BAB 4 1. Rumus umus hamb hambur uran an Ruthe utherf rfor ord d tida tidak k co coco cok k deng dengan an data data pada pada sudu sudutt hamburan sangat kecil. Dapatkah anda kirkan apa penyebabnya? Penyelesaian Rumus hamburan Rutherford tidak cocok dengan data pad sudu sudutt hamb hambur uran an sa sang ngat at kec ecil il!! kare karena na sudu sudutt θ kecil kecil berarti parame parameter ter dampak dampaknya nya besar! besar! sehing sehingga ga muatan muatan nuklir nuklir dari dari atom target berperisasi sebagian oleh elektronnya. ". #un$u un$ukk kkan an pelu peluan ang g untu untuk k prot proton on "%e& "%e& diha dihamb mbur ur deng dengan an sudu sudutt yang yang dik diketah etahui ui bila bila prot proton on itu itu me mela lalu luii se sela lapu putt tipi tipiss sama sama deng dengan an pelu peluan ang g tersebut untuk partikel alfa 4 %e&' Penyelrsaian Diketahui
(proton ) " %e&
( α ) 4 %e& θ )
hambur α ) θ hambur proton
Ditanya Peluang proton ) .................? *a+ab ,nt
proton ) f α f proton
(
)
Z e2 4 π ε 0 K
( ) 1
K
() 1 2
"
θ
"
cot
2
) ,nt
(
2Z e
( )
)
()
2
2
2
K
2 4
)
4 π ε 0 K
)
2
2
2
"
"
cot
θ 2
1
4
)
4
1
16
1
)
4
4
*adi! terbuktilah bah+a peluang untuk proton "%e& sama dengan peluang untuk pertikel α 4 %e&. -. Partikel artikel alfa %e& mendekati mendekati inti/atomik inti/atomik emas dengan parameter parameter dampak dampak "!0 12/1- m. dengan sudut s udut berapakah partikel itu terhambur? Penyelesaian Diketahui ( ) %e& ) 120 e& 3 1!0 12 /15 ) 6 12/1- * b ) "!0 12 /1- m 7 ) 8! 8! e ) 1!0 1!0 12/1 9 Ditanya θ ) .............? *a+ab
cot
θ
)
2
4 π ε0
( b
Z e2
−13
cot
cot
cot
θ 2
θ 2
θ 2
8 x 10
)
9
9 x 10
2 N m 2 −19 "!0 12/1- m ( ) x x C 79 1,6 10 C 2
−26
)
20,8 x 10
x 79 (2,56 x 10−30)
9
9 x 10
) 2!211 12-
1
4
)
4
1
16
1
)
4
4
*adi! terbuktilah bah+a peluang untuk proton "%e& sama dengan peluang untuk pertikel α 4 %e&. -. Partikel artikel alfa %e& mendekati mendekati inti/atomik inti/atomik emas dengan parameter parameter dampak dampak "!0 12/1- m. dengan sudut s udut berapakah partikel itu terhambur? Penyelesaian Diketahui ( ) %e& ) 120 e& 3 1!0 12 /15 ) 6 12/1- * b ) "!0 12 /1- m 7 ) 8! 8! e ) 1!0 1!0 12/1 9 Ditanya θ ) .............? *a+ab
cot
θ
)
2
4 π ε0
( b
Z e2
−13
cot
cot
cot
θ 2
θ 2
θ 2
8 x 10
)
9
9 x 10
2 N m 2 −19 "!0 12/1- m ( ) x x C 79 1,6 10 C 2
−26
)
20,8 x 10
x 79 (2,56 x 10−30)
9
9 x 10
) 2!211 12-
θ
cot
2
θ
tg
2
θ
tg
2
θ 2
θ 2
) 11
)
1 11
) 2!2
) tan/1 32!25
) !1:
θ ) 12!":
≈ 10 ⁰
4. Berap Berapak akah ah para parame mete terr damp dampak ak parti partik kel alfa alfa %e& %e& supa supaya ya terh terham ambu burr dengan sudut 12o ketika mendekati inti/atomik emas? Penyelesaian Diketahui
( ) %e& ) 120 e& 31!0 12 /15 ) 6 12 /1- * θ
)
10 ⁰
7 ) 8 Dita Ditany nya a b ) ...... ........ .... ...? .? *a+ab
b)
Z e2 4 π ε 0 K cot
θ 2
79 × ( 1,6 × 10
−19
b)
2
C ) × 9 × 10 −13
8 x 10
b)
J
711 × 10 ( 2,56 × 10
− 38
9
−13
8 x 10
N m2 C 2 cot
9
)
J
10 2
cot
−29
b)
1820.16 × 10 −13
8 x 10
11!4-
J
b ) "022! 12 /10 m b ) "!0 12 /1- m . Berapa fraksi berkas berkas partike partikell alfa 8!8 %e& %e& yang $atuh $atuh pada pada selaput selaput emas emas setebal - 12/8 m! dihambur dengan sudut 1o? Penyelesaian Diketahui
( ) 8!8 %e& ) 8!8 120 e& 31!0 12 /15 ) 1"!-" 12/1- *
t ) - 12/8 m θ
) 1:
Ditanya f ) ...............? *a+ab
f ) ,nt
(
)
Z e2 4 π ε 0 K
"
cot
"
θ 2
f = -!14 3! 12
cot"
atom /8 m3 53 - 12 m5
"6
(
9
9 × 10
2 N m 2 − 19 ( ) 79 1.6 10 × × C C 2 −13 12,32 x 10 J
)
2
1⁰ 2
f = !86
−16
× 10
(
711 × 10 ( 2,56 × 10 − 13
12,32 x 10
(
21
−38
9
J
−29
1820.16 × 10
)
)
)
2
cot" 2!
2
( 114,58 )2
f ) !86
× 10
f = !86
× 1021 3"16-"!- 12 /-"5 1-1"6!8
−13
12,32 x 10
J
f = 1!- 1212 12/11 f = 1!f = 1!0
11.
