PENDAHULUAN • Persamaan diferensial berperan penting dalam menyelesaikan berbagai persoalan fisika: (1) untuk memperoleh deret pangkat suatu fungsi (2) memperoleh nilai maksimum – minimum suatu kurva (3) menyelesaikan masalah fungsi dengan beberapa variabel • Dalam fisika banyak diumpai suatu fungsi dengan dua variabel atau lebih! "ika variabel#variabel tersebut saling bebas$ maka dapat penyelesaian fungsi tersebut dapat menggunakan diferensial parsial !
DIFERENSIAL PARSIAL • "ika z = f ( x$ y )$ maka notasi diferensial parsial ditulis •
Contoh
"ika z = 2 x y 2
3
− 3 sin x$
%arilah nilai dari
Jawab
1!
∂ z = & xy 3 −3 %os x ∂ x y
2!
∂ z 2 2 ' x y = ∂ y x
∂ f ∂ f $ $ f x $ atau ∂ x ∂ y
∂ z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ z $ $ $ 2 ∂ x y ∂ y x ∂ x∂ y ∂ x
3!
∂ 2 z = 12 xy 2 ∂ x∂ y
&!
∂ 2 z 3 & y = + 3 sin x 2 ∂ x
f y
DIFERENSIAL TOTAL • "ika z = f ( x$ y )$ maka diferensial total didefinisikan sebagai
z ∂ z ∂ dz = dx + dy ∂ x ∂ y •
Contoh
"ika z = 2 x y 2
3
− 3 sin x$
%arilah diferensial totalnya
Jawab
∂ z = & xy 3 −3 %os x ∂ x y ∂ z 2 2 x y = ' ∂ y x
z ∂ z ∂ dz = dx + dy ∂ x ∂ y dz = (& xy 3 −3 %os x) dx + (' x 2 y 2 ) dy
DIFERENSIAL TOTAL •
Contoh
ambatan R suatu ka*at penghantar homogen sebanding panang ka*at 2 l dan berbanding terbalik dengan kuadrat ari#ari penampang ka*at r ! ρ l R = k 2 dengan k = r &π "ika kesalahan relatif pengukuran panang adalah +, dan kesalahan relatif pengukuran ari#ari adalah 1-,$ hitunglah kesalahan relatif paling besar dalam penghitungan hambatan Jawab l R = k 2 r ln R = ln k + ln l − 2 ln r dR dl dr = −2 R l r
dR R
=
dl l
+2
dr r
= -$-+ + 2(-$1-) = -$2+
ATURAN BERANTAI • "ika z = f ( x$ y )$ maka diferensial total didefinisikan sebagai
∂ z ∂ z dx + dy ∂ x ∂ y
dz =
"ika dz diturunkan terhadap t $ maka
dy ∂ z dx ∂ z = + dt ∂ x dt ∂ y dt
dz
•
dz dt
dapat dinyatakan ATURAN BERANTAI (CHAIN RULE)
Contoh:
1! "ika y = ln sin 2 x$ %arilah dy.dx −y z xe $ dengan x = %osh t dan y = %os t ! /arilah dz .dt = 2! Diberikan
DIFERENSIAL IMPLISIT • /arilah dx . dt dan d 2 x . dt 2 dari persamaan x + e x
= t
Jawab:
x + e x d dt
= t
( x + e ) = x
dx dt
=
d dx d x dx d + e = (1) dt dt dt dt dt
dt dt 1 1 + e x
2
d 2 x 2
dt
=
x dx − e dt 1 + e x xy
2 2 • /arilah dy . dx dan d y . dx dari persamaan ye
− e x = x 3 (1 + e )
= sin x
MORE CHAIN RULE ∂u . ∂ s dan ∂u . ∂t ika u = x 2 + 2 xy − y ln z di mana x = s + t 2 $ y = s − t 2 dan z = 2t Jawab: x = s + t 2 $ y = s − t 2 z = 2t dx = ds + 2t dt dy = ds − 2t dt dz = 2 dt
• /arilah
2 0ehingga u = x + 2 xy − y ln z
du = 2 x dx + 2 x dy + 2 y dx −
y z
dz − ln z dy
= ( 2 x + 2 y ) dx + ( 2 x − ln z ) dy −
y z
dz y
= ( 2 x + 2 y )( ds + 2t dt ) + ( 2 x − ln z )( ds − 2t dt ) − ( 2 dt ) z
2 y yt t z & 2 ln = ( & x + 2 y − ln z ) ds + + − dt z
∂u = & x + 2 y − ln z ∂ s
∂u 2 y = & yt + 2t ln z − z ∂t
MORE CHAIN RULE • andingkan dengan menggunakan %hain rule sebelumnya Jawab:
∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y ∂u ∂ z = + + ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s ∂ z ∂ s y ( ) ( ) x y x z = 2 + 2 + 2 − ln + − !o
z
