisi kanan dan limit sisi kiri. Karena, dalam menetapkan limit sisi kanan, x harus lebih besar dari 2, maka menurut definisi nilai absolut dalam (6.8) kita peroleh |𝑥 − 2| = 𝑥 − 2. Jadi, limit sisi kanan adalah

35

lim+

𝑥→2

|𝑥 − 2| 𝑥−2 = lim+ = lim+1 = 1 𝑥→2 𝑥 − 2 𝑥→2 𝑥−2

Di lain pihak, dalam menetapkan limit sisi kiri, x harus lebih kecil dari 2; jadi menurut (6.8), |𝑥 − 2| = −(𝑥 − 2). Akibatnya, limit sisi kiri adalah lim+

𝑥→2

|𝑥 − 2| −(𝑥 − 2) = lim+ = lim+ (−1) = −1 𝑥→2 𝑥→2 𝑥−2 𝑥−2

yang berbeda dari limit sisi kanan ini menunjukkan bahwa kontinuitas tidak menjamin diferensiabilitas. Kesimpulannya, semua fungsi yang terdiferensiasi adalah kontinu, tetapi tidak semua fungsi yang kontinu terdiferensiasi. Dalam gambar 6.5, fungsi yang nondiferensiabilitas pada x=2 ditunjukkan oleh titik (2,1), yang tidak dapat ditentukan garis tangennya sehingga tidak ada kemiringan tertentu yang dapat ditetapkan. Secara khusus, di sebelah kiri titik tersebut, kurvanya mempunyai kemiringan -1, tetapi di sebelah kanan mempunyai kemiringan +1, dan kemiringan pada kedua sisi menggambarkan tidak adanya kecenderungan untuk mendekati suatu besaran umum pada x=2. Titik (2,1), tentu saja, adalah suatu titik khusus; ini merupakan satu-satunya titik yang tajam pada kurva. Pada titik lainnya dalam kurva, derivatif ditentukan dan fungsinya terdiferensiasi. Secara lebih khusus, fungsi dalam (6.16) dapat dibagi menjadi dua fungsi linear sebagai berikut: Bagian kiri

: 𝑦 = −(𝑥 − 2) + 1 = 3 − 𝑥 (𝑥 ≤ 2)

Bagian kanan : 𝑦 = (𝑥 − 2) + 1 = 𝑥 − 1

(𝑥 > 2)

Bagian kiri terdiferensiasi pada interval (−∞, 2), dan bagian kanan terdiferensiasi pada interval (2, ∞) dalam domainnya. Secara umum, diferensiabilitas merupakan kondisi yang lebih terbatas dari pada kontinuitas, karena memerlukan sesuatu di luar kontinuitas. Kontinuitas pada suatu titik hanya menyingkirkan suatu celah, sedangkan diferensiabilitas menyingkirkan bentuk kurva yang menajam. Karena itu, diferensiabilitas mengharuskan fungsi (kurva) yang halus, seperti juga kontinuitas. Kebanyakan fungsi khusus yang digunakan dalam ilmu ekonomi mempunyai sifat teriferensiasi di manapun. Selanjutnya, jika fungsi umum yang digunakan, mereka selalu 36

diasumsikan dapat terdiferensialkan di manapun, seperti yang akan kita lakukan pada pembahasan berikutnya.

BAB III PENUTUP

Statika komparatif, sebagaimana tercermin dari namanya, menelaah perbandingan keadaan ekuilibrium yang berbeda yang dihubungkan dengan himpunan, nilai parameter, dan variabel eksogen yang berbeda. Adapun sifat-sifat dari derivatif -

Derivatif adalah suatu fungsi , bahkan penggunaan kata derivatif berarti suatu fungsi yang diturunkan. Fungsi asal 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah fungsi yang sederhana. Dan derivatif adalah fungsi lainnya yang diturunkan darinya. Sementara hasil-bagi perbedaan adalah fungsi 𝑥0 dan ∆𝑥

-

Kerena derivatif hanya merupakan limit dari hasil-bagi perbedaan yang mengukur tingkat perubahan, maka derivatif juga harus merupakan suatu pengukuran

dari

bebearapa

tingkat

perubahan.

Tetapi

melihat

kenyataannya bahwa perubahan x yang digambarkan dalam konsep derivatif adalah sangat kecil (𝑦𝑎𝑘𝑛𝑖, ∆𝑥 → 0), tingkat yang diuur oleh derivatif merupakan tingkat perubahan yang segera. -

Dalam hal notasi. Fungsi-fungsi derivatif umumnya ditulis dalam dua cara. Jika diketahui fungsi sederhana 𝑦 = 𝑓(𝑥), satu cara penulisan derivatifnya adalah menggunakan simbol 𝑓 ′ (𝑥) atau mudahnya 𝑓′. Notasi𝑓′(𝑥), yang hamper menyerupai notasi fungsi sendiri 𝑓(𝑥) mempunyai keuntungan dalam menyampaikan gagasan bahwa derivatif itu sendiri adalah suatu fungsi 𝑥. Notasi umum yang lain ialah

𝑑𝑦⁄ 𝑑𝑥 dipergunakan untuk

menekan bahwa nilai derivatif mengukur tingkat perubahan. Dengan menggunakan kedua notasi tersebut kita dapat menuliskan. 𝑑𝑦 Δ𝑦 ≡ 𝑓′(𝑥) ≡ lim ∆𝑥→0 Δ𝑥 𝑑𝑥

37

DAFTAR PUSTAKA Chiang Alpha C dan Wainwright Kevin, 2006. Dasar-Dasar Matematika Ekonomi, Jakarta.:Penerbit Erlangga

38