× 10−1
× 10−1 ≈ 0,16
;ntensitas medan listrik pada $arak r dari pusat bola yang bermuatan
serbasama ber$e$ari R dan bermuatan total . Bola seperti itu bersesuaian dengan model atom #homson. #un$ukkan bah+a elektron daam bola ini melakukan gerak harmonik sederhana disekitar pusat bola dan turuunkan rumus untuk mencari frekuensi gerak itu. 9ari frekuensi osilasi elektron atom hidrogen dan bandingkan dengan frekuensi garis spektral hidrogen' Penyelesaian Diketahui r=R Q e= 3 4 π ε 0 R
Ditanya *a+ab
a. turunan rumus? b. frekuensi isolasi?
a. f )
kelajuan kelilingorbit
f)
v 2 πr
f)
e √ 4 π ε0 mR 2 πr
Qr 3 4 π ε 0 R 2 π √ 4 π ε 0 m R
3
b. f )
e 1 . √ 4 π ε 0 mR 2 πr )
)
)
e 3 2 π √ 4 π ε 0 m mR )
√
Qr 2 2 π 4 π ε m R3 0 1
√
Qr 2 2 π 4 π ε m R3 0 1
1,6.10
f)
¿ −19 ¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
1 2. ( 3,14 )
f ) 2!1
x √ ¿
√
2,56.10
−38
1,499.10
−71
f ) 2!1 < √ 1,7078.10 f ) 0!8 121 => *adi! frekuensi isolasinya adalah 0!8 121=> 33
1".
Bohr tanpa mengetahui hipotesis de Broglie telah membentuk
modelnya dengan menga$ukan postulat bah+a momentum sudut elektron orbital harus merupakan kelipatan bilangan bulat dari ћ. #un$ukkan bah+a postulat ini menghasilkan persamaan 4."1.
Penyelesaian Diketahui
momentum sudut electron orbital merupakan kelipatan bilangan bulat dari ћ
Ditanyakan
buktikan postulat ini mengahsilkan persamaan 4."1
*a+ab %enurut model Bohr untuk electron orbital berlaku L = nh atau mvr n = nh
*ika dipakai hubungan de Broglie
[]
λ P=
−1
%aka! mvrn =n
P .r n =n
[] λ
−1
r n=n
r n =n λ .2 π r n =n λ 2 πr n =nλ 2 πr n =nλ
! terbukti sesuai dengan
persamaan 4."1 1-.
Buktikan bah+a model atom Bohr tidak bertentangan dengan prinsip
ketaktentuan dengan menghitung ketaktentuan momentum electron yang terperangkap daerah berdimensi linear ao dan bandingan besaran ini dengan momentum electron dalam keadaan dasar orbit Bohr. Penyelesaian Diketahui melektron ) !1 12 /-1 kg e v=
√ 4 π ε o mr
−19
v=
1,6 x 10
C
√ 4 ( 3,14 ) ( 9,1 x 10− kg ) ( 5,3 x 10− m) 31
v =2,2 x 106
11
m !
a0 =r =5,3 × 10−11 m
Ditanyakan
a. Buktikan model atom hydrogen Bohr tidak bertentangan dengan prinsip ketaktentuan' b. Bandingkan besaran ini dengan momentum electron dalam kedaan dasar orbit Bohr'
*a+ab %omentum elektron dalam orbit Bohr v=
e =2,2 x 106 m / ! √ 4 π ε o mr
"=mv
"=( 9,1 x 10−31 kg )( 2,2 x 106 m/ ! ) "=20,02 x 10−25 kg m / ! "=20 x 10−25 kg m / !
edangkan ketaktentuan momentum elektron yang terperangkap daerah berdimensi linear αo αo ) !- 12/11 m " # o = 4 π
"=
4 π # o −34
"=
6,626 x 10
J! −11
4 (3,14 ) ( 5,3 x 10
m)
−34
"=
6,626 x 10
J! −11 66,568 x 10 m
"=0,0995 x 10−23 kg m / ! "=10 x 10−25 kg m / !
*adi! ketaktentuan momentum elektron sama dengan setengah momentum linear dalam orbit. 14.
9arilah bilangan kuantum yang menentukan orbit bumi mengelilingi
matahari. %assa bumi ialah 0 12"4 kg! $e$ari orbitnya ialah 1! 12 11 m dan kela$uan orbitalnya - 124 m@s. Penyelesaian Diketahui h ) 0!0"0 12/-4 *.s %assa bumi 3m5 ) 0 12"4 kg *e$ari orbital 3 r n 5 ) 1! 1211 m (ela$uan orbital 35 ) - 124 m@s Ditanya Bilangan kuantum 3n5 *a+ab λ = mv
− 34
λ =
6,626 x 10
J! ( 6 x 1024 kg ) ( 3 x 10 4 m / ! ) −34
λ =
6,626 x 10 18 x 10
28
J! kg m / !
λ =0,368 x 10−62 m
maka! nλ =2 π r n n ( 0,368 x 10−62 m)= 2 ( 3,14 ) ( 1,5 x 1011 m ) n (0,368 x 10−62 m)=9,42 x 1011 m n=
9,42 x 10
11
0,368 x 10
−62
m m
n =25,598 x 1073
*adi! bilangan kuantum yang menentukan orbit bumi mengelilingi matahari adalah "!6 128-. 1.