= & x + 2 y − ln z ∂u ∂u ∂ x ∂u ∂ y ∂u ∂ z = + + ∂t ∂ x ∂t ∂ y ∂t ∂ z ∂t y = ( 2 x + 2 y )( 2t ) + ( 2 x − ln z )( − 2t ) + − ( 2) z
= & yt + 2t ln z −
2 y z
PROBLEM MAKSIMUM - MINIMUM • 0ebuah tenda kemah tertutup rapat dengan volume V $ tanpa penutup lantai! enda dibuat dengan kain minimal! /arilah berapa proporsi kain tersebut Jawab:
V =
1 2
! 2w ! l ! w tan θ = w2l tan θ
A = 2 w2 tan θ +
2wl
A = 2 w2 tan θ +
2w
2w
Dengan substitusi nilai%os l ke θ dalam A$ maka diperoleh
V 2
ntuk meminimalisasi%os nilai A$ tan θ θ w maka
= 2w2 tan θ +
2V w ∂ A
%s% θ
∂ A = - dan = ∂w ∂θ
l
PROBLEM MAKSIMUM - MINIMUM 0ehingga
2V %s% θ ∂ A = &w tan θ − = -$ 2 w ∂w 2V ∂ A = &w2 se% 2 θ − %s% θ %ot θ = -! w ∂θ
PERUBAHAN VARIABEL • 0alah satu kegunaan diferensial parsial adalah untuk mengubah variabel$ misalnya dari koordinat persegi ke koordinat polar! • Dalam permasalahan vibrasi membran sirkular atau aliran panas dalam silinder sirkular$ lebih baik menggunakan koordinat polar! ntuk masalah gelombang bunyi dalam ruangan$ koordinat persegi lebih baik! • Contoh: 4akukan perubahan variabel r = x + vt $ s = x − vt dalam persamaan gelombang$
∂ 2 F 1 ∂ 2 F − 2 2 =2 ∂ x v ∂t dan temukan solusinya
PERUBAHAN VARIABEL Jawab: r = x + vt
s = x − vt
∂r = 1$ ∂ x ∂ s → = 1$ ∂ x →
∂r =v ∂t ∂ s = −v ∂t
∂ F ∂ F ∂r ∂ F ∂ s ∂ ∂ = + = + F ∂ x ∂r ∂ x ∂ s ∂ x ∂r ∂ s ∂ F ∂ F ∂r ∂ F ∂ s ∂ F ∂ F ∂ ∂ = + = v − v = v − F ∂t ∂r ∂t ∂ s ∂t ∂r ∂ s ∂r ∂ s
∂ 2 F ∂ ∂ F ∂ ∂ ∂ F ∂ F ∂ 2 F ∂ 2 F ∂ 2 F = = + + = 2 + 2 + 2 2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂r ∂ s ∂r ∂ s ∂r ∂r ∂ s ∂ s 2 2 F F ∂ 2 F ∂ 2 F ∂ ∂ F ∂ ∂ ∂ F ∂ F 2 ∂ ∂ = = v − v − v = v 2 − 2 + 2 2 ∂t ∂t ∂t ∂r ∂ s ∂r ∂ s ∂r ∂r ∂ s ∂ s
PERUBAHAN VARIABEL 0ubtitusikan hasil di atas ke persamaan gelombang
∂ 2 F 1 ∂ 2 F − 2 2 =2 ∂ x v ∂t ∂ 2 F 1 ∂ 2 F ∂ 2 F − 2 2 =& =0ehingga ∂ x 2 v ∂t ∂r ∂ s ∂ 2 F ∂ ∂ F al ini ter%apai ika = terhadap r $ artinya hanya = tidak bergantung ∂r ∂ s 0ehingga$ ∂r ∂ sika diintegralkan terhadap s akan diperoleh merupakan fungsi s! ! Const merupakan kostanta yang masih terkait$ dapat berupa sebarang fungsi r $ misal g (r )$ karena ∂ F . ∂ s ∂ F . ∂s 0olusinya:
F = f ( s ) + const F = f ( s ) + g ( r ) F = f ( x − vt ) + g ( x + vt )
(∂ . ∂ s) g ( r ) = -
DIFERENSIASI INTEGRAL, ATURAN LEIBNIZ dF ( x) ( ) $ f x = 5enurut definisi integral sebagai anti#turunan$ ika x dx x maka ∫ f (t ) dt = F (t ) a = F ( x) − F ( a ) a "ika persamaan di atas didiferensialkan terhadap x$ maka
d
d
x
f (t ) dt = [ F ( x) − F (a)] = ∫ dx dx
dF ( x)
a
dx
= f ( x)
Dengan %ara yang sama$
d
a
dx ∫ x
f (t ) dt =
d dx
[ F (a) − F ( x)] = −
dF ( x ) dx
= − f ( x)
/ontoh: /arilah nilai Jawab:
d
x
dx ∫
π . &
sin t dt !
Dengan menggunakan persamaan diferensiasi integral$ maka
d
x
dx ∫
π . &
sin t dt = sin x
Perhatikan kembali$
d
x
dx ∫ a
f (t ) dt =
x v d
d dx
[ F ( x) − F (a)] =
d
dx
f (t ) dt = f (v) ∫ dv a
f (t ) dt = [ F (a) − F ( x)] = − ∫ dx dx
dF ( x )
x
x u
= f ( x)
v
d
a
dF ( x)
d
dx
= − f ( x)
a
f (t ) dt = − f (u ) ∫ du u
6nggap u dan v merupakan fungsi x! "ika di%ari dI .dx$ di mana I =
v
∫ f (t ) dt u
dan I merupakan fungsi u dan v$ maka dI ∂ I du ∂ I dv