Pada temperatur berapakah energi kinetik molekular rata/rata gas
hidrogen sama dengan energi ikat atom hidrogen? Penyelesaian Diketahui ikat ) /1-!0 e& ) "1!80 12 /1 * 3tanda min menun$ukkan elektron membutuhkan enerrgi5
( ) 1!-6 12/" pada suhu berapakah energi kinetik molekuler rata/rata
Ditanyakan
gas hidrogen sama dengan energi ikat hidrogen? *a+ab $k = $i 3 2 3 2
K% =21,76 x 10−19
( 1,38 x 10− ) % =21,76 x 10− 23
−23
2,07 x 10
19
% = 21,76 x 10−19 −19
% =
21,76 x 10
−23
2,07 x 10
% =1,05 x 105 K
*adi suhu gas hidrogen tersebut adalah 1!2 12( 10. 9ari pan$ang gelombang garis spectral yang bersesuaian dengan transisi hidrogen dari keadaan n ) 0 ke n ) -. Penyelesaian Diketahui n1 ) - ! n" ) 0 Ditanya λ =& ' *a+aban 1
λ
1
λ
1
λ
= R
(
1
n12
−
1
n22
)
−7
=1,097 x 10
−7
=1,097 x 10
1 1 = R 2 − 2 λ n1 n2 1
( (
1 2
3
1 9
−
−
1 2
6
1 36
) )
1 1 = 1,097 x10 − − λ 3 6 1
7
2
2
1 1 = 1,097 x10 − − λ 9 36 1
7
1
λ
1
λ
1
λ
λ =
−7
=1,097 x 10
−7
=1,097 x 10
(
4 36
( ) 3
36
1
−7
=0,09 x 10
λ
λ =
1 −9
9 x 10
λ
= 0,1x10 9
λ
= 1 x10
10
m
−
1 36
)
4 1 = 1,097 x10 − − λ 36 36 1
7
3 = 1,097 x10 − λ 36 1
= 0,09 x10 −
7
7
1 9 x10
−9
) 1C
18. 9ari pan$ang gelombang foton yang dipancarkan bila atom hidrogen bertransisi dari keadaan n ) 12 ke keadaan dasar. Penyelesaian Diketahui n1 ) 1! n" ) 12 Ditanya λ =& ' *a+aban
1 1 = R 2 − 2 λ n1 n2 1
1
λ
1
λ
−7
=1,097 x 10
−7
=1,097 x 10
(
1
(
1
2
1
1
−
−
1 10
2
1 100
) )
1 1 = 1,097 x10 − − λ 1 10 1
7
2
2
1 1 = 1,097 x10 − − λ 1 100 1
7
1
λ
1
λ 1 λ
−7
=1,097 x 10
=1,097 x 10
= 1,08x10 −
λ =
λ
−7
(
100 100
1
−
100
100 1 = 1,097 x10 − − λ 100 100 1
)
7
99 = 1,097 x10 − λ 100 1
( ) 99
100
7
7
1
λ =
1
1,08 x10
−7
1,08 x 10
= 0,92 x10 7 m
) !"
10
−
7
−4
C
16. Berapa besar energi yang diperlukan untuk mengeluarkan elektron dalam keadaan n )" dari atom hidrogen. Penyelesaian Diketahui n ) " Ditanya ikat hidrogen ) ? *a+aban −13,6 e( n2
E ikat
−13,6 2
2
E ikat
=
=
− 13,6
= e(
− 13,6
n
2
eV
− 13,6 2
2
eV
eV
4
−3,4 e( = −3,4
eV
"- $ika atom yang tereksitasi memancarkan foton momentum linear foton harus diimbangi dengan momentum rekoil atom. ebagai hasilnya sebagian energy eksitasi atom men$adi energy kinetic rekuilnya. a5 %odikasi persamaan 4." dengn memasukkan efek ini
b5 9ari rasio 3hasil bagi5 antara energy rekuil dengan energi foton untuk transisi n)- → n)" dalam hidrogen dengan f/i)1!e&. Apakah efek ini besar? *a+ab
a.
()
P2 2 ) )
v * ¿2
¿ ¿ ¿
h
dimana p )
i/f) h Ek ) h E
( v )2 2
2 )*
λ
hv
)
c
v ) h 31E 2 )*2 5
Dimana h ) )* 2 1 + (1 + ) v 2 f/ i ) h 1
¿
k +$ P *2 G dan ∆ E ) ) F 2 ) 2 ) 2
b
k)
5
/1
+$ 2 2 ) * )
939 , 10 e( 2¿ 1,9 e(
)
¿
1!21.1/
"4. #un$ukkan bah+a frekuensi foton yang dipancarkan atom hidrogen ketika pindah dari tingkat nE1 bertingkat n selalu berada antara frekuensi seputaran electron pada orbit/ orbit itu. *a+ab f n ) /
2 $ 1
1
n3
n + 1 ¿2
n+1
¿ ¿ ¿
+$ )
&)
2 (¿¿)
/
1
1
¿ ) /
2 $ 1
n2
¿ ¿
&)
1
(
n3
2
n
n+
1 2
¿ ¿
n2+ n
2 $ 1
n¿
) ) f n ( 2 + 2 n+ 1
1
n2+ n 2
n
2 + 2 n+ 1
)
¿ f n
". suatu campuran dari hidrogen biasa dan tritium yaitu isotop hidrogen yang intinya kira/kira - kali lebih massif dari hidrogen biasa! diekstasikan dan spektrumnya di amati. Berapa perbedaan pan$ang gelombang garis =α yang di timbulkan oleh kedua $enis hidrogen tersebut? Peneyelesaian Dik
% # )-%=
Dit
Hλ...?
*a+ab
Iaris =α berada pada n)- pada deret Balmer Jntuk hidrogen 1
λ 1
λ
λ =
36 5
×
( = ( = R R
1
1
2
3
− 2
9 36
−
)
2
4 36
)
() 1
R
Jntuk tritium 1
λ%
(
= R%
1 2
2
−
1 2
3
)
1
λ% λ% =
36 5
×
(
= R%
9 36
−
4 36
)
( ) 1
R%
Dimana RT adalah kostanta Rydberg yang di pengaruhi oleh massa reduksi atom tritiumyang menggantikan massa reduksi atom hidrogen. + λ = λ − λ%
( )
λ + λ = λ 1− % λ
(
1
+ λ = λ 1− × R%
(
R + λ = λ 1− R%
R 1
)
)
(arena R dan R# berbanding lurus dengan massa reduksi maka me ) - R ( me + ) - ) = R% m e ) % ( me + ) % ) R ) - ( m e + ) % ) = R% ) % ( me + ) - )
(emudian persamaan tersebut bisa di subtitusikan ke
(
R + λ = λ 1− R%
) ehingga
(
) - ( me + ) % ) + λ = λ 1− ) % ( me + ) - )
)
+ λ = λ
(
) % ( me + ) - )− ) - ( me + ) % ) ) % ( me + ) - ) + λ = λ
(
)
me ( ) % − ) - ) ) % ( me + ) - )
)
(arena % # ) -%= dan di asumsikan meE%= ≈ %= maka
+ λ = λ
(
m e ( 3 ) - − ) - ) 3 ) - ) -
) + λ = λ
(
m e ( 2 ) - ) 3 ) - ) -
+ λ = λ
(
2 ) - me 3 ) -
)
)
Hλ akan didapatkan dengan mensubtitusikan
λ =
36 5
×
( ) ke persamaan di 1
R
atas + λ=
36 5
×
( )( 1
2 ) - me
R
3 ) -
( ) 36
+ λ=
5
) −31
2 ( 9,11 × 10
kg )
( 1,097 × 10 m− ) 3 ( 1,67 × 10− kg ) 7
1
27
=2,38 × 10−10 m=0,238 nm
*adi pan$ang gelombang garis =α yang timbul oleh kedua $enis hidrogen adalah 0,238 n m "0.sebuah muon/K 3m)"28me5 dapat terperangkap oleh sebuah proton untuk
membentuk atom mounik. 9ari $ari/$ari orbit Bohr pertama untuk atom seperti itu' Peneyelesaian Dik
mK)"28 me
Dit
rK...?
*a+ab
r n n2 2 $ o π m e 2 × = r π m n e2 n2 2 $ o r n m = r mn
r n 207 me = r me r =
rn 207
−11 meter ¿ ¿ 5,292 × 10 r = 207
r =0,025 × 10−11 meter
*adi! 9ari $ari/$ari orbit Bohr pertama untuk atom muon/K adalah
−11
0,025 × 10
meter
"8. sebuah muon/K dalam keadaan n)" dari sebuah atom mounik. 9ari energi yang di pancarkan atom mounik ketika atom itu $atuh ke tingkat dasar. Penyelesaian Dik
ni
)"
nf
)1
mK
) "28 me
%
) 16-0 me
Dit
H
*a+ab
$/ − $i =ʋ $/ − $i =
* λ
$ / − $i 1 = * λ
(
1 me 4 1 − 2 2 2 ni2 8 $ n/
Dimana $/ − $i )
(
) sehingga
)
me 4 1 1 1 − 2= 2 3 2 λ ni 8 $ * n/ me 4 = R 3konstanta rydberg) 2 3 8 $ *
Dengan R
(
1 2
n /
−
1 2
ni
)
=
1
λ
Jntuk atom mounik di gunakan RL Dimana RL adalah 2 3 me e4 R 8 $ * × = R 0 8 $2 * 3 m0 e 4
R me = R 0 m 0 R 0 = R
( ) m0 me
m0 adalah masa tereduksi yang besarnya m0 =
m0 =
m . ) ( m + ) ) 207 me × 1836 me
( 207 me + 1836 me )
=186 me
ehingga
( )
m0 R = R =186 R me 0
(emudian RL di subtitusikan ke R
(
1
1
n /
n i2
− 2
)
=
1
λ
Dengan R di gantikan RL 3untuk atom mounik5 ehingga
(
R 0
1
− 2
n /
186 R
186 R
186 R
1
n i2
)
=
( ) − ( )= ( )= 1 1
2
−
4
1 2
2
1
1
λ
=
1
λ
1
λ
4
3
1
4
λ
* 1 $ $ − / i Jntuk menghitung H) ) hM ) λ ! subtitusikan λ =186 R
sehingga
() 3 4
$/ − $i = . * 186 R −34
6,626 × 10
()
J! × 3 × 10 8
$/ − $i =
3 4
m × 186 × 1,097 × 107 10−1 m× 3 ! 4
$/ − $i =3041,960 × 10−19 joule $/ − $i =
3041,960 × 10 −19
1,6 × 10
−19
joule joule
$/ − $i =1901,225 e( $/ − $i =1,901 ke(
*adi energi yang dipancarkan atom mounik ketika $atuh ke timgkat dasar adalah 1,901 ke(
"6. sebuah atom positronium ialah system yang terdiri dari positron 3elektron positie5 dan sebuah elektron. 3s5 bandingkan pan$ang gelombang yang dipancarkan foton ketika bertransisi dari n)-
n) " dalam
positronium dengan garis =α. 3b5 bandingkan energi ionisasi positronium dengan
hidrogen.
Penyelesaian Dik nf ) " ni) Dit a. λ b.perbandingan energi ionisasi dengan hidrogen $a+ab...................................................................................... 3bisa di lain +aktu5 ".3a5 turunkan rumus untuk menghitung tingkat energi atom hidrogenik yaitu
seperti =eE atau Ni"E yang intinya bermuatan E7e dan mengandung elektron tunggal. 3b5 buat sketsa tingkat energi ion =eE dan bandingkan dengan tingkat energi atom =. 3c5 sebuah elektron menggabungkan diri dengan inti helium telan$ang untuk membentuk ion =eE. 9ari pan$ang gelombang foton yang dipancarkan dalam peroses ini $ika elektronnya di anggap tidak mempunyai energi kinetik ketika bergabung dengan inti. Penyelesaian Dik inti =eE atau Ni"E )E7e Dit a. Rumus energi atom hidrogenik...? b. gambaran tingkat energi =eE dan membandingkan dg energi = c. λ..............? dengan k )2 $a+ab a. energi pada =eE atau Ni"Eyang berinti )E7e adalah $n=
−Z e2 8 π εo rn
n2 2 ε o Dimana r n= π m0 Z e 2
(emudian subtitusikan rn ke n −Z e 2 π m0 Z e2 $n= × 2 2 8 π εo n εo
( )
m0 Z 2 e 4 1 $n= 2 2 2 8 π εo n
1imana m0 bergantung "a1a ma!!a re1uk!i 1ari inti 1ann=1,2,3 &
b. leel tingkatan energi pada =eE bersesuaian dengan kulit atomnya. *ika di bandingkan berdasarkan pendekatan massa tereduksi! leel energi =eE pada 7 )" dan n)" akan sama leel energinya dengan hidrogen pada n)1! begitu $uga akan sama leel energi =eE pada n)4 dengan leel energi pada hidrogen n)". Berikut gambarannya
c. pada saat elektron menggabungkan diri dengan inti helium! sistem tersebut kehilangan energi! foton yang dipancarkan akan kehilangan energi sebesar H )4 × (−13,6 e( ) )/4!4 e&. ehingga pan$ang gelombang foton bisa di cari dengan * λ = −+ $ −6
λ =
1,24 × 10
e( m 54,4 e(
λ =2,28 × 10−8 m λ =22,8 nm
BAB &
1. Buktikan semua pemecahan persamaan
22 3 1 22 3 = 2 x 2 v 2 2 t 2 harus berbentuk
( ) seperti dinyatakan dalam pasal .
3 = 4 t 5
x v
Penyelesaian Persamaan gelombang
22 3 1 22 3 = 2 x 2 v 2 2 t 2 O kita kalikan persamaan dengan m!
kita akan peroleh persamaan 2 22 3 2 2 3 1 2 3 m = 2 2 m 6 mengingat -ukum 77 Ne8ton 2 = a 2 x2 v 2t 2t
2 2 2 1 m = 2 ma9 1engan ma= 4 9 = 3 0 2x 2 3 23 v
maka persamaan kita dapatkan persamaan
2 4 m 30 = 2 . 2x v
4 2 x 3 0 = 2 6 1enganmengintegralkan ke1uarua! kita "erole v 2m 3 2
2x ∫ 3 0 =∫ 4 v 2m 2
3 1
". *ika
( )
x 2 x 1
3 = 4 t 5
kita akan dapatkan
: 1 ( x 6 t ) 1an: 2 ( x 6 t )
keduanya
x v
merupakan
solusi
persamaan
chrodinger untuk potensial &35 yang diketahui! tun$ukan bah+a kombinasi
linear
: = a1 : 1+ a2 : 2
O
dengan
a1 1ana2 konstanta
sembarang! $uga merupakan solusi. 3hasil ini bersesuaian dengan pengamatan empiris interferensi gelombang De Broglie! misalnya dalam eksperimen Daision Iermer yang dibahas dalam Bab -5. *a+ab
(arena : = a1 : 1+ a2 : 2 merupakam kombinasi linear kita dapat tulis persamaan men$adi
( (
) )
2 : a1 - : 1= ℏ 1 && (1 ) 2 t 2 : a2 - : 2= ℏ 2 & & (2 ) 2 t
$ika kedua persamaan di$umlahkan maka diperoleh
2 a1 - : 1+ a2 - : 2= ℏ ( a1 : 1+ a2 : 2 ) 2 t
karena = merupakan operator linear maka a1 - : 1+ a2 - : 2= - (a 1 : 1 + a 2 : 2 ) ! $adi 2 - ( a1 : 1+ a2 : 2 )=ℏ ( a1 : 1 + a 2 : 2 ) 2t
ini berarti bah+a a1 : 1 +a2 : 2 $uga merupakan solusi dari persamaan chrodinger 2 : -: =ℏ 2 t
8. alah satu fungsi gelombang yang mungkin untuk sebuah partikel dalam sumur potensial dalam gambar .14 dibuat sketsanya disitu. #erangkan mengapa pan$ang gelombang dan amplitudo ψ berubah seperti itu? *a+aban ungsi gelombang yang dekat dengan x =0 ! partikel memiliki energi yang lebih besar! dan ψ memiliki pan$ang gelombang lebih kecil. Partikel mempunyai peluang kecil untuk didapatkan di daerah ini! karena kela$uannya yang besar! $adi ψ memiliki amplitudo lebih kecil daripada fungsi gelombang yang dekat dengan x =0.
6. ifat penting fungsi eigen suatu sistem ialah funsi itu saling ortogonal yang berarti ;
∫ < n < m 1( =0
n=m .
−;
*a+aban 8. Jntuk partikel dalam kotak 1 dimensional < n=
√
2 πλ
2
> sin
;
>
∫ < < 1( =∫ ( n
m
−;
¿
2
0
>
1 ∫ > 2 0
¿
1
>
[
sin
[
cos
!
>
√
2
>
2
)
sin
0 ? λ? >
2 πλ
>
! < n=0 diluar interal.
mπx 1λ >
sin
]
πλ ( n−m )− cos πλ ( n +m ) 1λ > >
]
| [
πλ > >− 1 ( n −m ) > π ( n−m ) 0 >
sin
]
|
πλ > > ( n + m) > π ( n + m ) 0
¿ 0 untukn=m 3#RBJ(#;5.
. #in$au seberkas partikel yang energi kinetiknya E datang pada tangga potensial pada x =0 setinggi V ! dengan E ¿ ( . 3a5 #erangkan mengapa 0
ik x solusi @e 3sesuai dengan notasi pasal .65 tidak mempunyai arti sis
dalam situasi seperti ini! sehingga @=0 . 3b5 #un$ukkan bah+a peluang transmisi disini ialah
% =CC ¿ / AA¿= 4 k 21 /( k 1 +k 0 )2 . 3c5 Berkas elektron 1 mA
bergerak dengan kela$uan
6
2 x 10
m !
memasuki daerah yang batasnya
terdenisikan dengan ta$am! sehingga kela$uan elektronnya tereduksi
men$adi
6
1 x 10
m ! oleh perbedaan potensialnya. 9ari arus pantul dan arus
transmisinya. *a+aban a. Di daerah ;; tidak ada yang dapat memantulkan partikel! $adi tidak ada gelombang yang bergerak ke kiri. b. Batas x =0 ! kemudian k 0 A + B=C 6ik 1 A −ik 1 B=ik C ∨ A −B = C . k 1 0
( )
k 0 liminasi B! 2 A = 1+ k 1 C 6 $adi 2 4 k 1 C 2 k 1 CC ¿ = = A k 1+ k 1 ! dan AA ¿ (k 1+ k 0 )2 .
c. Di dua daerah kecepatan partikel berbeda sehingga persamaannya men$adi k
( 10 + 1) k
2
¿ ¿ ¿
.
|< 77 | v 0 CC ¿ k 0 4 k k 0 4 (k / k 0 ) % = = ¿ = = 0 ¿ |< 7 | v AA k ( k + k ) 1
2
1
2
1
1
1
0 0 Jntuk situasi tertentu! k 1 / k = v / v =2.00, so % =( 4 x 2 )/( 2 +1 ) 2=8 / 9.
*adi arus transmisinya adalah 3#531.22 mA5 ) 2.66 mA! dan arus terpantulnya 2.111 mA. 12.
9ari energi titik nol dalam elektronolt dari suatu bandul yang
periodenya adalah 1' Penyelesaian 1
$= 2
1
1
2
15 !
$= × 6,625 × 10−34 J . ! × $= 2,2083 × 10 −35 J
11.
nergi total sebuah osilator =armonik ialah
$=
P2 k x 2 + ! dengan p 2m 2
menyatakan momentumnya dan menyatakan simpangan kedudukan timbang. 9ari energi titik nol osilator itu dengan prinsip ketaktentuan dengan mengambil "= + " dan x =+ x . Penyelesaian "2 k x 2 $= + 2m 2 " +¿
¿ ¿2 ¿ $=¿ "
¿ ¿ ¿2 ¿ 1¿ ¿ $=¿ + $=
" + kx =0 2m
" =−kx 2m +$ =−kx +x 1$ =−kx 1x
$=∫−kx1x $=−k ∫ x 1x
$=
−1 2
k x2
1". Dalam sebuah osilator harmonik kedudukan partikel berubah dari QA ke EA dan momentumnya dari
deiasi standar dan p ialah
− " o
+ x=
ke
+ "o . Dalam osilator semacam itu
A
√ 2 dan
+ "=
"o
√ 2 . Iunakanlah hal ini
untuk menun$ukkan bah+a energi minimum osilator harmonik adalah Penyelesaian osilator harmonik − A ? x? A A − " o ? x ? " . Deiasi standar + x = √ 2
" o + " = ! √ 2
(etaktentuan =eisen Berg menyatakan bah+a + x + "> " o A 2
>
4 π
. . . ( 1 ) 4 π
" 2o nergy total partikel ) $= 2 k A . 2 m 1
√
2
√
"2o 1 k Dapat $uga kita tulis $= k A . = A Po 2 2m 2 m v=
√
k 2 π m 1
1
2
1 2
v .
1
$= A " o .2 πv...(2 ) 2
ubstitusi persamaan 1 ke persamaan " $ > 1
$ > v 2
2 πv 4 π
9ari harga ekspektasi 35 dan 35 untuk dua keadaan yang pertama dalam sebuah osilator harmonik Penyelesaian ;
;
∫ x : : 1x ∧∫ x : ¿ :1x ¿
2
−;
−;
;
;
∫ 3 e
− 3 2
−;
13 6 ∫ 3 e 2
−;
¿
2
;
− 3 2
x : 0 : 0 1x =¿
;
13 6 ∫ 3 e 3
− 3 2
−;
( )( ½
2 mv
13 6 ∫ 3 4 e− 3 13 2
−;
2 πmv
)
½
;
∫ 3 e−
3 2
2
13
−;
;
∫¿
−;
√ = ( ) 1
¿
3
2 π
2
;
∫ 3 e 2
− 3 2
−;
1x =
13 =
1
mv
π
2
2
2
4 π
v
mv
= 2
$0 k
;
3 π 6 ∫ 3 e− 3 13 = √ π √ 2 4 4
2
−;
1x 13 = 13
13 2 πmv
14. tun$ukkan harga ekspektasi 3(5 dan 3&5 dari energy kinetic dan energy potensial sebuah osilator harmonic diberikan oleh 3(5)3&5)2@" $ika osilator itu dalam keadaan n)2 3hal ini! sebenarnya berlaku $uga untuk osilator dalam setiap keadaan5. bandingkanlah hasil tersebut dengan harga klasik ( dan &? 1. tun$ukkan tiga fungsi gelombang pertama osilator harmonic merupakan solusi ternormalisasi dari persamaan hcrodinger Penyelesaian Bentuk persamaan hcrodinger
2: − 22 : i = + v : 2t 2m 2 x 2 22 : 2 m ( $ −( ) : =0 + 2 x2 2 22 : 22 : 22 : 2 m ( + 2 + 2 + 2 $ −( ) : = 0 2 2x 23 2D
10. fungsi gelombang yang mana yang ditun$ukkan pada Iambar /1 yang mungkin mempunyai arti sis penting ? Penyelesaian nergi gelombang yang mempunyai arti sis harus memenuhi syarat i.
∫ : ¿ : 1x =1
1 : : 1an ii. 1x :
iii. berharga tunggal
a. #idak memenuhi 3i5
c. #dak memenuhi 3i5
b. %emenuhi ketiga syarat
d. %emenuhi ketiga syarat
e. #idak memenuhi 3iii5
f. %emenuhi ketiga syarat
SNJ; %ATJAN BAB 0 1. 3a5 Bagaimana persamaan chrodinger untuk partikel bermassa m yang terkendala untuk bergerak pada sebuah lingkaran ber$e$ari R! sehingga < hanya bergantung dari ϕ ?
<
3b5 9ari
dari persamaan itu dan hitung konstan normalisasinya.
3Petun$uk #in$au solusi persamaan chrodinger untuk atom hidrogen5 3c5 9ari energi yang mungkin dimiliki partikel itu' 3d5 9ari momentum sudut yang mungkin untuk partikel itu' *a+aban a5 Persamaan chrodinger untuk partikel bermassa m yang terkendala untuk bergerak pada sebuah lingkaran ber$e$ari R adalah 1
r2 2m
E2
1
R
2
2 2r
(
r2
)
2 : 2r
1
E
r 2 sin θ
(
2 2θ
sin θ
2: 2θ
)
1
E
r 2 sin2 θ
22 < 2 ϕ2
3 / &5 < ) 2
2 2r
(
R2
) E
2 : 2r
1
R
2
sin θ
(
2 2θ
sin θ
2: 2θ
)
e2 $ + 4 π ε 0 R E 22 < 2 m 1 + ¿ R 2 sin2 θ 2 ϕ 2 E2
5 < ) 2 2 2r
E
( ) E 2: 2r
1
R
2
2 2θ
( ) E 2: 2θ
1
R
2
22 < 2 ϕ2 E
2m
E2
35 < ) 2
22 < 2 ϕ2 E
1
R
2
2< 2 t ) /
b5 i E
i i
ℏ
2< 2 t ) /
ℏ
2< 2 t
< )
2m
35 < ) 2
E2
22 < < 2 x 2 E &
E2 2m
22 < 2 x 2 E
E2 2m
22 < 2 x 2 E
E2 2m
E
( √ ) 1
( ) ( )
−e 2 <
4 π ε0 r
e2 =< 4 π ε0 r
e inϕ
2 π
√ 2 m$
c5 n ) R
E
n" ) R"
2 m$
E2
n2 E2 ) R 2 2 m
". #un$ukkan bah+a ⊝ 20
√ 10
(θ ) )
4
3-
cos
2
θ −1 5
%erupakan solusi Persamaan 0.1- yang sudah ternormalisasi. *a+ab
√ 10
F20 3 θ 5 ) 1 sin θ
1 1θ
4
(
3- cos" / 15
) ) / ( ( + )− )
1 F20 sin θ 1θ
ll
1
m2
sin
2
θ
F
-. #un$ukkan bah+a
r a0 e¿ R10 ( r )=
2 3 2
a0
¿
%erupakan solusi persamaan 0.14 yang sudah ternormalisasi. Penyelesaian Diberikan fungsi r a0 e¿ 1 R = 1r 10
2 5
¿
a0 2 r a0 r a0 e¿
( )
1 2 1R −2 e¿ 1 r = 5 2 1r r 2 1r r a0 2 1
(
( )(
)
r2 ¿ 2 r− a0
)
1 2 1 2 1R = 2− r R10 1r r 1r a 0 ra 0 1
2
Pada persamaan 0.14! *ika l=0 ! maka ε 0 2 = ∨a = a0 2 4 π ε0 0 me 2 2
2me
2
2m 2
ℏ
2
4 π
−1 −e 2 $ = 2 or$ = 8 π ε 0 a0 a0
Jntuk dapat ternormalisasi! maka ;
∫| R | r 2
2
10
1r =
0
4
a0
3
u=
Dimana
;
∫r 0
2
−2 r /a0
e
1r =
1
;
u e−u 1u ∫ 2 2
0
2r
a0
Dengan demikian terbukti bah+a r a0 e¿ R10 ( r )=
2
a0
3 2
¿
%erupakan solusi persamaan 0.14 yang sudah ternormalisasi. 4. Dalam pasal 0.6 dinyatakan bah+a peluang terbesar harga r untuk electron 1s dalam atom hydrogen ialah $e$ari Bohr ialah
a0 . Buktikan
hal ini dengan pertolongan persamaan 0.". Penyelesaian Persamaan 0." 2
P ( r ) 1r =r 2| R| 1r R10=
2
a0
3 2
e
−r a0
(ita cari maimum dari P 3r5 dengan memasukkan syarat Atau
1P 1P =0 1r 1x
2r
a0 e¿ 2
r 2 ¿=0
3
a0 2 1 ¿ 1r 2r
a0 2r a0 e¿ 0 2
e¿ r2
a0 2r¿
2 r=
¿
2r
2
a0
2r
1
2r
a0
1
r
= 2
=
1
a0
r = a0 (terbukti )
Dengan demikian terbukti bah+a peluang terbesar harga r untuk electron 1s dalam atom hydrogen ialah $e$ari Bohr ialah a0 . . %enurut gambar 0.11! P dr mempunyai " maksimum untuk electron "s. 9ari harga r ketika maksimum ini ter$adi ' 2
P ( r ) 1r =r 2| R| 1r
−r
1
: =
√ π a o
e 2a
3 2
(
1
R10=
3
2 √ 2 ao
0
2
−r
)
r 2a 2 a0− e a0
0
1P = 0 1r 1 1r 1 1r
[
1 3
2 √ 2 ao
[( (
2
r2 1
√ 2 ao
(
1 e 1r
2 √ 2 ao
r
2 1
3
r e
−
1
√ 2 a o
2 √ 2 ao 2
2
(
−
2
r e
2 a0
√ 2 ao
2 a0
1
√ 2 ao
2
−
0
)
=0
3r
2
e
2 a0 5
2 √ 2 ao
2
−r
−r e
]
e 2 a =0
−r
2 a0 1
2
]
0
−r 2
−r
2r e
2 a0 5
−r 2 a0
2
−r
√ 2 ao
2r e
5
−r 2 a0
)
−r
r3
−
2
)
−r
r 2 a 2 2 a0− e r =0 a0
)( −
−r 3
−
2
r e
3r
2 a0
=0
5
2 √ 2 ao
−r 2
2 a0
−r 3
e −r e 5
2 √ 2 ao 2
2 a0
2
)
=0
r2 3 r 2 + − =0 2 a 0 a0 a0 Kita gunakan rumus abc, maka diperoeh:
a=
1 2 a0
6 b=
3
a0
6 *=
b 5 √ b2− 4 a* r= 2a
2
a0
3
r=
a0
5
√(
) ( )( ) ( ) 2
3
a0
−4
r=
a0
5
√
9
a0
2
2 a0
a0
1
2
3
1
2a0
− 2
4
a 02
1
a0 r=
(
3
1
5
a0 a0
)
√ 5 a
0
r =3 5 √ 5
0. ungsi gelombang atom hidrogen dalam keadaan "p berubah terhadap arah dan $uga terhadap $arak dari inti. Dalam kasus elektron "p dengan ml ) 2! dimanakah P maksimum pada sumbu > ? Pada bidang y ? *a+ab −r
1
R=
2 √ 6 a0
r . e 2a 3 a0 2
0
2
P ( r )=r 2| R| 1r 4
P ( r )=
−r 2a 0
r e 5 24 a0
1P = 0 1r −r
−r
4r
3
a0
4
2 a0
4r
3
−r a0
4
2 a0
e r e − =0 5 6 24 a 0 24 a 0 −r
e r e = 5 6 24 a 0 24 a 0
4 a 0= r
8. Bandingkan peluang elektron dalam keadaan dasar atom hidrogen berada pada $arak ao dan inti dengan pada $arak ao@". Bandingkan dengan pada $arak "ao. *a+ab ;
r =∫ r |< | 1v 2
0
| √ ( ) | ∬ |( √ ) | √ ∬ |√ √ | ∬| | ;
r =∬ r
3 /2
;
1
r
3 /2
2 a0
0
−
2
r
−r / 2 a0
5/ 2
2 2 a0
e
1v
2
;
e−r /2 a r e−r /2 a − r 1v 3 /2 5 /2 2 a0 2 2 a0 0
r=
0
0
2
;
r 2 e−2 r /2 a r 2 e−r / 2a 1r − 3 5 a a 2 0 8 0 0
r=
0
r=
0
2 2 a0
0
r=
2
r −r /2 a e 1v 2− a0
1
;
1 3
2 a0
|
0
∬r e 0
−2 r / 2a0
2
−
r 2 e−r /2 a 4
|
2
0
1r
6. Dalam pasal 0.6 dinyatakan bah+a rata/rata r untuk elektron dalam keadaan dasar atom hidrogen ialah 1! ao. Buktikan pernyataan itu ;
dengan menghitung harga ekspetasi (r) = *a+ab r ∨¿
O 2 3 /2
ao
e
−r / ao
√
1
∫ r|: | / 1( 2
0
∨2 1(
4 π ;
¿ r >¿15=∬¿ ¿
Buktikan
0
¿ r >¿15=1,5 a o & & & & .. ' ¿
;ntegral terhadap sudut ) 4 π ! sehingga! ;
2
2
¿ r >¿15=∫ 3 r e
−2 r a0
r 2 1r
ao
0
¿
¿ r >¿15=
;
4
∫r a
e− r 1r
3
∝
3
0
o
¿
;
;
∫r e 3
− ∝r
1r =∫ r
0
3
∝
0
;
+ 0¿
1
( ) −1
−∝ r
1e
;
e− ∫ ∝
∝r
3r
2
1r
0
;
∫r e 3
− ∝r
−∝ r − 1 1r = e r 3 ∨¿
∝
0
;ntegral parsial ini dapat diulangi sehingga ;
∫r e 3
− ∝r
()
1r =
0
;
∫ r e− 3
∝r
1r =
0
∝
3
∝r
1r =
0
¿ r >¿15=
3
6
∴
4
∝
6
a0
( )
× 3
2
a0
¿
∴
∝
4
¿
24 16
∝r
0
∝
∴
¿ r >¿15=
∫ e−
3.2.1
−6 e−∝ r 1 ∨;6
;
∫ r e−
;
3
1
a0
¿ r >¿15=1,5 a 0 ¿
4
0
1r
. peluang untuk mendapatkan elektron atomik yang fungsi gelombang radialnya R3r5 diluar bola ber$e$ari ro berpusat pada inti ialah ;
∫| R ( r )| r 1r 2
2
r0
3a5hitung peluang untuk mendapatkan elektron keadaan dasar atom hidrogen pada $arak lebih besar dari a2 dan inti. 3b5*ika elektron dalam keadaan dasar atom hidrogen ialah "a2 dari inti ! seluruh energinya ialah energi potensial. %enurut mekanika klasik! elektron tidak bisa melampaui $arak "a2 dari inti. 9ari peluang bah+a r U "a2 untuk elektron dalam keadaan dasar atom hidrogen Penyelesaian ;
a5
2
∫| R ( r )| r
2
1r
r0
2
P ( r ) 1r =r 2| R ( r )| 1r P ( r ) 1r =r
2
−2r
4 3
a0
e
a0
1r
Peluang untuk mendapatkan elektron antara r)2 dan r)a2 adalah P ( r ) 1r =¿
4
a0
∫r e a 2
3 0 0
−2 r a0
1r
a0
P =∫ ¿ 0
Dengan memisalkan )
2r
a0
kita menuliskan bentuk ini kembali
sebagai berikut P=
1
2
x e− x 1x ∫ 2 2
0
Dengan menggunakan integral parsial kita mendapatkan
1
P= (− x 2−2 x −2 ) e− x ¿20 2 1
P= {(−4 − 4 −2 ) e−2 + 2 G 2 1
P= (−10 e−2+ 2) 2
P=0.32
(arena peluang untuk mendapatkan elektron dari r)2 dan r)a2 adalah 2!-" maka peluang untuk mendapatkan elektron untuk rUa2 adalah P=1 −0,32=0.68 =68 "er!en
b5 (arena rU"a2 maka pada persamaan P=
1
;
x e− 1x ∫ 2 x
2
0
dengan rumus gamma P=
1
;
x − e− 1x ∫ 2 n
1
x
0
karena n Q 1 ) " maka n) gamma - ! sehingga didapatkan p)1. (arena rU"a2 maka terbagi men$adi dua kali lipat maka menghasilkan 1 4
P ) 2!" ) " persen
12. Teorem unsold menyatakan bah+a untuk setiap harga bilangan kuantum orbital l, kerapatan peluang $umlahan terhadap semua keadaan yang mungkin dari ml
)
/ l ke ml ) El menghasilkan konstan yang tak
bergantung dari sudut θ atau φ! ini berarti +l
∑ |F| |ɸ| =kon!tan ml =−l 2
2
#eorem ini menun$ukkan bah+a setiap atom atau ion bersubkulit tertutup 3lihat pasal 8.5 memiliki distribusi muatan listrik simetri bola. Buktikan Teorem Unsold untuk l=0,l=1, dan l= dengan pertolongan tabel 0.1.
penyelesaian
2
P ( r ) 1r =r 2| R2,0 ( r )| 1r −r
( )
r 2 a 2− P ( r )=r e 1r 3 a0 8 ao 1
2
o
Probalitas total untuk menemukan elektron antara
r = o dan
adalah ao
P=∫ " ( r ) 1r = o
ao
1
∫ 8a 3
o
0
(
)
3
−r
r 4 a + e 1r 4r − a0 a2o 4r
2
0
r x = Dan sekali lagi! dengan memisalkan a0 P=
1
1
( 4 x − 4 x + x ) e− 1x ∫ 8 2
3
x
4
0
P=
1
1
∫ x e 2
− x
2
1x −
0
1
1
∫ x 2
3
− x
e 1x +
0
1
1
∫ x 8
4
e− x 1x
0
Dengan menghitung masing/masing integral ini! kita peroleh P ) 2!22-4 Jntuk tingkat n ) "! l ) 1 kita peroleh 2
P ( r ) 1r =r 2| R2,1 (r )|
−r
r2 a P ( r ) 1r =r e 1 r 3 2 24 ao ao 2
1
0
Probabilitas total antara r ) 2 dan r ) ao adalah ao
ao
−r
r4 a ( ) P=∫ P r 1r = e 1r 3∫ 2 24 a o 0 ao 0 P=
1
1
1
x e− 1x ∫ 24 4
o
x
o
r = ao
P=0,0037
11. 9ari prsentase perbedaan antara N dan harga maksimum N> untuk electron atomic dalam keadaan p! d! f. *a+ab Perbedaan yang kecil antara N dan nilai yang paling besar dari N>! adalah! karena suatu yang diberi yaitu nilai dari setiap keadaanl. Dari persamaan momentum sudut electron 3N5 >=√ l ( l +1 ) kita bisa menemukan nilai perbedaan l dari setiap keadaan dengan menggunakan persamaan
√
> − >Z6max √ l ( l + 1 ) −l l = =1− > l +1 √ l ( l+ 1 )
Jntuk keadaan p! l ) 1 dan
1−
Jntuk keadaan d! l ) " dan
1−
Jntuk keadaan p! l ) - dan
1−
√ √ √
1 2 2 3 3 4
= 0,29=29 =0,18=18 = 0,13=13
1". (omponen 7eeman untuk garis spectral .222 G ialah ber$arak 2!"-- G ketika medan magnetiknya 1!22 #. 9ari rasio e@m untuk electron dari data itu ? *a+ab Dik
λ =5000 G =5 x 10−7 m + λ =0,233 G = 0,233 x 10−10 m B =1 %
